ANÁLISIS DE GRAFICAS

Gabriel Díaz, Fabián Tapia, Oscar Yepez.

Laboratorio de Datos y Señales; Departamento de Física,

Universidad del Cauca, Popayán.

17 de noviembre de 2009

Presentado a: Mag. Carlos Felipe Ordoñez.

RESUMEN:

En el laboratorio de datos se

realizaron graficas en papel

milimetrado, semilogaritmico y log-

log, para aprender a realizar análisis

de grafica, como encontrar la

ecuación de la recta a partir de la

grafica. Los resultados nos indican

que en algunos casos el necesario un

tratamiento adicional de estos datos

graficados para poder obtener una

recta perfecta.

INTRODUCCIÓN:

Una grafica es la representación de

datos, mediante líneas, superficies o

símbolos, para ver la relación que

estos datos guardan entre sí.

También pueden ser un conjunto de

puntos, que se plasman en

coordenadas cartesianas, y sirven

para analizar el comportamiento de

un proceso, o un conjunto de

elementos o signos que permiten la

interpretación de un fenómeno.

La mayoría de las veces en el

desarrollo del trabajo experimental,

se encuentra que las cantidades

físicas involucradas en el estudio no

son independientes sino que están

relacionadas entre sí. Esto significa

que al variar una de las cantidades, la

otra también cambia.

Para visualizar la dependencia

funcional de una cantidad física

respecto a otra se suelen graficar. De

esos gráficos podemos hallar

información cuantitativa importante

que podría ser usada para verificar

una teoría o para proponer otra. Otras

veces estas relaciones se utilizan

simplemente para visualizar un

comportamiento.

Para obtener la relación entre dos

variables experimentales se utilizan

diversos tipos de pape (milimetrado,

semilogaritmico y log-log). La idea

fundamental es de lograr en cada

caso una línea recta.

Gráficas lineales

Si la gráfica de los puntos

experimentales en papel milimetrado

sugieren a simple vista que están

relacionados por una función lineal (y

= mx + b), con y en las ordenadas y x

en las abscisas, podemos predecir

una línea recta de pendiente m, y

punto de corte con las ordenadas b.

La pendiente de la mejor recta,

obtenida por el método visual, se

calcula mediante dos puntos de esa

recta: (y1,x1) e (y2,x2), mediante la

ecuación:

m = (y2- y1) / (x2- x1 ),

Mientras que b es el valor de la

ordenada cuando la abscisa vale

cero.

Muchas veces ocurre que al graficar

los puntos experimentales en papel

milimetrado se nota que no están

relacionados por una línea recta. Si

sospechamos que la relación es

exponencial, es conveniente graficar

el logaritmo en base 10 de y en

función de x. Al tomar el logaritmo en

base 10 a ambos lados de la relación

exponencial

y = b eax obtenemos:

Log y = log (b eax ) = log b + (log e)

ax.

Siendo Y = log y, se puede escribir

que:

Y = B + Ax

Con B = log b y A = (log e) a.

Entonces, al graficar Y en función de

x en papel milimetrado, nos dará una

línea recta de pendiente A, la cual

podemos calcular mediante:

A = (Y2- Y1)/ (x2- x1 )

A= (Log y2 - Log y1) / (x2- x1 )

Para no calcular logaritmos se usa el

papel semilogarítmico. El fabricante

coloca en la ordenada el logaritmo en

base 10 de los números que muestra.

Para graficar en las ordenadas

simplemente debemos poner el valor

directamente y el papel lo traduce a

logaritmo en base 10.

OBJETIVO GENERAL:

Desarrollar y elaborar graficas

lineales en papel milimetrado,

semilogaritmico y log-log con

el fin de analizar y encontrar

su respectiva ecuación lineal,

pendiente e intercepto.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Observar e interpretar los

gráficos obtenidos en el papel

milimetrado, semilogaritmico,

log-log.

Determinar las ecuaciones

lineales de las diferentes

graficas obtenidas.

Desarrollar y discutir las

diferencias de los gráficos

obtenidos en los distintos

papeles, milimetrados,

semilogaritmico y log-log.

Desarrollar los ejercicios

propuestos para poder analizar

los beneficios en dichos

papeles.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

El estudio se realizo usando varios

papeles, para graficar medidas, los

cuales eran:

Papel milimetrado.

