Geometría Análitica III - Pï¿½gina Web de CECyTE...

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ÍNDICE AGRADECIMIENTOS OBJETIVO GENERAL…………………………………………………………………………...14 INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICA…………………………………………...15

1. Antecedentes Históricos. 2. Sistemas de Coordenadas Cartesianas. 3. Localización de puntos en el plano. 4. Distancia entre dos puntos. 5. División de un segmento. 6. Área de un polígono.

LINEA RECTA…………………………………………………………………………………….29

1. Definición. 2. Formas de la ecuación de la línea recta (punto pendiente, simétrica, pendiente-

ordenada al origen y normal, General). 3. Grafica de una línea recta.

CIRCUNFERENCIA……………………………………………………………………………....58

1. Definición y elementos característicos. 2. Formas de la ecuación de la circunferencia (ordinaria con centro C (0,0), con

centro C (h, k) y General). ANTECEDENTES DE LAS CÓNICAS PARÁBOLA………………………………………………………………………………………..80


centro C (h, k) y General). ELIPSE……………………………………………………………………………………………100

1. Definición y elementos característicos. 2. Formas de la ecuación de la circunferencia (ordinaria con centro C (0,0), con centro

C (h, k) y General). HIPERBOLA……………………………………………………………………………………..126


centro C (h, k) y General). BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………….153

14

OBJETIVO GENERAL

El objetivo General del presente trabajo es ayudar al estudiante del tercer semestre de Geometría Analítica a comprender de qué manera se relaciona esta asignatura con su entorno, con las actividades que realiza y consigo mismo.

La Geometría Analítica, es fundamental para el estudio y desarrollo de nuevos materiales que nos facilitan la vida diaria, razón por la cual esta asignatura siempre influye en la vida de todo ser humano.

La Ecuación de la Recta, La Ecuación de la Circunferencia, La Ecuación del Elipse, La Ecuación de la Parábola y La Ecuación de la Hipérbola en sus diferentes representaciones (en el origen, fuera del origen y su forma general), son las cinco grandes temáticas en torno a las cuales se centrarán las actividades de aprendizaje en este curso.

La Geometría Analítica, estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas y resuelve los problemas geométricos por métodos algebraicos, donde las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones, en base a esto abordaremos las temáticas anteriores partiendo de esta definición.

Esperamos que la presente guía contenga el material básico para el desarrollo de este curso, bienvenidos!

15

Nombre INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA No. I Instrucciones

para el alumno

Lee detenidamente y analiza la información que a continuación se presenta. Si se presenta alguna duda aclararla con el profesor.

Saberes a

adquirir

Antecedentes Históricos Sistemas de

Coordenadas Cartesianas

Localización de puntos en el plano

Distancia entre dos puntos

División de un segmento Área de un polígono

Maneras

didácticas de lograrlo.

A través de

exposiciones y ejercicios

1.- Antecedentes Históricos

La historia de las matemáticas considera al francés René Descartes como el fundador del sistema matemático moderno y por lo tanto padre de la geometría analítica. Definición:

La geometría analítica es la parte de las matemáticas que establece una conexión entre el algebra y la geometría euclidiana, y en la cual se estudian figuras geométricas referidas a un sistema de coordenadas. 2.- Sistema de coordenadas

El sistema de coordenadas cartesianas divide un plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes según se muestra en la figura, con dos ejes graduados que se cortan perpendicularmente, el eje de las “x” llamadas también abscisas y el eje de las “y” llamadas también ordenadas.

Las coordenadas de los puntos localizados en el primer cuadrante, son positivos, en el segundo cuadrante los

Saberes

16

puntos son, su abscisa negativa y su ordenada positiva, las dos coordenadas del tercer cuadrante son negativas, en el cuarto cuadrante los puntos son, su abscisa es positiva y su ordenada es negativa. 3.- Localización de puntos en el plano

Cada punto que se localiza en un sistema de coordenadas cartesianas, tiene sus dos valores de referencia (x, y) su abscisa y su ordenada, dependiendo de su signo se determina el cuadrante en el que será localizado como se muestra en la figura superior.

Localizar el punto A (-3, 1) El primer número del par ordenado indica el desplazamiento horizontal con respecto al cero (-3). El segundo número del par ordenado indica el desplazamiento vertical con respecto al cero (1)

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INSTRUCCIONES: Localiza en un sistema de coordenadas cartesianas los siguientes puntos e indica en que cuadrante se encuentran. A (-2,3) B ( 2,-3) C (2,3) D (-2,-3) E (0,5) F (5,0) G (4,4) H (-4,4)

4.- Distancia entre dos puntos

Cada punto localizado en un sistema de coordenadas unido a otro punto, representa una ecuación con dos variables (x, y), al despajar una de las dos variables, podemos representar una recta que satisface a dicha ecuación.

4.1.- Distancia dirigida

La distancia puede ser positiva o negativa dependiendo del sentido. Pero como se toma su valor absoluto la distancia es siempre positiva. Dado los puntos P1 y P2 en la recta numérica

0-1 -2 -3 -4 -6 -5 1 2 3 4 5 6

P1 P2

18

La distancia dirigida de P1 a P2 es 9: P1P2 = 3 – (-6) = 9

La distancia dirigida de P2 a P1 es -9: P2P1 = -6- 3 =-9

Cuando no consideramos el sentido, hablamos simplemente de distancia entre los

puntos. El valor absoluto de la distancia no dirigida entre los puntos, es la distancia entre ellos.

1221 xxPP ó 2112 xxPP

La distancia entre P1 y P2 es 9: 99;99 1221 PPPP

La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas:

Horizontal Si los valores de “y”

son iguales

Vertical Si los valores de “x”

son iguales

Inclinada Cuando los valores de “x” y “y” son diferentes

12 xxd 12 yyd 212

212 )()( yyxxd

Donde: d = distancia

Distancia entre dos puntos en un plano Sean A1 (x1, y1) y B2 (x2, y2) dos puntos en el plano, así

como también el segmento de recta 21 PP

Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras:

19

22

21

221 )()( RPRPPP

Pero 122121

2

212

21 y yyRPxxRPdondePPPP

Sustituyendo los datos anteriores tenemos:

212

212

2

21 yyxxPP

Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados

212

21221 yyxxPP

Por lo tanto la distancia entre los puntos P1 y P2 está dada por:

212

21221 yyxxPPd

1.- Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 (-3,2) y P2 (5,2) Observamos que las ordenadas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula: 12 xxd

ud

d

d

xxd

88

35

)3(5

12

2.- Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 (0,5) y P2(0,-3) Observamos que las abscisas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula: 12 yyd

ud

d

d

yyd

8

8

53

12

20

3.- Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A (-3, -2) y B (2,4) Observamos que las “x” y “y” son diferentes, por lo tanto utilizamos la fórmula:

212

21221 yyxxPPd

ud

d

d

d

d

d

yyxxd

81.7

613625)6()5(

2432

)2(4)3(2

)2(4)3(2

)2(4)3(2

22

22

22

22

22

212

212

INSTRUCCIONES: Encuentra la distancia entre los pares de puntos cuyas coordenadas se indican. 1) )5,12(y )3,7(

2) )11,1(y )4,7(

3) )1,6(y )8,2(

4) )2,2(y )6,2(

21

5.- División de un segmento Coordenadas de un punto que divide un segmento en una razón dada Para determinar las coordenadas (x, y) de un punto P que divide a un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y

B (x2, y2) en la razón PB

APr , se aplica las

siguientes fórmulas:

Coordenadas

Abscisa Ordenada

rrxxx

121

rryyy

121

Cuya representación grafica se observa en la figura.

Hallar las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A y B, y encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son A (1, 1) y B

(11,6) en una razón de 3

2r

Aplicamos las fórmulas

rrxxx

121

rryyy

121

Sustituyendo los datos: x1 =1 y1 = 1, x2 =11 y2 = 6

5)5)(3(

)3(253

53

25

3

53

221

3

21

)11(32

)1(

x

x

x

3)5)(3(

)3(153

53

15

3

53

121

3

21

)6(3

2)1(

y

y

y

Por lo tanto tenemos que las coordenadas del punto P son: P(5, 3)

22

Punto medio El punto medio (Pm) es un caso particular de la división de un segmento en una razón

dada, en la cual r = 1. De acuerdo con ello, obtenemos las fórmulas para calcular el punto medio:

221 xxxm

2

21 yyym

Por lo tanto las coordenadas del punto medio son: ),( mmm yxP

Calcula las coordenadas del punto medio del segmento rectilíneo cuyos extremos son P1 (4, –2) P2 (3, 4) Aplicamos las fórmulas 2

21 xxxm

221 yy

ym

Sustituyendo los datos x1 =4 y1 = -2, x2 =3 y2 = 4

5.327

234

221

m

m

m

m

x

x

x

xxx

122

242

221

m

m

m

m

y

y

y

yyy

Por lo tanto tenemos que las coordenadas del punto medio son: )1,5.3(mP

P2(x2 ,y2)

P1(x1 ,y1)

Pm (xm ,ym)

23

INSTRUCCIONES: encuentra las coordenadas del P(x, y) que divida al segmento cuyos extremos son los puntos A y B y se encuentra a una razón r

1) A (-1,-4) y B (2,5) 3

2r

2) A (4,-3) y B (1,4) 2r 3) A (2,-5) y B (6,3)

4) A (-2,5) y B (10,-2) 3

2r

24

INSTRUCCIONES: dados los siguientes pares de puntos, encuentra las coordenadas del punto medio. 1) )9,2(),5,8(

2) )6,7(),2,3(

3) )6,9(),3,2(

4) )11,7(),15,5(

5) )7,5(),3,3(

6)

21

,43

,21

,21

6.- Área de un polígono Áreas de polígonos a partir de vértices

Es posible determinar el área de un polígono situado en un plano cartesiano aplicando un procedimiento sencillo. Éste se basa en la fórmula para hallar el área de un triángulo:

2

hbA

donde b es la base y h es la altura del triángulo.

25

El área de un polígono es igual a la suma de las áreas de los triángulos en que se descompone, sin traslapes. Área de un triángulo

Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), los vértices de un triángulo cualquiera, entonces su área se determina mediante la siguiente fórmula:

área del triangulo Donde : A =

Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3),… Pn(xn,yn) los vértices de un polígono cualquiera, entonces su área se determina mediante la siguiente fórmula la cual consiste en construir una arreglo vertical que contiene las coordenadas de los vértices del polígono en el siguiente orden:

11

33

22

11

..

..

..

21

yx

yx

yx

yx

yx

A

nn

1

1

1

21

33

22

11

yx

yx

yx

A

26

Aéreas de polígonos a partir de vértices Ejemplo:

1.- Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A (0,0), B (5,6), C (7,2)

Se escribe el arreglo formado por tres hileras y dos columnas, debajo de la tercera hilera colocamos nuevamente el primer renglón:

Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los que pasa cada una de las diagonales:

10

0100

)0)(7()2)(5()6)(0(


42

0420

)2)(0()6)(7()0)(5(

El valor del determinante es la resta de : 10 – 42 = - 32

Por lo tanto el área del triángulo es: 2

32)32(

2

132

2

1A 216uA

00

27

65

00

21

A

00

27

65

00

21

A

00

27

65

00

2

1A

27

Ejemplo: Calculo del área de una región de coordenadas (-6, 16), (16, 6), (-10, -4), (12, 12) y (20,-8)

Se escribe el arreglo formado por cinco hileras y dos columnas, debajo de la quinta hilera colocamos nuevamente el primer renglón

616

820

410

166

1212

616

21

A


608

1208024192192

)6)(20()8)(10()4)(6()16)(12()12)(16(

616

820

410

166

1212

616

21

A


368

128801607272

)8)(16()4)(20()16)(10()12)(6()6)(12(

616

820

410

166

1212

616

21

A

El valor del determinante es la resta de : 608 - ( - 368 ) = 976

Por lo tanto el área del triángulo es 2

976)976(

21

97621

A 2488uA

28

Ejercicios:

1) A(-1,1), B(3,4), C(5,-1) 2) A(0,4), B(8,0), C(-1,-4) 3) A(1,-6), B(6,1), C(-2,5) 4) A(0,3), B(8,-1), C(0,-7)

29

Nombre LINEA RECTA No. II Instrucciones

para el alumno


Saberes a

adquirir

Conceptos de la línea recta Pendiente e inclinación de

una recta Formas de la ecuación de la

recta Análisis del comportamiento

de dos rectas Distancia de un punto a una

recta. Distancia entre rectas

paralelas Angulo entre rectas

Maneras


A través de

exposiciones y resolución de

ejercicios

Antes de iniciar con el tema, debemos recordar:

¿Qué es pendiente?

