Universidad de Huelva Curso 2003/2004 Escuela Polit´ecnica de La … · 2015-09-02 · Elementos...

Universidad de HuelvaCurso 2003/2004

Escuela Politecnica de La Rabida

Asignatura: Fundamentos Matematicos

Estudios: I. T. Agrıcola

Ingenierıa TecnicaAgrıcola

2 Fundamentos MatematicosCurso 2003/04

Indice general

I Calculo Infinitesimal 7

0. Repaso de las funciones elementales 9

0.1. Dominio y rango de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.2. Simetrıas entre funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

0.3. Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.4. Lımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

0.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.6. Indeterminaciones, calculo de lımites y discontinuidades . . . . . . . . . . . . 17

0.7. Funciones exponenciales y logarıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

0.8. Funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1. Funciones derivables. Aplicaciones 25

1.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.2. Derivadas de orden superior. Derivacion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3. Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.4. Aproximacion local de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Soluciones a algunos ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2. Resolucion Numerica de una Ecuacion en una Variable 53

2.1. Metodo de la Biseccion para el calculo de raıces. . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2. Metodo de Newton-Raphson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Soluciones a algunos ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3. Interpolacion Polinomial 67

3.1. Existencia de polinomio de interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2. Interpolacion de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.3. Polinomios de interpolacion con diferencias divididas de Newton . . . . . . . 69

3.4. Analisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4. Integracion en una variable. Aplicaciones 73

4.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2. Calculo de areas y volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.3. Integrales impropias. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3

INDICE GENERAL

4.4. Integracion numerica: las reglas del trapecio y de Simpson . . . . . . . . . . . 95Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

II Algebra Lineal 107

1. Sistemas de ecuaciones lineales. Espacio vectorial Rn 1091.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Transformaciones elementales . . . . . . . . . 1091.2. Metodo de eliminacion de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.3. Espacio vectorial. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1121.4. Subespacios vectoriales. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . 1141.5. Base de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector. Cambio de base . . . 115Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2. Espacio Vectorial Euclıdeo. Mınimos cuadrados 1252.1. Producto escalar. Norma y distancia euclıdea . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.2. Ortogonalidad. Proyecciones ortogonales sobre subespacios . . . . . . . . . . . 1272.3. Aproximacion por mınimos cuadrados. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . 131Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3. Diagonalizacion de Matrices 1393.1. Autovalores y Autovectores. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.2. Matrices diagonalizables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.3. Forma canonica de Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4. Sistemas de ecuaciones en diferencias y de ecuaciones diferenciales lineales1614.1. Sistemas de ecuaciones en diferencias. Potencias de una matriz . . . . . . . . 1624.2. Matrices Estocasticas: Cadenas de Markov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1674.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Exponencial de una matriz . . . . . . . . 170Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174



Nota previa

El ingeniero de cualquier disciplina, agrıcolas, forestales, industriales, etc, debe, como encualquier otra rama cientıfica, conocer el lenguaje matematico. Por otro lado, su formacionexige una matematica eminentemente aplicada. Ası, en nuestra opinion, el nivel a impartiren cualquier curso de matematicas para la ingenierıa, y en especial en los primeros anos,no deberıa centrarse en un excesivo rigor -inutil por otra parte, a posteriori- sino en unaespecie de “recetario” que permita al alumno aprender las tecnicas basicas para comenzar suandadura en la carrera.

A pesar de ser muchos los textos que existen sobre un tema tan estandar en cualquiercurso de iniciacion en matematicas para carreras tecnicas, estos pueden resultar inadecuadoshasta cierto punto por el rigor en su exposicion. El objetivo que nos marcamos al elaborarestos apuntes es dotar de una estructura teorica lo mas sencilla posible en su presentacion,y al mismo tiempo aplicada, para ofrecer al alumno todas las herramientas necesarias sin lapesadez de una presentacion rigurosa impropia de su especialidad, sino a traves de ejemplosreales que confiamos supongan una motivacion adecuada.

El texto se compone de dos partes bien diferenciadas. Es conveniente, para la mejorubicacion del alumno dentro de este curso, una explicacion previa sobre el motivo de dichaestructuracion.

La tarea de cualquier cientıfico es obtener el maximo aprovechamiento de la realidad quepretende estudiar y controlar en algun modo. El estudio de leyes fısicas y quımicas, su expli-citacion en terminos matematicos, la realizacion de modelos para cada problema atendiendoa posibles causas y efectos, conduce finalmente al tratamiento sistematico de relaciones entrecantidades que se pretenden optimizar (maximizar beneficios, minimizar riesgos, contaminan-tes, perdidas, etc). La evaluacion de dichas cantidades, normalmente a partir de conjuntosfinitos de datos tomados de la experiencia de campo, implica la necesidad de herramientasmatematicas para obtener las funciones subyacentes al fenomeno estudiado, o que al menos,se parezcan mucho. Su calculo, su evaluacion en puntos concretos, operaciones con ellas, deforma teorica o simbolica, y aproximada (numerica), requieren de los elementos del CalculoInfinitesimal. Elementos como la derivacion, integracion, aproximacion en subespacios, inter-polacion numerica, aproximacion de raıces, son los objetos basicos que necesitan ser conocidosy son tratados en este bloque.

Lamentablemente, aunque a veces los modelos conocidos permiten dar expresiones com-pletas a nuestros problemas, estas expresiones pueden ser muy difıciles de tratar (inclusocontando con la ayuda de grandes ordenadores). Son entonces necesarias simplificacionesprevias, estudios locales sobre las funciones de nuestros modelos, y cercanos a puntos deequilibrio, primordiales en el ambito de la ingenierıa, que representan un interes obvio, y

5

INDICE GENERAL

sera objeto del curso en su segunda parte: el Algebra Lineal. El tratamiento de sistemas ma-triciales, su diagonalizacion, la resolucion de sistemas de ecuaciones y finalmente de sistemasde ecuaciones diferenciales lineales componen los principales objetivos de este bloque.



Parte I

Calculo Infinitesimal

7

Tema 0

Repaso de las funciones elementales

En cualquier tarea cientıfica, la necesidad de trabajar con distintas cantidades y porcen-tajes de sustancias, medidas de temperatura, etc, y relacionarlas entre sı por leyes (fısicas,quımicas, ...) exige el uso de funciones, en general de varias variables. Comenzamos recordan-do aquı algunos de los conceptos basicos sobre funciones reales de variable real.

0.1. Dominio y rango de funciones

Lo primero que cabe notar es que debemos conocer el conjunto de valores para los cualestiene sentido calcular la funcion (esto es evidente y no un problema en la vida real, cuando,por ejemplo, corresponden a datos que tomamos hacen referencia a cierta epoca del ano, siconsideramos la variable independiente como la evolucion del tiempo).

Llamamos dominio de una funcion f , D(f), al conjunto de valores x de R para los que tie-ne sentido evaluar f(x). En general, si no hay confusion posible, lo denotaremos simplementepor

f : D ⊂ R → R.

Los casos mas simples son:

D(√

x) = {x ≥ 0} = R+, D(log x) = {x > 0}, D

(1

f(x)

)= {x ∈ D(f) | f(x) 6= 0}.

Dadas dos funciones con el mismo dominio f, g : D ⊂ R → R, se definen las siguientesfunciones (observa que determinadas operaciones requieren condiciones adicionales, que nosobligan a modificar el dominio para que todo tenga sentido):

Funcion suma f + g : D ⊂ R → R : x 7→ [f + g](x) = f(x) + g(x).

Funcion diferencia f − g : D ⊂ R → R : x 7→ [f − g](x) = f(x) − g(x).

Funcion producto fg : D ⊂ R → R : x 7→ [fg](x) = f(x)g(x).

Funcion cociente f/g : {x ∈ D | g(x) 6= 0} ⊂ R → R : x 7→ [f/g](x) = f(x)/g(x).

Funcion compuesta f ◦ g : {x ∈ D | g(x) ∈ D} ⊂ R → R : x 7→ [f ◦ g](x) = f(g(x)).

9

TEMA 0. REPASO DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES

Analogamente, dada una funcion, el conjunto de los valores alcanzados al evaluar unafuncion f tambien recibe un nombre concreto: rango o imagen de la funcion, denotadoindistintamente por Rg(f) o Im(f) (observa que en la composicion, la condicion para queD(f ◦ g) = D(g) es que Im(g) ⊂ D(f)). Conociendo el dominio y el rango de funcionespodemos “dandoles la vuelta”, obtener representaciones de funciones inversas respecto de lacomposicion (ya veremos porque). Por ello, introduciremos en la siguiente seccion las ideasde simetrıa.

Ejercicio: Aunque el dominio de cualquier polinomio es el conjunto de todos los numerosreales, si componemos con la funcion raız cuadrada, ¿cual es el dominio de dicha funcion?Explicıtalo en el caso f(x) =

√x2 − 5x + 4.

Sol. En general, dada f(x) =√

g(x), D(f) = {x ∈ D(g) | g(x) ≥ 0}. En este caso parti-cular, por abreviar notamos p(x) = x2 − 5x + 4. Resolvemos la desigualdad p(x) ≥ 0. Paraello observamos que p(x) = (x−1)(x−4), y por tanto son ceros de orden impar1 de p(x) = 0.Ası, evaluando en una zona (p.ej. p(0) = 4), vemos que los signos de p(x) son positivo en(−∞, 1) y en (4,∞), y negativo en (1, 4). Luego, D(p) = (−∞, 1] ∪ [4,∞).

Ejercicio: Halla el dominio de h(x) =1√

x2 − 5x + 4.

Sol. No podemos permitir que el denominador se anule, con lo que por el ejercicio anteriorse tiene D(h) = (−∞, 1) ∪ (4,∞).

Ejercicio: Halla el dominio de la funcion f(x) = log

(x2 − 4

2x + 3

).

Sol. D(f) = (−2,−3/2) ∪ (2,∞).

0.2. Simetrıas entre funciones

Las propiedades de simetrıa permiten hacer representaciones de funciones con menos tra-bajo, esto es, basta conocer algunos tipos de funciones o algunas partes de la representacionpara obtener otras cuantas parecidas o para finalizar la grafica de una funcion dada.

Decimos que una funcion f : D ⊂ R → R es simetrica par si f(x) = f(−x) ∀x ∈D, −x ∈ D. Ası, la grafica de una funcion simetrica par es reflejada por un espejo: el ejevertical OY, tambien llamado eje de ordenadas.

Ejemplo 1. Todo polinomio en el que solo aparezcan terminos con potencias pares (y =p(x) = a2nx2n + a2n−2x

2n−2 + . . . + a2x2 + a0) es obviamente par.

1El signo de las distintas zonas -delimitadas por los ceros del numerador y denominador- de una expresionracional entre polinomios va cambiando de una zona a otra si dicha raız es de orden impar, y no lo hacen encaso contrario.



0.2. SIMETRIAS ENTRE FUNCIONES

-

6

x

y

La parabola y = x2

La funcion valor absoluto,

|x| = abs(x) =

{x si x ≥ 0,−x si x < 0,

es otro caso particular de funcion simetrica par. Representala.

Si la funcion verifica que f(x) = −f(−x), entonces se dice que f es simetrica impar,ahora el espejo es algo mas complicado: hay que imaginarlo como el efecto de dos simetrıaspares, una respecto el eje OY, y otra respecto el eje OX -el orden para ello no importa-, enrealidad se trata de una simetrıa respecto al origen de coordenadas como puedes comprobaren el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2. El nombre de simetrıa impar no es casual: tomemos un monomio de potenciaimpar, por ejemplo la cubica mas sencilla, y = x3. Trivialmente se tiene que (−x)3 = −x3.

-

6

x

y

Una funcion cubica: y = x3

Otros ejemplos de la misma simetrıa apareceran cuando recordemos las funciones trigo-nometricas (la funcion seno es impar, mientras que la funcion coseno es par, y la funciontangente, al ser el cociente de la primera entre la segunda es impar tambien).

La simetrıa de funciones inversas respecto de la composicion, es decir, cuandof ◦ g = g ◦ f =id, es con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes de losejes cartesianos, ya que se trata simplemente de intercambiar los papeles de las variablesindependiente y dependiente x e y.




Ejemplo 3. Las funciones y = x2 e y =√

x, planteadas ambas en el dominio R+, son inversauna de la otra. Su representacion en el primer cuadrante pone de manifiesto la simetrıamencionada. Observese que en este caso las graficas se cortan en el punto (1, 1) [tenıa queestar sobre la diagonal, por supuesto].

-��

��

��

��

��

6

x

y

y = xy = x2

y =√

x

Simetrıa respecto la bisectriz

0.3. Polinomios

Las funciones mas faciles de definir, de evaluar en puntos concretos (y de derivar e integrar,esto se vera en los proximos temas) son los polinomios, es decir, cualquier expresion de laforma

p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0,

donde n es un numero natural y los coeficientes an, an−1, . . . , a1, a0 son numeros reales.Decimos que el polinomio es de grado n cuando es el mayor natural con coeficiente an 6= 0.Por supuesto, el dominio de definicion de un polinomio es todo R. El hecho de distinguirel grado del polinomio es debido a que juega un papel significativo: es quien manda paraestudiar lo que le pasa a la funcion con |x| suficientemente grande (dicho de otro modo, ellımite cuando x tiene a ±∞).

Cuando veamos el tema de derivacion, podremos precisar un poco mas, pero en general notiene porque ser simetrico en modo alguno. Por el momento, basta recordar que los polinomiosde grado 1 son las rectas del plano, y que los polinomios de grado 2 son parabolas.

La representacion de una recta requiere exclusivamente dos puntos en los ejes coordena-dos, mientras que para representar una parabola es conveniente tener al menos tres valores. Siqueremos una representacion mas precisa podemos elegir los cortes con los ejes (el corte conel eje OY se produce cuando sustituimos x = 0, mientras que el corte con el eje OX, tambienllamado eje de abscisas, es el resultado de resolver2 y = 0). Como decıamos antes, el compor-

2Las raıces de una ecuacion de segundo grado ax2+bx+c = 0 vienen dadas por la expresion x =−b±

√b2−4ac

2a.

Obviamente, por simetrıa, el vertice de la parabola y = ax2 + bx + c tiene por primera coordenada el valor−b/2a.



0.3. POLINOMIOS

tamiento de y para |x| suficientemente grande (si va a ∞ o a −∞) depende exclusivamentedel signo del coeficiente del termino de mayor grado.

Vemos ası que de modo natural nos ha surgido el problema de definir lo que entendemospor “lımites”, ya que la representacion global de cualquier funcion exige conocer esos valores.Lo analizaremos en la proxima seccion, antes hacemos un breve recordatorio sobre la divisiony factorizacion de polinomios.

Divisiones entre polinomios

Aparecera de modo natural a veces el cociente entre polinomios. Recuerda que se pue-de hacer dicho calculo como una division ordinaria con divisor de varias cifras (como nosensenaban en el colegio, simplemente el papel de unidades, decenas, centenas, etc, aquı lojuegan los distintos monomios, ordenados segun el orden de sus potencias).

Sin embargo, hay un caso particularmente sencillo, posible de calcular de otra forma, elcaso en que el denominador es un monomio de primer grado: la Regla de Ruffini. Toma loscoeficientes del polinomio del numerador y el opuesto (cambio de signo) del coeficiente degrado cero del denominador y opera como en el ejemplo (baja el primer coeficiente, multiplica,pon el resultado arriba y suma):

Ejemplo 4. Queremos calcular el cocientex3 − 3x2 − 7x − 8

x − 51 -3 -7 8

5 5 10 15

1 2 3 7

Observa los numeros obtenidos a traves de la operacion anterior. Salvo el ultimo (recua-drado), que es el resto, los demas, denotan los coeficientes de un polinomio un grado menor,o sea, 2:

Esto nos dice que

x3 − 3x2 − 7x − 8

x − 5= (x − 5)(x2 + 2x + 3) + 7

(compruebalo desarrollando la expresion de la derecha). Dicho de otro modo, si evaluamosp(5), siendo p(x) = x3 − 3x2 − 7x − 8, obtenemos p(5) = 7.

El caso interesante se produce cuando el resto es cero (en lugar de 7), eso dice que ciertonumero (en este caso habrıa sido 5) es un cero o raız del polinomio y, por tanto, que estepuede factorizarse como (x − 5) por otro polinomio de un grado menos.

Ejemplo 5. Sea q(x) = x4 + x3 − 7x2 + 4. Puedes comprobar que q(2) = 0, eso indica queq(x) = (x−2)r(x) con r(x) otro polinomio de grado 3. Para hallarlo desarrollamos por Ruffini(ojo, hay que poner los coeficientes de todos los monomios, incluidos 0 por aquellos que noaparecen):

1 1 -7 0 4

2 2 6 -2 -4

1 3 -1 -2 0




Comprueba, desarrollando el producto, que se tiene la siguiente igualdad:

x4 + x3 − 7x2 + 4 = (x − 2)(x3 + 3x2 − x − 2).

0.4. Lımites

La nocion rigurosa (matematica) de lımite representa la idea intuitiva que tenemos deacercamiento. Podemos pensar en una aproximacion a un punto dado bien de forma continuao bien a saltos (cada vez mas pequenos), por eso es conveniente dar dos tipos de definiciones,una primera (quizas mas natural) con sucesiones3 (la version “a saltos”, tambien llamadasecuencial) y otra continua, mas general. Detallamos seguidamente ambos casos, y senalare-mos la relacion que hay entre ellos cuando tengamos la definicion de continuidad propiamente.

Sea una sucesion de numeros a1, a2, a3, . . . Vagamente decimos que la sucesion tiende a unvalor a si nos acercamos a el tanto como queramos con tal que nos adentremos suficientementeen la sucesion de partida, es decir, que todos los elementos de la sucesion a partir de unodado esten suficientemente cerca de a, digamos en el intervalo (a − ε, a + ε) con un valor deε arbitrariamente pequeno. Matematicamente, eso se expresa:

Definicion 6.

lımn→∞

an = a si y solo si ∀ε > 0, existe n(ε) tal que ∀n ≥ n(ε) |an − a| ≤ ε.

Si lo que tenemos no es una sucesion discreta de valores, sino una funcion f : D ⊂ R → R,cabe preguntarse por el lımite de f(x) cuando x ∈ D se acerca a un valor a.

Definicion 7. Decimos que lımx→a

f(x) = l si

∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 tal que 0 < |x − a| < δ implica |f(x) − l| ≤ ε.

Observese que no pedimos que a sea un punto del dominio de D, ni por tanto que x lleguea tomar dicho valor. Lo que se describe matematicamente es que si exijo acercarme muchocon f(x) al valor l basta para ello acercarme suficientemente con x al valor a.

Ejemplo 8. Supongamos la funcion f(x) = x2. Obviamente esperamos poder probar quelımx→2

f(x) = 4. Para ello fijamos una cantidad ε = 0, 01, y queremos dar una banda entorno a

2 tal que si x ∈ (2 − δ, 2 + δ), tengamos que |f(x) − 4| ≤ 0, 01.

Que se satisfaga la desigualdad para el valor absoluto |f(x)−4| ≤ 0, 01 equivale a −0, 01 ≤f(x) − 4 ≤ 0, 01. Recordemos que al resolver una desigualdad, podemos sumar y restar sinque haya cambio en los signos de la desigualdad4. Ası, debe satisfacerse 4− ε ≤ x2 ≤ 4 + ε, ytomando raız cuadrada (que es una funcion bien definida para valores positivos y creciente,manteniendo el orden en la desigualdad) queda que

√4 − ε ≤ x ≤

√4 + ε. Esa es la banda

en que debe tomarse x: concretamente serıa δ = mın(√

4 − ε − 2,√

4 + ε − 2).

3Recuerda que una sucesion es simplemente una coleccion infinita de numeros dados en cierto orden: a1,a2, a3, . . . ; es decir, una funcion de N en R

4El cambio de signo solo se produce cuando se multiplica o divide por una cantidad negativa.



0.4. LIMITES

Haciendo un analisis exhaustivo, debemos definir varios lımites mas: en los casos en queel lımite diverja (es decir, valga infinito), o bien, cuando el lımite se toma haciendo tenderx a infinito. Ambas nociones tienen que ver con que los valores, bien de f(x) o de x se vanhaciendo cada vez mayores.

Definicion 9. Decimos que lımx→a

f(x) = ∞ si para todo valor M > 0 por grande que sea,

existe un valor δ(M) > 0 tal que si |x − a| < δ, entonces f(x) > M .

Ademas, se dice que lımx→∞

f(x) = l si para todo ε > 0 existe un valor M(ε) > 0 tal que

para todos los elementos x ≥ M(ε), se tiene que |f(x) − l| ≤ ε.

Por supuesto, con poco esfuerzo podemos precisar lo que significa que lımx→a

f(x) = −∞,

esto sera que

∀M > 0, ∃δ(M) > 0, | 0 < |x − a| < δ, ⇒ f(x) < −M.

La extension de la definicion para los casos lımx→−∞

f(x) = l y lımx→±∞

f(x) = ±∞ son obvias a

partir de las anteriores.En realidad, en la definicion de lımite aparece un valor absoluto, esto simplemente repre-

senta que nos podemos acercar por los dos lados, izquierda y derecha. Dicho de otro modo:la existencia de un lımite (cuando x tiene a un valor finito) es el resultado de dos lımiteslaterales, que existan los lımites cuando solo nos acercamos por la izquierda y cuando solonos acercamos por la derecha, y que ademas dichos lımites coincidan.

Definicion 10. Se dice que existe el lımite por la derecha (observa la notacion) lımx→a+

f(x) = l

si para todo ε > 0 existe un valor δ(ε) > 0 tal que si 0 < x − a < δ entonces se satisface que|f(x) − l| ≤ ε.

Analogamente, se dice que existe el lımite por la izquierda lımx→a−

f(x) = l si para todo

ε > 0 existe un valor δ(ε) > 0 tal que si 0 < a−x < δ entonces se satisface que |f(x)− l| ≤ ε.

Observa que aunque los lımites laterales existan, no siempre tienen porque coincidir:

Ejemplo 11. Sea la funcion f : R\{0} → R definida como f(x) = |x|x . Es facil ver, con la

definicion de la funcion valor absoluto que

lımx→0+

f(x) = 1, lımx→0−

f(x) = −1.

De nuevo, para contemplar toda la casuıstica posible, deberıamos formular todos losresultados en funcion de los lımites laterales. Por comodidad y brevedad no lo haremos,aunque la extension de nuestros enunciados a dichos casos es facil.

Proposicion 12 (Algebra de lımites). Dadas dos sucesiones {an, bn}n tales que lımn→∞

an →a y lım

n→∞bn → b, se tiene que

lımn→∞

(an + bn) = a + b,

lımn→∞

abnn = ab,




Si b 6= 0, entonces lımn→∞

an/bn = a/b.

Dadas dos funciones f, g : D ⊂ R → R, si existen los lımites lımx→a

f(x) = p y lımx→a

g(x) = q,

entonces se verifica que

lımx→a

(f(x) + g(x)) = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x) = p + q,

lımx→a

(f(x)g(x)

)= lım

x→af(x)

lımx→a

g(x)= pq,

Si lımx→a

g(x) = q 6= 0, entonces lımx→a

f(x)

g(x)=

lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)= p/q.

Si existe el lımx→q

f(x), entonces lımx→a

f(g(x)) = lımx→q

f(x).

0.5. Continuidad

En realidad, la mayorıa de los lımites se calculan por medio de la simple sustitucion,y es que en un ambito real (contrariamente a los ejemplos academicos) las expresiones conque trabajamos son continuas, al menos en casi todos sus puntos. La definicion precisa decontinuidad es:

Definicion 13. f : D ⊂ R → R se dice continua en a ∈ D si el lımite lımx→a

f(x) existe y

coincide con el valor f(a). Se dice que f es continua si lo es en todos los puntos de su dominiode definicion.

Aunque no lo probaremos, cabe resenar ahora un resultado que engarza los lımites se-cuenciales y continuos de la seccion anterior: una funcion real de variable real es continuasi y solo si es secuencialmente continua, es decir, f es continua en a si y solo si para todasucesion an que converja hacia a, f(an) converge hacia f(a).

Las operaciones mas basicas que se emplean en el conocido algebra de lımites son funcionescontinuas (ya sean de una o de varias variables, estas ultimas se veran en el Tema 5 de laParte I) por lo que resultaba natural el resultado de la Proposicion 12. De hecho, se tiene elsiguiente resultado:

Proposicion 14. Si f, g : D ⊂ R → R son funciones continuas, entonces las funcionesque definimos en la Seccion 1, la funcion suma, diferencia, producto, cociente, y composicion(donde tengan sentido) tambien lo son.

Las funciones que son continuas tienen, como es natural, mejores propiedades que las queno lo son. Enunciamos algunas de ellas en el siguiente bloque.

Teorema 15. Sea f : D → R una funcion continua, con D = [a, b] ⊂ R un intervalo cerrado.Entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

(Bolzano, Tema 2) Si f(a) y f(b) tienen distinto signo, existe un valor c ∈ [a, b] tal quef(c) = 0.



0.6. INDETERMINACIONES, CALCULO DE LIMITES Y DISCONTINUIDADES

(Valor intermedio) f toma todos los valores entre f(a) y f(b) al menos una vez en D.

(Acotacion) f esta acotada, es decir, existe un valor C > 0 tal que |f(x)| ≤ C para todox ∈ D.

(Weierstrass o Maximo y mınimo) Existen dos valores, M y m que son maximo ymınimo de f en D, y son alcanzados por f , es decir, existen xM , xm ∈ D tales quef(xM ) = M y f(xm) = m.

(Heine-Borel) f es uniformemente continua sobre D, es decir, dado ε > 0, existe unvalor δ(ε) > 0 tal que si |x − x′| ≤ δ, entonces |f(x) − f(x′)| ≤ ε.

En particular, una funcion continua definida sobre un intervalo cerrado alcanza todos losvalores entre su maximo y su mınimo.

0.6. Indeterminaciones, calculo de lımites y discontinuidades

A veces ocurre que para el calculo de lımites no basta con la mera sustitucion. Es bienconocido que ciertos resultados, “∞−∞” por ejemplo, son indeterminaciones5, y requierende mas calculo para su correcta evaluacion.

Recuerda que junto con las operaciones basicas de la aritmetica, es util conocer las iden-tidades notables

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab, (a − b)2 = a2 + b2 − 2ab, (a + b)(a − b) = a2 − b2,

ya que a veces, al menos con expresiones simples en las que aparezcan raıces, estas puedendesaparecer multiplicando (y dividiendo) por un factor conveniente (conjugado):

√n + 1 −√

n = (√

n + 1 −√n)

√n + 1 +

√n√

n + 1 +√

n=

1√n + 1 +

√n

.

Si la expresion es cociente de dos polinomios y la indeterminacion de la forma ∞∞ , el lımite

se halla facilmente: para averiguar si el numerador es claramente mayor (en cuyo caso el lımitevaldra ±∞), o lo es el denominador (en cuyo caso el lımite valdra cero) o son comparables,basta ver el grado de cada polinomio:

lımx→∞

p(x)

q(x)=

±∞ si grado(p) > grado(q),agr(p)/agr(q) si grado(p) = grado(q),

0 si grado(p) < grado(q),

donde por agr(p)/agr(q) estamos denotando el cociente entre los coeficientes de mayor gradode ambos polinomios.

5Esto es: no hay ningun resultado unico valido para resolver dicho lımite, cada caso debe tratarse particu-larmente, como muestran los simples ejemplos: a) lım

n→∞[(n + 2) − n] = 2, b) lım

n→∞[n2 − n] = n(n − 1) = ∞; c)

lımn→∞

[√

n + 1 −√

n] = 0.




El caso de cocientes polinomicos de nuevo permite resolver facilmente el caso de indeter-minacion del tipo 0

0 , ya que el valor lımite al que tiene x es un cero de ambos polinomios, ypor tanto un factor que se puede simplificar en la expresion original:

lımx→2

x2 − 4

x − 2= lım

x→2(x + 2) = 4.

Estos son casos muy concretos, para la mayorıa de las indeterminaciones necesitaremos herra-mientas mas potentes, como el uso de derivadas (Regla de L’Hopital). Un caso no trivial, peroque es importante manejar desde el principio, es el del tipo 1∞. Para tratar este caso recor-damos la siguiente igualdad:

lımx→∞

(1 +

1

x

)x

= e.

El caracter positivo de la cantidad anadida a uno en la expresion anterior no es necesario,tambien se tiene que

lımx→∞

(1 − 1

x

)−x

= e.

Esto significa que sustituyendo x por una expresion que diverja a ±∞ obtenemos el mismolımite, y si la expresion no es exactamente la que nos dan, se trata de manipular los exponentesconvenientemente (en general multiplicando y dividiendo por una misma cantidad) y resolverentonces una posible indeterminacion en el exponente:

lımx→∞

(x + 3

x + 1

)−x

= lımx→∞

[(1 +

2

x + 1

)x+1

2

]−2xx+1

= e−2.

Ejercicio:

Calcula los siguientes lımites:

a) lımx→0

25x3 + 2

75x6 − 2b) lım

x→2

x2 − 4

x − 2c) lım

x→6

√30 + x − 6

x − 6

d) lımx→3

x2 − 9√x − 3

e) lımx→∞

(x2 + 3x

3x2 + x

)x

f) lımx→∞

(x3 − 7

x3 + 4x − 2

) 2x3

x + 5

g) lımx→∞

√x2 + 1 −√

x h) lımx→∞

(3x + 1)4

(2x2 + 5x + 19)2i) lım

n→∞3n

2n + 1

Sol. a) − 1, b) 4, c) 1/12, d) 0, e) 0, f) e−8, g)∞, h) 81/4,i)∞.



0.7. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Discontinuidades

Negando las distintas opciones que intervienen en la nocion de continuidad, es posibleanalizar todos los casos en los que tendremos discontinuidades.

Caso 1: Existe el lımite, pero no coincide con el valor que la funcion tiene asignado enese punto. Por ejemplo, si definimos

f(x) =

{x + 1 si x ∈ R\{0},2 si x = 0.

Claramente existe el lımite en cero, lımx→0

f(x) = 1, pero no coincide con el valor asignado. Por

razones obvias a esta posibilidad la llamaremos discontinuidad evitable.

Caso 2: Existen los lımites laterales, y son finitos, pero no iguales:

f(x) =

+1 si x > 0,0 si x = 0,−1 si x < 0.

Esta posibilidad se llamara discontinuidad inevitable de salto finito.

Caso 3: Existen los lımites laterales, pero alguno de ellos (o ambos) valen infinito. Eso leocurre a la funcion f(x) = 1/x definida en R\{0}. Esta posibilidad se llamara discontinui-dad inevitable de salto infinito.

Caso 4: No existe el lımite, sin ser el caso 2 o 3. Cuando veamos la representacion delas funciones trigonometricas, podremos comprobar que ese es el caso de lım

x→0sen(1/x). Esta

ultima opcion se llamara discontinuidad por oscilacion.

Ejercicio: Averigua el valor de c para que la siguiente funcion sea continua:

f(x) =

x3 − x2 − 11x − 4

x2 − 16si x 6= 4,

c si x = 4.

Sol. c = 29/8.

0.7. Funciones exponenciales y logarıtmicas

Para mejorar nuestra capacidad grafica, seguimos introduciendo algunas funciones ele-mentales. Para ello, recordamos brevemente algunas propiedades de las potencias (sea a > 0una constante, y m, n ∈ R):

aman = am+n, (am)n = amn, a0 = 1.

Por tanto, y dado que por definicion

y = loga(x) si y solo si ay = x,




se tienen las siguientes propiedades basicas de los logaritmos6:

log(AB) = log A + log B,

log(Am) = m log A,

log 1 = 0.

Considerense una funcion potencial y = ax y su inversa respecto de la composicion,la funcion logarıtmica en base a, y = loga(x). Teniendo en cuenta la simetrıa respecto dela bisectriz de los cuadrantes 1 y 3 (la funcion y = x), de funciones inversas respecto de lacomposicion, las representaciones graficas de ambos tipos de funciones resultaran muy faciles.

Comenzamos suponiendo que a > 1. Ası,

lımx→∞

ax = ∞, lımx→−∞

ax = 0.

La representacion de la funcion y = ax es:

-x

6y

1•

0 < a < 1

y = ax

Mientras que por simetrıa par entre esa funcion, y la que tiene por base el inverso a−1,obtendrıamos la siguiente grafica:

6Por comodidad en la notacion, no explicitamos la base, puede ser cualquiera en general; normalmente, seusa la notacion ln x para logaritmo en base e (logaritmo neperiano), log x para logaritmo en base 10, y loga xsi se desea usar otra base a.



0.8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

-x

6y

1•

0 < a < 1

y = ax

Utilizando el hecho de la simetrıa respecto de la diagonal y = x, las graficas de las funcioneslogarıtmicas con base a mayor que 1, son de la forma:

-x

6y

1•0 < a < 1

y = loga x

La representacion de y = loga x siendo 0 < a < 1 no es difıcil ahora.

0.8. Funciones trigonometricas

Hacer un repaso exhaustivo del significado, propiedades e importancia de las funcionestrigonometricas excede con mucho las pretensiones de estos apuntes introductorios. Solamen-te reflejaremos las caracterısticas basicas que nos ayuden a “intuir” sus representaciones, quepueden encontrarse en cualquier libro de texto.

Desde la antiguedad, es bien conocido que existen relaciones entre los lados y angulosde un triangulo. Este principio basico, que en dibujo tecnico todos hemos usado (trazandoparalelas) para dividir en segmentos iguales uno dado, fue utilizado por griegos, egipcios yotros en mediciones de grandes objetos (torres, piramides, etc), incluso ya entonces para lamedicion del radio de nuestro planeta (de forma bastante exitosa).




En cualquier problema en que podamos implicar angulos e hipotenusas, pendulos, ubi-cacion terrestre (latitud, longitud), etc, la formulacion adecuada es la trigonometrica. Enconcreto, la relacion exacta con que se definen las razones trigonometricas parten de untriangulo rectangulo:

βc

b#

###a

Los lados juntos al angulo recto se llaman catetos, en este caso b y c. El lado a es lahipotenusa. El teorema de Pitagoras nos dice que a2 = b2 + c2. La definicion de las razonestrigonometricas principales, seno, coseno y tangente, para el angulo β (el opuesto al lado b)son:

sen β =b

a, cos β =

c

a, tan β =

b

c=

senβ

cos β.

Por el teorema de Pitagoras es obvio que se verifica que

sen2 β + cos2 β = 1.

Ası, las funciones seno y coseno son funciones con valores acotados, que no pueden sobrepa-sar el intervalo [−1, 1]. Sin perdida de generalidad, podemos suponer que la hipotenusa deltriangulo tiene por longitud la unidad.

De este modo, la interpretacion geometrica de las razones anteriores son respectiva-mente: el cateto opuesto del triangulo, el cateto contiguo, y el cateto opuesto supuesto ahorael cateto contiguo midiera uno (es decir, la proyeccion sobre la tangente en (1, 0) del catetoopuesto original).

Las graficas del seno y del coseno son continuas, y de periodo 2π [por razones tecnicaspreferimos en general utilizar en trigonometrıa la escala [0, 2π] en lugar de la [0, 360], es decir,medir grados en radianes en vez de en grados sexagesimales].

Primeramente, sen 0 = 0, mientras que cos 0 = 1. Cuando el angulo llega a π/2, el senoadquiere su maximo valor, 1, y por tanto el coseno se anula (por ello la funcion tangente nosera continua ni acotada, tendra discontinuidades de salto infinito en todos los angulos de laforma π/2 + kπ, con k un entero).

A partir de aquı, el seno comienza a decaer de forma simetrica a como ha crecido, respec-to el eje x = π/2, hasta llegar a x = π, y entonces, por simetrıa de nuevo repite los valoresanteriores pero en la parte negativa del eje de ordenadas (es decir, simetrıa impar respectoel punto (π, 0)). Obviamente, cuando llega a x = 2π, todo comienza a repetirse, es lo quellamamos funcion periodica.

Lo mismo se supone que ha hecho para valores “negativos” del angulo (tecnicismo ma-tematico). Es por tanto una funcion impar, mientras que la funcion coseno, que es en realidadsu trasladada, cosx = sen(x + π/2), es una funcion par. Como resultado, la funcion tangen-te es impar (¿por que?), y por las simetrıas de su numerador y denominador, es periodicatambien, pero de periodo π.



0.8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

x-

6y

y = tanx

π/2 π 3π/2 2π



Tema 1

Funciones derivables. Aplicaciones

1.1. Conceptos basicos

Evolucion historica del Calculo Diferencial

El calculo diferencial tal y como lo conocemos hoy en dıa no aparece como disciplinapropia hasta mediados del siglo XVII, surgiendo entonces como una herramienta potentepara la resolucion de tres problemas diferentes: trazados de tangentes a una curva dada,velocidad de un movil y determinacion de maximos y mınimos de funciones.

Hasta entonces, y desde la Grecia clasica, estos problemas se resolvıan geometricamente.Arquımedes de Siracusa (siglo III a.C.) elaboro un metodo de construccion de la recta tangentepara la espiral que lleva su nombre. Las pautas marcadas por Arquımedes en la resolucion deestos problemas son las que prevalecen hasta el siglo XVII, cuando Pierre Fermat (1601-1665)trato de determinar los maximos y los mınimos de ciertas funciones. Fermat observo que unacurva tiene en cada uno de sus puntos una direccion, definida por la recta tangente a la curvaen dichos puntos, tal que donde la funcion tiene un maximo o un mınimo la tangente eshorizontal.

En la segunda mitad del siglo XVII surgen en Europa dos grandes matematicos, Newtony Leibnitz, considerados los inventores de lo que hoy conocemos como calculo diferencial.Asimismo, fundieron en uno el calculo integral (que estudiaremos en el Tema 4) y el calculodiferencial. En el siglo XVIII, las aportaciones mas importantes en este campo fueron, enInglaterra, las de McLaurin y Taylor, y en Francia, las de Joseph Louis Conde de Lagrange.

En la Edad Contemporanea, el matematico frances Cauchy toma como punto de partida lanocion de lımite para deducir de ella la de funcion continua y posteriormente la de derivada.Nosotros desarrollaremos el tema bajo esta vision cuyo arranque radica en el concepto delımite. A partir de este definiremos la derivada de una funcion en un punto y estudiaremossu relacion con la continuidad. Explicaremos las interpretaciones fısicas y geometricas de laderivada. Definiremos la funcion derivada y derivadas de orden superior y veremos comocalcularlas. Con esta base teorica expondremos algunas aplicaciones de las derivadas parafinalizar el tema con la aproximacion local de funciones.

25

TEMA 1. FUNCIONES DERIVABLES. APLICACIONES

Derivada de una funcion en un punto. Relacion con la continuidad

Definicion 16. Sean I = (a, b) un intervalo abierto, f : I ⊆ R → R una funcion real devariable real y x0 ∈ I. Decimos que f es derivable en x0 si existe y es finito el siguientelımite

lımx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0︸︷︷︸Cociente incremental

. (1.1)

Al valor del lımite se le llama derivada de f en x0 y se denota por f ′(x0). Cuando existe, dela unicidad del lımite se deduce la unicidad de la derivada de una funcion en un punto.

Diremos que f es derivable en I si existe f ′(x0) para cualquier x0 ∈ I.

Considerando x − x0 = h en la definicion anterior, obtenemos la siguiente expresion(equivalente) para la derivada de f en x0:

f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h. (1.2)

Durante el desarrollo del tema utilizaremos indistintamente las expresiones (1.1) y (1.2)segun convenga en cada caso.

Para que exista el lımite (1.1) es necesario que existan los lımites laterales por la derechay por la izquierda de x0 y que sus valores coincidan. Esto nos conduce a definir las derivadaslaterales de f por la derecha y por la izquierda de x0 como

f ′(x+0 ) = lım

x→x+0

f(x) − f(x0)

x − x0, f ′(x−

0 ) = lımx→x−

0

f(x) − f(x0)

x − x0.

La funcion es derivable en x0 cuando las derivadas laterales anteriores existen y coinciden.Si existen y no coinciden, la funcion no es derivable en x0; en este caso a x0 se le denominapunto anguloso de f (¿por que?). Si alguno de los lımites laterales no existe, la funcion noes derivable en dicho punto.

Ejemplo 17. Sea f(x) = |x|. Hallar, utilizando la definicion, las derivadas laterales enx0 = 0.

lımx→0+

f(x) − f(0)

x − 0= lım

x→0+

x − 0

x= 1; lım

x→0−

f(x) − f(0)

x − 0= lım

x→0−

−x − 0

x= −1.

Como los lımites anteriores existen y son finitos, podemos afirmar que existen las derivadaslaterales y f ′(0+) = 1, f ′(0−) = −1. Sin embargo, las derivadas laterales no coinciden, por loque la funcion valor absoluto no es derivable en el 0 (punto anguloso), donde tiene un pico(ver grafica en el Tema 0).

Ejercicio: Hallar, utilizando la definicion, las derivadas laterales de la siguiente funcionen x0 = 0

g(x) =

{xsen 1

x si x ∈ R\{0},0 si x = 0.



1.1. CONCEPTOS BASICOS

Se puede comprobar facilmente que las funciones f y g de los ejemplos anteriores soncontinuas en x = 0 y sin embargo no son derivables en dicho punto. No obstante, sı ocurre locontrario, la derivabilidad asegura la continuidad (es una condicion mas fuerte):

Teorema 18. Sea f : I ⊆ R → R una funcion real de variable real derivable en x0 ∈ I,entonces f es continua x0.

Demostracion. Escribimos f(x) − f(x0) =f(x) − f(x0)

x − x0(x − x0). Tomando lımite en ambos

miembros cuando x tiende a x0 y utilizando el algebra de lımites obtenemos

lımx→x0

[f(x) − f(x0)] = lımx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0(x − x0)

= lımx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0lım

x→x0

(x − x0)

= f ′(x0) · 0 = 0.

Por tanto, lımx→x0f(x) = f(x0), esto es, la funcion es continua en x0.

Interpretaciones fısica y geometrica de la derivada

• La derivada nos proporciona un instrumento para el calculo de velocidades. Supongamosque y = s(t) nos da el camino recorrido por un movil en lınea recta a lo largo del tiempo. La

velocidad media entre los instantes t y t0 se define de manera natural como vm = s(t)−s(t0)t−t0

.Para calcular la velocidad en el instante t0, considero vm cuando t se aproxima a t0 tantocomo queramos, esto es,

vt0 = lımt→t0

s(t) − s(t0)

t − t0= s′(t0).

• Supongamos que queremos hallar la ecuacion de la recta tangente a la curva y = f(x)en el punto de abscisa x0. Como la recta pasa por (x0, f(x0)), su ecuacion es de la forma

rx0: y − f(x0) = m(x − x0),

siendo m la pendiente de la recta tangente. Por trigonometrıa, si llamamos α al angulo queforma la recta tangente con la parte positiva del eje OX, la pendiente de dicha recta coincidecon la tangente del angulo α, esto es, m = tanα (Dibujo I).

Dibujo I Dibujo II




Observamos ahora en el Dibujo II, que la recta tangente rx0es el lımite de las rectas

secantes rx0+h que unen los puntos (x0, f(x0)) y (x0 + h, f(x0 + h)) cuando x0 + h tiendea x0, esto es, cuando h tiende a cero. Entonces, la pendiente m de la recta tangente sera ellımite de las pendientes mh de las rectas secantes cuando h tiende a cero. Ahora bien, laspendientes m y mh son las tangentes de los angulos α y αh respectivamente. Por tanto,

m = tanα = lımh→0

tan αh.

Por trigonometrıa,

tan αh =f(x0 + h) − f(x0)

h,

por tanto

m = lımh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h= f ′(x0).

