geometria_2015

52015

Aptitud Acadmica

Matemtica

Ciencias Naturales

Cultura General

Preguntas propuestas

Geometra

Prohibida su reproduccin total o parcial sin autorizacin de los titulares de la obra. Derechos reservados D. LEG N. 822

2

reas de regiones circulares

6

Prctica por Niveles

NIVEL BSICO

1. En el grfico mostrado, AM=MB=4. Halle el rea de la regin sombreada.

A

M

B

A) p B) 2p C) 4pD) 8p E) 16p

2. Halle el rea del crculo circunscrito a un trin-gulo equiltero cuyo lado mide 6 u.

A) 3p u2 B) 6p u2 C) 9p u2

D) 12p u2 E) 36p u2

3. Halle el rea del crculo limitado por la circun-ferencia inscrita en un tringulo rectngulo ABC recto en B, tal que AB=BC=2.

A) 2 2 B) 4 2 C) 2 3 2( )D) 2 3 1( ) E) 2 3 2 2( )

4. En el grfico mostrado, A, B y C son puntos de tangencia y DE=10. Halle el rea de la regin sombreada.

A) 3pB) 6p

AD

C

B

E

C) 9pD) 12pE) 18p

5. Se muestra un pentgono y cinco sectores cir-culares de radios iguales a 2 u. Halle la suma de reas de dichos sectores.

A) p

B) 23pi

C) 32pi

D) 3p

E) 6p

6. Calcule el rea de la regin sombreada si A y B son puntos de tangencia.

A

R

4545B

A) piR21 2 2

2+( )

B) piR23 22

( )

C) piR2

87 6 2+( )

D) piR25 6 2

2+( )

E) piR23 2

2+( )

7. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Un segmento es un conjunto convexo. II. Un tringulo es un conjunto no convexo. III. La recta es un conjunto convexo.

A) VVV B) VVF C) VFFD) VFV E) FFF


I. Un polgono convexo es un conjunto convexo. II. Un hexgono regular es un conjunto convexo. III. Toda regin poligonal es un conjunto convexo.

A) VVV B) FFF C) FFVD) VFF E) VVF

Geometra


37

Anual UNI Geometra

NIVEL INTERMEDIO

9. Halle la razn de reas del crculo circunscrito a un tringulo rectngulo, y el crculo cuyo di-metro tiene por extremos el baricentro y orto-centro de dicho tringulo rectngulo.

A) 32

B) 43

C) 94

D) 9 E) 169

10. En la figura, T es punto de tangencia. Calcule el rea de la regin sombreada si R=2 2.

TT

RR

A) 43

3pi ( ) B) 43

2pi ( ) C) 23

3pi ( )

D) 234 3 3pi ( ) E) 4

34 3pi ( )

11. En el grfico mostrado, A, D y N son puntos de tangencia, AL//DN y DN= 3. Halle el rea de la regin sombreada.

AA D

NL

A) pi

4 B)

pi

2 C)

pi

5

D) 34pi

E) 54pi

12. Se muestra un cuadrado ABCD cuyo lado mide 6. Halle el rea de la regin sombreada.

A) 6 3 pi

B) 6 3+ pi

A D

CB

C) 3 3+ pi

D) 2 12 2 3 3 ( )piE) 3 12 2 3 3 ( )pi

NIVEL AVANZADO

13. En un tringulo rectngulo ABC recto en B, AB=12 y AC=13. Halle el rea de la regin cir-cular limitada por la circunferencia exinscrita relativa a BC.

A) 4p B) 6p C) 9pD) 12p E) 36p

14. Halle la razn de reas de los crculos inscritos en un tringulo equiltero y un cuadrado si di-chos polgonos son isoperimtricos.