Funciones trigonométricas

Identidades trigonométricas

esde el punto de vista analítico, la ecuación de una recta y

su gráfica sirven para modelar situaciones de variada

naturaleza, donde la tasa de crecimiento o decrecimiento es

constante como: pagos de impuestos, alargamiento de

materiales, costos de productos, interés simple de un capital,

ingresos económicos, conversión de escalas de temperatura, etc.

D

Saberes

30

El uso de estos modelos lineales en la vida es muy extenso. Es importante por esta razón

conocer las diversas definiciones de la línea recta, entre ellas se encuentran:

Geométricamente

Se define como la distancia más corta entre dos puntos

Analíticamente

Es una ecuación de primer grado con dos variables.

Gráficamente

Es el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 ),( 11 yx y P2 ),( 22 yx del lugar geométrico, el valor de la pendiente m es siempre constante

Características de la recta

La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.

La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, (geometría euclidiana).

La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA

La pendiente ( m ) de una recta “ L ” se define como la razón que existe en la variación de ordenadas (eje y) entre la variación de abscisas (eje x).

La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación lineal y = 2x – 4, en ella se puede observar que el valor de y aumenta en 2 unidades cada vez que el valor de x aumenta una unidad, La razón de cambio de y entre el

cambio correspondiente de x es 21

2 .

A esta razón se le llama pendiente de la recta y se define como sigue:

Si dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) están en una recta “L” , la pendiente m de la recta,

31

se define como: xx

yym

12

12

donde x2 x1

Nótese que, en la definición x2 - x1 no puede ser cero; esto es, x2 x1.

También se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de un ángulo de inclinación.

Θm tan

La pendiente de una recta no vertical es un numero

que mide que tan inclinada esta la recta y hacia donde

esta inclinada. La recta de la figura por cada 3

unidades que avanza hacia la derecha, sube 4

unidades, decimos que la pendiente de la recta es 4

3.

Si la pendiente de la recta es:

Positiva; la recta se eleva de izquierda a derecha.

m > 0

900 Θ

32

Negativa; la recta baja de izquierda a derecha.

m < 0

18090 Θ

Cero; la recta es horizontal.

m = 0 0Θ

Indefinida; la recta es vertical.

m = ∞

90Θ

0bservaciones:

La pendiente es positiva cuando la recta esta inclinada hacia la derecha.

La pendiente es cero cuando la recta es horizontal.

La pendiente es negativa cuando la recta esta inclinada hacia la izquierda.

Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta esta mas inclinada.

Una recta vertical no tiene pendiente.

Valor del ángulo de inclinación:

33

A partir de la ecuación Θm tan , despejando para el ángulo de inclinación de una recta tenemos:

(m)Θ 1tan

Como obtener la pendiente de una recta Ejemplo 1 Encuentra y grafica la pendiente de la recta determinada por los siguientes pares de

puntos:

a) A (-4, -1) y B (5, 2), Si P1( x1, y1) = (-4, -1) y P2( x2, y2) = (5, 2), entonces tenemos:

333.093

4512

)4(5)1(2

12

12

xx

yym

34

b) A (3, -6) y B (-2, 5) , Si P1( x1, y1) = (3, -6) y P2( x2, y2) = (-2, 5), entonces tenemos:

c) A(3, -1) y B(-2, -1) Si P1( x1, y1) = (3, -1) y P2( x2, y2) = (-2, -1), entonces tenemos :

d) A(4, -4) y B(4, 5) Si P1( x1, y1) = (4, -4) y P2( x2, y2) = (4, 5) entonces tenemos :

2.25

11565

)3(2)6(5

12

12

xx

yym

05

05

11)3(2)1(1

12

12

xx

yym

0

140

95)4(4)4(5

12

12

xx

yym

35

Ejemplo 2 Calcule la pendiente, dado el ángulo de inclinación a) Θ=125°

421125tantan .)( Θm

b) Θ=67.83°

4528367tantan .).( Θm

Ejemplo 3 Dada la pendiente, encuentre el ángulo de inclinación.

2m

43.632tantan 11 -)(-(m)Θ Como la pendiente es negativa entonces el ángulo de inclinación es:

57.11643.63180

2m

43632tantan 11 . )((m)Θ Como la pendiente es positiva el ángulo de inclinación es: 43.63

0m

00tantan 11 )((m)Θ Como la pendiente es cero entonces el ángulo de inclinación es:

0

3

5m

03.59

3

5tantan 11 -(m)Θ

Como la pendiente es negativa entonces el ángulo de inclinación es:

97.12003.59180

36

Obteniendo la pendiente de la recta Ejercicios INSTRUCCIONES.- Encuentra y grafica: la pendiente de la recta que pasa por los

siguientes pares de puntos: 1) )3,2(),4,6( BA

2) )2,1(),0,3( BA

3) )4,3(),3,3( BA

4) )1,2(),2,3( BA

Ejercicios INSTRUCCIONES.- Dado el ángulo de inclinación de una recta encuentra su pendiente:

1) 56.168

2) 95.25 3) 7.135

4) 7.178

5) 43.63 6) 8.16

37

Ejercicios INSTRUCCIONES.- Dada la pendiente de una recta encuentra su ángulo de

inclinación: 1) 3m

2) 1m 3) 0m

4) 45m

5) 37m 6)

21m

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Encuentra la pendiente ( m ) y su ángulo de ángulo de inclinación

( ) de las rectas que pasan por los siguientes puntos: 1) )1,11(),9,3( BA

2) )6,4(),2,12( BA

3) )5,3(),4,6( BA

4) )2,10(),4,6( BA

5) )23,7(),3,2( BA

6) )6,1(),4,1( BA

7) )1,2(),5,8( BA

8) )1,7(),7,2( BA

38

FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA La ecuación de la línea recta se puede presentar de distintas maneras, destacando en cada caso alguna característica del lugar geométrico.

Pendiente-ordenada

Punto – pendiente

General

Simétrica

bmxy

)xm(xyy 11

0 CByAx

1by

ax

m es la pendiente y b es la ordenada.

),( 11 yx son las

coordenadas de cualquier punto de la recta dada y m es la pendiente

Los coeficientes A, B y C son números reales cualesquiera, con la condición de que A ó B debe ser diferente de cero y C puede o no puede ser igual a cero.

a = abscisa al origen

b = ordenada al origen

Formas de la ecuación de la recta

Ejemplo 1 Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente

)xm(xyy 11 pendiente-ordenada bmxy , y general 0 CByAx que pasa por los puntos A (-2,3) y B (5,-2)

39

Solución:

Primero hay que encontrar la pendiente 7

5

)2(5

32

m

Para la forma punto-pendiente )xm(xyy 11 necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa.

Si tenemos que 7

5m y tomamos el punto A (-2,3), se sustituyen en la ecuación:

)xm(xyy 11 )2(

7

53

))2((7

53

xy

xy

Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma punto – pendiente )2(7

53 xy

Para la forma pendiente- ordenada y = mx + b Tenemos que encontrar el valor de b, para ello, sustituimos el valor de m y uno de los puntos A o B en la ecuación de la forma pendiente ordenada, una vez obtenido, se acomodan los valores de acuerdo a la forma de la ecuación.

mxyb

bmxy

Sustituyendo (5, -2)

)5(

7

52b

7

252 b

7

2514 b

7

11b

Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma pendiente – ordenada 7

11

7

5 xy

Para la forma general 0CByAx De la forma pendiente-ordenada despejamos la ecuación a la izquierda e igualamos a cero

07

11

7

57

11

7

5

yx

xy

40

Multiplicamos todo por el mínimo común denominador (mcd) 7 tenemos que:

01175

0)7(7

11)7()7(

7

5)7(

yx

yx

Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma general 01175 yx

Ejemplo 2 Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente, pendiente-ordenada, y general, que pasa por los puntos A (4,3) y B (-2,6) Solución:

Primero hay que encontrar la pendiente 2

1

6

3

42

36

12

12

xx

yym

Para la forma punto-pendiente

)xm(xyy 11 necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pasa.

Si tenemos que 2

1m y tomamos el punto A (4,3), se sustituyen en la ecuación:

)xm(xyy 11 )4(2

13 xy

Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma punto – pendiente )4(2

13 xy

Para la forma pendiente- ordenada y = mx + b Tenemos que encontrar el valor de b, para ello, sustituimos el valor de m y uno de los puntos A o B en la ecuación de la forma pendiente ordenada, una vez obtenido, se acomodan los valores de acuerdo a la forma de la ecuación.

mxyb

bmxy

Sustituyendo (-2, 6)

)2(

2

16b 16b 5b

41

Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma pendiente – ordenada 52

1 xy

Para la forma general 0CByAx De la forma pendiente-ordenada despejamos la ecuación a la izquierda e igualamos a cero

052

1

52

1

yx

xy

Multiplicamos todo por el mínimo común denominador (mcd) 2 tenemos que:

0102

0)2(5)2()2(2

1)2(

yx

yx

Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma general 0102 yx

42

Obteniendo la pendiente de la recta

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente

)xm(xyy 11 , pendiente- ordenada y = mx +b, y en general 0 CByAx que pasa por los pares de puntos dados.

1) )1,4(),5,2( BA 2) )11,6(),7,4( BA 3) )6,4(),1,1( BA 4) )2,6(),7,10( BA

43

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Escribe la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada dada por la pendiente ( m ) y con intersección en “ y ” ( b ) 1) 43 ,bm

2) 07 ,bm

3) 38 ,bm

4) 81 ,bm

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente y general que pasa por el punto A y que tiene pendiente m. 1) 532 m),,A(

2) 715 m),,A(-

3) 234 -m),,-A(

4) 23

36 m),,-A(-

5) 21

52 -m),,A(-

6) 34

26 m),,A(-

44

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Encuentra la pendiente (m) y la ordenada (b) de las siguientes rectas. 1) 65 xy

2) 52 x-y

3) 7 xy

4) 453 xy

5) 832 x-y

6) 32 -yx

45

ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE DOS RECTAS Sean las rectas:

L1 de ecuación

11 bxmy

L2 de ecuación

22 bxmy

Entonces las posiciones relativas que se pueden dar entre ambas rectas son las siguientes:

- Paralelismo: dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.

2121 mm LL

y bb 21

- Perpendicularidad: dos rectas son perpendiculares entre si, si y sólo si, sus pendientes son inversas y de signos contrarios.

2121

1m

m LL

y bb 21 ,

46

- Coincidencia: dos rectas coinciden entre sí si y sólo si sus pendientes son iguales.

2121 mm LL

y bb 21

- Intersección: Dos rectas se pueden cortar en uno y solamente un punto, si y sólo si, no son paralelas entre sí.

2121 mm LL

47

Análisis del comportamiento de dos rectas Ejemplo 1 La ecuación de una recta es 02045 yx . Encuentra la ecuación de la recta paralela que pasa por el punto (2, 3). Recta L1 02045 yx Despejamos la recta para encontrar su pendiente:

54

54

20

4

5

2054

02045

xy

xy

xy

yx

Por lo tanto su pendiente es 4

51 m

Por la condición de paralelismo:

2

21

4

5m

mm

Se sustituyen los datos en la ecuación : )xm(xyy 11

Donde 4

532 11 myx

0245

0101245

105124

)2(5)3(4

)2(4

53

)2(4

5)3(

yx

yx

xy

xy

xy

)(xy

Multiplicamos todo el resultado por -1

0245

)0245(1

yx

yx

48

Por lo tanto la recta que pasa por el punto (2,3) y es paralela a la recta

02045 yx es: 0245 yx

Ejemplo 2 Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,3) y es perpendicular 01223 yx . Recta L1 01223 yx Despejamos la recta para encontrar su pendiente:

62

32

12

2

3

1232

01223

xy

xy

xy

yx

Por lo tanto su pendiente es 3

21 m

Por la condición de perpendicularidad:

2

31

3

2

1

22

21

mdespejamosm

mm

Se sustituyen los datos en la ecuación : )xm(xyy 11

Donde 2

330 11 myx

0623

362

)(3)3(2

)0(2

33

)0(2

3)3(

yx

xy

xy

xy

)(xy

49

Multiplicamos todo el resultado por -1

0623

)0623(1

yx

yx

Por lo tanto la recta que pasa por el punto (0,3) y es paralela a la recta 01223 yx es: 0623 yx

Encontrando la ecuación de la recta

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por un punto (x, y) y

considera su paralelismo o perpendicularidad según señale. 1) 5474 x recta yalela a la) y es par, punto ( 2) 0152654 y-x- recta alela a la) y es par, punto (- 3) 0205223 yx recta alela a la) y es par,- punto (

50

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA La distancia de un punto ),( 11 yxP desde la recta 0 CByAx , se determina al sustituir las coordenadas de dicho punto en la ecuación de la recta en su forma general, por lo que su valor se obtiene por la ecuación:

22

11

BA

CByAxd

Donde:

A , B y C son los coeficientes de la ecuación de la recta

(x1,y1) son las coordenadas del punto

Encontrar la distancia de un punto a una recta Ejemplo 1 Para el punto P (1,2) y la recta 02143 yx determina la distancia:

02143 yx Sustituimos los valores: x1 = 1, y1 = 2, A = 3, B = 4 y C = -21

22 )4()3(

)21()2)(4()1(3

d

Se realizan las operaciones correspondientes

5

10

25

10

169

2183

d

Por lo tanto la distancia del punto a la recta es: d = 2

51

Encontrando la distancia de un punto a una recta

EJERCICIO 2-10 INSTRUCCIONES.- Encuentra la distancia de la recta al punto indicados 1) ),-( al punto yx 260443 2) ),-( al punto yx 6406512 3) ),-( al punto yx 520534 4) ),-(- al punto yx 1201243

52

DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS La distancia entre rectas paralelas se puede obtener a partir de la distancia de cada recta al origen, obtenemos d1 y d2 por lo que su suma ( 21 ddd ) nos permitirá conocer la distancia comprendida entre las rectas.

