Guia 1 Ejercicios Resueltos de Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales

Estructuras 2009 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES Pág. 1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

ESTRUCTURAS

Ejercicios Resueltos de: Aplicación del Principio de los Trabajos Virtuales Ejercicio Resuelto: CAÑETE, Joaquín C-3064/3 Año: 2009 Corregido:GUTAWSKI Alex

Ejercicio Nº1:

Determinar el descenso de la sección media de la viga.

Diagrama de Cuerpo libre p/Cargas P0

Cálculo de reacciones P/Cargas P0

tnRmtnmR BB 86,221070M A ==>⋅+⋅−=>=∑

tnRRtn AB 14,7R0100F AV ==>=−−=>=∑

Cálculo de los Momentos Flectores P/Cargas P0

MA 0 MB 0 MC RA · 2m 14.28tm MD RA · 3,50m 10 · 1,50m 10tm



ESTRUCTURAS


Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “0” P0

Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga tm1X1 =

Cálculo de Reacciones P/Carga tm1X1 =

tnRmtnmR BB 50,05,3170M A ==>⋅+⋅−=>=∑

tnRRtn AB 50,0R010F AV ==>=−−=>=∑

3) Cálculo de los Momentos Flectores P/Carga tm1X1 = MA 0 MB 0 MC RA · 2m 1tm MD RA · 3,50m 1,75tm



ESTRUCTURAS


4) Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “I” tm1X1 =

5) Cálculo del descenso del Punto “D” (Despreciando los Esfuerzos de Corte y Normal)

dxl

∫ ⋅⋅

=⋅==0

*

A1ie IEMMXTT δ



ESTRUCTURAS


54,58 ·· · 1

54,58 ·3 10 · 1,302 10

0,1397 13,97



ESTRUCTURAS


Ejercicio Nº2:

Calcular la Rotación del Punto “A”

Datos: E = 300.000 kg/cm2

Estado “0” (P0)

Diagrama de Cuerpo Libre P/Cargas P0



ESTRUCTURAS


Cálculo de Reacciones P/Cargas P0

( ) ( )=>

⋅+

⋅

⋅==>⋅+

⋅+⋅−=>=∑ m

mtm

mmt

mmm6

3162

61V3H

26q6V0M

2

D

2

DA

t3,50VD =

( ) ( )=>

⋅−

⋅

⋅==>⋅+

⋅−⋅=>=∑ m

mtm

mmt

mmm6

3162

61V3H

26q6V0M

2

A

2

AD

t2,50VA = =>==>==>=∑ HH0H-H0F DDX

t1,00H =

Cálculo de los Momentos Flectores P/Cargas P0

0M0A =

0M 0B =

( ) tmmmm 00,222q2V3HM

2

DD0C =

⋅+⋅−⋅=

0M0D =




ESTRUCTURAS


Estado “I” ( )tm1X1 =

6) Estado de Carga P/Carga tm1X1 =

7) Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga tm1X1 =

8) Cálculo de Reacciones P/Carga tm1X1 =

=>===>−⋅=>=∑ mtm

mm

61

6X

VX6V0M 1D1DA

t0,17VD =

=>===>−⋅=>=∑ mtm

mm

61

6XVX6V0M 1

A1AD

t0,17VA =

∑ ==>= 0HD0FX



ESTRUCTURAS


9) Cálculo de los Momentos Flectores P/Carga tm1X1 =

tm1M1

A −= tm1M1

B −= tmm 34,02VM D

1C −=⋅−=

0M1D =

10) Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “I” tm1X1 =

11) Cálculo de la Rotación del Punto “A”

dxl

∫ ⋅⋅

=Φ⋅==0

*

A1ie IEMMXTT

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

⋅=Φ ∫∫∫D

C

C

B

B

A

dxdxdxIE

MMIE

MMIE

MMX1 ***

1A

a) Cálculo de las Inercias:

( ) 4

3

AB 00013012

200200I mmm ,,,=

⋅=

( ) 43

BC 00107012

400200I mmm ,,,=

⋅=

( ) 43

CD 00045012

300200I mmm ,,,=

⋅=

Adoptando como 4BC0 001070II m,==



ESTRUCTURAS


b) Cálculo de los Coeficientes “αik”:

0

ikik I

Iα =

0,121α,,

AB ==>== 4

4

0

ABAB 001070

000130I

Iαmm

1,00α,,

BC ==>== 4

4

0

BCBC 001070

001070I

Iα

mm

0,422α,,

CD ==>== 4

4

0

CDCD 001070

000450I

Iα

mm

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

+⋅⋅⋅

⋅=Φ ∫∫∫D

C

C

B

B

A

dxdxdxCD0

*

BC0

*

AB0

*

1A αIE

MMαIE

MMαIE

MMX1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅+

⋅⋅

⋅⋅=Φ ∫∫∫

D

C

C

B

B

A

dxdxdxCD

*

BC

*

AB

*

01A α

MMα

MMα

MMIEX

1

c) Cálculo de las Integrales por Tramos:

• Tramo “AB”:

lAB = 3,00 m ; αAB = 0,121

Nota: Como el Momento Flector correspondiente al Estado “0”, para este tramo es igual a cero, el valor de la integral para dicho tramo también valdrá cero.

