1

Instituto Técnico “Jesús Obrero”

Área de Formación: Matemática Menciones: Informática y Electrónica

Material Recopilado y Adaptado con fines pedagógicos por: Prof. Edgar J. Rodríguez

Julio – 2020

Guía de Apoyo y Repaso Para estudiantes promovidos a

Quinto Año Año Escolar: 2020 - 2021

2

INDICE

Obj. 0 Nivelación. Pág.4

Racionalización Funciones Sistemas de ecuaciones Teorema de Pitágoras

Obj. 1 Funciones reales notables Pág.6

Dominio Rango Representación grafica

Obj. 2 Función exponencial Pág.7

Estudio, características y gráfica Ecuaciones exponenciales: igualación de base Ecuaciones exponenciales: cambio de variable

Obj. 3 Función logarítmica Pág.9 Estudio, características y gráfica Propiedades de los logaritmos Logaritmos decimales: operaciones

Obj. 4 Trigonometría Pág.12 Sistemas de medidas de ángulos Funciones Trigonométricas Circulo trigonométrico Resolución de triángulos rectángulos: aplicaciones Ley del seno y ley del coseno

Obj. 5 Progresiones Pág.18 Progresiones aritméticas Progresiones geométricas Aplicaciones

3

AL ESTUDIANTE

Este material tipo problemario no es, en modo alguno un libro de texto. Es una guía para orientar a los alumnos que inician el curso de 5to año y ha sido concebido para facilitar, en parte, la transición entre el Bachillerato y la Universidad. El material está estructurado con parte los tejidos temáticos contemplados en el programa de articulación del cuarto año de educación media general y técnica

El objetivo cero (0) contiene un repaso de las herramientas matemáticas que se han visto en años anteriores y que servirán de base para el entendimiento del contenido programático.

4

Obj. 0 Nivelación

1. Complete el cuadro utilizando el símbolo o según convenga.

N Z Q I R* R+ R- R

-3

0

2,6

4,1025…

0,34545..

-1,567…

3

9

Efectúa las siguientes adiciones con aproximación de tres cifras decimales:

2) 4,233... + 0,899... 3) 3,8257... + 0,222.. .4) 4,755.. + 8,3 5) 0,43 + 9,7675

6) 3,246 + 0,081 + 1,37

Efectúa las siguientes operaciones indicando el resultado con dos decimales:

7) (0,243).(3/8) 8) (6,98).(5,325) 9) 8,3.2 10) )1,624).(3/7) 11) (6,2).(-0,37)

Calcula las siguientes potencias con aproximaciones de cuatro cifras decimales:

12) (0,8)3 13) (0,17)2 14) (0,65)3 15) (0,025)2 16) (5,8)3

Racionaliza:

17) 3

2 18)

2

4 19)

12

63

20) 3

1

a 21)

8

12 22)

52

2

23) 23

4

24)

23

4

25)

32

1

26)

523

7

Grafica las siguientes funciones:

27) f(x) = 2x -3 28) f(x) = 3x -2

1 29) f(x) = x2 + x + 1 30) x2 – x – 2

5

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método que desees:

31)

yx

xy

395

31 32)

8126

149

yx

yx 33)

5,0

3,1

yx

yx

34)

175

3

3

2

215

4

4

3

yx

yx

35)

53

2

5

1

52

1

3

2

yxyx

yyx

Halla el tercer lado de cada uno de los triángulos rectángulos siguientes:

36) cateto = 3 cateto = 4 hipotenusa = ¿? 37) cateto = ¿? cateto = 6 hipotenusa = 10

38) cateto = 9 cateto = ¿? hipotenusa = 16 39) cateto = 8 cateto = 6 hipotenusa = ¿?

40) cateto = ¿? cateto = 10 hipotenusa = 15 41) cateto = 14 cateto = ¿? hipotenusa = 25

42) cateto = ¿? cateto = 12 hipotenusa = 16 43) cateto = 2 cateto = 1 hipotenusa = ¿?

