Grupos de simetr´ıa en mecanica cu´ antica´ · Grupos de simetr´ıa en mecanica cu´ antica´...

Grupos de simetrıa en mec anica cu antica

Patricio Cordero S.

Departamento de Fısica

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Universidad de Chile

version 2007

Indice general

1. Introducci on 7

1.1. Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I Rudimentos 13

2. Conceptos b asicos y ejemplos 15

2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. El grupo simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Elementos de simetrıa puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Ejemplos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.1. El grupo puntual C3v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2. El grupo puntual D2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.3. Los grupo puntuales Td y Oh . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.4. Algunos grupos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Representaci on de grupos finitos 25

3.1. Definiciones basicas de teorıa de representaciones . . . . . 25

3.2. Algunas propiedades basicas de las RIs . . . . . . . . . . . . 28

3.3. Criterios de irreductibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

4 Patricio Cordero S. version de 2007

3.4. Espacios de funciones y proyeccion de una funcion a espa-cios de RI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4.1. Algunos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5. Analisis de los grupos C3v y D2d . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6. Apendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6.1. Representaciones irreductibles de grupos factorizablesG = G1×G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4. Grupos de Simetrıa 47

4.1. Simetrıa del Hamiltoniano y degeneracion de su espectro . . 47

4.2. El efecto de una perturbacion que quiebra la simetrıa de unhamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3. Simetrıa de rotacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4. Quiebre de la simetrıa de rotacion por efecto de una pertur-bacion de simetrıa puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5. Parte angular de las funciones de onda para el caso de nive-les desdoblados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6. Teorema de Unsold generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.7. Producto Kronecker de representaciones, y la representacionadjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.8. Reglas de seleccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.9. Ejemplos de reglas de seleccion . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.10.Reglas de seleccion en atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.11.Series y coeficientes de Clebsch-Gordan . . . . . . . . . . . 67

4.12.Sistemas acoplados. Suma de momento angular . . . . . . . 69

4.13.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

II Representaciones de grupos de Lie 75

5. Algunas Propiedades del grupo sim etrico. 77

5.1. Presentacion del grupo simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2. Moldes de Young y las RIs de Sn . . . . . . . . . . . . . . . . 79

INDICE GENERALFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

P. Cordero S. Grupos de simetrıa en mecanica cuantica 5

5.3. Proyectores de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4. Producto externo entre RIs de distintos Sn . . . . . . . . . . 82

6. Grupos de Lie 85

6.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6.2. Transformaciones infinitesimales . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.3. Algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4. Conexion y grupo cobertor universal . . . . . . . . . . . . . . 92

6.5. Representaciones de grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . 93

6.6. Representaciones tensoriales de algunos grupos de Lie . . . 95

6.7. RIs tensoriales de los grupos U(N),SL(N,R),SL(N,C) . . . . . . 98

6.8. RIs tensoriales de O(N) y SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.9. El grupo de rotaciones propias SO(3) . . . . . . . . . . . . . . 103

6.10.El grupo cobertor de SO(3),SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.11.Las RI de SU(2) y las RI bivaluadas de SO(3) . . . . . . . . . 107

6.12.Desdoblamiento de niveles de momento angular semienteropor efecto de una perturbacion de simetrıa puntual . . . . . . 111

III Aplicaciones 115

7. Atomos 117

7.1. El atomo de hidrogeno: un ejemplo de simetrıa dinamica . . 117

7.2. Estructura fina del atomo de hidrogeno . . . . . . . . . . . . 120

7.3. Generalidades sobre atomos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.4. Atomos livianos. Estudio de un sistema de partıculas identicas123

7.5. Fuciones de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.6. Elementos de matriz calculados con funciones determinantes 132

7.7. El metodo de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.8. Calculo de las energıas L−S de una configuracion . . . . . . 139

7.9. Un teorema dsobre elementos de matriz . . . . . . . . . . . . 142

7.10.Estructura fina de atomos livianos . . . . . . . . . . . . . . . 144

Universidad de Chile Escuela de Ingenierıa y Ciencias


8. Mol eculas 149

8.1. Aproximacion cuasiestatica de Born-Oppenheimer . . . . . . 149

8.2. El grupo de simetrıa de moleculas diatomicas . . . . . . . . . 151

8.3. Clasificacion de los estados moleculares . . . . . . . . . . . 153

8.4. Interseccion de niveles energeticos moleculares . . . . . . . 158

9. Solidos 161

9.1. Solidos cristalinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

9.2. Grupos espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

9.3. Las RIs del subgrupo τ y el teorema de Bloch . . . . . . . . . 164

9.4. Zona de Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9.5. Puntos generales de la zona de Brillouin . . . . . . . . . . . . 169

9.6. Puntos especiales de la zona de Brillouin . . . . . . . . . . . 171

9.7. Ejemplo de grupo simorfo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

9.8. Metodo de calculo de niveles de energıa en un cristal cubico 179

INDICE GENERALFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Capıtulo 1

Introducci on

1.1. Motivaci on

Parte de los avances en fısica alo largo de su historia han sido he-chos al incorporar nuevas simetrıasen la descripcion de las leyesfısicas. No siempre estas simetrıasson descubiertas en forma directa,a menudo es el descubrimiento denuevas leyes fısicas lo que acarreaconsigo la incorporacion de nuevassimetrıas en la descripcion del mun-do fısico.

Ası tenemos que inicialmentela mecanica trataba las direcciones“horizontales” en forma simetricamientras que la “vertical” jugaba unpapel privilegiado. La isotropıa tridi-mensional se introdujo en la fısicasolo con el nacimiento de la teorıade la gravitacion de Newton. Tam-bien la homogeneidad del espacioes incorporada a la fısica por New-ton como una nueva simetrıa.

En los cuerpos geometricos

suele poder distinguirse algun tipode simetrıa. Simetrica es la ley deCoulomb.

Una simetrıa se describe enmatematicas como la invariancia ba-jo una cierta transformacion. Porejemplo, la homogeneidad del es-pacio se expresa como la invarian-cia de leyes basicas de fısica bajotraslaciones arbitrarias. Una de lastantas simetrıas de un cubo se de-scribe como la invariancia del cuboal ser rotado en π

2 alrededor de uneje que pasa por el centro de doscaras opuestas. La simetrıa de laley de Coulomb 1/r se refiere a lainvariancia de esta a rotaciones ar-bitrarias alrededor de cualquier ejeque pase por el centro (r = 0) del po-tencial.

Salvo contadas excepcionesa cada simetrıa o conjunto desimetrıas combinadas le corre-sponde una cantidad conservaday/o reglas de seleccion. Sistemas

7


fısicos que se mueven en un espa-cio homogeneo (invariancia a trasla-ciones) tienen un momento linealconservado. Si ademas este espa-cio es isotropo habra momento an-gular conservado. La conservacionde la energıa se puede deducir dela homogeneidad del tiempo, o sea,invariancia del Hamiltoniano del sis-tema a traslaciones temporales.

A menudo sucede en fısica queuna nueva simetrıa es descubier-ta como consecuencia de descubriruna cantidad conservada o ambosdescubrimientos son hechos en for-ma independiente corroborandose.Un caso notable es el descubrimien-to de la invariancia (covariancia) delas ecuaciones de Maxwell bajo elgrupo de Lorentz y poco despues eldescubrimiento de la invariancia dela velocidad de la luz.

Otras dos simetrıas notables deun gran numero de leyes fısicasson la invariancia bajo reflexiones yque conduce al concepto de paridadconservada en mecanica cuantica yla invariancia bajo inversion tempo-ral la cual no tiene una cantidad con-servada asociada.

Hasta aquı se han menciona-do simetrıas de caracter puramentegeometrico o cinematico. Existentambien simetrıas dinamicas. Tales el caso, por ejemplo, del de-scubrimiento de Galileo de quela aceleracion de los cuerpos encaıda libre es constante e inde-pendiente de la masa considera-

da. Otro ejemplo mucho menos triv-ial de simetrıa dinamica es aquel-la de los potenciales centrales talesque tienen orbitas cerradas. Exis-ten solo dos potenciales de este tipode simetrıa, 1/r (Coulombiano) y r2

(oscilador armonico); las respecti-vas simetrıas dinamicas de estosdos casos son mucho mayores quela simple simetrıa de rotacion delpotencial. Se puede demostrar quecorresponden a los grupos SO(4) ySU(3) respectivamente.

El estudio de simetrıas lleva enforma natural al estudio de la teorıade grupos, y esto se debe a lo sigu-iente: i) si hay dos transformacionesTa y Tb que dejan invariante a un sis-tema, entonces los dos productos:TaTb y TbTa son nuevas transforma-ciones que tambien dejan invarianteal sistema (estas dos transforma-ciones son en general diferentes);ii) no es difıcil ver que tambienel producto de transformaciones desimetrıa es asociativo, Ta(TbTc) =(TaTb)Tc; iii) evidentemente la trans-formacion identidad es una trans-formacion de simetrıa (deja invari-ante al sistema); iv) con un sim-ple razonamiento se puede ver quesi una transformacion sobre un sis-tema determinado es de simetrıatambien su inversa lo es. Estascuatro propiedades son necesariasy suficientes para asegurar que elconjunto de todas las transforma-ciones de simetrıa de un sistema for-man un grupo.

1.1. MOTIVACION Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


La finalidad de estas notas esensenar los elementos basicos deutilizacion del concepto de gruposde simetrıa en sistemas cuanticos.Esto, sin embargo, no es posibledesde el comienzo de la exposicionya que primero se debe aprender lateorıa matematica basica, esto es,teorıa de grupos y sus representa-ciones.

Estas notas estan divididas entres partes, las dos primeras sonprincipalmente una exposicion deteorıa de grupos. En la Parte Ise da los primeros rudimientos deteorıa de grupos abstractos conun numero finito de elementos loque luego se ilustra estudiandolas simetrıas de diversos cuerposgeometricos (simetrıas puntuales).A continuacion se ve la partematematica mas fundamental delcurso, que es la teorıa de repre-sentaciones de grupos (finitos). Es-ta primera parte se finaliza dan-do algunas aplicaciones fısicas es-quematicas y muy generales. LaParte II comienza con un capıtu-lo sobre el grupo simetrico (grupode permutaciones de n objetos)en el que se da algunos resulta-dos basicos y varias “recetas” queson necesarias mas adelante. Estees uno de los puntos mas debilesdel curso pero aparentemente na-da puede hacerse por superar es-ta definicion dada la enorme com-plejidad de las demostraciones delas propiedades del grupo simetrico.

La mayor parte de la segunda partedel curso esta dedicada al estudiode los llamados grupos de Lie, queson grupos con un continuo de el-ementos (ej. grupos de rotaciones).Nuevamente aquı debe entregarseuna enorme cantidad de resultadossin demostracion alguna mas quenada por falta de tiempo ya quelas demostraciones no son de grancomplicacion. Sin duda el tema gru-pos de Lie podrıa dar para un cur-so completo. Tambien en esta se-gunda parte se dan algunas brevesaplicaciones fısicas. Es recien en laParte III del curso que el analisisde sistemas fısicos concretos tomael primer plano. Consta esta partede tres capıtulos dedicados a ato-mos, moleculas diatomicas y solidoscristalinos respectivamente.

A lo largo del curso se ilus-tra especıficamente como la teorıade grupos: sirve como guıa parabuscar y/o interpretar leyes dinami-cas, sirve como apoyo para resolverecuaciones fısicas y para rotularlas soluciones, en particular permitedescribir adecuadamente la degen-eracion del espectro de Hamiltoni-anos cuanticos, permite facilmentededucir las reglas de seleccion detransiciones entre los niveles dis-cretos de energıa de un sistema,ayuda a construir en forma naturalconjuntos completos de solucionesaproximadas ortogonales, permiteuna sencilla descripcion cualitativade los efectos de una perturbacion



en el desdoblamiento de los nivelesde energıa de un sistema cuantico,es una heramienta util para el es-tudio del acoplamiento de dos sis-temas de simetrıa conocida etc.

Tan utiles son las simetrıas y porlo tanto teorıa de grupos en fısica,que existe una constante busque-da de ellas (lo cual, como ya seha dicho esta intimamente ligadoa la busqueda de cantidades con-servadas) y a menudo se recurreal artificio no de buscar simetrıasexactas sino aproximadas, cuandolas primeras no existen con todala riqueza necesaria. Un caso tıpi-co lo encontramos en el estudio deatomos. Como simetrıa aproximadase supone que los elementos giranindependientemente alrededor delnucleo sin “sentirse” unos a otros,esto lleva al concepto de ortibales nℓtal como se encuentran en los tex-tos elmentales de quımica. Solo laaproximacion mas fina de consider-ar la interaccion entre los electrones

lleva al concepto de cantidades co-mo momento angular total L del ato-mo.

Es importante que el alumno sede cuenta que este curso solo en-trega una parte menor de las aplica-ciones de teorıa de grupos en fısicacuantica. Aparte de lo incompletoque quedan los temas fısicos trata-dos en la tercera parte del curso,como es facil de comprobar simple-mente consultando algunos de lostextos y tratados que aparecen al fi-nal de la introduccion, tamben debe-mos mencionar que existe una in-teresantısima gama de aplicacionesdel concepto de grupos de simetrıaen otras ramas de la fısica comoson fısica nuclear y fısica de partıcu-las. Esperamos, sin embargo, quecon la base conceptual contenida eneste curso, no sea difıcil profundizarlos temas en forma independiente ytambien penetrar en los temas no to-cados de estas materias.

P.C.

1.1. MOTIVACION Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


1.2. Bibliografıa

1. B.F. Bayman “Groups and therir ap-plications to spectroscopy”

2. H. Bethe, R. Jekiw “IntermediateQuantum Mechanics”

3. H. Bethe, E.E. Slapeter “QuantumMechanics of one and two electrons”Handbuch der Physik, band XXXV.

4. H. Boerner, “Representation ofgroups”

5. E.U. Condon, G.H. Shortley “The the-ory of atomic spectra”

6. L.P. Eisenhart, “Constinuons groupsof transformations”

7. L.M. Falicov, “Group theory and itsphysical applications”

8. L. Fonda, G.C. Ghiradi “Symmetryprinciples in quantum physics”

9. M. Hamermesh, “Group theory” *1

10. R. Heine, “Group theory in quantummechanics”

11. R. Herman, “Lie groups for physi-cists”

12. B.R. Judd, “Second quantization andatomic spectroscopy”

13. L.D. Landau, E.M. Lifshits “Quantummechanics”

14. H. Lipkin, “Lie groups for pedestrians”

15. G.J. Liubarskii, “Group theory and itsapplication to physics”

16. E.M. Loebel (Ed), “Group theory andits applications”

17. A. Massiah “Quantum mechanics”

18. M.I. Petrashen, E.D. Trifonov, “Aplica-tions of group theory in quantum me-chanics”

19. G. Racah, “Group theory and spec-troscopy” (Ergebnisse der exaktenNaturwisenschaften, band 37).

20. J.C. Slater, “Quantum theory of atom-ic spectra” v.2

21. J.C. Slater, “Quantum theory ofmolecules and solids” V.1 & 2

22. R. Stevenson, “Multiplet structure ofatoms and molecules”

23. M. Tinkham, “Group theory andquantum mechanics”

24. H. Weyl, “The theory of groups andquantum mechanics”

25. H. Weyl, “The calssical groups”

26. E. Wigner, “Group theory”

27. E.B. Wilson, J.C. Decuns, P.C. Gros,“Molecular Vibrations”

1Una buena parte del curso ha siso tomada de la Ref. 9 y algo masadelante tambien de la ref. 23.Otras referencias generales son las 10, 24 y 26.



1.2. BIBLIOGRAFIA Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Parte I

Rudimentos

13

Capıtulo 2

Conceptos b asicos yejemplos

2.1. Definiciones

Grupo es un conjunto G con aplicacion G×G→ G llamada producto yque tiene las siguientes propiedades,

i) Producto: a todo par ordenado ab de elementos de G esta asociadootro elemento de G, c = ab.

ii) El producto es asociativo: a(bc) = (ab)c.

iii) Existe un elemento neutro, denotado e, tal que ae = ea = a y a e se lellama la unidad.

iv) A todo elemento a de G le esta asociado otro elemento de G, llamadoel inverso de a, a−1 y se cumple que aa−1 = a−1 a = e

De esta definicion se desprende que cualquier grupo queda totalmentecaracterizado por su tabla de multiplicacion, es decir, la ley que asocia acada par ordenado de elementos del grupo un nuevo elemento del grupo.Un ejemplo muy simple es el siguiente,

e a ba b eb e a

que debe leersee a ba aa abb ba bb

con

aa = bab = eba = ebb = a

15


EJERCICIO: Construya un grupo de cuatro elementos (e, a, b, c) cuidandoque se cumplan todas las propiedades del producto.

Grupo abeliano es un grupo conmutativo, esto es, ab = ba ∀a,b ∈G.

De la tabla de multiplicacion de un grupo se reconoce que este esabeliano si la tabla es simetrica con respecto a la diagonal.

Dos grupos G y G′ se dicen isomorfos (G ≃ G′) si existe una aplicacionbiunıvoca entre ellos que preserva el producto. Ası si a⇔ a′ y b⇔ b′ en-tonces ab⇔ a′b′. Por lo tanto las tablas de multiplicacion de grupos isomor-fos son equivalentes.

EJERCICIO: Demostrar que todos los grupos de tres elementos son isomor-fos.

Todos los grupos se pueden separar en tres tipos de grupos: los gru-pos finitos, los grupos infinitos numerables y los infinitos no numerableso continuos. Ya hemos dado un ejemplo de grupo finito. Un grupo infinitonumerable es el de todas las traslaciones que llevan a hacer coincidir unared cristalina infinita con sı misma. El grupo de rotaciones es una ejemplode grupo continuo.

El orden γ de un grupo finito es el numero de elementos de grupo.

Un subconjunto H de un grupo G se dice subgrupo de G si sus elemen-tos forman un grupo con la misma ley de multiplicacion que G y se denotaH ≤ G. Es claro que el grupo completo G y el conjunto formado solo porla unidad e son subgrupos de G; estos se llaman subgrupos triviales. Si Hes un subgrupo no trivial de G se dice que es subgrupo propio y se denotaH < G.

Si G es grupo finito y g ∈ G llamaremos orden de g al menor entero npara el cual se cumple gn = e.

TEOREMA DE LAGRANGE: si H ≤ G, G de orden n y H de orden p entoncesm = n/p es un entero, que llamaremos ındice de H con respecto a G. (VerProb. 2.1)

Un elemento g1 se dice conjugado a otro elemento g2 de G si existe untercer elemento g3 de G tal que g1 = g3g2g−1

3 y se escribe g1 ≃ g2. Es facilver que esta es una relacion de equivalencia, o sea,

i) g≃ g

ii) g1≃ g2⇔ g2≃ g1

iii) si g1≃ g2 y g2≃ g3⇒ g1≃ g3

2.1. DEFINICIONES Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


de modo que se puede decir que dos elementos son conjugados en vez dedecir que uno es conjugado del otro.

Las clases en que queda dividido el grupo G debido a la relacion ≃ sellaman clases conjugadas. Es trivial verificar que el subconjunto formadosolo por la unidad constituye una clase conjugada.

Si H ≤ G y sucede que Ha = H para todo a ∈ G entonces H se llamasubgrupo invariante de G y se escribe HEG. Los dos subgrupos triviales deG son subgrupos invariantes. Si H es subgrupo propio y ademas invarianteentonces se abrevia H ⊳G. Todos los subgrupos de un grupo abeliano sonsubgrupos invariantes.

Un grupo G que no posee subgrupos invariantes propios se llama sim-ple.

Un grupo que no posee subgrupos invariantes abelianos se llama semisimple. Todo grupo simple es semisimple pero no al reves.

El coseto izquierdo de H ≤ G con respecto a a ∈ G es el subconjuntoaH = {b ∈ G | b = ah todo h ∈ H}, el coseto derecho se define como Ha(algunos textos toman las definiciones a la inversa).

Es facil demostrar que si un subgrupo H de G es invariante entoncescada coseto izquierdo es igual al respectivo coseto derecho, aH =Ha. Con-siderando estos cosetos (sin apellido) como elementos de un conjunto ydefiniendo sobre este conjunto la ley de multiplicacion (aH)(bH) = (ab)Hse verifica que queda definido un grupo que recibe el nombre de grupocuociente G/H.

Si un grupo G tiene una familia de subgrupos H1,H2, ...Hn tal que secumple

i) hih j = h jhi∀i, j, hi ∈Hi,h j ∈ H j

ii) ∀g ∈ G ∃!h1 ∈ H1,h2 ∈ H2, · · ·hn ∈Hn tal que g = h1h2 · · ·hn

entonces se escribe G = H1×H2×·· ·×Hn y se dice que G es el productodirecto de sus subgrupos H1 · · ·Hn.

2.2. El grupo sim etrico

El grupo simetrico Sn de orden γ = n! es el grupo de todas las op-eraciones de permutacion entre n objetos. Rotulando estos objetos con un



ındice i que toma los valores i = 1,2, · · · ,n, cada permutacion puede carac-terizarse por la permutacion de estos ındices. Un elemento tıpico de Sn seescribe

(

1 2 3· · · np1 p2 p3 · · · pn

)

(2.2.1)

y que quiere decir que 1 pasa a p1, 2 pasa a p2 etc. donde p1 · · · pn no sonsino una reordenacion de los mismos numeros de 1 a n.

Concretamente consideremos el elemento

P =

(

1 2 3 4 5 6 7 82 3 1 5 4 7 6 8

)

Una notacion mucho mas compacta y comoda escribe cada permutacioncomo producto de ciclos. Ası, el ejemplo anterior se escribe,

P = (123)(45)(67)(8),

Dentro de cada ciclo un numero pasa en aquel que tiene a su derechay el ultimo numero de cada ciclo pasa en el primero del mismo ciclo.Los ciclos que tienen un solo numero suelen omitirse, P = (123)(45)(67)pero entonces debe aclararse que se trata de un elemento de S8. Noteseademas que un ciclo se llama ası porque es cıclico, (123..n) = (n12..n−1) =(i, i+1, ..n,1,2,3..i−1).

Para aprender a multiplicar permutaciones volvamos a la notacion usa-da en (2.2.1). Consideremos el producto

(

1 2 33 1 2

)(

1 2 31 3 2

)

=

(

1 2 33 2 1

)

.

Este se ha calculado como sigue. Se supone que primero actua la per-mutacion que esta a la derecha. Ası 1 pasa a 1 y en la permutacion de laizquierda 1 pasa a 3, resultado total: 1 pasa a 3. Nuevamente en la per-mutacion de la derecha 2 pasa a 3 y en la de la izquierda 3 pasa a 2,resultado total: 2 pasa a 2. Finalmente 3 pasa a 2 y luego 2 pasa a 1 luego3 pasa a 1. El efecto total queda resumido en el resultado que se escribea la derecha de la igualdad. Este mismo calculo se puede hacer usandociclos:

(132)(23) = (13).

Para obtener el lado derecho de la igualdad se procede siempre con-siderando primero la accion que sobre un numero tiene el ciclo de mas

2.2. EL GRUPO SIMETRICO Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


a la derecha y luego la accion que tiene sobre este nuevo numero el ci-clo que esta a la izquierda; ası 2 pasa en 3 y luego 3 pasa en 2 lo queda como resultado que 2 pasa en 2, que no se escribe en le lenguaje deciclos; nuevamente considerando el ciclo de la derecha 3 pasa en 2 y enel de la izquierda 2 pasa en 1, luego 3 pasa a 1. Finalmente el ciclo de laderecha 1 en este ciclo, pero en el de la izquierda 1 pasa en 3 lo cual dacomo resultado neto que 1 pasa en 3. Estos resultados estan resumidos ala derecha de la igualdad. Con practica estos productos se pueden hacermuy rapidamente.

EJERCICIO: Verifique que(

1234567831476825

)(

1234567823154768

)

=

(

1234567814367285

)

y repita el calculo usando ciclos.

Para calcular el inverso de una permutacion es mas facil usar la no-tacion de ciclos. El inverso de (abc...yz) es (zy...cba).

Ciclos que no tienen numeros en comun conmutan, pero si tienen numerosen comun en general con conmutan. Compruebese por ejemplo que (23)(123) = (12) mientras el producto invertido da (13).

La paridad de un ciclo es + (par) o − (impar) segun si la cantidad denumero en el ciclo es impar o par (notese que es al reves) o sea, unatrasposicion (ciclo de dos numeros) es impar, un triciclo es par, etc. Unapermutacion es par o impar segun sea el producto de las paridades de losciclos que la componen es par o impar. Ejemplo: la permutacion P defindaal comienzo de esta seccion es par ya que esta compuesta de tres ciclosde paridades +, −, −.

Se llama grupo alternante An al subgrupo de Sn de todas las permuta-ciones pares. Su orden en 1

2 n!

TEOREMA DE CAYLEY : Todo grupo finito G de orden n es isomorfo a unsubgrupo de Sn

2.3. Elementos de simetrıa puntual

La simetrıa de un cuerpo se describe dando el conjunto de todas lastransformaciones geometricas que preservan las distancias entre cualesquierapar de puntos del cuerpo y que llevan al cuerpo a coincidir consigo mismo.Toda transformacion de este tipo se dice de simetrıa.



Las transformaciones basicas de simetrıa son

i) rotaciones (en general discretas)

ii) reflexiones

Si un cuerpo es infinito en extension (ejemplo, red cristalina ideal) tam-bien se incluye entre las transformaciones de simetrıa basica ciertas trasla-ciones discretas. Por ahora nos limitaremos a cuerpos finitos.

Los grupos finitos generados por las dos operaciones basicas men-cionadas mas arriba se llaman grupos puntuales, y se caracterizan por de-jar por lo menos un punto del cuerpo invariante. Todos los ejes de rotaciony planos de reflexion pasan por este punto, que recibe el nombre de centro.

Mas explıcitamente los elementos de simetrıa son,

Cn rotacion en un angulo 2πn alrededor de un eje fijo. En particular se

tiene que C1 = e, Cmn =Cn/m, (Cn)

n = e

σ es una reflexion en un plano que recibe el mismo nombre. Siemprese cumple que σ2 = e. Cuando la simetrıa del cuerpo tiene un ejeprincipal este define la direccion vertical y por lo tanto la horizontal.Se designa con el sımbolo σv a un plano de reflexion que contiene aleje principal y σh es el plano de reflexion perpendicular al eje princi-pal.

U2 designa a un eje de rotacion en π perpendicular al eje principal.

Sn es la operacion que se llama rotoreflexion y se define por

Sn =Cnσh = σhCn

Es importante notar la diferencia que existe entre una rotoreflexion pary una impar

(Sn)n =

{

σh si n es impare si n es par

de lo cual se desprende que si n es impar Sn es un elemento del grupode simetrıa de un cuerpo, necesariamente tambien lo son σh y Cn ya quetodas las potencias de un elemento del grupo tambien son elementos deese grupo. Si n es par Sn puede ser elemento de un grupo de simetrıa sinque σh o Cn tengan que serlo.

2.3. ELEMENTOS DE SIMETRIA PUNTUAL Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


I: con este sımbolo se designa la inversion con respecto al origen,

I = S2.

Corolario de esta propiedad es que las clases conjugadas de los gruposde simetrıa estan constituidas por operaciones de la misma naturaleza.Dos elementos de simetrıa conjugados se dicen equivalentes.

Nota: No debe confundirse el grupo como estructura abstracta, definidaexclusivamente a traves de su ley de multiplicacion con la estructura conc-reta a traves de la cual los grupos son normalmente definidos en fısica.En el caso actual a traves de operaciones geometricas definidas en el es-pacio fısico tridimensional. Es por medio de la definicion concreta que seobtiene la ley de multipliacion y por lo tanto la estructura abstracta. Nuestranotacion no siempre hara diferencia entre estos dos significados.

2.4. Ejemplos de grupos

2.4.1. El grupo puntual C3v

Un tetrahedro cuya base es un triangulo equilatero y cuyo verticie su-perior esta sobre la perpendicular a la base que nace en el centro degravedad de ella es invariante con respecto a la operacion C3 y tambiencon respecto a cada plano de reflexion que contiene a un vertice de labase y al eje principal de la figura. El grupo tiene, en total, seis elementos(transformaciones de simetrıa de la figura), (e,C3,C2

3,σ1,σ2,σ3) y el grupotiene tres clases conjugadas: (e), (C3,C2

3), (σ1,σ2,σ3).

2.4.2. El grupo puntual D2d

. Eje

pri

ncip

al

El grupoD2d es el grupode simetrıa deun polihedrorectangular debase cuadra-da que tienedos tipos de



vertices, co-mo se aprecia el la figura adjunta. Debido a esto ultimo la figura no esinvariante a rotaciones C4 (en π/4) en torno al eje principal, sino tan soloa rotaciones C2 (en π/2). Una operacion menos trivial que tambien dejainvariante la figura es

S4 = σhC4

Esta es una rotacion en π/4 en torno al eje principal, seguida por una re-flexion con respecto a un plano horizontal que corta a la figura en sus dosmitades. Ninguno de los factores (σh y C4) son operaciones de simetrıa,pero sı lo es S4. Es trivial ver que S2

4 = C2. Tambien hay cuatro planosverticales de reflexion (que contienen al eje principal) que son planos desimetrıa, dos son diagonales y dos son paralelos a algunas de las aris-tas horizontales. Se menciona que otras operaciones de simetrıa son rota-ciones C2 en torno a ejes horizontales que pasan por el centro de carasopuestasperpendicular al eje principal. Un C2 perpendicular al eje principalsuele denominarse U2.

En total, se puede ver, que este grupo tiene ocho elementos.

2.4.3. Los grupo puntuales Td y Oh

Se deja como ejercicio encontrar los grupos de simetrıa del tetrahedroregular, Td y del cubo, Oh. Estos grupos tienen 24 y 48 elementos respecti-vamente y Th es subgrupo de Oh.

2.4.4. Algunos grupos continuos

En los grupos continuos, como el grupo de rotaciones, es posible ca-racterizar sus elementos por los valores de unos pocos parametros realesy continuos (e.g., los angulos de Euler en el caso del grupo de rotaciones:SO(3)). Si estos parametros tienen un rango finito de variacion se dice queel grupo continuo es compacto. El grupo de transformaciones de Lorentzno es compacto, porque ademas de angulos de Euler tiene parametrosque corresponden a angulos hiperbolicos. Las transformaciones propiasde Lorentz constituyen el grupo llamado SO(3,1).

Otro grupo de mucho interes en mecanica cuantica es el grupo O(3).Tiene una estructura muy sencilla en terminos del grupo de rotacionesSO(3). Los elementos de O(3) son a) rotaciones puras R(n,α) o bien b) son

2.4. EJEMPLOS DE GRUPOS Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


de la forma I R(n,α) donde I es la operacion de inversion. Esta ultima op-eracion es aquella que simultaneamente cambia el signo de las tres co-ordenadas: (x,y,z) → (−x,−y,−z). La inversion I conmuta con todas lasrotaciones, por lo que O(3) es el producto directo de dos grupos,

O(3) = SO(3)×{e, I} (2.4.1)

2.5. Problemas

2.1 a) Demostrar que la relacion g1 ≃ g2 divide a un grupo G en clasesdisjuntas; b) demostrar que Ha = aHa−1 es un subgrupo de G si H essubgrupo de G. Ha = {h′ ∈G|h′ = aha−1,∀h ∈ H;a ∈G}

2.2 Encontrar el numero de cosetos izquierdo que tiene un grupo G conrespecto a un subgrupo propio H conociendo los ordenes de G y H ydemostrar el teorema de Lagrange.

2.3 Demostrar que G/H es grupo solo si H ≤ G.

2.4 Demostrar que el conjunto {gie,gig2, · · · ,gign} donde G = {e,g2, . . . ,gn}es igual al conjunto de elementos de G. Esto significa que en la tablade multiplicacion de un grupo aparecen en cada columna y en cadafila todos los elementos del grupo una y solo una vez.

2.5 Construir todos los posibles grupos (tablas de multiplicar) de 4, 5 y6 elementos. Indique cuantos esencialmente diferentes existen (noisomorfos).

2.6

A =

(

123456789,10,11,12,13564137298,12,10,13,11

)

, B =

(

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,137,11,9,10,3,13,1,8,5,2,4,6,12

)

Calcular AB y BA usando ciclos y tambien determinar A−1.

2.7 Construya la tabla de multiplicacion de S3 y determine sus clasesconjugadas.

2.8 Considere el grupo de todas las permutaciones de los cuatro verticesde un tetraedro regular. Interprete geometricamente cada una de es-tas operaciones. ¿Que caracterıstica comun tienen las operacionesgeometricas asociadas a las permutaciones pares?



2.9 Sean A y B dos operaciones elementales del grupo de simetrıa deun cuerpo dado. Demostrar que la operacion R = ABA−1 es una op-eracion del grupo de la misma naturaleza que B, es decir,: si B es unCn tambien lo es R; si B es un σ tambien lo es R; si B es un Sn tambienlo es R.

2.10 Encuentre la tabla de multiplicacion del grupo D2d y las clases conju-gadas de este grupo (en una clase conjugada solo puede haber op-eraciones de la misma naturaleza pero no siempre las operacionesde la misma naturaleza pertenecen a la misma clase conjugada).

2.11 Determine el grupo que se general a partir de tres operaciones C4 entorno a ejes mutuamente ortogonales (ejes X , Y , Z).

2.5. PROBLEMAS Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Capıtulo 3

Representaci on de gruposfinitos

3.1. Definiciones b asicas de teorıa de representa-ciones

Una representacion (lineal) de un grupo G es una aplicacion G→O(G)(la ley producto se preserva) donde O(G) es un grupo de operadores lin-eales que actuan sobre un espacio vectorial L. Este espacio se llama es-pacio de representacion del grupo G y su dimension es la dimension de larepresentacion. El grupo O(G) tiene por elementos operadores Og imagende los elementos g ∈ G bajo el homomorfismo.

Escogida una base en el espacio de representacion L los operadoresOg quedan representados por matrices D(g). Este grupo de matrices D(G)es isomorfo a O(G) pero no necesariamente a G. La aplicacion G→ D(G)se llama representacion matricial de G. Dos represenaciones matriciales sedicen equivalentes si existe un cambio de base en L tal que haga coincidirlas matrices de ambas representaciones. De ahora en adelante a menudose identificara la expresion representacion con la de representacion matri-cial.

Toda representacion de un grupo tiene las siguientes propiedades:

D(e) = 1D(g1g2) = D(g1)D(g2)D(g−1) = D−1(g)

25


las matrices D(g) son, por lo tanto, no singulares y 1 es la matriz identidadde n×n donde n es la dimension de la representacion. Se usara la notacion

Ogei = ∑j

D ji(g)e j

donde los ei son los vectores base de L.

Cuando la representacion G→ D(G) es un isomorfismo se dice que setrata de una representacion fiel.

PROBLEMA: Sea D(G) una representacion no fiel de un grupo G y sea Hel nucleo de esta representacion (la imagen de los g ∈ H es 1), entoncesH < G y D(G) define en forma natural una representacion fiel del grupoG/H.

EJERCICIO: ¿Puede un grupo simple tener representaciones no fieles apartede la trivial que asocia 1 a todos los elementos de G?

Se llama caracter del elemento g de G en la representacion D(G) alnumero,

χD(g) = Tr(D(g)) = ∑i

Dii(g)

EJERCICIO: Demostrar que los caracteres de representaciones equivalentesson iguales y ademas elementos conjugados tienen el mismo caracter.

Esta segunda propiedad dice que el caracter es una propiedad de laclase conjugada mas que de los elementos por separado. Si se designapor K1,K2, · · · las distintas clases conjugadas, se designa por χD

1 , χD2 , ... los

caracteres respectivos. El superındice D sera reemplazado por cualquierındice que caracterice a la representacion usada para calcular esos carac-teres.

Si el grupo de las transformaciones D(G) deja invariante a un subespa-cio de L se dice que la representacion es reductible. Si esto no ocurre, ellaes irreductible (en lo sucesivo se abreviara estos dos tipos de representa-ciones por RR y RI respectivamente).

En una RR todas las matrices pueden ser llevadas (con un adecuadocambio de base) a la forma,

D(g) =

(

D1(g) C(g)0 D2(g)

)

, ∀g ∈ G (3.1.1)

Si sucede que C(g) = 0 para todos los elementos del grupo, se dice quela representacion D(g) es completamente reductible y el espacio de repre-sentacion L puede ser descompuesto en la suma directa de los espacios

3.1. DEFINICIONES BASICAS DE TEORIA DE REPRESENTACIONESFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


L1 y L2,L = L1⊕L2

D(G) = D1(G)⊕D2(G)

Este proceso puede aplicarse a su vez a las matrices D1 y D2 continuandoası sucesivamente hasta que no sea posible seguir. Cuando esto ocurrese tiene

D(G) =k⊕

µ=1

D(µ)(G) (3.1.2)

Para un grupo G cualquiera las representaciones D(µ) ası obtenidas noson necesariamente irreductibles. Pero si todas son irreductibles entoncesse dice que la representacion D(G) es descomponible. Como se vera enla seccion que sigue basta que G sea finito para que todas sus RR seandescomponibles.

En (3.1.2) muchas de las represenaciones D(µ)(G) pueden ser equiv-alentes. Llamando aµ al numero de veces que la representacion D(µ) serepite (o aparece en forma equivalente), en lugar de (3.1.2) se puede es-cribir

D(G) =r⊕

µ=1

aµD(µ)(G) (3.1.3)

donde esta suma es solo sobre representaciones no equivalentes. Los aµson numeros enteros no negativos.

PROBLEMA: Sea una base tridimensional de vectores sobre los cuales elgrupo C3v actua en forma natural. Discuta bajo que condiciones de eleccionde la base con respecto a los ejes y planos del grupo de matrices de es-ta representacion quedan inmediatamente expresadas en la forma (3.1.2)donde D(1) es bidimensional y D(2) es unidimensional. Haciendo esta elec-cion particular de base compruebe que D(1) y D(2) definen separadamenterepresentaciones de C3v.

Es facil demostrar que a partir de una representacion D cualquiera deun grupo G es posible definir una nueva representacion, llamada adjunta aD y denotada por D, como la representacion de las matrices traspuestas einversas de D:

D(g) = D−1(g) (3.1.4)

Es una representacion, ya que

D(g1g2) = D−1(g1g2) = [D(g1)D(g2)]

−1

= [D(g2)D(g1)]−1 = D

−1(g1)D

−1(g2)

= D(g1)D(g2).



Otra representacion que se puede obtener a partir de D es la complejaconjugada, D∗(g).

Notemos que si la accion de un operador sobre una funcion base ψi

ψi → D ji(g)ψi

entonces la accion sobre ψ∗i es

ψ∗i → D∗ji(g)ψ∗i

Existen tres tipos de RIs:

1. R enteras: si D puede ser llevada a forma real;

2. R semi-enteras: si D≃ D∗ pero no puede ser llevada; a forma real

3. R compleja: si D 6= D∗.

En los dos primeros casos los caracteres son todos reales. Ademas

1γ ∑

g∈G

χ µ(g2) =

+1 si R es entera−1 si R es semi-entera0 si R es compleja

3.2. Algunas propiedades b asicas de las RIs

Una representacion se dice unitaria cuando en L esta definido un pro-ducto escalar y D†(g) = D−1(g) para todos los elementos del grupo. Seabrevia RU.

TEOREMA: Para cualquier grupo G toda RR unitaria (RRU) es descom-ponible.

EJERCICIO: Demostrar este teorema utilizando (3.1.1) y la condicion de uni-tariedad de las matrices.

TEOREMA: Toda representacion de un grupo finito G es equivalente a una RU.

Demostracion.: Sea D una representacion de G sobre el espaco L, sea x,yetc vectores de L y sea (x,y) el producto escalar. Para todo par de vectoresen L se define, usando el producto escalar, la expresion

{x,y} = 1γ ∑

g∈G

(D(g)x, D(g)y) (3.2.1)

3.2. ALGUNAS PROPIEDADES BASICAS DE LAS RIS Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


donde γ es el orden del grupo y la suma se extiende a todo el grupo. Estadefinicion satisface todos los requisitos de un producto escalar, mas aun,para todo h ∈ G

{D(h)x,D(h)y} = 1γ ∑g∈G(D(g)D(h)x,D(g)D(h)y)

= 1γ ∑g∈G(D(gh)x,D(gh)y)

(3.2.2)

pero para h fijo, cuando g recorre todos los elementos de G tambien gh losrecorre todos, por lo tanto las expresiones de los miembros derechos de(3.2.1) y (3.2.2) son iguales, por lo cual

{D(h)x, D(h)y} = {x,y} (3.2.3)

En otras palabras, los operadores de nuestra representacion son unitarioscon respecto a este nuevo producto escalar aun cuando en general no loson con respecto al producto escalar original. Ahora se debe demostrarque existe una representacion D′ equivalente a D tal que es unitaria re-specto al producto escalar original.

