Guía 78: Fabricando modelos a escala

CH-FyA-0494

Guía 78: Fabricando modelos a escala

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Guía

78 Meta 26

GRADO 8

GUÍA DEL ESTUDIANTE

FABRICANDO MODELOS A

ESCALA, LAS MEDIDAS

VOY CONOCIENDO

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 78

Amparo Yadira Prieto Diaz, Colegio Bicentenario

Angel Bernate Montoya, Colegio Bicentenario

Coordinación pedagógica

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea

Sergio Andres Rincon Manrique, I.E Minuto de Dios Policarpa Salavarrieta

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

http://www.grupolema.org/

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Guía

78 GRADO 8

FABRICANDO MODELOS A ESCALA,

LAS MEDIDAS VOY CONOCIENDO

GRADO 8 - META 26 - PENSAMIENTO MÉTRICO Y GEOMÉTRICO

Guía 76 (Duración 13 h)

• Teorema de Pitágoras

• Aplicabilidad del Teorema

Pitágoras

• Congruencia entre figuras

• Transformaciones rígidas


• Área de polígonos y de regiones

circulares.

• Problemas de figuras con área

combinada y sombreada.

• Criterios de congruencia y

semejanza entre triángulos.

• Factor de escala y ampliaciones y

reducciones.


ACTIVIDAD 1

• Clasificación de sólidos.

• Área de superficies de cilindro, prismas

y pirámides.

• Volumen de cilindro, prismas y pirámides.

• Error de medida al medir volúmen y

capacidades.

ACTIVIDAD 2

• Teorema de Tales.

META DE APRENDIZAJE 26

Analizo situaciones como la fabricación de objetos usando desarrollos planos, la construcción de sólidos juntando

varias piezas o la creación de modelos a escala de muebles. Para esto calculo o estimo áreas (de polígonos regulares,

de círculos, de superficies de sólidos) y volúmenes (de cilindros, prismas, pirámides), usando distintas técnicas y

midiendo el error (medida real vs. aproximada). Uso transformaciones rígidas para validar congruencias, comprendo

y uso el teorema de Pitágoras para encontrar distancias desconocidas y aplico criterios de semejanza y congruencia

entre triángulos (proporcionalidad, teorema de Tales). Así, aprendo a indagar, representar y cuantificar

propiedades del espacio que me rodea. PREGUNTAS ESENCIALES:

Actividad 1

● ¿Qué criterios debo tener presente o en cuenta al momento de realizar conversiones de unidades de medida y

volumen en figuras geométricas en mi entorno?

● ¿Qué estrategias puedo utilizar para calcular el área, volumen y capacidad de los objetos que tengo a mi

alrededor?

Actividad 2 ● ¿Cómo explico la relación entre la representación a escala de una maqueta a tamaño real de un objeto? y ¿Cómo

lo aplico a partir del teorema de Tales?

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EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE

Actividad 1 ● Identifico los diferentes tipos de sólidos y los clasificó de acuerdo a sus características.

● Calculo el área de la superficie de cilindros, prismas y pirámides utilizando fórmulas que he deducido.

● Construyó y relaciono los moldes de cilindros, prismas y pirámides de diferentes bases con los respectivos

sólidos.

● Estimo, calculo y comparo volúmenes de distintos tipos de sólidos haciendo conversiones entre unidades de

medida cúbicas. ● Deduzco las fórmulas y empleo diversas estrategias para calcular el volumen de cilindros, prismas y

pirámides.

● Establezco relaciones entre las unidades de medida de capacidad y de volumen (Litros, dm^3).

● Identifico y puedo estimar el error al medir el volumen y la capacidad en diferentes recipientes y empaques.

Actividad 2:

● Describo algunas situaciones de mi entorno en las cuales puedo resolver aplicando el teorema de Tales.

● Utilizo el teorema de Tales para resolver situaciones problema en diferentes contextos. ● Soluciono problemas de semejanza a través del teorema de Tales.

● Diferencio los dos teoremas de Tales a partir de sus enunciados.

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 78

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ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 1: CONOCIENDO FIGURAS, SU ÁREA

Y VOLUMEN ESTOY DIFERENCIANDO

Conozcamos las fórmulas para calcular el área y volumen de cilindros, prismas, pirámides las

cuales emplearemos para resolver ejercicios prácticos presentes en nuestro entorno.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

El área es la medida de la región o superficie encerrada por

una figura geométrica plana. La unidad de superficie es el

metro cuadrado (m2).

