Guıa N◦1 Ayudantıa Estructuras Algebraicas

1. Sea G un conjunto no vacıo y ∗ una operacion binaria en G. Demostrar que (G, ∗) es ungrupo si y solo si las siguientes propiedades se cumplen:

(i) Asociatividad: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀a, b, c ∈ G.(ii) Existencia de Neutro izquierdo: ∃ e ∈ G tal que: e ∗ a = a, ∀a ∈ G.(iii) Existencia de Inversos izquierdos: Para cada a ∈ G existe b ∈ G tal que: b ∗ a = e.

2. Demuestre un resultado analogo al anterior considerando neutro derecho e inversos dere-chos.

3. Sea G un conjunto no vacıo y ∗ una operacion binaria en G. Demostrar que (G, ∗) es ungrupo si y solo si las siguientes propiedades se cumplen:

(i) Asociatividad: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀a, b, c ∈ G.(ii) Toda ecuacion de la forma a ∗ x = b con a, b ∈ G tiene solucion en G.(iii) Toda ecuacion de la forma y ∗ a = b con a, b ∈ G tiene solucion en G.

4. Sean a, b, c elementos de un grupo (G, ∗). Demostrar:

c ∗ a = c ∗ b⇒ a = b (Ley de cancelacion izquieda)

a ∗ c = b ∗ c⇒ a = b (Ley de cancelacion derecha)

5. Sean a, b elementos de un grupo (G, ∗). Demostrar que (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1.

6. Sean a, b elementos de un grupo (G, ∗). Demostrar que (a ∗ b)−1 = a−1 ∗ b−1 si y solo si ay b conmutan. Concluya que (G, ∗) es abeliano si y solo si (a ∗ b)−1 = a−1 ∗ b−1 para todoa, b ∈ G.

7. Sean a, b elementos de un grupo (G, ∗). Demostrar que si (a ∗ b)2 = a2 ∗ b2, entonces a yb conmutan.

8. Sea (G, ∗) un grupo tal que a2 = e, ∀a ∈ G. Demostrar que (G, ∗) es abeliano.

9. Sea (G, ∗) un grupo finito. Demostrar que hay una cantidad impar de elementos a ∈ Gtales que a3 = e. Por otro lado, demostrar que hay una cantidad par de elementos b ∈ Gtales que b2 6= e.

10. Sea (G, ∗) un grupo finito de orden par. Demostrar que existe a ∈ G tal que a2 = e.

11. Sea Zn∗ = Zn−{0} y denotemos por ·n la operacion multiplicacion modulo n. Demuestre

que (Z5∗, ·5) es un grupo abeliano. ¿Sucede lo mismo con (Z4

∗, ·4)?.

12. Sea a ∈ Zn∗. Demuestre que a tiene inverso multiplicativo modulo n si y solo si a y n son

primos relativos, esto es, m.c.d.(a, n) = 1. Concluya que si

Un = {a ∈ Zn∗ | m.c.d.(a, n) = 1}

entonces (Un, ·n) es un grupo abeliano.

13. Demuestre que (Zn∗, ·n) es un grupo si y solo si n es primo.