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GUÍA N°1

FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL – PARTE 1

I. PASOS PARA LA FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Identificar las variables de decisión.

Identificar las restricciones.

Identificar la función objetivo.

II. TIPOS DE PROBLEMAS

Los problemas más conocidos en los que se aplican los modelos de programación lineal son los

siguientes:

Problemas de planeamiento de la producción.

Problemas de dieta.

Problemas de mezclas.

Problema de transporte.

Problemas de inversión.

Problemas de distribución del trabajo.

Etc.

III. EJERCICIOS

1. Una pequeña fábrica en la ciudad de El Alto produce dos productos A y B, y los vende cada

domingo en la feria 16 de Julio. Para la producción de los mismos se requiere de dos

recursos R1 y R2. El producto A esta compuesto por 1 unidad del recurso R1 y 2 unidades

del recurso R2. Por otro lado, el producto B está compuesto por 1 unidad del recurso R1 y

3 del recurso R2. Revisando en almacenes se identifica que el productor actualmente tiene

20 unidades del recurso R1 y 60 unidades del recurso R2. Finalmente, la ganancia por la

venta de los productos A y B es de 6 y 5 bolivianos por unidad respectivamente. Como

pasante en esta pequeña empresa se le pide formular un modelo para programar la

producción que maximice la ganancia total de este domingo.

2. Una compañía de fabricación de muebles ha de determinar cuántas mesas, sillas, pupitres

y librerías debe hacer para optimizar el uso de sus recursos. Estos productos utilizan dos

tipos diferentes de paneles, y la compañía dispone de 1500 tableros de un tipo y 1000 de

otro tipo. Por otro lado cuenta con 800 horas de mano de obra. Las predicciones de venta

así como los pedidos atrasados exigen la fabricación de al menos 40 mesas, 130 sillas, 30

pupitres y como máximo 10 librerías. Cada mesa, silla, pupitre y librería necesita 5, 1, 9, y

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12 tableros, respectivamente, del primer tipo de panel y 2, 3, 4, y 1 tableros del segundo.

Una mesa requiere 3 horas de trabajo; una silla, 2; un pupitre, 5; y una librería 10. La

compañía obtiene un beneficio de 12 dólares en cada mesa, 5 dólares en cada silla, 15

dólares en un pupitre, y 10 dólares en una librería. Plantéese un modelo de programación

lineal para maximizar los beneficios totales.

3. El departamento de nutrición del Hospital Obrero prepara 30 menús de cena, uno para

cada día del mes. Uno de estos platos consiste en fideo, pollo, papas, espinacas y pastel de

manzana. El director del departamento de nutrición ha determinado que esta comida

debe proporcionar 63000 miligramos de proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1

mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramos de esta comida proporciona la

cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la siguiente tabla:

Ahora, para evitar demasiada cantidad de un tipo de alimento, se establece que no debe

incluirse más de 300 gramos de fideo, 300 gramos de pollo, 200 gramos de papas, 100

gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. El director del departamento de

nutrición requiere determinar una composición que satisfaga los requerimientos

nutricionales y proporcione la mínima cantidad de grasas.

Dado que usted está realizando una práctica de Investigación de Operaciones en este

hospital para realizar su proyecto en el tema Salud, el director del departamento de

nutrición le da como primera tarea formular un modelo para resolver la actual

problemática.

4. El TAM (Transporte Aéreo Militar) reabastece sus naves regularmente en los cuatro

aeropuertos en donde da servicio. La turbosina (combustible para aviones) puede

comprarse a tres vendedores posibles en cada aeropuerto. La siguiente tabla muestra el

costo de entrega (compra más embarque) por mil galones de cada vendedor a cada

aeropuerto, el número disponible de miles de galones que cada vendedor puede

suministrar cada mes y el requerimiento mensual de turbosina en miles de galones en

cada aeropuerto.

