“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria”

FACULTAD DE INGENIERÍA, ARQUITECTURA Y URBANISMO

Escuela Profesional de Ingeniería Civil

TRABAJO : Principio de Arquímedes

ASIGNATURA : Mecánica de Fluidos I

PROFESOR : Mg. Carlos Adolfo Loayza Rivas

CICLO : IV

SECCIÓN : “A”

INTEGRANTES :

BECERRA PINTADO, Richard Antony ENRÍQUEZ ACOSTA, Renato Antonio PELÁEZ CACERES, Ricardo Jesús TELLO QUISPE, Víctor Gerson TERRONES RIVASPLATA, Erick Jeison VILLEGAS PAICO, Charlie Jesús

Pimentel, 14 de Octubre del 2013

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DEDICATORIA

En primer lugar a Dios, ya que gracias a su infinita misericordia formamos parte de esta vida y nos proporciona la fortaleza necesaria para seguir adelante; en segundo lugar a nuestros padres, ya que gracias a su apoyo y es fuerzo nos permiten seguir estudiando para ser profesionales y en tercer lugar a nuestros compañeros, para que el tema brindado amplíe sus conocimientos y sea de su agrado.

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AGRADECIMIENTO

Agradecemos a todas aquellas personas que nos brindaron sus conocimientos los cuales están expresados en el siguiente trabajo.

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INDICE

DEDICATORIA.........................................................................................2

AGRADECIMIENTO.................................................................................3

INDICE.....................................................................................................4

OBJETIVOS..............................................................................................6

INTRODUCCIÓN......................................................................................7

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES................................................................9

1. RESEÑA HISTÓRICA.............................................................9

2. ANÉCDOTA........................................................................9

2.1. DATOS IMPORTANTES.............................................................9

DEMOSTRACIÓN DEL PRINCIPIO ......................................................12

1. PRESIÓN EN LOS LIQUIDOS.............................................14

1.1. INTRODUCCIÓN........................................................................14

1.2. DESARROLLO DEL TEMA..........................................................15

1.3. FUNDAMENTO TEÓRICO...........................................................16

1.4. DEMOSTRACIÓN:......................................................................17

2. EMPUJE Y PESO APARENTE..............................................18

2.1. EMPUJE.....................................................................................18

2.2. PESO APARENTE......................................................................20

3. FLOTABILIDAD...............................................................24

3.1. DEMOSTRACIÓN.......................................................................26

4. CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS EN FLOTACIÓN.........................................................................27

DATOS GENERALES:.........................................................................27

4.1 CUERPO TOTALMENTE SUMERGIDO...................................27

CONDICIONES:..................................................................................29

4

Equilibrio Estable..............................................................................29

Equilibrio Inestable...........................................................................29

Equilibrio Indiferente........................................................................30

4.2 CUERPO PARCIALMENTE SUMERGIDO.................................30

CONDICIONES:..................................................................................31

Equilibrio Estable..............................................................................31

Equilibrio Inestable...........................................................................32

Equilibrio Indiferente........................................................................33

5. ESTABILIDAD DE UN BARCO............................................34

DEMOSTRACIÓN...............................................................................35

PROBLEMAS.........................................................................................38

CONCLUSIONES...................................................................................52

BIBLIOGRAFÍA......................................................................................53

LINKOGRAFÍA.......................................................................................53

OBJETIVOS

Definir los conceptos que implica nuestro tema.

Aprender las condiciones de equilibrio de los cuerpos en flotación.

Explicar qué pasa cuando se introduce un cuerpo a un fluido parcial o totalmente.

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Dar a conocer el principio de Arquímedes.

Analizar y dar solución a los problemas planteados, haciendo uso de los conocimientos adquiridos en esta exposición.

Dar conclusiones satisfactorias de lo expuesto.

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INTRODUCCIÓN

Arquímedes de Siracusa (considerado el fundador de la Hidrostática) vivió entre los años 287 y 212 A.C. Entre sus descubrimientos más notables está el Principio de Flotabilidad de los Cuerpos, conocido hoy como Principio de Arquímedes.

Arquímedes descubrió que un cuerpo, al ser sumergido parcial o totalmente en el interior de un fluido, experimenta una fuerza hacia arriba, llamada Fuerza de Empuje o simplemente Empuje, cuyo módulo es igual al peso del fluido que desplaza.

El aumento del nivel de agua en el jarro es el mismo que se tendría si, en vez de poner la piedra en el jarro, se vertiera en él un volumen de agua igual al volumen de la piedra.

En términos de módulos, el empuje se define, entonces, del siguiente modo:

E = Wfd

Donde E es la fuerza de empuje y Wfd corresponde al peso del fluido desplazado.

