AÑO DE LA DIVERSIFICACION PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA

INDUSTRIALELECTRÓNICA Y ELECTRICIDAD

TEMAÁLGEBRA DE BOOLE Y SISTEMAS DIGITALESDOCENTERUBEN ERNESTO VILCHEZ LAZO INTEGRANTESCALIZAYA HUAMAN, KENEDYPLASENCIA PORRAS, ERIKMATIENZO CLAROS, LEONARDOREDOSADO MACHOA, LUCEROROJAS LLANA, KARENVARGAS TELLO, BRYAN

CICLO/SECCIÓN IV(CUARTO CICLO) – A1

LIMA – PERÚ – 2015

INTRODUCCIÓN

Electrónica Analógica Electrónica digital Circuitos y sistemas digitales

Electrónica

Es una combinación de dispositivos diseñados para manipular cantidades físicas o información que estén representadas en forma digital.

¿Qué son sistemas Digitales?

Se trata de corrientes y tensiones que varían continuamente de valor en el transcurso del tiempo, corriente alterna (c.a) o de valores que siempre tienen el mismo valor de tensión y de intensidad, corriente continua (c.c)

ELECTRÓNICA ANALÓGICA

Se trata de valores de corrientes y tensiones eléctricas que solo pueden poseer dos estados en el transcurso del tiempo. Hay o no hay corriente o tensión pero cuando hay siempre es la misma y cuando no hay siempre es de valor 0.

ELECTRÓNICA DIGITAL

Comparación entre la Electrónica Analógica y la digital

Es toda variable solo puede tomar 2 valores Corresponden a dos estados distintos. Las usamos para poner el estado de un elemento de

maniobra o entrada (interruptor o pulsador) y el de un receptor (lámpara o motor), siendo diferente el criterio para cada uno.

VARIABLE BINARIA

Lámparas Motores Timbres Encendida (estado1) Apagado (estado 0)

RECEPTORES O ELEMENTOS DE SALIDA

Interruptor Pulsador Sensor Accionado (estado 1) Sin Accionar (estado 0)

RECEPTORES O ELEMENTOS DE ENTRADA

{

Sistemas de representación

*Sistema binario.*Sistema octal.*Sistema hexadecimal.

Número: Representa una cantidad métrica (cardinal), o una jerarquía (ordinal).

Sistema numérico: Conjunto provisto de dos operaciones relacionadas con propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.

Base: Referencia numérica del sistema numérico.

Conceptos

Circuito Digital Genérico

Dígitos y Pesos e número 3281

*Usa base 2.*Trabaja con las cifras 0,1.

Ejemplo: = 1*+0*+1*+1*= 11(Se lee Uno-Cero-Uno-Uno, en base dos)

Sistema Binario

*Usa base 8.*Trabaja con las cifras 0,1,2,3,4,5,6,7.

Ejemplo: = 1*+4*+2*+7*+2*= 6330(Se lee Uno-Cuatro-Dos-Siete-Dos, en base 8)

Sistema Octal

*Usa base 16.*Trabaja con las cifras 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15.Ejemplo: = 1*+1*+0*+0*+2*+3*= 6330(Se lee Uno-Uno-Cero-Cero-Dos-Tres, en base 16)

Sistema Hexadecimal

Generalización

Tabla de conversión

Un circuito digital genérico.

El sistema hexadecimal se utiliza para representar números binarios de una forma más compacta.

Cada dígito hexadecimal codifica 4 bits

Sistema binario y Sistema Hexadecimal

ejemplo: 1011000111101101 = B1ED

1011 0001 1110 1101 B 1 E D

Se asigna un voltaje a cada uno de los dos estados de un bit. Conocido como lógica TTL, en donde se asigna el valor de 5 voltios

al dígito ’1’ y 0 voltios al dígito ’0’. Esta asignación de valores depende de la tecnología empleada.

Bits y Electrónica

Código BCD: Decimal Codificado en Binario Es una manera de representar números decimales en

binarioEj.: 21 = 0010 0001

Otros Sistemas de Representación

Código AIKEN: Similar al BCD, pero con los pesos cambiados. Cada dígito decimal se representa mediante 4 bits, siendo los pesos de estos bits: 2, 4, 2 y 1.

Código GRAY: Son una familia de códigos que se caracterizan porque el paso de un número al siguiente implica que sólo se modifica un bit.