53

Ejemplo 1 Determina la distancia comprendida entre las rectas paralelas:

0124302486 yxyyx

Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:

22

11

BA

CByAxd

Sustituyendo los valores en la formula para determinar la distancia de la recta

01243 yx al origen (0,0)

5

1225

12

169

12

)4()3(

12)0(4)0(3

1

22

d

d

d

Sustituyendo los valores en la formula para determinar la distancia de la recta

02486 yx al origen (0,0)

5

12

10

24

100

24

6436

24

)8()6(

24)0(8)0(6

2

22

d

d

d

Sustituimos los valores en 21 ddd

5

24

5

12

5

12d

Por lo tanto la distancia entre las rectas es:

5

24d

Distancia entre rectas paralelas

54

Encontrando la distancia entre rectas paralelas

EJERCICIO 2-11 INSTRUCCIONES.- Determina la distancia entre las rectas paralelas dadas a

continuación: 1) 09 yx 03 yx

2) 015 yx 075 yx

3) 019512 yx 059512 yx

4) 02868 yx 02534 yx

55

2.6 ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS En nuestro estudio de la recta, los ángulos están directamente relacionados, ya que, precisamente, los lados del ángulo son líneas rectas. El ángulo que se forma en la intersección de un par de rectas se puede calcular en función de sus pendientes. La relación para obtener el valor del ángulo θ entre dos rectas esta dada por:

21

12

1tan

mm

mm

Para aplicar esta relación se debe determinar cuál es la pendiente m1 y cuál m2. Para ello se debe seguir las indicaciones siguientes:

Si las dos pendientes son positivas, m2 es la mayor y m1 la menor.

Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m2 es la pendiente negativa y m1 la positiva.

Cuando las dos pendientes son negativas, m2 tiene mayor valor absoluto.

56

Ángulo entre dos rectas

Ejemplo 1 Determina el valor del ángulo que forman las rectas 063 yx con

0432 yx Expresamos las ecuaciones de las rectas en su forma pendiente-ordenada bmxy

3

63

063

m

xy

yx

3

2

3

4

3

23

4

3

2

423

0432

mxy

xy

xy

yx

Determinamos cuál es m1 y cuál m2 como una es negativa y la otra positiva por lo tanto

3

23 12 mm

Sustituimos en la fórmula 21

12

1tan

mm

mm

666.33

11

1311

213

29

32

)3(1

32

3tan

Obtenemos el valor de ángulo de:

74

666.3tan 1

57

Encontrando el ángulo entre dos rectas

EJERCICIO 2-12 INSTRUCCIONES.- Determina el ángulo que forman las rectas dadas: 1) 0723 yx 042 yx

2) 01535 yx 044 yx

3) 01052 yx 0124 yx

4) 0243 yx 0635 yx

58

Nombre CIRCUNFERENCIA No. III Instrucciones

para el alumno


Saberes a

adquirir

Concepto de la circunferencia Ecuación cartesiana de la

circunferencia de centro en el origen y radio.

Ecuación cartesiana de una circunferencia de centro en uno de los ejes de coordenadas y radio.

Ecuación cartesiana de la circunferencia, cuando el centro es un punto cualquiera del plano.

Circunferencia determinada por tres condiciones.

Maneras


A través de

exposiciones y resolución de ejercicios

Geométricamente: es el lugar geométrico del punto ) ,( yxP que se mueve en un plano

de tal manera que siempre equidista de un punto fijo ) ,( khC del mismo plano. Al punto fijo ) ,( khC se le llama centro de la circunferencia y a la longitud constante del

segmento PC se le denomina radio.

Saberes

59

Ecuación cartesiana de la circunferencia de centro en el origen y radio.

Aplicando el método de los lugares geométricos, tendremos:

1. Sea P (x, y) un punto cualquiera de la circunferencia.

2. La condición que establece que P es de la circunferencia es:

OP = r

3. Traduciendo analíticamente (formula de la distancia entre dos puntos):

222 ryx

4. Transformando:

222 ryx (A)

Que es la ecuación cartesiana de la circunferencia de centro el origen y radio r.

1. La ecuación de 1a circunferencia de centro el origen y radio 4 es:

1622 yx

2. La ecuación x² + y² = 25, representa una circunferencia de centro el origen y radio r

1625 r Ecuación cartesiana de una circunferencia de centro en uno de los ejes de coordenadas y radio. a) Primer caso. El centro está en el eje de las x. Si llamamos h a la abscisa del centro, sus coordenadas serán (h , 0). Si P (x, y) es un punto cualquiera de la circunferencia (fig.2), tendremos: CP = r. Traduciendo analíticamente:

222)( ryhx por lo tanto…

222)( ryhx (B)

Que es la ecuación de la circunferencia de centro en un punto del eje x y radio r.

60

Ejemplos. 1. La ecuación de la circunferencia de centro C(4,0) y radio 3 es: (x-4)² + y² = 9 .'. x² + y² -8x + 7 = 0 2. La ecuación (x -3)² + y² = 16 representa una circunferencia de centro C(3, 0) y radio r=4. 3. La ecuación (x + 5)² + y² = 2, representa una circunferencia de centro C(-5, 0) y radio

2r . b) Segundo caso: El centro está en el eje de las y. Si llamamos k a la ordenada del centro, sus coordenadasson de la forma C (0, k). Procediendo análogamente al caso anterior se obtiene la ecuación:

222 )( rkyx (C) 1. La ecuación de la circunferencia de centro C (0, -4) y radio 5 es: x² + (y+4)² = 25 x²+ y²+8y -9 = 0. 2. La ecuación x2 + (y -1)2 = 7, representa una circunferencia de centro C (0,1) y radio 7. Ecuación cartesiana de la circunferencia, cuando el centro es un punto cualquiera del plano.

Fig. 3 Forma orinaría de la ecuación de la circunferencia.

Sea C (h , k) el centro, r el radio y P (x , y) un punto cualquiera de la circunferencia figura 3 por definición: CP = r. O sea, analíticamente:

22 )()( kyhxrCP

o bien, se elevan al cuadrado ambos miembros de la igualdad.

222 )()( rkyhx (D)

61

Que es la ecuación cartesiana de una circunferencia de radio r y centro en un punto cualquiera C (h, k) del plano. La ecuación (D) que comprende como pasos particulares a las ecuaciones (A), (B), y (C) se conoce como Forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Ejemplos.

1. La ecuación 25)3()2( 22 yx representa una circunferencia de radio, r = 5 y centro C(2,3). 2. La ecuación de la circunferencia de centro C (-4, 2) y radio 4 es:

16)2()4( 22 yx . 3. Hallar 1a ecuación de la circunferencia que tiene como centro C (-2, -3) y pasa por el punto A (2,4.). El radio será la distancia

22 )43()22( rCA

y aplicando la ecuación (D):

65)3()2( 22 yx Condiciones para que una ecuación de segundo grado con dos variables represente una circunferencia. Forma general de la circunferencia. La ecuación general de segundo grado con dos variables es de la forma:

022 FEyDxCyBxyAx (1) y la ecuación de una circunferencia de centro (h , k) y radio r es:

222 )()( rkyhx (2) Y desarrollando:

022 22222 rkhkyhxyx Para que la ecuación (1) represente una circunferencia, sus coeficientes y los de la (2) de los términos del mismo grado deben ser proporcionales. Como la ecuación (2) carece de término xy, resulta: B = 0. (3) Además, tendremos:

2222211 rkh

F

k

E

h

DCA

(4)

Luego: A = C ≠ 0 para que la ecuación sea de segundo grado (5) De las igualdades (3) y (5) resulta que, para que una ecuación de segundo grado con dos variables represente una circunferencia es necesario: 1. Que no tenga término en xy 2. Que los coeficientes de x2 y y2 sean iguales y del mismo signo. Si una circunferencia viene dada por una ecuación de la forma:

62

022 FEyDxAyAx … se dice que viene dada en su forma general. Ejemplos. Las ecuaciones: 1. x² + y² + 3x + 2y – 4 = 0; 2. 2x² + 2y² + x + 4x + 1= 0; 3. 3x² + 3y² - x + y + 10 = 0; 4. -4x² -4y² + 5x + y – 3 = 0, Representan circunferencias dadas en su forma general. Dada la ecuación de una circunferencia en su forma general, hallar su centro y radio. El problema puede resolverse de dos maneras… Primera manera: Convirtiendo la ecuación dada a la forma ordinaria, por el método de completar cuadrados. El centro es C (h, k) y el radio es r.

222 )()( rkyhx

Segunda manera: A partir de la serie de razones iguales (4) del artículo anterior, tomando como incógnitas h, k y r. Ejemplos: 1. Hallar el centro y el radio de la circunferencia: x² + y² + 4x + 6y + 9 = 0. Primer método. Completando cuadrados se tiene: x² + 4x + 4 + y² + 6y + 9 = -9 + 4 + 9 (x + 2) ² - (y + 3) ² = 4

h = -2, k = -3, r = 4 = 2. C (- 2, -3), r = 2.

Segundo método. En este caso: A = C = 1, D = 4, E = 6, F = 9. De (4) resulta:

222

9

2

6

2

41

rkhkh

2,1,3,2222

rrkh

FKh

El centro es C (- 2, -3) y el radio r = 2.

63

2. Hallar el centro y el radio de la circunferencia:

x² + y² -4x -2y – 4 = 0. Primer método. Completando cuadrados, resulta:

x² -4x + 4 + y² -2y + 1 = 4 + 4 + 1 (x-2) ² + (y-1) ² = 9 C (2, 1), r =3.

Segundo método. Se tiene: A = C == 1, D = -4, E = -2, F = -4 De (4) resulta:

222

4

2

2

2

41

rkhkh

h= - 2, k= 4, r= 3, C(2,1) y r=3

Nota: Si el coeficiente de x² y y² no es la unidad, antes de completar cuadrados se divide toda la ecuación por dicho coeficiente.

Ejemplo. Hallar el centro y el radio de la circunferencia:

4x² + 4y²- 4x + 16y - 19 = 0 Primer método. Dividiendo toda la ecuación entre 4, queda: X² + y² - x + 4y – 19 / 4 = 0 Completando cuadrados:

944

1

4

1944

4

1 22 yyxx

9)2(2

1 22

yx

222

4

2

2

2

41

rkhkh

3,2,2

1

rC

Segundo método. En este caso: A = C = 4, D = - 4, E = 16, F = -19 De (4) resulta:

222

19

2

16

2

44

rkhkh

3)2,2

1(,3,2,

2

1 rycrkh

64

Nota. El procedimiento general para determinar el centro y el radio por el método de completar cuadrados es el siguiente: La ecuación general de una circunferencia es:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0 (Si A = C ≠ 1, se divide toda la ecuación entre A). Completando cuadrados, se tiene:

4444

2222

22 ED

FE

EyyD

Dxx

4

4

22

2222FEDE

yD

x

,4

4,

2,

2

222 FED

rE

kD

h

luego el centro es:

2,

2

EDC y el radio…

2

422 FEDr

Para que exista circunferencia, el radio debe ser un número real positivo, luego:

D² + E²- 4F > 0.