Concluimos que la ecuacion de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de abscisax0 viene dada por

y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0).

En resumen, si f es continua en x0 ∈ I = (a, b), f es derivable en x0 ∈ I si y solo si f admite

tangente no vertical en x0 y tanα = f ′(x0). Si f es continua en x0 y lımx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0= ±∞,

la funcion no es derivable (aunque sı tiene tangente vertical en x0).

(Ver ejemplo en la seccion 1.3, aplicaciones de la derivada.)

Funcion derivada. Calculo de funciones derivadas

Si una funcion es derivable en un intervalo I = (a, b), podemos definir a partir de ella unanueva funcion, la que a cada x0 ∈ I le asocia el valor f ′(x0).

Definicion 19. Sea f : I ⊂ R → R una funcion derivable en I. La funcion derivada de

f en I, f ′, denotado tambien df

dxo Df , se define como

f ′ : I ⊂ R −→ R

x −→ f ′(x).

A partir de la definicion y usando propiedades basicas del algebra de lımites, se puedendemostrar las siguientes propiedades generales de derivacion

Proposicion 20. Sean f, g : I ⊂ R → R funciones derivables en I. Se verifica:

1. Linealidad de la derivacion. Si k ∈ R, entonces

(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x),

(kf(x))′ = kf ′(x).

2. Derivada del producto (f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).




3. Derivada del cociente (siempre que estemos en un entorno donde g no se anule)

(f(x)

g(x)

)′=

f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)

(g(x))2.

4. Derivada de una funcion compuesta. Regla de la cadena. Consideramos lacomposicion de las funciones f y g (cuando tenga sentido)

f g

g ◦ f : I ⊆ R −→ f(I) ⊆ R −→ R

x −→ f(x) −→ g(f(x)) = (g ◦ f)(x).

Si f es derivable en x0 ∈ I y g es derivable en f(x0), entonces la funcion composicion(f ◦ g) es derivable en x0 y ademas

(f ◦ g)′(x0) = g′(f(x0))f′(x0).

5. Derivada de la funcion inversa. Si f es continua en I y con derivada no nula enx0 ∈ I, entonces la funcion inversa (si existe)

f−1 : f(I) ⊆ R −→ R

y −→ f−1(y)

es derivable en y0 = f(x0) y se verifica

(f−1)′(y0) =1

f ′ (f−1(y0))=

1

f ′(x0).

Utilizando las propiedades anteriores y la propia definicion de la derivacion podemoshallar reglas utiles para calcular derivadas.

• Derivada de las funciones elementales




POTENCIA (xn)′ = nxn−1 (f(x)n)′ = nf(x)n−1f ′(x)

TRIGONOMETRICAS

(senf(x))′ = f ′(x) cos f(x)

(cos f(x))′ = −f ′(x) senf(x)

(tan f(x))′ =[1 + (tan f(x))2

]f ′(x)

EXPONENCIALES

(ef(x)

)′= ef(x)f ′(x)

(af(x)

)′= (ln a)af(x)f ′(x)

LOGARITMICAS

(ln f(x))′ =1

f(x)f ′(x)

(loga f(x))′ =1

ln a

1

f(x)f ′(x)

INVERSAS TRIGONOMETRICAS

(arcsenf(x))′ =f ′(x)√

1 − f(x)2

(arc cos f(x))′ =−f ′(x)√1 − f(x)2

(arctan f(x))′ =f ′(x)

1 + f(x)2

• Derivacion logarıtmica. Dada la funcion y = f(x), la derivacion logarıtmica consisteen tomar logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad y derivar. Este metodo seutiliza sobre todo para el calculo de la derivada de las funciones de la forma f(x) = [h(x)]g(x).Tomando logaritmos en ambos miembros resulta

ln f(x) = ln [(h(x)]g(x) = g(x) lnh(x),

donde en la ultima igualdad hemos utilizado las propiedades del logaritmo (ver Tema 0).Derivando esta ultima expresion obtenemos

f ′(x)

f(x)= g′(x) lnh(x) + g(x)

h′(x)

h(x),

de donde se deduce la expresion de f ′(x) sin mas que despejar en la ecuacion anterior ysustituyendo la expresion de f(x):

f ′(x) = [h(x)]g(x)

[g′(x) lnh(x) + g(x)

h′(x)

h(x)

].



1.2. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. DERIVACION IMPLICITA

Nota: La idea de tomar logaritmos es util tambien en el calculo de lımites de las funcionesde la forma f(x) = [h(x)]g(x).

Ejercicio: Calcular lımx→0

xx (Indicacion: Considerar l = lımx→0

xx, tomar logaritmos en am-

bos miembros y utilizar propiedades basicas de los logaritmos ası como del algebra de lımites).

1.2. Derivadas de orden superior. Derivacion implıcita

Definicion 21. Si f ′ es derivable en I, su derivada se llama derivada segunda o derivada deorden dos, y se denota por f ′′. En general, la derivada n-esima de f se denota f (n), y sedefine como la derivada de f (n−1) (si existe). Cuando existe la derivada de cualquier ordende una funcion f en I, esta se dice que es infinitamente derivable y se escribe f ∈ C∞(I).

Dentro del calculo de derivadas n-esimas es muy util la formula de Leibnitz para calcularderivadas del producto de funciones. Podremos aplicar el siguiente teorema para el calculode la derivada n-esima de funciones que se puedan expresar como producto de otras massimples.

Teorema 22. (Formula de Leibnitz) Sean f y g funciones definidas de I en R, n vecesderivables. Entonces, el producto fg tiene derivada n-esima y se verifica

(f · g)(n) (x) = f (n)(x)g(x) +

(n1

)f (n−1)(x)g′(x) +

(n2

)f (n−2)(x)g′′(x)

+ . . . +

(n

n−1

)f ′(x)g(n−1)(x) + f(x)g(n)(x)

=n∑

k=0

(nk

)f (n−k)(x)g(k)(x),

donde recordemos que el numero de combinaciones de a sobre b es

(ab

)=

a!

(a − b)! b!.

Para el calculo de los numeros combinatorios podemos usar el denominado triangulo deTartaglia, donde cada numero se obtiene sumando los dos que tiene arriba diagonalmente:

(10

) (11

)

(20

) (21

) (22

)

(30

) (31

) (32

) (33

)

...

1 11 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

...

.

Observese que estos son los coeficientes que aparecen tambien al desarrollar las potencias(a + b)2, (a + b)3, (a + b)4...

Derivacion implıcita. Hasta ahora hemos trabajado con curvas dada en forma explıcita,esto es, expresiones donde la variable dependiente y aparece despejada, y = f(x). Sin embar-go, como consecuencia de la regla de la cadena podemos derivar en las expresiones de curvas




dada de forma implıcita, esto es, cuando la variable y no esta despejada (y no representanecesariamente una funcion). Es lo que llamamos derivacion implıcita.

Ejemplo 23. Dada la circunferencia x2 + y2 = 9, hallar la ecuacion de la recta tangente enel punto (2,

√5).

Si despejamos la incognita y de la ecuacion que define la circunferencia, nos queda y =±√

9 − x2. Como queremos calcular la tangente en (2,√

5), tendrıamos que elegir la ramapositiva y =

√9 − x2, y derivar explıcitamente.

En vez de despejar, y derivar, observamos que y2 es una composicion de funciones, y que

si llamamos y′ = dy

dx, de la regla de la cadena se deduce

dy2

dx=

dy2

dy

dy

dx= 2yy′.

Utilizando la derivacion implıcita en la ecuacion x2 +y2 = 9 que define la circunferencia,obtenemos

2x + 2yy′ = 0;

de donde despejando se obtiene que y′ = −xy . Por tanto, y′|(2,

√5)

= − 2√5. Ası, la ecuacion de

la recta tangente buscada es y −√

5 = − 2√5(x − 2).

1.3. Aplicaciones de la derivada

Recta tangente a una curva dada

(a) En forma explıcita. Dada la curva y = f(x), con f una funcion definida en unintervalo I, y x0 ∈ I tal que f es derivable en dicho punto. La recta tangente a la curva enun punto x0 viene dada por la ecuacion

y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0)

(ver en seccion 1,3 interpretacion geometrica de la derivada).

Ejemplo 24. Calculo de la recta tangente a f(x) = x2 y que pasa por x0 = 1.

Se tiene que f ′(x) = 2x, por tanto, f ′(1) = 2. Por otro lado, f(1) = 1, con lo que laecuacion de la recta tangente sera y − 1 = 2(x − 1).



1.3. APLICACIONES DE LA DERIVADA

(b) En forma implıcita. La ecuacion de la recta tangente en este caso es la misma quela del anterior. La diferencia radica en el calculo de f ′(x0), donde hay que utilizar derivacionimplıcita, consecuencia de la regla de la cadena (ver Ejemplo 23).

(c) En forma parametrica. Supongamos una curva en el plano dada en forma pa-rametrica, esto es, f(t) = (x(t), y(t)) definida en un intervalo I ⊆ R. Para t0 ∈ I, si(x′(t0), y′(t0)) 6= (0, 0), se trata de un vector de la tangente a la curva en el punto correspon-diente, y la ecuacion de la recta tangente viene dada por la expresion

x − x(t0)

x′(t0)=

y − y(t0)

y′(t0).

Velocidad y aceleracion instantanea.Si y = s(t) nos da el espacio recorrido por un movil a lo largo del tiempo, la velocidad

instantanea en el momento t0 es s′(t0) = v(t0) (ver en seccion 1,3 interpretacion fısica dela derivada). Si la curva viniera dada en forma parametrica, tendrıamos un vector velocidad−→v = (v1, v2) = (x′(t0), y′(t0)). El modulo de dicho vector ( |−→v | =

√v21 + v2

2 ) nos darıatambien la velocidad instantanea.

La aceleracion a(t) viene dada por la derivada segunda de s(t), esto es, a(t) = s′′(t) = v′(t).Es muy frecuente encontrarse en la vida real con magnitudes que representan la tasa decrecimiento de otras ya dadas: reacciones quımicas, en el estudio del agua que penetra ensuelo, radioactividad...

Teoremas fundamentales del calculo diferencial. Enunciamos algunos resultados clasi-cos relativos al uso de la derivada. Serviran en este tema para localizar valores optimos defunciones y soluciones de ecuaciones (en el Tema 2 veremos dos metodos de aproximacionde dichas soluciones: metodo de la biseccion y metodo de Newton-Raphson). Ademas, estosresultados resultan imprescindibles para la demostracion de las aplicaciones de la derivadasal estudio local de funciones.

Teorema 25. Sean a < b y f, g : [a, b] ⊆ R → R funciones continuas y derivables en todopunto de (a, b). Se satisfacen las siguientes propiedades:

(ROLLE) Si f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

(Incrementos finitos de LAGRANGE) ∃ c ∈ (a, b) tal quef(b) − f(a)

b − a= f ′(c).

(Valor medio de CAUCHY) Existe un punto c ∈ (a, b) tal que

[f(b) − f(a)]g′(c) = [g(b) − g(a)]f ′(c).

(Regla de L’HOPITAL) Sean f y g funciones derivables en un entorno del puntox0, tales que lım

x→x0

f(x) = 0 y lımx→x0

g(x) = 0. Si g′(x) 6= 0 en dicho entorno, y existe el

lımite lımx→x0

f ′(x)

g′(x), entonces existe el lımite lım

x→x0

f(x)

g(x)y coincide con el anterior. Esto

es,

lımx→x0

f(x)

g(x)= lım

x→x0

f ′(x)

g′(x).




La demostracion del teorema se basa en que la derivada de una funcion se anula enun extremo relativo de dicha funcion (lo veremos posteriormente). Ası, cada apartado esconsecuencia o pequena generalizacion del anterior.

Notas:

1. La regla de L’Hopital tambien es valida para las indeterminaciones del tipo

lımx→x0

f(x)

g(x)=

∞∞ , y lım

x→∞f(x)

g(x)=

∞∞ o

0

0.

2. La regla de L’Hopital no siempre resuelve estas indeterminaciones, como ocurre con

lımx→∞

e3x + ex

e2x − ex. A veces, tendrıamos que aplicar varias veces L’Hopital, por ejemplo,

lımx→0

sen x − tan x

x3.

En la seccion 4 veremos como aproximar localmente una funcion, con lo que tendremosuna nueva herramienta para el calculo de lımites como el anterior (ver Ejemplo 32).

Veamos ahora algunas de las aplicaciones de la derivada al estudio local de funciones.En lo que sigue, consideraremos f : I = (a, b) ⊆ R → R una funcion real de variable real yx0 ∈ I.

Crecimiento y decrecimiento de una funcion

Recordemos que una funcion f se dice creciente (resp. estrictamente creciente) sia < b implica f(a) ≤ f(b) (resp. (f(a) < f(b))).

Analogamente, f se dice decreciente (resp. estrictamente decreciente) si a < b im-plica f(a) ≥ f(b) (resp. (f(a) > f(b))).

Estrictamente creciente Estrictamente decreciente

Podemos conocer el crecimiento y decrecimiento de una funcion por el estudio del signode su funcion derivada:

Proposicion 26. Si f es derivable, se verifica:



1.3. APLICACIONES DE LA DERIVADA

1. Si f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) > 0) ∀x ∈ I, entonces f es creciente en I (estrictamentecreciente).

2. Si f ′(x) ≤ 0 (f ′(x) < 0) ∀x ∈ I, entonces f es decreciente en I (estrictamentedecreciente).

El recıproco no es cierto, es decir, pueden existir funciones estrictamente crecientes talesque su derivada NO es estrictamente positiva, como por ejemplo le ocurre a la funcion f(x) =x3, que es estrictamente creciente, pero su derivada en el punto x0 = 0 se anula.

Extremos relativos de una funcion

Decimos que f : I = (a, b) ⊆ R → R alcanza en x0 su

Maximo absoluto (resp. mınimo absoluto) si f(x0) ≥ f(y) (resp. f(x0) ≤ f(y))para cualquier y ∈ I.

Maximo relativo (resp. mınimo relativo) si f(x0) ≥ f(y) (resp. f(x0) ≤ f(y)) paracualquier y en un entorno de x0.

Las funciones continuas definidas en intervalos cerrados alcanzan sus valores maximos ymınimos (ver Teorema 15 del Tema 0). Ahora bien, una funcion derivable es en particularuna funcion continua (ver Teorema 18). Ademas, los maximos o mınimos son puntos donde lafuncion pasa de ser creciente a decreciente o viceversa. Se tiene entonces el siguiente resultado:

Proposicion 27. Si existe f ′(x) y f alcanza en x un maximo o un mınimo relativo entoncesf ′(x) = 0.

Notas:

1. El hecho que f ′(x0) = 0 NO implica la existencia de maximo o mınimo local (comoocurre con la funcion f(x) = x3 en el punto x0 = 0, donde tiene un “punto de infle-xioncuya definicion veremos posteriormente).

2. En los extremos del intervalo de definicion de la funcion pueden alcanzarse maximosy mınimos relativos. En estos puntos extremos, al no poder calcular los dos lımiteslaterales, no tiene por que existir funcion derivada, y si existe, la derivada no tiene porque valer 0. Por ejemplo, f : [0, 2] → R, f(x) = x2, que alcanza su maximo absoluto ensu dominio de definicion en el punto x0 = 2 donde la derivada no se anula f ′(2) = 4 6= 0.

Al igual que estudiamos el crecimiento y decrecimiento de una funcion por el signo de suderivada, podemos dar la siguiente caracterizacion de extremo relativo mediante el signo dela derivada segunda:

Proposicion 28. Si f ′(x0) = 0, f ′′(x0) 6= 0 , se verifica:

1. Si f ′′(x) > 0 entonces f alcanza mınimo relativo en x0.

2. Si f ′′(x) < 0 entonces f alcanza maximo relativo en x0.




¿Que ocurre si f ′′(x0) = 0? Ademas de conocer los extremos relativos y el crecimiento deuna funcion, tambien es util conocer la posicion de la recta tangente a una curva con respectoa ella. Esto se utiliza en la representacion de funciones. Ademas, nos permitira responder ala pregunta anterior en la mayorıa de las funciones que manejaremos:

Concavidad y convexidad de una funcionLa posicion de la recta tangente a una curva con respecto a ella nos permite conocer la

“forma”de la funcion en cada momento.

Convexa Concava

Dada f : I ⊆ R → R derivable en x0 ∈ I. Diremos que f es convexa (resp. concava) enx0 si existe un entorno de dicho punto donde la curva esta por encima (resp. debajo) de larecta tangente en x0.

Estudiando el signo de la derivada segunda de una funcion, se tiene la siguiente identifi-cacion de zonas de concavidad y convexidad:

Proposicion 29. Si f ′′(x) es continua en un entorno de x0 se verifica:

1. Si f ′′(x0) > 0, entonces f es convexa en un entorno de x0,

2. Si f ′′(x0) < 0 entonces f es concava en un entorno de x0.

En las condiciones anteriores se dice que f tiene un punto de inflexion en x0 si el arcode curva esta a distintos lados de la recta tangente, como le ocurre a la funcion f(x) = x3 enel punto x0 = 0.

Si existe la derivada segunda de una funcion en un punto de inflexion, esta debe anularse,ya que por la proposicion anterior, pasar de concava a convexa (o viceversa) significa uncambio en el signo de la funcion. Ası, los puntos de inflexion deben ser ceros de la derivadasegunda: esto es, si x0 es un punto de inflexion, debe ser f ′′(x0) = 0.

1.4. Aproximacion local de funciones

Si nos preguntasen que valor numerico tiene ln 1,1, sin usar calculadora, no tendrıamoslas herramientas para precisar exactamente su valor.

Observemos la definicion de funcion derivada en un punto lımx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0= f ′(x0).

Podemos escribir

f(x) − f(x0)

x − x0≈ f ′(x0), si x → x0



1.4. APROXIMACION LOCAL DE FUNCIONES

y despejando obtenemos f(x)︸︷︷︸no

≈x→x0

f(x0)︸︷︷︸no

+ f ′(x0)(x − x0)︸︷︷︸pol 1er

= recta tangente a f en x0.

Con esto hemos obtenido una aproximacion de f mediante su recta tangente. Esto nos dala idea de cercanıa entre una funcion y su recta tangente al menos en un entorno del puntoen que se estudia. El error cometido en la aproximacion viene dado por

E = |valor real - valor aproximado|.

Vamos a aplicar el razonamiento anterior para calcular un valor aproximado de ln 1′1:Consideramos f(x) = lnx; nos interesa tomar x0 = 1, ya que sabemos que f(1) = ln 1 = 0.

Por otro lado, como f ′(x) = 1x , se tiene que f ′(1) = 1. Sustituyendo los datos anteriores en

la formula de la recta tangente obtenemos la siguiente aproximacion

f(1′1) = ln 1′1 ≈ f(1) + f ′(1)(1′1 − 1) = 0 + 1(0′1) = 0′1.

Resulta que ln 1′1 = 0′0953101..., y hemos obtenido el valor aproximado ln 1′1 ≈ 0′1. Hemoscometido un error

E = |valor real - valor aproximado| = |0′1 − 0′0953101...| = 0′004689... = 10−34′689 . . .

(hemos dado una aproximacion hasta la centesima).Existen distintos metodos para calcular valores con mejores aproximaciones como la

formula de Taylor o formula de interpolacion.Estudiaremos en esta seccion la aproximacion de funciones mediante la formula de Taylor:

generaliza la aproximacion (de grado 1) que da la recta tangente. Con su ayuda, podemosaproximar funciones en un entorno mediante un polinomio algebraico. Sera especialmenteimportante la expresion del error, tambien llamado resto, pues nos dice la diferencia entreel valor real y el aproximado. Un error no se calcula de forma exacta (de serlo, ¡tendrıamosel valor exacto de la funcion!), sino que usaremos la expresion para hacer acotaciones (porcantidades pequenas) y ası tener estimaciones a priori sobre como de buena es nuestra apro-ximacion.

Teorema 30. (Formula de Taylor) Sean f : I ⊆ R → R derivable hasta el orden n enx0 ∈ I (n ∈ N). Entonces, para cualquier x ∈ I se verifica la siguiente igualdad denominadadesarrollo de Taylor de orden n en un entorno de x0

f(x) =f(x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)

2(x − x0)

2

+ . . . +f (n−1)(x0)

(n − 1)!(x − x0)

n−1 +f (n)(x0)

n!(x − x0)

n +f (n+1)(ξ)

n! k(x − ξ)n−k+1(x − x0)

k

=n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x − x0)

k

︸︷︷︸Tf,x0,n(x)

+f (n+1)(ξ)

n! k(x − ξ)n−k+1(x − x0)

k

︸︷︷︸Resto

,

para todo k = 1,..., n + 1, donde ξ ∈ (x, x0) es un numero que depende de x, x0 y k.




Al polinomio Tf,x0,n(x) se la llama polinomio de Taylor. La caracterıstica de este po-linomio es que tiene el mismo valor que f en x0 y en las n primeras derivadas.

La expresion del resto que hemos dado es general. Mas facil de recordar resulta la expresionpara el caso particular en que tomamos k = n + 1 :

f(x) − Tf,x0,n(x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!(x − x0)

n+1,

siendo ξ un punto intermedio entre x0 y x. Ası, si “controlamos” (acotamos) la derivada n +

1−esima de f en todo un intervalo que contenga a x y a x0, y si(x − x0)

n+1

(n + 1)!es suficientemente

pequeno (eventualmente con n grande, y por ejemplo con |x−x0| ≤ 1), podemos afirmar queel resto es pequeno, y que la aproximacion que de f(x) da el polinomio de Taylor es buena.

Ejercicio: Calcular un valor aproximado hasta la milesima de ln 1′1.

Si el desarrollo anterior se realiza en un entorno de x0 = 0, este se denomina desarrollode McLaurin.

Dada una funcion, su desarrollo de Taylor lo realizamos hasta el orden n segun convengaen cada caso, dependiendo del grado de precision con que queramos aproximar la funcion.

Las funciones que son infinitamente derivables en un punto x0 se pueden expresar porsu desarrollo de Taylor “infinito”en un intervalo que contiene al punto. Esta es la idea quedefine las denominadas funciones analıticas. En general se tiene el siguiente resultado:

Teorema 31. (Desarrollo en serie de Taylor) Sean f : I ⊆ R → R infinitamente derivable(esto es, f ∈ C∞(I)) y x0 ∈ I, entonces, para cualquier x ∈ (x0 − R, x0 + R) se verifica

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x − x0)

k,

donde R se denomina radio de convergencia de la serie de Taylor y viene dada por elsiguiente lımite

R =

lım supn→∞

n

√∣∣fn)(x0)∣∣

n!

−1

.

Aplicaremos el desarrollo de Taylor al calculo de lımites. Si f es una funcion tal quef(x) → 0 cuando x → 0, se tienen los siguientes infinitesimos equivalentes :

senf(x) ∼ f(x) 1 − cos f(x) ∼ f(x)2

2tan f(x) ∼ f(x)

log(1 + f(x)) ∼ f(x), ef(x) − 1 ∼ f(x).

Ejemplo 32. Supongamos que tenemos que calcular el siguiente lımite

lımx→0

sen x − tan x

x3.




Trabajamos un poco con la funcion del numerador para buscar los infinitesimos.

senx − tan x = sen x − sen x

cos x=

senx(cos x − 1)

cos x;

Considerando los infinitesimos anteriores, tendrıamos que

sen x − tan x =sen x (cos x − 1)

cos x∼ −xx2

2

1 − x2

2

;

Sustituyendo y operando se concluye que

lımx→0

sen x − tan x

x3= lım

x→0

−x3

2−x2

x3= lım

x→0

−1

2 − x2= −1

2.

(El calculo del lımite anterior aplicando la regla de L’Hopital se hace mas complicado).

Si conocemos los polinomios de Taylor Tf,x0,n, Tg,x0,n (o mas aun, sus desarrollos asintoti-cos, es decir, de cualquier orden) de dos funciones f y g, entonces se pueden obtener los dealgunas funciones definidas en terminos de f y g. Esto se debe a una consistencia naturalentre el parecido de una funcion con su polinomio de Taylor, y el polinomio de Taylor relativoa operaciones entre funciones con respecto a dichas operaciones entre los respectivos polino-mios. Aunque no las utilizaremos expresamente en este curso, enunciamos a continuaciondichas propiedades, pues pueden ayudarnos en muchas ocasiones a simplificar los calculos.

Propiedades del polinomio de Taylor

Proposicion 33. Sean f y g funciones con derivadas hasta de orden n en el punto x0,entonces se cumplen las siguientes propiedades::

Linealidad Si C1 y C2 son constantes, se verifica

T(C1f+C2g),x0,n = C1Tf,x0,n + C2Tg,x0,n.

Producto El polinomio de Taylor de grado n de la funcion (f ·g) en el punto x0 es el polino-mio que se obtiene al suprimir en el polinomio producto (Tf,x0,n · Tg,x0,n) los terminosde grado mayor o igual que n + 1.

Cociente Si g(x0) 6= 0, entonces el polinomio de Taylor de grado n de la funcion f/g en elpunto x0 es el polinomio cociente que se obtiene al dividir los desarrollos asintoticos deTaylor de f y g en x0 hasta grado n inclusive.

Derivacion La derivada del polinomio de Taylor grado n de f es el polinomio de Taylor degrado n − 1 de f ′; es decir, se tiene que:

(Tf,x0,n)′ = Tf ′,x0,n−1.

Integracion Si F es una primitiva de f entonces el polinomio de Taylor de grado n + 1 deF es una primitiva del polinomio de Taylor de grado n de f ; es decir, se tiene que:

∫Tf,x0,ndx = TF,x0,n+1




Proposicion 34. Sean f : I ⊂ R −→ R, con x0 ∈ I, g : f(I) −→ R con y0 = f(x0) ∈ f(I),donde f y g son funciones con derivada hasta el orden n en el punto x0 para f y en el puntoy0 para g. Entonces el polinomio de Taylor de orden n de la funcion (g ◦ f)(x) en el punto x0,es el polinomio que se obtiene al suprimir en la composicion de los desarrollos asintoticos1

de g y f, Tg,y0,∞ (Tf,x0,∞(x)) , los terminos de grado mayor o igual que n + 1.

Problemas

Derivadas: interpretacion geometrica.

1. Halla los valores de las constantes a, b y c para los que las graficas de los polinomiosf(x) = x2 + ax + b y g(x) = x3 − c se cortan en el punto (1, 2) con la misma pendiente.

2. Hallar los angulos bajo los que se cortan las lıneas siguientes:

a) la recta y = 4 − x y la parabola y = 4 − x2

2 ,

b) las curvas y = senx, y = cosx en el intervalo (0, π2 ).

3. Dos puntos moviles siguen trayectorias coplanarias cuyas respectivas ecuaciones refe-ridas a un mismo sistema de coordenadas rectangulares son y = x2 + x − 6 e y =12(x2 − 2x + 8). El movimiento cumple la condicion de que en todo instante los puntostienen igual abscisa. Calcula las coordenadas de dichos moviles cuando:

a) se mueven paralelamente,

b) se mueven perpendicularmente.

4. Halla lımx→0

f(x)

xsabiendo que la curva y = f(x) se introduce en el origen de coordenadas

con angulo α.

5. Halla la ecuacion de la tangente a la curva y = 1x en el punto 1 y determina el area

limitada por dicha tangente y los ejes coordenados. Demuestra que el area en cuestiones independiente del punto elegido.

6. Un punto P se mueve en el plano tal que sus coordenadas despues de t segundos son(4cos2t, 7sen2t), medida en centımetros.

a) Probar que P describe un camino elıptico.

b) Hallar una formula para la distancia al origen en el instante t.

c) Calcular la velocidad instantanea con que se aleja del origen en el instante t = π8 .

1Observa que en la composicion, igual que en la division, y al contrario que en la suma, la resta o elproducto, los terminos de los desarrollos de Taylor de f y g responsables de las n primeras potencias en lacomposicion final no son exclusivamente los n primeros de Tf y Tg.




Continuidad y derivabilidad. Derivadas laterales.

7. Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion

f(x) =

{x ln |x| si x 6= 0,0 si x = 0.

¿Tiene recta tangente en todos los puntos?.

8. Considera la siguiente funcion:

f(x) =

1 + 5x sen π2x si x < 0,

B si x = 0,

x + 1 si 0 < x ≤ 1,

3 − Ax2 si x > 1.

Estudia los valores de A y B para los que f es continua en todo R. ¿Es derivable en elcero con los valores obtenidos?.

9. Estudia la continuidad y derivabilidad de

a) f(x) = x2 cos 1x si x 6= 0, f(0) = 0. b) f(x) = |x2 − 1| + 2|x − 1|.

Derivadas de funciones inversas y compuestas.

10. Calcula las derivadas de las siguientes funciones mediante su funcion inversa:

a) f(x) = ax, b)f(x) = arc sen x, c) f(x) = n√

x.

11. Calcula las derivadas de las siguientes funciones mediante derivacion logarıtmica:

a) f(x) = xln x, b) f(x) = (sen x)tan x, c) f(x) = (arctanx)√

x.

12. Calcula las derivadas de las siguientes funciones compuestas:

a) f(x) = arc sen√

1−x1+x , b) f(x) = 2

√3 arctan

x√3

+1

2ln (x2 + 3).

Derivadas de orden superior. Derivacion implıcita.

13. Halla la derivada n-esima de las siguientes funciones:

a) f(x) = senx, b) f(x) = e5x+8x3, c) f(x) = ln (1 + x).




14. Probar que las siguientes curvas son ortogonales en su interseccion ( dos graficas sonortogonales en su interseccion si sus rectas tangentes en ese punto son perpendicularesentre sı)

2x2 + y2 = 6 e y2 = 4x.

15. Una piedra se deja caer sobre un estanque en reposo y produce ondas circulares concentri-cas. El radio r de la onda exterior crece al ritmo constante de 30 cm/s. Cuando su radioes 120 cm,¿a que ritmo esta creciendo el area total A de la zona perturbada?.

16. Si se conectan dos resistencias R1 y R2 en paralelo, producen una resistencia total dadapor

1

R=

1

R1+

1

R2

donde las resistencias se miden en ohmios. R1 y R2 estan creciendo a razon de 1 y 1,5ohmios/s, respectivamente. ¿A que ritmo esta cambiando R cuando R1 = 50 ohmios yR2 = 75 ohmios?.

17. Se arroja arena en un monton conico a razon de 2 metros cubicos por minuto. Hallarla razon de cambio de la altura del monton cuando su altura es 1,5 m. ( Supongase queel radio del cono es igual a su altura.)

18. Un avion que vuela a 8 Km de altura pasa justo sobre una antena de radar. Cuandola distancia entre la cola del avion y el radar es de 15 Km, el radar detecta que dichadistancia esta cambiando a razon de 350 Km/h. ¿Cual es la velocidad del avion?.

Diferencial de una funcion.

19. Utilizando el concepto de diferencial halla un valor aproximado de cos 610 (¡expresa losangulos en radianes!).

20. Utilizando el concepto de diferencial, halla de manera aproximada el incremento devolumen de una esfera de 30 cm de radio cuando este aumenta en 0′5 milımetros.

21. El perıodo de un pendulo viene dado por T = 2π√

Lg donde L es la longitud del

pendulo, g es la aceleracion de la gravedad y T el tiempo (en segundos). Si el pendulose ha calentado de manera que su longitud ha crecido un 0,5 %:

a) Calcular el porcentaje aproximado de cambio del perıodo (porcentaje del errorrelativo de T )

b) Con lo obtenido en a), hallar el error aproximado del reloj de dicho pendulo en undıa.

Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos.

22. Halla los maximos y mınimos de las funciones :

a) f(x) = x3 − |x|, b) f(x) = ex sen x.




23. Averiguar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones :

a) f(x) = 2x1+x2 , b) f(x) = cos x − x.

24. Prueba que y = ax+bcx+d no tiene extremos relativos ((c, d) 6= (0, 0)).

25. Hallar los puntos de inflexion y zonas de concavidad/convexidad de y = xsen(lnx),para x > 0.

26. Dada la funcion f(x) = |x|e|x−1| estudia:

a) su derivabilidad (zonas de crecimiento y decrecimiento),

b) su maximos y mınimos y

c) sus puntos de inflexion (zonas de concavidad y convexidad).

Optimizacion de funciones.

27. Hallar los puntos de la grafica de y = 4 − x2 que estan mas proximos del punto (0, 2).

28. Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 cm2 de material.¿Que dimensiones produciran una caja de volumen maximo?.

29. El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Demostrar que rom-piendolo en dos partes, existe una depreciacion de su valor y que esta depreciacion esmaxima cuando las dos partes son iguales.

30. En un jardın existe un paseo cerrado que consta de media circunferencia de radio 10 my de su diametro correspondiente. En el interior de la figura anterior se va a instalar unparterre rectangular, uno de cuyos lados esta sobre el diametro y el opuesto a el tienesus extremos en la parte curva. El parterre se plantara de camelias, que ocupan 0, 25m2 cada una. ¿Cual es el numero maximo de camelias que pueden ubicarse?.

Nota: Resuelvelo como te sea familiar, pero intentelo tambien introduciendo algunafuncion trigonometrica.

31. Un trozo de madera de 12 dms. de largo tiene forma de tronco de cono circular rectocon bases de diametros 4 y 4 + h dms. (h > 0). Determina, en funcion de h, el cilindrorecto de mayor volumen que se puede cortar de este trozo de madera, de manera quesu eje coincida con el del tronco de cono.

32. Una companıa de autobuses alquila un autobus de 50 plazas a grupos de 35 personas omas. Si un grupo contiene exactamente 35 personas, cada persona paga 6.000 ptas. Engrupos mayores, la tarifa de todos se reduce 100 ptas. por cada persona que sobrepaselas 35. Determinar el tamano del grupo para el cual los ingresos de la companıa seranmayores.




Teoremas fundamentales del calculo diferencial.

33. Sea f(x) = 1 − x2/3. Comprueba que f(1) = f(−1) = 0 y que f ′(x) 6= 0. ¿Contradiceesto el Teorema de Rolle?.

34. Demuestra que la ecuacion x3−3x+b = 0 no puede tener mas de una raız en el intervalo−1 ≤ x ≤ 1 (cualquiera que sea el valor de b).

35. Prueba que entre cualquier par de soluciones de la ecuacion ex sen x = 1 existe al menosuna solucion de ex cos x = −1. Sugerencia: una solucion de ex sen x = 1 es una raız def(x) = e−x − sen x.

36. Sea la funcion

f(x) =

{3−x2

2 si x ≤ 1,

1x si x > 1.

¿Es posible aplicar el Teorema de Lagrange a f en el intervalo [0, 2]?. Si la respuesta esafirmativa, dibuja la grafica de la funcion, la de la recta que la corta en los puntos deabsisa x = 0 y x = 2 y la de la(s) tangente(s) a f en [0, 2] paralela(s) a dicha recta.

37. Un coche circula por una autopista con lımite de velocidad de 120 Km/h. Pasa antedos coches patrulla equipados con radar, separados entre sı por 9 Km, a las 6h. 12m. ylas 6h. 16m. respectivamente y ambos le miden 105 Km/h. ¿ Ha incurrido en infraccionde trafico en dicho tramo?.

38. Explica por que no es valida la formula de Cauchy para las funciones f(x) = x3 yg(x) = x2 en el intervalo [−1, 1] en la forma de cociente.

39. Calcula los siguientes lımites:

a) lımx→0

(2π arc cos x

) 1

x , b) lımx→0

x(ex+1)−2(ex−1)x3 , c) lım

x→0

(sen x

x

) 1

x2 ,

d) lımx→1+

xx−x1−x+ln x , e) lım

x→1−(lnx ln (1 − x)), f) lım

x→1(1 − x) tan πx

2 ,

g) lımx→+∞

(a

1x +b

1x

2

)x

con a y b > 0, h) lımx→a

ax−xa

x−a con a > 0, i) lımx→+∞

x2e−0′01x.

40. La velocidad de un objeto que cae en un medio resistente, tal como aire o agua, vienedada por

v =32

k(1 − e−kt +

v0ke−kt

32)

donde v0 es la velocidad inicial, t el tiempo y k la constante de resistencia del medio.Calcular la formula que da la velocidad de un objeto que cae en el vacıo , fijando v0 yt, y haciendo que k tienda a cero.( Tomar como positiva la direccion de caıda.)

41. Siendo f(x) = sen2 x sen ( 1x) y g(x) = ex−1 calcula (sin recurrir a la regla de L’Hopital)

lımx→0

f(x)

g(x). Prueba que no existe lım

x→0

f ′(x)

g′(x). ¿Estan estos resultados en contradiccion con

la regla de L’Hopital?. ¿Que explicacion tienen?.




42. ¿Que hipotesis de la regla de L’Hopital no se cumplen en los siguientes lımites?:

a) lımx→0

x2 sen ( 1

x)

sen x , b) lımx→0

e1x −1

e1x +1

.

Representacion grafica de funciones.

43. Representa graficamente las funciones siguientes:

a) f(x) = x2+1x2−1

, b) f(x) = ln (x2 − 3x + 2), c) f(x) =√

x3

x−3 ,

d) f(x) = x+2

e1x +1

,e) f(x) = x arctan 1x , f) f(x) = 1 − | ln |x||.

Formula de Taylor. Formula de Mac-Laurin. Aplicacio-

nes.

44. Dado el polinomio f(x) = x3+4x2−5x+8, escribirlo en potencias de (x−2), utilizandodos metodos distintos.

45. Desarrolla en serie de Taylor las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) ex en 0, b) ex en 1, c) sen x en 0,

d) cos x en 0, e) lnx en 1, f) loga x en 1.

46. Descompon mediante la formula de Taylor la funcion f(x) = 1x en un entorno del punto

x0 = 1.

47. Si se coloca dinero a interes compuesto mensual r, se duplicara en n anos, donde nsatisface la ecuacion (1 + r

12)12n = 2. Usar el polinomio de Maclaurin de orden 2 deln(1 + x) para obtener una aproximacion de n.

48. Obtener los desarrollos limitado con polinomios de grado n=3 en el origen de las si-guientes funciones: f(x) =

√1 + x2 sen x y g(x) = ecos x.

49. Un objeto tiene masa m0 en reposo. Si se mueve a una velocidad v, entonces (de acuerdocon la teorıa de la relatividad) su masa m viene dada por m = m0

1√1− v2

c2

, donde c es

la velocidad de la luz. Obtener una aproximacion cuadratica de m.

50. Obten el desarrollo de Mac-Laurin de f(x) = 3x+2x2−5x+6

.

51. Aproxima la integral

∫ 1

2

0x2√

1 − x2dx usando el polinomio de Maclaurin de grado 8

del integrando.

52. Considera la funcion definida para x > 0 por f(x) =

∫ x

1

et

tdt.




a) Halla los polinomios de Taylor de grados 2 y 3 de f en a = 1.

b) Aproxima el valor de f(1,1) usando el polinomio de Talylor anterior de grado 2 yestima el error cometido.

53. La autora de un texto de Biologıa afirmaba que la menor solucion positiva de x =1−e−(1+k)x es aproximadamente x = 2k, supuesto que k es muy pequeno. Probar comollego a esta conclusion y comprobarlo para k = 0,001.

54. Sea f(x) =

sen x si x > 0,0 si x = 0,

x − x3

6 si x < 0.

a) ¿Para que valores de x es derivable la funcion?.

b) Calcula la funcion derivada.

c) ¿Cuantas veces es f derivable en x = 0?.

d) Escribe la formula de Taylor de dicha funcion en x = 0 utilizando el polinomio demayor grado posible.

55. Un proyectil lanzado desde el suelo sigue la trayectoria dada por:

y = (tan θ − g

kv0 cos θ)x − g

k2ln(1 − kx

v0 cos θ)

donde v0 es la velocidad inicial, θ el angulo de elevacion, g la aceleracion de la gravedady k el factor de frenado producido por la resistencia del aire. Obtener una aproximacionde la trayectoria mediante un polinomio cubico, sabiendo que θ = 60o

¯, v0 = 64m/sg yk = 1

16 .

56. Calcula con un error menor que una diezmilesima 3√

e.

57. Prueba que si x > 0 entonces :

a) 1 + x2 − x2

8 <√

1 + x < 1 + x2 ,

b) x − x3

6 < sen x < x.

58. Calcula ln 1,1 con un error menor que 10−4.

59. Calcula el seno y la tangente de 110 con un error menor que una millonesima.

60. Calcula los siguientes lımites, utilizando desarrollos limitados de Taylor

a) lımx→∞

(3√

x3 + x2 − x)

b) lımx→0

(1 − cos x)arcsenx

xtg2xc) lım

x→0

ln(1 + x) − senx

1 − ex




Soluciones a algunos ejercicios

En estas notas se dan las soluciones, con algunas indicaciones sobre su resolucion, de al-gunos ejercicios que se plantean en la asignatura2. No pretenden ser exhaustivas, en el sentidode que no contienen ni las soluciones a todos los ejercicios, ni todos los detalles. El objetivoes ayudar al alumno, que esta resolviendo los ejercicios por si mismo, como guıa o apoyoextra para los momentos (ideas nuevas, casuıstica mas complicada, nexos entre las distintasparcelas explicadas, etc) en que pudiera tener problemas.

2b El angulo que forman dos curvas dadas que se cortan en un punto coordenado (x0, y0) es,por definicion (natural), el que forman sus correspondientes rectas tangentes en dicho punto.Hay dos formas simples de hallar dicho valor.

* La primera consiste en utilizar la relacion de la derivada con la tangente del anguloque forma con la horizontal, tanto para una curva como para otra. Esta vision, en principio,simplifica mucho el problema, sin embargo exige una vision geometrica del fenomeno parasaber que hacer con los dos angulos obtenidos con la horizontal: ¿sumarlos o restarlos?

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.5

0

0.5

1

y=sen x

y=cos x

Las curvas y1 = sen x e y2 = cos x se cortan en el intervalo (0, π/2) en el punto de abscisasx0 = π/4, y ordenada y0 = 1/

√2. Las derivadas valen por tanto y′1 = cos x e y′2 = −sen x

evaluadas en x0. Una de las interpretaciones de la derivada nos decıa que dichos valorescoinciden con las tangentes de los angulos que forman con la horizontal:

tan α1 = y′1(x0) = cos x0, tanα2 = y′2(x0) = − sen x0.

De modo que usando la funcion inversa respecto de la composicion, arctan(x), obtenemosque α1 = 0,61548 rad, y que por simetrıa, α2 = −α1. El unico cuidado extra que hay quetener con esta forma mas simple es tener una buena vision geometrica del problema: saberinterpretar la relacion entre los angulos. Si sumaramos tal cual, obtendrıamos que la sumaes cero, pero realmente el angulo que aparece debe ser la suma de los valores absolutos, co-mo se intuye por el dibujo. Por tanto, la respuesta al problema es α = 2α1 = 1,23096 radianes.

2La numeracion de las secciones hace referencia al temario dado en el programa. Por mantener un orden,se presenta siempre la parte de Calculo antes que la parte de Algebra. Por brevedad, se omiten los enunciados,indicandose unicamente el numero (recuadrado) como referencia del ejercicio de la correspondiente seccion.




* La segunda opcion, que aparece(ra) tambien en el Tema 2 de la parte de Algebra, esmas mecanica, pero requiere dos conceptos (por ahora) adicionales:

-el vector director de la recta tangente (que es unico salvo constante de proporcionalidad)de una curva y = f(x) en x = x0 es de la forma (1, f ′(x0)).

-el producto escalar entre dos vectores se puede hacer de dos formas, o bien como sumadel producto de las componentes, o bien como producto de sus modulos (hipotenusas) por elcoseno3 del angulo que forman:

(a, b) · (c, d) = ac + bd = |(a, b)||(c, d)| cos α =√

a2 + b2√

c2 + d2 cos α.