44) cateto = 3 cateto = 3 hipotenusa = ¿? 45) cateto = 1 cateto = 1,5 hipotenusa = ¿?

Respuestas de los ejercicios del obj. 0

2) 5,132 3) 4,048 4) 13,055 5) 10,198 6) 4,697 7) 0,09

8) 37,17 9) 5,37 10) 0,70 11) –2 ,29 12) 0,5120 13) 0,0289

14) 0,2746 15) 0,0006 16) 195,1120 17) 3

32 18) 22 19) 6/9726

20) 2a

a 21) 23 22)

23

252

23)

7

2412 24)

7

2412

25) 32 26) 17

51437

31) 3 y 8 32) 1/3 y 1/2 33) 0.4 y 0.9

34) 12 y 15 35) 6 y 3 36) 5 37) 8 38) 5 7 39) 10 40) 5 5

41) 429 42) 4 7 43) 3 44) 6 45) 2

13

6

Obj. 1 Funciones reales

Determine los valores de la función que se piden en cada uno de los siguientes ejercicios:

1) f(x) = 12 x determine: f(0), 22f , f(-3)

2) f(y) = y 3 – y 2 determine: f(-2), f(1), f(5)

3) f(z) = 3 10z determine: f(-80) f(2,7) f(4/5)

4) f(t) = 2t - t determine; f(4) f(0) f(9)

5) f(x) = + 12 x

x determine: f(0) f( 3 ) f(1/x)

6) f(x) = + 32 x determine: f(6) f(21/8) f

63

2

1 2 xx

7) f(u) = 2 u determine: f(0) f(-2) f(3)

8) f(t) = 3 2-t determine: f(3) f(-1) f(2)

9) f(x) = xx determine: f(2) f(-2) f(1/4)

10) f(y) = y2 –2y + 1 determine: f(a) f(y+1) f( a )

Determine el dominio de cada una de las siguientes funciones:

11) f(x) = x2 - 3x + 2 12) f(y) = 1

1

y 13) g(z) = 14 z 14) f(x) =

21

2

x

x

15) f(t) = t 16) f(x) = 2

2

1

1

x

x

17) g(x) = 82 2 x 18) f(y) =

43

1

y

19) f(z) = 3

32

z

z 20) f(t) = 3 22 t 21) f(x) =

183

292

XX

X 22) f(x) =

6

4

x

x

23) g(x) = 7

3

x

x 24) g(x) =

3

8

x

x 25) f(x) =

4

4

x

x 26) g(x) = 1

147

6 2

xx

27) f(x) = 128

32

xx

x 28) f(x) =

1452

xx

x 29) f(x) =

143

232

xx

x

30) g(x) = 2410

342

3

xx

x

7

Respuestas de los ejercicios del obj. 1

1) –1, -3, - 10 2) –12, 0, 100 3) -2 2,3,1003 4) 6, 0, 15 5) 1

,2

3,0

2

4

x

x

6) 3, 3/2, x + 3 7) 1, ¼, 8 8) 1/3, 27, 1 9) 4, ¼, 2

2 10) a2 –2 a + 1; y2; a -2 1a

11) R 12) R - 1 13)

,

4

114) R 15) R - + 0 16) R - 1,1 17) ,22,

18) R -

3

4 19) R - 0 20) R 21) R - 3,6 22) 6,4 23) ,3

24) 38, 25) 4, 26) R 27) 6,2,3 28) 2,0 29) 1,3

2

30) R - 2,12

Obj 2 Función Exponencial

Estudie y grafique las siguientes funciones exponenciales:

1) F(x) = 3 x 2) F(x) = (1/3) x 3) F(t) = 4t 4) F(x) = (1/4) x 5) F(x) = 1,5 x

Resuelva por el método de igualación de bases las siguientes ecuaciones exponenciales:

6) 2 x = 64 7) 3 x = 243 8) 7 x = 343 9) 5 x = 625 10) 4 2x + 1 = 1024 11) 3 4-x = 9

