Grupos Compactos de Transformaciones

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIAFacultad de Ciencias - Departamento de Matematicas

GRUPOS COMPACTOS DE TRANSFORMACIONES I

G. PADILLA

Resumen. Estas notas fueron realizadas en 2001, para la redaccion de mi tesis doctoral, y pos-

teriormente revisada en 2011 al preparar el material para el Seminario de Geometra y Modelos

que se dicto durante el primer semestre de 2012 en la UNAL.

Contenido

1. Preliminares 21.1. Funciones continuas 21.2. Espacios compactos 21.3. Conexidad 31.4. Topologas especiales 32. Grupos topologicos y acciones continuas 32.1. Grupos topologicos 32.2. Ejemplos de grupos topologicos 82.3. Grupos topologicos clasicos 82.4. La integral de Haar 122.5. Acciones de grupos 152.6. Acciones continuas 162.7. Ejemplos de acciones continuas 172.8. Representaciones de grupos compactos en matrices de dimension finita 202.9. Funciones equivariantes 213. Acciones de grupos compactos 233.1. Propiedades generales 233.2. Secciones locales 243.3. Acciones transitivas 263.4. Tipos de orbitas 283.5. Ejemplos de tipos de orbitas 283.6. Operaciones entre G-espacios 31Referencias 35

Fecha: Julio 2008, actualizadas en marzo 2012.

1

2 G. PADILLA

1. Preliminares

Para estas notas de grupos compactos de transformaciones el material preliminar necesario esel contenido en cualquier curso de topologa general. Citaremos aqu los resultados principales queusaremos sin demostrar. Para las definiciones corrientes (compacidad, conexidad, cubrimientos,etc...) as como para las demostraciones de estos resultados preliminares, remitimos directamentea las Notas de Topologa o a cualquier texto basico, como [2, 3, 4, 6, 9].

1.1. Funciones continuas. Una funcion Xf - Y entre espacios topologicos es continua

la preimagen de todo abierto en Y es un abierto en X. En los enunciados subsiguientes, como esusual, escribimos Z para denotar al conjunto de puntos de adherencia de un subconjunto Z Xde un espacio topologico.

Proposicion 1.1.1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(1) Xf -X es continua.

(2) f1

(C ) es cerrado en X para cada cerrado C X .(3) f(Y ) f(Y ) para todo Y X.

Proposicion 1.1.2. Una biyeccion continua Xf -X es homeomorfismo f(Y ) = f(Y )

para todo Y E.1.2. Espacios compactos. Decimos que X es compacto posee la propiedad de Heine-Borel:De cada cubrimiento abierto de X se puede extraer un subcubrimiento (abierto) finito. Estas sonalgunas propiedades:

(1) Si Xf - Y es continua y X es compacto entonces f(X) es compacto.

(2) El cociente de un espacio compacto es compacto.(3) Si Z Y X y Z es compacto en Y entonces Z es compacto en X.(4) Si X es compacto y Y X es cerrado entonces Y es compacto.

Proposicion 1.2.1. Supongamos que Xf - Y es una funcion continua y cerrada. Si f

1(y)

es compacto para todo y Y entonces f es propia.Lema 1.2.2. Toda biyeccion continua de un compacto en un Hausdorff es un homeomorfismo.

La caracterizacion de la propiedad de compacidad (Heine-Borel) en terminos de convergencia(Bolzano-Weierstrass) en espacios topologicos generales requiere de una nocion mas general deconvergencia, que es dada por la nocion de las redes, subredes y redes universales.

Teorema 1.2.3. [Teorema de Bolzano-Weierstrass] Las siguientes afirmaciones son equiva-lentes:

(1) X es compacto.(2) Toda coleccion de subespacios cerrados en X con la propiedad de interseccion finita (toda

interseccion finita de elementos de la familia es no vaca), posee interseccion no vaca.(3) Toda red universal en X converge en X.(4) Toda red en X posee una subred convergente.

GRUPOS COMPACTOS DE TRANSFORMACIONES I 3

1.3. Conexidad. Un espacio X es conexo los unicos subconjuntos abiertos y cerrados en Xson el vaco y el propio X.

Proposicion 1.3.1. [Propiedades de la conexidad]

(1) La imagen de un espacio conexo por una funcion continua es conexa.(2) La union de subespacios conexos no disjuntos 2 a 2 es conexa.(3) En todo espacio topologico X, la relacion a b Y X tal que Y es un subespacio

conexo y a, b Y ; es una equivalencia en X.Corolario 1.3.2. La adherencia de un subespacio conexo es conexa.

1.4. Topologas especiales. Las dos topologas especiales que mas se emplean en estas notas son

La topologa producto, inducida en el producto cartesiano X = i

Xi

por una familia de

espacios topologicos {(Xi, T

i)}i.

La topologa cociente, inducida en un conjunto de clases de equivalencia X/ de unespacio topologico dado (X, T ).

Proposicion 1.4.1. Sea X =i

Xi

el producto cartesiano de una familia {(Xi, T

i) : i I} de es-

pacios topologicos no vacos, dotado de la topologa producto. Una funcion Yf -X es continua

para cada i la composicion con la i-esima proyeccion Y f -X pii-Xi

es continua.

Proposicion 1.4.2. Principio de trasgresion: Sea X/ un espacio cociente. X/ g -Zes continua la composicion X gpi-Z es continua.

2. Grupos topologicos y acciones continuas

2.1. Grupos topologicos. Un grupo topologico es un espacio Hausdorff (G, T ) junto con unaoperacion GG -G que usualmente denotamos (x, y) = xy; tal que

G es un grupo. es continua. La seleccion de inversos G -G dada por x 7 x1 es continua.

Un subgrupo topologico de G es un subespacio Hausdorff H G tal que H es un grupotopologico respecto a la operacion restringida a H. Un morfismo (G, T ) f - (G, T ) degrupos topologicos es un homomorfismo de grupos G

f -G en el sentido usual, tal que f escontinua.

Dado un grupo topologico G y g G, la multiplicacion a izquierda (resp. a derecha) por gen G es la funcion G -G dada por x 7 gx (resp. por x 7 xg); que denotaremos I

g(resp.

Rg). La conjugacion por x es la composicion

g= I

gRg1 .

Lema 2.1.1. En un grupo topologico G siempre se tiene, para cada g, h G,

4 G. PADILLA

(1) La inversion x 7 x1 es un homeomorfismo.(2) I

gIh

= Igh

; RhRg

= Rgh

.

(3) I1g

= Ig1 ; R

1g

= Rg1 .

(4) Ig, R

gson homeomorfismos.

(5) gh

= gh

; 1g

= g1 .

(6) g

es un isomorfismo de grupos topologicos.

[Demostracion] Ejercicio.

Fijamos un grupo topologico G. Dados A,B G escribiremos en adelanteAB = {xy : x A, y B} A1 = {x1 : x A}

Diremos que A es un subconjunto simetrico A = A1 . Dado x A el trasladado de A porx a la izquierda es xA = {x}A.Lema 2.1.2. En un grupo topologico G;

(1) Los entornos simetricos de la identidad 1 G son una base de entornos.(2) Dado x G y un entorno x U ; existe un entorno 1 V tal que V xV U .(3) Si 1 U es un entorno de la identidad; para cada entero n > 0 existe un entorno simetrico

1 V tal que V n U .(4) Si A G y 1 V es un entorno abierto de la identidad, entonces AV es un entorno

abierto de A.

[Demostracion] (1) Si 1 A es un entorno de la identidad, entonces A1 tambien es un entornode 1; luego B = A A1 es un entorno simetrico contenido en A.(2) Supongamos sin perdida de generalidad que U es abierto. Puesto que la operacion de grupo

es continua, 1

(U) es un abierto en G que contiene a (x, 1). Sea AB un abierto basico quecontiene a (x, 1). Entonces W =

(Ax1) B es un entorno abierto de la identidad. Por el paso

(1), existe un entorno simetrico 1 V W . Luego (V x) V [(Ax1)x]B = A B U .

(3) Por induccion en n. Para n = 1 es el paso (1) de esta demostracion; para n = 2 es el paso (2)con x = 1. Supongamos que vale para algun n 2; vamos a demostrarlo para n+ 1. Sean W,W entornos simetricos tales que W

n

= W W W y W W U . Entonces V = W W es unentorno simetrico de la identidad y satisface V

n+1

=(Vn) V (W n) W W W U .

(4) Porque AV = {xy : x A, y V } = xA

xV ; puesto que las multiplicaciones izquierdas son

homeomorfismos, este ultimo conjunto es union de abiertos, luego es abierto.

Proposicion 2.1.3. Si H es un subgrupo topologico de G, entonces su adherencia H tambien esun subgrupo topologico de G. Mas aun, si H es normal entonces H es normal.

[Demostracion] Como la multiplicacion es continua y la inversion x 7 x1 es un homeomor-fismo, de 1.1.1-(3) y 1.1.2 tenemos que

H H H H1

= H


luego H es un subgrupo. Si H es normal entonces g(H) = gHg

1= H para cada g G. Como

la conjugacion por g es un homeomorfismo, de nuevo g(H) =

g(H) = H; luego H es normal.

Corolario 2.1.4. La componente conexa de la identidad es un subgrupo topologico cerrado ynormal.

[Demostracion] Las componentes conexas son preservadas por homeomorfismos, cf.1.3.1. Si1 G

1 G es la componente conexa de la identidad, por 1.3.2 G

1es cerrada. Si g G

1

entonces gG1

es un subespacio conexo y contiene a g1 = g; luego gG1 G

1. Puesto que la

inversion x 7 x1 es un homeomorfismo, G11

es conexo y contiene a 1 = 11

; luego G11 G1 . En

particular, g1 G

1. De las observaciones anteriores se deduce queG

1es un subgrupo. Finalmente,

si h G es cualquier elemento, la conjugacion h

dada por x 7 hxh1 es un homemomorfismo.En particular,

h(G

1) = hG

1h1

es un conexo y contiene a 1 = h1h1

; luego h(G

1) G

1para

todo h, de donde G1

es normal.

Proposicion 2.1.5. Si H es un subgrupo topologico cerrado de G entonces

(1) El espacio cociente G/H de las clases laterales izquierdas con la topologa cociente inducida

por la proyeccion Gpi -G/H es Hausdorff.

(2) pi es continua y abierta.

