UNIVERSIDAD ANTONIO NARIO FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

GUA 8. VARIABLES ALEATORIAS: CASO BIVARIADO

OBJETIVOS

Identificar y aplicar las propiedades de la funcin de densidad de probabilidad conjunta y distribucin marginal de cada una de las variables aleatorias

Calcular probabilidades utilizando dichas distribuciones

Determinar si dos variables aleatorias son estadsticamente independientes utilizando las distribuciones marginales

Calcular la media y la covarianza de dos variables aleatorias

1. DESARROLLO DEL TEMA

1.1 Funciones de distribucin de probabilidad conjunta para variables aleatorias discretas.

Definicin 1. Sean X,Y variables aleatorias discretas, la funcin f(x,y), la funcin de distribucin de probabilidad conjunta de X, Y, si satisface:

Para el caso de dos variables no se considera funcin de distribucin de probabilidad acumulada, en su lugar tenemos: Distribucin Marginal de X

Distribucin Marginal de Y

Ejemplo 1. Se seleccionan al azar tres libros de una biblioteca que contiene 3 clculos, dos libros de poemas, 3 novelas y 1 revista. Sea X el nmero de libros de poemas, e, Y el numero de novelas, extrados. a. Determine la funcin de distribucin de probabilidad conjunta conjunta de x,y

Se puede resumir en la siguiente tabla, no olviden verificar que la suma total es 1

b. Distribucin marginal de X, se suma por columnas y se obtiene

c. Distribucin marginal de Y, se suma por filas y se obtiene

1.2 Funciones de distribucin de probabilidad conjunta para variables aleatorias continuas.

Definicin 2. Sean X,Y variables aleatorias continuas, la funcin f(x,y), la funcin de

distribucin de probabilidad conjunta de X, Y, si satisface:

Para el caso de dos variables no se considera funcin de distribucin de probabilidad

acumulada, en su lugar tenemos:

Distribucin Marginal de X

Distribucin Marginal de Y

Ejemplo 2.

Sean x,y variables aleatorias continuas con funcin de distribucin de probabilidad

conjunta

Encuentre:

a. P(X>Y)

Nuestra regin inicial de integracin se muestra en la grafica, as

Como X>Y, la regin de integracin ser el triangulo inferior

b. P(Y>1/4)

La regin de integracin es

c. Distribucin Marginal de X

2. TALLER 1. Se lanza cuatro veces una moneda. Sea X el nmero de caras en los dos primeros lanzamientos y Y el nmero de sellos en los tres ltimos lanzamientos. Encuentre: a. La distribucin de probabilidad conjunta de X y Y b. La distribucin marginal de X c. La distribucin marginal de Y d. La probabilidad de que ocurra al menos una cara e. P(X-Y

3. Se seleccionan al azar dos repuestos para un bolgrafo de una caja que contiene 3 repuestos azules, 2 rojos y 3 verdes. Si X es el nmero de repuestos azules y Y es el nmero de repuestos rojos seleccionados, encuentre: a. La funcin de probabilidad conjunta de x, y

b. c. d. 4. Sea X el nmero de caras y Y el nmero de caras menos el nmero de sellos , en el lanzamiento de una moneda tres veces, encuentre: a. La funcin de probabilidad conjunta de x, y

b. c. d.P d. 5. Se seleccionan al azar cuatro libros de una biblioteca que contiene, 4 libros de economa, 2 de administracin y 3 de estadstica. Sean X:= El nmero de libros de estadstica seleccionados, Y:= El nmero de libros de economa seleccionados. Encuentre: a. La funcin de probabilidad conjunta de x, y

b. c. d.P d. 6. En el lanzamiento simultaneo de dos dados. Sean X:= mximo {a, b,}, donde a y b son los resultados obtenidos Y:= La diferencia en valor absoluto de los dos resultados obtenidos Encuentre: a. P(X+YY) c. P(X+1=Y-1) d. P(X-Y>-1)

e.

7. Considere la siguiente funcin de densidad conjunta de X y Y

fx,y kye 4x

y

3 , si x 0,y 0

0 , En caso otro caso

a. Determine el valor de k

b. Encuentre xy

c. Encuentre P Y 1,X 14

8. Considere la siguiente funcin de densidad conjunta de X y Y

9. Considere la siguiente funcin de densidad conjunta de X y Y

3. Bibliografa

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA PARA INGENIERIA Y CIENCIAS Walpole, Myers, Myers, Ye. Prentice Hall, Octava edicin. Estadstica y Muestreo Ciro Martnez Bencardino Ecoe Ediciones Estadstica para Administracin y Economa William Mendenhall & James Reinmuth Grupo Editorial Iberoamrica Estadstica para los Negocios y la Economa Paul Newbold Prentice Hall Probabilidad y Estadstica George Canavos Mc Graw Hill

fx,y ky , 0 x 4, y 4 x

0, , En otro caso

Encuentre:

a. PX Y 1 b. Px y 3c. PX Y d. P y x 1e.Px 1 f. P y 1

2

g. xy

fx,y x yk

si 1 x 3,2 y 4

0, en cualquier otro caso

Encuentre:

a. El valor de k

b. PX Y 1c. PX 2d. PX Ye. xy