Si D² + E² - 4F = 0, la circunferencia se reduce a un solo punto.

Si D² + E² - 4F < 0, el radio es imaginario y no existe circunferencia real. Ejemplos:

1. La ecuación x² + y² + 6x -2y + 6 = 0 representa una circunferencia real. En efecto: D = 6, E = - 2, F = 6

D² + E²- 4F = 36 + 4 – 24 = 16 > 0 Calculando sus elementos se encuentra: C (- 3, 1) r = 2.

2. La ecuación x² + y² -4x + 2y + 5 = 0 representa una circunferencia que se reduce a un solo punto. En efecto: D = -4, E = 2, F = 5,

D² + E² -4F = 16 + 4 - 20 = 0 Hallando sus elementos el punto es C (2, -1) y el radio cero

3. La ecuación: x² + y² - 6x -2y + 14 = 0 representa una circunferencia de radio imaginario. En efecto: D = -6, E = -2, F = 14.

D² + E² - 4F = 36 + 4- 56 = -16 < 0

Calculando sus elementos resulta C (3, 1) y 4r (imaginario).

65

Hallar las ecuaciones de las siguientes circunferencias: 1. Centro (0, 0) y radio 3 2. Centro (2, -3) y radio 5 3. Centro (3, -1/2) y radio 3 4. Centro (- 1/2, 4) y radio 3/2 5. Centro (-2/3, -1/2) y radio 2/3

66

Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias: 1. x2 + y2 = 4 2. x2 + y2 = 4/9 3. (x-3)2+ (y-2)2=4 4. (x +3)2 + (y + 2)2 = 4 5. (x + 3)2 + (y -2)2 = 27/3

67

Circunferencia determinada por tres condiciones. Como la ecuación de una circunferencia, en su forma general: x² + y² + Dx + Ey + F = 0 o en la forma ordinaria, (x -h) ²+ (y -k) ²= r² tiene tres parámetros (D, E, F) 0 (h, k, r); se necesitan tres condiciones para

determinarlos.

Para hallar la ecuación de una circunferencia que cumple tres condiciones dadas

(independientes) se expresaran estas analíticamente. Cada condición se traduce en una

ecuación entre las coordenadas del centro, el radio y los datos, o bien, entre los

coeficientes de la forma general y los datos.

Se llega finalmente a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que permite

calcular los parámetros.

En algunos problemas es conveniente encontrar gráficamente el centro y el radio y

expresar analíticamente las construcciones utilizadas.

Hay un sin número de condiciones geométricas que determinan una circunferencia,

mencionaremos los siguientes cuatro casos:

CASO I

Determinar la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria dado el centro C (h, k) y el radio (r).

Debemos de partir siempre de la ecuación de la circunferencia escrita en su forma ordinaria y se deben de sustituir los valores de h, de k y de r, veamos los siguientes ejemplos:

1) 6)0,0( radioC Solución: Del centro conocemos que h = 0 y k = 0, también que r = 6 Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:

: n Ecuacióyx

)()(y)(x-

rk)(y(x-h)

36

60022

222

222

2) 8)0,0( radioC

68

Solución: Del centro conocemos que h = 0 y k = 0, también que r = 8 Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:

n Ecuacióyx

)()(y)(x-

rk)(y(x-h)

64

80022

222

222

3) 5)1,3( radioC Solución: Del centro conocemos que h = 3 y k = -1, también que r = 5 Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda: :

n Ecuació)(y)(x-

)())((y)(x-

rk)(y(x-h)

2513

51322

222

222

INSTRUCCIONES Encuentra las ecuaciones ordinarias de las siguientes circunferencias con la información proporcionada

1) 7)3,2( radioC

69

2) 4)2,3( radioC 3) 6)5,6( radioC

CASO II Determinar el radio y la ecuación de la circunferencia en forma

ordinaria, dado el centro y un punto de la misma.

1) )4,3()0,0( PpuntoelporpasayC Solución: Del Centro conocemos que h = 0 y k = 0 y del Punto que x = 3 , y = 4 Sustituimos primero estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio

:

rdondeder

r

r)()(

r)() - (

rk)(y(x-h)

52525

169

43

0403

2

2

222

222

222

Del Centro tenemos que h = 0 y k =0, también tenemos que r = 5 Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:

n Ecuacióyx

)())(y)(x-

rk)(y(x-h)

25

50022

222

222

2) )2,6()2,4( PpuntoelporpasayC Solución: Del Centro conocemos que h = 4 y k = -2 y del Punto que x = 6 , y = 2

70

Sustituimos primero estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio

2020

164

42

2246

2

2

222

222

222

rdondeder

r

r)()(

r))(() - (

rk)(y(x-h)

Del Centro conocemos que h = 4 y k = -2, también que 20r

Sustituyendo estos valores en la forma ordinaria nos queda:

n Ecuació)(y)(x-

)())((y)(x-

rk)(y(x-h)

2024

cuadradoelconeliminasecuadradaraizladonde202422

222

222

Ejercicios:

INSTRUCCIONES Encuentra las ecuaciones ordinarias de las siguientes circunferencias con la información proporcionada

1) ),P(puntoelporpasay),C( 91075

2) )3,1()1,4( PpuntoelporpasayC

71

3) )9,4()6,3( PpuntoelporpasayC

CASO III

Determinar el centro, el radio y la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria dado los puntos A y B como extremos de su diámetro.

1) )3,10()7,4( ByA Solución: Primero determinamos las coordenadas del centro aplicando la fórmula del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son los puntos A y B:

22

4

2

)3(7

2

32

6

2

104

2

BAm

BAm

yyyk

xxxh

Por lo tanto las coordenadas del centro son C (3,2).

Se elige un punto cualquiera de los dos , en este caso tomamos A(-4,7) del cual tenemos x = -4, y = 7 Después, sustituimos estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio

:

7474

22549

22527

2227234

2

222

rdondeder

r

r)()(-

r)()-( -

rk)(y(x-h)

Y por último, del Centro tenemos que h = 3 y k = 2, también tenemos que 74r

72


n Ecuació)(y)(x-

)())(y)(x-

rk)(y(x-h)

7423


222

222

2) )1,5()5,1( ByA Solución: Primero determinamos las coordenadas del centro aplicando la fórmula del punto medio del segmento de recta cuyos extremos son los puntos A y B:

22

4

2

)1(5

2

32

6

2

)5(1

2

BAm

BAm

yyyk

xxxh

Por lo tanto las coordenadas del centro son C (-3,2).

Se elige un punto cualquiera de los dos , en este caso tomamos A(-1,5) del cual tenemos x = -1, y = 5 Después, sustituimos estos valores en la forma ordinaria, para determinar el valor del radio

rdondeder

r

r)()(-

r)())-(-( -

rk)(y(x-h)

1313

94

331

2531

2

2

222

222

222

Y por último, del Centro tenemos que h = -3 y k = 2, también tenemos que 13r

73


n Ecuació)(y)(x

)())(y))(x-(-

rk)(y(x-h)

1323


222

222

Ejercicios:

INSTRUCCIONES Encuentra las ecuaciones ordinarias de las siguientes circunferencias con los dos puntos dados como extremos de un diámetro

1) )4,2()2,6( ByA

2) )3,1()5,7( ByA 3) )3,7()5,3( ByA

CASO IV Dados tres puntos por donde pasa la circunferencia

Encuentra la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria que pasa por los tres puntos siguientes.

74

1) ),) y C(,),B(-,-A( 221524 Si conocemos las coordenadas de 3 puntos por donde pasa la circunferencia, debemos de partir de la ecuación de la circunferencia escrita en su forma general

022 FEyDxyx y sustituir cada uno de los puntos en ella, para obtener 3 ecuaciones con 3 incógnitas, esto es:

)2 ,4( A )1 ,5(B 0)2()4()2()4( 22 FED 0)1()5()1()5( 22 FED

024416 FED 05125 FED02420 FED 0526 FED

2024 FED ECUACION 1 265 FED ECUACION 2

)2 ,2(C

0)2()2()2()2( 22 FED

02244 FED 0228 FED 822 FED ECUACION 3

Para resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas (D, E y F):

2024 FED Ec. 1

265 FED Ec. 2

822 FED Ec. 3 Se emplea cualquier método descrito anteriormente en el curso de algebra. Si resolvemos por el método de eliminación (suma y resta), seguimos los siguientes pasos:

I. Resolver el sistema de ecuaciones Ec. 1 y Ec. 2

2024 FED Ec. 1 265 FED Ec. 2

Si la ecuación 1 se multiplica por 5 y la ecuación 2 se multiplica por 4 las ecuaciones resultantes son:

10051020 FED Ec. 1 1044420 FED Ec. 2

De las ecuaciones anteriores se elimina la variable D y obtenemos la expresión

75

20496 FE si multiplicamos toda la ecuación por -1 nos queda 20496 FE , la cual llamaremos Ecuación 4

II. Resolver el sistema de ecuaciones Ec. 2 y Ec. 3 265 FED Ec. 2 822 FED Ec. 3

En las ecuaciones 2 y 3 hay que eliminar la misma variable que se elimino en el paso uno, en este caso la D. La ecuación 2 se multiplica por 2 y la ecuación 3 se multiplica por 5 las ecuaciones resultantes son:

522210 FED Ec. 2 4051010 FED Ec. 3

De las ecuaciones anteriores se elimina la variable D y obtenemos la expresión

92712 FE , la cual llamaremos Ecuación 5 III. Resolver el sistema de ecuaciones Ec. 4 y Ec. 5

20496 FE Ec. 4 92712 FE Ec. 5

Se aplica el mismo procedimiento que en el paso uno y dos para eliminar la variable E. En este paso obtenemos un valor de F= -20, el cual se sustituye en cualquiera de las ecuaciones Ec. 4 ó Ec 5, de esta manera obtenemos el valor de E= 4. IV. Sustituir los valores obtenidos de F= -20 y E= 4 en cualquiera de las ecuaciones Ec 1, Ec. 2 ó Ec. 3. De esta manera obtenemos el valor de D= 2. Por lo tanto, la solución del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene con los siguientes valores:

20F4E2D

Sustituyendo los valores de D=2 , E=4 y F=-20 en la ecuación de la circunferencia escrita en su forma general obtenemos:

022 FEyDxyx

0)20()4()2(22 yxyx

0204222 yxyx

76

Ecuación en su forma general

Ecuación de la circunferencia

Forma general Forma ordinaria

0204222 yxyx

222 )()( rkyhx

222 )5()2()1( yx

Centro (-1, -2)

25)2()1( 22 yx

12

2

2

Dh 2

2

4

2

Ek

Radio (r)

)20(4)4()2(2

14

2

1 2222 FEDr

5r

77

INSTRUCCIONES Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

indicados en cada uno de los siguientes ejercicios. 1) ),) y C(,),B(,A( 100100 2) ),) y C(-,),B(,A( 342332 3) ),) y C(-,),B(-,A( 143245

78

Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola.

El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga llamado: Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla.

Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.

La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales:

La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.

La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.

Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.

Antecedentes de las cónicas

79

Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano, o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que, la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.

Circunferencia: Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.

Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse.

Parábola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola.

80

Nombre PARÁBOLA No. IV Instrucciones

para el alumno


Saberes a

adquirir

Conceptos de la parábola Parábola horizontal con

vértice en el origen Parábola vertical con

vértice en el origen Parábola con vértice en un

punto cualquiera del plano Forma general de la

ecuación de la parábola

Maneras


A través de

exposiciones y resolución de

ejercicios

Definición de Parábola Es el lugar geométrico de un punto ),( yxP que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija (llamada directriz), situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo (llamado foco) del plano y que no pertenece a la recta.

Los elementos de la parábola lo constituyen puntos y rectas, los cuales son descritos y mostrados en la siguiente figura:

Saberes

81

Eje de la parábola o eje focal Es la recta que pasa por el foco y por el punto de la parábola llamado vértice. La posición del eje determina la posición de la parábola; hay parábolas horizontales, verticales o inclinadas. Directriz: Es una recta perpendicular al eje de la parábola. La directriz está a la misma distancia del vértice que el vértice del foco Lado recto: Es la recta que une dos puntos de la parábola, que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. Su longitud es cuatro veces la distancia del vértice al foco Parábola horizontal con vértice en el origen

En esta figura, la distancia del vértice al foco la representamos con p y observamos que

por definición esta distancia p es la misma que hay entre el vértice y la directriz.

Considerando a ) ,( yxP un punto cualquiera de la parábola, siendo ésta horizontal y con

vértice en el origen, las coordenadas del foco son )0 ,( pF y la ecuación de la directriz es px , de acuerdo a la definición de una parábola.