A) 34

B) 23

C) 916

D) 1627

E) 89


I. Si se omite un punto del permetro de un crculo, el conjunto resultante es convexo.

II. Si le omitimos una diagonal a una regin cua-drangular, el conjunto resultante es siempre no convexo.

III. La interseccin de dos conjuntos no con-vexos siempre resulta un conjunto no con-vexo.

A) VVV B) VFV C) VFFD) FFF E) FFV

Geometra


4

Geometra del espacio I

12

Prctica por Niveles

NIVEL BSICO

1. Indique de forma ordenada el valor de ver-dad (V) o falsedad (F) respecto a los siguientes enunciados.

I. Por un punto pasan infinitos planos. II. Por un punto pasan infinitas rectas. III. Tres puntos siempre determinan un plano.

A) VVV B) VVF C) FFVD) VFF E) FFF

2. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones.

I. Dos rectas siempre determinan un plano. II. Con n puntos en el espacio, se pueden for-

mar n(n 3) planos. III. Dos rectas paralelas a un mismo plano siem-

pre determinan un plano paralelo al anterior.

A) VVV B) VFF C) VVFD) VFV E) FFF


I. Un punto y una recta siempre determinan un solo plano.

II. Si dos rectas son alabeadas, siempre deter-minan un solo plano.

III. Si dos rectas son secantes a un mismo plano y forman ngulos de igual medida con dicho plano, entonces son paralelas entre s.

A) VVV B) VVF C) VFVD) FFF E) FVV


I. Tres puntos siempre determinan un plano. II. Si una recta es paralela a un plano, ser pa-

ralela a todas las rectas contenidas en dicho plano.

III. Los ngulos determinados por dos rectas paralelas con un plano son de igual medida.

A) FFF B) FVF C) FVVD) VVV E) FFV

5. Respecto a dos planos paralelos, indique ver-dadero (V) o falso (F) segn corresponda.

I. Todos los segmentos perpendiculares a di-chos planos son congruentes entre s.

II. Todas las rectas contenidas en uno de ellos son paralelas a las rectas contenidas en el otro plano.

III. Si un plano secante las corta, las intersec-ciones seran rectas paralelas.

A) VVV B) VFV C) VFFD) FFF E) VVF

6. Indique verdadero (V) o falso (F) segn corres-ponda.

I. Si tenemos una recta incluida en un plano y una recta secante al mismo, entonces las rectas siempre son alabeadas.

II. Si tenemos dos planos secantes y se traza un tercer plano secante a uno de ellos, en-tonces es secante al otro.

III. Dos rectas secantes determinan un plano.

A) FFF B) FFV C) FVVD) VVV E) VVF

7. Se muestra M// N y P es secante a los planos paralelos. Halle x (AB P).

MM

NN

P

AA10x10x

8x8x

BB

A) 5 B) 9 C) 10D) 20 E) 18

Geometra


513

Anual UNI Geometra

8. Se muestran los planos paralelos M, N y Q, ade-ms, AB=NP, BC=4 y MN=9. Halle AB.

L 1 L 2

MM

PPCC

NNBB

AAMM

NN

QQ

A) 2 B) 2 2 C) 3D) 3 2 E) 6

NIVEL INTERMEDIO

9. De las siguientes proposiciones, indique verda-dero (V) o falso (F) segn corresponda.

I. Si dos planos resultan no ser paralelos, en-tonces sern necesariamente secantes.

II. Si un plano es secante a otros dos planos paralelos, entonces las intersecciones son paralelas.

III. La interseccin de tres planos puede resul-tar un punto.

A) FVV B) VFV C) VVVD) FFV E) VVF

10. Indique verdadero (V) o falso (F) segn corres-ponda.

I. El plano es un conjunto convexo. II. Si dos rectas determinan un conjunto con-

vexo, entonces dichas rectas son secantes. III. La interseccin de tres planos es un conjun-

to convexo.

A) FFF B) FVV C) VVFD) FVF E) VFV

11. Segn el grfico, Q es secante a los planos paralelos H y P en L1

y L2

, respectivamente,

a+b=200. Calcule x si M Q.