0α

MM

AB

*=

⋅∫B

A

dx

• Tramo “BC”:

lBC = 4,00 m ; αBC = 1,00

Diagramas de Momentos Flectores

Estado “0” Estado “I”



ESTRUCTURAS


Con estos diagramas entramos a la tabla y obtenemos los siguientes datos:

( )[ ] ( )[ ] B0BC

1C

1B

A0BC

1C

1B

BC

BC

BC

*MM2M6

1MMM31

αl

αMM −− ⋅⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=⋅

∫C

B

dx

( )[ ] ( )[ ] tmtmtmtmtmtmmdxC

B

23402161234013

11,004

αMM

BC

*⋅⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=

⋅∫ ,,

32

BC

*

80,5α

MM mtdxC

B

−=⋅

∫

• Tramo “CD”:

lCD = 3,61 m ; αCD = 0,422

Diagramas de Momentos Flectores

Estado “0” Estado “I”

Con estos diagramas entramos a la tabla y obtenemos los siguientes datos:

[ ] [ ] B0CD

1C

A0CD

1C

CD

CD

CD

*MM3

1MM31

αl

αMM −− ⋅⋅−⋅⋅−⋅=⋅

∫D

C

dx

[ ] [ ] tmtmtmtmmdxD

C

234031503403

10,4223,61

αMM

CD

*⋅⋅−⋅⋅−⋅=

⋅∫ ,,,

32

BC

*422

αMM mtdx

C

B

,−=⋅

∫

Reemplazando los valores obtenidos en las integrales por tramos en la ecuación general y además reemplazando en esta misma ecuación los datos de E e I0 tendremos como resultado la rotación del punto “A”.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅+

⋅⋅

⋅⋅=Φ ∫∫∫

D

C

C

B

B

A

dxdxdxCD

*

BC

*

AB

*

01A α

MMα

MMα

MMIEX

1

[ ]3232

24A 42,280,50

300000000107,011 mtmt

mtmtm

−−⋅⋅⋅

=Φ

"146,06520,00ΦA =−= rad



ESTRUCTURAS


Ejercicio Nº3:

30/30 30/30

30/50 30/50

At = 5 cm²

A

D E C

B

1t

2t

q = 1t/m

F

Estado “0” (P0)

Diagrama de Cuerpo Libre P/Cargas P0

30/30 30/30

30/50 30/50

A

D E C

B

1t

2t

q = 1t/m

R R

R

R

A B

V

B

H

C

F



ESTRUCTURAS


Reacciones, Momento Flector y Esfuerzo Normal P/Cargas P0

El cálculo para este estado dio los siguientes resultados:

REACCIONES FLECTOR NORMAL

, MA = 0 NAD = -0,56t (compresión) MD = 1 tm NDE = -1t (compresión)

, MF = 0 NEC = 0 , ME = -9tm (izquierda) NBE = -8,75t (compresión)

ME = -4tm (abajo) NC = 0,75t (tracción) ME = -5tm (derecha) MC = 0 MB = 0


A

DE C

B

F

1tm

-9tm

-5tm

-4tm

--

-+

+



ESTRUCTURAS


Diagrama de Esfuerzos Normales P/Estado “0” P0

A

D E C

B

F

-0.56t

-1t

0,75t

-8,75t-

-

-

+

ESTADO “1” (desplazamiento horizontal)

Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga t1X1 =

30/30 30/30

30/50 30/50

A

D E C

B

R R

R

R

A B

V

B

H

C

FX =1t1



ESTRUCTURAS


Reacciones, Momento Flector y Esfuerzo Normal P/Cargas P1 El cálculo para este estado dio los siguientes resultados:


MA = 0 NAD = 0 MD = 0 NDE = -1t (compresión)

MF = 0 NEC = 0 ME =0 (izquierda) NBE = 1t (tracción)

ME = -4tm (abajo) NC = 1t (tracción) ME = 4tm (derecha) MC = 0 MB = 0


A

D E C

B

F-4tm

4tm-

+



ESTRUCTURAS


Diagrama de Esfuerzos Normales P/Estado “1” P1

A

D E CF-

+

+

-1t

1t

1t

Cálculo del desplazamiento horizontal del punto “D”

∫∫ Ω+

⋅⋅

=⋅==ll

dxE

NNdx00

*

D1ie IEMMXTT δ

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ω⋅⋅

+Ω⋅⋅

+Ω⋅⋅

+

+Ω⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

+⋅⋅

⋅=

∫∫∫

∫∫∫∫∫E

B

C

E

E

D

D

A

E

B

C

E

E

D

D

A

dxNdxNdxN

dxNdxdxdxdx

EN

EN

EN

EN

IEMM

IEMM

IEMM

IEMM

X1

***

*****

1Dδ

Cálculo de las Inercias:

( ) 44

3

AD 1075,612

30,030,0I mmmI EB−⋅=

⋅==

( ) 433

DF 10125,312

50,030,0I mmmII ECFE−⋅=

⋅===

Adoptando como 44

0 1075,6I m−⋅=



ESTRUCTURAS


Cálculo de los Coeficientes “αik”:

0

ikik I

Iα =

60,21α10125,31075,6

IIα A43

44

0

ADAD ==>

⋅⋅

=== −

−

DEB mmα

1,00α10125,310125,3

IIααα 43

43

0

BCECFEDF ==>

⋅⋅

==== −

−

DFmm

Cálculo de las áreas “Ωik”:

ΩAD ΩEB 0.3 · 0.3 0.09m ΩDF ΩFE ΩEC 0.3 · 0.5 0.15m

Calculo de las integrales por tramos

- Momentos flectores:

Tramo AD = Tramo DE = 0 Tramo EB (l = 4m)

-4tm

-

4tm

-

15 · 4 · 4 · 4 12,8

59,26

Tramo EC (l = 4m) -5tm

4tm

+

-

15 · 4 · 5 · 4 16

16



ESTRUCTURAS


- Esfuerzos Normales:

Tramo AD = Tramo EC = 0 Tramo DE (l = 4m) = · ·

,26,66

Tramo BE (l = 4m) = · , ·

,388,88

[ ]

[ ]

mmm

mtnmtnm

tntn

mtnmtnm

tntn

dxNdxNdxNdxN

dxdxdxdx

HD

E

B BE

C

E EC

E

D DE

D

A AD

E

B

C

E

E

D

D

A

HD

343

3232

26

32323

26

****

1

BE

*

EC

*

DE

*

AD

*

01

105,4102074,11061,4

88,38866,2610311

1626,5910125,31031

1

EN

EN

EN

EN

EX1

αMM

αMM

αMM

αMM

IEX1

−−−

−

⋅=⋅−⋅=

⋅−⋅⋅⋅⋅

+⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω⋅⋅

+Ω⋅⋅

+Ω⋅⋅

+Ω⋅⋅

⋅⋅

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅+

⋅+

⋅⋅

⋅⋅=

∫∫∫∫

∫∫∫∫

δ

δ

Para Acero

6,42 · 10

ESTADO “II” (desplazamiento vertical) Diagrama de Cuerpo Libre P/Carga t1X2 =

30/30 30/30

30/50 30/50

A

D E C

B

X =1t

R R

R

R

A B

V

B

H

C

F

2



ESTRUCTURAS


Reacciones, Momento Flector y Esfuerzo Normal P/Cargas P2

El cálculo para este estado dio los siguientes resultados:


, MA = 0 NAD = -0,56t (compresión) , MD = 1tm NDE = 0

MF = 0 NEC = 0 , ME =-1tm (izquierda) NBE = -0,75t (compresión)

ME = 0 (abajo) NC = -0,25t (compresión) ME = -1 (derecha) MC = 0 MB = 0

Diagrama de Momentos Flectores P/Estado “II” P2

A

DE C

B

F1tm

-1tm- -

+

+



ESTRUCTURAS


Diagrama de Esfuerzos Normales P/Estado “II” P2

A

DE C

B

F

-0.56t-0.75t

-0.25t

- -

-

Calculo de las integrales por tramos

- Momentos flectores: Tramo AD (l = 4,47m)

1tm

+

1tm

+

13 · 4,47 · 1 · 1 1,49

6,9

Tramo DF (l = 2m)

1tm

+

1tm

+

512 · 2 · 1 · 1 0,83

0,83



ESTRUCTURAS


Tramo FE (l = 2m)

-9tm

-

-1tm

-

15 · 2 · 1 · 9 3,6

3,6

Tramo EC (l = 4m) -5tm

-1tm

-

-

15 · 4 · 5 · 1 4

4

- Esfuerzos Normales:

Tramo AD (l=4,47m) = , · , · ,

,15,55

Tramo BE (l = 4m) = · , · ,

,291,66

[ ]

[ ]

mmm

mtnmtnm

tntn

mtnmtnmtnmtnm

tntn

dxNdxNdxNdxN

dxdxdxdx

VD

E

B BE

C

E EC

E

D DE

D

A AD

E

B

C

E

E

D

D

A

VD

343

3232

26

323232323

26

****

1

BE

*

EC

*

DE

*

AD

*

01

1073,110024,11063,1

66,29155,1510311

46,383,09,610125,31031

1

EN

EN

EN

EN

EX1

αMM

αMM

αMM

αMM

IEX1

−−−

−

⋅=⋅+⋅=

⋅+⋅⋅⋅⋅

+⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Ω⋅⋅

+Ω⋅⋅

+Ω⋅⋅

+Ω⋅⋅

⋅⋅

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅+

⋅+

⋅+

⋅⋅

⋅⋅=

∫∫∫∫

∫∫∫∫

δ

δ

Para Acero

6,42 · 10



ESTRUCTURAS


El Desplazamiento del punto D estará dado por la suma de los desplazamientos horizontal y vertical entonces será HORMIGON

4,5 · 10 1,73 · 10 4,82 · 10 ACERO

6,42 · 10 6,42 · 10 9,08 · 10

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