12) 2 7-x = 1/32 13) 21281

x 14) 025125 x 15) 0612962 x 16) 13 42

x

17) 0116 162

x 18) xx 229 19) 093

2

x 20) x

x

52

12

2

21) 366 1942

xx 22)

7

17 12 2

xx 23) 10244 93 2

xx 24) 93

3 39 2

xx

25) xx 381 26)

xx 82128 27) 32

1

2

113

x

28)

152

8

1

4

1

xx

29) 273 2 x

30) 14 28.2 xx 31) 93

3 2 2 xx 32) 51 12111 xx 33) 3 65 12 816 xx

34)32

18

1

x 35) 81

16

2

3

x

36) xx 33 55 37) xx 2781 38) 24

25 32

3 12

x

x

8

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales (introduciendo cambio de variable)

41) 4x + 2x – 6 = 0 42) 9x + 3x – 12 = 0 43) 9x – 4.3x+2 + 243 = 0

44) 4x – 15.2x + 56 = 0 45) 25x – 6.5x + 5 = 0 46) 25x+1 – 76.5x + 3 = 0

47) 49x – 3.7x + 2 = 0 48) 4x – 2x+3 + 15 = 0 49) 9x - 4 013.3 1 x

50) 5x + 3.5-x = 4 51) 7x – 2.71-x – 5 = 0 52) 22x+1 – 9.2x + 4 = 0

53) 52x+1 – 126.5x + 25 = 0 54) 077.849 xx 55) 9x-1/2 – 2.3x – 9 = 0

Respuestas de los ejercicios del obj. 2

6) 6 7) 5 8) 3 9) 4 10) 2 11) 2 12) 12 13) 7 14) 3/2 15) 2

16) 2 17) 4 18) 3 19) 2 20) 0, - 5 21) 7, - 3

22) 0, ½ 23) 2, - 7/3 24) 1, - 2/3 25) 2 26) 7,1 27) 2

28) 13 29) 1 30) 5 31) 4, - 2 32) 19/3 33) 34/3

34) 3/5 35) – 4 36) 3 37) 3

6 38) 4 41) 1

42) 1 43) 3,2 44) 3 45) 1, 0 46) – 2 47) 0

48) 2,322 y 1,585 49) 2

1 50) 0 51) 1 52) 2, - 1

53) 2, -1 54) 1, 0 55) 2

9

Obj. 3 Función logarítmica

Exprese cada una de las siguientes igualdades exponenciales en forma logarítmica.

1) 35 = 243 2) 53 = 125 3) 9

1

3

13

4)

125

64

5

43

5) 7492

1

Exprese en forma exponencial las siguientes igualdades logarítmicas.

6) lg 3 729 = 6 7) lg 4 1024 = 5 8) lg ½ 8 = - 3 9) lg 3/2 8/27 = - 3 10) lg 9 27 = 3/2

Halle los logaritmos de base 2 de cada una de las siguientes expresiones:

11) 4 12) 8 13) ½ 14) 2 15) 4 2

Halle los logaritmos de base 3 de cada una de las siguientes expresiones:

16) 3 17) 1 18) 9 19) 27

1 20)

729

1

Determina el valor de “x” en cada una de las siguientes ecuaciones:

21) lg 2 x32

1 22) lg 3 81 = x 23) lg b xb 24) lg a a

-4 = x

25) lg 16 x = - 2

3 26) lg 1/b b = x 27) xb

b6

2lg 28) lg 2 1/8 = x

29) lg 9 x = - ½ 30) lg x 9 = 3/2

Determina el valor de “x” en cada una de las siguientes expresiones:

31) 125lg32lg 52 x 32) 49lg0625,0lg 74 x 33) 243lg3lg

8lg64lg

99

648

x

34) 32lg0001,0lg

256lg1lg5lg

210

81125

x 35)