Alimentos Contenido [mg/100gr]

Proteínas Hierro Niacina Tiamina Vitamina C Grasa

Fideo 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000

Pollo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000

Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900

Espinacas 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300

Pastel de manzana 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300

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Aeropuerto Costos de entrega [$/mil galones] Combustible

requerido [mil galones]

Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3

1 900 800 900 150

2 900 1200 1300 250

3 800 1300 500 350

4 1000 1400 1000 480

Provisión máxima [mil galones]

300 600 700

Formule un modelo para determinar las cantidades que se deben comprar y enviar por

parte de cada vendedor a cada aeropuerto para minimizar el costo total, satisfaciendo al

mismo tiempo por lo menos la demanda mensual a cada aeropuerto y no excediendo el

suministro de cualquier vendedor.

5. Hoy es tu día de suerte, ganaste un premio de $10000, lo primero que haces es apartar

$4000 para viajar y festejar pero también has decidido invertir los restantes $6000.

Después de escuchar estas noticias, 2 amigos te ofrecieron la oportunidad de convertirte

en socio de sus respectivos emprendimientos. En ambos casos, esto implica que deberás

invertir tu tiempo en del semestre como también cierta cantidad de dinero. Ahora, para

convertirte en un socio por completo en el emprendimiento de tu primer amigo, tienes

que invertir $5000 y 400 horas, y tu ganancia esperada seria de $4500 (sin tomar en

cuenta el valor de tu tiempo). Por otra parte, en el emprendimiento de tu segundo amigo

debes invertir $4000 y 500 horas, y tu ganancia esperada es de $4500. De todas formas,

como tus amigos son comprensibles te dejarán ser socio en cualquier fracción que quieras,

lo que significa que tanto tu inversión de tiempo y dinero como tu ganancia se deberán

multiplicar por la fracción que escojas.

Como estas buscando algo interesante para este semestre, decides participar en uno o los

dos proyectos de tus amigos en cualquier combinación que maximice tu ganancia

esperada total. Con tus conocimientos adquiridos en programación lineal formula un

modelo para resolver esta situación. Tu tiempo disponible en el semestre es de 600 horas.

6. Dado a los constantes atracos, durante cada periodo de 4 horas la policía en la zona Garita

de Lima necesita la siguiente cantidad de policías en servicio: de 12 de la noche a 4 a.m., 8;

de 4 a 8 a.m., 7; de 8 a.m. a 12 del día, 6; de 12 a 4 p.m., 6; de 4 a 8 p.m.,5 y de 8 p.m. a

medianoche, 4. Cada oficial de policía trabaja dos turnos consecutivos de 4 horas. Plantee

un PL que sea útil para minimizar el número de policías necesarios para cumplir las

demandas diarias de la zona.

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7. Una empresa produce un solo producto y desea planificar su producción de tal forma que

pueda minimizar costos. Las demandas estimadas para los próximos 4 meses son 1000,

800, 1200 y 900 unidades respectivamente. Mensualmente la empresa tiene una

capacidad de producción en tiempo regular de trabajo de 800 unidades y una capacidad

en tiempo extra igual a 200 unidades. El costo de producción en tiempo regular de trabajo

es de Bs 20 por unidad y el costo en tiempo extra es de Bs 25 por unidad. La empresa

puede tener inventarios, el costo de almacenamiento es de Bs 3 por unidad al mes y es

importante que se cumpla la demanda en cada mes. Formule un modelo de programación

lineal para resolver la situación.

8. Pedro tiene $6000 que quiere invertir de tal forma que pueda usar la acumulación para

tener una anualidad de retiro en 5 años. Después de consultar con su consejero financiero,

se le ha ofrecido 4 tipos de inversiones de renta fija A, B, C y D.