L 1

x

M

L 2PP

HH

QQ

A) 100 B) 120 C) 160D) 150 E) 135

12. Del grfico, H// P// Q, NL=2(PQ), MN=8(QR) y BC=3. Calcule AB.

AA MM

NN

LL

QQ

RR

PP

BB

CC

HH

PP

QQ

A) 3 B) 5 C) 6D) 9 E) 8

NIVEL AVANZADO

13. De las siguientes proposiciones, indique verda-dero (V) o falso (F) segn corresponda.

I. Tres rectas paralelas entre s pueden deter-minar tres planos.

II. Si L

es secante a un plano, entonces toda recta contenida en dicho plano ser alabea-da con L

.

III. Si dos planos contienen a dos rectas ala-beadas, entonces siempre son secantes.

A) VVF B) VFV C) FVVD) VFF E) FFF

Geometra


6 14

Academia CSAR VALLEJO Material Didctico N.o 5


I. Dos rectas secantes, que son paralelas a un plano, determinan un plano que es paralelo al plano inicial.

II. Por un punto exterior a un plano se puede tra-zar una recta paralela a dicho plano y solo una.

III. Tres rectas paralelas siempre estn conteni-das en el mismo plano.

A) FFV B) VFV C) VVVD) VVF E) VFF

15. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones.

I. Una cuaterna armnica determina un plano. II. Los excentros de todo tringulo siempre

determinan un plano. III. En una circunferencia, toda recta secante y

el centro determinan un plano. IV. En todo tringulo, la recta de Euler determi-

na con cada vrtice un plano.

A) FFVF B) FVFV C) FVFFD) VFVF E) VVFV

Geometra


7

Geometra del espacio II

18

Prctica por Niveles

NIVEL BSICO


I. La proyeccin de un segmento sobre un plano siempre es otro segmento.

II. La proyeccin de un plano sobre otro plano puede ser una recta.

III. La proyeccin de un tringulo sobre un pla-no siempre es otro tringulo congruente al anterior.

A) VVV B) FVF C) FVVD) VVF E) VFF


I. Si toda recta pasa por el pie de una recta perpendicular a un plano, ser perpendicu-lar a esta ltima.

II. Toda recta proyectada sobre un plano resul-ta otra recta siempre.

III. Si se proyecta un ngulo sobre un plano, puede resultar una recta.

A) VVV B) VFF C) VFVD) FFV E) FFF


I. Si dos tringulos se intersecan en solo tres puntos, son coplanares.

II. Si los radios de dos circunferencias deter-minan un ngulo recto, entonces las circun-ferencias son ortogonales.

III. Dos ngulos suplementarios son coplanares.

A) VVV B) FFV C) VFFD) FVV E) FFF

4. El cateto de un tringulo rectngulo issceles se encuentra contenido en el plano H, adems la medida del ngulo entre dicho plano y el otro cateto es 45. Calcule la medida del ngu-lo entre el plano H y la hipotenusa.

A) 30 B) 37 C) 45D) 15 E) 60

5. Las proyecciones ortogonales de AB sobre un plano y una recta perpendicular a dicho plano miden 8 y 15. Halle AB.

A) 7 B) 23 C) 17D) 5 E) 16

6. Si AM y BN forman ngulos con el plano P, cuyas medidas son 53 y 30, adems, AM=10 y BN=8, calcule la distancia del punto medio de AB hacia el plano P.

A) 4 B) 5

NN

MM

AB

PP

C) 6D) 7 E) 9

7. Se sabe que I es el incentro del ABC y AB=BD. Halle DI si BC=4.

CC

DD

AA

BB3737

II

A) 10 B) 11 C) 2 3D) 13 E) 14

8. En un tringulo ABC se traza la altura BH y AL perpendicular al plano que lo contiene, tal que AL=HC; AB=5; HC=6 y BC=7. Calcule el rea de la regin triangular LHB.

A) 2 6 B) 5 26 C) 4 13

D) 393

E) 2 39

Geometra


819

Anual UNI Geometra

NIVEL INTERMEDIO


I. La proyeccin ortogonal de una regin cua-drada sobre un plano, puede ser un seg-mento.

II. La proyeccin ortogonal de una circunferen-cia sobre un plano es siempre una elipse.

III. Las proyecciones de dos rectas alabeadas sobre un plano pueden ser secantes.

A) VVV B) FFF C) VFVD) FVV E) VVF

10. Sea O el centro de la circunferencia inscrita en el tringulo equiltero ABC. Adems, se traza PA perpendicular al plano del tringulo ABC. Si la medida del ngulo APC es 45, halle la medida del ngulo entre OP y el plano del

ABC.