Ejercicios

Las operaciones del Álgebra de Boole

ALGEBRA DE BOOLE

LA OPERACIÓN + • 0 + 0 = 0• 0 + 1 = 1• 1 + 0 = 1• 1 + 1 = 1

LA OPERACIÓN “.”• 0 . 0 = 0• 0 . 1 = 0• 1 . 0 = 0• 1 . 1 = 1

La negación

propiedades del Álgebra de Boole

Elemento

Neutro

A + 0 = AA . 1 = A

Elemento inverso

DistributivaA + ( B .

C ) = ( A + B ) . ( A

+ C )A . ( B + C ) = A .

B + A . C

Teoremas importantesAsociatividad

A + B + C = (A + B) + C = A + (B +

C)A.B.C=

(A.B.).C=A. (B.C)Idempotencia:B+B=BB.B=B

Leyes de DeMorgan

Teorema de Shannon

Teorema de expansión

Ley de absorción A+A.B=A

A.(A+B)=A

EJEMPLO Si una función tiene 2 variables, su tabla de verdad

tendrá 4 filas

Funciones booleanas y tablas de verdad

USANDO ESTA FUNCIÓN

{

Formas canónicas A partir de una tabla de verdad, podemos obtener múltiples expresiones para la misma función. Todas esas expresiones son equivalentes y podemos obtener unas expresiones de otras aplicando las propiedades del Álgebra de Boole.Existen dos tipos de expresiones que se obtienen directamente de la tabla de verdad, de forma inmediata. Se denominan formas canónicas. Se caracterizan porque en todos los términos de estas expresiones aparecen todas las variables.

Una función que esté en la primera forma canónica se caracteriza porque está formada por sumas de productos. Y recordemos que por ser una forma canónica, en todos sus términos se ecuentran todas sus variables. Un ejemplo de una función de 3 variables, expresada en la primera forma canónica es la siguiente:

Primera forma canónica

La obtención de la primera forma canónica, a partir de una tabla de verdad es inmediato. El proceso se denomina “desarrollo de la tabla de verdad por unos”. Tomamos la tabla de verdad y sólo nos fijamos en las filas en las que la función vale ’1’, olvidándonos del resto. Por cada una de estas filas tendremos un sumando, constituido por el producto de todas las variables, aplicando la siguiente regla:

Si una variable está a ’0’, en la fila escogida, usaremos la variable negada, y si está a ’1’ usaremos la variable sin negar.

Ejemplo: Obtener la primera forma canónica, a partir de la siguiente tabla de verdad:

Segunda forma canónicaUn función en la segunda forma canónica se caracteriza porque está formada por un producto de sumas. Y en todos sus términos deben aparecer todas sus variables, bien negadas o no. Por ejemplo:

La obtención de la segunda forma canónica, a partir de una tabla de verdad es inmediato. El proceso se denomina “desarrollo de la tabla de verdad por ceros”. Tomamos la tabla de verdad y sólo nos fijamos en las filas en las que la función vale ’0’, olvidándonos del resto. Por cada una de estas filas tendremos un término, constituido por la suma de todas las variables, aplicando la siguiente regla:

 Si una variable está a ’1’, en la fila escogida, usaremos la variable negada, y si está a ’0’

usaremos la variable sin negar.Es decir, que esta regla es justo la contraria que cuando estábamos trabajando con la

primera forma canónica.

Ejemplo: Obtener la segunda forma canónica, a partir de la siguiente tabla de verdad

Simplificación de funciones booleanas Introducción

En las matemáticas con números Reales, estamos muy acostumbrados a simplificar. De hecho es lo que nos han enseñado desde pequeños. Si una determinada expresión la podemos simplificar, ¿por qué no hacerlo?, así seguro que nos ahorramos cálculos. Por ejemplo, si vemos la siguiente ecuación:

Método de Karnaugh :En este apartado veremos un método para obtener la función más simplificada a partir de una tabla de verdad. Vamos a ir poco a poco, viendo los fundamentos de este método. Supongamos que tenemos una función F(A,B,C) de tres variables, cuya tabla de verdad es:

PUERTAS LÓGICASSon componentes electrónicos representados por un símbolo con una o dos entradas (pueden ser de mas) y una sola salida que realizan una función (ecuación con variables binarias), y que toman unos valores de salida en función de los que tenga en los de entrada. Las puertas lógicas también representan un circuito eléctrico y tienen cada una su propia tabla de la verdad, en la que vienen representados todos los posibles valores de entrada que puede tener y los que les corresponden de salida según su función.

