GEOQUTO GAHIO

LA LiNEA RECTA

Conlunto de puntos que Uenen una misma direCCin, y se extiende en los dos sentidos.

Segmento: Es una porcin de recia hmltada por dos puntos (extremos) .

A B

Segmento: AH

Longitud de Segmento: D istancia que hay entre los puntos extremos.

d A B

Segmento A B mide d

Punto Medio d e un Segmento: Es el punto que divide al segmento en dos segmentos de igual long itud

A M B

M es punto medio de: A B : AM = MB

COREi7#custom

OPERACIONES CON SEGMENTOS Se tiene

3m A P

Entonces .

AR = Al' + PQ + QB

AB = 3 + 6 + 12 'C~

AB = ::!lm

Al) = ,\1' + PO

AQ = 3 + 6

AQ = 9m

Al' = Al) ~ I'l) Al' = 9 ~ 6

AP = 3m

6m Q

12m B

AB =AP + BD ,#,?

COREi7#custom

_EJERC ICIOS DE APLICACiN.

01.En e! grfico AD = 26 m Calcular x

t--X---I ~ . I A P Q B

1--10----1

RESO LUCiN :

26 I A P Q B >-~ 10 X---I

Del grfico

X T 10 + X = 26 2X = 26- 10 1:X =- 16 X = 8

02.En el grfico AD = 50m Hallar X

1-2.\ 20m

A B C

RESOLUCiN :

SOm , . A B e

o

D

>-_\ ~>--:~nm ---+, -\ ---<

Del grfico

].'\ -t- 20 + X 50 3'( =5 0 - 20

3X = 30

X = 30 3

X = IOm

0 3.En una recta se ubican los

puntos consecu tivos. A , B Y C. tal que AB = 5 m ; AD = 33 m ,

A

e es e l punto medio de BD . Hallar AC

RESOL U C i N :