Considerese un conjunto de vectores ui que son ortogonales con re-specto al producto escalar { , } y un conjunto vi que lo sea respecto alproducto original ( , ):

{ui,u j}= δi j = (vi,v j)

Se define el operador T que lleva de los v a los u

ui = T vi

Si x = ∑aivi (los a son numeros), entonces T x = ∑aiT vi = ∑aiui de donde

{T x,Ty}= ∑a∗i bi = (x,y) (3.2.4)

Considerese la representacion

D′ = T−1DT (3.2.5)

entonces, haciendo uso de (3.2.4).

(T−1D(g)T x,T−1D(g)Ty) = {D(g)T x,D(g)Ty}= {T x,Ty} (por (3.2.3))= (x,y) (por (3.2.4)

Esto ultimo muestra que la representacion D′(G) definida por (3.2.5) esunitaria con respecto al producto escalar original y ademas es equivalentea la representacion D.



Lemas de Schur

Lema 1 : Si D(G) y D′(G) son dos RI de G de dimensiones n y m respecti-vamente y si ademas existe una matriz A de n×m tal que

D(G)A = AD′(G)

entonces, (i) A es no singular, n= m y D es equivalente a D′ o bien (ii) A = 0.

Lema 2 : Si D(G) es una RI de G y existe una matriz A tal que

AD(G) = D(G)A

entonces A es un multiplo de la identidad, A = λ1

Demostracion de los lemas de Schur. Sea ui(i = 1, · · · ,n) una base del espacioL de una representacion D(G). Entonces

Ogui = ∑D ji(g)u j ∀g ∈G .

Si D es una RR, se puede, por definicion encontrar m vectores vk no nu-los (m < n) que son combinaciones lineales de los ui y son base de unsubespacio invariante a la accion del grupo,

vk =n

∑j

a jku j (3.2.6)

y ademas,

Ogvk =m

∑ D′sk(g)vs ∀g ∈ G.

Usando las tres ultimas expresiones se obtiene que,

Ogvk = ∑nj Ogu ja jk = ∑n

i, j uiDi j(g)a jk

= ∑ns vsD′sk(g) = ∑n

i ∑ms uiaisD′sk(g)

ası pues,n

∑i, j

uiDi j(g)a jk =n

∑i

m

∑s

uiaisD′sk(g). (3.2.7)

Como los ui son linealmente independientes

n

∑j

Di j(g)a jk =m

∑s

aisD′sk(g) (3.2.8)



o sea,D(g)A = AD′(g) ∀g ∈ G (3.2.9)

y por lo tanto si D es una RR se puede encontrar una matriz A 6= 0 tal que(3.2.9) sea valida. A la inversa, si (3.2.9) es valida, es decir, si existe un Atal que esta relacion se cumple con matrices D(g) de grado n y D′(g) degrado m < n, entonces se cumple (3.2.8). Multiplicando por ui y sumandoresulta (3.2.7),

n

∑i, j

uiDi j(g)a jk =n

∑j

Og(uia jk =n

∑i

m

∑s

uiaisD′sk(g)

Luego, los m vectores vk dados por (3.2.6) forman una base para una rep-resentacion D′ y entonces D es reductible (no puede haber equivalencia yaque m< n ). Si se supone que D es una RI entonces la unica forma de evitarla contradiccion es con A = 0. Luego, se ha demostrado que si D y D′ sondos RIs de un grupo G, de distinta dimension, entonces si D(g)A = AD′(g)para todo g entonces A = 0. Considerese el caso n = m. Si la ecuacion(3.2.9) es valida se repete el mismo argumento para llegar a

n

∑j

Og(u ja jk) =n

∑i

m

∑s(uiais)D

′sk(g).

Los n vectores ∑ ai jui deben ser linealmente independientes, o de otro mo-do D serıa reductible, pero esto significa que det A 6= 0 de modo que existeA−1 luego de (3.2.9)

D′(g) = A−1D(g)A ∀g ∈ G

y por lo tanto las representaciones son equivalentes. Si D y D′ son RIs yno equivalentes, la unica posibilidad es que A = 0. Esto termina de pro-bar el primer lema. Finalmente si se considera que D y D′ son iguales eirreductibles, se tiene el segundo lema de Schur. En efecto, considerese laecuacion de valores propios

Ax = λx

donde x es un vector del espacio de la representacion D(G). Las solucionesdan los autovalores y autovectores de A. Si el autovector x corresponde alautovalor λ , la ecuacion AD(g) = D(g)A nos indica que el vector D(g)x tam-bien es un autovector correspondiente a λ . Por lo tanto el subespacio delos autovectores correspondientes a un λ fijo es invariante bajo las trans-formaciones de G. Pero puesto que D es RI necesariamente debe tenerse



que este subespacio es todo el espacio de representacion, esto es, A = λ1o bien el subespacio es nulo, o sea, A = 0. Lo que demuestra el segundolema de Schur.

Como corolario del segundo lema de Schur se tiene que las RIs de losgrupos abelianos son de dimension 1.

TEOREMA: Para un grupo finito G el numero de RIs no equivalentes es igualal numero r de clases conjugadas.

No se dara la demostracion de este teorema pero puede encontrarseen el libro de Hamermesh en las secs. 3-15 y 3-17.

PROBLEMA: Sean D(α) y D(β) dos RIs matriciales de G de dimensiones my n. Se define el operador P = ∑g∈G D(α)(g)AD(β)(g−1) con A una matrizarbitraria de m× n. a) Verifique que D(α)(go)P = PD(β)(go) (∗). b) De-muestre por el metodo que se indica que

∑g∈G

D(α)ik (g)D(β)

ℓm (g−1) =γ

nαδimδkℓδαβ (3.2.10)

El metodo: elija A de modo que todos sus elementos de matriz sean nulosexcepto Akh = 1 con k y h fijos, haga uso de (*) para los casos a) D(α)

y D(β) son RIs no equivalentes y b) D(α) y Dβ) son iguales, es decir, nosolo equivalentes sino ademas expresadas en la misma base. En estosdos casos haga uso inteligente de los lemas de Schur. La notacion es γ =orden de G,nα = dimension de la RI D(α)(G).

Se ha visto que para un grupo G finito siempre existe una eleccion debase adecuada para que las representaciones sean unitarias. En adelantenormalmente se supondra que estamos en esta base

Si este es el caso entonces se cumple que

D(β)(g)−1 = (D(β)(g))†

pero en generalD(β)(g−1) = (D(β)(g))−1.

Luego

D(β)ℓm (g−1) = {(D(β)(g))−1}ℓm = {(D(β)(g))†}ℓm = D(β)

mℓ

∗(g)



y por lo tanto (3.2.10) escrito para RIs es

∑g∈G

Dαik(g)D(β)

mℓ

∗(g) =

γnα

δimδkℓδαβ (3.2.11)

Tomando i= k y ℓ=m en (3.2.10) y sumando sobre estos ındices se obtiene

∑g∈G

χ (α)(g)χ (β)(g−1) = γδαβ

donde, como sera siempre, los ındices griegos designan RIs.

Si se hace lo mismo pero con (3.2.11) se obtiene,

∑g∈G

χ (α)(g)χ (β)∗(g) = γδαβ (RIUs). (3.2.12)

Recordando que los γi elementos de cada clase conjugada Ki tienentodos el mismo caracter χi (visto en §3.1) se desprende que (3.2.12) puedeescribirse

∑i

γiχ(α)i χ (β)

i

∗= γδαβ (3.2.13)

La suma es sobre las distintas clases conjugadas del grupo G.

3.3. Criterios de irreductibilidad

Ya se ha visto que cualquier representacion D(G) de un grupo G puedeser completamente reducida y escrita en la forma (3.1.3).

D(g) =k⊕

ν=1

aν Dν(g) , ∀g ∈ G

donde ademas se puede elegir la base para que los Dν(g) sean matricesunitarias; los aν son coeficientes enteros no negativos.

Tomando la traza en esta relacion se obtiene,

χi =∑ν

aν χνi (3.3.1)

donde el ındice i denota la clase conjugada a la cual pertenece g. Larelacion anterior nos ensena que los caracteres correspondientes a RR del



grupo pueden ser escritos como combinaciones de caracteres correspon-dientes a RIs y los coeficientes de la combinacion lineal no dependen de laclase conjugada considerada. Los coeficientes son enteros no negativos.

Multiplicando (3.3.1) por γiχ(µ)∗i y sumando sobre todas las clases con-

jugadas Ki del grupo G se obtiene, utilizando (3.2.13),

aµ =1γ ∑

i

γiχ(µ)∗i χi (3.3.2)

Se esta suponiendo que todas las represenaciones involucradas son RUsy ademas como ya debiera estar claro, el superındice griego se refiere auna representacion irreductible del grupo considerado.

Si se multiplica (3.3.1) por γiχ∗i y se suma sobre los i, resulta,

∑i

γiχiχ∗i = ∑i

γi ∑ aν aµ χ (ν)i χ (µ)∗

i

y utilizando nuevamente (3.2.13) resulta

∑i

γiχiχ∗i = γ ∑µ

a2µ . (3.3.3)

Esta ecuacion proporciona un criterio simple de irreductibilidad: dadauna representacion D(G) unitaria, se puede obtener los caracteres de ellasimplemente tomando las trazas de las matrices de la representacion. Sehace la suma indicada en el miembro izquierdo de la ecuacion (3.3.3) ysi resulta igual a γ entonces la representacion es irreductible, puesto quesignifica que existe solo un aµ = 1 y todo el resto son cero. Pero si noresulta γ entonces necesariamente D(G) es una RR.

En el caso en que D(G) no sea unitaria la formula (3.3.3) debe serreemplazada por

1γ ∑

i

γiχiχi′ = ∑µ

a2µ

donde χi′ es el caracter asociado a la clase conjugada formada por loselementos inversos a aquellos que constituyen Ki. La suma sobre i tienesentido porque no es difıcil darse cuenta que γi = γi ′

PROBLEMA: Sea G un grupo finito cualquiera de orden γ . Se define unaRR D(G) de dimension γ llamada la representacion regular del grupo comosigue,

Di j(gk) =

{

10

si gk g j

{

=6=

}

gi i, j,k = 1,2,3, · · · ,γ

3.3. CRITERIOS DE IRREDUCTIBILIDAD Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


a) Verificar que ası queda definida una representacion.

b) Demostrar que los caracteres de esta representacion son

χ(e) = γ χ(g 6= e) = 0.

c) ¿Cuantas veces aparece D(µ) en la descomposicion de D(G)?

d) Con todos los resultados anteriores demostrar que

γ

∑µ=1

n2µ = γ , (3.3.4)

donde nµ es la dimension de la representacion irreductible D(µ) y la sumarecorre todas las RIs, en total r, donde r es el numero de clases conju-gadas.

Otra propiedad de los caracteres muy importante pero que no se de-mostrara es,

r

∑µ=1

χ (µ)i χ (µ)∗

j =γγi

δi j (µ : RIUs) (3.3.5)

TEOREMA: Una condicion necesaria y suficiente para que dos representa-ciones de un grupo sean equivalentes es que sus caracteres coincidan.

3.4. Espacios de funciones y proyecci on de una fun-ci on a espacios de RI

Los espacios de interes en el presente contexto normalmente son es-pacios de funciones (armonicos esfericos, polinomios de algun tipo etc.) ysera sobre estos espacios que actuaran las operaciones (normalmente denaturaleza geometrica) del grupo que se este considerando.

Sea T una transformacion de tipo geometrico que actua sobre el vectorposicion x′ = T x. Al operador geometrico T se le asocia un operador linealOT que actua sobre funciones f (x) de modo que la accion de este operadorsobre f es dar una nueva funcion f ′ = OT f definida a traves de

f ′(x′)≡ OT f (x′) = f (x) si x′ = T x . (3.4.1)



En otras palabras la funcion transformada f ′ toma los mismos valores enel punto imagen x′ que la funcion original f toma en el punto x. La relacion(3.4.1) tambien puede escribirse

OT f (T x) = f (x) (3.4.2)

o equivalentementeOT f (x) = f (T−1x). (3.4.3)

Aunque la forma (3.4.3) es la mas usada debe tenerse mucho cuidadoen la forma de aplicarla ya que se presta a faciles errores.

EJERCICIO: Repita la deduccion que sigue pero haciendo uso de (3.4.3) envez de (3.4.2)

OS f ′(Sx′) = f ′(x′) por (3.4.2)OSOT f (Sx′) = f (x) a ambos lados por (3.4.1)OSOT f (ST x) = f (x) por definicion de x′

lo cual demuestra que la accion de OSOT es igual (3.4.2) a la de OST :

OSOT = OST

Corolario de esto es queOS−1 = (OS)

−1.

Dada una funcion f (x) y un grupo G tal que de algun modo la acciondel grupo sobre f (x) esta definida, entonces aplicando a f todas las trans-formaciones de G se obtiene una representacion de G. Es decir, se obtieneun espacio L de funciones (con dimension a lo mas igual al orden de G)que transforma sobre sı mismo bajo la accion de G. En general una rep-resentacion obtenida de esta manera sera reductible y se desea reducirladescomponiendo este espacio L de representacion en subespacios Lν in-variantes bajo G que sean irreductibles. Ası se logra expresar a la funcion fcomo combinacion lineal de funciones pertenecientes a cada uno de estosespacios irreductibles,

f (x) =∑ν

f (ν)(x)

y mas aun, cada una de estas funciones f (ν) debe poder expresarse comocombinacion lineal de funciones proporcionales a las funciones base h(ν)j

del espacio irreductible L(ν) respectivo:

f (x) =∑ν

nν

∑j=1

f (ν)j (3.4.4)

3.4. ESPACIOS DE FUNCIONES Y PROYECCION DE UNA FUNCION A ESPACIOS DE RIFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


donde el ındice j rotula las funciones base del espacio L(ν),h(ν)j ,

f (ν)j = αh(ν)j . (3.4.5)

Puede ocurrir que algunas de las constantes de proporcionalidad sean nu-las si la proyeccion de f sobre alguna de las funciones base es cero.

Para poder hacer la descomposicion (3.4.4) de cualquier funcion f (x)

dada se define, en forma bastante general, operadores de proyeccion P(ν)j

que proyectan sobre la funcion base h(ν)j . Evidentemente estos proyectoresdependen de la eleccion de base que se haga, o lo que es lo mismo, de laeleccion de representacion matricial (de varias equivalentes) que se esco-ja.

Recordando que la accion de un operador Og sobre una funcion base

h(ν)j es,

Ogh(ν)j =nν

∑k

D(ν)k j (g)h

(ν)k (x) (3.4.6)

se defineP(µ)

i =nµ

γ ∑g∈G

D(µ)∗ii (g)Og (3.4.7)

donde se ha supuesto que la RI D(µ) es unitaria, por lo que satisface(3.2.11).

EJERCICIO:P(µ)

i h(ν)j = δi jδµνh(µ)i .

Formula que muestra explıcitamente que la accion de estos proyectores es0 o 1 y, en la base de los h(ν)i , su accion es diagonal.

Hay ocasiones en que no es necesario proyectar sobre cada uno de losvectores base sino simplemente se proyecta sobre el espacio irreductibleL(ν). Tal operador es mucho mas sencillo y se obtiene de (3.4.7) sumandosobre el ındice i

P(µ) =nµ

γ ∑g∈G

χ (µ)∗(g)Og . (3.4.8)

3.4.1. Algunos problemas

3.1 Demostrar que la accion del operador ∑ν P(ν) sobre el espacio de losh(ν)j ( j = 1,2, · · ·n.;ν = 1,2, · · · r) es la identidad, es decir, es equiva-lente a multiplicar por 1.



3.2 Sean

D(C4x)=

1 0 00 0 −10 1 0

, D(C4y)=

0 0 10 1 0−1 0 0

, D(C4z)=

0 −1 01 0 00 0 1

las matrices que representan los cuatro ejes ortogonales tipo C4 derotacion del problema 2.11. a) Determine cual de las RIs del grupose engendra, para ello consulte tablas de caracteres. b) Si las coor-denadas x, y, z son las funciones base de la RI anterior, ¿a cuales RIdel grupo pertenecen las funciones xy,xz,yz?

3.3 Considere las tres RIs del grupo S3 definidas como siguen,

D(1)(g) = 1 para todo elemento del grupo,D(3)(g) = ±1 segun siges permutacion par o impar y

D(21)(e) =

(

1 00 1

)

, D(21)(123) =

− 12

√

32

−√

32 − 1

2

, D(21)(12) =

(

0 11 0

)

a) Verificar que estas son efectivamente representaciones.

b) Construir los proyectores (3.4.7) y hagalos actuar sobre un es-tado de tres partıculas identicas |a1a2a3〉 ejemplo:

O(12) |a1a2a3〉= |a2a1a3〉

c) Verifique explıcitamente que la accion de los proyectores P(1)

sobre los dos estados P(21)i |a1a2a3〉 da cero.

d) Deduzca la tabla de caracteres de g3 y verifique la ortogonalidadde filas y columnas.

3.4 Construya una RI de dimension 2 del grupo D2d y determine sus car-acteres. ¿Al espacio de que RIs de D2d pertenecen las coordenadasx,y,z, suponiendo que el eje z coincide con el eje principal del grupo?

3.5 a) Determine la RR del grupo D3 (grupo de simetrıa del trianguloequilatero) que tiene como una de sus funciones base F = x2z f (r)suponiendo que z es paralelo al eje principal.

b) Cuales son las otras funciones base de esta RR?

c) Reducir esta RR a suma de RIs.

3.4. ESPACIOS DE FUNCIONES Y PROYECCION DE UNA FUNCION A ESPACIOS DE RIFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


d) Expresar la funcion F como combinacion lineal de funcionesbase de las RI de la descomposicion.

3.6 Encontrar todas las RI de un grupo cıclico

G = {e,g,g2, · · · ,gn−1) donde gn = e.

3.7 a) Demostrar que dada la funcion base h(µ)i el resto de las funcionesde esta base de L(µ) se obtienen por medio de

h(µ)j =nµ

γ ∑g

D(µ)ji (g)Og h(µ)i .

Se entiende que no hay suma sobre i.

b) Verificar este mecanismo en forma explıcita para el caso de la RIE del grupo D3 en el problema 3.5d.

3.5. Analisis de los grupos C3v y D2d

Se sabe que el grupo C3v tiene tres clases conjugadas que son {e},{C3,C2

3}, {σv1,σv2,σv3} y que se denotan e, C y σ respectivamente. Por unteorema visto en §3.2 se sabe que C3v tiene solo 3 RIs no equivalentes. Por(3.3.4) las dimensiones de estas representaciones deben satisfacer

n21+n2

2+n23 = 6

y puesto que los ni deben ser enteros, la unica solucion son los valores 1,1, 2 para estas dimensiones. Se llamara A1 y A2 a las dos representacionesunidimensionales y E a la RI bidimensional. Evidentemente en las repre-sentaciones unidimensionales las matrices coinciden con los caracteres.

Todo grupo tiene una RI, llamada representacion trivial y que asociael numero +1 a todos los elementos del grupo. Esta es la representacionA1. Se sabe que en la representacion A2 χ (2)(e) = 1; si se usa (3.2.12) conβ = A1 y α = A2 y tambien con α = β = A2

1+2χ (2)C + 3χ (2)

σ = 0

2|χ (2)C |2 + 3|χ (2)

σ |2 = 5

Se ve que la unica solucion consistente es χ (2)C = 1,χ (2)

σ =−1.



La tabla de caracteres que se esta buscando es

C3v e 2C3 3σA1 1 1 1A2 1 1 −1E 2 −1 0

(3.5.1)

El −1 y 0 en la ultima fila aun no se han deducido, pero su obtencion esmuy facil haciendo uso de la ortogonalidad de las columnas de las tablasde caracteres expresada en (3.3.5).

Notese que siempre el caracter de la identidad es igual a la dimensionde la representacion.

Para obtener una representacion matricial para E (bidimensional) seelige el eje z paralelo al eje principal del grupo. Recordando que todarotacion en el plano de magnitud α se expresa

D(Rα) =

(

cosα sinα−sinα cosα

)

en particular vale para C3, que es una rotacion en 2π/3 en el plano xy. Si seescoge uno de los planos de reflexion de modo que contenga la bisectrizde los ejes x e y, que pasa necesariamente por el eje z, la accion de esteplano sobre los ejes x e y es intercambiarlos, es decir, es la accion de lamatriz

D(σv1) =

(

0 11 0

)

Con las dos matrices ya obtenidas se generan todas las demas usando latabla de multiplicacion del grupo.

EJERCICIO: Obtener todas las matrices de la representacion.

Otra representacion se obtiene diagonalizando la matriz para C3 obteni-da en la representacion anterior. Se llega a

D′(C3) =

(

ε 00 ε2

)

con ε = e−2πi/3 (3.5.2)

la matriz para σv1 es la misma que en la representacion anterior.

EJERCICIO: Verifique explıcitamente que los caracteres (trazas) de las dosrepresentaciones recien definidas coinciden.

Ahora se vera a que espacio de representacion pertenecen las coor-denadas x, y, z de un vector cualquiera. Puesto que z es el eje principal

3.5. ANALISIS DE LOS GRUPOS C3V Y D2D Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


es claro que todos los puntos de este eje son dejados invariantes por lasrotaciones alrededor del eje y tambien por las reflexiones verticales, esdecir, el eje z es dejado invariante por todos los elementos del grupo. Laaccion del grupo sobre z es trivial; z pertenece al espacio de la RI trivial,A1. No es difıcil convencerse que la accion del grupo sobre las coorde-nadas x,y es el de producir combinaciones lineales entre ellas y que por lotanto ellas pertenecen al espacio de las RI E. Para ilustrar mejor lo vistoen la seccion anterior se puede tomar una combinacion arbitraria de y, zy apliarle el proyector PE definido en (3.4.8) para ver que efectivamente elresultado sera solo una combinacion de x,y ya que solo estas coordenadaspertenecen al espacio de E.

PE =13(2Oe−OC3−OC2

3)

Puesto que la accion de cada uno de los operadores que aparece en elparentesis sobre z es igual a multiplicar por 1 ( z es dejado invariante)entonces,

PEz =13(2−1−1)z = 0

lo cual es practicamente suficiente para demostrar lo planteado, el restoes dejado como ejercicio. Otra manera de ver esto consiste en usar losproyectores (3.4.7) con la representacion (3.5.2).

La representacion completa es

D(e)

(

1 00 1

)

D(C3) =12

(

−1√

3−√

3 −1

)

, D(C23) =

12

(

−1 −√

3√3 −1

)

D(σ1)

(

0 11 0

)

, D(σ2) =12

( √3 −1−1 −

√3

)

, D(σ23 ) =

12

(

−√

3 −1−1

√3

)

(3.5.3)

Por lo cual

PE1 =

13

(

Oe−12

Oc3−12

Oc23+

√3

2Oσ2−

√3

2Oσ3

)

y puesto que

Oc3x = −12x+

√3

2 y , Oσ2x =√

32 x− 1

2 y ,

Oc23x = −1

2x+√

32 y , Oσ3x = −

√3

2 x− 12 y ,



entonces

PE1 x = 1

3(x− 14x−

√3

4 y+ 14x+

√3

2 y+ 34x−

√3

4 y+ 34x+

√3

4 y)= x.

Lo que muestra no solo que x pertenece al espacio de E sino ademas queen la representacion (3.5.3) x es funcion base de la representacion.

En el caso anterior se puede considerar (x,y,z) como un vector. Sequiere mostrar el caso en que sx,sy,sz) es un seudo-vector. Los seudo-vectores se diferencian de los vectores solo por la accion de las reflex-iones sobre ellos. Una reflexion actuando sobre un seudo-vector no solo lorefleja sino ademas le cambia de signo. Ası por ejemplo, la accion de losplanos verticales de reflexion de C3v sobre sz da como resultado −sz mien-tras la accion de las rotaciones del grupo dejan invariante a sz. Es claroentonces que el espacio de los sz transforma sobre sı mismo, o sea, esdejado invariante. Mirando la tabla de caracteres (3.5.1) es claro que estees un espacio para RI A2. Por otro lado, sx,sy engendran un espacio derepresentacion para la RI E.

PROBLEMA: escribir en detalle la accion del grupo C3v sobre x,y,z luegohaga las proyeccciones (3.4.7) de las funciones x2,y2,z2,xy,xz,yz sobre lasfunciones base de las RIs del grupo.

Indicacion: con un poco de razonamiento y experiencia no es difıcil de-cir a priori que algunas de las proyecciones son nulas.

En forma mas breve se vera a continuacion el caso del grupo D2d. De-spues de resolver el problema 2.10 se sabe que D2d tiene 5 clases conju-gadas que corresponden a (e),(C2),(U

(1)2 ,U (2)

2 ), (σv1,σv2),(S4 S(3)4 ) y que porbrevedad se denotaran e,C,U,σ ,S. Tal como en el caso anterior se tieneque encontrar las soluciones enteras de

n21+n2

2+n23+n2

4+n25 = 8

resultando las dimensiones: 1,1,1,1,2, representaciones a las que se de-nominan A1,A2,B1,B2,E. Como antes A1 es la RI trivial. B1 sera la RI queasocia un +1 a las rotaciones puras y un -1 a las operaciones que con-tengan reflexiones. Para determinar los caracteres de las otras RIs unidi-mensionales se nota que se cumple que

χ (α)(g1)χ (α)(g2) = χ (α)(g1g2) toda rep. unidimensional (3.5.4)

Esta relacion nos sirve para deducir que los caracteres correspondi-entes a las clases conjugadas C,σ ,U son ±1 ya que el cuadrado de los

3.5. ANALISIS DE LOS GRUPOS C3V Y D2D Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


elementos de estas clases es la identidad e. Usando (3.2.13) con α = βdenotando cualquiera de las 4 RI unidimensionales del grupo se tiene,

8= 1+ χ2c +2χ2

u +2χ2σ +2χ2

s

pero de lo dicho arriba sigue que

χs =±1.

De la tabla de multiplicar del grupo se obtiene que C2S4 = S34 y puesto que

las dos rotoreflexiones pertenecen a la misma clase sus caracteres soniguales por lo que (3.5.4) implica que necesariamente

χ(C2) = 1

para todas las RI de este grupo. Queda por determinar el caracter de lasclases U , σ y S de las RIs unidimensionales. Nuevamente de la tabla demultiplicar se ve que U (2)

2 σv1S4 =C2 de modo que el producto de los carac-teres de estas tres clases es siempre +1 lo cual dice que puesto que cadauno de los 3 caracteres es +1 o - 1 entonces ellos son: +1, -1, -1 o -1, +1, -1o -1, -1, +1 y no hay mas posibilidades. La primera posibilidad ya fue usadapara definir la RI B1, las dos que siguen las asociamos a los nombres B2 yA2 respectivamente por lo cual la tabla de caracteres de D2d es

D2d e C2 2U2 2σ 2S4

A1 1 1 1 1 1A2 1 1 −1 −1 1B1 1 1 1 −1 −1B2 1 1 −1 1 −1E 2 −2 0 0 0

La ultima fila se deduce del conocimiento que E es bidimensional y de laortogonalidad de columnas (3.3.5).

Los mismos resultados se obtendrıan simplemente usando las propiedadesde ortonormalidad de filas y columnas.

Si (sx,sy,sz) es un seudovector, se vera el espacio de RI al que pertenececada uno de los si. Es evidente que el eje z, y por lo tanto el espacio de lossz, es invariante bajo la accion del grupo, pero cada sz no es invariante. Lasoperaciones de las clases e y C dejan invariante a sz; las de la clase U rotanel eje z en 180cir y por lo tanto sz cambia de signo; las reflexiones verticalesdejan invariante al eje z pero, por estar tratando con un seudovector, este



cambia de signo; finalmente las rotoreflexiones alrededor del eje z inviertenal eje z debido a la reflexion horizontal pero por ser ez seudovector, quedainvariante. En resumen, las unicas acciones no triviales son las de los U ylos σ que cambian el signo de sz, ası se ve de (9.8) que sz es funcion basepara la RI A2.

Otros resultados se obtienen resolviendo el problema 3.4.

PROBLEMA: Generalizacion de grupo cıclico al caso continuo:Teorema deBloch: Un grupo cıclico continuo es un grupo cuyo elemento tıpico g(θ)depende de un parametro que varıa continuamente tal que g(0) = g(2π) = e,de modo que todo el grupo G es descrito por g(θ) con 0≤ θ ≤ 2π

a) Generalizando los resultados del problema 3.6 encuentre las RIs delgrupo (cıclico) de rotaciones en un plano (G es llamado SO(2) y es elgrupo de rotaciones en torno a un eje fino) y

b) encuentre las RIs del grupo de traslaciones en la recta real imponien-do la condicion de periocidad de tal modo que una traslacion en ladistancia L fija es equivalente (identica) a la identidad del grupo (ca-so de un potencial periodico de perıodo L). Nota g(θ1)g(θ2)g(θ2) =g(θ1+θ2) por definicion.

NOTA: El ”numero”de clases conjugadas y el numero de RI no equiv-alentes son diferentes en el caso de grupos infinitos. (Las cardinalidadespueden ser distintas).

3.6. Apendice

3.6.1. Representaciones irreductibles de grupos factoriz ablesG = G1×G2

Sea D(µ)(G1) una RI del grupo G1 sobre el espacio L(µ) y D(ν)(G2) unaRI del grupo G2 sobre el espacio L(ν). Sean ademas

{ψ(µ)i }i = 1· · ·n(µ) base deL(µ),

{φ (ν)k }k = 1· · ·n(ν) base deL(ν).

La accion del grupo G sobre el espacio L = L(µ)× L(ν) espacio de lospares ordenados de funciones [ψ ,φ ],ψ ∈ L(µ),φ∈L(ν) se define en la forma

3.6. APENDICE Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


natural si se recuerda que los elementos g de G tienen una descomposicionunica g = g1g2 con g ∈ G1 y g2 ∈ G2:

Og[ψ(µ)i ,φ (ν)

k ] = [Og1ψ(µ),Og2φ (ν)k ]

= D(µ)ji (g1)D

(ν)ℓk (g2)[ψ

(µ)j ,φ (nu)

ℓ ](a3,2)

que se escribe como

= D(µ⊕

ν)jℓ,ik (g)[ψµ

j ,ψ(ν)ℓ ](a3,3)

Las matrices D(µ⊕

ν)(g) se calculan como el producto directo de lasmatrices D(µ)(g1) y D(ν)(g2).

Los caracteres de D(µ⊕

ν) son

χ (µ⊕

ν)(g) = ∑i,k D(µ⊕

ν)ik,ik (g) = ∑i,k D(µ)

ii (g1)D(ν)kk (g1)D

(ν)kk (g2)

= χ (µ)(g1)χ (ν)(g2)

Se ve que las representaciones de G ası definidas son RI.

Se hara uso del segundo lema de Schur. Sea A una matriz rectangulartal que

AD(µ⊕

ν)(g) = D(µ⊕

ν)A

Se debe demostrar que A es multiplo de la identidad.

La matriz A sera tal que

A[ψ(µ)i ,φ (ν)

k ] = ∑j,ℓ

A jℓ,ik[ψ(µ)j ,φ (ν)

ℓ ]

entoncesAD(µ

⊕

ν) = D(µ⊕

ν)A

se escribe inicialmente en la forma

Amn, jℓD(µ⊕

ν)j,ℓ,ik (g) = D(µ

⊕

ν)mn, jℓ (g)A jℓ,ik

o bienAmn, jℓD

(µ)ji (g1)D

(ν)ℓk (g2) = D(µ)

m j (g1)D(ν)nℓ (g2)A jℓ,ik.

En particular para g1 = e se tiene

Amn,iℓ D(ν)ℓk (g2) = D(ν)

nℓ (g2)Amℓ, ik



definiendoBnℓ(mi)≡ Amn,iℓ (matriz de nν xnν)

entoncesB(mi)

nℓ D(ν)ℓk (g2) = D(ν)

nℓ (g2)B(mi)ℓk

pero como D(ν) es RI de G2, entonces

Bnℓ(mi) = λ (mi)δnℓ

En forma similar se demuestra que χ(mi)= λδmi⇒Amn,iℓ= λδmiδnℓ⇒D(µ⊕

ν)

es RI de G

Este resultado es valido para grupos finito e infinitos.

Corolario: Las clases conjugadas de G se obtienen como el productode las clases conjugadas de G1 por las c.c. de G2

Demostracion

Sean g1,g′1 ∈ K1cG1 , g2,g′2 ∈ K2cg2 c.c.s.g′1 = a1g1a−1

1 g′2 = a2g2a−12

Se afirma queg′1g′2≃ g1g2

En efecto

g′1g′2 = a1g1a−11 a2g2a−1

2 = (a1a2)g1g2a−11 a−1

2 = (a1a2)g1g2(a1a2)−1

Para grupos finitos el numero de RI de G es r1r2 (el producto del numerode RI de G1 por el numero de RI de G2) y puesto que el numero de c.c. co-incide con este, se tiene que tambien numero c.c. de G = (n′umeroc.c.G1) ·(n′umeroc.c.de G2) luego las c.c. de G se designan Ki j← Ki×K− j

PROBLEMA Demostrar que (Trivial)

a) ∑i j γi j χ µ⊕

νi j χ µ ′

⊕

ν ′∗i j γ δµµ ′δνν ′ donde γi j = γ(1)i γ(2)j yγ = γ(1)γ(2)

b) ∑µ ,ν χ µ⊕

ν∗i j = γ

γi jδikδ jℓ

3.6. APENDICE Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Capıtulo 4

Grupos de Simetrıa

4.1. Simetrıa del Hamiltoniano y degeneraci on desu espectro

Si un sistema cuantico es descrito por un Hamiltoniano, las simetrıasdel sistema se manifiestan como simetrıas del Hamiltoniano, esto es, in-variancia de H bajo la accion de un grupo de operadores que representanlas transformaciones de simetrıa,

OgHO−1g = H (4.1.1)

donde Og es una operacion de simetrıa del sistema. Si existen dos opera-ciones de simetrıa Og1 y Og2 de un cierto hamiltoniano, entonces tambienel producto de estas operaciones es una operacion de simetrıa ya que si(4.1.1) es satisfecho por Og1 y Og2, tambien el producto Og1Og2 satisfacela condicion de dejar invariante al Hamiltoniano. De aquı resulta que lasoperaciones de simetrıa de un H forman un grupo que es llamado el grupode simetrıa de H.

Se vera que la existencia de un grupo de simetrıa para un operador Hda la posibilidad de que el espectro de valores propios de H sea degener-ado y el grado de estas degeneraciones este intimamente relacionado algrupo. La ecuacion de Schrodinger Hψ = Eψ puede ser escrita,

H(O−1g Og)ψ = Eψ

o bien(OgHO−1

g )Ogψ = EOgψ

47


Si Og es una operacion de simetrıa de H se puede hacer uso de (4.1.1) yobtener que Ogψ que tambien funcion propia de H.

H(Ogψ) = E(Ogψ)

y corresponde al mismo valor propio E.

Puede suceder que Ogψ resulte ser proporcional a ψ y por lo tanto queno se obtenga una nueva funcion propia. Esto no sucede siempre y poreso se obtiene que los valores propios de un H con un grupo de simetrıason, en general, degenerados. Aplicando todos los elementos de simetrıadel Hamiltoniano a una de sus autofunciones, ψE , se obtiene un conjuntode funciones propias de H correspondientes al mismo valor propio E. Ellasgeneran un espacio de representacion del grupo G de simetrıa, ya que elespacio es, por construccion, invariante bajo la accion de G.

En general estas representaciones de G son irreductibles; solamenteen casos muy excepcionales la representacion asociada a un nivel en-ergetico es reductible. En tal caso se dice que hay degeneracion acciden-tal. En los casos, en que hay degeneracion accidental, siempre puede en-contrarse dos funciones propias ψE y φE correspondiente al mismo valorpropio, tales que el espacio de representacion generado por la accion delgrupo de simetrıa sobre una de ellas no contenga a la otra. Se reitera queesto no ocurre a menudo.

Se supondra en general que el conjunto de funciones propias asoci-adas a un valor propio dado forman la base para el espacio de una RI delG de simetrıa. Esto ya dice bastante sobre los grados de degeneracion quese pueden esperar. Por ejemplo, los electrones en una molecula estaticade NH3 (ver el probl. 4.6) se mueven en un campo de simetrıa C3v y por lotanto se puede esperar que la degeneracion sea solamente simple o doble(antes de tomar en cuenta de los efectos de spin) ya que estas son lasdimensiones de las RIs del grupo C3v. Los niveles simples pueden ser dedos tipos, en este caso, dependiendo si las funciones propias son pareso impares bajo las reflexiones de simetrıa. Evidentemente distintos nivelesenergeticos podran tener asociada la misma RI, lo que debe tenerse claroes que en tales casos se tratara de distintos espacios ortogonales ya que

O = (a|H−H|b) = (Ea−Eb)(a|b)de modo que si Ea 6= Eb necesariamente las funcioes |a) y |b) son ortogo-nales.

Aunque no se vera en detalle, se menciona que si un Hamiltoniano esinvariante a la inversion del tiempo, la compleja conjugada de una funcion

4.1. SIMETRIA DEL HAMILTONIANO Y DEGENERACION DE SU ESPECTROFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


propia tambien es una funcion propia correspondiente al mismo valor pro-pio. Si el grupo de simetrıa solo tiene RIs unidimensionales pero complejas(ej. el grupo C3), la operacion inversion temporal intercambia las RIs queson complejas conjugadas y se comportan como si se tratara de una RIbidimensional. Esto se debe, a que el grupo de simetrıa es mayor que C3:incluye a la operacion T , que, sin embargo, no es lineal al incluir la con-jugacion compleja. Las representaciones complejas tienen caracteres noreales y seran evitadas en estas notas, con lo que se logra que la simetrıaT no tenga implicaciones sobre la degeneracion del espectro de H.

El solo conocimiento de la simetrıa de un Hamiltoniano no puede deter-minar el espectro ni las degeneraciones del grupo de simetrıa que apare-ceran, ni en que orden. La unica informacion sobre el espectro que se ob-tiene a partir de la simetrıa es que degeneraciones son posibles y cualesson imposibles o muy improbables (degeneraciones accidentales). En lapractica se da que el estudio experimental del espectro de un sistema ar-roje informacion sobre la simetrıa de este y no al reves.

4.2. El efecto de una perturbaci on que quiebra la si-metrıa de un hamiltoniano

Una manera de observar experimentalmente la degeneracion de un es-pectro consiste en someter al sistema a una perturbacion que destruya par-cial o totalmente la simetrıa del sistema. Teorıa de perturbaciones se usatambien en el caso de sistemas que tienen una simetrıa dominante queno es exacta y que nos da el tipo de degeneraciones posibles en primeraaproximacion pero tal que haciendo un analisis mas fino se obtiene unaestructura final del espectro.

Primeramente un sistema es sometido a una perturbacion que tiene lamisma simetrıa que el sistema original (todos los elementos de simetrıacoinciden) entonces el espectro sufre a lo mas un desplazamiento y siexisten degeneraciones accidentales estas podrıan resolverse.

El caso mas interesante es cuando se pasa del problema de un Hamil-toniano H a uno H ′,

H ′ = H +V

con G el grupo de simetrıa de H y G′ < G el grupo de simetrıa de H ′.

Suponga que a un cierto nivel energetico de H esta asociada una RI del



grupo, D(G), cuyo espacio de representacion es engendrado por funcionesde onda del sistema (linealmente independientes) que correspondan a esenivel. Seleccionando las matrices de la RI D(G) que estan asociadas a loselementos de G que tambien pertenecen al subgrupo G′ se obtiene au-tomaticamente una representacion inducida para el grupo G. Aun cuandoD(G) es una RI de G la representacion inducida de G′ no sera, en general,una RI de G′. En otras palabras, a pesar de que no existe un subespacio defunciones del espacio de D(G) que sea invariante bajo la accion del grupoG, puede suceder que sı exista un subespacio invariante a las transforma-ciones del subgrupo G′. Un ejemplo geometrico: el espacio tridiensionalno tiene subespacio invariante al grupo de todas las rotaciones, pero si serestringe al subgrupo de las rotaciones alrededor del eje evidentemente elespacio queda dividido en suma directa de dos subespacios invariantes,el eje Z y el plano XY . Se supondra que cada vez que una representacionD(G) del grupo de simetrıa del Hamiltoniano H se descompone en mas deuna RI del grupo G′ del Hamiltoniano perturbado el correspondiente nivelenergetico de H se desdobla en igual numero de niveles de H ′ cada uno delos cuales tendra asociada una de las RIs de la descomposicion de D(G)un RIs de G′.

4.3. Simetrıa de rotaci on

A pesar de ser este un capıtulo sobre grupos finitos se vera brevementeel grupo de rotaciones continuo tridimensional dada su gran importancia enfısica.

