GUÍA MÉTODO DE RIGIDEZ DIRECTA O GENERACIÓN...

Análisis Matricial de Estructuras

Ayudantes: Sergio Currilen, Diego Valdivieso Página 0

Universidad de Santiago de Chile

Facultad de Ingeniería

Depto. de Ingeniería en Obras Civiles

GUÍA MÉTODO DE RIGIDEZ DIRECTA

O GENERACIÓN DIRECTA.

Realizado por:

Sergio Currilen.

Diego Valdivieso.



Algoritmo Método de Rigidez Directa

i) Reducción de la Estructura.

ii) Determinación de los Grados de Libertad.

iii) Determinación de los Grados de Libertad Independientes de la estructura,

mediante la aplicación de compatibilidades geométricas.

iv) Matriz de Transformación de grados de libertad dependientes a independientes

[ T ].

v) Momentos de Empotramiento Perfecto (Estructura A y Estructura B).

vi) Deformación Unitaria de cada Grado de Libertad Independiente de la

estructura, (ri=1; rj =0 para todo “ i ” distinto de “ j ”).

A continuación se presentan las deformaciones bases para el método, dado una

barra AEI de longitud conocida L, y que es sometida a giros, desplazamiento

vertical y desplazamiento horizontal.



vii) Obtención de los coeficientes de la matriz de rigidez para luego obtener la

matriz de rigidez referida a los grados de libertad independientes [ Kq ].

viii) Vector de fuerzas externas { R }, y determinación de { Q }.

ix) Ley de Hooke Matricial [Kq]*{q}={Q}, y obtención de giros y desplazamientos.

x) Calculo de Esfuerzos, despiece y diagramas.

Nota: Recordar que Kij es el esfuerzo provocado en el GDLI j al deformar

unitariamente el GDLI i.



Ejercicio N°1

Para la estructura que se muestra a continuación, se pide determinar la matriz de

rigidez referida a los grados de libertad independientes de la estructura (Kq); sin

embargo se debe considerar en los cálculos de cada coeficiente el grado de

libertad diagonal dado, y que se muestra en la figura.

AE= 10 EI

Solución:

a) Primero se debe determinar los grados de libertad de la estructura, estos

corresponden a las coordenadas que describen las posibilidades de

movimientos en los nudos.

b) Ahora se deben establecer las compatibilidades entre los grados de libertad

de la estructura, de tal manera de establecer los grados de libertad

independientes de la estructura, estos corresponden a los grados de

libertad mínimos para representar el desplazamiento de la estructura.

Las compatibilidades son del tipo:

- Para la barra EI

( )



r1r2r3

- Para la barra infinitamente rígida

Las compatibilidades para este caso estructural:

cos α= 3/5; sen α= 4/5

Entonces se obtiene finalmente la matriz de compatibilidades entre grados de

libertad que resulta del análisis de { r } = [ T ]*{ q }

c) Establecer las deformaciones según cada caso de grados de libertad

independientes para luego determinar los coeficientes de la matriz de

rigidez, para los siguientes casos

Caso 1: r1=1, ri=0

(1) *

T

1

0

0

0

0

1

2

1

0

0

2

5

0

1

r1

r2

r3

r4



(

)

(

)

Caso 2: r3=1, ri=0

(

) +(1)*

[

(

)

] [

(

)

]

=>

[

(

)

] (

)

=>



Caso 3: r4=1, ri=0

(

) + (1)*

[

(

)

] [

(

)]

[

(

)

] (

)

d) Finalmente reordenando los términos de la matriz se obtiene la matriz de rigidez

de la estructura referidos a los grados de libertad independientes. Se puede

verificar que la matriz es simétrica y los términos de la diagonal son positivos.

[

]



Ejercicio N°2

Para las figuras que se muestran, determinar:

i. Matriz de rigidez relacionada a los grados de libertad independientes de

la figura 1.

ii. Rigidez del resorte helicoidal que se muestra en la figura 2, que resulta

de reducir los elementos de la figura 1.

Figura1.

Figura 2.

Solución

a) Primero se debe determinar los grados de libertad de la estructura, estos

corresponden a las coordenadas que describen las posibilidades de

movimientos en los nudos.



T

0

1

0

0

0

0

1

L

0

1

1

0

1

1

L

0

0

0

1

2

1

L

r1

r2

r3

r4

r5

r6

b) Ahora se deben establecer las compatibilidades entre los grados de libertad de la estructura, de tal manera de establecer los grados de libertad independientes de la estructura, estos corresponden a los grados de libertad mínimos para representar el desplazamiento de la estructura.

