Principio de los Trabajos Virtuales (PTV)

El PTV y las condiciones de equilibrio

Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol

Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

El PTV se expresa diciendo:

Introducción“Para una deformación virtual infinitamente pequeña de un cuerpo que se encuentra en equilibrio, el trabajo virtual de las fuerzas exteriores es igual al trabajo virtual interno de deformación”

Es conveniente considerar algunos términos de la definición:• En primer lugar estamos considerando un cuerpo en equilibrio, al que con

posterioridad se le provoca una deformación arbitraria compatible con las condiciones de vínculo, pero que no proviene de las cargas originales en el cuerpo.

• Las cargas externas multiplicadas por esos desplazamientos arbitrarios representan el trabajo virtual de las fuerzas exteriores, Te.

• Los esfuerzos internos generados por las cargas en equilibrio originales, generan trabajo debido a la deformación virtual impuesta, dando origen al trabajo virtual interno de deformación, Ti.

El PTV puede entonces expresarse sintéticamente como:

ie TT

Consideremos el caso de una estructura sometida a

un sistema de cargas Pm

… siendo R las correspondientes reacciones de vínculo exteriores

Para este sistema en equilibrio se desarrollan esfuerzos internos Q, N, M de tal manera que existe equilibrio entre la acción interna y la externa.

Sometemos al sistema a una deformación virtual, por lo que los puntos de aplicación de las cargas Pm y R, sufrirán desplazamientos δm y ΔR (si existen corrimientos de apoyos) en la dirección de las mismas. Por lo tanto el trabajo virtual de las fuerzas externas estará dado por:

Rmme RPT

Para expresar el trabajo virtual interno de deformación, (es decir el trabajo de los esfuerzos internos Q, N, M) debido a la deformación virtual, consideramos un elemento de una barra dx de altura h.

La deformación virtual provocará…

… un desplazamiento relativo de las dos secciones del elemento que podrá expresarse por una traslación y una rotación d.

La traslación la podemos considerar compuesta por dos componentes; una a lo largo del eje de la barra dN y otra normal dc.

El trabajo diferencial de las fuerzas internas que actúan sobre el elemento dx será:

dcQdNNdMdTi

La integración de esta expresión a toda la estructura representa el trabajo virtual de deformación Ti.

Las deformaciones elásticas para una

barra son:

Resultando:

dxFGQdc

dxTFENdN

dxhT

JEMd

Donde:dx

FGQdc

dxTFENdN

dxhT

JEMd

• χ: Coeficiente de forma que tiene en cuenta la distribución no uniforme del corte en la sección transversal de la viga

• α: coeficiente de dilatación térmica • F: Sección transversal de la barra • J: Momento de Inercia

• E: Módulo de elasticidad • G: Módulo de elasticidad transversal

y reemplazando en e integrando será:dcQdNNdMdTi

dxFGQQdxTNdx

FENNdx

hTMdx

JEMMTi

… que es la expresión del PTV, para el caso general de estructuras planas.

Veamos ahora las condiciones de equilibrio…

Condiciones de equilibrio

Consideremos una chapa solicitada por un sistema de fuerzas exteriores Fi y Mi en equilibrio...

…las condiciones de equilibrio de los cuerpos en el plano son las siguientes:

0;0;0 m

ii

n

iY

n

iX MFF

ii

…además, una chapa en el plano posee tres grados de libertad (dos desplazamientos y una rotación), en consecuencia es susceptible de experimentar tres desplazamientos virtuales independientes entre sí.

Veamos ahora las condiciones de equilibrio…

…suponemos que la chapa sufre un desplazamiento virtual paralelo al eje x de intensidad x.

Al tratarse de un sólido rígido, todos sus puntos materiales y en particular los puntos de aplicación de las fuerzas, sufrirán el mismo desplazamiento x, y el trabajo desarrollado por el sistema de fuerzas será:

0cos n

iiiXX

n

iX FFUi

…siendo i el ángulo que forma cada fuerza Fi respecto del eje x.