Las inversiones A y B están disponibles al inicio de cada uno de los siguientes 5 años. Cada

dólar invertido en A al inicio de un año genera $1.4 después de 2 años y cada dólar

invertido en B al inicio de un año genera $1.70 después de 3 años. Las inversiones C y D

solo estarán disponibles en un tiempo futuro. Cada dólar invertido en C al inicio del año 2

genera $1.90 al final del año 5. Cada dólar invertido en D al inicio del año 5 genera $1.30 al

final del mismo año.

Pedro desea saber qué plan de inversión maximizará el monto que puede ser acumulado

al inicio del año 6. Al no tener conocimientos en investigación de operaciones, Pedro

acude a usted para que formule un modelo que resuelva su problema.

9. Chemco elabora tres productos: A, B y C. Puede vender hasta 30 libras de cada producto a

los siguientes precios por libra: producto A, 10 dólares; producto B, 12 dólares; producto

C, 20 dólares. Chemco compra materia prima a 5 dólares la libra. Cada libra de materia

prima se puede utilizar para elaborar 1 libra de A o 1 libra de B. Por un costo de 3 dólares

la libra, el producto A procesado se puede transformar en 0.6 libras de producto B y 0.4

libras de producto C. Por un costo de 2 dólares la libra, el producto B procesado se puede

convertir en 0.8 libras de producto C. Plantee un PL cuya solución le permita a Chemco

maximizar sus utilidades.

10. Una compañía de seguros opina que se necesitarán las cantidades siguientes de

computadoras personales durante los próximos seis meses: Enero, 9; Febrero, 5; Marzo, 7;

Abril, 9; Mayo, 10; Junio, 5. Es posible rentar las computadoras por periodos de 1, 2 o 3

meses a las siguientes tarifas unitarias: tarifa por un mes, 200 dólares; tarifa por dos

meses, 350 dólares; tarifa por tres meses, 450 dólares. Plantee un PL que se pueda utilizar

para minimizar el costo por la renta del equipo necesario.

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Podría suponerse que si se renta una maquina por un periodo que se prolonga después de

junio, el costo de la renta prorratea. Por ejemplo, si se renta una computadora por tres

meses al principio de mayo, entonces la tarifa de la renta de 2/3(450)=300, no 450

dólares, debe establecerse en la función objetivo.

PRÁCTICA Nº 0

1. ¿Qué es la ingeniería industrial?

2. ¿Por qué estas estudiando ingeniería industrial?

3. ¿Qué es la investigación de operaciones?

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PRÁCTICA Nº 1

1. Una empresa fabrica los productos A, B y C, y puede vender toda su producción a los

siguientes precios: el producto A a $700 por unidad, el producto B a $3500 y el producto C

a $7000. Producir cada unidad de A requiere de 1 hora de proceso, 2 horas de acabado y 3

unidades de materia prima. Producir una unidad de B requiere de 2 horas de proceso, 3

horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C requiere 3

horas de proceso, 1 hora de acabado y 1 unidad de materia prima. Para este periodo de

planificación, dispone de 100 horas de proceso, 200 horas de acabado y 600 unidades de

materia prima. Formule un modelo de programación lineal que maximice los ingresos de la

empresa.

2. Modifique el ejercicio 2 realizado en clases para imponer que deban fabricarse cuatro

sillas por cada mesa.

3. Juan es un profesor de una escuelita en Coroico y también cría cerdos para tener ingresos

extra. El está tratando de decidir que darles de comer a sus cerdos ya que al perecer están

enflaqueciendo. Juan está considerando usar una combinación de comidas para cerdo

disponibles en distribuidores locales. El quisiera alimentar sus cerdos a un costo mínimo

pero al mismo tiempo quiere estar seguro que cada cerdo recibirá una adecuada cantidad

de calorías y vitaminas. El costo y el contenido de calorías y vitaminas se muestra en la

siguiente tabla:

Contenido Comida tipo A Comida tipo B

Calorías [cal/lb] 800 1000

Vitaminas [mg/lb] 140 70

Costo [$/lb] 0.40 0.80

Cada cerdo requiere por lo menos 8000 calorías al día y al menos 700 mg de vitaminas.

