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CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 1

Grupos

Oswaldo Lezama

Departamento de Matematicas

Facultad de Ciencias

Universidad Nacional de Colombia

Sede de Bogota

Agosto de 2011



ii

Cuaderno dedicado a Justo Pastor, mi padre.



Contenido

Prologo vi

1. Grupos y subgrupos 1

1.1. Operaciones binarias y estructuras algebraicas elementales . . . . . . 1

1.2. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Generacion de subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Grupos cıclicos 24

2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2. Orden y periodo de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3. Subgrupos normales y homomorfismos 34

3.1. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2. Grupo cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Homomorfismo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Teoremas de estructura 42

4.1. Teorema fundamental de homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2. Teorema de factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3. Teorema de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4. Teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

iii



iv CONTENIDO

5. Automorfismos 53

5.1. Automorfismos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2. Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6. Grupos de permutaciones 61

6.1. Ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.2. El grupo alternante An . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3. Sistemas de generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.4. El grupo dihedrico Dn, n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6.5. Subgrupos normales del grupo Dn, n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 736.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7. Productos y sumas directas 78

7.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7.2. Producto cartesiano: caso infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3. Suma directa externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.4. Suma directa interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

7.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8. G-conjuntos 878.1. Accion de grupos sobre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.2. Orbitas y subgrupos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8.3. Grupos transitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9. Teoremas de Sylow 97

9.1. p-grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

9.2. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

9.3. Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10.Grupos abelianos finitos 111

10.1. p-grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10.2. Sistemas de invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10.3. Grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

10.4. Grupos de orden ≤ 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

10.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118



CONTENIDO v

11.Grupos solubles 120

11.1. Centro de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12011.2. Conmutante de un grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12211.3. Cadenas normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12611.4. Grupos solubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13211.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Bibliografıa 135



Prologo

La coleccion Cuadernos de ´ algebra consta de 10 publicaciones sobre los principalestemas de esta rama de las matematicas, y pretende servir de material para prepararlos examenes de admision y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matematicas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material basico delos cursos de estructuras algebraicas y algebra lineal de los programas de maestrıa;los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de losexamenes de candidatura, a saber: anillos y modulos, categorıas, algebra homologi-ca, algebra conmutativa y geometrıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clasesdictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los ultimos 25 anos,y estan basados en las fuentes bibliograficas consignadas en cada uno de ellos, comotambien en el libro Anillos, M´ odulos y Categorıas, publicado por la Facultad deCiencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edicion esta totalmenteagotada (vease [8]). Un material similar al presentado en estas diez publicaciones es

el libro de Serge Lang, Algebra , cuya tercera edicion revisada ha sido publicada porSpringer en el 2004 (vease [7]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de ´ algebra seasu presentacion mas ordenada y didactica, ası como la inclusion de muchas pruebasomitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teorıa. Los cuadernosson:

1. Grupos 6. Anillos y modulos2. Anillos 7. Categorıas

3. Modulos 8. Algebra homologica

4. Algebra lineal 9. Algebra conmutativa5. Cuerpos 10. Geometrıa algebraica

Los cuadernos estan dividido en capıtulos, los cuales a su vez se dividen ensecciones. Para cada capıtulo se anade al final una lista de ejercicios que deberıa sercomplementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen lasprincipales monografıas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de grupos . La teorıa de grupos, como todas las ramas del algebracontemporanea, estudia ciertos objetos matematicos llamados grupos, ası como lasrelaciones entre estos objetos, llamadas homomorfismos. Podrıamos justificar el es-tudio de la teorıa de los grupos diciendo que los conjuntos son para la matematica

vi



PROLOGO vii

como los grupos son para el algebra.

En el primer capıtulo daremos la definicion axiomatica de la estructura abstractade grupo y veremos algunos conjuntos estructurados como grupos. Se estudiar a lanocion de subgrupo y se demostrara un teorema de gran imortancia dentro de lateorıa de grupos finitos como es el teorema de Lagrange. Quiza los grupos abelianosmas importantes son los llamados grupos cıclicos, ya que los grupos abelianos fini-tamente generados son expresables a traves de sumas directas de grupos cıclicos.

En el segundo capıtulo mostraremos las propiedades basicas de los grupos cıclicos.El objetivo central del capıtulo 3 es mostrar la estrecha relacion que guardan losconceptos de subgrupo normal y homomorfismo de grupos. Sera demostrado que,salvo isomorfismo, hay tantos subgrupos normales en un grupo G como imageneshomomorficas tiene este ultimo.

El concepto de homomorfismo e isomorfismo, ası com o los teoremas correspon-dientes, son el objeto del capıtulo 4. Por medios de estos teoreams se pueden car-acterizar las imagenes homomorficas de un grupo, y son herramienta clave parala clasificacion de grupos, en particular, para la clasificacion de grupos finitos. Loshomomorfismos biyectivos de un grupo G en si mismo se conocen como los automor-fismos de G. Estas funciones conforman un grupo que tiene informacion importanterelativa sobre grupo G y seran estudiados en el quinto capıtulo.

En el capıtulo 6 estudiaremos con algun detalle al grupo simetrico S n. Destacare-mos en S n el subgrupo alternante An y describiremos el grupo dihedrico de gradon, Dn por medio de permutaciones. El objetivo del capıtulo 7 es presentar la con-

struccion del grupo producto cartesiano y la suma directa externa para una familiadada de grupos. Como fundamento teorico para la demostracion de los teoremas deSylow, en el capıtulo 8 seran tratadas las acciones de grupos sobre conjuntos. Paralos grupos cıclicos finitos es valido el recıproco del teorema de Lagrange (vease elsegundo capıtulo), es decir, si G un grupo cıclico finito de orden n y m divide a nentonces G contiene exactamente un subgrupo de orden m. En el noveno capıtulose mostrara que la afirmacion anterior es valida para cuando m es potencia de unprimo. Este resultado es uno de los famosos teoremas de Sylow.

El objetivo del capıtulo 10 es describir para un entero positivo n dado todos losgrupos abelianos de orden n (salvo isomorfismo). Se incluira tambien en este capıtulouna tabla con la lista de todos los grupos de orden ‘15. Por ultimo, una de las masimportantes generalizaciones de la nocion de conmutatividad es la solubilidad, de lacual nos ocupamos en el capıtulo 11.

El material presentado en esta complementado con una gran variedad de ejemplosque ilustran las definiciones y propiedades estudiadas a lo largo del texto. Estosejemplos constituyen parte muy importante de la teorıa basica de grupos introducidaen el presente cuaderno.

El autor desea expresar su agradecimiento a Milton Armando Reyes Villamil,discıpulo y amigo, por la digitalizacion del material del presente cuaderno.



viii PROLOGO

Oswaldo Lezama

Departamento de MatematicasUniversidad Nacional de ColombiaBogota, Colombia

[email protected]



Capıtulo 1

Grupos y subgrupos

La teorıa de grupos estudia ciertos ob jetos matematicos llamados grupos, ası comolas relaciones entre ellos, los homomorfismos. Podrıamos justificar el estudio de lateorıa de los grupos diciendo que los conjuntos son para la matematica como losgrupos son para el algebra. En este primer capıtulo presentamos la definicion axio-matica de la estructura abstracta de grupo y veremos algunos ejemplos notables. Seestudiara la nocion de subgrupo y se demostrara un teorema de gran importanciadentro de la teorıa de grupos finitos como es el teorema de Lagrange sobre claseslaterales.

1.1. Operaciones binarias y estructuras algebrai-cas elementales

En esta seccion definimos el concepto de operacion entre elementos de un conjunto,nocion que hemos utilizado tacitamente en todas nuestras matematicas elementales.Se dara ademas una definicion precisa de las propiedades mas comunes de las quegozan estas operaciones. Esto permitira introducir posteriormente la estructura degrupo.

Definicion 1.1.1. Sea G un conjunto no vacıo. Una operaci´ on binaria interna (ley de composici´ on interna ) en G es una funci´ on : G × G → G del productocartesiano de G con G en G.

Ası pues, a cada par ordenado (x, y) de elementos de G se le asigna un unicoelemento de G. La imagen del par (x, y) mediante la funcion se denota por x y.Se dice tambien que x y es el resultado de operar x con y (en ese orden).

1



2 CAPITULO 1. GRUPOS Y SUBGRUPOS

Ejemplo 1.1.2. La adicion de numeros naturales es una ley de composicion:

+ : N × N → N

(a, b) → a + b.

Ejemplo 1.1.3. En N podemos definir una funcion por

: N × N → N

(a, b) → mın(a, b).

es una operacion binaria interna en N. Por ejemplo, 34=3, 52=2, y 33=3.

Ejemplo 1.1.4. Sea X un conjunto no vacıo y sea P (X ) el conjunto de todoslos subconjuntos de X . La interseccion de conjuntos define una operacion binariainterna en P (X ):

∩ : P (X ) × P (X ) → P (X )

(A, B) → A ∩ B.

Ejemplo 1.1.5. En el conjunto de los numeros naturales N definimos la funcion:

∗ : N × N → N

a ∗ b → (a b) + 2,

donde la operacion es como en el ejemplo 1.1.3. Ası pues,

5 ∗ 3 = (53) + 2 = 3 + 2 =5,4 ∗ 4 = (44) + 2 = 4 + 2 = 6.

Ejemplo 1.1.6. La funcion : Z × Z → Z, definida por ab = (ab) ÷ 2 , no defineen Z una operacion binaria interna.

Dado un conjunto G con una operacion binaria interna ∆ y dados 3 elementos a,by c del conjunto G, podemos preguntarnos las maneras de operar estos tres elemen-tos en ese orden e investigar si los resultados de estas formas de operar coinciden.

Ası pues, en el ejemplo 1.1.2 sean 2,5, 7 ∈ N. Entonces,

2 + 5 = 7, 7 + 7 = 14, 5 + 7 = 12, 2 + 12 = 14.

Es decir, (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7), donde los parentesis indican la secuencia en quese han efectuado las operaciones. Es bien conocido que para la adicion de numerosnaturales esta propiedad es valida, es decir, cualesquiera que sean a,b,c ∈ N, secumple (a + b) + c = a + (b + c). Notese sin embargo que en el ejemplo 1.1.5, sobreN se definio la operacion ∗ la cual no cumple esta propiedad:



1.1. OPERACIONES BINARIAS Y ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ELEMENTALES 3

(3 ∗ 5) ∗ 7 = 5 ∗ 7 = 7, 3 ∗ (5 ∗ 7) = 3 ∗ 7 = 5.

Esto permite clasificar las operaciones binarias de acuerdo a esta propiedad o condi-cion.

Definicion 1.1.7. Sea ∗ una operaci´ on binaria definida sobre un conjunto G. Sedice que la operaci´ on ∗ tiene la propiedad asociativa , o que * es una operaci´ on asociativa, si para cualesquiera elementos a,b,c de G se cumple la igualdad

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

De esta definicion surge una pregunta inmediata: en el caso que sean dados4, 5, o n elementos (en un orden determinado), ¿la secuencia en que se efectuen las

operaciones influye en el resultado? Se puede probar por induccion sobre n que si laoperacion es asociativa, es decir, si para el caso de 3 elementos se tiene la propiedadexigida, entonces la misma propiedad tendra lugar para cualesquiera n elementosdados . Ası pues, si se dan n elementos a1, . . . , an del conjunto G y suponiendo quela operacion ∗ de G es asociativa, los parentesis que indican la secuencia de como serealizan las operaciones en la expresion a1 ∗ · · · ∗ an pueden ser colocados donde sequiera y el resultado no varıa.

Proposicion 1.1.8. Sea G un conjunto donde se ha definido una operaci´ on binaria asociativa ∗. Para a ∈ G, sea

a

1

:= a, a

n

:= a

n

−1

∗ a, n ≥ 2.Entonces, para cualesquiera naturales m y n se tienen las identidades

an ∗ am = an+m, (an)m = anm.

Demostraci´ on. La prueba se realiza por induccion y se deja como ejercicio al lector.

Definicion 1.1.9. Un semigrupo es un conjunto G dotado de una operaci´ on bi-naria interna asociativa ∗, y se denota por (G, ∗). Se dice tambien que sobre G setiene una estructura de semigrupo.

Ejemplo 1.1.10. (N, +) es un semigrupo.

Ejemplo 1.1.11. Sea X un conjunto no vacıo cualquiera y sea Aplc(X ) el conjun-to de aplicaciones (funciones) de X en si mismo. Por teorıa elemental de conjuntossabemos que la operacion composicion de funciones ◦ es una operacion binaria in-terna en Aplc(X ), y ademas es asociativa. Ası pues, (Aplc(X ), ◦) es un semigrupo.

El ejemplo anterior ilustra que no toda operacion binaria ∗ definida sobre unconjunto G satisface a ∗ b = b ∗ a para todos los elementos a y b de G.




Definicion 1.1.12. Sea ∗ una operaci´ on binaria definida sobre un conjunto G. Se

dice que la operaci´ on ∗ es conmutativa si para cualesquiera elementos a y b de Gse tiene que:

a ∗ b = b ∗ a.

Mediante induccion es facil probar la siguiente propiedad.

Proposicion 1.1.13. Sea (G, ∗) un semigrupo conmutativo, es decir, la operaci´ on ∗es asociativa y conmutativa. Entonces, para cualequiera a, b ∈ G y cualquier natural n se tiene que:

(a ∗ b)n = an ∗ bn.

Demostraci´ on. Ejercicio para el lector.

Existen conjuntos con operaciones binarias internas donde se destacan elementosespeciales.

Definicion 1.1.14. Sea G un conjunto en el cual se ha definido una operaci´ on binaria ∗. Se dice que el elemento e de G es una identidad de G con respecto a la operaci´ on ∗ si para cualquier elemento de G se tiene que:

e ∗ a = a = a ∗ e.

Ejemplo 1.1.15. En el semigrupo (Z, +), donde Z es el conjunto de numeros enteros

y + es la adicion habitual, 0 es una identidad.

Surge la siguiente pregunta: ¿en un conjunto G con una operacion binaria ∗pueden existir varias identidades?

Proposicion 1.1.16. En un conjunto G con una operaci´ on binaria ∗ solo puedeexistir un elemento identidad respecto de ∗.

Demostraci´ on. Sean e, e dos identidades, entonces e ∗ e = e = e.

Notese que para diferentes operaciones, las identidades no necesariamente coinci-den, como tampoco cada operacion debe tener un elemento identidad. Por ejemplo,

0 es la identidad del semigrupo (Z, +), 1 es la identidad de (Z, ·) y (N, +) no tieneidentidad.

Definicion 1.1.17. Un monoide es un semigrupo que posee elemento identidad.

Definicion 1.1.18. Sea G un conjunto dotado de una operaci´ on binaria interna ∗la cual posee un elemento identidad e, se dice que u ∈ G es invertible si existeu ∈ G tal que u ∗ u = e = u ∗ u. El elemento u se denomina el inverso de urespecto de la operaci´ on ∗.



1.2. GRUPOS 5

En la definicion anterior no se exige que cada elemento de G sea invertible. Sin

embargo, de esta definicion se desprende lo siguiente.Proposicion 1.1.19. Sea G un monoide.

(i) Si u ∈ G es invertible entonces su inverso u es ´ unico.

(ii) Sean x, u los inversos de x y u respectivamente. Entonces, x ∗ u es invertibley adem´ as

(x ∗ u) = u ∗ x , (x) = x.

Demostraci´ on. Notemos que (u ∗ x) ∗ (x ∗ u) = 1 = (x ∗ u) ∗ (u ∗ x). De igualmanera, puesto que x ∗ x = 1 = x ∗ x, entonces (x) = x.

1.2. Grupos

En la seccion anterior fueron estudiadas algunas propiedades que pueda tener unaoperacion binaria definida en un conjunto. Ası pues, se dijo que cuando la operacionbinaria ∗ definida sobre el conjunto G es asociativa se obtiene sobre el conjunto Guna estructura de semigrupo. Al poseer la operacion ∗ mas propiedades, la estructurase hace mas rica y las posibilidades de operar en G se hacen mayores. Un ejemplode tal situacion lo constituyen los llamados grupos, los cuales pasamos a definir.

Definicion 1.2.1. Sea G un conjunto no vacıo y ∗ una operaci´ on binaria definida en G. Se dice que G es un grupo respecto de ∗, o tambien que ∗ da a G una estructura de grupo, si ∗ cumple las siguientes propiedades:

(i) ∗ es asociativa.

(ii) En G existe un elemento identidad e respecto de ∗.

(iii) Cada elemento de G es invertible.

Denotaremos un grupo por (G, ∗), pero cuando no haya ambiguedad sobre laoperacion ∗, escribiremos simplemente G.

Definicion 1.2.2. Un grupo (G, ∗) es conmutativo, tambien denominado abelia-no, si la operaci´ on ∗ es conmutativa.

Ejemplo 1.2.3. Los siguientes conjuntos numericos, donde las operaciones indi-cadas son las habituales, constituyen grupos conmutativos:

(Z, +, 0), (Q, +, 0), (R, +, 0), (C, +, 0).

Z, Q, R y C denotan los conjuntos de numeros enteros, racionales, reales y complejos,respectivamente.




Ejemplo 1.2.4. Los siguientes ejemplos no conforman grupos:

(Z, ·, 1): solo hay dos elementos invertibles: 1 y −1,(Q, ·, 1): el cero no es invertible,(R, ·, 1): el cero no es invertible,(C, ·, 1): el cero no es invertible.

Ejemplo 1.2.5. El grupo de elementos invertibles de un semigrupo: sea(G,., 1) un monoide con identidad 1. Entonces, el conjunto de elementos de G queson invertibles no es vacıo y, respecto de la misma operacion, constituye un grupo,el cual se acostumbra a denotar por G∗: G∗ = ∅ ya que 1 ∈ G∗; sean x, y ∈ G∗,entonces xy ∈ G∗ ya que xyy x = 1, yxxy = 1. Puesto que la operacion que actua

sobre los elementos de G∗ es la misma que la de G, entonces la propiedad asociativatambien se cumple para G∗. 1 ∈ G∗ es la identidad. Por ultimo, de acuerdo a laescogencia de G∗, cada uno de sus elementos es invertible y su inverso esta en G∗.

Notemos por ejemplo que (Z, ., 1) es un semigrupo conmutativo con elementoidentidad 1 y

Z∗ = {1,- 1}.

De igual manera,

(Q∗, ·, 1);(R∗, ·, 1);(C∗, ·, 1)

son grupos conmutativos, con

Q∗ = Q\ {0} , R∗ = R\ {0} , C∗ = C\ {0} .

De la proposicion 1.1.19 y de la definicion de grupo se obtienen de manera in-mediata las siguientes conclusiones.

Proposicion 1.2.6. Sea (G, ·, 1) un grupo. Entonces,

(i) El elemento identidad 1 del grupo G es ´ unico.

(ii) Cada elemento x de G tiene un ´ unico inverso, el cual se denota por x−1.

(iii) Se cumple la ley cancelativa, es decir, para cualesquiera elementos x,y,z ∈ Gse tiene que

x · z = y · z ⇒ x = yz · x = z · y ⇒ x = y.

(iv) Sean a, b elementos cualesquiera de G, entonces las ecuaciones lineales a·x = by z · a = b tienen soluci´ on ´ unica en G.



1.2. GRUPOS 7


La proposicion que demostraremos a continuacion indica que los axiomas quedefinen un grupo pueden ser debilitados.

Proposicion 1.2.7. Sea (G, ∗) un semigrupo. Entonces, G es un grupo si, y s´ olosi, ∗ tiene las siguientes propiedades:

(i) Existe un elemento identidad a la izquierada e ∈ G tal que e ∗ x = x, para cada x ∈ G.

(ii) Para cada x ∈ G existe x ∈ G tal que x ∗ x = e.

Demostraci´ on. ⇒) Las condiciones (i) y (ii) se cumplen trivialmente ya que G esun grupo.

⇐) Sea (G, ∗) un semigrupo en el cual se cumplen las condiciones (i) y (ii).Demostremos que el inverso x de x a la izquierda es tambien a la derecha, es decir,

x ∗ x = e.

Sea x ∗ x = y ∈ G, entonces

y ∗ y = x ∗ x ∗ x ∗ x = x ∗ (x ∗ x) ∗ x = x ∗ (e ∗ x) = x ∗ x = y.

Ahora, por (ii), existe y ∈ G tal que y ∗ y = e. Ası pues, de y ∗ y = y se deduce que

(y ∗ y) ∗ y = y ∗ y, luego e ∗ y = e, es decir, y = e, de donde, x ∗ x = e.

Finalmente probemos que x ∗ e = x:

x ∗ e = x ∗ (x ∗ x) = (x ∗ x) ∗ x = e ∗ x = x.

Observacion 1.2.8. (i) Segun la proposicion anterior, si se da un semigrupo G, essuficiente encontrar en G un elemento identidad a la izquierda e y encontrar paracada x ∈ G un inverso a la izquierda x para concluir que G es un grupo.

(ii) La proposicion anterior es valida para el caso derecho.(iii) No es siempre cierto que si en un semigrupo (G, ∗) tiene lugar la propiedad

(i) por la derecha y la propiedad (ii) por la izquierda el sistema sea un grupo. Porejemplo, sea G un conjunto no vacıo cualquiera y sea ∗ definida por a ∗ b = a.∗ es claramente asociativa. Ademas, cualquier elemento x0 de G es identidad a laderecha: a ∗ x0 = a. Tambien, dado a ∈ G, a tiene inverso a la izquierda respectodel elemento x0 : x0 ∗ a = x0. Sin embargo, (G, ∗) no es un grupo en el caso queG tenga al menos tres elementos distintos a,b,c. En efecto, si G fuera un grupo setendrıa la ley cancelativa:




a ∗ b = a,

a ∗ c = a,a ∗ b = a ∗ c ⇒ b = c.

Analogamente, si tiene lugar la propiedad (i) a la izquierda y la propiedad (ii) a laderecha, el sistema (G, ∗) no es necesariamente un grupo.

Presentamos a continuacion algunos ejemplos notables de grupos.

Ejemplo 1.2.9. El grupo de elementos invertibles del semigrupo Aplc(X ), denotadopor S (X ), esta constituido por las funciones f : X → X tales que existe g : X → X para la cual f ◦ g = 1X = g ◦ f . En otras palabras, f ∈ S (X ) si, y solo si, f es unafuncion biyectiva. S (X ) es pues el grupo de todas las funciones biyectivas definidas

de X en X . En el caso en que X sea un conjunto finito de n ≥ 1 elementos, S (X )se denota por S n. Este grupo sera estudiado en detalle en el capıtulo 6. Para el cason = 3, os elementos de S 3 son:

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x1 x2 x3

,

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x1 x3 x2

,

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x3 x2 x1

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x2 x1 x3

,

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x2 x3 x1

,

x1 x2 x3

↓ ↓ ↓x3 x1 x2

Notemos que este grupo no es conmutativo.

Ejemplo 1.2.10. Sea X un conjunto no vacıo y sea (G, .) un grupo con elementoidentidad 1. Sea Aplc(X,G ) el conjunto de funciones de X en G. Se define en esteconjunto la siguiente operacion:

f g : X → G

x → (f g)(x) = f (x) · g(x),

donde f, g son elementos de Aplc(X, G) y x ∈ X . Esta operacion convierte aAplc(X, G) en un grupo. Notese que el elemento identidad es la funcion i que asigna

a cada elemento x de X el elemento identidad 1 de G. El inverso de la funcion f esuna funcion f −1 tal que f −1(x) = f (x)−1, para cada x ∈ X . Un caso particular deesta construccion es cuando X = N y G = (R, +) ya que Aplc(N, R) es el grupo de

sucesiones reales.

Ejemplo 1.2.11. Del algebra lineal tenemos el siguiente ejemplo: sea M n ×m (R) elconjunto de matrices rectangulares de n filas y m columnas con la operacion habitualde adicion definida sobre las entradas de las matrices. Esta operacion convierte aM n×m(R) en un grupo conmutativo, en el cual el elemento identidad es la matriz



1.3. SUBGRUPOS 9

nula y el inverso aditivo de una matriz F = [f ij] es la matriz cuyas entradas son los

elementos opuestos a las entradas de la matriz F , es decir, −F = [−f ij]. El grupode matrices cuadradas de tamano n × n se denota por M n(R).

Ejemplo 1.2.12. En algebra elemental se consideran los polinomios a0+a1x+· · ·+anxn con coeficientes reales; la coleccion de todos estos polinomios (n no es fijo) sedenota por R[x], y constituye un grupo respecto a la adicion mediante reduccion determinos semejantes. El polinomio nulo es el elemento identidad y el inverso aditivode un polinomio se obtiene cambiandole el signo a cada uno de sus coeficientes.

1.3. Subgrupos

Dado un grupo (G, ·, 1) y un subconjunto no vacıo S de G, es intresante conocer sibajo la misma operacion binaria S tiene tambien estructura de grupo. Lo primeroque debera cumplirse es que el producto x · y de dos elementos del conjunto S debepermanecer tambien en S.

Definicion 1.3.1. Sea G, ·, 1 un grupo y S = ∅, un subconjunto G. Se dice que S es un subgrupo de G si S bajo la operaci´ on · tiene estructura de grupo. En tal casose escribe S ≤ G.

De acuerdo con esta definicion tendrıamos que verificar cuatro condiciones para

garantizar que un subconjunto ∅ = S ⊆ G constituye un subgrupo:

(i) Si x, y ∈ S , entonces x · y ∈ S .

(ii) La operacion · es asociativa en S .

(iii) En S hay elemento identidad con respecto a la operacion ·

(iv) Cada elemento x de S tiene un inverso x−1 en S respecto a la operacion · y alelemento identidad encontrado en (iii).

Sin embargo, como lo muestra la siguiente proposicion, solo hay que comprobar elcumplimiento de dos condiciones.

Proposicion 1.3.2. Sea (G, ·, 1) un grupo y ∅ = S ⊆ G. S es un subgrupo de Grespecto de la operaci´ on · si, y s´ olo si, se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Si a, b ∈ S entonces a · b ∈ S .

(ii) Si a ∈ S entonces a−1 ∈ S .




Demostraci´ on. ⇒) Si S es un subgrupo de G, entonces S bajo la operacion · es

un grupo. Por tanto, · es una operacion binaria en S , con lo cual se garantiza lacondicion (i) Puesto que S = ∅, sea a ∈ S . Sabemos entonces que las ecuacionesa · x = a y x · a = a tienen soluciones unicas en el grupo S . Pero estas condicionespueden ser consideradas en el grupo G. Por tanto, 1, que es la solucion de ellas enG, debe ser tambien la solucion en S , es decir, 1 ∈ S . Ahora, las ecuaciones a · x = 1y x · a = 1 tambien tienen soluciones unicas tanto en S como en G. Esto indica quea−1 ∈ S y la condicion (ii) esta demostrada.

⇐) La condicion (i) indica que · define en S una operacion binaria interna. Laasociatividad de · en S es evidente ya que se cumple para todos los elementos de G,en particular, para los elementos de S . Sea a ∈ S ( S = ∅ ). Entonces, segun (ii),a−1 ∈ S , y segun (i), a · a−1 = 1 = a−1 · a ∈ S.

Ejemplo 1.3.3. Subgrupos triviales. Todo grupo (G, ·, 1) tiene al menos dossubgrupos, llamados sus subgrupos triviales:

1 = {1}, G = (G, ·, 1).

Ejemplo 1.3.4. (Z, +, 0) ≤ (Q, +, 0) ≤ (R, +, 0) ≤ (C, +, 0).

Esta cadena de subgrupos induce la siguiente propiedad evidente.

Proposicion 1.3.5. Sean (G, ·) un grupo, (H, ·) un subgrupo de G y (K, ·) un subgrupo de H , entonces (K, ·) es un subgrupo de (G, ·).

Demostraci´ on. Evidente a partir de la proposicion 1.3.5.

Ejemplo 1.3.6. (Z∗, ·, 1) ≤ (Q∗, ·, 1) ≤ (R∗, ·, 1) ≤ (C∗, ·, 1).

Ejemplo 1.3.7. Sea X un conjunto no vacıo y sea S (X ) el grupo de permutacionesde X respecto de la operacion de composicion de funciones. Sea x0 un elementofijo de X . Sea C := {f ∈ S (X ) | f (x0) = x0} el conjunto de funciones que dejanfijo el punto x0. Entonces, C ≤ S (X ) : C = ∅ ya que iX ∈ C . Sean f, g ∈ C ,entonces (f ◦ g)(x0) = f [g(x0)] = f (x0) = x0, ası pues f ◦ g ∈ C . Ahora, seaf ∈ C ; f −1(x0) = f −1 [f (x0)] = (f −1 ◦ f )(x0) = iX(x0) = x0, por tanto f −1 ∈ C .

Como caso particular, sea S (X ) = S 3 y sea C el conjunto de permutaciones quedejan fijo el punto 3, entonces

C =

1 2 3

↓ ↓ ↓1 2 3

,

1 2 3

↓ ↓ ↓2 1 3

Ejemplo 1.3.8. Para un semigrupo con notacion multiplicativa fueron definidas laspotencias enteras positivas (vease la proposicion 1.1.8). Pretendemos ahora extenderestas potencias a todos los enteros y presentar la correspondiente notacion para elcaso de los grupos aditivos. Sea G un grupo, entonces



1.3. SUBGRUPOS 11

Notaci´ on multiplicativa Notaci´ on aditiva

(G, ·, 1) (G, +, 0)a1 =: a 1 · a =: a

an =: an−1 · a, n ∈ Z+ n · a =: (n − 1) · a + a, n ∈ Z+

a0 =: 1 0 · a =: 0a−n =: (a−1)n, n ∈ Z+ (−n) · a =: n · (−a), n ∈ Z+.

Teniendo en cuenta esta definicion, es posible demostrar por induccion matematicalas siguientes relaciones en cualquier grupo:

Notacion multiplicativa Notacion aditiva

(an)m = anm m · (n · a) = (mn) · aan · am = an+m (n · a) + (m · a) = (n + m) · a

(an)−1 = a−n −(n · a) = (−n) · a

para cualesquiera m, n ∈ Z.

Sea (G, ·, 1) un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Simbolizamos pora el conjunto de todos los elementos de G que son potencias enteras de a :

a = {. . . , a−3, a−2, a−1, 1, a , a2, a3, . . . } = {an | n ∈ Z}.

Notese que a es un subgrupo de G: claramente a es no vacıo ya que a ∈ a, yademas

Si x = an ∈ a , y = am ∈ a, entonces xy = an+m ∈ a .Si x = an ∈ a entonces x−1 = (an)−1 = (a−n) ∈ a.

a se denomina el subgrupo cıclico de G generado por el elemento a. En notacionaditiva tenemos que el subgrupo cıclico generado por a es :

a = {. . . , −3a, −2a, −a, 0, a, 2a, 3a , . . . } = {n · a | n ∈ Z}.

Definicion 1.3.9. Sea G un grupo, se dice que G es cıclico si existe un elemento

a ∈ G tal que el subgrupo cıclico generado por a coincide con todo el grupo G, esdecir, G = a.

Ejemplo 1.3.10. El grupo Z. (Z+, 0) es un grupo cıclico y todos sus subgruposson cıclicos. Sea H ≤ Z, si H = {0} es el subgrupo trivial nulo, entonces claramente0 = {0} y H es cıclico. Supongase que H = {0}. Entonces existe k = 0, k entero,k ∈ H . Si k ∈ Z−, entonces −k ∈ Z+ y −k ∈ H . Ası pues, el conjunto

H + := {x ∈ H | x ∈ Z+} = ∅.




Ya que (Z+, ≤) es bien ordenado, existe un entero positivo mınimo n en H . Queremos

probar que H coincide con el subgrupo cıclico generado por n, es decir, H = n .En efecto, sea p ∈ H . Existen enteros q, r tales que p = q · n + r, 0 ≤ r < n, entoncesr = p+[− (q · n)]. Si q ∈ Z+, entonces r = p+q · (−n). Como −n y p ∈ H , entoncesr ∈ H . Por la escogencia de n, r = 0 y ası p = q · n ∈ n. Si q ∈ Z−, entonces−q ∈ Z+ y r = p + [(−q) · n]. Como p, n ∈ H , entonces r ∈ H y nuevamente r = 0,con lo cual p = q · n ∈ n. Si q = 0 entonces p = r ∈ H , luego r = 0 y entonces

p = 0 ∈ n. En los tres casos hemos probado que H ≤ n. Puesto que n ∈ H ,la otra inclusion es obvia. Se ha demostrado que cada subgrupo H de Z es cıclicoy generado por el menor entero positivo n contenido en H . Ademas, n = −n .Ası pues, los subgrupos de Z son: n , n ≥ 0.

Observacion 1.3.11. En adelante omitiremos en la teorıa general de grupos connotacion mutltiplicativa el punto para representar la operacion correspondiente,ası pues, escribiremos xy en lugar de x · y para denotar el producto de los elementosx, y.

1.4. Generacion de subgrupos

Dado un subconjunto X de un grupo G se desea establecer si existe un subgrupoH en G, distinto de G, que contenga a X . En caso de que podamos determinar unacoleccion de tales subgrupos, conviene preguntar cual es el subgrupo mas pequeno

de G que contiene X . Antes de responder a estas preguntas aclaremos primero laexpresion “subgrupo mas pequeno”.

Proposicion 1.4.1. Sea G un grupo. En el conjunto de todos los subgrupos de G la relaci´ on “ser subgrupo de” determina un orden parcial.

Demostraci´ on. Evidente.

Como en cualquier conjunto parcialmente ordenado, podemos hablar de subgrupomaximal y subgrupo minimal.

Definicion 1.4.2.Sean (G, ·, 1) un grupo y H = G un subgrupo de G.

(i) Se dice que que H es un subgrupo maximal de G, si para cada subgrupo K de G se tiene la implicaci´ on

H ≤ K ⇒ (K = H ´ o K = G).

(ii) Se dice que H = {1} es un subgrupo minimal de G, si para cada subgrupoK de G se tiene la implicaci´ on



1.4. GENERACION DE SUBGRUPOS 13

K ≤ H ⇒ (K = H ´ o K = {1}).

Ejemplo 1.4.3. Los subgrupos maximales del grupo (Z, +, 0) son de la forma p,donde p es primo. Ademas, (Z, +, 0) no posee subgrupos minimales.

Queremos responder ahora las preguntas planteadas al principio de la seccion.

Proposicion 1.4.4. Sean G un grupo, {H i}i∈I una familia de subgrupos de G y X un subconjunto cualquiera de G. Entonces,

(i) La intersecci´ on

i∈I H i es un subgrupo de G.

(ii) Existe en G un subgrupo, denotado por X , que contiene a X y es el m´ as

peque˜ no subgrupo de G con dicha propiedad.

(iii) X coincide con la intersecci´ on de la familia de todos los subgrupos de G quecontienen a X .

(iv) ∅ = 1.


La proposicion anterior no permite de una manera concreta determinar los ele-mentos del subgrupo X , ya que serıa necesario determinar todos los subgrupos deG que contienen X y luego efectuar la interseccion. Se tiene en cambio el siguiente

resultado.

Proposicion 1.4.5. Sean (G, ·, 1) un grupo y X = ∅ un subconjunto de G. Entonces,

X = {xε11 · · · xεn

n | xi ∈ X , εi = ±1, n ≥ 1}.

Demostraci´ on. Sea S el conjunto de la derecha de la igualdad anterior. Entonces,S es un subgrupo de G: Sean x = xε1

1 · · · xεnn , y = yθ1

1 · · · yθmm dos elementos de S ,

entonces xy = xε11 · · · xεn

n yθ11 · · · yθm

m tiene la forma de los elementos del conjunto S .Es claro que el inverso de un elemento de S tiene la forma de los elementos de S .Ademas, S contiene al conjunto X : En efecto, para cada elemento x de X se tieneque x = x1 ∈ S . De lo anterior se obtiene que X ≤ S .

De otra parte,

X =

X⊆H ≤G

H

entonces, cada H que contiene a X contiene a todos los productos de elementosde X o inversos de elementos de X , ası pues, cada H que contiene a X contienetambien a S , luego S ≤ X .

Corolario 1.4.6. Sean (G, ·, 1) un grupo abeliano y ∅ = X ⊆ G. Entonces,




X = xk11 · · · xkn

n | ki ∈ Z, xi ∈ X, n ≥ 1.

En notaci´ on aditiva, X = {k1 · x1 + · · · + kn · xn | ki ∈ Z, xi ∈ X, n ≥ 1}.

Demostraci´ on. Como G es abeliano, para cada elemento x = xε11 · · · xεn

n ∈ X podemos agrupar las potencias de elementos iguales.

Definicion 1.4.7. Sea G un grupo y sea X un subconjunto de G. X se denomina el subgrupo generado por X y a X se le llama un conjunto de generadores deX . Si X es finito y X = G se dice que G es un grupo finitamente generado.

Ejemplo 1.4.8. Todo grupo cıclico G con generador a es un grupo finitamentegenerado con conjunto generador {a}:

G = {a} = a =

ak | k ∈ Z

.

Notese por ejemplo que

Z = {1} = 1 = {k · 1 | k ∈ Z}.

Ejemplo 1.4.9. Sea (Q, +, 0) el grupo aditivo de los numeros racionales, entonces

Q =

1n

| n ∈ N

.

En efecto, sea r un racional. Si r es positivo entonces podemos considerar que r es

de la forma r =

p

q , con p, q ∈ N, luego r = p ·1

q

. Si r = 0 entonces r =

0

1 = 0 ·1

1

.Si r es negativo entonces podemos suponer que r es de la forma r = − p

q, con p, q ∈ N

luego r = (− p) ·

1q

.

Ejemplo 1.4.10. Sea (Q∗, ·, 1) el grupo multiplicativo de los numeros racionales nonulos, entonces

Q∗ = −1, 2, 3, 5, 7, . . . = x ∈ Q | x = −1 o x es primo positivo.

En efecto, sea r un racional no nulo. Si r es positivo entonces r es de la forma pq

con p, q ∈ N. p y q se pueden descomponer en factores primos,

p = pα11 · · · pαr

r , q = qβ 11 · · · qβs

s , con α1, . . . , αr, β 1, . . . , β s ∈ N ∪ {0}, pq

= pq−1 = ( pα11 · · · pαr

r )

q−β 11 · · · q−βs

s

.

Si r es negativo podemos suponer que r es de la forma − pq

con p, q ∈ N, entonces

r = − pq

= (−1) pq

= (−1) pq−1 = (−1) pα11 · · · pαr

r q−β 11 · · · q−β s

s .

Proposicion 1.4.11. Sea G un grupo y H un subconjunto no vacıo de G. Entonces



1.5. TEOREMA DE LAGRANGE 15

(i) H ≤ G ⇔ H = H .

(ii) X ⊆ Y ⊆ G ⇒ X ≤ Y .

(iii) X ∪ Y ⊆ X ∪ Y .

Demostraci´ on. (i) es evidente.(ii) Y es un subgrupo de G que contiene a Y ⊇ X , por tanto, X ≤ Y .(iii) X ∪ Y ⊇ X ∪ Y ⊇ X , luego X ∪ Y ≥ X . Analogamente, X ∪ Y ≥

Y , de donde X ∪ Y ⊆ X ∪ Y (en general, la union de subgrupos no es unsubgrupo).

Proposicion 1.4.12. Sea G un grupo finitamente generado y sea H un subgrupopropio de G. Entonces, existe un subgrupo maximal de G que contiene a H .

Demostraci´ on. Sea {x1, . . . , xn} un sistema finito de generadores de G. Sea Φ :={K | H ≤ K G}. Notemos que Φ = ∅ ya que H ∈ Φ. (Φ, ≤) es un conjuntoparcialmente ordenado. Sea Φ0 una cadena de Φ. Sea H =

K , la union de los

subgrupos K de esta cadena. Notese que H ≤ H ≤ G. En efecto, Sean x, y ∈ H ,entonces existen K x,K y ∈ Φ0 tales que x ∈ K x, y ∈ K y. Como Φ0 es totalmenteordenado, entonces podemos suponer que K x ≤ K y y entonces x, y ∈ K y, luegoxy ∈ K y, con lo cual xy ∈ H . Ademas, x−1 ∈ K x ⊆ H .

Ahora, como H ≤ K para cada K ∈ Φ0, entonces H ≤ H . Observemos queH = G. En efecto, si H = G = x1, . . . , xn, entonces x1 ∈ K x1, . . . , xn ∈ K xn

, conK xi

∈ Φ0. Existe entonces K xjtal que x1, . . . , xn ∈ K xj

, luego G ≤ K xj, es decir,

K xj= G, lo cual es contradictorio. Ası pues, H = G. H es cota superior para Φ0

en Φ. De acuerdo con el Lema de Zorn, Φ tiene elemento maximal H 0 el cual esobviamente subgrupo maximal de G.

1.5. Teorema de Lagrange

Sea G un grupo con un numero finito de elementos y sea H un subgrupo de G.

Resulta interesante preguntar que relacion guardan la cantidad de elementos de H y la cantidad de elementos de G. En esta seccion mostraremos que el numero deelementos de H divide al numero de elementos del grupo dado G.

Proposicion 1.5.1. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. La relaci´ on en Gdefinida por

a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H, a, b ∈ G (1.5.1)

es de equivalencia.




Demostraci´ on. Cuando dos elementos a y b de G estan relacionados mediante (1.5.1)

se dice que a es congruente con b m´ odulo H .Reflexiva: Sea a ∈ G entonces a ≡ a ya que aa−1 = 1 ∈ H .Simetrica: Sean a, b ∈ G tales que a ≡ b . Entonces, ab−1 ∈ H , pero como H ≤ G

tenemos que (ab−1)−1 = ba−1 ∈ H , o sea que b ≡ a.Transitiva: Sean a,b,c elementos de G tales que a ≡ b y b ≡ c. Entonces ab−1 ∈ H

y bc−1 ∈ H . De ahı que resulta que (ab−1)(bc−1) ∈ H , es decir, ac−1 ∈ H , y portanto, a ≡ c. Esto completa la demostracion de la proposicion.

Observacion 1.5.2. Si el grupo G tiene notacion aditiva entonces la relacion ≡ sedefine como a ≡ b ⇔ a − b ∈ H .