CIRCUITOS COMBINACIONALES

PUERTA SÍ O BUFFERLa puerta lógica SÍ, realiza la función booleana igualdad. En la práctica se suele utilizar como amplificador de corriente o como seguidor de tensión, para adaptar impedancias (bufferen inglés).La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta SÍ es: F=A

1. LÓGICA DIRECTA

La puerta lógica Y, más conocida por su nombre en inglés AND (\scriptstyle AND \equiv Y \equiv \and ), realiza la función booleana de producto lógico. Su símbolo es un punto (·), aunque se suele omitir. Así, el producto lógico de las variables A y B se indica como AB, y se lee A y B o simplemente A por B.La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta AND es: F = (A)*(B)

PUERTA AND (FUNCIÓN MULTIPLICACIÓN)

La puerta lógica O, más conocida por su nombre en inglés OR (\scriptstyle OR \equiv O \equiv \or ), realiza la operación de suma lógica.La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta OR es:F = A + B\,

PUERTA O O OR (FUNCIÓN SUMA)

La puerta lógica OR-exclusiva, más conocida por su nombre en inglés XOR, realiza la función booleana A'B+AB'. Su símbolo es \oplus (signo más "+" inscrito en un círculo). En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica.La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta XOR es:F = A \oplus B\,F= AB/ + AB\

puerta OR exclusivo (XOR) Tabla de verdad puerta XOR

Entrada  Entrada  Salida 0 0 00 1 11 0 11 1 0

PUERTA NO O NOT (NEGACIÓN)La puerta lógica NO (NOT en inglés) realiza la función booleana de inversión o negación de una variable lógica. Una variable lógica (A) a la cual se le aplica la negación se pronuncia como "no A" o "A negada".Puerta NOT con transistoresLa ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOT es: F=A\

2. Lógica negada

Entrada  Salida 

0 1

1 0

La puerta lógica NO-Y, más conocida por su nombre en inglés NAND, realiza la operación de producto lógico negado. En ocasiones es llamada también barra de Sheffer.1 En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica. Puerta NAND con transistores. La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NAND es:F = AB/ =\A+ \B

PUERTA NAND (función producto invertido)

Entrada  Entrada  Salida 0 0 10 1 11 0 11 1 0

La puerta lógica NO-O, más conocida por su nombre en inglés NOR, realiza la operación de suma lógica negada. En ocasiones es llamada también barra de Pierce.2 En la figura de la derecha pueden observarse sus símbolos en electrónica. Puerta NOR con transistores. La ecuación característica que describe el comportamiento de la puerta NOR es:F = \A+B=\A * \B

PUERTA NOR (FUNCIÓN SUMA INVERTIDA)

Entrada  Entrada  Salida 0 0 10 1 01 0 01 1 0

2. PUERTA LÓGICA IGUALDAD (FUNCIÓN IGUALDAD)

Como vemos la función que representa esta puerta es que el valor de la salida (motor o lámpara) es siempre igual al del estado del de entrada (pulsador o interruptor). En el esquema vemos que se cumple. El pulsador en estado 0 (sin pulsar) la lámpara está apagada, o lo que es lo mismo en estado también 0. Si ahora pulsamos el pulsador, estado 1, la lámpara se enciende y pasará también al estado 1. La tabla de la verdad nos da los estado de la salida para los posibles estados de entrada, que este caso solo son dos 0 o 1.

Compuerta Separador: Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada. Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza i volt para el binario 1 producirá una salida de 3 volt cuando la entrada es 3 volt. Sin embargo, la corriente suministrada en la entrada es mucho más pequeña que la corriente producida en la salida. De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del separador.

3. PUERTA SEPARADOR

Síntesis se entiende como la obtención de circuitos lógicos, a partir de una descripción inicial queutiliza el lenguaje convencional y luego es transferida a una tabla de verdad.Una tabla de verdad es una representación básica de una función lógica, en la cual se listan lassalidas del circuito lógico para las posibles combinaciones de entrada. Las combinaciones de entrada están ordenadas por renglones (líneas) y cada renglón contiene su salida respectiva. Por ejemplo, la tabla de verdad para una función lógica de 3 variables, tendrá 8 líneas para 8 combinaciones de entrada, conteniendo cada línea, su salida respectiva. En la tabla 9. Se ilustra una función de 3 variables para el caso mencionado.