Foco FPunto

Directriz lcta Re

Vértice V Punto

Eje focal acta Re

Cuerda BB' Recta

Cuerda focal CC' Recta

Lado recto LL' Recta

Radio focal o radio vector FPcta Re

82

Para la obtención de la fórmula de la parábola nos basamos en su definición

PF d recta la a P de distancia

22)( ypx xp

22)( ypx 2xp

222 2 yppxx 22 2 xpxp

pxy 42

Forma ordinaria de la ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen

El signo de p nos indicará hacia dónde se abre la parábola, así tenemos que:

Si 0p

la parábola se abre hacia la derecha

83

Coordenadas del foco F (p, 0)

Ecuación de la directriz px

Si 0p la parábola se abre hacia la izquierda

Coordenadas del foco F (p, 0)

Ecuación de la directriz px Forma ordinaria de la ecuación de la parábola horizontal con vértice en el origen

4pxy 2

Parábola vertical con vértice en el origen: Considerando a ) ,( yxP un punto cualquiera de la parábola, siendo ésta vertical y con

vértice en el origen, las coordenadas del foco son )p ,0( F y la ecuación de la directriz es px , de acuerdo a la definición de una parábola. Para la obtención de la fórmula de la parábola vertical con vértice en el origen seguimos el procedimiento descrito anteriormente para la parábola horizontal.

Forma ordinaria de la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen 4pyx 2

84


Si 0p la parábola se abre hacia arriba

Coordenadas del foco F (0, p)


Si 0p la parábola se abre hacia abajo

Coordenadas del foco F (0,-p)


Forma ordinaria de la ecuación de la parábola vertical con vértice en el origen

4pyx 2

85

Longitud del lado recto Lr

La longitud del recto de la parábola es pLr 4

El valor de p4 es un valor absoluto, ya que puede ser positivo o negativo, pero la longitud del lado recto siempre es positivo

86

Parábola horizontal y vertical con centro en el origen: Para cada una de las siguientes ecuaciones ordinarias de las parábolas determina los siguientes aspectos a) Si es horizontal o vertical y hacia dónde se abre, b) La longitud del lado recto, c) La coordenada del foco, d) Las coordenadas de los extremos del lado recto y e) La ecuación de la directriz. Ejemplo1.

xy 162 Por análisis de la ecuación dada, esta se considera una ecuación de la parábola de la

forma ordinaria: pxy 42

La parábola es horizontal y se abre hacia la derecha ya que el coeficiente de la x es positiva

La longitud del lado recto es: 16444 )(LRpLR

La coordenada del foco es: )0,4(,4164 FppSi

Las coordenadas de los extremos del lado recto son:

)8,4()8,4(

,

8,164

RyL

sonrectoladodelscoordenadalasladocadapara

unidadessonentoncesLRpLRSi

La ecuación de la directriz es: 4x

La gráfica de esta parábola se muestra en la siguiente figura

87

Ejemplo 2:

yx 122

Por análisis de la ecuación dada, esta se considera una ecuación de la parábola de la

forma ordinaria: pyx 42

La parábola es vertical y se abre hacia abajo

ya que el coeficiente de la y es negativo

La longitud del lado recto es: 12344 )(LRpLR

La coordenada del foco es: )3,0(,3124 FppSi

Las coordenadas de los extremos del lado recto son:

)3,6()3,6(

,

6,124

RyL

sonrectoladodelscoordenadalasladocadapara

unidadessonentoncesLRpLRSi

La ecuación de la directriz es: 3y

La gráfica de esta parábola se muestra en la siguiente figura:

88

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Para cada una de las siguientes ecuaciones ordinarias de la

parábola determina los siguientes aspectos: a) Si es horizontal o vertical y hacia dónde se abre, b) la longitud del lado recto, c) las coordenadas del foco, d) las coordenadas de los extremos del lado recto y e) la ecuación de la directriz.

1) xy 82 2) xy 362 3) yx 82

89

4) yx 122

5) yx 242

90

Parábola con vértice en un punto cualquiera del plano. Anteriormente estudiamos la ecuación de la parábola cuando el vértice coincide con el origen de los ejes coordenados. Ahora consideramos el vértice en cualquier punto ) ,( kh del plano y su eje focal paralelo a uno de los ejes coordenados:

PF PM

22 )()( kyphx )( phx

2222 2)())((2 kykyphphxx 2)( phx

22222 2222 kykyphphxpxhx 22 )()()(2 phphxx 22222 2222 kykyphphxpxhx 22 )()(2 phphxx

22222 2222 kykyphphxpxhx 222 222 phphxpxhx

22 2 kyky hpxp 44 2)( ky )(4 hxp

)(4)( 2 hxpky

Forma ordinaria de la ecuación de la parábola horizontal

con vértice en ),( kh

91


Si 0p La parábola se abre hacia la derecha

Si 0p

La parábola se abrirá hacia la izquierda Las coordenadas para el foco serán: ) ,( kphF

La ecuación de la directriz será: phx

Ecuación del eje focal: ky

De donde resulta la Forma ordinaria de la ecuación de la parábola horizontal con

vértice en ),( kh

)(4)( 2 hxpky Parábola vertical con vértice en ),( kh

Si 0p La parábola se abre hacia la arriba;

Si 0p La parábola se abre hacia la abajo

92

Las coordenadas para el foco serán: ) ,( pkhF

La ecuación de la directriz será: pky

Ecuación del eje focal: hx

De donde resulta la Forma ordinaria de la ecuación de la parábola vertical con

vértice en ),( kh

)(4)( 2 kyphx Ejemplos: Dada la ecuación ordinaria de la parábola fuera del origen, encuentra los siguientes aspectos: a)El vértice de la parábola d) La ecuación de la directriz b) El valor del lado recto e) Las coordenadas de los extremos del lado recto c) La coordenada del foco Ejemplo 1 )1(12)5( 2 xy Las coordenadas del vértice es: V(-1,5) El valor del lado recto es: 12124 LRpLRSi

3124 ppSi ya que la parábola es horizontal y se abre hacia la izquierda la coordenada que cambia es x de -1 a -4 por lo que la coordenada del foco es F(-4,5) Para encontrar la ecuación de la directriz ahora la coordenada x cambia de -1 a 2, por lo que la ecuación de la directriz es x 2 Para determinar las coordenadas de los extremos del lado recto, del foco se desplazan 6 unidades hacia arriba y 6 unidades hacia abajo, por lo que las coordenadas son L(- 4,11) y R(- 4, - 1)

93

EJERCICIOS

INSTRUCCIONES.-

Dada la ecuación ordinaria de la parábola fuera del origen, encuentra los siguientes aspectos:

a) El vértice de la parábola. b) El valor del lado recto. c) La coordenada del foco. d) La ecuación de la directriz. e) Las coordenadas de los extremos del lado recto.

1) )(y-)(x- 181 2 2) )(y-(x) 2202

3) )(x)(y 2163 2

94

4) )(y-)(x 5122 2 5) )(x-)(y- 582 2

95

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Desarrollamos las formas reducidas de las ecuaciones de la parábola

)(4)( 2 hxpky y, )(4)( 2 kyphx obtenemos la ecuación de la parábola en su forma general Ecuación Ordinaria de la Parábola Horizontal:

)(4)( 2 hxpky

phpxkyky 442 22

0442 22 phpxkyky

0424 22 phkykpxy Comparamos con la ecuación general de segundo grado con dos variables…

022 FEyDxCyBxyAx Observamos que:

1 0 ,0 CBA y 4 2 ,4 2 phkFkEpD Sustituyendo estos coeficientes en las ecuaciones obtenidas tenemos que…

02 FEyDxy Forma general de la ecuación de la parábola Horizontal Ecuación Ordinaria de la Parábola Vertical:

)(4)( 2 kyphx

pkpyhxhx 442 22

0442 22 pkpyhxhx

0442 22 pkhpyxhx Comparamos con la ecuación general de segundo grado con dos variables…

022 FEyDxCyBxyAx Observamos que:

0 0 ,1 CBA y 4 4 ,2 2 pkhFpEhD Sustituyendo estos coeficientes en las ecuaciones obtenidas tenemos que…

96

Forma general de la ecuación de la parábola Vertical Es importante mencionar que la característica que distingue la PARABOLA de las otras curvas (circunferencia, elipse e hipérbola) es que alguno de los coeficientes de 2x ó 2y es nulo. A partir de los coeficientes de la ecuación general de la parábola se pueden obtener las coordenadas del vértice y del foco. Así tenemos que Forma general de la ecuación de la Parábola Horizontal:

pD 4 kE 2 phkF 42

4

Dp

2

Ek

p

kFh

4

2

Forma general de la ecuación de la Parábola Vertical:

hD 2 pE 4 pkhF 42

2

Dh

4

Ep

p

hFk

4

2

Ejemplo 1 Determina la ecuación general de la parábola a partir de su ecuación ordinaria dada en cada uno de ls siguientes casos.

CASO 1: )(x)(y- 1125 2

0371012

semejantestérminoslosagrupamosúltimoPor

012122510

ecuaciónlaceroaigualamosDespués

12122510

paréntesisloseliminamosPrimero

2

2

2

yxy

xyy

xyy

Resultando en la ecuación general para la parábola Horizontal.

97

CASO 2: )(y-)(x- 181 2

0782

semejantes

términoslosagrupamosúltimoPor

08182

ecuaciónlaceroaigualamosDespués

8812

paréntesisloseliminamosPrimero

2

2

2

yxx

yxx

yxx

Resultando en la ecuación general para la parábola Vertical. Ejemplo 2 Determina los elementos de la parábola a partir de su ecuación general, dada en cada uno de los siguientes casos:

08642 xy y Primero debemos darle la forma reducida aplicando las propiedades de la igualdad:

)2(6)2(

126)2(

)2(86)2(4

2

2

222

xy

xy

xyy

La parábola es horizontal y se abre hacia la izquierda. Las coordenadas del vértice son V (2,2). La longitud del lado recto es 6 unidades

partes.sustodasde

scoordenadalasdeterminarpodemosvaloresestoscon,5.123

devalorEl p

La coordenada del foco es F(0.5, 2) La directriz es x =3.5

98

EJERCICIOS INSTRUCCIONES.- Calcula los elementos de la parábola, a partir de su ecuación general

dada en cada uno de los siguientes casos.

1) 016642 xy y

2) 064882 xy- y

3) 0331262 xy y

99

4) 0171622 xy y

5) 07124102 yx x

100

Nombre ELIPSE No. V

Instrucciones para el alumno

Lee detenidamente y analiza la información que a continuación se presenta. Si tienes alguna duda aclararla

con el profesor.

Saberes a adquirir

Definición y elementos Ecuación ordinaria y

gráfica Casos de la ecuación de

una elipse Ecuación de la elipse

con centro fuera del origen y eje paralelo a uno de los ejes coordenados.

Ecuación general de la elipse

Maneras


A través de

exposiciones y prácticas

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

a elipse, al igual que la parábola, es una curva con importantes aplicaciones prácticas, que abarcan campos como la ingeniería y la astronomía.

De manera típica esta curva plana tiene forma ovoide. En algunos casos, su forma es completamente redonda pues toda circunferencia es en realidad una elipse.

Definición:

Es el lugar geométrico de un punto P(x, y) que se mueve en un plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) de ese plano es siempre igual a una constante y mayor que la distancia entre los dos puntos. Elementos característicos de la elipse.

La elipse puede estar situada en posición horizontal, vertical o inclinada. La elipse es una curva cerrada y tiene dos ejes perpendiculares entre sí y siempre uno

mayor que el otro; al mayor se le llama eje mayor y al otro eje menor. Al punto de intersección de sus ejes se le llama centro y a los puntos extremos del eje mayor, vértice de la elipse.

L

Saberes

101

La elipse tiene dos lados rectos, que son rectas que unen dos puntos de la elipse pasando por los focos y siendo perpendiculares al eje mayor donde están situados los focos. La posición del eje mayor nos indica la posición de la elipse.

La longitud del eje mayor se representa con a2 , la longitud del eje menor con b2 y la distancia entre los focos con c2 . La elipse es una curva simétrica con respecto a sus dos ejes.