Es conocido que cualquier relacion de equivalencia ≡ definida sobre un conjuntoG determina una particion de dicho conjunto en clases de equivalencia disyuntasentre si, y la reunion de las cuales da G. Ası pues, para el caso que estamos tratando,sea a un elemento cualquiera del grupo G. La clase de eqivalencia a la cual perteneceel elemento a sera denotada por [a] y esta constituıda por todos los elementos x deG con los cuales a esta relacionado mediante la relacion ≡, es decir,

[a] = {x ∈ G | a ≡ x} = {x ∈ G | ax−1 ∈ H }.

Como dijimos arriba, la reunion de las clases determinadas por la relacion ≡ es todoel grupo G: a∈G[a] = G.

Proposicion 1.5.3. Sean G un grupo, H ≤ G y ≡ la relaci´ on de equivalencia definida en (1.5.1). Sea a un elemento cualquiera de G. Entonces, [a] = Ha :={xa | x ∈ H }. En particular, [1] = H .

Demostraci´ on. Sea z ∈ [a], entonces a ≡ z. Por ser ≡ una relacion simetrica tenemosque z ≡ a, y por eso, za−1 = x, con x ∈ H , luego z = xa ∈ Ha. Hemos probadoque [a] ⊆ Ha. Sea z = xa un elemento de Ha, con x ∈ H , entonces za−1 = x ∈ H,o sea z ≡ a, de donde a ≡ z, es decir, z ∈ [a].

Definicion 1.5.4. Sean G un grupo, H ≤ G y a ∈ G. El conjunto Ha se llama la clase lateral derecha del elemento a m´ odulo H .

La proposicion anterior muestra que la clase del elemento identidad 1 del grupoG coincide con el subgrupo H . Luego [1] y H tienen la misma cantidad de elementos.A continuacion probaremos que todas las clases tienen la cardinalidad de H , y porende, todas las clases de equivalencia tienen la misma cantidad de elementos.

Proposicion 1.5.5. Sean G un grupo, H un subgrupo de G y ≡ la relaci´ on de equi-valencia definida en (1.5.1). Entonces, todas las clases de equivalencia determinadaspor ≡ tienen el mismo cardinal que el subgrupo H .



1.6. EJERCICIOS 17

Demostraci´ on. Sea a un elemento cualquiera de G. Entonces [a] = Ha y la funcion

f : Ha → H , f (xa) = x , x ∈ H , es biyectiva. En efecto, claramente f es sobreyec-tiva. Supongase que f (xa) = f (ya), entonces x = y y ası xa = xy , con lo cual f esinyectiva.

Estamos ya en condiciones de demostrar el teorema de Lagrange para gruposfinitos. Si G es un grupo, |G| denota el cardinal de G.

Teorema 1.5.6 (Teorema de Lagrange). Sea G un grupo finito y sea H un subgrupo cualquiera de G. Entonces, |H | | |G|.

Demostraci´ on. Puesto que G es finito entonces H determina un numero finito de

clases de equivalencia en G . Sea k el numero de clases de equivalencia definidas;como estas clases son disyuntas, y ademas todas tienen |H | elementos, entonces|H | + · · · + |H | = |G| , es decir, k|H | = |G|, ası |H | | |G|.

Definicion 1.5.7. Sean G un grupo y H un subgrupo de G. El cardinal del conjuntode clases de equivalencia determinado por H mediante la relaci´ on definida en (1.5.1)se llama el ındice del subgrupo H en el grupo G, y se simboliza por |G : H |.

Cuando G es finito se tiene que

|G : H | =|G|

|H |

. (1.5.2)

Ejemplo 1.5.8. (i) Sea G = S 3 y sea H = {1, f }, donde

f =

1 2 31 3 2

.

Calculemos | G : H | y ademas determinemos el conjunto de clases laterales de

H . Por el Teorema de Lagrange, | G : H |= |G||H | = 6

2 = 3, H 1 = H = {1, f },

Hh = {h,fh} = {h, k}, Hf = {f, f 2} = {1, f }, Hk = {k,f k} = {k, h}, Hg ={g ,f g} = {g, m}, Hm = {m,fm} = {m, g}. Notese que H 1 = Hf = H , Hg =

Hm y Hh = Hk, es decir, se tienen 3 clases de equivalencia tal como lo habıapronosticado el Teorema de Lagrange. Observese que una clase de equivalencia, o enotras palabras, una clase lateral derecha no es general un subgrupo del grupo dado.

(ii) | Z : n |= n, para n ≥ 1 y | Z : 0 |= ℵ0.

1.6. Ejercicios

1. Demuestre por induccion las proposiciones 1.1.8 y 1.1.13.




2. Sea G un conjunto dotado de una operacion binaria interna ∗, se dice que un

elemento e ∈ G es:(i) Identidad a la izquierda de ∗ si e ∗ a = a, cualquiera que sea a ∈ G.

(ii) Identidad a la derecha de ∗ si a ∗ e = a, cualquiera que sea a ∈ G.

Sean e1 y e2 elementos de G tales que e1 es identidad a la izquierda de ∗ y e2

es identidad a la derecha de ∗, pruebe que e1 = e2.

3. Compruebe que en

(i) (N, ∗), donde a ∗ b = a, todo elemento de N es identidad a la derecha,pero no existe identidad a la izquierda.

(ii) (N, ∗), donde x ∗ y = maximo comun divisor de x e y, no hay elementosidentidad.

(iii) (N, ∗), donde a ∗ b = mınimo comun multiplo de a y b, 1 es el elementoidentidad.

(iv) (Z, ∗) donde a ∗ b = a − b, 0 es identidad a la derecha pero no poseeidentidad a la izquierda.

4. Sea G un conjunto dotado de una operacion binaria interna ∗ asociativa, lacual posee elemento identidad e. Sea a ∈ G, se dice que

(i) a posee un inverso a la izquierda (respecto de e) si existe b ∈ G tal queb ∗ a = e.

(ii) a posee un inverso a la derecha (respecto de e) si existe c ∈ G tal quea ∗ c = e.

Demuestre que si a posee un inverso a la izquierda b y un inverso a la derechac, entonces b = c.

5. Demuestre la proposicion 1.2.6.

6. Sean (A, ∗) y (B, ∆) conjuntos con operaciones binarias internas. Una funcionf : A → B se denomina un homomorfismo si f respeta las operaciones de

los conjuntos A y B, es decir,

f (a1 ∗ a2) = f (a1)∆f (a2)

para cualesquiera elementos a1, a2 de A. Ademas, si A y B poseen elementosidentidad e y k respectivamente, entonces f debe cumplir la propiedad adi-cional f (e) = k. Sea f un homomorfismo de A en B. Pruebe por induccionque f (an) = f (a)n para todo a ∈ A y todo n ∈ N . Pruebe ademas que si a esinvertible en A, entones f (a) es invertible en B, y f (a−1) = f (a)−1.



1.6. EJERCICIOS 19

7. Sea f : (A, ∗, e) → (B, ∆, k) un homomorfismo de A en B, donde e y k son los

respectivos elementos identidad. Se definen los siguientes objetos:

(i) El conjunto de imagenes de la funcion f se llama imagen del homomor-fismo f y se simboliza por Im(f ), ası pues, Im(f ) := {f (x) | x ∈ A}.

(ii) El conjunto de elementos de A cuya imagen es el elemento identidad kse llama el n´ ucleo del homomorfismo f y se denota por ker(f ) (de lapalabra alemana kernel ). Ası pues, ker(f ) := {x ∈ A|f (x) = k}.

(iii) Se dice que f es un sobreyectivo si la funcion f es sobreyectiva, es decir,Im(f ) = B.

(iv) Se dice que el homomorfismo f es inyectivo si la funcion f es inyectiva,

es decir, para cualesquiera elementos x, y en A, la igualdad f (x) = f (y)implica x = y.

(v) Se dice que f es un isomorfismo si f es sobreyectivo e inyectivo.

(vi) Si los conjuntos A y B coinciden y las operaciones ∗, y, ∆ tambien,entonces un isomorfismo f en este caso se denomina automorfismo deA.

Sea X un conjunto y sea P (X ) su conjunto de partes. Sea f : (P (X ), ∪) →(P (X ), ∩) la funcion que a cada subconjunto V de X le asigna su comple-mento: f (V ) = X − V . Determine las identidades en (P (X ), ∪) y (P (X ), ∩)

y demuestre que f es un isomorfismo (∪ representa la union de conujuntos y∩ la interseccion).

8. Sea A un conjunto dotado de una operacion binaria interna ∗. Supongase queen A ha sido definida una relacion de equivalencia ≡ . Se dice que la relacion≡ es compatible con la operacion ∗ si para cualesquiera a1, b1, a2, b2 ∈ A,a1 ≡ b1 y a2 ≡ b2, implica a1 ∗ a2 ≡ b1 ∗ b2. Denotemos para A el conjuntoA/ ≡ de clases de equivalencia [a], a ∈ A. Se desea definir en A una operacionbinaria inducida por ∗ y ≡: sean [a] y [b] elementos de A entonces definimos

[a]∗[b] = [a ∗ b]. (1.6.1)

(i) Demuestre que (1.6.1) esta bien definida, es decir, demuestre que paraotros representantes a1 y b1 de las clases [a] y [b], respectivamente, secumple que [a1]∗[b1] = [a]∗[b].

(ii) La funcion j : (A, ∗) → (A, ∗) que asigna a cada elemento a de A su clase[a] es un homomorfismo sobreyectivo.

9. Sea f : j : (A, ∗) → (B, ∆) un homomorfismo sobreyectivo. Definimos en A larelacion ≡ como sigue:




a1 ≡ a2 ⇔ f (a1) = f (a2), para cualesquiera a1, a2 en A.

(i) Demuestre que ≡ es una relacion de equivalencia.

(ii) Demuestre que ≡ es compatible con ∗, es decir, si a1 ≡ a2 y b1 ≡ b2,entonces a1 ∗ b1 ≡ a2 ∗ b2.

(iii) Sean A, ∗ definidos como en el ejercicio anterior. Entonces, demuestreque f : (A, ∗) → (B, ∆) definido por f ([a]) := f (a) es un isomorfismo(como toda funcion definida sobre un conjunto cociente, es importanteprobar como primer paso que f esta bien definida, es decir que si a1 ≡ a2,entonces f ([a1]) = f ([a2])).

10. Sea (G, ·) un semigrupo finito en el cual se cumplen las leyes cancelativas, esdecir, para cualesquiera elementos a,b,c ∈ G se tiene que

ac = bc ⇒ a = b,

ca = cb ⇒ a = b.

Demuestre que (G, ·) es un grupo.

11. Demuestre que si (G, ·) es un semigrupo en el cual las ecuaciones ax = b, xa =b son solubles para cualesquiera elementos a, b ∈ G, entonces (G, ·) es un grupo.

12. Demuestre que el conjunto G := {(a, b) | a, b ∈ R, a = 0} con la operacion

(a, b) (c, d) = (ac, ad + b)

es un grupo. ¿G es conmutativo?

13. Sea G un grupo tal que (ab)2 = a2b2 para cualesquiera elementos a, b ∈ G.Pruebe que G es conmutativo.

14. Probar que todo grupo finito de tamano n ≤ 5 es conmutativo.

15. Sea R \{0} el conjunto de reales no nulos con la operacion ◦ definida por

a ◦ b = |a| b.

Pruebe que ◦ es asociativa, que existe elemento identidad al lado izquierdo yque cada elemento tiene inverso al lado derecho respecto de la identidad de laizquierda. ¿Es G un grupo ?



1.6. EJERCICIOS 21

16. Cada una de las siguientes tablas definen operaciones binarias internas de las

cuales se saben que son asociativas. Compruebe que ellas definen grupos:Z4 = {0, 1, 2, 3} V = {e,a,b,c}

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

. e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

¿Es Z4 un grupo conmutativo? ¿Es V un grupo conmutativo? Es {0, 2} unsubgrupo de Z4? ¿Es {e, c} ≤ V ? ¿Es {0, 3} un subgrupo de Z4? ¿Es {e,a,b} ≤

V ?17. Sea H un subconjunto finito no vacıo de un grupo (G, ·, 1) y sea H cerrado

respecto a la operacion, es decir, a, b ∈ H implica ab ∈ H . Demuestre que H es un subgrupo de G.

18. Sea G un grupo y a un elemento de G. Se define N G(a) := {x ∈ G | xa = ax}.N G(a) se llama el normalizador de a en G. Demuestre que N G(a) ≤ G.

19. Sea (G, ·, 1) un grupo abeliano. Pruebe que el conjunto H := {x ∈ G | x2 = 1}es un subgrupo de G.

20. Sea M n(R) el grupo de matrices reales de tamano n × n, n ≥ 1, con respectoa la adicion, y sea D el conjunto de matrices de M n(R) que son diagonales, esdecir,

D :=

d1 0

. . .

0 dn

| d1, . . . , dn ∈ R

.

Demuestre que D ≤ M n(R).

21. Sea GLn(R) el grupo lineal general de orden n sobre los numeros reales,

es decir, GLn(R) := M n(R)∗ es el grupo de elementos invertibles del semigrupomultiplicativo (M n(R), ·). Entonces,

(i) Sea SLn(R) el subconjunto de GLn(R) constituido por las matrices dedeterminante 1, es decir,

SLn(R) = {F ∈ GLn(R) | det(F ) = 1}.

Demuestre que SLn(R) ≤ GLn(R). SLn(R) se denomina el grupo espe-

cial de orden n sobre R.




(ii) Sea

Dn(R) :=

diag(d1, . . . , dn) :=

d1 0

. . .

0 dn

∈ M n(R) | d1 · · · dn = 0

.

Demuestre que Dn(R) ≤ GLn(R). Dn(R) se conoce como el grupo de

matrices diagonales de orden n sobre R.

(iii) Sea

T n(R) :=

f 11 · · · f 1n

. . ....

0 f nn

∈ M n(R) | f 11 · · · f nn = 0, f ij = 0 si i > j

.

Demuestre que T n(R) ≤ GLn(R). T n(R) se denomina el grupo de matri-

ces triangulares superiores de orden n sobre R.

(iv) Sea

UT n(R) := {F ∈ T n(R) | f ii = 1, 1 ≤ i ≤ n}.

Demuestre que UT n(R) ≤ T n(R)∩SLn(R). UT n(R) se denomina el grupo

de matrices unitriangulares superiores de orden n sobre R.

(iv) Para 1 ≤ m ≤ n sea UT mn (R) el conjunto de matrices unitriangulares

F = [f ij] ∈ UT n(R) tales que f ij = 0 para i < j < i + m, es decir,las primeras m − 1 diagonales consecutivas por encima de la diagonalprincipal de F son nulas. Demuestre que UT mn (R) ≤ UT n(R), y ademas

UT n(R) = UT 1n (R) ⊇ UT 2n (R) ⊇ · · · ⊇ UT nn (R) = {I n}.

22. En el grupo GLn(R) se tienen tres tipos especiales de matrices:

(i) Matrices elementales: E ij(a) := I n + aE ij, i = j, a ∈ R, donde I nes la matriz identica y E ij ∈ M n(R) es la matriz can´ onica quetiene todas sus entradas nulas, salvo la entrada (i, j) que es 1. Notese queE ij(a) ∈ SLn(R).

(ii) Matrices diagonales: Di(d) = diag(1, . . . , d , . . . , 1) ∈ Dn(R), 0 = d ∈R, 1 ≤ i ≤ n.

(iii) Permutaciones: P ij = I n − E ii − E jj + E ij + E ji.

Demuestre que:

(i) GLn(R) se puede generar por matrices elementales, diagonales y permuta-ciones. Mejor aun, demuestre que



1.6. EJERCICIOS 23

GLn(R) = E ij(a), Dn(d)|1 ≤ i, j ≤ n, i = j, a ∈ R, 0 = d ∈ R.

(ii) SLn(R) = E ij(a)|1 ≤ i, j ≤ n, i = j, a ∈ R.

(iii) Dn(R) = Di(di)|0 = di ∈ R, 1 ≤ i ≤ n.

(iv) T n(R) = E ij(a), Di(di)| j > i, a ∈ R, 0 = di, 1 ≤ i, j ≤ n.

(iv) UT n(R) = E ij(a)| j > i, a ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n.

(v) UT mn (R) = E ij(a)| j − i ≥ m, a ∈ R, 1 ≤ i, j ≤ n.



Capıtulo 2

Grupos cıclicos

Importante rama dentro de la teorıa de grupos la constituyen los llamados gruposabelianos. Quiza los grupos abelianos mas importantes son los llamados gruposcıclicos, ya que los grupos abelianos finitamente generados son expresables a travesde sumas directas de grupos cıclicos. En este capıtulo nos limitaremos a mostrarlas propiedades basicas de los grupos cıclicos finitos. Se establecera la relacion queguardan los conceptos de periodo de un elemento y orden. Para grupos cıclicos finitosson demostradas algunas proposiciones relacionadas con el orden de sus subgruposy el numero de generadores de dichos grupos. Al final del capıtulo hemos incluidouna serie de ejercicios donde se estudian algunas aplicaciones de los grupos cıclicosa teorıa elemental de numeros.

2.1. Definicion

Sea G un grupo cualquiera y sea a un elemento arbitrario de G. El conjunto detodas las potencias enteras an, n ∈ Z, del elemento a constituye un subgrupo deG llamado el subgrupo cıclico de G generado por el elemento a. Como vimos en elcapıtulo anterior, cuando el grupo G sea aditivo diremos que na, n ∈ Z, representalos multiplos enteros del elemento a.

Definicion 2.1.1. Sea G un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. El conjunto

a = {an | n ∈ Z} = {. . . , a−3, a−2, a−1, 1,a ,a2, a3, . . . }

es un subgrupo del grupo G, llamado el subgrupo cıclico de G generado por el elemento a. Si G es un grupo con notaci´ on aditiva escribiremos

a = {na | n ∈ Z} = {. . . , −3a, −2a, , −a, 0, a, 2a, 3a , . . . }

Es posible que el subgrupo generado por algun elemento a del grupo G coincidacon todo el grupo: a = G; esta situacion se presenta por ejemplo con el entero 1

24



2.1. DEFINICION 25

en el grupo aditivo de los numeros enteros. Los grupos para los cuales se tiene este

tipo de situacion reciben un nombre especial.

Definicion 2.1.2. Sea G un grupo cualquiera. Se dice que G es cıclico si G coincidecon uno de sus subgrupos cıclicos; es decir, si existe un elemento a en G tal quea = G. En este caso se dice que a es un generador del grupo cıclico G.

Ejemplo 2.1.3. (i) Z es un grupo cıclico y todos sus subgrupos son cıclicos.

(ii) El grupo de raıces complejas de grado n de la unidad, n ≥ 1, es cıclico:denotemos por U n las soluciones complejas de la ecuacion xn = 1, es decir,

U n := {z ∈ C | zn = 1}

afirmamos que U n es un subgrupo de C∗, ·, 1 En efecto, U n = φ ya que 1n = 1y por lo tanto 1 ∈ U n. Sean z1 y z2 elementos de U n. Entonces (z1z2)n = z n

1 z n2 ya

que C∗, ·, 1 es un grupo abeliano, entonces (z1z2)n = 1 y ası z1z2 ∈ U n. Sea ahoraz ∈ U n, entonces (z−1)

n= z−n = (zn)−1 = 1−1 = 1, es decir, z−1 ∈ U n y nuestra

afirmacion esta probada.

Sea z un elemento de U n. Al escribir z en la forma polar z = r (cos θ + i sen θ) ,donde r = | z| es la norma de z, y teniendo en cuenta que la norma de un producto decomplejos es el producto de las normas, concluimos que | zn| = | z|n = rn = |1| = 1.Puesto que la norma es un real no negativo entonces r = 1 y z tiene la forma

polar z = cos θ + isenθ. Podemos utilizar el teorema de D’Moivre para determinarla cantidad de elementos de U n y para demostrar que este subgrupo es cıclico:zn = cos nθ + isenθ = 1 = 1 + i0, entonces cos nθ = 1 y sen nθ = 0, ası nθ = 2kπ,k = 0, 1, 2, . . . . Despejando θ obtenemos que θ = 2kπ

n, k = 0, 1, 2, . . . . Sin embargo,

por la periodicidad de las funciones cos y sen es suficiente considerar los valoresde k hasta n − 1: θ = 2kπ

n, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. De tal manera que si z ∈ U n

entonces z es de la forma z = cos 2kπn

+ i sen 2kπn

, con k = 0, 1, . . . , n − 1. Utilizandola forma exponencial de z podemos demostrar que los complejos cos 2kπ

n+ i sen 2kπ

n,

con k = 0, 1, . . . , n − 1 son diferentes: si cos 2kπn

+ i sen 2kπn

= cos 2kπn

+ i sen 2kπn

entonces ei 2kπn = ei 2kπ

n ası, i 2kπn

= i 2kπn

y por tanto k = k.

De tal manera que U n =

ei 2kπn = cos 2kπn + isen2kπ

n | k = 0, 1, . . . , n − 1

consta

de n elementos exactamente (notese que C∗ es un grupo infinito que posee gruposfinitos no triviales: U n , n > 1). Utilizando nuevamente el teorema de D’Moivre

comprobemos que U n es cıclico y generado por z1 = ei 2πn = cos 2π

n+ isen2π

n. Sea

z = ei 2kπn un elemento cualquiera de U n, entonces z es la k-esima potencia de z1 :

(z1)k =

ei 2πn

k

= ei 2kπn = z. Ası que, U n ≤ z1 ⊆ U n entonces U n = z1,

|U n| = n.



26 CAPITULO 2. GRUPOS CICLICOS

2.2. Orden y periodo de un elemento

Consideremos nuevamente un grupo cualquiera G y a el subgrupo cıclico generadopor el elemento a de G. Vale la pena preguntar sobre la cantidad de elementosdel subgrupo a. Descartemos en primer lugar el caso trivial a = 1; en este caso1 = {1} y es un subgrupo de un solo elemento. Sea pues a = 1 ( en notacionaditiva a = 0 )

Caso infinito. Si para cada par de enteros diferentes m y n, m = n, am = an

entonces logicamente a contiene una cantidad infinita de elementos y por tanto elsubgrupo cıclico a es infinito. La condicion que am = an para cada par de enterosdiferentes m = n es equivalente a la condicion an = 1 para todo entero n > 0.En efecto, si existe n > 0 tal que an = 1 entonces an+1 = a = a1. Recıprocamente,

supongase que hay enteros m = n tales que am = an. Supongase por ejemplo quem > n, entonces am.a−n = an .a−n entonces am−n = 1, donde m − n > 0.

Definicion 2.2.1. Sea G, ·, 1 un grupo y sea a = 1 un elemento cualquiera de G.Se dice que a es de periodo infinito si para cada entero positivo n > 0, an = 1.

En notacion aditiva tendremos que 0 = a ∈ G, +, 0 es de periodo infinito sina = 0 para todo n > 0.

Caso finito. Sea G nuevamente un grupo y a el subgrupo cıclico generado pora. Supongase que existen enteros m = n tales que am = an. Sea m > n, entoncesam−n = 1 con m− n > 0. Considerese entonces el conjunto A :=

k ∈ Z+ | ak = 1

,

entonces por ser Z+, ≤ un conjunto bien ordenado A tiene primer elemento n, esdecir, n es el menor entero positivo tal que an = 1.

Definicion 2.2.2. Sea G, ·, 1 un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Sedice que a es de periodo finito si existe k > 0 tal que ak = 1. El menor enteropositivo n > 0 tal que an = 1 se llama el periodo del elemento a. En notaci´ on aditiva tendremos que a ∈ G, +, 0 es de periodo finito n si n es el menor enteropositivo tal que n.a = 0.

Podemos ahora sı responder a nuestra pregunta sobre el numero de elementosdel subgrupo cıclico generado por a.

Proposicion 2.2.3. Sea G un grupo y sea a un elemento cualquiera de G. Entonces

(i) El subgrupo cıclico a generado por a es infinito si, y s´ olo si, a es un elementode periodo infinito.

(ii) El subgrupo cıclico a generado por a es finito si, y s´ olo si, a es un elementode periodo finito. Adem´ as, si n es el periodo del elemento a entonces el orden |a| del subgrupo generado por el elemento a es exactamente n, se denomina el orden del elemento a y se simboliza por |a| . Si a es de periodo infinitodiremos que a es un elemento de orden infinito y escribiremos |a| = ∞



2.2. ORDEN Y PERIODO DE UN ELEMENTO 27

Demostraci´ on. (i) ⇒) : supongase que a no es un elemento de periodo infinito. En-

tonces existe un entero k > 0 tal que ak

= 1. Esto quiere decir que a es de periodofinito. Sea n el periodo del elemento a. Afirmamos que entonces a contiene exacta-mente n elementos diferentes: a = {1, a , a2, a3, . . . , an−1}. Probemos inicialmenteque los elementos 1, a, a2, a3, . . . , an−1 son diferentes. Si ai= a j con i = j y ≤ i,

j ≤ n − 1, entonces, suponiendo por ejemplo i > j tendremos que ai− j = 1 con0 < i − j < n, pero esto contradice el hecho de ser n el periodo de a. Sea ahorak ∈ Z y ak un elemento cualquiera de a . Por el algoritmo de la division tenemosque k = ng +r con 0 ≤ r < n. Entonces ak = ang ar = (an)g ar = 1.ar = ar, ası puesak coincide con una de las potencias a0 = 1, a , . . . , an−1. Esto prueba entonces quea es finito. Notese que cuando a es de periodo finito n entonces n = periodo de a= |a| = orden del subgrupo cıclico generado por a = |a| = orden del elemento a.

⇐): si a es de periodo infinito entonces a = 1 para todo n > 0. Como vimosantes, esto implica que am = an para cada par de enteros diferentes m y n. Entonceslogicamente a es infinito.

(ii) ⇒): supongase que a no es de periodo finito. Entonces a es de periodo infinitoy, como acabamos de ver en (i), a es un subgrupo infinito.

⇐): si a es de periodo finito n entonces como se demostro anteriormente acontiene n elementos.

Corolario 2.2.4. (i) Sea G un grupo grupo finito. Entonces |a| | |G| .

(ii) Sea a un elemento de periodo finito n del grupo G ( G no necesariamente finito). Sup´ ongase que ak = 1, con k ∈ Z. Entonces, n | k. Recıprocamente, si k es un entero tal que n | k, entonces ak = 1.

(iii) Sea G un grupo finito. Entonces, a|G| = 1.

Demostraci´ on. (i) Si G es un grupo finito entonces a es tambien finito. Como|a| = |a| entonces por el teorema de Lagrange |a| | |G| .

(ii) Por el algorıtmo de la division, k = ng + r, con 0 ≤ r < n . Entoncesak = 1 = (an)g ar= ar. Por ser n el periodo de a entonces r = 0, y ası, n | k.

Recıprocamente, si k = ns, entonces ak= (an)s = 1.(iii) Se desprende de (i) y (ii).

Definicion 2.2.5. Se dice que G es un grupo sin torsi´ on si cada elemento a = 1tiene periodo (o lo que es lo mismo, orden ) infinito. Si cada elemento a de G es deperiodo finito, se dice que G es un grupo peri´ odico. Finalmente, se dice que G esun grupo mixto si G contiene elementos a = 1 tanto de periodo infinito como deperiodo finito.




2.3. Ejemplos

Ejemplo 2.3.1. Grupo sin torsi´ on . Notemos en primer lugar que todo grupo sintorsion debe ser infinito. Sea p un numero primo. El conjunto de numeros racionales

Q p =

m pn ∈ Q | m, n ∈ Z

bajo la adicion es un grupo abeliano sin torsion, y se denomina el grupo de los

p-cocientes racionales: por ser Q p ⊂ Q y por ser la operacion definida en Q p lainducida por la adicion en Q entonces es suficiente probar que Q p ≤ Q y que Q p esun grupo sin torsion:

m1

pn1+ m2

pn2= m1.pn2 + m2.pn1

pn1 + n2∈ Q p,

−m

pn = −m

pn ∈ Q p

Sea m pn ∈ Q p, supongase que existe k > 0 tal que k

m

pn

= 0, es decir, km

pn = 0,

entonces km = 0, ası m = 0. Luego, m pn = 0.

Ejemplo 2.3.2. Grupo infinito peri´ odico. Observemos en primer lugar quecada grupo finito es necesariamente periodico. Sin embargo, como lo muestra esteejemplo, la recıproca de la afirmacion anterior no es correcta. Sea p un numeroprimo. El conjunto de los numeros complejos,

C p∞ :=

z ∈ C | z pn

= 1, para algun n = 0, 1, 2, . . .

bajo la multiplicacion, es un grupo abeliano infinito donde cada elemento diferentede 1 tiene periodo finito. Notese pues que C p∞ consta de las raıces complejas delas ecuaciones x pn

= 1, con n = 0, 1, 2, . . . . El grupo C p∞ se denomina grupo

semicıclico del tipo p∞.Para probar que C p∞ es un grupo es suficiente probar que C p∞ es un subgrupo

de C∗: sean z1 y z2 ∈ C p∞, entonces existen n1 y n2 tales que z pn1

1 = 1 y z pn2

2 = 1.Si n = n1 + n2, entonces z pn

1 = 1 y z pn

2 = 1, luego (z1z2) pn

= 1, es decir, z1z2 ∈ C p∞.Sea z ∈ C p∞, entonces existe n ≥ 1 tal que z pn

= 1. Esto quiere decir que z ∈

U pn y como U pn ≤ C ∗ entonces z−1 ∈ U pn , es decir, (z−1) pn

= 1 y ası z−1 ∈ C p∞.Notemos que para cada n ≥ 1, U pn ≤ C p∞ por la misma definicion de C p∞ cadaelemento z de C p∞ tiene periodo finito. Notese que para cada n ≥ 1 U pn ≤ U pn+1.Denotando por C pn el grupo U pn obtenemos la cadena de subgrupos de C p∞ :

C p∞ =

k ≥ 0 C pk

{1} = C p0 ≤ C p ≤ C p2 ≤ C p3 ≤ · · · ≤ C pn ≤ C pn+1 ≤ · · ·

Ejemplo 2.3.3. Grupo mixto. El grupo multiplicativo de los numeros complejoses mixto ya que hay elementos, como por ejemplo los enteros diferentes de 1 queson de periodo infinito y complejos como z1 = cos 2π

n+ i sen 2π

n, n = 1 , que son de

periodo finito.



2.4. PROPIEDADES 29

2.4. Propiedades

Las siguientes afirmaciones son validas para grupos cıclicos cualesquiera. Especial-mente importante es la afirmacion (iv).

Proposicion 2.4.1. (i) Todo grupo cıclico es abeliano.

(ii) Cada subgrupo de un grupo cıclico es cıclico.

(iii) Si G, ·, 1 es un grupo cıclico infinito entonces cada subgrupo de G diferentede {1} es tambien infinito.

(iv) Sea G = {1} un grupo. Entonces G es un grupo cıclico finito de orden primo

si, y s´ olo si, G no tiene subgrupos diferentes de los triviales.

Demostraci´ on. (i) Esta propiedad se deduce de la regla de exponentes aman = am+n

valida en todo grupo.(ii) Sea G = a un grupo cıclico generado por el elemento a; sea H un subgrupo

de G. Si H = {1} entonces el es claramente cıclico con generador 1. Sea H = {1},entonces existe un k = 0 tal que ak ∈ H . Esto indica que H contiene potenciasenteras positivas del elemento a. Por el principio de buena ordenacion del conjuntoZ+ escogemos el menor entero positivo s tal que as ∈ H . Afirmamos que H = as .Claramente as ⊆ H . Sea x ∈ H ⊆ G, entonces existe m ∈ Z tal que x = am.Utilizando el algoritmo de la division encontramos enteros g, r tales que m = gs + r,

con 0 ≤ r < s, de donde am = (as)g

ar por lo que ar = am−sg ∈ H . Por la eleccionde s concluimos que r = 0 y ası x = (as)g ∈ as.

(iii) Sea H = {1} un subgrupo del grupo cıclico infinito a = G. Segun ii) existes > 0 tal que H = as. Si H es finito entonces eso quiere decir que el orden de as

es finito con lo cual a es de periodo finito y ası a es finito, lo cual contradice lahipotesis. Esto indica que H debe ser infinito.

(iv) ⇒): sea G un grupo finito de orden primo p : |G| = p. Sea H ≤ G, entonces|H | | |G| de modo que |H | = 1 o |H | = p, por lo tanto H = {1} o H = G.

⇐): sea b = 1, b ∈ G. El subgrupo cıclico b generado por b es entonces diferentede {1} . Por lo tanto b = G, lo cual quiere decir que G es cıclico. Probemos ahoraque G es finito. Consideremos el subgrupo cıclico generado por b2. Por la condicionde la hipotesis b2 = {1} o b2 = G = b. En el primer caso tendremos que b2 = 1con lo cual b es de periodo 1 o 2. No puede ser de periodo 1 ya que b = 1. Por lotanto b es de periodo 2 y ası b = {1, b} , de donde se tiene que G es finito y suorden es el primo 2. Supongase que b2 = G = b . Existe entonces k ∈ Z tal que

b = (b2)k

, es decir, b2k−1 = 1 con lo cual b es de perıodo finito y b es finito; es decirG es finito. Resta solo probar que el orden de G es un numero primo. Sea p = |G|el orden del grupo G y sea k ∈ Z+ tal que k | p. Consideremos el subgrupo cıclicogenerado por bk. Si

bk

= {1} entonces bk = 1 y k es un multiplo del periodo p,




por lo que k = p. Supongase ahora que bk

= G = b entonces existe t ∈ Z tal

que

bkt

= b, ası bkt−1 = 1 entonces p | kt − 1, es decir que existe s ∈ Z tal quekt − 1 = ps, pero k | p entonces existe k ∈ Z tal que p = kk ; luego kt − 1 = kk s;ası k(t − ks) = 1 entonces k = 1. Esto prueba que los unicos divisores de p son py 1, y de esta forma se tiene que p es primo.

2.5. Generadores

Teorema 2.5.1. (i) Sea G un grupo cıclico finito de orden n con generador a.Entonces: x ∈ G es generador de G ⇔ x = ar, donde m.c.d.(n, r) = 1.

(ii) Sea G un grupo cıclico con generador a y sea H = {1} un subgrupo de G.Entonces H = as , donde s es el menor entero positivo tal que as ∈ H .Adem´ as, si G es de orden finito n entonces |H | = n

d, d = m.c.d.(n, s).

(iii) Sea G un grupo cıclico de orden finito n y sea t ∈ Z+ tal que t | n. EntoncesG contiene exactamente un subgrupo de orden t.

Demostraci´ on. (i) ⇒) Sea x un generador de G = a . Entonces existe un r ∈ Z talque x = ar y x = ar = a . De aquı obtenemos que a ∈ ar , es decir, existek ∈ Z tal que a = (ar)k entonces ark−1 = 1, ası n | rk − 1 es decir rk − 1 = sn, cons ∈ Z; de lo cual rk − sn = 1, ası r y n son primos relativos y m.c.d.(r, n) = 1.

⇐) Sea r ∈ Z tal que m.c.d.(n, r) = 1. Logicamente, ar ⊆ G. Sea x ∈ G,

entonces existe k ∈ Z tal que x = ak. Como m.c.d.(n, r) = 1 existen t, v ∈ Z talesque 1 = nt + rv, ası k = ntk + rvk ; luego x = ak = antkarvk = arvk = (ar)vk ∈ ar.

(ii) La primera parte de esta afirmacion fue demostrada en el punto (ii) de laproposicion 2.4.1.

Para la segunda parte, el orden de H es el orden de as. Sea m = |as|, entonces(as)m = 1, es decir, asm = 1, luego n | sm, por lo tanto n

d| m, siendo d =

m.c.d.(n, s). De otra parte, (as)nd = (an)

sd = 1 entonces m | n

d. Por lo tanto, n

d| m y

m | nd

con lo cual m = nd

.(iii) Existencia: como t | n entonces n = ts, con s ∈ Z, ası |as| = t. En efecto,

(as)t = 1, entonces |as| | t. Si |as| := t0 y t0 < t entonces ast0 = 1 y st0 < n, lo cual

es una contradiccion.Unicidad: sea H un subgrupo de G de orden t. Sea n = ts y sea k el menor

entero positivo tal que ak ∈ H. Por (ii) sabemos que H =

ak

y t = |H | = nd

, donded = m.c.d.(n, k); entonces n = td = ts de modo que s = d, ası s | k, es decir, k = swcon w ∈ Z. Luego, ak = (as)w y por tanto H ⊆ as , pero |H | = |as| = t entoncesH = as.

Ejemplo 2.5.2. Los enteros m´ odulo n. Sea n ≥ 2 un entero, entonces el conjun-to Zn conformado por todos los enteros {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1} conforman un grupo



2.6. EJERCICIOS 31

cıclico respecto de la siguiente adicion: r + s = t , donde t es el resıduo de dividir

r +s entre t. Notese que el generador de Zn es 1. El grupo Zn lo consideraremos nue-vamente en el capıtulo 3. Por ahora digamos algo mas respecto a su definicion. Tam-bien podrıamos haberlo definido usando las ideas previas al teorema de Lagrange,es decir, se vio que en Z se puede definir la relacion de equivalencia ≡ respecto delsubgrupo n en la forma a ≡ b si, y solo si, a − b ∈ n. Esta relacion divide a Z enn clases de equivalencia de la forma [a] = {x ∈ Z | a − x ∈ n} = n + a. Las clasesen este caso se denotan mejor en la forma [a] = a, y la suma de clases se hace comose dijo arriba. Notese que las clase distintas son exactamente {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1}.Qeremos ahora calcular todos los subgrupos de Z24 y todos sus generadores.

Si H ≤ Z24 entonces |H | | 24 de modo que |H | ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}Para |H | = 1 tenemos H = 0 y para |H | = 24 tenemos H = Z24.

Para cada r = 2, 3, 4, 6, 8, 12 sabemos que Z24 contiene solamente un subgrupode orden r. Ahora, cada subgrupo H es cıclico y de la forma H =

s.1

= s ,donde |H | = r = 24

d, siendo d = m.c.d.(24, s). Obtenemos pues:

24d

= 2, entonces d = 12 = s;

12

=

0, 12

24d


8

=

0, 8, 16

24d


6

=

0, 6, 12, 18

24d


4

=

0, 4, 8, 12, 16, 20

24d


3

=

0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21

24d


2

=

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22

.

Los generadores de Z24 son de la forma 1 = s, con m.c.d.(s, 24) = 1. Entoncess = 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

2.6. Ejercicios

1. Sea G un grupo, a,b elementos de G tales que:

(i) a ∩ b = {1}

(ii) ab=ba

(iii) |a| = m, |b| = n

Entonces, |ab| = m.c.m. (|a| , |b|)

2. Sea G un grupo, a,b elementos de G tales que:

(i) ab=ba

(ii) |a| = n, |b| = m

(iii) m.c.d.(n, m) = 1




Entonces, |ab| = nm. Ademas, a, b = ab.

3. Sea G un grupo y sean a, b elementos de G. Entonces:

(i) |a| = |a−1|

(ii) |xax−1| = |a| , para todo x ∈ G.

(iii) |ab| = |ba|

(iv) Sea |a| = n.

Entonces, ai = a j ⇔ n | i − j

4. Sea Zn = {0, 1, 2, 3, . . . , n − 1} el conjunto de los enteros modulo n. En Zn

definimos la multiplicacion mediante la regla: r.s = rs. Demostrar que Zn, ·es un semigrupo conmutativo con elemento identidad 1 (compruebe inicial-mente que la operacion · en Zm esta bien definida). Construya la tabla paran = 8. Es Z8, · un grupo?

5. Sea Zn el conjunto de los enteros modulo n. Sea Z∗n el grupo multiplicati-

vo del semigrupo Zn, · del ejercicio anterior. Demostrar que: [r] ∈ Z ∗n ⇔m.c.d.(r, n) = 1.

6. La funcion ϕ : N → N del conjunto de los numeros naturales que asignaa cada natural m el numero de enteros positivos menores que m y que son

primos relativos con el. Por ejemplo, ϕ (6) = 2, ϕ (10) = 4. La funcion ϕ esdenominada funci´ on de Euler . Segun el ejercicio anterior, Z∗

m tiene ϕ (m)elementos. Utilizar estas observaciones para demostrar los siguientes teoremas:

(i) Teorema de Euler: sean a, m enteros, m > 0 y m.c.d.(a, m) = 1. En-tonces aϕ(m) ≡ 1 (modulo m), es decir, m | aϕ(m) − 1.

(ii) Teorema de Fermat: si p es primo entonces a p ≡ a (modulo p), paratodo a ∈ Z.

7. Sea G un grupo cıclico de orden 60. ¿Cuantos generadores tiene G ?

8. Determine el subgrupo cıclico de Z42, + generado por 30.

9. Demuestre que (1+i)√2

es un elemento de periodo finito de C∗.

10. Sean p y q primos diferentes. Encuentre el numero de generadores del grupocıclico Z pq, +.

11. Determine todos los subgrupos de Z36 y todos sus generadores.

12. Determine todos los subgrupos de C36 y todos sus generadores.



2.6. EJERCICIOS 33

13. Demuestre que los subgrupos de C p∞ son: 1 = C p0 < C p1 < C p2 < · · · <

C pn < · · · .

Demostraci´ on. Sea H un subgrupo propio de C p∞. Si para cada k ≥ 0, C pk ≤H , entonces H = C p∞ , pero este caso esta descartado. Entonces existe un k ≥ 0tal que C pk no esta incluido en H . Escojamos el menor k tal que C pk−1 ≤ H pero C pk no esta incluido en H . k no puede ser 0 ya que C p0 ≤ H. Por lo tantok ≥ 1. La idea es entonces demostrar que H = C pk−1 . Si esto es ası entoncesel n buscado es n = k − 1.

Sabemos que C pk−1 ≤ H y supongamos que la inclusion es estricta, es decir,existe z ∈ H pero z /∈ C pk−1. Como z ∈ C p∞ existe un m ≥ 1 mınimotal que z ∈ C

pm pero z /∈ C

pm−1. Notese que m ≥ k porque de lo contario

z ∈ C pk−1. Se tiene que C pk ≤ C pm . Sea C pm =< z1 >, entonces z = za1 ,

donde 0 ≤ a ≤ pm − 1, notese que p no divide al entero a. En efecto, si p|a,

entonces a = pb y en consecuencia z pm−1= zapm−1

1 = zbpm

1 = 1, pero estoindica que z ∈ C pm−1 , lo cual es falso. Se tiene entonces que a y pm son primosrealtivos, es decir, 1 = ua + vpm, donde u, v son enteros. De aquı resulta quez1 = (za

1 )u(z pm

1 )v = zu. Esto implica que C pm ≤< z >≤ H y de aquı se tendrıaque C pk ≤ H , lo cual es falso. En conclusion, H = C pk−1.