[Demostracion] Procedemos por pasos. pi es continua y abierta: La continuidad de pi es consecuencia de la def. de topologa cociente.Si U G es cualquier abierto entonces pi1(pi(U)) =

xUxH = UH =

yHUy es union de abiertos

(las multiplicaciones izquierdas son homeomorfismos), luego es abierto. Por la def. de topologacociente pi(U) es abierto; luego pi es una funcion abierta. G/H es Hausdorff: Suponga que [x] 6= [y] en G/H. Entonces las clases laterales respectivas xH,yH son cerrados disjuntos en G; esto es equivalente a decir que x

1y 6 H. Puesto que U = G\H

es un entorno abierto de z = x1y, por 2.1.2-(2) existe algun entorno simetrico de la identidad,

digamos 1 V , tal que V zV 1 U ; luego[V(x1y)V] H = . Trasladando a la izquierda

por inversos de los elementos de V obtenemos que(x1y)V

(V1H)

=(x1y)V V H = .

Trasladando a la izquierda por x se deduce que yV xV H = . Puesto que pi es abierta, proyectandoen el cociente se deduce que pi(yV ) pi(xV ) = son abiertos disjuntos que contienen a [y] = pi(y),[x] = pi(x) respectivamente.

Proposicion 2.1.6. Si H es un subgrupo topologico cerrado y normal de G entonces

(1) G/H es un grupo topologico.

(2) Gpi -G/H es un morfismo.

[Demostracion] (1) Por 2.1.5 G/H es Hausdorff. Por la normalidad de H, la operacion in-ducida

(G/H) (G/H) - (G/H) [x] [y] = [xy]

6 G. PADILLA

es una funcion bien definida. Para ver que es continua utilizamos el principio de trasgresion 1.4.2y la continuidad coordenada a coordenada 1.4.1. De modo similar se verifica la continuidad lainversion inducida en el cociente

(G/H) - (G/H) [x] 7 [x]1 =[x1]

Proposicion 2.1.7. Sea Gf -G un morfismo sobreyectivo de grupos topologicos. Entonces

ker(f) es un subgrupo topologico cerrado normal. Si G es compacto entonces G/ ker(f) = G como grupos topologicos.

[Demostracion] (1) ker(f) = f1

(1) es cerrado pues f es continua y {1} G es cerrado,ya que G es Hausdorff. Que ker(f) es un subgrupo normal en el sentido usual es un resultadoclasico, cf.[7]. La continuidad de las operaciones restringidas es inmediata, luego ker(f) es subgrupotopologico.(2) Por 2.1.6 el cociente G/ ker(f) es un grupo topologico. Puesto que la topologa es la cociente,por el principio de trasgresion 1.4.2 la biyeccion

G/ ker(f)f -G f([x]) = f(x)

es continua, pues fpi = f es continua. Si G es compacto entonces f es una biyeccion continua deun compacto en un Hausdorff. Por 1.2.2 f es un homeomorfismo.

Proposicion 2.1.8. Sea G un grupo topologico compacto, g G un punto y A = {gn : n =0, 1, 2, . . . }. Entonces la adherencia A es un subgrupo de G.

[Demostracion] Sea B = {gn : n Z}, el cual es un subgrupo topologico de G. Por 2.1.3 laadherencia B tambien es un subgrupo topologico de G. Si 1 B es un punto aislado en B (e.d. si1 posee un entorno A 3 1 tal que AB = {1}) entonces, por 2.1.2-(1) y (4), B es un subconjuntodiscreto de G. Puesto que B G es un cerrado contenido en un compacto, B es compacto elmismo; por ser discreto esto implica que B es finito. En tal caso el propio B B es finito y gn = 1para algun n 0 con lo cual A = A es un subgrupo de G. Supongamos finalmente que 1 B no esun punto aislado en B; entonces para todo entorno simetrico U 3 1 en G existe algun n 6= 0 tal quegn U . Dado que U es simetrico podemos asumir que n > 0. En tal caso gn1

(g1U)A 6= .

Puesto que la familia

U ={g1U : U es entorno simetrico de 1

}es una base de entornos de g

1; se sigue que g

1 A. Esto ultimo implica que A = B.

Proposicion 2.1.9. Dado un grupo topologico G y un subgrupo H;

(1) N(H) = {g G : gHg1 = H} es un subgrupo de G.(2) Si H es cerrado entonces N(H) es cerrado.

(3) Si G es compacto y H es cerrado entonces g N(H) gHg1 H.


[Demostracion] (1) Note que x N(H) si y solo si el isomorfismo de conjugacion x

estabilizaa H; es decir, sii x(H) = H. Entonces x, y N(H) xy (H) = x(y (H)) = H xy N(H).De modo similar x N(H) x(H) = H H =

1x

(H) = x1 (H) x

1 N(H).(2) Veamos que G\N(H) es abierto. Sea g 6 N(H), es decir que gHg1 6= H. Supongamossin perdida de generalidad que

(gHg

1)\H 6= y fijemos algun x H tal que gxg1 6 H.

Consideremos la funcion de conjugacion G G -G dada por (g, x) = gxg1 . Puesto quedicha funcion es continua y H es cerrado, la imagen inversa de (G\H) es un abierto de GG quecontiene a (g, x). Basta tomar un abierto basico UV GG de (g, x) tal que (UV ) (G\H).En particular, por construccion, (U {x}) H = , luego

zxz1 6 H z U

Se desprende que U G\N(H).(3) Suponga que gHg

1 H. Sea A = {gn : n = 0, 1, 2, . . . }. Por el paso (1) tenemos queA N(H); luego (AH) H. Por continuidad de esto implica que

(AH) (AH) H = HPor 2.1.8 notemos que g1 A. De la inclusion de arriba obtenemos que g1Hg H. Multipli-cando por g a la izquierda y por g

1a la derecha deducimos que H gHg1 , luego son iguales.

Proposicion 2.1.10. En un grupo topologico los entornos invariantes por conjugacion son unabase de entornos de la identidad.

[Demostracion] Sea G un grupo topologico y U 1 un entorno abierto. Entonces G\U escerrado en G, luego es compacto, cf. 1.2-(4). Puesto que la imagen de un compacto por unafuncion continua es compacta (cf. 1.1.1), como la funcion de conjugacion G G -G escontinua tenemos que

C = (G (G\U)) = x 6U

gG

gxg1

= x 6U

ClG

(x)

es compacto y es union de clases de conjugacion, luego es invariante por conjugaciones. Su com-plemento V = G\C es un abierto invariante por conjugaciones y satisface 1 = Cl

G(1) V U

(1).

Proposicion 2.1.11. Si G es un grupo topologico conexo y N G es un subgrupo normal total-mente disconexo, entonces N Z(G) esta contenido en el centro del grupo.

[Demostracion] Para cada x N la funcion G x-N dada por g 7 gxg1 es continua.Puesto que G es conexo su imagen

x(G) es conexo. Como N es totalmente disconexo,

x(G)

contiene un unico punto, este debe ser el propio x. Luego gxg1

= x para todo g G.

1Las clases de conjugacion de un grupo forman una particion del grupo, cf.[7, 8]

8 G. PADILLA

Proposicion 2.1.12. Si G es un grupo topologico, H G es un subgrupo cerrado y conexo yG/H es conexo, entonces G es conexo.

[Demostracion] EJERCICIO.

Proposicion 2.1.13. Todo grupo topologico es regular.

[Demostracion] EJERCICIO. Ayuda: Sean U, V G entornos abiertos simetricos de laidentidad tales que V

2 U . Mostrar que V U .

2.2. Ejemplos de grupos topologicos.

(1) Las matrices cuadradas en coeficientes reales Mn(R) son un grupo topologico con la op-

eracion de suma. Su topologa es la inducida por la biyeccion obvia en Rn2

.(2) La funcion determinante en M

n(R) es una funcion polinomica sobre los coeficientes de las

coordenadas matriciales; luego es continua. La imagen inversa de {0} es cerrada, luegosu complemento es un abierto de Rn

2

; este es el conjunto de las matrices no singularesGL

n(R). La multiplicacion de matrices es una funcion dada por polinomios en cada

coordenada matricial, luego es continua. Por la regla de Kramer, la inversion de matriceses una funcion racional sobre los coeficientes de matrices; tambien es continua. GL

n(R)

es pues un grupo topologico.(3) Una matriz es ortogonal si sus columnas son conformadas por bases ortonormales. Dado

que los coeficientes de dichas matrices estan acotados entre [1, 1]; el conjunto de lasmatrices ortogonales O(n) es un subconjunto acotado de GL

n(R). Mas aun, O(n) se

puede definir mediante la relacion AAT

= In con lo cual se verifica que es cerrado, pues latrasposicion es un homeomorfismo y la multiplicacion es continua. Deducimos que O(n)es cerrado y acotado, luego es compacto. Es inmediato que O(n) es subgrupo topologicode GL

n(R).

(4) Cada matriz ortogonal A O(n) se puede considerar como una isometra lineal; dadoque preserva la norma, A manda a la esfera unitaria Sn1 Rn en s misma. SeaN = (0, . . . , 0; 1) el polo norte de la esfera unitaria Sn1 . Consideremos la funcion

O(n)f - Sn1 dada por f(A) = A NT . Es decir, f(A) es la primera columna de

la matriz ortogonal A. Si embebemos a O(n 1) O(n) como el subgrupo de O(n) quefija la ultima coordenada de Rn , entonces O(n) fija al polo norte N . Si B O(n) entoncesf(AB) = f(A); luego f es constante a lo largo de cada clase lateral A O(n) y se factorizaa traves del cociente O(n)/O(n 1). Notemos que la funcion inducida

O(n)

O(n 1)f - S

n1f([A]) = f(A)

es biyectiva y continua; y esta definida de un compacto en un Hausdorff; luego es unhomeomorfismo cf.1.2.2.