A) 30 B) 37 C) 60D) 53 E) 45

11. En un tringulo ABC se traza AP perpendicular a su plano, tal que AC=AP=8, AB=6 y BC=7. Halle la medida del ngulo entre PD y el plano ABC si AD es bisectriz interior.

A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60

12. En el lado BC de un paralelogramo ABCD se ubica el punto P y luego se traza PQ perpendi-cular al plano del paralelogramo. Si M es pun-to medio de CD, tal que m MPC=90; BP=4; PC=PQ=3 y PM=2, calcule la medida del n-gulo entre BC y AQ.

A) 37 B) 45 C) 30D) 60 E) 53/2

NIVEL AVANZADO

13. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a las siguientes proposiciones.

I. Si dos rectas son perpendiculares a una ter-cer recta, entonces dichas rectas debern ser perpendiculares entre s.

II. Si dos rectas son perpendiculares, entonces sus proyecciones ortogonales sobre un pla-no sern perpendiculares si y solo si ambas rectas son paralelas a dicho plano.

III. Por un punto exterior a un plano se puede trazar un solo plano perpendicular a dicho plano.

IV. Si una recta no es perpendicular a un plano, entonces no ser perpendicular a ninguna recta contenida en dicho plano.

A) FFVF B) FVFF C) FFFFD) FVFV E) FFFV

14. Se tiene un tringulo ABC de incentro I conte-nido en un plano. Adems, se traza IP perpen-dicular a dicho plano. Si AB=5, BC=7, AC=6, AP=4, halle el rea de la regin APC.

A) 2 3 B) 3 6 C) 4 3D) 6 3 E) 8 3

15. En un cuadrado ABCD se trazan en el mismo semiespacio PA y QC perpendiculares al plano que contiene al cuadrado, tal que QC=2(PA) y PQ es el dimetro de una semicircunferencia tangente a AC. Calcule la medida del ngulo entre PQ

y QD

.

A) 30 B) 45 C) 60D) 53/2 E) 53

Geometra


9

Geometra del espacio III

23

Prctica por Niveles

NIVEL BSICO


I. Un ngulo diedro es un conjunto convexo. II. Un solo segmento puede ser perpendicular

a dos rectas alabeadas. III. Dos rectas alabeadas pueden encontrarse

en dos planos paralelos.

A) VVV B) VVF C) VFVD) VFF E) FVV

2. Determine el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Por un punto exterior a una recta se puede trazar ms de un plano perpendicular a di-cha recta.

II. Por un punto exterior a una recta se puede trazar un solo plano paralelo a dicha recta.

III. Si dos rectas no son secantes, entonces siempre existir una recta perpendicular a ambas rectas.

IV. Si dos rectas son paralelas a un plano, di-chas rectas sern paralelas entre s.

A) VFVF B) FVVF C) FFVFD) VFFF E) FFVV

3. Del grfico mostrado, OM es perpendicular al plano del cuadrado ABCD en su centro O. Si AB=2(OM), calcule la medida del diedro entre las regiones ABCD y CMD.

A D

CB

O

M

A) 30 B) 37 C) 45D) 53/2 E) 60

4. Se tienen los tringulos equilteros ABC y ACD ubicados en diferentes planos, tal que 2(BD)=3(AB), calcule la medida del diedro AC

.

A) 30 B) 60 C) 90D) 120 E) 150

5. Se muestra un tringulo equiltero ABC y una semicircunferencia ubicados en planos per-pendiculares, AB=6 y mCD = 120. Halle la dis-tancia entre BO

y CD.

B

A

C

OO

D

A) 1 B) 2 C) 3D) 3/2 E) 3

6. La figura mostrada representa un libro cerrado donde M y N indican las esquinas de la tapa in-ferior. Se considera P como el punto medio del borde de la tapa superior siendo 2(LN)=MN. Qu ngulo debe girar la tapa superior para que MNP sea tringulo equiltero?