El grupo de rotaciones propias, SO(3), es un grupo infinito continuo quetiene tambien un continuo de clases conjugadas pero un conjunto infinitodiscreto de RIs no equivalentes. Dos rotaciones son conjugadas si y solo sison rotaciones de la misma magnitud sin importar la orientacion del eje oel sentido de la rotacion. Es bien sabido del estudio del capıtulo sobre mo-mento angular en mecanica cuantica que un conjunto natural de funcionesbase para las RI del grupo de rotaciones son los armonicos esfericos. Estoes ası por la propiedad de estas funciones de que al actuar sobre ellasuna rotacion se vuelve a obtener una combinacion de armonicos esfericoscaracterizados por el mismo ℓ.

ORYℓm =ℓ

∑m=−ℓ

D(ℓ)m′m(R)Yℓm′

4.3. SIMETRIA DE ROTACION Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


El conjunto de 2ℓ+1 funciones Yℓm son base para un espacio de la RIdel grupo de rotaciones SO(3) que se designa D(ℓ)(SO(3)), ℓ = 0,1,2, . . . osimplemente se habla de la RI “ℓ”.

Puesto que rotaciones de la misma magnitud son conjugadas se puededeterminar los caracteres correspondientes a cada clase conjugada esco-giendo la rotacion cuya matriz es mas facil de construir. Considerando unarotacion alrededor del eje Z (eje polar) y de magnitud α , entonces

ORZ(α)Yℓm(θ ,φ) = Yℓm(θ ,φ ,−α) = e−imαYℓm(θ ,φ) (4.3.1)

Puesto que la dependencia en φ es a traves de una exponencial

Yℓm(θ ,φ) = Pmℓ (θ)e

imφ .

la representacion de tal rotacion es una matriz diagonal

e−iℓα 0 0· · ·00 e−i(ℓ−1)ℓ 0· · ·00 0· · · · · · eiℓα

(4.3.2)

de donde se deduce directamente que el caracter asociado a la clase con-jugada de todas las rotaciones de magnitud α en la representacion ℓ es,

χ (ℓ)(R(α)) =sin[(2ℓ+1)α/2]

sin(α/2)(4.3.3)

Una partıcula en un potencial central es un caso tıpico de un sistemacuya simetrıa esta descrita por el grupo de rotaciones. En realidad el grupocompleto de simetrıa incluye la inversion y por lo tanto cualquier planode reflexion que pase por el origen; este grupo se llama de rotacionesimpropio y se designa por O(3). Se deja como ejercicio demostrar quetodos los elementos de O(3) son rotaciones propias o bien la operacioninversion multiplicada por una rotacion. Puesto que la inversion I conmutacon cualquier otra opreacion del grupo, entonces O(3) puede escribirsecomo el producto directo de los grupos SO(3) y el grupo Ci = {e, I}

O(3) = SO(3)×Ci.

No es difıcil ver que las RIs de un grupo que se puede factorizar en pro-ducto directo de grupos se obtienen como producto directo de las matricesde las RIs de los grupos factores. En el caso presente Ci tiene solo dos RIs



que son la trivial (+) y la que asocia un -1 a I, (-). Por lo tanto por cada RIde SO(3) se obtiene dos RIs de O(3),

D(ℓ+) y D(ℓ−)

colectivamente llamadas D(ℓP), P =±Luego se vera que con los armonicos esfericos se obtiene espacios de

representacion solo para algunas de estas RIs, aquellas con P = (−1)ℓ.

Tambien se tiene que por cada clase conjugada de SO(3) el grupo O(3)tiene dos clases conjugadas: la original y otra formada por aquellos mismoselementos multiplicados por I. Se debe calcular los caracteres correspon-dientes a estas nuevas clases conjugadas.

PROBLEMA Demostrar que toda rotacion impropia es una reflexion pura obien una rotoreflexion, esto es, una rotacion seguida de una reflexion enun plano ortogonal al eje de la rotacion.

Se calculara los caracteres de las reflexiones y rotoreflexiones para lasrepresentaciones cuyos espacios estan engendrados por los armonicosesfericos. En O(3) todas las reflexiones son conjugadas (ya que esta claseproviene de multiplicar todas las rotaciones en 180◦ con la inversion) demodo que se escoge la que convenga y que es σh, la reflexion perpendic-ular al eje Z. Un simple analisis muestra que su efecto es,

σh : θ → π−θ φ → φ

entoncesσhYℓm(θ ,φ) = Yℓm(π−θ ,φ) = (−)ℓ−mYℓm(θ ,φ) (4.3.4)

lo que muestra que σh es diagonal y que su traza es

χ (ℓ)(σ) =ℓ

∑m=−ℓ

(−)ℓ−m =+1 (4.3.5)

Tambien todas las rotoreflexiones de igual magnitud son conjugadas por loque se escoge aquellas con eje paralelo al eje Z, Sz(α) =Rz(α)σh. Como yase sabe de (4.3.2) la accion del primer factor es diagonal y tambien ahorase ha visto que tambien σh tiene una matriz diagonal, por lo tanto los Sz sondiagonales y su efecto sobre los Yℓm se obtiene multiplicando la rotacion deun angulo α en torno al eje Z con una replexion σh (ver (4.3.1) y (4.3.4))

Sz(α)Yℓm = e−imα(−)ℓ−mYℓm = (−)ℓe−im(α−π)Yℓm (4.3.6)

4.3. SIMETRIA DE ROTACION Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


de donde se deduce inmediatamente que

χ (ℓ)(S(α)) =cos[

(2ℓ+1)α2

]

cosα2

(4.3.7)

En particular si se hace tender α a cero se obtiene que S(α) tiende a unareflexion pura y (4.3.7) en el lımite da (4.3.5). Si se hace α → π la rotore-flexion se convierte en la operacion inversion y el lımite de (4.3.7) nos da

χ (ℓ)(I) = (−)ℓ(2ℓ+1) (4.3.8)

La ultima expresion en (4.3.6) nos muestra que la accion de la inversion so-bre los esfericos armonicos es multplicar por (−)ℓ, lo cual significa que conestas funciones bases se obtiene solamente las RI de O(3) cuya paridadesta totalmente determinada por ℓ

P = (−)ℓ (4.3.9)

Ver el problema 4.1.

4.4. Quiebre de la simetrıa de rotaci on por efecto deuna perturbaci on de simetrıa puntual

Ya se dijo que una partıcula en un potencial central es un sistema consimetrıa de rotacion. Por medio de un campo externo se puede disturbaresta simetrıa obteniendo un sistema con simetrıa menor, correspondientea algun grupo puntual. Si se ignora el spin y tambien la interaccion mu-tua entre electrones, un electron en un atomo puede considerarse comoel sistema inicial cuyo Hamiltoniano tiene simetrıa esferica. La parte angu-lar de la funcion de onda de cada estado estacionario sera entonces unYℓm, ya que cada nivel tendra asociado una RI del grupo O(3). Si ahorase somete este atomo a un campo externo de simetrıa bien definida, porejemplo, el atomo pasa a formar parte de una molecula o de un cristal, elelectron en consideracion se movera en un potencial de simetrıa menor.En otras palabras, el grupo de simetrıa G sera un subgrupo del grupo O(3)y para determinar el desdoblamiento de los niveles originales de simetrıase tendra que descomponer las representaciones de G—inducidas por RIde O(3)—en RI de G. Concretamente, se tiene que conocer la descom-posicion (3.1.3) de las RIs de O(3) en RIs de G y para esto debe hacerse



O(3) ℓ= 0 1 2 3 4 5 6e 1 3 5 7 9 11 13C2 1 -1 1 -1 1 -1 1C3 1 0 -1 1 0 -1 1C4 1 1 -1 -1 1 1 -1C6 1 2 1 -1 -2 -1 1I 1 -3 5 -7 9 -11 13σ 1 1 1 1 1 1 1S4 1 -1 -1 1 1 -1 -1S6 1 0 -1 -1 0 1 1

Cuadro 4.1: Tabla de caracteres de algunos elementos del grupo O(3) para repre-sentaciones cuya paridad esta dada por(−1)ℓ

uso de la relacion (3.3.2) que da el numero de veces que cada RI de Gaparecen en la descomposicion de una RI D(ℓP)(O(3)). Se tiene que

a(ℓP)µ =1γ ∑

iγiχ

(µ)∗i χ (ℓP)

i (4.4.1)

donde la suma es sobre las clases conjugadas de G (de orden γi), γ es elorden de G; los caracteres de los grupos puntuales G estan tabulados y losdel grupo de rotaciones fueron dados en §4.3. Puesto que los caracteresde O(3) que se necesita son solo aquellos para las operaciones puntuales,esto es, con angulos caracterısticos de rotacion en angulos 2π/n con n =1,2,3, . . . entonces es mas practico contar con la tabla 4.1 con solo estoscaracteres.

Como ejemplo se supondra que el grupo puntual G es el grupo O de lasrotaciones discretas propias que dejan invariante a un cubo (tiene 24 ele-mentos). Puesto que la RI ℓ= 0 de O(3) es unidimensional esta no puedesufrir descomposicion. El primer caso no trivial es ℓ = 1. Aplicando (4.4.1)se descubre que todos los coeficiente a son nulos excepto a(ℓ=1)

F1= 1 de

donde se deduce que los niveles ℓ = 1 de una partıcula en un potencialcentral no sufren desdoblamiento por efecto de un campo de simetrıa O.Para ℓ= 2 se sabe a priori que debe haber un desdoblamiento, ya que estaRI de O(3) tiene dimension 5 y no existe RI de O de dimension tan alta.En efecto, de (4.4.1) se obtiene que los a no nulos son a(ℓ=2)

F2= 1 y a(ℓ)E = 1

de modo que los niveles energeticos originalmente con degeneracion 5 sedesdoblan en dos niveles de degeneraciones 3 y 2 respectivamente. La

4.4. QUIEBRE DE LA SIMETRIA DE ROTACION POR EFECTO DE UNA PERTURBACION DE SIMETRIA PUNTUALFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


descomposicion es

D(ℓ=3)(O(3)) |O = A2+F1+F2.

Para el caso de grupos puntuales G que contienen como una de susoperaciones la inversion I la determinacion de los coeficientes (4.4.1) sepuede simplificar puesto que estos grupos son factorizables, (ver apendice§3.6)

G = G×Ci

(este es el caso de los grupos S4p+2, D2ph, D2p+1d′ , Th, Oh, Yd) y como elgrupo completo de rotaciones tiene la misma descomposicion (ver (4.3.3)),se tiene que G es subgrupo de SO(3) y la descomposicion puede hacersesimplemente considerando las RI de G y de SO(3).

En efecto, suponiendo que se conoce la tabla de caracteres del grupoG,

G K1 K2 K3 · · ·D(1)

D(2) χD(3)

...

Tambien se conoce la tabla de caracteres de Ci, fue discutida despues de(4.3.3). Combinando las dos tablas de caracteres se obtiene la tabla parael grupo G (ver §3.6)

G =C×Ci K1K2K3 · · · IK1 IK2 IK3 · · ·D(1)+

D(2)+

D(3)+ χ χ...

D(1)−

D(2)− χ −χD(3)− χ −χ

...

(4.4.2)

Esto es, por cada RI de G se tiene dos RI de G, una que asocia a lasclases conjugadas Ki y IKi el mismo caracter (RI par de G) y otra RI queasocia a la clase Ki un caracter y a la clase IKi el mismo caracter conel signo opuesto (RI impar de G). Puesto que la descomposicion de una



representacion no puede cambiar el caracter par o impar del espacio derepresentacion del grupo O(3), entonces necesariamente una RI D(ℓP) sedescompondra en representaciones del grupo G de la misma paridad. Contodo esto y en especial teniendo en cuenta la relacion (4.4.2) entre los car-acteres de G y G es claro que el resultado que se obtiene por la aplicacionde (4.4.1) al descomponer RIs de O(3) en RIs de G es identico al resultadode descomponer RIs de SO(3) en RIs de G.

4.5. Parte angular de las funciones de onda para elcaso de niveles desdoblados

La parte angular de la funcion de onda de una partıcula en un potencialcentral, cualquiera que este sea, es un esferico armonico. Esto se debe aque la dinamica del problema no afecta la parte angular. Esta es de origenpuramente cinematico. Algo similar ocurre si la partıcula esta sometida aun potencial de simetrıa puntual. La parte angular de la funcion de ondatambien esta determinada por la simetrıa del problema y es solo la parte ra-dial la que debe determinarse como un problema dinamico. Se analizara enparticular el caso de niveles originalmente correspondientes a un proble-ma de simetrıa de rotacion y que ha sido quebrada por una perturbacionde simetrıa puntual.

En general, dado un nivel energetico correspondiente a una RI delgrupo de simetrıa G, y dada una perturbacion que desdobla este nivel envarios, el problema de encontrar funciones de onda linealmente indepen-dientes que—a cero orden en teorıa de perturbacion—corresponden a losniveles desdoblados se resuelve como sigue. Conocido el grupo G′ < G desimetrıa del Hamiltoniano perturbado se puede construir los proyectores(3.4.7) de las distintas RIs de G′ y proyectar las funciones base del niveloriginal obteniendo ası las funciones base buscadas de los niveles des-doblados.

Esto tan general, es valido solo a cero orden en teorıa de perturbacion,puesto que las nuevas funciones de onda (exactas) resultan de resolver unproblema dinamico, lo cual no se considera con el simple procedimiento deproyectar. Sin embargo el problema de encontrar la parte angular de lasfunciones de onda en los casos descritos al comienzo de esta seccion noes un problema dinamico y la solucion obtenida con este procedimiento esexacta.

4.5. PARTE ANGULAR DE LAS FUNCIONES DE ONDA PARA EL CASO DE NIVELES DESDOBLADOSFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


El problema que se desea resolver es entonces, el de encontrar lascombinaciones lineales de armonicos esfericos con un ℓ dado y que formenbase para las RIs de los distintos grupos puntuales.

Observese que la parte radial de la funcion de onda es invariante acualquier transformacion. Esta es la razon por la cual el conocimiento dela simetrıa nada dice acerca de la parte radial.

Para estudiar este problema particular es conveniente usar, en vez delos armonicos esfericos directamente, las funciones reales

ψℓm(θ ,φ) =√

2Pℓm(cosθ)

{

cossin

}

mφ (m≥ 0)

con m = 0,1,2,3, · · · ℓ.Puesto que ψℓ0

− ≡ 0, se ha definido el numero correcto, (2ℓ+ 1), defunciones no triviales con ℓ fijo. Para estudiar la accion de los proyectores(3.4.7) sobre estas funciones, es necesario conocer primero la accion delas distintas operaciones puntuales sobre ellas. En lo que sigue se tienepresente que OS f (x) = f (S−1x).

a) Accion de σh:

θ → π−θφ → φ ⇒ Pℓ

m(π−θ) = (−)ℓ−mPℓm(θ)

Oσhψℓn± (θφ) = (−)ℓ−m ψℓm

± (θφ)

b) Accion de σv(β ):

θ → θφ → 2β −φ

Oσv(β )ψℓm± (θφ) =

{

cos2mβψℓm+ (θφ)+sin2mβψℓm(θφ)

sin2mβψℓm+ (θφ)−cos2mβψℓm(θφ)

En particular β = 0 y

Oσzxψℓm± =±ψℓm

±



c) Accion de U2(β ):

θ → π−θφ → 2β −φ

OU2(β )ψℓm± (θφ) =

{

(−)ℓ−m cos2mβψℓm+ +sin2mβψℓm

−(−)ℓ−m sin2mβψℓm

+ −cos2mβ−ψℓm

d) Accion de Cn (eje principal)

θ → θφ → φ + 2π

n

OCnψℓm± (θφ)=ψℓm

± (θ ,φ− 2πn)=

{

cos2πmn ψℓm

+ (θφ) + sin2πmn ψℓm

− (θπ)cos2πm

n ψℓm− (θφ) − sin2πm

n ψℓm+ (θφ)

Oc−2ψℓm± = (−)mψℓm

±

e) Accion de Sn (eje principal)

OSn = OCn Oσn ⇒

OSnψℓm± = (−)ℓ−m

{

cos2πmn ψ+ + sin 2πm

n ψ−cos2πm

n ψ− − sin 2πmn ψ+

en particular si n = 2 entonces S2 = I ⇒

OI ψℓm± = (−)ℓψℓm

pm

Ver problemas 4.2, 4.3 y 4.4

4.6. Teorema de Uns old generalizado

Este teorema nos permite generar funciones invariantes bajo un grupodado. Lo que originalmente demostro Unsold fue que la suma de los modu-los cuadrados de todos los armonicos esfericos con un ℓ fijo es un invari-ante bajo rotaciones.

4.6. TEOREMA DE UNSOLD GENERALIZADO Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


TEOREMA: La suma de los modulos cuadrados de todas las funciones basede una RI cualquiera es un invariante con respecto al grupo G considerado.

Dem.: Considerese la accion de una operacion cualquiera del grupo Gsobre la suma de los modulos cuadrados de las funciones base de una RI,

Og ∑ni=1 φ (µ)∗

i φ (µ)i = ∑i, j,k D(µ)∗

ji (g)φ (µ)∗j D(µ)

ki (g)φ (µ)k

= ∑ j,k φ (µ)∗j φ (µ)

k ∑i D(µ)∗ji (g)D(µ)

ki (g)

Pero∑i D(µ)∗

ji (g)D(µ)ki (g) = ∑i D(µ)

ki (g)D(µ)i j (g−1)

= D(µ)k j (e)

= δk j

por lo tanto

Og

n

∑i=1

φ (µ)∗i φ (µ)

i = ∑ φ (µ)∗i φ (µ)

i

Como aplicacion de este teorema se construye una funcion invariantebajo la accion del grupo O. Del problema 3.2 se sabe que x,y,z, son fun-ciones base de la representacion F1 de O y que xy,yz,xz son funciones basede la representacion F2. Por el teorema anterior se puede decir entoncesque las siguientes funciones son invariantes a O,

R2 = x2+ y2+ z2

y tambienx2y2+ y2z2+ x2z2.

Y evidentemente cualquier funcion de estos invariantes tambien es in-variante bajo el grupo O. En particular la combinacion

25(x2+ y2+ z2)2−2(x2y2+ y2z2+ z2x2) = (x4+ y4+ z4− 3

5R4)

es invariante bajo el grupo. Fısicamente esta combinacion lineal tiene in-teres porque la expansion alrededor del origen del potencial producido porcargas electricas iguales colocadas en los ejes x,y,z a una distancia igualen las seis direcciones de estos ejes tiene como primera contribucion noesfericamente simetrica la expresion encontrada arriba.

Ver problemas 4.5 y 4.6



4.7. Producto Kronecker de representaciones, y larepresentaci on adjunta

Sea D(α) una representacion de G de dimension nα y sea D(β) una rep-resentacion de dimension nβ . Se define la representacion producto Kro-necker de las anteriores por medio de

D(α×β)ik, jℓ (g) = D(α)

i j (g)D(β)kℓ (g) (4.7.1)

Los vectores del nuevo espacio de representacion son los elementos delespacio producto directo (tensorial) de los espacios L(α) y L(β).

Las matrices de la representacion se construyen como sigue.

A×B =

(

a11B a12B · · ·a21B · · · · · ·

)

Se vera que efectivamente (4.7.1) define una representacion del grupo G,

D(α×β)ik, jℓ (g1g2) = D(α)

i j (g1g2)D(β)kℓ (g1g2)

= ∑µ D(α)iµ (g1)D

(βα)µ j (g2)∑ν D(β)

kν (g1)D(β)νℓ (g2)

= ∑µ ν

[

D(α)iµ (g1)D

(β)kν (g1)

][

D(α)µ j (g2)D

(β)νℓ (g2)

]

= ∑µ ,ν D(α×β)ik,µν (g1)D

(α×β)µν , jℓ (g2)

(4.7.2)

es decirD(α×β)(g1g2) = D(α×β)(gi)D

(α×β)(g2)

Las representaciones (α) y (β ) en (4.7.1) pueden ser RIs, sin embargola representacion (α×β ) en general no es irreductible.

Se deduce facilmente de (4.7.2) que los caracteres de la representacionque resulta de un producto Kronecker de dos representaciones es

χ (α×β)(g) = χ (α)(g)χ (β)(g) (4.7.3)

Conocidos los caracteres de la representacion producto es ahora facil de-scomponer esta representacion en representaciones irreductibles por mediode la ecuacion (3.3.2).

Un caso especial importante de producto Kronecker es el de una RI nveces por sı misma. En este caso los espacios de representaciones nor-malmente se denominan espacios tensoriales de n ındices. Los ındices de

4.7. PRODUCTO KRONECKER DE REPRESENTACIONES, Y LA REPRESENTACION ADJUNTAFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


estos tensores son todos del mismo tipo. Representaciones sobre espacioscon tensores con ındices de dos tipos (co- y contravariantes) se obtienenhaciendo productos Kronecker con una representacion y su representacionadjunta que se define a continuacion.

Dada una representacion D(G) se define la representacion adjunta aD(G) como la representacion definida por las matrices invertidas y traspues-tas de la representacion dada, y se denota por D(G):

D(G) = D−1(G) (4.7.4)

EJERCICIO: Demostrar que (4.7.4) efectivamente define una representacion.

Los caracteres de la representacion adjunta a una RU son simplementelos complejos conjugados de los caracteres de la representacion dada,

χ(g) = χ(g−1) = χ∗(g). (4.7.5)

Ver problemas 4.7, 4.8 y 4.9.

Los productos Kronecker entre RIs de grupos G = G×Ci, cuyas repre-sentaciones se vieron en la §4.4, son faciles de hacer conociendo los re-spectivos productos Kronecker entre las RIs del grupo G. En efecto, puestoque las funciones base de la representacion producto se obtienen comosimple producto de las funciones de las representaciones factor entoncesla paridad de estas funciones producto no es sino el producto de las pari-dades. Por lo tanto, si se conoce un producto Kronecker de RIs de G

D(α)×D(β) = ∑aγ D(γ) (4.7.6)

entonces es inmediato que el respectivo producto de RIs de G es

D(αP)×D(βP′) = ∑ aγ D(γ ,PP′)

Esto es, los coeficientes son los mismos y la paridad del resultado es elproducto de las paridades.

4.8. Reglas de selecci on

Al someter un sistema cuantico a una perturbacion T dependiente deltiempo existe, en general, una probabilidad no nula de que haya una tran-sicion de algun nivel de energıa a otro. Esta probabilidad se calcula esen-cialmente como

Pλ→µ = ∑i,k

∣

∣

∣

⟨

ψ(µ)∣

∣

∣T∣

∣

∣φ (λ)

k

⟩∣

∣

∣

2



donde {φ (λ)h } representa los estados iniciales posibles y {ψ(µ)

i } los esta-dos finales. Los ındices µ y ν denotan las RIs asociadas a los respectivosniveles energeticos del sistema mientras los ındices i y k son ındices dedegeneracion.

En esta seccion se vera que bajo ciertas condiciones generales desimetrıa puede asegurarse que la probabilidad de transicion es anula. Unresultado de tal tipo se llama regla de seleccion.

Lo primero que se debe tener claro es que en general no existe uno sinovarios operadores asociados a un tipo de transicion. Ellos son un conjuntoTi de operadores, i = 1, · · · ,nT y que transforman, bajo la accion del grupode simetrıa G, segun una representacion D(T)(G):

OgTiO−1g = D(T )

ji (g)Tj

(En la seccion siguiente se dan ejemplos fısicos de importancia).

La forma general de las reglas de seleccion se enuncia en la afirmacion3 que aparece mas abajo. Es previo demostrar un par de cosas antes.

Afirmacion 1: Si Ti es operador que transforma segun la representacionD(T ) de G y φ (λ)

k es un vector base de la representacion D(λ) de G entonces

Tiφ(λ)k esta en el espacio de representacion D(T )×D(λ) = D(T×λ). En efecto,

OgTiφ(λ)k = OgTiO−1

g Ogφ (λ)k

= D(T )ji (g)TjD

(λ)ℓk (g)φ (λ)

ℓ

(4.8.1)

que, por (4.7.1), se escribe

= D(T×λ)jℓ,ik (g)Tjφ

(λ)ℓ

lo cual prueba la afirmacion 1 resumida en (4.8.1).

Afirmacion 2: Sean D(µ) y D(ν) dos RIs de un grupo G finito o compactotales que son no equivalentes o bien son iguales (no solo equivalentessino ademas expresadas en la misma base). Sean {ψ(µ)

i } y {φ (ν)i } las re-

spectivas bases. Entonces el producto escalar⟨

ψ(µ)i

∣

∣

∣φ (ν)

j

⟩

es

⟨

ψ(µ)i |φ

(ν)j

⟩

=1

nµδµνδi j ∑

k

⟨

ψ(µ)k |φ

(ν)k

⟩

4.8. REGLAS DE SELECCION Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


La demostracion la hara solo para grupos finitos. Puesto que toda repre-sentacion de G es equivalente a una R unitaria entonces

⟨

ψ(µ)i |φ

(ν)j

⟩

=⟨

Ogψ(µ)i |Ogφ (ν)

j

⟩

= 1γ ∑g

⟨

Ogψ(µ)i |Ogφ (ν)

j

⟩

= 1γ ∑ℓk ∑g D(µ)∗

ℓi (g)D(ν)k j (g)

⟨

ψ(µ)ℓ |φ

(ν)k

⟩

y usando (3.2.11)

=1

nµδµν δi j ∑

k

⟨

ψ(µ)k |ψ

(ν)k

⟩

Afirmacion 3 (Teorema de Wigner-Eckart ):

Los elementos de matriz⟨

ψ(µ)i |Tℓ|φ

(λ)k

⟩

, de un operador Tℓ, calculados

con vectores base de dos RIs de un grupo G que cumplen las condicionesde la afirmacion 2 son nulos si

a) en la descomposicion de D(T )×D(λ) no aparece D(µ) o equivalente-mente,

b) en la descomposicion de D(µ)×D(T)×D(λ) no aparece la representaciontrivial del grupo G.

Dem. (a): Por lo que se vio en la afirmacion 1 el vector Tℓφ (λ) puedeexpresarse como combinacion lineal de vectores φ (ν)

j funciones base de

las RIs que aparecen en la descomposicion de D(T )×D(λ).

De modo que⟨

ψ(µ)i |Tℓ|φ

(λ)k

⟩

= ∑ν j α(ν)j

⟨

ψ(µ)i |φ

(ν)j

⟩

y estos ultimos pro-

ductos escalares son todos nulos (afirmacion 2) si ν 6= µ . Esto es, si enla descomposicion de D(T )×D(λ) no aparece D(µ), el elemento de matrizconsiderado es nulo.

Dem. (b): Debido a (3.3.2), (4.7.3) y (4.7.5) una RI D(σ) esta contenidaen la descomposicion de D(α)×D(β) exactamente 1

γ ∑i γ(σ)iχi χ (α)

i χ (β)i veces.

En particular la R trivial esta contenida en la descomposicion del productoD(µ)×D(ν) 1

γ ∑i χ (µ)i χ (ν)

i veces, y por (3.2.12) esto vale δµν .

Por lo tanto la RI trivial aparecera en D(µ)×D(ν) solo si D(µ) = D(ν).De aquı se puede concluir que la RI trivial esta en la descomposicion deD(µ)×D(µ) aparece en la descomposicion de D(T )×D(λ), lo cual reduce b)a a). Ademas se puede observar que D(µ)×D(T )×D(λ) contiene a la RItrivial el mismo numero de veces que D(µ) aparece en la descomposicionde D(T )×D(λ).



4.9. Ejemplos de reglas de selecci on

En sistemas fısicos atomicos, moleculares o cristalinos las transicionesmas importantes son de origen electromagnetico. De estas las mas impor-tantes son las transiciones dipolares electricas, las dipolares magneticas ylas cuadrupolares electricas. Cada una de estas transiciones tiene asocia-do un operador T de transicion y dado el grupo G de simetrıa de un sistemase debe saber determinar la representacion D(T ) asociada a T .

Las transiciones dipolares electricas (d.e.) tienen asociado un operadorque transforma como un vector tridimensional (x,y,z).

Las transiciones dipolares magneticas (d.m.) tienen asociado un oper-ador que transforma como las componentes de un seudo-vector (sx,sy,sz).

Las transiciones cuadrupolares electricas (c.e.) tienen asociado un op-erador que transforma como las componentes de un tensor de segundorango simetrico y traza nula, es decir las componentes de T transformancomo x2,xy,xz,y2,yz,z2 solo que ademas Txx +Tyy +Tzz = 0 por lo que tienesolo cinco componentes independientes.

En el problema 3.4 se vio que las componentes x,y estan en la RI Edel grupo D2d y la componente z esta en la RI B2 del mismo grupo, porlo tanto para un sistema cuyo grupo de simetrıa es D2d la representacionD(T ) asociada a las transiciones d.e. es B2+E. ahora se hace el productoKronecker entre D(T ) y cada una de las RIs del grupo para ver que RIsaparecen en la descomposicion y ası saber cuales transiciones d.e. estanprohibidas.

A1×D(T ) = B2+E⇒ estan prohibidas las transiciones de A1 : a B1, a A2

ya que estas no aparecen al lado derecho.

A2×D(T ) = B1+E por lo que estan prohibidas las transiciones d.e. deA2 a: A1, A2,B2.

B1×D(T)=A2+E luego estan prohibidas las transiciones de B1 a A1,B1,B2.

B2×D(T) = A1+E luego de B2 estan prohibidas las transiciones d.e. aA2,B1B2.

E×D(T ) = A1+A2+B1+B2+E y por lo tanto no es posible decir a prioriy solo en base al conocimiento del grupo de simetrıa que haya algunatransicion d.e. prohibida a partir de un nivel energetico que tenga asociadala RI E del grupo D2d.

Como se desprende del ejemplo anterior todo el problema se reduce a

4.9. EJEMPLOS DE REGLAS DE SELECCION Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


determinar D(T ) y luego a saber calcular los productos Kronecker de estarepresentacion del grupo considerado con todas las RI de ese grupo.

Ver los problemas 4.11 y 4.12

Cuando el grupo de simetrıa contiene a la operacion inversion comouno de sus elementos entonces las funciones de onda del sistema ten-dran asociada una paridad bien definida. Puesto que los operadores detransiciones electromagneticos vistos en esta seccion tambien tienen unaparidad bien definida, es facil dar ciertas reglas de seleccion con respectoa paridad. El operador T (d.e.) transforma como un vector bajo la accion deO(3), esto es, como funcion base de la representacion ℓ = 1 y P = (−)ℓ =−1. Tiene paridad negativa y por lo tanto, de acuerdo a (4.7.6) y la afirma-cion 3 las transiciones dipolares electricas entre niveles de igual paridadestan prohibidos. El operador T (d.m.) transforma como un seudovector, es-to es, como perteneciendo a la representacion ℓ= 1,P = +1 y por lo tantolas transiciones dipolares magneticas que cambian de paridad estan pro-hibidas.

Ver el problema 4.13.

De este resultado se desprende que las reglas de seleccion en relaciona paridad para transiciones c.e. coinciden con las de las transiciones d.m.

4.10. Reglas de selecci on en atomos

En atomos se debe diferenciar el caso en que los estados atomicostienen numeros cuanticos asociados a un electron especıfico (caso de losatomos hidrogenoıdes o alcalinos) a un conjunto de dos o mas electrones.

1) En el primer caso el momento angular del estado es ℓ y la paridad esP = (−)ℓ.

2) En el segundo caso el momento angular es L(=~ℓ1+~ℓ2+ · · ·) y paridadP no tiene relacion con L; P = (−)ℓ1 + ℓ2+ · · ·

3) Los operadores de transiciones d.e., d.m., y c.e. tienen asociadas lasRI de O(3) siguientes

Dd.e. = D(1−) , Dd.m. = D(1+) , Dc.e. = D(2+)

Reglas de seleccion:



a) d.e.

D(1−)×D(LP) = D(L−1,−P)+D(L,−P)+D(L+1,−P)

excepto D(1−)×D(OP) = D(1,−P)

Por lo tanto para un atomo de varios electrones se tiene que P→−Py ∆L = 0,±1 y si Lin = 0 entonces ∆L = 1. Para atomos alcalinos so-lamente las RI primera y ultima tienen la correcta relacion entre ℓ y Ppero no la segunda. Luego las unicas transiciones d.e. no prohibidasson con

∆ℓ=±1 (y con P→−P)

b) d.m.

D(+)×D(LP) = D(L−1,P)+D(LP)+D(L+1,P)

excepto D(+)×D(LP) = D(1P)

En este caso si son varios los electrones la regla de seleccion es lamisma obtenida arriba en L pero la paridad no cambia mientras quepara atomos alcalinos esta vez necesariamente debe tenerse que

∆ℓ= 0 (P→ P)

y si el momento angular inicial es cero no puede haber transiciondipolar magnetica.

c) c.e

D(2,+)×D(L,P) = D(L−2,P)+D(L−1,P)+D(L+1,P)+D(L+2,P) conL 6= 2D(2,+)×D(1P) = D(O,P)+D(2,P)+D(3,P) (L = 1)D(2+)×D(OP) = D(2,P) (L = 0)

En este, si se trata de varios electrones, las reglas de seleccion que seobtienen son

si Lin ≤ 2 ∆L = 0, ±1,±2si Lin = 1 ∆L = 0, ±1,+2si Lin = 0 ∆L = 2

y la paridad en ningun caso cambia.

Para atomos con un solo electron nuevamente debe preocupar que larelacion entre paridad y momento angular sea P = (−)ℓ, por lo que

si ℓin ≤ 2 ∆ℓ= 0, ±2si ℓin = 1 ∆ℓ= 0, +2si ℓin = 0 ∆ℓ= 2

4.10. REGLAS DE SELECCION EN ATOMOS Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


4.11. Series y coeficientes de Clebsch-Gordan

Ya se ha visto como descomponer el producto Kronocker de dos RIsen suma de RIs y tambien se ha dicho que el espacio de representacionde la representacion producto esta engendrado por las funciones productoψ(µ)

i φ (ν)j

Como se comento despues de (4.7.3), la descomposicion de un produc-to Kronecker es directa. Cuando se trate del producto de dos RIs entoncesse usa una notacion especial,

D(µ)×D(ν) = ∑λ(µνλ )D(λ)

Esta expansion se llama serie de Clebsch-Gordan. El producto Kroneckeres comutativo por lo que (µνλ ) = (νµλ ). Evidentemente estos coeficientesson enteros no negativos.

EJERCICIO: Demostrar que si los caracteres de un grupo G son todos realesentonces (µνλ ) es totalmente simetrico en sus tres ındices.

Un problema importante es encontrar las nλ funciones base de cadauna las representaciones que aparecen en la descomposicion de un pro-ducto Kronecker. Estas seran combinaciones lineales de las funciones pro-ducto que engendran el espacio de la representacion producto. Un ejemplode esto se tiene en el problema 4.8c. Si sucede que un (µνλ ) es mayorque uno es necesario construir mas de una base para la representacion(λ ). Esto implica que las funciones encontradas llevaran no solo los ındicesλ (que denota la RI), i (que enumera las distintas funciones base de esarepresentacion) sino ademas un ındice τλ que distingue a las funcionesbase de los distintos espacios de representacion (λ ). Los τλ toman (µνλ )valores. Lo que se debe obtener es,

φ (λ ,τλ )i = ∑

j,ℓ

(µ j,νℓ|λτλ i)ψ(µ)j φ (ν)

ℓ (4.11.1)

Los coeficientes de esta expansion se denominan coeficientes de Clebsch-Gordan.

El numero total de funciones φ (λτλ )i tiene que ser igual al numero total

de funciones producto:

∑λ(µνλ )nλ = nµnν



de modo que los coeficientes de C-G definen una matriz de grado nµnnu. Enla seccion 5-7 del libro de Hamermesh puede encontrarse mas propiedadesgenerales de estos coeficientes.

Un caso importante de considerar separadamente es el del grupo derotaciones propias SO(3). Se quiere calcular la serie de Clebsch-Gordancorrespondiente al producto D(ℓ1)×D(ℓ2). Esto se logra facilmente si se re-cuerda que χ (ℓ)(α) = ∑ℓ

m=−ℓ exp(imα). En efecto, por (4.7.3) se tiene que,

χ (ℓ1×ℓ2)(α) = ∑ℓ1m1=−ℓ1

∑ℓ2m2=−ℓ2

ei(m1+m2)α

= ∑m1 ∑m2eiMα con M = m1+m2

Esta suma se escribe como una suma sobre M y sobre algun otro ındiceque se llamara L y cuyo rango debe ser determinado. Por esto se introducecoeficientes aL que se anularan fuera del rango correcto de L,

=∞

∑L=0

aL

L

∑M=−L

eiMα

Es claro que como cota maxima M sera ℓ1+ℓ2 lo que indica que L≤ ℓ1+ℓ2.Se ve ademas que hay solo un termino con M = ℓ1+ℓ2 por lo que aℓ1+ℓ2 = 1.Con M = ℓ1+ℓ2−1 hay dos terminos que son (ℓ1−1)+ℓ2 y ℓ1+(ℓ2−1) perouno de ellos ya se ha tomado en cuenta en la suma con L = ℓ1+ ℓ2 por loque aℓ1+ℓ2−1 = 1. Continuando el razonamiento de esta manera puede verseque todos los coeficientes no nulos son iguales a 1.

EJERCICIO: Demostrar que L≥ |ℓ1− ℓ2|.Por lo tanto,

χ (ℓ1×ℓ2)(α) =ℓ1+ℓ2

∑L=|ℓ1−ℓ2|

L

∑M=−L

eiMα =ℓ1+ℓ2

∑L=|ℓ1−ℓ2|

χ (L)(α)

Este ultimo resultado implica que las series de clebsch Gordan para elgrupo de rotaciones propias son,

D(ℓ1)×D(ℓ2) =ℓ1+ℓ2

∑L=|ℓ1−ℓ2|

D(L) (4.11.2)

Ver los problemas 4.14 y 4.15

4.11. SERIES Y COEFICIENTES DE CLEBSCH-GORDAN Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


4.12. Sistemas acoplados. Suma de momento an-gular

Sean dos sistemas cuanticos descritos por sendos Hamiltonianos H1(~r1)y H2(~r2) los cuales son invariantes bajo el mismo grupo de simetrıa. Sellamanra G a este grupo de simetrıa. Si los sistemas no interactuan mutu-amente entonces el Hamiltoniano total es,

Ho = H1(~r1)+H2(~r2)

y el grupo de simetrıa del sistema total es simplemente G×G. Esto quieredecir lo siguiente. Si se designa por ψ(µ)

i los estados del sistema 1 y φ (ν)j los

estados del sistema 2, funciones propias de los respectivos Hamiltonianos,entonces las funciones propias de Ho son las funciones producto y sobreellas se puede actuar con parejas de operadores (Og,Oh) de modo que elprimer operador actua sobre las funciones de ~r1 y el segundo sobre lasfunciones de~r2.

(Og,Oh)ψ(µ)i (~r1)φ

(ν)j (~r2) =

[

Ogψ(µ)i (~r1)

]

·[

Ohφ (ν)j (~r2)

]

y evidentemente el resultado es nuevamente una funcion propia de Ho co-rrespondiente al mismo valor propio. Esto es lo que quiere decir que elgrupo de simetrıa del sistema no acoplado sea G×G. En resumen, Ho esinvariante a cualquier (Og,Oh) donde g y h son elementos de G.

Supongase que existe una interaccion entre estos dos sistemas y quees del tipo

H = H1(~r1)+H2(~r2)+∇(‖~r1−~r2‖)Debido al termino de interaccion ya no se tendra la simetrıa G×G, puestoque no se puede actuar sobre~r1 independientemente que sobre~r2 porqueesto modifica el argumento del termino con ∇. Sin embargo, si se aplicala misma operacion a los dos vectores posicion el modulo de su diferenciapermanecera invariante y por lo tanto H no cambiara. En otras palabras, Hes invariante al subgrupo de G×G formado por las operaciones (Og,Og).Este subgrupo es isomorfo a G mismo por lo que se puede decir que elgrupo de simetrıa de H es G. Se tiene entonces un caso muy parecidoal de teorıa de perturbacion visto en §4.2, esto es, una simetrıa original,que aquı es G×G, luego disminuida—debido a un termino extra en elHamiltoniano—a la simetrıa G. Para saber el efecto que el acoplamientotiene sobre los niveles de energıa del sistema se debe saber descomponer



las RIs del grupo G×G en RIs del grupo G. Antes de ver esto se debe tenerclaro cual es la situacion fısica.