Se quiere pintar una pared como la del dibujo. ¿Cuántos

botes de pintura necesitas, si sabes que para cada 10

metros cuadrados necesitas 1 bote?

Presenta a su tutor(a) los argumentos, procesos e

inquietudes que te surjan en la solución.

Recordemos que para transformar unidades de área, se

puede utilizar diagrama de abajo. Para convertir una unidad mayor a una menor, multiplicamos. Para

convertir una unidad menor a una mayor, dividimos.

El volumen de un cuerpo es la medida del espacio

que ocupa. El volumen se expresa con unidades

cúbicas. Por ejemplo, con el metro cúbico (m3).

Sabiendo que esta

caja tiene tres dimensiones (largo, ancho y alto) se le sugieren dos cosas:

i) Relacionar cada lado de

la caja con la dimensión

que le corresponde.

ii) Escribir cuál debe ser el

procedimiento que se requiere para determinar el volumen de este objeto.

¡Inténtalo!


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ACTIVIDAD

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Para transformar unidades de volumen, puedes usar este diagrama:

De todos los submúltiplos, dos muy usados son el decímetro cúbico (dm3) y el centímetro cúbico (cm3).

Sus equivalencias con el metro cúbico son:

La unidad de medida de capacidad

es el litro (L). Para transformar

unidades de capacidad, se puede

utilizar el siguiente diagrama:

PARA SABER UN POCO MÁS…

Otra unidad de medida que se usa

mucho en química para medir la

cantidad de sustancia es el mol.

Para medir el volumen de líquidos y los gases también

podemos fijarnos en la capacidad del recipiente que los

contiene, utilizando las unidades de capacidad,

especialmente el litro (l) y el mililitro (ml). Existe una

equivalencia entre unidades de volumen y de capacidad:

RETO: En un almacén de dimensiones 5m de largo, 3m de ancho y 2 m de alto,

queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4

dm de alto

¿cuantas cajas

podemos

almacenar?

PRACTICA

1. Para llevar a cabo esta primera práctica le sugiero analice los dos ejemplos que se presentan para que

te guies y así sea más fácil realizar la conversión a la unidad que se le indica.

Convertir Conversión (realiza el proceso)

64 m2 a cm2 64 m2 x 100000= 640.000 cm2

13,83 cl a hl

http://es.wikipedia.org/wiki/Mol


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154 dm2 a km2

78 cm3 a mm3

365 dm3 a hm3 365 dm3/ 1000000000= 0.000000365 hm3

35 L a dL

2. Determina cuántos cubos tiene la estructura de la figura y cuántos hacen falta

para completar el cubo mayor. Si cada cubo pequeño tiene una arista de 8 cm,

¿cuántos metros cúbicos ocupa el cubo mayor?

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.

B) Conceptos

Exploración: Los sólidos geométricos en nuestra vida cotidiana

La superficie de una pelota de fútbol está hechas de 12 pentágonos y 20 hexágonos

(icosaedro truncado), aunque hoy en día algunas han cambiado por

otra forma poliédrica más redondeada (el pequeño

rombicosidodecaedro) con 20 triángulos, 30 cuadrados y 12

pentágonos.

En 1996 se concedió el premio Nobel de química a tres

investigadores por el descubrimiento del fullereno (C60), cuya

forma es un icosaedro truncado.

Los panales de abejas tienen forma de prismas hexagonales

El virus de la poliomielitis y de la verruga tiene forma

de Icosaedro. Las células del tejido epitelial tienen

forma de cubos y prismas.

En sus formas naturales, muchos minerales

cristalizan formando poliedros característicos:

Si observamos a nuestro alrededor, casa, colegio,

calle, parques, descubriremos que estamos rodeados de cuerpos geométricos que nos acompañan, algunas


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ACTIVIDAD

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veces sin percibirlos. Muchas veces los utilizamos, sin detenernos a valorar su uso. En resumen, la geometría

y el arte las encontramos en nuestra vida diaria.

1. Contesta:

I. ¿Qué cuerpos geométricos observas a tu alrededor?

II. ¿Qué utilidad te brindan estos cuerpos o

sólidos?

Clasificación de los sólidos geométricos

Hay 2 clases importantes de cuerpos geométricos:

poliedros y cuerpos redondos.

Poliedros

La palabra poliedro proviene del griego “polys” que

significa muchas y de “edra” que significa base o

caras. Estamos hablando entonces de formas

geométricas que poseen varias caras, todas planas.