121lg

2

29

3

45

1164lg

1lg64

27lg625lg

x

Calcula el logaritmo de “x” en la base que se señala para cada uno de los ejercicios y

simplifique cuando sea posible:

36) x = a.b base = 2 37) x = y2 base = b

38) x = a2.b3.c4 base = b 39) x = 3

22

a

m base = a

10

40) x = 73

25

npm

cab base = c 41) x = 3 a base = b

42) x = 2 4 23 cba base = b 43) x = 762

25

npm

bca base = c

44) x = a2b. 3 2ab base = 3 45) x = 3 ab

abab base = b

46) x = mnp

pmnnm 5 43

base = n 47) x = 3 2 npnm base = n

48) x = 5 43

5 42

26

323

bab

aba base = 3 49) x =

3

32

ee

eee base = e

50) x = 4

5

2187

243327

a

a base = 9

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas:

91) 4lg2 x 92) 2

1lg3 x 93) lg a (x+2) = 3 94) lg 112 x

95) lg 2

1253 x 96) lg (2x-8) + lg (3x-10) = lg 66 97) lg (6-x) – lg(1-x) = lg 2

98) lg (x2- 3) – lg (x + 3) = colg 5 99) lg (3 + x) – lg 2 = lg 5 – lg (4 - x)

100) lg (3x + 1) + lg (6x -1) = lg (9x - 1)

Respuestas de los ejercicios del obj. 3

1) lg 3 243 = 5 2) lg 5 125 = 3 3) lg 1/3 1/9 = 2 4) lg 4/5 64/125 = 3

5) lg 49 7 = ½ 6) 36 = 729 7) 45 = 1.024 8) (1/2)-3 = 8

9) (3/2)-3 = 8/27 10) 93/2 = 27 11) 2 12) 3

13) – 1 14) ½ 15) 5/2 16) 1

17) 0 18) 2 19) – 3 20) – 6

21) – 5 22) 4 23) ½ 24) – 4

25) 1/64 26) – 1 27) 3 28) – 3

11

29) 1/3 30) 3 33 31) 8 32) 0

33) 5/6 34) 19/6 35) 7/36 36) lg 2 a + lg 2 b

37) 2 lg b y 38) 2 lg b a + 3 + 4 lg b c 39) lg a 2 + 2 lg a m – 3

40) lg c a + 5 lg c b + 2 – 3 lg c m – lg c n – 7 lg c p 41) (1/3) lg b a

42) lg b 2 + ¼ (3 lg b a + 2 + lg b c) 43) (1/7)(5lg c a + lg c b + 2 – 2lg c m – lg c n –6 lg c p)

44) (1/3)(7 lg 3 a + 5 lg 3 b) 45) (1/6)(7 lg b a + 7) 46) (1/10)(27 lg n m + 13 – 3 lg n p)

47) (1/6)(4 lg n m + 3 + lg n p) 48) (1/10)(16- 4 lg 3 2 + 6 lg 3 a – 7 lg 3 b)

49) (1/12)(12 lg c 2 + 13 + 6 lg c 3) 50) 5/2 91) 16

92) 3 93) a3 – 2 94) 101/2 95) 2

10105

96) 7 97) – 4 98) 2,5

9 99) 2, - 1 100) 1/3

12

Obj 4 Trigonometría

Convierta a radianes:

1) 30º 2) 45º 3) 18º 4) 120º 5) 150º 6) 240º 7) 315º 8) 270º 9) 225º 10) 335º

Convierta a grados sexagesimales:

6

11)20,

4

5)19,

5

6)18,

2)17,

3

2)16,

60

17)15,

6

5)14,

18)13,

3

5)12,

4)11

Dados los siguientes ángulos: :,4

7,

3

5,

6

5,

2calcule

21) 22) 23) 24) 25)

Determina el coseno y el seno de los ángulos que se indican en las siguientes figuras,

simplifique y racionalice cuando sea posible:

36) 13 2 37) 10 742 38) 12 13

3 14 5

39) 24 40) 36

7 77 85

25

Calcule en cada figura las incógnitas que se señalan:

61) 62) 63) 64)

x

24 y 40

30º y y 52 x

x 15

30º 30º

60º

x

13

100 x

30º 45º

Calcule el área y perímetro de los siguientes triángulos:

68) 69) 70)

20 32 26 12

60º

30º 45º 30º

Resuelve los siguientes ejercicios:

71) Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo están entre sí como 1 es a 2 y el mayor

de los catetos mide 15 cm, calcule el perímetro.