L

P N

M

A) 100 B) 120 C) 90D) 95 E) 150

Geometra


10 24


7. En la figura, 5(AB)=6(AF); el ngulo entre L

y el plano ADEF mide 37. Calcule la medida del ngulo entre L

y el plano ABCD.

L

B

C

DE

FA

A) 30 B) 53 C) 45D) 37 E) 60

8. Se tienen las regiones rectangulares ABCD y ABEF que determinan un diedro de medida 120. Si AB=6 y AD=AF=3, calcule DE.

A) 3 6 B) 3 7 C) 8D) 6 E) 6 3

NIVEL INTERMEDIO

9. El cuadrado ABCD y el rectngulo ABMN estn contenidos en planos perpendiculares. Si MP=PB=BC, calcule la medida del ngulo entre AP y MD.

D

C

B

A N

MPP

A) 30 B) 45 C) 37D) 15 E) 53

10. Una hoja rectangular ABCD es doblada por la diagonal AC, lo que determina un ngulo die-dro de medida q. Si AD=a y AB=b, calcule la distancia de B al plano ADC.

A) 2

2 2

ab

a b

sen

+ B)

ab

a b

sen2 2+

C) ab

a b

sen

2 2 2+

D) 32 2

ab

a b

sen

+ E) 4

2 2

ab

a b

sen

+

11. Se tiene un cuadrante AOB (AO=OB). En AB se ubica P y se traza CP perpendicular al plano del cuadrante. Si AO=4, la distancia de P hacia OB es 3 y la medida del ngulo entre OC y el plano del cuadrante es 45, calcule la medida del diedro OB.

A) 37 B) 45 C) 53D) 127/2 E) 60

12. Los cuadrados ABCD y ADMN se ubican en pla-nos perpendiculares AB=2. Halle la distancia entre AD

y BM

.

A) 2 B) 2 2 C) 2D) 1 E) 2 2/

NIVEL AVANZADO


I. Si un plano interseca a una cara de un n-gulo diedro, entonces, necesariamente in-tersecar a la otra.

II. Si un segmento contenido en un plano tiene igual longitud con su proyeccin sobre otro plano dado, entonces dichos plano son pa-ralelos.

III. Las medidas de los ngulos entre una rec-ta contenida en el plano bisector de un die-dro y las caras de dicho diedro son iguales.

A) FFVB) FVFC) FVVD) VFVE) FFF

Geometra


1125

Anual UNI Geometra

14. En la figura, las regiones rectangulares se en-cuentran en planos perpendiculares. Si QB=BD y BN=DC, calcule x.

Q

P

A

B x

N

D

C

A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60

15. El producto entre la distancia de OS

y AD

con la longitud de AO es 12. Calcule el rea de la regin ABCD.

B

C

OOD

A S2630

A) 12 B) 18 C) 24D) 36 E) 48

Geometra


12

ngulo triedro

29

Prctica por Niveles

NIVEL BSICO


I. Un ngulo triedro es un conjunto convexo. II. La interseccin de un ngulo triedro y un

plano, secante es una regin triangular. III. Si un triedro es trirrectngulo, la medida de

sus diedros es igual a 90.

A) VVV B) VVF C) VFVD) FFV E) FVF

2. En un triedro, la medida de dos caras son 100 y 120. Halle el mximo valor entero de la ter-cera cara.

A) 100 B) 101 C) 119D) 129 E) 139

3. Halle el mximo valor entero de la medida de una de las caras de un triedro equiltero.

A) 59 B) 61 C) 119D) 121 E) 134

4. Se muestra un ngulo triedro O - ABC, OB=OA=BC=4 y OC= 10. Si G es el baricentro de la regin OBC y AG es perpendicular a dicha cara, halle x.

A) 30 B) 37

A

x

G

B

O

C

C) 45D) 53 E) 60

5. En un triedro O - ABC, mAOC=m AOB=45 y m BOC=53. Calcule la medida del diedro OB

.