Despejando de la formula anterior y gracias a la funcion arc cos obtenemos a partir de losvectores (1, 1/

√2) y (1,−1/

√2) que

α = arc cos

(1 − 1/2

(√

1 + 1/2)2

)= arc cos

(1/2

3/2

)= arc cos(1/3) = 1,23096.

4 De nuevo nos piden recordar la relacion dada en la primera forma en que tratamos el ejerci-

cio 2b. El lımite lımx→0f(x)

x = f ′(0) por la Regla de L’Hopital. ¿Cuanto vale f ′(0)? La relacionentre la derivada, que es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto, y el anguloque dicha recta forma con la horizontal, es f ′(0) = tanα. Por tanto, lımx→0

f(x)x = tanα.

5 Nos dan la funcion y = 1/x, y nos piden la recta tangente en el punto de abscisa x = 1.Esto es:

y − f(x0) = f ′(x0)(x − x0), (1.3)

siendo f ′(x) = −1/x2, x0 = 1. Por tanto la respuesta es:

y − 1 = 1 − x. (1.4)

Para hallar el area delimitada por dicha recta y los ejes coordenados calculamos la interseccioncon los ejes (es decir, hacer en (1.4) x = 0 y despejar el valor de y, y por otro lado, hacery = 0 en (1.4) y despejar x).

-

y 6

x

•

•

y = 2 − x

(2, 0)

(0, 2)@@

@@

@@

@@

@@@

3Recuerda que para evitar problemas de escalas, en los problemas donde aparezcan angulos y sus razonestrigonometricas, es conveniente trabajar con la calculadora siempre en modo radianes.




Una vez que tenemos el corte con los ejes, (2, 0) y (0, 2), la base y altura del triangulo, 2 y 2,permiten calcular el area, 1

2base x altura, es decir, area = 2.

Si repitieramos el ejercicio con un punto inicial de abscisa generica, x0, entonces la rectatangente resulta, tras sustituir en (1.3),

y − 1

x0=

−1

x20

(x − x0),

y ası, el corte con los ejes son (x0− f(x0)f ′(x0) , 0) = (x0+

x20

x0, 0) = (2x0, 0) y (0, f(x0)−x0f

′(x0)) =

(0, 1x0

+ x01x20

) = (0, 2x0

). Por tanto, comprobamos que el area, 122x0

2x0

= 2, da el mismo re-

sultado que antes, independientemente del punto inicial x0 escogido.

7 Como el unico punto complicado para las funciones logarıtmicas es el origen de coordena-das, es obligatorio decir para empezar que la funcion es composicion y producto de funcionescontinuas y derivables (y ası es ella tambien) en los intervalos abiertos (−∞, 0) y (0,∞). Elproblema lo podemos por tanto centrar en lo que ocurre en torno al cero.

Claramente, el problema tiene una simetrıa respecto del eje de ordenadas, por lo que nospreocupamos solo por lo que pasa a la derecha del eje, y ya despues veremos que ocurre a laizquierda. El motivo es que cualquier simplificacion del problema es beneficiosa, en particular,si no tenemos que arrastrar el valor absoluto. Esto mismo le ocurre a cualquier problema yasea de representacion grafica, de calculo de derivadas, etc...

Para x > 0, f(x) = x lnx. Cuando x se aproxima a cero, surge una indeterminacion:0 · (−∞). ¿Como tratarlo? Expresamos como cociente la expresion anterior e intentamos

aplicar la Regla de L’Hopital: lımx→0+ln x1

x

= lımx→0+1/x

−1/x2 = lımx→0+ x = 0. Luego f es

continua en todo R.

Para estudiar la derivabilidad por la derecha escribimos: f ′(x) = lnx + 1, que es ciertopara todo x > 0, con lo que vemos que si x se aproxima a cero, hay un problema, la derivadatiende a −∞.

Por la simetrıa impar de la funcion, podemos afirmar que el problema es “el mismo” six se aproxima a cero por la izquierda (solo que entonces el lımite de la derivada es ∞; estoes mucho mas comodo que tener que escribir formalmente la definicion de la funcion en elsemieje negativo, x ln(−x),). Por tanto el origen de coordenadas es un punto de continuidadpero no derivabilidad (los lımites laterales deberıan tener un valor numerico y coincidir): esun punto anguloso (en sentido estricto, aunque la grafica no lo muestre ası a la vista).




−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

y

x

y=x ln |x|

9b Continuidad y derivabilidad de la funcion f(x) = |x2 − 1| + 2|x − 1|.

Como f esta compuesta por suma de composicion de funciones continuas, es continua entodo R. El unico punto en que la funcion valor absoluto |x| no es derivable es el cero, luegoaquı habra que gastar cuidado con los valores que hacen que esos valores absolutos de anulen:a saber, x = ±1.

[Huelga decir que en los intervalos abiertos en que se subdivide la recta real, (−∞,−1),(−1, 1) y (1,∞), f sera por supuesto derivable.]

Tenemos pues que calcular los lımites laterales de las derivadas para ver si coinciden ono.

Eliminamos los valores absolutos, y sustituimos las definiciones de f :

f(x) =

x2 − 1 + 2(1 − x) = x2 − 2x + 1 si x ≤ −1,1 − x2 + 2(1 − x) = −x2 − 2x + 3 si x ∈ (−1, 1],x2 − 1 + 2(x − 1) = x2 + 2x − 3 si x > 1.

A partir de aquı tenemos las derivadas, al menos en las zonas abiertas, y de hecho,hallando los lımites con las definiciones correspondientes, obtenemos las derivadas lateralesen los puntos conflictivos:

lımx→−1−

f ′(x) = lımx→−1−

(2x − 2) = −4,

lımx→−1+

f ′(x) = lımx→−1+

(−2x − 2) = 0,

lımx→1−

f ′(x) = lımx→1−

(−2x − 2) = −4,

lımx→−1+

f ′(x) = lımx→1−

(2x + 2) = 4,

de donde, y como era previsible, ambos puntos conflictivos tienen problemas, los lımiteslaterales de las derivadas existen, pero no coinciden, se trata de puntos angulosos donde lafuncion no es derivable.




−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y=f(x)

y

x

27 Queremos minimizar la distancia entre los puntos de la forma (x0, 4 − x20) y (0, 2).

−3 −2 −1 0 1 2 3−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

y

x d

d

d

d

Es claro que la distancia se puede hacer tan grande como se quiera, y que los puntos enlos que se anule la derivada de la funcion distancia corresponderan a extremos simplementerelativos, pero no absolutos.

La funcion distancia es la hipotenusa de un triangulo rectangulo cuyos catetos son la dife-rencia de las componentes de los dos vectores anteriores. Sin embargo, hay una simplificacionprevia que es importante resenar: da igual minimizar la funcion distancia que la funcion dis-tancia elevada al cuadrado, ya que donde una alcance extremos relativos, tambien lo hara laotra, al haber transformaciones crecientes que llevan una en otra. Ası, nos fijamos en la fun-cion distancia al cuadrado, cuya representacion mostramos debajo (ya que nos quitamos deen medio la molestia de la raız cuadrada).

distcuadrado(x0) = x20 + (4 − x2

0 − 2)2 = x40 − 3x2

0 + 4,

distcuadrado′(x0) = 4x30 − 6x0 = 2x0(2x2

0 − 3),

que se anula si x0 vale o bien 0 o bien ±√

3/2. En x0 = 0, la derivada cambia su signo depositivo a negativo, es decir, de creciente pasa a ser decreciente, o sea, que se trata de unmaximo relativo. En los otros dos puntos, el comportamiento, por la naturaleza simetrica delproblema, es analogo entre ellos: la derivada pasa de menos a mas, es decir, se trata, comoesperabamos ya, de mınimos relativos.




−3 −2 −1 0 1 2 30

10

20

30

40

50

60

y

x

funcióndistancia al cuadrado

28 Pongamos nombres faciles de recordar para las variables del problema. Cabe en principiopensar en dos: el lado de la base de la caja (base cuadrada), b, y la altura de la caja, a. Ası,el area (no estamos construyendo tapa) es igual a b2 +4ba. La relacion conocida es el area deque disponemos: b2 + 4ba = 108. Obviamente, para la construccion de un volumen maximodebemos pensar en utilizar todo el material disponible, por ello la relacion anterior sera lautilizada.

Deseamos optimizar una funcion que represente el volumen, este viene dado por b2a =bba = b108−b2

4 . La manipulacion anterior obedece a que sabemos como trabajar con funcionesde una variable (y no con mas, hasta el tema 5). La funcion Volumen, queda pues en funcion dela base, como V (b) = 27b−b3/4. Para buscar los extremos de la funcion debemos saber dondeesta definida para contar entre los candidatos a dichos extremos del intervalo de definicion,si lo hubiere, y los puntos donde se anula la derivada.

La funcion V tiene por dominio el intervalo [0,√

108] pues se trata no solo de una variablenumerica, sino de la base, y debe tener ese sentido fısico: ser mayor que cero, pero no tal queterminemos todo el material en construir simplemente la base y ninguna pared.

Calculamos V ′(b) = 27−3b2/4, que se anula si b = 6, con lo que los candidatos a extremosrelativos son {0,

√108, 6}. Obviamente los extremos no nos dan volumen maximo, y sı lo hace

b = 6.



Tema 2

Resolucion Numerica de una

Ecuacion en una Variable

Son muchos los problemas en ciencia e ingenierıa que se pueden modelar matematicamentecomo una ecuacion f(x) = 0, siendo f una funcion de la variable x. Los valores de x solucionesde dicha ecuacion son llamados ceros de la funcion f o raıces de la ecuacion.

Es bien conocido que existen muchas ecuaciones de la forma f(x) = 0 que admiten unasolucion expresable en funcion de los coeficientes de la ecuacion, por ejemplo si f es unpolinomio de segundo grado. Sin embargo, existen muchas otras ecuaciones que no admitenque su solucion pueda ser expresada a traves de funciones elementales. Si f(x) = senx − ex

entonces la ecuacion f(x) = 0 no puede resolverse de forma analıtica. Sin embargo, por unsencillo argumento grafico, es facil comprobar que esta ecuacion tiene infinitas solucionesnegativas y ninguna positiva. Estas soluciones son las abcisas de los puntos de corte entre lasgraficas de las funciones senx y ex.

En este tema estudiamos algunas de las tecnicas numericas que nos permiten abordar estetipo de problemas. Es importante destacar el hecho de que las tecnicas que estudiaremos sonsiempre iterativas, es decir, partiremos de una aproximacion inicial x0 de la raız x∗ de fy posteriormente construiremos una sucesion de numeros reales {xn}n∈IN que converja haciax∗ cuando n → ∞.

2.1. Metodo de la Biseccion para el calculo de raıces.

El teorema de Bolzano establecia condiciones suficientes para la existencia de al menosun cero de una funcion continua.

Teorema 35. (Teorema de Bolzano). Sea f continua en cada punto del intervalo cerrado[a, b] y supongamos que f(a) y f(b) tienen signos opuestos(f(a) · f(b) < 0). Existe entonces, al menos, un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

53

TEMA 2. RESOLUCION NUMERICA DE UNA ECUACION EN UNA VARIABLE

-

6

(a, f(a))

(b, f(b))

• • •

c1 c2 c3

Figura 3.1: Teorema de Bolzano.El algoritmo siguiente se basa en el teorema de Bolzano y consiste en ir estrechando demanera sistematica el intervalo en el cual una funcion continua cambia de signo. De estaforma conseguiremos obtener un intervalo arbitrariamente pequeno que contenga el cero dela funcion. El metodo de biseccion para un funcion f continua en [a0, b0] procede de laforma siguiente:

1. Si f(a0) ·f(b0) < 0, entonces f tiene al menos un cero en el intervalo (a0, b0). Tomamosentonces c0 = a0+b0

2 el punto medio de dicho intervalo.

2. Se plantean entonces tres casos posibles:

• (i) Si f(c0) = 0 hemos acabado puesto que c0 es la raız buscada.

• (ii) Si f(a0) · f(c0) < 0,entonces f tiene al menos un cero en el intervalo (a0, c0).Definimos a1 = a0, b1 = c0 y tomamos c1 = a1+b1

2 el punto medio entre a1 y b1.

• (iii) En caso contrario, es decir, si f(a0) · f(c0) > 0, entonces f tiene al menos uncero en el intervalo (c0, b0). Definimos a1 = c0, b1 = b0 y tomamos c1 = a1+b1

2 el puntomedio entre a1 y b1.

Continuando de forma sistematica este proceso conseguimos una sucesion de intervalosencajados

(a0, b0) ⊃ (a1, b1) ⊃ · · · ⊃ (an, bn) ⊃ · · ·de manera que la anchura de cada uno de ellos es la mitad que la del anterior y cum-pliendo que el cero de la funcion f siempre esta contenido en todos los intervalos.

Sobre la convergencia de este metodo tenemos el siguiente resultado:

Teorema 36. (Convergencia del metodo de biseccion). Sea f continua en cada punto delintervalo cerrado [a, b] y supongamos que f(a) y f(b) tienen signos opuestos (f(a) ·f(b) < 0).Sea {cn}n∈IN la sucesion de puntos medios de los intervalos generados por el metodo debiseccion. Entonces existe un numero x∗ ∈ (a, b) tal que f(x∗) = 0 y, ademas,

|x∗ − cn| ≤b − a

2n+1para n = 0, 1, ...,

en particular, la sucesion {cn}n∈IN converge al cero; esto es,

lımn→∞

cn = x∗.



2.2. METODO DE NEWTON-RAPHSON.

Una de las virtudes del metodo de biseccion es que la formula proporciona una estimacionpredeterminada de la precision de la solucion calculada. El numero N de bisecciones sucesivasque nos garantizarıa que el punto medio cN es una aproximacion a un cero con un error menorque un valor prefijado δ es

N = E

[ln(b − a) − ln(δ)

ln(2)

]

donde E[x] denota la parte entera de un numero x.

2.2. Metodo de Newton-Raphson.

Si f(x),f ′(x) y f ′′(x) son continuas cerca de una raız x∗, esta informacion adicional sobrela naturaleza de f(x) puede usarse para desarrollar algoritmos que produzcan sucesiones{xn}n∈IN que converjan a x∗ mas rapidamente que en el metodo de biseccion. El metodo deNewton-Raphson es uno de los algoritmos mas utiles.

Para obtener la sucesion, partimos de un valor inicial x0 que este suficientemente cercano ax∗. El siguiente punto de la sucesion x1 se construye como la interseccion de la recta tangentea la funcion f en el punto (x0, f(x0)) con el eje de abscisas, es decir la interseccion de las rectas

y = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) y y = 0. De esta forma tenemos que x1 = x0 − f(x0)f ′(x0) . El siguiente

punto se obtiene trazando la recta tangente a f en el punto (x1, f(x1)) e intersectandola conel eje y = 0 y ası sucesivamente.

Generalizando el proceso descrito tenemos que la sucesion {xn}n∈IN esta definida por elproceso iterativo:

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn).

Con la interpretacion grafica que disponemos para este metodo es facil comprobar que nosiempre tendremos la convergencia deseada de {xn}n∈IN a x∗ para cualquier valor inicial x0.Es muy conveniente tomar x0 lo mas proximo posible a la raız x∗. El siguiente teorema nosaclara esta cuestion.

Teorema 37. (Teorema de Newton-Raphson). Seax∗ ∈ [a, b] un cero de la funcion f . Supongamos que f admite derivada hasta segundo orden,continua en [a, b] y que f ′(x∗) 6= 0. Entonces existe un δ > 0 tal que la sucesion definidapor el proceso iterativo de Newton-Raphson converge hacia x∗ para cualquier valor inicialx0 ∈ [x∗ − δ, x∗ + δ].

Si x∗ es una raız simple de f(x) = 0, entonces el metodo de Newton-Raphson convergemas rapidamente que el metodo de biseccion, pues aquı en cada iteracion doblamos (aproxi-madamente) el numero de cifras decimales exactas. Para describir estos hechos de maneraprecisa, definimos a continuacion la nocion de orden de una raız y el concepto de orden deconvergencia de una sucesion, que es una medida de la velocidad de convergencia de dichasucesion.

Definicion 38 (Orden de una raız). Supongamos que f(x) y sus derivadas f ′(x), . . . ,f (M)(x) estan definidas y son continuas en un intervalo centrado en el punto x∗. Diremosque f(x) = 0 tiene una raız de orden M en x = x∗ si

f(x∗) = 0, f ′(x∗) = 0, · · · , f (M−1)(x∗) = 0 y f (M)(x∗) 6= 0.




Las raıces de orden M = 1 se suelen llamar raıces simples, mientras que si M > 1,entonces se llaman raıces multiples.

Definicion 39 (Orden de convergencia). Supongamos que {xn}n∈IN converge a x∗ y seaEn = x∗ − xn para cada n ≥ 0. Si existen dos constantes positivas A > 0 y R > 0 tales que

A = lımn→∞

|x∗ − xn+1||x∗ − xn|R

= lımn→∞

|En+1||En|R

entonces se dice que la sucesion converge a x∗ con orden de convergencia R y el numero Ase llama constante asintotica del error. En particular si R = 1 la convergencia se dice linealy si R = 2 se llama cuadratica.

En el caso del metodo de biseccion la convergencia es lineal, por el contrario el metodode Newton-Raphson tiene un orden de convergencia cuadratico en raıces simples y lineal enraıces multiples.

Teorema 40. (Orden de convergencia del metodo de Newton-Raphson). Suponga-mos que el metodo de Newton-Raphson genera una sucesion que converge a un cero x∗ de lafuncion f(x). Si x∗ es una raız simple,entonces la convergencia es cuadratica:

|En+1| ≈|f ′′(x∗)|2|f ′(x∗)| |En|2 para n suficientemente grande.

Si x∗ es una raız multiple de orden M > 1, entonces la convergencia es lineal:

|En+1| ≈M − 1

M|En| para n suficientemente grande.

Problemas

Metodo de biseccion.

1. La ecuacion ex − 3x = 0 tiene por raız a r = 0,61906129. Comenzando con el in-tervalo [0, 1], realizar seis iteraciones por el Metodo de biseccion para encontrar la raızaproximada. ¿Cuantos decimales significativos tiene dicha aproximacion?. ¿Cuantas ite-raciones son necesarias para que la raız obtenida tenga un error menor que 10−4?

2. Utilizar el Metodo de biseccion para encontrar una solucion aproximada con un errormenor que 10−2 en el intervalo [4, 4,5] para la ecuacion x = tg(x).

3. Sabiendo que existe una raız de la ecuacion x3 + x = 6 entre 1.55 y 1.75, ¿cuantasiteraciones son necesarias hasta obtener mediante el metodo de biseccion, un intervalo deamplitud menor o igual que 10−3 que contenga a la raız?. Calcular todas las iteracionesnecesarias.

4. Aplicar el Metodo de biseccion a F (x) = x3 − 17 = 0, a fin de determinar la raız cubicade 17 con un error menor que 0.125.




Metodo de Newton.

5. Aplicando el Metodo de Newton, encontrar una raız proxima a x0 = 0 para la ecuacionf(x) = 3x + senx − ex = 0.Redondear los calculos a cinco cifras significativas e iterar hasta que se cumpla | xi −xi−1 |≤ 0,001.

6. La funcion f(x) = 4x−7x−2 tiene una raız en x=1.75. Utilizar el metodo de Newton con las

siguientes aproximaciones iniciales, estudiando en cada caso, previamente, si se produceun proceso convergente o no a la raız.a)x0 = 1,6 , b)x0 = 1,5 , c)x0 = 3

7. Mediante el Metodo de Newton modificado, encontrar una raız proxima a x0 = 0 de laecuacion x − 2−x = 0.Utilizar tres decimales redondeados en cada iteracion hasta que se cumpla | xi−xi−1 |≤10−3.

8. La concentracion c de una bacteria contaminante en un lago decrece segun la expresion:

c(t) = 80e−2t + 20e−0,5t

siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita para que el numerode bacterias se reduzca a 7. (Utilizar el Metodo de Newton).

9. Una determinada sustancia se desintegra segun la ecuacion A = P · e−0,0248t , donde Pes la cantidad inicial en el tiempo t = 0 y A la cantidad resultante despues de t anos. Siinicialmente se depositan 500 miligramos de dicha sustancia, ¿cuanto tiempo habra detranscurrir para que quede el 1 por ciento de esta? Utilizar el Metodo de Newton.

10. Demostrar que para encontrar la raız r-esima de un numero a, la formula iterativa deNewton se puede expresar como

xn+1 =1

r[(r − 1) · xn +

a

xnr−1

]

11. Hallar la raız cuadrada de 10 usando tres iteraciones mediante el metodo de Newtony comenzando con el valor inicial x0 = 3. Utilizar dos decimales redondeados en loscalculos.

12. Se considera la funcion F (x) = x5+2x. Mediante el Metodo de Newton, hallar el menornumero positivo x (con tres decimales) para el cual F (x) = 4.

13. En los casos siguientes, aplicar el metodo de Newton con la estimacion inicial propuesta,y explicar por que falla el metodo.

a) y = 2x3 − 6x2 + 6x − 1, x1 = 1.

b) y = 4x3 − 12x2 + 12x − 3, x1 = 32 .

c) y = −x3 + 3x2 − x + 1, x1 = 1.

d) y = 3√

x − 1, x1 = 2.




14. Probar, mediante el metodo de Newton, que la ecuacion

xn+1 = xn(2 − axn)

se puede utilizar para aproximar 1a si x1 es una estimacion inicial del recıproco de a.

Notese que este metodo de aproximar recıprocos utiliza solo operaciones de suma ymultiplicacion. [Ayuda: Considerar f(x) = 1

x − a.]

15. Aproximar, con ayuda del resultado del ejercicio anterior, con tres cifras decimales, lossiguientes recıprocos:

a)1

3.

b)1

11.

16. Una medicina administrada a un paciente produce una concentracion en la sangre dadapor c(t) = Ate−t/3 mg/ml, t horas despues de que se hayan administrado A unidades.La maxima concentracion sin peligro es de 1 mg/ml, y a esta cantidad se le denominaconcentracion de seguridad.

a) ¿Que cantidad debe ser inyectada para alcanzar como maximo esta concentracionde seguridad?. ¿Cuando se alcanza este maximo?.

b) Una cantidad adicional se debe administrar al paciente cuando la concentracionbaja a 0′25 mg/ml. Determınese con un error menor de 1 minuto cuando debeponerse esta segunda inyeccion.

17. El crecimiento de poblaciones grandes puede modelarse en perıodos cortos suponiendoque el crecimiento de la poblacion es una funcion continua en t mediante una ecuaciondiferencial cuya solucion es

N(t) = N0eλt +

v

λ

(eλt − 1

),

donde N(t) es el numero de individuos en el tiempo t (medido en anos), λ es la razonde natalidad, N0 es la poblacion inicial y v es un razon constante de inmigracion, quese mide en numero de inmigrantes al ano.

Supongase que una poblacion dada tiene un millon de individuos inicialmente y unainmigracion de 400,000 individuos al ano. Se observa que al final del primer ano lapoblacion es de 1,506,000 individuos. Se pide:

a) Determinar la tasa de natalidad.

b) Hacer una prevision de la poblacion al cabo de tres anos.




Soluciones a algunos ejercicios

1. En efecto, si llamamos f(x) = ex−3x, por el Teorema de Bolzano, al ser f(1) = e−3 < 0,y f(0) = 1 − 0 = 1 > 0, sabemos que hay al menos una1 raız en el intervalo [0, 1].

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

f(x)=exp(x)−3x

f(x) = ex − 3x.

Nos piden que hagamos seis iteraciones por el Metodo de Biseccion, esto es, vamos calcu-lando puntos medios de los intervalos, y el valor de la funcion en dichos puntos, quedandonoscon aquel donde haya cambio de signo (dicho de otro modo, ci+1 sustituye a extremo cuyaimagen tenga el mismo signo que f(ci+1)), e iteramos de nuevo:

c0 = 1/2 f(c0) = 0′148 > 0 ⇒ [c0, 1]c1 = 3/4 f(c1) = −0′133 < 0 ⇒ [c0, c1]c2 = 5/8 f(c2) = −0′006 < 0 ⇒ [c0, c2]c3 = 9/16 f(c3) = 0′067 > 0 ⇒ [c3, c2]c4 = 19/32 f(c4) = 0′029 > 0 ⇒ [c4, c2]c5 = 39/64 f(c5) = 0′011 > 0 ⇒ [c5, c2].

De modo que c6 = 79/128 ≡ 0′6171875, y la funcion ahı vale f(c6) ≡ 0′002. En efecto, elvalor es relativamente pequeno, aunque no una aproximacion excelente, y es que c6 dista dela solucion exacta que nos da el enunciado. En realidad, lo unico que sabıamos por el metodoa priori es que la cota de error entre la raız exacta y la aproximada era |x∗ − cn| ≤ b−a

2n+1 =127 ≡ 0′0078125, por lo que efectivamente no cabıa esperar mas de dos decimales exactos.

Las iteraciones necesarias para obtener orden δ = 10−4 son n = E(

ln(b−a)−ln(δ)ln 2

)= 13.

Nota sobre su resolucion en el ordenador:Como el orden del metodo es uno, la aproximacion es lenta. Sin embargo, se comprueba que

es facilmente automatizable (i.e. podemos llevar el metodo al ordenador, evaluando la funcionen el punto medio, y pidiendole a la computadora que compare el signo y en funcion de si saleigual o distinto tomar un intervalo u otro para la nueva iteracion). Con ayuda de MicrosoftExcel c© podemos implementar facilmente el esquema (buscar la funcion SI, vease material

1De hecho, f ′(x) = ex − 3, con lo que deducimos que en x = ln 3 la derivada se anula y la funcion tiene unmınimo; como despues crecera mucho, pasara el cero de nuevo una unica vez.




complementario de este tema en la web www.uhu.es/pedro.marin/docencia/extraT2C.zip),aunque por contra la precision de calculo deja de ser buena muy pronto. MATLAB, sin embar-go, ofrece mayor exactitud, aunque la adaptacion a este lenguaje puede ser algo mas tediosa(se puede hacer con un proceso por lotes, o directamente con una funcion .m, en todo casousando el condicional, que en este programa es IF).

4. Para hallar la raız cubica de 17, es una eleccion evidente tomar la funcion f(x) = x3−17.Tanteamos mentalmente para asegurarnos un intervalo inicial en el que ejecutar el Algoritmo

de Biseccion (p.ej. [2, 3]). Con error menor que 0′125 debemos efectuar n = E(

ln 1−ln 0′125ln 2

)=

E(

0−ln(1/8)ln 2

)= E

(3 ln 2ln 2

)= 3 iteraciones2, y la solucion aproximada resultante es 2′5625,

mientras que una aproximacion mejor es 3√

17 ∼ 2,5712815906154.

5. Usando el Teorema de Bolzano sabemos que f(x) = 3x − sinx − ex tiene una raız en elintervalo [0, 1].

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

f(x)=3x−sen(x)−exp(x) .

Como f ′(x) = 3 + cos(x) − ex, el Metodo de Newton-Raphson resulta

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn)= xn − 3xn + sin(xn) − exn

3 + cos(xn) − exn.

El primer dato lo podemos elegir a nuestro antojo, tomamos por ejemplo x0 = 0, con loque x1 = 1/3, x2 = 0′360170714 y x3 = 0′36042168. Ya hemos cumplido la condicion |xi −xi−1| ≤ 0′001 pues |x3 − x2| = 0′00025. Ademas, comprobamos efectivamente que f(x3) =−5,744246611705250 10−8. Vemos graficamente la aproximacion realizada en dos etapas (laderecha es una ampliacion)

2Observa que la calculadora no es indispensable siempre.




−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

−1

−0.5

0

0.5

1

.

usando las rectas tangentes: y = f ′(x0)(x − x0) + f(x0), e y = f ′(x1)(x − x1) + f(x1).

6. Claramente la unica raız de la funcion f(x) = 4x−7x−2 es x∗ = 1′75. Si implementamos el

metodo de Newton-Raphson para aproximar la solucion

f ′(x) =−1

(x − 2)2, ⇒ xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn)= xn + (4xn − 7)(x − 2),

comprobamos que con los tres valores que nos dan se obtienen las siguientes secuencias:

1′6, 1′84, 1′7824, 1′75419904, 1′750070528, 1′75000002, 1′75, 1′75, 1′75 . . .

3, 8, 158, 97658, 38146972658, 5′82077E + 21, 1′35525E + 44, 7′34684E + 88, . . .

1′5, 2, 2, 2, . . .

es decir que la primera converge a la verdadera solucion, la segunda diverge y la terceraconverge a una falsa solucion. Ello es debido a que el metodo es local, y hay que empezarsuficientemente cerca de la solucion para tener garantıa de convergencia, lo que nos impele ahacer siempre la comprobacion (cuando obtengamos una convergencia hacia cierto valor) deque la imagen del valor aproximado obtenido esta cerca de cero, para evitar falsas soluciones.

[En general los codigos suelen tener dos condiciones para parar: que dos iteraciones con-secutivas esten cerca entre sı y que la imagen de una de ellas este cerca de cero.]

8. Debemos hallar la raız de c(t) = 7, o lo que es lo mismo, definiendo f(t) = c(t) − 7,tenemos que hallar un cero para f. Ambas funciones, c y f tienen por derivada a la funcionf ′(t) = −160e−2t − 10e−t/2. Al ser negativa, sabemos que las funciones c y f son decrecientesestrictamente, luego si existe solucion, es unica.

Como c(0) = 100 y lımt→∞ c(t) = 0, en tiempo positivo la funcion c (que es continua)tomara todos los valores del intervalo (0, 100].

Una vez que hemos concluido que existe una unica raız de c(t) = 7, y por tanto un unicocero de f(t), aplicamos el Metodo de Newton-Raphson. Como c(0) = 100 dista bastantedel objetivo, conviene, para ahorrar calculos empezar con un dato inicial del tiempo algomayor (no mucho, porque la exponencial decae rapidamente), por tanteo parece convenientecomenzar con x1 = 2. En cuatro iteraciones conseguimos:

x2 = 2′27579938312569

x3 = 2′32768095901589




x4 = 2′32908663665517

x5 = 2′32908761684562.

9. Es propio del material radioactivo desintegrarse con respecto a esa ley (solucion de ciertaecuacion diferencial que veremos mas adelante en el Tema 4). Observese que resolver elproblema equivale a hallar el cero de f(t) = 500e−0′00248t−5, o lo que es lo mismo (pero mejorpara hacer los calculos), de la funcion g(t) = 100e−0′00248t − 1. Antes de aplicar el Metodode Newton-Raphson es adecuado pensar en que dato inicial tomar (de no ser adecuado,tardaremos mucho o puede, como se ve en algunos ejercicios del tema, que no lleguemos a lasolucion).

Es claro geometricamente que, por la forma de la exponencial, el metodo va a ser efectivocon cualquier dato inicial.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

g(t) = 100e−0′00248t − 1.

Pero por el bajo coeficiente que afecta al exponente, ha de pasar mucho tiempo para que laexponencial comience a decrecer de forma notable. Por ello, comenzamos con t1 = 100. En 6iteraciones llegamos a la solucion:

t2 = 135′507554670222

t3 = 164′214770256907

t4 = 180′865946787540

t5 = 185′414686713111

t6 = 185′691392424226

t7 = 185′692346197917 anos han de pasar para quedar3 el 1 %.

10. Se obtiene tras transformaciones aritmeticas inmediatas a

xn+1 = xx − f(xn)

f ′(xn)

siendo f(x) = xr − a.

11. El ejercicio anterior se aplica con r = 2 y a = 10 generando la sucesion recurrente

xn+1 =1

2

(xn +

10

xn

).




Elegir x0 = 3 es una buena eleccion: simple y aproximada, esto ultimo es importante yaque el Metodo de Newton-Raphson es local, por lo que cuanto mas cerca se comience de lasolucion, mas garantıas de exito se tendra al aplicarlo. x0 = 3, x1 = 3′16, x2 = 3′1622777,x3 = 3′1622777 (que ya coincide con el resultado que podemos obtener usando la calculadora).

13. a) En este caso el Metodo de Newton-Raphson no es aplicable porque el punto inicialanula el denominador f ′(x) que aparece en la expresion recurrente. En cambio, si tomamosun valor un poco mas alejado, por ejemplo, 1′2, conseguimos aproximar en 9 iteraciones lasolucion (con un error/tolerancia de 10−8):

x1 = −3′03333333333329x2 = −1′69913409071934x3 = −0′82229976699472x4 = −0′26505557694095x5 = 0′05248674618149x6 = 0′18268167510526x7 = 0′20562357143852x8 = 0′20629889908101x9 = 0′20629947401548.

Empezando en x0 = 0 conseguimos la convergencia (con igual tolerancia) en 4 iteraciones:x1 = 0′16666666666667x2 = 0′20444444444444x3 = 0′20629515192918x4 = 0′20629947399236.

b) La derivada de f se anula en x = 1, con lo que si los calculos pasan por algun xn = 1,el metodo no sera valido. Y justamente ese es el caso si x1 = 3/2, ya que x2 = 1. Sin embargo,eso no significa que el metodo en si sea malo para hallar el cero de esta funcion, solo que eldato inicial no es el adecuado. En efecto, si empezamos por otro valor, x1 = 0, el metodoconverge en 5 iteraciones:

x2 = 0′25x3 = 0′35185185185185x4 = 0′36953388762913x5 = 0′37003906971704x6 = 0′37003947505230.

c) Con el dato inicial la sucesion que se obtiene es de 0 y 1 alternante, con lo que nuncaconvergera a ningun valor. Aunque no hayamos visto en el desarrollo de teorıa las condicionesde convergencia de los metodos de punto fijo (el MNR lo es para la funcion g(x) = x −f(x)f ′(x)), intuimos con este ejemplo que no deben darse condiciones oscilantes en el entorno quetomemos para comenzar la construccion de la sucesion recurrente, sino que debe ser monotonaen cierto sentido hacia el cero de la funcion f. Estos ejemplos muestran simplemente malaselecciones del dato inicial que hacen que en el camino se tope uno con dificultades, que seevitarıan (una vez mas) empezando por otro dato, mas proximo y adecuado: con dato inicial3 se consigue la aproximacion en 4 iteraciones

x1 = 2′8




x2 = 2′76994818652850

x3 = 2′76929266290594

x4 = 2′76929235423870.

d) En este caso la explicacion es clara si tenemos en cuenta la grafica de la funcion:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

El pico que, en torno a x = 1, forma la grafica de la funcion f(x) = 3√

x − 1, unido a la obviaraız que tiene, es una mala condicion para poder apoyarnos en el uso de rectas tangentes.Toda la regularidad que necesitamos, aquı falta, tras acercarse inicialmente, cambia de signo,lo alterna, y se va alejando (diverge).

14. En este ejercicio se pide probar que una forma de aproximar el valor 1/a es a traves dela sucesion xn+1 = xn(2−axn), esto es trivial con la indicacion que dan: la raız de la funcionf(x) = 1

x − a es justamente x∗ = 1a , y el Metodo de Newton-Raphson genera justamente la

anterior relacion de recurrencia:

f ′(x) =−1

x2⇒ xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn)= xn −

1xn

− a−1x2

n

= xn +1

xn− a1

x2n

= xn + xn − ax2n.

Lo resenable del ejercicio es que para obtener el cociente 1/a no es necesario dividir, sinoaproximar con sumas y productos.

16. Vemos como la realidad no se reduce siempre al uso de una funcion de una unica variable.

a) Fijada la dosis inicial A, el problema, con la funcion dada c(t), consiste en hallar elmaximo de concentracion, y el momento. Podemos contestar ya a lo segundo: buscamos losextremos relativos a traves de la derivada de la funcion:

c′(t) = Ae−t/3 − 1

3Ate−t/3 = Ae−t/3 (1 − t/3) .

Por tanto, los candidatos a extremos de la funcion c (recuerdese que el dominio en que tienesentido el problema es [0,∞)) son {0, 3,∞}. Sin embargo, c(0) = 0, y lımt→∞ c(t) = 0, demodo que la cantidad c(3) = 3e−1A > 0 es la concentracion maxima.




De hecho, cualquiera que sea la cantidad inicial A, el maximo de la concentracion sealcanza en t = 3. Para que la cantidad maxima no supere 1 mg/ml, simplemente hay queponer un A menor del que resuelva 3e−1A = 1, esto es, A ≤ e/3.

b) Supuesta suministrada esta cantidad inicial, A = e/3, nos preguntan cuando ocurrira que

c(t) =e

3te−t/3 = 0′25.

Tenemos que resolver pues la ecuacion

f(t) =e

3te−t/3 − 0′25 = 0.

Pero del analisis anterior sacamos que al maximo llega desde cero y que despues tiende acero, es decir, cualquier cantidad en (0, A), en particular 0′25, es alcanzada dos veces y nosinteresa cuando lo alcanza por segunda vez.

0 5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

c(t) = e3 te−t/3.

Usamos el metodo de Newton-Raphson con algun valor numerico que resulte adecuado(por lo dicho antes, mas bien largo que corto, para que la convergencia sea hacia la solucionpor encima de las tres horas). Por la forma de campana, basta tomar cualquier valor inicialsuperior a tres horas, p. ej. x0 = 4 genera una sucesion que converge en 4 iteraciones (conuna tolerancia de 10−8; nos pedıan precisicion de un minuto, que pasado a horas es 0′01666,por tanto bastaba con 10−3):

x1 = 10′30879920381349x2 = 11′02140006874606x3 = 11′07757133060878x4 = 11′07790357510362 horas= 11 horas, 4 minutos.

17. En este problema nos dan el modelo

N(t) = N0eλt +

v

λ

(eλt − 1

),

los datos N0 = 106, v = 4 105, N(1) = 1506 103, y nos piden simplemente que despejemos elvalor de λ :




1506 103 = 106eλ +4 105

λ

(eλ − 1

).

Simplificamos antes de resolver el cero de cierta funcion asociada:

f(λ) = 1000eλ +400

λ

(eλ − 1

)− 1506 = 0.

Con un dato inicial bajo x1 = 1 (lo esperable para la natalidad de una poblacion que enun ano solo ha pasado de 1400000 a algo mas de millon y medio de habitantes) la respuestase obtiene en 4 iteraciones (con precision 10−8):

x2 = 0′390820116865x3 = 0′12534036450639x4 = 0′08560613200322x5 = 0′08483943705533x6 = 0′08483915873218 ∼ λ.b) Consiste en sustituir t = 3 en la expresion (ahora totalmente conocida) de N(t) :N(3) = 2656373′589004676, que significa una poblacion en torno a los 2.656373 habitantes.



Tema 3

Interpolacion Polinomial

Introduccion

Interpolar una funcion f : I ⊆ < −→ < en un conjunto abierto D y en un conjuntode n + 1 puntos {x0,x1, . . . , xn} ⊂ I es encontrar otra funcion Φ de manera que sobre estospuntos, la nueva funcion tome los mismos valores que la funcion original. Es decir, verificando

Φ(xi) = f(xi) = fi, i = 1, . . . , n.

En concreto el problema que planteamos es el siguiente. Consideremos una familia defunciones Φ reales de variable real x que dependa de n + 1 parametros a0,a1, . . . , an quedescribimos de la forma

Φ = Φ(x; a0, . . . , an).

El problema de interpolar consiste en determinar estos n + 1 parametros de manera quepara los n + 1 pares ordenados (xi, fi) con i = 0, . . . , n se verifique

Φ = Φ(xi; a0, . . . , an) = fi, i = 1, . . . , n.

Existen diferentes tipos de interpolacion dependiendo del tipo de funcion Φ que queramosutilizar:

Interpolacion polinomica: Φ es una funcion polinomica de x, es decir

Φ(x; a0, . . . , an) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn.

Interpolacion racional: Φ es una funcion racional (cociente de polinomios) de x, es decir

Φ(x; a0, . . . , an, b0, . . . , bm) =a0 + a1x + a2x

2 + · · · + anxn

b0 + b1x + b2x2 + · · · + bmxm.

Interpolacion exponencial: Φ es una combinacion lineal de exponenciales reales, es decir

Φ(x; a0, . . . , an, b0, . . . , bn) = a0eb0x + a1e

b1x + a2eb2x + · · · + anebnx.

con bi 6= bj si i 6= j con i, j = 1, . . . , n.

67

TEMA 3. INTERPOLACION POLINOMIAL

Interpolacion trigonometrica: Φ es una combinacion lineal de exponenciales imaginarios,es decir

Φ(x; a0, . . . , an) = a0 + a1eix + a2e

2ix + · · · + anenix.

con i =√−1. Recordemos que por la formula de Euler se tiene que eix = cos(x)+isen(x)

con x ∈ <.

Son muchoslos problemas en ingenierıa en los que hay que estudiar funciones para las queno se conoce mas que una tabulacion de los valores que toma la funcion en ciertos puntos (porejemplo como resultado de medidas experimentales). Dichos problemas son buenos candidatospara la utilizacion de tecnicas interpolatorias como las que estudiaremos a continuacion.

3.1. Existencia de polinomio de interpolacion

Antes de abordar cualquier problema, lo primero que hay que saber es si tiene solucion ono. En caso de tenerla, un segundo paso es conocer si dicha solucion es unica o existen varias.A este respecto en interpolacion polinomica tenemos el sigiente resultado:

Teorema 41. Supongamos conocido el valor de una funcion f(x) en un conjunto de puntosdistintos dos a dos x0, x1, . . . , xn. Entonces, existe un unico polinomio P (x) de grado menor oigual que n que interpola a la funcion en esos puntos, es decir, P (xi) = f(xi) con i = 0, . . . , n.

3.2. Interpolacion de Lagrange.

Este metodo es el mas explıcito (aunque no el mas eficaz por lo que se refiere al numerode operaciones requeridas) para calcular el polinomio interpolador P (x) asociado a una tablade datos (xi, fi) con i = 0, . . . , n. La formula de interpolacion de Lagrange es

P (x) =n∑

k=0

fk · lk(x), lk(x) =n∏

j=0

j 6=k

x − xj

xk − xj, k = 0, . . . , n.

los polinomios lk(x) reciben el nombre de polinomios de Lagrange.

Nota 42.

Observar que los polinomios de Lagrange solo dependen de las abcisas x0, x1, . . . , xn yno de las ordenadas f0, f1, . . . , fn.

El grado del polinomio P (x) es menor o igual que n debido a que es una combinacionlineal de polinomios lk(x) con gr(lk(x)) = n

El polinomio P (x) interpola efectivamente la tabla de datos (xi, fi) con i = 0, . . . , npuesto que

lk(xi) = δik =

{1 si i = j0 si i 6= j

⇒ P (xi) = fi.



3.3. POLINOMIOS DE INTERPOLACION CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE

NEWTON

3.3. Polinomios de interpolacion con diferencias divididas de

Newton

Cualquier polinomio de grado menor o igual que n se puede expresar en forma unica comouna combinacion lineal de los monomios {1, x, x2, . . . , xn} que forman la base canonica delespacio vectorial <n[x] de los polinomios de grado menor o igual que n. Sin embargo estabase no es la mas adecuada para expresar el polinomio interpolador.

En esta seccion exprtesaremos el polinomio P (x) que interpola a las abcisas x0, x1, . . . , xn

como una combinacion lineal del siguiente conjunto de polinomios {Ψ0(x), Ψ1(x), . . . ,Ψn(x)}siendo

Ψ0(x) = 1,Ψ1(x) = (x − x0),Ψ2(x) = (x − x0)(x − x1),Ψ3(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2),

...Ψn(x) = (x − x0)(x − x1)(x − x2) · · · (x − xn−1),

El polinomio interpolador se expresa de la forma

P (x) =n∑

j=0

cjΨj(x).