Capıtulo 3

Subgrupos normales yhomomorfismos

El objetivo central de este capıtulo es mostrar la estrecha relacion que guardan losconceptos de subgrupo normal y homomorfismo de grupos. Sera demostrado que,salvo isomorfismo, hay tantos subgrupos normales en un grupo G como imageneshomomorficas tiene este ultimo. El concepto de grupos isomorficos permite, entreotras cosas, clasificar los grupos cıclicos: los infintos que son isomorficos a Z, +, ylos finitos de orden n que son isomorfos a Zn, +. Dentro de los ejercicios hemosincluıdo un grupo muy importante como es el grupo octico correspondiente a las 8simetrıas del cuadrado.

3.1. Subgrupos normales

En el capıtulo 1 se construyo el grupo de enteros modulo n, Zn, por medio de 4objetos, a saber: el grupo Z, el subgrupo n de multiplos de n, la relacion deequivalencia en Z definida como a ≡ b si, y solo si,, a − b ∈ n y la operacion deadicion entre clases de equivalencia determinadas por esta relacion: a + b = a + b,a, b ∈ Z

Vale la pena preguntarnos si, dado un grupo G y H un subgrupo cualquiera de G,

podemos repetir la construccion mencionada anteriormente con ayuda de la relacionde equivalencia en G utilizada para la demostracion del teorema de Lagrange: a ≡b ⇔ ab−1 ∈ H . Puesto que las clases de equivalencia estan determinadas por elsubgrupo H , sera logico preguntarnos que condicion debe satisfacer H para quepodamos dar al conjunto de clases de equivalencia una estructura de grupo. Antesde responder a estas preguntas recordemos cierta terminologıa ya introducida antespor nosotros.

Definicion 3.1.1. Sea G un grupo y sean A y B subconjuntos no vacıos de G.

34



3.2. GRUPO COCIENTE 35

Se denomina producto de los conjuntos A y B (en ese orden ) al conjunto de

productos de la forma ab, donde a ∈ A y b ∈ B, y se denota por AB. En otraspalabras, AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B}.

Proposicion 3.1.2. Sea G un grupo y sea H un subgrupo de G. Entonces las sigu-ientes condiciones son equivalentes:

(i) ∀x ∈ G, ∀h ∈ H : x−1hx ∈ H

(ii) ∀x ∈ G : x−1Hx = H

(iii) ∀x ∈ G : xH = Hx

(iv) ∀x, y ∈ G : xHyH = xyH

Demostraci´ on. (i) ⇒ (ii): evidentemente x−1Hx ≤ H . Sea ahora h ∈ H . Entoncesh = x−1(xhx−1)x; segun 1), xhx−1 ∈ H ; ası pues, H ≤ x−1Hx.

(ii)⇒ (iii): sea h ∈ H , entonces xhx−1 ∈ H ⇒ xhx−1 = h0 ∈ H ⇒ xh = h0x ∈Hx;⇒ xH ≤ Hx. Analogamente, Hx ≤ xH .

(iii)⇒ (iv): sean h1, h2 ∈ H :⇒ xh1 yh2 = xyh1h2 donde h1 ∈ H ; ⇒ xHyH ≤xyH . Ahora, si h ∈ H se obtiene que xyh = x,1yh ∈ xHyH , es decir, xyH ≤ xHyH .

(iv)⇒ (i): sea x ∈ G, h ∈ H. ⇒ x−1hx ∈ x−1HxH ⇒ x−1hx ∈ x−1xH = H.Esto completa la prueba de la proposicion.

Definicion 3.1.3. Sea G un grupo y H ≤ G. Se dice que H es un subgruponormal de G, lo cual denotamos por H G, si H cumple una de las condicionesde la proposicion anterior.

Definicion 3.1.4. Sea G = {1} un grupo. Entonces G posee al menos dos subgruposnormales, llamados los subgrupos normales triviales: {1}, G. Si G no poseeotros subgrupos normales fuera de los triviales se dice que G es un grupo simple.

3.2. Grupo cociente

Sea G un grupo y H G. En G se tiene la relacion

a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H

Como ya fue demostrado en el capıtulo 1, ≡ es una relacion de equivalencia la cualdetermina una particion del grupo G en clases de equivalencia, llamadas tambienclases laterales derechas :

[a] = Ha



36 CAPITULO 3. SUBGRUPOS NORMALES Y HOMOMORFISMOS

Notese que la relacion ≡ es igual a la relacion ≡ definida por a ≡ b ⇔ a−1b ∈ H.

En tal caso [a] = Ha. Pero como H G entonces las clases laterales derechas eizquierdas de a coinciden.Podemos definir un producto entre clases de equivalencia, ası como se hizo en

Z n, y dar al conjunto de clases estructura de grupo.

Proposicion 3.2.1. Sea G, ·, 1 un grupo y sea H G. Sea ≡ la relaci´ on de equiv-alencia de G definida por:

a ≡ b ⇔ a−1b ∈ H (equivalentemente, a ≡ b ⇔ ab−1 ∈ H )

Sea G/H el conjunto de clases de equivalencia (de clases laterales derechas o izquier-das) determinadas por la relacion ≡. Entonces definiendo el producto de clases deG/H por:

aH bH = abH , ∀a, b ∈ G(a b = ab)

G/H adquiere estructura de grupo. G/H se denomina el grupo cociente de Gpor H .

La clase con representante a sera denotada simplemente por a o aH en el caso

multiplicativo; en notacion aditiva a = a + H .

Proposicion 3.2.2. Sea G un grupo y H G. Entonces,

(i) Si G es abeliano, entonces G/H es tambien abeliano.

(ii) Si G es cıclico con generador a, entonces G/H es cıclico con generador a

(iii) Si G es finito, entonces |G : H | = |G/H | = |G||H

(iv) Zn = Z/n

(v) Sea K ≤ G y H G tal que H ≤ K. Entonces, H K.

(vi) Sea H ≤ G tal que |G : H | = 2, entonces H G.

(vii) La relaci´ on de normalidad no es en general transitiva.

Demostraci´ on. Las cinco primeras afirmaciones son casi evidentes. Las otras se dejancomo ejercicio al lector.



3.2. GRUPO COCIENTE 37

Ejemplo 3.2.3. Consideremos un cuadrado cuyos vertices se numeran sucesiva-

mente en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj con los numeros1, 2, 3, 4, comenzando en el extremo inferior izquierdo, y consideremos el conjuntoD4 de las 8 simetrıas de un cuadrado: cuatro rotaciones en sentido contrario almovimiento de las manecillas del reloj a traves de los angulos: 2πk

4, k = 0, 1, 2, 3:

Cuatro reflexiones a traves de cuatro ejes de simetrıa: X,Y, 13, 24. Este conjuntode 8 movimientos posee estructura de grupo bajo la operacion de composicion demovimientos. Notese que cada movimiento permuta los vertices 1, 2, 3, 4; por lotanto el grupo D4 puede ser mirado como subgrupo de S 4: la rotacion a traves delangulo θ = π

2, k = 1, corresponde a la permutacion:

f = 1 2 3 4

2 3 4 1 = (1 2 3 4)

Observe que las otras tres rotaciones corresponden a potencias de f : f 2, f 3, f 4 =1 = rotacion de cero grados.

La reflexion a traves del eje 13 corresponde a la permutacion:

g =

1 2 3 41 4 3 2

= (2 4), g2 = 1

Las otras tres reflexiones corresponden a productos de f y g :Reflexion a traves del eje Y :

1 2 3 4

2 1 4 3 = f g

Reflexion a traves del eje X :1 2 3 44 3 2 1

= f 3g

Reflexion a traves del eje 24:1 2 3 43 2 1 4

= f 2g

Como dijimos anteriormente, D4 = {1, f , f 2, f 3, f g , f 2g, f 3g, g} es un subgrupoconocido como grupo dihedrico de grado 4. Notese que H = {1, g} ≤ K =

{1, g , f 2, f 2g}. Ademas, K D4 ya que |D4 : K | = 2, H K ya que |K : H | = 2pero H no es subgrupo normal de D4 : f 3g (f 3)

−1= f 3gf = f 2g /∈ H .

G queda dividido en solo dos clases laterales izquierdas: G = H

(G − H ). Seax ∈ G, h ∈ H ; consideremos las siguientes cuatro posibilidades:

a) x−1h ∈ H, x−1 ∈ H ⇒ x−1hx ∈ H b) x−1h ∈ H, x−1 /∈ H , imposiblec) x−1h /∈ H, x−1 ∈ H , imposibled) x−1h /∈ H, x−1 /∈ H ⇒ x−1h ≡ x−1 ⇒ x−1hx ∈ H ⇒ H G.




3.3. Homomorfismo de grupos

En esta seccion se ilustra el importante concepto de homomorfismo de grupos ası co-mo tambien algunas de las propiedades fundamentales de estas funciones. Al final,con ayuda del concepto de isomorfismo se hace una clasificacion de los grupos cıcli-cos.

Definicion 3.3.1. Sea G, · y F, · dos grupos. Una funci´ on ϕ : G → F tal queϕ(ab) = ϕ(a) ϕ(b), ∀a, b ∈ G se denomina un homomorfismo del grupo G en el grupo F .

Si ambos tienen notacion aditiva, entonces la condicion anterior se escribe comoϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b). Veamos algunos ejemplos:

(i) Sea G = R el grupo aditivo de los numeros reales, y sea F = R∗ el grupomultiplicativo de los numeros reales no nulos. La funcion f : R → R∗ definidapor f (x) =: ex es un homomorfismo de R en R∗.

(ii) Homomorfismo trivial : sea G, ·, 1 un grupo multiplicativo y sea F, +, ◦un grupo con notacion aditiva. La funcion de G en F definida por f : G → F ,f (x) = 0 es un homomorfismo, Ademas la funcion g : f → G es definida porg (x) = 1 es tambien un homomorfismo; lo podemos denominar homomorfismounitario.

(iii)Homomorfismo identico

: sea G, · un grupo. La funcion ı : G → G de Gen si mismo definida por ıG (x) = x es un homomorfismo.

Definicion 3.3.2. Sea ϕ : G → F un homomorfismo de grupos.

(i) Sea 1 el elemento identidad del grupo F . El conjunto de elementos de G cuya imagen es el elemento identidad 1 de F se denomina el n´ ucleo de ϕ y sedenota por N (ϕ) o tambien por ker(ϕ):

ker(ϕ) := {g ∈ G | ϕ (g) = 1}.

(i) Sea A ⊆ G. El conjunto de las im´ agenes de los elementos del conjunto A se

denomina imagen del conjunto A mediante ϕ y se denota por ϕ (A):

ϕ (A) := {ϕ (a) | a ∈ A}.

En particular el conjunto ϕ (G) se denomina la imagen del homomorfismo ϕy se simboliza tambien por Im (ϕ).

(iii) Sea B ⊆ F . El conjunto de elementos de G cuyas im´ agenes pertenencen al conjunto B se denomina imagen inversa de B mediante ϕ,



3.3. HOMOMORFISMO DE GRUPOS 39

ϕ−1 (B) := {g ∈ G | ϕ (g) ∈ B}.

(iv) Se dice que ϕ es un homomorfismo inyectivo si ϕ es una funci´ on inyectiva,es decir, para cualesquiera elementos x, y ∈ G se cumple

ϕ (x) = ϕ (y) ⇔ x = y.

(v) Se deice que ϕ es un homomorfismo sobreyectivo si Im (ϕ) = F .

(vi) Se dice que ϕ es un isomorfismo o tambien que G y F son isom´ orficos, locual se dentoa por G ∼= F , si ϕ es inyectivo y sobreyectivo.

Proposicion 3.3.3. Sea ϕ : G → F un homomorfismo, entonces:(i) ϕ (1) = 1.

(ii) ϕ (x−1) = ϕ (x)−1, para cada x ∈ G.

(iii) N (ϕ) G.

(iv) La imagen de un subgrupo de G mediante ϕ es un subgrupo de F :

H ≤ G ⇒ ϕ (H ) ≤ F .

(v) La imagen inversa de un subgrupo de F mediante ϕ es un subgrupo de G:

K ≤ F ⇒ ϕ−1 (K ) ≤ G.

(vi) La imagen de un subgrupo normal de G mediante ϕ es un subgrupo normal dela imagen de ϕ:

H G ⇒ ϕ (H ) Im(ϕ).

(vii) La imagen inversa de un subgrupo normal de F mediante ϕ es un subgruponormal de G:

K F ⇒ ϕ−1 (K ) G.

(viii) ϕ es inyectivo ⇔ ker(ϕ) = {1}.

(ix) Sea H G. La funci´ on j : G → G/H definida por j (x) =: x = xH esun homomorfismo sobreyectivo. j se denomina el homomorfismo c´ onico.

(x) ϕ es un isomorfismo si, y s´ olo si,, existe una funci´ on θ : F → G tal que




θϕ = iG, ϕ θ = iF .

Adem´ as, θ es tambien un homomorfismo. θ se denomina el homomorfismo

inverso de ϕ y se denota por ϕ−1.

(xi) Sea α : F → M un homomorfismo. Entonces la funci´ on compuesta αϕ : G →M es un homomorfismo.

Demostraci´ on. Todas las pruebas se reducen a aplicar directamente las definicionesanteriores.

Teorema 3.3.4. Sea G un grupo cıclico. Entonces,

(i) Si G es infinito, entonces G ∼= Z.

(ii) Si es finito de orden n, entonces G ∼= Zn.

Demostraci´ on. Es un ejercicio sencillo que se deja al lector.

3.4. Ejercicios

1. Demuestre que en un grupo abeliano todos sus subgrupos son normales.

2. Sea G un grupo y A un subconjunto no vacıo de G. Sea x ∈ G el conjunto:

Ax := x−1Ax = {x−1ax | a ∈ A}.

se denomina el conjugado de A por x. Demuestre que el conjugado de unsubgrupo de G mediante cualquier elemento x de G es tambien un subgrupode G. Demuestre que si A ⊆ G, entonces ∀x ∈ G, Card(x−1Ax) = Card (A).

3. Sea G un grupo, H un subgrupo de G y A un subconjunto no vacıo de G.Demuestre que

N H (A) = {x ∈ H | Ax = A} y C H (A) = {x ∈ H | xs = sx, ∀s ∈ A}

son subgrupos de H ( N H (A) se llama el normalizador de A en H y C H (A)se llama el centralizador de A en H ). Compruebe ademas que C H (A) N H (A).

4. Sea G un grupo y K ≤ G. Con las definiciones del ejercicio anterior, N G (K )se denomina el normalizador de K en G y C G (K ) se denomina el centralizadorde K . El centralizador de G se denota por Z (G) y se llama el centro del grupoG. Demuestre que



3.4. EJERCICIOS 41

a ) K N G (K ) y Z (G) es un grupo abeliano.

b) K G ⇔ G = N G (K ).

c) Sea H ≤ G tal que K H . Entonces H ⊆ N G (K ).

5. Sea G un grupo, H ≤ G, A = φ, A ⊆ G. Denotemos por F a la familia desubconjuntos de G constituidos por los conjugados de A con elementos de H ,es decir F := {Ax | x ∈ H }. Demuestre que Card(F ) = |H : N H (A)|.

6. Demuestre que la interseccion de dos subgrupos normales es un subgrupo nor-mal. Generalice este resultado a una familia no vacıa cualquiera de subgruposnormales.

7. Sea G un grupo y H G. Demuestre que las relaciones de equivalencia ≡1 y≡2 definidas por a ≡1 b ⇔ ab−1 ∈ H y a ≡2 b ⇔ a−1b ∈ H son iguales, esdecir, ∀a, b ∈ G, a ≡1 b ⇔ a ≡2 b.



Capıtulo 4

Teoremas de estructura

El concepto de homomorfismo e isomorfismo, ası como los teoremas correspon-dientes, son el objeto del presente capıtulo. Por medios de estos teoremas se puedencaracterizar las imagenes homomorficas de un grupo, y son herramienta clave parala clasificacion de grupos, en particular, para la clasificacion de grupos finitos.

4.1. Teorema fundamental de homomorfismo

Se mostrara en esta leccion que un grupo G tiene tantas imagenes homomorficascomo grupos cocientes por subgrupos normales, este es precisamente el contenido

del teorema fundamental de homomorfismo.

Teorema 4.1.1 (Teorema fundamental de homomorfismo). Sea G un grupocualquiera. Entonces hay tantas im´ agenes homom´ orficas de G como subgrupos nor-males tiene G (o lo que es lo mismo, como grupos cocientes de G). M´ as exacta-mente, si G es una imagen homom´ orfica de G entonces existe un subgrupo nor-mal H de G tal que G ∼= G/H . H es precisamente el n´ ucleo del homomorfismoG → G. Recıprocamente, dado un subgrupo normal H de G, G/H es una imagen homom´ orfica de G. El homomorfismo sobreyectivo requerido es el homomorfismocan´ onico j : G → G/H .

Demostraci´ on. Sea G una imagen homomorfica de G con homomorfismo sobreyec-tivo h : G → G; sea ker(h) el nucleo de h y sea j : G → G/kerh el homomorfismocanonico de G sobre el grupo cociente G/ ker(h). Se define la funcion

h : G/ ker h → G

mediante h(x) := h(x), donde x = x ker h es la clase de equivalencia (clase lateralizquierda) determinada por el elemento x. h esta bien definida, h es sobre y h esinyectiva. Ademas, h es un homomorfismo de grupos. Finalmente, ya se ha visto quela funcion canonica j es un homomorfismo sobre de G en G/H .

42



4.1. TEOREMA FUNDAMENTAL DE HOMOMORFISMO 43

Corolario 4.1.2. Sea h : G → G un homomorfismo de grupos. Entonces Im(h) ∼=

G/ ker h.Ejemplo 4.1.3. (i) Determinemos todas las imagenes homomorficas del grupo adi-tivo de los numeros enteros Z, +: segun el teorema fundamental de homomorfismolas imagenes homomorficas de Z, + son los subgrupos cociente de Z por sus sub-grupos normales. De esta manera debemos determinar todos los subgrupos normalesH de Z y construir los grupos cociente G/H . Como Z, + es un grupo abeliano en-tonces cada uno de sus subgrupos es normal. Ası pues, las imagenes homomorficasde Z son de la forma Z/n con n ≥ 0, es decir las imagenes de Z, + son Z n conn ≥ 0 .

(ii) Sea R, + el grupo de los numeros reales bajo la adicion y sea U, · el grupo

multiplicativo de los complejos de modulo 1: U = {z ∈ C | |z| = 1}. Notese queU = {cosθ + i senθ | θ ∈ R} = {eiθ | θ ∈ R}. La funcion ϕ : R → U definida porϕ(θ) = eiθ es un homomorfismo: en efecto, ϕ(θ1 + θ2) = ei(θ1+θ2) = eiθ1 · eiθ2. ϕ esobviamente un homomorfismo sobreyectivo ya que cada complejo tiene determinadoal menos un argumento θ. Segun el teorema fundamental de homomorfismo U ∼=R/ ker(ϕ) ; ker(ϕ) = {θ ∈ R | cos θ +i sen θ = 1 } ⇒ si θ ∈ ker(ϕ) ⇒ senθ = 0 ⇒ θ = 2kπ, k ∈ Z . Recıprocamente, cada real de forma θ = 2kπ, k ∈ Z esun elemento de ker(ϕ) ⇒ N (ϕ) = 2π, grupo generado por 2π , ⇒ U ∼= R/2π.

(iii) Imagenes homomorficas de S 3 : determinamos en primer lugar los subgruposde S 3. Puesto que |S 3| = 6 entonces S 3 solo puede tener grupos de orden 1,2,3 y 6:

f = 1 2 3

2 3 1

=

1 2 3

, g = 1 2 3

1 3 2

=

2 3

S 3 = {1, f , f 2, g , f g , f 2g} ; f 2 =

1 3 2

, f g =

1 2

, f 2g =

1 3

1 = {1} es el unico subgrupo de orden 1

Los subgrupos de orden 2 son cıclicos y por lo tanto generados por los elementosde orden 2:

g, f g, f 2g son los subgrupos de orden 2

Los subgrupos de orden 3 son necesariamente cıclicos y son generados por ele-mentos de orden 3 :

f es el unico subgrupo de orden 3

S 3 es el unico subgrupo de orden 6

1 y S 3 son normales. Puesto que |S 3 : f | = 2 entonces f S 3 .Para la determinacion de subgrupos normales de orden 2 no sobra construir la

tabla del grupo S 3 :



44 CAPITULO 4. TEOREMAS DE ESTRUCTURA

◦ 1 f f 2 g f g f 2g

1 1 f f 2

g f g f 2

gf f f 2 1 f g f 2g gf 2 f 2 1 f f 2g g f gg g f 2g f g 1 f 2 f

f g f g g f 2g f 1 f 2

f 2g f 2g f g g f 2 f 1

g no es subgrupo normal de S 3 ya que f gf −1 = f gf 2 = f 2g /∈ g; f g no essubgrupo normal de S 3 ya que f 2f g (f 2)

−1= f 2f gf = gf = f 2g /∈ fg; f 2g no

es subgrupo normal de S 3 ya que f f 2gf −1 = gf 2 = f g /∈ f 2g .

S 3 no tiene subgrupos normales de orden 2

1, f , S 3 son los subgrupos normales de S 3

De aquı obtenemos que las imagenes hommorficas de S 3 (salvo isomorfismo) sonS 3/1 = S 3 , S 3/ f ∼= Z2 ya que |S 3/ f | = 6

3 = 2 ; S 3/S 3 = Z1 (grupo unitario).

4.2. Teorema de factorizacion

Definicion 4.2.1. Sea α : G1 → G2 un homomorfismo de grupos. Se dice que el homomorfismo α se puede factorizar a traves del homomorfismo j : G1 → G3 (o

tambien, a traves del grupo G3) si existe un homomorfismo θ : G3 → G2 tal queθj = α .

Teorema 4.2.2. Sea α : G → G un homomorfismo de grupos y sea H un subgruponormal de G. Entonces α se puede factorizar de una manera ´ unica a traves de G/H si, y s´ olo si,, H ⊆ ker α.

Demostraci´ on. ⇒): sea H G tal que α se puede factorizar a traves de G/H .Esto quiere decir que existe un homomorfismo θ : G/H → G tal que θj = α. Seax ∈ H ⇒ θj(x) = α(x) ⇒ θ( j(x)) = θ(x) = θ(1) = 1 = α(x) ⇒ x ∈ ker(α) ⇒ H ⊆ker(α).

⇐) Supongase que H G tal que H ⊆ ker(α). Definimos

θ : G/H → G θ(x) = α(x), x = xH , x ∈ G .

θ esta bien definida : x = y ⇒ x−1y ∈ H ⇒ x−1y ∈ ker(α) ⇒ α(x−1y) = 1 ⇒α(x)−1α(y) = 1 ⇒ α(x) = α(y) ⇒ θ(x) = θ(y).

θ es homomorfismo : θ(x · y) = θ(xy) = α(xy) = α(x)α(y) = θ(x)θ(y).θj(x) = θ(x) = α(x), para todo x ∈ G; ⇒ θj = α.θ es unica : sea β : G/H → G un homomorfismo tal que βj = α; ⇒ βj (x) = β (x)

= α(x) = θ(x); ⇒ β = θ.



4.2. TEOREMA DE FACTORIZACION 45

Corolario 4.2.3. (i) El homomorfismo θ del teorema anterior es inyectivo ⇔

H = ker(α). Adem´ as, θ es sobreyectivo ⇔ α es sobreyectivo.

(ii) Cada homomorfismo sobreyectivo Gα

−→ G se puede factorizar de manera ´ unica a traves del grupo cociente G/ ker(α). Adem´ as, en este caso θ es un isomor-

fismo.

Demostraci´ on. (i) Supongase que θ es un homomorfismo inyectivo y sea x ∈ ker(α).Entonces α(x) = 1 = θ(x); ⇒ x = 1 ⇒ x ∈ H ; ⇒ ker(α) ⊆ H ; ⇒ H = ker(α).Recıprocamente, sea x ∈ ker(θ) ⇒ θ(x) = α(x) = 1 ⇒ x ∈ ker(α) ⇒ x ∈ H ⇒ x =1.

Puesto que α = θ ◦ j, entonces siendo θ sobreyectivo, α lo es ya que j es el

homomorfismo canonico.Supongase ahora que α es sobreyectivo, y sea y ∈ G. Entonces, existe x ∈ G tal

que α(x) = y ⇒ θ(x) = α(x) = y, es decir, θ es sobreyectivo.

(ii) Es consecuencia directa del teorema.

Las afirmaciones siguientes evidencian la utilidad del teorema de factorizacion.

Corolario 4.2.4. Sea α : G → K un homomorfismo sobreyectivo de grupos y sea H G. Entonces α induce el homomorfismo sobreyectivo

α : G/H → K/α(H )

definido por α(x) := α(x), donde x = xH y α(x) = α(x)α(H ). Adem´ as, α esinyectivo (y por lo tanto un isomorfismo) si, y s´ olo si,, ker(α) ⊆ H .

Corolario 4.2.5. Sea α : G → K un homomorfismo de grupos y sea H un subgruponormal de K . Entonces α induce el homomorfismo inyectivo

α : G/α−1(H ) → K/H

definido por α(x) := α(x), x = xα−1(H ), α(x) = α(x)H . Adem´ as, si α essobreyectivo, entonces α es un isomorfismo.

Corolario 4.2.6. Sea G un grupo y sean H y K subgrupos normales de G tales queH ⊆ K . Entonces se tiene el homomorfismo sobreyectivo

θ : G/H → G/K

definido por θ(x) := x , donde x := xH y x := xK .




4.3. Teorema de correspondencia

Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G. Consideremos el grupo cocienteG/H y el homomorfismo canonico j : G → G/H . Sea X un subconjunto de G quecontiene H , H ⊆ X ⊆ G. Segun vimos, la imagen mediante de X mediante j es

j(X ) = { j(x) | x ∈ X } = {x | x ∈ X }

Denotamos este conjunto por X/H . Sea ahora K un subgrupo de G que contieneH , H ≤ K ≤ G. Entonces

j(K ) = { j(x) | x ∈ K } = {x | x ∈ K } = K/H

Ademas, como H K podemos construir el grupo cociente de K por H , K/H , y

por tanto, la notacion K/H para j(K ) es adecuada. Podemos ahora si demostrar elsiguiente teorema.

Teorema 4.3.1 (Teorema de correspondencia). Sea G un grupo y sea H un subgrupo normal de G. Sea L(G, H ) la familia de subgrupos de G que contienen H

L(G, H ) := {K ≤ G| H ⊆ K },

Sea L(G/H ) la familia de subgrupos de G/H . Entonces existe una correspondencia biyectiva entre L(G, H ) y L(G/H )

ϕ : L(G, H ) → L(G/H )ϕ(K ) = j(K ) = K/H = {x ∈ G/H | x ∈ K }

Adem´ as, H ⊆ N G ⇔ ϕ(N )G/H . Por ´ ultimo, si A y B son elementos de L(G, H )tales que A ≤ B, en otras palabras, si H ≤ A ≤ B ≤ G, entonces ϕ(A) ≤ ϕ(B) y adem´ as |B : A| = |ϕ(B) : ϕ(A)|.

Demostraci´ on. Notese en primer lugar que ϕ(K ) es realmente un subgrupo de G/Hya que j es un homomorfismo.

ϕ es una funcion inyectiva: supongase que ϕ(K 1) = ϕ(K 2) ⇒ K 1/H = K 2/H .Sea x ∈ K 1 ⇒ x ∈ K 1/H ⇒ x ∈ K 2/H ⇒ x = y para algun y ∈ K 2 ⇒x−1y ∈ K 2 ⇒ x ∈ K 2. En total K 1 ⊆ K 2. Analogamente se prueba que K 2 ⊆ K 1 yası K 1 = K 2 con lo cual ϕ es 1 − 1.

ϕ es una funcion sobreyectiva: sea M un subgrupo de G/H , como hemos visto j−1(M ) es un subgrupo de G. Veamos en primer lugar que H ≤ j−1(M ): sea x ∈H ⇒ j(x) = x = 0 ∈ M . Ası pues, j−1(M ) es un elemento de L(G, H ). Finalmente,notemos que j [ j−1(M )] = M por ser j una funcion sobre. Esto completa la pruebade que ϕ es una funcion sobre.

Si N es un subgrupo normal de G que contiene H , entonces segun vimos laimagen de cada subgrupo normal mediante un homomorfismo es nuevamente unsubgrupo normal en la imagen. Por tanto, ϕ(N ) = j(N ) G/H .

Sea ρ la relacion de equivalencia inducida en B por el subgrupo A:



4.4. TEOREMAS DE ISOMORFISMO 47

x, y ∈ B : xρy ⇔ xy−1 ∈ A.

Denotemos por [x] la clase de equivalencia correspondiente al elemento x ∈ B med-inte la relacion ρ. Sea θ la relacion de equivalencia inducida en B/H por el subgrupoA/H :

x, y ∈ B/H : xθy ⇔ x y−1 ∈ A/H .

(x = Hx, x ∈ B). Denotemos por [x] la clase de equivalencia determinada por elelemento x de B/H mediante la relacion θ.

Sean C 1 = B/ρ y C 2 = (B/H )/θ los respectivos conjuntos cocientes. Se quiereprobar que Card(C 1) = Card(C 2) : Definimos

F : C 1 → C 2F ([x]) = [x]

F esta bien definida: [x] = [y] ⇒ xy−1 ∈ A ⇒ xy−1 ∈ A/H ⇒ x y −1 ∈ A/H ⇒[x] = [y] ⇒ F ([x]) = F ([y]).

F es inyectiva: F ([x]) = F ([y]) ⇒ [x] = [y] ⇒ x y −1 ∈ A/H ⇒ xy−1 ∈ A ⇒[x] = [y] F es obviamente sobreyectiva.

4.4. Teoremas de isomorfismo

El primer teorema fundamental de isomorfismo combinado con el teorema de corres-

pondencia permite determinar las imagenes homomorficas de Zn, n ≥ 2.

Teorema 4.4.1 (Primer teorema fundamental de isomorfismo). Sea G un grupo y sean H y K subgrupos normales de G tales que H ≤ K . Entonces K/HG/H y se tiene el isomorfismo

(G/H )/(K/H ) ∼= G/K .

Demostraci´ on. Podemos aplicar el teorema de factorizacion y el teorema funda-mental de homomorfismo para demostrar este importante teorema: En efecto elhomomorfismo canonico j : G → G/K se puede factorizar a traves del homomor-

fismo j1 : G → G/H debido a que H ⊆ K = ker( j) Denotamos los elementos deG/H mediante x := xH y los de G/K por x := xK , entonces θ : G/H → G/K esta definido por θ(x) := x; puesto que j es sobreyectivo, entonces θ tambien loes, y segun el teorema fundamental de homomorfismo (G/K ) ∼= (G/H )/ ker(θ)pero ker(θ) = {x ∈ G/H | x = 0} = {x ∈ G/H | x ∈ K } = K/H . Ası pues,(G/H )/(K/H ) ∼= G/K .

Teorema 4.4.2 (Segundo teorema fundamental de isomorfismo). Sean G un grupo, H ≤ G y K G. Entonces,




HK/K ∼= H/H ∩ K .

Demostraci´ on. En primer lugar HK = KH : sea hk∈ HK ⇒ hk = (hkh−1)h ∈ KH ya que K G; ası pues, HK ⊆ KH . Sea ahora kh ∈ KH ; entonces kh = h(h−1kh) ∈HK ⇒ KH ⊆ HK y en consecuencia HK = KH . Esto garantiza que HK esun subgrupo de G. Como K G entonces K HK y tiene sentido el grupo factorHK/K . Definimos la funcion

f : H → HK/K

Probemos que f es un homomorfismo sobreyectivo con nucleo N (f ) = H ∩ K :f (h1h2) = (h1h2)K = h1Kh2K = f (h1)f (h2). Sea x ∈ HK/K . Entonces x es de

la forma x = hkK = hK = f (h). Esto prueba que f es sobre. Sea x ∈ N (f ) ⇒f (x) = xK = 1K ⇒ x ∈ K ⇒ x ∈ H ∩ K ⇒ N (f ) = H ∩ K y el teoremaesta demostrado.

Ejemplo 4.4.3. (i) Calculemos las imagenes homomorficas de Zn, n ≥ 0. Paran = 0, Z0 = Z, segun vimos, en este caso las imagenes homomorficas son de la formaZn, n ≥ 0. Sea n = 1, Z1 = 0, grupo con un solo elemento. Por tanto, las unicasimagenes homomorficas de Z1 son los grupos unitarios. Sea n ≥ 2, Zn = Z/ n. Lasimagenes homomorficas de Zn segun el teorema fundamental de homomorfismo sonde la forma Zn/H donde H es subgrupo normal de Zn. Como Zn es un grupo abelianoentonces todos sus subgrupos son normales. Segun el teorema de correspondencia

los subgrupos de Zn = Z/ n son de la forma K/ n donde K es un subgrupo deZ que contiene al subgrupo n. Los subgrupos de Z son de la forma m. Ası pues,los subgrupos de Zn = Z/ n son de la forma m / n donde m ⊇ n. Noteseque si n ⊆ m entonces n = km, k ∈ Z, ⇒ m|n. Recıprocamente, si m|n ⇒n ⊆ m. En conclusion los subgrupos de Zn = Z/ n son de la forma m / ncon m|n. Por tanto las imagenes homomorficas de Zn = Z/ n son de la formaZ/ n / m / n ∼= Z/ m = Zm. Ası pues, las imagenes homomorficas de Zn sonlos subgrupos Zm con m|n. Por ejemplo, las imagenes homomorficas de Z12 son :Z1 = 0, Z2, Z3 , Z4, Z6, Z12 .

(ii) Sea G un grupo no unitario y sea HG. Se dice que H es un subgrupo normal

maximal de G si es valida la siguiente implicacion K ≥ H y K G ⇒ K = H o K =G, en otras palabras, los unicos subgrupos normales de G que contienen H son G y H mismo. Sea G, ·, 1 un grupo simple, es decir, G es no trivial y los unicos subgruposnormales de G son los triviales: {1} y G. Probemos que H G es maximal si, y solosi,, G/H es simple: sea W un subgrupo normal de G/H . Entonces segun el teoremade correspondencia existe en G un subgrupo normal K que contiene H . Por ser H normal maximal K = H o K = G, es decir W = K/H = H/H o W = G/H , esdecir, los unicos subgrupos normales de G/H son los triviales. Sea ahora K ≤ G,K G, K ≥ H . Entonces segun el teorema de correspondencia K/H G/H ; como




este ultimo es simple entonces K/H = {1} o K/H = G/H ⇒ K/H = H/H o

K/H = G/H ⇒ K = H o K = G con lo cual H es maximal normal.(iii) Calculemos las imagenes homomoficas del grupo − 4 de Klein

V = {1,a,b,ab}, a2 = 1, b2 = 1, ab = ba.

V es un grupo de orden 4. Por tanto, sus subgrupos son de ordenes 1,2,4. Subgrupode orden 1 : H 1 = {1}. Los subgrupos de orden 2 son necesariamente cıclicos:H 2 = a = {1, a}, K 2 = b = {1, b}, L2 = ab = {1, ab}. Ası pues, los subgruposde orden 2 son H 2 = a, K 2 = b, L2 = ab. Hay un unico subgrupo de orden4: V . De lo anterior obtenemos que todos los subgrupos de V son normales. Ası,las imagenes homomorficas de V son : V /H 1 ∼= V , V /H 2 ∼= V /K 2 ∼= V /L2

∼= Z2,

V /V = 1.(iv) Notemos que V es un grupo abeliano de orden 4 al igual que Z4. Sin embargo,V no es isomorfo a Z4 ya que este ultimo es cıclico. Tenemos pues dos grupos distintosde orden 4. Nos preguntamos si existen otros grupos de orden 4 diferentes (noisomorfos) a Z4 y V . La respuesta es no: como V es de orden 4, V es necesariamenteabeliano. En efecto, probemos que si G es un grupo de orden ≤ 5 entonces G esabeliano: |G| = 1 ⇒ G es un grupo unitario y por ende abeliano

|G| = 2 ⇒ G es un grupo cıclico ⇒ G ∼= Z2 ⇒ G es abeliano|G| = 3 ⇒ G es un grupo cıclico ⇒ G ∼= Z3 ⇒ G es abeliano|G| = 4 ⇒ G no es ciclico (mas adelante) G es un grupo ciclico ⇒ G ∼= Z4 ⇒

G es abeliano |G| = 5 ⇒ G es un grupo cıclico ⇒ G ∼= Z5 ⇒ G es abeliano.

Volvemos al caso |G| = 4 y G no es cıclico. Entonces cada elemento de G es deorden 1 o 2 (no hay elementos de orden 4 ya que de lo contrario G serıa cıclico).De esto concluimos que G = {1,a,b,ab}, a2 = 1, b2 = 1, ab = ba, es decir, G es elgrupo − 4 de Klein.

(v) Determinar la imagenes homomorficas de D4 : recordemos que D4 = {1, f , f 2

f 3, g , f g , f 2g, f 3g}. La tabla de D4 ayuda a determinar los subgrupos de D4 (veaseel capıtulo 3). 1 es el unico subgrupo de orden 1. Los subgrupos de orden 2 son losdeterminados por las permutaciones de orden 2:

g , f 2 , f g , f 2g , f 3g son los subgrupos de orden 2.

Los subgrupos de orden 4 son de dos tipos: unos isomorfos a Z4 y otros isomorfosal grupo − 4 de Klein, V : elementos de orden 4 : f , f 3. Pero f = f 3 ∼= Z 4.Subgrupos isomorficos a V = {1,a,b,ab}, a2 = 1, b2 = 1, ab = ba. a puede tomar losvalores f 2, g , f g , f 2g, f 3g; lo mismo ocurre para b. Se presentan entonces 5·4

2= 10

combinaciones posibles :1) a = f 2, b = g → K 4 = {1, f 2, g , f 2g}2) a = f 2, b = f g → H 4 = {1, f 2, f g , f 3g}3) a = f 2, b = f 2g → K 4




4) a = f 2, b = f 3g → H 4

5) a = g, b = f g → Descartado ya que g(f g) = (fg)g6) a = g, b = f 2g → K 47) a = g, b = f 3g →Descartado ya que g(f 3g) = (f 3g)g

8) a = f g, b = f 2g → Descartado ya que (fg)(f 2g) = (f 2g)(f g)

9) a = f g, b = f 3g → H 410) a = f 2g, b = f 3g → Descartado ya que (f 2g)(f 3g) = (f 3g)(f 2g)

Subgrupos de orden 4: Isomorfos a Z4 : f , isomorfos a V : K4, H 4.

Unico subgrupo de orden 8 : D4

En resumen se obtiene lo siguiente: f ∼= Z 4

K 4∼= H 4

∼= V g ∼= f 2g ∼= f 2 ∼= f 3g ∼= f g ∼= Z 2

De otra parte, 1 y D4 son automaticamente subgrupos normales de D4.

Ademas, K 4, H 4 y f son tambien normales ya que su ındice en D4 es 2.

g no es subgrupo normal de D4 ya que f −1gf = f 3gf = f 2g /∈ g

f g no es subgrupo normal de D4 ya que g−1(f g)g = f 3g /∈ f g

f 2g no es subgrupo normal de D4 ya que f −1(f 2g)f = g /∈ f 2g

f 3g no es subgrupo normal de D4 ya que f −1(f 3g)f = f g /∈ f 3g

f 2 D4 ya que f −1f 2f = f 2; (f 2)−1f 2f 2 = f 2; (f 3)−1f 2f 3 = f 2; g−1f 2g = f 2;

(f g)−1f 2(f g) = f 2 ; (f 2g)−1f 2(f 2g) = f 2; (f 3g)−1f 2(f 3g) = f 2.

Subgrupos normales de D4 : 1, D4, f 2, f , K 4, H 4Las imagenes homomorficas de D4 (salvo isomorfismo) son :

D4/1 = D4; D4/ f = Z2; D4/K 4 ∼= D4/H 4 ∼= Z2; D4/D4 = 1.

Para f 2 se tiene que D4/ f 2 ∼= Z4 o D4/ f 2 ∼= V .

La primera posibilidad es descartada ya que en D4/ f 2 no hay elementos de

orden 4: en efecto, en D4 todos los elementos salvo 1, f 2, f 3 son de orden 2.

Ademas, para estos ultimos se tiene que |1| = 1,f = 2,

f 3 = 2. Por tanto,

D4/ f 2 ∼= V , esta es la otra imagen homomorfica de D4.

(vi) Determinar las imagenes homomorficas del grupo de los cuaterniones de

Hamilton Q8: el grupo Q8 es de orden 8 y puede ser definido por las siguientesrelaciones:

Q8 = a, b | a4 = 1, b2 = a2,bab−1 = a−1,

Q8 = {1, a , a2, a3,b,ab,a2b, a3b}.

La tabla para Q8 viene dada por




◦ 1 a a2 a3 b ab a2b a3b

1 1 a a2

a3

b ab a2

b a3

ba a a2 a3 1 ab a2b a3b ba2 a2 a3 1 a a2b a3b b aba3 a3 1 a a2 a3b b ab a2bb b a3b a2b ab a2 a 1 a3

ab ab b a3b a2b a3 a2 a 1a2b a2b ab b a3b 1 a3 a2 aa3b a3b a2b ab b a 1 a3 a2

ba = a−1b = a3b; ba2 = (ba)a = (a3b)a = a3(ba) = a3(a3b) = a2b; etcSubgrupos de Q8 : los subgrupos de Q8 tienen orden 1, 2, 4, 8 :

Subgrupo de orden 1 : 1Subgrupo de orden 8 : Q8

Subgrupos de orden 2 : cıclicos y estan generados por los elementos de orden 2 :a2 es el unico subgrupo de orden 2Subgrupos de orden 4 :cıclicos : a = a3; b = a2b, ab = a3bNo cıclicos : son de la forma V = {1,x,y,xy}, donde x2 = y2 = 1, xy = yx. Pero

en Q8 solo hay un elemento de orden 2. Por tanto, Q8 no tiene subgrupos de orden4 no cıclicos.