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Es importante no confundir el peso del fluido desplazado con el peso del objeto sumergido. El primero depende de la masa del fluido desplazado (mfd):

Wfd = mfd . g

Como sabemos, el peso del objeto, en cambio, es:

W = m · g

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

“Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un líquido experimenta un empuje vertical (fuerza vertical) ascendente igual al peso del volumen del líquido desalojado”. El punto de aplicación de dicho empuje coincide con el Centroide del volumen sumergido (Igual al del volumen desalojado) y se conoce con el nombre de “Centro de flotación o de Carena”.

1.RESEÑA HISTÓRICA

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El arquitecto romano Marcus Vitruvius Pollio (aprox.70-25 a.C.) compiló conocimientos existentes y escribió la obra titulada “De Architectura”, dedicada al emperador Augusto. En ella relata que el rey Herón II de Siracusa mandó hacer una corona de oro y cuando ésta le fue entregada, si bien su peso correspondía al metal suministrado, sospechó que parte del oro había sido sustituido por plata.

Según Vitruvio, el rey Herón II le planteó a Arquímedes la resolución del problema, para lo cual debía tener en cuenta que, al tratarse de una ofrenda dedicada a los dioses, no podía ser destruida ni alterada de ninguna manera.

2.ANÉCDOTA

Se encontraba Arquímedes en un baño público observando cómo el nivel del agua ascendía al sumergirse en él, cuando gritó eureka (“lo encontré”) y salió, desnudo, corriendo por las calles.

2.1. DATOS IMPORTANTES

La corona del rey Herón II probablemente fuera una guirnalda o trenza de hojas de oro. En excavaciones arqueológicas se encontraron coronas similares del siglo IV a. C. La más grande de ellas tiene un diámetro máximo de 18.5 centímetros y una masa de 714 gramos (habiendo perdido algunas hojas de la trenza).

Se puede suponer que la corona del rey Herón podría tener una masa total de 800 gramos.

Si la corona (800 gr) fuera totalmente de oro (densidad 19.3 gr/cm3) su volumen sería: 800/19.3 = 41.5 cm3

Si la corona (800 g) tuviera un 50% de plata (densidad 10.6 g/cm3) y el resto oro (lo cual le podría haber dado una ganancia significativa al orfebre que hizo el fraude), ocuparía un volumen de:

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Según Priscio la resolución del problema se basaría en el principio de la hidrostática que se encuentra en el tratado de Arquímedes titulado “Sobre los cuerpos flotantes”.

A la luz de nuestros conocimientos actuales se puede aplicar el principio de la flotación para tratar de resolver el problema de la corona.

Los 800 gramos de oro puro estarán sometidos a un empuje de:

Empuje= 41.5*1 = 41.5 gramos

La corona hecha con 50% de plata, de 800 gramos de masa, estará sometida a un empuje de:

Empuje= 58.5*1 = 58.5 gramos

Debido a los diferentes empujes, para volver a equilibrar la balanza se necesitará: 58.5 – 41.5 = 17 gramos

Esa diferencia de 17 gramos sería suficiente para desequilibrar una balanza de la época ya que es un instrumento más sensible que el de la medida de diferencias de volumen o de masa de agua calculadas anteriormente.

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DEMOSTRACIÓN

Sea el caso de un cuerpo sólido cualquiera flotando en un líquido,

existe un estado de equilibrio debido a que el líquido ejerce sobre

el cuerpo una presión ascendente de igual magnitud que el peso

propio del cuerpo.

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Parcialmente Sumergido

∑ Fv=φ en el volumen de control.

dFV 2−dFV 1=dEdE=( pa+γh )dAH−padAHdE=pa dAH+γ hdA H−pa dAHdE=γ hdAHE=γ∬A

hdAH

La integral es igual al volumen (∀s ) de la parte del cuerpo en flotación que se encuentra debajo de la superficie libre del líquido; esto es:

E=γ∀s

Totalmente Sumergido

∑ Fv=φ en el volumen de control

dE=dFV 2−dFV 1dE=γh2dAH−γh1dAHdE=γ dAH (h2−h1 )

dE=γ hdAHE=γ∬A

hdAHE=γ∀s

∀s= Volumen del líquido desalojado (volumen del cuerpo

sumergido)

γ = Peso específico del líquido.

1. PRESIÓN EN LOS LIQUIDOS.

1.1. INTRODUCCIÓN

Todas las presiones representan una medida de la energía potencial por unidad de volumen en un fluido. Para definir

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con mayor propiedad el concepto de presión en un fluido se distinguen habitualmente varias formas de medir la presión:

LA PRESIÓN MEDIA:

También llamada Promedio de las Presiones según diferentes direcciones en un fluido, cuando el fluido está en reposo esta presión media coincide con la presión hidrostática.