En la siguiente figura se ilustra una elipse con sus elementos:

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

HORIZONTAL VERTICAL

22222

2

2

2

2

:,1

bacyba

dondeenb

y

a

x

22222

2

2

2

2

:,1

bacyba

dondeena

y

b

x

Eje focal En el eje x En el eje y Coordenadas de

sus vértices

)0,(')0,( aVyaV ),0('),0( aVyaV

Coordenadas de los puntos extremos de

su eje menor

),0('),0( bBybB )0,(')0,( bBybB

Coordenadas de sus focos

)0,(')0,( cFycF ),0('),0( cFycF

Longitud de su eje mayor VV’ es

2a 2a

Longitud de su eje mayor BB’ es

2b 2b

Longitud del lado recto a

bL

22

a

bL

22

Excentricidad a

ce

a

ce

Vértices V , V’ Focos F , F’ Centro C

Longitud del lado recto

Lr

Eje mayor aVV 2' Eje menor b2 Eje focal cFF 2'

cCFCF '

102

GRAFICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN HORIZONTAL VERTICAL

Dada la ecuación de la elipse encuentra los siguientes elementos:

a) Las coordenadas de los vértices b) Las coordenadas de los focos

c) La longitud del eje mayor d) La longitud del eje menor

e) La longitud de cada lado recto

f) El valor de la excentricidad

1) 4002516 22 yx Primero dividimos toda la ecuación entre 400:

1

1625

400

400

400

25

400

16

22

22

yx

yx

Como 22 ba por lo tanto:

41616

52525

2

2

bbb

aaa

103

Encontramos el valor de c

399

16252

2

222

ccc

c

bac

Como 2a está debajo de x 2 por lo tanto es una elipse horizontal y su eje focal es x Las coordenadas de los vértices está dada por:

)0,5(')0,5(

)0,(')0,(

VyV

aVyaV

Las coordenadas de los focos está dada por:

)0,3(')0,3(

)0,(')0,(

FyF

cFycF

La longitud del eje mayor es: 10)5(22 a La longitud del eje menor es: 8)4(22 b La longitud de cada lado recto está dada por:

5

32

5

)16(22 2

a

bL

El valor de la excentricidad es: 5

3

a

ce

Esta elipse horizontal y sus elementos se

ilustran en la siguiente grafica:

INSTRUCCIONES: Para cada una de las siguientes elipses determina los siguientes elementos. a) Las coordenadas de los vértices b) Las coordenadas de los focos c) La longitud del semieje mayor d) La longitud del semieje menor e) La longitud de los lados rectos f) El valor de la excentricidad

1) 360010036 22 yx

104

2) 422516925 22 yx

3) 225925 22 yx

4) 1

10036

22

yx

5) 1

400441

22

yx

LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE

Para determinar la ecuación de la elipse, se puede efectuar a partir de conocer algunos de sus elementos. Así en este proceso se pueden presentar los siguientes casos:

105

1.- Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen y cuyos vértices y focos son:

)0,5(')0,5( VyV )0,3(')0,3( FyF .

Localizamos los puntos en un plano coordenado bidimensional y debido a que los vértices y focos se encuentran en el eje x se trata de una elipse horizontal.

Escribimos la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen

12

2

2

2

b

y

a

x

Sabemos que las coordenadas de los vértices y focos de una elipse horizontal con centro en el origen son los siguientes:

)0,(')0,( aVyaV )0,(')0,( cFycF

De aquí sabemos por comparación que el valor de a = 5 y el valor de c = 3, pero recordemos que para obtener la ecuación de una elipse horizontal con centro en el origen se necesitan el valor de a y de b, como desconocemos b pero conocemos a y c, nos auxiliaremos de la siguiente fórmula para obtener el valor de b.

despejamos 222 bbac

by a de valoreslos ssustituimoy 22 cab

416925

)3()5( 22

b

b

Por último sustituimos los valores de a y de b en la ecuación de la elipse horizontal con

centro en el origen

11625

1)4()5(

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

yx

b

y

a

x

La gráfica y sus elementos se muestran a continuación:

106

2.- Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen y cuyos vértices y focos son:

)4,0(')4,0( VyV )2,0(')2,0( FyF .

Localizamos los puntos en un plano coordenado bidimensional y debido a que los vértices y focos se encuentran en el eje y se trata de una elipse vertical.


12

2

2

2

a

y

b

x

Sabemos que las coordenadas de los vértices y focos de una elipse vertical con centro

en el origen son los siguientes: ),0('),0( aVyaV ),0('),0( cFycF

De aquí sabemos por comparación que el valor de a = 4 y el valor de c = 2, pero

recordemos que para obtener la ecuación de una elipse horizontal con centro en el origen se necesitan el valor de “a” y de “b”, como desconocemos “b” pero conocemos “a” y “c”, nos auxiliaremos de la siguiente fórmula para obtener el valor de “b”.

"" despejamos 222 bbac

b" "y a"" de valoreslos ssustituimoy 22 cab

46.3

12

416

)2()4( 22

b

b

b

b

Por último sustituimos los valores de “a” y de “b” en la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen.

11612

1)4()46.3(

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

yx

b

y

a

x

107

La siguiente ilustración muestra la gráfica de dicha elipse vertical:

INSTRUCCIONES: Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen dado sus vértices y focos. 1) ),-),(, () y Fo,-),(,(Vértices 4040cos7070 2) ),-),(, () y Fo,-),(,(Vértices 6060cos100100

108

3) ),),(-, () y Fo,),(-,(Vértices 0404cos0606 4) ),),(-, () y Fo,),(-,(Vértices 0404cos0505

1.- Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen y sus ejes miden:

Eje menor = 8 esta sobre el eje y Eje mayor = 10 esta sobre el eje x

El eje mayor = 2a por lo tanto 2a = 10 a = 2

10 a = 5

El eje menor = 2b por lo tanto 2b = 8 b =2

8 b = 4

Debido a que el eje mayor esta sobre el eje “x”, tenemos una elipse horizontal y como el centro está en el origen tenemos la siguiente ecuación:

Sustituimos los valores de a y b en la ecuación:

Por lo tanto la ecuación es:

12

2

2

2

by

ax

1)4()5( 2

2

2

2

yx

11625

22

yx

109

La siguiente ilustración muestra la gráfica de dicha elipse horizontal:

2.- Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen y sus ejes miden:

Eje menor = 8 esta sobre el eje x Eje mayor = 10 esta sobre el eje y

El eje mayor = 2a por lo tanto 2a = 10 a = 2

10 a = 5

El eje menor = 2b por lo tanto 2b = 8 b =2

8 b = 4

Debido a que el eje mayor esta sobre el eje “y”, tenemos una elipse vertical y como el centro está en el origen tenemos la siguiente ecuación.

Sustituimos los valores de a y b en la ecuación:



12

2

2

2

ay

bx

1)5()4( 2

2

2

2

yx

12516

22

yx

110

INSTRUCCIONES: Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen dado la medida de los ejes.

1) Eje menor = 6 esta sobre el eje x Eje mayor = 10 esta sobre el eje y

2) Eje menor = 202 esta sobre el eje y Eje mayor = 12 esta sobre el eje x 3) Eje menor = 12 esta sobre el eje y Eje mayor = 16 esta sobre el eje x

111

1.- Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen dado su vértice y eje menor V (6,0) y eje menor = 4

Localizamos el vértice en un plano coordenado bidimensional y debido a que se encuentran en el eje x se trata de una elipse horizontal.

12

2

2

2

b

y

a

x

Debido a que nos dan el vértice, con eso podemos encontrar “a” y como nos dan también el eje menor podemos encontrar “b”.

Sabemos que las coordenadas de los vértices de una elipse horizontal con centro en el origen son los siguientes:

)0,(')0,( aVyaV Por lo tanto el valor de a = 6

El valor del eje menor = 2b por lo tanto 2b = 4 2

4b b=2

Por último sustituimos los valores de a y de b en la ecuación de la elipse horizontal con centro en el origen.


La siguiente ilustración muestra la gráfica de dicha elipse horizontal:

1436

1)2()6(

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

yxby

ax

112

2.- Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen dado su vértice y eje menor

V (0,4) y eje menor = 2

Localizamos el vértice en un plano coordenado bidimensional y debido a que se encuentran en el eje y se trata de una elipse vertical.

Debido a que nos dan el vértice, con eso podemos encontrar “a” y como nos dan

también el eje menor podemos encontrar “b”. Sabemos que las coordenadas de los vértices de una elipse horizontal con centro en el

origen son los siguientes: ),0('),0( aVyaV

Por lo tanto el valor de a = 4

El valor del eje menor = 2b por lo tanto 2b = 2 2

2b b = 1

Por último sustituimos los valores de a y de b en la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen. Por lo tanto la ecuación es:


12

2

2

2

ay

bx

1161

1)4()1(

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

yx

ay

bx

113

Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen dado el foco y el eje menor

F (4,0) y eje menor = 6

Localizamos el foco en un plano coordenado bidimensional y debido a que se encuentran en el eje x se trata de una elipse horizontal.

Debido a que nos dan el foco, con eso podemos encontrar “c” y como nos dan también

el eje menor podemos encontrar “b”. Para una elipse horizontal las coordenadas de un foco es F(c, 0), y por comparación

con el foco que nos dieron F (4,0), tenemos el valor de “c”. c = 4 Y como nos dan el valor del eje menor = 6 lo igualamos a 2b

Por lo tanto 2b = 6 2

6b b = 3

Con los valores de c =4 y b =3, podemos encontrar el valor de “a”, con la siguiente formula, que nos relaciona a, b y c

Sustituimos los valores respectivos de c y b y tenemos

525916)3()4( 22 aa


12

2

2

2

b

y

a

x

Sustituimos los valores respectivos de a y b.

1925

1)5(

22

22 )3(

22

yxyx

E La siguiente ilustración muestra la gráfica de dicha elipse horizontal:

22 bca

114

2.- Encuentra la ecuación de la elipse con centro en el origen dado un foco y el eje menor

F (0, 5 ) y eje menor = 4

Localizamos el foco en un plano coordenado bidimensional y debido a que se encuentran en el eje y se trata de una elipse vertical

Debido a que nos dan el foco, con eso podemos encontrar “c” y como nos dan también el eje menor podemos encontrar “b”.

Para una elipse vertical las coordenadas de un foco es F (0, c), y por comparación con

el foco que nos dieron F (0, 5 ), tenemos el valor de “c”. c = 5 y como nos dan el valor del eje menor = 4 lo igualamos a 2b

Por lo tanto 2b = 4 2

4b b = 2

Con los valores de c = 5 y b =2, podemos encontrar el valor de a, con la siguiente formula, que nos relaciona a, b y c

Sustituimos los valores respectivos de c y b y tenemos

3945

)2()5( 22

a

a


Sustituimos los valores respectivos de a y b.

Esta elipse vertical se ilustra en la siguiente gráfica:

22 bca

12

2

2

2

a

y

b

x

194

1)2(

22

22 )3(

22

yx

yx

115

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJE PARALELO A UNO DE LOS EJES COORDENADOS.

Normalmente se requiere determinar la ecuación de una elipse con centro fuera C (h, k) del origen coordenado y que tenga su eje focal paralelo a uno de los ejes del sistema coordenado. Si remplazamos x por x – h y y por y – K en las ecuaciones anteriores:

12

2

2

2

b

y

a

x

1

2

2

2

2

a

y

b

x

Elipse horizontal con centro en el origen

Elipse vertical con centro en el origen

Así es como obtenemos las ecuaciones de la elipse horizontal y vertical con centro

fuera del origen:

ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO

FUERA DEL ORIGEN

HORIZONTAL

VERTICAL

22222

2

2

2

2

1)()(

bacba

b

ky

a

hx

22222

2

2

2

2

1)()(

bacba

a

ky

b

hx

Eje focal paralelo al:

Eje x Eje y

Coordenadas de sus vértices

),('),( kahVykahV ),('),( akhVyakhV


su eje menor ),('),( bkhBybkhB ),('),( kbhBykbhB


),('),( kchFykchF ),('),( ckhFyckhF

Longitud de su eje mayor VV’ es

2a 2a

Longitud de su eje mayor BB’ es

2b 2b

Longitud del lado recto

a

bL

22

a

bL

22

Excentricidad

a

ce

a

ce

116

GRAFICAS

ELIPSE HORIZONTAL

ELIPSE VERTICAL

Ecuación de la elipse fuera del origen

Ejemplo: 1.- Dada la ecuación de la siguiente elipse determina todos sus elementos y gráfica

116

1

25

2 22

)(y)(x

La elipse es del tipo

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

Entonces :

5

252

a

a 4

162

b

b h = 2 k = -1

Con los valores de a y b obtenemos el valor de c:

39

9

16252

2

c

c

c

Los vértices son:

)1,3(')1,7( VyV

Los focos son: )1,1(')1,5( FyF Lado recto

5

32

5

)4(22 22

a

bL

117

Excentricidad

5

3

a

ce

Eje mayor 10)5(22 a Eje menor 8)4(22 b

INSTRUCCIONES: Encuentra los elementos de la elipse y grafica.