Subgrupos normales :Los subgrupos normales 1 y Q8 son normales. Los subgrupos de orden 4 a,

b , ab son tambien normales por ser de ındice 2.a2 = {a2, 1} : 1a21−1 = a2; aa2a−1 = aa2a3 = a2; a2a2a2 = a2; a3a2(a3)−1 =

a3a2a = a2; ba2b−1 = a2;aba2(ab)−1 = a2; a2ba2(a2b)−1) = a2; a3ba2(a3b)−1 = a2; ⇒ a2 Q8.En Q8 todos sus subgrupos son normales.Imagenes homomorficas :Q8/1 ∼= Q8; Q8/ a ∼= Q8/ b ∼= Q8/ ab ∼= Z2; Q8/Q8

∼= Z 1; Q8/ a2 ∼= V ya que en Q8/ < a2 > no hay elementos de orden 4 :

|1| = 1, |a| = 2 : a 2 = a2 = 1.

a2 = 1, a3 = 2 : (a3) 2 = a6 = a2 = 1,b = 2 : b 2 = b2 = a2 = 1ab = 2 : ab 2 = (ab)2 = a2 = 1;

a2b = 2 : (a2b) 2 = (a2b)2 = 1;a3b

= 2 : (a3b) 2 = (a3b)2 = a2 = 1.

Matricialmente Q8 se puede interpretar comoQ8 = A, B,

A =

i 00 −i

, B =

0 11 0

,




i ∈ C, i2 = −1, A4 = E, B2 = A2,BAB−1 = A−1.

Notese que Q8 y D4 no son isomorfos, ya que en Q8 hay 6 elementos diferentesde orden 4 : a, a3, b , a2b, ab, a3b, en cambio en D4 solo hay 2 : f, f 3.Centro de Q8: a /∈ Z (Q8) ya que ab = ba, ⇒ a = Z (Q8); b /∈ Z (Q8) ⇒ Z (Q8) =

b ;ab /∈ Z (Q8) ya que (ab)a = a(ab) ⇒ Z (Q8) = ab. Segun lo anterior Z (Q8) =

Q8. Notese que, Z (Q8) = a2 ∼= Z2.

4.5. Ejercicios

1. Calcule las imagenes homomorficas del grupo GL2(, R).

2. ¿Cuantos homomorfismos no triviales hay de D4 en Z p?, donde p es primo.

3. ¿ Cuantos homomorfismos no triviales hay de Q8 en Z p?, donde p es primo.



Capıtulo 5

Automorfismos

Los homomorfismos biyectivos de un grupo G en si mismo se conocen como losautomorfismos de G. Estas funciones conforman un grupo que tiene informacionimportante relativa sobre grupo G.

5.1. Automorfismos interiores

Estudiamos en esta seccion la relacion entre los automorfismos de un grupo, susautomorfismos interiores y su centro. Recordemos que si G es un grupo, su centrosimbolizado por Z (G) y es un subgrupo normal de G el cual esta definido por

Z (G) = {x ∈ G | xa = ax para cada a ∈ G}

Notemos que G es abeliano si, y solo si,, G = Z (G).Antes de demostrar el primer resultado importante de esta leccion definamos los

automorfismos y en particular los automorfismos interiores de un grupo.

Definicion 5.1.1. Sea (G, . , 1) un grupo, un automorfismo de G es un homomorfismo biyectivo de G en si mismo. Sea x ∈ G; la funci´ on definida por

f x : G :→ G

a −→ x−1ax

es un automorfismo de G y se denomina automorfismo interior de G determinadopor x.

Teorema 5.1.2. Sea (G, . , 1) un grupo, Aut(G) su colecci´ on de automorfismos y sea Int (G) el conjunto de automorfismos interiores de G. Entonces,

(i) Aut(G) es un subgrupo del grupo S (G) de funciones biyectivas de G en G.

53



54 CAPITULO 5. AUTOMORFISMOS

(ii) Int (G) Aut (G).

Demostraci´ on. (i) La primera afirmacion es evidente.(ii)Int (G) ≤ Aut (G): Int (G) = φ ya que 1G = f 1 ∈ Int (G) . Sean x, y ∈ G.

Entonces f x ◦ f y = f yx, f −1x = f x−1.

Int (G) Aut (G): sea x ∈ G, h : G → G un automorfismo cualquiera de G.Entonces para cada a ∈ G,

h−1f xh(a) = h−1(f x(h(a))) = h−1(x−1h(a)x) = h−1(x−1)ah−1(x) =(h−1(x))−1ah−1(x) = f h−1(x)(a), es decir, h−1f xh = f h−1(x) ∈ Int (G).

Teorema 5.1.3. Sea G un grupo cualquiera. Entonces

G/Z (G) ∼= Int (G).

Demostraci´ on. Consideremos la funcion

ϕ : G → Int (G)x → f x−1

ϕ es un homomorfismo: ϕ(xy) = f (xy)−1 = f y−1x−1 = f x−1 ◦ f y−1 = ϕ(x) ◦ ϕ(y).ϕ es evidentemente sobre.N (ϕ) = Z (G) : sea x ∈ N (ϕ) ⇒ f x−1 = 1G ⇒ xax−1 = a para cada a ∈ G ⇒

x ∈ Z (G), y recıprocamente si x ∈ Z (G) entonces x ∈ N (ϕ).Por el Teorema fundamental de homomorfismo se tiene que G/Z (G) ∼= Int (G).

Corolario 5.1.4. G es abeliano ⇔ Int (G) = {1G}.

5.2. Teorema de Cayley

La importancia del teorema de Cayley radica en parte en la cota superiorn!

n

parael numero de grupos finitos no isomorfos de orden n.

Teorema 5.2.1. Sea G un grupo y sea S (G) el grupo de permutaciones del conjuntoG. Entonces G es isomorfo a un subgrupo de S (G).

Demostraci´ on. Considerese la funcion

Ψ : G → S (G)



5.3. EJEMPLOS 55

definida por Ψ(x) = x, x : G → G, x(a) = xa.

x ∈ S (G) para cada x ∈ G: x(a) = x(b) ⇒ xa = xb, es decir, x es 1 − 1; seay ∈ G entonces y = x(x−1y).

Ψ es un homomorfismo: Ψ(xy) = xy, xy(a) = xya = x(y(a)) ⇒ xy = x ·y =Ψ(x)Ψ(y).

Ψ es inyectiva : Ψ(x) = Ψ(y) ⇒ x1 = y1 ⇒ x = y.

Corolario 5.2.2. Sea n ≥ 1. Existen a lo sumo

n!n

grupos no isom´ orficos de orden

n.

Demostraci´ on. Sea G un grupo finito de orden n. Entonces G es isomorfo a unsubgrupo de S n. Pero S n tiene desde luego un numero finito de subgrupos de orden

n, este numero es menor quen!

n

. Notese que el problema de determinar todos losgrupos no isomorficos de orden n se reducirıa a determinar todos los subgrupos noisomorficos de S n con n elementos.

5.3. Ejemplos

Ejemplo 5.3.1. Automorfismos de grupos cıclicos: (i) Grupo cıclico infinito Z: seaf ∈ Aut(Z). Como f es un automorfismo la imagen de cada generador de Z esnuevamente un generador de Z, mas generalmente, si G es un grupo cıclico congenerador a y f ∈ Aut (G) entonces f (a) es un generador de G. En efecto, dado

x ∈ G existe y ∈ G tal que x = f (y), ⇒ x = f (at) = f (a)t.Puesto que Z tiene solo dos generadores entonces se presentan dos posibilidades

para f :

f (1) = 1 f (1) =-1Z f

−−−−−−→Z Z f

−−−−−−→Z

1 −−−−−→ 1 1 −−−−−→ -k

k −−−−−→ k 1 −−−−−→ -k

⇒ Aut(Z) ∼= Z2

(ii) Grupo finito de orden n, Zn: recordemos que el grupo Zn se obtuvo a partir deZ por medio de una relacion de equivalencia

a ≡ b ⇔ m|(a − b), a, b ∈ Z.

En otras palabras Zn es el grupo cociente Z/ n. En Zn se puede definir unproducto y convertirlo ası en un semigrupo multiplicativo:

r s = rs para 0 ≤ r,s < n.




Es sencillo verificar que el producto esta correctamente definido. Ademas este pro-

ducto es asociativo con elemento neutro 1 :

Zn, ., 1

. Asociado a todo semigrupomultiplicativo con elemento neutro se tiene su grupo de elementos invertibles Z∗n.

Notese que

Z∗n = {r| (r, n) = 1, 1 ≤ r < n}

En efecto,

r ∈ Z∗n ⇔ ∃s ∈ Zn tal que r s = 1 ⇔ rs = 1 ⇔ n| (rs − 1) ⇔ rs − 1 = nk con

k ∈ Z ⇔ (r, n) = 1.

Con la observacion anterior queremos probar que Aut(Zn) ∼= Z∗n.

Sea h : Zn → Zn un automorfismo de Zn. Como 1 genera a Zn entonces h(1)

es un generador de Zn. Ası pues tenemos tantos automorfismos como generadorestiene Zn. Pero notese que r genera Zn si, y solo si,, (r, n) = 1. Podemos entoncesdefinir

θ : Aut (Zn) → Z∗n

h −→ θ (h) = r

donde r = h

1

.θ es un homomorfismo: sean f y h automorfismos de Zn tales que f

1

= r,h

1

= s. Notese que θ (h ◦ f ) = (h ◦ f )

1

= h

f

1

= h (r) = h

r1

= rh

1

= rs = rs1 = rs = sr = sr = θ (h) ◦ θ (f ).

θ es inyectiva: sea h ∈ Aut (Zn) con θ (h) = 1. ⇒ h

1

= 1 ⇒ h (r) = r pra cada0 ≤ r < n ⇒ h = 1Zn

.θ es sobre: sea r ∈ Z∗

n y sea h definido por h (s) = sr. Notese que h

1

= r yademas h ∈ Aut (Zn), con lo cual θ (h) = r.

Ejemplo 5.3.2. El grupo de automorfismos de un grupo finito es finito:Sea G un grupo de orden n. Notese que Aut (G) ≤ S (G) ∼= S n ⇒ |Aut (G)|

| |S n| = n!. Pero mas exactamente, |Aut (G)| | (n − 1)! ya que para cada f ∈Aut (G) , f (1) = 1.

Ejemplo 5.3.3. El grupo de automorfismos de un grupo conmutativo puede ser noconmutativo: Consideremos el grupo de Klein: V = {1,a,b,ab} , a2 = 1, b2 = 1, ab =

ba.Segun el ejemplo anterior |Aut (V )| = 1, 2, 3, 6.Facilmente se comprueba que las funciones siguientes son automorfismos de V ;

y logicamente diferentes1G :

1 a b a b1 a b a b

, f =

1 a b a b1 b a b a

g :

1 a b a b1 a a b b

, f 2 =

1 a b a b1 a b a b

f g =

1 a b a b1 b a a b

, f 2g =

1 a b a b1 a b b a

.

Evidentemente entonces Aut (V ) ∼= S 3.



5.3. EJEMPLOS 57

Ejemplo 5.3.4. Dos grupos no isomorfos pueden tener grupos de automorfismos

isomorfos: Aut (Z3) ∼= Z2 ∼= Aut (Z).

Ejemplo 5.3.5. Aut (D4): en el Capıtulo 6 se estudian los automorfismos del grupodihedrico Dn. Segun se vera alla |D4| = 4ϕ (4) = 8; Int (D4) ∼= V y ademasAut (D4) ∼= D4.

Explıcitamente los automorfismos de D4 son:T 1,0 : D4 → D4

f αgβ → f α(f 0g)β = f αgβ

T 1,0 =1D4

T 1,1 : D4 → D4

f αgβ → f α(f g)β =

T 1,1 =

1 f f 2 f 3 g f g f 2g f 3g1 f f 2 f 3 f g f 2g f 3g g

T 1,2 : D4 → D4

f αgβ → f α(f 2g)β

T 1,2 =

1 f f 2 f 3 g f g f 2g f 3g1 f f 2 f 3 f 2g f 3g g f g

T 1,3 : D4 → D4

f αgβ → f α(f 3g)β

T 1,3 =

1 f f 2 f 3 g f g f 2g f 3g1 f f 2 f 3 f 3y g f g f 2g

T 3,0 : D4 → D4

f αgβ → (f 3)α

(f 0g)β

T 3,0 =1 f f 2 f 3 g f g f 2g f 3g

1 f 3 f 2 f g f 3g f 2g f g

T 3,1 : D4 → D4

f αgβ → (f 3)α

(f g)β

T 3,1 =

1 f f 2 f 3 g f g f 2g f 3g1 f 3 f 2 f f g g f 3g f 2g

T 3,2 : D4 → D4

f αgβ → (f 3)α

(f 2g)β

T 3,2 =

1 f f 2 f 3 g f g f 2g f 3g1 f 3 f 2 f f 2g f g g f 3g

T 3,3 : D4 → D4

f αgβ → (f 3)α

(f 3g)β

T 3,3 =1 f f 2 f 3 g f g f 2g f 3g

1 f 3 f 2 f f 3g f 2g f g g

Ejemplo 5.3.6. Aut (Q): sea f ∈ Aut (Q) y seapo

qo

= f (1) , ( po, qo) = 1. Entonces

f ( p/q) = pf (1/q) ⇒ qf ( p/q) = pf (1) ⇒ f ( p/q) =p

qf (1). Lo anterior permite

establecer la funcion

τ : Aut(Q) → Q∗

f → f (1).




f (1) = 0 ya que f es 1 − 1.

τ es un homomorfismo de grupos:τ (f ◦ g) = (f ◦ g) (1) = f [g(1)] = f

p1

q1

, donde g(1) =

p1

q1. Sea f (1) =

po

qo

,

entonces f

p1

q1

=

p1

q1f (1) ⇒ τ (f ◦ g) = τ (f )τ (g).

τ es 1 − 1: f (1) = g(1) ⇒ f ( p/q) =p

qf (1) =

p

qg(1) = g

p

q

⇒ f = g.

τ es sobre: seapo

qo

= 0 un racional. Definimos

f : Q → Q

pq

→ pq

po

qo

.

Notese que f (1) =po

qo

, es decir, τ (f ) =po

qo

. Veamos que f ∈ Aut(Q):

f

p

q+

r

s

= f

ps + qr

qs

=

ps + qr

qs

po

qo

=p

q

po

qo

+r

s

po

qo

= f

p

q

+ f r

s

;

si f

pq

= 0 entonces p

q po

qo

= 0 ⇒ p = 0 ⇒ pq

= 0.

Sear

s∈ Q; entonces f

r

s

qo

po

=

r

s, es decir, f es sobre ⇒ Aut (Q) ∼= Q∗.

5.4. Ejercicios

1. Calcule Aut (S 3).

2. Calcule Aut (Q8).

Solucion. Sea F : Q8 → Q8 un automorfismo de Q8. Puesto que en Q8 =<a, b | a4 = 1, b2 = a2, ba = a−1b > el unico elemento de orden 2 es a2 entoncesF (a2) = a2 , ademas, F (1) = 1, luego F realmente permuta los 6 elementosrestantes, a saber: a, a3,b,ab,a2b, a3b. Esto parece mostrar una relacion deAut(Q8) con el grupo de permutaciones S 4. En realidad se vera que Aut (Q8) ∼=S 4. Cada F viene determinado por su accion sobre los generadores a, b. Puestoque tanto a como b son de orden 4, entonces F (a) = a, a3,b,ab,a2b, a3b yF (b) = a, a3,b,ab,a2b, a3b. Esto genera 36 posibilidades, de las cuales solo 24corresponden a funciones biyectivas:



5.4. EJERCICIOS 59

F (a) = a F (b) = a Descartada ya que F debe ser biyectiva

F (a) = a F (b) = a3 Descartada ya que entonces F (a3) = a3

F 1(a) = a F 1(b) = b ⇒ F 1(a3) = a3, F 1(ab) = ab, F 1(a2b) = a2b, F 1(a3b) = a3b

F 2(a) = a F 2(b) = ab ⇒ F 2(a3

) = a3

, F 2(ab) = a2

b, F 2(a2

b) = a3

b, F 2(a3

b) = bF 3(a) = a F 3(b) = a2b ⇒ F 3(a3) = a3, F 3(ab) = a3b, F 3(a2b) = b, F 3(a3b) = ab

F 4(a) = a F 4(b) = a3b ⇒ F 4(a3) = a3, F 4(ab) = b, F 4(a2b) = ab, F 4(a3b) = a2b

F (a) = a3 F (b) = a Descartada ya que F (a3) = a

F (a) = a3 F (b) = a3 Descartada ya que F debe ser biyectivaF 5(a) = a3 F 5(b) = b ⇒ F (a3) = a, F 5(ab) = a3b, F 5(a2b) = a2b, F 5(a3b) = ab

F 6(a) = a3 F 6(b) = ab ⇒ F 6(a3) = a, F 6(ab) = b, F 6(a2b) = a3b, F 6(a3b) = a2b

F 7(a) = a3 F 7(b) = a2b ⇒ F 7(a3) = a, F 7(ab) = ab, F 7(a2b) = b, F 7(a3b) = a3b

F 8(a) = a3 F 8(b) = a3b ⇒ F 8(a3) = a, F 8(ab) = a2b, F 8(a2b) = ab, F 8(a3b) = b

F 9(a) = b F 9(b) = a ⇒ F 9(a3) = a2b, F 9(ab) = a3b, F 9(a2b) = a3, F 9(a3b) = ab

F 10(a) = b F 10(b) = a3 ⇒ F 10(a3) = a2b, F 10(ab) = ab, F 10(a2b) = a, F 10(a3b) = a3b

F (a) = b F (b) = b Descartada ya que F debe ser biyectiva

F 11(a) = b F 11(b) = ab ⇒ F 11(a3) = a2b, F 11(ab) = a, F 11(a2b) = a3b, F 11(a3b) = a3

F (a) = b F (b) = a2b Descartada ya que F (ba) = 1 = F (a3b) = F (1)

F 12(a) = b F 12(b) = a3b ⇒ F 12(a3) = a2b, F 12(ab) = a3, F 12(a2b) = ab, F 12(a3b) = a

F 13(a) = ab F 13(b) = a ⇒ F 13(a3) = a3b, F 13(ab) = b, F 13(a2b) = a3, F 13(a3b) = a2b

F 14(a) = ab F 14(b) = a3 ⇒ F 14(a3) = a3b, F 14(ab) = a2b, F 14(a2b) = a, F 14(a3b) = b

F 15(a) = ab F 15(b) = b⇒

F 15(a

3

) = a

3

b, F 15(ab) = a

3

, F 15(a

2

b) = a

2

b, F 15(a

3

b) = aF (a) = ab F (b) = ab Descartada ya que F es biyectivaF 16(a) = ab F 16(b) = a2b ⇒ F 16(a3) = a3b, F 16(ab) = a, F 16(a2b) = b, F 16(a3b) = a3

F (a) = ab F (b) = a3b Descartada ya que F (ba) = 1 = F (a3b) = F (1)

F 17(a) = a2b F 17(b) = a ⇒ F 17(a3) = b, F 17(ab) = ab, F 17(a2b) = a3, F 17(a3b) = a3b

F 18(a) = a2b F 18(b) = a3 ⇒ F 18(a3) = b, F 18(ab) = a3b, F 18(a2b) = a, F 18(a3b) = ab

F (a) = a2b F (b) = b Descartada ya que F (ab) = 1 = F (1)

F 19(a) = a2b F 19(b) = ab ⇒ F 19(a3) = b, F 19(ab) = a3, F 19(a2b) = a3b, F 19(a3b) = a

F (a) = a2b F (b) = a2b Descartada ya que F es biyectiva

F 20(a) = a2b F 20(b) = a3b ⇒ F 20(a3) = b, F 20(ab) = a, F 20(a2b) = ab, F 20(a3b) = a3

F 21(a) = a3b F 21(b) = a ⇒ F 21(a3) = ab, F 21(ab) = a2b, F 21(a2b) = a3, F 21(a3b) = b

F 22(a) = a3b F 22(b) = a3 ⇒ F 22(a3) = ab, F 22(ab) = b, F 22(a2b) = a, F 22(a3b) = a2b

F 23(a) = a3b F 23(b) = b ⇒ F 23(a3) = ab, F 23(ab) = a, F 23(a2b) = a2b, F 23(a3b) = a3

F (a) = a3b F (b) = ab Descartada ya que F (ba) = 1 = F (a3b) = F (1)F 24(a) = a3b F 24(b) = a2b ⇒ F 24(a3) = ab, F 24(ab) = a3, F 24(a2b) = b, F 24(a3b) = a

F (a) = a3b F (b) = a3b Descartada ya que F es biyectiva

Ahora solo falta demostrar que estas 24 funciones biyectivas son homomorfis-mos, es decir, son los unicos automorfismos en Aut(Q8). Tendrıamos pues quelas 24 permutaciones de los 6 elementos a, a3,b,ab,a2b, a3b corresponden a losautomorfismos de Q8, quedando probado de esta manera que Aut (Q8) ∼= S 4.

Solo revisamos la funcion F 24, las otras 22 se revisan de manera similar (noteseque la funcion F 1 corresponde a la identica). Cada elemento de Q8 es de laforma arbs donde 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ s ≤ 1. Se debe entonces demostrar queF 24(arbsa pbq) = F 24(arbs)F 24(a pbq). Consideremos dos casos:

i) s = 0. Entonces, F 24(arbsa pbq) = F 24(ara pbq) = F 24(ar+ pbq). Si q = 0,entonces F 24(arbsa pbq) = F 24(ar+ p). Debemos entonces considerar 16 posibili-

dades, pero en vista de la simetrıa de la situacion, basta tener en cuenta sololos siguientes 10 casos:

r = 0, p = 0 ⇒ F 24(arbsa pbq) = 1, F 24(arbs)F 24(a pbq) = 1

r = 0, p = 1 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a3b, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a3b

r = 0, p = 2 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a2, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a2

r = 0, p = 3 ⇒ F 24(arbsa pbq) = ab,F 24(arbs)F 24(a pbq) = ab

r = 1, p = 1 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a2, F 24(arbs)F 24(a pbq) = aa = a2




r = 1, p = 2 ⇒ F 24(arbsa pbq) = ab,F 24(arbs)F 24(a pbq) = a3ba2 = ab

r = 1, p = 3 ⇒ F 24(arbsa pbq) = 1, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a3bab = 1

r = 2, p = 2 ⇒ F 24(arbsa pbq) = 1, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a2a2 = 1

r = 2, p = 3 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a3b, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a2ab = a3b

r = 3, p = 3 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a2, F 24(arbs)F 24(a pbq) = abab = a2.

Para q = 1 entonces F 24(arbsa pbq) = F 24(ar+ pb), se presentan entonces 16posibilidades:


r = 0, p = 1 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a3, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a3

r = 0, p = 2 ⇒ F 24(arbsa pbq) = b, F 24(arbs)F 24(a pbq) = br = 0, p = 3 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a

r = 1, p = 0 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a3, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a3ba2b = a3

r = 1, p = 1 ⇒ F 24(arbsa pbq) = b, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a3ba3 = b

r = 1, p = 2 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a3bb = a

r = 1, p = 3 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a2b, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a3ba = a2b

r = 2, p = 0 ⇒ F 24(arbsa pbq) = b, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a2a2b = b

r = 2, p = 1 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a2a3 = a


r = 2, p = 3 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a3, F 24(arbs)F 24(a pbq) = a2a = a3

r = 3, p = 0 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a, F 24(arbs)F 24(a pbq) = aba2b = a

r = 3, p = 1 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a2b, F 24(arbs)F 24(a pbq) = aba3 = a2b

r = 3, p = 2 ⇒ F 24(arbsa pbq) = a3, F 24(arbs)F 24(a pbq) = abb = a3

r = 3, p = 3 ⇒ F 24(arbsa pbq) = b, F 24(arbs)F 24(a pbq) = aba = b.

ii) s = 1. Entonces, F 24(arbsa pbq) = F 24(ar+3 pbq+1). Al igual que en el caso i)se debe considerar por separado cuando q = 0 y cuando q = 1. Revisemos en

calidad de ilustracion el caso r = 3, p = 3, q = 1: F 24(ar

bs

a p

bq

) = F 24(a12

b2

) =F 24(a2) = a2, F 24(arbs)F 24(a pbq) = aa = a2.



Capıtulo 6

Grupos de permutaciones

En el capıtulo anterior se probo que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo delgrupo de permutaciones S (G). Cuando G = {x1, . . . , xn} esfinito, el grupo de per-mutaciones se acostumbra a denotar S n. En este caso los elementos x1, . . . , xn puedenser reemplazados por los naturales 1, . . . , n. Ası pues, S n es el grupo de todas lasfunciones biyectivas del conjunto I n := {1, 2, . . . , n}.

En este capıtulo estudiaremos con algun detalle al grupo S n, denominado grupo

simetrico de grado n. Destacamos en S n algunos subgrupos importantes: el grupoalternante An y el grupo dihedrico de grado n, Dn.

6.1. CiclosDefinicion 6.1.1. Sea f un elemento de S n. Se dice que f es un ciclo de longitud

m, (1 ≤ m ≤ n), si existen a1, a2, . . . , am elementos diferentes de I n tales que

1. f (a1) = a2, f (a2) = a3, . . . , f (am−1) = am, f (am) = a1,

2. f (x) = x para x /∈ {a1, . . . , am}.

Se denota a f por

f = (a1a2 · · · am) = (a2a3 · · · ama1) = (a3a4 · · · ama1a2) = · · · = (ama1a2 · · · am−1)

Notese que un ciclo de longitud 1 es la identica en I n.Sean f = (a1 . . . am) y g = (b1 . . . br) dos ciclos de S n. Se dice que f y g son dos

ciclos disyuntos si {a1, a2, . . . , am}∩{b1, b2, . . . , b r} = ∅. Notese que las siguientespermutaciones f y g de S 7 son ciclos disyuntos:

f =

1 2 3 4 5 6 72 3 1 4 5 6 7

= (123)

g =

1 2 3 4 5 6 71 2 3 5 7 4 6

= (4576)

61



62 CAPITULO 6. GRUPOS DE PERMUTACIONES

Proposicion 6.1.2. En S n el producto de ciclos disjuntos conmuta.

Demostraci´ on. Sean f = (a1 · · · am) y g = (b1 · · · br) dos ciclos disyuntos de S n. SeanA := {a1, . . . , am} y B = {b1, . . . , br}. Sean A1 := I n − A y B1 := I n − B. Dadox ∈ I n existen tres posibilidades

1. x ∈ A :⇒ f (x) ∈ A, f (x) /∈ B, ⇒ g(f (x)) = f (x) ; g(x) = x ⇒ f (g(x)) = f (x)⇒ fg(x) = gf (x).

2. x ∈ B : es analogo al anterior.

3. x /∈ A y x /∈ B ⇒ f (x) = x, g(x) = x ⇒ fg(x) = x = gf (x).

De 1), 2) y 3) se desprende que fg = gf.La importancia de la anterior proposicion se pone de manifiesto en el siguiente

teorema.

Teorema 6.1.3. (i) Sea f = (a1 · · · am) un ciclo de longitud m de S n. Entonces

|f | = m.

(ii) Sea f = f 1 · · · f t una permutaci´ on de S n, donde f 1, . . . , f t son ciclos disyuntosde longitudes m1, . . . , mt, respectivamente. Entonces

|f | = m.c.m.(m1, . . . , mt)

Demostraci´ on. (i) Probemos en primer lugar que f m = 1: si x /∈ {a1, . . . , am} ⇒f (x) = x ⇒ f m(x) = x. Sea a j ∈ {a1, . . . , am}, 1 ≤ j ≤ m, f se puede expresartambien como f = (a j a j+1 · · · ama1a2 · · · a j−1) ⇒ f (a j) = a j+1 ⇒ f 2(a j) = a j+2 ⇒· · · ⇒ f m−1(a j) = a j−1 ⇒ f m(a j) = a j; es decir, f m actua tambien como 1 sobrelos elementos de {a1, . . . , am}.

El orden de f es el menor entero positivo k tal que f k = 1. Supongase que existe1 ≤ k < m tal que f k = 1. Por lo tanto, f (a1) = a2, f 2(a1) = a3, . . . , f k−1(a1) =ak, f k(a1) = a1 = f (ak) = ak+1, pero esto es una contradiccion ya que los elementosdel ciclo f son diferentes. Lo anterior prueba que |f | = m.

(ii) La demostracion se efectua por induccion sobre t.t = 1: la afirmacion es consecuencia de (i).t = 2: f = f 1f 2, donde f 1 y f 2 son ciclos disyuntos de longitudes m1 y m2

respectivamente. Segun la proposicion 6.1.2, f 1f 2 = f 2f 1. Ademas, f 1 ∩ f 2 = 1.En efecto, sea g = 1 tal que g = f s1 = f r2 con 1≤ s < m1y 1≤ r < m2. Seaf 1 = (a1 · · · am). Puesto que g = 1 existe x ∈ I n tal que g(x) = x. Necesariamentex ∈ {a1, . . . , am}. Sea pues x = a j ⇒ f s1 (a j ) = a j pero f r2 (a j) = a j , contradiccion.

Ası pues, f 1 ∩ f 2 = 1, f 1f 2 = f 2f 1 ⇒ |f 1f 2| = m.c.m.(m1, m2).



6.1. CICLOS 63

Supongamos que la afirmacion es cierta para t: sea f = f 1f 2 · · · f tf t+1, donde

f 1, f 2, . . . , f t, f t+1 son ciclos disyuntos dos a dos y de longitudes m1, m2, . . . , mt+1respectivamente. Sea f = f 1f 2 · · · f t. Entonces f = f f t+1. Notese que f ∩f t+1 =1. Ademas f f t+1 = f t+1f ; entonces

|f | = m.c.m.(|f |, mt+1) = m.c.m.(m.c.m.(m1, . . . , mt), mt+1)= m.c.m.(m1, . . . , mt+1).

Teorema 6.1.4. Cada permutaci´ on f de S n es representable como producto deciclos disyuntos dos a dos. Tal representaci´ on es ´ unica salvo el orden y la inclusi´ on de ciclos de longitud 1.

Demostraci´ on. La existencia se realiza por induccion sobre n.n = 1: S 1 solo posee un elemento, el cual es un ciclo de longitud 1.Supongase que la afirmacion es valida para toda permutacion de un conjunto

de m elementos con m < n. Sea f ∈ S n. Si f es un ciclo entonces no hay nadaque probar. Sea f una permutacion que no es un ciclo. Esto en particular implicaque f = 1. Existe entonces a1 ∈ I n tal que f (a1) = a1. Cosideramos la sucesionf (a1), f 2(a1), f 3(a1), · · · . En esta sucesion se tiene un numero finito de elementosdiferentes de I n debido a que para cada k ≥ 1 f k(a1) ∈ I n y I n es finito. Por lo tantoexisten r y p enteros positivos diferentes (por ejemplo r > p) tales que

f p(a1) = f r(a1); ⇒ f r− p(a1) = a1.

Sea A = {r ∈ N | a1f r = a1}. Segun lo dicho anteriormente, A = ∅. Como A ⊂ N yN es bien ordenado A posee entonces primer elemento k, es decir, k es el menor enteropositivo tal que f k(a1) = a1. Los elementos f (a1), f 2(a1), . . . , f k−1(a1), f k(a1) = a1

son diferentes, ya que en caso contrario exixtirıa un s < k talque f s(a1) = a1. Lapermutacion f determina ası el k-ciclo g = (a1a2 · · · ak), donde

a2 = f (a1), a3 = f (a2) = f 2(a1), . . . , ak = f (ak−1) = f k−1(a1), a1 = f (ak) = f k(a1).

Consideremos la permutacion f 1 ∈ S n definida por f 1(ai) = ai, 1 ≤ i ≤ k , f 1(x) =f (x), x ∈ I n − {a1, . . . , ak}. Notese que f = f 1g. En efecto, si x ∈ {a1, . . . , ak}entonces sea x = a j para algun 1 ≤ j ≤ k. Si j < k entonces

g(x) = g(a j) = a j+1 ⇒ f 1g(x) = f 1(a j+1) = a j+1 = f (a j) = f (x). Si j = k entoncesg(x) = g(ak) = a1 ⇒ f 1g(x) = f 1(a1) = a1 = f (ak) = f (x).

Ahora si x /∈ {a1, . . . , ak} entonces g(x) = x ⇒ f 1g(x) = f 1(x) = f (x).Puesto que f 1 fija los elementos a1, . . . , ak entonces f 1 puede considerarse como

una permutacion del conjunto I n − {a1, . . . , ak}. Por la hipotesis de induccion f 1 esproducto de ciclos disyuntos conformados por los elementos de I n − {a1, . . . , ak}. En




total f es producto de ciclos disyuntos conformados por los elementos de I n. Esto

completa la prueba de la primera afirmacion del teorema.Probemos ahora la unicidad de la desconposicion: sean

f = (a11a12 · · · a1k1)(a21a22 · · · a2k2) · · · (ar1ar2 · · · arkr ) =(b11b12 · · · b1m1)(b21b22 · · · b2m2 ) · · · (bs1bs2 · · · bsms

)

dos descomposiciones de f en producto de ciclos disyuntos. Notese que 1 ≤ r ≤n, 1 ≤ s ≤ n. Estamos considerando que los elementos de I n que permanezcan fijosbajo f conforman ciclos de longitud 1, es decir,

1 ≤ ki ≤ n, 1 ≤ i ≤ r; 1 ≤ m j ≤ n, 1 ≤ i ≤ s.

En otras palabras estamos considerando que

{a11, a12, . . . , a1k1 ; . . . ; ar1, ar2, . . . , arkr} = I n =

{b11, b12, . . . , b1m1 ; . . . ; bs1, bs2, . . . , bsms}.

El elemento a11 debe aparecer en alguno de los ciclos de la segunda descomposici on.Por la conmutatividad de los factores podemos asumir que a11 ∈ {b11, b12, . . . , b1m1 }.Reordenando el ciclo (b11b12 · · · b1m1) podemos considerar sin perdida de generalidadque a11 = b11. Segun el teorema 6.1.3, k1 es el menor entero positivo talque f k1 (a11) =a11. Se obtiene pues que k1 = m1 y ademas

f (b11) = b12 = f (a11) = a12; f (b12) = b13 = f (a12) = a13;. . . ;f (b1m1−1) = b1m1 = f (a1k1−1) = a1k1; f (b1m1 ) = b11 = f (a1k1) = a11, es decir,

(a11a12 · · · a1k1) = (b11b12 · · · b1m1).

El mismo analisis podemos aplicar a a21, a31 . . . , ar1 demostrando que r ≤ s y laigualdad de ciclos. En forma similar s ≤ r, lo cual concluye la prueba del teorema.

Ejemplo 6.1.5.

f = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

2 5 3 1 7 6 9 8 4 ⇒

f = (125794)(3)(6) = (125794)

g =

1 2 3 4 5 6 7 8 93 6 4 1 2 5 8 7 9

⇒

g = (134)(265)(78)(9) = (265)(134)(78) = (78)(134)(265) = (134)(78)(265) =(78)(265)(134) = (265)(78)(134).



6.2. EL GRUPO ALTERNANTE AN 65

6.2. El grupo alternante An

Definicion 6.2.1. Para n ≥ 2, los ciclos de longitud 2 de S n se conocen comotransposiciones.

Teorema 6.2.2. Cada permutaci´ on de S n es representable como un producto finitode transposiciones.

Demostraci´ on. Puesto que cada permutacion es representable como un producto deciclos disyuntos entonces es suficiente demostrar el teorema para cada ciclo. Seaf = (a1a2 · · · am) un m-ciclo. Si m = 1 entonces f = 1 y f = (a1a2)(a1a2). Sea puesm = 1. Notese que (a1a2 · · · am) = (ama1)(am−1a1) · · · (a2a1).

Observacion 6.2.3. (i) A diferencia del teorema 6.1.4, la representacion de unapermutacion en producto de transposiciones no es unica:

1 2 3 4 52 4 5 3 1

= (12435) = (51)(31)(41)(21) = (12)(52)(32)(42).

(ii) Segun el teorema anterior, cada permutacion f de S n es representable comoun numero finito r de transposiciones; ademas se vio que dicha representacion noes unica. De tal manera que padrıa presentarse la posibilidad de que en una des-composicion r sea par y en otra r sea impar. Sin embargo, la siguiente proposicionmuestra que tal situacion es imposible.

Proposicion 6.2.4. Sea f una permutaci´ on de S n la cual tiene dos descomposi-ciones en producto de r y s transposiciones. Entonces, r es par si, y s´ olo si,, s espar.

Demostraci´ on. Sea f una permutacion de S n para la cual tiene dos descomposicionesen producto de transposiciones f = f 1 · · · f r = f 1 · · · f s r ≥ 1, s ≥ 1. Consideremosel natural p = Π j>i( j − i), i ,j ∈ I n. (Por ejemplo para n=4 se tiene que p =(4 − 3)(4 − 2)(4 − 1)(3 − 2)(3 − 1)(2 − 1) = 12). Sea f una permutacion cualquierade S n. Definamos la accion de f sobre p como pf = Π j>i(f ( j) − f (i)).

Notese que pf es un entero (no necesariamente positivo como p); los factores

(f ( j)−f (i)) que conforman pf son diferencias de elementos de I n y ademas | pf | = p.En efecto, demostraremos que siendo f = f 1 · · · f r, donde cada f i, 1 ≤ i ≤ r, es unatransposicion, entonces

pf = (−1)r p.

(a) Sea f = (ab) una transposicion con a > b. Los factores ( j − i) de p en los cualesno intervienen ni a ni b no cambian al aplicar f . Consideremos pues aquellos factoresdonde aparescacan a o b o ambos. Se presentan entonces las siguientes posibilidades.

(i) Factores donde aparece a pero no b:




(n − a), ((n − 1) − a), ((n − 2) − a) · · · ((a + 1) − a),

(a − (a − 1)), (a − (a − 2)) · · · (a − (b + 1)), (a − (b − 1)) · · · (a − 1).Al aplicar f a los factores de la primera fila obtenemos

(n − b), ((n − 1) − b) · · · ((a + 1) − b)

y no hay cambios de signo. Al aplicar f a los factores de la seguda fila obtenemos

(b − (a − 1)), (b − (a − 2)) · · · (b − (b + 1))(b − (b − 1)) · · · (b − 1)

y hay a − b − 1 cambios de signo.(ii) Los factores donde aparece b pero no a :

(n − b), ((n − 1) − b) · · · ((a + 1) − b)

((a − 1) − b), ((a − 2) − b) · · · ((b + 1) − b)

(b − (b − 1)) · · · (b − 1).

Aplicando f a los factores anteriores obtenemos

(n − a), ((n − 1) − a) · · · ((a + 1) − a)

((a − 1) − a), ((a − 2) − a) · · · ((b + 1) − a)

(a − (b − 1)) · · · (a − 1).

se presenta en este caso a − b − 1 cambios de signo.(iii) Factor donde aparece a y b: (a − b)Al aplicar f obtenemos (b − a) y hay un cambio de signo.En total al aplicar f a p se efectuan 2(a − b − 1) + 1 cambios de signos y ası pf

tiene signo menos.Notese que los factores de (i) mediante f se convierten en los factores de (ii)

con algunos signos cambiados, y a su vez los de (ii) en los de (i) con algunos signoscambiados. De lo anterior se desprende que

pf = − p, f = (ab), a > b

(b) Siendo f = f 1 · · · f r un producto de r transposiciones, entonces

pf = ( pf 1)f 2 · · · f r = (−1)r p.

(c)

pf = (−1)r p = (−1)s p ⇒ (−1)r = (−1)s ⇔ r y s son pares o r y s son impares.



6.2. EL GRUPO ALTERNANTE AN 67

Segun la proposicion anterior se pueden distingir aquellas permutaciones que son

producto de un numero par de transposiciones.

Teorema 6.2.5. Sea n ≥ 2 y An := {f ∈ S n | f es producto de un n´ umero par detransposiciones}. Entonces, An S n y se denomina el grupo alternante o grupode permutaciones pares. Adem´ as, |An| = n!

2 .

Demostraci´ on. Claramente An = ∅. Ademas, segun la proposicion anterior el pro-ducto de dos permutaciones pares es par y la inversa de una permutacion para estambien par, con lo cual An ≤ S n.

Probemos ahora que An es normal en S n. Consideremos la funcion signo

sgn : S n → Z∗

sgn(f ) :=

1, si f es par

−1, si f es impar

sgn es un homomorfismo: sean f, g ∈ S n. Entonces se presentan las siguientes posi-bilidades:

f y g pares: entonces f g es par y ası

sgn(f g) = 1 = sgn(f )sgn(g) = (1)(1)

f es par y g es impar: entonces f g es impar y ası

sgn(f g) = −1 = sgn(f )sgn(g) = 1(−1).

f es impar y g es par: analogo al anterior.f y g impares: entonces fg es par y ası

sgn(f g) = 1 = sgn(f )sgn(g) = (−1)(−1).

sgn es una funcion sobre:

sgn(1) = 1, sgn(ab) = −1; a, b ∈ I n, a = b.

Segun el teorema fundamental de homomorfismo

Z∗ S n/ ker(sgn),

pero ker(sgn) = An, ası pues, Z∗ S n/An; ⇒ |S n : An| = 2 ⇒ An S n. Noteseademas que |An| = n!

2 .




6.3. Sistemas de generadores

Ya hemos visto que el subconjunto de todos los ciclos como tambien el conjunto detodas las transposiciones constituyen sistemas de generadores para S n.

Queremos ahora mostrar otros sistemas mas reducidos de generadores.

Proposicion 6.3.1. (i) S n = (12), (123 · · · n)

(ii) S n = (12), (13), . . . , (1n).

Demostraci´ on. Es suficiente demostrar la primera afirmacion, ya que

(123 · · · n) = (1n) · · · (13)(12).

Sea f una permutacion de S n. Entonces f es producto de ciclos disyuntos; basta puesprobar que cada ciclo esta en el generado por (12) y (123 · · · n). Sea (a1a2 · · · am)un m-ciclo de S n. Entonces (a1a2 · · · am) = (a1am) · · · (a1a2). Notese que cada trans-posicion (ab) se puede escribir como

(ab) = (1a)(1b)(1a).

Probemos entonces que cada transposicion de la forma (1a) ∈ (12), (123 · · · n)

a = 1 : (1a) = 1 = (12)(12)

a = 2 : (1a) = (12)a = 3 : (13) = (21345 · · · n)(12)(21345 · · · n)−1.