33m fii B e o

~~~--+,---.-~--a~

Del grHico:

5+

04 .En una recta se ubican los puntos consecutivos AB = BC , AC = OC , AO = 40 m . Calcular BO

RESOLUCiN :

AC= DC --------- 40m--------- 8 ' . 9 A a B ' a e o

- - 2a ----+----1a ----

Del grfico :

2a + 2a = 40 4a = 40

a = 10

BD =

NGULOS

ngulo figura formada por dos rectas que tienen el mismo ongen

A .. Lados : OA : 09

O " Vrtice O

Notacin :

NGULO OBTUSO

a

NGULO RECTO

NGULO LLANO

NGULOS ADYACENTES.

Dos ngulos son adyacentes SI tienen e l mismo vrtice y un lado en comn

Lado comun

C----"

b"

O a Q y bo son ngulos adyacentes

NGULOS OPU ESTOS POR EL VERTlCE. Dos angulas son opueslos por el vrtjce SI uno esla formado por la pro lon9aCl6n ce los lados del otro

A

B

C {jO Y f\o son angulas opuestos por el \lertlce

NGULOS COMPLEMENTARIOS (C) Dos ang .Ios son complementarios. SI la suma de sus medidas es 90

A T AMBI;;N"

M C(~t} = 70

C(40} = 50

aO C(JO} = 60 ~o

C(SO}=IOo O B

C(aO) = IIO -ao

u.0 + p0:= 900 l'(bO} = ')11 _ hO

C(a) Complemento de a

ANGULaS SUPLEMENTARIOS (e)

Dos ngulos son suplementarios. si la suma de sus medidas es 1 BO

~ . . ~ e A

S(a): Suplemento de a

PROPI E D A DES

Sea XI) un ngulo

* ccc ". C(X) ={x : Si " n"~s par ''---.,.--' C( X) : Si "11 " es impar

" 'e. cs

. ,{X: Si "n" es par SSS ... S(X) = '---.,-----' S(X): Si " 11" es impar

" \ '''"'

T AMBIN

S(120') = 60'

S(150') = 30'

S(80') = 100'

S(40') = 140'

S (a') = 180' - Cl~

S(B') = 180' - ~'

OPERACIONES CON NGULOS

A C

D

O

Entonces 'i,.

In 1. AOD = 111 < AOJ3 + 111 1:. BOC + m 1:. l'0 0

111 t AOI) = 40 +

t11 f:. AOD ::: 80

111 1- AOFl = 111

'EJERCICIOS DE APLICACiN I

01.Dol grfico: m ,t AOD = I OO

Calcular: m

RESOLUCiN:

Ju ,~ ti' 15"

~u.' 1 tI"

Del grfico:

3a+5 + 2u+ JO +a + 15+90::: 3600

6a + 1200 = 3600

6a = 240'

a= 40

04.Se t ienen los angulos conse-cutivos : AOB : BOC y COD, tal

que :

111 /:. AOB = 2m t COD BOC = 50' Y AOD = 110' Calcu lar ll1 {. BOO

RESOLUCiN :

Del dato

AOD = liD'

B

A

D

Del grfico:

2ao+ 50+ aO = 1 10

3ao+ 50 = 110

3a = 60

a = 200

05.Se tiene n los ngulos conse-cuti vos : ADB : BQC y COD, tal

que: 08 es bisectriz de AOC ,

m {.. BOC = 45, adems:

m i COD = 2m t AOB Calcular: m f:. AOB

RESOLUCi N: Del dato:

o Del grfico:

aO+ 2ao = 45 3ao = 45

a = 1 So

.". m f:- ADB ::: 15

D

RECTAS PARALELAS

Dos rectas que se encuentran en un mismo plano y no se mtersecan

., ________________ --.. L, Notacin . L 11 1 , .,

., ________________ --.. L2

NGU LOS ENTRE RE C TAS PARA LE LAS

A NGULOS CORRESPONOIENTES, L, II L ,

,,'

1"

ANGULOS ALTERNOS INTERNOS, L,II L ,

,,' ~~

1" +-H--,LL---------. L2

ANGULaS ALTERNOS INTERNOS: L ," L,

+-I'----b--,---+ L,

PROPIEDADES

SI I 1/1 J ~

.S, l.," L,

m'

x

n'

." ~, .. ..

,," ..

Se cumple ~0

Se cumple

S, L,II 1 ,

, ..

S, L,II 1 ,