Papel semilogaritmico.

Papel Log-Log.

Los diferentes papeles utilizados se

los aprecia en la figura1.

Papel milimetrado

Papel semiilogaritmico

Papel Log-Log

Figura1: Papeles para ubicar los

datos.

El papel milimetrado se lo uso para

graficar las tres tablas de datos

propuestas, con el fin de observar la

tendencia de la recta y así poder

hacer el cambio de variable, si es

necesario. En total se realizaron 5

graficas, 3 en papel milimetrado, 1 en

papel semilogaritmico y 1 en papel

Log-Log.

RESULTADOS Y DISCUSION

Procedimiento 1: Grafica de los

datos de velocidad y tiempo.

Los datos medidos se presentan en la

tabla1, en los que la velocidad V es

tomada en metros por segundo, y el

tiempo T es tomada en segundos.

V(m/s) T(s)

2.3 m/s 1.0 s

3.2 m/s 1.9 s

3.9 m/s 2.6 s

4.6 m/s 3.4 s

5.3 m/s 4.1 s

5.9 m/s 4.9 s

Tabla1: Datos de V y T.

Una vez analizados los datos se

determino que la velocidad V, se

ubicara en el eje de ordenadas

(vertical) y por consiguiente va ha ser

dependiente del tiempo T; y el tiempo

T, se lo ubicar en el eje de abscisas

(horizontal) y va hacer el valor

independiente.

Se prosiguió a elaborar la respectiva

grafica en el papel milimetrado, esta

se la presenta en la grafica1 (ver

anexos). Una vez hecho esto se

realizó los respectivos cálculos para

encontrar la ecuación lineal,

pendiente e intercepto.

Ecuación de la grafica:

Se tiene que la ecuación de una recta

es V=mT + b, donde m es la

pendiente y b es el intercepto con el

eje de ordenadas (V), cuando el eje

de abscisas (T) es igual a cero (0).

Realizando los distintos cálculos,

tomando puntos de nuestra grafica,

se obtuvo que para V en función de

T, la ecuación es:

V = 0.9T +1.4

Valor de la pendiente y su

significado físico:

El valor de la pendiente se obtiene de

tomar dos puntos de la recta y se

resuelve la siguiente fórmula:

m=∆V∆T

Remplazando puntos tomados de la

grafica obtenemos que el valor de la

pendiente:

m=0.9

El significado físico de la pendiente

de la grafica, es que esta sería la

aceleración a, esto se deduce de que

como la pendiente m, es una división

entre V y T; las dimensiones de V son

m/s y las da T es s, así pues al

dividirlas se obtendrá m/s2, y por

defecto esa es la dimensión de la

aceleración a.

Valor del intercepto y su

significado físico:

El intercepto se lo puede obtener

directamente de la grafica o por

cálculos, en este caso la ecuación

para hallar el intercepto es: V-mT= b.

Reemplazando los respectivos datos

se obtiene el valor del intercepto:

b= 1.4

El significado físico del intercepto de

la grafica, nos dice que este es la

velocidad inicial con que se empieza,

y posteriormente en el incremento del

tiempo T la velocidad no disminuirá

de 1.4, ya que la grafica en lineal.

Otras conclusiones de la grafica:

1. Se observa en la grafica, da

como resultado una recta

perfecta al trazarla en papel

milimetrado.

2. No es necesario hacer cambio

de variables y graficar en otro

tipo de papel, ya que en la

grafica se puede analizar

perfectamente por no ser una

curva.

3. No todos los puntos ubicados

en el papel milimetrado pasan

por el trazo de la recta, pero a

su vez la distancia entre estos

y el trazo es mínima. en la

grafica se observa que no

pasan por el trazo de la recta 3

puntos.

Discusión procedimiento 1

El hecho de graficar en papel

milimetrado, quiere decir que el trazo

de la recta nos dará mucho mejor que

al trazarla en un papel normal, ya que

en el papel milimetrado se tienen

puntos que son muy precisos,

haciendo que el error humano sea

mínimo.

Los valores experimentales

presentados en la tabla1, son los

puntos con los cuales podre analizar

mi grafica, estos datos tienen una

incertidumbre de ±0.1, tanto para V y

para T, en donde V es dependiente, y

esta dado en m/s; y T es

independiente, y esta dado en s.