Pero notese que(21345 · · · n) = (12)(123 · · · n)(12);

por tanto

(13) = (21345 · · · n)(12)(12)(123 · · · n)−1(12)

(13) = (12)(123 · · · n)(12)(123 · · · n)−1(12).

En general (1a), con a ≥ 3, se puede expresar como

(1a) = (2, 3, . . . , a − 2, a − 1, 1, a , a + 1, a + 2 . . . n)(1, a − 1)(2, 3, . . . , a − 2, a −1, 1,a ,a + 1, a + 2 . . . n)−1.

Por induccion suponemos que (1b) ∈ (12), (123 · · · n), con b < a; entonces restaprobar que (2, 3 . . . , a−2, a−1, 1,a ,a+1, a+2 . . . n) esta en el mencionado subgrupo.

(2, 3, . . . , a − 2, a − 1, 1, a , a + 1, a + 2, . . . , n) =(1, a − 1)(1, a − 2) · · · (13)(12)(123 · · · n)(12)(13) · · · (1, a − 2)(1, a − 1).



6.3. SISTEMAS DE GENERADORES 69

Segun la hipotesis inductiva (1, a − 1), (1, a − 2), . . . , (13), (12) ∈ (12), (123 · · · n).

Esto completa la demostracion de la proposicion.

Proposicion 6.3.2. Para n ≥ 3, An coincide con con el subgrupo generado por los3-ciclos.

Demostraci´ on. Sea f una permutacion par. Podemos agrupar las transposiciones def de dos en dos y probar que cada pareja ası constituida es producto de 3-ciclos.

Sean pues (a1a2) y (b1b2) dos transposiciones cualesquiera. Consideremos doscasos posibles:

(i) {a1, a2} ∩ {b1, b2} = ∅ :

(a1a2)(b1b2) = (b1b2)(a1b1)(a1b1)(a1a2)= (b1b2)(b1a1)(a1a2b1)

= (b1a1b2)(a1a2b1)

ya que (a1b1) = (b1a1).

(ii) {a1, a2} ∩ {b1, b2} = ∅: si {a1, a2} = {b1, b2}, entonces (a1a2) = (b1b2) ⇒(a1a2)(b1b2) = 1 = (abc)(abc)(abc); hemos utilizado el hecho de que n ≥ 3.

(iii) Si a1 = b1 pero a2 = b2 entonces

(a1a2)(b1b2) = (a1a2)(a1b2) = (a1b2a2).

Si a1 = b2 pero a2 = b1 entonces se obtiene un 3-ciclo como en el caso anterior.

Proposicion 6.3.3 (Teorema de Jordan). Sea f una permutaci´ on cuaquiera deS n. Entonces para cada ciclo (a1a2 · · · am) se tiene que

f −1(a1a2 · · · am)f = (f (a1)f (a2) · · · f (am)).

Demostraci´ on. Puesto que cada permutacion es producto de transposiciones es en-

tonces suficiente suponer que f es una pernutacion (αβ ). Consideremos dos casosposibles:

(i) {αβ } ∩ {a1, a2 . . . am} = ∅ :

(αβ )(a1a2 · · · am)(αβ ) = (a1a2 · · · am)(αβ )(αβ ) = (a1a2 · · · am)

= (f (a1)f (a2) · · · f (am))

ya que f (ai) = ai para 1 ≤ i ≤ m.




(ii) {α, β } ∩ {a1, a2, . . . , am} = ∅ : se presentan entonces dos situaciones:

(a) α ∈ {a1, a2, . . . , am}, β /∈ {a1, a2, . . . , am} : sea α = a j, 1 ≤ j ≤ m. En-tonces

(αβ )(a1 · · · a j−1a ja j+1 · · · am)(αβ ) = (a1 · · · a j−1βa j+1 · · · am)

= (f (a1) · · · f (a j−1)f (a j )f (a j+1) · · · f (am))

(b) α, β ∈ {a1, a2, . . . , am} : sea α = a j , β = as, s = j, s < m, j < m. Entonces

(αβ )(a1 · · · a j · · · as · · · am)(αβ ) = (a1 · · · a j−1as · · · as−1a j · · · am) =(f (a1) · · · f (a j−1)f (a j) · · · f (as−1)f (as) · · · f (am)).

Por ultimo, si por ejemplo j = m ⇒ α = am y entonces

(αβ )(a1 · · · as−1as · · · am)(αβ ) = (a1 · · · as−1amas+1 · · · as)

= (f (a1)f (a2) · · · f (as) · · · f (am)).

6.4. El grupo dihedrico Dn, n ≥ 3

Consideremos un polıgono regular de n ≥ 3 lados. Como ilustracion consideremos

un pentagono y un hexagono: por simetrıas de un polıgono regular de n lados seentienden el siguiente conjunto de movimientos de dicho polıgono.

(i) n rotaciones en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj atraves de los angulos 2πk

n, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

(ii) n reflexiones correspondientes a los n ejes de simetrıa.

Para el caso en que n sea par los ejes de simetrıa son: (a) n2

lıneas obtenidas uniendo elcentro O del polıgono con cada uno de sus vertices 1, 2, . . . , n. (b) n

2 lıneas obtenidasuniendo el centro O con los puntos medios de los n lados del polıgono. Para el casoen que n es impar las n reflexiones corresponden a los n ejes de simetrıa obtenidos

uniendo el centro O del polıgono con sus vertices.Este conjunto de 2n movimientos constituye un grupo bajo la operacion de com-

posicion de movimientos, y se denomina el grupo dihedrico de grado n el cualse denota por Dn.

El grupo dihedrico Dn como subgrupo de S n: sea R1 la rotacion a traves delangulo θ := 2π

n. Esta rotacion corresponde a la permutacion de los vertices dada por

f =

1 2 3 · · · n2 3 4 · · · 1

= (123 · · · n)



6.4. EL GRUPO DIHEDRICO DN , N ≥ 3 71

Si denotamos la rotacion a traves del angulo 2πkn

por Rk, k = 0, 1, 2, . . . , n , entonces

a Rk corresponde f k

. Notese que R1 es un elemento de Dn de orden n: Rn

1 = R0,f n = 1.Sea R

1 es la reflexion a traves del eje de simetrıa que pasa por el vertice 1. Estareflexion corresponde a la permutacion de los vertices dada por

g =

1 2 3 · · · k · · · n − 1 n1 n n − 1 · · · n − k + 2 · · · 3 2

Notese que R1 tiene orden 2: (R

1)2 = R0, g2 = 1. Por ultimo, notese que f g es deorden 2, de donde (f g)2 = 1, luego

gf g = f −1.

Generadores y relaciones del grupo dihedrico: consideremos la rotacion y reflexionanteriores las cuales podemos identificar con las permutaciones f y g , respecti-vamente. Desde luego que g, f ≤ Dn. Si probamos que |g, f | = 2n entoncestendrıamos que

Dn = f, g, con f n = 1, g2 = 1,g f g = f −1. (6.4.1)

Sea x ∈ f, g, entonces x tiene la forma

x = f k1 gl1f k2 gl2 · · · f km glm , ki, li ∈ Z, 1 ≤ i ≤ m.

Puesto que f es un elemento de orden n y g un elemento de orden 2 podemosconsiderar que

x = f k1gl1f k2gl2 · · · f km glm , con 0 ≤ ki ≤ n − 1, 0 ≤ li ≤ 1, 1 ≤ i ≤ m.

Como gf = f −1g, entonces cada elemento x ∈ f, g tiene la forma x = f kgl,con 0 ≤ k ≤ n − 1, 0 ≤ l ≤ 1. Resultan 2n elementos. Comprobemos que ellosson diferentes. Sean 0 ≤ k, r ≤ n − 1 y 0 ≤ l, s ≤ 1 tales que f kgl = f rgs ⇒f r−k = gs−l ∈ f ∩ g = 1 (de lo contrario g = f k, con 1 ≤ k ≤ n − 1, luegogf = f k+1 = f −1g, y de esta forma f k+2 = g = f k, es decir, f 2 = 1, lo cual esfalso). En consecuencia, n|(r − k). Siendo r y k con las condiciones dadas solo puedetenerse que r = k, y de esto resulta tambien que l = s.

De lo anterior obtenemos que

Dn = {1, f , f 2, . . . , f n−1, g , f g , . . . , f n−1g}. (6.4.2)

De otra parte, sea G un grupo generado por los elementos a y b tales que

an = 1 es decir, a es de orden n,

b2 = 1 es decir, b es de orden 2,

bab = a−1.




Entonces es posible repetir la prueba realizada anteriormente para comprobar que

G tiene 2n elementos diferentes a saber

G = {1, a , a2, . . . , an−1, b , a b , . . . , an−1b}.

La funcion ϕ : G → Dn, definida por ϕ(akbl) = f kgl, 0 ≤ k ≤ n − 1, 0 ≤ l ≤ 1 es unisomorfismo de grupos.

Representaci´ on matricial del grupo dihedrico: consideremos en GL2(R) las ma-trices

A :=

cos θ − sin θsin θ cos θ

B := 1 0

0 −1

.

con θ := 2πn

. Notese que A es de orden n y B es de orden 2. Ademas,1 00 −1

cos θ − sin θsin θ cos θ

1 00 −1

=

cos θ sin θ

− sin θ cos θ

,

es decir BAB = A−1. Esto indica que A, B es isomorfo al grupo dihedrico. Lamatriz A representa la rotacion del sistema de coordenadas xy a traves de de unangulo θ = 2π

n; la matriz B representa una reflexion de dicho sistema .

Regla de multiplicaci´ on en el grupo dihedrico: notese que en Dn se tiene la sigu-

iente regla de multiplicacion

(f kgm)(f k

gm

) =

f k+kgm+m

, si m = 0f k−kgm+m

, si m = 1.

Ejemplo 6.4.1. Algunos subgrupos de Dn. A partir de los generadores y las rela-ciones que definen Dn podemos presentar inmediatamente los siguientes subgrupos:de orden 1 el trivial 1 := {1}; de orde 2n el trivial Dn; de orden n tenemos al menosa f (como se observo, en D4, este no es el unico subgrupo de orden 4). Puesto quef es cıclico entonces por cada divisor de n tendremos al menos un subgrupo deorden k.

Los subgrupos de orden 2 son:

f n2 si n es par; g, f g, f 2g, . . . , f n−1g.

Ejemplo 6.4.2. Centro de Dn. Para todo 0 ≤ k ≤ n − 1, f kg /∈ Z (Dn) : e nefecto, ( f kg)f = f k−1g, f ( f kg) = f k+1g. Si fuese f k−1g = f k+1g entonces f 2 = 1;pero n ≥ 3 y f n = 1. De lo anterior obtenemos que Z (Dn) contiene solamenterotaciones: Sea f k ∈ Z (Dn) con 0 ≤ k ≤ n − 1. Entonces f kg = gf k ⇒ f kg =f −kg ⇒ f 2k = 1 ⇒ n|2k. Cuando n es impar ⇒ k = 0 ⇒ Z (Dn) = 1. Sea n = 2m



6.5. SUBGRUPOS NORMALES DEL GRUPO DN , N ≥ 3 73

par. Como 2m|2k entonces existe λ ≥ 1 tal que 2k = 2mλ ⇒ k = mλ. Si fuese

λ ≥ 2 ⇒ mλ ≥ 2m = n ⇒ k ≥ n contradiccion; por lo tanto λ = 1 ⇒ k = n/2. Delo anterior obtenemos que si x ∈ Z (Dn) entonces x es de la forma x = f n2 . Veamos

que realmente en este caso par f n2 ∈ Z (Dn):

ff n2 = f

n2 f, gf

n2 = f −

n2 g = f

n2 g.

Obtenemos que f n2 conmuta con cada elemento de f, g = Dn, es decir, f

n2 ∈ Z (Dn).

De lo dicho obtenemos que

Z (Dn) =

1, si n es impar

{1, f n2 } =< f

n2 >, si n es par.

6.5. Subgrupos normales del grupo Dn, n ≥ 3

Sea N Dn. Consideremos los siguientes casos posibles:

(i) n es impar y N no contiene reflexiones: en este caso N ≤ f y existe entoncesun divisor positivo k de n tal que N = f k. Veamos que cada subgrupo deeste tipo es efectivamente normal en Dn:

(f αgβ )−1(f k) j(f αgβ ) = f −kj si β = 1f kj si β = 0

(ii) n es impar y en N hay al menos una reflexion: sea f kg en N , donde k es fijo ycumple 0 ≤ k ≤ n − 1. Sea 0 ≤ r ≤ n − 1, entonces (f r)−1(f kg)(f r) ∈ N , luegof k−2rg ∈ N . Tomando r = k se tiene que f −kg ∈ N y entonces f −2k ∈ N .Tomemos ahora r = k + 1, entonces f k−2(k+1)g = f −k−2g ∈ N y entoncesf kgf −k−2g = f 2k+2 ∈ N . De aquı resulta entonces que f 2 ∈ N . Como n esimpar, f = f 2 ⊆ N , es decir, f ∈ N . Finalmente, f −k ∈ N y entoncesg ∈ N . Esto garantiza que N = Dn.

(iii) n es par y N no contiene reflexiones: razonando como en el caso impar se

obtiene que existe entonces un divisor positivo k de n tal que N = f k

.

(iv) n es par y en N hay al menos una reflexion: sea n = 2t y sea f kg en N ,donde k es fijo y cumple 0 ≤ k ≤ n − 1. Al igual que en el caso imparpodemos concluir que f 2 ∈ N . Consideremos dos casos posibles: (a) g ∈ N :entonces el siguiente conjunto de n elementos distintos esta incluido en N :{f 2rgl | 0 ≤ r ≤ n

2− 1, 0 ≤ l ≤ 1}. Si N posee al menos un elemento adicional,

entonces |N | ≥ n + 1 y esto implica que |N | = 2n. En efecto, |N | divide a 2ny entonces 2n = |N |a; si a ≥ 2 entonces |N |a ≥ 2|N |, luego 2n ≥ 2n + 2 , lo




cual es falso. Ası pues, si N no posee al menos un elemento adicional, entonces

N es exactamente el subgrupo

N = {f 2rgl | 0 ≤ r ≤n

2− 1, 0 ≤ l ≤ 1} =< f 2, g >∼= D n

2

En caso contrario, N coincide con Dn.

(b) g /∈ N : veamos que entonces necesariamente f g ∈ N . En efecto, k debeser impar, ya que de lo contrario k = 2u y entonces (f 2)−u = f −k ∈ N ,con lo cual f −kf kg = g ∈ N , lo cual es falso. Ası pues, k = 2w + 1 y estoimplica que f −2wf kg = f g ∈ N . Notese que entonces N contiene al conjunto{f 2k | 0 ≤ k ≤ n

2−1} y tambien al conjunto {f 2k+1g | 0 ≤ k ≤ n

2−1}, la reunion

de los cuales tiene n elementos. Como se vio anteriormente, si N posee al menosun elemento adicional, entonces N = Dn, en caso contrario N es exactamentela reunion de estos dos conjuntos. Pero notemos que la reuni on de estos dosconjuntos es f 2, fg

En conclusion, los subgrupos normales de Dn se caracterizan de la siguiente manera:sea N Dn, si n es impar, entonces N = Dn o N = f k con k|n; si n es par,entonces N = Dn o N = f k con k|n o N = f 2, g ∼= D n

2o N = f 2, f g ∼= D n

2.

6.6. Ejercicios

1. Calcule Aut(Dn) y demuestre que |Aut(Dn)| = φ(n)n, para n ≥ 3. φ denota la funci´ on de Euler que calcula los enteros positivos menores que n y primosrelativos con el.

Soluci´ on . Dn = {1, f , f 2, . . . , f n−1, g , f g , f 2g , . . . , f n−1g}, y ademas f n = 1,g2 = 1, gf = f −1g = f n−1g.

Sea A = f , B = {g ,f g ,f 2g , . . . , f n−1g}, H = {µ ∈ Aut(Dn) : µ|A = I A} yK = {µ ∈ Aut(Dn) : µ(g) = g}, donde µ|A es la restriccion del automorfismoµ al subgrupo A. La solucion implica realizar varios pasos.

a ) En primer lugar notese que H y K son subgrupos de Aut(Dn). En efecto,

H es no vacıo ya que 1Dn ∈ H . Si µ1 ∈ H y µ2 ∈ H , entonces,µ1|A = I A y µ2|A = I A ⇒ µ−1

2 |A = I A y (µ1 ◦ µ2)|A = I A ⇒ µ1 ◦ µ2 ∈H .En forma similar se establece que K es un subgrupo de Aut(Dn).

b) Si µ ∈ Aut(Dn), entonces, µ(A) = A y µ(B) = B.

Puesto que ∀x ∈ B, x2 = 1, entonces A es el unico subgrupo cıclico deDn de orden n, y esto implica que necesariamente µ(A) = A. Como µ esinyectivo, entonces µ(B) = B.



6.6. EJERCICIOS 75

c) H es un subgrupo normal de Aut(Dn). Sea µ ∈ Aut(Dn) y φ ∈ H .

Entonces, µ(A) = A y φ|A = I A. Para cada a ∈ A se tiene que µ ◦ φ ◦µ−1(a) = µ ◦ φ(µ−1(a)) = µ(µ−1(a)) = a, ya que µ−1(a) ∈ A Esto indicaque (µ ◦ φ ◦ µ−1)|A = 1A, es decir, µ ◦ φ ◦ µ−1 ∈ H .

d ) Es claro que H ∩ K = {I Dn}.

e) Como H Aut Dn, entonces HK Aut Dn. Ademas, |HK | = |H | |K |. Enefecto, ya que H ∩K = {I Dn

}, cada elemento de HK se puede representaren forma unica en la forma hk, con h ∈ H y k ∈ K . El numero de taleselementos es claramente |H | |K |.

f ) |K | = ϕ(n): sea J el conjunto de generadores de A, sabemos entoncesque |J | = ϕ(n). Vamos a probar que |J | = |K |. Sea µ ∈ K , entonces

µ(f ) debe ser un generador de A, es decir, µ(f ) ∈ J . Ası pues, a cadaµ ∈ K le asignamos un unico elemento en J . Si µ1(f ) = µ2(f ) entoncesµ1 = µ2 ya que µ1(g) = g = µ2(g). Veamos finalmente que la asignacionque estamos haciendo es sobre: sea k primo relativo con n y menor que n,de tal forma que f k ∈ J . Definimos la funcion µ tal que µ(f rgs) = f krgs,con 0 ≤ r ≤ n − 1, s = 0, 1. Como µ es un automorfismo (en efecto,primero veamos que µ es un homomorfismo: µ(f rgsf pgq) = µ(f r+ pgq)si s = 0, y en este caso µ(f r+ pgq) = f kr+kpgq = f krgsf kpgq es decir,µ(f rgsf pgq) = µ(f rgs)µ(f pgq). Cuando s = 1 se tiene que

µ(f rgsf pgq) = µ(f r− pgs+q) = f krf −kpgsgq = f krgsf kpgq,

es decir, µ(f rgsf pgq) = µ(f rgs)µ(f pgq). Hemos supuesto que r − p ≥0, en caso contrario trabajamos con f n−( p−r). Teniendo en cuenta quef ∩g = 1, entonces µ es claramente inyectiva y por lo tanto biyectiva),entonces esta es la preimagen buscada ya que µ(f ) = f k y µ ∈ K por serµ(g) = g.

g ) |H | = n. Sea µ ∈ H , entonces segun la parte b) µ(g) debe ser un elementode B, digamos, µ(g) = f kg, con 0 ≤ k ≤ n − 1. Ası pues cada elementoµ ∈ H determina un unico elemento f kg ∈ B. Si µ1(g) = µ2(g) entoncesµ1 = µ2 ya que en A estas funciones se comportan como la identica.Veamos finalmente que la asigancion que estamos haciendo es sobre: sea

f kg ∈ B, con 0 ≤ k ≤ n−1, definimos la funcion µ por µ(f rgs) = f r+ksgs,con 0 ≤ r ≤ n − 1, s = 0, 1. Como µ es un automorfismo (primero veamosque µ es un homomorfismo: µ(f rgsf pgq) = µ(f r+ pgq) si s = 0, y en estecaso µ(f r+ pgq) = f r+ p+kqgq = f r+ksgsf p+kqgq, es decir, µ(f rgsf pgq) =µ(f rgs)µ(f pgq). Cuando s = 1, se tiene que µ(f rgsf pgq) = µ(f r− pgs+q).Consideremos los dos casos posibles, q = 0: entonces

µ(f rgsf pgq) = f r− p+ksgs = f r+ksf − pgs == f r+ksgsf p = f r+ksgsf p+kqgq = µ(f rgs)µ(f pgq).




Si q = 1, entonces µ(f rgsf pgq) = µ(f r− p) = f r− p, por el otro lado,

µ(f r

gs

)µ(f p

gq

) = f r+k

gf p+k

g = f r+k

− p

−k

= f r

− p

. Hemos supuesto quer − p ≥ 0, en caso contrario trabajamos con f n−( p−r). Al igual que elpunto f), f ∩g = 1, y entonces µ es claramente inyectiva y por lo tantobiyectiva), entonces esta es la preimagen buscada ya que µ(g) = f kg yµ ∈ H debido a que µ(f r) = f r, para cada 0 ≤ r ≤ n − 1.

h ) Se tiene que |HK | = |H | |K | = nϕ(n). De otra parte, si µ ∈ Aut(Dn),entonces por b) µ(f ) debe ser un generador de A y µ(g) ∈ B, esto haceque |Aut(Dn)| ≤ ϕ(n)n. Como se probo en e) HK es un sugrupo deAut(Dn) y en consecuencia HK = Aut(Dn) y |Aut(Dn)| = ϕ(n)n.

Si K fuera subgrupo normal de Aut(Dn) entonces Aut(Dn) serıa suma

directa interna de H y K . Pero K no es un subgrupo normal de Aut(Dn):en efecto, segun f) y g) las siguientes funciones son elementos de K y H ,respectivamente: φ(f ) = f k, φ(g) = g, θ(f ) = f , θ(g) = f g, donde k esprimo relativo con n y distinto de 1. Esta ultima condicion se da ya quen ≥ 3. Entonces, θφθ−1(g) = θφ(f n−1g) = θ(f −kg) = f −k+1g. Es decir,θφθ−1 /∈ K no es un subgrupo normal de Aut(Dn).

Entonces, ¿que es Aut(Dn) respecto de H y K ?

i ) Sean G1 y G2 grupos y µ un homomorfismo de G2 en Aut(G1); enel conjunto G1× G2 definimos la operacion ×µ, ası: (a, b) ×µ (c, d) =(aµ(b)(c), bd). Entonces, G1× G2 con esta operacion es un grupo y recibeel nombre de producto semidirecto de G1 y G2 con respecto a µ. Parael producto corriente de grupos en calidad de µ se toma el homomorfismotrivial que asigna a cada elemento de G2 el automorfismo identico.

j ) Sea G un grupo con M y N subgrupos de G tal que M es normal enG. Si M ∩ N = {1} y MN = G, G es isomorfo al producto semidirec-to de M y N mediante el homomorfismo µ : N → Aut(M ) dado por:µ(n)(m) = nmn−1. En efecto, como G = MN , entonces todo elemen-to g ∈ G se puede escribir en la forma g = mn, m ∈ M , n ∈ N yde manera unica ya que M ∩ N = {1}. Definimos f : G → M ×µ N ,de la siguiente manera: f (g) := f (mn) = (m, n); f esta bien defini-da y es obviamente biyectiva. Veamos que f es un homomorfismo: sea

g1 = m1n1, g2 = m2n2 elementos de G, entonces g1g2 = (m1n1)(m2n2) =m1(n1m2n−1

1 )n1n2 = m1µ(n1)(m2)n1n2, donde m1µ(n1)m2 ∈ M y n1n2 ∈N . Ası pues, f (g1g2) = f (m1µ(n1)(m2)n1n2) = (m1µ(n1)(m2), n1n2) =(m1, n1) ×µ (m2, n2) = f (g1) ×µ f (g2).

k ) De los puntos anteriores tenemos que Aut Dn∼= H ×µ K , mediante el

homomorfismo µ : K → Aut(H ) dado por µ(k)(h) = k ◦ h ◦ k−1.

l ) Una ultima observacion. De manera mas sencilla se define la suma semi-

directa interna de dos subgrupos de un grupo de la siguiente forma: sea



6.6. EJERCICIOS 77

G un grupo y M, N subgrupos de G. Se dice que G es suma semidirecta

interna de M y N (en ese orden) si: M es normal en G, M ∩ N = {1}y G = MN . Uno podrıa entonces obviar los pasos i), j) y k) y decirsimplemente que Aut(Dn) es la suma semidirecta interna de H y K .

(ii) Demuestre que Int(Dn) =

Dn si n es impar,D n

2si n es par.

(iii) ¿Cuantos subgrupos normales tiene D21?

(iv) ¿Cuantos subgrupos normales tiene D12?



Capıtulo 7

Productos y sumas directas

El objetivo de este capıtulo es presentar la construccion del grupo producto carte-siano y su suma directa externa para una familia dada de grupos. Mostraremos comose definen el producto y la suma directa externa en el caso de una familia infinita. Seda ademas la definicion de suma directa interna de una familia finita de subgruposde un grupo dado, mostrando la relacion que esta guarda con el producto cartesiano.Las construcciones presentadas aquı serviran como base teorica para iniciar en elcapıtulo 10 el estudio de los grupos abelianos finitos.

7.1. Definicion

Sea {G1, . . . , Gn} una coleccion finita de grupos (tomados con notacion multiplica-tiva) y sean

i=1 Gi := Gi × · · · × Gn := {(xi, . . . , xn) | xi ∈ Gi, 1 ≤ i ≤ n}

el producto cartesiano conjuntista de la familia dada. Se pretende definir enn

i=1 Gi

una operacion binaria bajo la cualn

i=1 Gi tenga estructura de grupo.

Definicion 7.1.1. Sea {G1 . . . Gn} una familia finita de grupos y sea n

i=1 Gi el producto cartesiano de los conjuntos Gi, 1 ≤ i ≤ n. El producto de n-plas definidopor

(x1, . . . , xn) (x1, . . . , xn) := (x1x1, . . . , xnxn)

da a n

i=1 Gi una estructura de grupo. La pareja n

i=1 Gi, . ası constituida se de-nomina producto cartesiano de la familia {G1, . . . , Gn} .

En efecto, la asociatividad del producto de n-plas se desprende de las respectivaspropiedades asociativas de los productos definidos en los grupos Gi, 1 ≤ i ≤ n.Denotando por 1 el elemento neutro del grupo Gi, entonces la n-pla 1 := (1, . . . , 1)

78



7.1. DEFINICION 79

es el elemento neutro del producto cartesiano. Ademas, si x−1i denota el inverso de

xi en Gi entonces el inverso de la n-pla x = (x1, . . . , xn) es x−1

= (x−1

1 , . . . , x−1

n ).Observacion 7.1.2. Si los grupos Gi, 1 ≤ i ≤ n, presentan notacion aditiva, en-tonces la operacion entre n-plas se denota por

(x1, . . . , xn) + (x1, . . . , xn) = (x1 + x1, . . . , xn + xn)

En este caso el neutro y los opuestos toman la forma

0 := (0, . . . , 0), − (x1, . . . , xn) = (−x1, . . . , −xn) = −x

Ejemplo 7.1.3. (i) Sean G1 = Z2 y G2 = Z3. Entonces los elementos de Z2 × Z3

son

Z2 × Z3 = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}.

Notese que |Z2 × Z3| = 6 = 2.3 = |Z2| . |Z3| . Mas aun, Z6∼= Z2 × Z3: Z2 × Z3

es un grupo cıclico con generador (1, 1): 1(1, 1) = (1, 1) , 2 (1, 1) = (0, 2) 3(1, 1) =(1, 0) , 4 (1, 1) = (0, 1) 5 (1, 1) = (1, 2) , 6 (1, 1) = (0, 0) .

(ii) Sean G1 = G2 = Z2. Entonces los elementos de Z2 × Z2 son

Z2 × Z2 = {(0, 0) , (0, 1) , (1, 0) , (1, 1)}

Observese que |Z2 × Z2| = 4 pero Z2 × Z2 no es isomorfo a Z4 :|(0, 0)| = 1, |(0, 1)| = |(1, 0)| = |(1, 1)| = 2 ⇒ Z2 × Z2 no es cıclico, ⇒ Z2 × Z2

no es isomorfo con Z4, luego Z2 × Z2 ∼= V.

Algunas propiedades del producto cartesiano se presentan a continuacion.

Proposicion 7.1.4. Sea {Gi}ni=1 una familia de grupos cualesquiera. Entonces:

(i) G1 × G2∼= G2 × G1.

(ii) G1 × · · · × Gn∼= Gπ(1) × · · · × Gπ(n), para cada π ∈ S n.

(iii) G1 × G2 × G3∼= G1 × (G2 × G3) ∼= (G1 × G2) × G3.

(iv) El producto cartesiano tiene la propiedad asociativa generalizada.(v) G1 × · · · × Gn es abeliano ⇔ para cada i, 1 ≤ i ≤ n, Gi es abeliano.

Demostraci´ on. Todas las afirmaciones se obitenen en forma inmediata de la defini-cion de producto cartesiano.

Proposicion 7.1.5. Sea {Gi}ni=1 una familia de grupos finitos. Entonces:

|G1 × · · · × Gn| = |G1| · · · |Gn|



80 CAPITULO 7. PRODUCTOS Y SUMAS DIRECTAS

(i) Sea {Gi}ni=1 una familia finita de grupos cualesquiera y sea x = (x1, . . . , xn) ∈n

i=1 Gi tal que xi es de orden finito para cada 1 ≤ i ≤ n, entonces |x| =m.c.m. {|xi|}ni=1.

(ii) Si m y n son enteros positivos primos relativos, entonces Zm × Zn∼= Zmn.

(iii) Sean m1, . . . , mk enteros positivos tales que (mi, m j ) = 1 para i = j, 1 ≤ i, j ≤ n. Entonces

Zm1 × · · · × Zmk∼= Zm1···mk

(iv) Sea n = pm11 · · · pmk

k la descomposici´ on del entero n en factores primos. En-

tonces

Z pm11

× · · · × Z pmkk

∼= Zn.

Demostraci´ on. Basta encontrar dos elementos a, b en Zm × Zn tales que su ordenes|a| = m y |b| = n sean primos entre si y con ab = ba, porque entonces ab es de ordenmn y Zm × Zn resulta cıclico de orden mn, es decir, Zm × Zn

∼= Zmn. Notese quea = (1, 0) y b = (0, 1) son los elementos buscados. La parte (iv) de esta proposicionse prueba usando lo que acabamos de ver en forma recurrente, y la parte (v) es uncaso particular de (iv).

Proposicion 7.1.6. Sea {Gi}ni=1 una familia finita de grupos. Entonces:

1. Gi G1 × · · · × Gn para cada 1 ≤ i ≤ n.

2. (G1 × · · · × Gn) / Gi∼= G1 × · · · × Gi−1 × Gi+1 × · · · × Gn.

Demostraci´ on. Esto es un sencillo ejercicio para el lector.

7.2. Producto cartesiano: caso infinito

Sea {Gi}i∈I una familia cualquiera de grupos. Sea

i∈I Gi el producto cartesianode los conjuntos de la familia dada, es decir,

i∈I Gi := {x : I →

i∈I Gi | x(i) ∈ Gi}.

Definimos en

i∈I Gi el producto de manera analoga a como se hizo en el caso finito.Sea xi := x(i), luego x = (xi)i∈I y entonces

xy = (xi)(yi) := (xiyi).



7.3. SUMA DIRECTA EXTERNA 81

Notese que este producto da a i∈I Gi una estructura de grupo, cuyo elemento

neutro es 1 := (ei), donde ei = 1 ∈ Gi, para cada i ∈ I. El inverso de x = (xi)es entonces x−1 = (x−1i ). Cuando I = I n = {1, 2 . . . n} entonces esta definicion

de producto

i∈I Gi coincide con la definicion de producto cartesiano dada en laseccion anterior.

Las proyecciones canonicas del producto se definen por

π j :

Gi → G j, π j [(xi)] := x j.

El producto cartesiano junto con sus proyecciones esta caracterizado por la siguientepropiedad universal.

Teorema 7.2.1. Sean {Gi}i

∈I una familia de grupos, i

∈I Gi su producto cartesiano

y {π j :

i∈I Gi → G j} j∈I las proyecciones can´ onicas. Entonces,

(i) Para cada grupo G con homomorfismos { p j : G → G j} j∈I existe un ´ unicohomomorfismo α de G en

i∈I Gi tal que para cada j ∈ I se tiene que π jα =

p j.

(ii) Cualquier otro grupo H con homomorfismos {H πj

−→ G j} j∈I que tenga la propiedad (i ) es isomorfo al producto cartesiano.

Demostraci´ on. (i) α se define por α(y) : = ( p j(y)) con y ∈ G; claramente α esun homomorfismo de grupos y satisface π j α = p j para cada j ∈ I . Sea θ otro

homomorfismo de G en el producto que cumple estas mismas igualdades; sea θ(y) :=(xi)i∈I . Entonces, π jθ(y) = x j = p j(y)para cada j ∈ I , luego θ(y) = (x j) = α(y) =( p j(y)).

(ii) Puesto que tanto H como el producto tienen la propiedad (i), entonces paracada j ∈ I resulta π j(αβ ) = π j, π j(βα) = π j, con β : ΠGi → H un homomorfismo.En vista de la unicidad, iH = βα y αβ = iΠGi

. Esto muestra que H y ΠGi sonisomorfos.

7.3. Suma directa externa

Sea {Gi}i∈I una familia de grupos y sea

i∈I Gi su grupo producto. Se denominasoporte de x = (xi) al subconjunto I x de I de elementos i tales que xi = 1.Definimos el conjunto

i∈I Gi := {x = (xi) ∈

Gi | x es de soporte finito}.i∈I Gi es un subgrupo del producto y se denomina suma directa externa de

la familia dada. En efecto, 1 ∈

i∈I Gi, con lo cual la suma directa externa noes vacıa. Sean x, z ∈

i∈I Gi con soportes I x, I z. Entonces, xizi = 1 para cada




i ∈ I − (I x ∪ I z). Esto indica que solo para los elementos de un cierto subconjunto

finito I y ⊆ I x ∪ I z se tiene que xizi = 1. Por lo tanto, si y = (yi) es el producto de xy z entonces y ∈

i∈I Gi. Es claro que si x ∈

i∈I Gi entonces x−1 ∈

i∈I Gi.Asociadas a la suma directa externa de una familia de grupos est an las siguientes

inyecciones canonicas:

µ j : G j →

i∈I Gi,

µ j(a) := x := (xi), donde x j :=

a, i = j1, i = j

Evidentemente estas funciones son homomorfismos inyectivos.

Para la clase de los grupos abelianos, la suma directa externa con sus inyeccionescanonicas esta caracterizada por una propiedad universal.

Teorema 7.3.1. Sea {Gi}i∈I una familia de grupos abelianos, y sea

i∈I Gi su suma directa externa y sean {µ j : G j →

i∈I Gi} sus inyecciones can´ onicas. Entonces,

(i) Para cada grupo abeliano G con homomorfismos {t j : G j →

i∈I Gi} existeun ´ unico homomorfismo α :

i∈I Gi → G tal que para cada j ∈ I se tiene

que αµ j = t j.

(ii) Cualquier otro grupo abelinao H con homomorfismos {µ j : G j → H } que tenga la propiedad (i ) es isomorfo a la suma directa externa.

Demostraci´ on. (i) Definimos α por

α(x) :=

j∈I xt j(x j), si x = 1

1 , si x = 1

α es un homomorfismo: si x = 1 o y = 1 entonces evidentemente α(xy) = α(x)α(y).Supongase pues que x = 1 y y = 1. Sea z = (zi) = xy. Si z = 1, entonces y = x−1

y asi yi = x−1i para cada i ∈ I , con lo cual α(z) = 1 =

j∈I x

t j(x j)

j∈I yt j (y j ) =

α(x)α(y). Sea entonces z = 1. Ya que I z ⊆ I x ∪ I y se tiene que

α(z) =

j∈I zt j(z j) =

j∈I x∪I y

t j(z j) =

j∈I x∪I yt j(x jy j) =

j∈I x∪I yt j(x j)

j∈I x∪I y

t j(y j) =

j∈I xt j (x j)

j∈I y

t j(y j) = α(x)α(y).

Probemos ahora la unicidad de α : sea θ otro homomorfismo de

i∈I Gi en G talque θ ◦ µ j = t j para cada j ∈ I. Sea x un elemento cualquiera de

i∈I

Gi. Si x = 1entonces necesariamente α(1) = θ(1) = 1. Considerese pues que x = 1. Entonces

α(x) =

j∈I xt j(x j) =

j∈I x

θµ j (x j ) = θ

j∈I xµ j (x j)

= θ(x), ya que x =

j∈I xµ j (x j )

(ii) La prueba es como en el caso del producto y la dejamos al lector.

Observacion 7.3.2. Notese que cuando I = I n := {1, 2, . . . , n} es un conjuntofinito, entonces el producto cartesiano G1 × · · · × Gn y la suma directa externan

i=1 Gi de grupos abelianos coinciden.



7.4. SUMA DIRECTA INTERNA 83

7.4. Suma directa interna

Sea G un grupo y sean H, K subgrupos de G. Se ha visto que el conjunto HK ={hk | h ∈ H, k ∈ K } es un subgrupo de G si, y solo si, HK = KH. Es posibleque para dos subgrupos H y K de G el producto HK coincida con G. En efecto,considerese el grupo D4 = {1, f , f 2, f 3, g , f g , f 2g, f 3g}, f 4 = 1, g2 = 1, y gf g = f −1.Sean K = {1, f 2, g, f 2g} y H = {1, f 2, fg, f 3g}. Notese que KH = HK = D4.De aquı en particular se desprende que cada elemento de D4 puede escribirse comoproducto de un elemento de K y otro de H. Por ejemplo: f = g(f 3g), g ∈ K,f 3g ∈ H. Sin embargo esta representacion de f no es unica: f = (f 2g)(f g), f 2g ∈ K,f g ∈ H. Esta no unicidad se debe al hecho que H ∩ K = 1.

La suma directa interna de subgrupos de un grupo puede ser definida para el caso

infinito. Nosotros consideramos solo el caso de una coleccion finita de subgrupos.

Proposicion 7.4.1. Sean H 1 . . . H n subgrupos normales de G. Entonces

n

i=1 H i = H 1 · · · H n := {h1 · · · hn | hi ∈ H i, 1 ≤ i ≤ n}

Adem´ as, H 1 · · · H n G y para cada π ∈ S n, H 1 · · · H n = H π(1) · · · H π(n).

Demostraci´ on. Induccion sobre n : n = 1 : H 1 = H 1n = 2 : evidentemente H 1H 2 ⊆ H 1 ∪ H 2 . Sea x ∈ H 1 ∪ H 2 ; ⇒ x =

xE 11 · · · xE t

t , donde xi ∈ H 1 ∪ H 2, E i = ±1, 1 ≤ i ≤ t. Se desean ahora reordenar”loselementos xE 1

1 . . . xE tt , de tal manera que aparezcan a la izquierda solo elementos

de H 1 y a la derecha solo elementos de H 2. Sea i el menor ındice (1 ≤ i ≤ t) tal quexE i

i ∈ H 2 y xE i+1

i+1 ∈ H 1. Si i = t entonces x ∈ H 1H 2.Sea pues i = t. Entonces

x = xE 11 · · · xE i

i xE i+1

i+1 · · · xE tt = xE 1

1 · · · xE ii x

E i+1

i+1 (xE ii )−1xE i

i xE i+2

i+2 · · · xE tt

Como H 1 G entonces xE ii x

E i+1

i+1 (xE ii )−1 ∈ H 1. Si x

E i+2

i+2 . . . xE tt estan todos en

H 2, entonces tendremos que x = x1x2, con x1 = xE 11 · · · xE i

i xE i+1

i+1 (xE ii )−1 ∈ H 1 y

x2 = xE ii x

E i+2

i+2 · · · xE tt ∈ H 2. En caso contrario repetimos lo anterior maximo hasta t.

De esto obtenemos que H 1 ∪ H 2 ⊆ H 1H 2.Supongase que H 1 ∪ · · · ∪ H n−1 = H 1 · · · .H n−1. Notese que H 1 ∪ · · · ∪ H n =

K ∪ H n , con K = H 1 ∪ · · · ∪ H n−1 . Notese que K G ya que gH 1 · · · H n−1g−1 =gH 1g−1gH 2g−1g · · · .gH n−1g−1 = H 1 · · · .H n−1.

De acuerdo al paso n = 2 y a la hipotesis de induccion, H 1 ∪ · · · ∪ H n = KH n =H 1 · · · H n−1H n.

La normalidad se acaba de probar, la ultima afirmacion de la proposicion esevidente ya que

ni=1 H i =

ni=1 H π(i).

Teorema 7.4.2. Sea G un grupo y H 1, . . . , H n subgrupos normales de G. Las si-guientes condiciones son equivalentes:




(i) Para cada 1 ≤ j ≤ n, H j ∩ (H 1 . . . H j−1H j+1 . . . H n) = 1.

(ii) Cada elemento x de H 1 · · · H n tiene una representaci´ on ´ unica en la forma:

x = h1 · · · hn, hi ∈ H i, 1 ≤ i ≤ n.

Demostraci´ on. (i) ⇒ (ii): sea x ∈ H 1 · · · H n. Por hipotesis x tiene una representacionen la forma

x = h1 · · · hn, hi ∈ H i, 1 ≤ i ≤ n.

Sean hi ∈ H i, 1 ≤ i ≤ n, tales que

x = h1 · · · hn = h1 · · · hn ⇒ (h−11 h1)h2 · · · hn = h2 · · · hn

⇒ h−11 h1 = (h2 · · · hn)(h2 · · · hn)−1 ∈ H 2 · · · H n ⇒h−1

1 h1 = 1 ⇒ h1 = h1 ⇒ h2h3 · · · hn = h2h3 · · · hn.

Procediendo de manera analoga encontramos que hi = hi para cada 1 ≤ i ≤ n.(ii) ⇒ (i): sea x ∈ H j , j fijo. Supongase que x ∈ H 1 · · · H j−1H j+1 · · · H n, en-

tonces existen x1 ∈ H 1, . . . , x j−1 ∈ H j−1, x j+1 ∈ H j+1, . . . , xn ∈ H n tales quex = x1 · · · x j−11x j+1 · · · xn. El elemento x se puede representar tambien como x =1 · · · 1x1 · · · 1, luego x1 = 1, . . . , x j−1 = 1, x = 1, . . . , xn = 1, de donde H j ∩(H 1 · · · H j−1H j+1 . . . H n) = 1.