Además, dado que la comida de tipo A contiene un ingrediente que es toxico si es

consumido en grandes cantidades, se establece que no más de un tercio de la dieta en

peso debe consistir de la comida de tipo A. Formule un modelo de programación lineal

para esta situación.

4. Cosmic Computer Company es una ensambladora de microcomputadoras que tiene

plantas en San Francisco, Los Ángeles y Phoenix. La planta de Los Ángeles tiene una

capacidad de producción mensual de 2000 unidades. Cada una de las plantas de San

Francisco y Phoenix puede producir un máximo de 1700 unidades. Las microcomputadoras

de Cosmic Computer Company se venden a través de cuatro tiendas detallistas localizadas

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en San Diego, Barstow, Tucson y Dallas. Los pedidos mensuales de los vendedores al

menudeo son de 1700 unidades en San Diego, 1000 en Barstow, 1500 en Tucson y 1200 en

Dallas.

La tabla que se muestra a continuación contiene el costo de embarque de una

microcomputadora desde cada planta de ensamblaje hasta cada una de las distintas

tiendas minoristas. Su trabajo es formular un modelo matemático para encontrar el

programa de embarque de mínimo costo.

Costos de embarque [$/unidad]

Plantas Tiendas

San diego Barstow Tucson Dallas

San Francisco 5 3 2 6

Los Ángeles 4 7 8 10

Phoenix 6 5 3 8

5. Después de unos años de ahorro trabajando como gerente administrativo usted podría

invertir hasta 1000 dólares. Este dinero lo podría invertir en acciones o en préstamos.

Cada dólar invertido en acciones rinde 10 centavos de utilidad y cada dólar invertido en un

préstamo rinde 15 centavos de utilidad. Después de pensar un poco usted se plantea dos

políticas: la primera es que por lo menos 30% de todo el dinero debe ser invertido en

acciones y la segunda es que por lo menos 400 dólares se inviertan en préstamos. Como

buen ingeniero industrial usted inmediatamente se da cuenta que se encuentra en una

situación típica que puede ser resuelta con un modelo de programación lineal y lo único

que le queda es formularlo para que pueda maximizar la utilidad total ganada por sus

inversiones.

6. Cada hora desde las 10 a.m. hasta las 7 p.m. el Banco Nacional de Bolivia (BNB) recibe

cheques y debe procesarlos. Su objetivo es procesar todos los cheques el mismo día en

que los recibe. El BNB tiene 13 máquinas procesadoras de cheques, cada una de las cuales

tiene una capacidad de procesar hasta 500 cheques por hora. Se requiere un trabajador

que opere cada máquina. El BNB contrata empleados de tiempo completo y de medio

tiempo. Los trabajadores de tiempo completo trabajan de 10 a.m. a 6 p.m., de 11 a.m. a 7

p.m. o de medio día a 8 p.m., y cobran 160 dólares diarios. Los empleados de medio

tiempo trabajan de 2 p.m. a 7 p.m. o de 3 p.m. a 8 p.m. y se les paga 75 dólares al día.

Como al BNB le interesa conservar la continuidad, opina que deber tener por lo menos 2

trabajadores de tiempo completo bajo contrato. Desarrolle un MPL para establecer un

horario de trabajo de costo mínimo que tenga procesados todos los cheques a las 8 p.m. El

número de cheques que se recibe en cada hora se presenta en la siguiente tabla:

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Hora Cheques recibidos

10 a.m. 5000

11 a.m. 4000

12 p.m. 3000

1 p.m. 4000

2 p.m. 2500

3 p.m. 3000

4 p.m. 4000

5 p.m. 4500

6 p.m. 3500

7 p.m. 3000

7. La panadería “La Familia” hornea rollos de queso y queques. Durante cualquier mes puede

hornear cuando mucho 65 unidades de estas masitas. Los costos por unidad y la demanda

de estas masitas, la cual se debe se debe cumplir a tiempo, se proporcionan en la tabla

inferior. Ahora, a la panadería le cuesta 3 Bolivianos conservar un rollo de queso y 2

Bolivianos conservar un queque en inventario por un mes. Plantee un PL para minimizar el

costo total por cumplir la demanda de los tres meses siguientes.