Notese que el conjunto {Ψ0(x), Ψ1(x), . . . ,Ψn(x)} es una base del espacio vectorial <n[x]puesto que al verificarse gr(Ψj(x)) = j entonces los elementos de dicho conjunto son li-nealmente independientes. Ademas, este conjunto es un sistema generador debido a que ladimension del espacio vectorial <n[x] es n + 1 y coincide con el numero de polinomios lineal-mente independientes que tenemos.

Imponiendo ahora las condiciones de interpolacion P (xi) = fi para i = 0, 1, . . . , n llegamosa un sistema lineal de ecuaciones para los coeficientes cj , es decir

n∑

j=0

cjΨj(xi) = fi, i = 0, 1, . . . , n.

Nota 43. Observar que en el sistema lineal anterior la matriz del sistema A = (aij) =(Ψj(xi)) es triangular inferior, puesto que

Ψj(x) =

j−1∏

k=0

(x − xk) =⇒ Ψj(xi) =

j−1∏

k=0

(xi − xk) = 0 si i ≤ j − 1.

Resolviendo el sistema lineal por substitucion hacia adelante obtenemos los coeficientes cj

y comprobamos trivialmente que c0 solo depende de f0, c1 solo de f0 y f1 y ası sucesivamente.Una forma de indicar esta dependencia es mediante la siguiente notacion. Definimos

cj := f [x0, x1, . . . , xj ], para j = 0, 1, . . . , n

que se conocen como diferencias divididas de f . En concreto, el polinomio interpolador adoptala forma

P (x) = f [x0] + f [x0, x1](x − x0) + f [x0, x1, x2](x − x0)(x − x1) + · · ·++f [x0, x1, . . . , xn](x − x0)(x − x1) · · · (x − xn−1).




Veamos un ejemplo para el caso de interpolacion de Newton con dos abcisas x0 y x1. Elpolinomio interpolador de grado uno se puede escribir de la forma

P (x) = c0Ψ0(x) + c1Ψ1(x) = c0 + c1(x − x0),

de manera que interponiendo las condiciones de interpolacion P (xi) = fi para i = 0, 1,obtenemos el sistema triangular inferior siguiente

(1 01 (x1 − x0)

)(c0

c1

)=

(f0

f1

)

cuya solucion viene dada por

c0 := f [x0] = f0.

c1 := f [x0, x1] = f1−f0

x1−x0.

El metodo de Newton de las diferencias divididas nos permite calcular los coeficientes cj

de la combinacion lineal mediante la construccion de las llamadas diferencias divididas quevienen definidas recurrentemente de la manera siguiente

f [xi] = fi.

f [xi, xi+1, . . . , xi+j ] =f [xi+1,...,xi+j ]−f [xi,xi+1,...,xi+j−1]

xi+j−xi.

Tenemos los siguientes casos particulares:

f [x0, x1] =f [x1] − f [x0]

x1 − x0, f [x0, x1, x2] =

f [x1, x2] − f [x0, x1]

x2 − x0

El esquema delproceso descrito anteriormente para el calculo de las diferencias divididasen el caso n = 3 es elsiguiente

x0 f [x0]

f [x0, x1]

x1 f [x1] f [x0, x1, x2]

f [x1, x2] f [x0, x1, x2, x3]

x2 f [x2] f [x1, x2, x3]

f [x2, x3]

x3 f [x3]

Nota 44. Observar que el metodo de las diferencias divididas de Newton para el calculodel polinomio interpolador es mas ventajoso que el de Lagrange en el siguiente sentido. Sanadimos mas puntos de interpolacion, podemos aprovechar el trabajo realizado anteriormenteya que lo unico que debemos hacer es completar el esquema de diferencias divididas paracalcular los coeficientes que faltan.

3.4. Analisis del error

Cuando interpolamos una funcion f(x), nos interesa tener un criterio que nos permita encierta medida conocer la proximidad entre la funcion f(x) y su polinomio interpolador P (x).A este respecto se tiene el siguiente teorema.



3.4. ANALISIS DEL ERROR

Teorema 45. Sea f una funcion de clase Cn+1([a, b]), y sea P un polinomio de grado menoro igual que n que interpola a la funcion f en los siguientes n + 1 puntos distintos dos ados x0, x1, . . . , xn en el intervalo [a, b]. Entonces, para cualquier x ∈ [a, b], existe un puntoξx ∈ (a, b) tal que

f(x) − P (x) =f (n+1)(ξx)

(n + 1)!

n∏

i=0

(x − xi).

Aunque hasta ahora los resultados sobre error se han referido al error absoluto, es decir,la diferencia total entre el valor verdadero y el aproximado, a veces, un valor relativo entreese error ejercido y el valor real mejora la vision sobre la aproximacion aplicada: no es lomismo un error de 2 unidades cuando el valor exacto de la funcion es 2, que cuando el valores 2000. Llamaremos error relativo al cociente del error total entre el valor exacto.

En general, no es aconsejable efectuar interpolacion polinomica con muchas abscisas deinterpolacion x0, x1, . . . , xn. Dicho de otro modo, no es conveniente tener un polinomio deinterpolacion Pn(x) cuyo grado n sea elevado. Una de las razones de esta afirmacion es lasiguiente. Supongamos que la funcion f(x) es continua en el intervalo [a, b] y que Pn(x) essu polinomio interpolador en las abscisas a = x0, x1, . . . , xn = b. Entonces, en general no escierto que se verifique la convergencia puntual siguiente

lımn→∞

Pn(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].

C. Runge propuso en 1901 el siguiente ejemplo: Sea Pn(x) el polinomio interpolador sobren + 1 abscisas equiespaciadas de la funcion f(x) = 1

1+x2 en el intervalo [−5, 5]. EntoncesPn(x) converge puntualmente cuando n → ∞ hacia f(x) si |x| < 3,63 . . . y diverge en casocontrario.

Problemas

1. A partir de la tabla siguiente calcular f(3) por interpolacion polinomica.

x 1 2 4 5

f(x) 0 2 12 21

2. Encontrar los polinomios de menor grado que interpolan los siguientes conjuntos dedatos

a)

x 3 7

f(x) 5 −1

b)

x 3 7 1 2

f(x) 10 146 2 1




3. Demostrar que la n–esima diferencia dividida f [x0, x1, . . . , xn] es independiente delorden de los puntos x0, x1, . . . , xn.

4. Buscar un polinomio P (x) de grado 3 tal que P (1) = 1, P (2) = 5, P ′(1) = 2 y P ′′(1) = 4.

5. Construir una tabla de valores de la funcion y = sen(x) necesaria para que, medianteinterpolacion lineal, podamos obtener el seno de cualquier angulo entre 0 y π/8 con dosdecimales exactos

6. La viscosidad de los lıquidos varıa con la temperatura. En esta tabla se da la viscosidaddel agua, medida en milipoises a diversas temperaturas.

Temperatura en grados 0 10 20 50

viscosidad en milipoises 17, 94 13, 10 10, 09 5, 49

Calcula, aproximadamente, el coeficiente de viscosidad del agua a 40 y 80 gradoscentıgrados.

7. Busca el polinomio interpolador que contenga a los puntos (1, 14), (2, 20), (3, 34), y5, 10). Halla los valores que toma para x = 4 y para x = −3. ¿Cual de los resultadoscrees que es mas fiable?.

Posteriormente, se consiguen dos nuevos puntos: (−1, 2) y (0, 9).

Amplıa el polinomio para que contenga a los nuevos puntos. Vuelva a sustituir x = 4 yx = −3 y compara los nuevos resultados con los anteriores.

8. Conociendo los datos Ln1 = 0 y Ln6 = 1,7918

a) Aproximar el valor de Ln2 usando interpolacion lineal.

b) Calcular el error absoluto y el error relativo que se comete al realizar dicha inter-polacion sabiendo que Ln2 = 0,693147.

c) Dar una explicacion de porque el error relativo tiene una magnitud elevada.

9. Considerar la siguiente tabulacion de la funcion f(x) = ex

xi 0,0 0,2 0,4 0,6

fi 1,0000 1,2214 1,4918 1,8221

Obtener una cota del error cometido debido a la interpolacion efectuada cuando apro-ximamos el valor de 3

√e.



Tema 4

Integracion en una variable.

Aplicaciones

Las integrales formalizan un concepto bastante sencillo e intuitivo, el de area. Los orıgenesdel calculo de areas los podemos encontrar en el “metodo de exhaucion”desarrollado por losgriegos hace mas de 2000 anos: consiste en ir inscribiendo en la region cuya area se quierecalcular, regiones poligonales que la aproximan y cuya area seamos capaces de calcular. Estemetodo fue usado por Arquımedes de Siracusa para calcular el area encerrada por funciones“sencillas”, el eje de abscisas y las rectas verticales x = a y x = b. Por ejemplo, la delarea encerrada bajo un segmento de parabola. Este resultado fue desestimado en el sigloXVII ya que no se habıa definido formalmente el concepto de area. Sin embargo, la obra deArquımedes sugiere un camino para definir el concepto de integral y a traves de ella, el dearea, y le convierte, junto a varios coetaneos suyos, en precursores del calculo integral.

Desde los griegos no se revivio el metodo de exhaucion hasta el siglo XVII con Cavalieri,Descartes, Pascal y Fermat. Pero fueron Newton y Leibnitz los que descubrieron, indepen-dientemente uno del otro, que los problemas del calculo integral y del diferencial, eran enrealidad formas inversas de uno solo.

Para Newton el calculo integral tiene un papel secundario, pues lo considera, segun lasensenanzas de su maestro Barrow, un proceso inverso al del calculo diferencial. A Leibnitzle debemos la mayor parte de las notaciones actuales de los calculos diferencial e integral;observo que la formula del cambio de variable descubierta por Barrow es evidente utilizandosu notacion.

En los siglos XIX y XX, Cauchy, Riemann (y Lebesgue e Ito en formas mas complejas)perfeccionaron el concepto de integral, ampliando este a un conjunto mas basto de funciones.Abordaremos el tema desde el punto de vista de Riemann.

4.1. Conceptos basicos

Integral definida: definicion, condicion de integrabilidad y propiedades

La idea que subyace en la definicion de integral definida es, como dijimos en la introduc-cion, la que utiliza Arquımedes para el calculo de areas encerradas entre los ejes coordenadosy la grafica de una funcion f(x). Supongamos que queremos calcular el area A encerrada por

73

TEMA 4. INTEGRACION EN UNA VARIABLE. APLICACIONES

una funcion f bajo un segmento [a, b] (por ahora supondremos que la funcion esta definida yacotada en [a, b]).

Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos [t0, t1], [t1, t2], . . . , [tn−1, tn] como en la graficaanterior, por medio de numeros t0, t1, . . . , tn, que verifican

a = t0 < t1 < . . . < tn−1 < tn = b.

Al conjunto P = {t0, t1, . . . , tn} se le denomina particion del intervalo [a, b].Para cada particion P , consideramos n puntos “representativos”ξ1, . . . , ξn, tales que ξi ∈

[ti−1, ti], y consideramos las n bandas rectangulares con base en cada subintervalo y alturaf(ξi).

Si sumamos las areas de las n bandas, obtendremos (en la medida en que n sea grande ylas bandas tengan bases pequenas) una aproximacion del area A buscada.

El area de cada banda rectangular es

area banda = base · altura = (ti − ti−1) · f(ξi).

La suma de las areas de las bandas (que depende de la particion P elegida y de la imagen porf de los puntos ξi, i = 1, ..., n) se denomina suma de Riemann, y se denota por S(f, P ).Resumiendo,

S(f, P ) =n∑

i=1

(ti − ti−1)f(ξi) ∼ A.




Parece logico pensar que mientras mas pequeno elijamos el diametro de la particion,δ(P ) ≡ max

1≤k≤n{tk − tk−1 }, obtendremos una mejor aproximacion del area.

Con esta idea, se define la integral definida de f entre a y b como el lımite de las sumasde Riemann S(f, P ) cuando el diametro de la particion P tiende a cero, siempre que estelımite exista. Decimos entonces que la funcion es integrable Riemann y, simbolicamente,escribimos ∫ b

af(x) dx = lım

δ(P )→0S(f, P ) .

Denotaremos por R([a, b]) al conjunto formado por las funciones integrables Riemann en[a, b] (mas adelante, en el Teorema 49 veremos ejemplos de funciones integrables).

Se tienen las siguientes propiedades (intuitivas, teniendo en cuenta la interpretaciongeometrica de la integral):

Teorema 46. Sean f, g ∈ R([a, b]). Se verifica

1. (Linealidad) Si α, β ∈ K, entonces αf(x) + βg(x) ∈ R([a, b]) y ademas

∫ b

a[αf(x) + βg(x)] dx = α

∫ b

af(x) dx + β

∫ b

ag(x) dx.

2. Si f ∈ R([a, b]) , entonces f ∈ R([c, d]) para cualquier [c, d] ⊆ [a, b].

3. Sea c ∈ (a, b). Se tiene que

∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx +

∫ b

cf(x) dx.

4. (Monotonıa) Si f es una funcion positiva, esto es, f(x) ≥ 0 para cualquier x ∈ [a, b],se tiene que ∫ b

af(x) dx ≥ 0.

En general, si f ≤ g (g(x) − f(x) ≥ 0 para cualquier x ∈ [a, b]), entonces

∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

ag(x) dx.

5. La funcion valor absoluto |f | ∈ R([a, b]), y se verifica

∣∣∣∣∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣ ≤∫ b

a|f(x)| dx.

6. La funcion producto fg ∈ R([a, b]). En general,

∫ b

af(x)g(x) dx 6=

∫ b

af(x) dx

∫ b

ag(x) dx.

Como consecuencia de estas propiedades se obtienen los conocidos teoremas del valormedio para integrales:




Teorema 47. Sean f, g ∈ R([a, b]).

1. (Primer teorema del valor medio) Si existen m, M ∈ R tales que m ≤ f(x) ≤ M ,para cualquier x ∈ [a, b]. Entonces, existe c ∈ R, m ≤ c ≤ M tal que

∫ b

af(x) dx = c(b − a).

2. (Segundo teorema del valor medio). Si f ≥ 0, y g es una funcion continua en[a, b], entonces

∫ b

ag(x)f(x) dx = g(ξ)

∫ b

af(x) dx, para algun ξ ∈ [a, b].

Demostracion 1.- Como m ≤ f(x) ≤ M , por la propiedad de monotonıa se tendra que

∫ b

amdx ≤

∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

aM dx.

Por linealidad de la integral, y teniendo en cuenta que∫ ba dx = (b−a), obtenemos la siguiente

cadena de desigualdades

m(b − a) ≤∫ b

af(x) dx ≤ M(b − a),

de donde se deduce que∫ ba f(x) es un valor intermedio entre m(b − a) y M(b − a), esto es,

existe c ∈ [m, M ] tal que∫ ba f(x) dx = c(b − a).

En particular, si f es continua en [a, b], alcanza todos sus valores entre el maximo M y elmınimo m (ver Teorema 15 del Tema 0), por lo que existe un x0 ∈ [a, b] tal que c = f(x0).

2.- Como g es continua, existen m, M ∈ R tales que m ≤ g(x) ≤ M para todo xde [a, b] (ver Teorema 15 del Tema 0). Por otro lado, como f es positiva, se tendra quemf ≤ gf ≤ Mf , de donde, teniendo en cuenta las propiedades de monotonıa y linealidad dela integral, se obtiene que

m

∫ b

af(x) dx ≤

∫ b

af(x)g(x) dx ≤ M

∫ b

af(x) dx.

Razonando como el apartado anterior, existira un numero c ∈ [m, M ] tal que

∫ b

af(x)g(x) dx = c

∫ b

af(x) dx.

Como g es una funcion continua y c esta entre los valores maximos y mınimos de g, existeξ ∈ [a, b] tal que c = g(ξ) (ver Teorema 15 del Tema 0), con lo que se termina la demostraciondel teorema.

Para definir rigurosamente el concepto de area (y el de volumen) de forma acorde con laintuicion, necesitamos definir:

∫ a

bf(x) dx = −

∫ b

af(x) dx,

∫ a

af(x) dx = 0.




La definicion de integrabilidad implica evaluar f en los numeros “representativos”ξi, tareaque resulta ardua. Es por ello que conviene tener una condicion equivalente de integrabilidaden la que no aparecen estos numeros.

Para dar la idea de esta condicion equivalente, volvemos al problema de calcular elarea A encerrada por una funcion f bajo un segmento [a, b]. Fijamos una particion P ={t0, t1, . . . , tn} del intervalo [a, b]. Consideramos ahora dos tipos de bandas rectangulares conbase en cada subintervalo: los inscritos en la figura (cuya altura son los mınimos de la funcionen cada subintervalo (Fig. I)) y los circunscritos, esto es, los que encierran la figura (conalturas los maximos de la funcion en cada subintervalo(Fig. II)):

El area de cada banda inscrita (Fig I) es

base · altura = (ti − ti−1) · inf {f(x) : x ∈ [ti−1, ti]} = (ti − ti−1)mi,

y el area de cada banda circunscrita (Fig. II) es

(ti − ti−1)Mi, con Mi = sup {f(x) : x ∈ [ti−1, ti]} .

La suma de las areas de las bandas inscritas y circunscritas se denominan, respectivamente,suma inferior y suma superior de Riemann, y se denotan por L(f, P ) y U(f, P ) (delingles “lower 2“upper”). Logicamente, la suma inferior de Riemann nos dara una aproxi-macion por defecto del area buscada, y la suma superior, una aproximacion por exceso. Portanto,

L(f, P ) =n∑

i=1

(ti − ti−1)mi ≤ A ≤n∑

i=1

(ti − ti−1)Mi = U(f, P ).

Para cualquier particion P se cumple la siguiente relacion entre las tres sumas definidas:

L(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ U(f, P ). (4.1)

Para obtener mejores aproximaciones del area tendremos que tomar el lımite de las sumassuperiores e inferiores cuando el diametro de la particion tiende a cero. Esto nos conduce adefinir la integral inferior y superior de f en [a, b] como

I(f) =

∫ b

af(x) dx = lım

δ(P )→0L(f, P ), I(f) =

∫ b

af(x) dx = lım

δ(P )→0U(f, P ).




Con estas definiciones podemos dar la siguiente condicion de integrabilidad, cuya demos-tracion se intuye de la desigualdad (4.1):

Teorema 48. Una funcion f es integrable Riemann en [a, b] si y solo si las integrales superiore inferior de f existen y coinciden, y en este caso, su valor es igual al de la integral de f en[a, b].

f ∈ R([a, b]),

∫ b

af(x) dx = I ⇐⇒ I(f) = I(f) = I.

Ejemplo: La siguiente funcion definida en cualquier intervalo [a, b] no es integrable:

f(x) =

{0 si x ∈ I

1 si x ∈ Q.

Efectivamente, es facil calcular las sumas superiores e inferiores de Riemann para cualquierparticion P de [a, b] (comprobarlo como ejercicio). Se tiene que,

L(f, P ) = 0, U(f, P ) = b − a, para cualquier particion P de [a, b].

Por tanto, al tomar lımite cuando el diametro de la particion tiende a cero, se tendra que lasintegrales inferior y superior no coinciden, luego no se verifica la condicion de integrabilidady la funcion no es integrable Riemann.

En el siguiente teorema daremos condiciones suficientes de integrabilidad, que nos daranejemplos de funciones integrables.

Teorema 49. Sea f : [a, b] −→ R. Se verifica

1. Si f es continua, entonces f ∈ R([a, b]).

2. Si f es acotada y continua salvo en un numero finito de puntos, entonces f ∈ R([a, b]).

3. Si f es acotada y monotona, entonces f ∈ R([a, b]).

Calculo integral y calculo diferencial

Como dijimos en la introduccion, el calculo integral y el calculo diferencial son enrealidad el mismo, uno el inverso del otro. Para comprender esta relacion, dada f ∈ R([a, b]),definimos la funcion F : [a, b] → R dada por

F (x) =

∫ x

af(t)d(t).

Es facil comprobar que la funcion F ası definida es continua en [a, b], utilizando la caracteri-zacion de funciones integrables.

Veamos como surge la relacion derivar-integrar. Para comprender esta relacion, supon-gamos que tenemos una funcion positiva. En este caso, para cada c ∈ [a, b], F (c) =

∫ ca f(x) dx

representa el area que encierra la funcion f entre el eje OX, y las rectas x = a y x = c (si fno es positiva, la integral no representa el area; veremos en la siguiente seccion como calcularel area de funciones que no son positivas). Supongamos que la funcion f es continua en c,




entonces, para cualquier h > 0 (pequeno), se tiene que F (c + h) − F (c) es aproximadamentef(c)h, o lo que es lo mismo,

F (c + h) − F (c)

h∼ f(c).

Tomando ahora lımites cuando h → 0 en ambos miembros de la igualdad anterior (recor-dar la definicion de derivada que dimos en el Tema 1), se tiene que

F ′(c) = f(c).

Este resultado se conoce como Primer Teorema Fundamental del Calculo Integral(1er TFCI).

En particular, si f es continua en [a, b], entonces F es derivable en [a, b] y

F ′ = f.

Dada una funcion f definida en [a, b], llamaremos primitiva de f a cualquier funcion Ederivable en [a, b] que E′ = f . Con esta definicion, podemos decir que toda funcion continuatiene primitiva.

Nota: Cuando escribimos∫ ba f(x)dx, la parte dx nos indica cual es la variable indepen-

diente de la funcion integrando, de manera que podemos escribir∫ ba f(x)dx =

∫ ba f(t)dt =∫ b

a f(u)du.

Conociendo las reglas de derivacion, es facil calcular primitivas de algunas funciones ele-mentales. En la siguiente seccion daremos unas reglas para el calculo de primitivas de compo-sicion de funciones elementales. Veamos unos ejemplos sencillos de calculo de primitivas, queilustran la siguiente propiedad : dos funciones primitivas F y E de una funcion f , difierenforzosamente en una constante.

Ejemplos:

Una primitiva de la funcion f(x) = x2 es F (x) = x3

3 + C, con C cualquier constante.Efectivamente, F es derivable en cualquier intervalo [a, b] y F ′ = f , sea cual sea laconstante C.

Una primitiva de la funcion f(x) = 1x en [1, +∞] es la funcion E(x) = lnx + C, con C

cualquier constante.




Una de las principales aplicaciones del 1er TFCI es el calculo de integrales definidas apartir de las funciones primitivas (recordemos que, por definicion, para el calculo de unaintegral definida era necesario calcular las sumas de Riemann en una particion y tomar lımitecuando el diametro de la particion tiende a cero).

Teorema 50. (Segundo Teorema Fundamental del Calculo Integral: Regla de Barrow). Seaf continua en [a, b],y F una primitiva de f (esto es, F derivable en [a, b], F ′ = f). Entonces,

∫ b

af(x) dx = F (x)

∣∣∣b

a= F (b) − F (a).

La importancia de este resultado radica, como dijimos anteriormente, en que podemoscalcular integrales definidas a partir de primitivas de la funcion integrando. Ademas, el re-sultado nos permite demostrar los siguientes teoremas, que nos proporcionan dos tecnicasfundamentales para el calculo integral:

Teorema 51. (Integracion por partes). Sean f, g dos funciones derivables y con derivadacontinua en [a, b], se tiene

∫ b

af(x)g′(x) dx = f(b)g(b) − f(a)g(a) −

∫ b

af ′(x)g(x) dx.

Demostracion: Por la regla de derivacion del producto, (f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) +f(x)g′(x). Integrando entre a y b en ambos miembros, y usando la linealidad de la integralobtenemos: ∫ b

a(f(x)g(x))′ dx =

∫ b

af ′(x)g(x) dx +

∫ b

af(x)g′(x) dx.

Ahora bien, por la Regla de Barrow,∫ b

a(f(x)g(x))′ dx = f(b)g(b) − f(a)g(a),

sustituyendo en la primera igualdad y despejando, se obtiene el resultado.

Teorema 52. (Integracion por cambio de variable). Sean f : [a, b] −→ R una funcion conti-nua y φ una biyeccion de [α, β] sobre [a, b] derivable y con derivada continua, tal que φ(α) = ay φ(β) = b. Entonces,

∫ b

af(x) dx =

∫ φ(β)

φ(α)f(x) dx =

∫ β

αf(φ(t))φ′(t) dt.

La demostracion de este teorema se sigue de una cadena de igualdades en la que se utilizanla Regla de Barrow y la formula de la derivada de la funcion compuesta (regla de la cadena)dada en el Tema 1. Sea F una primitiva de f (F ′ = f):

∫ b

af(x) dx =F (b) − F (a) = F (φ(β)) − F (φ(α)) = (F ◦ φ)(β) − (F ◦ φ)(α)

=

∫ β

α(F ◦ φ)′ (t) dt =

∫ β

αF ′(φ(t))φ′(t) dt =

∫ β

αf(φ(t))φ′(t) dt.

Revisaremos estos teoremas, con ejemplos, en los metodos de integracion que veremos enla siguiente seccion.




Integral indefinida: metodos de integracion

Como hemos visto, el conocimiento de una primitiva de una funcion nos permiteconocer, mediante la Regla de Barrow, el valor de una integral definida. Dedicamos estaseccion al calculo de funciones primitivas.

Llamaremos integral indefinida de f , y la denotamos por

∫f(x) dx, a toda funcion

primitiva de f . Por tanto, si F es un primitiva de f , se tendra que

∫f(x) dx = F (x) + C,

con C una constante arbitraria.Sabemos que una funcion continua en un intervalo tiene primitivas, pero en esta seccion

solo trataremos con funciones cuyas primitivas se pueden expresar algebraicamente comofunciones elementales. Las funciones f(x) = ex2

o h(x) = ex

x son continuas en sus respectivosdominios de definicion y poseen primitivas, pero no la podemos expresar como composicionde funciones elementales. En estos casos, se tienen que aproximar directamente las nuevasfunciones definidas por tales integrales. Veremos al final del tema dos metodos directos paracalcular dichas aproximaciones.

En general, no sabemos si es posible hallar una primitiva elemental de una funcion dada.Las estrategias para conseguirlo, constituyen los metodos de integracion.

INTEGRALES DE FUNCIONES ELEMENTALES: Se obtienen directamente a partirde las derivadas de las funciones elementales

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ C, n 6= 1

∫1

xdx = lnx + C, x > 0

∫ax dx =

ax

ln a+ C, 1 6= a > 0

∫ex dx = ex + C

∫senx dx = − cos x + C

∫cos x dx = senx + C

∫1

cos2 xdx = tanx + C

∫1

sen2xdx = −cotgx + C

∫1

1 + x2dx = arctanx + C

∫ −1

1 + x2dx = arccotgx + C

∫1√

1 − x2dx = arcsenx + C, x ∈ (−1, 1)

∫ −1√1 − x2

dx = arccosx + C, x ∈ (−1, 1).

INTEGRALES INMEDIATAS: Teniendo en cuenta la regla de la cadena y sabiendo estasreglas directas de integracion podemos calcular, “completandoconstantes, otras integrales:

Tipo potencial:

∫x2(3x3 + 25)3 dx =

1

9

∫9x2(3x3 + 25)3dx =

1

9

(3x3 + 25)4

4+ C.

Tipo exponencial:

∫x24x3+5 dx =

1

3 ln 4

∫3(ln 4)x24x3+5dx =

4x3+5

3 ln 4+ C.




Tipo logaritmo:

∫senx − cos x

senx + cos xdx = −

∫ −senx + cos x

senx + cos xdx = − ln(senx + cos x) + C.

Tipo arcotangente:

∫dx

2x2 + x + 1=

∫8

16x2 + 8x + 8dx = 8

∫dx

(4x + 1)2 + 7= 8

∫(1/7)dx

(4x+1)2

7 + 1=

8

7

∫dx

(4x+1√

7

)2+ 1

(Terminar esta integral como ejercicio).

Nos interesa transformar productos en sumas de funciones cuyas integrales conozcamos,ya que, por linealidad, sus integrales son mas sencillas. Con esta idea, podremos calcular lassiguientes integrales:

Tipo

∫sen(px) cos(qx) dx,

∫sen(px) sen(qx) dx,

∫cos(px) cos(qx).

Se transforman los productos en sumas mediante las formulas trigonometricas

sen2 a + cos2 a = 1

sen a cos b =1

2[sen(a + b) + sen(a − b)]

sen a sen b =1

2[cos(a − b) − cos(a + b)]

cos a cos b =1

2[cos(a + b) + cos(a − b)].

De la primera formula se obtiene que tan2 x =1

cos2 x− 1, con lo que sera facil calcular una

primitiva de tan2 x (calcularla como ejercicio). Analogamente, podemos obtener formulas querelacionan las razones trigonometricas de un angulo con su angulo mitad que se utilizarantambien para el calculo de integrales. Calcula, con ayuda de la tabla anterior, formulas para

cos2 x, cosx

2, sen2x y sen

x

2.

CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCION: Una integral puede transformarse en otrainmediata mediante un cambio de variable.

Teorema 53. Sea f continua en un intervalo I. Sea φ una funcion biyectiva en I con derivadacontinua. Se tiene:

∫f(x) dx =

[∫f(φ(t))φ′(t)dt

]◦ φ−1(x)

Ejemplo:

∫ √9 − x2 dx =

[x = 3sent

dx = 3 cos tdt

]=

∫ √9 − (3sent)23 cos tdt = ... (Termi-

nar esta integral usando primero las formulas trigonometricas).

INTEGRACION POR PARTES:




Teorema 54. Sean u y v funciones derivables en un intervalo I. Se tiene:

∫u(x) dv(x) = u(x)v(x) −

∫v(x) du(x)

Efectivamente, de la formula de la derivada de un producto d(uv) = vdu+udv, integrandoen los dos miembros y despejando, se obtiene el resultado.

Ejemplos:

1.

∫arctan xdx =

[u(x) = arctanx du(x) = 1

1+x2 dx

dv(x) = dx v = x

]= ... (Terminar la integral apli-

cando directamente el teorema anterior)

2. I =∫

ex cos xdx =

[u(x) = cos x du(x) = −sen xdxdv(x) = exdx v = ex

]= ex cos x +

∫exsen xdx

=

[u(x) = sen x du(x) = cos xdxdv(x) = exdx v = ex

]= ex cos x + exsen x −

∫ex cos xdx

︸︷︷︸I

Esto es lo que se denomina una integral cıclica. En este caso, I = ex cos x + exsen x − I,esto es, 2I = ex cos x + exsen x, luego

I =1

2(ex cos x + exsen x) + C.

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES

Supongamos que queremos calcular

∫P (x)

Q(x)dx, con P y Q polinomios tales que gr(P )<gr(Q),

esto es, la fraccion es irreducible (si el grado del numerador es mayor o igual que el gradodel denominador, se hace la division). El metodo que exponemos consiste en descomponerP (x)

Q(x)en fracciones cuyas integrales conocemos, fracciones simples cuyas integrales son tipo

potencial, logaritmo y/o tipo arcotangente.Para ello, se calculan las raıces del denominador Q(x) (puntos z donde Q(z) = 0. Su-

pongamos, que Q tiene h raıces reales x1, ..., xh con multiplicidades respectivas r1, ..., rh, y kpares de raıces complejas a1 ± b1, ..., ak ± bk simples (nos reducimos a este caso, aunque elmetodo tambien sirve para raıces complejas multiples).

Q(x) = a(x − x1)r1 . . . (x − xh)rh

((x − a1)

2 + b21

). . .((x − ak)

2 + b2k

).

Entonces, existen unos unicos numeros reales Ai,j (i = 1, ..., h, j = 1, ..., ri), Mp, Np, conp = 1, ..., k,, y un polinomio C(x) tales que

P (x)

Q(x)= C(x) +

h∑

i=1

ri∑

j=1

Ai,j

(x − xi)j+

k∑

p=1

Mpx + Np

(x − ap)2 + b2p

.

Sabemos integrar cualesquiera de las fracciones que aparecen en la descomposicion: losdiversos tipos que aparecen son

A

(x − x0)p

︸︷︷︸T ipo potencial

Mpx + Np

(x − ap)2 + b2p

=Mpx

(x − ap)2 + b2p︸︷︷︸

T ipo logaritmo

+Np

(x − ap)2 + b2p︸︷︷︸

T ipo arcotangente

.




INTEGRACION DE FUNCIONES QUE SE TRANSFORMAN EN RACIONALES

∫R(sen x cos x) dx. Con el cambio t = tan

(x2

), se tiene que

sen x =2t

1 + t2, cos x =

1 − t2

1 + t2y dx =

2

1 + t2dt,

y nuestra integral se transforma en una racional. En los casos particulares R(sen x cos x) =senm x cosn x, con m, n ∈ Z, tambien se pueden hacer los siguientes cambios de variables(mas sencillos que los cambios anteriores)

• Si m es impar, se hace el cambio t = cos x.

• Si n es impar, se hace el cambio t = senx.

• Si m y n son pares, se pueden disminuir los exponentes aplicando formulas trigo-nometricas.

∫R(ax) dx. Cambio t = ax.

∫R(x, q1

√(ax + b)p1 , . . . qk

√(ax + b)pk

)dx, pi, qi ∈ N.

Se calcula M =mcm (q1, ..., qk), y se realiza el cambio ax + b = tM .

∫R(

x, q1

√(ax + b

cx + d

)p1

, . . . qk

√(ax + b

cx + d

)pk

)dx, pi, qi ∈ N.

Se calcula M =mcm (q1, ..., qk), y se realiza el cambioax + b

cx + d= tM .

∫R(x,√

k2 − x2)

dx. Cambio x = ksen t.

∫R(x,√

x2 − k2)

dx. Cambio x =k

cos t.

∫R(x,√

k2 + x2)

dx. Cambio x = k tan t.

4.2. Calculo de areas y volumenes

La aproximacion de las integrales mediante sumas de Riemann nos conducen a interesantesaplicaciones geometricas de la integral, o mejor dicho, permite definir los conceptos de areas,volumenes y longitudes de arco acordes con la intuicion.



4.2. CALCULO DE AREAS Y VOLUMENES

Calculo de areas de figuras planas

Abordaremos en esta parte el calculo de areas de regiones acotadas. El calculo de are-as de regiones ilimitadas o no acotadas lo estudiaremos en la siguiente seccion (integralesimpropias).

Caso 1: Sea f una funcion acotada en [a, b] y positiva. Ya vimos que el area encerrada por

ella, el eje X y las rectas verticales x = a, x = b, es A =∫ ba f(x)dx.

Caso 2: Sea f negativa y acotada en [a, b], el area encerrada por ella, el eje X y las rectas

verticales x = a, x = b, es A = −∫ ba f(x) dx.

Observacion: En cualquiera de los dos casos anteriores: A =

∫ b

a|f(x)| dx. Ademas,

∣∣∣∫ ba f(x) dx

∣∣∣ =∫ ba |f(x)| dx.

Caso 3: Sea f es acotada, tal que cambia de signo en [a, b]. Para calcular el area encerradapor ella, el eje X y las rectas verticales x = a, x = b, se divide el intervalo [a, b] ensubintervalos donde el signo de la funcion sea constante. En cada subintervalo el arease calcula como en los dos casos anteriores. Luego tan solo tenemos que sumar las areasencerradas en cada subintervalo. Por ejemplo, para la funcion de la siguiente figura, elarea serıa:

A =

∫ c

af(x) dx −

∫ d

cf(x) dx +

∫ b

df(x) dx,




Observacion:

Teniendo en cuenta la definicion del valor absoluto de una funcion, tambien tenemos que

en este caso, A =

∫ b

a|f(x)| dx, donde la funcion valor absoluto de f tiene la siguiente

representacion

En este caso,

∣∣∣∣∫ b

af(x) dx

∣∣∣∣ <∫ b

a|f(x)| dx.

Ejemplo: Calcular el area encerrada por la curva y = sen x y el eje OX, cuando xvarıa entre 0 y 2π.

Sabemos que y = sen x corta al eje X en el intervalo [0, 2π] en los puntos de absci-sas 0, π, 2π, tomando valores de distinto signo:

Se tiene por tanto que

A =

∫ π

0sen x dx −

∫ 2π

πsen x dx.

Calculamos las integrales anteriores teniendo en cuenta que F (x) = − cos x es unaprimitiva de la funcion f(x) = sen x, y aplicando la Regla de Barrow:

A =

∫ π

0sen x dx −

∫ 2π

πsen x dx = − cos x

∣∣∣π

0+ cos x

∣∣∣2π

π= 4 u2

(u: unidades en las que estemos midiendo).




Caso 4: Sean f y g dos funciones acotadas en [a, b]. El area encerrada entre ambas curvasy las rectas verticales x = a, x = b, es la que la que encierra la funcion f(x) − g(x)y las rectas verticales x = a, x = b. Para calcular el area, se procede como en el casoanterior (dividiendo el intervalo [a, b] en subintervalos donde el signo de la funcion f −gsea constante, calculando las areas en cada intervalo y sumando). Se tiene pues que

A =∫ ba |f(x) − g(x)| dx .

Caso 4

Ejemplo:Calcular el area de la figura comprendida entre la parabola f(x) = 2x − x2, la rectag(x) = −x las rectas x = 0 y x = 4. Calculemos las abscisas de sus puntos de corte:

2x − x2 = −x ⇒ x2 − 3x = 0 ⇒ x = 0 y 3

En el intervalo [0, 3], la parabola esta por encima de la recta y en [0, 4] esta por debajo.

Se tendra por tanto que

A =

∫ 4

0|2x − x2 + x| dx =

∫ 3

0(2x − x2 + x) dx +

∫ 4

3(−2x + x2 − x) dx =

19

3u2.




Calculo de volumenes

La idea de utilizar las sumas de Rieman en dimension dos para calcular areas se puedeextrapolar a dimension tres para calcular volumenes. De esta manera, calcular el volumen deuna figura se reduce al calculo de una integral definida siempre que conozcamos las areas delas secciones transversales perpendiculares a una direccion. Para desarrollar esta idea, veamosprimero como se calcula al volumen de un cuerpo de revolucion:

Consideremos el arco de curva de la funcion y = f(x) con a ≤ x ≤ b y f acotada en [a, b].Al girar ese arco de curva alrededor del eje OX, se engendra una figura cuyo volumen es elque queremos calcular. Fijamos una particion P = {t0 = a, t1, ..., tn−1, tn = b}, consideramosn puntos ξ1, . . . , ξn, tales que ξi ∈ [ti−1, ti]:

En cada intervalo [ti−1, ti] consideramos los cilindros de base circular de radio f(ξi), y alturala longitud del intervalo ti − ti−1. El volumen de cada cilindro es el area de la base por laaltura, esto es, πf2(ξi)(ti − ti−1).

Si sumamos los volumenes de los n cilindros, obtendremos una aproximacion del volumenV buscado.

n∑

i=1

πf2(ξi)(ti − ti−1) ∼ V.

Observemos que en realidad, estamos construyendo las sumas de Riemann de la funcionπf2(x) en la particion P del intervalo [a, b]. Por tanto, el volumen de un cuerpo derevolucion al girar alrededor del eje OX se obtendra tomando lımite de las sumas de




Riemann S(πf2(x), P ) cuando el tamano de las particiones tienden a creo. Esto es,

V =

∫ b

aπf2(x) dx.

Ejemplo:

Halla el volumen obtenido al rotar sobre el eje X la region delimitada por la curva y = x3

y las rectas y = 1, x = 3 y el eje OX.

Hacemos un dibujo de las funciones y vemos que el arco que gira en torno al eje Xesta compuesto por dos arcos de funciones distintas, que se cortan en el punto de abscisa 1((y = x3)∩ (y = 1)). Por tanto, el volumen se puede calcular como la suma de los volumenes:

V = V1 + V2 = π

∫ 1

0x6dx + π

∫ 3

1dx =

15

7π u3.

Con la misma idea de antes, podemos definir el volumen de cualquier superficie si co-nocemos el area de las secciones transversales y perpendiculares al eje OX entre los planosx = a y x = b. Si A(k) representa el area las secciones por planos del tipo x = k, y comosiempre, consideramos una particion P , el volumen buscado se aproxima mediante las sumas

de Riemannn∑

i=1

A(ξi)(ti − ti−1).




Tomando lımite, el volumen de un cuerpo conocidas las areas A(x) se secciones porplanos transversales, perpendiculares al eje OX viene dado por

V =

∫ b

aA(x) dx.

Ejemplo:Calcular el volumen de una esfera de radio R.

Si consideramos una esfera centrada en el origen y de radio R, las secciones transversalesperpendiculares al eje X, son cırculos de radio

√R2 − x2:

Las areas de esas secciones valen π(R2 − x2), y por tanto el volumen pedido sera:

V =

∫ R

−Rπ(R2 − x2)dx =

4

3πR3 u3.

Nota: Tambien podrıamos haber considerado la esfera como una superficie de revolucion,donde gira la funcion f(x) =

√R2 − x2.

Para finalizar con el calculo de volumenes, definimos el volumen de un cuerpo en-gendrado al girar un arco de curva de una funcion alrededor del eje OY . Parauna particion P con n + 1 puntos, t0, ..., tn, el volumen de un solido de este tipo se aproxi-

ma mediante sumas de Riemannn∑

k=1

2πtkf(tk)(xk−1 − xk) = S(2πxf(x), P ). Tomando lımite

cuando el tamano de la particion tiende a cero obtenemos que

V =

∫ b

a2πxf(x) dx.

(Si el arco de curva de f corta al eje OY , el intervalo de integracion depende de la figura).




Calculo de la longitud de un arco de curva

Consideremos el arco de curva de la funcion f(x) en [a, b], con f derivable y con derivadacontinua en dicho intervalo. Queremos calcular la longitud de ese arco de curva entre (a, f(a))y (b, f(b)). Llamemosle L.

Sea P = {a = t0 < t1 < ... < tn = b} una particion del intervalo [a, b]. Consideremos lospuntos de la curva de abscisas ti−1 y ti, Ai−1 = (ti−1, f(ti−1)) y Ai = (ti, f(ti)) con i = 1,2, ..., n. Tenemos entonces una poligonal A0, A1...An, donde la longitud de cada uno de suslados es Li =

√(f(ti) − f(ti−1))2 + (ti − ti−1)2 con i = 1, 2, ..., n.

Como hemos supuesto que f es derivable, podemos usar el teorema de Lagrange (Tema

1), que nos indica que existe ci ∈ (ti−1, ti) tal que f ′(ci) = f(ti)−f(ti−1)ti−ti−1

, por lo que Li nosqueda:

Li =√

(f(ti) − f(ti−1))2 + (ti − ti−1)2 = (ti − ti−1)

√(f(ti) − f(ti−1)

ti − ti−1

)2

+ 1 =

= (ti − ti−1)√

1 + (f ′(ci))2.

Considerando todos los intervalos de la particion P, y xi en [ti−1, ti], para i = 1, 2, ..., n,usando la suma de Riemman para esa particion y la funcion longitud, tenemos que:

S(L, P ; x1, ..., xn) =

n∑

i=1

(ti − ti−1)√

1 + (f ′(xi))2.

Por lo tanto, tomando lımite cuando el tamano de la longitud de P tiende a cero, tenemosque la longitud del arco de curva es

L =

∫ b

a

√1 + (f ′(x))2 dx.

Ejemplo:Hallar la longitud del arco de curva y2 = x3 entre los puntos x = 1 y x = 4/3.




y = x3

2 es derivable con derivada continua en [1, 43 ], y′ = 3

2x1

2 . La longitud del arco vie-ne dada por :

L =

∫ 4

3

1

√1 +

9

4x dx =

64 − 13√

13

27u

Para finalizar con esta seccion, definimos el area de la superficie lateral del volumenengendrado por la rotacion de la curva y = f(x) alrededor del eje OX como

S =

∫ b

a2πf(x)

√1 + [f ′(x)]2 dx.