Definicion 7.4.3. Se dice que el grupo G es suma directa interna de los sub-grupos normales H

1, . . . , H

nsi:

(i) G = H 1 · · · H n

(ii) Se cumple una cualquiera de las condiciones del teorema anterior.

Dicha relaci´ on entre G y los subgrupos H 1, . . . , H n se denota por G =n

i=1 ⊕H i =H 1 ⊕ · · · ⊕ H n.

Proposicion 7.4.4. Sea {Gi}ni=1 una colecci´ on finita de grupos, y sea G = G1 ×

· · · × Gn su producto cartesiano. Sea

Gi := µi(Gi) = {(1, . . . , x , . . . , 1) | x ∈ Gi}

la imagen de Gi mediante la inyecci´ on canonica µi. Entonces, G es suma directa interna de los subgrupos G

i,

G = G1 ⊕ · · · ⊕ G

n.

Adem´ as Gi

∼= Gi, 1 ≤ i ≤ n.

Demostraci´ on. Claramente Gi G para cada 1 ≤ i ≤ n. Ademas cada elemento

x = (x1, . . . , xn) de G tiene la representacion unica



7.5. EJERCICIOS 85

x = (x1, 1, . . . , 1) · · · (1, . . . , 1, xn).

Por ser µi inyectivo se tiene que Gi ∼= Gi.

Ejemplo 7.4.5. (i) Sea M 2(R) el grupo aditivo de las matrices cuadradas reales deorden 2. Sean

M 11=

R 00 0

= {A = (aij) | aij = 0 para i = 1 y j = 1.},

M 12=

0 R

0 0

, M 21=

0 0R 0

, M 22=

0 00 R

.

Entonces, M 2(R) =M 11 ⊕ M 12 ⊕ M 21 ⊕ M 22.(ii) Sea C el grupo aditivo de los numeros complejos, y sean R y iR los subgrupos

de numeros reales e imaginarios, respectivamente. Entonces C = R ⊕ iR.

(iii) Sea V = {1,a,b,ab}, a2 = 1 = b2, ab = ba el grupo cuarto de Klein. V es suma directa de los subgrupos a y b : ambos son normales en V ; ademasa ∩ b = 1. ⇒ V = a ⊕ b

(iv) Cada grupo G se puede descomponer trivialmente en suma directa interna:G = G ⊕ 1. Hay grupos para los cuales esta es la unica descomposicion posible.Consideremos el grupo dihedrico de grado 4, D4 :

Los subgrupos normales de D4 son 1, D4, f , f 2 , K 4 = {1, f 2, g , f 2g}, H 4 ={1, f 2, f g , f 3g}.

Siendo D4 suma directa de dos de sus subgrupos normales entonces se presentanlas siguientes posibilidades:

G = 1 ⊕ D4, f ⊕ f 2 , f 2 ⊕ K 4, f 2 ⊕ H 4

Solo la primera posibilidad tiene lugar ya que f ∩ f 2 = 1, f 2 ∩ K 4 = 1,f 2 ∩ H 4 = 1.

(v) Notese que si un grupo G no se puede descomponer en suma directa de dossubgrupos no triviales entonces no se puede descomponer en suma directa de 3 omas subgrupos no triviales.

(vi) Sea G = G1 × G2 × · · · × Gn y sea Ai Gi, 1 ≤ i ≤ n. Entonces A =A1 × · · · × An G : sea x = (x1 . . . xn) ∈ G y sea a = (a1 . . . an) ∈ A. Entonces

x−1ax = (x−11 a1x1, · · · ., x−1

n anxn) ∈ A.

El resultado anterior podemos generalizarlo: sea G =

i∈I Gi, y sea Ai Gi,i ∈ I. Sea A =

i∈I Ai. Entonces A G.

7.5. Ejercicios

1. Demuestre que el grupo aditivo de los numeros racionales no se puede descom-poner en suma directa interna de dos subgrupos propios.




2. Pruebe que S 3 solo tiene la descomposicion trivial S 3 = 1 ⊕ S 3.

3. Sean G y H grupos finitos cuyos ordenes son primos relativos. Pruebe queAut (G × H ) ∼= Aut (G) × Aut (H ).

4. ¿ Es cierto que la unica descpmposicion de Q8 es la trivial: Q8 = 1 ⊕ Q8 ?



Capıtulo 8

G-conjuntos

Como fundamento teorico para la demostracion de los teoremas de Sylow apareceel concepto de accion de un grupo sobre un conjunto. Este concepto tiene bastanteanalogıa con el de operacion binaria externa. En este capıtulo sera tratado el con-cepto de accion sobre conjuntos. Se estudiara en particular la accion de conjugacion.Ademas, seran definidos los grupos transitivos del grupo simetrico S n. De vital im-portancia para la demostracion de los teoremas de Sylow es la ecuacion de clases, lacual estableceremos en este capıtulo. Un tratamiento completo de los G-conjuntosnos llevara a la teorıa de los espacios vectoriales y modulos sobre anillos. Nosotrosnos limitaremos a utilizar los G-conjuntos como lenguaje y herramienta para com-prender mejor la teorıa de Sylow.

8.1. Accion de grupos sobre conjuntos

En esta seccion se establece la equivalencia entre los conceptos de representacion deun grupo en un grupo de permutaciones y el concepto de accion de un grupo sobreun conjunto.

Definicion 8.1.1. Sean X un conjunto y G,., 1 un grupo. Se dice que el grupo Gactua sobre el conjunto X , si existe una funci´ on

φ : G × X → X , φ(g, x) := gx

tal que

(i) φ(gh,x) = (gh)x = g(hx) = φ(g, φ(h, x))

(ii) φ(1, x) = 1x = x,

para cualesquiera elementos g, h de G y cualquier elemento x de X .

87



88 CAPITULO 8. G-CONJUNTOS

Se dice tambıen que X es un G-conjunto o que X tiene a G como grupo de

operadores.Estrechamente relacionado con el concepto de G-conjunto aparece el concepto

de representacion de un grupo.

Definicion 8.1.2. Sea X un conjunto no vacıo, S (X ) el grupo de funciones per-mutaciones de X y sea G,., 1 un grupo cualquiera. Por representaci´ on de G en S (X ) se entiende cualquier homomorfismo

Φ : G → S (X )

Proposicion 8.1.3. Sea G,., 1 un grupo cualquiera y sea X un conjunto no vacıo

arbitrario. Entonces, cada representaci´ on de G en S (X ) determina una accion de Gsobre X , es decir, convierte a X en un G−conjunto. Recıprocamente, cada estructura de G−conjunto sobre X determina una representaci´ on de G en S (X ).

Demostraci´ on. Sea Φ : G → S (X ) una representacion de G en S (X ). Definamos lafuncion

G × X → X

(g, x) −→ gx =: Φg(x),

donde Φg denota la imagen de g mediante el homomorfismo Φ.

Se debe probar que para cualesquiera elementos g, h ∈ G y cualquier elementox ∈ X , (gh)x = g(hx) y 1x = x, donde 1 es el elemento identidad del grupo G.

(gh)x = Φgh(x) = Φ(gh)(x) = (Φ(g) ◦ Φ(h))(x)

= (Φg ◦ Φh)(x) = Φg[Φh(x)] = Φg(hx)

= g(hx).

1x = Φ1(x) = I S (X)(x) = x.

Sea ahora Ψ : G × X → X una funcion que define una estructura de G−conjuntosobre X . Denotemos la imagen de la pareja (g, x) mediante Ψ por gx. La funcion

Φ : G → S (X )

definida por Φ(g) = Φg, donde Φg(x) = gx, ∀x ∈ X , es un homomorfismo; en efecto,

Φ(gh) = Φgh, Φgh(x) = (gh)x = g(hx) = g(Φh(x)) = Φg[Φh(x)]

= (Φg ◦ Φh)(x); ⇒ Φgh = Φg ◦ Φh, es decir, Φ(gh) = Φ(g) ◦ Φ(h).



8.2. ORBITAS Y SUBGRUPOS ESTACIONARIOS 89

Definicion 8.1.4. Sea Ψ : G ×X → X, Ψ(g, x) = gx, una acci´ on del grupo G sobre

el conjunto X y sea Φ : G → S (X ), Φ(g) = Φg, Φg(x) = gx, la representaci´ on de Gen S (X ) asociada a Ψ. Se denomina n´ ucleo de la acci´ on Ψ y se denota por N (Ψ)al n´ ucleo del homomorfismo Φ:

N (Ψ) =: N (Φ) = {g ∈ G | gx = x, ∀x ∈ X }.

Se dice que G actua efectivamente sobre X si N (Ψ) = 1, es decir, gx = x, ∀x ∈ X si, y s´ olo si, g = 1.

Directamente de la definicion de accion de un grupo sobre un conjunto se de-sprenden las siguientes propiedades.

Proposicion 8.1.5. Sea X un G−conjunto. Entonces,

(i) X k = X × · · · × X es un G−conjunto.

(ii) 2X es un G−conjunto, donde 2X denota el conjunto de partes del conjunto X .

(iii) Sea Y ⊆ X y sea C (Y ) := {Z ⊆ X | Card(Z ) = Card(Y )}. Entonces C (Y )es un G−conjunto.


8.2. Orbitas y subgrupos estacionarios

Proposicion 8.2.1. Sup´ ongase que G actua sobre el conjunto X . Definimos en X la relacion ∼ por

x ∼ y ⇔ ∃g ∈ G : gx = y

La relaci´ on ∼ es de equivalencia en X . La clase de equivalencia del elemento x sedenota por G(x) y se llama la G−´ orbita determinada por x. N´ otese que para cada x ∈ X

G(x) = {gx|g ∈ G}

Al Card(G(x)) se le denomina la longitud de la G−´ orbita determinada por x.

Proposicion 8.2.2. Sea X un G−conjunto y sea x un elemento de X . Se denomina subgrupo estacionario del punto x en G y se denota por Gx al subgrupo deelementos de G que dejan fijo x

Gx =: {g ∈ G : gx = x}

Adem´ as, Card(G(x)) = |G : Gx|.




Demostraci´ on. Sean g, h ∈ Gx. Entonces gx = x, hx = x ⇒ hgx = hx = x;

⇒ hg ∈ Gx; g−1

x = g−1

(gx) = x ⇒ g−1

∈ Gx. Denotemos por A el conjunto declases laterales izquierdas determinadas por el subgrupo estacionario Gx en G. Lacorrespondencia

Φ : G(x) → A,

definida por Φ(gx) = gGx es una biyeccion. En efecto, Φ(gx) = Φ(hx) ⇒ gGx =hGx ⇒ g−1h ∈ Gx ⇒ g−1hx = x ⇒ gx = hx; Φ es evidentemente sobre.

Corolario 8.2.3. Sea X un G−conjunto, donde G es finito. Entonces, la longitud de cualquier G−´ orbita divide al orden de G, |G(x)| | |G|.

Demostraci´ on. Consecuancia directa de la proposicion anterior y del teorema de

Lagrnage.

Proposicion 8.2.4. Sea G un grupo que actua sobre el conjunto X .

i Si x, y est´ an en la misma ´ orbita entonces sus grupos estacionarios son conju-gados:

y = gx ⇒ Gy = gGxg−1

ii Si G es un grupo finito y X = X 1 ∪ · · · ∪ X r es la partici´ on de X en un n´ umero finito de r−´ orbitas con representantes x1, · · · , xr entonces

|X | =r

i=1

|G : Gxi| Ecuaci´ on de Clases

Demostraci´ on. (i) Sea h ∈ Gy ⇔ hy = y ⇔ hgx = gx ⇔ g−1hgx = x ⇔ g−1hg ∈Gx ⇔ h ∈ gGxg−1

(ii) La segunda afirmacion de la proposicion es debido a que G es finito. Enefecto, si G es finito entonces para cada x ∈ X, Gx es tambien finito, con lo cual|G : Gx| es finito y ası cada G(xi) = X i es finito. Como X 1 ∪ · · · ∪X r es una particionde X entonces la ecuacion de clases se cumple.

Algunos de los conceptos estudiados anteriormente como centro, centralizador,normalizador, etc., pueden ser vistos como consecuencia de acciones de grupos sobreconjuntos.

Ejemplo 8.2.5. Acci on de Conjugaci´ on . Sea G un grupo cualquiera y consi-deremos la accion de G sobre si mismo, X = G definida por

Ψ : G × G → G(g, x) −→ gxg−1



8.2. ORBITAS Y SUBGRUPOS ESTACIONARIOS 91

Notemos que el nucleo de Ψ es el cnetro del grupo G:

N (Ψ) = {g ∈ G | gxg−1 = x, ∀x ∈ G}

= {g ∈ G | gx = xg, ∀x ∈ G} = Z (G)

Sea x un elemento cualquiera de G. La orbita G(x) del elemento x, en este casodenotada por xG, se denomina la clase de elementos conjugados con x:

xG = {gxg−1 | g ∈ G}

Notese que G ha sido particionado en clases conjugadas. Decir que dos elementosx, y ∈ G son conjugados significa que estan en una misma clase (de equivalencia)

conjugada, es decir, existe g ∈ G tal que y = gxg−1

. Sea x un elemento cualquierade G. El subgrupo estacionario de x se denomina en este caso el centralizador dex en G:

C G(x) = {g ∈ G : gxg−1 = x} = {g ∈ G : gx = xg}

Segun la proposicion 8.1.5, la accion de conjugacion puede ser extendida a los sub-conjuntos del grupo G. Sean A, B subconjuntos de G. Decimos que A y B sonconjugados si existe g ∈ G tal que B = gAg−1. Notemos que cuando A es unsubgrupo de G entonces gAg−1 es tambien un subgrupo de G, es decir, la accionde conjugacion a subconjuntos de G puede ser restringida a subgrupos de G. Eneste caso, dado un subgrupo H de G la orbita de H, H G, esta constituida por los

subgrupos de G que son conjugados con H :

H G = {gHg−1 : g ∈ G}

Ademas, el subgrupo estacionario en este caso coincide con el normalizador de H enG:

N G(H ) = {g ∈ G : gHg−1 = H }

Notese que Card(H G) = |G : N G(H )|, es decir, el numero de subgrupos conjugadosde un subgrupo H de G es igual al ındice de su normalizador en G.

Ejemplo 8.2.6. Generalizacion del Teorema de Cayley. Sea G un grupo y H

un subgrupo cualquiera de G. Denotemos por G/H el conjunto de clases lateralesizquierdas determinadas por H en G. La aplicacion definida por

φ : G × G/H → G/H (x, gH ) −→ xgH,

determina una accion de G en G/H . Notemos en primer lugar que φ es una funcion:sean gH = hH ⇒ g−1h ∈ H ⇒ g−1x−1xh ∈ H ⇒ xgH = xhH. Ademas, (1, gh) →1gH = gH, y tambien, (xy) · (gH ) = (xy)gH = x(yg)H = x · (y · (gH )).




Determinemos el nucleo de φ:

ker(φ) = {x ∈ G | xgH = gH, ∀g ∈ G}

= {x ∈ G | g−1xgH = H, ∀g ∈ G};

de aquı obtenemos que

x ∈ ker(φ) ⇔ g−1xg ∈ H, ∀g ∈ G ⇔ x ∈ gHg−1, ∀g ∈ G,

es decir,

ker(φ) =

g∈G

gHg−1 = Interseccion de los subgrupos de G conjugados con H.

Demostremos queg∈G

gHg−1 es el subgrupo normal mas grande de G que esta contenido en H

En efecto, sea

x ∈

g∈G

gHg−1

Se desea probar que para cada elemento w ∈ G

wxw−1 ∈ g∈G

gHg−1,

es decir, que ∀g ∈ G, wxw−1 ∈ gHg−1. Sea g un elemento cualquiera de G, entonces:x ∈ w−1gHg−1w = (w−1g)H (w−1g)−1 ⇒ x = w−1ghg−1w, con h ∈ H, ⇒ wxw−1 =ghg−1, ⇒ wxw−1 ∈ gHg−1. Claramente,

g∈G

gHg−1 ⊆ 1H 1−1 = H.

Sea K G, K ≤ H ⇒ para cada g ∈ G, K = gKg−1 ⊆ gHg−1 ⇒ K ⊆

g∈G gHg−1. La accion φ determina desde luego una representacion del grupo Gen S (G/H ) :

Ψ : G → S (G/H )Ψ(x) −→ Ψx

Ψx : G/H → G/H gH −→ xgH.

Tomando H = {1} la funcion Ψ es precisamente el isomorfismo que permite deter-minar el teorema de Cayley. Notese que cuando H = {1} y ker(φ) = N (Ψ) = {1} Gno esta tan perdido en S (G/H ) como en el teorema de Cayley.



8.3. GRUPOS TRANSITIVOS 93

De este segundo ejemplo se obtiene el siguiente resultado:

Proposicion 8.2.7. Sea G un grupo finito y sea H ≤ G un subgrupo de G tal que|G| no divide a |G : H |!. Entonces, H contiene un subgrupo normal no trivial de G.En consecuencia, G no es simple.

Demostraci´ on. Supongase que el unico subgrupo normal de G contenido en H es{1}. Esto indica que

ker(φ) =

g∈G

gHg−1 = N (Ψ) = {1}.

Por lo tanto Ψ es 1 − 1 y ası G es isomorfo a un subgrupo de S (G/H ). De aquı seobtiene que |G| divide a |G : H |!.

8.3. Grupos transitivos

Se dice que el grupo G actua transitivamente sobre X si G determina en X solamente una orbita, es decir, para cada par de elementos i, j ∈ X existe g ∈ G talque gi = j.

Mas generalmente, se dice que G actua k− transitivamente sobre X o tam-bien que G es un grupo k−transitivo sobre X , si para cualesquiera subconjuntos

ordenados de k elementos de X {x1, . . . , xk}, {y1, . . . , yk} existe g ∈ G tal quegxi = yi, i = 1, 2, . . . , k . Esto equivale a decir que G actua transitivamente sobre elconjunto X [k] de subconjuntos ordenados de X de k elementos.

Proposicion 8.3.1. Si G actua k−transitivamente sobre X , donde k ≤ |X |, en-tonces G actua s−transitivamente sobre X para cada s ≤ k.

Demostraci´ on. Si s = k entonces no hay nada que probar. Sea s < k y {x1, · · · , xs}y {y1, . . . , ys} subconjuntos ordenados de X de s elementos. Sean {xs+1, . . . , xk} ⊆X \{x1, . . . , xs} y {ys+1, . . . , yk} ⊆ X \{y1, . . . , ys}. Consideremos los conjuntos orde-nados {x1, . . . , xs, xs+1, . . . , xk} y {y1, . . . , ys, ys+1, . . . , yk}. Como G es k−transitivo

entonces existe g ∈ G tal que gxi = yi, i = 1, . . . , s , s + 1, . . . , k; es decir, G ess−transitivo.

Proposicion 8.3.2. (i) S n actua n−transitivamente sobre I n = {1, 2, · · · , n}.

(ii) An actua (n − 2)−transitivamente sobre I n.

Demostraci´ on. (i) Sean {x1, . . . , xn} y {y1, . . . , yn} dos ordenaciones de I n. Seanσ, ρ ∈ S n definidas por σ(i) = xi y ρ(i) = yi. Entonces ρ(σ−1(xi)) = yi ∀i = 1, . . . , n.




(ii) Sean {x1, . . . , xn−2} y {y1, . . . , yn−2} subconjuntos ordenados de I n. Como

S n es n−transitivo, entonces S n es (n − 2)−transitivo, es decir, existe σ ∈ S n talque σ(xi) = yi ∀i = 1, . . . , n − 2.Si σ es par, entonces no hay nada que probar. Supongase que σ es impar. Sean

z1, z2 ∈ I n\{y1, . . . , yn−2}. Entonces Θ = (z1z2)σ es par y ademas Θ(xi) = yi ∀i =1, . . . , n − 2.

Proposicion 8.3.3. Sea G ≤ S n y I n = {1, 2, · · · , n}. Sup´ ongase que G actua transitivamente sobre I n. Sea N (g) el conjunto de puntos de I n que quedan fijos bajog, g ∈ G. Entonces,

(i) g∈G

|N (g)| = |G|.

(ii) Si G es 2−transitivo sobre I n entoncesg∈G

|N (g)|2 = 2|G|.

Demostraci´ on. (i) Simbolicemos por G1 el subgrupo estacionario del punto 1 ∈ I n.Sea i un elemento cualquiera de I n, como G actua transitivamente, entonces existegi ∈ G tal que gi(1) = i. Se determinan ası n elementos (los cuales no podemos ase-

gurar por ahora que sean diferentes) g1 = iI n , · · · , gn de S n. Considerese el conjuntocociente G/G1 de clases laterales izquierdas determinadas por G1 (recordemos quelas clases se definen por medio de la relacion de equivalencia g ≡ h (mod G1) ⇔g−1h ∈ G1). Demostremos que

G =n

i=1 giG1

(siendo ası, podemos afirmar que los n elementos g1, . . . , gn son diferentes). Sea g unelemento cualquiera de G. Sea i ∈ I n la imagen de 1 mediante g: g(1) = i. Entonces

g(1) = i = gi(1) ⇒ g−1i g(1) = 1 ⇒ g−1

i g(1) ∈ G1 ⇒ g ∈ giG1

⇒ G ⊆

ni=1

giG1. Obviamente

ni=1

giG1 ⊆ G.

Supongase que para dos elementos i, j ∈ I n se tiene

giG1 ∩ g j G1 = ∅ ⇒ gih = g jg con h, g ∈ G1 ⇒ h(1) = 1 = g(1) ⇒

gih(1) = gi(1) = i, g jg(1) = g j (1) = j, ⇒ i = j ⇒ giG1 = g jG1.

Esto completa la prueba de la igualdad (8.3.3).



8.3. GRUPOS TRANSITIVOS 95

Sea N (g) el conjunto de puntos de I n que permanecen fijos bajo g; sea {g}×N (g)

el producto cartesiano del conjunto unitario {g} y el conjunto N (g). Notese que parag = h, {g} × N (g) ∩ {h} × N (h) = ∅. Es posible ademas que N (g) = ∅.Sea G j el subgrupo estacionario del punto j ∈ I n. Considerese el producto carte-

siano G j × { j}; como antes, para i = j se tiene que G j × { j} ∩ Gi × {i} = ∅.Evidentemente

Card

(

g∈G

)∅{g} × N (g)

= Card

(

ni=1

)∅G j × { j}

;

Card

(

n

i=1

)∅{g} × N (g)

=

g∈G

Card({g} × N (g)) =

g∈G

|N (g)| =n

j=1

Card(G j × { j}) =n

j=1

|G j|.

Teniendo en cuenta que g j(1) = j ⇒ g−1 j G jg j = G1 (proposicion 8.2.4) entonces,

para cada j ∈ I n, |G j| = |G1|. Ya que todas las clases laterales G1, g2G1, · · · , gnG1

tienen el mismo cardinal, y ademas utilizando (8.3.3) resulta

g∈G

|N (g)| =

nj=1

|Gj | =

nj=1

n|G1| = |G1| + · · · + |G1| = |G1| + |g2G1| + · · · + |gnG1| = |G|,

(ii) Supongase que el grupo G es 2−transitivo sobre I n. Esto implica que G1 esun grupo transitivo sobre I n = I n\{1}.

En efecto, sean x, y ∈ I n. Entonces existe σ ∈ G tal que σ{x, 1} = {y, 1}, esdecir, σ(x) = y y σ(1) = 1; esto indica que σ ∈ G1. (Observese que G1 determinaen I n solo dos orbitas {1} y I n). Sea N (g) el conjunto de puntos de I n que quedanfijos bajo g ∈ G1. Segun la parte i) de esta proposicion obtenemos que

g∈G1

|N (g)| = |G1| ⇒

g∈G1

|N (g)| =

g∈G1

(1 + |N (g)|),

la ultima igualdad se debe a que cada g ∈ G1, deja fijo un punto mas en I n: el 1.

De esto obtenemos queg∈G1

|N (g)| =

g∈G1

1 +

g∈G1

|N (g)| = |G1| + |G1| = 2|G1|.

Analogamente, para cada j ∈ I n obtenemos queg∈Gj

|N (g)| = 2|G j| = 2|G1|,




Por lo tanton

j=1

g∈Gj

|N (g)| = 2n|G1| = 2|G|.

Peron

j=1

g∈Gj

|N (g)| =g∈G

|N (g)|2.



Capıtulo 9

Teoremas de Sylow

De fundamental importancia para el estudio de los grupos finitos son los teoremasprobados por el matematico noruego Ludwig Sylow. Es conocido que para los gruposcıclicos finitos es valido el recıproco del teorema de Lagrange, es decir, si G un grupocıclico finito de orden n y m divide a n entonces G contiene exactamente un sub-grupo de orden m. En este capıtulo se mostrara que la afirmacion anterior es validapara grupos finitos cualesquiera pero con m una potencia de un primo. Ademas,la unicidad se da salvo conjugacion. Los resultados de este capıtulo ayudaran adescribir en el proximo los grupos abelianos finitos.

9.1. p-grupos

En el capıtulo 2 se definieron los principales conceptos relacionados con la partefinita de un grupo. Ademas, se tienen las siguientes definiciones.

(i) Periodo (exponente) de un grupo periodico: supongase que el conjuntode los periodos de los elementos de un grupo periodico es acotado superiormente.Entonces el mınimo comun multiplo de estos perıodos se denomina periodo del grupoperiodico G.

(ii) Parte peri´ odica de un grupo abeliano: sea G un grupo abeliano. Elconjunto de elementos de G de periodo finito constituyen un subgrupo de G llamadosubgrupo de torsi´ on de G o parte periodica de G.

(iii) p-grupos: sea G un grupo ( finito o infinito). Si cada elemento de G tieneperiodo potencia del primo p, se dice que G es un p − grupo.

(iv) p-subgrupo: se dice que H ≤ G es un p − subgrupo de G , si H es un p − grupo.

(v) Grupos primarios: un grupo G se dice que es primario, si G es un p−grupopara algun primo p. En otras palabras, la coleccion de los grupos primarios es lareunion de los p − grupos, donde p recorre los primos positivos.

97



98 CAPITULO 9. TEOREMAS DE SYLOW

(vi) Subgrupo de Sylow : sea G un grupo. Supongase que G contiene p −

subgrupos. El p − subgrupo H se denomina p − subgrupo de Sylow de G si H es maximal entre los p − subgrupos de G.

Ejemplo 9.1.1. Sea G, ·, 1 un grupo abeliano y sea P el conjunto de elementos deG de periodo finito. P = φ ya que 1 ∈ P ; sean x, y ∈ P , entonces existen n, m ∈ Z +

tales que xn = 1, ym = 1. Sea k = m.c.m {n, m} ⇒ (x. y)k = xk.yk = 1,1 = 1 ⇒x.y ∈ P ; si x ∈ P entonces claramente x−1 ∈ P ⇒ P ≤ G.

Ejemplo 9.1.2. Z pn , +, 0 con n ≥ 1 es un p-grupo finito, C p∞ es un p-grupoinfinito.

Ejemplo 9.1.3. Ejemplos de p-subgrupos en un grupo no abeliano: sea GLn(R)

el grupo multiplicativo formado por las matrices reales invertibles. Podemos definirconjuntos de matrices sobre otros grupos que tienen al igual que R tambien un pro-ducto. Sea M 3(Zn) = {A = (aij) | aij ∈ Zn} se definen en M 3(Zn) dos operaciones:

Adici´ on : A = ( aij ), B = ( bij ) ∈ M (3, Zn) tal que A + B = (aij + bij).Multiplicaci´ on : A.B = C = cij donde cij =

3k=1 aik · bkj .

Se puede comprobar facilmente que M 3(Zn), +, 0, donde 0 es la matriz nula, esun grupo abeliano, y que M 3(Zn), ·, E , con E la matriz identica, es un monoide.Tomemos en particular n = p primo y sea GL3(Z p) un grupo multiplicativo delmonoide M 3(Zn). Destacamos en GL3(Z p) el subconjunto UT 3(Z p) definido por:

UT 3(, Z p) = 1 a b

0 1 c0 0 1

| a,b,c ∈ Z p

UT 3(Z p) ≤ GL3(Z p): UT 3(Z p) = φ ya que E ∈ UT 3(Z p); UT 3(Z p) ⊆ GL3(Z p) :

1 a b0 1 c0 0 1

−1

=

1 −a ac − b

0 1 −c0 0 1

.

por ultimo, el producto de dos matrices de UT 3(Z p) es nuevamente una matriz deeste conjunto.

Notese que |UT 3(Z p)| = p3 con lo cual UT 3(Z p) es un p-subgrupo de GL3(Z p), el

cual no es abeliano: 1 1 1

0 1 00 0 1

1 0 1

0 1 10 0 1

=

1 0 1

0 1 10 0 1

1 1 1

0 1 00 0 1

.

Ejemplo 9.1.4. Algunos ejemplos de grupos primarios son C ∞ p , Z pn , UT (3, Z p).

Ejemplo 9.1.5. Subgrupos de Sylow de Z72 : 2-subgrupos: Z1, Z2, Z4, Z8; 2-subgrupo de Sylow : Z8. 3-subgrupos: Z1, Z3, Z9; 3-subgrupo de Sylow : Z9.



9.1. P -GRUPOS 99

Proposicion 9.1.6. Sea G un grupo de orden pn, siendo p primo y n ≥ 1. Entonces,

Z (G) = 1.Demostraci´ on. Sea G un grupo finito cualquiera y sean xG

1 , . . . , xGr , las clases de

equivalencia determinadas por la accion de conjugacion :

G = ∪ri=1xG

i , xi ∈ G.

Se tienen clases de un solo elemento (por ejemplo 1G ). Podemos reordenar los ındicesy suponer que las primeras q clases constan de un solo elemento. Se afirma que Z (G)={x1, . . . , xq} . En efecto, si x ∈ Z (G) ⇒ gxg−1 = x para cada g ∈ G ⇒ xG = {x}⇒ x ∈ {x1, . . . , xq} . El recıproco es evidente.

La ecuacion numerica de clases toma la forma

|G| = | Z (G)| +

ri=q+1 | G : C G(xi)|

Si q = r entonces G es abeliano y ası Z (G) = G = 1. Sea pues q < r. Noteseque |G : C G(xi)| | pn ⇒ pni = |G : C G(xi)| con 1 ≤ ni < n, q + 1 ≤ i ≤ r ⇒ p||Z (G)|luego Z (G) = 1.

Corolario 9.1.7. Todo grupo de orden p2 es abeliano.

Demostraci´ on. El Z (G) es de orden 1, p , p2. Segun la proposicion anterior Z (G) = 1.Supongamos que |Z (G)| = p. Entonces, |G/Z (G)| = p ⇒ G/Z (G) = a, a ∈ G.Logicamente a /∈ Z (G), ademas, Z (G) ⊂ C G(a). Ya que a ∈ Z (G) ⇒ |C G(a)| >

p ⇒ |C G(a)| = p2 ⇒ C G(a) = G ⇒ a ∈ Z (G), lo cual es contradictorio. Luego,

|Z (G)| = p2

⇒ G es abeliano.Proposicion 9.1.8. Sea G un grupo y P, Q ≤ G tales que :

(i) P es p-subgrupo de G.

(ii) P y Q son conjugados, es decir, existe x ∈ G tal que Q = xP x−1.

(iii) P normaliza Q, es decir, para cada p ∈ P , pQp−1 = Q. Entonces P Q es un p-subgrupo de G.

Demostraci´ on. P Q ≤ G : sea pq ∈ P Q ⇒ pqp−1 ∈ Q ⇒ pq ∈ QP ⇒ P Q ⊆ QP .Analogamente, QP ⊆ P Q y ası P Q = QP .

Q P Q : sea q ∈ Q, pq0

∈ P Q ⇒ pq0q( pq

0)−1 = pq

0qq−1

0p−1 ∈ Q. Por el

teorema fundamental de isomorfismo PQ/Q ∼= P/(P ∩ Q). Notese que P/(P ∩ Q)es un p-grupo ( mas generalmente, si G es un p-grupo y N G entonces G/N es un

p-grupo : x ∈ G ⇒ |x| = pα, α ≥ 0; (x) pα

= x pα = 1 ⇒ |x| | pα). Q es un p-grupoya que los elementos de Q tienen el mismo orden que los elementos de P .

P Q es un p-grupo : mas generalmente, si G/N es un p-grupo y N es un p-subgrupo de G, entonces G es un p-grupo : x ∈ G ⇒ |x| = pα, con α ≥ 0; ⇒ (x) pα

=1 ⇒ x pα

∈ N ⇒ (x pα

) pβ

= 1 con β ≥ 0 ⇒ x pα+β

= 1 ⇒ |x| | pα+β , esto completa laprueba de la afirmacion.




Proposicion 9.1.9. Sea G un grupo y H un p-subgrupo de G. Entonces, xHx−1 es

un p-subgrupo de G para cada x ∈ G.

Demostraci´ on. Fue probada en la demostracion anterior.

9.2. Preliminares

El siguiente ejemplo ilustra que el recıproco del teorema de Lagrange no es en generalvalido.

Ejemplo 9.2.1. En A5 no hay subgrupos de orden 30, aunque 30 | |A5| = 60.Si existiera H ≤ A5 tal que | H | = 30 ⇒ H A5. Pero probaremos que para

cada n ≥ 5, An es simple.

Proposicion 9.2.2. Para cada n ≥ 5, An es simple.

Demostraci´ on. Sea H An y H = 1. Sea τ = 1, τ ∈ H . Puesto que cadapermutacion es producto de ciclos disyuntos entonces τ tiene alguna de las siguientesformas:

(a) En la descomposicion de τ hay al menos un ciclo de longitud ≥ 4, τ =(α1α2α3α4 · · · ) · · ·

(b) Si en τ todos los ciclos son de longitud ≤ 3 entonces se presentan dos posi-bilidades :

(b1) τ es exactamente un ciclo de longitud 3 , τ = (α1α2α3).(b2) En τ hay un ciclo de longitud 3 y otros ciclos de longitud ≤ 3 , τ =

(α1α2α3)(α4, α5 · · · ) · · ·(c) En τ todas los ciclos son de longitud ≤ 2, es decir, τ es producto de trans-

posiciones ( al menos 2 ya que H ≤ An ), τ = · · · ( α3 α4)( α1 α2) (si para cadaτ ∈ H no se presenta ninguna de estas 4 formas entonces H = 1).

Demostraremos que la existencia en H de un elemento τ = 1 implica la existenciaen H de al menos un ciclo de longitud 3. Estudiaremos las 4 formas posibles.

(a) τ = (α1α2α3α4 · · · ) · · · ∈ H ; sea θ = (α1α2α3). Como θ = (α1α2)(α1α3) · · · ∈An y H An entonces (θτ θ−1)τ −1 ∈ H, es decir,

(α1α

2α

3)(α

1α

2α

3α

4· · · ) · · · (α

3α

2α

1) · · · (· · · α

4α

3α

2α

1) = (α

1α

2α

4) ∈ H

(1) No hay nada que probar.(b2) τ = · · · (α4α5 · · · )(α1α2α3) ∈ H. Sea θ = (α1α2α4) ∈ An ⇒ θτ θ−1τ −1

= (α1α2α5α3α4) ∈ H . Segun (a) esto implica que H contiene un ciclo de longitud 3.(c) τ = · · · ( α3 α4)( α1 α2) ∈ H ; θ = (α1α2α3) ∈ An ⇒ θτ θ−1τ −1 = (α2α4)(α1

α3) ∈ H . Puesto que n ≥ 5 entonces (α1α2α5α3α4) = (α1α4)(α1α3)(α1α5)(α1α2) ∈An, de aquı resulta: (α1α2α5α3α4)(α2α4)(α1α3)(α1α2α5α3α4)−1 = (α1α5)(α2α4) ∈H. Hagamos ahora el producto de estas permutaciones (α1α5)(α4α2)(α2α4)(α1α3) =(α1α3α5) ∈ H .



9.2. PRELIMINARES 101

Queremos mostrar ahora que la contenencia en H de un ciclo de longitud 3

implica la inclusion en H de todos los 3-ciclos, con lo cual H = An. Sean pues(α1α2α3) un ciclo de H. Sea (β 1β 2β 3) un 3-ciclo cualquiera de An. Puesto quen ≥ 5 entonces An es 3-transitivo; existe entonces σ ∈ An tal que σ(β i) = αi,i = 1, 2, 3. Entonces σ−1(α1α2α3)σ = (β 1β 2β 3) ∈ H .

Antes de probar los tres teoremas de Sylow consideremos algunos hechos elemen-tales de la teorıa de numeros.

Proposicion 9.2.3. Sea X un conjunto de n elementos. Entonces el n´ umero desubconjuntos diferentes de k elementos de X , 0 ≤ k ≤ n, es :

n

k =

n!

(n − k)!k!

.

Demostraci´ on. Por induccion sobre n.

n = 1: Valores de k : k = 0,

10

= 1; k = 1

11

= 1.

Supongamos que la afirmacion es cierta para conjuntos de n elementos: X ={x1,x2, . . . , xn} . Agregamos a X un nuevo elemento xn+1 y vemos cuantos subcon-

juntos de k elementos, 0 ≤ k ≤ n , tiene X = X ∪ {xn+1}.Podemos considerar que la coleccion de subconjuntos de X de k elementos

esta conformada por aquellos subconjuntos donde xn+1 no aparece y aquellos quecontienen a xn+1. Del primer tipo de subconjuntos tenemos de acuerdo a la hipotesisinductiva n

k.Los subconjuntos del segundo tipo podemos obtenerlos de la siguiente manera.

En cada uno de los

nk

subconjuntos de k elementos donde no aparece xn +1 pode-

mos suprimir un elemento y en su lugar colocar xn +1. Puesto que cada conjuntotiene k elementos podemos hacer con cada uno k sustituciones; en total obtenemosk

n

k

conjuntos donde aparece xn +1. Sin embargo, en este proceso cada conjunto

aparece n +1 − k veces repetido ( en efecto consideremos el conjunto de k elementos{ xi1, · · · , xik

} ⊂ X , quitamos por ejemplo xi1 y obtenemos { xn +1, xi2, · · · xik} .

El numero de conjuntos iguales en este es n − 1 + k obteniendo al cambiar xi1 porlos n − k + 1 elementos restantes de X − { xi1, · · · , xik

}).Por lo tanto el numero de conjuntos diferentes de k elementos donde figura xn +1

esk

(

n

k)n − k +1 . Como conclusion obtenemos que el numero de conjuntos de k elementosde X es :

n

k

+

k

n

k

n − k + 1

=

n

k

1 +

k

n − k + 1

=

n + 1

k

.

Hemos probado que el numero de subconjuntos de k elementos con 0 ≤ k ≤ n, deun conjunto de n + 1 elementos es

n +1

k

.

El caso k = n + 1 es evidentemente pues

n +1n +1

= 1.




La siguiente afirmacion es clave en la demostracion de los teoremas de Sylow.

Proposicion 9.2.4. Sean p primo, m ∈ Z +, ( p, m) = 1, r ≥ 0, 0 ≤ k ≤ n.Entonces, la mayor potencia de p que divide a

pr m

pk

es pr −k.

Demostraci´ on. Notese en primer lugar que prm

pk

=

pr −k m( pr m − 1) · · · ( pr m − ( pk − 1))

12 · · · ( pk − 1)

Consideremos el racional pr m − ii

con 1 ≤ i ≤ pk − 1 < pk. Si p j es unapotencia de p que divide a i, entonces

i = p j

λ < pk

⇒ j < k ≤ r ⇒ pr

m − i = pr

−j+ j

m − p j

λ = p j

( pr

− j

m − λ) ⇒ p j/prm − i, es decir, p j es tambien una potencia que divide a prm − i.Sea ahora p j una potencia de p que divide a prm− i, entonces prm− i = p jλ ⇒

prm − p jλ = i ⇒ j ≤ r de lo contrario, prm − p j−r+rλ = i ⇒ pr(m − p j−rλ) = i ⇒i ≥ pr ≥ pk, lo cual es falso.

Por lo tanto pr+ j− j mp j λ = i ⇒ p j( pr− j m − λ) = i ⇒ p j/i.

En conclusion, como (m, p) = 1, entonces el racional m( pr m−1)···( pr m−( pk−1))1,2···( pk −1)

eslibre de potencias de p.

Resta ver que pr−k |

pr m pk

. Sea c =

pr m

pk

y m( pr m−1)···( pr m− pk+1)

1,2···( pk −1)= a

b, donde esta

ultima fraccion ya esta libre de factores p en su numerador y denominador. Entonces

c = p

r

−k a

b , luego cb = p

r

−k

a, es decir, p

r

−k

| c. Notese que p

r

−k+1

no divide a prm

pk

,ya que de lo contario ab pr−k = pr−k+1λ y entonces a

b= pλ, lo cual ya probamos no

se tiene.

9.3. Teoremas

Teorema 9.3.1 (Teoremas de Sylow). Sea G un grupo finito y sea p un n´ umeroprimo que divide al orden de G. Entonces:

(i) Existencia: para cada potencia pα que divide al orden de G, existe en G un

subgrupo de orden pα

. Adem´ as, si pα+1

divide tambien a | G| entonces cada subgrupo de orden pα est´ a incluido en un subgrupo de orden pα+1. En particu-lar, los p-subgrupos de Sylow de G existen y son los subgrupos de G de orden

pr, donde pres la m´ axima potencia de p que divide al orden de G.

(ii) Conjugaci´ on: todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados en G.

(iii) Cantidad: la cantidad de los p-subgrupos de Sylow de G es congruente con 1modulo p y divide al orden del grupo G.