a'

c'

b'

OTRAS PROPIEDADES

. 5, 1 , 11 1,

L, Se cumple

E-bO+~O+Co;o = 1 8~ Tambin

L2 ~o,~cop

.. L,

Se cumple

0+b::CO=3600) L2

\."

+------,,,-----+ LI Se cumple

" , ,

Lados Perpendiculares:

-- ..... b ..

a' LJ. ______ _''_ .. L,

, ..

b'

a' LJ.--____________ -+ L,

a'

X'

_EJERCICIOS DE APLICACiN.

01.5. L." L ~. Hallar x 02.Si L JII L1

. Hallar a

4x+900 _ -----4--_ L,

RESOLUCiN :

50 +-./!---f-'------+ L2

En el grfico.

.. l:>.. + 90+50= 1800

4x + I~Oo = 180o

4x = 180 _ 140

4x = 40 x = 100

60 _-~~~---_ L,

_--~~------+ L2

RESO L UCIN :

Del g rfico:

60 + 1 80 0 - 6a = 90

2.+0 0 - 90 = 6a

ISO = 6a

03.Calcular x Si L r I/L].

+----;c-;-""(7L..--+ L,

+-__ ~'~40~~ ___ + L, /

RESO LUCiN :

+h~--~,L--_ L, _ 5x-1

SO

- 7x-5

140 40-+h~--""~'-""~-_ L,

Del grfico'

5x - 1 + 7" -5:::: 50+40

11, - 6 = 90

12, = 90+6

12;\ :::: 96

, =8

02. Calcular w, SI L I" I "1

+-___ -=_---..L, 6u- tu

60"

RESOLUCi N:

+-__ --,=---,--_ _ L, 6" \U

60'

Propie dad

6,, + 10 + 60 + I~O = 360

6,, + 210 =360

6a =3 60 - 210

6u = 150

a=25

TRINGULOS

Tmingulo es la figura geomtrica formada al unir tres puntos no colineales.

B

a

m' P AL..L:'-----b----'--Jn e

PROPIEDADES :

1 .

2 .

y'

Vrtices : A ; 8 ; e Lados : a . b , e 1:. internos: mO nO y pO

Permetro = 2p = a + b + e

p : semipenmetro

f:. Inlerno~; + b ::.:-e =~ 8(0)

1:. externos: + Y::Z =}soD)

f:. exterior: ~

3 .

Propiedad d e la Exi s tenc ia:

4 . S i: ~ > a

5 . -/:. f o r mado por dos bisect ri c es inter iores

x

(J.

X = 90 + -2

6. {. fo rmado por dos bisectrices exteriores

,,'

7. 1:. formado por una bisectriz interior y una ex te rior

_ EJERCICIOS DE A PLICACi N .

01.En la figura Calcular X'

RESO LUC iN :

50'

=> 50+40-tJ'\=180

11 11

3, ~ 1 ~O - 90

3x ~90

02.Hallar x

RESOLUCiN:

B

x 20+

.

PROB LEMA 01 Sobre una recta se ubIcan los puntosA . B . CyOsl

13(' 2. \Bcm DD =:!6cm y

Al) _ _ l2 cm

Cunto mIde AC?

A) 16 cm O) 19

B) 17 E) 20

PROBL EMA 02

e) 18

'o:, los puntos A. a,c , O se encuen-tran sobre una linea recIa de modo que Be e 5 AC'" SO = 20 Hallar AD

A) 14

O) 12

B) 10 E) 13

PROBLEMA 03

e) 15

Dados los puntos cohneales A N G E , L Tal que

5 \ G+'1E+GL= -AL

3 Nf- = 24 cIl1 . calcule AL

A) 24 cm Ol60

B) 36 El 12

e) 48

PROBLE MA 04 En una rec1a se ubIcan los pun-tos consecutivoS A , S , e y o tal que Ae = 18 . BO = 21 AB = Be HAllar CD

A) 12 O) 18

B) 15 E) 16

PROl3LEMA 05

e ) 10

Un ngulo es Igual a 8 veces su compl emento Hallar el suple-mento de dicho ngulo

A) 70 O) 100'

a) 80 E) 110'

PROBLEMA 06

C) 90"

Hallar el complemento del doble del ngulo 40

A) 10 O) 30'

B) 100' E) 140'

e) 50'

PROBLEMA 0 7

La diferencia de los angulos con-secutJVOS AQB y BOC es 26 Ha-llar la medida del ngulo que for-

ma la blsectnz del < \Ol' con el

rayo OH

A) 13

D) 16