4.3. Integrales impropias. Definicion y propiedades

En la integral que se definio en la primera seccion, los lımites de integracion eran losextremos de un intervalo acotado, y el integrando era una funcion acotada en dicho intervalo.

Sin embargo, en muchas aplicaciones aparecen integrales de funciones no definidas enalgun punto del intervalo de integracion o bien dicho intervalo no esta acotado. Este tipode integrales reciben el nombre de impropias. Veremos como podremos asociar integralesimpropias al calculo de ares de regiones ilimitadas.

Integrales impropias de primera especie

Se llaman ası aquellas integrales en las que el intervalo de integracion es no acotado.

Definicion 55. Sea f una funcion acotada e integrable en [a, x] para todo numero real x ≥ a.Se define

∫ +∞

af(x) dx = lım

M→∞

∫ M

af(x) dx.

Analogamente, si f es una funcion acotada e integrable en [x, b] para todo numero realx ≤ b, se define

∫ b

−∞f(t) dt = lım

m→−∞

∫ b

mf(t) dt.

Si en las definiciones anteriores el lımite existe y es finito, se dice que la integral esconvergente, y se escribe f ∈ R([a,+∞]) o f ∈ R([−∞, b]). Si el lımite es infinito, se diceque la integral impropia es divergente; en otro caso, se dira que la integral no existe.

Con estas definiciones, podremos asociar areas que encierran funciones en intervalos noacotados.

Ejemplos:

1.- Calculemos el area limitada por la funcion f(x) = 1x , el eje de abscisas y el semiplano

x ≥ 1. Graficamente



4.3. INTEGRALES IMPROPIAS. DEFINICION Y PROPIEDADES

Por definicion se tiene que

∫ +∞

1

1

xdx = lım

M→∞

∫ M

af(t) dt.

Una primitiva de la funcion integrando es logaritmo neperiano; utilizando la regla de Barrow

I = lımM→∞

∫ M

1f(x) dx = lım

M→∞[lnM − ln 1] = ∞.

Por lo que I es divergente, y el area encerrada es “infinita”.2.- Calcular el area de la region no acotada limitada por la funcion f(x) = 1

x2 y el eje deabscisas en el semiplano x ≥ 1.

Tendremos que calcular el valor la integral impropia

∫ +∞

1

1

x2dx. Por definicion, teniendo en

cuenta que una primitiva de 1/x es 1/x2, y usando la regla de Barrow tenemos que

∫ +∞

1

1

x2dx = lım

M→+∞

∫ M

1

1

x2dx = lım

M→+∞

[−1

x

]M

1

= lımM→+∞

[− 1

M+ 1

]= 1.

Por tanto, el area pedida es A = 1u2.

Integrales impropias de segunda especie

Se llaman ası aquellas integrales en las que la funcion integrando no esta definidaen algun punto del intervalo de integracion [a, b].




Definicion 56. Sea f una funcion que no esta definida en b y tal que es integrable en [a, x]para todo numero real x ≥ a. Se define

∫ b

af(x) dx = lım

M→b−

∫ M

af(x) dx.

Analogamente, si f no esta definida en a y es integrable en [x, b] para todo numero realx ≤ b. Se define

∫ b

af(x) dx = lım

m→a+

∫ b

mf(x) dx.

Las integrales anteriores se dicen convergentes o divergentes con el mismo criterio quepara las integrales impropias de primera especie.

Con estas definiciones, podremos calcular areas de regiones ilimitadas en intervalos aco-tados de funciones no acotadas.

Ejemplo: Calcular el area encerrada entre la funcion f(x) =1√

1 − x, el eje de coordena-

das y las rectas x = 0 y x = 1.

Por definicion, dicho area vendra dada por la integral

∫ 1

0

1√1 − x

dx. Ahora bien, la funcion

no esta acotada en x = 1, por lo que se trata de calcular una integral de segunda especie. Pordefinicion,

∫ 1

0

1√1 − x

dx = lımM→1−

∫ M

0

1√1 − x

dx = lımM→1−

[−(1 − x)1/2

1/2

]M

0

= lımM→1−

[−2(1 − M)1/2 + 2

]= 2.

Por tanto, la integral es convergente, y el area pedida es A = 2u2.

En el caso de que el intervalo de integracion no este acotado, y que la funcion no este de-finida en uno o varios puntos del interior del intervalo de integracion, usando la linealidad dela integral, descomponemos la integral en sumandos que sean integrales impropias como lasestudiadas anteriormente.



4.4. INTEGRACION NUMERICA: LAS REGLAS DEL TRAPECIO Y DE SIMPSON

4.4. Integracion numerica: las reglas del trapecio y de Simp-

son

Con frecuencia el calculo del numero

∫ b

af(x)dx no puede efectuarse aplicando la regla

de Barrow, porque no siempre se dispone de funcion primitiva de f , o bien, porque la funcionprimitiva no es de facil manejo. En estos casos debemos recurrir a tecnicas de aproximacion:consisten en aproximar la funcion continua f(x) por otra suficientemente proxima g(x) quesea facil de integrar. Entre las funciones mas sencillas que tenemos a nuestra disposicion seencuentran los polinomios.

La tecnica que explicamos consiste en lo siguiente: fijamos una particion P = {a = x0 <x1 < ... < xn−1 < xn = b} tal que la amplitud de cada subintervalo [xk−1, xk] sea constantede valor h (esto es, h = b−a

n ). En cada subintervalo de la particion [xk−1, xk], se calculaun polinomio Pk(x) que interpole a la funcion f en ciertos puntos (denominados nodos).Finalmente, se aproxima la integral de f en cada subintervalo por la integral del polinomiode interpolacion en dicho subintervalo.

Dependiendo del grado del polinomio de interpolacion (o lo que es lo mismo, del numero denodos en los que interpolemos), obtendremos distintas formulas de aproximacion. Recordemosque para n nodos, el polinomio de interpolacion es de grado menor o igual que n−1. Veremosen esta seccion tres formulas de aproximacion llamadas formulas de Newton-Cotes:

Formula del punto medio

En cada subintervalo [xk−1, xk] se elije un solo nodo: el punto medioxk−1 + xk

2. En cada

subintervalo, el polinomio de interpolacion Pk(x) tendra grado cero, y como interpola a f en

los puntos medios, se tendra que p(xk) = f

(xk−1 + xk

2

)(rectas paralelas al eje OX).

De esta manera, la aproximacion es la siguiente:

∫ b

af(x)dx =

n∑

k=1

∫ xk

xk−1

f(x)dx ≈n∑

k=1

f

(xk + xk−1

2

)h =

b − a

n

n∑

k=1

f

(xk + xk−1

2

).

El error que cometemos en la aproximacion de la integral vendra dado, como siempre,por E = |valor real − valor aproximado|. Por la linealidad de la integral, y aplicando la




propiedad 5 de las integrales (ver Teorema 46) obtenemos que

E =

∣∣∣∣∣

∫ xk

xk−1

f(x) dx −∫ xk

xk−1

Pk(x) dx

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣

∫ xk

xk−1

(f(x) − Pk(x)) dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ xk

xk−1

|f(x) − Pk(x)| dx.

Recordemos que cuando interpolamos una funcion en n + 1 puntos x0, ..., xn por un po-linomio (que sera de grado n), se comete un error de aproximacion con la funcion dado por(ver Teorema 3.4. 1. del Tema 3):

f(x) − P (x) =f (n+1)(ξ)

(n + 1)!

n∏

i=0

(x − xi), ξ ∈ R.

En nuestro caso, n = 0, por lo que f(x)−Pk(x) = f ′(ξ)(x − xk+xk−1

2

), ξ ∈ R, de donde,

si f tiene derivada continua en [a, b], acotando e integrando en la expresion del error anteriorse obtiene que

E ≤ (b − a)2

2nmaxx∈[a,b]

|f ′(x)|.

Formula del trapecio

En cada subintervalo [xk−1, xk] se consideran dos nodos: los extremos del subintervalo. Elpolinomio de interpolacion (de grado 1) es la recta que pasa por los puntos (xk−1, f(xk−1))y (xk, f(xk)).

Con la formula de interpolacion de Lagrange, obtenemos la siguiente expresion de Pk

Pk(x) = f(xk−1)x − xk

xk−1 − xk+ f(xk)

x − xk−1

xk − xk−1.

Tomandolo como aproximacion de f tenemos la siguiente aproximacion de la integral (laintegral del polinomio de interpolacion es inmediata, logicamente, de tipo polinomica):

∫ b

af(x)dx =

n∑

k=1

∫ xk

xk−1

f(x) dx ≈n∑

k=1

∫ xk

xk−1

Pk(x) dx =h

2

n∑

k=1

[f(xk−1) + f(xk)] .

Desarrollando la suma anterior obtenemos la denominada formula de los trapecios




∫ b

af(x)dx ≈ h

2[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + · · · + 2f(xn−1) + f(xn)] .

Ademas cuando n −→ ∞, el miembro de la derecha se aproxima a∫ ba f(x)dx.

Si f tiene derivada segunda continua en [a, b], podemos acotar el error E cometido al

aproximar∫ ba f(x)dx con la misma idea anterior, utilizando el error de la aproximacion por

el polinomio de interpolacion, acotando e integrando. De esta forma se tiene que

E ≤ (b − a)3

12n2maxx∈[a,b]

|f ′′(x)|.

Formula de Simpson

Se obtiene cuando interpolemos en los subintervalos en tres puntos por polinomios degrado 2 (p(x) = ax2 + bx + c, a, b, c ∈ R).

Dividimos el intervalo [a, b] en un numero par de subintervalos y agrupamos los subinter-valos por pares de forma que:

a = x0 < x1 < x2︸︷︷︸[x0,x2]

, x2 < x3 < x4︸︷︷︸[x2,x4]

, · · · , x2k−2 < x2k−1 < x2k︸︷︷︸[x2k−2,x2k]

, · · · , x2n−2 < x2n−1 < x2n︸︷︷︸[x2n−2,x2n]

= b

Entonces, en cada subintervalo doble [x2k−2, x2k] aproximamos f por el polinomio interpo-lador Pk(x) en los nodos (x2k−2, f(x2k−2)), (x2k−1, f(x2k−1)), y (x2k, f(x2k)). Pk(x) sera unpolinomio de segundo grado. Tenemos la siguiente aproximacion de la integral:

∫ b

af(x)dx =

n∑

k=1

∫ x2k

x2k−2

f(x)dx ≈n∑

k=1

∫ x2k

x2k−2

Pk(x)dx.

Calculando las integrales de los polinomios de interpolacion (que podemos calcular por laformula de Lagrange o de los incrementos finitos), y sumando, se obtiene la denominada

Regla de Simpson para aproximar

∫ b

af(x) dx viene dada por

∫ b

af(x)dx ≈ b − a

6n[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + · · · + 2f(x2n−2) + 4f(x2n−1) + f(x2n)] .

Al igual que antes, cuando n −→ ∞, el miembro de la derecha tiende a∫ ba f(x)dx.

Si f tiene cuarta derivada continua en [a, b], el error E cometido al aproximar∫ ba f(x)dx

por la regla de Simpson es, para n ≥ 2:

E ≤ (b − a)5

2880n4maxx∈[a,b]

|f (4)(x)|.




Problemas

1. Resolver las siguientes integrales:

a)

∫(x3 − 2x2 + 3x − 7) dx b)

∫ (1

x2+

4

x√

x+ 2

)dx c)

∫cos(a + bx) dx

d)

∫1

cos2(7x)dx e)

∫sinx cos 2x dx f)

∫5x2 − 3

x2 + 1dx

g)

∫sin2 x cos x dx h)

∫cos2 x dx i)

∫1

1 + 2x2dx

j)

∫ex

3 + 4exdx k)

∫ √1 + cos x dx

2. Resolver por sustitucion las siguientes integrales:

a)

∫ √lnx

xdx b)

∫1√

4 − (x + 2)2dx c)

∫x√

x2 + 1 dx

d)

∫sin 2x

(1 + cos 2x)2dx e)

∫arc senx√

1 − x2dx f)

∫ √tan x + 1

cos2 xdx

g)

∫ √1 − x2 dx

3. Resolver por partes las siguientes integrales:

a)

∫(x2 + 1) sin x dx b)

∫x cos2 x dx c)

∫lnx dx

d)

∫e2x sinx dx

4. Resolver las siguientes integrales racionales:

a)

∫x3 − 2x2 + 3x − 7

3x − 1dx b)

∫3x + 2

x(x + 1)3dx

c)

∫1

x2 + 2x + 5dx d)

∫1

2x2 − 2x + 1dx

e)

∫5x + 6

4x2 + 4x + 5dx f)

∫3x − 7

x3 + x2 + 4x + 4dx

g)

∫x2 + 1

(x − 1)(x2 + 2)2dx h)

∫3x2 + 5x + 2

(x − 1)3dx

5. Resolver las siguientes integrales trigonometricas:

a)

∫sin3 x dx b)

∫sin5 x cos2 x dx c)

∫sin3 x cos5 x dx

d)

∫sin4 x cos2 x dx e)

∫sinx. cos 2x. cos 3x dx f)

∫cos3 x

1 + sin2 xdx

g)

∫sin4 x

cos8 xdx h)

∫1

1 − sin x + cos xdx i)

∫ √1 − cos x dx




6. Resolver las siguientes integrales, de las cuales se indica el tipo:

a)

∫4x + 5,16x

1 + 16xdx (exponencial) b)

∫1√

x + 2 + 3√

x + 2dx (irracional)

c)

∫1

x.

√x + 1

xdx (irracional) d)

∫x3

√4 − x2

dx (sust.trigonometricas)

e)

∫ √9 + x2 dx f)

∫ √x2 − 2 dx (sust.trigonometricas)

g)

∫1

x√

x2 + x + 2dx h)

∫1√

2x2 + 4x + 3dx R(x,

√ax2 + bx + c)

Integrales Definidas. Areas de recintos planos, volumenes,

superficies laterales, longitudes de curvas.

7. Calcular las siguientes integrales definidas:

a)

∫ 1

0

√4 − x2 dx b)

∫ 1

−1sinx dx c)

∫ e

1

sin(lnx)

xdx

d)

∫ 2

0x2√

4 − x2 dx e)

∫ π/2

0

1

4 − sin2 xdx f)

∫ π

0cos 3x sin 6x dx

8. Calcular el area de la figura comprendida entre la parabola y = 2x − x2 y la rectay = −x.

9. Calculese el area del recinto limitado por las curvas y = x3 − 3x + 18 , y = −3x, y lasverticales x = −3 , x = 0.

10. Calculese el area del recinto limitado por las curvas y = x , y = x2 , y =x2

4

11. Hallar el area determinada por las parabolas y = 6x − x2 e y = x2 − 2x.

12. Calcular el area encerrada por la curva y = sinx y el eje OX, cuando x varıe entre 0y 2π.

13. Hallar el area encerrada entre la grafica de la funcion y = sinx y las tangentes a dichagrafica en los puntos de abcisas x = 0, x = π.

14. Calcular el area comprendida entre las curvas y = 2 sin x, y = 4 cos x en el intervalo[0, 2π].

15. Calculese el area de una elipse de semiejes a y b

16. Considerese la region limitada por la grafica de f(x) = x2 − x y el eje X. Calculeseel volumen del cuerpo engendrado por un giro completo de dicha region en torno al: a)eje X b) eje Y




17. Hallar el volumen engendrado por rotacion sobre el eje OX de la region limitada por lacurva y = x3 y las rectas y = 1 , x = 3

18. Hallar el volumen y la superficie lateral del cuerpo engendrado por la rotacion de la

elipsex2

a2+

y2

b2= 1 alrededor del eje OX.

19. Hallar el area de la esfera de radio R

20. Calcular el volumen que el area plana comprendida entre y = −x2−3x+6 y x+y = 3engendra al girar alrededor de a) x = 3. b)OX.

21. Hallar el volumen engendrado al girar el cırculo interior a la circunferencia x2 + (y −R)2 = r2, r < R respecto del eje OX. ( A dicho cuerpo se llama TORO, tiene la formade una camara de neumatico).

22. Una elipse de semiejes a y b realiza un giro completo en torno a una recta paralela asu eje mayor, situada de tal modo que la distancia del centro de la elipse a esa recta esd, y d > b. Calculese el volumen del cuerpo engendrado (toro de seccion elıptica)

23. Hallar la longitud del arco de curva y = x2 + 4 entre x = 0 y x = 3.

24. Calcular la longitud del arco de curva y =x2

8− lnx comprendido entre las rectas

x = 1 y x = 2.

25. Calculese la longitud de la curva x2/3 + y2/3 = a2/3 (astroide)

26. Hallar el volumen limitado por las superficies del espacio x2 + y2 = 1 , z = 0 , z = x

27. La ecuacionx2

a2+

y2

b2+

z2

c2= 1 determina un cuerpo llamado elipsoide. Calculese su

volumen.

Integrales impropias

Integrales en intervalos no acotados

28. Calcular las siguientes integrales:

a)

∫ ∞

1

1

xdx b)

∫ ∞

1

1

x3dx c)

∫ ∞

3

1√x

dx

29. Discutir la convergencia de

∫ ∞

1

dx

xppara los distintos valores de p.


a)

∫ ∞

0e−3x dx b)

∫ ∞

0e−x dx c)

∫ ∞

0e

1

2x dx




31. Discutir la convergencia de

∫ ∞

0e−px dx para los distintos valores de p.

32. Calcular el area de la figura comprendida entre la curva de Agnesi y =a3

x2 + a2y el

eje OX. (a > 0).


a)

∫ ∞

0x · cos x dx b)

∫ ∞

−∞

1

x2 + 2x + 2dx c)

∫ ∞

0λ · e−λx dx (λ > 0)

d)

∫ ∞

0x · λ · e−λx dx e)

∫ ∞

0e−x · sinx dx

Integrales de funciones no acotadas


a)

∫ 1

0lnx dx b)

∫ 1

0

1

xdx c)

∫ 3

0

1

x2dx

35. Estudiar la convergencia de

∫ b

a

1

(b − x)αdx para los distintos valores de α.

36. Calcular las integrales:

a)

∫ 1

0

1√1 − x

dx b)

∫ 1

−1

1√1 − x2

dx c)

∫ 0

−1

1

x4dx d)

∫ ∞

0

1

x2 − 3x + 2dx

Integracion numerica

37. Aproximar mediante la regla del trapecio y mediante la regla de Simpson el valor delas integrales siguientes para los valores de n dados. Redondear la respuesta a cuatrodecimales exactos, comparar los resultados obtenidos con los valores exactos.

a)

∫ 2

0x2 dx n = 4 b)

∫ 2

0x3 dx n = 8

c)

∫ 9

4

√x dx n = 8 d)

∫ 2

1

1

(1 + x)2dx n = 4

38. Calcular una cota del error cometido al calcular las siguientes integrales, con la regladel trapecio y la de Simpson, para los valores de n dados.

a)

∫ 4

0

1

x + 1dx n = 4 b)

∫ 2

0

√1 + x3 dx n = 2

c)

∫ 3

2

√x√

x − 1 dx n = 4 d)

∫ 7

1

√x − 1

xdx n = 6




39. Hallar n para que el error cometido al aproximar las siguientes integrales sea menorque 0.00001 usando la regla del trapecio y la de Simpson.

a)

∫ 3

1

1

xdx b)

∫ 2

0

√1 + x dx

40. Aplicar la regla de Simpson, con n = 6 para aproximar π con cinco cifras decimales

exactas teniendo en cuenta que

∫1

1 + xdx (utilizar los lımites de integracion adecua-

dos).

41. La tabla recoge una lista de medidas fısicas obtenidas en un experimento. Suponiendo

que f es una funcion continua aproximar

∫ 2

0f(x)dx usando la regla trapezoidal y la

de Simpson.

x 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00

y 4.32 4.36 4.58 5.79 6.14 7.25 7.64 8.08 8.14

42. Calcular las siguientes integrales definidas, con un error menor que una centesima.

a)

∫ 2

1ex2

dx b)

∫ 1

0sinx2 dx

43. Calcula aproximadamente la longitud del arco de la curva de ecuacion y = x3 compren-dido entre los puntos (0, 0) y (1, 1) usando la regla de Simpson con h = 0,025




Soluciones de los problemas propuestos

1.

a)x4

4− 2

x3

3+ 3

x2

2− 7x + c b) 2x − 8√

x− 1

x+ c c)

1

bsin a + bx + c

d)1

7tan 7x + c e)

1

2cos x + c f) 5x − 8 arctanx + c

g)1

3sin3 x + c h)

1

2(sin x cos x + x) + c i)

√2

2arctan

√2x + c

j)1

4ln (3 + 4ex) + c k) 2

√2 sin

x

2+ c

2.

a)2

3lnx

√lnx + c b) arc sen

x + 2

2+ c c)

1

3(x2 + 1)

√x2 + 1 + c

d)1

1 + cos 2x+ c e)

1

2(arc sen x)2 + c f)

2

3(tan x + 1)

√tan x + 1 + c

g)1

2(arc sen x + x

√1 − x2) + c

3.-

a) (−x2 + 1) cos x + 2x sinx + c b)1

4(x2 + x sin 2x +

1

2cos 2x) + c

c) x(−1 + lnx) + c d)1

5e2x(2 sinx − cos x) + c

4.

a)1

9x3 − 5

18x2 +

22

27x − 167

81ln |3x − 1| + c

b) 2 ln |x| − 2 ln |x + 1| + 2

x + 1− 1

2(x − 1)2+ c

c)1

2arctan

x + 1

2+ c

d) arctan (2x − 1) + c

e)5

8ln (4x2 + 4x + 5) +

7

8arctan (x +

1

2) + c

f) −2 ln |x + 1| + ln (x2 + 4) +1

2arctan

x

2+ c

g)2

9ln |x − 1| − 1

9ln (x2 + 2) +

x − 2

12(x2 + 2)− 5

√2

72arctan

√2

2x + c

h) 3 ln |x − 1| − 11

x − 1− 5

(x − 1)2+ c




5.

a) − cos x +1

3cos3 x + c b) −1

7cos7 x +

2

5cos5 x − 1

3cos3 x + c

c)1

8cos8 x − 1

6cos6 x + c d) − 1

48sin3 2x − 1

64sin 4x − 1

24x + c

e) − 1

24cos 6x +

1

16cos 4x − 1

8cos 2x + c f) − sinx + 2 arctan (sinx) + c

g)1

7tan7 x +

1

5tan5 x + c h) − ln |1 − tan

x

2| + c

i) −2√

2 cosx

2+ c

6.

a)1

ln 4

[arctan 4x +

5

2ln 1 + 16x

]+ c b) 2

√x + 2 − 3 3

√x + 2 + 6 6

√x + 2 − 6 ln (1 + 6

√x + 2) +

c) −2

√x + 1

x+ 2 ln

(√x + 1 +

√x)

d) −4√

4 − x2 +1

3

(√4 − x2

)3+ c

e)1

2x√

9 + x2 +9

2ln (x +

√9 + x2) + c f)

1

2x√

x2 − 2 + ln (x −√

x2 − 2) + c

g)1√2

ln

∣∣∣∣∣x +

√x2 + x + 2 −

√2

x +√

x2 + x + 2 +√

2

∣∣∣∣∣+ c h) −√

2

2ln

(1 − x −

√x2 + 2x +

3

2

)+ c

7. a)π

3+

√3

2b) 2 − 2 cos 1 c) 1 − cos 1 d) π e)

√3π

12f)

4

3

8.9

29.

189

4− 27 3

√18

210.

5

211.

56

312. 4 13.

π2

4− 2 14. 8

√5

15.πab

16. a)π

30b)

π

617.

15π

718. V =

4

3πa b2 S = 2πb

b +a2 arc sen

(√a2−b2

a

)

√a2 − b2

19. 4πR2 20. a)959π

3b)

1792π

1521. 2π2Rr2 22. 2π2b · d · a 23.

ln√

37 + 6

4+

3√

37

2

24. ln 2 +3

825. 6a 26.

2

327.

4

3π · a · b · c

28. a)∞ b)1

2c)∞ 29.

∞ si p ≤ 1

1

p − 1si p > 1

30. a)1

3b)1 c)∞




31.

1

psi p > 0

∞ si p ≤ 032.πa2. 33. a) 6 ∃ b)π c)1 d)

1

λe)

1

2

34. a) − 1 b)∞ c)∞ 35.

∞ si α ≥ 1(b − a)1−α

1 − αpara α < 1

36. a) 2 b) π c) ∞ d) − ln 2

37. a) 2.6667; 2.7500; 2.6667 b) 4;4.0625;4.0000 c) 12.6667;12.6640;12.6667d) 0.1667;0.1676;0.16667.

39. a) 366;26 b) 130;12.

40. 3.14159.

41. 12.5175; 12.5917.

42. a)1.464; b)0.245

43. 1.54787



Parte II

Algebra Lineal

107

Tema 1

Sistemas de ecuaciones lineales.

Espacio vectorial Rn

1.1. Sistemas de ecuaciones lineales. Transformaciones ele-

mentales

Uno de los problemas centrales del algebra lineal es la resolucion de ecuaciones linealessimultaneas.

Definicion 57. Un sistema de ecuaciones lineales, en concreto de m ecuaciones con nincognitas, es un conjunto de m igualdades que se pueden escribir en la forma:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...

......

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

(1.1)

Los numeros aij ∈ R para i = 1, 2, · · · , m; j = 1, 2, · · · , n reciben el nombre decoeficientes y los bi ∈ R para i = 1, 2, · · · , m, terminos independientes1. Por ultimo,x1, x2, · · · , xn son las incognitas del sistema.

En el caso particular de que b1 = b2 = · · · = bm = 0 el sistema se denomina homogeneo.

Definicion 58. La matriz del sistema dado (o matriz ampliada) es el conjunto for-mado por los m × (n + 1) numeros que se obtiene al escribir los coeficientes y los terminosindependientes, ordenadamente por filas y columnas, en la forma:

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

......

...am1 am2 · · · amn bm

1En el caso de ser aij ∈ C, (1.1) puede transformarse en un sistema de coeficientes y terminos independientesreales con doble numero de ecuaciones que el sistema inicial

109

TEMA 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ESPACIO VECTORIAL RN

Si quitamos la ultima columna de los terminos independientes, la matriz que nos quedarecibe el nombre de matriz de los coeficientes del sistema.

Al ser mas comodo trabajaremos solamente con la matriz del sistema, en lugar de hacerlocon todo el sistema, pues con ello simplificamos el proceso de resolucion.

Solucion de un sistema de ecuaciones. Sistemas equivalentes

Definicion 59. Diremos que un conjunto de n numeros ordenados (α1, α2, , · · · , αn) es unasolucion del sistema (1.1) si satisfacen todas las ecuaciones del sistema.

Definicion 60. Diremos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen lasmismas soluciones.

Observese que no necesariamente han de tener el mismo numero de ecuaciones.

Es facil comprobar que las siguientes transformaciones, que denominaremos elementales,efectuadas sobre la matriz de un sistema nos conducen a otro sistema equivalente:

1. Fij : Intercambiar el orden de las filas i, j (equivale a cambiar el orden de dichasecuaciones).

2. Fi(α) : Multiplicar la fila i por el escalar α 6= 0 (equivalente a multiplicar la ecuacioni-esima por el escalar α no nulo).

3. Fij(α) : Sumar a la fila i la fila j multiplicada por el escalar α (equivalente a sumar ala ecuacion i-esima un multiplo de la ecuacion j-esima).

Clasificacion de un sistema de ecuaciones lineales

Atendiendo a la existencia o no de soluciones, los sistemas lineales se clasifican en:

Compatibles: si tienen al menos una solucion.

Incompatibles: si no tienen solucion.

A su vez los sistemas de ecuaciones lineales compatibles se clasifican, en funcion delnumero de soluciones, en:

Determinados: si tienen una unica solucion.

Indeterminados: si tienen mas de una, en cuyo caso tendran infinitas soluciones.

Notemos que los sistemas homogeneos tienen siempre, al menos, la solucion (0, 0, · · · , 0)que recibe el nombre de solucion trivial, por ello siempre son compatibles.

1.2. Metodo de eliminacion de Gauss

Es un metodo directo que nos da la solucion exacta, si existe, en un numero finito depasos u operaciones.

Pretendemos resolver un sistema de ecuaciones lineales dado mediante su transformacionen otro sistema equivalente que se resuelva facilmente. Dichos sistemas tienen una formaconcreta.

Definicion 61. Un sistema de ecuaciones lineales se denomina escalonado (o reducido)si la matriz del sistema verifica que:



1.2. METODO DE ELIMINACION DE GAUSS

1. Todos los elementos por debajo de los aii para i = 1, 2, · · · , n son nulos.

2. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, esta a la derecha del primerelemento diferente de cero (pivote) de la fila anterior.

3. Cualquier fila formada unicamente por ceros esta bajo todas las filas con elementosdiferentes de cero.

Para conseguir nuestro objetivo utilizaremos el metodo de eliminacion de Gauss queconsiste en, utilizando transformaciones elementales sobre la matriz del sistema, pasar deun sistema de ecuaciones a otro equivalente que sea escalonado. Los sucesivos pasos de esteproceso son:

1. Localizamos en la primera columna no nula, de la matriz del sistema, el primer elementono nulo a.

2. Intercambiamos la primera fila con la fila en la que se encuentra a.

3. Multiplicamos la primera fila por a−1.

4. Sumando multiplos adecuados de la primera fila a las demas, anulamos todos los ele-mentos de la primera columna no nula menos el primero.

5. Repetimos el proceso, con la matriz que resulta de eliminar la primera fila y la primeracolumna, hasta conseguir un sistema escalonado.

En algunos casos podemos ahorrarnos calculos no siguiendo a rajatabla los pasos delproceso explicado. Por ejemplo, si en la primera columna no nula hay un uno conviene, enel primer paso, tomar a como dicho elemento, pues ası nos ahorraremos el paso tercero. Estonos permite afirmar que dado un sistema, el sistema escalonado obtenido a partir de el no esunico, aunque si hay ciertas caracterısticas que son comunes a todos ellos, a saber:

- El numero de filas no nulas (numero de ecuaciones independientes que tiene el sistema)que coincide con el numero de pivotes.

- El pivote de cada fila esta situado siempre en la misma columna.

Finalmente, una vez obtenido el sistema escalonado, lo resolvemos por sustitucion regresiva.

Aplicacion del metodo de Gauss a la resolucion de un sistema de ecuaciones

lineales con o sin parametros

Estudiamos la eliminacion gaussiana como un metodo para la manipulacion de sistemasde ecuaciones con el fin de obtener un sistema escalonado cuya resolucion fuese mas comoda.

Nuestro objetivo ahora, es dar criterios generales que nos faciliten la resolucion del sistemaescalonado obtenido y, en consecuencia, del sistema inicialmente planteado (1.1).

Para ello dividimos las incognitas de nuestro sistema x1, x2, · · · xn en dos grupos, aque-llas que corresponden a columnas con pivotes, que llamaremos incognitas basicas y lasrestantes, correspondientes a las columnas sin pivotes, que llamaremos incognitas libres.Al numero de incognitas libres se le denomina numero de grados de libertad del sistema.

En el sistema escalonado puede ocurrir entonces lo siguiente:




1. Aparece una fila al menos, en la matriz del sistema, que tiene todos los elementos nulossalvo el ultimo (es decir hay alguna ecuacion de la forma 0 = b con b 6= 0 ). En dichocaso el sistema escalonado y por tanto el inicial (1.1) es incompatible.

2. En caso contrario el sistema (1.1) es compatible.

a) Si el numero de pivotes coincide con el de incognitas, es decir, no hay incognitaslibres, el sistema tiene solucion unica. La solucion se obtiene por sustitucion regre-siva empezando por la ultima ecuacion hasta llegar a la primera (determinado).

b) Si el numero de pivotes es menor que el de incognitas, es decir, hay incognitas libres,el sistema tiene infinitas soluciones (indeterminado). En este caso las soluciones seobtienen dando valores arbitrarios a las incognitas libres y poniendo las incognitasbasicas, por sustitucion regresiva, en funcion de dichos valores arbitrarios.

A veces aparecen sistemas de ecuaciones en los cuales ciertos coeficientes o terminos indepen-dientes no tienen un valor fijo predeterminado, sino que son parametros, y se nos pide estudiarel sistema para todos los valores posibles de dichos parametros (discutir el sistema). Puesbien, en dichos casos, aplicamos tambien la tecnica de eliminacion gaussiana para clasificarestos sistemas atendiendo a los distintos valores de los parametros.

1.3. Espacio vectorial. Propiedades

Definicion 62. Sea V un conjunto dotado de una operacion interna “ + ” que llamaremossuma, y sea K un cuerpo conmutativo que define sobre V una operacion externa “ · ”, quellamaremos producto por escalares.

α · ~a ∈ V, α ∈ K y ~a ∈ V

Diremos que (V, +, ·, K) es un espacio vectorial sobre K, respecto de las operacionessuma y producto por escalares si se verifican las siguientes condiciones:

1. (V, +) es un grupo conmutativo.

2. El producto por escalares cumple las siguientes propiedades:

2.1 1 · ~a = ~a ∀ ~a ∈ V

2.2 α · (β · ~a) = (αβ) · ~a ∀ α, β ∈ K, ∀ ~a ∈ V

2.3 α · (~a + ~b) = (α · ~a) + (α ·~b) ∀ α ∈ K, ∀ ~a, ~b ∈ V

2.4 (α + β) · ~a = (α · ~a) + (β · ~a) ∀ α, β ∈ K, ∀ ~a ∈ V

Los elementos de V se denominan vectores y los de K escalares.

Aunque son operaciones distintas la suma de vectores y la de escalares, por comodidadse representan por el mismo signo. Igualmente omitimos el (.) del producto interno en K.Cuando K ≡ R, el espacio vectorial se llama real.Propiedades.-

1. ∀~a ∈ V : 0 · ~a = ~0.



1.3. ESPACIO VECTORIAL. PROPIEDADES

2. ∀α ∈ K : α ·~0 = ~0.

3. ∀~a ∈ V, ∀α ∈ K : −(α · ~a) = (−α) · ~a = α · (−~a).

Definicion 63 (Subespacio vectorial). Sea (V, +, ·, K) un espacio vectorial y F una parteno vacıa de V , se dice que F es subespacio vectorial de V , si las restricciones a F de lasdos operaciones de V , dotan a F de una estructura de espacio vectorial, es decir si:

1. (F, +) es subgrupo de (V, +) (~a,~b ∈ F ⇒ ~a −~b ∈ F )

2. α ∈ K, ~a ∈ F ⇒ α · ~a ∈ F

Teorema 64 (Caracterizacion de subespacios vectoriales). Sea (V, +, ·, K) un espaciovectorial y sea F una parte no vacıa de V . F es subespacio vectorial de V si y solo si:

∀α, β ∈ K, ∀~a,~b ∈ F ⇒ α · ~a + β ·~b ∈ F

Observese que:

El vector nulo ~0 pertenece a todos los subespacios de un espacio V .

Un espacio vectorial V tiene como subespacios, entre otros posibles, al conjunto {~0},formado solo por el vector nulo, que se llamara subespacio nulo. El mismo espacioV es un subespacio de si mismo. Los demas subespacios de V , distintos de V y {~0}, sellaman subespacios propios.

Interseccion y suma de subespacios

Definicion 65 (Interseccion de subespacios vectoriales). Sea (V, +, ·, K) un espaciovectorial. Se define la interseccion (∩) de dos subespacios vectoriales U y W de V, como elsubconjunto de V que verifica:

~a ∈ U ∩ W ⇐⇒ ~a ∈ U ∧ ~a ∈ W

Teorema 66. La interseccion de un numero cualquiera de subespacios vectoriales de unespacio vectorial V es, a su vez, un subespacio vectorial de V.

La union de subespacios de un espacio vectorial V , en general no es un subespacio de V .

Definicion 67 (Suma de subespacios). Sea (V, +, ·, K) y sean U1 y U2 dos subespaciosde V. Se llama suma de U1 y U2 al conjunto, que se denota U1 + U2:

U1 + U2 = {~u1 + ~u2 / ~u1 ∈ U1, ~u2 ∈ U2}

Teorema 68. El conjunto U1 + U2 es un subespacio de V; es mas, se trata del menor detodos los subespacios que contienen a U1 y U2.

Definicion 69 (Suma directa). Sean U1 y U2 subespacios de un espacio vectorial(V, +, ·, K) y sea L ⊆ V , U1 + U2 es suma directa de L, lo que se denota poniendoU1 ⊕ U2 = L, si se verifica que U1 + U2 = L y U1 ∩ U2 = {~0}

Si L = V a los subespacios U1, U2 se les denominan subespacios suplementarios.




1.4. Subespacios vectoriales. Dependencia e independencia li-

neal

Definicion 70 (Combinacion lineal). Sea (V, +, ·, K) un espacio vectorial. Se llama com-binacion lineal de los vectores ~v1, ~v2, ..., ~vp ∈ V a todo vector ~x de V de la forma:

~x = λ1~v1 + λ2~v2 + ... + λp ~vp, con λ1, λ2, ..., λp ∈ K.

Definicion 71 (Subespacio vectorial generado por un conjunto de vectores). Con-sideremos (V, +, ·, K) un espacio vectorial y sea H = {~v1, ~v2, ..., ~vp} ⊂ V .

Al subconjunto {λ1~v1 + λ2~v2 + ... + λp~vp / λ1, λ2, ..., λp ∈ K} se le denominavariedad lineal generada por el conjunto H. Se suele escribir L(H) o < H >.

Se demuestra facilmente que U es un subespacio vectorial de V que recibe el nombre desubespacio vectorial generado (o engendrado) por ~v1, ~v2, ..., ~vp.

Teorema 72. Se verifican las siguientes propiedades:

1. L(L(H)) = L(H)

2. H ⊂ L(H)

3. H ⊂ H ′ ⇒ L(H) ⊂ L(H ′)

4. L(H ∩ H ′) ⊂ L(H) ∩ L(H ′) ⊂ L(H) ∪ L(H ′) ⊂ L(H ∪ H ′)

Independencia lineal. Sistema de generadores

Definicion 73 (Dependencia lineal). Sea H = {~v1, ~v2, ..., ~vp} un sistema de vectores deun espacio vectorial V sobre un cuerpo K.

Se dice que H es un sistema linealmente independiente o sistema libre, si la unicacombinacion lineal de ellos que vale ~0 es la que tiene todos sus coeficientes nulos; estoes, si

λ1~v1 + λ2~v2 + ... + λp~vp = ~0λ1, λ2, ..., λp ∈ K

}⇒ λ1 = λ2 = ... = λp = 0

Se dice que H es un sistema linealmente dependiente o sistema ligado si no es unsistema libre, esto es, si existen algunos escalares λ1, λ2, ..., λp, no todos nulos tales queλ1~v1 + λ2~v2 + ... + λp~vp = ~0.Se dice que un vector depende linealmente de otros si es combinacion lineal de estos.

Propiedades

1. El vector ~0 es combinacion lineal de cualquier familia de vectores. Por tanto, Si unsistema contiene al vector nulo, entonces el sistema es ligado.

2. El vector ~v es combinacion lineal de toda familia que contenga a ~v.



1.5. BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL. COORDENADAS DE UN VECTOR.

CAMBIO DE BASE

3. Un sistema de vectores es ligado si y solo si alguno de sus vectores depende linealmentede los demas. Por tanto, si ~u 6= ~0, entonces el sistema S = {~u} es libre. Un sistema{~u, ~v}, formado por dos vectores, es ligado si y solo si uno de ellos es proporcional alotro.

4. Si un sistema S de vectores es ligado, entonces tambien lo es cualquier sistema queresulte de anadir algun vector a S.

5. Si un sistema S de vectores es libre, entonces tambien lo es cualquier sistema que resultede prescindir de alguno de los vectores de S.

Definicion 74 (Sistema de generadores de un espacio o subespacio vectorial). Sea(V, +, ·, K) un espacio vectorial y L ⊆ V un subespacio vectorial. Se dice que los vectores{~v1, ~v2, ..., ~vp} de L son un sistema de generadores del subespacio vectorial L, si y solosi, todo vector de L es combinacion lineal de {~v1, ~v2, ..., ~vp}.Teorema 75 (T. Fundamental de la independencia lineal). Sea (V, +, ·, K) un espaciovectorial y L ⊆ V un subespacio vectorial que esta generado por un cierto sistema G ={~u1, ~u2, ..., ~up}. Si I = {~v1, ~v2, ..., ~vh} es un sistema libre de vectores de L entonces se verificaque h ≤ p.

1.5. Base de un espacio vectorial. Coordenadas de un vector.

Cambio de base

Definicion 76 (Base de un espacio o subespacio vectorial). Sea (V, +, ·, K) un espaciovectorial y L ⊆ V un subespacio vectorial. Diremos que el sistema H = {~u1, ~u2, ..., ~up} ⊂ Les una base de L si y solo si verifica:

1. Forman un sistema de generadores de L.

2. Son linealmente independientes.

En el espacio vectorial Kn, con K cuerpo, los vectores:

~e1 = (1, 0, ..., 0), ~e2 = (0, 1, 0, ..., 0), ..., ~en = (0, 0, ..., 1)

forman una base que se llama base canonica de Kn.

Teorema 77 (Teorema de existencia de la Base). Sea (V, +, ·, K) un espacio vectorialde tipo finito (es decir, generado por un numero finito de vectores) y sea L ⊆ V, L 6= {~0}subespacio vectorial. Cualquier sistema generador de L incluye una base. En consecuencia,todo subespacio vectorial de tipo finito posee alguna base.

Teorema 78 (Teorema de la dimension). Sea (V, +, ·, K un espacio vectorial de tipofinito y L ⊆ V un subespacio vectorial. Todas las bases de L tienen igual numero de vectores.A este numero se le llama dimension del subespacio L y se representa por dim(L).

Se conviene en que el espacio {~0} tiene dimension 0.

Teorema 79. Sea (V, +, ·, K) un espacio vectorial de tipo finito y L ⊆ V un subespaciovectorial. Sea S = {~u1, ~u2, ..., ~up} un sistema de vectores de L, entonces se verifica que:




1. Si S es un sistema generador de L, entonces p ≥ dim(L).

2. Si S es un sistema libre , entonces p ≤ dim(L).

3. Si S es generador de L y dim(L) = p, entonces S es base de L.

4. Si S es libre y dim(L) = p, entonces S es base de L.

Por tanto, la dimension de un subespacio vectorial L es el numero maximo de vectores deL linealmente independientes. Ademas, la dimension de L es el numero mınimo de vectoresde un sistema generador de L.

Teorema de Steinitz

Teorema 80 (Teorema de Steinitz o de la base incompleta). Sean (V, +, ·, K) un espa-cio vectorial de dimension n, {~e1, ~e2, ..., ~en} una base de V y el conjunto S = {~v1, ~v2, ..., ~vp}un sistema libre de vectores de V , donde p < n. Entonces existe algun sistema S’ de n − pvectores de V , tal que S ∪ S′ sea una base de V. Es mas, los vectores de S’ se pueden tomarde entre los de una base cualquiera {~e1, ~e2, ..., ~en} de V.

