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GRADO EN MATEMÁTICAS

ASIGNATURA: Funciones Generalizadas y sus Aplicaciones

Carácter

Asignatura optativa

Ubicación dentro del plan de estudios y duración

Materia: Análisis Funcional.

Cuarto curso, segundo semestre.

Su ubicación se justifica por su carácter optativo.

Créditos ECTS

6 créditos ECTS (150 horas),

Responsable de la docencia

Departamento de Álgebra, Análisis Matemático, Geometría y Topología.

Facultad de Ciencias

Profesor: Fernando Gómez Cubillo

Despacho: A237

Correo electrónico: fgcubill@am.uva.es

Idioma en que se imparte

Castellano

Requisitos previos

Es recomendable haber cursado las asignaturas “Cálculo Infinitesimal”, “Análisis Matemático”, “Introducción a los Espacios

de Funciones”, “Análisis Real” y “Ampliación de Ecuaciones Diferenciales”.

Competencias a desarrollar

Competencias Generales

G2. Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias

que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro del área de

las Matemáticas.

G4. Poder transmitir, tanto de forma oral como escrita, información, ideas, conocimientos, problemas y soluciones del ámbito

matemático a un público tanto especializado como no especializado.

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G5. Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores en Matemáticas

con un alto grado de autonomía.

G6. Utilizar bibliografía y herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas, incluyendo los recursos

telemáticos.

G7. Leer y comprender textos científicos tanto en lengua propia como en otras de relevancia en el ámbito científico,

especialmente la inglesa.

G10. Tener la capacidad de trabajar en equipo, aportando orden, abstracción y razonamiento lógico; comprobando o

refutando razonadamente los argumentos de otras personas y contribuyendo con profesionalidad al buen funcionamiento y

organización del grupo.

Competencias Específicas

E1. Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de

las Matemáticas, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.

E2. Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de las Matemáticas.

E3. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos, y ser capaz de utilizar este

objeto en diferentes contextos.

E4. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada, y de otros ámbitos)

distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas con demostraciones o refutarlas con

contraejemplos, así como identificar errores en razonamientos incorrectos.

E5. Capacitar para el aprendizaje autónomo de nuevos conocimientos y técnicas.

E6. Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.

E7. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas

más adecuadas a los fines que se persigan.

E8. Planificar la resolución de un problema en función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de

tiempo y recursos.

Resultados de aprendizaje

Comprender el significado de la convergencia de las funciones test y su aplicación a la definición de las distribuciones.

Captar el sentido en el que las distribuciones son funciones generalizadas. Familiarizarse con las operaciones fundamentales

con distribuciones. Manejar con soltura las propiedades de la transformación de Fourier, tanto de funciones como de

distribuciones, así como sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales lineales. Entender que los espacios de Sobolev

constituyen generalizaciones de los Espacios Lp, y captar el significado de los teoremas de dualidad. Adquirir un

conocimiento preliminar de las aplicaciones a las ecuaciones en derivadas parciales de tipo elíptico.

Breve descripción de contenidos

El espacio de las funciones test.

Distribuciones. Cálculo con distribuciones. Convolución de distribuciones.

Distribuciones temperadas. Transformación de Fourier.

Espacios de Sobolev: teoremas de densidad y dualidad.

Aplicaciones al estudio de los operadores elípticos.

Principios Metodológicos/Métodos Docentes

A continuación se describen algunos aspectos de las actividades formativas presenciales: naturaleza de

la actividad, metodologías que se utilizan, etc.

• Clases Teóricas: Por este tipo de actividad se entiende las clases en las que el profesor presenta el corpus teórico de la

asignatura. Corresponde en gran medida al concepto de lección magistral, aunque se entiende que el profesor puede contar

con otros recursos docentes e informáticos. Lleva consigo una interacción del alumno más limitada que en otras actividades.

Estas clases magistrales pueden también ser de exposición de técnicas de resolución de problemas.

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• Resolución de problemas: Esta actividad comprende clases en las que se resuelven ejercicios y problemas con

intervención del estudiante, aunque siempre orientada por el profesor.