LA PRESIÓN HIDROSTÁTICA:

Es la parte de la presión debida al peso de un fluido en reposo. En un fluido en reposo la única presión existente es la presión hidrostática, en un fluido en movimiento además puede aparecer una presión hidrodinámica adicional relacionada con la velocidad del fluido. Es la presión que sufren los cuerpos sumergidos en un líquido o fluido por el simple y sencillo hecho de sumergirse dentro de este.

Se define por la fórmula a    donde “Ph” es la presión hidrostática,  es el peso específico (densidad por aceleración de la gravedad) y “h” profundidad bajo la superficie del fluido.

LA PRESIÓN HIDRODINÁMICA:

Es la presión termodinámica dependiente de la dirección considerada alrededor de un punto que dependerá además del peso del fluido, el estado de movimiento del mismo.

1.2. DESARROLLO DEL TEMA

El principio de Arquímedes establece, básicamente, que

cualquier cuerpo sólido que se encuentre sumergido en un

fluido, experimentará un empuje hacia arriba, igual al peso

del volumen del líquido desalojado, el objeto no

necesariamente ha de estar completamente sumergido en

dicho fluido, ya que, si el empuje que recibe es mayor que el

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peso aparente del objeto, este, flotará y estará sumergido

sólo parcialmente.

La presión en los líquidos, es la que ejerce el peso de un

fluido en reposo. Se trata de la presión que experimenta un

cuerpo por el solo hecho de sumergirse en un líquido.

El fluido ejerce una presión sobre el fondo y las paredes del

recipiente y sobre la superficie del objeto sumergido en él.

Dicha presión hidrostática, con el fluido en reposo, genera

una fuerza perpendicular a las paredes del recipiente o a la

superficie del objeto.

Los líquidos ejercen fuerzas perpendiculares sobre la

superficie de cualquier objeto que este sumergido.

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1.3. FUNDAMENTO TEÓRICO

La presión en el interior de un líquido queda determinada por el peso que ejerce la columna del propio líquido. Si la profundidad viene determinada por h y la densidad por ρ, la presión ejercida por el líquido es:

P= ρL . g . h (Pascal)

Donde g es la aceleración de la gravedad. Si el líquido está en contacto con el aire debemos tener en cuenta la presión que ejerce la atmósfera, Pa:

P=Pa+ρL . g .h

Midiendo la presión y la altura, podemos determinar el producto “ρg”, lo que nos permite calcular la densidad del fluido.

1.4. DEMOSTRACIÓN:

Como ya hemos mencionado anteriormente y conforme con lo observado en la imagen, el líquido se encuentra en contacto con el aire por lo que habrá una PRESION ATMOSFERICA.

Y a una profundidad h, bajo una columna de líquido de volumen V, en forma de cilindro de base A, se tendrá una presión P.

Si la columna de agua tiene un volumen V = Ah y densidad ρ, entonces se tendrá que la presión en la base inferior de la columna de agua, es:

P=Pa+ FA

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P=Pa+mgA

P=Pa+ ρVgA

P=Pa+ρ(Ah) gA

P=Pa+ρgh

P=¿ Presión en un punto dadoPa=¿Presión atmosféricaρ=¿ Densidad del líquidog=¿ Aceleración de la gravedadh=¿ Profundidad del punto considerado

2. EMPUJE Y PESO APARENTE.

2.1. EMPUJE

Es una fuerza vertical dirigida hacia arriba, que un líquido

ejerce sobre un cuerpo sumergido en él.

Esto se debe a que cuando un cuerpo se sumerge en un

líquido, este ejerce fuerzas de presión sobre todos los puntos

de la superficie del cuerpo, pero como las fuerzas que actúan

tienen diferente magnitud, su resultado no será nulo, la

mayor magnitud está dirigida hacia arriba y es lo que

representa el empuje hidrostático del líquido sobre el cuerpo.

2.1.1. FÓRMULA

En Cuerpos Totalmente Sumergidos

E = ∀c*ρL*g

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Esta fórmula proviene de la siguiente

demostración:

El empuje (E) es positivo. El peso (W) es negativo.