1)

19

2

1

1 22

)(y)(x

2)

149

3

36

8 22

)(y)(x

3)

19

2

4

1 22

)(y)(x

118

4)

17

4

16

2 22

)(y)(x

5)

149

5

36

3 22

)(y-)(x

Ecuación general de la elipse Las ecuaciones de la elipse en su forma reducida son:

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx , 1

)()(2

2

2

2

a

ky

b

hx

Si desarrollamos los binomios cuadráticos del primer miembro, obtenemos:

122

2

22

2

22

b

)kky(y

a

)hhx(x

(A) 022

)2()2(

1)2()2(

222222222222

22222222

22

222222

bakakyayahbhxbxb

bakkyyahhxxb

ba

kkyyahhxxb

Agrupamos y ordenamos

022 222222222222 bakahbykaxhbyaxb Si asignamos los siguientes valores A = b2

C = a2

D = -2b2h

E = -2a2k

F = b2h2 + a2k2-a2b2

119

Podemos escribir la ecuación (A) en la forma siguiente:

Esta ecuación es llamada forma general de la elipse, cuando su eje es paralelo a cualquiera de los ejes coordenados. Donde A y C deben tener el mismo signo (positivo) y que A ≠ C

1.- Determina la ecuación general de la siguiente ecuación ordinaria de la elipse.

1

16

1

25

2 22

)(y)(x

Desarrollamos los binomios al cuadrado: 1

16

12

25

44 22

yyxx

Obtenemos el MCD y resolvemos:

0400255025646416

400)12(25)44(16

1400

)12(25)44(16

22

22

22

yyxx

yyxx

yyxx

Ordenamos:

0400256450642516 22 yxyx

Por lo tanto la ecuación general es: 031150642516 22 yxyx

022 FEyDxCyAx

120

INSTRUCCIONES: Determina la ecuación general de las siguientes ecuaciones ordinarias de la elipse.

1)

19

2

1

1 22

)(y)(x

2)

149

3

36

8 22

)(y)(x

3)

19

2

4

1 22

)(y)(x

4) 17

4

16

2 22

)(y)(x

121

Ecuación general de la elipse 1.- Dada la ecuación general de la elipse encuentra su forma ordinaria

0369636169 22 yxyx

Agrupamos los términos semejantes:

36)9616()369( 22 yyxx

Sacamos el factor común numérico:

36)6(16)4(9 22 yyxx

Completamos el trinomio cuadrado perfecto:

1443636)96(16)44(9 22 yyxx

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto: 144)3(16)2(9 yx

Dividimos la ecuación entre 144

19

)3(

16

)2(

144

144

144

)3(16

144

)2(9

22

22

yx

yx

Por lo tanto la ecuación ordinaria es: 19

)3(

16

)2( 22

yx

122

INSTRUCCIONES: Expresa en forma ordinaria cada una de las siguientes ecuaciones de la elipse: 1)

0284100322516 22 y-xyx

2)

01643650925 22 y-xyx

3)

022871864338144169 22 y-xyx

4)

031164501625 22 y-xyx

123

Existen tres criterios posibles por considerar al investigar si una ecuación

cuadrática de la forma 022 FEyDxCyAx representa gráficamente o no

una elipse, para este caso comparamos el valor de 22

22

4

4

CA

ACFAECDM

de la

siguiente manera:

Una Elipse Un solo punto de

coordenadas

Una elipse o no es un lugar geométrico real, o

es un conjunto vacío.

Si 0 M Si 0M Si 0 M

C

E

A

DCentro

2 ,

2 Dado por

C

E

A

D

2 ,

2

MAbMCa 22

MAMC elipse

horizontal MAMC elipse vertical

1.- Determina si las ecuaciones representan o no una elipse; en caso afirmativo determina su ecuación ordinaria.

02918832 22 yxyx

Se identifican los valores de A, C, D, E, F

A = 2, C = 3, D = -8, E = -18, F = 29

Si sustituimos los valores en :

01144

144

144

696648192

)3()2(4

)29)(3)(2(4)18)(2()8)(3(

4

4

22

22

22

22

M

M

M

CA

ACFAECDM

Como M es mayor que cero por lo tanto representa una elipse.

124

Por lo tanto se procede a encontrar el centro y lo valores de a y b

)3,2(6

18,

48

)3(2)18(

,)2(2)8(

2 ,

2

CC

C

CE

AD

C

La ecuación de la elipse es: 12

)3(

3

)2( 22

yx

2.- Determina si las ecuaciones representan o no una elipse; en caso afirmativo determina su ecuación ordinaria.

0105542496 22 yxyx Se identifican los valores de A, C, D, E, F

A = 6, C = 9, D = -24, E = -54, F = 105


0116644

0

11664

22680174965184

)9()6(4

)105)(9)(6(4)54)(6()24)(9(

4

4

22

22

22

22

M

M

M

CA

ACFAECDM

Como M es igual a cero por lo tanto, la ecuación de estudio representa un punto único dado por las siguientes coordenadas:

3 ,2 )9(2

54,

)6(2

24

2 ,

2

C

E

A

D

2 3

)2(1 )3(1

22

22

22

ba

ba

MAbMCa

125

INSTRUCCIONES: Determina si cada una de las siguientes ecuaciones representa una elipse, un punto o un conjunto vacio. 1) 01643650925 22 y-xyx 2) 0199165489 22 y-xyx 3) 06212683 22 y-x-yx 4) 04484 22 yxyx

126

Nombre HIPERBOLA No. VI

Instrucciones para el alumno

Lee detenidamente y analiza la información que a continuación se presenta. Si tienes alguna duda aclararla con el profesor.

Saberes a adquirir

Definición y elementos Ecuación ordinaria y

gráfica Casos de la ecuación

de una hipérbola Ecuación de la

hipérbola con centro fuera del origen y eje paralelo a uno de los ejes coordenados.

Ecuación general de la hipérbola

Maneras


A través de

exposiciones y prácticas

DEFINICIÓN Y ELEMENTOS

a hipérbola es una curva que consta de dos ramas, y que, desde la antigüedad fue llamada hipérbola por los geómetras griegos. Muchos fenómenos de la física,

ingeniería, biología y otras ciencias están representados mediante relaciones de proporcionalidad inversa, cuya gráfica es una rama de esta curva. Aunque a primera vista podría pensarse que una de tales curvas es una parábola, veremos que no es así. Ambas curvas poseen, como cónicas, propiedades similares, pero como curvas independientes, muestran comportamientos muy diferentes. Definición:

Es el lugar geométrico de un punto ) ,( yxP que se mueve en un plano, de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano (denominaos focos), es constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

L

Saberes

127

ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE LA HIPÉRBOLA La recta en que están situados los focos es uno de los ejes de la hipérbola y se llama EJE FOCAL. Al segmento del eje focal que une los vértices se le llama EJE TRANSVERSO

( a2 ), y existe otro eje, perpendicular al eje transverso, que recibe el nombre de

EJE CONJUGADO ( b2 ). El eje transverso y el eje conjugado se intersectan en el centro de la hipérbola ( C ). Los elementos de la hipérbola se señalan en el siguiente cuadro y su ubicación en el sistema de coordenadas se observa en la figura superior:

Centro: C

Vértices: ' VyV

Focos: ' FyF

Longitud de los lados rectos:

Lr

Distancia entre los focos

'2 FFc

Eje transverso '2 VVa

Semieje transverso a

Eje conjugado b2

Semieje conjugado b

Distancia del centro al foco

c ca

La hipérbola tiene dos lados rectos ( Lr ), que son rectas que unen dos puntos de la hipérbola, pasando por los focos y siendo perpendiculares al eje focal, que es donde están los focos. La hipérbola es simétrica con respecto a sus ejes y tiene dos asíntotas que se cortan en el centro de la hipérbola. La posición de la hipérbola la determina la posición de su eje transverso y la hipérbola puede ser horizontal, vertical o inclinada.

128

ECUACIÓN ORDINARIA Y GRÁFICA

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN,

HORIZONTAL VERTICAL

,12

2

2

2

b

y

a

x ,1

2

2

2

2

b

x

a

y

Eje focal En el eje x En el eje y Coordenadas de sus

vértices )0,(')0,( aVyaV ),0('),0( aVyaV


su eje conjugado ),0('),0( bBybB )0,(')0,( bBybB

Coordenadas de sus focos 222

:)0,(')0,(

bac

dondecFycF

222

),0('),0(

bac

cFycF

Longitud de su eje transverso VV’ es

2a 2a

Longitud de su eje conjugado BB’ es

2b 2b


bL

22

a

bL

22

Excentricidad a

ce a

ce

Ecuación de las Asíntotas

xa

byx

a

by x

b

ayx

b

ay

GRAFICA de la HIPERBOLA con centro en el origen

HORIZONTAL VERTICAL

129

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen Ejemplo 1 Dada la ecuación de la hipérbola encuentra los siguientes elementos:

a) Las coordenadas de los vértices b)Las coordenadas de los focos

c)La longitud del eje transverso d)La longitud del eje conjugado

e)La longitud de cada lado recto

f)El valor de la excentricidad

154

22

yx

La hipérbola es de la forma

,12

2

2

2

b

y

a

xpor lo tanto:

5 5

24 4

2

2

bb

aa

Encontramos el valor de c 3 9 9

542

222

ccc

bac

Observamos que en la ecuación el termino 2

2

a

x es positivo por lo tanto es una hipérbola

horizontal y su eje focal es x

Las coordenadas de los vértices esta dada por: )0,2(')0,2(

)0,(')0,(

VyV

aVyaV

Las coordenadas de los focos esta dada por:

)0,3(')0,3(

)0,(')0,(

FyF

cFycF

La longitud del eje transverso es: 4)2(22 a

La longitud del eje conjugado es: )5(22 b

La longitud de cada lado recto está dada por: 52

)5(22 2

a

bLr

El valor de la excentricidad es: 2

3

a

ce

130

Gráfica de la ecuación de la hipérbola 154

22

yx

131

Encontrando los elementos de hipérbola

Ejercicios INSTRUCCIONES.- Para cada una de las siguientes hipérbolas determina los siguientes elementos. a) Las coordenadas de los vértices b) Las coordenadas de los focos. c) La longitud del eje transverso. d) La longitud del eje conjugado. e) La longitud de los lados rectos. f) El valor de la excentricidad. 1) 225259 22 y x

2) 23046436 22 yx

3)

144916 22 yx

4) 4002516 22 yx

132

Para encontrar la ecuación de la hipérbola a partir de sus elementos se pueden presentar los siguientes casos:

Vértices y focos Eje transverso y conjugado

Casos de la ecuación de una hipérbola

Caso I Centro en el origen, vértices y focos

Ejemplo 1 Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y cuyos vértices y focos son:

)0,3(')0,3( VyV )0,5(')0,5( FyF .

Localizamos los puntos en un plano coordenado bidimensional y debido a que los vértices y focos se encuentran en el eje x se trata de una hipérbola horizontal.

Escribimos la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen:

12

2

2

2

b

y

a

x

Sabemos que las coordenadas de los vértices y focos de una hipérbola horizontal con centro en el origen son los siguientes:

)0,(')0,( aVyaV )0,(')0,( cFycF

Por comparación el valor de “a” es igual 3 y el valor de “c” es igual a 5, pero recordemos que para obtener la ecuación de una hipérbola horizontal con centro en el

133

origen se necesitan el valor de “a” y de “b”, como desconocemos “b” , nos auxiliaremos de la siguiente formula para obtener su valor:

despejamos 222 bbac

by a de valoreslos ssustituimoy 22 acb

4

16925)3()5( 22

b

b

Por ultimo sustituimos los valores de “a” y de “b” en la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen:

1169

1)4()3(

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

yx

yx

b

y

a

x

La gráfica de esta hipérbola se ilustra por la siguiente curva: Ejemplo 2 Encuentra la ecuación de la Hipérbola con centro en el origen y cuyos vértices y focos son:

)2,0(')2,0( VyV )4,0(')4,0( FyF .