Como efecto de la existencia de niveles E1a y E1b de H1 y niveles E2a,E2b de H2 el sistema no acoplado tiene los niveles E1a +E2a,E1a +E2b,E1b +E2a,E1b+E2b cada uno de los cuales sufrira un desdoblamiento como efectodel acoplamiento. Las funciones propias de Ho que son simples funcionesproducto de las funciones propias de los sistemas constituyentes, ahoraque se tiene el acoplamiento, seran funciones que resulten de resolver unproblema dinamico. Sin embargo, a cero orden en teorıa de perturbacion sepuede seguir considerando simples combinaciones de las funciones pro-ducto como las funciones propias de H. Solamente aquella parte de lafuncion de onda que es totalmente determinada por la simetrıa (general-mente la parte angular) se obtiene en forma exacta. Otras observacionesque tambien podrıan hacerse son analogas a aquellas hechas al comienzode §4.5.

A los cuatro niveles energeticos de Ho mencionados mas arriba lescorresponde RIs de G×G que se construyen como producto directo delas correspondientes RIs de G, esto es, las representaciones son parejasordenadas de matrices del tipo D(a),D(b). Al restringirnos al subgrupo G,simetrıa de H, estas representaciones reductibles de G y correspondenprecisamente al producto Kronecker D(a)×D(b). De este modo el estudiodel desdoblamiento de los niveles de Ho se reduce a determinar las corre-spondientes series de Clebsch-Gordan para G.

Como ilustracion considerese dos partıculas moviendose en un poten-cial de simetrıa C3v. Para facilitar el lenguaje se llama electrones a estaspartıculas. En primera aproximacion se puede suponer que los niveles en-ergeticos del sistema estan principalmente determinados por el potencialde simetrıa C3v despreciando la interaccion entre los electrones. En estaaproximacion los niveles energeticos del sistema estan clasificados por lasRIs del grupo C3v×C3v, esto es, A1

⊕

A1, A1⊕

E, A2⊕

A2, A2⊕

E y E⊕

E.Si ahora se toma en cuenta la interaccion entre los electrones y se suponeque esta depende solo del modulo de la distancia entre ellos, se obtieneque el grupo de simetrıa se reduce a C3v y los niveles considerados orig-inalmente sufriran un desdoblamiento porque las representaciones men-cionadas arriba corresponden ahora a productos Kronecker que en gen-eral se descomponen en una suma de RIs de C3v. Para este caso tanparticular solo el producto E ×E es descomponible y por lo tanto solo losniveles clasificados originalmente con esta RI de C3v×C3v se desdoblan:E×E = A1+A2+E. Ası estos niveles del sistema no acoplado dan origen

4.12. SISTEMAS ACOPLADOS. SUMA DE MOMENTO ANGULAR Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


a tres niveles del sistema acoplado.

Notese que no se ha tomado en cuenta que los electrones son partıcu-las indistinguibles lo cual complica el analisis. Esto no se discutira por aho-ra.

El problema de encontrar las correspondientes funciones de onda acero orden en teorıa de perturbaciones se reduce al problema de encontrarlos coeficientes de Clebsch-Gordan que permiten construir funciones basepara las RIs de C3v a partir de funciones producto de funciones base deRIs de C3v.

Ver el problema 4.16

Un caso fundamental en fısica se puede plantear en forma analoga a lailustracion anterior cuando reemplazamos el grupo C3v por el grupo de rota-ciones. En este caso, para el sistema no acoplado los niveles energeticosestan clasificados por el par de numeros (ℓ1, ℓ2) que corresponden a losmomentos angulares de cada una de las partıculas. Cuando se acoplalas dos partıculas se debe desdoblar los niveles efectuando el productoKronecker de las dos RIs de O(3) que clasifican cada uno de los nivelesdel sistema no acoplado para determinar los desdoblamientos. Esto es, sedebe hacer uso de 4.11.2 para obtener de este modo que ahora los nivelesdel sistema acoplado estan clasificados con un valor de momento angulartotal L mientras los momentos angulares individuales ℓ1 y ℓ2 pierden sucaracter de numeros cuanticos propiamente. Como ya se explico al finalde §4.7 la paridad de los estados del sistema acoplado se obtiene simple-mente multiplicando la paridad de los estados constituyentes.

Las funciones de onda del sistema acoplado son aquellas que corre-sponden a los espacios de RIs, obtenida de la reduccion de los productosKronecker, esto es, seran las funciones que ya fueron descritas en formaabstracta en 4.11.1.

Concretamente para el grupo de rotaciones se tiene que

Y JM = ∑

m1,(m2=M−m1

( j1m1 j2m2|JM)Y jm1

Y j2m2

(4.12.1)

Los coeficientes de Clebsch-Gordan en este caso son tambien conocidoscomo coeficientes de Wigner o coeficientes de adicion vectorial y se en-cuentran en cualquier libro de mecanica cuantica.



4.13. Problemas

4.1 En base a los resultados del apendice §3.6 demuestre que los carac-teres de O(3) para las representaciones en que (4.3.9) no necesaria-mente se cumple, son

χ (ℓ,P)(R(α)) =sin[

(2ℓ+1)α2

]

sinα2

χ (ℓ,P)(σ) = (−)ℓ P (4.13.1)

χ (ℓ,P)(S(α)) = (−)ℓPcos[

(2ℓ+1)α2

]

cosα2

χ (ℓ,P)(I) = (2ℓ+1)P

donde P por definicion es el valor propio de I sobre los vectores basede la RI considerada.

4.2 Haga analisis similar al del apendice para los grupos D3 y D2d conℓ= 1,2,3.

4.3 Idem para el grupo O

4.4 Accion de U4 sobre los ψℓm± (θϕ)?

4.5 Hacer la expansion del potencial descrito arriba y verificar que la con-tribucion al cuarto orden es la indicada.

4.6 Encontrar la expansion mas general hasta el 4◦ orden en torno alorigen de un potencial de simetrıa C3v.

4.7 a) Demostrar que el producto Kronecker de una RI de un grupo porsu adjunta contiene, en su descomposicion, a la representacion trivialdel grupo una y solo una vez. b) D(α)×D(β) contiene a la R trivial⇔ α = β .

4.8 a) Descomponga los productos Kronecker F1× F1,F1× F2 y F2× F2

entre las RIs tridimensionales del grupo Td en suma de RIs de estegrupo.

b) Deduzca de que RI de Td son funciones base las coordenadasx,y,z. Sea D esta representacion.

c) Encuentre las funciones base de las distintas RIs que aparecenen la descomposicion de D×D como combinaciones lineales de losxix j,xi = x,y,z para i = 1,2,3.



4.9 En el apendice §3.6 se vio que las RI del producto directo de dosgrupos G1 y G2. Considere las RI del producto directo de un grupo porsı mismo, G×G. LOs elementos de este grupo son pares ordenados(g1,g2). La RI Dµ⊕ν de G = G×G induce una RR de G (se restringeG×G a los pares (g,g)). Obviamente G es isomorfo a G. Compareesta RR de G con la representacion Dµ×ν del producto KroneckerDµ(G)×Dν(G).

4.10 Sea una molecula que consta de cuatro atomos B en los verticesde un tetrahedro regular y en cuyo centro hay un atomo A. a) Cuales el grupo de simetrıa de este sistema? b) Diga cuales son las de-generaciones que puede esperarse para los niveles energeticos deeste sistema y cuantos tipos hay de posibles degeneraciones de ca-da grado posible. c) Calcule que efecto tendra sobre estos niveles sireemplazamos en la molecula uno de los atomos B por un atomo C.

Las funciones propias que ası obtenemos son tales solo a cero ordenen teorıa de perturbacion. Esto se debe a dos razones:

i) no podrıa ser de otro modo porque las funciones propias en-contradas son comb. lineales de las antiguas para un soo valorpropio, y por lo tanto siguen siendo funciones propias de H yno de H ′. Una funcion propia de H ′ debe ser expresada comocombinacion lineal de todas las funciones propias de H sin re-striccion a un valor propio fijo.

ii) Los grupos de simetrıa de tipo PUNTUAL solo actuan sobre θy ϕ pero no sobre r (dejado invariante por G puntual) de modoque si ponemos ψ = R(r) y (θϕ) vemos que el grupo de simetrıano toca la parte radial, no le impone condiciones y por lo tantocualquier efecto que V tenga sobre R(r) pasa desapercibido enel analisis.

4.11 Demostrar que las transiciones d.e., d.m., y c.e. tienen asociadas lasRI del grupo C3v : D(d.e.) = A1 +E,D(d.m.) = A2 +E y D(c.e.) = A1 +E.Deducir las correspondientes reglas de seleccion. Note en particularque en este caso las reglas de seleccion para las transiciones d.e. yc.e. son iguales.

4.12 Encontrar, para el grupo D2d , la representacion D(c.e.). Demuestre enparticular que tanto Tzz como Txx + Tyy transforman como ”funcionesbase”de la representacion A : 1; mientras Txx−Tyy esta en el espacio



de representacion de B1;Txy en el espacio de B2 y (Txz,Tyz) formanbase para el espacio de la RI E.

4.13 Demostrar que las componentes de un tensor simetrico de segundorango y traza nula forman base para la representacion ℓ = 2,P = +1del grupo O(3).

4.14 a) Calcule las distintas series de Clebsch-Gordan para el grupo D3h.b) Construya explicitamente matrices para todas las RIs. c) Elegidauna base en cada RI haga una tabla de los coeficientes de Clebsch-Gordan para este grupo correspondiente a todas las series de C-G

4.15 a) Determine las regals de seleccion para las transiciones d.e., d.m.y c.e. para un sistema cuyo grupo de simetrıa es D3h.

b) suponga que ahora nos interesan solamente las transiciones d.e.que emiten radiacion polarizada en direccion ⊥ al eje z. Deducir lasreglas de seleccion.

4.16 Considere el acoplamiento de dos sistemas con sendos grupos desimetrıa C6v. Describa el efecto que este acoplamiento (funcion solode la distancia entre los dos sistemas) tiene sobre los niveles en-ergeticos del sistema total.


Parte II

Representaciones de gruposde Lie

75

Capıtulo 5

Algunas Propiedades delgrupo sim etrico.

5.1. Presentaci on del grupo sim etrico

Ya se ha hablado sobre el grupo simerico en # 2 dandose ahı algu-nas propiedades basicas y parte de la notacion propia de este grupo. Estegrupo es de gran importancia tanto en fısica como en matematicas. Unade las aplicaciones importantes es la de permitir descomponer espaciosde tensores en subespacios irreductibles con respecto a cualquier grupode transformaciones lineales en n dimensiones una vez que las repre-sentaciones del grupo simetrico son conocidas. En fısica, al tratar con sis-temas de n partıculas identicas al grupo simetrico es parte del grupo desimetrıa del Hamiltoniano. La clasificacion de estados atomicos, nuclearesy de partıculas elementales depende en forma esencial de las propiedadesdel grupo Sn.

Dadas las limitaciones de longitud que tiene este curso y dada la longi-tud y complejidad que tienen muchas de las demostraciones de las propiedadesdel grupo simetrico nos tendremos que limitar en este capıtulo a dar unalista de resultados sin demostracion alguna.

Las RIs de Sn caen en una de las tres categorıas siguientes: i) la repre-sentacion trivial; ii) la representacion antisimetrica que asocia a cada per-mutacion par un + 1 y a cada permutacion impar un - 1; iii) el resto, queson todas representaciones fieles.

Las permutaciones (los elementos de Sn) son conjugadas si y solo si

77


tienen una misma estructura de ciclos. Ejemplo las 5 clases conjugadas deS4 son,

1) e

2) (12), (13), (14), (23), (24), (34)

3) (12) (34), (13) (24), (14) (23)

4) (123), (132), (124), (134), (143), (234), (243);

5) (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432).

Estas clases se denotan respectiamente:

(4◦3◦2◦14) 6 (14) cuatro monociclos (0004)(4◦3◦2112) 6 (2,12) un biciclo, de dos monociclos (0012)(4◦3◦221◦) 6 (22) dos biciclos (0020)(4◦312011) 6 (3,1) Un triciclo, 1 monociclo (0101)(413020) 6 (4) Un tetraciclo. (1000).

En general una clase de Sn se denota

(nνn,(n−1)νn−1, · · ·2ν2,1ν1) o siplemente (νn νn−1, · · ·ν1) = (ν)

Es claro de aquı quen

∑k=1

kνk = n

Esta ecuacion es una particion de n en n enteros no negativos,

n = 1+ · · ·+1+2+ · · ·+2+ · · ·

A cada clase conjugada de Sn le corresponde una particion de n en nenteros no negativos y recıprocamente.

Cada una de estas clases tiene un numero de elementos dado por

γ(ν) =n!

Πnk=1kν k(νk)!

5.1. PRESENTACION DEL GRUPO SIMETRICO Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


5.2. Moldes de Young y las RIs de Sn

Puesto que el numero de clases conjugadas y el numero de RIs co-incide para todo grupo finito entonces es natural que ahora asociemos acada particion de n en n enteros no negativos una RI de Sn.

Llamaremos λi a estos enteros y por definicion cumplen con

λ1≤ λ2 · · · ≤ λn

n

∑i=1

λi = n

Dada una particicion [λ ] = (λ1,λ2 · · ·λn) definimos lo que llamaremos moldede Young [λ ] como el siguiente diagrama

λ1 cuadrados, λ2 cuadrados ... λn cuadrados.

A cada molde de Young se le asocia una RI de Sn cuya dimension secalcula como sigue:

1) Se escribe en los cuadrados del molde los numeros de 1 al n dis-tribuidos en todas las formas posibles compatibles con las reglas quesiguen.

2) En cada renglon los numeros leıdos de izquierda a derecha crecen.

3) En cada columna los numeros leıdos de arriba hacia abajo no decre-cen.

4) La dimension de la RI esta definida como el numero de tablas difer-entes que se puede construir de esta manera con el molde dado.

En general se llama tabla de Young a un molde de Young cuyos cuadra-dos tienen numeros escritos en ellos. Las tablas de Young que satisfacenlas reglas 2) y 3) anteriores se llaman tablas regulares de Young.



Como ejemplo calculemos la dimension de la RI de S4 que tiene aso-ciada el molde de Young (2110). Las posibles tablas de Young de acuerdoa las reglas anteriores son

1 2 1 3 1 43 2 24 4 3

lo que muestra que esta RI de S4 tiene dimension 3.

Este grupo tiene 5 clases conjugadas y por lo tanto 5 RIs que cor-responden a las cinco particiones posibles de 4: (4000), (3100), (2200),(2110), (1111) a las que corresponde los moldes

xxxx xxx xx xx xx xx x x

x xx

respectivamente y las dimensiones de estas RI en el mismo orden son,1,3,2,3,1.

Si cambiamos columnas por renglones en un molde de Young se ob-tiene nuevamente un molde de Young, que llamaremos asociado. De aquıse obtiene en forma natural que a cada RI [λ ] le podemos asociar otra RI,la RI asociada a [λ ] : [λ ].

Para el caso de S4 las asociaciones son como sigue, (4000)←→ (1111)(3100)←→ (2110). La RI (2200) es autoasociada.

Las RIs asociadas tienen la misma dimension. Los caracteres de RIsasociadas coinciden en valor absoluto y el signo relativo es + o - segun sila clase conjugada es par o impar.

PROBLEMA 22.1: Calcule la dimension de todas las RIs de S7.

PROBLEMA 22.2: Demostrar que el producto Kronecker de una RI de Sn porotra RI contiene en su descomposicion a la representacion antisimetrica(aquella asociada al molde de Young que consta de una sola columna den cuadrados) una vez si y solo si las RIs son mutuamente asociadas, ycontiene a la representacion trivial (molde de una fila) una vez si y solo silas representaciones son iguales.

5.2. MOLDES DE YOUNG Y LAS RIS DE SN Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


5.3. Proyectores de Young

Hasta ahora se ha visto como calcular la dimension de las RIs cor-respondientes a cada molde de Young pero las RI mismas no han sidodefinidas.

Para cumplir con este ultimo lo que se hara es definir proyectores a losvectores base de los espacios de las distintas RIs del grupo Sn.

En #8 ya se vio la manera de construir proyectores sobre los vec-tores base una vez que la RI era conocida matricialmente, aquı , al reves,primero definiremos los proyectores a partir del grupo mismo (no de lasmatrices que no se conocen) y por lo tanto queda fijada una base a priori.

Evidentemente si construimos una representacion en forma independi-ente y para ella determinamos los proyectores (8.10) estos no tienen porque coincidir con los proyectores que definiremos aquı .

En la seccion anterior se definio un metodo para calcular la dimen-sion de las RIs, contando el numero de tablas de Young que podıa con-struirse que satisfacieran con cuatro reglas ahı enunciadas. Esto significaentonces, que hay tantas tablas como vectores base necesita el espaciode esa representacion. Aquı definiremos un proyector por cada tabla deYoung dada.

Sea la tabla que sigue una de las tablas definidas en #22,

a11a1

2 a13a1

4 · · ·a1i · · ·a1

λ1

a21 a2

2 · · · a2i · · ·a2

λ2

a ji · · ·a

jk · · ·

Esta tabla de Young esta asociada al molde [λ ] = (λ1λ ) con ∑λi = n yλ1≤ λ2≤ ·· ·λn. Los numeros a j

i son los n enteros 1, 2, · · ·n sin que ningunose repita.

Definimos los operadores Pj como la suma de todas las permutacionesde los numeros a j

1,aj2,a

j3 · · ·a

jλ j

, que aparecen en la fila j de la tabla. Habra tan-to de estos operadores como filas tenga la tabla que estamos consideran-do. Con estos Pj definimos al operador

P = Π j Pj



Definamos tambien los operadores Qi como la suma, con el signo de laparidad de la permutacion, de todas las permutaciones de los numerosa1

i ,a2i ,a

3i · · · que aparecen en la columna i de la tabla. Con estos operadores

se define el operadorQ = Πλ1

i=1Qi

El operador proyector de Young se define como

Y{aij} =

dim[λ ]n!

·QP .

Por ejemplo,

P132 = e+(12)

Q 132 = e− (13) ⇒ Y1

32 =13(e+(12)− (13)− (123))

PROBLEMA 23.1: Determine todos los proyectores asociados a las distintasRIs de S4 (compruebe que para uno de ellos se cumple que Y 2 = Y ) ydemuestre ademas que la suma de todos ellos es exactamente el operadoridentidad.

5.4. Producto externo entre RIs de distintos Sn

El producto externo entre RIs que aquı definiremos es un productoentre representaciones de distintos grupos simetricos y no tiene ningunaconexion con el producto Kronecker entre representaciones el cual esta definidosolo entre RIs del mismo grupo. El prdoducto externo entre una RI delgrupo Sn−r y una RI del grupo Sr da como resultado una RR del grupoSn.

a continuacion se da una regla para calcular este producto dando in-mediatamente la descomposicion de la RR de Sn en suma de RIs.

- Regla para el calculo del producto externo [λ ]⊕

[λ ′].

a) Se escriba la letra .a.en los cuadrados de la primera fila del molde [λ ′].Se escribe la letra ”b.en los cuadrados de la segunda fila del moldeλ ′. Etc. En cada fila se escribe una letra diferente.

b) Los cuadrados de la primera fila de [λ ′] son agregados al molde [λ ]de todos los modos posibles cuidando que

5.4. PRODUCTO EXTERNO ENTRE RIS DE DISTINTOS SN Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


i) los moldes obtenidos tengan λ1≤ λ2≤ ·· · y

ii) que nunca dos letras iguales queden en la misma columna.

c) A los moldes obtenidos se les agrega la segunda fila siguiente lasc.etc.

Ejemplo Se agregan las .a.al primer molde,

y ahora se agrega las ”b.a los molde obtenidos

De donde se deduce que

PROBLEMA 24.1: Calcule los siguentes productos externos entre RIs de S3

y S4 : (21)⊕

(22),(31)⊕

(3),(111)⊕

(211).

Como ya se ha dicho, el grupo simetrico es parte del grupo de simetrıade un sistema de n partıculas identicas. Si tenemos un sistema de 4 partıcu-las identicas y otro de tres, entonces, los niveles de estos sistemas estaranclasificados de acuerdo a las RIs de S4 y S3 respectivamente.

Si ponemos estos dos sistemas a interactuar, entonces se tendra unsistema de 7 partıculas y los niveles del nuevo sistema tendran que serclasificados de acuerdo al grupo S7. La manera de obtener las RIs delsistema total que clasificaran a los nuevos niveles es precisamente ha-ciendo el producto externo entre las RIs correspondientes a los sistemasoriginales. Ası por ejemplo si el primer sistema estaba en el nivel corre-spondiente a la RI (22) y el segundo en un nivel clasificado por la RI(21)se deduce de (24.1) que por efecto de la interaccion este nivel del sistematotal se desdobla en 5 niveles correspondientea a 5 RIs de S7.

PROBLEMA 24.2: Se tiene un sistema de 4 fermiones identicos; el grupode simetrıa es S4 y el principio de Pauli exige que la funcion de onda deun estado estacionario este en el espacio de la RI antisimetrica de S4.a) Construya una tal funcion a partir de ψ(x1x2x3x4) = t(1)u(2)v(3)w(4). b)Verifique que la solucion puede escribirse como un determinante de 4×4.



5.4. PRODUCTO EXTERNO ENTRE RIS DE DISTINTOS SN Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Capıtulo 6

Grupos de Lie

6.1. Definiciones b asicas

En lo que sigue se describe una clase de grupos continuos provistosde una estructura topologica. Esto quiere decir que existen los conceptosde vecindad de un elemento del grupo, el concepto de conjunto abiertoo cerrado de elementos del grupo y tambien los conceptos de conjuntosconexos y caminos continuos entre dos elmentos. Como se trata de gru-pos tambien hay una ley de multiplicacion y se exige que esta sea unaaplilcacion continua de G×G→ G. Si todo esto ocurre se habla de grupostopologicos.

De todos los grupos topologicos posibles nos interesaremos solamentepor aquellos cuyos elementos puedan ser caracterizados por parametrosreales y continuos a1,a2, · · · ,an de modo que la topologıa del grupo sea fiel-mente reproducida por la topologıa del espacio topologico de los paramet-ros. Esto es, elementos cercanos tienen parametros casi iguales. Un ejem-plo importante es el grupo de rotaciones en tres dimensiones cuyos ele-mentos pueden caracterizarse por θ ,φ ,α . Los angulos θ ,φ definen el ejede rotacion y α la magnitud de la rotacion. Se hablara en general de ungrupo topologico de m parametros si no es posible parametrizar dos ele-mentos del grupo con menos de n parametros y sı se puede hacer con nparametros. Fijando los valores de los parametros debera quedar definidoun unico elemento del grupo pero el recıproco no tiene por que ser cierto;puede ocurrir que fijado un elemento del grupo a este pueda hacersele cor-responder mas de un conjunto de valores de los parametros. Un elementotıpico sera denotado g(a1a2a3 · · ·an).

85


El producto de dos elementos

g(a1a2 · · ·an)g(b1b2 · · ·bn) = g(c1c2 · · ·cn)

queda totalmente definido dando la dependencia funcional de los cλ en losa y los b.

Un grupo de LIe es un grupo topologico parametrizable con un numerofinito de parametros reales y tal que las funciones

cλ = φλ (a1 · · ·an;b1 · · ·bn)

que definen completamente la ley de multiplicacion (25.1) del grupo sonfunciones analıticas.

Aparte de los n parametros continuos hay veces que se hace necesarioel uso de un ındice discreto para caracterizar completaqmente los elemen-tos de un grupo de Lie, en tal caso se dice que el grup es disconexo, encaso contrario el grupo es conexo. Aquı hemos supuesto que los paramet-ros varıan en un rango continuo. El grupo de rotaciones propias SO(3) esun ejemplo de grupo conexo y tambien lo e el grupo propio de LorentzL↑+ = SO(3,1). Ejemplos de grupos disconexos son el grupo completo derotaciones O(3) y el grupo completo de Lorentz; estos dos grupos tienenentre sus elementos la inversion y rotaciones impropias que pueden serdistinguidas de las rotaciones propias por un ındice discreto.

Se dice ademas que un grupo de Lie es compacto si el espacio topologi-co de los parmetros es un espacio compacto, esto es, cerrado y acotado.Por ejemplo, el grupo SO(2) de las rotaciones en un plano alrededor de unpunto fijo tiene un solo parametro θ cuya variacion es 0≤ θ ≤ 2π. El valorθ = 2π se identifica con el elemento identidad del grupo, θ = 0 con lo uqeel espacio de los parametros de SO(2) es topologicamente equivalente a lacircunferencia (ya que los puntos .extremoscoinciden) y por lo tanto se tratade un grupo compacto.

A continuacion definimos algunos grupos de Lie clasicos a traves dematrices de N ×N. De esta manera concreta se define la estructura ab-stracta de diversos grupos, esto es, la ley de multiplicacion. Ciertos gruposlos definiremos, por ejemplo, con matrices unitarias de N×N; esto fija elnumero de parametros del grupo pero de ningun modo significa que lasmatrices de otras RI del grupo tengan esta propiedad de unitariedad.

Matrices complejas

A+g A = g AT JA = J

6.1. DEFINICIONES BASICAS Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


GL(N,C) U(N−S,S)

detA = 1 SL(N,C) SU(N−S.s) N es parSp(N,C)

Matrices realesAT gA = g AT JA = J

GL(N,R) O(N−S,S)

SO(N−S,S) N es par Sp(N,R)

Aquı g = ( )N − SS

J =

(

0 1−1 0

)

N2

Ademas de los grupos Sp(N,R) y Sp(N,C) se define Sp(N,−S,S) = U(N−S,S)∧Sp(N,C)

Grupos clasicos de Lie definidos a traves de matrices unimodulares deN×N:

Compacto rango #de parametrosSU(N−S,S) paraS = 0 N−1 N2−1

AN−1 SU(N,R) no N−1

SO(N−S,S) paraS = 0 (N−1)/2 (N−1)N/2B N−1

2(N impar)

Sp(N−S,S) paraS = 0 N/2 N(N +1)/2Sp(N,R) no

CN/2 (en ambosN es par)

DN/2 SO(N−S,S) paraS = 0 N/2 (N−1)N/2



6.2. Transformaciones infinitesimales

Sea x un vector arbitrario del espacio de dimension N de la repre-sentacion natural de un grupo de Lie. Sea D(a1 · · ·an) la matriz que rep-resenta la accion del elemento g(a1 · · ·an) sobre el espacio de los x.

x’ = D(a1 · · ·an)x

que por componentes escribimos como

x′i = f i(x′ · · ·xN ;a1 · · ·an)

que a menudo denotaremos en la forma abreviada,

x’ = f(x;a)

En particular, sean (a◦1 · · ·a◦n) = a◦ los valores de los parametros que carac-terizan el elemento neutro del grupo, e = g(a◦). En tal caso se tiene que

x = f(x;a◦).

Consideremos ahora una transformacion que difiere infinitesimalmente dela identidad,

x′i = xi +dxi = f i(x;a◦+ d a).

Haciendo un desarrollo de Taylor de f i alrededor de a◦,

= f i(x;a◦)+daσ (∂

∂aσf i(x;a))

∣

∣

∣

∣

x = (da2

a = a◦

= xi +daσ uiσ (x)

de donde se tiene quedxi = uiσ (x)daσ .

En las expresiones anteriores la suma sobre el ındice σ se ha dejado im-plıcita.

Ahora pasemos a definir los generadores infinitesimales de las trans-formaciones de un grupo de Lie, que juegan un papel fundamental.

Sea F(x) una funcion arbitraria diferenciable de los x = (x1 · · ·xN) ysometamos a los x a una transformacion infinitesimal del grupo en estu-dio. Esta variacion induce una variacion infinitesimal de la funcion F,

dF(x) = ∂F∂xi dxi

= ∂F∂xi uiσ (x)daσ

= daσ (ui (x) ∂∂xi )F(x)

= idaσ Ξσ F(x)

6.2. TRANSFORMACIONES INFINITESIMALES Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


donde se ha definido

χσ =−iuiσ (x)∂

∂xi

generador infinitesimal correspondiente al parametro σ del grupo.

En todas las expresiones anteriores se entiende una sumatoria sobrelos ındices repetidos.

Como ilustracion consideremos el grupo SO(N) de las rociones propiasy que actuan naturalmente sobre un espacio real de dimension N. En par-ticular analicemos el caso de una rotacion el en plano xrxs (Las rotacionespueden siempre caracterizarse por un plano, eje de rotacion existe solo enlos espacios de dimenion impar),

x′r = xr cosθ − xs sinθ = f r(x;θ)x′s = xr sinθ + xs cosθ = f s(x;θ).

Aquı estamos considerando un solo parametro, θ , asociado a las rotacioneen el plano xrxs. Facilmente podemos calcular las derivadas de f r y f s

para θ = 0, lo ucla define los u que reemplazamos en la definicion de losgeneradores para obtener

χrs =−i(xr ∂∂xs − xs ∂

∂xr )

que reconocemos como (esencialmente) un operador de momento angularen un espacio de dimension N.

6.3. Algebras de Lie

Un grupo de Lie de n parametros tiene n generadores infinitesimales χσ .Con estos generadores es posible definir un algebra gracias a la propiedadde los generadores de que cualquier commutador de dos generadores deun grupo de Lie es expresable como una combinacion lineal de los gener-adores del mismo grupo,

[χρ ,χσ ] = icτρ (suma sobre τ),

Un caso muy conocido es el de los generadores del grupo de rotaciones,SO(3), definidos por (26.6): L1− χ23,L3 = χ12 etc., que satisfacen,

[Li,L j] = i ∈i jk Lk



Los coeficientes Cτρσ de un grupo de Lie con parametros reales son siempre

reales y se denominan constantes de estructura del grupo.

Estos coeficientes no dependen de la representacion del grupo queconsideremos, solo depende de la forma como parametricemos los ele-mentos del grupo. En otras palabras, a un cambio de parametrizacion delgrupo le corresponde un cambio de los generadores del grupo y vice versa,a un cambio de generadores corresponde una parametrizacion diferente.

Vamos a llamar algebra de Lie A asociada al grupo de Lie G al conjuntode todas las combinaciones lineales de generadores de G con coeficientesreales, provisto de la operacion ”tomar el commutador”, y la operacion detomar combinaciones lineales. Ası un algebra tiene por un lado la estruc-tura de un espacio lineal (vectorial) y por otro la aplicacion A×A sobreA que da el commutador. Los generadores del grupo juegan el papel devectores base del espacio lineal.

De (27.1) es directo que

Cτρσ =−Cτ

σρ

y ademas, debido a la identidad de Jacobi,

Cτρσ Cν

τµ +Cτσ µ Cν

τρ +Cτµρ Cν

τσ = 0.

Muchas de las propiedades de los grupos de Lie se reflejan en propiedadesdel algebra y concretamente en propiedades de las constantes de estruc-tura.

Por ejemplo, si un grupo es abeliano entonces necesariamente las cor-respondientes constantes de estructura son todas nulas.

Si definimos ademas

gµν = gν µ = λ Cβµα Cα

νβ ,λ se elige arbitrariamente

entonces se afirma (teorema) que un grupo de Lie es semisimple si y solosi det g 6= 0. Si el grupo de Lie es ademas compacto entonces siempre sepuede encontrar una base del algebra (una parametrizacion) tal que gµνsea proporcional a un δµν (delta del Kronecker).

Sucede que distintos grupos de Lie suelen tener asociada la mismaalgebra de Lie. Lie. Estos grupos se dice que son localmente isomorfos.Este es el caso, por ejemplo, de SU(2) con SO(3) y tambien el caso deSO(3,1) con SL(2,C).

6.3. ALGEBRAS DE LIE Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


PROBLEMA 27.1: Demostrar que los

Cλ µν = gλρCρµν

son objetos totalmente antisimetricos.

PROBLEMA 27.2: Calcular los gµν correspondientes al algebra SO(3) dadapor las relaciones de commutacion (27.2).

PROBLEMA 27.3: Definamos gµν = (g−1)µν o bien gµλ gλν = δ νµ y definamos

el operador de Casimir C ≡ gµνXµXν

Demostrar que este operador conmuta con todos los elementos delgrupo.

PROBLEMA 27.4: considere al grupo de transformaciones unitarias unimod-ulares que actuan sobre un espacio bidimensional complejo de vectores

(

Z1

Z2

)

parametrizado como sigue

z1 = ei(α+γ)/2 cosβ2 z1− e−i(α−γ)/2sin β

2 z2

z2 = ei(α−γ)/2sin β2 z1+ e−i(α+γ)/2 cosβ

2 z2

a) Compruebe que se trata de un grupo b) Encuentre los generadoresχα y χβ , defina ademas χ3 = −i[χα ,χβ ] y encuentre las relaciones de con-mutacion entre estos tres generadores.

PROBLEMA 27.5: a) Expresar la matriz que multiplica al vector

(

Z1

Z2

)

del problema anterior como combinacion de las matrices de Pauli. b) Luegoexpresarla como un producto de tres exponenciales de la forma exp. (iaσ3)exp. (ibσ2) exp (icσ3) c) Finalmente escribir esta matriz en forma de unasola exponencial exp(i/2a jσ j).

PROBLEMA 27.6: Definimos el algebra del grupo SO(n,m) a traves de lasrelaciones de conmutacion.

[χAB,χCD] = i(gACχBD−gADχBC−gBCχAC)



con AAB = 0siA 6= B, gAA =

{

+1,A = 1,2, · · · ,n−1,A = n+1, · · · ,m+n

− χAB = χBA

a) Verifique que para SO(3,0) se obtiene el algebra (27.2)

b) Considere el algebra SO(4,0≡ SO(4). Definiendo

Li =∈i jk χ jk(i, j,k = 1,2,3 sin suma) y ademas Mi = χi4 encontrar lasrelaciones de conmutacion entre los operadores

Ii =Li +Mi

2,Ki =

Li−Mi

2

Debido a que los I conmutan con los K mientras entre ellos satisfacen elalgebra (27.2) entonces se dice que SO(4) = SO(3)×SO(3).

6.4. Conexi on y grupo cobertor universal

Para introducir el concepto de grupo de Lie multiplemente conexo con-sideremos por un momento el grupo SO(3). Asociemos a cada rotacionRθ φ(α) un punto en el interior de una esfera de radio π de la manera quesigue. Dibujemos el radio de la esfera definido en la direccion θφ (angulospolares, 0≤ θ ≤ π,0≤ φ ≤ 2π) y seleccionamos en este radio el punto queesta a distancia α del centro, −π ≤ α ≤ +π. De esta manera a cada puntde la esfera solida le corresponde una unica rotacion y a cada rotacion lecorresponde al menos un punto de la esfera. Puesto que una rotacion enπ alrededor de un eje arbitrario y otra en −π alrededor del mismo eje pro-ducen el mismo efecto entonces las identificamos. A ellas les correspondepuntos sobre el manto de la esfera que estan diametralmente opuestos ytambien los identificamos. De este modo queda definido el espacio de losparametros de SO(3) el cual es compacto y por lo dicho anteriormente lascurvas que siguen son cerradas,

La sucesion de diagramas que sigue, muestra que las curvas del tipoc3 pueden ser deformadas continuamente al tipoc1(”c3) es equivalente a(c1”).

PROBLEMA 28.1: Demostrar en forma analoga que la curva cerrada c4 dela figura puede ser deformada continuamente a una del tipo c2. Pero c1 yc2 son curvas cerradas no equivalentes.

6.4. CONEXION Y GRUPO COBERTOR UNIVERSAL Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


El espacio de parametros de SO(3) tiene dos tipos de curvas cerradasno equivalentes, por esto se dice que SO(3) es doblemente conexo.

Hay grupos de Lie con cualquier grado de conexion, incluso los hayinfinitamente conexos. Los grupos de Lie para los cuales todas las vurvascerradas son topologicamente cerradas se llaman simplemente conexos.

Cada algebra de Lie A tiene asociada una familia de grupos de LieGa todos los cuales tienen asociada A como su algebra. En estas familiassiempre existe un unico grupo (salvo isomorfismos) G que es simplementeconexo. Este grupo se denomina el grupo el grupo cobertor universal decada uno de los grupos de la familia. El grupo cobertor de SO(3) es SU(2).En esta seccion se supne que los grupos que estamos considerando sonconexos.

Los elementos de un grupo simplemente conexo siempre pueden serescritos en la forma de una exponencial cuyo exponente es una combi-nacion lineal de los generadores infinitesimales,

=g (a1 · · ·an) = exp(iaλ χλ ).

Aquı se ha supuesto que los valores de los parametros que caracterizana la identida del grupo son todos nulos, a◦i = 0 para todo i. Esto ya se havisto ilustrado en la parte c del problema 27.5. La forma (28.1) tambienpuede usarse con grupos que noson simplemente conexos peropara evitarambiguedades grupo (ver #29). Es evidente de (28.1) que los grupos asırepresentados son conexos, puesto que al hacer tender los distintos ai acero se llega continuamente al elemento neutro del grupo. Para grupos noconexos si partimos de un elemento que esta en una parte del grupo dis-conexade la identida entonces por definicion no existe un camino continuodesde este elemento del grupo hasta el elemento neutro.

6.5. Representaciones de grupos de Lie

Las representaciones de grupos de Lie tienen todas las propiedades en#5 mas dos propiedades adicionales que debe exigirse,

i) Los operadores Og deben ser operadores acotados

< ψ |Og|ψ >< ∞ para todo ψ ∈ L



ii) Los elementos de matriz < ψ |Og|φ > deben ser funciones continuasde los parametros del grupo.

La primera exigencia es automatica cuando tratamos representacionesde dimension finita.

Dada una representacion de un grupo G de Lie queda automaticamenteinducida una representacion del algebra con matrices de la misma dimen-sion.

Si D(G) es una representacion unitaria, o sea,

O+g = O−1

g

esto implica que la representacion inducida del algebra D(A), es una rep-resentacion hermetica,

χ+ = χ .

Esto es implicado trivialmente en el caso en que podamos escribir (28.1).

Puesto que las represenaciones de grupos de Lie deben ser matricescuyos elementos son funciones continuas de los parametros del grupo,a veces es inevitable que se tenga representaciones multivaluadas. Estoocurre si y solo si el espacio de los parametros es multiplemente conexo,con multiplicidad mayor o igual a 2. Se demuestra que las representacionesde un grupo de Lie son a lo mas k valuadas si el grupo tiene una muti-conexion de grado k.

El grupo de rotaciones es biconexo y por lo tanto tiene representacionesa lo mas bivaluadas. El grupo cobertor SU(2), que por definicion es simple-mente conexo, tiene solamente representaciones univaluadas.

Propiedades de las representaciones de grupos de Lie.

- Toda RR de un grupo de Lie compacto es equivalente a una RR uni-taria y por lo tanto es descomponible.

- Toda RI de un grupo de Lie compacto es de dimension finita.

- Como se vio en #27 si un grupo de Lie es semisimple entonces det.g 6= 0 por lo que existe g−1 y el operador de Casimir (27.8) conmuta contodos los elementos del algebra (y por lo tanto de grupo) y por el teoremade Schur se tendra que en cada RI

C = c1

donde c es un numero que parcialmente caracteriza a la RI en cuestion.

6.5. REPRESENTACIONES DE GRUPOS DE LIE Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


- Puesto que par alos grupos compactos g puede escribirse propor-cional a un delta de Kronecker, entonces en esa base del algebra el oper-ador de Csimir es

C = β ∑i

χ2i

Un ejemplo tıpico es el del grupo de rotaciones para el cual C es esencial-mente J2 que en cada RI toma el valor numerico j( j + 1) con j entero osemientero. En el caso de SO(3) basta j para caracterizar totalmente lasRIs de este grupo.

- El numero maximo de operadores linealmente independientes delalgebra que conmutan entre sı se llama rango del algebra y se denotapor r. Las RIs de los grupos compactos se pueden clasificar naturalmentedando el valor de r numeros caracterısticos. En #25 se dio el rango dealgunos grupos de Lie clasicos.

PROBLEMA 29.1: Discutir la reducibilidad de la R bidimensional de los reales

χ →(

1 x0 1

)

6.6. Representaciones tensoriales de algunos gru-pos de Lie

Ya hemos visto en las Secs. 16-19 la manera de construir representa-ciones producto, la reduccion de estas y la obtencion de las funciones basea partir de productos de funciones base de las representaciones originales.Consideramos ahora un grupo G de transformaciones lineales sobre un es-pacio de dimension N, esto es, alguno de los grupos tabulados al final de# 25.

Tomemos como ejemplo el caso de GL(N,C). Sea A una de las matricesde N×N que actua sobre el espacio LN de los vectores (complejos) x.

x′ = Ax o x′i = Ai jx j

Consideremos ahora las N2 cnantidades xiyi que pueden construirse multi-plicando las componentes de dos vectores x e y de LN . al efectuar la trans-formacion lineal representada por la matriz A estas cantidades transformande acuerdo a,

x′iy′ j = AikA j1xky1



De modo que estas N2 cantidades transforman de acuerdo al productoKronecker definido en (16.1) de la transformacion A por sı misma, A×A.