72) Calcule la altura de un edificio si un observador situado a 50 m de él ve la parte

superior con un ángulo de elevación de 60º.

73) Calcule la anchura de una calle si un observador situado sobre un edificio de 90 m de

altura ve la acera de enfrente con un ángulo de depresión de 60º.

74) Desde la ventana de un edificio situada a 10 m del suelo se ve el edificio de enfrente

de la siguiente manera; la parte superior con un ángulo de elevación de 30º y la parte

inferior con un ángulo de depresión de 45º. Calcule: a) la anchura de la calle; b) la altura

del edificio.

75) Un observador ve la parte superior de una estatua con un ángulo de elevación de 30º.

Camina 10 m hacia la estatua y en ese momento ve la parte superior de la misma con un

ángulo de elevación de 60º. Calcule la altura de la parte superior de la estatua.

76) Desde un faro de 60 m de altura se ven dos lanchas alineadas con el faro y a un mismo

lado de éste con ángulos de depresión de 30º y 60º. Calcule la distancia entre las lanchas.

77) Dos barcas “A” y “B” observan simultáneamente a un avión que está en el plano

vertical de los barcos y a la derecha del barco “B”, con ángulos de elevación de 30º y 45º

respectivamente. Calcular la altura del avión si la distancia entre los barcos es de 200 m.

77) Dos observadores “A” y “B” están en la misma horizontal separados por una distancia

de 250 m. Entre ellos y en el mismo plano vertical hay un globo que “A” ve con un ángulo

de elevación de 45º y “B” con ángulo de elevación de 60º. Halle la altura del globo.

79) Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo están entre sí como 1 es a 2 y el mayor

de los catetos mide 20 m, calcule el perímetro.

14

80) Calcule la altura de un edificio si un observador situado a 80 m de él ve la parte

superior con un ángulo de elevación de 60º.

81) Calcule la anchura de una calle si un observador situado sobre un edificio de 30 m de

altura ve la acera de enfrente con un ángulo de depresión de 30º.

82) Desde la ventana de un edificio situada a 12 m del suelo se ve el edificio de enfrente

de la siguiente manera; la parte superior con un ángulo de elevación de 30º y la parte

inferior con un ángulo de depresión de 60º. Calcule: a) la anchura de la calle; b) la altura

del edificio.

83) Un observador ve la parte superior de una estatua con un ángulo de elevación de 45º.

Camina 10m hacia la estatua y en ese momento ve la parte superior de la misma con un

ángulo de elevación de 60º. Calcule la altura de la parte superior de la estatua.

84) Desde un faro de 60 m de altura se ven dos lanchas alineadas con el faro y a un mismo

lado de éste con ángulos de depresión de 45º y 60º. Calcule la distancia entre las lanchas.

85) Dos barcas “A” y “B” observan simultáneamente a un avión que está en el plano

vertical de los barcos y a la derecha del barco “B”, con ángulos de elevación de 30º y 45º

respectivamente. Calcular la altura del avión si la distancia entre los barcos es de 1

kilómetro.

86) Dos observadores “A” y “B” están en la misma horizontal separados por una distancia

de 420 m. Entre ellos y en el mismo plano vertical hay un globo que “A” ve con un ángulo

de elevación de 45º y “B” con ángulo de elevación de 60º. Halle la altura del globo.

87) ¿Cuánto tiene que alejarse una persona de un edificio de 85 m de alto para ver la parte

más alta con un ángulo de elevación de 65º?