W = peso del cuerpo = - mc*gW = - ∀c*ρc*g

E = Empuje sobre el cuerpo = mL*gE = ∀L*ρL*g

Teniendo en cuenta: ∀c = ∀L

Por lo tanto, el cuerpo totalmente sumergido, tiene un Empuje igual:

E = ∀c*ρL*g

En cuerpos parcialmente sumergidos

E= (∀c – X) ρL*g

∀L = Volumen del líquido desplazado (menor que ∀c), entonces ∀c ≠ ∀L

General : W = E

Donde : ∀L = ∀c - X

Entonces:

∀c*ρc*g = (∀c – X) ρL*g

∀ c−X∀ c

=ρcρL

2.1.2. EJEMPLO

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Un iceberg tiene una densidad de 920 kg/m3 y flota en la superficie del agua de mar, cuya densidad es de 1 030 kg/m3.

a) ¿Qué porcentaje del iceberg se encuentra sobre la superficie del mar?SOLUCIÓN

a) Un objeto flotante experimenta un empuje igual a su peso, ya que está en equilibrio en la superficie; por lo tanto, tenemos:

W = E

mI . g = ρL . ∀L . g

ρI . ∀I = ρL . ∀L

ρ IρL

(∀ I )=∀L

920Kg

m3

1030Kgm3

(∀ I )=∀L

0.89 (∀ I )=∀L

El equilibrio de fuerzas consiste en que el peso del iceberg es igual al peso del agua desplazada, lo que se logra cuando una gran parte del iceberg está sumergida. Esta porción tiene un volumen igual al volumen del agua desplazada.

Por lo tanto, solo el 11% del volumen del iceberg es visible sobre la superficie.

2.2. PESO APARENTE

El peso de un cuerpo dentro de un fluido es menor que en el vacío (donde no hay empuje).

W = Peso del cuerpo = mc*gE = Empuje sobre el cuerpo = mL*g

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WAPARENTE = WREAL - E = mc*g - mL*g = (mc- mL)*g

2.2.1. DEMOSTRACIÓN

mL=∀L*ρL

Donde : ∀c = ∀L

Entonces : mL= ∀c*ρL

WAPARENTE = WREAL – E

= (ρc - ρL) ∀c*g

El peso de un cuerpo en el agua siempre es menor que en el aire.

WAPARENTE = (ρc - ρL) ∀c*g

ρaire << ρagua

Al levantar una piedra dentro del mar pesa menos que cuando se levanta en el aire.

En (a), el dinamómetro mide el peso del objeto. En (b), cuando se sumerge el objeto en un fluido, el dinamómetro mide un peso menor, que se conoce como peso aparente. En este caso, el dinamómetro marca menos debido a que al peso del objeto se le resta la fuerza de empuje ejercida por el agua. Este es un método directo para medir el empuje.

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2.2.2. EJEMPLOS

WAPARENTE = WREAL – E

WAPARENTE: Peso aparente [N]WREAL: Peso gravitacional [N]E: Fuerza de Empuje [N]

Ejemplo 01

Un cuerpo de 0,05 m ³ pesa 600 N en el aire. ¿Qué empuje recibe cuando se lo sumerge en agua (ρ = 1000 Kg/m³)?, ¿Cuánto pesa sumergido?

Resolución:

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E = ∀C· ρL *g= 0,05 m³ · 1000 kg/m³. 9,81m/s2 = 490,5 [N]

Sumergido su peso aparente es la diferencia entre su peso en el aire y el empuje.

WAPARENTE = WREAL – E = 600 N – 490.5 N = 109.5 N

Ejemplo 02

¿Cuánto pesará el mismo cuerpo del problema anterior, si se le sumerge en alcohol cuya densidad es 800 kg/m³?

Resolución:

E = ∀C· ρL *g = 0,05m³ · 800 kg/m³. 9,81m/s2 = 392,4 [N]

Sumergido en alcohol su peso aparente es:

WAPARENTE = WREAL – E = 600 N – 392,4 N = 207,6 N

Conclusión: En líquidos distintos, los empujes son diferentes, por ende, los pesos aparentes también cambian.

3. FLOTABILIDAD

La flotación de un objeto depende de la relación entre su densidad y la densidad del fluido en el que se encuentra. Analizaremos los tres casos posibles.

El objeto es más denso que el fluido

En este caso, el objeto se va hacia el fondo del líquido en el que es sumergido, debido

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a que el peso del objeto es mayor que el peso del fluido desplazado y, por lo tanto, mayor que el empuje:

W > E

El objeto tiene la misma densidad que el fluido

En este caso, no podemos decir que el objeto se hunda o flote, aunque se trata de un caso particular en el que el peso del objeto es igual al peso del fluido desplazado y, por lo tanto, igual al empuje. Sin embargo, el objeto podría encontrarse igualmente en el límite de la superficie del fluido o en el fondo.

W = E

El objeto tiene menor densidad que el fluido

En este caso el objeto permanece parcialmente sumergido, es decir, flota. Esto se debe a que si el cuerpo se sumerge completamente, su peso es menor que el peso del fluido que desplaza, de manera que asciende hasta la superficie.