El visual de la grafica1 (ver anexos)

permite deducir si es necesario

cambiar variables y graficar en otro

tipo de papel, también se observa

que nos da como resultado una recta

perfecta, lo que significa que se

puede analizarla sin cambiar

variables, ni graficar en otro papel

diferente. La grafica nos da como

resultado un movimiento uniforme.

Con respecto a la ecuación se tiene

V= 0,9T+1.4, en donde se interpreta

que el grado de inclinación es 0,9(m),

que también se interpreta como la

aceleración a, se puede decir que la

recta no estará muy inclinada hacia el

eje de las ordenadas. El intercepto

es de 1.4, lo que significa que se

empezó en esta posición cuando el

experimentador empezó a contar el

T, esto nos dice que las velocidades

siguiente serán mayores que 1.4, lo

que hace que la recta sea

proporcional tanto para V y para T.

Procedimiento 2: Grafica de los

datos de X y Y.

Los datos medidos se presentan en la

tabla 2. Donde se presentan las

variables X y Y.

Los datos no presentan unidades de

medida. Por defecto el eje de las

ordenadas es llamado Y, por lo que

se ubico aquí nuestra Y, que va ser

dependiente, y a nuestra X, en el eje

de las abscisas y va ser

independiente.

Tabla 2: Datos de Y y X.

Primero se procedió a realizar la

respectiva grafica en el papel

milimetrado, la cual se aprecia en la

grafica2 (ver anexos). Al ver que la

grafica nos da como resultado una

curva y para poder analizarla más

fácilmente, se procedió a elaborar la

grafica en papel semilogaritmico, esta

grafica se la presenta en la grafica2.1

(ver anexos), con el fin de hacer el

cambio a la variable Y, ya que sus

datos están muy alejados unos con

otros; el cambio se lo realizo al

presentar la variable Y en logaritmos,

y la variable X normalmente.

Y X

150 3.1

240 6.5

502 18.2

1090 26.5

2050 42.5

3700 47.5

6201 53.3

6850 56.1

9980 58.5

Una vez hecho las graficas se

procedió hacer los respectivos

cálculos para encontrar la ecuación

de la recta, la pendiente y el

intercepto.

Ecuación de la grafica en papel

semilogaritmico:

Para poder encontrar la ecuación de

la grafica en este papel se utilizo la

ecuación: log(Y)= mX + log(b), donde

m es la pendiente y log(b) es el

intercepto. Tomando puntos de

nuestra grafica en el papel

semilogaritmico, se tuvo que para Y

en función de X, la ecuación es:

Log(Y)= 0.03X + 2.08

Valor de la pendiente:

El valor de la pendiente se obtiene

utilizando la siguiente fórmula:

m=∆ log (Y )∆ X

Reemplazando puntos tomados de la

grafica tenemos que:

m= 0.03

Valor del intercepto:

El intercepto se lo puede obtener

directamente de la grafica o por

cálculos, en este caso la ecuación

para hallar el intercepto es:

log(Y)-mx=log( b).

Reemplazando los respectivos datos

se obtiene el valor del intercepto:

Log(b)=2.08

Calculo de m en 5 puntos de la

grafica en papel milimetrado:

Para calcular dichas pendientes utilizamos la siguiente ecuación

m= ∆Y∆ X

, ya que para el papel

milimetrado se utiliza dicha fórmula.

Los resultados se presentan en la tabla de a continuación:

Puntos Pendiente

(3.1,150) (6.5,240) 26.5

(3.1,150) (58.5,9980) 117.4

(42.5,2050) (47.5,3700) 330

(18.2,502) (56.1,6850) 167.5

(26.5,1090) (53.3,6201) 190.7

Discusión procedimiento 2

Al observar la grafica en el papel

milimetrado, nos da como resultado

una curva, esto hace que sea difícil

analizarlo, por lo que se recurre a

cambiar la variable Y, ya que los

datos de esta variable están muy

separados. Así pues se paso a

elaborar la grafica en papel

semilogaritmico, donde nos resulto

una recta. El hecho de pasar de

graficar en papel milimetrado a

semilogaritmico nos dice que se

necesita trabajar con potencias de 10

en el eje de las ordenadas, para así

poder obtener cálculos y análisis más

precisos.

