Geometria_Analitica

GEMETRÍA ANALÍTICA……………………………Mag. Edgardo Berrospi Zambrano

COORDENADAS:

1. Un cuadrado, de lado igual ha , tiene su centro en el origen y sus lados son paralelos a los ejes coordenados. Hallar las coordenadas de sus cuatro vértices.

2. Hallar el cuarto vértice de un rectángulo si los demás vértices son:

3. Un triángulo equilátero cuyo lado tiene una longitud está colocado de tal manera que el vértice está en el origen, el vértice está sobre el eje y a la derecha de , y el vértice está arriba de del eje . Hallar las coordenadas de los vértices y , y el área del triángulo.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:

4. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos: Determinar las longitudes de los catetos y después calcular el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa.

5. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos: Demostrar que el cuadrilátero es un paralelogramo y calcular su área.

6. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos: Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos.)

7. Demostrar que los puntos son los vértices de un triángulo isósceles.

8. Demostrar que los puntos son los vértices de un triángulo isósceles. Calcular su área.

9. Demostrar que los puntos: y son los vértices de un

triángulo equilátero.

10. Demostrar que los puntos son los vértices de un rombo, y calcular su área.

11. Demostrar que los puntos son colineales.

12. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto Si la abscisa del otro extremo es 6 hallar su ordenada. (Dos soluciones.)

13. Determinar la ecuación algebraica que expresa el hecho de que el punto equidista de los dos puntos

14. Calcular el área del triángulo cuyos vértices son los puntos: y .

Sugerencia: Usar la formula donde y son las longitudes

de los lados y , el semi perímetro de un triángulo.

1 de 6


DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA:

15. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos

16. Los puntos extremos de un segmento que son Hallar el punto

que divide a este segmento en dos partes tales que

17. Uno de los extremos de un segmento es el punto y su punto medio es Hallar el otro extremo.

18. Los extremos de un segmento son los puntos Hallar la razón

en que el punto divide el segmento.

19. Los puntos medios de los lados de un triángulo son: Hallar las coordenadas de los tres vértices.

20. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados sucesivos del cuadrilátero de vértices: y

21. Los vértices de un triángulo son . Si es el punto medio del lado y es el punto medio del lado demostrar que la longitud del segmento es la mitad de la longitud del lado .

22. Los vértices de un triángulo son: Hallar, para cada una de las medianas, el punto de trisección más cercano al punto medio del lado correspondiente. Demostrar que este punto es el mismo para cada una de las medianas y, por tanto, que las medianas concurren en un punto. Este punto se llama “baricentro” del triángulo.

23. En el triángulo cuyos vértices son demostrar que las

coordenadas del baricentro son:

PENDIENTE DE UNA RECTA-ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS:

24. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos

25. Los vértices de un triángulo son los puntos: Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.

26. Demostrar por medio de pendientes, que los puntos son vértices de un paralelogramo.

2 de 6


27. Una recta de pendiente 3 pasa por el punto La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada.

28. Una recta de pendiente -2 pasa por el punto y por los puntos Si la ordenada de es 3 y la abscisa de es 6, ¿cuál es la abscisa de y cuál es la ordenada de ?

29. Tres de los vértices de un paralelogramo son Si la ordenada del cuarto vértice es 6, ¿cuál es su abscisa?

30. Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos Comprobar los resultados.

31. Dos rectas se corta formando un ángulo de Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de , calcular la pendiente de la recta inicial.

32. Dos rectas se cortan formando un ángulo de La recta inicial pasa por los puntos y la recta final pasa por el punto y por el punto cuya abscisa es

Hallar la ordenada de 33. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos

empleando el seno del ángulo (sugerencia usar la fórmula: , donde

es el ángulo comprendido entre las longitudes de los lados de un triángulo)

34. Hallar la ecuación a la cual debe satisfacer cualquier punto que pertenezca a la recta que pasa por el punto y que tiene una pendiente igual a 4.

35. Demostrar que la recta que pasa por los dos puntos es perpendicular a la que pasa por los dos puntos

36. Una recta pasa por los dos puntos y otra recta pasa por el punto

y el punto cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto , sabiendo que

es perpendicular a .

