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Bienvenidos a nuestra granja. Hoy nos acompañarán en un recorrido por los sitios en donde recogemos, cosechamos, empacamos y distribuimos nuestros deliciosos y nutritivos alimentos. Veremos cómo los números naturales, siendo unos múltiplos o divisores de unos números, siendo divisibles por muchos o por pocos números, pueden resultar muy útiles en nuestro trabajo aquí. ¡Acompáñanos!

Clase: Nombre:

INTRODUCCIÓN

DESCRIBIR RELACIONES ENTRE NÚMEROS NATURALES

MatemáticasUnidad 1Grado 5

Los números naturales y sus relaciones en la multiplicación y la división

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• Encontrar propiedades relativas a los múltiplos.

• Encontrar propiedades relativas a los divisores.

• Clasifi car números naturales de acuerdo a su cantidad de divisores.

• Resolver situaciones problema que requieran la identifi cación del máximo común divisor.

• Resolver situaciones problema que requieran la identifi cación del mínimo común múltiplo.

Identifi car situaciones en donde están inmersas las relaciones multiplicativas y de divisibilidad entre números.

Objetivos

Responde la siguiente pregunta:

Hay dos números bien particulares: uno de ellos cabe dentro de todos los números, pero solo cabe dentro de sí mismo. El otro cabe en todos, pero ninguno cabe en él. ¿Podrías identifi carlos?

Grado 5 Matemáticas

3

• ¿Qué relación existe entre los números 6, 12 y 18?

ACTIVIDAD 1

En el corral de las gallinas: múltiplos.

En la granja de nuestros amigos hay tres gallinas que ponen más huevos que las demás, pues cada una pone 6 huevos. Si en una canasta recogemos estos huevos, al guardar los de una gallina, dentro de la canasta habría 6 huevos. Al recoger los de otra, habría 12 huevos en la canasta. Al guardar los 6b de la última gallina, dentro de la canasta habría 18 huevos en total.


4

1. Completa la tabla y determina la cantidad de huevos que una de estas gallinas pone por días

2. Con todas las gallinas pueden llenarse 8 cubetas de huevos por día.Ahora completa la siguiente tabla, teniendo en cuenta el número de cubetas que pueden llenarse

0

0

01

1

64

2

7

3

11

5

13

10

17

15

21

22

35

37

46

54

58 100

100

Días

Días

Huevos

Cubetas


5

Teniendo en cuenta las tablas que llenaste, responde las siguientes preguntas:

• ¿Qué procedimiento empleaste para llenar las tablas?

• Imagina un número muy grande. Supón que ese es el número de días que nuestra amiga lleva recogiendo los huevos que ponen las gallinas de la granja. Podemos calcular el número de huevos, sabiendo que si el número de días es grande, el de huevos es muchísimo mayor ¿Podemos seguir calculando para números cada vez más grandes? ¿Por qué?

3. Ahora escribe en las siguientes tablas los dos primeros múltiplos de los números ya dados:

Mùltiplos de 3

0N 1

Mùltiplos de 7

0N 1


6

4. Escribe los múltiplos de otros dos números en las siguientes tablas

5. Responde las siguientes preguntas:

• Fíjate en los números que has escrito en cada tabla, los cuales son algunos múltiplos de los números ya dados. ¿Has escrito como múltiplo el número proporcionado en cada tabla? Describe cómo entiendes la relación que guardan estos números con el número proporcionado en cada tabla.

• Fíjate en el primer número que has escrito en cada tabla que has llenado. ¿Qué puedes concluir de estos resultados?¿Crees que esto sucede con todos los números hasta el infi nito?

Mùltiplos de

Mùltiplos de

0

0

N

N

1

1


7

• En la siguiente tabla se muestran los múltiplos del número 1 menores o iguales a 10:

Si comparas esta tabla con todas las que has llenado hasta ahora, ¿qué puedes concluir? Si la tabla de los múltiplos del 1 pudiera escribirse completa, ¿crees que encontrarías a todos los números naturales?

• Fíjate en el primer número que has escrito en cada tabla que has llenado. ¿Qué puedes concluir de estos resultados? ¿Crees que esto sucede con todos los números hasta el infi nito??

Mùltiplos de 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N

Un múltiplo de un número es aquel que puede contenerlo un número exacto de veces

• El 12 es múltiplo de 2 porque lo contiene 6 veces. • El 20 es múltiplo de 5 porque lo contiene 4 veces.