Poliedro es una porción de espacio limitada por

polígonos. Entre ellos tenemos:

Poliedros regulares: son también conocidos como sólidos

platónicos y se caracterizan por tener todas sus caras iguales. Son

5: tetraedro, cubo o hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Prismas: están compuestos por dos bases poligonales de igual

forma y tamaño y sus caras laterales son paralelogramos.


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Pirámides: están compuestas por una cara

poligonal que es su base y por caras

laterales con forma de triángulos.

En la vida real podemos encontrar un montón de objetos que tienen forma de poliedros, como un cubito de

hielo, una pirámide o un envase de leche.

Características de los poliedros:

Caras: las caras de los poliedros son las superficies planas

que limitan al poliedro.

Aristas: las aristas de los poliedros son los lados que

conforman cada cara.

Vértices: los vértices de los poliedros son los puntos donde se interceptan las aristas. Tres caras se unen

en un mismo vértice.

CUERPOS REDONDOS: son cuerpos geométricos compuestos total o parcialmente por figuras geométricas

curvas. También se denominan sólidos de revolución porque se generan haciendo girar una figura plana

alrededor de una recta que se llama eje de rotación o eje de giro.


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ACTIVIDAD

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Cono: El cono es un cuerpo generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.

Elementos del cono:

- Eje: es el cateto AC. Alrededor de él gira el triángulo rectángulo.

- Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono. La

base se simboliza: O (A, AB).

- Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como

manto del cono.

- Altura: corresponde al eje del cono, porque une el centro del círculo con la cúspide siendo perpendicular

a la base.

El cono tiene una cara basal plana y una cara lateral curva. Posee una arista basal y un vértice llamado

cúspide.

Cilindro: Este cuerpo redondo se forma con todas las rectas paralelas que cortan a 2 circunferencias

congruentes ubicadas en planos paralelos.

Elementos de un cilindro recto

– Eje: alrededor del cual gira el rectángulo.

– Bases: son los círculos paralelos y congruentes que se generan al girar los lados del rectángulo. Cada

uno de estos lados es el radio de su círculo y también, el radio del cilindro.

– Altura: es perpendicular a las bases y llega al centro de ellas. Esto hace que el cilindro sea recto.

– Generatriz: es el lado AB, congruente con el lado opuesto, y que al girar forma la cara lateral o manto

del cilindro.

El cilindro tiene 2 caras planas (bases) paralelas y congruentes, 1 cara lateral curva y 2 aristas basales.


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Esfera: Es el cuerpo redondo que se genera al rotar un semicírculo alrededor de su diámetro.

Elementos de una esfera:

– Generatriz: es la semicircunferencia que genera la

superficie esférica.

– Centro de la esfera: es el centro de la semicircunferencia

y corresponde al punto O.

– Radio de la esfera: distancia desde el centro de la esfera

a cualquiera de sus puntos.

– Diámetro de la esfera: Es una cuerda que pasa por el

centro de la esfera. Su longitud es dos veces el radio.

-Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la superficie esférica.

-Polos: puntos de corte del eje de giro con la superficie esférica.

Observa los elementos en este esquema:

MINI-EXPLICACIÓN: ÁREA DE LOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS

ÁREA DE SUPERFICIE DE UN CILINDRO

La fórmula para el área lateral de superficie de un cilindro de radio de base r y altura h es:

Área lateral:

Para calcular el área de las bases se emplea la siguiente fórmula:

Área de las bases:


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ACTIVIDAD

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Para calcular el área total se puede emplear las siguientes fórmulas:

Área total:

Calcular el área de un cilindro de radio 3 cm y de altura 60 mm.

En primer lugar, debemos poner tanto el radio como la altura en las mismas

unidades. Por eso tenemos que pasar la altura de milímetros a centímetros.

Convertir 60mm a cm= 60mm / 10 = 6cm

Ahora, vamos a calcular el área del rectángulo que equivale a la superficie lateral del cilindro. Como ya

habíamos indicado antes su fórmula, lo sustituimos por los valores del cilindro:

Área lateral = 2 × π × r × h

2 × 3,14 × 3cm × 6 cm = 113,04 cm²

A continuación, tenemos que calcular el área de las bases, que es igual al área de una base pero por 2.