2.3. Grupos topologicos clasicos. En esta seccion escribiremos K = R o C para un campo decoeficientes (reales o complejos) fijo. Dada una matriz cuadrada A M

n(R) escribimos AT para la


traspuesta; A para la conjugada (compleja) y A

= AT

para la traspuesta conjugada. Escribiremos

GLn(K) = {A M

n(K) : det(A) 6= 0}

para el grupo lineal general que consta de las matrices invertibles;

O(n) ={A GLn(K) : AA

T

= AT

A = In

}para el grupo de matrices ortogonales; y

SO(n) = {A O(n) : det(A) = 1}para el grupo especial ortogonal, que consta de las matrices ortogonales de determinante 1. Porotra parte,

U(n) ={A GLn(C) : AA

= A

A = In

}es el grupo unitario complejo y

SU(n) = {A U(n) : det(A) = 1}es el grupo unitario especial. Puesto que la multiplicacion matricial y la funcion determinante sonpolinomicas coordenada a coordenada; todos los subgrupos anteriores son cerrados en GL

n(K) y

la operacion de grupo (multiplicacion de matrices) es suave (infinitamente diferenciable en R oanaltica en C). Por la regla de Kramer, la formula de la inversa A1 es una funcion racionalcoordenada a coordenada; de este modo la aplicacion A 7 A1 es suave en GLn(K). La ecuacionAA

= In que define a U(n) es continua; por lo cual U(n) es cerrado en Mn(C) = C

n2

. Loscoeficientes de cada matriz en U(n) son acotados, por lo cual U(n) es cerrado y acotado, ergocompacto. Finalmente SU(n), O(n), SO(n) son cerrados en U(n) luego tambien son compactos.

Dada una matriz A Mn(K) la exponencial de A es la matriz que se obtiene de la siguiente seriede matrices:

eA

= In

+A+A

2

2!+A

3

3!+

Lema 2.3.1. La funcion Mn(K)

exp-Mn(K) dada por exp(A) = eA satisface las siguientes

propiedades:

(1) Es analtica.(2) Es un difeo local de un entorno de 0 a un entorno de In .

(3) exp(BAB

1)

= B exp(A)B1

.

(4) det(exp(A)) = exp(traza(A)).(5) Si A,B conmutan entonces exp(A+B) = exp(A) exp(B).

[Demostracion] (1) Supongamos que los coeficientes de A son acotados por una constante c; es

decir, |Aij| c para cada 1 i, j n. Entonces, para cada entero k > 0 los coeficientes de Ak son

acotados por (nc)k

. De este modo, los coeficientes de eA

estan todos absolutamente dominadospor la serie convergente

1 + (nc) +(nc)

2

2!+

(nc)3

3!+

10 G. PADILLA

la cual converge en K. Se deduce que la serie de la matrices eA converge coordenada a coordenada,luego converge y e

A

esta bien definida. Mas aun, la convergencia anterior es uniforme en cualquier

subconjunto compacto de Mn(K); luego los coeficientes de eA son funciones analticas de los coe-

ficientes de A; ,luego la funcion exp dada por la asignacion A 7 eA es analtica.(2) Notemos que exp(0) = I

n. Calculamos la jacobiana de exp en 0. Si X = [x

ij] es una matriz de

coordenadas variables entonces

eX

= In

+ [xij

] +[xij ]

2

2!+

[xij ]3

3!+ = [

ij+ x

ij+ terminos de orden superior]

De este modo, la matriz jacobiana de eX

es la matriz de dimension n2 n2 dada por

eX

ij

xkl

=(

ij+x

ij+terminos de orden superior)

xkl

= (ij),(kl)

=

{1 i = k y j = l

0 si no

Por el teorema de la funcion implcita exp es difeomorfica (biyectiva, analtica y con inversaanaltica) de un entorno de la matriz O en un entorno de la matriz I

n.

(3) Como la conjugacion por B es un morfismo de anillos, para cada entero k 1 se tiene que(BAB

1)k=(BAB

1)(BAB

1) (BAB1) = BAkB1Luego

eBAB1

= BInB1

+BAB1

+BA

2

B1

2!+BA

3

B1

3!+ = B

(In

+A+A

2

2!+A

3

3!+

)B1

= BeA

B1

(4) Si BAB1

= Diag[d1 , . . . , dn ] es la diagonalizacion de A por sus autovalores (complejos); porel paso anterior

BeA

B1

= eBAB1

= eD

= Diag[ed1, . . . , e

dn]

luego

det(exp(A)) = det(eA)= det

(Be

A

B1)

= det(Diag

[ed1, . . . , e

dn])

= ed1 edn = ed1++dn

= exp(traza(A))

La ultima igualdad vale pues la traza de una matriz es invariante por conjugacion; cf.[5].(5) Supongamos que AB = BA; y fijemos s, t R . Consideremos las funciones analticas exp(sA+tB) y exp(sA) exp(tB) en terminos de s, t. Notemos que

exp(sA+ tB) =n=0

(sA+tB)n

n!=n=0

1n!

nj=0

n!(sA)j

(tB)nj

j!(nj)!

=n=0

nj=0

(sA)j

(tB)nj

j!(nj)! =k=0

(tB)k

k!

j=0

(sA)j

j!

El ultimo termino debe ser mirado como un producto de serires formales de potencias de matricesen s, t. Notemos que este ultimo termino coincide con la expansion en serie de = exp(sA) exp(tB);


lo cual se puede verificar calculando directamente las derivadas parciales respecto a s, t. Puestoque = exp(sA) exp(tB) y = exp(sA + tB) son funciones analticas respecto a s, t (coordenada acoordenada) y sus expansiones coinciden, se deduce que son iguales para todo s, t.

Proposicion 2.3.2. Dada cualquier matriz cuadrara A Mn(K) la curva R -Mn(K) dada

por (t) = exp(tA) satisface las siguientes propiedades:

(1) Es analtica.(2) Es un homomorfismo de grupos topologicos.(3) Es una curva no singular en t = 0 con vector tangente (0) = A.

Mas aun, si v Kn es un vector de n coordenadas; entonces la curva (t) = exp(tA) v satisface:(4) Es analtica.(5) (0) = 0 exp(tA)v = 0t.[Demostracion] (1) y (2) son inmediatas de 2.3.1. Para ver (3) notemos que

(0) = Limt0

etA I

n

t= Lim

t0

(A+ t

A2

2!+ t

2 A3

3!+

)= A

(4) es consecuencia de (1). Finalmente,

(0) = Limt0

etA v v

t= Lim

t0

(Av + t

A2

v

2!+ t

2 A3

v

3!+

)= Av

De la igualdad anterior se deduce inmediatamente (5).

Teorema 2.3.3. Dada cualquier matriz cuadrara A Mn(K):

(1) Si A es real entonces exp(A) es real.

(2) Si A es antisimetrica (AT

= A) entonces exp(A) O(n,C).(3) Si A es anti-Hermtica (A

= A) entonces exp(A) U(n).

(4) Si la traza de A es 0 entonces det(exp(A)) = 1.

Mas aun, si A esta suficientemente cerca de 0 Mn(K) entonces tambien vale el recproco.[Demostracion] (1) Es inmediata.

(2) Notemos que exp(AT)

= exp(A)T

(esto se puede ver directamente en las series respectivas).

Si A es antisimetrica entonces exp(A)T

= exp(A) = exp(A)1 ; luego exp(A) es una matrizortogonal. Recprocamente, si exp(A) es una matriz ortogonal tenemos que exp

(AT)

= exp(A)T

=

exp(A)1

= exp(A); es decir exp(AT)

= exp(A). Puesto que exp es un difeomorfismo en unentorno cerca de 0, si A esta suficientemente cerca de 0 entonces A

T

= A.(3) La demostracion es analoga a la del paso anterior.(4) Es directo de 2.3.1-(4).

Corolario 2.3.4. Si G es uno de los siguientes grupos de matrices: GLn(C), GL

n(R), U(n),

SU(n), O(n,C), SO(n,C), O(n,R), SO(n,R); entonces existe un subespacio vectorial de matrices

12 G. PADILLA

T (G) Mn(R) tal que

exp : (T (G), 0) - (G, In)

es un homeomorfismo local de un entorno de 0 T (G) en un entorno de In G. La dimension

de T (G) en cada caso es 2n2

, n2

, n2

, n2 1, n(n 1), n(n 1), 12n(n 1), 12n(n 1).

[Demostracion] Remitimos a [1].

2.4. La integral de Haar. La integral de Haar es una medida definida sobre grupos compactos,que permite promediar y obtener equivariancia. Para realizar el promedio se compone con lasmultiplicaciones izquierdas y derechas, cf.2.1.1. Para la demostracion de este teorema remitimosa [1].

Teorema 2.4.1. Para cada grupo topologico compacto G existe una unica funcion real

C(G,R)I -R

definida sobre las funciones continuas en G; que satisface las siguientes propiedades: Dadas f, f1, f

2

funciones continuas definidas en G, c R y g G,(1) I(f

1+ f

2) = I(f

1) + I(f

2).

(2) I(cf) = cI(f).(3) Si f 0 entonces I(f) 0.(4) I(1) = 1.(5) I(fR

g) = I(f) = I(fI

g).

La funcion I del teorema anterior es la integral de Haar de G. Usualmente escribimos

I(f) =

G

f(x) dx

De este modo, la propiedad (4) se reescribe del modo siguienteG

1 dx = 1

La propiedad (5) se reescribeG

f(gx) dx =

G

f(x) dx =

G

f(xg) dx

Lema 2.4.2. Dado un grupo topologico compacto G y funciones continuas f, h : G -R ;(1) h f

Gh(x) dx

Gf(x) dx.

(2) Si 0 f y f no es identicamente nula, entonces Gf(x) dx > 0.

(3)Gf(x) dx

sup{|f(x)| : x G}.[Demostracion] (1) Si h f entonces 0 (f h). Por 2.4.1-(1) y (3),

0 G

[f(x) h(x)] dx =G

f(x) dxG

h(x) dx


(2) Sea 1 G la identidad del grupo. Supongamos sin perdida de generalidad que f(1) > 0.Puesto que f es continua, tenemos que f > 0 en todo un entorno simetrico V 3 1. Puesto que lafamilia de entornos trasladados V = {gV : g G} es un cubrimiento abierto de G, por argumentode compacidad podemos extraer un subcubrimiento finito G = g1V gnV . Si xi = g

1i

entonces la composicion con la multiplicacion izquierda fIxj> 0 en gjV para cada j = 1, . . . , n.

En consecuencia (x) =ni=1

fIxj> 0 (nunca se anula). Puesto que G es compacto, alcanza su

nfimo en G; luego existe una constante que satisface 0 < c (x) x G. Por el primer paso deesta demostracion y 2.4.1-(2) y (4), tenemos

0 < c =

G

c dx G

(x) dx =

G

[ni=1

f(Ixj(x))]

dx =ni=1

G

f(Ixj(x))dx =

ni=1

G

f(xix) dx = n

G

f(x) dx

En resumen nGf(x) dx c > 0; luego

Gf(x) dx cn > 0.