Teorema 81 (Formula de Grassmann). Si U1 y U2 son dos subespacios de un espaciovectorial de dimension finita, se verifica:

dim(U1) + dim(U2) = dim(U1 + U2) + dim(U1 ∩ U2)

Coordenadas de un vector. Unicidad

Lo que hace del concepto de base algo realmente util es que, recurriendo a ellas, cualquiervector queda identificado mediante los coeficientes de la unica combinacion lineal que loexpresa en funcion de los vectores de la base. A estos coeficientes se les llama coordenadas.En un espacio vectorial de dimension finita, si se dispone de una base, conocer un vectorviene a ser lo mismo que conocer sus coordenadas.

Teorema 82 (Unicidad de la expresion de un vector en una base). Sea (V, +, ·, K)un espacio vectorial. Todo vector de un subespacio vectorial L ⊆ V,L 6= {~0} se expresa de manera unica como combinacion lineal de los vectores de una base deL.

Definicion 83. Sea V espacio vectorial de dimension finita sobre un cuerpo K y L ⊆ V, L 6={~0} un subespacio vectorial de V . Dada una base B = {~e1, ~e2, ..., ~en} de L, (segun el teoremaanterior) para cada ~x ∈ L existen unos unicos escalares x1, x2, ..., xn ∈ K tales que ~x =x1~e1+...+xn~en. Entonces se dice que la n-upla (x1, x2, ..., xn) es el sistema de coordenadasdel vector ~x en la base B.

Rango de un conjunto finito de vectores.

Definicion 84. Se llama rango de un sistema S con un numero finito de vectores de uncierto espacio vectorial V, y se denota por rg(S), a la dimension del subespacio que engendraS. De modo que rg(S) = dim(L(S))




CAMBIO DE BASE

En consecuencia, la familia S = {~u1, ~u2, ..., ~up} es libre si y solo si su rango es igual alnumero p de vectores que lo forman.Ademas, en un espacio vectorial de dimension finita n, un sistema de vectores es generadorsi y solo si su rango es n.

Ecuaciones parametricas e implıcitas de un subespacio vectorial

Sea (V, +, ·, K) un espacio vectorial de dimension n. Consideremos una variedad lineal(o subespacio vectorial) U generado por los vectores {~u1, ~u2, ..., ~uk}. Sabemos que ~x ∈ U ,entonces ~x = λ1~u1 + ... + λk~uk. Si cada vector lo referimos a la base {~e1, ~e2, ..., ~en} de V , ydesarrollando la expresion, obtendremos:

(1)

x1 = λ1u11 + λ2u21 + ... + λkuk1

x2 = λ1u12 + λ2u22 + ... + λkuk2...

xn = λ1u1n + λ2u2n + ... + λkukn

A las ecuaciones (1) se le llaman ecuaciones parametricas de la variedad lineal U .Eliminando parametros en las ecuaciones (1), aplicando el metodo de Gauss, conside-

rando como incognitas los parametros λi obtendremos n-k relaciones entre las componentes(x1, x2, , ..., xn), que se llaman ecuaciones implıcitas de U .

Cambio de base en un espacio vectorial

Sea V un espacio vectorial de dimension n sobre un cuerpo K. Hemos visto que cualquiervector ~x queda determinado de manera unica conociendo un sistema de coordenadas respectode una base de V . Ahora bien, si elegimos otra base de V , ~x tendra otras coordenadas distintasa las anteriores. Como, a veces, hay que realizar cambios de base en los espacios vectoriales,nos preguntamos:¿que relacion guardan las coordenadas del vector respecto de ambas bases ?

Este problema se podra resolver si se conocen las relaciones de dependencia entre losvectores de las dos bases, es decir, cuando se conozcan las coordenadas de los vectores de unabase respecto de los de la otra.

Sean B = {~u1, ~u2, ..., ~un}, B′ = {~v1, ~v2, ..., ~vn} bases de V . Supongamos que~vj = aj1~u1 + aj2~u2 + ... + ajn~un =

∑ni=1 aji~ui (j = 1, ..., n). En estas condiciones,

cualquier vector ~x ∈ V puede expresarse en una u otra base de la siguiente manera:

En B, ~x = x1~u1 + x2~u2 + ... + xn~un =n∑

i=1

xi~ui

En B′, ~x = x′1~v1 + x′

2~v2 + ... + x′n~vn =

n∑

j=1

x′j~vj

donde (x1, x2, ..., xn) son las coordenadas de ~x en la base B y (x′1, x′

2, ..., x′n) son las

coordenadas de ~x en la base B′. En consecuencia:

~x =n∑

j=1

x′j~vj =

n∑

j=1

x′j

( n∑

i=1

aji~ui

)=

n∑

i,j=1

ajix′j~ui =

n∑

i=1

( n∑

j=1

x′jaji

)~ui =

n∑

i=1

xi~ui




es decir:

xi =n∑

j=1

ajix′j , ∀ i = 1, ..., n

que son las relaciones buscadas entre ambas coordenadas. Explıcitamente:

x1 = a11x′1 + a21x

′2 + ... + an1x

′n

x2 = a12x′1 + a22x

′2 + ... + an2x

′n

...xn = a1nx′

1 + a2nx′2 + ... + annx′

n

Problemas

Sistemas de Ecuaciones Lineales

1. Resolver, cuando sea posible, los sistemas:

a)

x1 +x2 +x3 = 0−2x1 +3x2 −x3 = −4

3x1 −2x2 +x3 = 2b)

x1 +x2 −x3 +x4 +x5 = 2x1 −2x2 +x4 = 5

−x1 +x3 +2x5 = 33x2 +x3 −2x4 = −1

c)

x1 +x2 +2x3 = 03x1 −x2 −2x3 = 0−x1 −2x2 +x3 = 0

d)

x1 +x2 −x3 −2x4 +3x5 = 0−x1 +2x2 +2x3 +3x4 −2x5 = 02x1 −x2 −x3 +x4 +x5 = 02x1 +2x2 −2x3 −x4 −2x5 = 0

e)

x1 +2x2 −3x3 = 0−2x1 −x3 = −3−x1 +x2 = 0

−2x2 +4x3 = 4

2. Utilizando el metodo de Gauss, estudiar los sistemas segun los parametros y resolverloscuando sea posible:

a)

mx1 −x2 +x3 = 2x1

x1 +2mx2 −mx3 = x2

x1 +mx2 −x3 = 0b)

x1 +ax2 +x3 = a + 2x1 +x2 +ax3 = −2a − 2

ax1 +x2 +x3 = a

c)

2x1 +x2 = a4x1 +2x2 = 1 + b5x1 +3x2 = 2

d)

x1 +ax2 +a2x3 = 1x1 +ax2 +abx3 = a

bx1 +ax2 +a2bx3 = a2b

e)

(a + 1)x1 +x2 +x3 = 1x1 +(a + 1)x2 +x3 = bx1 +x2 +(a + 1)x3 = b2




CAMBIO DE BASE

3. Una industria utiliza tres maquinas en la elaboracion de cuatro productos diferentes.Las maquinas se utilizan a pleno rendimiento 8 horas al dıa. El numero de horas quecada maquina necesita para elaborar una unidad de cada producto es:

Producto 1 Producto 2 Producto 3 Producto 4

Maquina 1 1 2 1 2Maquina 2 2 0 1 1Maquina 3 1 2 3 0

¿Cual es el numero de unidades de cada producto que elaborara la industria en un dıa?

4. Tres productos X, Y y Z, tienen los siguientes porcentajes de Fe, Zn y Cu:

Fe Zn Cu

X 50 30 20Y 40 30 30Z 30 70 0

¿Cuanto de cada producto debe combinarse para obtener un nuevo producto que con-tenga 44 % de Fe, 38 % de Zn y 18 % de Cu?

5. Consideremos la siguiente red de calles de una direccion:

� � � �

- - - -

?

6

?

?

6

?

?

6

?

400 x6 x7 450

500 x1 x2 600

350 600 400

x3 x4 x5

300 200 100

F E D

A B C

Los numeros indican la cantidad de coches/hora que pasan por ese punto. Las variablesx1, x2, . . . , x7, representan el numero de coches/hora que pasan de la interseccion A a laB, de la B a la C, etc. Suponiendo que en las calles esta prohibido aparcar, ¿que valorestomaran las variables x1, x2, . . . , x7 en los siguientes casos?




a) Hay obras en la calle de D a E y por tanto queremos que en ese tramo el trafico seamınimo.

b) Analogamente, hay obras en la calle de D a F .

6. En una red telefonica como la de la figura las centrales A, B, y C se encargan dedistribuir las llamadas a la central D. Los numeros que aparecen en la figura son lasllamadas/hora que entran o salen de las centrales A, B, C y D.

-

?

-

?

��

��

��

@@

@@

@@R

��

��

��

@@

@@

@@R

@@

@@

@@

@@

@@

@@R

@@

@@

@@R

C D

A B

x5

x4

x3

x1 x2

α

150 850

250

a) Hallar el valor de α que hace que sea posible la distribucion de llamadas.

b) Para dicho valor de α, hallar el numero de llamadas por cada tramo, si por unaaverıa en la lınea, se quiere que en el tramo BD el transito sea mınimo.

Espacios vectoriales

1. Determinar cuales de los siguientes subconjuntos de Rn son subespacios vectoriales:

a) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 = 0}b) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 ≥ 0}c) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 + 2x2 = 0}d) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1 + 2x2 = 1}e) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | mi < xi < Mi, i = 1, 2, . . . , n} donde mi y Mi son constantes.

f) {(x1, . . . , xn) ∈ Rn | x1x2 = 0}g) Polinomios P (x) tales que P (0) = 1

2. Establecer la dependencia o independencia lineal de los siguientes conjuntos de vectores:




CAMBIO DE BASE

a) {(1, 0,−1, 0), (2, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 1)}b) {(1, 2,−1), (1, 0,−3), (3, 10, 1)}c) {(a, 1, 0), (1 − a, 1 + a, 2), (5a + 1, 1 − 2a,−a − 2)}d) {(1, 4, a, b), (1, 2,−1, 2), (0, 1, 2, 1)}

3. Determinar λ y µ para que el subespacio de R4

L =< (λ, 0, λ, 0), (3, µ, 1, µ), (1, 1, 0, 1) > tenga dimension 2 o dimension 3.

4. Hallar una base de los siguientes subespacios de R4:

a) El subespacio formado por los vectores cuyas coordenadas suman 0.

b) El subespacio formado por los vectores (a, b − a, a + b, b) con a y b en R.

5. Sean U1 =< (1, 2, 1, 0, 1) , (1, 0, 1, 2, 1) , (3, 2, 3, 4, 3) , (7, 4, 7, 10, 7) > yU2 = {(x1, x2, x3, x4, x5) | x1 − x2 = 0 , x2 + x4 = 0}. Hallar:

a) Base y dimension de U1 y U2

b) Base y dimension de U1 + U2 y U1 ∩ U2

c) ¿Es (1, 2, 1, 2, 1) combinacion lineal de (1, 2, 1, 0, 1) y (1, 0, 1, 2, 1)?

d) ¿Existen α, β, γ ∈ R tal que (α, β, γ, 0, γ − β) ∈ U2 ?

e) ¿< (1, 2, 1, 0, 1) , (1, 0, 1, 2, 1) >=< (3, 2, 3, 4, 3) , (7, 4, 7, 10, 7) >?

6. En el espacio vectorial R3 se considera el sistemaS = {(1, 1, a), (1, a, 1), (a, 1, 1)} referido a la base canonica. Estudiar en funcion de ala dimension del subespacio engendrado por S, L(S).

7. Dados los vectores de R4 :(1, 1, 1, 1), (1, 2,−1, 0), (1,−1, 5, α), (1, 0, β, 2)

a) Calcular el numero de vectores independientes segun los valores de α y β y am-pliarlo en cada caso a una base de R4.

b) Para α = 3, β = 1, dar condiciones que debe verificar un vector ~x = (x1, x2, x3, x4),que verifica tambien x1 + x2 + x3 = 0;x4 = 0, para que sea dependiente con ellos.

c) Dada M = {x1 + x2 + x3 = 0;x4 = 0}, hallar otra variedad N que verifique:M + N = {x1 + x2 + x3 = x4}M ∩ N = {x4 = 0;x1 + 2x2 = 0;x1 + 2x3 = 0}

8. Extender a una base de R4 los siguientes conjuntos de vectores:




a) {(1, 0,−1, 2), (2, 0, 3, 1)}b) {(1, 0, 1, 1), (−1,−1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)}

9. Hallar dos complementos en R3 del subespacioV = {(x, y, z) ∈ R3 | 5x + y + z = 0}.

10. En R3, consideramos el subespacio U = {(x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = 0} referido a labase canonica.

a) Obtener las ecuaciones implıcitas de U referido a la base {(1, 2, 1), (2, 0, 0), (−1, 0, 1)}

11. Sean L1 = L( ~u1, ~u2, ~u3), con ~u1 = (2, 1, 0,−1), ~u2 = (1,−1, 0, 0), ~u3 = (1, 1, 1, 1),y L2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x + y = 0, z − t = 0}. Hallar ecuaciones parametricas eimplıcitas de L1, L2, L1 + L2 y L1 ∩ L2

12. Sea V el subespacio de R4 dado por las ecuaciones parametricas:

x = α −β +2γy = 2α +βz = 2α −7γt = β +γ

Determinar una base, la dimension y unas ecuaciones implıcitas de V .

13. Sean B1 = { ~u1, ~u2, ~u3} y B2 = {~v1, ~v2, ~v3} bases de V , sabiendo que~u1 = 2~v1 − ~v2 , ~u2 = ~v1 − ~v3 , ~u3 = ~v2 + 2~v3. Hallar:

a) Ecuacion del cambio de base

b) Sabiendo que ~v = (3, 2, 1) en B1, calcular las coordenadas de ~v en B2

c) Sabiendo que ~v = (1, 0, 1) en B2, calcular las coordenadas de ~v en B1

14. Sea U = {(x, y, z) ∈ R3 | x+y−z = 0, x−2y = 0} subespacio vectorial de R3, referidoa la base canonica. Calcular las ecuaciones de U con respecto a la baseB = {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1)}

15. Sean B1 = { ~u1(1, 0, 0), ~u2(0, 1, 1), ~u3(1, 0, 1)} yB2 = {~v1(0, 0, 1), ~v2(0, 1, 1), ~v3(1, 1, 0)} bases de R3 y sea




CAMBIO DE BASE

U = {(x, y, z) ∈ R3 | x− y = 0, x + y = 0} subespacio vectorial de R3 cuyas ecuacionesestan referidas a B1. Se pide:

a) Ecuaciones de U en B2

16. Consideramos V y W subespacios vectoriales de R3, dados por:V = {(x, y, z) | x = α+γ, y = µ+γ, z = α+µ+2γ} y W = {(x, y, z) | x−y+2z = 0}.Se pide:

a) Base de V

b) Base de V + W

c) Base de V ∩ W

d) Ecuacion implicıta de V ∩ W

e) Coordenadas del vector (2,3,5) respecto de la base V + W obtenida en b).

f) Base de un espacio suplementario de V + W .

17. Sea B = {~e1, ~e2, ~e3}, base canonica de R3 y B′ = {~e1′, ~e2

′, ~e3′} base de R3 dada por

~e1′ = 2~e1 − ~e2 − ~e3, ~e2

′ = ~e2, ~e3′ = 2~e2 + ~e3. Obtener las ecuaciones parametricas,

dimension y base del subespacio S formado por los vectores que tienen las mismascoordenadas respecto a B y B′, ası como un subespacio complementario.



Tema 2

Espacio Vectorial Euclıdeo.

Mınimos cuadrados

En el tema anterior estudiamos el Espacio Vectorial Rn, donde definimos las operaciones desuma de vectores y producto de un vector por escalares. En este tema introducimos una nuevaoperacion: producto escalar entre vectores. De esta nueva operacion se derivan los conceptosde modulo (longitud) de un vector y angulo que forman dos vectores, y en consecuencia, losconceptos de distancia y ortogonalidad geometrica como se intuye en R2 y R3.

Definiremos con esto la ortogonalidad entre subespacios y como resultado principal vere-mos que Rn es suma directa de cualquier subespacio vectorial y su ortogonal. Como conse-cuencia, podremos calcular la distancia mınima de un vector a un subespacio F , y el vectorde F donde se alcanza dicho mınimo: la proyeccion ortogonal sobre F .

Todo el estudio realizado sobre el espacio vectorial euclıdeo lo utilizaremos para construirsoluciones aproximadas, optimas en el sentido de lo que denominaremos mınimos cuadrados,de sistemas de ecuaciones lineales incompatibles.

2.1. Producto escalar. Norma y distancia euclıdea

Definicion 85. Sea V un espacio vectorial sobre R. Un producto escalar o interno sobreV es una aplicacion tal que a cada par de vectores ~x e ~y de V le asigna un numero real, quedenotaremos por ~x · ~y, de manera que para cualesquiera ~x, ~y, ~z ∈ V , y cualquier k ∈ R sesatisfacen las siguientes propiedades:

1. ~x · ~x ≥ 0 ~x · ~x = 0 ⇔ ~x = ~0

2. ~x · ~y = ~y · ~x

3. ~x · (~y + ~z) = ~x · ~y + ~x · ~z

4. (k~x) · ~y = k(~x · ~y)

Un espacio vectorial en el que se ha definido un producto escalar se llama espacio vec-torial euclıdeo. Todo espacio vectorial de dimension finita puede dotarse de un productoescalar y convertirse por tanto en espacio vectorial euclıdeo.

125

TEMA 2. ESPACIO VECTORIAL EUCLIDEO. MINIMOS CUADRADOS

Ejemplo 86. Cuando V = Rn, podemos definir la siguiente operacion entre vectores (com-probar que se trata de un producto escalar): si ~x, ~y ∈ V , con ~x = (x1, ..., xn), ~y = (y1, ..., yn),entonces

~x · ~y = x1y1 + ... + xnyn.

Observemos que si escribimos los vectores ~x e ~y como matrices columna, x =

x1...

xn

, y =

y1...

yn

, se tiene que ~x ·~y = xty = (x1 . . . xn)

y1...

yn

, donde recordemos que para una matriz

A, su matriz transpuesta At es la resultante de cambiar filas por columnas.

Definicion 87. Sea V un espacio vectorial donde se ha definido un producto escalar, llama-mos norma o modulo de un vector ~x ∈ V al siguiente numero real

‖~x‖ = +√

~x · ~x

A los vectores ~x ∈ V que satisfagan ‖~x‖ = 1 se les llamara vectores unitarios.

A partir de la definicion y de las propiedades del producto escalar es facil comprobar lassiguientes propiedades de la norma: para cualesquiera ~x, ~y ∈ V y k ∈ R se satisface:

1. ‖~x‖ = 0 si y solo si ~x = ~0

2. ‖k~x‖ = |k| · ‖~x‖

3. (Desigualdad triangular) ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖ + ‖~y‖

4. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) |~x · ~y| ≤ ‖x‖ ‖y‖, y la igualdad se da si ysolo si ~x e ~y son proporcionales.

5. (Ley del paralelogramo) ‖~x + ~y‖2 + ‖~x − ~y‖2 = 2(‖~x‖2 + ‖~y‖2

).

A partir de la norma, vamos de definir una distancia en Rn, la distancia euclıdea: Dados~x, ~y ∈ V , llamaremos distancia entre ~x e ~y, y la denotamos por d(~x, ~y), al numero positivo

d(~x, ~y) = ‖~x − ~y‖(

por tanto ‖~x‖ = d(~x,~0))

.

A partir de las propiedades de la norma se deduce que para cualesquiera ~x, ~y, ~z ∈ V , ladistancia satisface:

1. d(~x, ~x) = 0

2. d(~x, ~y) = d(~y, ~x) (simetrıa)

3. d(~x + ~z, ~y + ~z) = d(~x, ~y) (invarianza por traslacion)

4. d(~x, ~y) ≤ d(~x, ~z) + d(~z, ~y) (desigualdad triangular).



2.2. ORTOGONALIDAD. PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE SUBESPACIOS

Todo espacio vectorial que tenga definida una distancia recibe el nombre de espaciometrico.

Para finalizar esta seccion definimos la distancia de un vector ~x a un subespacio F como

d(~x, F ) = mın {d(~x, ~y); ~y ∈ F} = mın {‖~x − ~y‖; ~y ∈ F} .

En la siguiente seccion encontraremos el vector de F donde se alcanza el mınimo anterior,y calcularemos, por tanto, la distancia de un vector a un subespacio.

2.2. Ortogonalidad. Proyecciones ortogonales sobre subespa-

cios

Es bien conocido que para hallar la mınima distancia desde un punto a un plano en elespacio tridimensional, hay que proyectar perpendicularmente dicho punto sobre el plano.Extenderemos por analogıa dicha nocion a un espacio vectorial euclıdeo: la distancia de unvector a un subespacio vectorial se obtiene proyectando ortogonalmente el vector sobre dichosubespacio. Daremos sentido a esta expresion:

En esta seccion definiremos el ortogonal de un subespacio vectorial F . Veremos que cual-quier espacio vectorial se puede descomponer como suma directa de un subespacio y su orto-gonal (que denotaremos por F⊥), esto es, V = F ⊕F⊥. Por tanto, F y F⊥ son complementa-rios. Esta descomposicion nos permitira definir la proyeccion ortogonal de un vector sobre unsubespacio.

Definicion 88. Dos vectores ~x, ~y ∈ V son ortogonales o perpendiculares, (~x ⊥ ~y), si suproducto escalar el cero. Es decir,

~x ⊥ ~y =⇒ ~x · ~y = 0.

Nota: En R2 y R3, el producto escalar de dos vectores es el producto de los modulos porel coseno del angulo que forman:

~x · ~y = ‖x‖ ‖y‖ cos ~x~y.

Con esta definicion podemos dar la siguiente version del teorema de Pitagoras

Teorema 89 (Pitagoras.). Sea V un espacio vectorial euclıdeo. Si ~x e ~y son vectoresortogonales en V , entonces

‖~x + ~y‖2 = ‖~x‖2 + ‖~y‖2.

En general, si ~x1, ~x2, . . . , ~xr son ortogonales dos a dos, entonces

‖~x1 + ~x2 + · · · + ~xr‖2 = ‖~x1‖2 + ‖~x2‖2 + · · · + ‖~xr‖2.

Definicion 90. Un conjunto de vectores no nulos {~x1, ~x2, . . . , ~xn} forman un sistema or-tonormal si

(a) son ortogonales dos a dos, es decir, ~xi · ~xj = 0, ∀i 6= j,




(b) los vectores son unitarios, esto es, ‖~xi‖ = 1 ∀i.

Ejercicios:

1. Demostrar que en un espacio vectorial euclıdeo, todo conjunto ortonormal de vectoreses linealmente independiente.

2. Comprobar que los vectores de la base canonica de Rn, B = {~e1, ~e2, ..., ~en}, forman unsistema ortonormal.

Sea F un subespacio de un espacio vectorial euclıdeo V . Se llama ortogonal de F , yse escribe F⊥, al conjunto de los vectores que son ortogonales a todos los vectores de F , estoes,

F⊥ = {~x ∈ V / ~x · ~y = 0, ∀ ~y ∈ F}.Ejercicio: Comprueba que F⊥ es un subespacio vectorial.

Ejemplo 91. Sea F =< (1, 1, 1, 0), (0, 1,−1, 0) > ⊂ R4. Vamos a calcular las ecuacionesimplıcitas del subespacio F⊥. Por definicion,

F⊥ = {~x ∈ R4 / ~y · ~x = 0, ∀ ~y ∈ F}.

Por las propiedades de linealidad de los subespacios vectoriales, basta con calcular los vectoresque son ortogonales a los de una base de F . En nuestro caso, tomamos

BF = {(1, 1, 1, 0), (0, 1,−1, 0)} = {~v1, ~v2} .

Un vector ~x = (x1, x2, x3, x4) pertenecera a F⊥ si ~v1 · ~x = 0 y ~v2 · ~x = 0. Escribiendo losvectores en forma matricial, se tendra que verificar

(1 1 1 0)

x1

x2

x3

x4

= 0, (0 1 − 1 0)

x1

x2

x3

x4

= 0;

o lo que es lo mismo,

(1 1 1 00 1 −1 0

)

x1

x2

x3

x4

=

(00

)

(x1 + x2 + x3

x2 − x3

)=

(00

),

con lo que encontramos las ecuaciones implıcitas de F⊥

F⊥ ={~x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | x1 + x2 + x3 = 0, x2 − x3 = 0

}.

Resolviendo el sistema homogeneo obtendrıamos las ecuaciones parametricas de F⊥.Recıprocamente, dado un subespacio vectorial en forma de ecuaciones implıcitas, podemos

obtener una base del ortogonal tan solo fijandonos en los coeficientes de las ecuaciones. Por



2.2. ORTOGONALIDAD. PROYECCIONES ORTOGONALES SOBRE SUBESPACIOS

ejemplo, para hallar (F⊥)⊥, el ortogonal de F⊥, nos fijamos en los coeficientes de susecuaciones implıcitas:

Ec,1 : x1 + x2 + x3 = 0 Coeficientes de las incognitas −→ (1, 1, 1, 0)Ec,2 : x2 − x3 = 0 Coeficientes de las incognitas −→ (0, 1,−1, 0).

Entonces,(F⊥)⊥ =< (1, 1, 1, 0), (0, 1,−1, 0) >. Observamos que (F⊥)⊥ = F . Esta es una

de las propiedades que enunciamos en el siguiente teorema:

Teorema 92. Sean F y G subespacios vectoriales de V. Se verifican las siguientes propieda-des:

(a) F⊥ es un subespacio de V .

(b) (F + G)⊥ = F⊥ ∩ G⊥ .

(c) F = (F⊥)⊥.

(d) Si F ⊂ G, entonces, G⊥ ⊂ F⊥.

(e) (F ∩ G)⊥ = F⊥ + G⊥.

Veamos ahora que un subespacio y su ortogonal son complementarios. Esto nos permiteescribir un espacio vectorial V como suma directa de un subespacio y su ortogonal. Comodijimos al principio de esta seccion, esta descomposicion nos permitira definir la proyeccionortogonal de un vector sobre un subespacio.

Teorema 93. Sean V un espacio vectorial euclıdeo, y F un subespacio de V , entoncesV = F ⊕ F⊥, es decir:

F ∩ F⊥ = {~0} V = F + F⊥.

Ejercicio: Comprobar que R4 = F ⊕ F⊥, con F es subespacio vectorial dado en elEjemplo 91.

Como consecuencia del teorema anterior, cualquier vector ~x ∈ V se puede descomponercomo suma de dos vectores, ~x = ~v1 + ~v2, con ~v1 ∈ F y ~v2 ∈ F⊥.

Definicion 94. Sean V un espacio vectorial euclıdeo, F un subespacio de V y ~x ∈ V. Siescribimos ~x = ~v1 + ~v2, con ~v1 ∈ F, ~v2 ∈ F⊥, la proyeccion ortogonal de ~x sobreF ( resp. sobre F⊥) es el vector ~v1 ∈ F , (resp. el vector ~v2).

Escribiremos ∀ ~x ∈ V, ~x = ~v1 + ~v2, con ~v1 ∈ F, ~v2 ∈ F⊥

~v1 = PF (~x) ~v2 = PF⊥(~x).

Observemos entonces que el vector proyeccion ortogonal de ~x sobre F , PF (~x), es aquel talque ~x − PF (~x) es ortogonal a todos los vectores de F.

La proyeccion ortogonal de un vector sobre un subespacio nos permite calcular la distanciadel vector a dicho subespacio:




Teorema 95 (Teorema de la mejor aproximacion). El vector PF (~x) ∈ F es el mascercano al vector ~x, esto es,

d(~x, F ) = mın {‖~x − ~y‖; ~y ∈ F} = ‖~x − PF (~x)‖

por tanto, ‖~x − PF (~x)‖ ≤ ‖~x − ~y‖ ∀ ~y ∈ F .

Para concluir esta seccion, vamos a definir tres subespacios vectoriales que se obtienen deuna matriz:

Sea A ∈ Mm×n(R). Se definen los siguientes espacios fundamentales de A:

Espacio fila: es el subespacio vectorial de Rn engendrado por los vectores cuyas coor-denadas coinciden con los elementos de las filas:

F(A) =< ~f1, ~f2, . . . , ~fm > .

Espacio columna: es el subespacio vectorial de Rm engendrado por los vectores cuyascoordenadas coinciden con los elementos de las columnas:

R(A) =< ~c1, ~c2, . . . , ~cn > .

Notese que R(A) = {x1~c1 + x2~c2 + · · · + xn~cn, ∀(x1, . . . , xn) ∈ Rn}, escrito en formamatricial serıa

R(A) = {

......

...c1 c2 · · · cn...

......

x1...

xn

, ∀(x1, . . . , xn) ∈ Rn} = {A~x / ∀~x ∈ Rn}.

Espacio nulo: es el subespacio vectorial de Rn definido por

N (A) = {~x ∈ Rn / A~x = ~0}.

Se satisfacen las siguientes condiciones de ortogonalidad entre los subespacios fundamen-tales de una matriz.

1. N (A) = (F(A))⊥, por tanto, F(A) = (N (A))⊥.

2. N (At) = (R(A))⊥, por tanto, R(A) = (N (At))⊥.

Observemos que en el ejemplo 91, para obtener F⊥ lo que se hizo fue hallar el espacio

nulo de la matriz A =

(1 1 1 00 1 −1 0

), cuyas filas son los vectores de una base de F . Por

tanto, F⊥ = N (A).



2.3. APROXIMACION POR MINIMOS CUADRADOS. APLICACIONES

2.3. Aproximacion por mınimos cuadrados. Aplicaciones

Para el desarrollo de esta seccion consideraremos los vectores de Rm como matrices colum-nas de m componentes, por tanto, a partir de ahora no escribiremos con notacion vectorial(~x). Sea A una matriz real de m filas y n columnas, y b un vector columna de m compo-nentes. Si m > n, el sistema Ax = b sera, en general, incompatible: hay mas ecuaciones queincognitas. Cuando el sistema sea incompatible, no existe solucion exacta, pero buscaremosuna “solucion aproximada”x0: la que hace mas pequena la distancia entre Ax y b; es decir,la que minimiza el error E2 = ‖Ax− b‖2 , que recibe el nombre de desviacion cuadratica.

Diremos por tanto que x0 es una solucion en el sentido de los mınimos cuadradospara el sistema Ax = b si se verifica:

‖Ax0 − b‖ ≤ ‖Ax − b‖ ∀ x ∈ Rn.

Por tanto, nuestro problema se reduce a encontrar x0 tal que Ax0 sea el que mas seaproxime a b entre todos los elementos de la forma Ax, x ∈ Rn, esto es, buscamos x0 tal que

‖Ax0 − b‖ ≤ ‖y − b‖ ∀ y = Ax, x ∈ Rn. (2.1)

Recordemos que el espacio columna de A es R(A) = {Ax / ∀x ∈ Rn}, por tanto, podemosescribir (2.1) como sigue

‖Ax0 − b‖ ≤ ‖y − b‖ y ∈ R(A).

De esta manera, tenemos que encontrar Ax0, el elemento de R(A) que mas se aproximaa b. Por el teorema de la mejor aproximacion, se tiene que Ax0 =PR(A)(b), la proyeccion

ortogonal de b sobre R(A). En consecuencia, se deduce que el vector Ax0 − b ∈ R(A)⊥.Como Ax0− b ∈ R(A)⊥, y todos los elementos de R(A) son de la forma Ay , ∀ y ∈ IRn,

entonces,Ay · (Ax0 − b) = 0 ∀ y ∈ IRn

Teniendo en cuenta que el producto escalar en IRm se expresa matricialmente de la formax · y = xty obtenemos la expresion:

(Ay)t(Ax0 − b) = 0

de donde, sabiendo que (Ay)t = ytAt, llegamos a que

yt(AtAx0 − Atb) = 0.

Al ser esta expresion cierta para todo y ∈ IRn, es claro que el segundo factor vale cero, esdecir,

AtAx0 = Atb.

Estas ecuaciones, que siempre tienen solucion, se llaman Ecuaciones Normales de Gauss.Resumimos el proceso en el siguiente resultado:

Teorema 96. Sean A una matriz real de orden m×n y b ∈ IRm. Las siguientes condicionesson equivalentes:




(a) x0 es una solucion en el sentido de los mınimos cuadrados para el sistema Ax = b.

(b) Ax0 =PR(A)(b) (Ax0 es la proyeccion de b sobre el espacio columna).

(c) x0 es una solucion de las ecuaciones normales de Gauss AtAx0 = Atb.

Como hemos visto, el sistema de ecuaciones normales de Gauss es siempre compatible.Pueden ocurrir dos casos:

1. AtAx0 = Atb es compatible determinado (esto es, cuando AtA es invertible). Entonces,existe una unica solucion ( x0 = (AtA)−1Atb ), que es la solucion unica en el sentidode los mınimos cuadrados.

2. AtAx0 = Atb es compatible indeterminado (esto es, cuando AtA NO es invertible).Entonces, existen infinitas soluciones en el sentido de los mınimos cuadrados. En estecaso, elegimos aquella solucion que tiene norma mınima, a la que llamaremos solucionoptima. Es decir:

x0 es una solucion optima en el sentido de los mınimos cuadrados para el sistemaAx = b si es una solucion en mınimos cuadrados y ‖x0‖ ≤ ‖x‖ para cualquier otrasolucion en mınimos cuadrados x.

En el siguiente Teorema veremos que la solucion optima ası definida, es unica y perteneceal espacio fila de la matriz A. Como consecuencia, de las infinitas soluciones del sistema deecuaciones normales de Gauss, la solucion optima sera la que pertenece a F(A).

Teorema 97. Sea A una matriz real m × n y b ∈ IRm. Entonces las siguientes condicionesson equivalentes:

(a) x0 es una solucion optima en mınimos cuadrados para Ax = b.

(b) Ax0 = PR(A)b y x0 ∈ F(A) (o R(At)).

Ademas, en ese caso, x0 es la unica solucion optima.

Vamos a demostrar el teorema utilizando alguno de los resultados principales de esta sec-cion. (Por tanto, la comprension de esta demostracion implica la asimilacion de los conceptosutilizados).

Demostracion:

(a) =⇒ (b). Supongamos que x0 es la solucion optima, esto es,

Es solucion en el sentido de los mınimos cuadrados y

‖x0‖ ≤ ‖x‖ para cualquier otra solucion x en el sentido de los mınimos cuadrados.

Consideramos el espacio nulo de A, N (A). Descomponemos el vector x0:

x0 = x + y x ∈ N (A), y ∈ (N (A))⊥ .

Veamos que y tambien es solucion en el sentido de los mınimos cuadrados:




Como x ∈ N (A), se tendra que Ax = 0. Por tanto, si multiplicamos a la izquierda en laigualdad anterior por A, obtenemos:

Ax0 = Ax + Ay = Ay.

Por el Teorema 96, se tiene que Ax0 = PR(A)b, luego de la igualdad anterior se obtieneque Ay = PR(A)b. Por tanto y tambien es solucion en el sentido de los mınimos cuadrados.

Como x ∈ N (A) y y ∈ (N (A)))⊥, se tiene que x⊥y. Por el teorema de Pitagoras:

‖x0‖2 = ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2 ≥ ‖y‖2.

Pero x0 era la solucion optima, por tanto, ‖x0‖ ≤ ‖y‖. Deducimos entonces que x0 = y ∈(N (A))⊥ = F(A).

Ejercicio: Demostrar el recıproco.

Aplicacion: Regresion

Existen muchos fenomenos de las ciencias experimentales en los que intervienen dos va-riables, x e y, de las que se sabe que estan relacionadas, pero no se conoce cual es la funciony = f(x) que expresa su dependencia. Nuestro problema consiste en determinar la mejorexpresion matematica o lınea geometrica para expresar los valores de dos variables (x,y)observadas.

Consideramos los pares de valores (xi, yi) observados en un fenomeno experimental (porejemplo, xi es la carga aplicada sobre una cierta estructura e yi es la deformacion que seproduce; yi es la distancia a un satelite que va camino de Marte y xi el tiempo; xi los costesde produccion en un proceso economico e yi los volumenes producidos con los precios y lasganancias). Al conjunto de pares (xi, yi), i = 1, 2, . . . , m se les denomina nube de puntos.

Ejemplo 98. Supongamos que hemos observado las alturas (en centımetros) de las plantas desoja en funcion de las semanas que hace que han germinado, y hemos obtenido los siguientesdatos:

xi (semanas) 1 2 3 4 5 6

yi (cm) 5 12 14 20 30 38

Podemos representar graficamente los pares (xi, yi), obteniendo la nube de puntos de nues-tro experimento:

-x

6y

| | | | | |1 2 3 4 5 6

−

−

−

−

10

20

30

40

•

• •

•

•

•




Si se admite que las variables x e y tienen una relacion lineal, la curva que mas se adaptaa los valores observados (xi, yi) es una recta (como en el ejemplo anterior): su ecuacion serıay = ax+b. Esta claro que como la funcion y = ax+b es solo una aproximacion, en general, larecta no parara por los puntos (xi, yi), por tanto la igualdad yi = axi + b no se va a cumplirpara ciertas parejas de datos, cualesquiera que sean a y b.

El sistema a resolver es:

ax1 + b = y1

ax2 + b = y2...

axm + b = ym

La regresion lineal consiste en calcular a0 y b0 de manera que la recta y = a0x + b0 esla que mejor se ajusta a la nube de puntos (xi, yi) en el sentido de los mınimos cuadrados.Para ello, buscamos la solucion del sistema anterior en el sentido de los mınimos cuadrados.Obtendremos dos valores a0 y b0, y con esto, la recta y = a0x+b0, que denominaremos rectade regresion de y sobre x.

Ejemplo 99. Calculemos la recta de regresion en el ejemplo 98. Buscamos valores a, b solu-cion en el sentido de los mınimos cuadrados del sistema

a + b = 52a + b = 123a + b = 144a + b = 205a + b = 306a + b = 38

matricialmente−→

A

(ab

)= m

1 12 13 14 15 16 1

(ab

)=

51214203038

.

Calculamos el sistema de ecuaciones normales de Gauss AtA

(ab

)= Atm:

(91 2121 6

)(ab

)=

(529119

).

Es un sistema compatible determinado, por lo que se obtienen los valores a0 = 457 , b0 =

−83 . Ası, la recta de regresion resultante es

y =45

7x − 8

3.

Observaciones.

Supongamos que tenemos un experimento en el que la curva que mejor se adapta a lanube de puntos es una parabola. En este caso, aplicamos el procedimiento anterior parabuscar los coeficientes a, b y c, del polinomio

y = ax2 + bx + c.

En general, puede aplicarse el procedimiento al problema de la regresion polinomica,y = a0 +a1x+ · · ·+anxn (en este caso la matriz que se obtiene es de orden m×(n+1)).




Algunos ajustes no lineales pueden reducirse a ajustes lineales. Por ejemplo, y = aebx

se reduce a un ajuste lineal tomando logaritmos: log(y) = log(a) + bx.

Se pueden resolver tambien ajustes con mas variables, como por ejemplo: z = ax+by+c.

Analogamente se puede buscar la recta de regresion de x sobre y de la forma x = αy+β.En general, ambas rectas no tienen por que ser iguales. En la recta de regresion y = ax + blas distancias se miden proyectando el punto verticalmente sobre la recta, mientras que en larecta x = αy + β las distancias se miden proyectando horizontalmente:

Ejemplo 100. Para los datos: (1, 1), (2, 4), (3, 3), se obtienen las siguientes rectas de regre-sion:

Recta de regresion de y sobre x: y = x + 2/3 .

Recta de regresion de x sobre y: x =3

7y +

6

7, de donde, despejando y, y =

7

3x − 2.

Recta de regresion de x sobre y Recta de regresion de y sobre x

El punto donde se cortan ambas restas se denomina punto de equilibrio, y sus coorde-nadas vienen dadas por la media de los datos. En este ejemplo, el punto de equilibrio de los

tres datos es: (media de xi, media de yi)=

(1 + 2 + 3

3,1 + 4 + 3

3

)= (2,

8

3).




Por ultimo, para aproximar los puntos por una recta, tambien podrıamos considerar larecta r que hace mınima la suma de los cuadrados de las distancias de cada punto a la recta:∑

i d((xi, yi), r)2. Estas distancias se miden proyectando el punto perpendicularmente sobre

la recta:

Recta de regresion generalizada

Problemas

1. Sea A ∈ Mm×n. Probar que en Rn los subespacios N (A) y F(A) son complementariosy ortogonales.

Comprobar lo anterior para la matriz A =

(1 0 21 1 4

)y descomponer el vector (3,3,3)

en suma de un vector de N (A) y otro de F(A).

2. Determınese en cada caso el espacio fila, columna y nulo de las matrices

A =

1 0 2 −10 1 2 31 2 0 −2

B =

d1 0 00 d2 00 0 d3

C =

1 1 11 1 11 −1 −1

3. (a) Hallar las ecuaciones implıcitas de F⊥ siendo F =< (1, 0, 1), (0, 1,−1) >.

(b) Hallar una base de G siendo las ecuaciones implıcitas de G⊥:

{x1 − x2 + x3 = 0x1 = 0

(c) Hallar una base de H⊥ siendo las ecuaciones implıcitas de H: x1 − 6x2 = 0

4. Sean F⊥ =< (1,−1, 2, 1), (0, 1,−2, 1), (1, 0, 0, 2) > y G =< (1, 1,−1, 0) >. Hallar:




(a) F y G⊥

(b) (F + G)⊥, (F ∩ G)⊥

5. Sea F =< (1, 1, 1, 0), (0, 1,−1, 0) >⊂ R4

(a) Comprobar que F + F⊥ = R4 y F ∩ F⊥ = {~0}.(b) Descomponer el vector (0,1,2,0) como suma de un vector de F y otro de F⊥.

(c) Demostrar que dicha descomposicion es unica.

6. Descomponer el vector (1,3,-1,4) en suma de dos vectores ~u + ~v siendo ~u proporcionala (2,1,0,1) y ~v ⊥ ~u.

7. Sean los subespacios referidos a la base canonica, U ={(x, y, z) ∈ IR3|x + z = 0, y + z = 0

}

y V ={(x, y, z) ∈ IR3|x = −α − β, y = α, z = β

}. Hallar

(a) Las ecuaciones implıcitas de U referidas a la base B = {(1, 2, 1), (2, 0, 0), (−1, 0, 1)} .

(b) Una base en la cual las ecuaciones implıcitas de U sean x = 0, y = 0.

(c) Una base y las ecuaciones implıcitas del subespacio U⊥ + V ⊥.

(d) La proyeccion ortogonal del vector (1, 2, 1) sobre el subespacio V ∩ U⊥.

8. Hallar la solucion optima del siguiente sistema

−x1 − 2x2 = 12x1 + 4x2 = 0x1 + 2x2 = 0

3x1 + 6x2 = 0

9. Tratar de ajustar mediante una recta y = c+dt los puntos y = 0, t = 2, e y = 6, t = 2.

10. Hallar por el metodo de los mınimos cuadrados la solucion optima de los sistemas:

a)

x1 + x2 + x3 + x4 = 2x1 + x2 + x3 + x4 = 3x1 + x2 + x3 + x4 = 4

b)

x1 + x2 = 2x1 − x2 = 0

2x1 + x2 = 2

c)

1 1 00 −1 11 0 −11 1 0

xyz

=

0003




11. Para los siguientes puntos, ajustar por el metodo de los mınimos cuadrados una rectay una parabola , comparando los errores correspondientes:

(a) (-1,-1), (0,1), (1,2) y (2,2)

(b) (-1,0), (0,3), (1,2) y (2,2)

12. Una pieza se estira hasta las longitudes de L= 5,6 y 7 metros bajo la aplicacion ,respectiva, de tres fuerzas de F= 1,2 y 4 toneladas. Suponiendo que se verifica la leyde Hooke L = a + bF , encontrar la longitud aproximada de la pieza.