Cogemos la fórmula que ya habíamos indicado al principio y también sustituimos los valores:

Área de la bases = 2 × π × r2

2 × 3,14 × (3cm)2 = 2 × 3,14 × 9 cm² = 56,52 cm²

Y para terminar, sumamos las partes del cilindro, es decir, el área lateral que es el área del rectángulo y

el área de las bases:

=

113,04 cm²+ 56,52 cm²= 169,56 cm²

ÁREA DE PRISMAS


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ACTIVIDAD

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El área lateral de un prisma regular es igual a la suma de las áreas de sus caras laterales, llamamos P al

perímetro y h a la altura:

El área total es igual al área lateral

más el área de los polígonos de las dos bases

Recuerda que el área de un polígono regular (área de la base) se

calcula con esta expresión:

Observa cómo se calcula el área del prisma pentagonal.

·

En la figura 5.31 se observa el desarrollo del prisma. Las caras laterales son cinco rectángulos de área

20 cm x 10 cm=200 cm2, cada uno. Entonces

A lateral=5 x 200 cm2 = 1000cm2

Las bases del prisma son pentágonos regulares, así que se calcula su área:

A base=p x a = 50 cm x 6,9 cm = 172,5cm2

2 2

Por tanto, el área total es:

A total= 1000cm2 + 2 x 172,5 cm2 = 1345cm2


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ÁREA DE PIRÁMIDES

El área lateral de una pirámide regular es igual a la suma de las áreas de las caras triangulares.

El área total es igual al área de la base más al área de los triángulos de las caras laterales.

El área de la base (Ab) se calcula según el polígono que sea la base.

Recordemos las fórmulas para hallar el área de una figura plana:

EJEMPLO:

Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura

de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.


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Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para

obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular. Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de

la pirámide cuadrangular especificada.


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VOLUMEN DEL CILINDRO

¿Qué es el volumen de un cilindro? El volumen es el área de la base que se extiende a través de la

altura del cilindro. Sus unidades están representadas en unidades cúbicas, sean pulgadas, pies,

centímetros, metros, etc. El volumen de un cilindro se calcula mediante la fórmula:

Calcula el volumen de una lata de tomates de 43 mm de radio y 137 mm de altura. Dar la respuesta

en centímetros cúbicos.

Primero expresamos en centímetros los datos dados en milímetro:

43 mm a cm= 43 mm / 10 = 4,3 cm.

137 mm a cm = 137 mm / 10 = 13,7 cm.

Ahora calculamos el volumen, aplicando la fórmula:

Por lo tanto el volumen de la lata de tomates es de 795,40 cm3, redondeando a centésimos, es decir

tomando solo dos decimales.

VOLUMEN DE UN PRISMA

El volumen de un prisma se obtiene multiplicando el área de la base (Abase) por la altura del mismo (h)


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ACTIVIDAD

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Ejemplo:

Se planea la construcción de una edificación cuya forma se ve en la figura.

¿Cuál es el volumen de la edificación?

Por lo tanto el volumen del edificio es de 240m3.

VOLUMEN DE PIRÁMIDES

El volumen de una pirámide es

igual a la tercera parte del

producto del área de su base por su altura.

Ejemplo:

Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular de

10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

Relación entre unidades de volumen y capacidad

Se puede establecer una relación entre

las unidades que se utilizan para medir

volúmenes y las unidades para medir

capacidades.

Volumen y capacidad son dos magnitudes

diferentes pero directamente

relacionadas.


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La capacidad es una magnitud que indica lo que cabe dentro de un cuerpo o recipiente, y se mide en

litros. La capacidad de un cubo de 1000 cm3 de volumen es un litro.

A partir de la relación de un dm3= 1 litro, se pueden deducir otras relaciones entre unidades de volumen

y capacidad. Veamos la tabla de equivalencias.

Ejemplo:

Un laboratorio farmacéutico envasa el alcohol en frascos de 2 tamaños. Observa el volumen en

centímetros cúbicos de cada frasco

Calcula la capacidad en litros de cada frasco:

Tamaño A = 1250 cm3 a L, entonces 1250cm3 = 1250mL, se hace la conversión 1250 / 1000=1.25 L.

Tamaño B = 2500 cm3 a L, entonces 2500cm3 = 2500mL, se hace la conversión 2500 / 1000= 2.5 L.

C) Resuelve y practica

1. Construye poliedros. Completa la tabla.

Necesitarás palillos y plastilina para unir las

aristas.