Los múltiplos de un número se calculan multiplicando este número por los números naturales {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 .......} , es decir, los múltiplos de un número son todos los números que podrías encontrar como resultado en una tabla de multiplicar con todos los números


8

6. Escoge dos múltiplos de 4 y súmalos, réstalos y multiplícalos entre sí y escribe los resultados en los recuadros. Luego compara los resultados con los números de la siguiente tabla


¿Los resultados que escribiste también aparecen entre los números que están en la tabla?

Si no es así, ¿crees que esos números aparecerían si la tabla abarcara más múltiplos del 4?

+ - x

Multiplos de 4 4 2812 3620 448 3216 4024 48 ...


9

8. Escoge dos múltiplos de 7. Luego encuentra 4 de sus múltiplos y escríbelos en las tablas.


• Compara la tabla con los múltiplos de 7 y las dos tablas que acabas de realizar y escribe tus conclusiones

¿Crees que esto mismo sucede con los múltiplos de cualquier otro número?

Multiplos de 7

Multiplos de Multiplos de

• ¿Crees que todos los múltiplos de los números que escogiste son múltiplos de 7?

7 6335 9121 7749 ...14 7042 9828 8456


Si tuvieras que empacar 12 mazorcas usando canastas en las que caben de a una mazorca, de a dos, de a tres, y así sucesivamente hasta doce mazorcas, tendrías 6 opciones diferentes para recogerlas todas sin que sobre espacio en las canastas. Encierra dentro de un círculo las canastas que podrían usarse para guardar todas las mazorcas sin que sobre espacio y escribe cuántas canastas de cada una deben usarse.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

10

ACTIVIDAD 2

1.


Empacando mazorcas: divisores

11

2 Responde las siguientes preguntas:

• ¿Qué operación realizas para identifi car las cajas qué sirven?

• Si existieran 18 mazorcas y cajas con capacidades de 1 a 18 mazorcas, ¿cuántas cajas de cada una de las seleccionadas se necesitarían para almacenar 18 mazorcas?

• ¿Qué cajas nos sirven para empacar tanto 12 como 18 mazorcas sin que sobre espacio?

Un divisor de un número es aquel que está contenido en él en número exacto de veces. Si realizamos la división entre un número y su divisor, el residuo siempre será 0

• El 3 es divisor de 12 porque 3 es contenido en 12 exactamente 4 veces.

12 ÷ 3 = 4; residuo = 0

• El 5 es divisor de 30 porque 5 es contenido en 30 exactamente 6 veces.

30 ÷ 5 = 6; residuo 0

¿Sabías que si el 5 es divisor de 30, entonces 30 es múltiplo de 5? Así es, si un número es divisor de otro, este último es un múltiplo del primero


12

3 Responde las siguientes preguntas:

4. Ayuda a nuestros amigos a empacar las mazorcas de los bultos en canastas. Tacha con una “X” las canastas que sirven para empacar todas las mazorcas sin que sobre espacio en ellas.

• ¿Existe algún número qué sea divisor de todos los números naturales? ¿Cuál? ¿Por qué?

• ¿Existe algún número que tenga como divisor a cero? Justifi ca la respuesta.

19 20 21 22 23 24

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

24


13

36

54

19 20 21 22 23 24

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

31 32 33 34 35 36

25 26 27 28 29 30

19 20 21 22 23 24

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

31 32 33 34 35 36

25 26 27

28 29 30

40 41 42 43 44 4537 38 39

49 50 51 52 53 5446 47 48


Escoge las cajas que permiten recoger los plátanos producidos en la granja

14

ACTIVIDAD 3

1.

12345678910

11

12

13

14

15


En el platanal: números primos y compuestos

15

2

3

Organiza los números de acuerdo al número de divisores el menor número de grupos posibles.

Responde las siguientes preguntas:

• ¿Qué características comunes comparten los números de cada grupo?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 2 5 2 7 2 3 2 11 2 13 2 34 3 4 9 5 3 7 5

6 8 10 4 14 15612


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•¿Es posible encontrar las mismas características en números mayores? Compruébalo por medio de un ejemplo para cada grupo.