Las compatibilidades son del tipo:

- Para la barra EI

( )

- Para la barra infinitamente rígida

Finalmente se tienen las siguientes compatibilidades:

De la últimas dos compatibilidades resultaría:

( )

Así la matriz de compatibilidad será:

r2r4r5



c) Establecer las deformaciones según cada caso de grados de libertad

independientes para luego determinar los coeficientes de la matriz de

rigidez, para los siguientes casos

Caso 1: r2=1, ri=0

Detalle de la deformada:



√

(

)

(

)

Caso 2: r4=1, ri=0

(

)

+(-1)*



+(1)*

+ (-1)*

(

)



[

(

√

) (

√

) (

√

)

]

[

(

√

) (

( √ )

)

( √ )

]

[

(

√

) (

( √ )

)

( √ )

]

[

(

)

]

√

[

(

√

) (

√

) (

√

)

]

[

(

)

]

√



Caso 3: r5=1, ri=0

(

)

+(1)*

+(2)*

(

)



[

(

√

)

]

[

(

√

)] [

(

√

)] [(

)]

√

[

(

√

)

] [

( ) (

) ]

[

(

) (

)]

√

d) Finalmente reordenando los términos de la matriz se obtiene la matriz de rigidez

de la estructura referidos a los grados de libertad independientes. Se puede

verificar que la matriz es simétrica y los términos de la diagonal son positivos.

[ ]

[

]

Ahora se procede a calcular la rigidez del resorte helicoidal, este último representa

la rigidez al giro en las barras EI diagonales, más la rigidez al giro de la barra AEI

vertical.



Si se analiza la deformada debido al giro en el nudo central, tenemos lo siguiente:

Entonces si se suman las

rigideces al giro de cada

barra tenemos:

√

Entonces la rigidez del

resorte helicoidal que

resulto de la reducción de

la estructura es:

√



r3

r1

r4 r2

Ejercicio Nº3

Encontrar la rigidez del resorte si se sabe que el desplazamiento horizontal en A

es 0.05 m.

Solución

i) Grados de Libertad.

4GDL

1 Compatibilidad => 3GDLI

ii) Compatibilidad geométrica y Matriz de Transformación.

( )

=> r3= - r4

EI=1250 T*m2 AE= 10EI

EI

AEI

k

20 T

AEI

4 3

3

10 T 45º 60º

A

T

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

r1 r2 r4

r

1 r2

r3

r4



iii) Deformadas de los grados independientes.

Deformada 1. r1=1, y r2=r3=r4=0.

[

]

[

]

[

] [ ]

Deformada 2. r2 = 1, y r1=r3=r4=0.

*(1)

*(1)

*(1)

*(1)

*(1)

*(1)

*(1)

*(1)

√ *(1)

( √ ) *(1)

( √ ) *(1)*cos(45)

( √ ) *(1)*cos(45)



[

]

[

√ ]

[

( √ ) ( )] [

( √ ) ( )]

Deformada 3. r3= -1 , r4 = 1. y r1=r2=0.

Para simplificar el análisis, se presenta por partes:

Para el resorte:

√

√ *cos15

√ *cos15

√ *cos(15)sen(30)

√ *cos(15)cos(30)

60º

15º



Para barra vertical. Para barra horizontal. Para barra diagonal.

[

]

*(1)

*(1)

*(1)

*(1)

*(1)

*(1)

( √ ) *(√ )*cos(45)

sen(30)

( √ ) *(√ )*sen(45)

cos(30)

( √ ) *(√ )

( √ ) *(√ )



Kq

714.29

357.14

153.06

357.14

3559.46

91.02

153.06

91.02

6944.51 5 K

q

r1

r2

r3

q

r1

r2

0.05

R

0

0

10

20

Q

0

0

30

[

( √ ) √

]

[ √ ( ) ( )

( √ ) √ ( )

]

[ √ ( ) ( )

( √ ) √ ( )

]

iv) Matriz de Rigidez de GDLI.

Ordenando los coeficientes encontrados:

v) Vectores de F. externas y vector de desplazamientos.

como r4=0,05

pero {Q}=[T]T*{R} =>

vi) Ley de Hooke Matricial.

{Q}= [Kq]*{q}

r1 = 0,012 rad

r2 = -0,0025 ra

k = 1260,68 T/m

r1 r2 r4

r

1 r2

r4



r1

r2

r3

r4

r5

1

2

Ejercicio Nº4

Determine la matriz de rigidez de la siguiente estructura y calcule ∆TA. Además

calcule esfuerzos en las barras.

i) Grados de libertad.

GDL=5

Compatibilidades=2.

GDLI=3

C

ii) Compatibilidades geométricas y matriz [T].

2r1 = r5 – r4 => r4 = r5 - 2r1

2r1 = r2 – r3 => r2 = r3 - 2r1

2

10 T A

AEI

AEI

20 T

2

2

2 3

[m]

T

1

2

0

2

0

0

1

1

0

0

0

0

0

1

1

r1 r3 r5

r1

r2

r3

r4

r5

EI=1000 T*m2 AE=10EI



iii) Deformaciones de los grados de libertad independientes.

Deformada 1. Para el grado 1. r1=1, r2=2, r4=-2, r3=r5=0.

Giro r1=1.

( + )

Desplazamientos r2=2, r4=-2.