9.3. TEOREMAS 103

Demostraci´ on. (i) Existencia : sea n el orden del grupo G y sea pr la maxima

potencia de p que divide a n. Sea pues n = pr

m, donde ( p, m) = 1. Consideremosel conjunto M de todos los subconjuntos de G que contiene pα elementos. Puestoque G actua sobre si mismo de la manera trivial

G × G → G, (g, x) → gx

Se induce entonces una accion de G sobre M. Demostraremos en primer lugar quela accion de G sobre M determina una orbita de s elementos {M 1 . . . M s} tal que

pr − α + 1 no divide a s: sabemos que card(M ) =

pr m pα

; si la longitud de cada una de

las orbitas determinadas en M por el grupo G es divisible por pr − α + 1, entonces pr − α + 1 divide a card(M ) debido a la ecuacion de clases, pero esto no es posible

segun la proposicion 9.2.4.Sea G1 el sugrupo estacionario de M 1. Queremos demostrar que G1 es de orden

pα. Sea |G1| = t. Entonces de acuerdo al teorema de Lagrange |G : G1| |G1| = |G| ,es decir, , st = prm. Sea pw la mayor potencia de p que divide a s y pv la mayorpotencia de p que divide a t, es decir, s = pwa, t = pvb. Entonces la mayor potenciade p que divide a st , es decir a n , es pw+v. Por lo tanto w + v = r. Pero como

pr −α +1 no divide a s, entonces w < r −α+1, es decir, w ≤ r −α, de aquı obtenemosque v = r − w ≥ α y por lo tanto pα | pv| t. Ası pues, pα| t y con esto t ≥ pα.

Sea ahora x ∈ M 1. Notese que G1x ⊆ M 1. En efecto, sea g ∈ G1. Entoncesgx ∈ gM 1 = M 1, es decir gx ∈ M 1 y ası obtenemos la inclusion mencionada. De estainclusion obtenemos que |G1| = |G1x| ≤ |M 1| = pα, es decir, t ≤ pα. De t ≥ pα yt ≤ pα obtenemos que |G1| = t = pα.

Hemos probado pues que el grupo G contiene necesariamente un subgrupo deorden pα; el subgrupo G1.

Pasamos ahora a demostrar la segunda afirmacion del primer teorema de Sylow.Supongase que pα +1 divide a n = |G| y sea P un subgrupo de G de orden pα.

Consideremos la accion de conjugacion sobre el conjunto S de subgrupos del G. SeaC la orbita del subgrupo P , es decir,

C = {gP g−1 | g ∈ G} = P G.

Recuerdese que |C | = |G : N G(P )| , donde N G(P ) es el normalizador de P en G(=grupo estacionario de P mediante la accion de conjugacion). Notese que:

|C | =|G|

|N G(P )|⇒ |G| = |C ||N G(P )|.

Consideremos 2 posibilidades: si p no divide a |C | entonces como pα+1 | |G|entonces necesariamente pα+1 | |N G(P )|. Notese que entonces p divide al ordendel grupo cociente N G(P )/P . Segun lo demostrado en la primera parte, N G(P )/P debe contener un subgrupo de orden p. Segun el teorema de correspondencia dicho




subgrupo es de la forma P ∗/P donde P ∗ ≤ G. Por lo tanto |P ∗/P | = |P ∗||P | = |P ∗|

P α=

p ⇒ |P ∗| = pα

+1 y entonces P ∗ es el subgrupo buscado.Analicemos ahora la segunda posibilidad: p | |C |. Consideremos nuevamente el

conjunto C de los subgrupos de G conjugados con P . El subgrupo P actua sobre C mediante la conjugacion, es decir, si gP g−1 ∈ C con g ∈ G, entonces x( gP g−1)x−1 ∈C para cada x ∈ P . Como es sabido la longitud de las orbitas determinadas medianteesta accion dividen al orden del grupo P ,es decir, dichas longitudes son de la forma

pαi , con 0 ≤ αi ≤ α.Notese que uno de los elementos de C es el subgrupo P , por lo tanto, la orbita

por el determinada consta de un solo elemento; el mismo subgrupo P . Sean O1 ={P }, O2, . . . , Os las orbitas que determina la accion de P sobre C . Entonces segunla ecuacion de clases

|C | = 1 + |O2| + · · · + |Os|.

Puesto que estamos suponiendo que p | |C | y las longitudes de las orbitas O2 . . . Os

son potencias de p entonces debe existir al menos otra orbita con un solo elementoQ ; de lo contrario p|1, lo cual es falso. Q es por lo tanto un subgrupo conjugadocon P tal que xQx−1 = Q para cada x ∈ p; es decir, P normaliza Q.

Tenemos pues en G, P y Q subgrupos conjugados tales que P normaliza Q y P esun p-subgrupo de G. Segun la proposicion 9.1.8, P Q es un p-subgrupo de G. Como Qes conjugado con P existe g ∈ G tal que P = gQg−1. En la prueba de la proposicion

9.1.8 se vio que Q es subgrupo normal de P Q, notese que en realidad la contenenciaes propia: si Q = P Q ⇒ P ≤ P Q = Q ⇒ P ≤ Q, pero |P | = |Q| ⇒ P = Q, lo cuales falso.

PQ/Q es un p-subgrupo no trivial ⇒ p | |PQ/Q| ⇒ en PQ/Q hay un subgrupoQ∗/Q de orden p ⇒ |Q∗| = p |Q| = pα+1 ⇒ Q ≤ Q∗ donde |Q∗| = pα+1 ⇒g−1P g = Q ≤ Q∗ ⇒ P ≤ gQ∗g−1 y |gQ∗g−1| = pα+1.

Para terminar la demostracion del primer teorema de Sylow mostremos que los p-subgrupos de Sylow de G son los subgrupos de G de orden pr, donde pr es lamaxima potencia de p que divide al orden de G.

Demostramos en primer lugar la siguiente afirmacion consecuencia directa delprimer teorema de Sylow.

Afirmaci´ on . Sea G un grupo finito y sea H ≤ G, un p-subgrupo de G. Entonces|H | = pn, n ≥ 0.

En efecto, Sea H = {1}, y sea q | |H | donde q es un primo diferente de p.Entonces, H contiene un subgrupo de orden q, el cual es cıclico, es decir, H contieneun elemento de orden q. Pero esto contradice que H p-grupo. Por lo tanto, el unicoprimo que divide el orden de H es p, por lo tanto |H | = pn, n ≥ 0.

Regresamos sobre los p-subgrupos de Sylow de G. Sea H un p-subgrupo de Sylowde G. Entonces, segun la afirmacion anterior |H | = pα, 0 ≤ α ≤ r. Si α = r entonces



9.3. TEOREMAS 105

H esta incluido en un grupo de orden pα+1. Pero esto contradice la condicion de

ser H maximal. Por lo tanto, |H | = pr

.Sea ahora K un p-subgrupo de G de orden pr donde pr es la maxima potencia

de p que divide al orden de G. Sea H un p-subgrupo de G que contiene a K ; comovimos, |H | = pα, pero como pr es la maxima potencia de p que divide a |G| entoncesα = r y ası H = K , es decir, K es maximal y por lo tanto K es un p-subgrupo deSylow de G. Hemos concluido la demostracion del primer teorema de Sylow.

(ii) Conjugaci´ on : sean nuevamente G a un grupo de orden n y sea pr la maximapotencia de p que divide a n, n = prm, donde ( p, m) = 1. Sea P un p-subgrupo deSylow de G, es decir, |P | = pr. Consideremos nuevamente la accion de conjugacionsobre el conjunto S de los subgrupos de G. Sea C la orbita del subgrupo P , esdecir C = {gP g−1 | g ∈ G} = P G, en otras palabras, C es el conjunto de todos lossubgrupos de G conjugados con P .

Sea Q otro p-subgrupo de Sylow de G. Se desea probar que Q ∈ C . El subgrupoQ actua nuevamente con la accion de conjugacion sobre C , dividiendo a C en orbitas.La longitud de cada orbita divide al orden de Q, |Q| = pr. Por lo tanto la longitud

de cada orbita es de la forma pα con 0 ≤ α ≤ r. Notese que |C | = |G||N G(P )| o tambien

|C | |N G(P )| = |G| = prm, como P ≤ N G(P ) entonces |P | = pr | |N G(P )|. Puestoque pr es la maxima potencia de p que divide a n = |G| entonces p no divide a |C |.Por lo dicho anteriormente, debe existir al menos una orbita de un solo elemento P .Esto implica que para cada x ∈ Q se tiene que xP x−1 = P , es decir, Q normalizaP . Ademas como P es conjugado con P , entonces P es un p-subgrupo de Sylow.

Tenemos pues que Q/P ∩ Q es un p-grupo. Se tiene el isomorfismo

P Q/P ∼= Q/P ∩ Q

Puesto que P es un p-grupo y P Q/P tambien lo es, entonces P Q es un p-subgrupo de G. Notese que P ≤ P Q, Q ≤ P Q; como P y Q son p-subgrupos deSylow, entonces P = P Q = Q.

(iii) Cantidad : como P un p-subgrupo de Sylow de G todos los p-subgrupos deSylow de G estan en P G, ademas cada subgrupo gP g−1 de P G es un p-subgrupo deSylow. La primera afirmacion fue demostrada en 2) y la segunda se desprende deque |gP g−1| = |P |. Por lo tanto el numero de p-subgrupos de Sylow de G es igualal cardinal de P G.

Puesto queP G |N G(P )| = |G| entonces el numero de p-subgrupos de Sylow

de G divide el orden de G. P actua sobre P G mediante la accion de conjugaciondeterminado al menos una orbita de un solo elemento: {P }. Supongase que P de-termina otra orbita de un solo elemento Q, Q = P . Entonces se tiene que P y Q conconjugados, P normaliza Q, P es un p-subgrupo. De aquı obtenemos que P Q es un

p-subgrupo y ademas P es subgrupo propio de P Q. Esto contradice el hecho de queP es maximal. Por lo tanto P determina sobre P G solo una orbita unitaria. Ya que




las longitudes de las orbitas dividen a pr = |P | entonces P G ≡ 1 (mod p ).

9.4. Aplicaciones

Proposicion 9.4.1. Sea G un grupo finito y sea H un p-subgrupo de Sylow de G.Entonces, H G ⇔ H es ´ unico.

Demostraci´ on. ⇐) Sea x ∈ G ⇒ |xHx−1| = |H | ⇒ xHx−1 es p-subgrupo de Sylow⇒ xHx−1 = H , entonces H G.

⇒) Sea K un p-subgrupo de Sylow ⇒ K = xHx−1 = H ⇒ H es unico.

Corolario 9.4.2. Sea G un grupo finito y sea H el p-subgrupo de Sylow de G tal que H G. Entonces H = {x ∈ G | |x| es una potencia de p}.

Demostraci´ on. Sea x ∈ H , como H por definicion es p-subgrupo entonces |x| es unapotencia de p. De otra parte, sea x ∈ G tal que |x| = pα ⇒ x es un p-subgrupo deG ⇒ x esta contenido en el unico p-subgrupo de Sylow de G.

La proposicion anterior sirve para caracterizar todos los subgrupos de orden pqcon p > q y p, q primos

Proposicion 9.4.3. Sea G un grupo de orden pq con p y q primos y con p > q.

Entonces:(i) G ∼= Z pq

(ii) G es no abeliano y se tiene que G = G pq := a, b | a p = 1, bq = 1,bab−1 = ak

con k ≡ 1 (m´ od p) y kq ≡ 1 (m´ od p), p ≡ 1 (m´ od q ) .

Demostraci´ on. G contiene al menos un subgrupo de Sylow H = a de orden p y unsugrupo de Sylow K = b de orden q. Sean n p y nq el numero de tales subgruposde Sylow, como p > q entonces n p = 1. De aqui se afirma que H G. Para nq setienen entonces dos posibilidades, nq = 1 o nq = p.

Caso 1. En G solo hay un subgrupo de Sylow de orden q. Entonces K G yaba−1b−1 ∈ H ∩ K = 1, luego ab = ba ⇒ G ∼= Z pq.

Caso 2. En G hay p subgrupos de Sylow de orden q. Esto implica que p ≡ 1(modq). Veamos que esta situacion es descrita por b). G no es abeliano, en caso contrarionq = 1 , como H G existe 1 < k < p tal que bab−1 = ak y k ≡ 1( p). Si fuesek ≡ 1( p) entonces: p|(k − 1) ⇒ ak−1 = 1 ⇒ ak = a ⇒ ab = ba ⇒ G ∼= Z pq y G serıaabeliano.

Notese que escogiendo k entre 1 y p tal k es unico. Observese que b2ab−2 = ak2.

En efecto,(ak)k = ak2= (bab−1)k = bakb−1 = b(bab−1)b−1 = b2ab−2.



9.4. APLICACIONES 107

Podemos generalizar esta relacion por induccion y probar que

bnab−n = akn

, n ≥ 0 (9.4.1)

Tomando en particular n = q obtenemos que a = akq

⇒ p|(kq − 1) ⇒ kq ≡ 1( p).Sea W = a, b ≤ G; y sea x ∈ W . Entonces x = ar1bl1 · · · arm blm , 0 ≤ ri ≤ p−1,

0 ≤ li ≤ q − 1 , 0 ≤ i ≤ m. Consideremos el producto blar con 0 ≤ l ≤ q − 1 ,0 ≤ r ≤ p − 1. De (9.4.1) se desprende que bnarb−n = arkn

, n ≥ 0, r ≥ 0. Deaquı obtenemos que bnar = arkn

bn de esta relacion se obtiene que cada elementox ∈ G toma la forma x = arbl con 0 ≤ r ≤ p − 1, 0 ≤ l ≤ q − 1. Tales x tenemosmaximo pq. Veamos que son exactamente pq. Sean 0 ≤ r, s ≤ p−1 y 0 ≤ l, m ≤ q−1tales que arbl = asbm ⇒ bm−l = ar−s ∈ a ∩ b ⇒ b

m−l

| p, bm−l

| q ⇒ bm−l = 1.

Por la condicion de m y l se tiene que m = l. Analogamente r = s.Ası pues, |W | = pq con lo cual G = W . Hemos probado pues que G cumpletodas las condiciones de b), por ultimo notemos la regla de multiplicacion en G pq yescribamos sus elementos:

G pq =

1, a , a2 . . . a p−1; b, b2 . . . bq−1; ab,ab2 . . . a bq−1; · · · , a p−1b . . . a p−1bq−1

arblasbm = ar+skl

bl+m, r, l , s, m ≥ 0.

Proposicion 9.4.4. Sea p primo impar y G un grupo de orden 2 p. Entonces, G ∼=

Z2 p ´ o G ∼= D p.

Demostraci´ on. Si G es abeliano entonces G ∼= Z2 p. En caso contrario existen a, b ∈ Gtales que |a| = p, |b| = 2, bab−1 = ak con k ≡ 1( p), k2 ≡ 1( p), p ≡ 1(2),1 ≤ k ≤ p − 1

k = 1: descartado. Supongase que 2 ≤ k ≤ p − 2. Como p|(k2 − 1) ⇒ p|k + 1o p|k − 1. Por la condicion de k obtenemos una contradiccion. Ası, k = p − 1 ⇒bab = a p−1 = a−1. Entonces, G ∼= D p.

Corolario 9.4.5. Los grupos de orden 6 son Z6 y D3∼= S 3.

Demostraci´ on. Consecuencia directa de la proposicion anterior.

Proposicion 9.4.6. Los grupos no abelianos de orden 8 son D4 y Q8.

Demostraci´ on. Sea G un grupo no abeliano de orden 8. Entonces en G debe existiral menos un elemento a de orden 4. En efecto, si todos los elementos = 1 tienenorden 2 entonces G es abeliano. G tampoco posee elementos de orden 8, ya que encaso contrario serıa cıclico y por lo tanto abeliano.

Puesto que |G : a| = 2 entonces a G. Evidentemente existe al menos un benG tal que b /∈ a . Notese que los elementos 1, a , a2, a3,b,ba,ba2, ba3 son diferentes,




con lo cual G = a, b. Puesto que |G : a| = 2 entonces b2 ∈ a. En efecto, como

en G/ a solo hay dos clases entonces b2

= b (de lo contrario, b = 1 y ası b ∈ a ).Se presentan entonces las siguientes posibilidades: b2 = 1, a , a2, a3;b2 = a ⇒ b8 = a4 = 1 ⇒ |b| = 8, falso.b2 = a3 ⇒ b8 = a12 = 1 ⇒ |b| = 8 falsoSe tiene entonces que b2 = 1 o b2 = a2

De otra parte como a G entonces bab−1 = 1, a , a2, a3.bab−1 = 1 ⇒ a = 1, falso.bab−1 = a ⇒ ab = ba ⇒ G es abeliano, falso.bab−1 = a2 ⇒ |bab−1| = |a| = |a2| = 4 = 2, imposible.En total, bab−1 = a3 = a−1.Se tiene pues que G es un grupo formado por dos elementos a y b para los cuales

a4 = 1, b2 = 1, bab−1 = a−1 o a4 = 1, b2 = a2, bab−1 = a−1. En el primer casoG ∼= D4 y en el segundo G ∼= Q8.

Proposicion 9.4.7. Los grupos no abelianos de orden 12 son: A4, D6 y

T := a, b | a6 = 1, b2 = a3,bab−1 = a−1.

Demostraci´ on. Sea H un subgrupo de Sylow de G de orden 3: H = c. Medianteel refinamiento del teorema de Cayley podemos definir un homomorfismo

ψ : G → S (G/H ) ∼= S 4

Notese que N (ψ) ⊆ H (N (ψ) es el subgrupo normal mas grande de G contenido enH ), ⇒ N (ψ) = 1 o N (ψ) = H. Si N (ψ) = 1 ⇒ G es isomorfo a un subgrupo de S 4de orden 12. Pero se puede probar que si n ≥ 2, G ≤ S n, |G| = n!

2⇒ G = An.

Supongase ahora que N (ψ) = H , entonces H es normal en G y por lo tanto H esel unico 3-subgrupo de Sylow. Entonces, en G solo hay dos elementos de orden 3: cy c2. Puesto que dos elementos conjugados tienen el mismo orden entonces

cG = 1

o 2; ⇒ |C G(c)| = 12 o 6. En cualquiera de los dos casos C G(c) contiene un elementod de orden 2. Como cd = dc, sea pues a = cd ; ⇒ |a| = 6 ⇒ a G y |G/ a| = 2.

Sea b ∈ G, b /∈ a ⇒ b2 ∈ a (ver la demostracion de la proposicion 10)⇒ b2 = 1, a , a2, a3, a4, a5 ; tambien, bab−1 ∈ a ⇒ bab−1 = 1, a , a2, a3, a4, a5.bab−1 = 1 ⇒ a = 1, falso.bab−1 = a ⇒ ab = ba ⇒ a, b es abeliano, pero este subgrupo tiene 12 elementos

y coincide entonces con G, falso.bab−1 = a2 ⇒ (bab−1)

3= 1 ⇒ ba3b−1 = 1 ⇒ a3 = 1, falso.

bab−1 = a3 ⇒ (bab−1)2

= 1 ⇒ a2 = 1, falso.bab−1 = a4 ⇒ (bab−1)

3= 1 ⇒ a3 = 1, falso.

bab−1 = a5 = a−1 ⇒ bab−1 = a−1, esta es una entonces una condicion necesariaen G.



9.4. APLICACIONES 109

b2 = 1, esta es una posibilidad.

b2 = a ⇒ (b2)6

= 1 ⇒ b12 = 1 ⇒ |b| | 12 : entonces|b| = 1 ⇒ b = 1, falso.|b| = 2 ⇒ b2 = 1 = a, falso.|b| = 3 ⇒ b2b = 1 ⇒ ab = 1 ⇒ b ∈ a, falso.|b| = 4 ⇒ b4 = a2 = 1, falso.|b| = 6 ⇒ b6 = a3 = 1, falso.

⇒ |b| = 12 ⇒ G es abeliano, falso.

b2 = a2 puesto que bab−1 = a−1 ⇒ (bab−1)2

= a−2 ⇒ ba2b−1 = a−2 ⇒ bb2b−1 =a−2 ⇒ b2 = a−2 = a2 ⇒ a4 = 1, falso.

b2 = a3, esta es una posibilidad.b2 = a4 : (bab−1)

4= a−4 ⇒ ba4b−1 = a−4 ⇒ bb2b−1 = a−4 ⇒ b2 = a−4 = a4 ⇒

a8 = 1 ⇒ 6|8, imposible.b2 = a5 ⇒ (b2)

6= (a5)

6= 1 ⇒ b12 = 1 ⇒ |b| | 12: entonces

|b| = 1 ⇒ b = 1, falso.|b| = 2 ⇒ a5 = 1, falso|b| = 3 ⇒ a15 = 1 ⇒ 6|15, falso.|b| = 4 ⇒ a10 = 1, falso.|b| = 6 ⇒ a15 = 1, falso.

|b| = 12 ⇒ G es abeliano, falso.Resumiendo los resultados anteriores obtenemos que si G es un grupo no abelianode orden 12 entonces :

G es A4 o en G se tienen dos elementos a y b tales que a6 = 1, b2 = 1,bab−1 = a−1,o en G hay dos elementos a , b tales que a6 = 1, b2 = a3,bab−1 = a−1.

Veamos que en los dos ultimos casos G = a, b. En ambas situaciones conside-remos los elementos:

C =

akbm | 0 ≤ k ≤ 5, 0 ≤ m ≤ 1

y sea 0 ≤ k1, k2 ≤ 5, 0 ≤ m1, m2 ≤ 1 tales que ak1

bm1

= ak2

bm2

⇒ ak1

−k2

= bm2

−m1

.Supongamos que m2 = m1 y por ejemplo m2 > m1 ⇒ ak1−k2 = b ∈ a, falso, ⇒m2 = m1 ⇒ k1 = k2.

Ası pues, en A hay 12 elementos y en consecuencia G = a, b, en total obtenemosque si G es un grupo no abeliano de orden 12, entonces G es alguno de los siguientesgrupos:

A4,D6 =a, b | a6 = 1, b2 = 1,bab−1 = a−1

, T =

a, b | a6 = 1, b2 = a3, bab−1 = a−1




9.5. Ejercicios

1. Sea G un grupo formado por dos elementos x, y tales que

(i) x p = 1 (es decir x es de orden p)

(ii) yq = 1 (es decir y es de orden q < p)

(iii) Existe 1 < k0 < p, k0 ≡ 1( p) tal que yxy−1 = xk0

(iv) kq0 ≡ 1 ( p)

(v) p ≡ 1 (q).

Entonces, G ∼= G pq.

2. Demuestre que ningun grupo de orden pq es simple, donde p, q son primos.

3. Demuestre que todo grupo de orden 15 es cıclico.



6. Demuestre que si n ≥ 2, H ≤ S n, |H | = n!2

⇒ H = An.

7. Demuestre que los grupos A4, D6 y T no son isomorfos.

Demostraci´ on. Solucion. En el capıtulo 6 se demostro que Z (D6) = Z2. En elcapıtulo 11 se calcula el centro del grupo alternante An a partir unicamente dela definicion de centro y de la definicion del grupo alternante, allı se muestraque Z (An) = 1 para n ≥ 4. Esto ilustra que D6 y A4 no son isomorfos. De igualforma, en el Capıtulo 11 se calcula el centro del grupo T a partir unicamentede su tabla y se establece que Z (T ) =< a3 >∼= Z2; de esto se deduce que An yT no son isomorfos. Finalmente, de la tabla de T se deduce que en este grupob es un elemento de orden 4, en cambio D6 no tiene elementos de este orden.Esto demuestra que T y D6 no son isomorfos.

8. Calcule el grupo Aut(T ).

9. Calcule el grupo Aut(G pq).



Capıtulo 10

Grupos abelianos finitos

El objetivo central de este capıtulo es describir para un entero positivo n dado todoslos grupos abelianos de orden n (salvo isomorfismo). La descripcion se hara enterminos de p-grupos cıclicos los cuales, como veremos, son indescomponibles. Seestablecera ademas un criterio para la unicidad de dicha descomposicion.

10.1. p-grupos abelianos finitos

Comenzamos probando que todo grupo finito G de orden n = pr11 · · · prk

k es sumadirecta de sus subgrupos de Sylow si, y solo si, estos son normales. En el caso de ser

G abeliano esta condicion se da automaticamente y podemos enunciar el siguienteteorema.

Teorema 10.1.1. Sea G un grupo finito de orden n,

|G| = n = pr11 · · · prk

k ; p1, . . . , pk primos diferentes y r1, . . . , rk ≥ 1

Entonces, G es suma directa de sus subgrupos de Sylow si, y s´ olo si, estos son normales en G:

G = P 1 ⊕ · · · ⊕ P k, (10.1.1)

donde P i es el pi-subgrupo de Sylow de G, 1 ≤ i ≤ k. En particular, si G es abeliano,

entonces G es suma directa interna de sus subgrupos de Sylow.

Demostraci´ on. ⇒): si G es suma directa de sus subgrupos de Sylow, entonces porla definicion de suma directa, cada sumando es necesariamente subgrupo normal deG.

⇐): para 1 ≤ i ≤ k, sea P i un pi-subgrupo de Sylow de G tal que P i es unsubgrupo normal de G. Entonces P i es unico. Probaremos entonces que (10.1.1) secumple. Veremos que cada elemento x ∈ G tiene una representacion unica en laforma x = x1 · · · xk, donde xi ∈ P i, 1 ≤ i ≤ k.

111



112 CAPITULO 10. GRUPOS ABELIANOS FINITOS

(a) Por razones de orden de sus elementos, para i = j se tiene que P i ∩ P j = 1.

(b) A partir de (a) se obtiene que para i = j los elementos de P i conmutan conlos de P j.(c) El neutro 1 de G tiene representacion unica: sean xi ∈ P i, 1 ≤ i ≤ k

tales que 1 = x1 · · · xk. Sea si = |xi|, entonces si = pαi

i , 0 ≤ αi ≤ ri. Sea s =s1 · · · si−1si+1 · · · sk, entonces 1s = xs

i , luego si|s y pαi

i | pα11 c · · · p

αi−1

i−1 pαi+1

i+1 · · · pαk

k . Estoimplica que αi = 0, luego si = 1, es decir, xi = 1, para cada 1 ≥ i ≥ k.

(d) Cada elemento x ∈ G se puede representar en la forma unica anunciada: seax ∈ G de orden r de tal forma que r|n y r = ps1

1 . . . psk

k , donde 0 ≤ si ≤ ri con1 ≤ i ≤ k. Sea ui = r

psii

, entonces m.c.d.{u1, . . . , uk} = 1. Existen entonces enteros

t1, . . . , tk tales que 1 = t1u1 + · · · + tkuk, sea xi = xtiui , 1 ≥ i ≥ k. Notese que

x

psii

i = (xtiui

) p

sii

= xtiui p

sii

= xtir

= 1; luego xi ∈ P i. Notese ahora que x1 · · · xk =xt1u1 · · · xtkuk = xt1u1+···+tkuk = x1 = x. A partir de (b) y (c) se obtiene que estarepresentacion es unica.

Corolario 10.1.2. Sea n = pr11 · · · prk

k . Entonces,

Zn∼= Z p

r11

× · · · × Z prkk

.

Demostraci´ on. Consecuancia inmediata del teorema anterior.

El objetivo central en la descripcion de los grupos abelianos finitos consiste enexpresar G como suma directa de subgrupos de estructura simple y conocida, comopor ejemplo a traves de subgrupos cıclicos. Desde luego que sobre estos subgrupos

habra que colocar alguna restriccion ya que de lo contrario la descomposicion noserıa unica. Notese por ejemplo que Z6

∼= Z2 × Z3.Nuestro objetivo inmediato es estudiar los p-grupos abelianos finitos, es decir,

los grupos abelianos cuyo orden es de la forma pn, n ≥ 0.

Proposicion 10.1.3. Si G es un grupo cıclico de orden pn, entonces G no se puededescomponer en suma directa de subgrupos cıclicos de orden menor, es decir, G esirreducible.

Demostraci´ on. Sabemos que G ∼= Z pn∼= C pn . Probemos inicialmente que los unicos

subgrupos de C pn son los subgrupos de la cadena

{1} = C p0 ⊂ C p1 ⊂ C p2 ⊂ · · · ⊂ C pn−1 ⊂C pn .

Sea K ≤ C pn ⇒ |K | | pn ⇒ |K | = pα, 0 ≤ α ≤ n; sea x K ⇒ x pα

= 1 ⇒ K ≤C pα ⇒ K = C pα .

Ahora si existiera H , K en C pn tales que C pn = H ⊕ K entonces H = C pα ,K = C pβ , H ∩ K = {1}. Para α y β dados se tiene que α ≤ β o β ≤ α. En el primercaso H ≤ K y H ∩ K = H = {1} ⇒ α = 0 y β = n. En el segundo caso K ≤ H,H ∩ K = K = {1} ⇒ α = n, β = 0. En total la unica descomposicion de C pn es latrivial: C pn = {1} ⊕ C pn .



10.1. P -GRUPOS ABELIANOS FINITOS 113

Ejemplo 10.1.4. Z4 y Z2 ⊕ Z2 no son isomorfos; Z9 y Z3 ⊕ Z3 no son isomorfos.

Teorema 10.1.5. Cada p-grupo abeliano finito G es suma directa de subgruposcıclicos.

Demostraci´ on. Sea G un p-grupo abeliano finito, entonces |G| = pn, con n ≥ 0. Laprueba se realiza por induccion sobre n. Si n = 0 o n = 1, entonces G es cıclico yno hay nada mas que demostrar.

Sea n ≥ 2. Suponemos que el teorema ya ha sido probado para grupos de orden pα con 0 ≤ α < n. Sea G de orden pn. Si G es cıclico entonces segun la proposicionanterior la unica descomposicion de G es la trivial: G = {1} ⊕ G.

Supongase que G no es cıclico. Cada elemento a de G, a = 1, tiene orden de la

forma |a| = p

β

, 0 < β < n. Escojamos un a = 1 que tenga orden maximal p

m

(estoquiere decir que no existe y en G tal que |y| = pm+1).Consideremos el grupo cociente G = G /a. Puesto que |G| = pn

pm = pn−m y0 < n − m < n entonces segun la hipotesis inductiva

G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr

donde cada Gi es un subgrupo cıclico de G de orden |Gi| = pmi , 1 ≤ mi ≤ n−m, 1 ≤i ≤ r; ademas

m1 + m2 + · · · + mr = n − m.

Sea Gi = δi, δi = δia, δi G, 1 ≤ i ≤ r. Serıa logico pensar que G = δ1 ⊕ · · · ⊕

δr⊕a. Sin embargo no es este el caso, pero con ayuda de los elementos δ1 . . . δrconstruiremos otros a1 . . . ar y para ello probaremos que G = a1 ⊕ a2 ⊕ · · · ⊕ar ⊕ a.

Notese que para cada 1 ≤ i ≤ r, (δi) pmi = (δ pmi

i ) = 1 ⇒ δ pmi

i a ⇒ δ pmi

i = asi

con 0 ≤ si < pm. Sea |bi| = pαi con 1 ≤ αi ≤ m, entonces (b pmi

i ) pαi = (asi ) pαi , luego1 = asi p

αi , entonces pm|si pαi y existe entonces ti tal que si = ti p

m−αi . Definimosentonces

ai =: δia−ti , 1 ≤ i ≤ r.

Notese que para cada 1 ≤ i ≤ r ai = δi : en efecto, ai = aia = δia = δi ya queaiδ−1

i = a−ti a. De aquı obtenemos que ai = δi = Gi, 1 ≤ i ≤ r. Por lo tanto,

G = ai ⊕ · · · ⊕ ar.Sea x un elemento cualquiera de G. Entonces x = x1 · · · xr donde xiai, 1 ≤

i ≤ r; ⇒ xi = aiki , 0 ≤ ki < pmi , ⇒ xi = aki

i ⇒ x = ak11 · · · akr

r ⇒ x(ak11 · · · akr

r )−1 =aka ⇒ x = ak1

1 · · · akrr ak.

Se ha probado que cada elemento x de G se expresa como producto de elementosde a1 · · · ar y a. Queda por demostrar que la representacion es unica. Para estoes suficiente demostrar la unicidad de la representacion del elemento identidad 1.Sea




1 = ak11 · · · akr

r ak con 0 ≤ ki < pmi , 0 ≤ k < pm.

Mediante el homomorfismo G →> G /a obtenemos 1 = ak11 · · · akr

r ⇒ ak11 =

1 . . . akrr = 1 ya que G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr y aki

i Gi, 1 ≤ i ≤ r ⇒ aki

i < a >,

1 ≤ i ≤ r ,⇒ aki

i = az con 0 ≤ z < pm; ⇒ δki

i a−tiki = az ⇒ δki

i = az+tiki ⇒ δki

i =az+tiki = 1 ⇒ (δi)ki = 1. Como |δi| = pmi y 0 ≤ ki < pmi ⇒ ki = 0, 1 ≤ i ≤ r⇒ 1 = ak. Como 0 ≤ k < pm y |a| = pm ⇒ k = 0.

El teorema anterior ha probado que cada grupo abeliano finito de orden pn sedescompone en suma directa de subgrupos cıclicos

G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr,

donde |Gi| = pmi , 1 ≤ mi ≤ n, 1 ≤ i ≤ r, m1 + · · · + mr = n, 1 ≤ r ≤ n (nNoteseque aquı se ha incluido el caso trivial en el que G es cıclico y r = 1).

Vale la pena entonces preguntar sobre la unicidad de la descomposicion anterior.

Teorema 10.1.6. Si el grupo abeliano finito G se descompone en dos formas en producto de subgrupos cıclicos

G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr = H 1 ⊕ · · · ⊕ H s,

entonces r = s y los ´ ordenes |Gi| coinciden con los ´ ordenes |H j| despues de una reordenaci´ on de ındices.

Demostraci´ on. Este resultado se puede enunciar y probar de una manera mas gen-eral usando teorıa de modulos, omitimos sun demostracion e invitamos al lector aconsultar [9].

10.2. Sistemas de invariantes

Segun el teorema 10.1.5 cada p-grupo abeliano finito G, |G| = pn, determina unar − pla ( pm1, . . . , pmr ) conformada por los ordenes de los subgrupos cıclicos de sudescomposicion:

G = G1 ⊕ · · · ⊕ Gr, |Gi| = pmi ,

La suma directa se puede reordenar de tal forma que m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr ≥ 1,1 ≤ r ≤ n (se ha incluido el caso trivial cuando G es cıclico y r = 1). Segun elteorema 10.1.6, la longuitud r de la r − pla ası como sus componentes pm1 , . . . , pmr ,estan determinadas unıvocamente por el grupo G. Esta primera observacion permitedar la siguiente definicion.

Definicion 10.2.1. Sea G un p − grupo abeliano finito, (|G| = pn).



10.2. SISTEMAS DE INVARIANTES 115

(i) Se dice que G es del tipo ( pm1, . . . , pmr ) si G es suma directa de subgrupos

cıclicos de ´ ordenes pmi

, 1 ≤ i ≤ r, m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr, 1 ≤ r ≤ n,m1 + · · · + mr = n, las componentes pm1, . . . , pmr de la r − pla se denominan divisores elementales del grupo G.

(ii) Sean A y B dos p − grupos abelianos finitos con el mismo sistema de divisoreselementales ( pm1, . . . , pmr ). Entonces A = A1 × · · · × Ar, B = B1 × · · · × Br

con Ai∼= Z pmi

∼= Bi. El sistema de isomorfismos ϕi induce el isomorfismo

ϕ : A → B

ϕ(a1, . . . , ar) := (ϕ1(a1), . . . , ϕr(ar))

Hemos probado entonces la siguiente proposicion.

Proposicion 10.2.2. Con sus divisores elementales cada p-grupo abeliano finito sedetermina unıvocamente salvo isomorfismo.

Veamos en un ejemplo la ilustracion de los resultados anteriores.

Ejemplo 10.2.3. Sea p un primo cualquiera y n = 4. Determinemos todos losposibles grupos abelianos de orden p4.

Divisores elementales: ( p4), ( p3, p), ( p2, p2), ( p2, p , p), ( p, p, p, p). Salvo isomorfis-mo, unicamente se tienen los siguientes grupos distintos de orden p4:

Z p4, Z p3 ⊕ Z p, Z p2 ⊕ Z p2, Z p2 ⊕ Z p ⊕ Z p, Z p ⊕ Z p ⊕ Z p ⊕ Z p.

El ejemplo anterior permite la siguiente generalizacion:

Definicion 10.2.4. Sea n un entero positivo. Una sucesi´ on de enteros positivos(m1, . . . , mr) con m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr ≥ 1 y m1 + · · · + mr = n se denomina una partici´ on de n. Sea p(n) el n´ umero de particiones de n.

Ejemplo 10.2.5. n = 4: (4), (3, 1), (2, 2), (2, 1, 1), (1, 1, 1, 1) ⇒ p(4) = 5.

Proposicion 10.2.6. Sea F la clase de todos los grupos abelianos no isomorfosde orden pn, n ≥ 1, y sea P el conjunto de todas las particiones de n. Existe una correspondencia h biunıvoca entre F y P , es decir, el n´ umero de grupos abelianosno isomorfos de orden pn es finito e igual a p(n).

Demostraci´ on. Segun hemos visto cada elemento G de F determina unıvocamentesu tipo ( pm1, . . . , pmr ) con m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mr y m1 + · · · + mr = n. Tenemos puesla funcion

h: F → P h(G) := (m1, . . . , mr)




Cada particion (m1 . . . mr) determina un unico grupo (salvo isomorfismo) con sis-

tema de divisores elementales ( pm1

, . . . , pmr

). Ası pues, h es 1 − 1. Ahora, h esclaramente sobre: (m1, . . . , mr) determina ( pm11 , . . . , pmr ), el cual una vez determina

Z pm1 ⊕ · · · ⊕ Z pmr .

Ejemplo 10.2.7. 1. Determinar todos los subgrupos abelianos de orden 4 : 4 =22 ⇒ p = 2, n = 2 ⇒ (4), (2, 2) ⇒ Z4, Z2 ⊕ Z2

∼= V.

2. Determinar todos los grupos abelianos de orden 9 : 9 = 32; ⇒ p = 3, n = 2⇒ (9), (3, 3) ⇒ Z9, Z3 ⊕ Z3.

3. Determinar todos los grupos abelianos de orden 125 : p = 5, n = 3 ⇒ (53),

(52

, 5), (5, 5, 5) ⇒ Z125, Z25 ⊕ Z5, Z5 ⊕ Z5 ⊕ Z5.

Definicion 10.2.8. Un grupo abeliano de orden pn con sistema de divisores elemen-tales ( p, . . . , p) (es decir, isomorfo a Z p ⊕ · · · ⊕ Z p) se denomina grupo abeliano

elemental .

10.3. Grupos abelianos finitos

De los resultados de las secciones anteriores obtenemos las siguientes conclusiones.

Teorema 10.3.1. Cada grupo abeliano finito es suma directa de p-subgrupos cıcli-cos. Dos descomposiciones difieren s´ olo en el orden de disposici´ on de los sumandos.

Demostraci´ on. Sea G un grupo abeliano finito de orden n

|G| = pn11 · · · pnk

k , p1 . . . pk son primos diferentes.

Entonces, segun el teorema 10.1.1 G tiene una descomposicion unica en suma directade sus subgrupos de Sylow (sus componentes primarias),

G = P 1 ⊕ · · · ⊕ P k

Segun el teorema 10.1.5 cada componente primaria P i, 1 ≤ i ≤ k, se descompone ensuma directa de subgrupos cıclicos (componetes primarias cıclicas). Ademas, segunel teorema 10.1.6 cada componente primaria P i determina unıvocamente el numeroy orden de sus subgrupos cıclicos:

P 1 = G11 ⊕ · · · ⊕ G1

t1, P 2 = G2

1 ⊕ · · · ⊕ G2t2

, . . . , P k = Gk1 ⊕ · · · ⊕ Gk

tk,

donde los Gi j son pi-subgrupos cıclicos. Entonces,

G = G11 ⊕ · · · ⊕ G1

t1⊕ G2

1 ⊕ · · · ⊕ G2t2

⊕ · · · ⊕ Gk1 ⊕ · · · ⊕ Gk

tk.



10.3. GRUPOS ABELIANOS FINITOS 117

Si G tiene otra descomposicion en suma directa de subgrupos primarios cıclicos

G = H 1 ⊕ H 2 ⊕ · · · ⊕ H , entonces podemos ordenar dichos sumandos de tal for-ma que colocamos todos los p1-grupos a la izquierda, los p2-grupos a la derecha acontinuacion y ası sucesivamente. Segun el primer teorema de Sylow en esta nuevadescomposicion de G deben aparecer pi− grupos para cada primo pi, 1 ≤ i ≤ k.

Ademas, segun el segundo teorema de Sylow los pi−sumandos conforman el pi−subgrupo de Sylow de G. Luego segun el teorema 10.1.6, los pi sumandos dela nueva descomposicion deben ser tantos como ti, 1 ≤ i ≤ k, ademas los ordenesdeben coincidir con los ordenes de Gi

1, . . . , Giti

.

El teorema anterior describe de manera completa los grupos abelianos finitos enterminos de grupos primarios cıclicos.

Corolario 10.3.2. El n´ umero de grupos abelianos no isomorfos de orden

n = pn11 · · · pnk

k , p1, . . . , pk primos diferentes

es p(n1) p(n2) · · · p(nk), donde p(ni) es el n´ umero de particiones del entero positivoni, 1 ≤ i ≤ k.

Demostraci´ on. Consecuencia directa del teorema anterior y de la proposicion 10.2.6.

Proposicion 10.3.3 (Recıproco del Teorema de Lagrange para grupos

abelianos finito). Sea G un grupo abeliano finito y sea m ∈ Z+

tal que m||G|.Entonces G contiene al menos un subgrupo de orden m.

Demostraci´ on. Sea |G| = n = pn11 · · · pnk

k y sea m|n, m = pm11 · · · . pmk

k con 0 ≤mi ≤ ni, 1 ≤ i ≤ k. Existen en G subgrupos H 1, . . . , H k de ordenes |H i| = pmi

i ,1 ≤ i ≤ k. Como G es abeliano H 1 · · · H k ≤ G. Veamos que |H 1 · · · H k| = m. Paraello probemos que H j ∩ (H 1 · · · H j−1H j+1 · · · H k) = 1, para cada 1 ≤ j ≤ k.

Sea x ∈ H j ∩ (H 1 · · · H j−1H j+1 · · · H k), entonces |x| | pmj

j y |x| | pm11 · · · p

mj−1

j−1

pmj+1

j1 · · · pmk

k ⇒ |x| | d, donde d = m.c.d. ( pmj

j ; pm11 · · · p

mj−1

j−1 pmj+1

j+1 · · · pmk

k ) = 1 ⇒|x| = 1 ⇒ x = 1.