Un número primo es aquel que tiene solo dos divisores: el 1 y el mismo número

•El 5 es un número primo porque solo puede dividirse por el 1 y el 5

•El 13 es un número primo porque solo puede dividirse por el 1 y el 13

Un número compuesto es aquel que tiene más divisores que el 1 y el mismo número

•El 4 es un número compuesto porque sus divisores son más que el 1 y el 4, pues también puede dividirse por 2

•El 15 es un número compuesto porque sus divisores son más que el 1 y el 15, pues también puede dividirse por 3 y 5


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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

2: Es divisible por 2 todo número cuya última cifra sea un número par (2, 4, 6, 8) o 0 Ej: 254, 870

3: Si la suma de las cifras de un número es múltiplo de 3, es divisible por 3. Ej: 345 (3 + 4 + 5 = 12, y 12 es múltiplo de 3)

5: Es divisible por 5 todo número cuya última cifra sea 5 o 0. Ej: 475, 260

7: Todos los múltiplos de 7 pueden dividirse por ese número. Ej: 161 (161 = 7 x 23); 357 (347 = 7 x 51)

11: Todos los múltiplos de 11 pueden dividirse por ese número. Ej: 121 (121 = 11 x 11= 121); 693 (693 = 11 x 63)

13: Todos los múltiplos de 13 pueden dividirse por ese número. Ej: 104 (104 = 13 x 8); 156 (153 = 13 x 12)

4 Encuentra todos los números primos del 1 al 100. Para ello, tacha de la tabla todos aquellos números cuyos divisores sea alguno de los primeros números primos. Para ello, ten en cuenta los criterios de divisibilidad:

2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100


Así es, todos los números naturales pueden expresarse en sus factores primos. Para realizar la descomposición factorial de un número natural:

1.Debes escribirlo y a su derecha una línea vertical.

2.Al lado derecho de esa línea debes escribir el menor número primo que pueda dividir, de forma exacta, el número a descomponer.

3.Luego, debes escribir el cociente de la división debajo del número que descompones.

4.Si puedes continuar dividiendo el número que acabas de escribir por el mismo número primo usado anteriormente, vuelve a escribirlo al otro lado de la línea y el nuevo cociente debajo del anterior. Si el número primo utilizado primero no puede dividir ese cociente, escribe el siguiente número primo que pueda dividirlo al otro lado de la línea.

5.Al fi nal, el cociente fi nal de toda descomposición debe ser el 1.

Para expresar un número en sus factores primos, debes escribir todos aquellos números primos usados en su descomposición. Como exponente de cada uno de ellos, escribe el número de veces en que fue utilizado cada uno de ellos.

Fíjate en los siguientes ejemplos:

18

ACTIVIDAD 4


¡Todos los números naturales pueden descomponerse en factores primos!

3015

51

12631

235

223

12 = 22 x 3 30 =2 x 3 x5

Realiza la descomposición en sus factores primos de los siguientes números y escribe la expresión matemática de cada descomposición factorial

19

1.


84

1078

147

357

780

861

Ahora escribe otros tres números de 2 o más cifras, realiza la descomposición factorial de cada uno de ellos y escribe fi nalmente su expresión matemática.

En la granja, nuestros amigos recogen la leche producida por sus vacas en cantinas de 20 litros y de 24 litros. Un camión es cargado solo con cantinas de 20 litros, mientras que el segundo camión es cargado con las de 24. Si ambos camiones cargan la misma cantidad de litros de leche, ¿Cuántas cantinas, como mínimo, fueron cargadas en los camiones?

20

2.

ACTIVIDAD 5


Cargando cantinas de leche: mínimo común múltiplo (m.c.m.)

24L 20L

Escribe los primeros 10 múltiplos de 20 y 24. Luego encierra en un círculo el número que da respuesta al problema planteado.

21

• ¿Por qué crees el número encontrado da solución al problema?

1.

1

1

Cantinas

Cantinas

Litros

Litros

2

2

6

6

4

4

8

8

3

3

7

7

5

5

9

9

10

10


24L

20L

Realiza la descomposición factorial de 20 y 24 y exprésalos matemáticamente.

Escoge los factores primos en común con el mayor exponente y los factores no comunes. Multiplica estos números entre sí y escribe el resultado. ¡Así se puede hallar el mínimo común múltiplo entre 20 y 24!

Encuentra el m.c.m. de los siguientes números. Puedes usar el recuadro para hacer operaciones y escribir la expresión matemática de la descomposición factorial de cada número. Al fi nal, escribe el m.c.m.

3.

4.

22

2.