( √ ) *( √ )

( √ ) *( √ )

( √ ) *( √ )*cos(45)

sen(30)

( √ ) *( √ )*cos(45)

cos(30)

2√

( √ ) *( )

( √ )*( )

( ) *( )

( )*( )

( √ ) *( )*cos(45)

sen(30)

( √ ) *( )*cos(45)

cos(30)



[

√

( √ ) ( √ )]

[

( √ ) ( )

( √ ) ( √ ) ( )]

[

( √ ) ( )

( √ ) ( √ ) ( )]

[

√

( √ ) ( √ )]

[

( √ ) ( )

( √ ) ( √ ) ( )] [

]

Deformada 2. r2=1 y r3=1, r1=r4=r5=0.

[

( √ ) ( )] [

( √ ) ( ( ))

√ ( ( )) ]

[

√ ( ( ))

( √ ) ( ( )) ]

( √ )*(cos(45))

*( )

( √ ) *(cos(45))

)

( √ ) *(sen(45))

( √ ) *(cos(45))2

sen(30)

( √ ) *(cos(45))2

cos(30)

( √ )*(cos(45))2

sen(30)

( √ )*(cos(45))2

1

1



[

( √ ) ( ( ))

√ ( ( )) ] [

]

[

( √ ) ( ( ))

√ ( ( )) ] [ ]

Deformada 3. r4=1 y r5=1, r1=r2=r3=0.

[

( √ ) ( )

] [

( √ ) ( ( ))

√ ( ( )) ]

[

√ ( ( ))

( √ ) ( ( )) ]

[

( √ ) ( ( ))

√ ( ( )) ] [ ]

[

( √ ) ( ( ))

√ ( ( )) ] [

( ) ]

*( )

*( )

( √ ) *(cos(45))

( √ ) *( ( ))

( √ )*(cos(45))

( √ ) *(cos(45))2

sen(30)

( √ ) *(cos(45))2

sen(30)

( √ ) *(cos(45))2

cos(30)

( √ ) *(cos(45))2

cos(30)

( √ )*(cos(45))2

sen(30)

( √ )*(cos(45))2

sen(30)

( √ )*(cos(45))2

( √ )*(cos(45))2

1

1



r

r1

r2

r3

r4

r5

2

q

r1

r3

r5

R

0

10

0

0

20

Q

20

10

20

r

0.00289

0.00391

0.0019

0.0045

0.0103

q

0.0029

0.0019

0.0103

iv) Matriz de Rigidez asociada a GDLI.

v) Vector de fuerzas externas y de GDLI.

{Q}=[T]T*{R} =>

vi) Ley de Hooke Matricial.

{Q}=[T]T*{R}

{r}=[T]*{q} =>

Nos piden el desplazamiento total del punto A. Esto es:

∆T = √

∆T = 0,0059 m

Kq

11232.83

1590.99

924.324

1590.99

5366.27

1502.602

924.324

1502.602

2477.38

r1 r3 r5

r1

r2

r3

r4

r2

∆T



16,23

16,23

M

1a

13,47

13,47

3,78

vii) Cálculo de esfuerzos.

Como el método de rigidez directa no necesita de la determinación de la matriz [a],

entonces es necesaria otra forma de cálculo de esfuerzos. Considerando:

Esfuerzo (de momento, corte y/o axial) = ∑ ( )

Con: n: # de GDLI. qi: Grado de libertad independiente i.

Esfi: esfuerzos de la deformada i, que se encuentra en el sentido, dirección y ubicación del esfuerzo que se desea calcular. Para la barra 1.

Fx1b= r1*[

( √ ) ( )

( √ ) ( √ ) ( )] + r3*[

( √ ) ( ( ))

√

( ( )) ]+ r5*[

√ ( ( ))

( √ ) ( ( ))

] = 16,23 T

Fx1a= -16,23 T

Fy1b= r1*[

( √ ) ( )

( √ ) ( √ ) ( )] + r3*[

( √ ) ( ( ))

√ ( ( )) ]+ r5*[

√ ( ( ))

( √ ) ( ( ))

] = 13,47 T

Fy1a= -13,47 T

M1b= r1*[

( √ ) √

√ ( )] + r3*[

( √ ) ( ( ))]+ r5*[

( √ ) ( ( ))] =

3,78 T*m

Hacemos equilibrio para conocer el otro momento.

M1a+3,78-16,23x2+13,47x2=0

M1a= 1,74 T*m



6,51

10,73

6,33

6,33

Para la barra 2.

Fx2a= r1* + r3*[

]+ r5* = -6,33 T

Fx2b= 6,33 T

Fy2a= r1*[

( ) ] + r3*[ ]+ r5*[

( ) ] = 6,51 T

Fy2b = -6,51 T

M2a= r1*[

] + r3*[ ]+ r5*[

( ) ] = 10,73 T*m

Hacemos equilibrio para conocer el otro momento.

M1b+10,73-6,51*3=0

M1b= 8,8 T*m

1

16.23

13.47

1.74

16.23

13.47

3.78

Fx1a

Fy1a

M1a

Fx1b

Fy1b

M1b

6,51

M1b

2

6.33

6.51

10.73

6.33

6.51

8.8

Fx2a

Fy2a

M2a

Fx2b

Fy2b

M2b

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