(3) Para f 0 es consecuencia del paso (1). Dada cualquier cota superior f(x) cx G; por elpaso (1) tenemos que

0 G

f(x) dx G

c dx = c

En particular,Gf(x) dx sup{f(x) : x G}. Para el caso general consideremos la descom-

posicion f = f+ f donde f+ 0 (resp. f 0) es la truncada continua no negativa (resp. no

positiva) de f . De modo que |f | = f+ + f y, por linealidad de la integral,G

|f(x)| dx =G

f+

(x) dx+

G

f

(x) dx

Por otra parte, por la desigualdad triangular usualG

f(x) dx

= G

f+

(x) dxG

f(x) dx

G

f+

(x) dx

+G

f(x) dx

G

f+

(x) dx+

G

f(x) dx

Como |f | 0; de las desigualdades anteriores y el caso particular ya resuelto deducimos queG

f(x) dx

G

|f(x)| dx sup{|f(x)| : x G}

Proposicion 2.4.3. Sea Z un espacio topologico y G un grupo topologico compacto. Si G Z

f -R es cualquier funcion continua, entonces

ZF -R F (z) =

G

f(x, z) dx

es continua.

[Demostracion] Fijemos > 0 y w Z. Dado que f es continua, para cada x G existe unentorno basico V

x U

x3 (x,w) en G Z, tal que|f(x, z) f(x,w)| < x V

xz U

x

14 G. PADILLA

La familia V = {Vx

: x G} es un cubrimiento abierto de G. Por argumento de compacidadpodemos extraer un cubrimiento finito, digamos Vx1 , . . . , Vxn de U . Sea U = Ux1 Uxn .Entonces

|f(x, z) f(x,w)| < x G z UEntonces

|F (z)F (w)| =G

f(x, z) dxG

f(x,w) dx

= G

[f(x, z) f(x,w)] dx sup{|f(x, z)f(x,w)| : x G, z U} <

La ultima desigualdad es consecuencia de 2.4.2-(3).

Teorema 2.4.4. Sean G un grupo topologico compacto y G R f -R una funcion continuay diferenciable en la coordenada t R . Entonces F (t) =

Gf(x, t) dx es diferenciable y

F (s) =G

f(x, s)

tdx

es continua.

[Demostracion] Por el teorema de Cauchy, para cada s 6= 0 tenemosf(x, s+ r) f(x, s)

r=

tf(x, s+ r)

para algun 0 1. Puesto que f(x,t)t es uniformemente continua sobre subconjuntos compactosde G R ; para cada s R el lado derecho de la igualdad de arriba converge uniformemente af(x,s)t en x G cuando r tiende a cero. En consecuencia, dado > 0 existe > 0 tal que si |r| <

entonces f(x, s+ r) f(x, s)r tf(x, s) <

para todo x G. Por 2.4.2-(3) deducimos queF (s+r)F (s)r G tf(x, s) dx = G f(x,s+r)f(x,s)r dx G tf(x, s) dx=G

[f(x,s+r)f(x,s)

r tf(x, s)]

dx <

De esta ultima desigualdad se deduce el resultado.

Proposicion 2.4.5. Si G es un grupo topologico compacto y GG f -R es continua, entoncesG

G

f(x, y) dx dy =

G

G

f(x, y) dy dx

[Demostracion] El producto GG es un grupo topologico compacto. Los operadores

I1(f) =

G

[G

f(x, y) dx

]dy I

2(f) =

G

[G

f(x, y) dy

]dx


tienen sentido por 2.4.3, y satisfacen las condiciones de 2.4.1. Por ejemplo la propiedad (4) deinvarianza es heredada de esa misma propiedad para la integral de Haar de G:

I1(1) =

G

[G

1 dx

]dy =

G

1 dy = 1

Analogamente I2(1) = 1. Las otras propiedades se verifican de modo similar. Por 2.4.1 la integral

de Haar de G G existe y un operador unico; de este modo I1

= I2

es la integral de Haar deGG.

2.5. Acciones de grupos. Una accion de un grupo G en un conjunto no vaco X es una funcion

GX -Xque satisface los axiomas siguientes. Escribamos por simplicidad de notacion gx = (g, x); entoces

1x = x. g(hx) = (gh)x.

para cualesquiera g, h G; x X. Diremos que g fija a x si gx = x; en caso contrario diremosque g mueve a x. Dado un subconjunto Y X escribimos, como es usual,

GY = {gx : g G, x Y }Este subconjunto es la saturacion de Y por la accion de G. Diremos que Y es invariante (osaturado) Y GY = Y . En particular, dado x X la orbita de x es el conjunto

[x] = {gx : g G} = Gxen tanto que el estabilizador de x es el subgrupo

Gx

= {g G : gx = x}de todos los elementos del grupo que fijan a x. Enumeramos algunas de las propiedades de accionesde grupos que se pueden verificar facilmente; cf. [7, 8].

(1) Dado g G sea X Ig-X la funcion x 7 gx. Entonces;(a) I

gIh

= Igh

.

(b) I1g

= Ig1 .

(c) Ig es biyectiva para todo g G.

(d) La funcion G - S

Xdada por g 7 I

ges un morfismo de grupos. Llamamos a

la representacion de Cayley.(e) ker() =

xXGx

es el centro de la accion, o su parte inefectiva; que solemos denotar

tambien como Z().(2) Las orbitas constituyen una particion de X.(3) Un subconjunto Y X es saturado Y es union de orbitas. Una orbita es un subconjunto

saturado minimal (por contencion).

(4) Si y = gx [x] entonces Gy

= gGxg1

y todo subgrupo conjugado de Gx

es el estabilizadorde algun y [x].

16 G. PADILLA

(5) La funcion G/Gx

- [x] dada por [g] 7 gx es biyectiva. Esta funcion es el mapacanonico de la orbita de x.

2.6. Acciones continuas. Una accion continua es una accion usual GX -X tal que Ges un grupo topologico, X es un espacio topologico Hausdorff y es continua. Si GX -Xes una accion continua diremos que X es un G-espacio. El espacio de orbitas es el conjunto detodas las orbitas de la accion, que denotamos X/G = {[x] : x X}. La proyeccion canonica esla funcion cociente X

pi -X/G que manda a cada punto en su orbita, pi(x) = [x]. Dotamos aX/G con la topologa cociente inducida por pi. Diremos que la accion

Es transitiva X posee una unica orbita X/G es un punto. Es efectiva ker() = {1}. Es casi efectiva ker() es un subgrupo discreto. Es libre G

x= {1} para todo x X.

Es semilibre Gx = {1} o Gx = G para todo x X.Lema 2.6.1. Dado un espacio Hausdorff X, el conjunto de los homeomorfismos de X es un grupotopologico.

[Demostracion] La topologa de Homeo(X) es la compacto-abierta; e.d. la generada por lafamilia de subconjuntos de la forma

AK,U

=

{X

f -X : f Homeo(X), f(K) U}

donde K X es compacto y U X es abierto. Notemos queAK,UA

K,U = AKK,UAK,UA

K,U = AK,UU

Entonces

La composicion es continua: La inversion es continua:

Proposicion 2.6.2. Sea GX -X una accion continua y x X un punto.(1) Cada I

ges un homeomorfismo de X.

(2) Gx es un subgrupo cerrado de G y G/Gx es Hausdorff.

(3) El mapa canonico G/Gx

- [x] es continuo.

(4) La proyeccion cociente Xpi -X/G es continua y abierta.

(5) La representacion de Cayley G -Homeo(X) es un morfismo de grupos topologicos.

(6) G/Z() es un grupo topologico.


[Demostracion] (1) Por la continuidad de la accion y las propiedades 2.5-(1),(2) y (3).(2) La restriccion de la accion G

x-X dada por g 7 gx es continua. Dado que X es Hausdorff,{x} X es cerrado, luego Gx =

1x

(x) es un subgrupo cerrado. Por 2.1.5 G/Gx es Hausdorf.

(3) Por el principio de trasgresion 1.4.2 el mapa canonico G/G1

- [x] es continuo, pues(pi(g)) = gx; es decir, pi =

xes continua.

(4) Si A X es abierto entoncespi1

(pi(A)) = xA

pi1

([x]) = xA

Gx = GA = gG

gA

Este ultimo conjunto es abierto por el paso (1).(5) La imagen de la representacion de Cayley esta contenida en Homeo(X) por el paso (1). Latopologa de Homeo(X) es la compacto-abierta.(6) El centro de la accion Z() =

xXGx = ker() es interseccion de subgrupos topologicos

cerrados, y es el nucleo de la representacion de Cayley. Por el paso anterior y 2.1.7 se obtiene elresultado.

Corolario 2.6.3. Toda accion continua G X -X induce una accion continua y efectiva(G/Z())X -X.

[Demostracion] El cociente G/Z() es un grupo topologico por 2.6.2-(6). Si [g] es la claselateral de g en G/Z(); la accion cociente es definida por ([g], x) = (g, x). Con esta accion, elsiguiente diagrama conmuta

G/Z()X X

GX X

1X

pi1X

??

-

-

[g]x = gx g G x X

Como G/Z() tiene la topologa cociente, es continua por el principio de trasgresion 1.4.2.

2.7. Ejemplos de acciones continuas.

(1) Sea S1 el crculo unitario, y X = S1 S1 = R2

ZZ el 2-toro. Para cada constante a Rconsideremos la curva en X dada por la funcion suave

Ra-X

a(t) =

(e

2piit

, e2piiat

)Notemos que

aes un morfismo de grupos de Lie; es decir,

a(t + s) =

a(t)

b(s). Si

a = mn es racional entonces a(mn) = (1, 1) = a(0) por lo cual la imagen de a es unacurva compacta. De lo contrario,

aes una inmersion y su imagen es densa en X. Fijemos

18 G. PADILLA

un irracional a R y consideremos la accion

R X -X t(z, w) =(e

2piit

z, e2piiat

w)

Esta accion es diferenciable, la llamamos el a-flujo irracional en X. El espacio X/Rtiene la topologa indiscreta.

(2) Si G es un grupo topologico y H G es cualquier grupo cerrado entonces G actuacontinuamente en el espacio de clases laterales X = G/H por traslaciones izquierdas:

g(xH) = (gx)H. El estabilizador de xH es xHx1

. La accion es transitiva.