88) Una escalera de 10 m de largo está apoyada contra una pared alcanzando sobre ella

una altura de 8,19 m.¿Qué ángulo forman la escalera y la pared?,¿A qué distancia de la

pared está el pié de la escalera?

89) ¿Con qué ángulo de elevación ve una persona la parte más alta de un edificio de 27,47

m de altura, si se encuentra a 10 m de la base del edificio?

90) Un chamito lanza una piedra con una china contra un faro de 6 m de altura. La piedra

recorre un espacio de 11 m antes de desguañangar el farol.¿Con qué ángulo de elevación

fue lanzada la piedra?

Calcula cos con los datos que se dan en cada uno de los siguientes ejercicios:

91) Sen = 2

1 ( en I C) 92) Sen = 5/13 ( en II C)

93) Sen = - 15/17 ( en III C) 94) Sen = - 24/25 ( en IVC)

95) Sen = 13

2 ( en I C) 96) Sen = - 9/41 ( en III C)

97) Sen = - 1 ( en IIII C) 98) Sen = - 3/5 ( en IV C)

15

99) Sen = 5

2 ( en II C) 100) Sen =

10

1 ( en III C)

Calcular seno con los datos que se dan en cada uno de los siguientes ejercicios:

101) Cos 5

1 ( en IC) 102) Cos 40/41 ( en IVC)

103) Cos 1 104) Cos 10

3 ( en IIIC)

105) Cos - 7 /25 ( en IIC) 106) Cos 16/65 ( en IVC)

107) Cos - 2/5 ( en IIIC) 108) Cos - ¾ ( en IIC)

109) Cos 0,5 ( en IVC) 110) Cos22

22

yx

yx

( en IC)

Utilizando el teorema de los senos, resuelva los siguientes triángulos oblicuángulos:

124) 42º 56º c = 33,2 125) 110º 35º a = 83,7

126) c = 18 a = 18º 18º 127) b = 10 a = 12,3 52º

128) c = 10 b = 10 60º 129) b = 14 c = 14 51º

130) 15º 50º c = 243 131) a = 57,8 b = 42,3 130º

Utilizando el teorema de los cosenos, resuelva los siguientes triángulos oblicuángulos:

132) a = 10 b = 20 60º 133) b = 5 c = 6 50º

134) a = 3 b = 5 100º 135) b = 100 c = 200 120º

136) a = 12 c = 15 157º 137) a = 7 b = 9 174º

138) a = 0,5 c = 0,4 48º 139) a = 10 b = 15 c = 13

140) a = 37 b = 28 c = 25 141) a = 182 b = 195 c = 207

142) a = 14,7 b = 20,3 c = 25,4 143) a = 1 b = 2 c = 2,5

144) a = 93 b = 85 c = 100 145) a = 0,8 b = 0,6 c = 0,75

16

Respuestas a los ejercicios del obj.4

36

67)10,

4

5)9,

2

3)8,

4

7)7,

3

4)6,

6

5)5,

3

2)4,

10)3,

4)2,

6)1

,11) 45º, 12) 300º, 13) 10º

14) 150º, 15) 51º, 16) 120º, 17) 90º, 18) 216º, 19) 225º, 20) 330º, 4

17)22,

3

4)21

,12

25)25,

12)24,

3)23

13

5;

13

12)38,

74

745;

74

747)37,

13

132;

13

133)36

39) 7/25; 24/25 40) 77/85; 36/85 2

1)45,

8)44,

2

2)43,

2

3)42,

2

3)41

Cos ,

12;312)61,8

3)60,

21)59,

4

4)58,

2

2)57,

2

3)56,

2

3)55,

7

2)54

CosCosCos

250)67,10)66,23)65,30)64,326;26)63,320;20)62 68) 31030;350

69) 362618;31818)70,31648;3128 , 71) 40,98 cm 72) 85,6 m

73) 51,96 m 74) 10 m; 15,77 m 75) 8,66 m 76) 69,28 m 77) 273,2 m 78) 185,5 m

79) 94,64 m 80) 138,56 m 81) 51,96 m 82) 6,93 m y 16 m 83) 23,66 m 84) 25,36 m

85) 1.366,03 m 86) 266,27 m 87) 39,63 m 88) 35º; 5,74 m 89) 70º 90) 33º 3´

41

40)96,

13

3)95,

25

7)94,

17

8)93,

13

12)92,

2

1)91 , 97) 0, 98)