Un conjunto de N2 cantidades F i j que transforman de acuerdo a

F i j = AikA j1Fk1

forman un tensor F.. de rango dos, con respecto al grupo G considerado.Esto se generaliza para definir tensores un rango p arbitrario que transfor-man como sigue,

F ′i1· · · ip = Ai1 j1iA2 j2 · · ·Ai p j pF j1 j2 · · · jp

De esta manera hemos generado, a partir de una representacion de dimen-sion N del grupo G, una representacion de dimension N p del mismo grupoG. Si N y p son diferentes de la unidad la representacion ası obtenida essiempre reductible. El problema que ahora veremos es el de aprender areducir estas representaciones a RIs.

Veremos ahora que los tensores con simetrıa bien definida forman unespacio invariante a la accion del grupo. A cada molde de Young [λ ] =(λ1 · · · · · ·λ2 con ∑λi = p le corresponden tensores de rango p con ese tipoparticular de simetrıa, definida por el correspondiente proyector de Young(defindo en #23). Para que esto se entienda bien definimos la accion deuna permutacion sobre un tensor del siguiente modo: la trasposicion (12)intercambia el primero y segundo ındice sin importar que valores tienenestos, ası (12)F13524=F31524mientras que la accion de (35) sobre el mismotensor da F13425. Esto es, las permutaciones actuan sobre el lugar queocupan los distintos ındices.

Los proyectore de Young para p= 2 son Y12=12 {e+(12)} y Y1

2= 1

2 {e− (129}que al actuar sobre un tensor F i j nos define los tensores

Si j =12(F i j +F ji) y T i j =

12(F i j−F ji)

La simetrıa de estos tensores es preservada trivialmente. Por ejemplo,

T ′i j = AikA j1T k1 mientras que T ′ ji = A j1AikT 1k

de donde vemos que ambos casos las componentes de A que aparecenson las mismas y sabemos que T k1 =−T 1k por lo que T ′k1 =−T ′1k, q.e.d.

Esto implica que al menos para tensores de segundo rango los ten-sores simetricos transforman en tensores simetricos y lo mismo hacen los

6.6. REPRESENTACIONES TENSORIALES DE ALGUNOS GRUPOS DE LIEFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


antisimetricos entres sı . Dicho en otras palabars, los tensores simetricosforman un espacio invariante a la accion del grupo considerado y los ten-sores antisimetricos forman un espacio invariante: son espacios de repre-sentacion del grupo.

PROBLEMA 30.1: Demostrar que los tensores de rango p de simetrıa biendefinida forman un espacio invariante bajo el grupo considerado.

Para los grupos lineales generales GL(N,RoC) los elementos de matrizAi j no estan sujetos a ninguna restriccion por lo que el unico metodo dereduccion del espacio de los tensores de rango p es el de simetrizacion.

Por esto, los tensores de rango p de simetrıa bien definida forman unabase de RI para los grupos lineales generales.

Los ındices de los tnsores que estamos discutiendo varıan de 1 a N.Si el molde de Young contiene mas de N filas entonces por lo menos unode los ındices tendra que estar repetido en la primera columna lo cualhace que dicho tensor sea nulo. Ası pues, todos los tensores con estetipo de simetrıa seran trivialmente nulos, por lo que las simetrıas que efec-tivamente sirven par aclasificar los tensores irreudcibles con respecto aGL(N,RoC) se restringen a aquellas cuyos moldes de Young asociadostienen a lo mas N filas,

[λ ] = (λ1 · · ·λN) conN

∑1

λi = p

En resumen, para cada particion de p en N enteros no negativos λi,(λ1 ≤·· · ≤ λN) tenemos una RI del grupo general lineal que sera denotada sim-plemente [λ ]. Cada particion diferente da origen a una RI esencialmentedistinta, esto es, todas estas RI son no equivalentes. La dimension de es-tas RIs se calcula a traves de la formula:

dim(N)[λ ] =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(λ1+N1−1) (λ2+N1−2) · · · λ 1N

......

(λ1+N−1)N−1 (λ2+N−2)N−1 λ N−1N

(N−1) (N−2) · · · 1(N−1)2 (N−2)2 · · · 1

......

...(N−1)N−1 (N−2)N−1 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

y corresponde al numero de tablas regulares que puede hacerse a par-tir del molde [λ ] con los ındices 1,2, · · ·N con repeticiones (salvo en la mis-



ma columna).

Por ejemplo si N = 2 y [λ ] = (21) entonces las unicas tablas regularesque podemos construir con los ındices 1 y 2 son

11 y 122 2

; la formula (30.7) tamben nos da el valor 2.

El producto Kronecker de dos representaciones tensoriales irreductiblescuyos moldes de Young son [λ ] y [λ ′] se calcula haciendo el producto ex-terno de los moldes de Young (visto en #24). Debe tomarse en cuenta quealgunos de los moldes que resulten del producto pueden dar origen a ten-sores identicamente nulos como se discutira mas adelante.

6.7. RIs tensoriales de los grupos U(N),SL(N,R),SL(N,C)

En la seccion anterior vimos las RIs de los grupos generales linealesreal y complejo. Al restringirnos a los subgrupos enumerados en el tıtulode esta seccion sucede que los espacios que eran irreductibles bajo losgrupos generales continuan siendolo bajo estos subgrupos, de modo quepodemos continuar hablando de las representaciones [λ ] de estos grupos.Sucede sin embargo que esta vez algunas de las representaciones sonequivalentes. Para los grupos que estamos considerando las representa-ciones que corresponden a los moldes

(λ1,λ2, · · ·λN) y (λ1−λN ,λ2−λN · · ·λN−1−λN)

son equivalentes. Por lo tanto para estos grupos solo se necesita N − 1enteros no negativos para caracterizar las RIs no equivalentes. Las dimen-siones de estas RIs siempre se calcula con (30.7) teniendo cuidado que elnumero de enteros λi que debe usarse en el uso de esta formula es N.

Tambien es util saber que a pesar de no ser equivalentes las RIs car-acteriadas por los moldes

[λ ] = (λ1, · · ·λN) y (λ1−λN ,λ1−λN−1,λ1−λN−2, · · ·λ1−λ2) = [λ ]

tienen la misma dimension y se llaman representaciones conjugadas.

Ellas corresponden a los moldes

6.7. RIS TENSORIALES DE LOS GRUPOS U(N),SL(N,R),SL(N,C)Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


Segun Hamermesh estas representaciones son equivalentes para losgrupos unimodulares en consideracion (entonces U(N) queda excluido);esto sin embargo es falso.

PROBLEMA 31.1: Calcular las dimensiones de las representaciones

xxx xx y xxxxx xx

de SU(3) y de las respectivas representaciones conjugadas.

PROBLEMA 31.2: Un modelo para clasificar partıculas elementales suponeque estas son el resultado del acoplamiento de tres ”quarks.o bien de un”quarkcon un .antiquark”, que llamaremos q y q respectivamente y son es-tados clasificados segun el grupo de simetrıa SU(3). Los estados q corre-sponden a la RI λ = (100) y los estados q corresponden a la RI λ = (110).Obtenga las representaciones que clasifican a las partıculas elementalesque resultan de los acoplamientos (qqq) y (qq). De todas las dimensionesde las RIs.

PROBLEMA 31.3: Como se ha visto las RIs de SU(N) son clasificadas conN−1 enteros, en particular, las RIs de SU(2) pueden ser clasificadas conun solo entero λ . Calcule la serie de Clebach-Gordan del producto Kro-necker de dos RIs arbitraria de SU(2),D(λ1) y D(λ2). Reescriba el resultadousando, en vez de los λi como ındices, los ji = λi/2. Evidentemente losnuevos ındices j pueden tomar valores enteros y semienteros. Determinela dimencion de una representacion arbitraria D(λ) que ahora denotamosD( j).

6.8. RIs tensoriales de O(N) y SO(N)

Al restringrirnos a los grupos ortogonales la situacion se complica de-bido a que transformaicones ortogonales dejan invariante las trazas. Enefecto, si A es una transformacion ortogonal se cumple que

Ai jAik = δ jk

y si ahora en (30.6) hacemos i1 = i2 = i y sumamos sobre i entonces setiene que

F ′iii3i4· · · ip = Ai j,Ai j2Ai3 j3 · · ·Ai p j pFJ1 j2 j3· · · jp

= δ j1 j2Ai3 j3 · · ·Ai p j pF j1 j2 j3 · · · jp

= Ai3 j3 · · ·Aip jpF j j j3··· jp



de donde se ve que si tomamos la traza en el tensor F ′ tambien hay quetomar la traza en el tensor F y la transformacion entre ambos tensores noafecta a los ındices con respecto a los cuales se toma la traza. Si llamamosF ′(12) al lado izquierdo de (32.2) y F(12) al tensor F del lado derechonotamos que ellos transforman como tensores de rango p− 2; el ındice(12) indica que es la traza con respecto a la contraccion de los ındicesprimero y segundo.

Esta contraccion se podrıa haber hecho con cualquier pareja de los pındices originales, en total existen p(p− 1)/2 parejas de ındices con re-specto a las cuales se podrıa tomar la traza.

Es evidente que si seleccionamos del espacio de tensores de rango paquellos que tienen todas sus posibles trazas nulas estos tensores trans-forman entre ellos y por lo tanto forman un espacio invariante con respectoa las transformaciones ortogonales de O(N).

Si consideramos un espacio tensorial en que los tensores tienen to-das sus trazas nulas excepto una (digamos la (12)) entonces este espaciopuede reducirse por medio del siguiente procedimiento.

Sea G un tensor de rango p y cuya traza (12) no es nula, entonces lodescomponemos en

Gi1i2i3 · · · ip = [Gi1i2i3 · · · ip− 1N ·Gi3···ip δ i1i2]+

+ 1N Gi3···ip δ i1i

2= Gi

o1i2 · · · ip +φ i1i2· · · ip

y es claro que el tensor Go tiene traza (12) nula. Por lo tanto, si sometemosal tensor G a una transformacion ortogonal y obtenemos un tensor G′, estetendra una descomposicion en un G′o y un φ ′ y necesariamente G′o es eltransformado de Go por lo que la descomposicion (32.3) es invariante.

Para encontrar los espacios de representacion irreductible debemostomar tensores que ademas de tener todas sus trazas nulas deben ten-er una simetrıa bien definida (a traves de un molde de Young).

TEOREMA: Los tensores con todas sus trazas nulas y que son tensores desimetrıa dada por un molde de Young tal que la suma de las alturas de lasdos primeras columnas es mayor que N son identicamente cero. (No severa demostracion)

Ilustracion: Sea un tensor de rango tres F de simetrıa definida por elmolde xxx cuyos ındices toman los valores 1 y 2(N = 2). Las unicas tablasregulares que podemos hacer en este caso son 112 y 122. Si enumeramoslos ındices en el orden 123 entonces la traza (13) es automaticamente nula,

6.8. RIS TENSORIALES DE O(N) Y SO(N) Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


la traza (12) exigimos que sea nula: F112 = 0; tambien exigimos que la traza

(23) sea nula: F122 = 0. Esto muestra que el tensor es efectivamente nulo.

Para los efectos de clasificar las RIs de los grupos ortogonales carac-tericemos los moldes de Young no por la longitud de sus filas como siem-pre se ha hecho, sino por la longitud de sus columnas, {a,b, · · ·}. El teo-rema enunciado mas arriba dice que los unicos tensores no nulos tienena+b≤ N.

Llamemos tensores tipo T a aquellos para los que a ≤ N/2 y tensorestipo T ′ al resto. Ademas a cada tensor tipo T le podemos asociar un ten-sor tipo T ′ asociado al molde {a,b,c · · ·} el molde {N− a,b,c, · · ·}. Las rep-resentaciones respectivas son asociadas. El interes de ellas es que alrestringirnos al grupo SO(N) las representaciones asociadas son equiva-lentes.

De esto ultimo se desprende que bastan ν enteros, donde

N =

{

2ν siN es par2ν +1 siN es impar,

para caracterizar las RIs de SO(N). Por ejemplo las RIs de SO(3) necesitande solo un entero para quedar totalmente caracterizadas, esto es, moldesde una sola fila: [λ ] = (ℓ). Cual es la dimension de estas RIs de SO(3)? Lacorrespondiente RI de GL(3) tiene dimension (ℓ+1)(ℓ+2)/2 segun se de-duce de (30.7). Puesto que los tensores son de rango ℓ debemos imponerℓ(ℓ− 1)/2 condiciones de trazas nulas, por lo que el numero de compo-nentes independientes (= dimension) es

dim(ℓ) = (ℓ+1)(ℓ+2)/2− ℓ(ℓ−1)/2= 2ℓ+1

Resultado bastante conocido para el grupo de rotaciones en tres dimen-siones.

El hecho que los tensores T y T ′ sean equivalentes en el caso de SO(N)tambien puede ilustrarse con SO(3) si tomamos como tensor T los propiosvectores, esto es, los tensores F; los tensores asociados T ′ son entonceslos F que son tensores de rangos 2 antisimetricos, los que usualmentese usan en fısica para definir ”seudovectores”, por ejemplo en electromag-netismo se define H1 = F23,H2 = F31,H3 = F12. Sabido DIM para RI deSO(N):

−{∑i

λi(λi−1)2

+∑k j

(λi−1)}



es que bajo rotaciones propias los vectores y seudovectores se comportanen forma exactamente igual o sea son equivalentes a la accion de SO(3).Solo con rotaciones impropias (conteniendo reflexiones) se pueden distin-guir y estas ultimas operaciones pertenecen a (O(3) pero no a SO(3).

PROBLEMA 32.1: Calcular las dimensiones de las dimensiones de las sigu-ientes RI de SO(6): (100), (200), (210), (300), (111). Que RIs de SO(6) sonequivalentes a estas?.

El grupo SU(3) tiene como subgrupo SO(3). Esto se ve facilmente de larepresentacion natural con matrices de 3× 3. Si del conjunto de matricesunitarias que definen SU(3) nos restringimos al conjunto de las matricesreales entonces tenemos el grupo SO(3). Entonces restringimos las RIs deSU(3) a SO(3) estas en general seran RR. La RI (100) de SU(3) es tridimen-sional y su espacio es el de los tensores de un solo ındice; no hay traza quese pueda extraer y por lo tanto continua siendo una RI de SO(3) correspon-diente a ℓ= 1. La RI (110) de SU(3) es la RI en el espacio de tensores desegundo rango antisimetricos y por lo tanto de traza nula. Tambien es unaRI tridimensional y permanece irreductible correspondiendo nuevamente aℓ= 1. Lo anterior se resume escribiendo,

D◦(SU(3))∣

∣

∣SO(3) = D(1)(SO(3)) , D:(SU(3))∣

∣

∣

SO(3)= D(1)SO(3))

el producto Kronecker de la representacion D◦ de SU(3) por sı mismase calcula de la forma indicada al final de #30 y se obtiene

D◦×D◦ = D◦◦+D: (SU(3))

que en el grupo de rotaciones en tres dimensiones corresponde a

D(1)×D(1) = D(0)+D(1)+D(2)

Comparando los miembros derechos de estas dos ecuaciones y debido a(32.4) se ve que

D◦◦(SU(3))∣

∣

SO(3) = D(0)(SO(3))+D(2)(SO(3))

PROBLEMA 32.2: Continuando con el metodo del parrafo anterior deducirla descomposicion de las siguientes RI de SU(3) en RI de SO(3) : (111),(210), (300), (310), (211), (410).

6.8. RIS TENSORIALES DE O(N) Y SO(N) Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


6.9. El grupo de rotaciones propias SO(3)

Describiremos las rotaciones por medio de los angulos de Euler.

Sea R(αβγ) una rotacion arbitraria que lleva los ejes coordenados XYZa coincidir con los ejes X’Y’Z’. Esta rotacion puede descomponerse comosigue (ver figura).

a) Rotacion en torno al eje OZ de magnitud γ : OY → OL

b) Rotacion en torno a OL de magnitud β : OZ→ OZ′

c) Rotacion en torno a OZ’de magnitud α .

El efecto de estas rotaciones sucesivas se resume en el cuadro quesigue

OZ −→ OM −→ OM′ −→ OX ′

OY −→ OL 0≤ β ≤Π→ OL −→ OY ′

OZ −Π≤≤Π OZ −→ OZ′ Π≤ αΠ→ OZ′

Por lo tantoR(αβγ) = ROZ′(α)ROL(β )ROZ(γ)

peroROL(β ) = ROZ(γ)ROY (β )R−1

OZ(γ),

ademasROY (β )≡ R(OβO)

y tambienROZ′(α) = ROL(β )ROZ(α)R−1

OL(β )

con lo cual se obtiene que

R(αβγ) = ROZ(γ)ROY (β )ROZ(α)= R(00γ),R(0β0) ·R(α00)

Ası se ha logrado descomponer una rotacion arbitraria en el producto detres rotaciones en torno a ejes fijos y no variables como era en (33.1).Llamaremos J1,J2,J3 a los generadores infinitesimales de rotaciones entorno a los ejes X, Y, Z respectivamente. Ellos satisfacen las leyes de con-mutacion (27.2), con lo cual el algebra del grupo SO(3) queda totalmentedefinida. Estos generadores sirven para expresar las rotaciones en forma



exponencial (visto en (28.1)). Por ejemplo, una rotacion en torno al eje z sepuede escribir

OR(α00) = 0R(00α) = exp(−iαJ3).

Usaremos la notacion standard de mecanica cuantica | jm > para des-ignar los vectores base de la RI D( j) en la cual los operadores J3 y

J2 = J21 + J2

2 + J23

son diagonales con valores propios

J2| jm >= j( j+1)| jm >

J3| jm >= m| jm > .

Los valores que pueden tomar j y m son bien conocidos y una delas maneras de obtener estos valores es como sigue. Definimos los op-eradores

J± = J1± iJ2

que satisfacen

(J3,J±) =±J± ,

[J+,J−] = 2J3

Puesto que SO(3) es compacto sus RI seran de dimension finita y pode-mos escogerlas unitarias. Esto implica que los Ji son hermıticos

J+i = Ji luego J+± = J∓.

La hermiticidad de los Ji nos asegura que los valores propios de J2 solopueden ser numeros reales no negativos. Podemos, por lo tanto, asegurarque basta con considerar j ≤ 0 en (33.4).

6.9. EL GRUPO DE ROTACIONES PROPIAS SO(3) Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


Consideraremos la noram de J : | jm > , la cual por definicion de norma,debe ser positiva definida:

0≤ ||J−| jm > || = < jm|J+H−| jm >=< jm|J21 + J2

2− i[J1J2]| jm >= < jm|J2− J2

3 + J3| jm >= ( j( j+1)−m2+m)< jm| jm >

por lo tanto

j( j+1)≤ m(m−1)

( j+1/2)2 ≤ (m−1/2)2 ⇒− j ≤ m≤ j+1

Al considerar la norma de J+| jm > se obtiene en forma similar que− j−1≤ m≤ m≤ j. Los dos resultados juntos implican que

− j ≤ m≤ j

Ademas es facil demostrar a partir de las reglas de conmutacion (33.6)que

J3J±| jm >= (m±1)J±| j m >

de donde se deducen las siguientes proporcionalidades,

J+| jm > α | jm+ |>

J−| jm > α | jm−1>

Puesto que el ındice m puede salirse de las cotas (33.8) vemos quenecesariamente debe cumplirse que

J+| j j >= J−( j− j) = 0

Con estos resultados concluimos que el espectro de J3 es m =− j,− j+1,− j + 2, · · · , j− 1, j. A partir de un —jm¿la accion del algebra permitegenerar solamentelos 2 j+1 vectores

| j− j >, | j− j+1> · · · | j, j >



y ninguno otro que sea linealmente independiente de estos. Esto sig-nifica que los (2 j + 1) vectores (33.12) engendran un espacio L( j) que esinvariante a la accion del algebra y por lo tanto del grupo SO(3). Puestoque 2 j+1 debe ser entero, los valores permitidos de j son

j = 0,1/2,1,3/2,2, · · ·

Es posible demostrar que las representaciones D( j) sobre los espaciosL( j) son RIs de SO(3). Las RIs con j entero corresponden a todas las RIsunivaluadas del grupo y aquellas con j semi-entero son todas las RIs bi-valudadas de SO(3). El grupo de rotaciones no tiene mas RIs que estas.

Las representaciones bivaluadas de SO(3) se encuentran estudandolas RIs del grupo cobertor SU(2), lo que haremos mas adelante. Como yase ha visto las RIs de SU(N) se pueden caracterizar con N−1 enteros λi ;en nuestro caso basta con un entero λ y la dimension de esta RI es λ +1que debe ser igual a 2 j+1 de donde λ = 2 j lo que confirma (33.13).

Mencionamos tambien que los elementos de matriz del operador OR(αβγ)son, segun (33.2), (33.3) y (33.5)

< jm′|OR(αβγ) jm >= e−im′γd( j)m′m(β )e

−imα

y ası vemos que el problema principal es encontrar los elementos dematriz

d( j)m′m(β ) de OR(0β0).

6.10. El grupo cobertor de SO(3),SU(2)

El grupo SU(2) es el grupo de matrices unitarias unimodulares. Asocia-remos a cada rotacion R(αβγ) el par de matrices 2×2

R(αβγ) ±(

exp[i(α + γ)/2]cos(β/2) −exp[−i(α − γ)/2]sin(β/2)exp[i(α − γ)/2]sin(β/2) exp[−i(α + γ)/2]cos(β/2)

)

que son explicitamente unitarias y unimodulares. Por lo tanto preservan

la norma de los vectores complejos(

u1

u2

)

. Las matrices +A y −A corre-

sponden a distintos elementos de SU(2) pero al mismo elemento de SO(3).

6.10. EL GRUPO COBERTOR DE SO(3),SU(2) Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


Existe entonces una relacion 2 a 1 entre estos dos grupos, como quedo es-pecificado en (34.1). Las matrices de 2×2 de (34.1) pueden escribirse enla forma

A =

(

a b−b∗ a∗

)

con la restriccion det A = 1|a|2 + |b|2. O sea, son cuatro parametrosreales con una condicion dada por (34.2b), lo cual define a SU(2) comoun grupo de tres parametros reales. Si escribimos

a = a1+ ia2 y b = b1+ ib2

entonces la condicion deA = 1 se reduce a

a22+b2

1+a22+b2

2 = 1 ⇒ |ai|, |bi| ≤ 1

lo que define la ”superficie”de una esfera unitaria en un espacio dedimension cuatro. Claramente un espacio de parametro ası definido es unavariedad simplemente conexa lo que implica que SU(2) tiene solamenterepresentaciones univaluadas.

6.11. Las RI de SU(2) y las RI bivaluadas de SO(3)

El metodo que se utiliza en esta seccion es caracterıstico para estudiarlas RIs de grupos de Lie.

Sean u1 y u2 dos variables complejas que son las componentes de losvectores complejos que transforman de acuerdo a las transformaciones Adefinidas en (34.2).

u′1 = au1+bu2

con |a|2+ |b|2 = 1

u′2 =−b∗u1+a∗u2

Puesto que A es una matriz unitaria la norma |u1|2+ |u2|2 es preservada.

Consideremos las funciones



f ( j)m =

u j+m1 u j−m

2√

( j+m) · ( j−m)

con m=− j,− j+1, · · · , j y j toma los valores j= 0,1/2,1,3/2,2, · · · Puestoque la transformacion (35.1) es lineal y homogenea entonces transformalos f ( j)

m en una combinacion lineal de estas funciones todas con el mismoj inicial pero distintos valores de m. Esto significa que las funciones f ( j)

m

generan un espacio invariante bajo SU(2) y por lo tanto son base para unarepresentacion de grupo. Estos espacios son de dimension (2 j+1).

Para j = 1/2 se tiene f (1/2)1/2 = u1 y f (1/2)

1/2 = u2 que son base para larepresentacion natural de SU(2) analizada en la seccion anterior.

Para j = 1 obtenemos

f (1)1 =U2

1√2, f (1)0 = u1u2, f (1)−1 =

u22√2

funciones a las que llamaremos t√2, y , w√

2respectivamente. A partir de

(35.1) se deduce que

t ′ = a2t +2abv+b2wv′ = −ab∗ t +(aa∗−bb∗)v+a∗bww′ = b∗2 t−2a∗b∗ v+a∗2 w

Si ahora definimos

x =t−w

2,y =

t +w2i

,z = v

entonces obtenemos

x′ = (a2−b∗2−b2+a∗2)x/2+ i(a2−b∗2+b2)y/2+(ab+a∗b∗)zy′ = −i(a2+b∗2−b2−a∗2)x/2+(a2+b∗2+b2+a∗2)y/2− i(ab−a∗b∗)zz′ = −(a∗b+ab∗)x+ i(a∗b−ab∗)y+(aa∗−bb∗)z

transformacion que corresponde a una rotacion propia general en tresdimensiones. Notese que todos los coeficientes son reales, y ademas esfacil verificar que x2+y2+z2 = x′2+y′2+z′2. Tambien se deja como ejerciciodemostrar que el determinante de la transformacion es uno. Es claro que

6.11. LAS RI DE SU(2) Y LAS RI BIVALUADAS DE SO(3) Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


(35.6) no cambia si en vez de a y b ponemos −a y −b con lo cual hemosobtenido una aplicacion 2 a 1 desde SU(2) a SO(3) : a dos elementos deSU(2) que difieren solo en el signo se le asocia un unico elemento de SO(3)en la forma que sigue,

±(

a b−b∗ a∗

)

↔.

(a2−b∗2−b2+a∗2)/2 i(a2−b∗2+b2−a∗2)/2 (ab+a∗b∗)−i(a2+b∗2−b2−a∗2)/2 (a2+b∗2+b2+a∗2)/2 −i(ab−a∗b∗)−(a∗b+ab∗) i(a∗b−ab∗) (aa∗−bb∗)

Si escribimos

a = cos(β/2)ei(γ+α)/2,b = sin(β/2)ei(γ−α)/2

entonces se obtiene de (35.7) la matriz de 3× 3 correspondiente a larotacion R(αβγ) en que αβγ son los correspondientes angulos de Euler.

Llamaremos D( j)(a,b) a las matrices de la representacion D( j) de SU(2)en la base (35.2). Las matrices que hemos llamado A corresponden a lasD(1/2)(a,b), denotaremos por 0(a,b) al operador lineal correspondiente queproduce la transformacion inducida por (35.1) en cualquiera de los espa-cios ( j),

D(a,b) f ( j)m =

(au1+bu2)j+m(−b∗u1+a∗u2)

j−m√

( j+m)!( j−m)!

Usando el teorema de binomio y la definicion de los f ( j)m es posible

escribir el segundo miembro como una combinacion lineal de ellos,

0(a,b) f ( j)m =

j

∑m′=− j

f ( j)m′ D( j)

m′m(a,b)

donde

D( j)m′m(a,b)=

∞

∑k=0

[( j+m)!( j−m)!( j+m′)!( j−m′)!]1/2

k!( j+m− k)!( j−m′− k)!(m′−m+ k)!a j+m−k(a∗) j−m′−k(−b∗)m′−m+k



La sumatoria es en principio hasta k = ∞ pero en realidad se corta au-tomaticamente pasado un cierto valor de k que hace aparecer en el de-nominador el factorial de un numero negativo.

De la definicion (35.2) es posible demostrar que

j

∑m=− j

| f ( j)m |2 =

1(2 j)!

{

|u1|2+ |u2|2}

lo cual implica que esta suma es invariante ya que

|u1|2+ |u2|2 = |u′1|2+ |u′2|2.

Esto ultimo es una manifestacion del teorema de Unsold generalizado (ver#15) siempre que estemos seguros que las representaciones D( j) de SU(2)que hemos obtenido son RIs. Demostraremos que efectivamente las D( j)

son RIs. Consideremos una matriz A que conmuta con todas las matricesD( j)(a,b).

En particular A conmuta con las matrices D( j)(a,0) las cuales son diago-nales (prob. 35.1) y cuya diagonal es exp(iδm). Por lo tanto (AD( j)(a,0))mm′ =(D( j)(a,0)A)mm′ puede escribirse Amm′ = ion = Amm′eiδ m′ lo que implica queAmm′ = δmm′um. Puesto que A conmuta con las matriz general D( j)(a,b) setiene en particular que (DA) jm = (AD) jm para todo m y puesto que A es

diagonal esta relacion se escribe U jD( j)jm = D( j)

jmUm′ pero de (35.11) se veque D jm 6= 0 y por lo tanto U j = Um para todo m. Dicho en otras palabras,A es una matriz multiplo de la identidad, lo cual por el segundo lema deSchur implica que las representaciones D( j) son RIs del grupo SU(2), lasque ademas, por construccion son unitarias.

Ahora estamos interesados en deducir los caracteres χ ( j)(a,b) de lasrepresentaciones ( j). Para esto basta considerar el hecho que

(

a b−b∗ a∗

)

y(

eiα/2 00 e−iα/2

)

con cosα/2= Rea

son matrices similares. Por lo tanto las RIs de SU(2) que cada una deellas engendra seran equivalentes y podemos calcular el caracter tomandoa = eiα/2,b = 0. Del resultado del Prb. 35.1 resulta entonces

χ ( j)(a,b) = χ ( j)(eiα ,0) =sin( j+1/2)

sinα/2α

6.11. LAS RI DE SU(2) Y LAS RI BIVALUADAS DE SO(3) Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


con Rea = cosα/2.

PROBLEMA 35.1: Encontrar la expresion matricial explıcita de D( j)(a,0) yverificar que es diagonal.

Las representaciones D( j)(SU(2)) dan origen a las RIs D( j)(SO(3)) apartir de (35.11) haciendo el reemplazo (35.8).

D( j)(αβγ) =∞

∑k=0

(−1)m′−m−k [( j+m)!( j−m)!( j−m′)!]1/2k!( j+m− k)!( j−m′− k)!(m′−m+ k)!

·

·eim′αeimγ (cosβ/2)2 j+m−m′−2k(sinβ/2)m′−m+2k

Como todas las rotaciones de la misma magnitud son equivalentes, sepuede calcular el caracter usando la forma especial D( j)(α00). Resulta

χ ( j)(α) =sin( j+1/2)α

sinα/2

que coincide con la expresion para j entero dada en (12.5).

Las representaciones D( j)(a,b) son siempre representaciones univalu-adas de SU(2) pero las correspondientes representaciones D( j)(αβγ) deSO(3) son bivaluadas cuando j es semientero como se puede deducir de(35.14).

6.12. Desdoblamiento de niveles de momento angu-lar semientero por efecto de una perturbaci onde simetrıa puntual

Este caso de desdoblamiento para momento angular entero fue estudi-ado en # 13. el problema consistıa en descomponer las RR inducidas porlas representaciones de O(3) del grupo puntual considerado. El problemase complica cuando se trata de representaciones de O(3) con J semienteropuesto que en tal caso se tiene representaciones bivaluadas las cuales, alrestringirnos al grupo puntual de la perturbacion, on inducen propiamenterepresentaciones del grupo puntual en cuestion sino representaciones ”bi-valuadas”de ellos. Tales representaciones no tienen sentido alguno fuerade este contexto puesto que las representaciones multivaluadas surgen del



requerimiento de continuidad de las representaciones de los grupos de Lie.Las matrices que constituyen la representacion bivaluada”del grupo pun-tual no satisfacen evidentemente la ley de multiplicacion del grupo puntualsino que pasan a definir un nuevo grupo abstracto que llamaremos grupodoble de G y que denotaremos por G′.

Consideremos el grupo abeliano C2 = {e,C2} en que e = R(000) y C2 =R(Φ00). Haciendo uso de (34.1) tenemos la correspondencia

e→±(

1 00 1

)

,C2→±(

i 00 −i

)

En el grupo puntual debe tenerse que C22 = e. Es claro que las cuatro

matrices

e =

(

1 00 1

)

e =

(

1 00 1

)

,C2 =

(

i 00 −i

)

,C2 =−(

i 00 −i

)

forman un grupo, el grupo doble del grupo C2 y que llamaremos C′2.

En general el grupo doble de un grupo puntual G se obtiene agregandoel elemento e como generador y teniendo en cuenta que en este nuevogrupo (Cn)n = e.

Las representacione spara las cuales χ(e) = −χ(e) son representa-ciones ”bivaluadas”del grupo puntual G, mientras que aquellas para lasque χ(e) = χ(e) coinciden con las univaluadas de G. Para obtener la es-tructura abstracta del grupo doble de un grupo puntual que consta solo derotaciones se procede tal como en el ejemplo anterior haciendo uso de(34.1).

Consideremos como nuevo ejemplo el grupo D2, el cual es abeliano ytiene 4 elementos: e,U (1)

2 ,C2,U(2)2 Haciendo uso de (34.1) obtenemos

e = R(000)→

1 0= e

0 1−1 0

= e0 −1

; C2 = R(π00)→

i 0= C2

0 −i−i 0 =

= C2

0 i

6.12. DESDOBLAMIENTO DE NIVELES DE MOMENTO ANGULAR SEMIENTERO POR EFECTO DE UNA PERTURBACION DESIMETRIA PUNTUAL



U2(1) = R(ππ0)→

0 i

= U (1)2

i 00 −i

= U (1)2

−i 0

U (2)2 = R(0π0)→

0 1

= U (2)2

−1 00 −1 =

= U (2)2

1 0

Las ocho matrices ası construıdas forman el grupo D′2, grupo doble deD2. Es interesante notar que el grupo doble en este caso no es abeliano.Notese ademas que puesto que las matrices S y S difieren solo por su signo,igual propiedad tienen los caracteres. De aquı que si S y S son conjugadosentonces χ(S) = 0 en la representacion bidimensional inducida por (34.1)

Las cinco clases conjugadas de D′2 son (e),(e),(U (1)2 , U (1)

2 ),(U (2)2 , U (2)

2 ),(C2,C2). Cinco tambien son las RIs no equivalentes y sus dimensiones son1,1,1,1,2 puesto que el grupo es de orden 8. Ademas es un grupo de car-acteres reales puesto que cada elemento es conjugado con su inverso.Sabemos que la primera columnade la tabla de caracteres coincide conlas dimensiones. De la segunda columna (caracteres de e) conocemospor (36.2) que el caracter de e para la representacion bidimensional es -2,mientras para las RIs unidimensionales solo puede ser ±1 (ya que e2 = e);la relacion de ortogonalidad (7.6) exige entonces que los caracteres de een todas las RIs unidimensionales sea +1. A partir de esto es muy facildeducir el resto de la tabla, la que resulta ser,

D′2 e e U (1)2 U (2)

2 C2

1 1 1 1 11 1 −1 −1 11 1 1 −1 −11 1 −1 1 −12 −2 0 0 0

Puesto que para las RI unidimensionales el caracter de la identidad co-incide con el de e estas son RIs univaluadas de D2 y sola la representacion



bidimensional es ”bivaluada”.

PROBLEMA 36.1: Construir el grupo doble D′3 y C′3v y deducir las tablas decaracteres de estos grupos.

PROBLEMA 36.2: Estudiar el desdoblamiento de un nivel atomico con mo-mento angular total j = 3/2 por efecto de una perturbacion de simetrıa D′2.Influye en esta descomposicion la paridad del nivel j = 3/2?

6.12. DESDOBLAMIENTO DE NIVELES DE MOMENTO ANGULAR SEMIENTERO POR EFECTO DE UNA PERTURBACION DESIMETRIA PUNTUAL


Parte III

Aplicaciones

115

Capıtulo 7

Atomos

7.1. El atomo de hidr ogeno: un ejemplo de simetrıadin amica

Consideremos el modelo mas simple de atomo de hidrogeno una partıcu-la en un potencial Coulombiano atractivo,

H =p2

2m− α

r.

Puesto que el potencial Coulombiano es invariante bajo rotaciones en-tonces

[H,Lk] = 0 donde Lk =∈i jk xi p j

i, j, k = 1,2,3. Esta relacion de conmutacion la cumple cualquier Hamiltoni-ano rotacionalmente invariante y por lo tanto el grupo de simetrıa es igualo mayor al grupo de rotaciones SO(3). Mas aun, ppuesto que H tambienes invariante a la operacion inversion entonces el grupo O(3) completoes simetrıa de H. La simetrıa de este Hamiltoniano es aun mayor debidoal potencial muy particular V (r) = −α/r que clasicamente determina quelas orbitas de la partıcual ligada sean elıpses. Cualquiera modificacion delpotencial Coulombiano produce orbitas que ya no son mas elıpses perfec-tas sino .elıpses que procesan”. La conservacion de la direccion del vecto.amplitud-maxima”valida para V (r) = ¯α/r (conocido en mecanica clasicacomo el vector de Runge - Lenz) fue descrita cuanticamente por Pauli en1926 en base al operador

~M′ =~L×~p−~p×~L

2m+

α~xr

117


el que satisface[H,M′k] = 0 , k = 1,2,3.

Esto, mas el hecho que la degeneracion del espectro del atomo de hidrogenocorresponde a representaciones reductibles del grupo de rotaciones, llevo abuscar una simetrıa mayor para el Hamiltoniano (37.1). Quien primerodio con la simetrıa fue Fock (1935) estudiando la ecuacion integral deSchrodinger. En base al resultado de Fock, Bargmann busco cerrar unalgebra de Lie (27.1) haciendo uso de los operadores de momento an-gular Li y de los operadores M′j. Se puede verificar que estos operadoressatisfacen las siguientes relaciones de conmutacion.

Li,L j = i ∈i jk Lk

Li,M′j = i ∈i jk M′kM′i ,M

′j = i ∈i jk (−2H)Lk

lo que muestra que estos operadores no se cierran en un algebra debido aque la ultima relacion de conmutacion tiene un factor extra en el miembroderecho: (-2H). Definiendo

Mi =M′i√−2H

Bargmann logro cerrar un algebra de Lie. La raız de (-2H) es la raız deun operador positivo siempre que nos restrinjamos a la region de estadosligados, esto es, H < 0. Las relaciones de conmutacion entonces pasan aser las siguientes,

Li,L j = i ∈i jk Lk

Li,M j = i ∈i jk Mk

Mi,M j = i ∈i jk Lk

El algebra ası obtenida corresponde al grupo SO(4) primeramente descu-bierto por Fock. Este grupo es el grupo de simetrıa del atomo de hidrogenono relativista descrito por el Hamiltoniano (37.1) mientras se trate de de-scribir el espectro de estados ligados.

PROBLEMA 37.1: Comprobar que el algebra (37.7) coincide con la que sedefinio en el prob. 27.6b

Como se vio en el problema 27.6 el grupo SO(4) = SO(3)×SO(3) y porlo tanto las RI de SI(4) se obtienen como producto directo de las RIs deSO(3); son entonces representaciones caracterizadas por dos ındices, j1 yj2 que toman los valores 0,1/2,1,3/2, · · · y cuyas dimensiones estan dadas

7.1. EL ATOMO DE HIDROGENO: UN EJEMPLO DE SIMETRIA DINAMICAFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


por (2 j1+1)(2 j2 +1). Los numeros j1 y j2 se obtienen de los operadoresde casimir del algebra:~I2 = k1( j1+1), ~K2 j2( j2+1).

Pero nuestra algebra esta definida con los operadores bien concretosdefinidos en (37.2), (37.3) y (37.6) los que imponen ciertas condicionessobre las representaciones permitidas. De la definicion concreta de los op-eradores es posible demostrar que

~L · ~M = 0

o equivalentemente

~I2K2

lo cual implica que con nuestra realizacion del algebra no podemos tenerotras representaciones que aquellas para las cuales j1 = J2 = k las cualestienen dimension (2k+ 1)2. Puesto que k toma valores enteros o semien-teros las dimensiones de estas representaciones son n2 con n = 1,2,3, · · ·las que deben dar la degeneracion del espectro de energıa de nuestroHamiltoniano. Es un resultado experimental bien conocido que los nivelesenergeticos del atomo de hidrogeno tienen esta degeneracion donde n esel llamado numero cuantico principal.

Un Calculo algo tedioso permite demostrar que

H =−α2/2

L2+M2+1

que tambien puede escribirse

H =−α2/24K2+1

y puesto que el espectro de K2 es k(k+1) entonces se tiene que los valorespropios de H son

En =−α2/2

4k(k+1)+1=−α2/2

n2

resultado bastante bien conocido. Aquı se ha obtenido la solucion a unproblema dinamico con el solo uso del grupo de simetrıa del sistema. Estono es usual ni puede generalizarse mas alla de unos pocos casos partic-ulares mas. Como se vio desde el comienzo la simetrıa no es de caracterpuramente geometrico sino tambien interviene la dinamica como es ilustra-do por el hecho que algunos de los generadores del grupo dependen delHamiltoniano.



Veamos ahora cuales son los posibles valores del momento angular dela partıcula en cada uno de estos niveles. Supongamos que el nivel n tieneℓ= 0,1,2, · · · ,L. Puesto que por cada ℓ tenemos una degeneracion (2ℓ+1)la degeneracion del nivel es ∑L

ℓ=0(2ℓ+1) = (L+1)2 que debe coincidir conn2, por lo tanto, el valor maximo L que puede tomar el momento angular enel nivel n es ℓ= n =−1.