(3) G actua sobre s mismo por conjugacion, (g, x) = gxg1

. La orbita de un punto es [x] =Cl

G(x) la clase de conjugacion de x en G. El estabilizador de x es G

x= {g G : gx = xg}

el conmutador del elemento x. El centro de la accion es el centro del grupo Z(G).(4) Una geometra de Klein es un par (G,H) donde G es un grupo de Lie (un grupo

topologico que es una varieda suave y en el que las operaciones son suaves), H G es unsubgrupo cerrado y X = G/H es conexo. Por 3.1.1, equivalentemente una geometra deKlein es un G-espacio X tal que G es compacto de Lie y X/G es conexo. Damos variosejemplos de geometras planas de Klein:

(a) Geometra escolar: X = R2 y G GL3(R) el grupo de movimientos rgidos. Unelemento de G es una matriz 3 3 de la forma

g =

(1 0v R

)v =

(v

1

v2

) R2 R

=

(cos() sen()sen() cos()

)La transformacion plana inducida por g es

gx = R x+ v

El estabilizador del origen 0 R2 es el subgrupo de matrices de la forma

g =

(1 00 R

)es decir G

0= SO(2).

(b) Geometra de semejanzas: X = R2 y G GL3(R) es el grupo de matrices de la forma

g =

(1 0v A

)tales que AA

T

= AT

A = r2

I2

para algun r R . La accion sobre un punto x X sedefine igual que antes.

(c) Plano de Minkovski: X = R2 y G GL3(R) es el grupo de matrices de la forma

g =

(1 0v A

)tales que ASA

T

= S donde

S =

(1 00 1

)


Notemos que toda matriz A que satisface la condicion anterior se puede escribir de laforma

A =

(cosh() senh()senh() cosh()

)La accion en un punto x X se escribe como antes.

(d) Plano hiperbolico: X = {x + iy C : y > 0} es el semiplano positivo complejo.G = {A GL

2(R) : det(A) = 1} es el grupo de transformaciones de Mobius. La

accion de G en X es (a bc d

)z =

az + b

cz + d

El estabilizador del punto i X es Gi= SO(2).

(5) Geometras de Grassman: Son un ejemplo especial de geometras de Klein. Sea n > 0un entero. El grupo que actua es siempre G = O(n), el grupo las matrices ortogonales(isometras lineales) de Rn . Para cada entero 0 m n fijo, sea X

mel conjunto de todos

los subespacios lineales m-dimensionales de Rn ; que en adelante llamamos el conjunto delos m-planos. Puesto que los isomorfismos lineales preservan dimension, G actua en Xmdel modo obvio:

O(n)Xm

-Xm

A W = A(W )Sea V

0= Rm {0} X el m-plano de los vectores cuyas ultimas (nm) coordenadas se

anulan. Dado W X, gracias a la descomposicion Rn = W W y el metodo de Gram-Schmidt, podemos completar una base ortonormal B = {a

1, . . . , a

m; a

m+1, . . . , a

n} de Rn

comenzando con los primeros m vectores a1, . . . , a

m W . La matriz de vectores columna

A = [a1 , . . . , an ] satisface entonces A(V0) = W . Se deduce que [V0 ] = G V0 = Xm , esdecir, la accion es transitiva. El estabilizador de V0 es el subgrupo de matrices en bloque

H =

{(A 00 B

): A O(m), B O(nm)

}= O(m)O(nm)

El correspondiente espacio de Grassman es el espacio de orbitas

G(m,n) = Xm/G = O(n)

O(m)O(nm)Se pueden verificar las siguientes propiedades:(a) G(m,n) = G(nm,n).(b) G(m,n) es una variedad diferenciable para cada 0 m n.(c) G(0, n) = G(n, n) es un punto.

(d) G(1, n) = G(n 1, n) = PRn1 es el (n 1)-espacio proyectivo real.(e) dim(G(m,n)) =

(nm

).

(f) Las Grassmanianas son fibrados principales clasificantes, todo fibrado principal esembebible en alguna Grassmaniana.

20 G. PADILLA

2.8. Representaciones de grupos compactos en matrices de dimension finita. Dado ungrupo topologico G; una n-representacion de G es un morfismo de grupos topologicos

G -GLn(R)

Equivalentemente, una n-representacion de G es una accion continua de G en Rn por iso-morfismos lineales. Una n-representacion compleja es un morfismo de grupos topologicos

G -GLn(C); de manera similar una n-representacion ortogonal (resp. unitaria) es un

morfismo de grupos topologicos que toma valores en O(n,C) (resp. en U(n)). Dos representaciones, de G son equivalentes existe A GLn(R) tal que (x) = A(x)A

1para todo x G.

Dado un grupo topologico compactoG y una funcion continuaGf -Rn ; aplicando la integral

de Haar de 2.4 coordenada a coordenada obtenemos un vector promedioG

f(x) dx =

G

(f1(x), . . . , fn(x)) dx =

(G

f1(x) dx, . . . ,

G

fn(x) dx

) Rn

Este vector es el G-baricentro de f . Si RnL -Rm es una transformacion lineal entonces

G

L(f(x)) dx = L

(G

f(x) dx

)Proposicion 2.8.1. Toda n-representacion real de un grupo topologico compacto es equivalente auna n-representacion ortogonal.

[Demostracion] Sea G -GLn(R) una representacion continua de G, y

G Rn -Rn xv = (x)(v)la accion lineal continua de G en Rn inducida por la representacion. Es suficiente hallar un productointerno , definido positivo en Rnque sea invariante bajo la accion de G; es decir, tal que Gactue por isometras u, v = xu, xv para todo x G, u, v Rn . Sea u v el producto escalarusual en Rn , es decir

u v = u1v

1+ + u

nvn

Notemos que el producto escalar usual es continuo respecto de las coordenadas usuales. Definimos

u, v =G

(xu) (xv) dx

Por la linealidad de la integral de Haar y la bilinealidad del producto escalar usual, nuestra nuevaoperacion es bilineal. De modo similar se ve que , es simetrica. Si u 6= 0 es cualquier vectorno nulo entonces

u, u =G

(xu) (xu) dx =G

|xu|2 dx > 0

porque el integrando |xu|2 0 no es identicamente nulo (por ejemplo, para el elemento identidadx = 1 G no se anula pues 1u = u 6= 0), cf.2.4.2-(2); luego el producto interno nuevo es definido


positivo (no singular). Finalmente verificamos la G-invarianza: Dado g G, por la propiedad2.4.1-(5) de la integral de Haar,

gu, gv =G

(x(gu)) (x(gv)) dx =G

(xu) (xv) dx = u, v

Si G -GLn(R) y G

-GLm(R) son representaciones continuas de G, entonces denota a la representacion G -GL

n+m(R) dada por

(x) = ((x), (x))Si u Rn y v Rm entonces [ (x)] (u, v) = ((x)(u), (x)(v)). Una n-representacion esreducible existe un subespacio 0 6= W Rn tal que (x)(W ) = W para todo x G, esdecir, que el subespacio W es G-invariante. Si una n-representacion no es reducible, decimos quees irreducible. Una n-representacion es completamente irreducible es la suma directa(finita) de algunas representaciones irreducibles =

1

n. Para mas detalles vease [5].

Proposicion 2.8.2. Toda n-representacion real de un grupo topologico compacto es completamentereducible.

[Demostracion] Dada cualquier n-representacion de un grupo topologico compacto G, por2.8.1 podemos asumir, salvo un ajuste de cambio de base, que es ortogonal respecto al productoescalar usual y G actua por isometras lineales. Supongamos que W Rn es un subespacioG-invariante. En tal caso, si w W y u W tenemos que

(x)(u), w =u, (x)

1(w)

=u,

(x1)

(w)

= 0

pues w = (x1)

(w) W . Deducimos que (x)(u) W ; es decir, el complemento ortogonalde W tambien es G-invariante. De este modo

' (|W

) (|W )

Aplicando un sencillo argumento inductivo se llega al resultado.

2.9. Funciones equivariantes. Fijamos en adelante un grupo topologico G.

Dados dos G-espacios X,X ; un morfismo o funcion equivariante es una funcion continua

Xf -X que conmuta con las respectivas acciones

GX X

GX X

f1Gf

??

-

-

f(gx) = gf(x) g G x X

22 G. PADILLA

Decimos que f es un isomorfismo o equivalencia de G-espacios si f es un homeomorfismo

equivariante; en tal caso la inversa h = f1

tambien es equivariante. Dos G-espacios equivalentesno pueden ser topologicamente distinguidas y son tratadas, esencialmente, como el mismo G-espacio. Es asimismo conveniente considerar indistinguibles a dos acciones que se diferencian enun isomorfismo de grupos. Dados dos grupos topologicos G,G y dos acciones continuas G X

-X, G X -X ; un morfismo debil es un par (, f) tal que

G -G es un morfismo (continuo) de grupos topologicos. X f -X es una funcion -equivariante en el sentido siguiente:

GX X

GX X

ff

??

-

-

f(gx) = (g)f(x) g G x X

Diremos que X,X son debilmente equivalentes es un isomorfismo de grupos topologicosy f es un homeomorfismo -equivariante.

Proposicion 2.9.1. Dada una funcion equivariante Xf - Y entre dos G-espacios; G

x G

f(x)

para todo x X.

[Demostracion] Si y = f(x) y g Gx entonces gy = gf(x) = f(gx) = f(x) = y.

Teorema 2.9.2. [Extensiones equivariantes de Tietze-Gleason] Sea G un grupo compactoque actua sobre un espacio normal X y C X un cerrado invariante. Dada una representacionG

-GLn(R); toda funcion Af -Rn -equivariante posee una extension X

h -Rn

-equivariante.

[Demostracion] Por el teorema de extension de Tietze ?? f posee una extension continuaX

h-Rn . Para obtener una extension -equivariante de f promediamos h con la integral deHaar;

h(z) =

G

(x1

)h(xz) dx


Entonces, dado g G,h(gz) =

G(x1)h(x(gz)) dx =

G(gg1x1)h((xg)z) dx

=G(g (xg)

1)h((xg)z) dx =

G(g) (xg)

1h((xg)z) dx

= (g)G (xg)

1h((xg)z) dx = (g)

G(y1)h(yz) dy

= (g)h(z)

Esto muestra que h es -equivariante. Finalmente, si z A entoncesh(z) =

G(x1)h(xz) dx =

G(x1)f(xz) dx

=G(x1)(x)f(z) dx =

G(x1x)f(z) dx

=Gf(z) dx = f(z)

luego h es una extension de f . Puesto que h es continua, por 2.4.3 h es continua.