Los valores experimentales

presentados en la tabla2, son los

puntos con los cuales podre analizar

mi grafica, los datos de X tienen una

incertidumbre de ±0.1, y los daos de

Y tienen una incertidumbre de ±1,

donde Y es dependiente y X es

independiente.

El visual de la grafica2.1 (ver

anexos) permite deducir que ahora la

grafica paso de ser curva a ser recta

lo que significa que no es necesario

graficar en otro tipo de papel. En la

recta se observa que varios puntos

no pasan por esta, pero es muy

mínima la distancia entre los datos y

el trazo de la recta, esto se debe a

que los datos varían mucho y no es

constante el cambio de magnitud de

un dato a otro, esto se puede apreciar

en la grafica en el papel milimetrado,

la grafica no es una curva perfecta,

sino que tiene varias partes que

desvían la curva para que pueda ser

curva perfecta; por defecto algunos

puntos en el papel semilogaritmico no

pasaran por la recta, pero esto se

puede apreciar como recta.

Con respecto a la ecuación:

log(Y)=0.03X+2.08, se puede decir

que la medida de inclinación con

respecto a la horizontal es de 0.03

(pendiente). El intercepto es de 2.08,

pero esto equivale a tener log(b),

entonces se procede a pasar log(b) a

b por medio de log naturales, el

cálculo seria:

Log(b)=2.08

b= 102.08

b=120.2

lo que significa que en el papel

semilogaritmico se empezó desde

120.2, que se ratifica al observar en

la grafica2.1; entonces este es la

posición donde comienza, cuando el

experimentador empezó a contar x=0,

y por consiguiente los siguientes

puntos serán mayores que 120.2.

El hecho de calcular varias

pendientes de la grafica2 en el papel

milimetrado nos dice que en una

curva se obtendrá diferentes

pendientes, porque la recta tangente

es diferente en cada punto; por

consiguiente para tener un pendiente

relativamente fija, se necesita

encontrarla con los puntos en la

grafica del papel semilogaritmico.

Procedimiento 3 Grafica de los

datos de X y Y.

Los datos medidos se presentan en la

tabla 3. Donde se presentan las

variables X y Y.

Los datos no presentan unidades de

medida. Por defecto el eje de las

ordenadas es llamado Y, por lo que

se ubico aquí nuestra Y, que va ser

dependiente, y a nuestra X, en el eje

de las abscisas y va ser

independiente.

X Y

1.1 500

1.5 400

2.1 290

4.2 166

5.5 125

7.0 108

10.1 70

10.5 57

25.5 34

36.1 29.2

54.2 18

80.1 14

Tabla 3: datos de X y Y.

Se procedió a realizar la respectiva

grafica en el papel milimetrado, la

cual se aprecia en la grafica3 (ver

anexos). Al ver que la grafica nos da

como resultado una curva y para

poder analizarla más fácilmente, se

procedió a elaborar la grafica en

papel Log-Log esta grafica se la

presenta en la grafica3.1 (ver

anexos), con el fin de hacer el cambio

a la variable Y y X, ya que los datos

de Y van descendiendo y los datos de

x van ascendiendo, el cambio se lo

realizo en ambas variables a

potencias de 10.

Una vez hecho las graficas se

procedió hacer los respectivos

cálculos para encontrar la ecuación

de la recta, la pendiente y el

intercepto.

Ecuación de la grafica en papel

Log-Log:

Para poder encontrar la ecuación de

la grafica en este papel se utilizo la

ecuación: L(Y)= mLog(X) + Log(b),

donde m es la pendiente y log(b) es

el intercepto. Tomando puntos de

nuestra grafica en el papel Log-Log,

se tuvo que para Y en función de X,

la ecuación es:

Log(Y)=-0.8Log(X)+ 2.7

Valor de la pendiente:

El valor de la pendiente se obtiene

utilizando la siguiente fórmula:

m=∆ log (Y )∆ log (X )

Reemplazando puntos tomados de la

grafica tenemos que:

m= -0.8

Valor del intercepto:

El intercepto se lo puede obtener

directamente de la grafica o por

cálculos, en este caso la ecuación

para hallar el intercepto es:

log(Y)-mlog(x)=log( b).