13. Se supone que la produccion diaria de huevos en una granja esta relacionada con lascantidades de dos comidas fijas x1 y x2 por y = c1x1 + c2x2. Despues de realizar unexperimento se obtiene los siguientes datos :

x1 1 0 1 2 1

x2 0 1 1 1 2

y 4 5 6 5 4

¿Cuales son los mejores coeficientes c1 y c2 en el sentido de los mınimos cuadrados?

14. Calcular las rectas de regresion y = ax + b y x = αy + β para los datos:

x 1 2 3 4 5 6 7

y 2 3 1 4 6 7 5

15. Se lanza una pelota desde una altura inicial s0 con velocidad inicial v0. La altura enel instante t viene dada por s(t) = s0 + v0 + kt2. Ademas, sabemos que s(1) = 29,s(2) = 36, s(3) = 53, s(4) = 40. Calcular la altura de la pelota en el instante t2 = 20, 4.

16. Dados los cuatro puntos de R3 : (1, 2, α1), (0,−1, α2), (1, 2, α3) y (0,−1, α4),

(a) Encontrar el plano z = ax + by + c que mejor aproxima, en el sentido de los mıni-mos cuadrados, a dichos puntos.

(b) Hallar las condiciones sobre los αi que garantizan que el plano pasa por los cuatropuntos.



Tema 3

Diagonalizacion de Matrices

Introduccion

En los dos temas previos de este bloque hemos visto como problemas de la realidad sonescritos, tratados y resueltos a traves de espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones lineales.En realidad, son muchas las ocasiones en que un problema complejo, en el que intervienenvarias variables, se acaba simplificando en su planteamiento para hacer factible su resolu-cion, aunque esta sea aproximada. El caso mas simple consiste en linealizar el problema (lossistemas de ecuaciones lineales diferenciales y en diferencias se veran en el proximo tema),y para ello, igual que para la resolucion mas sencilla de un sistema de ecuaciones lineales,el elemento principal de trabajo es la matriz: el manejo de operaciones reiteradas sobre unamatriz requiere simplicidad de la misma.

La representacion matricial de un problema lineal no es mas que la definicion deuna funcion lineal de varias variables1 a traves de algunos de sus elementos (una base) y susvalores correspondientes, ya que por la linealidad se podra conocer en (extender a) todo elespacio vectorial. Veamoslo con un ejemplo.

Ejemplo 101. Tenemos tres pozos A, B y C que reciben agua de tres manantiales M1, M2 yM3. Cada litro de agua del manantial M1 se reparte entre los tres pozos en cantidades iguales;por cada litro procedente del manantial M2 caen 2/3 de litro en el pozo A, y la misma cantidaden los pozos B y C : 1/6 l. Finalmente, el manantial M3 solo vierte agua en el pozo C. Enel siguiente diagrama queda recogida la informacion:

Pozo A Pozo B Pozo C1l. M1 → 1/3 1/3 1/3,1l. M2 → 2/3 1/6 1/6,1l. M3 → 0 0 1.

Podemos “matematizar” la situacion diciendo que los vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1)

1Una aplicacion f : V → W es lineal si f(x + y) = f(x) + f(y) para todo x, y ∈ V , y f(kx) = kf(x) paratodo k ∈ K y todo x ∈ V . El nombre tecnico con que se designa una aplicacion lineal es homomorfismo, ycuando V = W es endomorfismo.

139

TEMA 3. DIAGONALIZACION DE MATRICES

(que representan el numero de litros proceden de cada manantial) tienen por imagen

(1/3, 1/3, 1/3), (2/3, 1/6, 1/6) y (0, 0, 1)

respectivamente (que representan el numero de litros que caen el los tres pozos). Podemoshablar pues de una funcion bien definida,

f : R3 → R3

donde las componentes del vector de partida, variable independiente, representan los litrosprocedentes de M1, de M2 y de M3 respectivamente, y el vector de llegada hace referencia alos litros que caen (resp.) en los pozos A, B y C.

Si el sistema de acueductos y acequias ha permitido que lleguen 6 l. de M1, 3 l. de M2 y4 l. de M3, es claro que la cantidad de agua que cae en el pozo A es 4 l. Los otros calculosson analogos, mantienen las proporciones, hay linealidad en el proceso. En forma matricial,la respuesta viene dada por:

(6 3 4)

1

3

1

3

1

32

3

1

6

1

6

0 0 1

= (2 + 2 2 +1

22 +

1

2+ 4) = (4

5

2

13

2),

o si multiplicamos por columnas (lo habitual), en vez de por filas, a traves de la matriztraspuesta:

1

3

2

30

1

3

1

60

1

3

1

61

634

=

45

213

2

.

Vemos ası que a cada aplicacion lineal podemos asociarle una matriz, simplificando la es-critura. Ademas, por cada base del espacio que escojamos, podemos dar una matriz diferente.

Asimismo, conviene recordar que, en general, para tratar un sistema lineal de ecuacioneses siempre deseable minimizar el numero de operaciones a realizar, transformando el problemaconvenientemente. Mientras mas elementos nulos tenga la matriz de coeficientes (y en todocaso unos, cuando no sean nulos), tanto mas facil se podra operar con ella (en eso consistıael Metodo de Reduccion de Gauss).

Analogamente, con respecto a aplicaciones lineales, mientras que inicialmente nos pode-mos encontrar matrices complicadas en terminos de bases sencillas (la canonica, generalmen-te), el problema que resolvemos en este tema es el inverso2:

2La necesidad de operaciones faciles con matrices, especialmente matrices elevadas a potencias grandes,se nos presentara, por ejemplo, al calcular la exponencial de una matriz, o al iterar sistemas acoplados dis-cretizados, que pueden representar desde modelos presa–depredador hasta sistemas estocasticos –cadenas deMarkov–, como veremos en el proximo tema.



Objetivo del tema: Buscar una base (en general no tan simple como la inicial) tal queel cambio de sistema de referencia en la aplicacion que usemos (esto es, hacer intervenir elcambio de base) permita una representacion matricial lo mas simple posible.

Concretamente, dado V un espacio vectorial de dimension finita (en el ejemplo anteriorera R3) y f una aplicacion lineal de V en sı mismo (endomorfismo), fijada una base de V ,existe una matriz cuadrada A ∈ Mn(K), de tal forma que f(x) = Ax, buscamos una nuevabase con la que representar matricialmente a f de una forma mas simple. Serıa optimo parael tipo de calculos que desarrollaremos en el proximo tema obtener como resultado final unamatriz diagonal (es decir, con todos sus elementos nulos fuera de la diagonal). Cuando seamoscapaces de resolver el problema (no siempre) diremos que hemos diagonalizado la matriz A.

En esencia, el metodo que seguiremos (que no es unico, por supuesto) consiste en buscarlos vectores “adecuados” (autovectores) que permitan expresar de la forma mas simple posiblela imagen por f , y que dichos vectores formen una base. Dado que haremos cambio de base,nos vamos a centrar en la diagonalizacion por semejanza, es decir, buscamos que la nuevamatriz del endomorfismo sea diagonal y semejante a la actual (vease la siguiente definicion).

Definicion 102. (Matrices semejantes) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n.Decimos que A es semejante a B si existe una matriz cuadrada P invertible tal que A =P−1BP .

Para dar sentido al concepto anterior, hay que entender como afecta a la representacionmatricial de un endomorfismo un cambio de base. Dadas dos bases, C y B′, de un mismoespacio vectorial de dimension finita, se puede expresar las coordenadas de una base respectode la otra (y viceversa). El proceso, guiado por una adecuada matriz de cambio (de C aB′ p.ej.), llamemosla P , admite pasos “inversos”, dicho de otro modo: algebraicamente, lasmatrices de cambio de base admiten matriz inversa, que denotamos por P−1, con las quePP−1 = P−1P =I, la matriz identidad.

Dado el endomorfismo f, y la base C, ¿cual es exactamente la forma matricial repre-sentante de f en dicha base? La matriz, AC , si elegimos “la multiplicacion por columnas,”viene dada, como en el Ejemplo 101, por los coeficientes aij procedentes de las siguientesexpresiones:

f(xi) =n∑

j=1

ajixj ,

siendo {x1, x2, . . . xn} los elementos de la base C. Matricialmente esto se lee f(x) = ACxC ,donde xC denota las coordenadas de x respecto de la base C.

¿Y si deseamos tener el representante matricial de f respecto de la base B′? Habra queobtener una matriz tal que al introducir coordenadas respecto de B′ calcule la imagen por fy la exprese en dicha base.

Matricialmente deberıa ser f(x) = AB′xB′ , donde xB′ denota las coordenadas de x res-pecto de la base B′. Si P es la matriz del cambio de base C a B′, debemos tener la igualdadP−1AB′P = AC . De modo que vemos como la informacion matricial con distintas bases hacereferencia simplemente al uso de matrices semejantes.




Ejercicio: Comprueba que se satisfacen las siguientes propiedades de las matrices seme-jantes (para algunas de las propiedades necesitas saber que el determinante del producto dedos matrices cuadradas es el producto de los determinantes)

1. Si A es semejante a B, entonces |A| = |B|.

2. Si A es semejante a B, Ak es semejante a Bk.

3. Si A es semejante a B y p(t) = cntn + cn−1tn−1 + ·c1t + c0 es un polinomio real con

coeficientes en R, entonces p(A), entendida como cnAn + cn−1An−1 + . . . + c1A + c0, es

semejante a p(B).

4. Si A es semejante a B y A es regular (esto es, su determinante es distinto de cero),entonces B es regular, y A−1 es semejante a B−1.

3.1. Autovalores y Autovectores. Propiedades

Consideramos dado un espacio vectorial V de dimension finita n y un endomorfismo f :V → V. ¿Que elementos resultan idoneos para elegirlos como parte de una base? Suponemosdada una base en V, y consideramos la matriz A representante de f en dicha base. Buscamosun vector cuya imagen sea proporcional a el mismo, de modo que si forma parte de la nuevabase, la matriz tendrıa una fila con un elemento en la diagonal y ceros en todos los demas.Esta idea es la que nos lleva a dar la siguiente definicion.

Definicion 103. (Autovalor y autovector) Dada una matriz A ∈ Mn(K), decimos queλ ∈ K es un autovalor o valor propio de A si ∃ x ∈ V, x 6= 0 / Ax = λx. En general, elcuerpo a considerar puede ser R o C.

Al vector x se le llama autovector o vector propio asociado al autovalor λ.

Evidentemente, si tenemos un autovalor para una matriz A, el autovector asociado no esunico (todos los proporcionales tambien lo son), de hecho, es facil ver que forman un conjuntoparticular tal y como senalamos en la siguiente definicion.

Definicion 104. (Subespacio propio) Al conjunto de todos los autovectores asociados aun autovalor λ junto con el vector 0 se le suele notar Aλ y se le llama subespaciopropio asociado al autovalor λ (de hecho, es un subespacio vectorial, es decir, suma deautovectores asociados a un mismo autovalor tambien es autovector, y lo mismo cabe esperardel producto de un escalar por un autovector; tambien se suele expresar como subespacioinvariante del endomorfismo).

Aλ = {x / Ax = λx} ∪ {0}

A continuacion enumeramos algunas propiedades sobre los autovalores (la mayorıa sonfaciles de probar, y se dejan como ejercicio):

1. Autovalores distintos, λ1 6= λ2, no tienen autovectores comunes: Aλ1∩ Aλ2

= {0}.Es decir, un autovector x admite solo un autovalor. (El recıproco, en general, no escierto.)



3.1. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. PROPIEDADES

De hecho, autovectores correspondientes a autovalores distintos son linealmente indepen-dientes (esta propiedad resulta esencial en lo que sigue): en efecto, consideramos unautovector x ∈ Aµ con µ 6= λ, otro autovalor. Veamos que x es no es combinacion linealde elementos de Aλ. De serlo, x = α1v1 + . . . + αmvm con v1, . . . , vm ∈ Aλ. Entoncesllegamos a la siguiente contradiccion:

0 6= (λ−µ)x = λ(α1v1+ . . .+αmvm)−Ax = α1Av1+ . . .+αmAvm−Ax = Ax−Ax = 0.

2. A y At tienen los mismos autovalores (para probarlo basta recordar que el determinantede una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta, y la formula de la siguienteseccion).

3. Si λ es autovalor de A, kλ es un autovalor de kA.

4. Si λ es un autovalor de A, λ − k es un autovalor de A − kI.

5. Si λ es un autovalor de A, y A es regular, 1λ es autovalor de A−1.

6. Si λ es autovalor de A, entonces λk es autovalor de Ak.

Polinomio caracterıstico

Nos proponemos a continuacion identificar facilmente a los autovalores de una matriz,usando lo que conocemos para sistemas de ecuaciones lineales.

Supongamos que λ ∈ K es un autovalor o valor propio de A, esto es, existe x ∈ V, x 6=0 / Ax = λx.Podemos escribir Ax − λx = 0 o sacando factor comun, (A − λI)x = 0.

Esta ultima relacion representa un sistema homogeneo. Recordemos que para que unsistema homogeneo admita solucion distinta de la trivial, debe ocurrir que el rango no seamaximo, o dicho de otro modo, que tras aplicar el metodo de reduccion de Gauss obtengamosal menos una fila completa de ceros, o equivalentemente (y lo que mas se suele usar paracalcularlo), que el determinante de la matriz del sistema sea cero. Por tanto, λ es autovalorde A si

| A − λI |= 0

Para obtener pues, los autovalores de A, bastara resolver la ecuacion | A− λI |= 0 , llamadaecuacion caracterıstica de A.

| A − λI |=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 − λ a12 · · · a1n

a21 a22 − λ · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= 0.

Al determinante, que desarrollado es simplemente un polinomio en λ de grado menor o igualque n, se le llama polinomio caracterıstico de A :

p(λ) = |A − λI| = cnλn + cn−1λn−1 + · · · + c1λ + c0.




Los autovalores de A son, pues, los ceros de K de su polinomio caracterıstico. 3

Nota: Para un breve repaso sobre el calculo de determinantes, necesario como forma masdirecta para calcular polinomios caracterısticos, vease el correspondiente apendice al final deltema.

Calculemos los autovalores para la matriz del Ejemplo 101:

p(λ) = |A − λI| =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1

3− λ

1

3

1

32

3

1

6− λ

1

6

0 0 1 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= (1 − λ)

[(1

3− λ

)(1

6− λ

)− 2

9

]

= (1 − λ)

(λ − 1

4−

√33

4

)(λ − 1

4+

√33

4

),

donde hemos elegido desarrollar el determinante por la tercera fila (para obtener mas facil-mente su factorizacion, que es el verdadero fin ultimo, mas que la obtencion del polinomio ensi, es decir, no se debe multiplicar inutilmente).

Por tanto, los autovalores de la matriz son λ1 = 1, λ2 =1

4+

√33

4y λ3 =

1

4−

√33

4.

Igual que el orden de una raız en un polinomio es importante para el signo, en general,habra distintas respuestas posibles (dimension de subespacios propios asociados) segun elorden de un autovalor como raız del polinomio caracterıstico asociado a una matriz. A esterespecto, dos nociones seran igualmente importantes. Introducimos la primera:

Definicion 105. (Multiplicidad algebraica) Si λ0 es una raız del polinomio caracterısticode A de multiplicidad α, se dira que λ0 es un autovalor de orden α de A, y a α se le llamamultiplicidad algebraica de λ, se suele notar ma(λ).

Nota Si el cero es autovalor, eso es que p(λ) = |A− λI| se anula cuando λ = 0, entoncesp(0) = |A| = 0. Recıprocamente, si el determinante de una matriz es no nulo, el cero no esautovalor.

Una vez resuelta la ecuacion caracterıstica y obtenidos los autovalores de A, para calcularlos autovectores habra que resolver el sistema (A − λiI)x = 0.

¿Que dimension tiene este subespacio vectorial? Igual que para el orden del autovalor, esenumero sera importante para responder a la cuestion de la diagonalizacion, como se vera enel Teorema 109. Al venir dado por los grados de libertad del sistema de ecuaciones linealhomogeneo (A − λI)x = 0, se tendra que

dim(Aλ) = dim(N(A − λI)) = dim(V ) − rg(A − λI).

3Todo polinomio de orden n tiene n raıces complejas, pero si el cuerpo K con el que estamos es R, puedeocurrir que no sean todos reales. Dicho de otro modo, todo autovalor es raız del polinomio, pero toda raız delpolinomio no es autovalor (si no esta en el cuerpo en que trabajamos, Q o R, sino en C).



3.1. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES. PROPIEDADES

Definicion 106. (Multiplicidad geometrica) Se llama multiplicidad geometrica deλ, y se denota mg(λ), al numero de autovectores linealmente independientes asociados aλ, o lo que es lo mismo, a dim (Aλ).

La multiplicidad geometrica del subespacio propio asociado a un autovalor no tiene por-que ser igual a la multiplicidad algebraica del autovalor. Considerese el siguiente ejemplo:

A =

(1 10 1

)tiene por unico autovalor a λ = 1, con multiplicidad algebraica 2. Sin embar-

go, el subespacio propio asociado tiene dimension 1: A1 = 〈(1, 0)〉.

En general, se cumple que

mg(λ) = dim (Aλ) ≤ ma(λ).

Obviamente sı es cierto que mg(λ) ≥ 1 si λ es autovalor. Previamente a la Definicion103 hemos introducido heurısticamente una de las ideas sobre como alcanzar el objetivo dela diagonalizacion de una matriz vıa semejanza: a traves de la busqueda de autovalores yautovectores en el modo descrito hasta ahora.

En el caso concreto en que haya n autovalores distintos para una matriz cuadrada n x n,hay consecuencias claras: habra n autovectores linealmente independientes entre sı (formaranuna base y por tanto la matriz sera diagonalizable, cf. Teorema 109).

Antes de dar con rigor el resultado de diagonalizacion, volvemos al Ejemplo 101, tenıamos

tres autovalores distintos: λ1 = 1, λ2 =1 +

√33

4y λ3 =

1 −√

33

4. Cada uno de ellos tiene

un subespacio propio asociado de dimension al menos uno, Aλ1, Aλ2

y Aλ3. Pero autovalo-

res distintos no tienen autovectores comunes, de hecho, autovectores de subespacios propiosdistintos son independientes entre sı como ya comentamos (propiedad 1, pagina 142). Comohay tres, llenan todo el espacio; cada subespacio propio tiene dimension exactamente uno: sepuede tomar una base del espacio formada por autovectores. Veamoslo:

Para el autovalor λ = 1 es claro que la ultima fila de la matriz genera una ecuacion quesobra, nos quedamos con las dos primeras:

A − I =

1

3− 1

1

3

1

32

3

1

6− 1

1

6

0 0 1 − 1

=

−2

3

1

3

1

32

3

−5

6

1

6

0 0 0

.

(A − I)x = 0 ⇒

−2

3

1

3

1

32

3

−5

6

1

6

0 0 0

x1

x2

x3

=

000

⇒ A1 = 〈(1, 1, 1)〉.

Para el autovalor λ2 =1 +

√33

4hay que tomar dos ecuaciones independientes (aquellas

que tengan un determinante 2x2 no nulo), por ejemplo las generadas por las filas segunda y




la tercera (o la primera y la tercera):

A − (1 +

√33

4)I =

1

3− λ2

1

3

1

32

3

1

6− λ2

1

6

0 0 1 − λ2

=

1

3− λ2

1

3

1

32

3

1

6− λ2

1

6

0 0 1 − λ2

.

Con esta matriz de coeficientes generamos el sistema de ecuaciones

(A − λ2I)x =

000

⇒

2

3

1

6− λ2

1

6

0 0 1 − λ2

x1

x2

x3

=

000

⇒ Aλ2= 〈(3

2(λ2 −

1

6), 1, 0)〉.

Sin mas que cambiar λ2 por λ3 tenemos que Aλ3= 〈(3

2(λ3 − 16), 1, 0)〉.

Como anticipabamos antes, un sistema formado por tres vectores pertenecientes a los tressubespacios obtenidos, asociados a tres autovalores distintos, tiene rango tres, y forman unabase del espacio:

H =

{(1, 1, 1),

(3

2

(λ2 −

1

6

), 1, 0

),

(3

2

(λ3 −

1

6

), 1, 0

)}.

Veamos por ejemplo que su determinante es no nulo:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1

3

2

(λ2 −

1

6

)1 0

3

2

(λ3 −

1

6

)1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

3

2

(λ2 −

1

6

)1

32

(λ3 −

1

6

)1

∣∣∣∣∣∣∣∣=

3

2

(λ2 −

1

6

)−3

2

(λ3 −

1

6

)=

3

2(λ2 − λ3) 6= 0.

Tras los conceptos de autovalor y autovector, y los comentarios iniciales hechos en laintroduccion, justo despues de la Definicion 102, sobre como usar una base u otra hace quela matriz representante de la aplicacion lineal cambie por otra semejante, resulta naturalpreguntarse si los autovalores y autovectores cambian cuando cambiamos de base. Responde-mos brevemente esta cuestion de “consistencia” para dar definitivamente el resultado sobrediagonalizacion.

Proposicion 107. Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n semejantes (pongamosA = P−1BP ). Entonces tienen el mismo polinomio caracterıstico y, por lo tanto, los mismosautovalores.

Los autovectores, en cambio, sı varıan segun la base: si x es un autovector de A asociadoal autovalor λ, entonces Px es autovector de B asociado al mismo autovalor.

La prueba es inmediata: el polinomio caracterıstico viene dado por |A − λI| = 0. Sus-tituyendo y aplicando que el producto de determinantes es el determinante del producto, yparticularmente que 1 = |I| = |P−1P | = |P−1||P |, concluimos que

|P−1BP − λI| = |P−1BP − λP−1P | = |P−1(B − λI)P | = |P−1||B − λI||P | = |B − λI|.Por otro lado, si x es un autovector, entonces se satisface

Ax = λx ⇒ P−1BPx = λx ⇒ BPx = λPx.



3.2. MATRICES DIAGONALIZABLES.

3.2. Matrices diagonalizables.

Hemos localizado todos los autovectores posibles para la matriz A de nuestro ejemplo apartir de sus tres autovalores. Comprobamos la relacion autovalor/autovector:

A

111

= λ1

111

,

A

32(λ2 − 1

6)10

= λ2

32(λ2 − 1

6)10

,

A

32(λ3 − 1

6)10

= λ3

32(λ3 − 1

6)10

,

o si escribimos todo junto en notacion matricial:

1

3

1

3

1

32

3

1

6

1

6

0 0 1

︸︷︷︸A

1 32(λ2 − 1

6) 32(λ3 − 1

6)

1 1 1

1 0 0

︸︷︷︸P

=

1 32(λ2 − 1

6) 32(λ3 − 1

6)

1 1 1

1 0 0

︸︷︷︸P

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

︸︷︷︸D

.

En el ejemplo concreto acabamos de resolver el problema de obtener otra expresion matri-cial semejante a A pero con todos los elementos fuera de la diagonal cero. Usando el cambiode base desde la base canonica C a H, o lo que es lo mismo, a traves de la matriz de paso P,hemos llegado (multiplicando la expresion anterior por la inversa de P , P−1) a P−1AP = D.

Comprueba que la inversa de la matriz de paso P viene dada por

P−1 =

0 0 14√

3399

12 −

√33

198 −7√

33198 − 1

2

−4√

3399

√33

198 + 12

7√

33198 − 1

2

.

Asimismo, puedes comprobar tambien que P−1AP = D.

Definicion 108. (Matriz diagonalizable) Sea A ∈ Mn(K). Diremos que A es diagonali-zable sobre K si es semejante a una matriz diagonal.

Dado un espacio vectorial V con una base B y en el un endomorfismo, este vendra repre-sentado por una matriz A. Si conseguimos encontrar una base B′ formada por autovectores,B′ = {x1, x2, · · · , xn} , ¿cual sera la matriz del endomorfismo en esta base?.

f(x1) = λ1x1 = (λ1, 0, 0, · · · , 0)f(x2) = λ2x2 = (0, λ2, 0, · · · , 0)f(x3) = λ3x3 = (0, 0, λ3, · · · , 0)

...f(xn) = λnxn = (0, 0, 0 · · · , λn)




La matriz del endomorfismo sera, pues, diagonal:

D =

λ1 0 0 · · · 00 λ2 0 · · · 00 0 λ3 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · λn

siendo D = P−1AP , con P la matriz del cambio de base, que resulta ser la matriz quetiene por columnas los autovectores de A colocados en el mismo orden en el que se colocanlos autovalores de f en la diagonal.

¿Es siempre posible encontrar dicha base? ¿De serlo, corresponde exclusivamente al casoen que haya n autovalores distintos?

En general, la respuesta a ambas cuestiones es NO. La condicion es que, relativo a cadaautovalor, haya tantos autovectores independientes para poner en la base como la multiplici-dad algebraica del autovalor al que estan asociados. Exactamente:

Teorema 109. Las condiciones necesarias y suficientes para que una matriz sea diagonali-zable sobre el cuerpo K son dos:

a) que el polinomio caracterıstico se pueda factorizar en el cuerpo base K en que trabaja-mos, y

b) que la multiplicidad de cada autovalor λ sea igual a la dimension del subespaciopropio asociado Aλ , es decir, que las multiplicidades algebraica y geometrica coincidanma(λ) = mg(λ).

En todo caso nos quedan dos cuestiones abiertas: como calcular la matriz inversa yque ocurre cuando una matriz no es diagonalizable. La primera cuestion, meramente decalculo, es tratada en un segundo apendice, al final del tema. Respecto a la segunda, es decir,la situacion general que se da con cualquier matriz cuadrada que queramos transformar enotra mas simple, la mejor respuesta que se puede dar es la obtencion de la forma canonicade Jordan.

3.3. Forma canonica de Jordan.

En el teorema anterior hemos visto cuando una matriz es diagonalizable. Ahora bien, esteresultado no es siempre aplicable (basta encontrar autovalores multiples cuya multiplicidadalgebraica no coincida con su multiplicidad geometrica, o bien que el polinomio caracterısticono se pueda factorizar en el cuerpo en que estemos trabajando).

Un ejemplo similar al dado tras la Definicion 106, pero de dimension arbitraria, es elsiguiente: la matriz cuadrada de orden m

J(m)λ =

λ 1 00 λ 1 0

0 λ 1 0. . .

. . .. . .

. . .

0 λ 1 00 λ 1

0 λ



3.3. FORMA CANONICA DE JORDAN.

no es diagonalizable (estas matrices se conocen con el nombre de bloques de Jordan).

El problema es que aunque λ tiene multiplicidad algebraica igual a n, no da lugar a nautovectores independientes sino a uno solo.

Finalizaremos con el mejor resultado que se puede obtener en general (para matrices nodiagonalizables): el Teorema de Jordan. Este teorema prueba que cualquier matriz cuadradaes semejante a una matriz formada por bloques de Jordan.

Teorema 110. Sea A una matriz cuadrada. Entonces existen r autovalores λ1, λ2, . . . , λr

(que pueden ser iguales) y r numeros naturales m1, m2, . . . , mr tales que A es semejante a lamatriz diagonal por bloques:

J =

J(m1)λ1

J(m2)λ2

. . .

J(mr)λr

Esta matriz recibe el nombre de forma canonica de Jordan de la matriz A. En ella unmismo autovalor λ aparece en tantos bloques como indica mg(λ) y el numero de veces queaparece en la diagonal de J es ma(λ).

Introduccion heurıstica de los autovectores generalizados

A la luz del teorema, esperamos encontrar una matriz de paso P = (v1|v2| . . . |vn) quereduzca a A a su forma de Jordan, P−1AP = J, o dicho de otro modo, AP = PJ, de modo queatendiendo al primer bloque de J, deducimos que las m1 primeras columnas de P satisfacen:

Av1 = λ1v1, i.e., v1 es un autovector correspondiente a λ1

Avi = λvi + vi−1 i = 2, · · · , m1

o equivalentemente, expresandolo a traves de la cadena

(A − λ1I)v1 = 0,(A − λ1I)v2 = v1,(A − λ1I)v3 = v2,

...(A − λ1I)vm1

= vm1−1,

Los vectores v2, v3, . . . , vm1no son propiamente autovectores, pero se comportan de una forma

muy parecida, y se llaman autovectores generalizados de A, y la sucesion {v1, v2, · · · , vm1}

se dice que es una cadena de Jordan correspondiente a λ1. Naturalmente, cada bloquetiene su cadena correspondiente.

Metodo de Caros para el calculo de J

Primeramente analizaremos el caso en que el polinomio caracterıstico no tiene raıcescomplejas.




1o Se calculan los autovalores de A : λ1, λ2, · · · , λk, con sus multiplicidades algebraicascorrespondientes ma(λ1), ma(λ2), · · · , ma(λk).

2o Para cada autovalor λ de multiplicidad algebraica ma(λ) se calculan los rangos de lasmatrices (A− λI)p (a lo sumo habrıa que calcular hasta la potencia (A− λI)ma(λ) ).

rg(A − λI) = r1 → x1 = n − r1 si x1 < m, seguimosrg(A − λI)2 = r2 → x2 = r1 − r2 si x1 + x2 < m, seguimos

......

...

rg(A − λI)p = rp → xp = rp−1 − rp si x1 + x2 + · · · + xp = m, FIN

x1 + x2 + · · · + xp = multiplicidad algebraica de λ

3o Al valor propio λ le corresponden:

x1 − x2 bloques de Jordan de orden 1

x2 − x3 bloques de Jordan de orden 2...

......

xp−1 − xp bloques de Jordan de orden p − 1

xp bloques de Jordan de orden p

Calculo de P en el Metodo de Caros

Una vez calculada la matriz J por el metodo de CAROS, procedemos a calcular lamatriz P , esto es, a calcular en el orden adecuado una base formada por autovectores yautovectores generalizados de A.

Para ello, dado un autovalor λ, llamamos Nk,λ = N(A − λI)k . Tomemos un vector

vi ∈ Ni,λ \ Ni−1,λ

o lo que es lo mismo, un vector para el cual, segun el metodo de CAROS, exista un bloquede Jordan de orden i (empezamos con el valor maximo para el que conozcamos la existenciade una caja).

Una vez obtenido vi , calculamos:

vi−1 = (A − λI)vi

vi−2 = (A − λI)vi−1

· · · · · ·v2 = (A − λI)v3

v1 = (A − λI)v2

y el vector v1 resulta ser un autovector de A (o una combinacion lineal de ellos) y losvectores {vj} j = 2, · · · , i son sus autovectores generalizados. Dichos vectores son las iprimeras columnas de P : primero v1, y despues v2, . . . , vi.




Esta operacion se repite para cada bloque de Jordan que nos indique el metodo de CAROS,obteniendo ası m autovectores (propios o generalizados) asociados al autovalor λ . Para ello,y tras haber empezado con la caja de mayor orden, se continua buscando vectores que sa-tisfagan las condiciones expuestas y que sean, naturalmente, independientes de los anteriores.

Repitiendo el proceso para cada λ llegamos a obtener n vectores independientes, esdecir, una base respecto de la cual, la matriz del endomorfismo viene dada por su FormaCanonica de Jordan, o lo que es lo mismo, hemos encontrado la matriz de paso P .

Finalizamos con un ejemplo:

Obtener la forma de Jordan (y matriz del cambio) asociada a la matriz

A =

4 0 1 01 1 1 −10 −2 3 −1−1 2 −1 4

.

Lo primero que debemos hacer es calcular sus autovalores:

|A − λI| =

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 − λ 0 1 01 1 − λ 1 −10 −2 3 − λ −1−1 2 −1 4 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 − λ 0 1 01 1 − λ 1 −10 −2 3 − λ −10 3 − λ 0 3 − λ

∣∣∣∣∣∣∣∣

= (4 − λ)

∣∣∣∣∣∣

1 − λ 1 −1−2 3 − λ −1

3 − λ 0 3 − λ

∣∣∣∣∣∣−

∣∣∣∣∣∣

0 1 0−2 3 − λ −1

3 − λ 0 3 − λ

∣∣∣∣∣∣

= (4 − λ)[(1 − λ)(3 − λ)2 − (3 − λ) + (3 − λ)2 + 2(3 − λ)

]− (3 − λ)

= (3 − λ)(4 − λ) [(2 − λ)(3 − λ) + 1] − (3 − λ)

= (3 − λ)(4 − λ)(7 − 5λ + λ2) − (3 − λ)

= (3 − λ)[(4 − λ)(7 − 5λ + λ2) − 1

]

= (3 − λ)4.

Hemos concluido por tanto que hay un unico autovalor, λ = 3, y de multiplicidad algebraicama(3) = 4.

Por el algoritmo de Caros debemos hallar el rango de A − 3I, y sus sucesivas potenciashasta que sea necesario. Lo detallamos a continuacion:

r1 = rg(A − 3I) = rg

1 0 1 01 −2 1 −10 −2 0 −1−1 2 −1 1

= 2.




De modo que x1 = 4 − r1 = 4 − 2 = 2. Como x1 6= 4, debemos continuar.

r2 = rg(A − 3I)2 = rg

1 −2 1 −10 0 0 0−1 2 −1 10 0 0 0

= 1.

Ası que x2 = r1 − r2 = 2 − 1 = 1. Como x1 + x2 = 3 6= 4, debemos seguir multiplicando.

r3 = rg(A − 3I)3 = rg

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

= 0.

Esto significa que x3 = r2 − r3 = 1, con lo que ahora sı sucede que x1 + x2 + x3 = 4. Por elalgoritmo sabemos que hay x1 − x2 = 2 − 1 = 1 caja de orden 1x1, x2 − x3 = 1 − 1 = 0 cajade orden 2x2, y x3 = 1 caja de orden 3x3. Ası, la forma de Jordan asociada a la matriz A es

J =

3 | 0 0 0

0 | 3 1 00 | 0 3 10 | 0 0 3

.

Para obtener la matriz de paso P nos fijamos primero en la caja mayor, e intentamos encontrarun autovector generalizado que este en N3,λ\N2,λ. Como (A−3I)3 era la matriz identicamentenula, N3,λ = R4, luego basta tomar un vector de R4 que no este en N2,λ. La ecuacion quedefine el subespacio vectorial N2,λ (recuerdese que (A − 3I)2 tenıa rango 1) es

N2,λ = {(y1, y2, y3, y4) | y1 − 2y2 + y3 − y4 = 0} = 〈(1,−2, 1,−1)〉⊥.

Como N3,λ = R4 = 〈(1,−2, 1,−1)〉 ⊕ 〈(1,−2, 1,−1)〉⊥, es obvio que podemos tomar

v3 = (1,−2, 1,−1)t.

Ahora simplemente calculamos

v2 = (A − 3I)v3 =

1 0 1 01 −2 1 −10 −2 0 −1−1 2 −1 1

1−21−1

=

275−7

.

Igualmente, obtenemos con otra multiplicacion

v1 = (A − 3I)v2 =

1 0 1 01 −2 1 −10 −2 0 −1−1 2 −1 1

275−7

=

70−70

.

Para completar P debemos fijarnos en la caja 1x1, es decir, debemos obtener otro autovectorde A, esto es, otro elemento del nucleo de A − 3I (que tenıa dimension 2), que sea, porsupuesto, independiente de v1, el autovector ya obtenido.

N1,λ = N(A − 3I) = {y = (y1, y2, y3, y4) | (A − 3I)y = 0} =




{(y1, y2, y3, y4)

∣∣∣∣y1 +y3 = 0,y1 −2y2 +y3 −y4 = 0.

}

Concluimos (pasando y3 e y4 a la derecha) que N1,λ = 〈(1, 0,−1, 0), (0,−1, 0, 2)〉. El primeroya esta en la segunda caja, y el segundo vector es el elemento que nos faltaba. Por el ordenen que hemos escrito J (que por supuesto no es unico), la matriz de paso resultante es:

P =

0 7 2 1−1 0 7 −20 −7 5 12 0 −7 −1

,

y se puede comprobar que la inversa es

P−1 =

3

7

1

7

3

7

4

732

343

6

343

−17

343

3

3435

49

4

49

5

49

2

491

7

−2

7

1

7

−1

7

,

y finalmente se puede ver tambien, con lo que concluye el ejercicio, que P−1AP = J.

Caso en que el polinomio caracterıstico tenga raıces complejas

Si el polinomio caracterıstico tiene raıces complejas, simples o multiples, y el cuerpo conel que trabajamos no es C, la forma canonica real de Jordan de la matriz A adopta unaforma algo mas complicada:

P−1AP = J =

D I2

D I2

. . .. . .

D I2

D

siendo D =

[a b−b a

]e I2 =

[1 00 1

]para λ = a± ib , pues si λ es un cero

del polinomio caracterıstico, tambien lo es su conjugado λ, y con la misma multiplicidad.Para clarificar los conceptos veamos un ejemplo:Sea A una matriz cuadrada de orden 9 con λ1 autovalor real simple siendo v1 su co-

rrespondiente autovector, λ2 autovalor real doble siendo v2 su autovector y v3 su autovectorgeneralizado, λ3 = a + ib autovalor complejo simple y v4 = u1 + iw1 su correspondienteautovector y por ultimo λ4 = c + id autovalor complejo doble con v5 = u2 + iw2 comoautovector y v6 = u3 + iw3 como autovector generalizado:Av1 = λ1v1

Av2 = λ2v2

Av3 = λ2v3 + v2




Av4 = λ3v4 ⇐⇒ A(u1 + iw1) = (a + ib)(u1 + w1) ⇐⇒{

Au1 = au1 − bw1

Aw1 = bu1 + aw1

Av5 = λ4v5 ⇐⇒ A(u2 + iw2) = (c + id)(u2 + w2) ⇐⇒{

Au2 = cu2 − dw2

Aw2 = du2 + cw2

Av6 = λ4v4+v5 ⇐⇒ A(u3+iw3) = (c+id)(u3+iw3)+(u2+iw2) ⇐⇒{

Au3 = cu3 − dw3 + u2

Aw3 = du3 + cw3 + w2

En definitiva, AP=PB siendo P =

......

......

......

......

...v1 v2 v3 u1 w1 u2 w2 u3 w3...

......

......

......

......

y

J =

λ1 [λ2 1

λ2

]

[a b−b a

]

[c d−d c

] [1 00 1

]

[c d−d c

]

Apendices

Un breve recordatorio sobre determinantes

Dado que la forma mas corta de obtener el polinomio caracterıstico es a traves del calculode un determinante, recordamos algunas cuestiones de calculo al respecto. El determinantede una matriz 3x3 es:∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a31a22a13 − a32a23a11 − a21a12a33.

La forma mas sencilla de calcular determinantes de cualquier orden, y particularmente utilpara ordenes mayores, consiste en desarrollar a partir de una fila o una columna suma dedeterminantes de orden menor, afectados por coeficientes con signo (−1)i+j , como senalamosen el siguiente ejemplo: ∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣∣∣=

a11

∣∣∣∣∣∣

a22 a23 a24

a32 a33 a34

a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣− a21

∣∣∣∣∣∣

a12 a13 a14

a32 a33 a34

a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣+ a31

∣∣∣∣∣∣

a12 a13 a14

a22 a23 a24

a42 a43 a44

∣∣∣∣∣∣− a41

∣∣∣∣∣∣

a12 a13 a14

a22 a23 a24

a32 a33 a34

∣∣∣∣∣∣.

Evidentemente, conviene desarrollar por filas o columnas donde haya el mayor numero posiblede ceros. Es posible sumar filas entre sı o columnas entre sı para obtener convenientementeceros antes de calcular el determinante, sin que este se vea afectado en su valor final (igualque manipulaciones analogas en sistemas de ecuaciones generaban sistemas equivalentes).




Calculo de la matriz inversa

Una matriz cuadrada con rango maximo, o equivalentemente, determinante no nulo, poseeinversa. Existen tres formas sencillas de hallar la inversa de una matriz dada, que vemos acontinuacion ejemplificadas a traves de un mismo caso:

a) utilizando un resultado de Cayley y Hamilton,

b) con ayuda de la matriz adjunta, y

c) a traves del cambio de base.

Metodo 1:

Teorema 111. (Teorema de Cayley-Hamilton) Toda matriz cuadrada A sobre un cuerpoK es raız de su polinomio caracterıstico.

Es decir, si p(λ) = cnλn + cn−1λn−1 + · · ·+ c0 es el polinomio caracterıstico y Θn es la

matriz nula de orden n , entonces

“p(A)” = cnAn + cn−1An−1 + · · · + c0I = Θn.

Sea A una matriz invertible (es decir, |A| 6= 0). Teniendo en cuenta que p(A) = Θn, seobtiene que cnAn + cn−1A

n−1 + · · · + c1A = −c0I. Al ser c0 = |A| 6= 0, podemos dividir pordicha cantidad:

I = −cn

c0An − cn−1

c0An−1 − cn−2

c0An−2 − · · · − c1

c0A.

Multiplicando por A−1 se concluye que

A−1 = − cn−1

c0An−1 − a1

anAn−2 − a2

anAn−3 − · · · − an−1

anI.

Ejemplo 112. Consideramos C =

1 2 −13 −5 42 2 1

. Su polinomio caracterıstico es:

|C − λI| =

∣∣∣∣∣∣

1 2 − λ −13 −5 − λ 42 2 1 − λ

∣∣∣∣∣∣= −λ3 − 3λ2 + 21λ − 19.

Por el teorema se tiene que

C3 + 3C2 − 21C + 19I =

0 0 00 0 00 0 0

.

Multiplicando por C−1, tenemos la relacion:

C2 + 3C − 21I = −19C−1.




Calculamos C2 :

C2 =

1 2 −13 −5 42 2 1

1 2 −13 −5 42 2 1

=

5 −10 6−4 39 −1910 −4 7

,

con lo que

C−1 = − 1

19

5 −10 6−4 39 −1910 −4 7

+ 3

1 2 −13 −5 42 2 1

− 21

1 0 00 1 00 0 1

=

1319

419

−319

−519

−319

719

−1619

−219

1119

.

Metodo 2:

El segundo metodo obedece una simple formula, aunque para su uso requerimos algunasexplicaciones adicionales, la inversa de A, es la traspuesta de la adjunta dividido por eldeterminante:

A−1 =(Adj(A))t

|A| .

Llamamos adjunta de una matriz A a otra matriz, que denotamos Adj(A), del mismoorden donde Adj(A)ij es el adjunto del elemento aij en la matriz A. El elemento adjunto deA relativo al elemento aij es el determinante de la matriz resultante de eliminar la fila i y lacolumna j, precedido del signo (−1)i+j .

Ejemplo 113. Sea, como antes, C =

1 2 −13 −5 42 2 1

. Para calcular Adj(C)11 tomamos la

matriz

(−5 42 1

)y calculamos su determinante,

∣∣∣∣−5 42 1

∣∣∣∣ = −13, con lo que Adj(C)11 =

(−1)1+1(−13) = −13. Analogamente, vamos construyendo los demas, eliminando la fila ycolumna correspondiente, calculando el determinante y cambiando el signo de lo obtenidoalternanadamente:

Adj(C) =

∣∣∣∣−5 42 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣

3 42 1

∣∣∣∣

∣∣∣∣3 −52 2

∣∣∣∣

−∣∣∣∣

2 −12 1

∣∣∣∣

∣∣∣∣1 −12 1

∣∣∣∣ −∣∣∣∣

1 22 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

2 −1−5 4

∣∣∣∣ −∣∣∣∣

1 −13 4

∣∣∣∣

∣∣∣∣1 23 −5

∣∣∣∣

=

−13 5 16−4 3 23 −7 −11

.

La traspuesta de la adjunta consiste simplemente en intercambiar filas y columnas, esdecir, ([Adj(C)]t)ij = [Adj(C)]ji :

[Adj(C)]t =

−13 −4 35 3 −716 2 −11

.