3. Acciones de grupos compactos

En esta seccion estudiamos el espacio de orbitas de la accion de un grupo compacto.

3.1. Propiedades generales.

Proposicion 3.1.1. Sea GX -X la accion continua de un grupo compacto. Entonces

(1) Para cada x X el mapa canonico G/Gx - [x] es una equivalencia de G-espacios.

(2) es cerrada.(3) Si C X es cerrado entonces GC es cerrado.(4) pi es cerrada.(5) X/G es Hausdorff.(6) pi es propia.(7) Un subconjunto saturado C X es compacto pi(C) es compacto.(8) X es compacto X/G es compacto.(9) X es localmente compacto X/G es localmente compacto.

[Demostracion] (1) Por 2.6.2-(3) es una biyeccion continua de un compacto en un Hausdorff,luego es un homeomorfismo, cf.1.2.2. La accion de G en G/G

xes por multiplicacion izquierda

en las clases laterales: Si [z] = zGx

entonces g[z] = [gz], es decir, g(zGx) = (gz)G

x. Puesto que

([z]) = zx tenemos que, en particular, (g[z]) = ([gz]) = (gz)x = g(zx) = g([z]); es decir, esequivariante.

(2) Sea C GX un subconjunto cerrado y x (C) X un punto en la adherencia de (C).Sea {p

i: i D} una red en (C) que converge a x. Por la sobreyectividad de podemos escribir

pi

= (gi, x

i) = g

ixi

para cada i. De este modo obtenemos una red {gi

: i D} en C y una red{x

i: i D} en X. Puesto que G es compacto, por 1.2.3 pasando a una subred podemos asumir

24 G. PADILLA

que LimiD

gi

= g converge en G. Como G es un grupo topologico la inversion es continua, luego

LimiD

g1i

= g1

. Por la continuidad de ,

LimiD

xi

= LimiD

g1i

(gixi) = Lim

iDg1ipi

=

(LimiD

g1i

)(LimiD

pi

)= g

1x

Es decir, la red {xi

: i D} converge a g1x en X. Se deduce que la red {(gi, x

i) : i D} C

converge a (g, g1x) C pues C es cerrado. Como

(g, g

1x)

= g(g1x)

=(gg1)x = 1x = x

obtenemos que x (C).(3) Si C X es cerrado entonces, por el paso anterior, GC = pi1(pi(C)) es cerrado en X. ComoX/G tiene la topologa cociente, pi(C) es cerrado en X/G.

(4) Por el paso (1) las orbitas son compactas. Sean x, y X tales que las respectivas orbitas sondisjuntas, [x] [y] = . Puesto que X es Hausdorff, para cada g G existen abiertos disjuntosAg Bg = en X tales que x Ag y gy Bg . Del cubrimiento abierto U = {Bg : g G}de [y] podemos extraer un subcubrimiento finito, digamos [y] Bg1 Bgn = B

x

. Entonces

Ax

= Ag1 Agn es un entorno abierto de x disjunto del entorno abierto Bx [y]. Con el mismoprocedimiento, para cada g G conseguimos un entorno abierto gx Agx y un entorno abierto[y] Bgx . Del cubrimiento abierto V = {Agx : g G} de [x] extraemos un subcubrimiento finito,digamos [x] Ag1x Agmx = A, el cual es disjunto del abierto B = Bg1x Bgmx [y].Por 2.6.2-(4) pi es abierta, luego pi(A) y pi(B) son abiertos disjuntos que separan a pi(x) = [x] depi(y) = [y].

(5) Puesto que cada orbita es compacta, es directo de 1.2.1.(6) Verificamos las dos implicaciones: () Puesto que C es compacto, por 1.2-(1) (C) es com-pacto. () Si pi(C) es compacto entonces, dado que pi es propia por el paso anterior, pi1(pi(C))es compacto. Como C es saturado, C = GC = pi

1(pi(C)) es compacto.

(7) Es un caso particular del paso anterior.(8) Verificamos las dos implicaciones: (Cond) Dado pi(x) X/G; como X es lc, basta tomar unentorno compacto C de x en X. Puesto que pi es abierta; pi(C) es un entorno compacto de z. ()Dado x X; como X/G es lc basta tomar un entorno compacto K X/G de pi(x). Puesto que pies continua y propia; pi

1(K) es un entorno compacto de Gx.

3.2. Secciones locales. Fijamos un grupo topologico compacto G y un G-espacio X; con la

proyeccion canonica al espacio de orbitas Xpi -X/G. Una seccion local es una funcion

continua U -X definida en un abierto U X/G tal que pi((z)) = zz U .

Proposicion 3.2.1. La imagen de una seccion local U -X es cerrada en X.

[Demostracion] Supongamos que U = X/G. Sea C = (X/G) y {xi

: i D} una red en Cque converge a x X. Por la continuidad de pi tenemos que

LimiD

pi(xi) = pi(x)


Por la continuidad de tenemos

x = (pi(x)) = LimiD

(pi(xi)) = LimiD

xi CSe deduce que C es cerrado. Para el caso general notemos que la imagen de siempre esta

contenida en el subespacio saturado pi1

(U).

Proposicion 3.2.2. Sea C X un cerrado tal que C intersecta a cada orbita de X exactamenteen un punto. Entonces la funcion X/G

-X dada por (pi(x)) = C [x] es una seccion.[Demostracion] Notemos que la imagen de esta contenida en C. Dado Y C cerrado, por

3.1.1-(2) 1(Y ) = pi(Y ) es cerrado. Se deduce que es continua.

Teorema 3.2.3. Sean X,Y dos G-espacios; C X un cerrado y C f - Y cualquier funcion(continua) tal que vale el siguiente condicional

{x, gx} C f(gx) = gf(x) x X g G

Entonces f posee una extension equivariante unica GCh - Y t.q. h|

C f .

[Demostracion] Dados g G, c C; definamos h(gx) = gf(x). Entonces: h esta bien definida: Suponga que gx = gx. Entonces x =

(g1g)x. Por hipotesis tenemos

entonces que f(x) = f((g1g)x)

=(g1g)f(x). Multiplicando por g a izquierda tenemos

gf(x) = gf(x). h es continua: Sea {x

i: i D} una red en GC que converge a x GC. Escribamos x

i= g

ici.

Puesto que G es compacto, pasando a una subred podemos asumir que {gi

: i D} converge aalgun g G. Entonces

LimiD

ci

= LimiD

g1ixi

= g1x1 C

porque C es cerrado. En consecuencia,

LimiD

h(xi) = Lim

iDh(g

ici) = Lim

iDgif(c

i) = gf(c) = h(gc) = h(x)

Corolario 3.2.4. Sean X,Y dos G-espacios; y C = Im() X la imagen de una seccionX/G

-X. Sea Xf - Y cualquier funcion (continua) tal que

Gx G

f(x)x C

Entonces f posee una extension equivariante unica Xh - Y .

[Demostracion] Suponga que {x, gx} C. Como C = Im() es la imagen de una seccion, y{x, gx} [x] = Gx; tenemos que x = (pi(x)) = (pi(gx)) = gx, es decir, x = gx. Deducimos queg Gx . Por hipotesis Gx Gf(x) luego f(gx) = f(x) = gf(x). En otras palabras, f verifica lahipotesis de 3.2.3.

26 G. PADILLA

3.3. Acciones transitivas. A continuacion describimos todas las acciones transitivas de un grupotopologico compacto G. Un G-espacio X es transitivo posee una unica orbita. En tal caso,por 3.1.1-(1), X es homeomorfo a un cociente G/H donde H es algun subgrupo cerrado; y laaccion de G es la dada en el ejemplo 2.7-(2).

Describimos a continuacion este tipo de espacios.

Teorema 3.3.1. Sea G grupo topologico compacto; H,K subgrupos cerrados de G. Entonces

(1) Si a G y a1Ha K entonces

a

: G/H -G/K [x] 7 [xa]es equivariante.

(2) a = a a1a K.

(3) Toda funcion equivariante G/Hf -G/K es de la forma f =

apara algun a G tal

que aHa1 K.

(4) H es conjugado de K G/H es equivalente a G/K, cf.2.9.[Demostracion] Procedemos por pasos.

(1) Veamos que a esta bien definida. Supongamos que [x] = [y] en G/H; es decir que xH = yH,

luego y1x H. Entonces a1y1xa K, es decir xaK = yaK luego [xa] = [ya] en G/K. Ahora

bien, a(gx) = [(gx)a] = [g(xa)] = g [xa] = ga(x) luego a es G-equivariante.(2) Vemos ambas implicaciones: () Si a = a entonces, en particular [a] = a([1]) = a ([1]) =[a] en G/K; es decir aK = aK, luego a

1a K. () Si a1a K entonces para cualquier x G

se tiene que (xa)1

(xa) =(a1x1)

(xa) = a1(x1x)a = a

1a K de donde xaK = xaK;

es decir a([x]) = [xa] = [xa] =

a ([x]) en G/K. Variando a x G se deduce que a = a .

(3) Dada G/Hf -G/K bien definida y G-equivariante, sea f([1]) = [a] = aK para cierto

a G. Entonces, por equivariancia de f , f([x]) = f([x1]) = x f([1]) = xaK = [xa]. Puestoque f esta bien definida, debe satisfacerse que si [x] = [y] en G/H, es decir si xH = yH entoncesf([x]) = f([y]), luego xaK = yaK. En resumen, debe satisfacerse este condicional

y1x H a1(y1x)a = (ya)1(xa) K x, y G

Si tomamos z = y1x entonces el condicional de arriba es equivalente a

z H a1za KEs decir a

1Ha K. Se deduce que f =

ase escribe como en el primer paso.

(4) Vemos ambas implicaciones: () Si a1Ha = K para algun a G entonces, por el paso (1),G/H

a-G/K esta bien definida y, puesto queH = aKa1

, tenemos tambien queG/Ka1-G/H

tambien esta bien definida. Estas funciones son inversas. () Si G/H f -G/K es una G-equivalencia, entonces f =

apara algun a por el paso (2). La inversa f

1tambien es G-

equivariante, luego f1

= b

: G/K -G/H para algun b G. Entonces a1Ha K yb1Kb H por la definicion de las funciones

a,

b. Afirmamos que H = (ab)

1H(ab). Para verlo


notemos que en G/H tenemos H = [1] = f1

(f([1])) = [ab] = abH de donde ab H. Otra maneraes notar que G es compacto y H,K son cerrados; como a

1Ha K y b1Kb H se tiene que

(ab)1H(ab) = b

1(a1Ha)b b1Kb H y por 2.1.9 se tiene la igualdad. En cualquier caso

deducimos que

H = (ab)1H(ab) = b

1 (a1Ha)b b1Kb H

Se deduce que H = b1Kb; es decir H y K son conjugados.