Reemplazando los respectivos datos

se obtiene el valor del intercepto:

Log(b)=2.74

Calculo de m en 5 puntos de la

grafica en papel milimetrado:

Para calcular dichas pendientes utilizamos la siguiente ecuación

m= ∆Y∆ X

, ya que para el papel

milimetrado se utiliza dicha fórmula.

Los resultados se presentan en la tabla de a continuación:

Puntos Pendiente

(1.1,500) (1.5,400) -250

(1.1,500) (80.1,14) -6.5

(4.2,166) (10.5, 57) -17.3

(54.2,18) (80.1,14) -0.2

(5.5,125) (7.0,108) -11.3

Discusión procedimiento 3

Al igual que con la grafica2 se

observa que esta grafica en papel

milimetrado tiende a ser curva, por lo

que se recurre a graficarla en papel

Log-Log, porque las 2 variables son

inversamente proporcionales y

además sus magnitudes no son tan

constantes para que se pueda

graficar una recta. Al graficarla en el

papel Log-Log , el cual trabaja con

potencia de 10 en los 2 ejes; se tiene

una grafica de una recta.

Los valores experimentales

presentados en la tabla3, son los

puntos con los cuales podremos

analizar la grafica, los datos de X

tienen una incertidumbre de ±0.1, y

los daos de Y tienen una

incertidumbre en promedio de ±1,

donde Y es dependiente y X es

independiente.

El visual de la grafica3.1 (ver

anexos) permite deducir que al

graficar en papel milimetrado y

semilogaritmico, la grafica continuo

siendo curva por lo que se necesito

graficarla en papel Log-Log, en donde

se observo que la grafica resulto una

recta. Algunos puntos no pasan por el

trazo de la recta, pero como ya se

dijo antes es mínima la distancia

entre estos. En total no pasan por el

trazo de la recta 6 puntos.

Con respecto a la ecuación:

log(Y)=-0.8log(X)+2.7, se puede decir

que la medida de inclinación con

respecto a la horizontal es de -0.8

(pendiente). El intercepto es de 2.7,

pero esto equivale a tener log(b),

entonces se procede a pasar log(b) a

b por medio de log naturales, el

cálculo seria:

Log(b)=2.7

b= 102.7

b=501.18

Lo que significa que en el papel Log-

Log se empezó desde 501.18, que se

ratifica al observar en la grafica3.1,

aunque se aprecia en la grafica que

el intercepto pasa por 538, pero como

las medidas no son del todo exactas,

se puede tomar el valor de 501.18

como valido. Entonces 501.18 es la

posición donde comienza, cuando el

experimentador empezó a contar x=0,

y por consiguiente los siguientes

puntos serán mayores que 501.18.

Al calcular varias pendientes de la

grafica3 en el papel milimetrado se

obtendrá diferentes pendientes, ya

que es una curva, porque la recta

tangente es diferente en cada punto;

por consiguiente para tener un

pendiente relativamente fija, se

necesita encontrarla con los puntos

en la grafica del papel Log-Log, en

donde se observa y analiza con más

precisión la grafica obtenida.

CONCLUSIONES

Se logro elaborar graficas, con

datos propuestos, en diferentes

tipos de papel: papel milimetrado,

papel semilogaritmico y Log-Log.

se dedujo que cuando una grafica

da como resultado una curva, es

necesario cambiar las variables

del o de los ejes según la

tendencia de los datos, con el fin

de que se convierta de curva a

recta y así poder analizarla mejor;

para el cambio de variables se

necesita pasarla a potencias de

10.

Se concluyo que para graficar en

papel milimetrado,

semilogaritmico, Log-Log, no es

necesario hacer ningún ajuste a

los datos, sino ubicar los puntos

en estos papeles normalmente.

Se pudo calcular la ecuación

lineal, pendiente e intercepto, para

cada una de las graficas.

Se puede concluir que para una

ecuación lineal, la pendiente es la

inclinación de la recta con la

horizontal, el intercepto es la

posición en que se empieza,

cuando el eje de las abscisas es

cero (0).

Otra conclusión es que al ubicar

los puntos de la grafica y trazar la

recta, no todos los puntos van a

ser pasados por el trazo de esta,

pero al ser mínima la distancia

entre estos, se puede considerar

que es una recta.

BIBLIOGRAFIA

Física universitaria; 11°edicion

2008.

Microsoft Encarta 2008

http://ws.wikipedia.org/wiki