7.2. Estructura fina del atomo de hidr ogeno

Debido a la existencia del spin del electron, el potencial del Hamiltoni-ano es modificado por un termico de acoplamiento entre el spin del elec-tron y su momento angular orbital. Este termino es proporcional a ~L ·~S ycon el puede corregirse el espectro obtenido anteriormente. Sucede sinembargo que esta ”perturbacion”del espectro es del mismo orden que lascorrecciones puramente relativistas que tambien deben considerarse y porlo tanto no es posible hacer consistentemente una correccion sin hacertambien la otra. No es entonces la ecuacion de Schrodinger la que debeconsiderarse sino una ecuacion relativista que ademas tome en cuenta queel electron tiene spin 1/2. Esta ecuacion es la ecuacion de Dirac con el po-tencial electrostatico Coulombiano del proton. Efectos que quedan fuera deconsideracion son el spin del nucleo y la masa finita de este (en relatividadno es posible trabajar en el centro de masa y por lo tanto debe suponerseque el nucleo esta estatico en el origen)

La solucion de la ecuacion de Dirac con potencial Coulombiano no pre-senta mayor dificultad, la solucion exacta aparece en el libro de Messiahy con mas detalle en el artıculo de Bethe y Salpeter en el Handbuch derPhysik, vol. 35.

El espectro energetico que se obtiene depende de dos ındices: ν =0,1,2, · · · y de j = 1/2,3/2, · · · donde j = ℓ+1.

Eν , j =m

1+ γ2

(ν+( j+ 12)

2−γ2)2

Aquı se ha hecho 6 h= c= 1,γ = Ze2 y m = masa de e. Este espectro tam-bien es observado en atomos o iones de varios electrones pero que tienenuno solo en la unica capa incompleta (Z 6= 1). La constante e es 1/137 y porlo tanto Ze2 << 1 por lo que la expresion (38.1) puede aproximarse como

7.2. ESTRUCTURA FINA DEL ATOMO DE HIDROGENO Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


sigue,

Eν , j = m(1− 12

α +38

α2+ · · ·)

con

α ≡ γ2

(ν +√

( j+ 12)

2− γ2)2≈ γ2( j++

12− γ2

2( j+ 12)

2)−2

Si ahora usamos la notacion n = j+ν +1/2 entonces

α ≈ γ2(1n2 +

γ2

( j+ 12)n

3)

expresion con la cual obtenemos la aproximacion final

Eν , j ≈ m[1− γ2

2n2 · (1+γ2

n{ 1

j+ 12

− 34n}].

Se ve queen primera aproximacion se reobtiene el espectro no relativistadado por (37.10) y que esta correjido por un termino que depende del mo-mento angular total del electron.

Como ilustracion del efecto que esta estructura fina tiene en las lıneasespectrales observadas consideremos la lınea mas brillante del espectrovisible del atomo de hidrogeno: la transicion del nivel n = 3 al nivel n = 2. Laestructua fina del nivel n = 2 esta dada por los posibles valores que puedatomar j : n = 2⇒ ℓ= 0,1⇒

j =

0+1/2 = 1/2 2S1/2

1−1/2 = 1/2 2P1/2

1+1/2 = 3/2 2P3/2

La notacion en la ultima columna es nℓ( j) donde se usan las letras S,P,D,F, ..para designar los valores de ℓ= 0,1,2,3, · · · Evidentemente los niveles conigual j coinciden, en este caso los subniveles 2S1/2 y 2P1/2. La estructurafina del nivel n = 3 : ℓ= 0,1,2⇒

j =

0+1/2 = 1/2 3S1/2

1+1/2 = 3/2 3P3/2

1−1/2 = 1/2 3P1/2

2−1/2 = 3/2 3D3/2

2+1/2 = 5/2 3D5/2



De este caso coinciden los niveles 3S1/2 y 3P3/2 con 3D3/2. Estas degenera-ciones tambien estan asociadas a una simetrıa extra del Hamiltoniano deDirac (Johnson y Lippmann, 1950).

La figura que sigue muestra las distintas transiciones que contribuyena la estructura fina H del espectro del hidrogeno,

n = 3{

n = 2{

Mediciones muy finas del espectro del hidrogeno efectuadas por Lamb en1947 mostraron que las degeneraciones en j no eran exactas. Lamb de-tecto por ejemplo que el nivel 2S1/2 es levemente superior al nivel 2P1/2.Este fenomeno no puede

explicarse dentro de los marcos de la mecanica cuantica relativistadeun electron ni aun si se trata de tomar en cuenta en forma mas correcta alnucleo. Se trata de un fenomeno explicable solo con la teorıa cuantica deradiacion: electrodinamica cuantica.

PROBLEMA 38.1.- En la estructura fina del atomo de hidrogeno (con des-doblamiento de Lamb) determine cuales son la transiciones dipolares pro-hibidas de los subniveles con n = 3 a los subniveles con n = 2.

7.3. Generalidades sobre atomos

En atomos con dos o mas electrones la repulsion Coulombiana entrelos electrones es un efecto mucho mas importante que las correcciones despin y las correcciones relativistas. Sera entonces solo el resultado de esteefecto elque consideraremos. Puesto que el problema de muchos cuerposno puede resolverse en forma exacta nos limitaremos solamente a los re-sultados cualitativos sobre los espectros de energıa que pueden deducirsepor consideraciones de simetrıa.

Puesto que el potencial en el cual se mueve cada electron ya no essolamente el potencial Coulombiano del nucleo entonces la simetrıa delsistema tampoco es O(4) sino simplemente O(3). El primer grupo sin em-bargo puede considerarse como grupo de simetrıa aproximada dado el car-acter dominante del potencial del nucleo y que permite asignar no solo unvalor de momento angular (RI de SO(3)) sino tambien un valor de numerocuantico principal n ya visto en el caso del atomo de hidrogeno. El valor de

7.3. GENERALIDADES SOBRE ATOMOS Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


n se asigna a cada nivel del siguiente modo: en el Hamiltoniano se pone unfactor k multiplicando los terminos que contengan interaccion mutua entrelos electrones. El valor de k se hace variar de 1 a 0 con lo que se lograque cada electron quede interactuando solamente con el nucleo a travesdel potencial Coulombiano central, esto es, cada electron queda conver-tido en un .electron de hidrogenocon un n bien definido. Existe una relacionbiunıvoca entre estos estados tipo hidrogeno y los estados atomicos delhamiltoniano con k = 1.

Dado un valor del momento angular ℓ cada nivel del atomo es 2(2ℓ+1)veces degenerado debido a los dos valores posibles de spin. Empırica-mente se ha determinado que estos niveles se encuentran normalmenteordenados del modo siguiente:

1s, 2s 2p, 3s 3p 4s 3 4p, 5s 4d 5p, 6s 4 fnum. de electrones

2 2 6 2 6 2 10 6 2 10 6 2 14capas completas :

He Ne A Kr Xe

La validez del orden de estas capas no es absoluto ya que depende delpotencial y esta depende del nucleo y del numero de electrones presentes.Los subniveles 4s y 3d estan tan proximos que en el caso del cobre el nivelenergetico mas bajo se obtiene con un electron en el subnivel 4s y nueveen 3d, en vez de 2 y 8 como podrıa esperarse. Existen otros ejemplossimilares.

Enlo que sigue veremos que el principio de Pauli juega un papel fun-damental. Este principio nos dice que la funcion de onda de un sistema deelectrones debe ser totalmente antisimetrica.

7.4. Atomos livianos. Estudio de un sistema de partıcu-las id enticas

Para estudiar los estados energeticos posibles de un atomo livianodebemos conocer la configuracion caracterıstica y las interacciones entrelos electrones. Las capas cerradas no tienen grados de libertad y represen-tan entonces un termino constante a la energıa y un efecto despreciablesobre los electrones de la capa incompleta frente a las interacciones delos electrones de esta capa entre ellos mismos. Lo mas probable (a tem-peraturas normales) es encontrar a un atomo en su estado base: todas



las capas que pueden estar llenas lo estan y solo la capa de mas alta en-ergıa en la mayorıa de los casoss incompleta. La excepcion son los gasesnobles, para los que no hay capas que queden incompletas en el estadoenergetico mas probable.

La capa incompleta de la configuracion caracterıstica de un atomo esla que permite deducir las propiedades de un atomo tales como la estruc-tura fina de este nivel energetico mas basjo, las propiedades electricas ymagneticas y la interaccion que tendra con otros atomos etc. De todo estonosostros solo veremos algo sobre la estructura fina del nivel fundamen-tal. Esta estructura fina surge de las distintas posibilidades de acoplar losmomentos angulares de los electrones de la capa incompleta den la con-figuracion base.

Para hacer este analisis es necesario tener en cuenta que el hamilto-niano de un atomo puede escribirse como la suma de tres partes cuyassimetrıas son cada vez menores.

H = ∑(P2

i

2m+V (ri))+∑

i∑j<i

[

e2

ri j− Z2e

ri−V (ri)

]

+∑i

ξ (ri~ℓi~si = Ho +V1+V2

El primer termino Ho es el hamiltoniano de un conjunto de electrones en unpotencial central V (ri) y que no interactuan entre sı . Este potencial es unaprimera aproximacion del potencial Coulombiano del nucleo apantalladopor el resto de los electrones. Puesto que Ho = ∑Hi, en que cada uno delos Hi es el Hamiltoniano de un electron en el potencial V , entonces lasfunciones propias de Ho se pueden factorizar en funciones propias de losdistintos Hi,

Ψ(o)λ1λn

(x1,x2, · · ·xn) = θλ1(x1)θλ2

(x2) · · ·θλn(xn)

Los ındices λi denotan el estado particular en que se encuentra el electroni. Cada una de estas funciones de onda tiene un valor de momento angularorbital y de spin bien definido puesto que cada Hi es por sı solo rotacional-mente invariante. La coantribucion energetica de los electrones de la capaincompleta (con r electrones) al nivel de Ho correspondiente a r electronesen el mismo nivel propio ∈nℓ de los Hi es

Enℓr = r ∈nℓ

La funcion de onda correspondiente y que es funcion propia de Ho es sim-plemente una funcion producto como se indico en (40.2) donde los θλi

(xi)

7.4. ATOMOS LIVIANOS. ESTUDIO DE UN SISTEMA DE PARTICULAS IDENTICASFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


sonθλ i(xi) =Unℓm(xi)χi.

producto de una parte orbital y una parte espinorial con spin ↑ o downarrow,(χi = α oβ ). Por esta razon la funcion de onda completa ψ(o) puede sepa-rarse en una parte orbital y una parte espinorial.

En los atomos llamados livianos se tiene que V1 >> V2 lo que permitetratar a V1 como perturbacion de Ho y al final introducir V2 como pertur-bacion de Ho +V1. Al reves, en los atomos muy pesados V2 > V1 lo querequiere tratar primero el hamiltoniano Ho +V2 que sigue siendo un hamil-toniano separable y solo al final se considera la perturbacion V1. Esto tienealgunas implicaciones. En los atomos livianos tenemos inicialmente ungrupo de simetrıa Oℓ1(3) · · ·xOℓr(3)xSUs1(2)x · · · xSUsr(2) para el sistema delos r electrones en la capa incompleta.(Estamos suponiendo un hamiltoni-ano solo para los r electrones n1 puesto que se sabe que los electronesde las capas interiores completas contribuyen con una constante a la en-ergıa). Esta simetrıa es destruıda por V1 pasandose ahora a un sistemaHo +V1 de simetrıa OL(3)× SU(2). Hasta aquı spin y momento angular nointeractuan por lo que las invariancias a rotaciones espinoriales y espa-ciales son totalmente independientes (la primera de estas invariancias estrivial puesto que en el hamiltoniano parcial el spin no aparece). Finalmenteal considerar V2 se pasa a un sistema cuyo grupo de simetrıa es OJ(3).

En los atomos pesados V2 debe considerarse primero ya que V2 >V1.

Entonces el grupo de simetrıa que debe considerarse inicialmente es eldel hamiltoniano separable Ho +V2 y que es O j1(3)x · · ·xO jr (3) simetrıa queluego se destruye al incluir a V1 en el hamiltoniano.

Este es el origen del acoplamiento LS para atomos livianos y del acoplamien-to j− j para atomos pesados.

Consideremos la parte orbital de la funcion de onda total. Puesto quese introducira el efecto del termino V1 del hamiltoniano sabemos que losındices ℓ y m de las funciones de onda individuales no son observables yaque V1 destruye la invariancia que tenıa Ho bajo rotaciones que actuabansolo sobre uno de los vectores ~ri. Existe una arbitrariedad en la eleccionde la base del nivel de los Hi considerados. Esta arbitrariedad se expresacomo una invariancia bajo un cambio de base, o sea, bajo una transfor-macion unitaria arbitraria en el espacio de dimension 2ℓ+1 y por lo tantocomo una invariancia bajo SU(2ℓ+1). Las funciones ψorb que son produc-to de las funciones orbitales individuales expanden entonces el espacio derepresentacion de SU(ℓ+1) de tensores de rango r. Como ya se sabe, este



espacio se divide en subespacios invariantes al considerar combinacioneslineales que definen tensores de simetrıa bien definida [λ ].

Otra manera de ver esto mismo es notando que puesto que el hamilto-niano es invariante al intercambio de los electrones (partıculas identicas)entonces cada nivel debera tener asociada una simetrıa bien definida.

Estas consideraciones nos permite comprender la subdivicion dle nivelEnℓr en niveles que ademas llevarıan el ındice [λ ]. El efecto cualitativo de V1

se completa al tomar en cuenta que el hamiltoniano Ho +V1 tinee simetrıade rotacion y que por lo tanto las representaciones de SU(2ℓ+1) deben asu vez ser descompuestas en RI del grupo de rotaciones con un momentoangular total L bien definido.

Hasta aquı no hemos tomado en cuenta las limitaciones que impone elprincipio de Pauli. Puesto que hasta ahora no hemos considerado ninguntipo de acoplamiento entre spin y momento angular las funciones de ondacompletas seran siempre el producto de una parte orbital por una espino-rial.

El principio de Pauli requiere que la funcion de onda completa sea to-talmente antisimetrica. Paralograr esto debemos formar combinaciones lin-eales de espinores de simetrıa bien definida que engendran espacios deRI de SU(2) y formar la funcion de onda total multiplicando una parte orbitalde simetrıa [λ ] por una parte espinorial que tenga precisamente la simetrıaasociada correspondiente: [λ ]. (ver prob. 22.2 y nota en p.143A)

De este modo se ha logrado descomponer el nivel original (40.3) enniveles

Enℓr[λ ]LS

NOTA: En mas detalle la razon por la cual la funcion ψ total se construyeen la forma ϕorb

[χ ] χ[λ ] :

Ya se vio en el problema (22.2) que el producto Kronecker de dos RI deSn tiene en us descomposicion a la representacion antisimetrica solo si setrata de [λ ]× [λ ].

Lo que aquı se trata de dejar en claro es que el producto relevante esefectivamente el producto Kronecker de RIs del grupo de permutaciones yno algun producto entre representaciones de los grupos de Lie envueltos,tales como SU(2ℓ+1),SU(2),O(3). etc. Las funciones ϕorb y χ son ambastensores de rango r (r = # de electrones) que dependen de las coordenads(espaciales o espinoriales) de las r partıculas en consideracion.



Cuando un grupo, actuando sobre una funcion producto, se le hace ac-tuar independientemente sobre cada una de las funciones factor entoncesqueda definida una repre del grupo GxG · · ·xG. Pero si la misma operacionactua sobre cada una de las funciones factor entonces se tiene un espaciode repre-producto-Kronecker del mismo G.

Este es el caso de ψ = ϕχ . Al actuar una permutacion sobre ψ estapermutacion actua sobre ϕ y χ definiendo ası una represenacion del grupoSr, que resulta del producto Kronecker [λ ]× [λ ′]

El ındice S es redundante ya que [λ ] ⇒ [λ ] ⇒ S. En efecto, los es-pinores de simetrıa bien definida (combinaciones lineales de productos deespinores individuales) corresponden a moldes de Young [λ ] de a lo masdos filas cuyos respectivos largos son λ1 y λ2 con r = λ1 + λ2 y para loscuales es facil demostrar que

S0λ1− λ2

2.

Por lo dicho se tiene entonces que los unicos moldes [λ ] permitidos por elprincipio de Pauli para las partes orbitales tienen a lo mas dos columnas,esto es, λ1≤ 2.

Si finalmente se toma en cuenta el acoplamiento de spin y momentoangular orbital producido por el termino V2 del hamiltoniano entonces yano se tiene la simetrıa de rotacion de coordenadas, que nos da el numerocuantico L, ni tampoco la simetrıa de rotacion de spin, que nos da S, sinoque tenemos por simetrıa las rotaciones que afectan simultaneamente alas coordenadas y el spin dandonos un numero cuantico de momento an-gular total J que resulta de la suma~L+~S. El efecto de tomar en cuenta estetermino V2 es producir un nuevo desdoblamiento. Los niveles (40.5) se des-doblan en tantos niveles como terminos tenga la serie de Clebach-Gordandel producto Kronecker entre las representaciones L y S. Finalmente en-tonces los niveles del hamiltoniano (40.1) llevan los ındices siguientes,

Enℓr[λ ]LSJ

Este ultimo desdoblamiento es algunos ordenes de magnitud menor que eldesdoblamiento producido por V1,

De todos los niveles ası determinados es posible decidir cual es elfundamental, es decir, aquel que energeticamente es el mas bajo haciendouso de las llamadas reglas de Hund.

Reglas de Hund:



1. Se escoje de todos los niveles (40.6) aquellos que tengan el maximovalorS.

2. De estos se selecciona aquellos que tengan el maximo valor de L.

3. De los niveles ası seleccionados se elije

a) el que tenga J = |K−S|si r < 2ℓ+1 ,

b) el que tenga J = L+Ssir > 2ℓ+1.

Mas adelante se vera la justificacion fısica de estas reglas. Si ellaslas aplicamos a los niveles que quedan una vez determinado el nivelmas bajo se podra determinar el nivel mas bajo se podra determinarel nivel que le sigue y ası sucesivamente. La validez de las reglas deHund dejan de ser rigurosas a medida que nos alejamos del funda-mental.

4. De estos se selecciona aquellos que tengan el maximo valor de L.

5. De los niveles ası seleccionados se elije

a) el que tenga J = |L−S|sir < 2ℓ+1,

b) el que tenga J = L+Ssir > 2ℓ+1.

Mas adelante se vera la justificacion fısica de estas reglas.

Si ellas las aplicamos a los niveles que quedan una vez determinadoel nivel mas bajo se podra determinar el nivel que le sigue y ası sucesiva-mente. La validez de las reglas de Hund dejan de ser rigurosas a medidaque nos elejamos del nivel fundamental.

Se ha descubierto que el concepto de valencia de un atomo que usanlos quımicos corresponde a v = 2J,J siendo el valor del momento angulartotal que posee el atomo el cual normalmente corresponde al J del niv-el fundamental. Si las dos primeras reglas de Hund determinan un nivel(40.5) que se subdivide en varios niveles (40.6) es posible que todos los Jcorrespondientes a estos niveles definan una valencia posible ya que ellosestan energeticamente muy cerca.

Ejemplo Consideremos el atomo de nitrogeno, cuya configuracion fun-damental es

N : 1s2 2s2 2p3.



La ultima capa tiene 3 electrones (r = 3) y estos electrones tienen ℓ = 1.Esto ultimo nos dice que debemos ver cuales son las representaciones deSU(2ℓ+1) = SU(3) con tensores de rango r = 3 compatibles con el princi-pio de Pauli (λ1≤ 2), esto es, construir las particiones de 3 en tres enterosλ1,λ2,λ3 con 2≤ λ1,≤ λ2≤ λ3. Facilmente determinamos en este caso quelas unicas participaciones posibles son (2, 1, 0) y (1, 1, 1). Estas son lasrepresentaciones [λ ] de SU(3) que debemos considerar. Las respectivasrepresentaciones asociadas de SU(2)[λ ] son (2,1) y (3) a las cuales lescorresponde un valor de S dado por (40.6) y que por lo tanto es 1—/2 y3/2 respectivamente. Los valores de L que corresponden a las representa-ciones de SU(3) se obtienen de una tabla y la situacion se resume comosigue.

ℓ= 1 SU(3) SO(3) SU(2)[λ ] L [λ ] S(2,1) 1,2 (2,1) 1/2(1,1,1) 0 (3) 3/2

En el diagrama de arriba los niveles han sido dibujados en el ordenprescrito por las reglas de Hund. La paridad de cada uno de estos niveleses la paridad del nivel original, tres electrones con ℓ= 1

P = (−1)(−1)(−1) =−1.

Vemos que la valencia para el nitrogeno resulta v = 3 y el resto de losniveles de la configuracion hacen posible tambien los valores 1 y 5.

PROBLEMA 40.1.- Estudiar la estructura fina de los atomos S y Mn cuyasconfiguraciones fundamentales son

S16 : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p4

Mn25 : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d5

Usando las reglas de Hund decidir cual es el nivel fundamental de estosatomos.

EJERCICIO.- Demostrar que para una capa llena se tiene L = S = 0

PROBLEMA 40.2.- Deducir las reglas de seleccion para transiciones cuadrupo-lares electricas para atomos con uno o varios electrones en su capa incom-pleta.

PROBLEMA 40.3.- A partir de cuales de los siguientes estados exitados unatomo de Si(1s22s22p63s23p2) puede volver a su estado fundamental pormedio de una transicion dipolar electrica?



a) 3p3d 3D2;

b) 3p4s3P1;

c) 4s5s3S1

d) 3p4s1P1

PROBLEMA 40.4.- La funcion para un atomo de He es aproximada bien co-mo producto de dos funciones ls : θ(x) = N exp(−ar) donde a se determinapor medio de un principio variacional y N es la constante de normalizacion.Encontrar N y determinar el potencial que ”sienteun electron.en el campode nucleo y del otro electron. Demostrar que es

Vc(r) =e2

r{1+ar)e−2ar}

7.5. Fuciones de Hartree-Fock

como ya se ha dicho en la seccion anterior la manera de obtener unafuncion de onda completamente antisimetrica necesariamente requiere quelas simetrıas de las partes orbital y espinorial sean simetrıas asociadas.Recordando qu el producto Kronecker de una RI del grupo simetrico porsu asociada contiene en su serie de Clebsch-Gordan a la representacionantsimetrica pero no es igual a ella, entonces, los productos de una fun-ciopn orbital [λ ] por una funcion espinorial [λ ] deben todavıa ser proyec-tados a la representacion antisimetrica. Por otro lado, el prob., 24.2 ilustrael hecho que una funcion arbitraria proyectada al espacio de la RI anti-simetrica puede ser escrito en la forma de un determinante. Puesto quenuestras funciones orbitales y espinoriales de simerıa dada se construyencomo ciertas combinaciones lineales entonces las funciones antisimetricasfinales seran combinaciones lineales de determinantes.

Ejemplo :

ψorb = u(1)v(2)−u(2)v(1)χ = a(1)b(2)+a(2)b(1)

ψtot = ψorbχ =

∣

∣

∣

∣

u(1)a(1) v(1)b(1)u(2)a(2) v(2)b(2)

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

u(1)b(1) v(1)a(1)u(2)b(2) v(2)a(2)

∣

∣

∣

∣

7.5. FUCIONES DE HARTREE-FOCK Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


En este caso no hubo necesidad de proyectar porque × = .

Si hacemos los espinores a y b iguales entonces la funcion total dearriba se reduce a un solo determinante.

Lo mas general es considerar funciones de onda que son combina-ciones lineales de determinantes pero nosotros supondremos en lo quesigue que nuestra funcion de onda es un solo determinante:

ψ tot =1√N!

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

φ1(1) · · · · · · φN(1)...

......

...φ1(N) · · · · · · φNN

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Las funciones φλ son funciones individuales (40.4).

La suposicion (41.2) nos asegura que el principio de Pauli se cunpleautomaticamente puesto que si φλ = φλ ′ , entonces dos columnas del de-terminante son iguales por lo que la funcion total se anula. Si las columnasson todas diferentes pero se tiene que (xi,si) = (x j,s j) entonces dos filasson iguales locual nuevamente causa que el determinante se anule. Es-to implica que dos electrones con los spines paralelos no pueden estaren el mismo lugra y por continuidad los electrones con spin paralelo raravez estan cerca. Esto introduce una correlacion de caracter cinematicoen las posiciones de electrones con paralelos (independiente de fuerzasmagneticas) que hace mas probable que estos electrones esten la mayorparte del tiempo a cierta distancia disminuyendo ası su repulsion Coulom-biana. Puesto que la repulsion Coulombiana es el termino principal en laestructura de multiplete de la configuracion basica de un atomo entoncesesto implica qu eel nivle mas bajo en esta estructura sera aquel con spintotal maximo (primera regla de Hund).

De todas las funciones (41.2) posibles debe buscarse la que mejor de-scriba el estado fısico vdrdadero, esto es, la que mejor permita describirlas propiedades del atomo que se este considerando. Para esto se usa unmetodo variacional que nos conduce a un conjunto de ecuacines integrod-iferenciales acopladas que deben satisfacer las funciones individuales φλ .Estas ecuaciones se resuelven numericamente por metodos iteractivos deautoconsistencia. Las ecuaciones se llaman funciones de Hartree-Fock. Elmetodo que conduce a esas ecuaciones lo estudiaremos en # 43.

- PROBLEMA 41.1. Sean tres electrones con funciones de ondas or-bitales µa,µb,µc. Habra una degeneracion de spin 23 = 8.



a) Construir las posibles determinantes de Slater.

b) Que valores de S2 y Sz son posibles en el acoplamiento y cuantasveces aparece cada uno?

c) Encontrar combinaciones lineales de los determinantes encontradosque diagonalicen los operadores S2 y Sz.

7.6. Elementos de matriz calculados con funcionesdeterminantes

En lo que sigue veremos la forma como se calculan elementos de ma-triz de un operador que depende de las coordenadas de los electrones:xi,si.

Consideremos solo dos casos, el de un operador F = ∑ fi en que cadafi depende de las coordenadas del electron i unicamente y el caso de unoperador G = ∑gi j en que cada gi j depende ahora de las coordenadas dedos electrones. Tanto las funciones fi como las funciones gi j son todasiguales entre sı , la diferencia esta en sus argumentos.

Caso 1: Ejemplos de funciones fi son

p2i /2m,Ze2/ri,µe = e∑ xi

y queremos calcular

(A|F |B) =∫

· · ·∫

ψ ∗ (A)Fφ(B)dτ1dτ2 · · ·dτN

donde las funciones ψ y φ son funciones determinantes construidascon distintos conjuntos de N funciones individuales φλ . Todas las funcionesφλ son extraıdas de un mismo conjunto completo ortonormal pero paradistinguir las que se usan en la construccion de ψ y φ a las primeras lasdenotaremos θ y a las segundas φ . Ası ,

ψ(A)≡ {θ1(1) · · ·θN(N)}= 1√N!

∑P

(−)pP(θ1(1) · · ·θN(N))

La suma es sobre todas las permutaciaones del grupo SN , permutacionesque por convencion supondremos que actuan sobre las funciones, esto es,

P(i j)θi(k) = θ j(k).

7.6. ELEMENTOS DE MATRIZ CALCULADOS CON FUNCIONES DETERMINANTESFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


El numero p nos da la paridad de la permutacion P.

Con todo lo dicho el elemento de matriz (42.1) puede escribirse en laforma

(A|F|B)= 1N! ∑

i∑P

∑P′(−)p+p′

∫

· · ·∫

P(θ1(1) · · ·θN(N))∗ fiP′(φ1(1) · · ·φN(N))dτ1 · · ·dτN

=1

N! ∑i

∑P,P′

(−)p+p′∫

Pθ1∗(1)P′φ1(1)dτ1 · · ·∫

Pθ ∗i (i) fiP′φi(N)dτi · · ·

∫

PθN ∗(N)P′φN(N)dτN

Puesto que las funciones θ y φ todas pertenecen a un mismo conjuntoortonormal entonces las integrales en la ultima expresion son todas cerosalvo que

Pθk(k) = P′φk(k)

La unica integral que no requiere de esta condicion es aquella en queeste fi.

Se concluye que si ψ(A) y φ(B) difieren es mas de una funcion ocupadaentonces (A|F|B) = 0.

Supongamos entonces que φ difiere de ψ en a lo mas una funcionocupada, o sea,

φ(B) = {θi1(1) · · ·φℓ(ℓ) · · ·θ1N(N)}

y aquı se encuentran todas las funciones que se usan para construir ψsalvo una, diagmos θk, que es reemplazada por φℓ. Las funciones natural-mente no tienen por que estar en el mismo orden sin embargo como es-tamos tratando con funciones totalmente antisimetricas siempre podemosreordenarlas. Definamos,

φ ′(B) =±φ(B) = {θ1(1) · · ·θk−1(k−1)φℓ(k)θk+1(k+1) · · ·θN(N)}

y ahora calculamos (A|F|B′) = ±(A|F|B). Ahora tendremos una expresionsimilar a (42.4) salvo que ahora, en todas excepto una) las integrales, lasdos funciones de onda son iguales, lo que exige, debido a (42.5), que P=P′

y por lo tanto (−)P+P′=+1. Ademas solo tendremos contribucion cuandola integral en que aparece fi sea precisamente

∫

θ ∗k (i) fi fiφℓ(i)dτ i de otromodo algunas de las otras integrales serıa nula. Esto requiere que las per-mutaciones P = P′ sean tales que la funcion i-esimo sea reemplazada porla funcion que ocupa el orden k lo cual en la funcion ψ significa θi → θk yen la funcion φ ,θiθk y en la ????? φi→ φℓ y esto para cada i. Hay (N−1)



! operadores en SN que pasan i→ k; sumando sobre i tenemos N vecesesto, o sea, N(N−1)! = N! que cancela el factor #1/N! luego

(A|F|B) =±∫

θk ∗ f φℓdτ =±(θk| f |φℓ)

En el caso en que |A) y |B) son iguales no es dificil ver de lo anterior que

(A|F|A) =N

∑j=1

)θi| f |θ j)

Este ultimo resultado dice que le valor de espectacion de un operador F enun estado de muchos electrones es la suma de los valores de espectacionde f sobre los distintos estados ocupados θ .

caso 2: Ahora se dan los elementos de matriz de operadores G. Lasconsideraciones que deben hacerse son enteramente analogas al caosanterior solo que ahora cada gi j depende de las coordenadas de dos delas partıculas lo que permite que |A) y |B) difieran a lo mas en dos funcionesocupadas. Los resultados son los siguientes,

i) si A y B difieren en dos funciones

(A|G|B) =±[(θkθℓ|g|φmφn)− (θkθℓ|g|φnφm)]

ii) Si A y B difieren en una sola funcion,

(A|G|B) =±∑t[(θkθt |g|φℓθt)− (θkθt |g|θtφℓ)]

la suma es sobre las N−1 funciones comunes a A y B.

iii) Si A = B entonces

(A|G|A) = ∑k,t,k<t

[(θkθt |g|θkθt)− (θkθt |g|θt θk)]

En estos tres casos el primer termino se llama ıntegral directa 2el segun-do se llama ıntegral de intercambio”. Este ultimo surje exclusivamente dehaber considerado funciones totalmente antisimetricas.

Si gi j no depende del spin, como es el caso de e2/ri j, entonces pode-mos hacer la ıntegral”sobre las coordebadas de soub eb firna truvuak, Oaraqye eb (42,10) al menos uno de los dos terminos de la derecha sea no nulo

7.6. ELEMENTOS DE MATRIZ CALCULADOS CON FUNCIONES DETERMINANTESFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


se necesita que mks = mm

s y mℓs = mn

s o bien mks = mn

s y mℓs = mm

s lo cual implicaque necesariamente MA

S = MBS . Esta ultima conclusion vale tambien para el

caso (42.11) por razones obvias.

Ene l caso diagonal (42.12) es automatico que MS es el mismo a amboslados. Se puede agregar que la integral directa es necesariamente no nulaen este caso mientras que la integral de intercambio tiene un factor delta deKronecker δ (mk

s ,mts), esto es, hay integrales de intercambio no nulas para

operadores independientes de spin solo para electrones de spin parale-lo. Esto introduce una energıa que formalmente depende de la orientacionrelativa de los spines y por lo tanto juega un papel central en problemasmagneticos a pesar que este efecto proviene precisamente de aquellosterminos gi j que no dependen del spin como en el caso del termino elec-trostatico V1 del hamiltoniano (40.1). En los atomos livianos las integralesde intercambios no nulas provenientes de V1 son positivas lo que hace quelos elementos de matriz (A|H|A) con todos los electrones con sus spinesorientados en la misma direccion sean los de menor energıa debido al sig-no menos delante de estas integrales en (42.12) locual nuevamente nosmuestra el origen de la regla de Hund N◦1.

- PROBLEMA 42.1.: Demostrar en detalle las ecs. (42.10), (42.11) y(42.12).

7.7. El metodo de Hartree-Fock

(En particular se recomienda consultar las refs. 16, 18, 20 y 21).

Basaremos la descripcion del metodo de Hartree-Fock en el uso defunciones determinantales tipo (41.2), llamadas tambien determinantes deSlater.

El metodo consiste en variar las funciones individuales θλ mantenien-do siempre la ortonormalidad de las N funciones que se usen y minizar laenergıa (ψ |H|ψ)≡ (H)ψ a traves de un principio variacional. Los mınimosası obtenidos definen autovalores E y autofunciones ψ aproximados de Hcomo es bien sabido de mecanica cuantica elemental. Analisis mas com-plicado usando combinaciones lineales de determinantes de Slater (ver ref.18), tambien han sido hechos.

Como hamiltoniano usaremos H = Ho +V1 que escribimos en la forma



H1 = ∑i (p2

i2m − 2e2

ri)+∑i< j

e2

ri j

= F +G

con F y G operadores del tipo considerados en la seccion anterior, y fi =f (ri) mientras gi j = g(ri j). En el metodo variacional debemos considerar elpromedio (H1)ψ el cual depende funcionalmente de los θλ , los cuales, co-mo ya se dijo, permanecen como funciones ortonormales en todo momen-to durante la variacion. Esto ultimo implica N2 condiciones suplementariasque deben preservarse durante la variacion, lo que hace conveniente eluso del metodo de multiplicadores de Lagrange.

Por lo visto en la seccion anterior el promedio de H es

(H1)ψ =N

∑i=1

(θi| f |θi)+∑i< j

[(θiθ j|g|θiθ j)− (θiθ j|g|θ jθi)]

y la condicion de mınimo manteniendo la condicion de ortonormalidad delas funciones θλ es

δ (H)ψ −∑i, j∈i j δ (θi|θ j) = 0

donde los N2 parametros ∈i j son los multiplicadores indeterminados deLagrange. Estos N2 parametros pueden usarse par adefinir una matriz [∈]de dimension N hermıtica. En efecto, puesto que (H)ψ es real, al sustraerde (43.3) la relacion (43.3) conjugada se tiene

0 = ∑ ∈i j δ (θi|θ j)−∑ ∈∗i j δ (θ j|θi)

= ∑(∈i j − ∈∗ji)δ (θi|θ j)

y puesto que las variaciones (θi|θ j) son todas independientes entonces

∈i j=∈∗ji ⇒ [∈]† = [∈].

Escribamos ahora la condicion (43.3) en forma mas explıcita haciendouso del hecho que

δ (a|A|b) = (δa|A|b)+ ((a|A|δb)

y tambien

7.7. EL METODO DE HARTREE-FOCK Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


δ (ab|A|cd) = ((δa)b|A|cd)+ (aδb|A|cd)+ (ab|A|cδd)+ (ab|A|δcd).

Al calcular en esta forma los dos termino de (43.3), haciendo uso de(43.2), obtenemos terminos que corresponden a variaciones independi-entes ya que cada θi, i = 1,2, · · ·N, es variado independientemente. Loscoeficientes de cada una de estas variaciones debe ser nulo. En particularescribimos a continuacion el resultado que se obtiene al imponer que esnulo el coeficiente de la variacion de (θi) con un i fijo, lo cual da, despuesde un calculo elemental,

(|θi)+∑j[(θ j|g|θ j)|θi)− (θ j|g|θi)|θ j)] = ∑

j∈i j |θ j)

Hacemos notar que el termino ∑i<h en (43.2) peude tambien escribirseen la forma 1

2 ∑i, j ya que el termino que se esta sumando se anula parai = j.

Antes de elaborar mas sobre (43.5) demostraremos que con una elec-cion adecuada de la base {θi} se puede lograr que las matriz [∈] sea unamatriz diagonal. Para esto hagamos un cambio de base por medio de unatransformacion unitaria C,

|θ ′j) =C ∗k j |θk) |θk) =Ck j|θ ′j)

Ci jC∗k j =C ∗ik C jk = δik (θk|= (θ ′j|C∗k j

Multiplicando (43.5) por ∑i C∗ik se obtiene

f |θ ′k)+∑j

[(θ j|g|θ j)|θ ′k)− (θ j|g|θ ′k)|θ j)] =∑i, j

∈i j C ∗ik |θ j)

pero(θ j|g|θi) = (θ ′ℓ|C ∗ jℓ gC jm|θ ′m) = (θ ′j|g|θ ′j)

por lo tanto

f |θ ′k)+∑ j[(θ ′i |g|θ ′j)|θ ′k)− (θ ′j|g|θ ′k)|θ ′j = ∑i,ℓ ∈i j C ∗ik Ciℓ|θ ′ℓ)= ∑C∗ik ∈i j C jℓ|θ ′ℓ)= ∑ℓ ∈′kℓ |θ ′ell)



donde∈′kℓ = ∑ C∗ik ∈iℓ C jℓ

= [C∗]ki[∈]i j[C]iℓ

Este ultimo resultado muestra claramente que una eleccion adecuada dela transformacion C nos lleva a una base en la cual la nueva matriz esdiagonal. En lo que sigue trabajaremos en esta base especial y usamos lanotacion,

Ei =∈ii .

En esta nueva base la ecuacion (43.5) se puede escribir como sigue,

f |θk)+∑j

[(θ j|g|θ j)|θk)− (θ j|g|θk)θ j)] = Ek|θk)

que mas explicitamente se puede escribir en la forma

(−∇2

2m− Ze2

r)θk(x)+∑

j[

∫

θ∗j (y)e2

|x− y| θ j(y)d3yθk(x)−

∫

θ∗j (y)e2

|x− y|θx(y)d3yθ j(x)]=Ekθk(x)

1

Esa ecuacion tiene la forma hamiltoniana Hθk = Eθk con un operadorhamiltoniano efectivo no local debido al ultimo termino al lado izquierdo. Enefecto, esta ecuacion puede escribirse en la forma

(−∇2

2m− Ze2

r)θk(x)+WD(x)θk(x)−

∫

WI(x,y)θx(y)d3y = Exθk(x)

De los tres terminos del miembro izquierdo el primero describe la energıacinetica y la atraccion ejercida por el nucleo sobre el electron k mientraslos dos ultimos terminos, que en (43.10) corresponden a la sumatoria, de-scriben la repulsion Coulombiana del electron k con todos los electronesincluyendo k mismo (ya que no hay especificacion j 6= k); sin embargo esfacil ver en (43.10) que el sumando j = k es identicamente nulo.

A menudo se ha usado la ecuacion de Hartree-Fock en su forma (43.11)para encontrar soluciones aproximadas por un metodo iterativo. Se comien-za normalmente tomando las N funciones θ◦i soluciones exactas del hamil-toniano parcial Hi con potencial−Ze2/ri y con ellas se calcula las funcionesWD y WI de la ecuacion (43.11). Con estas funciaones que podemos llamar

1Nota: Los θi, soluciones de 45.10 son los campos autoconsistentes que permiten describir elmovimiento de un electron por efecto de un capo producido por todos los otros. Esto ha sido hechopara todos y cada uno de los electrones del sistema.

7.7. EL METODO DE HARTREE-FOCK Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


W ◦D y W ◦I se resuelve la ecaucion integrodiferencial (43.11) por metodosnumericos encontrandose un conjunto ortonormal de soluciones θi(1) conlas que se construye nuevamente funciones WD(1) y WI(1) las que se usannuevamente para resolver la ecuacion (43.11) y ası sucesivamente. No haygrantıa que el metodo converja pero si lo hace entonce esto permite definirun determinante Slater que se llama funcion de Hartree-Fock y que es lamejor aproximacion dentro de este metodo a una funcion propia de H1. Losvalores propios de H son calculados como los elementos diagonales (H1)ψusando la funcion de Hartree-Fock.

Los Ei pueden interpretarse como la energıa individual del electron enel orbital θi.

7.8. Calculo de las energıas L− S de una configu-raci on

Rglas de sumas de Slater.