A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60

6. En un triedro issceles O - ABC, m BOC=90 y la suma de medidas de las otras dos caras es igual a 120. Calcule la medida del ngulo que forma OA

con el plano que contiene a la

cara BOC.

A) 30 B) 37 C) 45D) 53 E) 60

7. En un ngulo triedro O- ABC, m AOC=37 y mAOB=53. Luego se traza un plano secante perpendicular a OA

en el punto P, y que corta a

OB

y OC

en Q y R, respectivamente. Si OP=12, halle PQ+PR.

A) 15 B) 17 C) 237D) 25 E) 30

8. En un triedro issceles O- ABC, m BOC=90, la proyeccin ortogonal de A sobre la cara OBC es P, tal que OP=3 2 , OB=7.

Halle m BPC.

A) 137 B) 147 C) 164D) 167 E) 143

NIVEL INTERMEDIO

9. Se muestra un triedro birrectngulo O - ABC, a+b=90, OM=k. Halle el rea de la regin ODL.

M

A

O 60

C

D

B

L

A) k2 B) k2 2 C) k2 3

D) k2 33

E) k2 34

Geometra


13 30


10. En un triedro trirrectngulo ABCD, AB=AD=AC=6. Halle el radio de la circunferencia inscrita en el tringulo BCD.

A) 2 B) 3 C) 2D) 6 E) 2 2

11. Se tiene un triedro trirrectngulo O- ABC, se ubican M, N y P sobre OA

, OB

y OC

, respec-tivamente, tal que MP=13, MN=15 y NP=14. Halle la distancia de O hacia PB.

A) 14 B) 2 3 C) 3 5D) 2 5 E) 15


I. Si un triedro es equiltero, la medida de sus caras es 60.

II. Si un triedro es trirrectngulo, sus caras mi-den 90.

III. Si un triedro es trirrectngulo, la medida de sus diedros es 90.

A) VVV B) FFF C) VFFD) FVV E) FFV

NIVEL AVANZADO

13. Indique la proposicin incorrecta. I. En un triedro issceles, a las caras con-

gruentes se oponen diedros congruentes. II. En un triedro equiltero, las caras pueden

ser iguales a los diedros. III. En un triedro issceles, el pie de la altura

trazada de un punto de la arista adyacente a las caras iguales hacia la cara opuesta per-tenece a la bisectriz de esta ltima cara.

A) solo I B) I y II C) solo IIID) todas E) ninguna

14. En el grfico mostrado O - ABC es un triedro, MH=1, OM= 3 y AH= 2; adems, AH es per-pendicular a la cara BOC. Calcule la medida del diedro OC

.

A

B

H15

M

O

C

A) arcos(1/3) B) 30 C) 53/2D) 37 E) 45

15. Si O- ABC es un triedro trirrectngulo, OA= 3, mOCB=60, I es el incentro del BOC cuyo inradio mide 2, halle la medida del diedro entre las regiones ABI y BOC.

A

B

C

IO

A) 30 B) 37/2 C) 37D) 45 E) 60

01 - B

02 - D

03 - C

04 - A

05 - C

06 - C

07 - B

08 - E

09 - C

10 - C

11 - D

12 - E

13 - B

14 - D

15 - B

Geometra del espacio ii

01 - E

02 - C

03 - C

04 - D

05 - D

06 - B

07 - A

08 - B

09 - A

10 - B

11 - C

12 - C

13 - E

14 - C

15 - C

Geometra del espacio iii

01 - D

02 - E

03 - C

04 - A

05 - E

06 - C

07 - D

08 - C

09 - E

10 - D

11 - C

12 - D

13 - E

14 - E

15 - D

nGulo triedro

01 - B

02 - E

03 - D

04 - E

05 - B

06 - B

07 - C

08 - E

09 - C

10 - E

11 - C

12 - C

13 - D

14 - E

15 - C

Geometra del espacio i

01 - B

02 - D

03 - E

04 - C

05 - E

06 - A

07 - A

08 - B

09 - D

10 - D

11 - E

12 - E

13 - C

14 - D

15 - C

reas de reGiones circulares

Anual UNI

geometria_2015

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