En la siguiente figura se ilustra este último caso con más detalle. En (a) el cuerpo está completamente sumergido, pero como el empuje es mayor que su peso, está ascendiendo. Luego llegará a la posición que se indica en (b), pero igual que antes, seguirá ascendiendo. Desde este momento en adelante parte del cuerpo quedará por encima del nivel del líquido y el empuje se empezará a reducir, hasta hacerse igual a su peso. En este momento el cuerpo flotará en equilibrio. Las flechas azules indican el sentido del movimiento del cuerpo. En los líquidos en general, en tanto, las burbujas de aire u otros

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gases ascienden igual que un corcho, y lo hacen por la misma razón. 

En estas condiciones, el objeto flotante desplaza un volumen de agua que es una fracción del volumen total del objeto, lo que permite equilibrar su peso y el empuje.Por supuesto, los ejemplos de esta situación son numerosos. Tal vez, el más espectacular sea el de un iceberg en el mar, cuya versión doméstica podemos observar con cubos de hielo en un vaso de agua.

IMPORTANTE: Un objeto cuya densidad neta es menor que la del agua desplaza un volumen de agua que es una fracción del volumen total del objeto.

3.1. DEMOSTRACIÓN

F = Fuerza Ascendente Neta = E + W

Empuje : E = ∀c*ρL*g

Peso : W = - ∀c*ρc*g

F = Fuerza Ascendente Neta = E + W = ∀c*ρL*g - ∀c*ρc*gF = (∀c*ρL - ∀c*ρc) *g = (ρL – ρc) ∀c*gF = (ρL – ρc) mc*g/ρc

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F¿mc∗g¿ -1)

Flotación negativa: El cuerpo desciende hasta el fondo.

F < 0ρL < ρc

Flotación neutra: El cuerpo queda en equilibrio totalmente sumergido dentro del líquido.

F = 0 E + W = 0

ρL = ρc

Flotación positiva: el cuerpo asciende hasta sobresalir del líquido (queda parcialmente sumergido).

F > 0 ρL > ρc

4. CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS EN FLOTACIÓN

DATOS GENERALES:

Centro de Gravedad (G).

Punto donde se concentran las fuerzas descendentes de un cuerpo (peso).

Centro de Flotación (F).

Punto donde se concentra el empuje o fuerzas ascendentes.

Metacentro (M)

Punto de corte de la vertical de la nueva fuerza de empuje (originada al variar C) con la línea de empuje inicial.

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EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS TOTAL O PARCIALMENTE SUMERGIDOS:

4.1 CUERPO TOTALMENTE SUMERGIDO

El submarino es un ejemplo de un cuerpo que se encuentran completamente sumergido en un fluido. Es importante, para este objeto, permanecer en una orientación específica a pesar de la acción de corrientes, de los vientos o de las fuerzas de maniobra.

La condición para la estabilidad de cuerpos completamente sumergidos en un fluido es que el centro de gravedad del cuerpo debe estar por debajo del centro de flotabilidad.

De todo ello se deducen las siguientes leyes de flotación que fueron enunciadas por Arquímedes:

  Si el c.d.f. está encima del c.d.g., el equilibrio es estable.

Si el c.d.f. coincide con el c.d.g., el equilibrio es indiferente.

Si el c.d.f. está por debajo del c.d.g., el equilibrio es inestable, y espontáneamente se engendrará un par de fuerzas que le llevan a una posición aún más inestable.

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c.d.f = Centro de Flotaciónc.d.g = Centro de Gravedad

CONDICIONES:

EQUILIBRIO ESTABLE:

Cuando el par de fuerzas restauradoras devuelve el cuerpo a su posición original. Esto se produce cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte inferior del mismo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por debajo del centro de flotación.

EQUILIBRIO INESTABLE: Cuando el par de fuerzas tiende a aumentar el desplazamiento angular producido. Esto ocurre cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte superior del cuerpo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotación.

EQUILIBRIO INDIFERENTE:

Cuando no aparece ningún par de fuerzas restauradoras a pesar de haberse producido un desplazamiento angular. Podemos encontrar éste tipo de equilibrio en cuerpos cuya distribución de masas es homogénea, de manera que el centro de gravedad coincide con el centro de flotación.

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4.2 CUERPO PARCIALMENTE SUMERGIDO

En un cuerpo parcialmente sumergido las posiciones relativas de G y F no nos definen la situación de equilibrio.

Es el metacentro (M) y su situación respecto a G la que define el equilibrio cualquiera que sea la posición de G respecto a F.