Síntesis de Diseño de Circuitos Combinacionales

A. Método de Suma de Productos (SDP) La suma de productos de una función lógica es la suma de los mintérminos correspondientes a las líneas de la tabla de verdad para las que la función produce una salida igual a 1. La función obtenida es la suma de productos. En la tabla de verdad existen dos condiciones para las cuales la salida es 1. Estas son las siguientes:1. La primera se presenta cuando A es Bajo(0) y B es Alto(1). El resultado 1 de esta condición sepuede expresar como el producto lógico:A’·B2. La segunda condición se presenta cuando A es 1 y B es 0. Esta condición ocasiona unresultado 1, si el producto lógico es:A·B’

Métodos para Sintetizar Circuitos Lógicos

B. MÉTODO DE PRODUCTO DE SUMAS (PDS) El producto de sumas de una función lógica es la multiplicación de los maxtérminos correspondientes a las líneas de la tabla de verdad para las que la función produce una salida igual a 0. La función obtenida es el producto de sumas.CONDICIONES: Si en la última columna de la tabla de verdad, o sea en la columna que indica los

resultados, sí predominan los ceros es más conveniente utilizar las suma de productos.

Si en la columna que indica los resultados, predominan los unos, es más conveniente utilizar el método del producto de sumas.

C. MAPAS DE KARNAUGH Un mapa de Karnaugh es una representación gráfica de una función lógica a partir de una tabla de verdad. El número de celdas del mapa es igual al número de combinaciones que se pueden obtener con las variables de entrada. El Mapa de Karnaugh representa la misma tabla de verdad a través de una matriz, en la cual, en la primera fila y la primera columna se indican las posibles combinaciones de las variables. Los mapas se pueden utilizar para 2, 3, 4 y 5 variables.

D. ALGORITMO DE QUINE – MCCLUSKEY

El empleo del mapa de Karnaugh es conveniente cuando la función a minimizar no contiene más de cinco o seis variables. En estos casos, empleamos un procedimiento sistemático, llamado el algoritmo de Quine–McCluskey, el cual produce una expresión normalizada y simplificada. El algoritmo debe obedecer a un conjunto de pasos que se verán a través de un ejemplo.

{

DISEÑO DE CIRCUITOS COMBINACIONALES

El proceso de diseño

1.Estudio de las especificaciones iniciales2.Obtención de las tablas de verdad y

expresiones booleanas necesarias3.Simplificación de las funciones booleana4.Implementación de las funciones

booleanas utilizando puertas lógicas5.Construcción

𝐹=𝐴+𝐵 .𝐶+𝐴 .𝐵 .𝐶

Implementación de funciones con cualquier tipo de puertas

OR

AND INVERSOR

AND

𝐹=𝐴+𝐵 .𝐶+𝐴 .𝐵 .𝐶

PUERTAS• NAND• XOR• OR

PUERTA NOT

𝐴 .𝐴¿ 𝑨PUERTA AND

𝐹=𝐴 .𝐵= ´𝐴 .𝐵

XORMODIFICANDO A UNA NUEVA FUNCION

Ya tenemos implementada la función XOR sólo con puertas NAND.

Aplicación: Diseño de un controlador para un robot seguidor de línea

EspecificacionesLas especificaciones son:

- Objetivo: Diseñar un circuito digital, capaz gobernar un microbot, haciendo que éste siga una línea negra pintada sobre un fondo blanco.

- Sensores: El microbot está dotado de dos sensores digitales capacez de diferenciar el color negro del blanco. La salida de estos sensores es ’0’ cuando leen blanco y ’1’ cuando leen negro. Denominaremos a este bit como C:

- Motores: Dos motores de corriente continua que son controlados cada uno mediante dos bits, denominados S y P, descritos mediante la siguiente tabla de verdad:

El bit P es el bit de ’Power’. Indica si el motor está conectado o no. El bit S es el del sentido de giro. Según su valor el motor girará a la derecha o a la izquierda (siempre que el motor esté activado, con P=1).

El robot: El esquema del robot es el siguiente (visto desde arriba):

-Algoritmo: El algoritmo para seguir la línea negra es muy sencillo. Mientras los dos sensores detecten negro, el robot deberá avanzar. Cuando el sensor de la derecha detecte blanco y el de la izquierda negro, el robot girará a la izquierda y cuando ocurra el caso contrario girará a la derecha. Si ambos sensores leen blanco permanecerá parado. Esto se esquematiza en la siguiente figura:

Diagrama de bloques

Tabla de verdad

Ecuaciones booleanas del circuito

Implementación del circuito

CONCLUSIÓNEl sistema digital se ha convertido en la principal herramienta para el tratamiento de datos analógicos y la automatización de los procesos arrojando datos más precisos y con mayor rapidez; es así que su fusión desemboca en la revolución tecnológica y la comodidad que disfrutamos en la actualidad.