B) 14

E) 17

PRO B LEMA 08

Hallar el valor de x

A) 50

B) 40

e) 10

D) 20

E) 30 A

60

PROBLEMA 09

Ha1Jar el valor de x en'

e B

A E

A) 54 B) 36 D) 15 E) 18

e) 15

e 3,

G

e) 20

PROBLEMA 10

C a lcule ti + P + 0 + r.+$ + e.}

(

F'-"-------'-'

A) 1800

O) 2100 B) 270

E) 240

PRO BLEMA 11

e) 3600

En la figura AS = Be y lQ = QL

Calcule X , SI 1.(. + f-J c:: 100

B

A L e

A) 30 B) 40 C) 4 5 O) 50 E) 55

PROBLEMA 12 .. -En la figura ( 11 ni Y pllq Indicar el valor de ,1

p

2)( .. 45

" m 3x-1 5

q

A) 72 B) 73 e) 74 O) 75 E) 76

PROBLEMA 13 ,.,

PROBLEMA 18 Hallar el pertmetro de la regln sombreada

B C

4

4

A 4 4 D

A ) 5n B) 6n G) 7n

D) Bn E) 9,

PROBLEMA 19 Hallar el rea de la regin sombreada SI AB = 20cm

A) 3 ,4 cm2

e) 158 cm2

E) 150 cm2

A

B) 3 10 cm2

D) 157 cm2

PROBLEMA 20 Ha llar el area de la regln sombreada

B',--__ -=--,C ... 5cm

10 cm

r=5cm A D --10cm--

A) 20.5 cm2

e) 21 .5 cm2

E) 22,5 cm2

B) 21 cm2

O) 22 cm2

I RESOLUCiN DE PROBLEMAS SELECTOS I PROB LEMA 01

RESOLUC I6N

~a I _.'a---i

A B e O

>---- 26 -------<

>-----'2-----

Del grafco AH = 32 - 26 ,\11 = 6 = ,.

Luego

\ C= I Xcm ICLAVE cl

PROBLEMA 02

RESOLUCI6N

A B

5

e O >----- x -----i

Nos piden : :"\ = a + b + 5 Del grfico Ac =a+5} +

81J = 1> +5

J\C BD = a + b+5+ 5 ---------~ :W = x+5 ::!O-5 = X

15 = X ICLAVE C I

PROBLEMA 03

RESOLUCi N a b

A N

e G

; AG+1\L+GI ='- \1

1

NI, = 2~

Del gafico AG = a + b

a E

(1 )

NE= b + l'

GL = c + d

AL =I+ b + c+d

L

ReemplazandO en (1)

5 a -+-.j) + b + e + e + d = -(a+I>+

PRO BLEMA 04 RESOLUCiN

--18--

A 9 B 9 e o ---21---

Del grfico l D = :! I t)

(1) l~

PROBLEMA 05 RESOLUCiN

I CLAVE A l

Sea -u el dngulo enlonces

((1/) I}O 11 .:.;;

Luego

ft X(90 Il)

1I 7211 Su

9() 7:! t1

(L :;:: ~Wo

PROB LEM A 06

El doble de 40 = 80

Luego C (80) = 10

I CLAVE B I

I CLAVE A l

PROBLEMA 07 RESOLUC i N

Del dato

"

PROBLEMA 09 RESOLUCi N

11 + 20 + 20 = ISO' 58 = ISO'

0 = 36

l uego en .. \A BC.

36 + , = 90

:\ = 5-t


Luego

B

x

e

ICLAVE Al

(!l O + BO + {:o + 0 0 + po + $0 = 3600

ICLAVE C I

PROBLEMA 11 RES OLU C i N

B

En .A :

En B : '\.+ b=a+e} + x + a = a+b

2\. + a + b = a+O+a+ b

2, = 100

, = 50

PROBLEMA 12 R ES OLU C i N .

p

3x-15 2x+45

Del grfico.

ICLAVE DI

3x - 15+ 2x + -l5 = 180

5, + 30 = ISO

l uego (L ~ _h 1 .;;

!( == 1(.10) - 15

PROBLEMA 13

RESOLU CIO N Del dato

ICLAVE DI

~_---,,-b __ ~ "

b 10 b 10

b

=> b - 1O+b+b - IO+b= 88

~ b - cO ~ 88

4b ~ 108

b ~ 27

Luego. los lados_ 27 y 17

:.A =27 x 17 ,

A = 459 m-

IC LAVE C I

PROBLEMA 14 RESO LUCIO N

X

x

X4

x',

=> x+x+x + l + x + -l- = 2 J

7m : . x+3 =7

p ~ 7 x 4

P = 2R m

7m D 7m

PROBLEMA 15 RESOLU C IO N

7m

ICLAVE D I

o base. h + Jh = -l-h ~ Luego: 1---- 4h------i

Reemplazando:

bx h ;\ = --

, 1

3 2 =~ 2

16 ~ 1,'

=> h = -l- cm