Ejemplo 10.3.4. (i) Determinemos todos los grupos abelianos de orden 1440.1440 = 25,5,32;p(5): (5),(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1);p(1)=(1);p(2):(2),(1,1); ⇒Z32 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z32 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3

Z16 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z16 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3

Z8 ⊕ Z4 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z8 ⊕ Z4 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3

Z8 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z8 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3




Z4 ⊕ Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z4 ⊕ Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3

Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z4 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3,Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z9; Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z5 ⊕ Z3 ⊕ Z3

(ii)Veamos que Z72 ⊕ Z84∼= Z36 ⊕ Z168:

Z72 ⊕ Z84∼= Z8 ⊕ Z9 ⊕ Z4 ⊕ Z3 ⊕ Z7

∼= Z9 ⊕ Z4 ⊕ Z8 ⊕ Z3 ⊕ Z7∼= Z36 ⊕ Z168

(iii) Son Z72 ⊕ Z12 y Z18 ⊕ Z48 isomorfos?Z72 ⊕ Z12

∼= Z8 ⊕ Z9 ⊕ Z4 ⊕ Z3∼= Z8 ⊕ Z4 ⊕ Z9 ⊕ Z3 ⇒ (23, 22, 32, 31);

Z18 ⊕ Z48∼= Z9 ⊕ Z2 ⊕ Z16 ⊕ Z3

∼= Z16 ⊕ Z2 ⊕ Z9 ⊕ Z3 ⇒ (24, 21, 32, 31).Puesto que los sistemas de divisores elementales son distintos, entonces los grupos

no son isomorfos.

10.4. Grupos de orden ≤ 15Con la informacion obtenida en este y el capıtulo anterior podemos determinar (salvoisomorfismo) todos los grupos de oren ≤ 15.

n Abelianos No abelianos

1 1

2 Z2

3 Z3

4 Z4, V = a, b|a2 = 1 = b2, ab = ba

5 Z5

6 Z6 D3 = S 37 Z7

8 Z8,Z4 ⊕ Z2,Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 D4, Q8

9 Z9,Z3 ⊕ Z3

10 Z10 D5

11 Z11

12 Z12,Z6 ⊕ Z2 A4, D6, T = a, b | a6 = 1, b2 = a3,bab−1 = a−113 Z13

14 Z14 D7

15 Z15

10.5. Ejercicios1. Determine todos los grupos abelianos de orden 1024.

2. Sean G, H grupos abelianos finitos tales que G × G ∼= H × H . Demuestre queG ∼= H .

3. Sean G, H grupos abelianos finitos tales que para cada entero positivo m ambostienen el mismo numero de elementos de orden m. Demuestre que G ∼= H .



10.5. EJERCICIOS 119

4. Sea G un grupo abeliano que tiene 8 elementos de orden 3, 18 elementos

de orden 9 y el elemento identidad. Encuentre la descomposicion de G comoproducto de grupos cıclicos.



Capıtulo 11

Grupos solubles

En los capıtulos anteriores hemos tratado con grupos abelianos y grupos finitos. Ungrupo cualquiera no esta obligado a pertenecer a alguna de estas clases, sin embargosiempre se puede relacionar de alguna manera con ellas y estudiar por este caminoel grupo. Una de las mas importantes generalizaciones de la conmutatividad es lasolubilidad, de la cual nos ocupamos en este capıtulo. Es importante anotar que lasolubilidad en grupos esta estrechamente ligada con la solubilidad en radicales delas ecuaciones algebraicas (vease [10]). Ademas de la solubilidad, consideramos eneste capıtulo los conmutadores y el conmutante de un grupo.

11.1. Centro de un grupoUno de los parametros que indica el grado de conmutatividad de un grupo es laaproximacion de el con su centro.

Proposicion 11.1.1. Sea G un grupo, H un subgrupo de G y A un subconjunto novacıo de G. Los conjuntos

N H (A) := {x ∈ H |Ax := xAx−1 = A},C H (A) := {x ∈ H |ax := xax−1 = a para cada a ∈ A}

se denominan normalizador y centralizador de A en H , respectivamente. Se

tiene queC H (A) N H (A) ≤ H

Demostraci´ on. Notese que N H (A) = φ ya que 1 ∈ N H (A) . Sean x, y ∈ N H (A) ⇒Axy = (Ax)y = Ay = A ⇒ xy ∈ N H (A); ademas Ax−1

= A, es decir, x−1 ∈N H (A). Esto indica que N H (A) ≤ H . De manera analoga se prueba que C H (A) ≤H . Evidentemente C H (A) ≤ N H (A). Sea x ∈ N H (A) y sea y ∈ C H (A) ⇒xyx−1a (xyx−1)

−1= xyx−1axy−1x−1 = xyaoy−1x−1, donde ao = x−1ax ∈ A; luego

xyaoy−1x−1 = xa0x−1 = a, es decir, xyx−1 ∈ C H (A).

120



11.1. CENTRO DE UN GRUPO 121

Consideremos ahora el caso particular en el cual H = G y A = K es un subgrupo

de G.

Proposicion 11.1.2. Sea G un grupo y K ≤ G. Entonces

(i) KN G (K ) y N G (K ) es el subgrupo m´ as grande de G en el cual K es normal.

(ii) KG ⇔ N G (K ) = G.

Demostraci´ on. (i) La primera parte es consecuencia de la definicion de normalizador.(ii) Es una consecuencia directa de (i).

Definicion 11.1.3. Sea G un grupo. Se denomina centro del grupo G al centra-

lizador de G en G y se denota por Z (G)

Z (G) := {x ∈ G|ax = a para cada a ∈ G}

Corolario 11.1.4. Sea G un grupo. Entonces

(i) Z (G) es un grupo abeliano.

(ii) Z (G) G.

(iii) G es abeliano ⇔ G = Z (G).

Demostraci´ on. Consecuencia directa de la definicion de centro.

Ejemplo 11.1.5. (i) Z (Z) = Z, Z (Zn) = Zn, Z (Q) = Q, Z (R) = R, Z (C) = C,Z (Z∗) = Z∗ = Z2, Z (Q∗) = Q∗, Z (R∗) = R∗, Z (C∗) = C∗, Z (C p∞) = C p∞,Z (Q p) = Q p

(ii) Z (S n); Z (An):n = 2 ⇒ S 2 ∼= Z2 ⇒ Z (S 2) = S 2; Z (A2) = A2

n ≥ 3 : si n = 3 ⇒ A3∼= Z3 ⇒ Z (A3) = A3. Sea π un elemento cualquiera de

S n, π = 1. Entonces π es producto de ciclos disjuntos:

π = (ij · · · ) (· · · ) · · · donde i = j

Como n ≥ 3 existe k = i, k = j. Consideremos la trasposicion ( jk). Notese queπ ( jk) = ( jk) π. En efecto,

π ( jk) i = j; ( jk) πi = k.

Por lo tanto para cada π = 1 en S n, n ≥ 3, existe un elemento con el cual π noconmuta ⇒ Z (S n) = 1, n ≥ 3.

Sea ahora n ≥ 4 y sea π = (ij · · · ) (· · · ) · · · un elemento de An diferente de 1.Sea = i, = j, = k y k escogido como antes. Entonces ( jk) ∈ An y ademas



122 CAPITULO 11. GRUPOS SOLUBLES

π ( jk) = ( jkl) π. En efecto, π ( jkl) i = j = k = ( jk) πi; ⇒ para cada π = 1 en

An, n ≥ 4, existe un elemento con el cual π no conmuta ⇒ Z (An) = 1, n ≥ 4.(iii) Sea G un grupo y sea x un conjunto no vacıo. Entonces Z [Apl (x, G)] = {f :x → G|f (x) ⊆ Z (G)} = Aplc (x, Z (G)).

(iv) Sea G = G1 × · · · × Gn. Entonces Z (G) = Z (G1) × · · · × Z (Gn). Noteseque el resultado anterior puede ser generalizado a una familia cualquiera de grupos:Z (

i∈I Gi) =

i∈I Z (Gi).(v) Sea G = G1 × · · · × Gn y sean H i ≤ Gi, 1 ≤ i ≤ n. Sea H = H 1 × · · · × H n.

Entonces

N G (H ) = N G1 (H 1) × · · · × N Gn (H n)

El resultado anteior se puede generalizar a una familia cualquiera de grupos: G =i∈I Gi, H =

i∈I H i.

11.2. Conmutante de un grupo

Otro de los parametros que permite establecer la “distancia”de un grupo a la con-mutatividad es su conmutante. Definimos en esta leccion el conmutante de dos sub-conjuntos cualesquiera de un grupo.

Definicion 11.2.1. Sea G un grupo cualquiera y sean a, b elementos de G. Se de-nomina conmutador de los elementos a y b al elemento [a, b] de G definido por

[a, b] := a−1b−1ab

Se denomina conmutante de G o subgrupo derivado de G al subgrupo generadopor los conmutadores y se denota por G:

G := [a, b] | a ∈ G, b ∈ G

M´ as generalmente, sean L, M ⊆ G no vacıos. Se denomina conmutante mutuo

o sencillamente conmutante de L y M al subgrupo

[L, M ] := [a, b] | a ∈ L, b ∈ M

Proposicion 11.2.2. Sea G un grupo y sean L,MG. Entonces [L, M ]G. En par-ticular, GG.

Demostraci´ on. Cada elemento z de [L, M ] es de la forma z = z1 · · · zk, donde cadazi, 1 ≤ i ≤ k, es de la forma [a, b] o [a, b]−1 con a ∈ L, b ∈ M . Sea x un elementocualquiera de G. Entonces zx = x−1zx = zx

1 · · · zxk . Pero

[a, b]x = [ax, bx] y ax ∈ L, bx ∈ M [a, b]−1x

= ([a, b]x)−1

= [ax, bx]−1.



11.2. CONMUTANTE DE UN GRUPO 123

Se obtiene entonces que zx ∈ [L, M ] , es decir, [L, M ] G. La ultima afirmacion se

tiene de G = [G, G].

Proposicion 11.2.3. Sea G un grupo. G es abeliano ⇔ G = 1.


Proposicion 11.2.4. Sea G un grupo. Si G ≤ K ≤ G entonces KG. Adem´ as,G/G es un grupo abeliano y G est´ a contenido en cada subgrupo normal K de G tal que G/K sea abeliano. En particular, el m´ aximo cardinal de G/K , con este ´ ultimoabeliano, es igual a | G : G |.

Demostraci´ on. Sea K tal que G ≤ K ≤ G. Sea x ∈ G y a un elemento cualquierade K . Entonces (x−1ax) a−1 ∈ GK ; ⇒ x−1ax ∈ K , es decir, KG. Sean x, y ∈ G.Entonces x −1 y −1 xy = x−1y−1xy = 1, es decir, xy = yx y ası G/G es abeliano.

Sea ahora KG tal que G/K es abeliano. Sea z = z1 · · · zk un elemento cualquierade G. Cada zi es de la forma [a, b] = a−1b−1ab o de la forma [a, b]−1 = [b, a] =b−1a−1ab, donde a, b ∈ G. Consideremos la clase de a−1b−1ab en el cociente G/K :a−1b−1ab = a−1b−1 ab = 1, o sea que (a−1b−1ab)

−1∈ K . De lo anterior se desprende

que z ∈ K y en total G ≤ K . Ademas, | G |=| G : K || K |≥| G : K || G |⇒| G : G || G |=| G |≥| G : K || G |⇒| G : G |≥| G : K |.

Consideremos ahora algunas propiedades de los conmutadores y conmutantes.

Proposicion 11.2.5. Sea G un grupo tal que G/Z (G) es cıclico. Entonces G esabeliano.

Demostraci´ on. Sea x un elemento de G. Entonces, x = xZ (G) ∈ G/Z (G). Comoeste cociente es cıclico existe a ∈ G tal que x = a k para algun k ∈ Z ⇒ x−1ak ∈Z (G), es decir, existe z ∈ Z [G] tal que x−1ak = z ⇒ x = akz−1, es decir, x es de laforma x = akω, donde ω ∈ Z (G).

Sean x.y elementos cualesquiera de G. Entonces

[x, y] = x−1

y−1

xy =

ak1

w1−1

ak2

w2−1

ak1

w1ak2

w2, donde k1, k2 ∈ Z yw1w2 ∈ Z (G);

⇒ [x, y] = w−11 a−k1w−1

2 a−k2ak1w1ak2w2 = a−k1−k2+k1+k2 = 1,

es decir, x, y conmutan. Lo anterior implica que G es abeliano.

Proposicion 11.2.6. Sea G un grupo de orden pq, donde p y q son primos difer-entes, tal que Z (G) = 1. Entonces G ∼= Z pq. En particular Z (D p) = 1 si p es impar y primo.




Demostraci´ on. Puesto que Z (G) ≤ G entonces | Z (G) |= p,q,pq. Si | Z (G) |= pq

entonces es abeliano e isomorfo a Z pq.Si | Z (G) |= p entonces | G/Z (G) |= q y en consecuencia G/Z (G) es cıclico.Segun vimos G es abeliano y nuevamente G ∼= Z pq. Analogamente si | Z (G) |= q.

La ultima afirmacion ya habıa sido considerada en el capıtulo 6.

Ejemplo 11.2.7. (i) Z = 0, Zn = 0, n ≥ 1; Q = 0, R = 0, C = 0, Z∗ = 1,

Q∗ = 1, R∗ = 1, C∗ = 1, C

p∞ = 1, Q

p = 0.

(ii) S

n = An : en efecto, para n = 1, S

1 = 1 = S 1 = A1. Para n = 2, S

2 = 1 = A2

ya que S 2 es abeliano. Veamos la prueba para n ≥ 3.Probemos en primer lugar que An ⊆ S

n : puesto que An esta generado por losciclos de longitud 3 basta probar que cada ciclo (abc) de longitud 3 esta en S n :Sean a,b,c diferentes, entonces

(abc) = [(ab) , (ac)], en efecto[(ab) , (ac)] = (ab)−1 (ac)−1 (ab) (ac) = (ab) (ac) (ab) (ac) = (abc).

S

n ⊆ An : sean α, β ∈ S n. Entonces, [α, β ] = α−1β −1αβ es una permutacion por(iii) Calculemos ahora A

n. Para n = 1, A

1 = 1, para n = 2, A

2 = 1, paran = 3, A

3 = 1 ya que A3 es abeliano. Para n = 4 veremos que An = V (el grupo de

Klein). Probemos que A

4 = {1, (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)}, es decir, A

4∼= V .

Sea L = {1, (12) (34) , (13) (24) , (14) (23)}An : Denotando por a = (12) (34),b = (13) (24), entonces a2 = 1 = b2, ab = (14) (23) = ba, esto prueba que el conjunto

mencionado es realmente un subgrupo de An y ademas que es isomorfo al grupocuarto de Klein.

Notese que en L estan todos los productos de dos transposiciones disyuntas. Seaπ ∈ S n una permutacion cualquiera de S n y sea (α1α2) (β 1β 2) uno cualquiera detales productos. Entonces

π−1 (α1α2) (β 1β 2) π = π−1 (α1α2) ππ−1 (β 1β 2) π= (π (α1) , π (α2)) (π (β 1) , π (β 2)) ∈ L;

lo anterior prueba que LS n, en particular, LAn.A

4 ⊆ L : teniendo en cuenta que An esta generado por ciclos de longitud 3,

LAn y las formulas del ejercicio 4 de este capıtulo, es suficiente probar que elconmutador de 2 tres-ciclos esta en L. Sean i ,j,k,l elementos diferentes de I n (enparticular, si n = 4). Entonces

[(ijk) , (ijl)] = (ij) (kl) ∈ L[(ijk) , (ilj)] = (il) ( jk) ∈ L.

Notese que el conmutador [(ijk) , (lij)] coincide con el primero, [(ijk) , ( jli)] tambiencoincide con el primero.



11.2. CONMUTANTE DE UN GRUPO 125

L ⊆ A

n : las relaciones anteriores demuestran esta inclusion ya que ademas

(ik) ( jl) = (il) ( jk) (ij) (kl).n ≥ 5 : A

n = An, n ≥ 5. En efecto, sean i ,j,k,l ,m elementos diferentes deI n. Entonces (ijk) = [(ikl) , (ijm)] y esto prueba que An ⊆ A

n y en consecuenciaA

n = An.

Cerramos esta seccion con otras propiedades de los conmutantes.

Proposicion 11.2.8. Sea G un grupo, A, B ≤ G y sea H := A, B. Entonces

(i) [A, B] , A [A, B] , B [A, B] H .

(ii) A [A, B] B [A, B] = H .

Demostraci´ on. (i) [A, B] H : sea y ∈ [A, B] y sea x ∈ H . Queremos mostrar quex−1yx ∈ H . Notemos que y es de la forma

y = [a1,b1]ε1 · · · [an, bn]εn , (11.2.1)

donde ai ∈ A, bi ∈ B, εi = ±1, 1 ≤ i ≤ n, x es de la forma

x = xλ11 · · · xλm

m , xi ∈ A ∪ B, λi = ±1, 1 ≤ i ≤ m. (11.2.2)

Basta entonces considerar los productos de la forma x−1 [a, b] x, x−1 [a, b]−1 x, cona ∈ A, b ∈ B y x ∈ A ∪ B.

x ∈ A: notese que x−1 [a, b] x = [ax,b] [x, b]−1

∈ [A, B] (vease el ejercicio 4).x−1 [a, b]−1 x = (x−1 [a, b] x)

−1∈ [A, B]

x ∈ B: x−1 [a, b] x = x−1 [b, a]−1 x = (x−1 [b, a] x)−1

=

[bx,a] [x, a]−1−1(vease el ejercicio 4)

= [x, a] [bx,a]−1

= [a, x]−1 [a,bx] ∈ [A, B]Ahora, x−1 [a, b]−1 x = (x−1 [a, b] x)

−1∈ [A, B]

A [A, B] H : sean y ∈ [A, B] un elemento como en (∗) y sea x ∈ H un elementocomo en (∆); sea ademas a ∈ A. Es suficiente entonces considerar solamente unproducto de la forma

x−1ayx, con x ∈ A ∪ B.

Pero x−1ayx = x−1axx−1yx; pero segun lo probado , x−1yx ∈ [A, B]. Ademas, six ∈ A entonces x−1ax ∈ A y ası x−1ayx ∈ A [A.B].

Si x ∈ B entonces x−1ax = x−1axa−1a = [x, a−1] a = [a−1, x]−1

a ∈ [A, B] A =A [A, B], y ası x−1ayx ∈ A [A, B] (la ultima igualdad es consecuancia de que Anormaliza [A, B]).

B [A, B] H : analogo al caso anterior pero considerando el producto x−1byx conb ∈ B, y ∈ [A, B].




(ii) A [A, B] B [A, B] = H : segun (i) A [A, B] B [A, B] ≤ H . Puesto que H =

A, B sea x ∈ A o x ∈ B. Entonces x = x · 1 · 1 · 1 ∈ A [A, B] B [A, B] o x =1 · 1 · x · 1 ∈ A [A, B] B [A, B].

Proposicion 11.2.9. Sea G = A × B entonces [G, G] = [A, A] × [B, B]. Esteresultado se puede extender a un producto finito de grupos.

Demostraci´ on. Sean x = [a1, b1], y = [a2, b2] ∈ G. Se tiene entonces la identidad

[x, y] = ([a1, a2] , [b1, b2])

la cual inmediatamente da la inclusion de izquierda a derecha.Para la otra inclusion observemos que cada elemento de [A, A] × [B, B] es de

la forma [c1 · · · cm, d1 · · · dl], donde ci son conmutadores de A y d j conmutadores de

B. Se puede suponer sin perdida de generalidad que m = l, y entonces se tiene[c1, d1] · · · [cm, dm] y resta aplicar otra vez la identidad de arriba.

Ejemplo 11.2.10. Recordemos que Q8 = a, b | a4 = 1, b2 = a2, bab−1 = a−1. Cal-culemos [Q8, Q8] :

b−1 = a2b,ba = a3bakbi, arb j

= (akbi)−1(arb j )−1akbiarb j

= b−ia−kb− ja−rakbiarb j = b−ia−kb− jak−rbiarb j

(a) i = 0, j = 0 : a−kak−rar = 1.(b) i = 0, j = 1 : a−kb−1ak−rarb = a−ka2bakb

= a−k+2a−kb2 = a2a2 = 1.

(c) i = 1, j = 0 : b−1a−kak−rbar = a2ba−ra3rb = a2ba2rb= a2a6rb2 = a2a6ra2 = a6r = (a2)3r ∈ a2 .

(d) i = 1, j = 1 : b−1a−kb−1ak−rbarb = (a2)9r+3k ∈ a2 ⇒ [Q8, Q8] = a2 yaque tomando r = 1 en (c) tenemos que a2 ∈ [Q8, Q8] .

11.3. Cadenas normales

Nuestro objetivo central ahora es probar los teoremas de Jordan-Holder y Schreiersobre refinamientos isomorfos de cadenas subnormales y normales.

Definicion 11.3.1. Se denomina cadena de un grupo G a una sucesi´ on finita totalmente ordenada de subgrupos de G comenzando en 1 y terminando en G:

1 = H 0 ≤ H 1 ≤ · · · ≤ H n = G. (11.3.1)

La cadena (11.3.1) se denomina subnormal si

H i H i+1, para cada 0 ≤ i ≤ n − 1.

La cadena (11.3.1) se denomina normal si



11.3. CADENAS NORMALES 127

H i G, para 0 ≤ i ≤ n.

Se dice que un subgrupo H de un grupo G es subnormal en G, lo cual denotamospor H G, si H es miembro de una cadena subnormal de G.

Los cocientes H i+1/H i, 0 ≤ i ≤ n − 1, se denominan secciones de la cadena subnormal (11.3.1).

Observacion 11.3.2. Para los grupos abelianos los conceptos de cadena, cadenasubnormal y normal coinciden. Evidentemente en el caso general toda cadena nor-mal es subnormal.

Ejemplo 11.3.3. (i) 0 < 6Z < 3Z < Z y 0 < 45Z < 15Z < 3Z <

Z son cadenas de Z con secciones 6Z/0∼= Z, 3Z/6Z ∼= Z2, Z/3Z = Z3; 45Z/0∼= Z,15Z/45Z ∼= Z3, 3Z/15Z ∼= Z5, Z/3Z = Z3.

(ii) 1 < 2Z < Z < Q p es una cadena de Q p con secciones 2Z/1∼= Z, Z/2Z ∼= Z2,Q p/Z = C p∞ .

(iii) 1 < C p < C p2 < · · · < C pn es una cadena de C pn con secciones isomorfas aC p.

(iv) 1 < g < K = {1, f 2, g , f 2g} < D4 es una cadena subnormal no normal deD4 con secciones isomorfas a Z2.

(v) 1 < a2 < b < Q8; 1 < a2 < a < Q8; 1 < a2 < ab < Q8 son cadenasnormales de Q8 con secciones isomorfas a Z2. Notese que en Q8 toda cadena esnormal ya que todos sus subgrupos son normales.

(vi) 1 < {1, (12)(34)} < A4 = {1, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} < A4 es una

cadena subnormal no normal de A4 con secciones Z2, Z2, Z3. En efecto, {1, (12)(34)}no es normal en A4 : (123)−1(12)(34)(123) = (13)(24).

Definicion 11.3.4. Sean

1 = H 0 ≤ H 1 ≤ · · · ≤ H n = G, (11.3.2)

1 = K 0 ≤ K 1 ≤ · · · ≤ K m = G (11.3.3)

cadenas del grupo G.

(i) (11.3.3 ) es un refinamiento de (11.3.2 ) si {H 0, . . . , H n} ⊆ {K 0, . . . , K m}.

(ii) Sean (11.3.2 ) y (11.3.3 ) cadenas subnormales (normales) de G. Se dice queellas son isomorfas si n = m y existe π ∈ S n tal que

H i+1/H i ∼= K π(i)+1/K π(i), 0 ≤ i ≤ n − 1.




Ejemplo 11.3.5. (i) 0 < Z2< Z6 < Z12 < Z24 < Z48 es un refinamiento de la

cadena 0 < Z2 < Z12 < Z48.(ii) 0 < Z2 < Z6 < Z24 y 0 < Z4 < Z12 < Z24 son cadenas normales isomorfas deZ24: Z2/0 ∼= Z2

∼= Z24/Z12 ; Z24/Z6∼= Z4

∼= Z4/0 Z6/Z2∼= Z3

∼= Z12/Z4.

Una ultima definicion para luego probar los principales resultados de esta seccion.

Definicion 11.3.6. Sea (11.3.1) una cadena subnormal del grupo G. Se dice que(11.3.1) es una cadena de composici´ on de G si

H i+1/H i es simple para cada 0 ≤ i ≤ n − 1.

Si (11.3.1) es normal se dir´ a entonces que es una cadena principal de G.

Proposicion 11.3.7. Sea G un grupo con cadena subnormal (normal )

1 = H 0 ≤ H 1 ≤ · · · ≤ H n = G.

Sea K ≤ G. Entonces

(i) 1 = K 0 ≤ K 1 ≤ · · · ≤ K n = K , con K i = H i ∩ K es una cadena subnormal (normal ) de K . Adem´ as K i+1/K i → H i+1/H i, 0 ≤ i ≤ n − 1.

(ii) Si K G entonces

1 = H 0 ≤ H 1 ≤ · · · ≤ H n = G/K , con H i = H iK/K

es una cadena subnormal (normal) de G/K,. Tambien, la secci on H i+1/H i esuna imagen homomorfa de H i+1/H i, 0 ≤ i ≤ n − 1.

Demostraci´ on. (i) Sea H i H i+1 y sea K i = H i ∩ K, con K ≤ G. Entonces K i K i+1.En efecto, sea x ∈ K i+1, a ∈ K i, entonces x ∈ H i+1 ∩ K y a ∈ H i ∩ K, x−1ax ∈H i ∩ K = K i (caso subnormal).

Sea H i G y sea x ∈ K, b ∈ K i = H i ∩ K. Entonces x−1bx ∈ H i ∩ K = K i (casonormal). Evidentemente K 0 = 1 y K n = K. Ahora, K i+1

K i= K i+1

K i+1∩H i∼=

K i+1H iH i

≤H i+1

H i

(ii) Notese que H i es la imagen de H i mediante el homomorfismo canonico. j : G → G/K ;

por lo tanto, como H i H i+1, entonces j(H i) = H i j(H i+1) = H i+1. Por ser j sobrey H i G, entonces j(H i) = H i G/K . Evidentemente H 0 = 1 y H n = G/K. Ahora,

H i+1

H i=

Hi+1K

KHiK

K

∼=H i+1K

H iK ∼=

H i+1

H i(H i+1∩K )∼=

Hi+1Hi

Hi (Hi+1∩K)

Hi

.




En la demostracion anterior se uso la siguiente forma generalizada del teorema

de isomorfismo:

A B ≤ G, H G; entonces BH AH

∼= BA(B∩H )

.

En efecto, BH = HB ya que H G; AH = HA ya que H G; evidentementeAH ≤ BH, AH BH ya que A B y H G . Consideremos el homomorfismo naturalα : B → BH → BH/AH , b → b → b := bAH Notese que α es sobre y queker(α) = B ∩ AH. En efecto, sean bh ∈ BH/AH. Entonces α(b) = bh ya queb = bh (bhb−1 ∈ H ≤ AH ); α(b) = 1 ⇒ b ∈ AH ⇒ b ∈ B ∩ AH. Resta probarque B ∩ AH = A(B ∩ H ) x ∈ B ∩ AH ⇒ x = ah, notese que h = a−1x ∈ B ya quex ∈ B y a−1 ∈ A ≤ B; ⇒ x ∈ A(B ∩ H ). Sea ahora z ∈ A(B ∩ H ) ⇒ z = ah, con

h ∈ B ∩ H ⇒ z ∈ AH y z ∈ B. Esto demuestra la afirmacion.

Lema 11.3.8 (Lema de Zassenhaus). Sean G un grupo, H, K ≤ G y H ∗ H,K ∗ K. Entonces

(i) H ∗(H ∩ K ∗) H ∗(H ∩ K ).

(ii) K ∗(H ∗ ∩ K ) K ∗(H ∩ K ).

(iii) H ∗(H ∩ K )/H ∗(H ∩ K ∗) ∼= K ∗(H ∩ K )/K ∗(H ∗ ∩ K ) ∼=(H ∩ K )/[(H ∗ ∩ K )(H ∩ K ∗)].

Demostraci´ on. Probemos inicialmente que los productos de subgrupos indicados sonrealmente grupos.

H ∗(H ∩ K ) es un grupo: ya que H ∗ H, entonces H ∗(H ∩ K ) = (H ∩ K )H ∗.K ∗(H ∩ K ) es un grupo: ya que K ∗ K. entonces K ∗(H ∩ K ) = (H ∩ K )K ∗.H ∗(H ∩ K ∗) es un grupo: ya que H ∗ H .K ∗(H ∗ ∩ K ) es un grupo: ya que K ∗ K .(H ∗ ∩ K )(H ∩ K ∗) es un grupo: notese que H ∗ ∩ K, H ∩ K ∗ H ∩ K ; por tal

razon (H ∗ ∩ K )(H ∩ K ∗) H ∩ K.Podemos ya probar las afirmaciones del lema.(i) H ∗(H ∩ K ∗) H ∗(H ∩ K ) : Consideremos la funcion

θ : H ∗(H ∩ K ) → (H ∩ K )/[(H ∗ ∩ K )(H ∩ K ∗)]θ(hx) := xL,

con L := [(H ∗ ∩ K )(H ∩ K ∗)], h ∈ H ∗, x ∈ H ∩ K.θ esta bien definida: h1, h2 ∈ H ∗, x1, x2 ∈ H ∩ K tales que h1x1 = h2x2 ⇒

θ(h1x1) = x1L, θ(h2x2) = x2L. Entonces x1x−12 = h−1

1 h2 ∈ H ∗∩(H ∩K ) = H ∗∩K ⊆L ⇒ x1L = x2L ⇒ θ(h1x1) = θ(h2x2).

θ es un homomorfismo: como H ∗ H entonces x1H ∗ = Hx∗1 para x1 ∈ H ∩ K,por tal razon




θ(h1x1h2x2) = θ(h1h3x1x2) = x1x2L = x1Lx2L = θ(h1x1)θ(h2x2)

θ es evidentemente sobre. θ(hx) = L ⇔ xL = L ⇔ x ∈ L ⇔ hx ∈ H ∗L ⇔ hx ∈H ∗(H ∗ ∩ K )(H ∩ K ∗) = H ∗(H ∩ K ∗) ⇒ ker(θ) = H ∗(H ∩ K ∗)

Hemos probado que H ∗(H ∩ K ∗) H ∗(H ∩ K ) y ademas H ∗(H ∩K )H ∗(H ∩K ∗)

∼=(H ∩K )

L.

(ii) Se prueba como (i) y se establece la ultima parte de (iii).

Teorema 11.3.9 (Teorema de Schreier). Cualesquiera dos cadenas subnormales(normales) de un grupo tienen refinamientos isomorfos.

Demostraci´ on. Sea G un grupo y sean

1 = H 0 ≤ H 1 ≤ H 2 ≤ · · · ≤ H n = G, (11.3.4)

1 = K 0 ≤ K 1 ≤ K 2 ≤ · · · ≤ K m = G (11.3.5)

dos cadenas subnormales de G. Para cada 0 ≤ i ≤ n − 1 insertamos entre H i y H i+1

una sucesion ordenada de subgrupos (no necesariamente diferentes)

H i = H i(H i+1 ∩ K 0) ≤ H i(H i+1 ∩ K 1) ≤ · · · . ≤ H i(H i+1 ∩ K m) = H i+1.

Sea H i,j = H i(H i+1 ∩ K j), 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m. Notese que H i,m = H i+1 =H 1+i,0, 0 ≤ i ≤ n − 1. Segun el lema de Zassenhaus se obtiene una nueva cadenasubnormal de G que es refinamiento de (11.3.4):

1 = H 0,0 ≤ H 0,1 ≤ · · · ≤ H 0,m−1 ≤ H 1,0 ≤ H 1,1 ≤ · · · ≤ H 1,m−1

≤ H 2,0 ≤ H 2,1 ≤ · · · ≤ H 2,m−1 ≤ H 3,0 ≤ · · · ≤ H n−1,0

≤ H n−1,2 ≤ · · · . ≤ H n−1,m−1 ≤ H n = G(11.3.6)

Notese que esta nueva cadena subnormal tiene nm+1 subgrupos (no necesariamentediferentes). Lo mismo podemos hacer con la cadena (11.3.5) obteniendose la cadenasubnormal (11.3.7) que es refinamiento de (11.3.5) y que contiene tambien nm + 1subgrupos (no necesariamente diferentes):

1 = K 0,0 ≤ K 0,1 ≤ · · · ≤ K 0,n−1 ≤ K 1,0 ≤ K 1,1 ≤ · · · ≤ K 1,n−1

≤ K 2,0 ≤ K 2,2 ≤ · · · ≤ K 2,n−1 ≤ K 3,0 ≤ · · · ≤ K m−1,0

≤ K m−1,2 ≤ · · · ≤ K m−1,n−1 ≤ K m = G,

(11.3.7)

donde K j,i = K j(K j+1 ∩ H i), 0 ≤ j ≤ m − 1, 0 ≤ i ≤ n, K j+1,0 = K j,n = K j+1,0 ≤ j ≤ m − 1. Notese que para cada 0 ≤ i ≤ n − 1 y 0 ≤ j ≤ m − 1

H i,j+1

H i,j

∼=K j,i+1

K j,i

. (11.3.8)

En efecto,H i,j+1

H i,j=

H i(H i+1∩K j+1)

H i(H i+1∩K j )∼=

K j (K j+1∩H i+1)

K j (K j+1∩H i); el ultimo isomorfismo es debido al

lema de Zassenhaus.Sean




I = {(i, j) | 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m − 1} ∪ {(n, 0)},

J = {(r, s) | 0 ≤ r ≤ m − 1, 0 ≤ s ≤ n − 1} ∪ {(m, 0)}los conjuntos que indizan (11.3.6) y (11.3.7), respectivamente. Sea

I := {k ∈ Z |0 ≤ k ≤ nm} ,

notese que I,J,I son equipotentes |I | = |J | = |I | = nm + 1. Podemos entoncesindizar (11.3.6) y (11.3.7) por medio de I :

I → I J → I

(i, j) → im + j (r, s) → rn + s(n, 0) → nm (m, 0) → mn

0 ≤ i ≤ n − 1 0 ≤ r ≤ m − 1

0 ≤ j ≤ m − 1 0 ≤ s ≤ n − 1

En la nueva notacion:

H i,j = H im+ j , H n,0 = H nm, 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m − 1;K r,s = K rm+s ,K m,0 = K mn, 0 ≤ r ≤ m − 1, 0 ≤ s ≤ n − 1.

Sea ahora S nm el conjunto de permutaciones del conjunto I 0 := {0, 1 . . . , n m − 1} .Entonces la funcion

I 0 → I 0π : k = im + j → jn + i, 0 ≤ i ≤ n − 1, 0 ≤ j ≤ m − 1

es tal que π ∈ S nm y ademas:

H k+1/H k = H im+ j+1/H im+ j = H i,j+1/H i,j,K π(k)+1/K π(k) = K jn+i+1/K jn+i = K j,i+1/K j,i;

segun (11.3.8) H k+1/H k ∼= K π(k)+1/K π(k), k ∈ I 0.Con esto termina la prueba del teorema para el caso subnormal. Para el caso

normal basta observar que H i G, 0 ≤ i ≤ n y K j G, 0 ≤ j ≤ m, y entoncesH i,j G, K j,i G.

Teorema 11.3.10 (Teorema de Jordan-Holder). Cualesquiera dos cadenas decomposici´ on (principales) de un grupo son isomorfas.

Demostraci´ on. Sean {H i} y {K j } dos series de composicion (principales) del grupoG. Segun el teorema 11.3.9 ambos tienen refinamientos isomorfos. Pero como H i esmaximal en H i+1 0 ≤ i ≤ n − 1 y K j es maximal en K j+1, 0 ≤ j ≤ m − 1, entonceslos refinamientos coinciden con las cadenas iniciales.

Corolario 11.3.11. Si el grupo G tiene una cadena de composici´ on (principal ) y N es un subgrupo normal propio de G, entonces G tiene una cadena de composici´ on (principal ) que contiene a N.




Demostraci´ on. La cadena 1 < N < G es subnormal y normal en G. Consideremos

inicialmente el caso subnormal. Sea {H i} una cadena de composicion de G. Segun elTeorema 1, 1 < N < G tiene un refinamiento subnormal isomorfo a un refinamientode {H i} . Pero como {H i} es de composicion, entonces dicho refinamiento de1 < N < G es una serie de composicion. De manera analoga se argumenta el casoprincipal.

11.4. Grupos solubles

Teorema 11.4.1. Sea G un grupo. Entonces las siguientes condiciones son equiva-lentes:

(i) G posee una cadena subnormal con secciones abelianas.

(ii) La cadena de conmutantes

G ≥ G(1) ≥ G(2) ≥ · · · ≥ G(m) ≥ · · ·

del grupo G se estabiliza en 1 despues de un n´ umero finito de pasos, donde

G(k) := [G(k−1), G(k−1)], k ≥ 1; G(0) := G.

(iii) G posee una cadena normal con secciones abelianas.

Demostraci´ on. (i) ⇒(ii): supongase que

1 = H 0 ≤ H 1 ≤ · · · ≤ H n = G

es una cadena subnormal de G con secciones abelianas. Puesto que H n−1 G yG/H n−1 es abeliano entonces de acuerdo con la proposicion 11.2.4, G ≤ H n−1.Supongase inductivamente que G(k) ≤ H n−k, 1 ≤ k ≤ n. De nuevo, como H n−k−1 H n−k y H n−k/H n−k−1 es abeliano (H n−k) ≤ H n−k−1, pero (G(k)) ≤ (H n−k), luegoG(k+1) ≤ H n−k−1. Ası pues por induccion, G(n) ≤ H n−n = 1 ⇒ G(n) = 1.

(ii) ⇒(iii): segun la proposicion 11.2.2, G(k) G, para cada 1 ≤ k ≤ n.

(iii) ⇒(i): evidente.

Definicion 11.4.2. Un grupo G se dice que es soluble si satisface una cualquiera de las condiciones del teorema anterior.

Corolario 11.4.3. (i) Si G es soluble entonces cada subgrupo de G es soluble y cada imagen homom´ orfica de G es soluble.

(ii) G1 × · · · × Gn es soluble ⇔ Gi es soluble, para cada 1 ≤ i ≤ n.



11.5. EJERCICIOS 133

Demostraci´ on. (i) Es consecuencia directa de la proposicion 11.3.7.

(ii) ⇒): consecuencia (i).⇐): se k := max{ki}1≤i≤n, donde ki es el grado de solubilidad de Gi, es decir,

el menor entero positivo k tal que G(k) = 1. Pero [G1 × · · · × Gn, G1 × · · · × Gn] =[G1, G1] × · · · × [Gn, Gn], luego G1 × · · · × Gn es soluble de grado k.

Ejemplo 11.4.4. (i) Todo grupo abeliano es soluble. El concepto de solubilidadtiene entonces interes para los grupos no abelianos.

(ii) S 3 es soluble: [S 3, S 3] = A3, [A3, A3] = 1.(iii) S 4 es soluble: [S 4, S 4] = A4, [A4, A4] = V, [V, V ] = 1.(iv) S n no es soluble para n ≥ 5: [S n, S n] = An, [An, An] = An.(iv) [Q8, Q8] = a2 , [a2 , a2] = 1 ⇒ Q8 es soluble.

11.5. Ejercicios

1. Sea G un grupo y sean L, M ⊆ G no vacıos. Entonces [L, M ] = [M, L] .

2. Sea G un grupo y KG. Entonces pruebe que el conmutante K

de K es normalen G.

3. Sea ϕ : G1 → G2 un homomorfismo de grupos. Pruebe que ϕ

G

1

⊆ G

2.

Ademas, si ϕ es sobre entonces ϕ G

1 = G

2

4. Demuestre que

b−1[a, c]b =a [b, a] a−1 =

[a, b]−1 =

[ab,c] [b, c]−1

[a−1, b],[b, a].

5. Sean A,B,C subgrupos normales de G. Entonces [AB,C ] = [A, C ] [B, C ].

6. Calcule [D4,D4] , [Dn, Dn].

7. Calcule [G pq, G pq].

8. Calcule [T, T ].

9. Encuentre refinamientos isomorfos de las cadenas normales

0 < 60Z < 20Z < Z,

0 < 45Z < 48Z < Z.




10. Encuentre todas las cadenas de composicion de Z60 y muestre que son isomor-

fas.

11. Encuentre todas las cadenas de composicion de S 3 × Z2 y pruebe que sonisomorfas.

12. ¿Es D4 soluble?

13. ¿Es Dn soluble?

14. ¿Es G pq soluble?

15. ¿Es T soluble?

16. Determine Z (T ), Z (G pq)

Soluci´ on . Comencemos calculando la tabla del grupo T a partir de las rela-ciones que definen este grupo, a6 = 1, b2 = a3, ba = a−1b:

· 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5b1 1 a a2 a3 a4 a5 b ab a2b a3b a4b a5ba a a2 a3 a4 a5 1 ab a2b a3b a4b a5b b

a2 a2 a3 a4 a5 1 a a2b a3b a4b a5b b aba3 a3 a4 a5 1 a a2 a3b a4b a5b b ab a2ba4 a4 a5 1 a a2 a3 a4b a5b b ab a2b a3b

a5 a5 1 a a2 a3 a4 a5b b ab a2b a3b a4bb b a5b a4b a3b a2b ab a3 a2 a 1 a5 a4

ab ab b a5b a4b a3b a2b a4 a3 a2 a 1 a5

a2b a2b ab b a5b a4b a3b a5 a4 a3 a2 a 1a3b a3b a2b ab b a5b a4b 1 a5 a4 a3 a2 aa4b a4b a3b a2b ab b a5b a 1 a5 a4 a3 a2

a5b a5b a4b a3b a2b ab b a2 a 1 a5 a4 a3

De la tabla se observa que el centro de T es {1, a3} ∼= Z2. De otra parte,G pq es el grupo no abeliano de orden pq donde p, q son primos distintos ; esto

implica que G pq/Z (G pq) no puede ser cıclico (vease la proposicion 11.2.5). Encosencuencia el unico orden posible de Z (G pq) es 1, es decir, Z (G pq) = 1.



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