Corolario 3.3.2. Sea G grupo topologico compacto; H subgrupo cerrado. Toda funcion (con-

tinua) G-equivariante G/Hf -G/H es de la forma f =

apara algun a N(H), y es una

equivalencia de G-espacios.

[Demostracion] Por 3.3.1-(3) f = a

para algun a G tal que a1Ha H. Por 2.1.9 setiene que a

1Ha = H, es decir, a N(H). De esta observacion y 3.3.1-(4), f es una equivalencia.

Corolario 3.3.3. Sea G grupo topologico compacto; H subgrupo cerrado. La representacion deCayley

N(H)/H -Homeo

G(G/H) [a] 7

a

es un isomorfismo de grupos topologicos.

[Demostracion] Denotamos por HomeoG

(G/H) al grupo deG-equivalencias deG/H, la topologade este grupo es la compacto-abierta. Por 3.3.2 tenemos un morfismo sobreyectivo de grupos

N(H) -Homeo

G(G/H) a 7

a

Puesto que cada a es un homeomorfismo, la representacion es continua (ejercicio). De 3.3.1-(2) se deduce que ker() = H, luego la funcion tiene sentido y es una biyeccion continua porel principo de trasgresion 1.4.2 ya que N(H)/H tiene la topologa cociente. Como H es cerradoN(H) es cerrado en G por 2.1.9; luego es compacto. En consecuencia N(H)/H es un grupotopologico compacto y es una biyeccion continua de un compacto en un Hausdorff; luego es unhomeomorfismo, cf.1.2.2.

Corolario 3.3.4. Sea G grupo topologico compacto; H,K subgrupos cerrados. Si existen funcionesequivariantes

G/Hf -G/K G/K

r -G/H

entonces f, r son inversas, son equivalencias de G-espacios y H,K son subgrupos conjugados.

[Demostracion] Por 3.3.2 las composiciones fr, rf son equivalencias de G-espacios. Por 3.3.1-(4) H,K son conjugados.

28 G. PADILLA

3.4. Tipos de orbitas. Fijado un grupo compacto G; la familia de los G-espacios transitivos conlas funciones equivariantes constituye una categora, que llamamos la categora de G-orbitas. Sidividimos esta categora por clases de equivalencia obtenemos la categoa de tipos de orbitas. DosG-orbitas son equivalentes si hay una G-equivalencia (un isomorfismo G-equivariante) entre ellas.De este modo; si X es un G-espacio transitivo denotaremos por tip(X) a la clase de equivalenciade X bajo G-equivalencias. En adelante escribiremos

tip(Y ) tip(X)

si X,Y son G-espacios transitivos y existe una funcion equivariante Xf - Y ; note que f siempre

es sobreyectiva. La relacion anterior es un orden parcial entre los tipos de orbita de G. Notemosque

(1) tip(X) siempre contiene a un cociente G/H por subgrupo cerrado.(2) tip(G/K) tip(G/H) H es conjugado de algun subgrupo de K.(3) tip(G/H) = tip(G/K) H,K son subgrupos conjugados.(4) tip({punto}) = G/G es el tipo mnimo de orbita.(5) tip(G) = G/{1} = G es el tipo maximo.

Por otra parte, el tipo de isotropa de un subgrupo cerrado H G es su clase de conjugacion(H) = Cl

G(H) = {gHg1 : g G}

Las clases de conjugacion en G tambien estan parcialmente ordenadas del modo siguiente: (H) (K) si y solo si H es conjugado de algun subgrupo de K. De este modo,

tip(G/K) tip(G/H) (H) (K)El conjunto parcialmente ordenado de tipos de orbitas es, de este modo, anti-isomorfo al conjuntode tipos de isotropa (clases de conjugacion).

Dado un subgrupo cerrado H G el conjunto de puntos fijos por H esXH

= {x X : gx = x g H} = {x X : H Gx}Lema 3.4.1. Cada X

H X es cerrado.[Demostracion] Sea g H y {xi : i D} una red en X

H

que converge a cierto x X. Comola accion es continua

gx = g

(LimiD

xi

)= Lim

iD(gx

i) = Lim

iDxi

= x

De la arbitrariedad de g deducimos que x XH .

3.5. Ejemplos de tipos de orbitas.

(1) Si G Rn -Rn es una accion ortogonal (continua) entonces, para cada g G, lamultiplicacion izquierda Rn

Ig-Rn es una isometra lineal. Entonces gx = x si y solosi (I

g id)(x) = 0, las soluciones de esta ecuacion constituyen un subespacio lineal de Rn .

Dado un subgrupo cerrado H G,XH

= gH{x Rn : gx = x} =

gHker(I

g id)


es un subespacio lineal de Rn . Deducimos que XH = Rm para algun m n. Comolas isometras preservan la norma, la accion se puede extender a Y = Sn = Rn {}definiendo g = para todo g G. Note que entonces es un punto fijo de la accion;luego Y

H

= XH {} = Rn {} = Sm .

(2) Dado un G-espacio X y un subgrupo cerrado H G; si x XH y z N(H) entoncesH(zx) = (Hz)x = (zH)x = z(Hx) = zx

con lo cual XH

es N(H)-invariante. En particular, si X es un espacio transitivo entoncespodemos asumir que X = G/K es el espacio de clases laterales de algun subgrupo cerradoK. En tal caso, [x] G/K es un punto fijo de g G si y solo si [gx] = [x], luegoG

[x]= g xKx1 es el estabilizador de la clase [x]. El centro de la accion

Z() = [x]G/K

G[x]

= xG

xKx1

= N(H)

es el normalizador de H. Por otra parte,

[x] (G/K)H [gx] = [x]g H g xKx1g H H xKx1

luego (G/K)H 6= si y solo si H xKx1 para algun x G, e.d. si y solo si H es

conjugado de algun subgrupo de K. En particular, puesto que G es compacto y H,K soncerrados en G (ergo compactos); por 2.1.3

[x] (G/K)K K xKx1 x N(K)de donde se deduce que

(G/K)K

=N(K)

K

(3) Sea S3 = {(u, v) C : uu+ vv = 1} la 3-esfera y consideremos la accion de Hopf

S1 S3 - S3 z(u, v) = (zu, zv)

Esta accion es libre; el estabilizador de cualquier punto es z = 1. El espacio de orbitas de

esta accion es S3/S1 = S2 . La proyeccion canonica es un fibrado principal suave de grupoS1 , este es el fibrado de Hopf.

(4) Sea S5 = {(u, v, w) C : uu+ vv + ww = 1} la 5-esfera. Consideremos la accion

S1 S5 - S5 z(u, v, w) = (zu, zv, w)

Esta accion es semilibre. El estabilizador de (u, v, w) es el subgrupo dado por la condicion

(z = 1) (u = v = 0)Los puntos (0, 0,1) son fijos por la accion. Cualquier otro punto de S5 tiene estabilizadorz = 1, es decir que la orbita es S1 .

(5) Sea T2 = S1 S1 el 2-toro. Consideremos la accion

T2 S5 - S5 (z, z)(u, v, w) = (zu, zzv, w)

30 G. PADILLA

El estabilizador de (u, v, w) es el subgrupo dado la condicion

[(v = 0) (zz = 1)] [(u = 0) (z = 1)]de la cual se derivan cuatro casos: u = v = 0: Este caso determina los puntos (0, 0,1) que son fijos, pues no hay

condicion en z, z. v = 0 y z = 1: Los puntos de la forma (u, 0, w) tienen estabilizador

G(u,0,w)

= {(z, z) T2 : z = 1} = {1} S1 = S1

La orbita de un punto de este tipo es equivalente a T2

S1= S1 .

u = 0 y zz = 1: Los puntos (0, v, w) tienen estabilizador

G(0,v,w)

= {(z, z) T2 : zz = 1} = S1

este subgrupo es la diagonal del toro; la orbita respectiva es equivalente a S1 . z = zz = 1: Esta es la isotropa de los puntos (u, v, w) con uv 6= 0. El estabilizador

es {(1, 1)}, las orbitas son equivalentes a T2 .(6) Sea G = SO(3) = {A M

3(R) : AAT = I, det(A) = 1} y X el conjunto de las matrices

simetricas 33 cuya traza es 0. Como espacio vectorial X = R5 . Si g G, las coordenadasde la conjugada y = gxg

1= gxg

T

satisfacen

yij

=k

(gx)ikgT

kj=k,l

(gilxlk

) gjk

=k,l

(gjkxkl

)gil

=l

(gx)jlgT

li= y

ji

La igualdad marcada con asterisco vale pues x es una matriz simetrica, e.d. xlk

= xklk, l.

Se deduce que y es una matriz simetrica. La traza de la matriz y esi

yii =i,k,l

gilxlkgik

Por la simetra de x, el lado derecho de la igualdad se puede separar en dos sumas, una

para k = l en la cual aparecen los terminos de la forma g2

ikxkk

, y otra para k < l en la cualaparecen los terminos de la forma 2g

ilgikxlk

; en resumeni

yii

=i,k

g2

ikxkk

+i,k


La funcion Xpi -Z que manda a cada matriz x X en la tripla pi(x) de sus autovalores

ordenados de modo decreciente; satisface pi(x) = pi(y) [x] = [y]. La inversa de pi es laseccion

Z -X (a, b, c) =

a 0 00 b 00 0 c

Se sigue que Z = X/G y pi es la proyeccion en el espacio de orbitas. La ecuacion a+b+c = 0en R3 determina al plano que pasa por el origen y tiene vector director u = (1, 1, 1).Las inecuaciones a b c proporcionan una region conica de dicho plano. Calculandodirectamente el estabilizador de un punto z = (a, b, c) tenemos que gzg

1= z si y solo si

gz = zg; es decir, si y solo si ag11 bg12 cg13ag21 bg22 cg23ag31 bg32 cg33

= g11 g12 g13g21 g22 g23g31 g32 g33

a 0 00 b 0

0 0 c

= a 0 00 b 0

0 0 c

ag11 bg12 cg13ag21 bg22 cg23ag31 bg32 cg33

= ag11 ag12 ag13bg21 bg22 bg23cg31 cg32 cg33

lo cual sucede si y solo si se satisfacen las siguientes relaciones:

(a b)g12

= (a b)g21

= (a c)g13

= (a c)g31

= (b c)g23

= (b c)g32

= 0

Distinguimos entonces los siguientes casos: a = b = c: Entonces no hay condiciones sobre g y el estabilizador de z = (a, b, c) es

todo G, y z es un punto fijo. a > b > c: Entonces g es una matriz diagonal. Como g es ortogonal de determinante

1, g solo puede tomar los siguientes valores: 1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

1 0 00 1 00 0 1

y el estabilizador de z es isomorfo a Z

2 Z

2. La orbita de z es isomorfa a SO(2)Z2Z2 . a = b > c: Entonces

g =

g11 g12 0g21

g22

00 0 1

por la ortogonalidad de g se deduce que

s =

[g11 g12g21 g22

] O(2)

La orbita de z es equivalente a un plano proyectivo SO(3)O(2)= PR2 .