ICLAVE B I

PROBLEMA 16 RESOLUC iN

I -. \ , \ \1 n

, \ \\1 11 .!.(~(I) , .

A 10m' \.\1 u


B

A-=====~flr====~c ~ " ,\ ~ ,

\ .. ::: 1, 0 45 ,,,rOl,,

CLAVE A

1\ 105'" CLAVEC I ,,'Iuh r . .

PROBLEMA 18 RESOLUCiN

El penmetro eJol area sombreada s-er la longilud de ClrcunferencliI (Lo)

::) L o - 2nl{

R ~ 4

Luego L" = ~n(4)

Lo = ~1t


CLAVE D

So A,8~2't:", A := ~A A---"' ~~ l(kp, ... ,mh 1: 11

I A .... mh ::::;. 3,I" . J()(J

, i\ .. = 157cm ... "",.

PROIiILEMA 20 RESo"LUCIN

CLAVE D I

, e T 'O = 5. t" = 10 1 ItIlJ.14

" S 1 ~,"h.::.ADABC- Ao

.,L>--_~, '-----

PROBLEMAS PROPUESTOS

PROBLEMA 0 1 SI AO ~ 80

2x -20 - 3x A B e D

Calcular SO

A ) 48 S) 56 e) 5D O) 60 E) 62

PROBLEMA 02 En la figura hallar x

I o a A S e o

~--x---

Si AD + CD = 40

A) 10

D) 20

S) 18

E) 30

PROBLEMA 03

e) 12

Se tiene los puntos colrneales y conseoutlvos A B. e y o tal que e es punto medio de BO. y AD + AS = 18 Hallar AC

A) 8 O) 11

S) 9

El 12 e) 10

PROB LEMA 04

En una recta se ubican los pun-tos consecutivos A , B , e y o tal que AC " 24, AD " 40 Y BD " 20. Ha llar Be

A) 2 B) 4 e) 6

D)S E) 10

PROBL EM A OS Se t ienen los puntos cotineales y

consecutivos A, S, e '1 o de ma-nera que AS "" SD := 6 y Be :: CD. Hal lar AC

A) 7 . O) 6 "~

B) 8

E) 10

PROBLEMA 06

el9

D os rectas pa rale las son

intersecadas por una se can te , dos ngulos semeJenles rnlem os entre si como 7 es a 11 Hallar la medida del menor de ellos.

A) 3 0

D) 6 0

B) 40 E) 70

C) 50

PROB L EMA 07

SI ADII REIICF . Ae; 12. Be; 8 : OF = 18. Hallar DE

A) 3 D) 6

B) 4 E) 7

PROB L EMA 08

e) 5

La diagonal mayor de un rombo mide 120m y la diagonal menor 1/ 3 de la diagonal mayor Calcula e l ;.'trp.: d el rombo

A) 20cm 2

O) 22cm2 B) 16cm2

E) 24cm 2

PRO BLEMA 09

C)28cm2

Cul es e l penmetro de todas las regiOnes sombreadas sa biendo que los cuadrados tienen 6cm de fado?

>--6--<

A) 45cm D) 48crn

B) 46cm El 49cm

PRO BLE M A 10

C)47cm

Qu parte de l total re presenta la

re gln pintada?

I

PROBLE MA 12 E.n la fIgura las reglones son eqUl-

valenles a '" IfacCln represen tG la reglon ~ombteada

A) 1/8

D) 1/2

B) 1/6 E) 1/4

PROB LEMA 13

e) 1/3

Dos lados de un tnngul ITllden 6em y 15cm Hallar la suma del mlmmo y mxlmo valor del tercer lado para que el tf!c)ngulo eXIsta

A) 3 1cm D) 21

B) 28 E) 40

e) 30

PROBLEMA 1. En la figura la reg lOn P es un cua-drado de 32cm de pe rTmelro El rea de la reg lOn O es

A) 8m2

O} 32m'

p

12m

.. Q 16m

B) 12m' E) 64m2

PROBLEMA 15 Calcule el area de la reg lOn sombreada

A) 20m' D) 32m'

8m - -

16m

B) 10m2

E) 30m'

PROBLEMA 16 Calcule (.L en la figura

D

A) 18' D) 19"

A

, -"

B) 20'

E) 12'

PROBLE MA 17

"

SI L,"L~ Hallarx_

s"

C)40m2

B

c.

e) 25'

______ ~~~--__ L

" ,

1"

+-------~~--------. L

B

E

O

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