5

1)99,

5

4 , 100)

10

3

101) 5

2 102) – 9/41 103) 0 104) -

10

1 105) 24/25

106) – 63/65 107) 5

21 108)

4

7 109) -

2

3 110)

22

2

yx

xy

124) 82º; 22,43; 27,79 125) 35º; 137,13; 83,7 126) 18º; 144º, 34,24

127) 75º 41´; 52º 14´; 10,03 ó 104º 14´; 23º 45´; 5,11 128) 60º; 60º; 10

129) 51º; 78º; 17,62 130) 115º; 69,39; 205,39 131) 34º 6´; 15º 54´; 20,67

132) 17,32; 30º; 90º 133) 4,74; 53º 58´; 76º 21 134) 6,26; 28º 9´; 51º 51´

135) 264,6; 19º 6´; 40º 54´ 136) 26,46; 10º 12´; 12º 48´ 137) 15,98; 2º 37´; 3º 23´

138) 0,38; 80º 1´; 51º 59´ 139) 41º 5´; 80º 15´; 58º 40´ 140) 88º 22´; 49º 9´; 42º 29 ́

141) 53º 44´; 59º 46´; 66º 30´142) 35º 21´; 53º 1´; 91º 38´ 143) 22º 20´; 49º 27´; 108º13 ́

144) 59º 42´; 52º 6´; 68º 11´ 145) 71º 42´; 45º 24´; 62º 53´

17

Obj 5 Progresiones

Progresiones aritméticas (P.A.)

Determine la P.A. con los datos que se dan en cada ejercicio:

1) a 1 = - 5 r = 3 n = 5 2) a1 = - 6 r = - 4 n = 6

3) a1 = ½ r = 5/2 n = 4 4) a1 = 2x r = x + 1 n = 5

5) a1 = 1/3 r = - 1/3 n = 5 6) a1 = - 3 3 r = 5 3 n = 4

7) a1 = 100 r = - 15 n = 4 8) a1 = 5x + 4 a r = 3x – 2 a n = 5

9) a1 = x/3 r = x/2 n = 5 10) a1 = 5/4 r = - 1/8 n = 7

Determine la razón de cada una de las siguientes progresiones aritméticas:

11) PA: 1, 2, 3, 4,...... 12) PA: -1, -3, -5, -7,...... 13) PA: 5, 10, 15, 20,...........

14) PA: 4, 7, 10, 13, ... 15) PA: 1, 3/2, 2, 5/2,...... 16) PA: 1, 5, 9, 13,...............

17) PA: 8, 37/5, 34/5, 31/5,.. 18) PA: 12, 37/3, 38/3, 13,... 19) PA: 7, 31/5, 27/5, 23/5,..

20) PA: m, m + a/2, m + a, m + 3 a/2.......

Con los datos que se dan, determine en cada ejercicio el término señalado entre paréntesis:

21) a1 = 5 r = 4 (a7) 22) a1 = 9 r = - 2 (a6) 23) a4 = 11 r = - 9 (a8)

24) a7 = 18 r = 7 (a4) 25) a6 = 2x r = x – a (a10) 26) a5= 5/2 r = ¾ (a15)

27) a18 = - 11 r = - 3 (a1) 28) a13 = - 6 r = - 2 ( a1) 29) a14 = 73 r = -5 (a5)

30) a10 = - 7/3 r = - 2/3 (a6)

Interpolar los medios aritméticos que se indican en cada ejercicio:

41) 3 MA entre 7 y 19 42) 5 MA entre –5 y – 17 43) 4 MA entre 4 y – 4

44) 3 MA entre – 7 y 15 45) 2 MA entre ½ y 1/3 46) 3 MA entre 3/2 y 7

47) 4 MA entre ½ y 3/16 48) 3 MA entre 10 y 20

Progresiones geométricas ( P.G.)