CONDICIONES DE EQUILIBRIO

Si M está por encima de G : Equilibrio Estable

Al desplazar el centro de flotación se forman un par de fuerzas (+P, -P) que tienden a devolver el cuerpo a su posición inicial. El metacentro M queda por encima de G (Equilibrio Estable).

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Si M está por debajo de G : Equilibrio Inestable

Al desplazar el centro de flotación se forman un par de fuerzas (+P, -P) que tienden a separar el cuerpo, aún más, de su posición inicial. Esto se da cuando el metacentro M queda por debajo de C.G.

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Si M está coincide con G : Equilibrio Indiferente

El Centro de flotación no cambia su posición debido a la simetría del cuerpo, por lo que el equilibrio es indiferente frente a cualquier perturbación.

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5. ESTABILIDAD DE UN BARCO

Un cuerpo que flota puede encontrarse en una situación estáticamente inestable; los ingenieros deben cuidar los diseños para impedir esta inestabilidad en la flotación, de forma que, para asegurar que una posición de equilibrio sea estable, se aplica una pequeña perturbación al flotador, y se observa si aparece un momento restaurador que lo lleve a la posición de equilibrio original.

Si esto sucede, el equilibrio será estable y en caso contrario, inestable.Este tipo de cálculos para cuerpos flotantes arbitrarios, constituye una especialidad propia de los ingenieros navales, por lo que aquí nos limitamos a exponer unos principios básicos del cálculo de la estabilidad estática.

Para una mejor comprensión del fenómeno, definimos el concepto de metacentro, como aquel punto que se halla en la intersección de la vertical que pasa por el centro de carena, y el plano de simetría del flotador.

Las condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes vienen definidas por la posición del metacentro respecto al c.d.g. del flotador.

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En efecto:

- Si el metacentro está por encima del c.d.g. el equilibrio es estable.- Si el metacentro está por debajo del c.d.g. el equilibrio es inestable, apareciendo un par de fuerzas sobre el flotador, que le llevan a una posición aún más inestable.- Si el metacentro coincide con el c.d.g. el equilibrio es indiferente, no apareciendo ningún par de fuerzas sobre el flotador.

DEMOSTRACIÓN

Recordando que el centro de flotación se encuentra en el volumen del líquido desplazado, entonces hay que recurrir a los fundamentos básicos de centroides para evaluar el desplazamiento cc’. De la definición básica del centroide de un volumen podemos escribir de forma general la siguiente ecuación:

Como el volumen original de sustentación es simétrico con y-y, el momento para el primer término de la derecha es cero. Del mismo modo, el signo del momento del volumen AOB es negativo; por lo tanto, cuando este momento negativo se resta del lado derecho dela ecuación (1) llegamos a la siguiente ecuación:

…………(2)

Ahora, expresando la ecuación (2) en forma integral tendremos:

…………(3)

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Pero se puede apreciar en la gráfica que él se puede dar como el producto de la longitud del volumen diferencial, x tan α, y el área diferencial. En consecuencia la ecuación (3) se puede escribir de la forma:

Donde tan α es una constante con respecto a la integración. De la misma forma, como los dos términos del lado derecho son idénticos excepto por el área sobre la cual se efectúa la integración, los combinamos y resulta:

…………(4)

El segundo momento, o momento de inercia del área definida por la línea de flotación, recibe el símbolo de I 00, y se obtiene lo siguiente:

A continuación, sustituyendo de CC’ y despejando CC’, obtenemos:

…………. (5)

De la gráfica se puede decir:

…………(6)

Sustituyendo (6) en (5) y eliminando tan α resulta:

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Sin embargo:

Por lo tanto:

…………(7)

La ecuación número (7) se utiliza para determinar la estabilidad de los cuerpos flotantes, si GM es positiva, el cuerpo es estable, y si GM es negativa, es inestable.

Es posible determinar analíticamente si un cuerpo flotante es estable, mediante el cálculo de su posición del metacentro. La distancia del metacentro al centro de flotabilidad se denota con MC y se calcula a partir de la ecuación:

MC = I/VLD

En esta ecuación, VLD es el volumen desplazado de fluido e I es el mínimo momento de inercia de una sección horizontal del cuerpo, tomada en la superficie del fluido. Si la distancia MC coloca al metacentro encima del centro de gravedad, el cuerpo es estable.

PROBLEMAS

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01. Se tiene una chalana de 1.40 m de altura, 2.40 m de ancho y 6.00 m de largo, cuyo peso es igual a 150 KN. Determinar si la chalana es estable en agua dulce.