El determinante de C es −19, con lo que

C−1 = − 1

19

−13 −4 35 3 −716 2 −11

.

Metodo 3:

La tercera forma consiste la matriz que se quiere invertir como la informacion sobreun cambio de base. Si (x′, y′, z′) = (x, y, z)A, (tambien lo podrıamos representar con unamultiplicacion por columnas) representan distintas coordenadas de un mismo vector respectodos bases, es claro que obtener la matriz tal que (x, y, z) queda representado en funcion de(x′, y′, z′) debe representar el paso inverso, esto es, la matriz resultante es A−1.

Ejemplo 114. Dada la relacion

(x′ y′ z′) = (x y z)

1 2 −13 −5 42 2 1

,

si despejamos (x y z) en funcion de (x′ y′ z′) : (vamos a resolver el sistema, pero nodirectamente, para eso tenemos el metodo de Gauss)

1 3 2 | x′

2 −5 2 | y′

−1 4 1 | z′

⇒

F2 − 2F1

F3 + F1

1 3 2 | x′

0 −11 −2 | y′ − 2x′

0 7 3 | z′ + x′

⇒11F3 + 7F2

1 3 2 | x′

0 −11 −2 | y′ − 2x′

0 0 19 | 11(z′ + x′) + 7(y′ − 2x′)

,

de donde resulta

z =1

19(−3x′ + 7y′ + 11z′),

y =4

19x′ − 3

19y′ − 2

19z′,

x =13

19x′ − 5

19y′ − 16

19z′.

Escrito en forma matricial, obtenemos de nuevo C−1 :

(x y z) = (x′ y′ z′)C−1.

Problemas

1. Calcular los autovalores y subespacios invariantes asociados a las matrices:

A =

1 2 0

−1 3 10 1 1

B =

5 0 −40 3 02 0 −1




2. Diagonalizar las siguientes matrices, calculando la matriz de paso

A =

1 0 −20 1 −40 0 −1

B =

−7 −5 −5−5 2 −4−5 −4 2

3. Determinar la matriz A =

1 a d2 b e3 c f

de manera que admita por autovectores a los

vectores (1,0,1), (-1,1,0) y (0,1,-1).

4. Sea la matriz A =

a 1 pb 2 qc −1 r

.

Sabiendo que admite como autovectores (1, 1, 0), (−1, 0, 2), (0, 1,−1), hallar los auto-valores y los elementos de la matriz.

5. Sea A =

1 0 2

−1 2 11 1 2

. Expresar A−1 en funcion de I3 y de A.

6. Dada la matriz A =

1 0 1a −2 23 0 −1

.

a) Calcular los valores de a para los que A es diagonalizable.

b) Para dichos valores de a, calcular los autovalores y los autovectores de A−1.

c) Para dichos valores de a, calcular An.

7. Dada la matriz A =

3 0 a3 −1 b

−2 0 c

a) Calcular A de forma que (2, 0,−1) sea un autovector cuyo autovalor correspon-diente es λ = −1.

b) Hallar los demas autovalores y autovectores.

8. Estudiar para que valores de los parametros a y b, la matriz

A =

5 0 00 −1 b3 0 a

es diagonalizable. Calculando:




a) Forma canonica de Jordan y matriz de paso para los valores a = −1 y b = 1.

b) Forma canonica de Jordan y matriz de paso para a = 1 y b = 10. Calcular en estecaso A129.

9. a) Determinar una matriz A cuadrada de orden tres, sabiendo que tiene por autova-lores λ = −1 (doble) y λ = 0 y siendo los autovectores para λ = −1 el (1,−2, 1) ysu vector asociado es (0,1,0) y el autovector asociado a λ = 0 es (1,-2,0).

b) Dada la matriz A =

1 1 10 1 10 0 0

, obtener la forma canonica de Jordan y su matriz

de paso.

10. Sabiendo que la matriz A =

0 c a1 0 b1 1 0

es diagonalizable, tiene un autovector de la

forma (d, 0,−1) con d > 0, y el autovalor correspondiente a (d, 0,−1) es doble, calculara, b y c.



Tema 4

Sistemas de ecuaciones en

diferencias y de ecuaciones

diferenciales lineales

El metodo cientıfico ayuda a analizar los problemas desde una optica tanto cualitativacomo cuantificativa. La aceptacion o nueva elaboracion de hipotesis de trabajo estan sujetasa la validez en cada aplicacion de las tesis que se deriven de ellas. Realidades mas complejasexigen modelos1 cada vez mas sofisticados.

Hasta ahora hemos manejado modelos de varias variables relacionadas linealmente, omodelos no lineales de funciones de una variable (aplicados en problemas donde las variablesdependiente e independiente eran claramente identificables; al final del bloque de Calculose generalizara esta vıa a problemas en que intervengan funciones de varias variables, tantodependientes como independientes).

Ambos casos representan un conjunto de reglas simples para resolver algunos problemas.¿Es de esperar que expliquen todos los fenomenos? o, por contra, ¿la realidad requerira mo-delos mas complicados de varias variables interrelacionadas entre sı, sin un caracter definidoclaro como dependiente o independiente? La respuesta es clara: sı seran necesarios modelosmas complejos, en los que las variables dejaran de ser meros valores numericos, y se conver-tiran en funciones, y no tendran en general un caracter independiente ni dependiente, sinoque “aparecera a ambos lados”, en lo que consideramos una ecuacion (funcional, ahora, pararepresentar por ejemplo la idea de evolucion en el tiempo). Nos disponemos a estudiar algunosde estos modelos mas complejos (y mas bellos) en este tema, los modelos en que intervie-nen funciones y sus derivadas: las ecuaciones diferenciales [segun el dominio “temporal” seaR o N la ecuacion se llama continua o discreta respectivamente2]. Comenzamos con el casolineal. Ası, las tecnicas introducidas en el Tema 3 sobre diagonalizacion y formas canonicasde Jordan para matrices resultaran esenciales.

1Esquemas teoricos de un sistema o realidad compleja que se elabora para facilitar su comprension y estudio.2Esta dualidad sera constante en todo modelo, pues la realidad nos impone un modelo continuo, pero la

resolucion efectiva con el ordenador, e incluso las mediciones previas que hagamos son en numero finito, dandolugar al modelo discreto.

161

TEMA 4. SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS Y DE ECUACIONES

DIFERENCIALES LINEALES

Ejemplo introductorio: dinamica de poblaciones

De los muchos casos que pueden ser tratados con las herramientas de este tema, co-menzaremos por claridad citando un ejemplo que retomaremos mas adelante: la disciplinaque estudia la poblacion se conoce como demografıa, y analiza el tamano, composicion ydistribucion de la poblacion, sus patrones de cambio a lo largo de los anos en funcion denacimientos, defunciones y migracion, y los determinantes y consecuencias de estos cambios.El estudio de la poblacion proporciona una informacion de interes para las tareas de planifica-cion administrativas en sectores como sanidad, educacion, vivienda, seguridad social, empleoy conservacion del medio ambiente. Estos estudios tambien nos dan los datos necesarios paraformular polıticas gubernamentales de poblacion, para modificar tendencias demograficas, ypara conseguir objetivos economicos y sociales. Por supuesto, podrıamos imaginar el pro-blema del estudio de la poblacion de cierto area y dentro de un tiempo como una funciondependiente de muchas variables, y sera sensato tambien pensar que el numero inicial deindividuos en esa poblacion influira en las posibilidades de desarrollo de esta.

Imagina que n(t) es el numero de individuos de un grupo en el ano t. En 1798 el eco-nomista britanico Thomas Robert Malthus publico su libro Ensayo sobre el principio de lapoblacion, inicio de la demografıa como disciplina, para estudiar las relaciones entre la ten-dencia constante al crecimiento de la poblacion humana y la produccion de alimentos (estabainteresado en un desarrollo sostenible). El modelo de ecuacion funcional que propuso, cono-cido como modelo malthusiano, consistıa en una ecuacion donde la incognita era la funcionn(t), y daba la relacion con la tasa de crecimiento de la poblacion misma (recuerda que esto esla derivada): n′(t) = Cn(t). Aunque el modelo en sı no es bueno, es el origen de la dinamica depoblaciones a traves de ecuaciones diferenciales, de ahı su importancia. Posteriormente, Ver-hulst propondrıa modelos mas adecuados, con un umbral de crecimiento maximo (ecuacionlogıstica), y terminos de retardo, etc. Fenomenos fısicos, quımicos, economicos, biologicos,etc., siguen estas ecuaciones y otras mas complejas.

En este tema estudiamos dos tipos de ecuaciones: las ecuaciones en diferencias, dadaspor una expresion recurrente de la forma un = Aun−1 (casos particulares importantes sonlas ecuaciones en diferencias lineales y las cadenas de Markov); y los sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales con coeficientes constantes. Representan el primer estadio, la versionlineal, de modelos que se van complicando progresivamente para simular mejor la realidadque intentan modelizar. Asimismo, introducimos en la parte final del tema el metodo delinealizacion en torno a puntos de equilibrio, tan usual en cualquier rama de la ingenierıa,como nexo de union entre la realidad (no lineal) y los modelos aquı estudiados.

4.1. Sistemas de ecuaciones en diferencias. Potencias de una

matriz

Los sistemas de ecuaciones en diferencias intentan simular un fenomeno en un mododiscreto (esto es como verlo a intervalos iguales de tiempo). Esto es coherente con la realidad,ya que normalmente se toman una serie de medidas espaciadas en el tiempo, una vez al dıa,o por semana, o al mes por ejemplo (siempre a la misma hora si confiamos en que nos sirvapara detectar un patron). ¿Como se relacionan esa sucesion de valores? Podrıa servirnos un



4.1. SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS. POTENCIAS DE UNA MATRIZ

modelo lineal. Consideremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 115. En un gran parque nacional existen dos grupos principales de animales: zorrosy conejos. Modelos que predigan su comportamiento pueden ayudar a prevenir futuras explo-siones de una u otra poblacion, que serıan perjudiciales para el parque en si. Tras unasprimeras muestras se ha considerado el siguiente modelo lineal (recuerda que podemos expre-sarlo matricialmente, como en el Tema 3) sobre la evolucion de ambas poblaciones (la unidadde tiempo son dos meses, acorde al ciclo reproductor de ambas especies):

(cn+1

zn+1

)=

(7/2 −61/2 0

)(cn

zn

).

Para 40 conejos y 7 zorros inicialmente, la prediccion de la evolucion del conjunto en losnueve periodos posteriores es:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

4

conejos

zorros

El modelo nos dice que introducidos en esa proporcion inicial, ambas especies aumentaran

en el parque3. ¿Como calculamos dicha evolucion? Llamamos A a la matriz

(7/2 −61/2 0

),

y simplemente(

c2

z2

)= A

(c1

z1

),

(c3

z3

)= A

(c2

z2

)= A2

(c1

z1

), etc.

Supuesto que el modelo es bueno, y queremos seguir usandolo para predicciones futuras y alargo plazo, serıa conveniente simplificar los calculos en la medida de lo posible.

A continuacion damos rigor tanto a la definicion como a los metodos de calculo en si.

Definicion 116. Sea A una matriz cuadrada de orden p y sea u1, u2, . . . , un, . . . una sucesionde vectores en Rp definidos de manera recurrente por

un = Aun−1, n = 1, 2, . . .

a partir de un vector inicial u0 ∈ Rp. Una relacion de recurrencia de esta forma se llamasistema de ecuaciones en diferencias lineal y homogeneo (los unicos que estudiaremosen este tema).

3Reiteramos una vez mas que la validez de un modelo esta sujeta al contraste con la realidad, y por tantoes siempre volatil. Aunque parezca un ejemplo irreal, por el gran crecimiento de ambas especies, bajo ciertascondiciones, se observan esas plagas en la naturaleza, como ocurre por ejemplo con la langosta, las abejas, ola poblacion de conejos en Australia.





Si un = Aun−1 es un sistema de ecuaciones en diferencias, se tiene, razonando porinduccion, que un = Anu0. Con esta expresion podemos hallar un para cualquier valor den. Sin embargo, vamos a dar una expresion mas simple para un que nos permitira ahorrartiempo de calculo y tambien estudiar el comportamiento a largo plazo de la sucesion un (esdecir, cuando n es grande): sera la forma de Jordan o de diagonalizacion estudiadas en eltema anterior, ya que las matrices de paso P y su inversa P−1 permitiran simplificaciones enel calculo de potencias de A. Concretamente se tiene el siguiente resultado:

Teorema 117. Sea A una matriz cuadrada de orden p, y u0 ∈ Rp. Entonces la solucion delsistema de ecuaciones en diferencias un = Aun−1 con vector inicial u0 es

un = PJnP−1u0 n = 1, 2, . . .

siendo J = P−1AP la forma canonica de Jordan de A.

¿Como evaluar Jn? En realidad no es complicado, por la forma que tiene, tanto si esdiagonal como si no.

Lema 118. Sea A, como antes, una matriz cuadrada de orden p.a) Si A es diagonalizable, entonces4

An = P

λn1

λn2

. . .

λnp

P−1 n = 1, 2, . . .

siendo λ1, λ2, . . . , λp los autovalores de A.

b) Caso contrario, dada la forma de Jordan asociada a A, si Jλ es un bloque de Jordan deorden r, entonces

Jnλ =

λn

(n1

)λn−1

(n2

)λn−2 . . .

(n

r − 1

)λn−r+1

λn

(n1

)λn−1 . . .

(n

r − 2

)λn−r+2

λn . . .

(n

r − 3

)λn−r+3

. . ....

λn

n = 1, 2, . . .

entendiendo que

(nk

)= 0 si n < k.

En el Ejemplo 115 se puede comprobar que A es diagonalizable, pues tiene dos autovaloresdistintos (por fuerza de multiplicidades algebraicas y geometricas iguales a uno): λ1 = 2,

4Los huecos en blanco en la matriz se entienden como ceros.



4.1. SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS. POTENCIAS DE UNA MATRIZ

λ2 = 3/2, y tomando como matriz de paso P dos autovectores asociados5 (dispuestos encolumnas), resulta:

A =

(4 61 2

)(2 00 3/2

)(4 61 2

)−1

.

En este caso es inmediato obtener la inversa de P, P−1 =

(1 −3

−1/2 2

), con lo que la

expresion general de la solucion viene dada por

(cn

zn

)=

(4 61 2

)(2n 0

0(

32

)n)(

1 −3−1/2 2

)−1(c0

z0

).

Forma explıcita de la solucion de una ecuacion en diferencias lineal y ho-mogenea:Como aplicacion directa del tema anterior, acabamos de ver que cuando A es diagonalizable,la solucion general del sistema viene dada por un = PDnP−1u0, siendo P la matriz depaso formada por los autovectores dispuestos por columnas, y Dn la matriz diagonal con laspotencias n-esimas de los autovalores.

Observese que para dar la expresion explıcita de un tenemos P, D (Dn tambien), u0, y lounico que queda por obtener es P−1. Ahora bien, requerimos P−1u0, con lo que en realidadbasta llamar a dicho vector c = P−1u0, y hallar c a traves del sistema Pc = u0, de modoque uniendolo todo resulta:

un = c1λn1x1 + c2λ

n2x2 + . . . + cpλ

npxp n = 1, 2, . . .

siendo λ1, λ2, . . . , λp los autovalores de A, y x1, x2, . . . , xp autovectores linealmente inde-pendientes asociados a λ1, λ2, . . . , λp respectivamente y c = (c1, c2, . . . , cp)

t la solucion delsistema Pc = u0.

Podrıamos preguntarnos si la relacion presentada en la Definicion 116 es general o no. Pa-rece que solo utiliza en la construccion de un estado el inmediatamente anterior. ¿Que ocurresi una sucesion, por simplificar, de dimension uno, esta construida en funcion de varios esta-dos anteriores? ¿Es eso sensato? ¿Esta contemplado en el caso anterior?

Sirva un ejemplo y la siguiente definicion como contestaciones a las cuestiones previas:incluso en el caso aproximado, si deseamos estimar el precio de un producto, que evolucionasemanalmente, serıa conveniente mirar lo que costaba la ultima semana. Pero eso no nosdice como evolucionara, ¿al alza, o no? Salvo devacle del mercado, sera un valor cercano,consecuencia de una evolucion continua, pero para hallar dicha aproximacion requeriremosalgun metodo que tanto mas fiable sera cuanto mas datos metamos: estadıstica, una lınea detendencia, un polinomio que interpole los valores de las ultimas tres o cuatro semanas...

Definicion 119. Llamamos ecuacion en diferencias lineal homogenea de orden p auna expresion del tipo:

zn + a1zn−1 + a2zn−2 + . . . + apzn−p = 0 (siendo ap 6= 0)

5El significado de los autovectores es el numero inicial de individuos de cada especie con el que, segun elmodelo, ano tras ano las poblaciones mantienen la misma proporcion.





donde a1, . . . , ap son conocidos, y cada termino zn (para n ≥ p + 1) se obtiene a partir delos p terminos anteriores [los p valores iniciales z1, z2, . . . , zp ∈ R son datos].

Otra manera de definir la sucesion es transformando de esta ecuacion en un sistema deecuaciones en diferencias de la siguiente manera6:

Sea up = (zp, zp−1, . . . , z1)t ∈ IRp y, en general, un = (zn, zn−1 . . . , zn−p+1)

t entonces setiene

un =

zn

zn−1...

zn−p+2

zn−p+1

=

−a1 −a2 . . . −ap−1 −ap

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 1 0

zn−1

zn−2...

zn−p+1

zn−p

= Aun−1

esta relacion es valida para n = p + 1, p + 2, . . .

Volvemos por tanto al estudio de los autovalores y autovectores para aplicar los resultadosprevios. La forma del polinomio caracterıstico de un sistema de ecuaciones en diferenciasque provenga de una ecuacion en diferencias de orden superior tiene una expresion fija queconviene conocer para ahorrarnos trabajo.

Proposicion 120. Los autovalores de la matriz

A =

−a1 −a2 . . . −ap−1 −ap

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 1 0

son las raıces del polinomio

q(λ) = λp + a1λp−1 + . . . + ap,

este polinomio recibe el nombre de polinomio caracterıstico de la ecuacion en diferen-cias.

Teorema 121. Si el polinomio caracterıstico de una ecuacion en diferencias de orden ptiene p raıces distintas λ1, λ2, . . . , λp, entonces la solucion (zn) de la ecuacion homogenea seexpresa como

zn = c1λn1 + c2λ

n2 + . . . + cpλ

np n = 1, 2, . . .

donde las constantes c1, c2, . . . , cp se determinan a partir de los p valores iniciales dados.

6De hecho, esta transformacion es tambien valida para convertir una ecuacion diferencial de orden superiora uno, es decir, donde intervienen las derivadas segunda, tercera, etc, en un sistema diferencial ordinario (ordenuno).



4.2. MATRICES ESTOCASTICAS: CADENAS DE MARKOV.

4.2. Matrices Estocasticas: Cadenas de Markov.

Antes de dar la definicion rigurosa, introducimos con un ejemplo las ideas que vamosa tratar: supongamos que los sistemas de ecuaciones en diferencias tratan con cantidadesporcentuales, es decir, que se trasvasan de un lugar a otro pero sin aumentar ni disminuiren su conjunto (en realidad esto indica que dicho esquema se adecua bien a elementos deprobabilidad).

Ejemplo 122. Supongamos que los N habitantes de una cierta ciudad realizan sus comprasen uno de los tres grandes supermercados existentes (llamemoslos X, Y, Z por comodidad).Considerando que las grandes compras se realizan una vez por semana, y que los consumidorescomparan calidad, precio, comodidad, etc, algunos deciden cambiar de cadena, mientras queotros permanecen fieles. Pongamos que en el plazo de una la semana la proporcion de clientesde X, Y, Z ha pasado de ser x0, y0 y z0, a ser x1, y1 y z1. Al tratarse de porcentajes, se tieneque

x0 + y0 + z0 = 1,

x1 + y1 + z1 = 1.

Suponemos que el numero de clientes es constante, y denotamos por a11 la proporcion declientes que el supermercado X mantiene tras el paso de una semana, mientras que a12 ya13 denotan los porcentajes de los clientes de X que vienen a X de los supermercados Y y Zrespectivamente. En resumen, el numero total de clientes de X en la segunda semana es:

x1N = a11(x0N) + a12(y0N) + a13(z0N),

y si nos quedamos directamente con porcentajes,

x1 = a11x0 + a12y0 + a13z0.

Analogamente,y1 = a21x0x0 + a22y0 + a23z0,

z1 = a31x0 + a32y0 + a33z0,

donde en general podemos decir que aij representa la proporcion de clientes de j que cambiana i (entendiendo que i = 1, 2, 3 represneta a X, Y, Z resp. y que i = j consiste en que no haycambio propiamente.

Observa que por su significado, todos los elementos aij son positivos, y que∑3

i=1 aij = 1,con lo que para todo i, j 0 ≤ aij ≤ 1. Matricialmente, la relacion anterior se escribe

x1

y1

z1

=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

x0

y0

z0

.

La matriz A 3x3 se llama Matriz de Transicion, y el conjunto de ternas (cuando evolucionacon el tiempo) representa un Proceso de Markov, que pasamos a definir con rigor a conti-nuacion.

Definicion 123. Diremos que una matriz real A cuadrada de orden p es estocastica, o deMarkov, si sus elementos son no negativos y sus columnas suman 1:





(1) aij ≥ 0 para todos i, j = 1, 2, . . . , p y

(2)n∑

i=1

aij = 1 para cada j = 1, 2, . . . , p

Las matrices estocasticas se encuadran dentro de un tipo mas general de matrices, las lla-madas no negativas, que son aquellas que verifican la condicion (1). Las matrices no negativasparticipan de muchas de las propiedades de las matrices estocasticas.

Sin embargo, las matrices estocasticas, por su interpretacion en terminos de probabilidad,son de mayor utilidad. Suponiendo que un sistema consta de p estados posibles E1, E2, . . . , Ep,el elemento generico aij representa la probabilidad de pasar del estado Ej al estado Ei.

Definicion 124. Un sistema de ecuaciones en diferencias un = Aun−1 en el que A es unamatriz estocastica y u0 es un vector de probabilidad, es decir, un vector de coordenadasno negativas que suman 1; recibe el nombre de cadena de Markov finita.

El vector un se llama vector de estados de la n-esima etapa y representa la situacion delos estados del sistema en dicha etapa.

En este apartado se estudiaran en primer lugar algunas propiedades de las matrices es-tocasticas para pasar a discutir posteriormente ciertos problemas que se plantean en lascadenas de Markov.

Proposicion 125. Una matriz A no negativa es estocastica si y solo si etA = et dondee = (1, 1, . . . , 1)t. En consecuencia,

Si A y B son estocasticas, AB tambien lo es.

Si A es estocastica, An tambien lo es.

Si A es estocastica, entonces 1 es un autovalor de A.

La ultima propiedad se debe a que los autovalores de una matriz y de su traspuesta son losmismos (y λ = 1 es autovalor de At con A estocastica, ya que e = (1, . . . , 1)t es un autovectorasociado.)

Teorema 126. Si A es estocastica, entonces todos sus autovalores λ verifican |λ| ≤ 1.

La prueba es facil por reduccion al absurdo. Supongamos por ejemplo que λ > 1 esautovalor, y v un autovector asociado (Av = λv), que sin perdida de generalidad podemossuponer con componentes de suma la unidad, entonces

1 < λ =

n∑

i=1

(λv)i =

n∑

i=1

(Av)i =

n∑

i=1

n∑

j=1

aijvj =

n∑

j=1

(n∑

i=1

aij

)vj =

∑

j

vj = 1.

Definicion 127. Se denomina vector estacionario o de equilibrio de una matriz A,a todo vector de probabilidad x tal que Ax = x.

Como λ = 1 es autovalor de una matriz estocastica por una propiedad previa, se deduceque existen autovectores asociados a dicho autovalor, y en particular (tomando un proporcio-nal) con componentes de suma la unidad. Es mas, de hecho, se tiene el siguiente resultado:

Teorema 128. Toda cadena de Markov tiene un vector estacionario.



4.2. MATRICES ESTOCASTICAS: CADENAS DE MARKOV.

Observese que cualquier vector de equilibrio es un autovector asociado al autovalor λ = 1y que si en algun momento se alcanza un vector de equilibrio, es decir un = x, entonces ya nose abandona nunca ese vector, o sea um = x para m ≥ n. Por tanto, los vectores de equilibriotienen una cierta relacion con la conducta lımite de la sucesion un.

Sin embargo no es cierto que siempre exista el lımn→∞

Anu0.

Por ejemplo si A =

(0 11 0

)y u0 =

(10

), entonces u2n =

(10

)mientras que

u2n+1 =

(01

), y aun cuando exista el lımite anterior puede depender del vector inicial u0.

Por ejemplo si A =

(1 00 1

)y u0 =

(10

), entonces siempre ocurre que un =

(10

)

pero con u′0 =

(01

)sucede que u′

n =

(01

), o sea, que no hay un unico vector estacionario

al que tienda todo el sistema.

Teorema 129. Si λ = 1 es el unico autovalor de modulo 1, de la matriz A, entonces paracada vector de estados inicial u0, existe el lım

n→∞Anu0. En particular si u0 es un vector de

probabilidad, el lımn→∞

Anu0 es un vector de equilibrio.

Para algunas cadenas de Markov, el lımite es independiente del vector inicial.

Continuamos con el ejemplo que con iniciabamos esta seccion para corroborar los resul-tados anteriores:

Sea

A =

4/5 1/5 1/101/10 7/10 3/101/10 1/10 3/5

,

con lo que los autovalores son λ1 = 1, λ2 = 3/5 y λ3 = 1/2. Tenemos que los subespaciospropios asociados a estos autovalores son

Aλ1= 〈(0′45, 0′35, 0′2)〉, Aλ2

= 〈(1,−1, 0)〉, Aλ3= 〈(1,−2, 1)〉.

Ası, la resolucion explıcita del sistema de ecuaciones en diferencias viene dado por laexpresion

xk

yk

zk

= Ak

x0

y0

z0

=

0′45 1 10′35 −1 −20′2 0 1

1k 0 00 (2/3)k 00 0 (1/2)k

0′45 1 10′35 −1 −20′2 0 1

−1

x0

y0

z0

=

0′45 1 10′35 −1 −20′2 0 1

1k 0 00 (2/3)k 00 0 (1/2)k

1 1 1

3/4 −1/4 −5/4−1/5 −1/5 4/5

x0

y0

z0

,

que tiene un lımite7 cualquiera que sea el vector inicial, (x0 y0 z0), con tal que sea un vector

7Observa que los sumandos segundo y tercero, por estar afectados por potencias cada vez mayores deautovalores menores que la unidad, tienen por lımite cero y no afectan al resultado, que depende exclusivamentedel primer sumando.





de probabilidad, es decir, una distribucion coherente de la poblacion consumidora entre lostres supermercados. Por ejemplo, si inicialmente (x0 y0 z0) = (0′2 0′3 0′5), entonces

xk

yk

zk

= 1k

0′450′350′2

− 0′55

(3

5

)k

1−10

+3′92k

1−21

,

de modo que comprobamos que hay un vector “lımite,” que podemos notar

u∞ =

0′450′350′2

y que es autovector asociado al autovalor λ1 = 1, y de hecho es el vector estacionario, digamosla distribucion lımite de las cuotas de mercado en ese lugar.

Definicion 130. Se dice que la cadena de Markov de matriz A es regular si existe un m ∈ IN

para el que a(m)ij > 0 para todos i, j = 1, 2, . . . , p; donde Am = (a

(m)ij ).

Teorema 131. Si A es la matriz de una cadena de Markov regular entonces

Existe un unico vector estocastico estacionario x

Para cualquier vector estocastico u0 la sucesion Anu0 tiende a x.

lımn→∞

An = A, donde A tiene todas las columnas iguales a x, (el lımite anterior es en el

sentido de entrada a entrada de la matriz).

Otra condicion alternativa a la del teorema anterior viene dada por:

Teorema 132. Si λ = 1 es el unico autovalor de modulo 1 y ademas es simple, el lımn→∞

Anu0

existe y es independiente de u0.

4.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales. Exponencial de una

matriz

En la primera parte del tema estudiamos los sistemas de ecuaciones en diferencias, endichos sistemas la evolucion se produce de forma discreta. Si consideramos dicha evolucion deforma continua, es decir, observando las tasas de variaciones en unidades de tiempo cada vezmenores, tendremos, en el lımite, derivadas, dependientes de relaciones entre las magnitudessin derivar: los sistemas de ecuaciones diferenciales.

Casos como la ecuacion de Malthus, x′ = kx (con k cierta constante) nombrado enla introduccion aparecen en otros fenomenos en la naturaleza, como la desintegracion demateriales radioactivos (entonces x representa la cantidad de materia que queda con el pasodel tiempo, y k < 0; la medicion de la cantidad de isotopo radioactivo del carbono C14 sirvea geologos y paleontologos para mediciones de grandes periodos de tiempo).

Su resolucion en una dimension es simple (si obviamos la unicidad de solucion, que re-querirıa de un resultado adicional, el Lema de Gronwall) ya que “a ojo” somos capaces dededucir que la solucion viene dada por x(t) = x(0)ekt.



4.3. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. EXPONENCIAL DE UNA

MATRIZ

Otra forma de obtener la solucion consiste en usar el desarrollo de Taylor (supuestovalido): tenemos inicialmente x(0) = x0 (cierta cantidad desconocida), y que x′(0) = kx0;derivando x′′(t) = kx′(t), con lo que x′′(0) = k2x0, continuando ası obtenemos por induccionque x(n)(0) = knx0, de modo que el desarrollo “infinito” de Taylor “genera” como solucion

x(t) = x0 + x′(0)t +x′′(0)

2t2 + . . . +

x(n)(0)

n!tn + . . .

= x0

(1 + kt +

(kt)2

2+

(kt)3

3!+ . . . +

(kt)n

n!+ . . .

)= x0e

kt.

Al igual que con los sistemas discretos, nos podemos plantear en los continuos que ocurrecon ecuaciones diferenciales de orden superior (expresiones de la forma y(n) +a1y

(n−1) + . . .+apy

(n−p) = 0, con a1, . . . , ap constantes) o con los sistemas de ecuaciones diferenciales deorden uno asociados. Justamente, nos vamos a limitar a estudiar los sistemas de ecuacionesdiferenciales lineales homogeneos de coeficientes constantes, que definimos a continuacion.

Definicion 133. Sean u1(t), u2(t), u3(t), . . . , un(t) un conjunto de funciones de la variableindependiente t, llamamos sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogeneocon coeficientes constantes a un conjunto de expresiones del tipo:

·u1 (t) = a11u1(t) +a12u2(t) + . . . +a1nun(t)·u2 (t) = a21u1(t) +a22u2(t) + . . . +a2nun(t)·u3 (t) = a31u1(t) +a32u2(t) + . . . +a3nun(t). . . . . . . . . . . . . . . . . .

·un (t) = an1u1(t) +an2u2(t) + . . . +annun(t)

(4.1)

con aij ∈ R∀i, j = 1, . . . , n

El sistema (4.1) lo podemos expresar matricialmente·u (t) = Au(t), siendo A una

matriz cuadrada de orden n y real, u(t) el vector (u1(t), u2(t), . . . un(t))t y·u (t) el vector

(·

u1 (t),·

u2 (t), . . .·

un (t))t.

El siguiente resultado confirma nuestras expectativas de similitud respecto al caso uni-dimensional (aunque para ello deberemos precisar convenientemente que entendemos porexponencial de una matriz).

Teorema 134. La solucion del sistema (4.1) con valores iniciales dados por el vector u0 =(u10, u20, . . . , un0)

t es u(t) = eAtu0.

Exponencial de una matriz

El teorema afirma que la solucion del sistema (4.1) viene dada por la exponencial de unamatriz. Hagamos una sustitucion sin rigor alguno, para empezar a dar forma a esa idea: vamosa calcular dicha exponencial. Por analogıa con la funcion unidimensional ex, si tenemos encuenta su desarrollo en serie de potencias (Taylor) y sustituimos x por At nos quedara:

eAt = I + At +(At)2

2!+

(At)3

3!+ . . .





Formalmente, ello se debe a que

u′(t) = lımh→0

eA(t+h)x0 − eAtx0

h

= lımh→0

1

h

([1 + A(t + h) +

(A(t + h))2

2+ . . .

]−[1 + At +

(At)2

2+ . . .

])x0

=1

h

(Ah + 2A2th +

A2h2

2+

3A3t2h

3!+ . . .

)x0

= AeAtx0

= Au(t).

¿Como se calcula realmente la exponencial de una matriz? Grandes potencias de una matrizexigen como simplificacion previa la diagonalizacion o, en su defecto, la forma canonica deJordan vistas en el tema anterior:

Si diagonalizamos la matriz A y sustituimos A por PDP−1 la expresion anterior se trans-forma en:

eAt = P (I + Dt +(Dt)2

2!+

(Dt)3

3!+ . . .)P−1 = PeDtP−1,

donde la exponencial de Dt es la matriz diagonal que tiene por elementos las funciones eλit

con λi los autovalores de A, y elementos de la diagonal de D.

Teorema 135. Si la matriz A del sistema (4.1) es diagonalizable, la solucion del sistema(4.1) con valores iniciales u0 = (u10, u20, . . . , un0)

t es:

u(t) = C1eλ1tv1 + C2e

λ2tv2 + C3eλ3tv3 + . . . + Cneλntvn

Los coeficientes {C1, C2, C3, . . . , Cn} los obtenemos a partir de los valores iniciales dados,{λ1, λ2, . . . λn} son los autovalores de la matriz A y {v1, v2 . . . vn} son sus respectivos auto-vectores.

Usando el Lema 118 es facil concluir que, en el caso general, cuando hay que usar la formade Jordan A = PJP−1, la exponencial es eAt = PeJtP−1, y eJt se construye con bloquesdiagonales en el mismo numero, tamano y disposicion que tienen en J las cajas originales.Relativos a cada una de las cajas de J, es decir, para Jλ una caja de orden r, las matricesexponenciales son de la forma

eJλt = eλt

1 t t2

2t3

3! . . . tr−1

(r−1)!

0 1 t t2

2 . . . tr−2

(r−2)!...

.... . .

...0 0 . . . 1 t0 0 . . . 0 1

.

Linealizacion en torno a puntos de equilibrios

Hasta ahora hemos estudiado (en esta parte de la asignatura) problemas de varias variablespero solo en casos lineales, ¿por que? ¿exclusivamente por una cuestion de simplificacion? Solo




MATRIZ

en parte. Digamos que los fenomenos no lineales cobran importancia en momentos puntuales,pero en general, ante un fenomeno que no sufra cambios muy bruscos (deseable) es plausiblepensar en que el sistema “se comporta” de un modo lineal.

Finalizamos el tema con un ejemplo, de nuevo referido a un modelo de dinamica de pobla-ciones, discreto por simplificacion en la presentacion, pero no lineal en principio. Mostramos atraves de el como analizar un problema no lineal (de forma) aproximada con tecnicas lineales.Se trata de un modelo de los llamados de presa-depredador: dos especies conviven en un mis-mo territorio, y una, digamos conejos, solo se necesita a sı misma para aumentar su numero,y la presencia de zorros solo dificulta su supervivencia; mientras que los zorros necesitan parasu supervivencia o bien un gran numero de conejos, o un gran numero de zorros (aunque lasegunda opcion sin la primera puede llevar a falta de presas mas adelante...):

Ct+1 = rCte

−aZt ,

Zt+1 = Zt

(1 − e−aZt

),

a > 0. (4.2)

Los valores a y r son constantes del modelo.La primera pregunta sensata es buscar poblaciones constantes, esto es, Ct+1 = Ct, y

Zt+1 = Zt. Una primera solucion, la trivial, Ct = 0 = Zt no nos interesa. Si suponemos quelas poblaciones son no nulas, obtenemos facilmente que la otra posible poblacion constantees:

{C∗ = rC∗e−aZ∗

,Z∗ = C∗(1 − e−aP ∗

)⇒

Z∗ =ln r

a,

C∗ =r ln r

a(r − 1).

Si ahora nos planteamos como son pequenas perturbaciones de este equilibrio entre las dospoblaciones, podemos hacer el cambio de variables Zt = Z∗ +zt, Ct = C∗ + ct. Igual que paraproblemas de una variable hemos visto que una funcion esta bien aproximada por su rectatangente en un pequeno entorno del punto, en el Tema 5 de Calculo veremos un resultadoanalogo para funciones de varias variables8. Ası, podemos “transformar” (el termino exactoes linealizar, pues nos quedamos con derivadas hasta orden 1, evaluadas en Z∗ y C∗) lasecuaciones

C∗ + ct+1 = r(C∗ + ct)e

−a(Z∗+zt),

Z∗ + zt+1 = (C∗ + ct)(1 − e−a(Z∗+zt))

en otras mas simples: {ct+1 = ct − C∗azt,

zt+1 = ct

(1 − 1

r

)+ C∗a

r zt.(4.3)

El proceso ha consistido en sustituir

f(C∗ + ct, Z∗ + zt) = r(C∗ + ct)e

−a(Z∗+zt) por f(C∗, Z∗) +∂f

∂ct(C∗)ct +

∂f

∂zt(Z∗)zt,

y lo mismo para

g(C∗ + ct, Z∗ + zt) = (C∗ + ct)(1 − e−a(Z∗+zt)) ∼ g(C∗, Z∗) +

∂g

∂ct(C∗)ct +

∂g

∂zt(Z∗)zt.

8La derivacion de una funcion de varias variables requiere notacion especial: notamos derivada parcial ∂f

∂xi

a la derivada de una funcion f con respecto a su variable xi, considerando el resto como valores constantes.





La notable diferencia es que, mientras el sistema (4.2) es no lineal, el sistema (4.3) sı es lineal.Su resolucion es de hecho facil:

Consideramos un paso de tiempo mas en la primera ecuacion de (4.3):

ct+2 = ct+1 − C∗azt+1

= ct+1 − C∗a

[ct

(1 − 1

r

)+

C∗ar

zt

]

= ct+1 − C∗a

[ct

(1 − 1

r

)+

1

r(ct − ct+1)

].

Ası hemos logrado obtener una ecuacion en diferencias de orden 2 donde solo aparece lavariable c. Pasamos a sistema de ecuaciones en diferencias, calculamos sus autovalores yautovectores, y resolvemos explıcitamente ct, tras lo cual zt se obtiene por sustitucion (yası unas soluciones aproximadas al sistema original).

Problemas

1. La distribucion de la poblacion de tres grupos de animales, en el ano n viene dada porel vector ~vn = (xn, yn, zn) siendo

xn+1 = 7yn +4zn

yn+1 = 19xn

zn+1 = 12yn

Si la poblacion inicial es de 3000 animales, 1000 de cada grupo, calcular la poblacionque habra de cada grupo al cabo del tiempo.

2. Describir razonadamente las dinamicas fundamentales del movimiento de ecuaciones:

xn+1 = 5/2xn +3yn

yn+1 = −3/2xn −2yn

zn+1 = −6xn −6yn −1/2zn

donde (xn, yn, zn) representa las coordenadas de la posicion del movil en la n-esimatransicion.

3. Resolver la ecuacion en diferencias de Fibonacci: zn = zn−1 + zn−2 para los valoresiniciales z1 = 1, z2 = 1.

4. Resolver la ecuacion en diferencias zn − 3zn−2 + 2zn−3 = 0 dados z1 = 1, z2 = 0, z3 = 1.

5. Usando una ecuacion en diferencias adecuada, calcular el valor de los siguientes deter-minantes tridiagonales de orden n:




MATRIZ

a)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

4√

3 0 · · · 0√3 4

√3 0 · · · 0

0√

3 4√

3 · · · 0...

. . ....

0 · · · 0√

3 4√

3

0 · · · 0√

3 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

b)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a b 0 · · · 0b a b 0 · · · 00 b a b · · · 0...

. . ....

0 · · · 0 b a b0 · · · 0 b a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

c)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

4 3 0 · · · 043 4 3 0 · · · 00 4

3 4 3 · · · 0...

. . ....

0 · · · 0 43 4 3

0 · · · 0 43 4

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6. Dado el sistema de ecuaciones en diferencias ~un = A~un−1, siendo

A =

0 a2 0 01 0 0 00 1 0 a2

0 0 1 0

a) Obtener la expresion general de ~un.

b) Calcular ~u10, dado el vector inicial ~u0 = (0, 2, 0, 2).

7. Los habitos de trabajo de un estudiante son como sigue. Si estudia una noche, esta se-guro en un 70 % de que no estudiara la noche siguiente. Por otra parte, la probabilidadde que no estudie dos noches seguidas es de 0.6. A la larga, ¿con que frecuencia estudia?

8. Supongamos que hay tres centros principales de camiones en Barcelona, Alicante y LaCoruna. Cada mes, la mitad de los que estan en Barcelona y en Alicante van a LaCoruna, la otra mitad permanece donde esta, y los camiones de La Coruna se dividenigualmente entre Barcelona y Alicante. Construir la matriz de transicion y encontrar elestado estacionario.

9. Encontrar la matriz de transicion para un curso de matematicas que se imparte en dosclases, si cada semana dejan el curso 1

4 de los que estan en la clase A y un 13 de los que

estan en la clase B, y ademas 16 de cada clase se pasa a la otra.

10. Juan puede estar triste o contento. Si en un determinado dıa esta contento, tambien lo





esta al dıa siguiente, cuatro de cada cinco ocasiones que ocurre. Si un dıa esta triste,tambien lo esta al dıa siguiente en una de cada tres ocasiones. A la larga, ¿cual es laprobabilidad de que este contento en un determinado dıa?

11. Supongamos que hay una epidemia en la que cada mes se enferma la mitad de los queestan sanos y muere la cuarta parte de los que estan enfermos. Encontrar el estadoestacionario de la enfermedad.

12. En el Politecnico de Orsay un estudiante tiene que pasar tres cursos antes de obtenerel diploma. Cada ano realiza un examen para pasar de curso y si lo suspende, deberepetir. Las probabilidades de aprobar cada examen son: 0.8 el primero, 0.7 el segundoy 0.5 el tercero. Estudiando la cadena de Markov asociada, deducir la probabilidad deque acabe en menos de 5 anos.

13. Un paıs esta dividido en tres regiones demograficas. Se ha determinado que cada anoel 5 % de los residentes en la region 1 se cambie a la region 2 y otro 5 % a la region 3.De los residentes en la region 2, el 15 % se cambia a la region 1 y el 10 % a la region 3.Y, de los residentes en la region 3, el 10 % se cambia a la region 1 y el 5 % a la region2. ¿Que porcentaje de la poblacion residira en cada una de las tres regiones despues deun largo perıodo de tiempo?

14. Los hijos de los miembros del partido socialista votan a dicho partido con probabilidad0,5, al conservador con probabilidad 0,4 y al liberal con probabilidad 0,1.Las probabilidades para los hijos de los miembros del partido conservador son 0,7 paralos conservadores, 0,2 para los socialistas y 0,1 para los liberales.Por ultimo, para los hijos de los miembros del partido liberal las probabilidades son 0,2para conservadores, 0,4 para socialistas y 0,4 para liberales.Dadas estas estadısticas, ¿cual es la probabilidad de que el nieto de un miembro delpartido liberal vote al partido socialista?¿Cual es el modelo de votacion a largo plazo?

15. Resolver el sistema·u (t) = Au(t), con A =

(−3 4−2 3

)y valor inicial dado por u(0) =

(10

)



Universidad de Huelva Curso 2003/2004 Escuela Polit´ecnica de La … · 2015-09-02 · Elementos...

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