Determina la progresión geométrica con los datos que se dan en cada ejercicio:

61) a1 = 5 r = 3 n = 4 62) a1 = - 3 r = 2 n = 5 63) a1 = 7 r = - 2 n = 5

64) a1 = - 4 r = - 5 n = 5 65) a1 = 8 r = - ½ n = 6

18

Con los datos que se dan, determine en cada ejercicio el término señalado entre paréntesis:

66) a1 = 18 r = - 1/3 (a6) 67) a1= - 7/25 r = 5 (a5)

68) a4 = 22/49 r = 7/2 (a8) 69) a11= -3 2 r = 2 (a17)

70) a13 = - 512 r = - 2 (a7) 71) a10 = 486 r = 3 (a4)

72) a9 = - 1/768 r = ½ (a1) 73) a5 = 2/243 r = - 3 (a11)

74) a12 = 6 2 r = 2 (a8) 75) a1 = 1 r = 2 (a64)

Interpolar los medios geométricos que se indican en cada ejercicio:

81) 3 MG entre 3 y 48 82) 4 MG entre – 5 y - 160

83) 2 MG entre 75 y 25/9 84) 4 MG entre – 128/343 y 196

85) 5 MG entre 9 6 y 3

6 86) 2 MG entre

5

5

45

15y

87) 4 MG entre – 64 x5 y – 2 88) 4 MG entre 38.880 y – 5

Respuestas a los ejercicios del obj. 5

1) PA: - 5, - 2, 1, 4, 7 2) PA: - 6, - 10, - 14, - 18, - 22, - 26

3) PA: ½, 3, 11/2, 8 4) PA: 2x, 3x + 1, 4x + 2, 5x + 3, 6x + 4

5) PA: 1/3, 0, - 1/3, - 2/3, - 1 6) PA: 312,37,32,33

7) PA: 100, 85, 70, 55 8) PA: 5x + 4 a, 8x + 2 a, 11x, 14x – 2 a, 17x – 4 a

9) PA: x/3, 5x/6, 4x/3, 11x/6, 7x/3 10) PA: 5/4, 9/8, 1, 7/8, ¾, 5/8, ½

11) 1 12) – 2 13) 5 14) 3

15) ½ 16) 4 17) – 3/5 18) 1/3

19) – 4/5 20) a/2 21) 29 22) – 1

23) – 25 24) – 3 25) 6x – 4 a 26) 10

27) 40 28) 18 29) 118 30) 1/3

41) PA: 10, 13, 16 42) – 7, - 9, - 11, - 13, - 15 43) 12/5, 4/5, - 4/5, - 12/5

19

44) – 3/2,4, 19/2 45) 4/9, 7/18 46) 23/8, 17/4, 45/8 47) 7/16, 3/8, 5/16, ¼

48) 25/2, 15, 35/2 61) 5,15, 45, 135 62) – 3, - 6, - 12, - 24, - 48

63) 7, - 14, 28, - 56, 112

64) – 4, 20, -100, 500, - 2.500 65) 8, - 4, 2, - 1, ½, - ¼ 66) – 2/27

67) – 175 68) 539/8 69) - 24 2 70) – 8 71) 2/3 72) – 1/3

73) 6 74) 4

26

75) 2 63 81) 24,12,6 82) – 10, - 20, - 40, - 80

83) 25, 25/3 84) 64/49, - 32/7, 16, - 56

85) 2,6,23,63,29 86) 15

15,

15

5 87) – 32x4, – 16x3, – 8x2, – 4x

88) – 6.480, 1.080, - 180, 30