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E = W   H2O x Vs = W 

ρ (g ) (Vs )=W

 1000Kg

m3×9.81

m

s2×2.4m×6m×Z=150000N

 

141264Nm×Z=150000N

 Z=1.06m

C.F

C.G

LÍNEA DE FLOTACIÓN

1.4

 

 

 

 

 

Z

E

w

E

W

LÍNEA DE FLOTACIÓN

C.FC.G

1.06 m

0.53 m0.7 m

1.4 m

 

 

 

 

 

 

 

Para encontrar la distancia CG (distancia desde el centro de flotabilidad hasta el centro de gravedad), tomamos la distancia desde el fondo del cuerpo hasta el centro de gravedad y restamos el mismo nivel de referencia hasta el centro de flotabilidad.

Altura metacéntrica – (Distancia del centro de gravedad al punto metacéntrico).

 

MG=I∀S

−CG≥0

  

( 6m×2.40

3m3

12)

(2.40×6×1.06)m3−(0.70m−0.53m)≥0

0,43m−0.17m≥00.28m≥0

 Por lo tanto la chalana si es ESTABLE

02. La mitad inferior de un tanque se llena con agua, la otra mitad superior se llena con petróleo. Suponga que un bloque rectangular de madera cuya masa es de 5.5 kg y sus dimensiones son, 30 cm de largo, 20 cm de ancho y 10 cm de altura, se coloca en ese tanque. Una vez el bloque alcanza el equilibrio. ¿Cuán profundo se sumergirá en el agua la parte inferior del bloque?

Densidad del petróleo es de 850 kg/m3

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E

E=ρLV dgwaire−wliquido=E

l= 30 cm = 0.30 ma=20 cm = 0.20 mh=10 cm = 0.10 m

Ojo: el agua con el petróleo son líquidos inmiscibles (que no se pueden mezclar)

Calculando la densidad de la madera

ρ=mv

ρM=¿ 5.5kg

(0.3m)(0.2m )(0.1m)¿

ρM=¿916.7 kg /m3¿

D.C.L

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∑ FY=0

EP+EH 2O=mg

ρp v p g+ρH 20V H 20 g=mg

ρp(h−b)(l)(a)+ρH 20(b)(l)(a)=mρp (h ) ( l ) (a )− ρp (b ) ( l ) (a )+ ρH 20(b)(l)(a)=m

(b)(l)(a) (ρH20− ρp )=m−ρp (h ) (l ) (a )

b=m−ρ p (h ) (l ) (a )

(l)(a)( ρH 20−ρp )

b=5.5 kg−(850kg /m3) (0.1m ) (0.3m ) (0.2m)

(0.3m ) (0.2m)[ (1000−850 ) kgm3

]

b=0.044m

b=4.4 cm

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03. Tres niños, todos con igual masa de 40 kg construyen una balsa enlazando troncos entre sí, los troncos tienen una longitud de 1.80 m y un diámetro de 32 cm. ¿Cuántos troncos se necesitan para mantener a nivel del agua a los 3 niños? (La densidad de los troncos es 700 kg/m3 y la densidad del agua es 1000 kg/m3)

38

m = 40 kgØ = 32 cm = 0.32 mL = 1.80 mρT = 700 kg/m3

ρH20 = 1000 kg/m3

Se considera

n = número de troncosE = ρL.Vd .g

39

E

W = n.mT.g

W = 3 m.g

ΣFy = 0

E – 3mg – n.mT.g = 0

E = 3mg + n.mT.g

ρH2O.n.VT .g = 3mg + n.ρT.VT.g

ρH2O.n.VT – n.ρT.VT = 3m

n.VT (ρH2O – ρT) = 3m

n.π4. Ø2.L (ρH2O – ρT) = 3m

n. π4 (0.32 m)2. (1.8 m). (1000 – 700) kg/m3 = 3(40 kg)

n = 120

(0.08)(1.8)(300)

n = 2.78 troncos ≈ 3 TRONCOS

40

E = ρ L.Vd .g Vd = volumen de los troncos = n. VT

Volumen del tronco

VT = π4. Ø2.L

04. Un cubo sólido de aluminio de 40 cm de arista, cuelga de una cuerda y se encuentra sumergido en agua como se muestra en la figura.

a) Calcular la tensión de la cuerda.b) Si el cable se rompe, el cubo empieza a caer con

aceleración constante, cuánto vale la magnitud de la aceleración.

c) Si el cubo se coloca en mercurio, que profundidad se hunde hasta llegar al equilibrio.