Producto

Mes 1 Mes 2 Mes 3

Demanda [unid]

Costo [Bs/unid]

Demanda [unid]

Costo [Bs/unid]

Demanda [unid]

Costo [Bs/unid]

Rollo de queso 40 21 30 22 20 24

Queque 20 17 40 18 10 22

8. Usted es analista financiero. Lady Gaga acudió a usted porque necesita que la ayuden a

liquidar sus cuentas de tarjeta de crédito. Ella debe a sus tarjetas de crédito las cantidades

que se indican a continuación:

Tarjeta Saldo (dólares) Tasa mensual (%)

MasterCard 20000 0.5

Diners Club International 50000 1.0

Visa 40000 1.5

Lady Gaga desea asignar hasta 5000 dólares por mes para liquidar estas tarjetas de

crédito. Todas las tarjetas de crédito se deben liquidar en 36 meses o Lady Gaga ira a la

cárcel. El objetivo de Lady Gaga es minimizar el total de todos sus pagos. Para resolver

este problema, usted debe entender cómo influyen los intereses sobre un préstamo. Para

ilustrarlo, suponga que Lady Gaga paga 5000 dólares en MasterCard durante el mes 1.

Entonces, su saldo en MasterCard al principio del mes 2 es:

20000 - (5000 - (0.005(20000))

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Esto es así porque Lady Gaga incurrió en cargos por intereses de 0.005(20000) durante el

mes 1 sobre su tarjeta de MasterCard. Formule un MPL para que Lady Gaga no vaya a la

cárcel. Su recompensa por un buen trabajo será el 10% de las ganancias totales por las

ventas de su nuevo álbum a lazarse este año.

9. Repsol produce dos tipos de gasolina, Efitec 95 y Efitec 98, a partir de dos tipos de crudo,

el crudo 1 y el crudo 2. La Efitec 95 puede contener hasta 4% de impurezas, en tanto que

la Efitec 98 puede tener hasta 3%. La Efitec 95 se vende en 8 dólares el barril y la Efitec 98

se vende a 12 dólares el barril. Se pueden vender hasta 4200 barriles de gasolina Efitec 95,

y de Efitec 98, hasta 4300 barriles. El costo por barril de cada crudo, la disponibilidad y la

concentración de impurezas en cada crudo se encuentra en la siguiente tabla:

Petróleo crudo

Costo [$/barril]

Grado de impurezas %

Disponibilidad [barriles]

Crudo 1 6 10 5000

Crudo 2 8 2 4500

Antes de mezclar los crudos para obtener gasolina es posible purificar cada uno de ellos a

un costo de 0.50 dólares el barril. La purificación elimina la mitad de las impurezas del

petróleo crudo. Formule un modelo matemático que permita maximizar las ganancias.

10. El servicio interno de ingresos ha determinado que durante cada uno de los 12 meses

siguientes se requerirá la cantidad de supercomputadoras que se señala en la tabla

inferior. Para cumplir con estas condiciones, esta institución renta supercomputadoras por

un periodo de uno, dos y tres meses. Cuesta 100 dólares rentar una supercomputadora

por un me, 180 dólares por dos meses y 250 dólares por tres meses. Al empezar el mes 1

esta institución no tiene supercomputadoras. Determine el plan de renta que cumpla con

las condiciones de los 12 meses siguientes a un costo mínimo.

Mes Cantidad de computadoras

1 800

2 1000

3 600

4 500

5 1200

6 400

7 800

8 600

9 400

10 500

11 800

12 600