• Tutorías y seminarios, incluyendo presentaciones de trabajos y ejercicios propuestos: En este apartado se incluyen

varios tipos de actividades, todas ellas con la componente común de servir de fomento y apoyo del aprendizaje autónomo de

los alumnos con la asistencia del profesor.

a) Tutorías individualizadas: Tutorías personales en las cuales el alumno solventa con ayuda del profesor las dificultades que

ha encontrado en su estudio personal. Se incluye en este apartado la posibilidad de realizar estas tutorías utilizando medios

como correo electrónico, foros de internet o alguna plataforma de enseñanza.

b) Tutorías grupales: Actividades participativas de aclaración de dudas sobre teoría y problemas, supervisión de trabajos y

comentarios de lecturas propuestas en las que cada alumno expone sus dudas y contribuye a la solución de las dudas de los

demás.

c) Seminarios de resolución de problemas: Actividad en la que los estudiantes deben dedicar un tiempo establecido a resolver

de forma individual o bien con algún compañero algunos problemas propuestos. El profesor supervisa y ayuda, exponiendo

en la pizarra comentarios que considera de interés general.

d) Exposición de trabajos y ejercicios propuestos: Los alumnos, de forma individual o en grupo, exponen sus trabajos, y

contribuyen con sus dudas y comentarios en las exposiciones de sus compañeros.

Procedimientos y criterios de evaluación

La evaluación de cada uno de los estudiantes tendrá dos componentes diferenciadas:

Evaluación continua: Se llevará a cabo a lo largo del curso mediante la realización y entrega de trabajos (principalmente

resolución de problemas propuestos) y la exposición de temas previamente fijados por el profesor. Puede incluir también

controles escritos. Dependiendo de la carga de trabajo exigida, supondrá entre el 30% y el 40% de la nota total.

Examen final: Prueba escrita de 4 horas de duración en la que se propone resolver varios problemas.

Tanto en las convocatorias ordinarias como en las extraordinarias el estudiante puede elegir entre la media ponderada de la

evaluación continua y el examen final por un lado y la nota del examen final (renunciando a la evaluación continua) por otro.

Recursos de aprendizaje y apoyo tutorial

Se pondrán a disposición del alumnado los recursos necesarios para la realización de las actividades formativas presenciales

descritas en la sección “Principios Metodológicos/Métodos Docentes”. Dichas actividades se realizarán en los espacios

asignados de la Facultad de Ciencias y el Aulario-Biblioteca del Campus Miguel Delibes de la UVa. Se añaden a éstos

recursos los propios de la plataforma Moodle del Campus Virtual de la Uva, Bibliotecas, Servicios Administrativos, etc.

El horario de tutorías del profesorado se fijará según la normativa de la UVa.

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Tabla de Dedicación del Estudiante a la Asignatura/Plan de Trabajo

ACTIVIDADES PRESENCIALES Horas TRABAJO PERSONAL DEL ALUMNO Horas

Clases teóricas 18 Estudio autónomo individual o en grupo 60

Resolución de problemas en grupos reducidos 23 Preparación y redacción de ejercicios u otros

trabajos 18

Clases con ordenador en el aula de informática Programación/experimentación u otros trabajos

con ordenador/laboratorio

Tutorías y seminarios, incluyendo

presentaciones de trabajos y ejercicios

propuestos

15 Documentación: consultas bibliográficas,

Internet… 12

Sesiones de evaluación 4

Total presencial 60 Total personal 90

Bibliografía

R.A. Adams, J.J.F. Fournier, Sobolev spaces (Second edition), Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2003.

N. Bourbaki, _ El_ements de math_ematique, topologie g_en_erale, Hermann, Paris, 1971.

H. Brezis, Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations, Springer, New York, 2011.

D.D Haroske, H. Triebel, Distributions, Sobolev spaces, elliptic equations, EMS Textbooks in Mathematics. European

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F. Hirsch, G. Lacombe, _ Eléments d'analyse fonctionnelle, Masson, Paris, 1997; Elements of functional analysis (Translated

from the 1997 French original by Silvio Levy), Springer-Verlag, New York, 1999.

J. G. Hocking, G. S. Young, Topología, Reverté, Barcelona, 1966.

J. Horvath, Topological vector spaces and distributions, Addison-Wesley, Reading, 1966.

H. Jarchow, Locally convex spaces, B. G. Teubner, Stuttgart, 1981.

V. K. Khoan, Distributions, analyse de Fourier, opérateurs aux derivées partielles, Vuibert, Paris, 1972.

W. Rudin, Análisis funcional, Reverté, Barcelona, 1979.

W. Rudin, Análisis real y complejo, McGraw-Hill, Madrid, 1988.

H. H. Schaefer, Topological vector spaces, MacMillan, New York, 1967.