Densidad del aluminio = 2700 kg/m3 Densidad del mercurio = 13600 kg/m3

Cubo = 40 cm de arista = cρAl = 2700 kg/m3

ρHg = 13600 kg/m3

a) Calcular la tensión de la cuerda

41

T

E

W = m.g

ΣFy = 0

T + E – mg = 0

T = mg – E

T = ρAl.c3.g – ρH2O.c3.g

T = c3.g (ρAl – ρH2O)

T = (0.4 m)3(9.81 m/s2) (2700-1000) kg/m3

T = 1067.33 N

b) Calcular la aceleración del bloque cuando la cuerda se rompe

ΣF = m.a

ΣFy = m.ay

m.g – E = m.ay

ρAl.c3.g – ρH2O.c3.g = ρAl.c3 (ay)

g (ρAl – ρH2O) = ρAl (ay) 9.81 m/s2 (2700 – 1000) kg/m3 = 2700 kg/m3 (ay)

16667 m/s2 = 2700(ay)

ay = 6.17 m/s2

c) Profundidad a la que se hunde el bloque cuando se sumerge en mercurio.

42

E

W = m.g

a

h Hg

E

W = m.g

ΣFy = 0

E – mg = 0

ρHg.(c2.h).g = ρAl.c3.g

13600 kg/m3 (h) = (2700 kg/m3) (0.4 m)

h = 270013600

(0.4 m)

h = 0.0794 m

h = 7.94 cm

05. Un iceberg con un peso específico de 912 Kgf/m3 flota en el

océano (H2O = 1027 Kgf/m3), emergiendo del agua un

volumen de 600 m3. ¿Cuál es el volumen total del iceberg?

Datos:

γ I=912kgf /m3

γ H2O=1027kgf /m3

∀E=600m3

γ= ρ. g

43

WE = Peso emergidoWS = Peso sumergidoγ I = Peso Específico del Icebergγ H2O = Peso específico del

W=∀ . γ

Solución: W E=∀S×γ IW E=600m3×912Kgf /m3W E=547200Kgf

E=W TE=W S+WEW E=γH 2O× ∀S−∀S×γ IW E=∀S (γH2O−γ I )

547200Kgf=∀S (1027−912 ) Kgf /m3547200Kgf=∀S (115 )Kgf /m3∀S=4758.26m3

∀T=∀S+∀E∀T=(4758.26+600 )m3∀T=5358.26m3

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06. Un cilindro sólido tiene 3m de diámetro y 6m de altura y pesa 277 KN. Si el cilindro está colocado en aceite, cuya gravedad especifica es 0,90.

Determinar si el cilindro es estable en aceite.

¿ =ρr=ρlρH 2O

ρl=¿ (0,90 ) (1000 )

ρaceite=900kg /m3

E=Wγ aceite×∀S=W ρaceite×g×∀S=W900kgm3×9.81

ms2×π (3m )2

4×Z=277×103N

Z=4.44m

Y Cb=Z2=2.22m… Centro de Flotación o Carena

Y CG=3m… … Centro de gravedad del cuerpo en general

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Metacentro – (Distancia del centro de gravedad al centro de carena)

I z∀S

−h0≥0

π (3m )4

64

π (3m )2

4×4.44m

− (3−2.22 )m≥0 3.98m4

31.39m3−0.78m≥0

−0.65m≥0→Inestable

07. Una boya consiste en un cilindro solido de 0.3 m diámetro y 1.2m de largo, está hecha de un material cuyo peso especifico es 7.9 km/m³, si flota de manera vertical ¿Qué tanto de su longitud estará por encima del agua?

γ c=7.9KN /m ³

46

Volumen del cuerpo:

(1.2m ) π (0.3m )2

4=∀c

0.08m ³=∀ c

Peso del cuerpo:

(0.08m3 )( 7.9KNm ³ )=W632N=W

E=Wγ h2o∀ s=632N

(9.81 kgm3 )(9.81 ms2 )( π (0.3m)2

4 )Z=632NZ=0.91m

1.2m−Z=X0.29m=X

CONCLUSIONES

El principio de Arquímedes es una consecuencia de la presión hidrostática.

Cualquier cuerpo sumergido en un fluido, va a presentar una fuerza vertical llamada empuje.

El empuje es una fuerza, llamada fuerza de flotación y es igual al volumen del fluido desplazado.

La densidad de cualquier cuerpo, determinara si va a flotar o si se va a hundir.

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BIBLIOGRAFÍA

Mecánica de Fluidos Aplicada. Cuarta Edición. Robert L. Mott

LINKOGRAFÍA

http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=133171

http://www.fisicanet.com.ar/fisica/estatica_fluidos/ap01_estatica_fluidos.php

48

http://mundosgm.com/maritimo/principio-de-arquimedes-(desarrollo)/

http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esofisicaquimica/impresos/quincena4.pdf

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