3.6. Operaciones entre G-espacios. Para esta seccion fijamos un grupo compacto G.

3.6.1. Producto torcido. Sea H G un subgrupo cerrado y X un H-espacio. El producto X Gtorcido por H es el espacio de orbitas de la accion que pasamos a describir. En el productoGX consideramos la accion torcida de H; dada por

H (GX) - (GX) h(z, x) = [zh1 , hx]

32 G. PADILLA

Es inmediato que 1(g, x) = (g, x). Por otra parte,

j(h(z, x)) = j(zh1, hx) = (z(h

1j1

), j(hx)) = (z(jh)1, (jh)x) = (jh)(z, x)

La continuidad de es trivial. El espacio de orbitas de esta accion

GHX =

GXH

es el producto torcido. Denotamos por [z, x] a la orbita del par (z, x) G X. Estas sonalgunas propiedades:

(1) GHX es un G-espacio con la accion g[z, x] = [gz, x].

(2) X -G

HX dada por (x) = [1, x] es H-equivariante; pues h(x) = h[1, x] = [h, x] =

[1, hx].(3) es un embebimiento: Es continua por definicion. Ademas es inyectiva, pues si (x) = (y)

entonces [1, x] = [1, y] de donde existe h H tal que (h1 , hx) = (1, y); pero entoncesh = 1 y x = y. Finalmente es cerrada, pues es la composicion de las funciones cerradas

X -G X pi -G HX; cf.3.1.1-(4). Se deduce que es un homeomorfismo en

su imagen.

(4) La funcion G HX

pi-G/H dada por pi(z) = [z] es continua: Porque viene deldiagrama conmutativo

GHX G/H

GX G

piG

pi

p1

pi??

-

-

Es decir, pipi = piGp1 es continua, ahora usamos el principio de trasgresion 1.4.2.

(5) Si GpiG-G/H posee secciones locales entonces la funcion G

HX

pi -G/H del paso

anterior es un fibrado, cf.[10]: Dado c G/H sea C 3 c un entorno cerrado y C -Guna seccion local (es decir (pi

G(z)) = zz C) tal que

C H - pi1G

(C) (z, h) 7 (z)hes una equivalencia de H-espacios. Entonces

C X -GHX (z, x) = [(z), x]

satisface es continua y cerrada: Porque es la composicion de las funciones

C X id-GX pi -GHX


Ahora bien, pi es cerrada por 3.1.1-(4). Dado un cerrado K C G/H; como G/H escompacto (imagen de un compacto por una funcion continua) K es compacto, luego (K)es un compacto en G. Como G es Hausdorff (K) es cerrado. Se deduce que es cerrada,cf.3.2.1. Luego es composicion de funciones cerradas. es un embebimiento: Si (z, x) = (z, x) entonces [(z), x] = [(z), x]; luego existeh H tal que ((z), x) = ((z)h1 , hx). Como es una seccion local

z = piG

((z)) = piG

((z)h1

) = piG

((z)) = z

En resumen, z = z por lo cual (z) = (z). Tenemos entonces que (z)h1

= (z), es

decir, (z, h1

) = (z, 1). Puesto que es una equivalencia H-espacios h1

= h = 1; luegox = x. Deducimos que es inyectiva. Por el paso anterior, es un homeomorfismo en suimagen. es una trivializacion: Por la definicion de y de pi tenemos que

Im() = {[z, x] GHX : z C} = pi1(C)

La composicion de estas funciones es

pi((z, x)) = pi([(z), x]) = piG

((z)) = z

Es decir, pi = pr1 es la proyeccion de la primera coordenada.

3.6.2. Pull-back. SeanX,Y, Z tresG-espacios cualesquiera;Xf -Z, Y

h -Z funciones equiv-ariantes. El pull-back es el espacio topologico

X ZY = {(x, y) : f(x) = h(y)} X Y

dotado con la accion diagonal

G (X ZY ) -X

ZY g(x, y) = (gx, gy)

Esta accion esta bien definida pues si (x, y) X ZY entonces f(gx) = gf(x) = gh(y) = h(gy)

luego (gx, gy) X ZY . Las proyecciones

Xpi

1 X ZY

pi2- Y

son continuas y G-equivariantes. El pull-back satisface las siguientes propiedades: Propiedad universal: Dado cualquier diagrama de G-espacios y funciones equivariantes

Y Z

W X

fs

t

h??

-

-

f(t(w)) = h(s(w))

34 G. PADILLA

para cada w W el punto (t(w), s(w)) pertenece a X ZY y la funcion obvia

W -X

ZY w 7 (t(w), s(w))

esta bien definida, es continua y G-equivariante. Obtenemos una factorizacion equivariante deldiagrama de arriba

Y Z

W X

X Z Y fs

t

h

pi2

pi1

??

-

-

@@R

Si f (resp. h) es sobre entonces pi2 (resp. pi1) es sobre: Es inmediata. Si f (resp. h) es abierta entonces pi

2(resp. pi

1) es abierta: Basta verlo sobre abiertos basicos.

Fijemos un punto (x, y) X ZY y un abierto basico (x, y) U U X Y en el producto.

Como x U X es un entorno abierto entonces, por hiotesis, f(U) Z es abierto. Como hes continua, y V = (h1(f(U)) U ) Y es un en torno abierto. Luego U V X Y esun abierto del producto y A = (X

ZY ) (U V ) es abierto en el pull-back. Por construccion

y V = pi2(A) es un entorno abierto de y contenido en pi

2(U ). Se deduce que pi

2(U ) es abierto.

3.6.3. Pull-back del espacio de orbitas. Un caso particular de la construccion anterior es el pull-back de un espacio de orbitas. Si en la situacion de 3.6.2 tomamos Z = X/G, f = pi la proyeccioncociente en el espacio de orbitas

Xpi -X/G

y Y un G-espacio trivial (la accion trivial, e.d. todo punto de Y es fijo) en este caso el productofibrado es denotado por h

(X) = X

X/GY ; lo llamamos el pull-back de X por h. Tenemos el

siguiente diagrama equivariante:

Y X/G

h(X) X

pipi2

pi1

h??

-

-

Como pi es sobreyectiva, continua y abierta por 3.1.1; de 3.6.2 deducimos que pi2

es sobreyectiva,continua abierta. Mas aun, pi2 es equivariante del G-espacio h

(X) al G-espacio trivial Y , e induce

por tanto una funcion sobreyectiva en el espacio de orbitas

h(X)

G

pi2- Y pi2([x, y]) = y


donde [x, y] denota la clase de la G-orbita de (x, y) en el pull-back. Entonces

pi2

es continua: Por el principo de trasgresion 1.4.2, pues pi2pi

= pi2

donde h(X)

pi- h(X)/G

y el espacio de orbitas h(X)/G tiene la topologa cociente inducida por la proyeccion pi . Notemos

que por definicion pi(x, y) = [x, y].

pi2 es abierta: Dado un abierto A h(X)/G su preimagen B = pi

1 (A) h

(X) es un abierto

invariante. Como pi, pi1

son abiertas y h es continua; B = h1

(pi(pi1(B))) es abierto en Y . Por la

conmutatividad del diagrama de arriba

pi2(A) = pi

2

(pi1 (A)

)= pi

2(B) = h

1(pi(pi

1(B))) = B

pi2 es un homeomorfismo: Como es sobreyectiva, continua y abierta, basta ver que es inyectiva.Por la definicion de la funcion pi2 ; si pi2([x, y]) = pi2([x

, y]) es porque y = y. Puesto que los pares(x, y); (x, y) h(X) estan en el pull-back;

pi(x) = pi(pi1(x, y)) = h(pi2(x, y)) = h(y) = h(pi2(x, y)) = pi(pi1(x

, y)) = pi(x)

Es decir, existe g G tal que x = gx estan en la misma orbita en X. Por la definicion de la acciondiagonal en pull-back h

(X) tenemos que (x, y) = (gx, y) = g(x, y), es decir, (x, y), (x, y) estan

en la misma G-orbita en h(X); luego [x, y] = [x, y].

3.6.4. Amalgamas equivariantes.

Referencias

[1] BREDON, G. Introduction to Compact Transformation Groups. Pure and Applied Mathematics Vol.46. Aca-demic Press. New York (1972).

[2] BREDON, G. Topology and Geometry. Graduate Texts in Mathematics Vol. 139 Springer-Verlag. New York-

Heidelberg- Berlin (1993).

[3] DIEUDONNE, J. Fundamentos de analisis moderno. Reverte, 1965.

[4] DUGUNDJII, J. Topology. Allin & Bacon Boston (1966).[5] LEDERMAN, w. Introduction to group characters. Cambridge Univ. Press. (1977).

[6] MUNKRES, J. Topology, a first course. Englewood Cliffs, N. J. ,Prentice-Hall 1974.

[7] ROTMAN, X. Introduction to group theory.[8] SAGAN, B. The symmetric group. Wadsworth & Brooks/Cole (1991).

[9] SINGER, I. et al. Lecture notes on elementary topology and geometry. Undergraduate texts in mathematics,

Springer-Verlag, 1976.[10] STEENROD, N. The topology of fiber bundles. Princeton University Press. Princeton-New Jersey . (1951).

Departamento de Matematicas, Facultad de Ciencias., Universidad Nacional de Colombia sede Bo-

gota. Cl.45 AK30 Edif.404, Ofic. 315-404. Tel. 3165000 ext 13166.E-mail address: [email protected]

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