20

32 76 94

24

Mìnimo Comùn Mùltiplo (20,24)

(m .c .m) =

= X X

23


m .c .m (32,76,94) =

Nuestros amigos de la granja recogen 12 duraznos, 20 manzanas y 24 peras en canastas. Si en todas las canastas cosecharon la misma cantidad de frutas de cada clase y usaron la mayor cantidad de canastas posibles, ¿cuántas canastas lograron llenar?

ACTIVIDAD 6

Recogiendo frutas: máximo común divisor (M.C.D.)

Escribe los divisores de 12, 20 y 24. Luego, encierra en un círculos azules los divisores comunes y colorea el cuadrado con el número que da solución al problema planteado.

24

• ¿Qué procedimiento realizaste para obtener el resultado?

1.


D(12)

D(20)

D(24)

Realiza la descomposición factorial de 12, 20 y 24 y exprésalos matemáticamente.

Escribe solo los factores comunes con el menor exponente. Si es solo un número, escribe la potencia. Si son más, multiplícalos entre ellos. ¡Así es como se halla el máximo común divisor!

Encuentra el M.C.D. de los siguientes números:!

25

2.

3.

4.


12

96

20

104

24

244

Mìnimo Comùn Divisor (12, 20, 24)

(m .c .d) =

=

26


M. C. D. (96, 104, 244)=

RESUMEN

Hemos aprendido mucho sobre relaciones entre números naturales.

Propiedades de los múltiplos:• Todos los números naturales son múltiplos de sí mismos y de la unidad.• La suma de varios múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.• La diferencia de dos múltiplos de un número es otro múltiplo de dicho número.• Si un número es múltiplo de otro, todos los múltiplos del primero lo son también del segundo

Propiedades de los divisores:• La unidad es divisor de cualquier número.• Ningún número natural puede dividirse entre 0• Si un número es divide de forma exacta otros dos números, puede dividir también de la misma forma la suma y resta de esos números• Si un número es divisor de otro, también lo es de cualquier múltiplo del primero

Números primos y compuestos:• Un número primo solo tiene como divisores la unidad y él mismo• Un número compuesto tiene más divisores que la unidad y él mismo

Descomposición de números en factores primos:Aprendimos que todos los números compuestos pueden descomponerse en factores primos, es decir, pueden expresarse como la multiplicación de números primos.

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TAREA

Mínimo común múltiplo (m.c.m.):Para hallar el mínimo común múltiplo entre 2 o más números, descomponemos los números involucrados y luego seleccionamos los factores comunes con el mayor exponente y luego los factores no comunes. Finalmente, multiplicamos esos factores.

Máximo común divisor (M.C.D.):Para hallar el máximo común divisor entre 2 o más números, descomponemos los números involucrados y luego seleccionamos los factores comunes con el menor exponente. Finalmente, multiplicamos esos factores.

En la granja de nuestros amigos también producen panela en tres presentaciones: grande, mediana y pequeña. En un mes producen 15 de las pequeñas, 9 de las medianas y 11 de las grandes.

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• Si solo conociéramos esas cifras, ¿qué operaciones deben realizarse para saber las cantidades producidas durante un año y un año y medio de cada presentación de panela? ¿Cuáles son esas cantidades?

• Suponiendo que vamos a hacer paquetes con toda la producción de panela de los tres tamaños que se elabora en un año, ¿de cuántas formas se podría empacarse toda esa panela, si deben empacarse separadamente por presentación y cada paquete debe tener la misma cantidad de panelas? ¿Se podría dar la situación en que alguna de esas cantidades de panelas producidas en un año sea un número primo? Explica tu respuesta.

• ¿Cuántas panelas de cada presentación se producen al segundo, tercero, cuarto y quinto mes?


Con base a esta información, el estudiantado debe responder las siguientes preguntas:

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• El proceso para hacer panelas pequeñas demora 8 horas, en el caso de las medianas tarda 12 horas, mientras que para hacer las grandes se necesitan 18 horas. Si nuestros amigos empiezan hacer panelas de las tres presentaciones al mismo tiempo, ¿cuántas horas deben pasar como mínimo para que los procesos vuelvan a comenzar al mismo tiempo?

• En la bodega nuestros amigos guardan 120 de las pequeñas, 160 de las medianas y 180 de las grandes. Si se quieren empacar la mayor cantidad de cajas con estas panelas, ¿cuántas cajas deberían usar? ¿Cuántas panelas de cada presentación vienen en cada una de ellas?


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