En esta seccion veremos otro metodo para calcular aproximadamentelos autovalores del hamiltoninano H1 = Ho +V1 haciendo uso de teorıa deperturbaciones. El metodo es el usual de teorıa de perturbacion para unhamiltoniano con espectro degenerado como aparece por ejemplo en eltexto de Landau & Lifshitz, sec. 39 con la dificultad practica de resolver laecuacion secular cuando el determinante es de una dimension inmanejableenforma directa. Veremos como teorıa de grupos nos permite factorizar laecuacion secular hasta hacerla trivial.

Consideremos como caso ilustrativo el nivel base de un hamiltonianoHo cuya configuracion consiste de capas llenas mas una capa incompletacorrespondiente al valor ℓ = 1 del momento angular de cada electron, condos electrones.

Haciendo el analisis estudiado en # 39 la situacion se puede resumircomo sigue.



ℓ= 1 SU(3) SO(3) SU(2)

[λ ] L ∑ℓ(2L+1) [λ ] S (2S+1)∑(2L+1)

(2) 0,2 6 (1,1) 0 6 1S,1D

(1,1) 1 3 (2) 1 9 3P

15

Como se ve hay 15 funciones de onda linealmente independientes cor-respondientes a esta configuracion y por lo tanto corresponden al mismonivel energetico en la aproximacion Ho de campo central. La perturbacionV1 elimina en parte esta degeneracion. Para hacer este calculo, comobiense sabe, debe resolverse la ecuacion secular

|(Ho +V1)i j−Eδi j|= 0

esto es, un determinante de 15× 15. Para encontrar las raıces de estaecuacion sin teorıa de grupos habrıa que encontrar directamente las raıcesde esta ecuacion de grado 15.

El analisis con teorıa de grupos hecho mas arriba, sin embargo, nospermite saber desde ya que solo existen tres raıces diferentes correspon-dientes a niveles 1S,1D y 3P de Ho +V1. Para poder encontrar estos nivelesnumericamente debemos construir las funciones de onda de cada nivel acero orden en teorıa de perturbacion, esto es, como combinacion de las 15funciones antisimetricas de la configuracion base. Para distinguir estas 15funciones las etiquetamos con los dos valores de mℓ y los correspondientesdos valores de ms. Por ejemplo, tenemos las funciones antisimetricas cuyasfunciones ocupadas son (θ↑+1,θ

↓o ) que quiere decir: la primera funcion con

mℓ = +1 y ms = +1/2 y la segunda funcion con mℓ = 0 y ms = −1/2. Co-mo notacion abreviada usaremos la notacion (1+0−) para designar a estafuncion antisimetrica. En esta notacion las 15 funciones del ejemplo que

7.8. CALCULO DE LAS ENERGIAS L−S DE UNA CONFIGURACIONFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


estamos considerando son,

ML MS = 1 0 −1

2 (1+,1−)

1 (1+,0+ (1+,0−)(1−,0+) (1−,0−)

0 (1+,−1+) (1+,−1−)(1−,−1+)(0+,0−) (1−,−1−)−1 (0+,−1+) (0+,−1−)(0−,−1+) (0−,−1−)

−2 (−1+,−1−)

Con combinaciones lineales de estas funciones propias de Ho se con-struye a cero orden en teorıa de perturbacion las funciones de los tresniveles a que da origen la configuracion base de nuestro sistema.

Evidentemente la funcion (1+,1−) tube oriteccuon solamente sobre elespacio del nivel E(1D) puesto que esta funcion tiene ML = 2 y aquel niveles el unico que admite tal valor de ML. Cada casillero ”tiene una proyec-cion.a tantos espacios propios de H como funciones( , ) hay en ese casillero.por similares razones la funcion (1+,0+) tiene unicamente sobre el nivelE(3P) puesto que esta funcion tiene MS = 1. Estas consideraciones nospermiten asegurar que a primer orden

E(1D) = (1+1−|H1|1+1−)≡< 1+1− >E(3P) = (1+0+|H1|1+0+)≡< 1+0+ >

Para el caso del nivel E(1S) razonamos como sigue. Puesto que nuestrohamiltoniano H1 = Ho +V1 conmuta con los operadores L,S y J entonceslos elementos de matriz (Ho+V1)i j son nulos salvo entre estados con igualML y MS, lo que tiene por efecto que esta matriz tenga una estructura debloques que permiten factorizar la ecuacion secular. Los bloques son 8de 1 × 1 , 2 de 2 × 2 y uno de 3 × 3 que corresponden a los casillerosde la tabla (44.2) ya que en cada casillero estan todas las funciones conigual valor de ML y MS. Por lo tanto podemos considerar en particular laecuacion secular con los elementos de matriz de H entre los estados conML = MS = 0 que es solo de tercer grado. (Ver la tabla (44.2)). En este casoE(1S) sera una de las tres raıces de la ecuacion. Pero en lugar de resolverla ecuacion cubica hacemos uso de la propiedad general que la traza de



una matriz es invariante a una transformacion similar. La traza de la matrizH4 de 3 × 3 en la base (44.2) es

Tr(H1) =< 1+−1−+< 1−−1+ >+< 0+0− >

mientras que una vez diagonalizada H1 la traza es igual a la suma desus valores propios, lo que da

Tr(H1) = E(1S)+E(1D)+E(3P)

y puesto que ya conocemos las dos ultimas energıas de (44.3) podemosdespejar la energıa que quedaba por determinar.

Este metodo generalizado a otros casos se llama el metodo de las re-glas de suma de Slater.

PROBLEMA 44.1: Aplicar el metodo de las reglas de suma de Slater a laconfiguracion en que la capa incompleta tiene dos electrones con ℓ= 2.

En las secciones que siguen veremos la manera de tomar en cuenta elefecto del termino V2 del hamiltoniano (40.1).

7.9. Un teorema dsobre elementos de matriz

Teorema: ”Si ~A es un operador que satisface

[Aα ,Jβ ] = i ∈αβγ Aγ

donde los Jα son operadores de momento angular que satisfacen lasrelaciones de conmutacion (27.1) entonces los elementos de matriz <JM′ : J|~A|JMJ > son proporcionales a los elementos de matriz de J y laconstante de proporcionalidad es independiente de los numeros cuanticosmagneticos,

< JM′J|~AJMJ >=< J||~A||J >< JM′J|~J|JMJ > ” .

Para demostrar este teorema es conveniente considear los operadores

J± = J1± iJ2 A± = A1± iA2

Con estos operadores las ecuaciones de conmutacion (45.1) son

7.9. UN TEOREMA DSOBRE ELEMENTOS DE MATRIZ Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


[A±,J3] =∓A± , [A±,J±] = 0 , [A±,Jmp] =±2A3

Ademas se sabe que

J±|JM > = |J,M+1>< J,M±1|J±|J,M >< JM|J± = < JM|J±|JM∓1>< JM∓1|J3|JM > = M|JM >

Los coeficientes numericos al lado derecho de estas expresiones sonbien conocidos y se pueden encontrar tabulados.

Evaluemos un elemento de matriz de (45.3a)

±< JM′|A±|JM >= (M−M′)< JM′|A±|JM >

fque es no nulo solo si M′ = M±1 tal como los elmentos de matirz deJ. La constane de proporcionalidad es trivialmente

< JM±1|A±|JM >= (< JM+1Mm±1

∣

∣

∣

∣

A±J±

∣

∣

∣

∣

JM >

HnN >)< JM±1|J±|JM >

Ahora tenemos elementos de matriz (45.3b)

0 = < JM′|[A±,J±]|JM >= < JM′|A±|JM±1>< JM±1|J±|JM)−< JM′|J±|JM′∓1>< Jm′∓1|A±|JM >

Y por lo tanto el primer termino es igual al segundo y cada uno es nulosalvo que M′ = M±2 por lo que se deduce que

< JM±2|A±|JM±1>

< JM±2|J−±|JM±1>=

< JM±1|A±|Jm >

< JM±1|J±|Jm >

lo cual muestra que la constante de proporcionalidad en el parentesisredondo de (45.5) no depende de M y la denotaremos por

() =< J||A||J >±

Luego veremos que tampoco depende del ındice ±.



Considremos un elemento de matriz de la relacion (45.3a)

±2< JM′|A3|JM >=< JM′|A±|JM∓1>< JM∓|< J∓|JM >−< JM′±1|A±|JM >< JM′|J∓|JM′±1>

Haciendo uso de (45.5) y (45.7) vemos que

= < J||A||J >± {< JM′|J±|JM∓1|>< JM∓1|J∓|JM >−− < JM′±1|J±|JM >< JM′|J∓|JM′±1>}

De (45.4) sabemos que J3 tiene elementos de matriz no nulos solo paraM′ = M. En este caso (M′ = M) el parentesis de llave es

{}= |< JM∓1|J∓|JM > |2−|< JM∓1|J±|JM > |2= < JM|[J±J∓]|JM >=±2< JM|J3|JM >

Por lo tanto

< JM′|A3|JM >=< J||A||J >±< JM′|J3|JM >

Resultado este que muestra tambien qu el coeficiente no puede depen-der del ındice ±. Los resultados (45.5), (45.7) y (45.8) quedan resumidosen la ecuacion (45.2)

Un simple corolario de este teorema es que

< JM′|~A · ~J|JM =< J||A||J > J(J+ |)δMM′

cuya demostracion se deja como un ejercicio.

7.10. Estructura fina de atomos livianos

En atomos livianos el termino V2 es una perturbacion fina al hamiltoni-ano (43.1). El efecto de esta perturbacion podrıa nuevamente calcularsecon el metodo elemental de resolver una ecuacion secular una vez que sehaya determinado las funciones propias a cero orden del hamiltoniano to-tal. Nuevamente sin embargo, el uso de teorıa de grupos permite hacer elcalculo en forma mas sencilla.

- El caso de un electron.

7.10. ESTRUCTURA FINA DE ATOMOS LIVIANOS Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


Consideremos primero el caos de un atomo cuya capa incompleta tieneun solo electron que supondremos que se mueve en un potencial de simetrıaesferica. La energıa potencial correspondiente a la interaccion del momen-to intrınseco del electron con el campo magnetico producido por la cargaen su movimiento orbital es

V2 = ~µe · ~H

= −(−eh2mc

~S) · ( hemc

1r

∂U∂ r

~ℓ)

donde U es el potencial central en el que se mueve el electron. Esta expre-sion puede escribirse en la forma

V2 = ξ (r)~s ·~ℓ

que es la expresion, para el caso de un solo electron, que habıamos ade-lantado en (40.1).

La ecuacion que habrıa que resolver para tomar en cuenta en primerorden el efecto de V2 en los niveles de H1| = Ho +V1 es la ecuacion secular

|(H1+V2)NN ,−EδNN′ |= 0

Como vectores base |N > nos conviene tomar aquewllas combinacioneslineales de los vectores |nℓmℓsms > que a cero orden sean autovectores delhamiltoniano total H. Recordemos que estos vectores son factorizables yaque como es bien sabido

< x|nℓmℓ sms >= Rnℓ(r)Yellmℓ(θφ)χms

por lo que

|nℓmℓ sms >= |nℓ)|ℓmℓ)|sms).

Nosotros tomaremos como vectores base aquellos que forman basepara los espacios irreductibles de las rotaciones simultaneas de coorde-nadas y de spin, esto es, el grupo SO(3) generado por ~j =~ℓ+~s. El poten-cial V2 y todo el hamiltoniano son invariantes bajo este grupo lo que implicaque ellos son operadores diagonale en la base de representacion de estegrupo SO(3)(~j) por lo que los elementos de matriz seran no nulos solo si

m = m′ donde m es el numero cuantico magnetico correspondiente a ~j quese sabe que es aditivo, esto es,

m = mℓ+ms = m′ℓ+m′s.



Puesto que los vectores base |N > de las RIs de SO(3)(~j) se forman concombinaciones lineales de vectores (46.5) con distintos mℓ con distintos mℓ

y ms pero con el mismo valor de n, ℓ,s entonces estos vectores se denotanpor

|N >= |nℓs jm j >= |nℓ)|ℓs jm j)

y en esta base los vectores ~ℓ2, ~s2 y ~j2 son diagonales con autovaloresℓ(ℓ+1),s(s+1) y j( j+1) respectivamente.

Puesto que ya tenemos una base en la cual el hamiltoniano es diagonalya no es necesario resolver la ecuacion secular; los elementos de matrizde V2 en esta base nos dan directamente los terminos de desdoblamientode los niveles En del hamiltoniano parcial H1.

Estos elementos de matriz son

En jls(1) =< nℓs j m′j|V2|nℓs jm j >= (nℓ|ξ (r)|nℓ)(ℓs jm′j|~ℓ ·~s|ℓs jm j)

El primer elemento de matriz depende del potencial U(r) que se con-sidere y tendra que ser evaluado en cada caso particular, al segundo el-emento de matriz puede ser calculado facilmente al tomar en cuenta quepuesto que

~j2 = (~ℓ+~s)2 =~ℓ2+~s2+2~ℓ ·~s

entonces

~ℓ ·~s =~j2−~ℓ2−~s2

2

Por lo tanto los terminos correctivos eon

E(1)n jℓs = ξ (nℓ)

j( j+1)− ℓ(ℓ+1)− s(2+1)2

pero como r = 1 entonces s = 1/2 j = ℓ± 12, luego

E(1)n jℓ 1

2=

ξ (nℓ)2

{

ℓ · · · ( j = ℓ+ 12)

−(ℓ+1) · · · ( j = ℓ− 12).

Puesto que para todos los potenciales razonables U se tiene que ∂U/∂ res positivo, entonces ξ (nℓ) > 0 por lo que el nivel con j = jmin = ℓ− 1

2 es



el mas bajo tal como lo requiere la tercera regla de Hund. Esto terminael analisis del desdoblamiento de los niveles H1 fque como vemos se de-scomponen en precisamente dos niveles de estructura fina. Como ya seha hecho notar en otras ocasiones, el caso con ℓ = 0 es una excepcion yno se desdobla.

- El caso de varios electrones.

En el caso de varios electrones son varias las interacciones que a pri-ori habrıa que tomar en cuenta. En la expresion (40.1) solo se incluye lasinteracciones de los spines con las respectivas orbitas pero no se ha con-siderado las interacciones cruzadas spin-spin y tambien spin-otra orbita.En la mayorıa de los casos nuestro hamiltoniano nos da una aproximacionrazonablemente buena.

El analisis que hay que hacer en este caso es enteramente analogaal caso anterior. Primero se construyen las combinaciones lineales de losvectores |nLSMLMS > para formar los vectores que a cero orden den vec-tores propios del hamiltoniano total y que, tal como antes, podemos denotar|nLSJM >. En esta ultima base los operadores L2,S2 y J2 son diagonales.Nuevamente en este caso H1 es diagonal en esta base por lo que los termi-nos de correccion fina del espectro energetico se obtienen directamentecomo los elementos de matriz de V2. Puesto que V2 es invariante al grupoSO(3)(J) entonces la proyeccion del momento angular total se conserva,

M = ML +MS = M′L +M′S

Con esto, los terminos de correccion fina son

E(1)nJLS =< nLSJM′|V2|nLSJM >=∑

i

(nL|ξ (ri)|nL)(LSJM|~ℓi~si|LSJM)

El ultimo elemento de matriz lo podemos escribir a su vez como un ele-mento de matriz de ~D~S. En efecto, los vectores |LSJM > son combinacioneslineales de vectores |LSMLMS >= |LML)|SMS) lo que usamos para escribir

< LSM′LM′S|~ℓi ·~Si|LSMLMS >= (LM′L|~ℓi|LML) · (SMS|~Si|SMS)

que por el teorema de la sec. 45 podemos escribir

= (L||ℓi||L)(S||Si||S)< LSM′LM′S|~L ·~S|LSMLMS >



Por esto, los elementos de matriz en (46.10) pueden escribirse en laforma

E(1)nJLS = [∑i(nL|ξ (ri|nL)(L||~ℓi||L) · (S||~Si||S)] < LSJM|~L ·~S|LSJM >

= ζ (nLS) J(J+1)−L(L+1)−S(S+1)2

Que es el resultado final que nos da el analisis efectuado con la ayudade teorıa de grupos. Esta vez los niveles originales ENls se desdoblan entantos niveles de estructura fina como terminos tenga la serie de Clebsch-Gordan del producto Kronecker de las representaciones L y S de SO(3).

Es interesante notar que el coeficiente ζ (nLS) no depende de J, porlo que este factor es comun a todos los subniveles en que se desdoblaun nivel dado y por lo tanto la diferencia entre estos subniveles se calculafacilmente, obteniendose que es proporcional a J:

EnJLS−En(J−1)LS = ζ (nLS)[J(J +1)− J(J−1)] = ζ (nLS)J

resultado que es conocido como la regla de intervalos de Lande.


Capıtulo 8

Moleculas

8.1. Aproximaci on cuasiest atica de Born-Oppenheimer

Describamos elhamiltoniano total de una molecual con la expresionm

H = ∑α

Tnα +∑i

Tei +Vnn +Vne +Vee

donde las partes de energıa cinetica son

Tnα = − h2

2Mα~∇2

α

Tei = − h2

2m~∇2

i

y las tres partes de energıa potencial se refieren a las interaccionesnucleo-nucleo, nucleo-electron y electron-electron respectivamente. Dadala gran masa de los nucleos atomicos comparada con la masa del elec-tron, el movimiento de estos ultimos es mucho mas rapido por lo que enprimera aproximacion podemos suponer que los niveles electronicos estandeterminados por un hamiltoniano con nucleos estaticos,

He = ∑i

Tei +Vee +Vne +Vnn

Hacemos notar que las funciones propias de este hamiltoniano, ψe(ri;Rα),son funciones de las coordenadas electronicas ri y dependen ademas parametri-camente de las coordenadas Rα de los nucleos. El termino Vnn en estehamiltoniano es una simple constante aditiva. Debido a los dos ultimos

149


terminos en He los valores propios de este hamiltoniano tambien depen-den parametricamente de las coordenadas de los nucleos, Rα ,

Heψe(ri;Rα) = Ee(Rα)ψe(ri;Rα)

Una vez resuelta esta ecuacion supongamos un pequeno movimientode los nucleos alrededor de su posicion de equilibrio. Las funciones propiasdel hamiltoniano total a cero orden seran de la forma

ψ = ψeψn

donde las ψe son las funciones determinadas por la ecuacion (47.5) y lasfunciones ψn son funciones que debemos determinar imponiendo Hψ =Eψ .

En esta aproximacion supondremos que las funciones ψe son menossencibles a las variaciones de Rα que las funciones ψn por lo que

∇2α ψ = ∇2

αψeψn ≃ ψe∇2αψn

dfque deberıa ser valido por lo menos alrededor del punto de equilibriode los nucleos. Con estas consideraciones impongamos

Hψ = Eψ

Esto es,

(He +∑Tnα)ψeψn ≈ ψnEe(Rα)ψe +ψe ∑Tnα ψn = Eψeψn

Vemos que la funcion electronica ψe puede ser cancelada de esta ecuacionobteniendo la siguiente ecuacion para ψn,

∑α

Tnα ψn +Ee(R)α

ψn = Eψn

Esta es una ecuacion de Schrodinger para la funcion de onda de los nu-cleones cuyo potencial efectivo es la energıa electronica correspondienteal estado en que se encuentren los electrones, incluyendo Vnn.

Como ultima etapa podrıa incluirse los terminos despreciados en laaproximacion (47.7) obteniendose en general que la influencia de estos

8.1. APROXIMACION CUASIESTATICA DE BORN-OPPENHEIMER Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


terminos es efectivamente despreciable, salvo en los casos de moleculasmuy simetricas, como se vera mas adelante.

En lo que sigue veremos especialmente el caso de moleculas diatomi-cas por su sencillez y puesto que ellas ya presentan todas las peculiari-dades del caso molecular que lo diferencian del caso de atomos libres.

8.2. El grupo de simetrıa de mol eculas diat omicas

La simetrıa basica de toda molecula diatomica o poliatomica cuyos ato-mos esten en lınea recta es descrita por el grupo de rotaciones alrededordel eje molecular, esto es, el grupos SO(2).

La representacion natural de este grupo de un parametro es

M(φ) =(

cosφ sinφ−sinφ cosφ

)

Puesto que el grupo es abeliano sus RIs son unidimensionales. Lasfunciones de estos espacios de RI deberan ser funciones f (α) tales que laaccion del operador de rotacion en un angulo φ sea,

0g(φ) f (α) = f (α +φ)

lo que facilmente nos hace ver que tanto las matrices unidimensionalesde representacion como las funciones del espacio son exponenciales,

D(m)(g(φ)) = eimφ , f (m)(α) = eimα .

El grupo SO(2) que estamos considerando es un grupo infinitamenteconexo puesto que el espacio de parametros es topologicamente equiv-alente a una circunferencia lo que permite infinitas clases de curvas cer-radas no equivalentes y por lo tanto existen RIs k-valuadas con k= 1,2,3, · · ·.La representacion (48.3) es univaluada si

D(m)(φ) = D(m)(φ +2π)

lo que facilmente se ve que implica

m = 0,±1,±2, · · · (RIs univaluadas)



Y en geneal una representacion es k-valuada si m es una fraccion primade la forma,

m = r/k,r = 0,±1,±2,±3, · · · (RIs k-valuadas)

La simetrıa de una molecula lineal ABC · · ·F queda totalmente definida siagregamos al grupo SO(2) los planos de reflexion que contengan el ejeprincipal para formar el grupo O(2) = C∞v que claramente es no abelianoya que de sus elementos podemos seleccionar aquellos que definen porejemplo al grupo no abeliano C3v. Por lo tanto los espacios de RI de SO(2)definidos en (48.3) no permaneceran en general invariantes bajo la accionde O(2).

En efecto, la accion de Oσv sobre una funcion f (m)(α) da f (m)(−α) =f (−m)(α) que es una funcion - base de la RI D(−m) de SO(2) - salvo para elcaso en que m = 0. De este modo los espacios de las representaciones (m)y (−m) de SO(2) se mezclan en un solo espacio de RI de O(2) que ahoradependera del valor absoluto de m y no de su signo: D|m|(O(2)).

En la representacion natural, que esta vez es irreductible, las rotacionespropias son las matrices M(φ) definidas en (48.1) y una reflexion especialpuede tomarse diagonal como sigue,

M(σv) =

(

1 00 −1

)

La matriz de una rotacion impropia tıpica en la representacion naturalse obtiene multiplicando (48.1) con (48.6), la cual da,

M′(φ) =(

cosθ sinθ+sinθ −cosφ

)

Las matrices bidimensionales correspondientes a la RI D|m|,m 6= 0 asoci-adas a rotaciones propias e impropias son similares a las matrices (48.1)y (48.7) solo que el argumento no es φ sino mφ .

Para m = 0 se tiene dos RI unidimensionales, la trivial y aquella queasocia un +1 a las rotaciones propias y un −1 a las rotaciones impropias.

La tabla de caracteres para las RIs univaluadas de O(2) es

8.2. EL GRUPO DE SIMETRIA DE MOLECULAS DIATOMICAS Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


O(2) M M′

∑+ 1 1∑− 1 −1Π 2cosφ 0∆ 2cos2φ 0Φ 2cos3φ 0...

......

PROBLEMA 48.1: Mostrar que los caracteres del grupo SO(2) satisfacen

12π

∫ 2π

0dφ χm(φ)χm′(φ) = δmm′

y los caracteres del grupo O(2) satisfacen

14π

∫ 2π

0dφ χm(φ)χm′(φ) = δmm′

Hasta aquı hemos descrito el grupo de simetrıa O(2) para una moleculalineal del tipo ABC · · ·D. Puede ocurrir que aun haya mas simetrıa como esel caso de una molecula ABCBA o cualquier distribucion que tenga un planode reflexion perpendicular al eje como operacion de simetrıa. En tal casoel grupo de simetrıa es D∞h = 0(2)×Ci.

Puesto que este grupo tiene la inversion como una de sus operacionesentonces cada representacion del grupo O(2) da origen a dos representa-ciones del grupo D∞h de la misma dimension, una par bajo inversion ”g 2

otra impar bajo inversion u”. Las representaciones univaluadas de D∞h sonpor lo tanto

+

∑g

+

∑u

−∑g

−∑g

Πg Πu ∆g ∆u · · ·

8.3. Clasificaci on de los estados moleculares

En el analisis que sigue estudiaremos especıficamente el caso de molecu-las diatomicas.



El campo en que se mueven los electrones no es central, por lo tantoel momento angular orbital L ya no se conserva ni ahy simetrıa O(3). Sinembargo se conserva M, la proyecccion del momento angular al eje de lamolecula, debido a la simetrıa cilındrica presente en el problema. Comoya hemos visto, es el numero ∆ = M = 0,1,2, · · · el ındice adecuado paraclasificar las RIs de grupo de simetrıa de una molecula lineal.

Cada nivel energetico de la molecula se caracteriza ademas por elspin total S de sus electrones. Si S 6= 0 entonces hay degeneracion de or-den (2S + 1). Como esta degeneracion es parte de la caracterizacion delos niveles energeticos de la molecula, se escribe el valor 2S + 1 arribaa la izquierda del sımbolo que denota la representacion del grupo G desimetrıa. Por ejemplo, 3∆u denota un nivel con S = 1,∆ = 2 y las funcionesde onda son antisimetricas con respecto s ls inbrtdion.

Es una ley empırica que el nivel energetico fundamental de las molecu-las diatomicas estables tipo AB sea 1 ∑+ y tipo AA sea 1 ∑+

g . Excepcionesnotables a esta regla son O2 :3 ∑−g , y NO: 2Π.

Supongamos que podemos construir una molecula diatomica a par-tir de dos atomos libres (suficientemente separados) los que acercamosadiabaticamente a lo largo de una recta fija hasta su punto de equilibrio.Inicialmente los atomos libres tienen sendos valores de momento angular,L1 y L2. Antes que los atomos interactuen existe una simetrıa O(3)×O(3) yel sistema esta en un estado al que corresponde la RI DL1

⊕

DL2 del grupode simetrıa. Al considerar la interaccion debemos restringirnos al grupo Gque es alguno de los posibles grupos de simetrıa de la molecula descritosen la seccion anterior. Esto lo hacemos por etapas, primero pasamos algrupo O(3) y por lo tanto a la RR DL1×DL2 y de aquı al grupo G .

Para facilitar el analisis fijemos la relacion L1≤ L2. Los posibles valoresde los respectivos numeros cuanticos magneticos son respectivamente:

M1 = −L1,−L1+1, · · · ,L1

M2 = −L2

Puesto que en el proceso de construccion de la molecula no se rope lasimetrıa axial entonces ∆ = |M1+M2| es conservado en este proceso porlo que puede tener los siguientes valores

8.3. CLASIFICACION DE LOS ESTADOS MOLECULARES Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


numero defunciones de onda

= L1+L2 2= L1+L2−1 4...

...= L1−L2+1 2·2L2

= L1−L2 2(2L2+1)= L1−L2−1 2(2L2+1) solo si... L1 > L2

= 1 2(2L2+1)= 0 2L2+1

Si sumamos el numero de posibilidades veremos que resulta (2L1+1) ·(2L2+1) como debe ser.

Las dos maneras de obtener ∆ = L1+L2 nos da (si ∆ 6= 0) las dos fun-ciones base para la RI bidimensional de G correspondiente a este valor de∆, por lo cual esta RI de G aparece una vez en la descomposicion de larepresentacion original en que se tenıa al sistema antes de la interaccion.Para ∆ = L1+L2−1 hay 4 funciones independientes y por lo tanto (si ∆ 6= 0)esta RI de G aparecera dos veces, etc.

En resumen, la descomposicion de D(L1)⊕

D(L2)(0(3)×0(3))|G contiene

valor de ∆ Multiplicidad de larepresentacion

L1+L2 1L1+L2−1 2...

...L1−L2+1 2L2 dim = 2L1−L2 2L2+1... L1 > L2

...1 2L2+10 2L2+1 dim = 1

El numero de RI de G que aparece es (2L2+1)(L1+1).

Para completar la descomposicion de la representacion original sabe-mos responder a dos preguntas adicionales:

a) Cuantas de las RI con ∆ = 0 son ∑+ y cuantas son ∑−?



b) En el caso de molecula tipo AA cuantas son ”g 2cuantas son u¿

El valor ∆ = 0 se obtiene de M1 =−M2 6= 0 y de M1 = M2 = 0.

i) Molecula AB. Si M = |M1| = |M2| 6= 0 entonces definimos, a partir delas funciones de onda individuales ψ(1,2)

±M , las funciones

ψ+ = ψ(1)M ψ(2)

−M +ψ(1)−Mψ(2)

M

ψ− = ψ(1)M ψ(2)

−M−ψ(1)−Mψ(2)

M

Es claro que las funciones ψ± son par e impar respectivamente bajoreflexion (vertical) por lo que la primer sera base de una RI ∑+ mientras lasegunda lo es de una RI ∑−. Ası por cada valor de M 6= 0 se tiene un ∑+ yun ∑−.

Si M = 0 tenemos la funcion ψ = ψ(1)o ψ(2)

o que debemos estudiar si espar o impar bajo la accion de una reflexion vertical para decidir si la cor-respondiente RI es ∑+ o ∑−. Consideremos la accion de σzx = U2y · I. Nopodemos hacer uso de la expresion (14.5) porque ella es valida solo en labase en la cual la paridad de la funcion esta dada directamente por (−1)L

lo cual no es cierto en general para atomos con mas de un electron. Pero sıpodemos hacer uso de (14.7) que da la accion U2yψLo = (−)LψLo y tambiensabemos que la accion de la inversion da la paridad. Por lo tanto

ψ(1)o ψ(2)

o →σ p1p2(−)L1+L2ψ(1)o ψ(2)

o

y es el valor ±1 que de aquı resulte lo que permite decidir si la repre-sentacion cuyo espacio es engendrado por ψ es el de un ∑±.

En resumen hay L2 representaciones de cda tipo ∑± mas una repre-sentacion que es ∑+ o ∑− segun el resultado que de (49.3). En total 2L2+1representaciones con ∆ = 0.

ii) Molecula AA. Si los atomos se encuentran en distinto estado en-tonces habra el doble de representaciones posibles que en el caso AB yaque la inversion conduce a la permutacion de los dos estados; simetrizan-do o antisimetrizando la funcion de onda de la molecula con respecto a lainversion se obtiene dos representaciones una ”g 2una u”lo que arroja igualnumero de ambos tipos de representaciones. Si en cambio los atomos seencuentran en el mismo estado, el numero de representaciones posibleses igual que en el caso AB (ver ejemplos).

La paraidad de los distingos terminos fue analizada por Wigner y Wit-mer (Zeitschrift fur Physik, 51 (1928)) y los resultados son los que siguen,

8.3. CLASIFICACION DE LOS ESTADOS MOLECULARES Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


sean Ng y Nu el numero de representaciones pare e impares para valoresfijos de ∆ y del spin total S, entonces,

si ∆ es impar Ng = Nu

si ∆ es par y S es par Ng = Nu +1si ∆ es par y S es impar Nu = Ng +1.

Finalmente si ∆ = 0 debe aun distinguirse entre ∑+ y ∑−. La regla es,

S es par N+g = N−u +1= L+1

∆ = 0S es impar N+

u = N−g +1= L+1

donde L = L1 = L2.

EJEMPLOS:

1. Molecula HC1.

El estado base de H es L2 = 0,S2 = 1/2 y del C1 es L1 = 1,S1 = 1/2.

Los valores posible sde ∆ son 0 y 1 por lo tanto, segun (49.2) habra unarepresentacion ∑ y una representacion Π por cada uno de los valoresdel spin total S = 0,1. Tenemos ∑+ o ∑−? La paridad p2 de H es +1puesto que se trata de un electron con L2 = 0. La paridad p1 del clorose calcula sabiendo que el cloro en su capa incompleta tiene cincoelectrones con ℓ= 1, entonces p1 = (−1)5 =−1 y por lo tanto

p1p2(−)L1+L2 = (+1)(−1)(−1) = +1⇒+

∑Ası pues, las representaciones basicas para la molecula HC1 son

1,3+

∑,1,3 Π.

2. Molecula C12.

Esta vez tenemos L = L1 = L2 = 1 y S1 = S2 = 1/2. Entonces por (49.3)tenemos que habra tres representaciones ∑, dos representaciones Πy una representacion ∆ por cada valor del spin total S = 0,1.

∆ = 0

{

S = 1 ⇒ 2(1∑+g ),(

1∑−u )S = 1 ⇒ 2(3∑+

u ),(3∑−g )



∆ = 1 S = 0,1⇒1 Πg,1Πu,

3 Πg,3 Πu

∆ = 2

{

S = 0 ⇒ 1∆g

S = 1 ⇒ 3∆u

PROBLEMA 49.1: Encontrar los niveles energeticos mas bajos de las molecu-las siguientes: TiO,NiO,O2, sabiendo que la capa incompleta de estos ato-mos es Ti : 3d2,O : 2p4,Ni : 3d8.

PROBLEMA 49.2: Deducir las reglas de seleccion para transsiciones dipo-lares electricas, dipolares magneticas y cuadrupolares electricas en el casode moleculas tipo AB y tipo AA

8.4. Intersecci on de niveles energ eticos moleculares

Los niveles energeticos electronicos que se deducen de la ecuacion(47.5) dependen parametricamente de las distancias internucleares, lo quehace posible qu en el grafico (multidimensioal) energıa electronica versusdistancias internucleares ocurran intersecciones de distintos niveles.

Para facilitar el analisis inicial consideremos dos niveles electronicosE1(R) y E2(R) de una molecula diatomica. Supongamos que al hacer cre-cer R estos dos niveles se aproximan hasta casi”juntarse; la pregunta espuede ocurrir la interseccion al incrementar R aun mas alla de este valorRo? Veamos como teorıa de perturbacion nos permite responder a estapregunta.

Sean |1> y |2> autovectores del hamiltoniano He(Ro) correspondientesa los autovalores E1(Ro) y E2(Ro) respectivamente. Como primera aproxi-macion supongamos que los autovectores del hamiltoniano

He(Ro +δR) = He(Ro)+ (∂He(Ro)/δR)δR.

se puede expresar en la forma

a1|1>+a2|2 >

entonces la ecuacion de valores propios para el hamiltoniano se es-cribe,

8.4. INTERSECCION DE NIVELES ENERGETICOS MOLECULARESFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


a1(E1+V −E)|1>+a2(E2+V −E)|2>= 0

donde V representael ultimo termino de la expresion (50.1). Haciendoel producto escalar de esta expresion con < 1| y < 2| respectivamente seobtiene las ecuaciones

A1(e1+V11−E)+a2V12 = 0

a1V21+a2(E2+V22−E) = 0

la ecuacion de compatibilidad de estas ecuaciones es

∣

∣

∣

∣

E1 + V11−E V12

V21 E2 + V22 −E

∣

∣

∣

∣

= 0

implicando

E =12(E1+E2+V11+V22)±

√

14(E1−E2+V11−V 2

22+ |V12|2.

Esta ultima expresion nos da los valores de Ei(Ro + δR) en primeraaproximacion correspondiente a los valores i= 1,2 los signos +,− en (50.4)respectivamente. En esta aproximacion la interseccion de los dos autoval-ores para un cierto valor de δR podra ocurrir si la expresion bajo la raızen (50.4) se anula. Puesto que bajo la raız tenemos la suma de dos can-tidades positivas, la suma se anulara solo si ambas cantidades se anulansimultaneamente para un cierto valor de δR,

E1−E2+V11−V22 = 0,V12 = 0.

En general y a priori es poco probable que estas dos condiciones sepuedan satisfacer simultaneamente (mismo valor de δR ) lo que a su vezhace poco probable que pueda ocurrir en genral una interseccin de dosniveles energeticos. Sin embargo puede ocurrir que V12 se anule identica-mente; en tal caso es posible en principio encontrar un valor de δR parael cual la primera condicion (50.5) se satisfaga. Veamos ahora bajo qucondiciones podemos estar seguros que V12 se anula identicamente. Si Ges el grupo de simetrıa de He este es en particular el grupo de simetrıa



del hamiltoniano para R = Ro y tambien para el hamiltoniano (50.1). Por lotanto G es tambiel el grupo de simetrıa de V , lo que a su vez implica quela representacion de G asociada a V , en el sentido de #17, es la repre-sentacion trivial. En este caso, entonces, la afirmacion 3 de #17 nos diceque < ψ(µ)|V |φ (λ) > se anula identicamente si D(µ) 6= D(λ). Esto es V12 seanula identicamente si las representaciones de G asociadas a los nivelesE1 y E2 son distintas.

Concluimos entonces que en una molecula diatomica las interseccionesentre nieles energeticos ocurriran en general solo para niveles que tenganasociada RIs diferentes del grupo de simetrıa.

Este es un resultado general de mecanica cuantica valido para cualquierhamiltoniano que contenga un parametro y que sus autovalores dependanconsecuentemente de ese parametro.

En el caso de una molecula poliatomica (N > 2) el hamiltoniano con-tiene t = 3N−6 parametros independientes correspondientes a las distan-cias internucleares. Los graficos en un espacio de dimension t + 1 de lasenergıas Ei(R1, · · · ,Rt) son superficies de este espaci, esto es, variedadesde dimension t. Superficies de esta dimensionalidad se pueden intersectardesde un punto (dim = 0) hasta en una variedad de dimension t−1. Parasatisfacer las dos condiciones (50.5) ahora tenemos a nuestra disposicionlas t variaciones independientes δRi y por lo tanto esta vez no hay proble-ma en satisfacerlas. Se concluye entonces que para moleculas poliatomi-cas cualesquiera dos niveles energeticos podran intersectarse. Si la inter-seccion es entre dos niveles que tienen asociada la misma RI del grupoentonces habra que satisfacer las dos condiciones (50.5) lo que determi-na que la interseccion ocurra en una variedad de dimension t−2 mientrasque si los niveles tienen RIs diferentes entonces la interseccion sera dedimension t−1.

8.4. INTERSECCION DE NIVELES ENERGETICOS MOLECULARESFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Capıtulo 9

Solidos

9.1. Solidos cristalinos

Para estudiar un solido cristalino es conveniente comenzar con un mod-elo ideal de cristal que consiste en un arreglo geometrico regular, periodicoy estatico de moleculas que se extiende por todo el espacio. En tal mod-elo los electrones se mueven en un potencial perfectamente periodico ypor lo tanto el hamiltoniano es invariante a las traslaciones discretas quecorresponden a esta periocidad.

H(~x+~t) = H(~x)

Escogiendo un punto P arbitrario en el cristal es posible identificar facil-mente el conjunto de todos los vectores P′ que son equivalentes a P, estoes, el cristal se ve identico usando como punto de referencia P o P′. Losvectores~t que definen traslaciones desde un punto a otro equivalente sellaman vectores de la red y son tales que con ellos se definen las trasla-ciones discretas que dejan invariante al cristal. Dado un punto arbitrario P,se llama red de Bravais al conjunto de todos los puntos equivalentes a P.

Una estructura cristalina se obtiene al repetir el mismo objeto, llamadobase, en cada uno de los puntos de una red de Bravais en forma regular.Para una red de Bravais dada es posible encontrar tres vectores ~ai talesque todos los vectores de la red pueden escribirse como combinacion linealde ellos con coeficientes enteros,

161


~t = n1~a1+n2~a2+n3~a3 , (ni = enteros).

Llamaremos vectores primitivos a estos vectores ~ai. La eleccion de losvectores primitivos de una red no es unica. Es claro que el paralelepıpedoconstruido con estos vectores no contiene ningun punto de la red en suinterior ya que un punto tal no serıa expresable en la forma (51.2) contradi-ciendo la definicion de vector primitivo.

Puesto que un crsital tiene una estructura periodica, su comportamientolo sera tambien y bastara estudiarlo en una celda primitiva que comprendesolo puntos no equivalentes de tal modo que dado cualquier punto delcristal hay un punto equivalente dentro de la celda. Una celda primitivanatural es el paralelepıpedo definido a partir de los vectores~ai. Aun cuandopara la eleccion de una celda primitiva existen siempre varais posibilidadesel volumen de todas ellas es el mismo puesto que su repeticion periodicaen la rede de Bravais cubre totalmente al cristal sin traslapes ni intersticios.

La celda primitiva mas usada es la llamada celda de Wigner-Seitz. Estase define eligiendo un punto arbritario de la red como originen; se trazanlos vectores desde este punto a todos los puntos equivalentes cercanos yluego se construyen planos ortogonales a estos vectores que pasen porsus puntso medios. El menor volumen encerrado por estos planos alrede-dor del punto origen se llama celda de Wigner-Zeitz. Puede demostrarseque la repeticion de esta celda cubre completamente al cristal.

Las celdas tienen una simetrıa que corresponde a alguno de los 32grupos puntuales cristalograficos ya que estas son las unicas simetrıaspuntuales compatibles con la propiedad de las celdas de cubrir al cristal to-talmente siendo todas iguales. Es interesante tratar de encontrar almenosun ejemplo de celdas primitiva que tenga como uno de sus elementos desimetrıa puntual un eje C5. Tal problema no tiene solucion positiva.