2. Los siguientes son planos de algunos sólidos

geométricos, realizarlos en cartulina con las

medidas que considere, recortarlos y pegarlos,

tomar las respectivas medidas que necesita

(utilizar regla) y hallar el área lateral, el área total

y el volumen de cada uno de ellos. Recuerda que π

Supón que se compran 10 tejas más de las

necesarias para reemplazar las que se rompan

a. ¿Cuántas tejas se necesitan para cubrir el

techo?

b. ¿Cuántas tejas se compraron en total?

c. ¿Cuál es el costo total de las tejas que se

compraron?

4. Una fábrica produce velas de parafina con la

forma y las dimensiones que aparecen en la

figura.

Para fabricar las velas se derriten barras de

parafina de 30 cm de alto, 15 cm de ancho y 60 cm

de largo.

a. ¿Cuál es el volumen de cada vela?


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20

=3, 14.

3. El tejado de una casa tiene forma de

pirámide cuadrangular, sin base. Un lado de su

base mide 16 m y su altura es de 4 m. Se sabe

que el tamaño de cada teja para cubrir el techo

es de 2m2 y su precio es $18000

b. ¿Cuál es el volumen de una barra de

parafina?

c. ¿Cuántas velas igualan el volumen de una

barra de parafina?

5. Halla cada volumen y completa

8. Calcula el volumen del sólido que aparece a

continuación:

9. Calcula el volumen de la gasolina contenida en la

caneca, si está llena hasta la mitad.


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ACTIVIDAD

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21

6. Calcula el volumen que

ocupa la siguiente casa y el área

de la fachada.

7. Una pileta de 3 metros de profundidad tiene

forma de prisma de base rectangular con las

dimensiones que se observan en la imagen.

a) ¿Cuál es la capacidad máxima de la pileta en

litros?

b) Para que la pileta no rebalse cuando se metan al

agua los bañistas ésta no debe ser llenada hasta el

borde, por lo que hay que dejar 25 cm de altura sin

agua, ¿cuántos litros de agua habrá que utilizar

entonces?

10. Jaime quiere saber el volumen de su anillo de oro

en centímetros cúbicos. Él tiene un vaso

rectangular con una base de 3 cm por 2 cm y llena

el vaso con agua a una altura de 4 cm. Jaime deja

caer el anillo en el vaso y mide que la altura del agua

es ahora de 4.25 cm. ¿Cuál es volumen del anillo de

Jaime en centímetros cúbicos?

v1: ___________

v2:____________

R/=____________

12. Joe está construyendo un fuerte hecho de cajas

para su hermano menor. Se pregunta cuánto espacio

habrá dentro del fuerte. ¿Cuánto espacio hay

dentro del fuerte?


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11. Calcula el área total y el volumen del

semicilindro.

R/= _________ pulgadas3

13. Se dispone de un recipiente como el de la figura.

¿Cuántos litros de agua caben en el recipiente?


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D) Resumen


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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Evidencias ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Identifico los

diferentes tipos de

sólidos y los clasificó

de acuerdo a sus

características.

Calculo el área de la

superficie de

cilindros, prismas y

pirámides utilizando

fórmulas que he

deducido.

Deduzco las fórmulas

y empleo diversas

estrategias para

calcular el volumen de

cilindros, prismas y

pirámides

Establezco

relaciones entre las

unidades de medida

de capacidad y de

volumen (Litros,

dm^3).

ii) Preguntas de comprensión

1) Indica si las siguientes afirmaciones

son (V) o falsas (F).

En un poliedro, el menor número de

aristas que concurren en un vértice es

tres ( )

La caras laterales de un prisma pueden

ser paralelas ( )

2) Los Poliedros se pueden clasificar en:

A) Esferas y prismas

B) Pirámides y prismas

C) Pirámides y esferas

D) Cilindros y esferas

E) Ninguna de las anteriores

3) La imagen es un prisma...

A) de base pentagonal

B) de base triangular

C) de base rectangular

D) de base cuadrada

4) El cubo de la imagen

está compuesto por

varios cubos más

pequeños. ¿Cuantos

cubos hay?

A) 8 cubos

B) 2 cubos

C) 7 cubos

D) 6 cubos

(Verifica las respuestas con tu profesor.)


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ACTIVIDAD

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iii) Resuelvo un problema

En Las Vegas hay un hotel en forma de pirámide como puedes ver

en la imagen. Su altura es de 106 m. Haciendo unos cálculos se tiene

que la base de la pirámide tiene un lado de aproximadamente unos

165 m, mientras que la apotema, tiene un valor, también

aproximado, de 122 m.

¿Cuánta superficie de cristal se ha utilizado para cubrir la

pirámide, y cuánto volumen engloba en su interior?

A= _____ V = ______


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ACTIVIDAD 2: TALES EN ESCALA

Conoceremos una herramienta fundamental en matemáticas para el manejo de proporciones

geométricas como lo es el teorema de Tales de Mileto a partir del concepto de homotecia.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de

un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo

factor. En general una homotecia de razón diferente de 1

deja un único punto fijo, llamado centro de la

transformación.

Ejemplo:

Dibuja un triángulo equilátero de 3 cm de lado y aplica una

homotecia de centro O arbitrario y razón:

a) k = 2

https://www.ecured.cu/index.php?title=Factor&action=edit&redlink=1


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ACTIVIDAD

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PRACTICA

Carlos y Andrea contrataron un tour en un globo aerostático y un amigo de ellos grabó el momento en que

suben al globo


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ACTIVIDAD

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29

● ¿Qué representa la distancia OA’? ¿Y la distancia OB’? Explica.

● Suponiendo que OA y OB tienen la misma medida, completa las siguientes expresiones.

● ¿Qué relación hay entre los cocientes anteriores? Explica.

● Si el amigo de Carlos y Andrea se aleja o se acerca al Globo, ¿La distancia OA’ y OB’ cambia?

Explica

Verifica las respuestas de la sección A con tu profesor.


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ACTIVIDAD

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B) Conceptos

LA PIRÁMIDE DE KEOPS Y EL TEOREMA DE TALES

Cuenta la historia que un sacerdote egipcio le

preguntó a Tales de Mileto (s. IV a. C)

acerca de la altura de la Pirámide de Keops,

cuando ya las pirámides rondaban los 2000 años

de edad, y éste respondió con un método de lo

más ingenioso para medir dicha altura.

La historia dice así:

«Un sacerdote egipcio le pregunta sonriendo

cuál puede ser la altura de la pirámide del rey

Khufu (la pirámide de Keops). Tales reflexionan

y a continuación contesta que no se conforma con calcularla a ojo, sino que la medirá sin ayuda de ningún

instrumento. Se echa sobre la arena y determina la longitud de su propio cuerpo.

Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está pensando, y Tales les explica: «Me pondré simplemente en

un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de

larga. En ese instante, la sombra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de medir tantos pasos como

la altura de la pirámide.»

El sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no hay algún

error, algún sofisma, Tales añade: «Pero si queréis

que os mida esa altura, a cualquier hora, clavaré en

la arena mi bastón.»

El método que utilizó Tales para calcular la altura

de la Pirámide de Keops es lo que conocemos como

Teorema de Tales.

El siguiente esquema nos permite ver el problema

en cuestión y cómo calculó Tales la altura de la

pirámide clavando su bastón en la arena.

La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que dan en la pirámide y en

el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de la Tierra) y el bastón está

clavado perpendicularmente al suelo.


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ACTIVIDAD

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31

De esta forma, los ángulos de los dos triángulos que observamos en la figura son iguales entre sí y, por

tanto, dichos triángulos son semejantes.

En dos triángulos semejantes, se cumple que sus lados homólogos son proporcionales.

En nuestro caso, se cumple que:

Supongamos ahora que, a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía 280 metros, la

sombra del bastón medía 2,87 metros y dicho bastón era de 1,5 metros. Según lo que hemos visto antes,

tendríamos que:

De

donde obtenemos:

Este es el valor aproximado de la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente tiene 136,86 m).

El método que utilizó Tales de Mileto, El Teorema de Tales, tiene una enorme utilidad puesto que, entre

otras muchas cosas, lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que sea grande sin

necesidad de medirlo directamente.

Responde:

¿Cómo puedes saber cual es la

altura de un poste de luz sin

necesidad de medirlo? Explica.

El Teorema de Tales

El Teorema de Tales enuncia que, si en un triángulo dado se traza

un segmento paralelo a uno de sus tres lados, el nuevo triángulo

generado será semejante al primero.

Al triángulo ΔABC se le traza el segmento A’C’. Vemos que

aparece un nuevo triángulo Δ A’BC’ semejante al primero. Tienen


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sus tres ángulos iguales y sus lados correspondientes son proporcionales.

De acuerdo con el teorema, se tiene que:

Esas razones de proporcionalidad se mantienen entre dos lados de un mismo

triángulo y también entre los lados correspondientes del otro.

MINI – EXPLICACIÓN: ESCALAS


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ACTIVIDAD

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Escalas

El concepto de semejanza se asocia con el de escala. Dos formas semejantes (igual forma, pero

diferente tamaño) sólo varían en la escala de su representación.

Las escalas que se utilizan en los planos y los mapas son un caso particular de proporcionalidad.

Podemos decir que las medidas en el plano y en la realidad son proporcionales, hay una razón

entre ellas que se denomina escala:

La escala numérica E expresa la razón entre la distancia en el mapa y la correspondiente en la

realidad. Se puede ver como una fracción:

Para expresar la escala en la forma unitaria 1:n, se plantea esta proporción:

Por ejemplo, la escala 1: 2 nos indica que una unidad en el plano se corresponde con 2 unidades

en la realidad.

Ejemplo:

Se quiere hacer una maqueta del Santuario de las Lajas, ubicado en Ipiales, en el departamento de

Nariño, al sur de Colombia, para decorar en nuestro hogar.

● Se van a hacer maquetas de 25cm. Teniendo en cuenta que la altura real del Santuario de las

Lajas es aproximadamente de 25,50m. ¿Podrías calcular cuál es la escala de ambas?

https://es.wikipedia.org/wiki/Ipiales

https://es.wikipedia.org/wiki/Nari%C3%B1o_(Colombia)

https://es.wikipedia.org/wiki/Colombia


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34

·

C) Resuelve y practica


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1) Construye con una regla los triángulos que forman

las alturas y las sombras del árbol y de la persona,

respectivamente. Luego, repasa con diferentes colores

los lados paralelos en los triángulos.

● Completa la proporcionalidad entre los lados

respectivos de los triángulos.

● Soluciona el problema reemplazando los datos

conocidos y hallando la altura de la persona.

2) Resuelve el siguiente problema aplicando el

teorema de Tales, realiza un dibujo representativo.

3) Santiago y Tatiana quieren hacer una maqueta

de su casa, pero solo conocen la medida de su base

real que mide 5m, la altura de la maqueta va a ser

de 16cm de alto y la escala es de 1: 500.

● ¿Cuál es la medida de la altura de la casa

real?

● ¿Cuál es la medida de la base de la

maqueta?

● ¿Cómo usarías el teorema de Tales para

resolver este

problema?

4) Las dimensiones de una

cama es 1,20 m de ancho por

2m de largo. Se quiere una

maqueta de la cama a escala

con relación de 1:75.

¿Cuáles serían las medidas de la cama a escala?

5) Con la ayuda y orientación del profesor, vas a

realizar una maqueta de un parque cerca de donde

vives, de tu colegio

o de tu casa, con

materiales

reciclables,

recuerda utilizar el

teorema de Tales

para saber las

medidas de los


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objetos y la escala para la proporcionalidad de la

maqueta.


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D) Resumen


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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu

cuaderno

Evidencias

⚫⚪⚪

Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪

Voy bien, pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫

Comprendí muy

bien el tema

Comprendo

cuándo podemos

utilizar el

teorema de Tales

Aplico el teorema

de Tales para

resolver

problemas en

situaciones del

mundo real.

Comprendo la

relación de

escala entre

objetos

Aplico la relación

de escala entre

objetos con el

teorema de Tales

y viceversa.

ii) Preguntas de comprensión

1) Al usar teorema de Tales es

NECESARIO que los triángulos…

[ ] sean congruentes.

[ ] sean semejantes.

[ ] sean totalmente diferentes.

2) Para aplicar el teorema de Tales en el

triángulo necesitamos…

[ ] un segmento paralelo a uno de sus tres

lados.

[ ] un segmento que corte a uno de sus

tres lados.

[ ] No se puede aplicar el teorema de

Tales.

3) La maqueta de un edificio tiene una

altura de 25 cm y su tamaño real es de 65

m. ¿Cuál es su escala?

[ ] Su escala es de 1: 200.



(Verifica las respuestas con tu profesor)


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iii) Resuelvo un problema

1) Aplicando el teorema de Tales, hallar la altura del edificio.

2) Si queremos hacer una maqueta de la imagen a una escala de

1:350, ¿Cuál sería la altura del edificio y del árbol?

Guía 78: Fabricando modelos a escala

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