Localizamos los puntos en un plano coordenado bidimensional y debido a que los vértices y focos se encuentran en el eje “y” se trata de una hipérbola vertical. Escribimos la ecuación de la hipérbola horizontal con centro en el origen

12

2

2

2

b

x

a

y

134

Sabemos que las coordenadas de los vértices y focos de una hipérbola vertical con centro en el origen son los siguientes:

),0('),0( aVyaV ),0('),0( cFycF

Por comparación el valor de “a” es igual a 2 y el valor de “c” es igual a 4, pero recordemos que para obtener la ecuación de una hipérbola vertical con centro en el origen se necesitan el valor de “a” y de “b”; como desconocemos el valor de “b” , nos auxiliaremos de la siguiente formula para obtener su valor:

despejamos 222 bbac

b""y a"" de valoreslos ssustituimoy 22 acb

46.3

12416)2()4( 22

b

b

Por ultimo sustituimos los valores de “a” y de “b” en la ecuación de la hipérbola vertical con centro en el origen:

1124

1)12()2(

1

22

2

2

2

2

2

2

2

2

xy

xy

bx

ay

135

Ejercicios

INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en origen dada las coordenadas de sus vértices y focos:

1) ),),(-, ( Fo y) ,),(-,(Vértices 0303cos0202

2) ),-),(, (Fo) y,-),(,(Vértices 4040cos2020

3) ),),(-, (Fo) y ,),(-,(Vértices 0808cos0505

4) ),-),(, () y Fo,-),(,(Vértices 4040cos1010

136

Caso II Centro en el origen, eje transverso y conjugado

Ejemplo 1 Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, si sus ejes tienen una longitud de:

Eje transverso = 8 esta sobre el eje y Eje conjugado = 10 esta sobre el eje x

Si el eje transverso es igual a a2 , tenemos que 82 a y por lo tanto 42

8a .

Si el eje conjugado es igual a b2 , tenemos que 102 b y por lo tanto 52

10b .

Debido a que el eje transverso esta sobre el eje “y”, tenemos una hipérbola vertical y como el centro esta en el origen tenemos la siguiente ecuación:

12

2

2

2

b

x

a

y

Sustituimos los valores de “a” y “b” en la

ecuación: 1)5()4( 2

2

2

2

xy

Por lo tanto su ecuación es:

12516

22

xy

137

Esta ecuación describe la gráfica de la siguiente hipérbola vertical con centro en el origen: Ejemplo 2 Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y con una longitud de sus ejes igual a:

Eje transverso = 6 esta sobre el eje x Eje conjugado = 4 esta sobre el eje y

Si el eje transverso es igual a a2 , tenemos que 62 a y por lo tanto 32

6a .

Si el eje conjugado es igual a b2 , tenemos que 42 b y por lo tanto 22

4b .

Debido a que el eje transverso esta sobre el eje “x”, tenemos una hipérbola horizontal y

como el centro esta en el origen tenemos la siguiente ecuación. 12

2

2

2

b

y

a

x

Sustituimos los valores de “a” y “b” en la ecuación:

1)2()3( 2

2

2

2

yx

Por lo tanto su ecuación

es: 149

22

yx

Esta ecuación describe la gráfica de la siguiente hipérbola horizontal con centro en el origen:

138

Ejercicios

INSTRUCCIONES.- Encuentra la ecuación de la hipérbola con centro en el origen dada la longitud de sus ejes:

1)

Eje transverso = 6 esta sobre el eje x Eje conjugado = 10 esta sobre el eje y

2) Eje transverso = 202 esta sobre el eje y Eje conjugado = 12 esta sobre el eje x

3) Eje transverso = 12 esta sobre el eje y Eje conjugado = 16 esta sobre el eje x

139

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN Y EJE PARALELO A UNO DE LOS EJES COORDENADOS. Normalmente se requiere determinar la ecuación de una hipérbola con centro fuera C (h, k) del origen coordenado y que tenga su eje focal paralelo a uno de los ejes del sistema coordenado

Si remplazamos x por x – h y y por y – K en las ecuaciones anteriores 12

2

2

2

b

y

a

x

12

2

2

2

b

x

a

y obtenemos que la:

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA

CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN ) ,( khC HORIZONTAL VERTICAL

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx 1

)()(2

2

2

2

b

hx

a

ky

Eje focal paralelo al:

Eje x Eje y

Coordenadas de sus vértices

),('),( kahVykahV ),('),( akhVyakhV

Coordenadas de los puntos

extremos de su eje conjugado

),('),( bkhBybkhB ),('),( kbhBykbhB


),('),( kchFykchF ),('),( ckhFyckhF

Longitud de su eje transverso

VV’ es 2a 2a

Longitud de su eje conjugado

BB’ es 2b 2b


bL

22

a

bL

22

Excentricidad a

ce a

ce

140

GRAFICA de la HIPERBOLA con centro ) ,( khC fuera del origen HORIZONTAL VERTICAL

141

Ecuación de la hipérbola fuera del origen Ejemplo 1 Dada la ecuación de la siguiente hipérbola determina todos sus elementos y gráfica

19

1

16

2 22

)(y)(x

La hipérbola es del tipo 1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

Entonces : 4

162

a

a

3

92

b

b h = 2 k = -1

Con los valores de “a” y “b” obtenemos el valor de “c”:

222 bac

525

259162

c

c

Los vértices son: )1,2(')1,6( VyV

Los focos son:

)1,3(')1,7( FyF

Lado recto 4

18

4

)3(22 22

a

bLr

Excentricidad 4

5

a

ce

Eje transverso

8)4(22 a

Eje conjugado

6)3(22 b

142

Gráfica de la hipérbola 19

1

16

2 22

)(y)(x

143

Ejercicios

INSTRUCCIONES: Encuentra los elementos de la hipérbola y grafica

1) 19

5

4

3 22

)(y-)(x

2) 112

4

4

1 22

)(x)(y-

3) 136

3

64

2 22

)(y)(x

4) 19

2

16

1 22

)(y)(x

144

ECUACIÓN GENERAL DE LA HIPERBOLA

Para obtener la forma general de la ecuación de la hipérbola desarrollamos la forma ordinaria o reducida.

Las ecuaciones de la hipérbola en su forma reducida son:

Ecuación ordinaria de la Hipérbola

HORIZONTAL VERTICAL

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx 1

)()(2

2

2

2

b

kx

a

hy

Si desarrollamos en la ecuación ordinaria de la elipse horizontal

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx los binomios cuadráticos del primer miembro, obtenemos:

122

2

22

2

22

b

)kky(y

a

)hhx(x

(A) 022

)2()2(

1)2()2(

222222222222

22222222

22

222222

bakakyayahbhxbxb

bakkyyahhxxb

ba

kkyyahhxxb

Agrupamos y ordenamos

022 222222222222 bakahbykaxhbyaxb Comparamos la ecuación que hemos obtenido con la ecuación general de segundo grado para ver cuál es la relación entre los coeficientes de ambas ecuaciones:

022 FEyDxCyBxyAx

145

Si asignamos los siguientes valores:

2bA hbD 22 0B (ya que no hay término

xy ) kaE 22

2aC 222222 bakahbF Sustituyendo estos valores en la ecuación (A) obtenemos la siguiente expresión:

022 FEyDxCyAx Esta ecuación es llamada forma general de la hipérbola horizontal.

Donde los signos de A y C son diferentes Realizando el mismo procedimiento, descrito anteriormente, en la ecuación ordinaria de la elipse vertical, tenemos que:

2aA haD 22 0B (ya que no hay término

xy ) kbE 22

2bC 222222 bahakbF Y la ecuación de la hipérbola vertical en la forma general es:

022 FEyDxCyAx Esta ecuación es llamada forma general de la hipérbola vertical.

Donde los signos de A y C son diferentes Al observar la forma general de la hipérbola, horizontal o vertical, lo que cambia son los valores de los coeficientes de la ecuación. Si la hipérbola es horizontal el

coeficiente de 2x es positivo y si la hipérbola es vertical el coeficiente de 2y es el

positivo

146

Ecuación general de la hipérbola Ejemplo 1 Determina la ecuación general de la siguiente ecuación ordinaria de la hipérbola.

116

1

25

2 22

)(y)(x

Desarrollamos los binomios al cuadrado:

Obtenemos el MCD y resolvemos:

0400255025646416

400)12(25)44(16

1400

)12(25)44(16

22

22

22

yyxx

yyxx

yyxx

Ordenamos:

036150642516 22 yxyx

Por lo tanto la ecuación general es: 036150642516 22 yxyx

116

1225

44 22

yyxx

147

Ejercicios

INSTRUCCIONES.- Determina la ecuación general de las siguientes ecuacionesordinarias de la hipérbola.

1) 1

9

2

1

1 22

)(y)(x

2 1

49

3

36

8 22

)(y)(x

3) 1

9

2

4

1 22

)(x)(y

148

Ejemplo 2 Dada la ecuación general de la hipérbola encuentra su forma ordinaria

0646472169 22 yxyx

Agrupamos los términos semejantes:

64)6416()729( 22 yyxx

Sacamos el factor común numérico:

64)4(16)8(9 22 yyxx

Completamos el trinomio cuadrado perfecto:

Factorizamos el trinomio cuadrado perfecto: 144)2(16)4(9 22 yx

Dividimos la ecuación entre 144

19

)2(

16

)4(

144

144

144

)2(16

144

)4(9

22

22

yx

yx

Por lo tanto la ecuación ordinaria es: 19

)2(

16

)4( 22

yx

6414464)44(16)168(9 22 yyxx

149

Ejercicios

INSTRUCCIONES.- Expresa en forma ordinaria cada una de las siguientes ecuaciones de la hipérbola

1) 027363841446436 22 yxyx

2) 01276454169 22 x-yxy

3) 02095432916 22 x-yxy

4) 0482045 22 y-xyx

150

Existen criterios posibles por considerar al investigar si una ecuación cuadrática de

la forma 022 FEyDxCyAx representa gráficamente o no una

hipérbola, para este caso comparamos el valor de 22

22

4

4

CA

ACFAECDM

de la

siguiente manera:

Si 0 M

HIP

ÉR

BO

LA

HO

RIZ

ON

TA

L El eje

transverso es horizontal si:

positivo es

y negativo es

MA

MC

C

E

A

DCentro

2 ,

2

MAbMCa 22

Si 0M

Tenemos DOS RECTAS

QUE SE CORTAN

VE

RT

ICA

L

El eje transverso es

vertical si:

negativo es

y positivo es

MA

MC

Ejemplo 3 Determina si las ecuaciones representan o no una hipérbola; en caso afirmativo determina su ecuación ordinaria.

0142183 22 yxyx

151

Se identifican los valores de A, C, D, E, F

A = 3, C = -1, D = 18, E = -2, F = 14


0M 4

436

144

36

16812324

)1()3(4

)14)(1)(3(4)2)(3()18)(1(

4

4

22

22

22

22

M

M

M

CA

ACFAECDM

Como M es diferente de cero por lo tanto representa una hipérbola. Por lo tanto se procede a encontrar el centro y lo valores de “a” y ”b”.

)1,3(

2

2,

6

18

)1(2

)2(,

)3(2

)18(

2 ,

2

C

C

C

C

E

A

DC

12 4

)3(4 )1(4

22

22

22

ba

ba

MAbMCa

La ecuación de la hipérbola es: 112

)1(

4

)3( 22

yx

Ejemplo 2 Determina si las ecuaciones representan o no una hipérbola; en caso afirmativo determina su ecuación ordinaria.

017543294 22 yxyx Se identifican los valores de A, C, D, E, F

A =4, C =- 9, D = -32, E =54, F = -17


05184

0

5184

2448116649216

)9()4(4

)17)(9)(4(4)54)(4()32)(9(

4

4

22

22

22

22

M

M

M

CA

ACFAECDM

Como M es igual a cero por lo tanto representa dos rectas que se cortan

152

Ejercicios

INSTRUCCIONES.- Determina si la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones representa una hipérbola ó dos rectas que se cortan.

1) 0482045 22 y-xyx

2) 04242045 22 yxyx

3) 0142183 22 yx-yx

4) 017543294 22 y-xyx

153

BIBLIOGRAFIA: 1.- Caballero C. Arquímedes, Geometría Analítica, Esfinge (2001) 2.- Cuellar Carbajal, Juan Antonio Geometría Plana, Trigonometría y Geometría Analítica, McGraww-Hill (1999) 3.- Garza Olvera, Benjamín Geometría Analítica, SEP-DGETI (2003) 4.- Lehmann Charles H. Geometría Analítica, Limusa (1994) 5.- Martínez Aguilera, Miguel A. Matemáticas III, Geometría Analítica McGraw-Hill (1997) 6.- Middlemiss-Kindle-Fuenlabrada-Guerra, Matemáticas I, Geometría Analítica McGraw-Hill (1998) 7.- Joaquín Ruiz Basto Geometría Analítica Publicaciones Culturales

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