La simetrıa de la red, sin embargo, no coincide en general con la simetrıadel cristal, ya que en los puntos equivalentes de una red podemos situarobjetos de diversos tipos de simetrıa como se ilustra en la figura.

Todos estos cristales”bidimensionales tienen la misma red que aparecea la izquierda y por lo tanto pueden describirse usando los mismos vec-tores primitivos y la misma celda de Wigner-Zeitz (forma externa) pero condiferente simetrıa puntual.

Se han clasificado todas las redes tridimensionales posibles y se hadescubierto que existen solo 14 redes diferentes y son conocidas como 14

9.1. SOLIDOS CRISTALINOS Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


redes de Bravais. A priori se podrıa pensar que al menos son 32, corre-spondiendo a las 32 posibles simetrıas puntuales de las celdas primitivas,pero sucede que una red puede ser invariante a varios de los 32 grupospuntuales cristalograficos simultaneamente. Por ejemplo, las 3 redes: cubi-ca simple, cubica de cara centrada y cubica de cuerpo centrado son invari-antes a los 5 grupos puntuales T,Th,Td ,O,Oh.

9.2. Grupos espaciales

Basandonos en las 14 redes de Bravais podemos construir cristalesde diferente simetrıa segun la simetrıa de la base que se repite en cadapunto equivalente de la red. El grupo que deja invariante al cristal se llamagrupo espacial G y su elemento tıpico se denota (R;T ) constando de unaoperacion puntual R y de una traslacion T . Para que la accion del grupo es-pacial este bien definida se debe haber determinado el centro de simetrıade la celda respecto al cual estan definidas las operaciones puntuales.La combinacion de las 14 redes de Bravais y las simetrıas puntuales delas celdas permite definir 230 grupos espaciales en tres dimensiones. Ladefinicion mas completa se vera en la seccion siguiente donde se introduceuna condicion de periodicidad.

Los tipos de elementos que se presentan en un grupo espacial son lossiguientes: i) operaciones puntuales puras, (R;O); ii) traslaciones puras,(e;~t) donde~t necesariamente es el tipo (51.2); iii) combinaciones de unatraslacion y una operacion puntual (R;T ) de tal modo que ni R;0) ni (e;T )pertenecen al grupo espacial en consideracion.

Ejemplo de este ultimo tipo de operaciones (no todo grupo espacial latiene) puede verse en la figura (51.3).

Por definicion la accion de un (R;~T ) general sobre un vector tridimen-sional~x es

(R;~T )~x = R~x−~T .

De aquı es trivial deducir que

(S;~T2)(R;~T1) = (SR;S~T1+~T2),(R−1;−R−1~T ).

El subgrupo τ de las traslaciones (e;~t) de G es un subgrupo invariantede G (trivial demostrarlo).



Dado un subgrupo espacial G de elementos (R;T ) definimos un grupopuntual R asociado a G como el grupo de los operadores (R;0) con to-dos los R tales que exista al menos un elemento (R;T ) de G con ese R.Puesto que no todos los G se tien que todos los (R;0) sean elementos deG entonces en general R no es subgrupo de G .

Se dice que un grupo G es simorfo si R < G: Es claro por lo dichoanteriormente que si G es no simorfo entonces existe algun elemento deG ,(R;~T ) tal que (R;0) 6 εG y por lo tanto este T particular es necesariamenteuna traslacion no incluida en (51.2).

Afirmacion: El grupo cuociente G/τ es isomorfo a R.

Aunque esta afirmacion es valida en general solo veremos su demostracionen el caso de los G simorfos. El grupo cuociente tiene por elementos losconceptos de G definidos como los subconjuntos que se generan multipli-cando τ por todos los elementos del grupo. Evidentemente dos elemen-tos de un mismo coseto generan el mismo coseto. Un coseto general es:τ(R;~t) = {(e;~t ′)(R;~t) = (R;~t ′+~t) todo~t}. En particular~t ′ = −~t muestra que(R;0) es un elemento de este coseto lo que muestra que cualquier elemen-to del grupo cuociente puede escribirse en la forma τ(R;0). Con esto quedaestablecida una relacion uno a uno entre el grupo cuociente y el grupo R.La demostracion se completa mostrando que la ley de multiplicacion es lamisma. En efecto,

τ(R;0)τ(S;0) = τ(R;0)(S;0) = τ(RS;0).

Para estudiar las RIs de los grupos espaciales comenzaremos estu-diando las RIs del subgrupo de las traslaciones τ .

PROBLEMA 52.1: a) Describir los grupos espaciales correspondientes a lasestructuras cristalinas de las figuras 51.1, (b), (c), (d) y ademas el grupoespacial de la figura adjunta.

b) Indique cuales son simorfos y describa los grupos R en cada caso.

c) Dibuje las correspondientes celdas de Wigner-Seitz.

9.3. Las RIs del subgrupo τ y el teorema de Bloch

El subgrupo de las traslaciones esta formado por los elementos (e;~t).La accion de este grupo sobre un espacio de funciones de~x es,

9.3. LAS RIS DEL SUBGRUPO τ Y EL TEOREMA DE BLOCH Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


P(e;~t) f (~x) = f ((e;~t) = f (~x+~t).

El grupo τ es abeliano por lo cual sus RIs son unidimensionales, peroademas τ naturalmente se descompone en los grupos de traslaciones enuna dimension, τ1,τ2,τ3 a lo largo de los ejes definidos por los vectoresprimitivos ~a1,~a2,~a3 :

τ = τ1xτ2xτ3

Para el estudio de las RIs de τ basta que nos concentremos en las RIsde estos τi. Para evitar que sea un grupo infinito se introduce una condicionde periodicidad normalmente asociada a las dimensiones macroscopicasdel cristal. Para esto se impone que el grupo τi sea cıclico con ciclo Ni, esdecir, la traslacion (e; t) con t = Na se identifica con la identidad del grupo(e;0)

(e;Na) = (e;a)N = (e;0)

Aquı , mientras estemos tratando uno solo de los grupos unidimension-ales suprimiremos los ındices i y el signo de vector. La longitud Na = L sesupone que es la longitud del cristal en esa direccion.

En general a los elementos de un grupo cıclico de orden N se le asignauna RI fundamental que asocia al generador del grupo la raız Nma de + 1.El resto de las RIs se obtiene como potencias Kronecker, r, de esta RI, laraız Nma de +1 es exp(2πi/N) por lo cual

(e;Na)D(r)e2πi(rn/N) = exp(2πirnaL

)

El entero r que caracteriza la RI toma los valores r = 1,2, · · ·N y eviden-temente la representacion D(N) es la representacion trivial D(0).

Definiendo

k = 2πr/L

y cambiando la notacion de D(r) a D(k) se tiene que

(e;Na)D(k) exp(ikna)

Por definicion k toma los valores



k = (2πL),(2

2πL),(3

2πL), · · · ,(N 2π

L=

2πa).

Mas alla del valor k = 2π/a las RIs comienzan a repetirse y en gen-eral las RIs cuyos ındices son k+2πq/a son equivalentes. Repitiendo en-tonces, vemos que se ha definido Ni representaciones del grupo τi dondeNi es el orden y por lo tanto el numero de clases conjugadas de este grupoabeliano.

Volviendo ahora al grupo τ , este tiene N1N2N3 elementos e igual numerode RIs que se obtienen como producto directo de las representaciones(53.6),

(e;~t) = (e;n1~a1+n2~a2+n3~a3)D(k1k2k3) ei(k1n1a1+k2n2a2+k3n3a3)

Definiendo

gi = 2π~a j×~ak

[~a1~a2~a3](cıclico)

se coprueba que

gi ·~a j = 2πδ i j

se comprueba que

gi ·~a j = 2πδ i j

y si ademas definimos los vectores k y ki por medio de

k = ∑ ri

Nigi =∑ ki

se obtiene que

k ·~t = 2π(k1n1a1+ k2n2a2+ k3n3a3)

por lo que podemos cambiar la notacion

D(k1k2k3)

y la expresion (53.8) se puede escribir en forma mucho mas resumida

9.3. LAS RIS DEL SUBGRUPO τ Y EL TEOREMA DE BLOCH Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


D(k)((e;~t)) = eik·~t

TEOREMA DE BLOCH: Si una funcion fk(x) transforma bajo τ como funcion

del espacio de la RI D(k)(τ) y la escribimos en la forma

fk(~x) = eik ·~xuk (~x)

entonces se cumple que

uk(~x) = uk(~x+~t)

Dem: Por definicion

P(e;~t) fk(~x) = eik·~t fk(~x)

y por (53.1)

= fk(~x+~t)

Igualando ambos miembros derechos utilizando la expresion (53.15a)las exponenciales se cancelan identicamente y se obtiene (53.15b).

Es util notar que una combinacion lineal de funciones de Bloch, (53.15)que tengan igual ındice k define otra funcion de Bloch de ındice k. Esta mis-ma afirmacion puede expresarse diciendo que una combinacion lineal defunciones del espacio de RI D(k) es tambien una funcion de este espacio,lo cual es trivial.

9.4. Zona de Brillouin

Los vectores k definidos por (53,11), (53,5),(53,7) toman valores dis-cretos definiendo un reticulado de vectores k para los distintos valores delos tres enteros r1,r2,r3. Como se sabe, cada uno de estos ri toma esen-cialmente Ni valores distintos con los cuales se definen las N1N2N3 RIs delgrupo τ diferentes. Estos valores de k forman lo que se puede llamar unacelda primitiva en espacio k. Dentro de esta celda el reticulado tiene unespaciado caracterıstico en cada una de las direcciones ki que es 2π/Li

segun puede apreciarse explıcitamente en (53.7). La magnitud de la celda



en esta misma direccion es 2π/ai. Saliendose de este rango las RIs queencontramos son equivalentes a alguna de las RIs ya encontradas dentrode la celda primitiva como se discutio en la seccion anterior. Supongamosque los ri en (53.11) estan mas alla de su rango,

ri = biNi + ci (todos numeros enteros)

y con

0≤ ci ≤ Ni−1

entonces

k’ = ∑ biNi+ciNi

gi = ∑ ciNi

gi +∑i bigi

= k+K

donde k esta en la celda primitiva y K es una combinacion lineal de losvectores gi con coeficientes enteros,

K = ∑bigi

Ahora veamos que las RIs (k) y (k′) son equivalentes aun cuando estoya esta dicho.

D(k′)((e;~t)) = ei(k+K) ·~t = eik·~teiK·t = eik·~t

lo cual muestra la equivalencia. La ultima igualdad surge del hecho queK ·~t = (bigi)m(n j~a j) que por (53.10) se reduce a 2π (entero)

En resumen,

D(k+K) es equivalente a D(k)

A los vectores gi los llamaremos vectores primitivos de la red recıprocay cualquier K definido por (54.3) es un vector de la red recıproca. Con elconjunto de puntos que definen los vectores de la red recıproca se definela red recıproca que es un reticulado con espaciado de magnitud 2π/ai.

Se designa con el nombre de zona de Brillouin a la celda primitiva deWigner-Seitz de la red recıproca. La ZB encierra exactamente a los N1N2N3

vectores k que definen todas las RIs no equivalentes de τ . El valor de los

9.4. ZONA DE BRILLOUIN Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


k dentro de la ZB son simetricos respecto del origen a partir del cual seconstruye la ZB. Evidentemente las dimensiones lineales de una ZB son2π/ai.

Supongamos por un instante que un hamiltoniano cristalino H es desimetrıa τ y no mas que eso. Los niveles energeticos de H no seran de-generados (salvo por efectos de spin) ya que las RIs de τ son unidimen-sionales. Cada nivel tendra como ındice un vector k de acuerdo con la RIasociada,

Hψk(~x) = Ekψk(~x)

Para Li → ∞ los k se convierten en variables continuas y se habla deniveles E(k). Las distintas funciones E(k) definen las diferentes bandas deenergıa y su estudio es un punto importante en fısica del estado solido.

En general, sin embargo, la simetrıa de un cristal es mayor que τ y poreso debemos ocuparnos del estudio de las RIs de los grupos espacialesG .

PROBLEMA 54.1: Para los cristales del prob. 52.1 dibuje el reticulado k, lared recıproca, y la ZB suponiendo que el tamano del cristal esta dado porN1 = N2 = 6.

9.5. Puntos generales de la zona de Brillouin

Consideremos un grupo espacial simorfo G . Escogiendo en forma ade-cuada el centro de simetrıa respecto al cual se define la accion de losoperadores de G , cualquier elemento del grupo puede escribirse en la for-ma

(R;~t) = (e;~t)(R;0)

Afirmacion 1: La accion de una rotacion R sobre una funcion de Blochde ındice k da por resultado una funcion de Bloch de ındice Rk.

Demostracion:

Sea ψk(~c) una funcion de Bloch, entonces la accion de (R;0) sobre ellaes,

F(x)≡ P(R;0)ψk(~x) = ψk(R−1~x) = eik ·R−1~xuk(R

−1~x)



pero debido a que R es una transformacion unitaria entonces Rk ·R~x =x ·~x o tambien, k ·R−1~x = Rk ·~x lo que permite escribir (55.2) en la forma,

F(x) = eiRk·~xuk(R−1x)

Para ver ahora si esta es efectivamente una funcion de Bloch debemoshacer actuar sobre ella una traslacion,

P(e;~t)F(x) = F(~x+~t) = eiRk(~x+~t)uk(R−1~x+R−1~t)

En el argumento de uk aparece R−1~t, esto es, la rotacion de un vectorde la red cristalina, pero por definicion del grupo espacial esta rotacion esuna simetrıa de la red, y por lo tanto R−1~t =~t ′ es tambien un vector de la red.Puesto que uk satisface la condicion de periodicidad (53.15b) entonces elultimo miembro derecho puede escribirse en la forma

P(e,~t)F(~x) = eiRk·~teiRk·~x uk(R−1~x) = eiRk·~tF(x)

lo que termina de demostrar que F(x) es una funcion que transformade acuerdo a las RI DRk del grupo τ .

El conjunto de los vectores Rk para todo R ∈ R lo llamaremos estrel-la de k. Si el grupo tiene h elementos entonces la estrella de k tendra a lomas h vectores diferentes. Se dira que un vector, k es, general si su estrellatiene exactamente h vectores diferentes. La accion del grupo R sobre unafuncion de Bloch cuyo ındice es un vector k general define h funciones lin-ealmente independientes fRk(~x). Los vectores k generales definen dentrode la ZB los puntos generales de esta.

Afirmacion 2: El espacio engendrado por las h funciones fRk(x) es in-variante a la accion del grupo espacial G.

Demostracion: Consideremos la accion de un elemento cualquiera delgrupo G sobre una de estas funciones,

P(S;~t) fRk(~x) = P(S;~t)P(R;0) fk(~x) (por def. de fRk)= P(e;~t)P(S;0)P(R;0) fk(~x) (por(55,1))

= P(e;~t)P(SR;0) fk(~x)= P(e;~t) fSRk(~x) (por def. de fSRk)

9.5. PUNTOS GENERALES DE LA ZONA DE BRILLOUIN Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


y este ultimo resultado no es sino la accion de un elemento del grupoτ sobre una funcion del espacio de la RI D(SRk) del grupo τ , esto es, nue-vamente se tiene una funcion de Bloch de ındice SRk multiplicada por elcoeficiente (no es funcion de ~x) eiSRk ·~t. Salvo un coeficiente constante,entonces, se vuelve a obtener una de las funciones del conjunto del quepartimos lo que demuestra la afirmacion.

De esta manera se ha obtenido un espacio de representacion de G dedimension h . Afirmamos sin demostracion que este es un espacio de RI deG y la RI ası definida es rotulada por el ındice k que puede ser cualquierade los vectores de la estrella.

Los niveles E(k) que tienen asociados este tipo de RIs del grupo G sonh veces degenerados. Sin embargo, en fısica del estado solido la palabra”degeneracion”se reserva para otra situacion de modo que aquı diremosque ”no hay degeneracion”. Cada k de la estrella tiene asociado una fun-cion fk de Bloch y la superficie E(k) es tal que E(k) = E(Rk) para todoR ∈R. Se hablara de degeneracion solo si hay una funcion f ′k con el mis-mo ındice k que es autofuncion del hamiltoniano con la misma energıa. Siesto ocurre para un vector k general se dice que hay degeneracion acci-dental pero si ocurre en puntos especiales de la zona de Brilouin debido arequerimientos de simetrıa entonces se habla de degeneracion esencial.

9.6. Puntos especiales de la zona de Brillouin

Hasta aquı hemos visto las representaciones de G de dimension hque son inducidas por los vectores k generales que caracterizan las RIdel gruop τ . El numero h se refiere al orden del subgrupo R de G simorfo.

Ahora veremos las RIs de G para el caso en que k es un vector espe-cial, esto es, al menos hay un R ∈R que deja a k invariante en el sentidoperiodico, Rk = k+k , (k = vec. de la red recıproca)

Un simple analisis muestra que si k = 0 entonces k esta sobre un ejey/o un plano de simetrıa de la ZB, k = 0 entonces k esta sobre el borde laZB.

Sea Gk el subgrupo de G que deja invariante el vector k. Este subgruporecibe el nombre de pequeno grupo de k o simplemente grupo de k. Puestoque los elementos de τ todos dejan invariante a k, entonces τ ≤ Gk. De-notemos ademas por Rk el grupo puntual que deja invariante a k, entonces



si G es simorfo se tiene que Rk < Gk.

Afirmacion: Independientemente del hecho que G sea simorfo o no secumple que el grupo cuociente Gk/τ es isomorfo a Rk. La demostracionen el caso simorfo es enteramente analoga a aquella que se dio al final dela seccion 52.

Es importante tener presente que el grupo Rk es no trivial solo en el ca-so en que k define un punto especial en la ZB. A continuacion definiremoslas RIs de G a partir de las RIs de τ y las RIs de Rk.

Sea una funcion de Bloch fk sobre la cual hacemos actuar un elementodel grupo Rk. Debido a la afirmacion 1 de #55 se obtiene una funcionde ındice Rk, pero como este R particular deja a k invariante, la funcionobtenida tiene nuevamente ındice k.

PR fk = f ′k (para todosR ∈Rk)

Estas dos funciones son en general diferentes porque al escribirlas enla forma (53.15a) vemos que si la primera tiene el factor uk(x) entonces

la segunda tiene el factor uk(R−1x). Las funciones f ası generadas en-

gendran en general un espacio de representacion reductible del grupo Rk(ver #8 ). Reduciendo este espacio con combinaciones lineales adecuadasobtenemos espacios de funciones de Bloch de ındice k que son de RI delgrupo Rk. Sean fk

(µ)i

las funciones base de estas RIs de Rk de dimensionnµ : (µ) = nombre de la RI de Rk

k = nombre de la RI de τ ; ındice de todas las funciones de Bloch queestamos usando,

i = ındice que distingue las distintas funciones base de la representacion(µ), i = 1,2, · · · ,nµ .

Al actuar con un elemento general R del grupo R sobre una de lasfunciones f (µ)ki hay dos posibilidades que son

a) R ∈Rk se obtiene otra funcion de Bloch con los mismos (µ) y k

b) R 6 ∈Rk se obtiene otra funcion de Bloch con ındice k′ = Rk que es unvector de la estrella de k diferente de k mismo. Cualquier otra rotacionR′ que pertenezca al mismo coseto RRk nos dara una funcion de

Bloch con el mismo ındice k′ (ejercicio).

9.6. PUNTOS ESPECIALES DE LA ZONA DE BRILLOUIN Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


En resumen, la accion del grupo R sobre una de las funciones basef (µ)ki

dara funciones de Bloch con tantos ındices k distintos como cosetos

tenta el grupo R con respecto al grupo Rk, esto es, h/hk, el cuocientedel orden del grupo sobre el orden del subgrupo. Este es el numero defunciones diferentes que se obtiene a partir de una funcion fija. Si ahorahacemos variar µ en su rango de nµ valores obtenemos un espacio dedimension

dim(D(k,µ)(G ) =h

hknµ

y este espacio es invariante e irreductible respecot al grupo espacial G . Deeste modo quedan definidas las RIs del grupo G que denotamos D(k,µ).

Hacemos notar que nµ ≤ hk (ver (7.5)) y la igualdad solo se cumplesi nµ = hk = 1, o sea, en el caso en que Rk es un grupo trivial lo cualsignifica que k es un vector general. Para los puntos especiales por lo tantola desigualdad es estricta, lo que implica que

hhk

nµ < h (para todokespecial)

Por lo tanto los puntos especiales tienen asociados RIs de G de dimensionmenor que los puntos generales.

Tambien es importante notar que si nµ ≤ 2 tendremos originalmentemas de una funcion con el mismo k y por ende habra degeneracion esen-cial. Esta ”degeneracion esencial.es exactamente nµ . Mas adelante vere-mos que bandas de energıa E(k,µ) que estan separadas para un k generalpueden converger a un solo valor E,nµ veces degenerado cuando k llegaa ser un punto especial.

PROBLEMA 56.1: En la figura adjunta se da una estructura cristalina quecoincide con su red de Bravais.

a) Estudiar el grupo espacial (sus elementos).

b) Estudiar los puntos generales y especiales de la ZB.

c) Determinar los pequenos grupos de los puntos especiales y las di-mensiones de las RIs de G en todos estos puntos.



9.7. Ejemplo de grupo simorfo

Consideremos un cristal bidimensional de iones puntuales formandouna red cuadrada. En este caso la red y la estructura cristalina se confun-den puesto que la base es un punto. Los vectores~t ahora se escriben enla forma

~t = n1a1+n2~a2

y las operaciones (e;~t) dejan invariante a la red. Tambien las siguientesoperaciones puntuales dejan invariante a la red (ver figura),(e;0), (C4;0),(C−1

4 ;0), (C24;0), (σx;0), (σy;0), (σd ;0), (σd′ ;0) las que forman el grupo C4v.

Veamos ahora si existen otras operacione sde simetrıa que harıan queel grupo espacial fuera no simorfo, o sea, que exista algun elemento delgrupo de la forma (R;~T ) donde ~T no es un vect expresable con (57.1). Enparticular consideramos tres posibilidades.

A) La reflexion σ ′y (figura) es claramente una simetrıa de la red sin em-bargo esta a la distancia 1

2 a1 del origen lo que podrıa hacer pensarque hay operaciones de simetrıa que harıan del G total un grupono simorfo. Esto no es ası y la razon es que las operaciones pun-tuales deben pasar por el origen que se haya elegido. En generalpara efectuar una operacion (R;~t), (definida con respecto al origen),a una distancia T del origen debemos operar con (e;~T )(R;~t)(e;~T )−1.En nuestro caso se trata de la operacion (σy;0) a la distancia 1

2a1 delorigen

(e;~a1/2)(σy;0)(e;−~a1/2) = (e;~a1/2)(σy;~a1/2) = (σy :~a1)

con lo cual queda demostrado que la simetrıa σ ′y es identica a laoperacion de simetrıa (σy;~a1) que es consistente con G simorfo.

B) Tambien podrıamos elegir como origen el centro de uno de los cuadra-dos en vez de uno de los vertices como lo hemos hecho. Esto nosobliga a desplazar los elementos del grupo en (~a1+~a2)/2. Se deja co-mo ejercicio demostrar que el grupo que se obtiene continua siendosimorfo.

C) Existe una operacion de simetrıa en el cristal que consiste en reflejaren el plano σ y enseguida se desplaza en (~a1+~a2)/2. En este caso en

9.7. EJEMPLO DE GRUPO SIMORFO Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


que ni la reflexion σ ni el desplazamiento por separado son simetrıasde la red se habla de un plano de desplazamiento. En nuestro casola operacion no esta definida respecto al origen y por lo tanto no sepuede decidir aun si hace del grupo de simetrıa un grupo no simor-fo o no. El plano σ esta en una distancia (~a1−~a2)/4 por lo cual laoperacion correctamente expresada es

(e;(~a1−~a2)/4)(σd ;(~a1+~a2)/2)(e;−(~a1−~a2)/4) = (σd ;a1)

que nuevamente es una operacion del grupo simorfo definido origi-nalmente.

Construyamos ahora la zona de Brillouin. Primero debemos encon-trar dos vectores gi que cumplan con (53.10), ellos son

g1 = 2π~a1

|~a1|2, g2 = 2π

~a2

|~a2|2

Estos son los vectores primitivos de la red recıproca. Con ellos se en-gendra la red recıproca y se determina la ZB en la forma que se explico en# 54, ver figura 57.2. Veamos ahora mas en detalle la ZB. Puesto que lospuntos del espacio recıproco deben estar en una y solo una de las ZBque cubren totalmente este espacio, entonces debemos decidir a que cel-da pertenecen los puntos del borde de la ZB. De los cuatro lados solo dospertenecen a cada celda y de los cuatro vertices solo uno, M, como seindica en la figura 57.3. Veamos que hay seis clases de puntos especialesen esta ZB. 1) y 2). Los puntos γ y M cuyos grupos asociados Rk puedenverse que en este caso coinciden con el grupo puntual total C4v. Por lo tantolas estrellas correspondientes constan de un solo vector.

3) Los puntos X son dejados invariantes por (e,σx,σy,C24) = C2v por lo

tanto la estrella de kX consta de dos vectores.

4) Los puntos ∆ situados en cualquier punto intermedio entre γ y X sondejados invariantes por (e;σx) =Cs, la estrella de k∆ tiene cuatro vectores.

5) Los puntos ∑ situados entre γ y M son dejados invariantes por (e;σd)=Cs por lo que la estrella de k∑ tiene nuevamente cuatro vectores.

6) Los puntos Z entre X y M son invariantes al grupo (e,σy) =C2v

Como ya se habıa dicho, la estrella de cada punto tiene vectores. Unpunto general de la ZB tiene una estrella de ocho puntos y el octavo de laZB achurado en la figura 57.4 es la unica parte neesaria para obtener toda



la zona aplicando las operaciones del grupo puntual C4v. Es por esto que elpunto medio del lado superior en la figura 57.3 no se ha considerado comoun nuevo puntu especial enla ZB. En el ejemplo que estamos considerandolos punto γ y M son los unicos que tiene asociado un grupo puntual noabeliano y por lo tanto los unicos donde puede ocurrir una degeneracionesencial. En ningun otro punto de la ZB dos bandas de energıa se juntaranpor requerimientos de simetrıa espacial.

Veamos mas sobre las bandas de energıa. Lo que deseamos saberes lo siguiente. Los niveles energeticos correspondientes a cada punto dela ZB estan clasificados de acuerdo al k correspondiente mas una RI delgrupo puntual Rk los niveles E(k) tendran que tener asociados RIs degrupos Rk diferentes. Por ejemplo, al seguir la evolucion de un nivel desdeel punto γ hasta el punto X pasando por todos los puntos ∆ intermediostendremos que pasar por RIs de C4v,Cs y C2v respectivamente. Que RIs deun grupo pueden evolucionar a que RIs de otro grupo?

Para responder a esto anotemos las tablas de caracteres de dos grupospuntuales asociados a los punto γ ,∆ y X .

Rγ e C4 C24 σx,y σd,d′ RX e C2

4 σx σy

γ1 1 1 1 1 1 X1 1 1 1 1γ2 1 1 1 −1 −1 X2 1 1 −1 −1γ3 1 −1 1 1 −1 X3 1 −1 1 −1γ4 1 −1 1 −1 1 X4 1 −1 −1 1γ5 2 0 −2 0 0

R∆ e σx

∆1 1 1∆2 1 −1

Un nivel E(k∆) puede terne asociada la RI ∆1 o bien la RI ∆2 que cor-responden a los casos de funciones de Bloch simetricas y antisimetricasrespecto a σx respectivamente. Al hacer los lımites k∆ → kγ y k→ kX lasfunciones mantienen su comportamiento bajo σX luego se tiene necesari-amente que ∆1←→ γ1 o γ3 y ∆2←→ γ2 o γ4 y tambien puede suceder quedos niveles, uno E(k∆1

) y otro E(k∆2) converjan al mismo nivel en el punto

γ para formar un nivel E(kγ5). Puesto que γ5 lo formamos por la union deun nivel par y otro impar bajo σx ta raza de σx en esta RI bidimensional es



cero como debe ser.

PROBLEMA 57.1: Estudiar los casos γ ←→ ∑←→M,X ←→ Z←→M.

Existe una paradoja que debemos analizar. La dimension de una repre-sentacion del grupo espacial correspondiente a un punto especial es menorque la dimension correspondiente a un punto general y sin embargo ocurreun desdoblamiento al pasar de un punto especial a uno general. Las dimen-siones de RIs G estan dadas por (56.4). La paradoja se presenta asun enel paso γ ←→ ∆.

Consideremos en cierto detalle el caso de un punto ∆ tendiendo a γ obien a X . En la figura 57.4 se ha indicado explıcitamente las estrellas dek∆,kγ ,kX que constan de cuatro, uno de dos vectores respectivamente. Sise hace tender k∆ a kγ se ve como los cuatro vectores de la estrella inicialtienden todos a un solo vector (nulo). Similarmente si se hace tender k∆a kX se ve como dos de los vectores k∆ y k∆” de la estrella ∆ difieren enel lımite en un vector K de la red recıproca y por lo tanto en el lımite soniguales en el sentido periodico, e igual cosa ocurre con la otra pareja devectores ∆ k∆′ y k∆” . En cualquiera de los dos lımites (γ o X) el numerode vectores k disminuye. Si ahora recordamos que los espacios de las RIsde G son expandidos por las funciones f (µ)

Rk,i donde k y µ son fijos mien-

tras Rk toma tantos valores como vectores tiene la estrella de k, esto es,h/hk valores mientras i toma nµ valores entonces podemos darnos cuen-ta que ocurre en los lımites mencionados mas arriba. Al llegar a un puntodel espacio recıproco con mayor simetrıa (mayor ”pequeno grupo”) la es-trella correspondiente disminuye, disminuyendo por lo tanto el rango delındice Rk y si bien el rango de i puede aumentar no se alcanza a produciruna compensacion. El efecto producido es efectivamente la disminucion desoluciones linealmente independientes.

Este mismo razonamiento puede hacerse considerando la ecuacion deSchrodinger. Esta es

H f (µ)ki(~x) = E(k,µ) f (µ)ki

(x)

la que se reduce facilmente a una ecuacion para las funciones periodi-cas uk(~x) si hacemos uso de la descomposicion explıcita (53.15a),

(− 6 h2

2m∇2+V(x)+

6 hm

k ·~p)u(µ)k i(x) = E ′(k,µ)uk

(µ)i

(x)



donde

~P = −i 6 h~∇E ′ = E− 6h2

2m k2

Puesto que nos interesa son todas las funciones independientes asoci-adas a un cierto nivel energetico y como E(k) = E(Rk) y ademas (Rk)2 = k2

entonces E ′(k) = E ′(Rk) y por lo tanto debemos considerar junto a lassoluciones de (57.4) las soluciones para todas las ecuaciones donde kes reemplazado por Rk que en total son h/hk ecuaciones diferentes.

Cuantas soluciones independientes tiene cada una de estas ecuacionespara un valor propio fijo? Esto depende del grupo de simetrıa del operadordiferencial en el lado izquierdo de (57.4). El operador ∇2 es invariante acualquier operacion puntual y a cualquier rotacion. El potencial V (x) es,por definicion, invariante a G . De estas operaciones nos interesan las pun-tuales ya que k (asociado a traslaciones) es fijo en la ecuacion. Si some-temos el ultimo termino del operador diferencial a una operacion puntual Robtenemos (aparte de la constante 6 h/m)

k ·R−1~p = Rk ·~p

que permanece invariante solo si R pertenece al pequeno grupo de k,cuya parte puntual es Rk. Concluimos ası que el grupo de simetrıa del op-erador diferencial es Rk y por esto la degeneracion de los valores propiosestara dad por las distintas dimensiones de las RIs de este grupo, nµ .

La situacion puede resumirse como sigue. Por cada nivel energeticose tiene h/hk ecuaciones (57.4) cada una de las cuales tiene nµ solucionesindependientes: en total hnµ/hk soluciones por cada nivel. Al tomar el lımitehacia un k cuya estrella tiene menos vectores, el numero de ecuaciones(57.4) disminuye y el numero total de funciones para ese nivel disminuye.

A continuacion se da los niveles mas bajos de la red cuadrada calcula-dos por Slater en la ref. 19-2.



9.8. Metodo de c alculo de niveles de energıa en uncristal cubico

Para determinar los niveles (bandas) de energıa es usual tomar comoprimera aproximacion un electron en un potencial periodico, el problemaentonces es el problema de un solo cuerpo. Los niveles son principalmentedeterminados por el potencial de simetria G . La interaccion interelectronicaes totalmente despreciada. Para el calculo de estos niveles se elige conalgun metodo funciones de onda aproximadas para los estados estacionar-ios y luego se calcula los valores de espectacion del hamiltoniano.

Para muchos solidos la evidencia experimental muestra que los estadoselectronicos importantes para la determinacion de los niveles son los lla-mados electrones de valencia o conduccion, los cuales para muchos efec-tos se comportan como electrones libres. Por esta razon tomaresmos enprimera aproximacion las funciones propias del hamiltoniano libre apropi-adamente normalizadas dentro del volumen del cristal. Es evidente queesta aproximacion es buena solo mientras el electron se encuentre lejosde os centros ionicos ya que cerca de ellos lo mas logico de esperar esque los estados electronicos se parezcan mas a orbitales atomicos. Paraincluir tales efectos se han prpuesto diferentes conjuntos ortonormales deestados entre los cuales los mas notables son conocidos como las .ondasplanas ortogonalizadas 2las .ondas planas aumentadas”. Para los efectosdel calculo formal que haremos en esta seccion basado puramente enrazonamientos de simetrıa no hay mayor diferencia y lo mas simple esbasarse en los estados libres.

Como bien es sabido, las soluciones de onda plana en un volumen finitoV (condiciones de borde periodicas) son

fk(x) =1√∇

eik·~x

donde k es el vector numero de onda, el que solo puede tomar valoresdiscretos con espaciado 2π/Li en la direccion ~xi si la longitud del volumenen esa direccion es Li. Tambien sabemos que el momento lineal y la en-ergıa de estas ondas estan dados por

p = 6 hk , E(k) = 6 h2k2/2m.

Aquı hay una evidencia analogıa con las funciones base de las RIs delgrup τ . Se trata, en efecto, de los mismos con la excepcion que ahora el



grup de traslacion es continuo (estados libres) el cual puede considerarsecomo el lımite de un grup τ para el caso en que las longitudes ai quecaracterizan las traslaciones discretas tienden a cero. Vemos que en talcaso la zona de Brillouin se hace infinita y por esto, los posibles valores dek son ahora no acotados. En ambos casos k es el ındice que caracterizalas RIs de un grupo de traslaciones.

Para simplificar supondremos que tenemos una red cristalina cubicay una base consistente en un ion puntual. La red cristalina y la estruc-tua cristalina coinciden. La longitud del cristal en las tres direcciones es lamisma, Li = L y entonces el reticulado k es en ambos casos (traslacioesdiscretas o continuas) de simetrıa cubica; la simetrıa puntual es Oh. Estose debe, en el caso del grupo de traslaciones continuas, a las condicionesperiodicas en un volumen cubico.

Ahora estudiaremos el efecto sobre los niveles (58.2) del hamiltonianolibre al introducir el potencial cristalino como una perturbacion. Para estose hara uso de tecnicas que son esencialmente las mismas descritas en #11.

Los niveles (58.2) son tantas veces degenerados como vectores difer-entes tenta la estrella de k por efecto del grup puntual Oh puesto que elhamiltoniano libre es invariante a rotaciones continuas. Otra diferencia en-tre los grupos del hamiltoniano libre y del hamiltoniano cristalino esta enque dos k que son ıguales.en el sentido periodico para el caso cristalinono lo pueden ser para el caso libre ya que en este ultimo caso no hayred recıproca. (ZB infinita). Si llamamos Go al grupo espacial en el casodel hamiltoniano libre y G al de H y si la figura 658.1 representa la redrecıproca del cristal, entonces por ejemplo,

k =2πa

e1 ≡ (100)

es equivalente al vector (000) con respecto al grupo G y por lo tanto esun vector k cuyo pequeno grupo es el mismo Oh; su estrella tiene un solovector. El mismo vecto k dado por (58.3) considerado con respecto al grupoGo tiene una estrella de seis vectores, como se puede apreciar en la mismafigura,

(100),(010),(001), (100),(010),(001).

Esto implica que el nivel (58.2) para este k es seis veces degenerado,mientras que los niveles cristalinos correspondientes, por (56.3), son a lo

9.8. METODO DE CALCULO DE NIVELES DE ENERGIA EN UN CRISTAL CUBICOFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


mas tres veces degenerados.

Las seis funciones (58.1) cuyos vectores k son los vectores (58.4) for-man base para un espacio de RR del grupo Oh de dimension seis. El des-doblamiento del nivel del hamiltoniano libre por efecto del campo cristalinose calcula reduciendo esta representacion a RIs del grupo Oh = 0×Ci. Parapoder hacer este desdoblamiento debemos calcular los caracteres de lasclases conjugadas de Oh en la base recien descrita. Una vez hecha ladescomposicion se construyen las funciones base de las RIs correspondi-entes a los niveles desdoblados como combinaciones lineales de las seisfunciones originales y con estas funciones se determina los valores de es-pectacion del hamiltoniano, obteniendose ası , en primera aproximacionlos niveles cristalinos correspondientes al k (58.3) asociado al punto γ

Para obtener todos los niveles posibles asociados al punto γ de la ZBdel cristal debemos tomar la sucesion infinita de vectores k equivalentesbajo Go. Estos son

(000),(100),(110)(111),(210), · · ·

Los que corresponden a energıas del hamiltoniano libre E(k) = 0,1,2,3, · · ·en unidades de g2 6 h2/2m.

A continuacion hacemos una tabla con las estrellas de estos vectores kindicando las energıas del hamiltoniano libre y el numero correspondientede funciones linealmente independientes que corresponden a cada uno.

Eo(k) 0 h2g2

2m 2 h2g2

2m 3 h2g2

2m 4 h2g2

2m

Numerodefunciones 1 6 12 8 6

(000) (100) (110)(II0) (III)(III) (200)(100) (II0)(II0) (III)(III) (200)(0I0) (101)(I0I) (III)(III) (020)(0I0) (I0I)(I0I) (020)(00I) (III)( ¯III(00I) (0II)(OII) (002)

(0II)(0II) (002)

Los caracteres de Oh para estas RR se pueden obtener esencialmente



viendo en la figura 58.1 cuantos de los k de la RR estan sobr el elemen-to de simetrıa que se considera. Por ejemplo, si consideramos la RR 6-dimensional correspondiente a la estrella de (100) vemos que ninguno deestos k esta sobre alguno de los ejes C2 que unen el punto medio de laarista opuesta, por lo tanto este caracter es cero; vemos tambien que cua-tro de los vectores de la estrella estan sobre el plano de reflexion diagonalque pasa por las mismas dos aristas, luego este caracter es cuatro. Enel caso de una rotoreflexion el unico punto dejado invariante es el origenpor lo que el caracter de las rotoreflexiones Sn sera nulo (n > 0) para todasestas representaciones salvo la trivial.

La tabla de caracteres de Oh para estas RR calculadas como se haindicado en el parrafo anterior resulta ser,

Oh e 8C3 3C24 6C2 I 8S6 3σv 6σd 6S4

nivel 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 6 0 2 0 2 0 0 4 2 02 12 0 0 2 0 0 0 4 2 03 8 2 0 0 0 0 0 0 4 04 6 0 0 0 2 0 0 4 2 0

La reduccion de estas RR de Oh la efectuamos utilizando la forma usualteniendo presente que la tabla de caracteres se obtiene a partir de aquelladel grupo 0 en la forma (13.5).

De esta manera se obtiene, por ejemplo, que la descomposicion delnivel 1 (dimension seis) es

A+1 +E++F−1

obteniendose ası tres niveles. Las correspondientes funciones base lasescribimos como combinacion de las funciones (58.1) haciendo uso de lanotacion siguiente,

(rst) ≡ 1√V

ei(rg1+ sg2+ tg3) ·~x

y ellas son,

9.8. METODO DE CALCULO DE NIVELES DE ENERGIA EN UN CRISTAL CUBICOFacultad de Ciencias Fısicas y Matematicas


A+1 : 1√

6[(100)+ (−100)+ (010)+ (0−10)+ (00−1)+ (001)]

E+ : 12[(100)+ (−100)− (0010)− (0−10)]1√8[(100)+ (−100)+ (010)+ (0−10)−2(001)−2(00−1)]

F−1 : 1√2[(100)− (−100)]

1√2[(010)− (0−10)]

1√2[(001)− (00−1)]

Con estas funciones se calcula los valores promedio del hamiltonianoobteniendose un valor aproximado pra los tres niveles energeticos.


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