37. Demostrar que los cuatro puntos son vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS GEOMÉTRICOS POR EL MÉTODO ANALÍTICO:

38. Las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales.

39. Enunciar y demostrar el teorema recíproco del anterior.

40. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

41. El segmento de recta que une los puntos medios de dos lados cualesquiera de un triángulo e paralelo al tercer lado e igual a su mitad.

3 de 6


42. El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices.

43. Los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.

44. Enunciar y demostrar el recíproco del teorema anterior.

45. Si las diagonales de un paralelogramo son iguales, la figura es un rectángulo.

46. Las medianas correspondientes a los lados iguales de un triángulo isósceles son iguales.

47. Los segmentos que unen los puntos medios de cada par de lados contiguos de un rombo forman un rectángulo.

48. Los puntos medios de dos lados opuestos de cualquier cuadrilátero y los puntos medios de las diagonales son los vértices de un paralelogramo.


50. El segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos de cualquier cuadrilátero y el que une los puntos medios de las diagonales del cuadrilátero se bisecan entre si.


52. Si son los vértices sucesivos de un paralelogramo y los puntos medios de los lados respectivamente, los segmentos trisecan a la diagonal

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN:

53. En cada una de las siguientes subpreguntas discútase la ecuación estudiando las intercepciones, simetría y extensión. Trácese la gráfica correspondiente.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k) l)

54. En cada una de las siguientes ejercicios construir la curva correspondiente a la ecuación dada.

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k)

4 de 6


ECUACIONES FACTORIZABLES:

55. En cada uno de los siguientes ejercicios, factorizar la ecuación correspondiente y trazar la gráfica.

a) b) c) d)

e) f) g)

h) i) j)

INTERSECCIÓN DE CURVAS:

56. En cada uno de los ejercicios hallar, analítica y gráficamente, los puntos de intersección, cuando los haya, para las curvas dadas.

a) b)

c) d) e)

ECUACIÓN DE UN LUGAR GEOMÉTRICO:

LA LÍNEA RECTA:

57. Hallar, en cada caso, la ecuación de la recta de pendiente m y que pasa por el punto P (Graficar).a) m = 1; P(3 , 3) b) m = -1; P(-1,-1) c) m = ½ ; P(2 , 3).d) m = 2; P(-2 , 3) e) m = -3; P(4 , 5)

58. Hallar, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados y graficar:a) A(2 , 5) ; B(3 , 1) b) A(-3,-1) ; B(2 , 3) c) A( -2 , 3) ; B(3 ,-2).d) A(2,-3) ; B(1 , 1) e) A(-2,-3) ; B(5 , 2)

59. Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de recta que une los puntos: A (3, 5) y B (-2,-3). Graficar.

60. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos en el plano, que equidistan del origen de coordenadas y el punto A (5,-3).

61. Las ecuaciones de los lados de un triángulo son: , , y . Hallar sus .

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:

62. Sea y la recta . Halla la distancia de a siguiendo los siguientes pasos:

5 de 6


1º Pendiente de 2º Ecuación de la recta que pasa por y es a 3º Coordenadas de punto de intersección de y 4º longitud del segmento

63. Sabiendo que la distancia de un punto a la recta esta dado por:

, hallar la distancia del punto a las rectas: ,

, .

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Y CONCURRENTES:

64. Hallar sabiendo que las rectas: y son .

65. Hallar sabiendo que las rectas: y son .

66. Hallar la pendiente, de inclinación, e intercepciones de la recta que pasa por y es a la recta .

67. Hallar el valor de "k" para que la recta: L1: (2 - k)x + (k + 1)y = 6 , sea paralela a la recta: L2 : 4x + 3y + 5 = 0.

68. Hallar el valor de "k" para que la recta: L1: (2 - k)x + (k + 1)y = 6 , sea perpendicular a la recta: L2 : 4x + 3y + 5 = 0.

69. Hallar las coordenadas del punto de intersección de las rectas: L1 : 3x + 5y + 6 = 0 L2 : 2x - 4y + 3 = 0.

70. Si las rectas: y pasan por , hallar y .

71. Muestre que las rectas: , , y son concurrentes.

6 de 6

Geometria_Analitica

Documents

Transcript of Geometria_Analitica