Dado que x es arbitrario, para que se cumpla la igualdad precedente es necesario que:

0cos n

iiiF que corresponde a la condición de equilibrio 0

n

iX iF

Veamos ahora las condiciones de equilibrio…

0n

iYiF

Consideremos ahora un desplazamiento virtual paralelo al eje y de intensidad y. En forma análoga se tendrá:

Por último, para una rotación virtual θ de la chapa respecto del centro O, los puntos de aplicación de las fuerzas sufrirán el siguiente corrimiento virtual en la dirección de las mismas:

ii d

…siendo di la distancia medida en forma perpendicular desde el origen de coordenadas a la dirección de las fuerzas Fi.

Veamos ahora las condiciones de equilibrio…

Por lo tanto, el trabajo virtual desarrollado por sistema de fuerzas, para una rotación virtual, de acuerdo con el enunciado del Principio de Trabajos Virtuales debe ser nulo:

m

ii

n

iii MFU

0

m

ii

n

iii MdFU

m

ii

n

iii MdFU

de donde:

0

m

ii

n

iii MdF “De esta manera se ha demostrado que todo

cuerpo que cumple el PTV cumple a su vez las condiciones de equilibrio”.

Supongamos una viga simplemente apoyada…

Aplicación al Cálculo de Deformaciones

…con un estado de cargas cualquiera, que genera el diagrama de momentos M indicado en la figura.

Si queremos calcular la deformación de esa viga (desplazamiento vertical) en el punto m, aplicamos en dicho punto una carga auxiliar (ficticia) unitaria, en la dirección que se quiere calcular la deformación.

Si aplicamos ahora la ecuación del PTV y admitimos que no hay descenso de apoyos, ni variaciones de temperatura y despreciando los efectos de N y Q, resulta:

ime TdsJE

MMT

1

Supongamos una viga simplemente apoyada…

Análogamente, si queremos la deformación de esa viga (giro) en el punto m, aplicamos una cupla unitaria en dicho punto, en donde por aplicación de la ecuación del PTV, resulta:

ime TdsJE

MMT

1

Aplicación al Cálculo de Deformaciones

Veamos el siguiente ejemplo:

EjemploCalcular la flecha en el punto medio y el giro en los extremos de la viga simplemente apoyada de la figura cuando actúa sobre ella una carga uniforme p.

La función de momentos flexores de la viga es:

8222

2

2

lplllpxM l

xlxpxM

2

Si queremos calcular la deformación de la viga (desplazamiento vertical) en el punto C, aplicamos en dicho punto una carga auxiliar (ficticia), unitaria, en la dirección que se quiere calcular la deformación.

Veamos el siguiente ejemplo:

Los momentos generados por esta fuerza serán:

422

422*

*

2

*

lllF

llF

xM l

lxlxlxlF

lxxxF

xM

222

20

22*

*

*

Veamos el siguiente ejemplo:

y planteando la ecuación de PTV (dado que ambos momentos son simétricos, resolveremos la integral de media viga y la multiplicaremos por 2):

LC dxxxlxp

JE 222

LC dx

JExMxM

*

JElp

C

4

3845

Veamos el siguiente ejemplo:

Análogamente, si queremos calcular el giro del punto B, aplicamos una cupla auxiliar (ficticia) unitaria en dicho punto, en la dirección que se quiere calcular la deformación.

Los momentos generados por esta cupla serán:

lx

lxMxM **

y planteando la ecuación de PTV:

LB dx

lxxlxp

JE 21

LB dxJExMxM

*

JElp

B

3

241

Veamos ahora el método gráfico:

Si queremos calcular la deformación de la viga, será:

JElplllp

JELmMdx

JExMxM

LC

42*

3845

2481252

125

JElpllp

JELmMdx

JExMxM

LB

32*

241

8311

31

Bibliografía

Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias