Trabajos virtuales-sistemas hiperestáticos

Trabajos Virtuales y Sist. Hiperestáticos Complemento Teórico de la Guía de Trabajos Prácticos

El presente trabajo es un sumario de conceptos teóricos de la materia Estabilidad IIb (64.12) correspondiente a las carreras de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica.

Ing. Gabriel Pujol

Año de edición 2016

Trabajos Virtuales y Sistemas Hiperestáticos (Complemento Teórico)

Estabilidad IIB – 64.12 hoja 1 Curso: Ing. Gabriel Pujol

Tabla de contenido

PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 3

ENUNCIADO 3 APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES A LOS SISTEMAS DEFORMABLES ELÁSTICAMENTE 3

SISTEMAS HIPERESTÁTICOS: MÉTODO DE LAS FUERZAS 9

INTRODUCCIÓN 9 DETERMINACIÓN DEL GRADO DE HIPERESTATICIDAD DE LA ESTRUCTURA (GE) 9 DETERMINACIÓN DEL SISTEMA FUNDAMENTAL 10 DETERMINACIÓN DE SOLICITACIONES EN EL SISTEMA FUNDAMENTAL 11 PLANTEO DE LAS ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE LAS DEFORMACIONES 12 RESOLUCIÓN DEL SISTEMA DE ECUACIONES 14 CÁLCULO DE SOLICITACIONES 14 EFECTO DE LA VARIACIÓN DE TEMPERATURA 14 EFECTO DE ASENTAMIENTO O DESPLAZAMIENTO DE APOYOS 15

SISTEMAS HIPERESTÁTICOS: MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES 25

INTRODUCCIÓN 25 ANEXO A: BARRA ARTICULADA-ARTICULADA CON ACCIONES EN LOS NUDOS. 40 ANEXO B: ECUACIONES DE RIGIDEZ PARA ELEMENTOS CON FUERZA AXIAL 44

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 46


Curso: Ing. Gabriel Pujol hoja 2 Estabilidad IIB – 64.12



Principio de los Trabajos Virtuales

Enunciado

Es condición necesaria y suficiente para que un sistema de puntos se halle en equilibrio que sea nulo el trabajo de las fuerzas y/o pares aplicados durante un desplazamiento virtual de dicho sistema.

Llamaremos desplazamiento virtual a todo desplazamiento muy pequeño compatible con los vínculos debiendo ser estos reversibles (si se admite un desplazamiento “a” también debe permitirse un desplazamiento “-a” opuesto al anterior).

Aplicación del principio de los trabajos virtuales a los sistemas deformables elásticamente

Cuando nos referimos a sistemas elásticos, llamaremos desplazamiento virtual de los mismos a cualquier deformación elástica muy pequeña compatible con sus vínculos externos e internos.

Las deformaciones elásticas para una barra, en general son:

Sea por ejemplo, el caso de una barra de eje curvo de gran radio de curvatura sometida a la acción de las

fuerzas P1 y P2. Se quiere calcular la componente vertical s del desplazamiento del baricentro de la sección “S”. Supongamos que sólo sea deformable el elemento genérico “i”, lo que significa que sólo admitirá giros relativos de derecha respecto de izquierda o viceversa.



La elástica vertical de dicha deformación tendría la siguiente forma:

El punto “S” del eje de la pieza experimentará un desplazamiento vertical ds. Supongamos descargado el sistema y carguémoslo con una fuerza vertical v = +1 en “S” a la que llamaremos esfuerzo auxiliar

correspondiente a la magnitud s. El sistema así cargado no se altera si ponemos en evidencia el momento flexor en la sección “i”.

Miv es equivalente al momento respecto de “i” de todas las fuerzas que quedan a la izquierda de “i”. Al introducir la articulación en “i” el sistema primitivo se ha transformado en uno con un grado de libertad, el cual todavía podrá experimentar en consecuencia movimientos virtuales.

Si como desplazamiento virtual se toma el que corresponde al sistema cargado con las fuerzas P1 y P2

cuando es deformable el elemento “i”, se puede escribir:

0 PiivPs dMdv

Si fuera deformable otro elemento, la expresión sería similar de modo que para considerar la totalidad de los elementos que constituyen la pieza será necesario sumar todas las influencias:

00 PvPsPvPs dMvdMdv

por lo que resulta:

1; vdM PvPs (1)

donde Mv es el momento flexor motivado por el esfuerzo auxiliar “v” a lo largo del eje longitudinal del

sistema y d son los giros relativos de las secciones de la derecha respecto de la izquierda.

Sustituyendo d por su valor (en este caso, el d correspondiente a flexión), se obtendrá:



JE

dsMd

JE

dsMM P

PvPs

;

La expresión (1) es válida para otras causas, además de las cargas, por lo que si consideramos variaciones de temperatura, por ejemplo, será:

dstth

ddstth

M isisvPs

;

1. Ejemplo:

Calculemos, por ejemplo el desplazamiento vertical del extremo “B” de una ménsula horizontal de longitud “L”, módulo de elasticidad “E” y momento de inercia “J”, cargada con un afuerza q uniformemente distribuída:

Para ello previamente trazamos los diagramas de momentos debidos a la causa (fuerza distribuida) Mp y al esfuerzo auxiliar Mv, ellos son:

xMx

pM vp ;2

2

luego será:

JE

Lpdx

JE

xp

JE

dxx

xpLL

PB

822

4

0

3

0

2

Si en lugar de desplazamientos del baricentro de la sección extrema hubiésemos querido hallar el giro de la misma, el esfuerzo auxiliar en este caso sería un par +1 aplicado en “B”, resultaría:

JE

Lpdx

JE

xp

JE

dxMM

LL

vpPB

62

3

0

2

0

La preparación de tablas para los casos corrientes para resolver integrales que multiplican distintos diagramas de características resulta sumamente sencillo, y debe tenerse en cuanta que los diagramas de



momentos pueden descomponerse, dada la propiedad distributiva de la integración en la forma que resulte más conveniente para el cálculo.

Problemas de aplicación

Ejercicio Nº I: Calcular aplicando el teorema de los Trabajos Virtuales:

La rotación absoluta de los extremos A y B.

a) La rotación relativa de los extremos A y B.

b) El corrimiento vertical en el punto C.

c) Compara resultados con los obtenidos en el ejercicio Nº 1 del Trabajo Práctico Nº 7.

Datos: Perfil “doble T” (DIN 1025); l = 7,4 m; P = 4,5 t;

q = 1,8 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; adm = 800 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2

Resolución:

a) Rotación absoluta de los extremos A y B:

La rotación absoluta de los extremos “A” y “B” la calculamos con la siguiente expresión:

L

vq

L

vp

L

vqpqPA dxMMJE

dxMMJEJE

dxMMM

000

,

11

El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso un par unitario aplicado sucesivamente en ambos extremos (“A” y “B”). Por simetría el giro absoluto en el extremo “A” será igual al giro absoluto en el extremo “B” por lo tanto:

Resolviendo las integrales por tablas, tendremos:



2

016

111

4

1

4

111LP

JELLP

JEdxMM

JE

L

vp

y

3

2

024

111

83

111Lq

JEL

Lq

JEdxMM

JE

L

vq

por lo que, reemplazando será:

332 10898,53

2

16

1

LqLP

JEBA

b) Rotación relativa de los extremos A y B:

La rotación relativa de los extremos “A” y “B” la calculamos con la siguiente expresión:

L

vq

L

vp

L

vqpqPA dxMMJE

dxMMJEJE

dxMMM

000

,

11

El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso un par de pares unitarios aplicados en ambos extremos (“A” y “B”) por lo tanto:


2

08

111

42

111LP

JEL

LP

JEdxMM

JE

L

vp

y



3

2

012

111

83

211Lq

JEL

Lq

JEdxMM

JE

L

vq


332 10796,113

2

8

1

LqLP

JEBAAB

A este valor podríamos haber llegado con el siguiente razonamiento:

310796,1122

;

BABAAB

BABAAB

BABA

c) El corrimiento vertical en el punto C:

El corrimiento vertical en el punto “C” lo calculamos con la siguiente expresión:

L

vq

L

vP

L

vqPqPC dxMMJE

dxMMJEJE

dxMMM

000

,

11

El esfuerzo auxiliar Mv será en este caso una fuerza unitaria aplicada en el centro de la luz (punto “C”) por lo tanto:




3

0

0

0

2

2

00

48

111

2443

11

2443

111

111

LPJE

dxMMJE

LLLP

JE

LLLP

JEdxMM

JE

dxMMJE

dxMMJE

dxMMJE

L

vp

L

vp

L

vp

L

vp

L

vp

y

4

0

22

0

0

2

2

00

384

111

24812

51

24812

511

111

LqJE

dxMMJE

LLLq

JE

LLLq

JEdxMM

JE

dxMMJE

dxMMJE

dxMMJE

L

vq

L

vq

L

vq

L

vq

L

vq


mLqLP

JEC 013945,0

38448

1 43

d) Cuadro comparativo de resultados con en el ejercicio Nº 1 del Trabajo Práctico Nº 7:

(cm) A= B

Por integración: 1,3940 5.890x10-3

Por Trabajos virtuales: 1.3945 5.898x10-3

Sistemas Hiperestáticos: MÉTODO DE LAS FUERZAS

Introducción

Su aplicación es general; pero solamente lo estudiaremos en estructuras planas formadas por barras. Se considera además, que para éstas es válida la ley de Hooke, esto es, existe proporcionalidad entre las tensiones y las deformaciones.

Determinación del Grado de Hiperestaticidad de la estructura (Ge)

Analicemos una estructura sometida a un determinado estado de carga, y en ella planteamos el esquema de cuerpo libre:



De acuerdo a si el cuerpo está en el plano o en el espacio (3 en el plano y 6 en el espacio) queda determinado un número de ecuaciones definidas por la Estática (E) y un número de incógnitas a calcular (I):

Si el número de incógnitas, (I), es menor que el número de ecuaciones, (E), la estructura es inestable, es un mecanismo o sistema hipostático. Constituye un sistema incompatible.

Si el número de incógnitas, (I), es igual al número de ecuaciones, (E), la estructura es estáticamente determinada, un mecanismo o sistema isostática.

Si el número de incógnitas, (I), es mayor que el número de ecuaciones, (E), la estructura es estáticamente indeterminada, es un mecanismo o sistema hiperestático.

El número o cantidad de incógnitas (I), o vínculos que se deben eliminar para que el sistema “hiperestático” se convierta en isostático se denomina “Grado de Hiperestaticidad” o “Grado de Indeterminación Estática” de la estructura:

EIGe

En un sistema donde se tiene mayor número de I que de E se pueden fijar arbitrariamente valores a las incógnitas y resolver el sistema de ecuaciones. En dicho caso existen infinitas soluciones, que satisfacen las ecuaciones de equilibrio de la Estática, pero existe un único juego de valores de todas las incógnitas, que satisface condiciones basadas en el comportamiento elástico de la estructura.

Determinación del Sistema Fundamental

La idea fundamental es la siguiente: se hace desaparecer la causa de la indeterminación estática y se obtiene un sistema isostático fundamental o principal.

El sistema fundamental no cumplirá las condiciones impuestas al sistema hiperestático, por esta razón, para hacer que dichas condiciones se cumplan, han de aplicársele fuerzas o momentos que constituyen las incógnitas hiperestáticas. Las condiciones suprimidas pueden pertenecer a la sustentación o ser condiciones internas del sistema.

El sistema fundamental se obtiene a partir de la estructura hiperestática planteada, reemplazando Ge vínculos, por las acciones que los mismos introducen. Dichas acciones pasan a ser cargas externas sobre el fundamental. Para la misma estructura existen varios sistemas fundamentales posibles.



El sistema fundamental más conveniente será aquel en el cual los diagramas debidos a las incógnitas y a las cargas exteriores resulten simples y donde haya la menor cantidad posible de coeficientes δij suplementarios, distintos de cero.

Las solicitaciones y desplazamientos en el sistema fundamental bajo la acción de las cargas exteriores y de las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, son iguales a las solicitaciones y deformaciones en la estructura hiperestática planteada, bajo la acción de las cargas exteriores.

Determinación de solicitaciones en el Sistema Fundamental

Si se aplicaran al sistema fundamental las incógnitas hiperestáticas y el estado de cargas inicial, obtendríamos para una sección genérica C las solicitaciones correspondientes.

Los momentos flectores en C son:

CCCC MMMM 3210 ;;;

Luego, por el principio de superposición de efectos el momento flector total en la sección C de la estructura hiperestática original vale:

CCCCC MMMMM 3210

Pero se desconocen los valores verdaderos de X1, X2 y X3; luego, no pueden obtenerse M1C, M2C ni M3C.

Sin embargo, la forma del diagrama de solicitaciones es única para cualquier valor de la carga que lo produzca. Así por ejemplo los diagramas de momentos de un par de 1 tm y el de 5 tm son idénticos, sólo varía la escala de referencia de los mismos.

Siguiendo el razonamiento, puede escribirse:

CC MXM 111

en la cual:

X1 - valor (adimensional) de la incógnita hiperestática verdadera.

M’1C - valor del momento flector en C originado por una carga unitaria en el punto de actuación de la incógnita X1.



La expresión del momento en C en la estructura hiperestática será:

CCCCC MXMXMXMM 3322110

y en general:

n

i

iiC MXMM1

0

Por lo tanto, deben calcularse las solicitaciones en el sistema fundamental para las cargas exteriores y para cargas unitarias actuando en los puntos de aplicación de las incógnitas hiperestáticas.

Planteo de las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones

Hay que plantear tantas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones como incógnitas hiperestáticas existan.

Si en las secciones de la estructura hiperestática donde se consideraron las incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3) los enlaces son rígidos, el desplazamiento relativo de dichas secciones es nulo.



Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones en cuestión, originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, debe ser nula.

00 13312211110 XXXA

dónde:

δ’A - desplazamiento relativo entre las secciones en el punto de aplicación de la incógnita hiperestática X1, en la estructura fundamental.

δ10 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por las cargas exteriores.

X1 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 1 (adimensional).

δ11 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X1 actuando en A.

X2 - verdadero valor de la incógnita hiperestática 2 (adimensional).

δ12 - desplazamiento que sufre el punto de aplicación de la incógnita X1 en la estructura fundamental en la dirección y sentido de esta fuerza, originado por un valor unitario de X2.

(etc.)

En general,

δij - desplazamiento del punto de aplicación de la incógnita hiperestática X i en la estructura fundamental, en la dirección y sentido de esta fuerza, por acción de Xj = 1 [t o tm].

Los valores de las incógnitas hiperestáticas quedarán determinados por la condición de volver a llevar los puntos que se han liberado al encuentro de los enlaces preexistentes.

La expresión de los desplazamientos δ’ij la obtenemos aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales:

mtótdlIE

MM iij

dónde:

M - momentos finales en la estructura fundamental (iguales a los momentos verdaderos en la estructura hiperestática).

M’i - momentos en la estructura fundamental originados por X1 = 1 [t] ó [tm]



Sustituyendo el valor de M e igualando a cero:

0

0

0

2

33

322

311

30

233

2

22

211

20

133

122

2

11

10

dlIE

MXdl

IE

MMXdl

IE

MMXdl

IE

MM

dlIE

MMXdl

IE

MXdl

IE

MMXdl

IE

MM

dlIE

MMXdl

IE

MMXdl

IE

MXdl

IE

MM

que puede escribirse:

0

0

0

33332231130

23322221120

13312211110

XXX

XXX

XXX

Sistema de n ecuaciones, no homogéneo, con n incógnitas, que puede representarse de la siguiente forma:

0 TXF

dónde:

F representa la matriz de coeficientes del sistema, o matriz de flexibilidad, ya que sus términos miden deformaciones de la estructura bajo la acción de cargas unitarias.

X representa la matriz columna de las incógnitas hiperestáticas X

T representa la matriz columna de los términos independientes.

30

20

10

3

2

1

333231

232221

131211

;;

T

X

X

X

XF

Por el teorema de Maxwell se tiene δij = δji por lo que la matriz de coeficientes es simétrica respecto a la diagonal principal.

Resolución del Sistema de Ecuaciones

Resuelto el sistema obtenemos los valores de las incógnitas hiperestáticas (X1, X2 y X3).

Cálculo de Solicitaciones

El sistema fundamental se obtiene a partir de la estructura hiperestática planteada, reemplazando los Ge vínculos, por las acciones que los mismos introducen y resolviéndolo como un sistema isostático.

Efecto de la Variación de Temperatura

En el cálculo de pórticos con "n" grados de hiperestaticidad ante la acción de la temperatura, el esquema de cálculo no varía, solamente se reemplazan en las ecuaciones de compatibilidad, los miembros de

carga iP por los miembros libres iT.



0......

.................................................................................

0......

0......

332211

22332222112

11331221111

nnnnnnTn

nnT

nnT

XXXX

XXXX

XXXX

La magnitud iT viene a ser el desplazamiento de puntos del sistema principal, en los cuales se aplica la

fuerza Xi en la dirección Xi, debido a la acción de la temperatura. Estos coeficientes iT se determinan por la fórmula 3.9.

TLTi dónde L = longitud del elemento y T = variación de temperatura.

Los diagramas finales de fuerzas internas se determinan por las siguiente expresiones, siendo MP = 0, QP = 0 y NP = 0.

nnP

nnP

nnP

NXNXNXNXNN

QXQXQXQXQQ

MXMXMXMXMM

......

......

......

332211

332211

332211

Efecto de asentamiento o desplazamiento de apoyos

En el cálculo de pórticos con "n" grados de hiperestaticidad ante el posible asentamiento o desplazamiento de los apoyos, su esquema de cálculo tampoco varía. En el sistema de ecuaciones

canónicas 3.3, los miembros de carga iP se reemplazan por los miembros libres iC. La magnitud iC viene a ser el desplazamiento de puntos del sistema principal, en los cuales se aplica la fuerza Xi en la dirección Xi, debido al asentamiento o desplazamiento de apoyos del sistema principal.

Los diagramas finales de fuerzas internas se determinan por las siguiente expresiones, siendo MP = 0, QP = 0 y NP = 0.

nnP

nnP

nnP

NXNXNXNXNN

QXQXQXQXQQ

MXMXMXMXMM

......

......

......

332211

332211

332211



Para calcular los desplazamientos iC del sistema principal, se dan tales desplazamientos del sistema inicial, que corresponden a las conexiones en los apoyos del sistema principal, conservando su dirección o sentido, dependiendo que sea fuerza o momento (figura b, c, d).

Como ejemplo, mostramos la forma de las ecuaciones canónicas del método de las fuerzas para las variantes del sistema principal mostradas en la figura b, c, d.

Sistema principal de la figura b:

42222112

51221111

CXX

CXX

C

C

Sistema principal de la figura c:

32222112

21221111

CXX

CXX

C

C

Sistema principal de la figura d:

0

0

2222112

1221111

XX

XX

C

C


Ejercicio Nº II: Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de vínculo por el método de las fuerzas. Trazar los diagramas de características.

Datos: Perfil 1 “doble T” (IPB 450 - DIN 1026); Perfil 2 “doble T” (IPB 550 - DIN 1026); H = 5,6 m; L = 8,4 m;

q = 2,7 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2; J1 = 79890 cm4; J2 = 136700 cm4



Resolución:

Estamos en presencia de un sistema hiperestático de grado tres.

a.1) Sistema Fundamental:

El sistema fundamental se obtiene a partir de la estructura hiperestática planteada, reemplazando tres vínculos, por las acciones que los mismos introducen (X1, X2 y X3).

a.2) Determinación de los diagramas de momentos flexores para las carga y de las incógnitas hiperestáticas:

Plantearemos los diagramas de momentos flexores para las cargas exteriores y mas incógnitas hiperestáticas adoptando para esta un valor unitario. Así tendremos:

Por lo tanto, en el sistema fundamental la suma de los desplazamientos en las secciones en cuestión, originados por las cargas exteriores y las incógnitas hiperestáticas actuando conjuntamente, debe ser nula.

133122111101 XXX

Los valores de las incógnitas hiperestáticas quedarán determinados por la condición de volver a llevar los puntos que se han liberado al encuentro de los enlaces preexistentes.



La expresión de los desplazamientos δ’i la obtenemos aplicando el Principio de los Trabajos Virtuales:

mtótdlJE

MM i

1

dónde:

M - momentos finales en la estructura fundamental (iguales a los momentos verdaderos en la estructura hiperestática).

M’i - momentos en la estructura fundamental originados por Xi = 1 [t] ó [tm]

Sustituyendo el valor de M obtenido en la tercer etapa, e igualando a cero:

0

0

0

2

33

322

311

303

233

2

22

211

202

133

122

2

11

101

dlJE

MXdl

JE

MMXdl

JE

MMXdl

JE

MM

dlJE

MMXdl

JE

MXdl

JE

MMXdl

JE

MM

dlJE

MMXdl

JE

MMXdl

JE

MXdl

JE

MM

que puede escribirse:

0

0

0

33332231130

23322221120

13312211110

XXX

XXX

XXX

a.3) Determinación de los coeficientes δij:

Los coeficientes δij los obtendremos utilizando tablas de multiplicación de diagramas. Así tendremos:

235,1028028042336006

11128056022804233600

6

111

560423360084011

56042336005604

111

11

21

1010

JEJE

JEJEds

JE

MM

203,528084042336002

1112804233600840

2

111

84042336008402

111

12

2

2020

JEJE

JEds

JE

MM

0171,0280142336002

11128014233600

2

111

8404233600111

560423360013

111

11

21

3030

JEJE

JEJEds

JE

MM



001615,05605605603

111

84056056011

5605605603

111

1

21

1111

JE

JEJEds

JE

MM

00304,084084056011

8408408403

111

12

2222

JEJE

dsJE

MM

9

21

3333 10602,984011

1156011

12

1

JEJE

dsJE

MM

00147,05605608402

111840840560

2

111

12

2112

JEJE

dsJE

MM

6

21

3113 10508,35608401

115605601

2

112

1

JEJE

dsJE

MM

6

12

3223 10032,45608401

118408401

2

111

JEJE

dsJE

MM

a.4) Resolución del sistema:

Remplazando valores obtendremos X1, X2 y X3 como sigue:

010602,9100328,410508,30171,0

0100328,400304,000147,0203,5

010508,300147,0001615,0235,10

9

3

6

2

6

1

6

321

6

321

XXX

XXX

XXX

mtX

tX

tX

79,19

44,1

95,11

3

2

1

a.5) Diagramas de Características:



Ejercicio Nº III: Calcular las reacciones de vínculo del pórtico de la figura que sufre una variación de temperatura en la barra BC de 30 °C y un corrimiento vertical del apoyo D de 1 cm.

cm

CT

C

cmAF

MPaE

cmI

m

kNq

kNP

ml

Datos

D

BC

acero

1

º30

º

11015

42

101.2

1000

3

10

1

:

inferiorCara

6

2

5

4

1) Caso Hiperestático por Exceso de Ligaduras:

Como los desplazamientos se deben esencialmente a flexión, se prescinde de evaluar tracción, luego se construyen los diagramas de M para causa “fuerzas distribuidas”, para causa “x1=+1” y para causa “x2=+1”. (Se grafican en el orden citado)

Para el sistema fundamental (SF):

lPlqM

lqV

lqPH

MlPllql

lqM

lqVF

Plq

HF

A

A

A

A

A

AV

AH

26

59

3

2

0243

2

2

4

2

330

030

02

40

2



mkNM

kNV

kNH

mkNmm

kNM

mm

kNV

mm

kNkNH

A

A

A

A

A

A

5.9

9

4

1102136

59

133

13210

2

Con lo cual primero hay que obtener δ1P, δ11, δ12, δ2P y δ22 (es decir: el desplazamiento virtual en la dirección de x1 debido a las cargas P, el desplazamiento virtual en la dirección de x1 debido a x1 y así sucesivamente). Para esto se deben multiplicar los diagramas correspondientes.

IE

LMMLMMdlIE

MM

IELMMMLMMLMMMLMMdl

IE

MM

HV

HPPHPVPPVPP

P

BBAA

BCBBCAABAA

1

3

1

1

4

1

2

1

4

1

111111

11

11111

1

IE

LMM

MLMMMLMMLMMMLMMdl

IE

MM

IELMMLMMLMMdl

IE

MM

IELMMLMMdl

IE

MM

VPHPPHPVPPVP

PP

VHV

HV

CC

C

BCBCCBABBA

CCBBBB

BBBA

1

22

26

1

3

1

5

1

2

1

1

3

1

3

1

1

2

1

2

1

2

2

22222

2

22222222

22

212121

2112

IEIE

IEIE

IEIE

IEIE

IEIE

P

P

14667,475

1

2

42042

2

4

6

134205,33

3

13420445.95,33

5

1445,9

4

1

1667,90

1444

3

1344444

3

1

142

1343

2

1443

2

1

145

1333

3

1433

1375,306

133205,33

4

13320

2

1435.95,33

4

1435,9

2

22

12

11

1



Luego la matriz de ecuaciones canónicas queda:

kNx

kNx

x

x

68,3

37,3

4667,475

375,306

667,9042

4245

2

1

2

1

Calculamos ahora las reacciones de vínculo:

lxlPlqM

xlqV

xlqPH

MlPlxllql

lqM

xlqVF

xPlq

HF

A

A

A

A

V

H

1

2

1

2

1

1

2

326

59

3

2

02343

2

2

4

2

330

030

02

40

mkNmkNmm

kNM

kNmm

kNV

kNmm

kNkNH

137,331102136

59

37,3133

68,313210

2

mkNM

kNV

kNH

61,0

63,5

32,0

2) Caso Hiperestático por Diferencia de Temperaturas:

δ2∆T (desplazamiento en la dirección de H2 debido a ∆T)

TlT 32

δ22 (desplazamiento en la dirección de H2 debido a H2)

lMMlMMlMM

IECCBBBB 4

3

134

3

1122222222

lll

IE444

3

1344444

3

1122

IE

l

3

27222

Luego la ecuación de compatibilidad es:

272

9

3

272

30

22

222222

IET

IE

l

TlHH T

T



272

1000101.2º30º

110159 456

2

cmMPaCCH

Entonces:

NH 27.312 y NH 27.311

3) Caso Hiperestático por Corrimiento de Vinculo:

ηD = 1cm (desplazamiento por corrimiento de vinculo)

η11 (desplazamiento en la dirección de x1 debido a x1)

11

1111

11

cmxcmx D

lMMlMM

IEAAAA 3

3

14

1111111

ll

IE333

3

1433

111

IE

l

3

11

45

345

31145

1000101.21

45

1

m

cmMPacm

l

IEcmx

Nx 7.4661

Una vez conocido x1 se calculan las reacciones de vínculo:

mNlxM

NxV

lxMM

xVF

A

A

A

V

14003

7,466

030

00

1

1

1

1

4) Suma final:

Por último se suman los efectos de las tres causas del problema para obtener todas las reacciones de vínculo:



Sistemas Hiperestáticos: MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES

Introducción

El método de las deformaciones, de los desplazamientos o de la rigidez se caracteriza por tener como incógnitas los desplazamientos generados en las estructuras debido a las cargas aplicadas y en función de parámetros de rigidez de la estructura, tal como lo indica su nombre.

El método propone fijar los nudos tanto angular como linealmente, analizando el efecto que tienen las cargas externas sobre la estructura; para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos. Finalmente, aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto. Por cada componente de desplazamiento desconocida se establece una ecuación de equilibrio. Formando un sistema de ecuaciones que permite determinar dichas deformaciones y mediante las mismas obtener los esfuerzos internos en la estructura.

Por ejemplo, para el pórtico de la figura, la aplicación del método implica impedir las rotaciones de los nodos B y C así como el desplazamiento de la barra BC.

Por su parte, las ecuaciones de compatibilidad lo obtenemos planteando el equilibrio de los nodos, así, el sistema de ecuaciones que resuelve el sistema será:

333231

232221

131211

3

2

1

30

20

10

3

2

1

con

0

0

0

rrr

rrr

rrr

K

z

z

z

K

R

R

R

R

R

R

dónde: jk

kjzz

ur

2

serán los respectivos coeficientes de rigidez:



La construcción de la matriz de rigidez K para la totalidad de la estructura de forma directa no es sencilla. La solución para formarla de manera simple consiste en realizar el análisis elemento a elemento, construyendo la matriz de rigidez de cada uno de ellos en su sistema de ejes local, para a continuación proyectarla sobre el sistema global de ejes, y finalmente ensamblar las matrices de todos los elementos.

Así, por ejemplo, para una viga empotrada-empotrada, podemos adoptar un sistema de ejes local con su eje XL coincidente con la viga, y su origen en el nudo I del elemento. Los ejes Z general y local son coincidentes.

Para cada nudo los 3 grados de libertad son: desplazamiento axial según XL, desplazamiento transversal según YL, y giro según el eje Z. Los esfuerzos correspondientes son: fuerza axial según XL, cortante según YL y momento flector según Z.

El elemento tiene capacidad para absorber energía de flexión y de esfuerzo axial. La flexión se produce en el plano XY, y está controlada por el momento de inercia de la sección respecto al eje Z, que se denominará I. Como ya se sabe ambos efectos están desacoplados.

La matriz de rigidez es de 6x6; sus términos se calculan aplicando sucesivamente desplazamientos unitarios a cada uno de los 6 grados de libertad, y calculando en cada caso las fuerzas de reacción que aparecen sobre la barra. La resolución de cada caso proporciona una columna de la matriz de rigidez. Agrupándolas se obtiene:



La no existencia de términos de rigidez entre los grados de libertad axiales y de flexión muestra el desacoplamiento entre ambos efectos.

En base a ésta matriz calculemos, por ejemplo, los esfuerzos de extremo de barra para el caso de la

rotación del empotramiento de la derecha un valor en sentido horario. En este caso serán: IX, IY, I,

JX, JY, todos nulos, mientras que J = -.

Reemplazando en la matriz de rigidez resulta:

L

EIM

L

EIP

P

L

EIM

L

EIP

P

J

JY

JX

I

IY

IX

4

6

0

2

6

0

2

2

Por su parte, para para una viga empotrada-articulada al exister una articulación en el nudo J, se cumple que Mj = 0. Al imponer esta condición de momento nulo se debe de prescindir de un grado de libertad, que es el giro en el nudo J, y la matriz de rigidez de la viga será:



En ella se observa que la fila y la columna correspondientes al giro en J son nulas. Ello quiere decir que el momento en el nudo J es siempre 0, para cualquier valor de los otros 5 grados de libertad y que el grado

de libertad al giro en el nudo J (J) no afecta a las fuerzas en los extremos del elemento.

En base a ésta matriz calculemos, por ejemplo, los esfuerzos de extremo de barra para el caso del

rotación descenso del apoyo de la derecha un valor . En este caso serán: IX, IY, I, JX, JY, J todos

nulos, mientras que JY = -.

Reemplazando en la matriz de rigidez resulta:

0

3

0

3

3

0

3

2

3

J

JY

JX

I

IY

IX

M

L

EIP

P

L

EIM

L

EIP

P


Ejercicio Nº IV: Calcular por el método de las incógnitas cinemáticas (método de las deformaciones) los momentos en los vínculo del pórtico de la figura que se producen cuando la estructura sufre un incremento de

temperatura t, y el apoyo C sufre un

descenso de valor en la dirección C’

además de una rotación de valor .

Resolución:

Apliquemos este método a la resolución del siguiente pórtico considerando que el mismo está cargado con una fuerza distribuida de valor q en la barra 1B y por

una carga concentrada horizontal de valor P en la mitad de la altura h de la barra 1C tal como se muestra en la figura de la izquierda.

Consideremos además, que la estructura sufre un incremento de temperatura t, y que el apoyo C sufre

un descenso de valor en la dirección C’ y una rotación de valor .

Procedemos a fijar angularmente el nudo 1 de forma tal que no pueda rotar. De esta forma la única restricción

impuesta al sistema será 1. En consecuencia el sistema fundamental resultante será la que se muestra en la figura y estará conformado por una barra empotrada-articulada (A1), y dos barras empotrada-empotrada (B1 y C1).

Una vez hecho esto, analizaremos el efecto que tienen las cargas externas (q y P) sobre este sistema fundamental;



para luego imponer pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calcular su efecto sobre los esfuerzos internos y aplicando el principio de superposición, se determina el efecto conjunto.

Calcularemos a continuación los efectos que sobre la estructura tienen el

incremento de temperatura (t), el

descenso del apoyo () y la rotación del

mismo () y finalmente, aplicando el principio de superposición, se determinaremos el efecto conjunto (vínculos superabundantes, variación de temperatura, descenso y rotación del apoyo C).

Por cada componente de desplazamiento desconocida se deberá establece una ecuación de equilibrio, en este caso, al ser sólo una la restricción incorporana al sistema (rotación del nodo 1) será necesaria sólo una ecuación de compatibilidad.

Procederemos a calcular el efecto de las cargas externas actuando sobre el sistema fundamental.

Como puede observarse en la figura, las cargas exteriores deformarán las barras B1 y C1 de acuerdo con el siguiente esquema:

Por lo tanto, el momento en el nodo 1 debido a la acción de las cargas exteriores será:

812

2

20

1

0

1

0

1

HP

LqMMM CBP

Imponemos ahora pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calcular su efecto. El esquema sería el que se presenta en la figura de la derecha, y su efecto combinado será:

CBAM 111

0

11

Deformaciones debidas al efecto de las cargas externas.

Deformaciones debidas al

efecto de las cargas externas.



dónde:

H

EIm

H

EI

L

EIm

L

EI

L

EI

CC

BB

A

24

24

3

11

2

1

2

1

1

1

Planteando ahora la ecuación de compatibilidad (equilibrio del nodo 1) resulta:

0

11

0

111

0

11

0

1 0M

MMM P

P

y los momentos en los empotramientos C y B serán:

11

0

111

0

1 BPBBCPCC mMMmMM

En forma análoga podemos obtener las reacciones de vínculos horizontales y verticales.

Calculemos ahora los efectos de un incremento de temperatura (de valor t). El efecto resultante será

una variación de longitud (L) directamente proporcional al incremento de temperatura (t), a la longitud

de la barra y al coeficiente de dilatación libre de un prisma () que mide el alargamiento o acortamiento por unidad de longitud, cuando la temperatura varía 1ºC. Así se tendrá:

LtLt

El esquema de la dilatación será el que se muestra en la figura de la derecha en donde:

11

11

121

LtL

HtL

LtL

A

C

B

mientras que la posición final del punto A será: BAA LLa 11 , dado que no posee restricciones para

desplazarse horizontalmente y la deformación del pórtico será:

donde m*1A. 1, m*

1B. 1, m*B1. 1,

m*1C. 1 y m*

C1. 1 son los pares extremos de barra producto del

desplazamiento en vertical (1) y

horizontal (1) del nodo 1.

Los coeficientes m*1B y m*

B1, los obtenemos, para la barra B1 de la matriz de rigidez de barras

doblemente empotradas para IX

= -1 y IY = 1, para la barra C1 los coeficientes m*

1C y m*C1 los

obtenemos de la matriz de rigidez de barras doblemente empotradas

Deformaciones debidas un

incremento de temperatura t.

Deformaciones debidas a los

pequeños desplazamientos de las restricciones impuestas.



para JX = 1 y JY = 1, y para la barra A1, el coeficiente m*1A, lo obtenemos de la matriz de rigidez de

barras empotradas-articuladas para IY = 1 (como el vínculo A de la barra se desplaza libremente en

forma horizontal no habrá deformaciones el la dirección de eje de la barra A1 IX = 0). Así:

C

C

C

C

B

B

B

B

A

A

LH

EIm

LH

EIm

LL

EIm

LL

EIm

LL

EIm

1

2

*

1

1

2

*

1

1

2

2

*

1

1

2

2

*

1

1

2

1

*

16

6

C1 barra,6

6

B1 barra,3

A1 barra

Imponemos ahora pequeños desplazamientos a las estructuras para cada una de las restricciones impuestas (en este caso la rotación del nodo 1) y calculamos su efecto. Por lo tanto, si planteamos el equilibrio en el nodo 1 será:

0

11

0

111

0

11

0

11

*

11

*

11

*

1

0

1 0M

MMMmmmM t

tBCAt

Así:

111

*

11

111

*

11

111

*

11

111

*

11

111

*

11

CCC

CCC

BBB

BBB

AAA

mM

mM

mM

mM

mM

t

t

t

t

t


Calculemos ahora los efectos de un giro del empotramiento C (de valor ). El esquema de la deformación se muestra en la figura.

Los coeficientes m1C y mC1, los obtenemos, para la barra C1 de la matriz de rigidez de barras doblemente

empotradas para I = -. Así:

H

EIm

H

EIm

C

C

4

2

C1 barra

1

1


H

EImM

M

MMM C

2donde0 1

0

10

11

0

111

0

11

0

1

Así:

Deformaciones debidas al giro del empotramiento C.



1111

1111

111

111

111

CCC

CCC

BB

BB

AA

mM

mM

M

M

M


Calculemos ahora los efectos de un cedimento del empotramiento C (de valor ). El esquema de la deformación se muestra en la figura de la derecha.

Los coeficientes m*1A los obtenemos, para la barra A1 de la matriz de rigidez de barras articuladas-

empotradas para IY = -1, los coeficientes m*1B y m*

B1, los obtenemos, para la barra B1 de la matriz de

rigidez de barras doblemente empotradas para IY = -1, para la barra C1 los coeficientes m*1C y m*

C1 los

obtenemos de la matriz de rigidez de barras doblemente empotradas para JX = 1 y JY = C,

Así:

2

*

1

2

*

1

2

2

*

1

2

2

*

1

2

1

*

16

6

C1 barra,6

6

B1 barra,3

A1 barra

H

EIm

H

EIm

L

EIm

L

EIm

L

EIm

C

C

B

B

A


CCBA mmmMM

MMM

11111

0

10

11

0

1'''

1

'''

1

0

11

0

1 donde0

Así:

'''

11

*

11

'''

11

*

11

'''

111

*

11

'''

111

*

11

'''

111

*

11

CCCC

CCCC

BBB

BBB

AAA

mM

mM

mM

mM

mM


Ejercicio Nº V: Para el pórtico de la figura hallar los valores de las reacciones de vínculo por el método

de las deformaciones. Trazar los diagramas de características.

Deformaciones debidas al

cedimento del

empotramiento C.



Datos: Perfil 1 “doble T” (IPB 450 - DIN 1026); Perfil 2 “doble T” (IPB 550 - DIN 1026); H = 5,6 m; L = 8,4 m;

q = 2,7 t/m; adm = 1400 Kg/cm2; E = 2,1x106 Kg/cm2; J1 = 79890 cm4; J2 = 136700 cm4

Resolución:

b) Método de las Incógnitas Cinemáticas (Método de las Deformaciones):

En este caso, el proceso utilizado, de superposición de efectos, puede idealizarse pensando de la siguiente manera:

Se parte de una estructura hiperestática, donde inicialmente se han colocado vínculos ficticios que bloquean los nudos impidiendo la rotación de las secciones extremas y el desplazamiento relativo entre los nudos.

En este estado hacemos actuar las cargas exteriores produciéndose momentos de empotramiento perfecto.

Luego relajamos las condiciones ficticias de vínculo, produciéndose rotaciones y desplazamientos relativos entre nudos, y momentos flexores.

Para calcular los momentos originados por las rotaciones y por los desplazamientos relativos utilizaremos tablas de fuerzas y momentos de extremos de barras prismáticas.

b.1) Determinación del sistema fundamental:

El pórtico posee tres grados de libertad, representados por las rotaciones de los nudos “C” y “D” y el desplazamiento horizontal de la barra “CD”. Agregando tres vínculos ficticios (restringimos las rotaciones de los nudos y el desplazamiento indicado) obtenemos el Sistema Fundamental de la figura.

b.2) Planteo de las ecuaciones de superposición de efectos:

En este caso (tres grados de libertad restringidos) tendremos:



0

0

0

3

0

332

0

321

0

31

0

3

3

0

232

0

221

0

21

0

2

3

0

132

0

121

0

11

0

1

XaXaXaa

XaXaXaa

XaXaXaa

P

P

P

o bien, en forma matricial:

0

33

0

32

0

31

0

23

0

22

0

21

0

13

0

12

0

11

0

3

0

2

0

1

3

2

1

;

aaa

aaa

aaa

K

a

a

a

X

X

X

K

P

P

P

b.3) Cálculo de los coeficientes aij:

Fuerzas actuantes (coeficientes aip):

En este caso sólo tendremos fuerzas exteriores actuando sobre la columna izquierda del pórtico, y reemplazando valores resulta:

tLq

aamtLq

a PPP 56,72

;0;056,712

0

3

0

2

20

1

Giro unitario en el nudo “C” (coeficientes ai1):

En este caso sólo tendremos los siguientes pares extremos de pieza, y reemplazando valores resulta:

756,32096

266,68322

39,2565344

1

1110

31

2

1220

21

2

122

1

1110

11

L

JEa

L

JEa

L

JE

L

JEa



Giro unitario en el nudo “D” (coeficientes ai2):


756,32096

39,2565344

266,68322

3

2330

32

3

233

2

2220

22

2

2220

12

L

JEa

L

JE

L

JEa

L

JEa

Desplazamiento unitario de la barra “CD” (coeficientes ai3):




76,22921212

756,32096

756,32096

3

3

333

3

1

3110

33

2

3

3330

23

2

1

3110

13

L

XJE

L

XJEa

L

XJEa

L

XJEa

b.4) Resolución del Sistema:

Reemplazando valores tendremos:

mX

X

X

XXX

XXX

XXX

3

3

4

2

4

1

321

321

321

10176,4

10877,4

10128,1

076,2292756,3209756,320956,7

0756,320939,25653266,68320

0756,3209266,683239,25653056,7

b.5) Diagramas de Características:

Cálculo de las reacciones de vínculo:

tXJEL

XJEL

N

tXJEH

XJEH

Q

mtXJEH

XJEH

M

B

tXJEL

XJEL

N

tHq

XJEH

XJEH

Q

mtHq

XJEH

XJEH

M

A

B

B

B

A

A

A

1352,166

2218,3126

481,1062

1352,166

98,112

126

784,1912

62

22221222

33332112

3332211

22221222

33331112

2

3332111

Gráficos: Ver Ejercicio II (páginas 16 y 17).



Ejercicio Nº VI: Para el pórtico de la figura hallar los valores de los esfuerzos que se producen cuando se produce un cedimiento vertical del vínculo C de valor. Trazar los diagramas de características.

Datos: = 10-2 m , h = 4 m; l = 3 m; EJ = cte.

Resolución:

a) Método de las Incógnitas Cinemáticas (Método de las Deformaciones):

En este caso, el proceso utilizado, de superposición de efectos, puede idealizarse pensando de la siguiente manera:

Se parte de una estructura hiperestática, donde inicialmente se han colocado vínculos ficticios que bloquean los nudos impidiendo la rotación de las secciones extremas y el desplazamiento relativo entre los nudos.

En este estado hacemos actuar las cargas exteriores produciéndose momentos de empotramiento perfecto.

Luego relajamos las condiciones ficticias de vínculo, produciéndose rotaciones y desplazamientos relativos entre nudos, y momentos flexores.

Para calcular los momentos originados por las rotaciones y por los desplazamientos relativos utilizaremos tablas de fuerzas y momentos de extremos de barras prismáticas.

a.1) Determinación del sistema fundamental:

El pórtico posee sólo un grado de libertad, representados por la rotación del nudo “B”. Agregando un vínculo ficticio (restringimos las rotaciones del nudo) obtenemos el Sistema Fundamental de la figura.

a.2) Planteo de las ecuaciones de superposición de efectos:

En este caso (un grado de libertad restringidos) tendremos una única incógnita y una única

ecuación:

0

11

0

10

11

0

1 0a

aaa

a.3) Cálculo de los coeficientes aij:

i) Cedimiento de vínculo (coeficientes a1):

En este caso consideraremos que el vínculo C desciende un valor = 10-2 m:



JEJE

l

JEa

22

22

0

1 103

110

333

ii) Giro unitario en el nudo “B” (coeficiente a11):


JEJEJE

a

l

JE

h

JEa

23

34

4

34

0

11

0

11

a.4) Resolución del Sistema:

Reemplazando valores tendremos:

2

2

0

11

0

1

106

1

2

103

1

JE

JE

a

a



a.5) Cálculo de las reacciones de vínculo:

JEJEl

JEl

N

JEJEh

Q

JEJEh

M

A

A

A

A

2

32

2

2

2

1018

133

1016

16

1012

12

JEJEh

N

JEJEl

JEl

Q

M

C

C

C

C

2

2

2

32

1016

16

1018

133

0

a.6) Gráficos:



Anexo A: Barra articulada-articulada con acciones en los nudos.

a) Rotaciones wi ; wj

Analicemos una barra i-j a la cual se le aplican por sus extremos o nudos un estado de desplazamientos w asociado a una solicitación M (momento flexor).

Si aplicamos un momento Mi = 1

aparecerán rotaciones ii y ij y reacciones en los vínculos 1/lij y -1/lij.

Con el mismo procedimiento, si aplicamos en j un Mj = 1 aparecerán

rotaciones y reacciones jj; ij y 1/lij; -1/lij.

Por superposición de efectos al aplicar momentos Mi ; Mj aparecerán en los extremos rotaciones wi ; wj y reacciones

Ri ; Rj, tal que:

ij

ji

j

ij

ji

i

jiij

jjjijij

jijiiii

l

MMR

l

MMR

ycon

MMw

MMw



De dos primeras ecuaciones podemos despejar Mi y Mj en función de wi y wj , donde denominaremos

ij al determinante de los coeficientes:

2

ijjjiijiijjjiiij así obtendremos:

j

ij

iii

ij

ji

j

j

ij

ij

i

ij

jj

i

wwM

wwM

y

ij

j

ij

ijii

ij

i

ij

jijj

j

ij

j

ij

ijii

ij

i

ij

jijj

i

l

w

l

wR

l

w

l

wR

con los coeficientes:

ij

iijj

ij

ji

ji

ij

ij

ij

ij

jj

ii kkkk

;;;

podremos obtener:

ij

j

jjij

ij

ijiiij

ij

j

jjij

ij

ijiiii

jjjijij

jijiiii

l

wkk

l

wkkR

l

wkk

l

wkkR

ywkwkM

wkwkM

Los coeficientes podemos obtenerlos, por ejemplo aplicando el principio de los trabajos virtuales, así será:

22

2

0

0

0

12

1

6

1

3

1

3

1

JE

l

JE

ldx

JE

MM

JE

ldx

JE

MM

JE

ldx

JE

MM

ij

ij

l

ijji

jiij

l

ijjj

jj

l

ijiiii

ij

ij

ij

siendo entonces:

ij

jiij

ij

jjiil

JEkk

l

JEkk

2;4

llamaremos en lo sucesivo:



LlMMMMww ijjiji ;;;; 2121

Las ecuaciones de los momentos y reacciones, pueden expresarse en notación matricial de la siguiente manera:

2

1

22

2

1

2

1

66

66

42

24

L

JE

L

JEL

JE

L

JEL

JE

L

JEL

JE

L

JE

R

R

M

M

o también:

LL

JE

LL

JER

LL

JE

LL

JER

y

L

JE

L

JEM

L

JE

L

JEM

212

211

212

211

66

66

42

24

Así, por ejemplo, el coeficiente k11 pueden interpretarse como el momento que debe aplicarse en el

extremo 1 de la barra para producir una rotación unitaria en dicho extremo (1 = 1), en tanto que en el

opuesto se encuentra empotrado (2 = 0). El coeficiente k21, es el momento resultante en el extremo 2 de la barra para esta condición.

La ecuación matricial consta de dos ecuaciones algebraicas que pueden resolverse simultáneamente para

determinar las rotaciones 1 y 2 en los extremos.



2

1

1

2

1

42

24

M

M

l

JE

l

JEl

JE

l

JE

b) Desplazamientos vi; vj según eje y

Aplicamos desplazamientos vi ; vj tales que:

ij

ij

ij

ij

ijijijl

vv

l

vvvv

;

con 0 ji ww

por lo que aparecerán solicitaciones Mi ; Mj ; Ri ; Rj cuyos valores obtendremos de una viga similar a la anterior con rotaciones wi* ; wj* tales que:

ij

ij

ij

ij

ijjil

vv

l

vww

**

Se cumplirá entonces:

****

jijiiij

ij

ij

i

ij

jj

i wkwkwwM

y por lo tanto:

ij

ij

ijii

ij

ij

ijiiil

vvkk

l

vkkM

y análogamente:

22

22

22

22

ij

ij

ijjjii

ij

ij

ijjjiij

ij

ij

ijjjii

ij

ij

ijjjiii

ij

ij

jjji

ij

ij

jjjij

l

vvkkk

l

vkkkR

l

vvkkk

l

vkkkR

l

vvkk

l

vkkM

y siendo entonces: ij

jiij

ij

jjiil

JEkky

l

JEkk

24 resulta llamando:



LlMMMMvww ijjiijji ;;;;; 2121

32

31

22

21

12

12

6

6

L

JER

L

JER

y

L

JEM

L

JEM

Anexo B: Ecuaciones de rigidez para elementos con fuerza axial

Consideremos el elemento simple mostrado en la figura, el cual sólo está sometido a cargas axial. Las fuerzas que actúan en los nudos reciben dos subíndices. El primero indica el nudo donde actúa la fuerza, en tanto que el segundo indica el otro extremo del elemento. Si el extremo “2” del puntal está fijo (b), existen las siguientes relaciones entre las fuerzas y los desplazamientos:



1

1,2

2,1

11,2

12,1

l

EA

l

EA

F

F

l

EAF

l

EAF I

I

I

Si ahora se impide que el nudo “1” del puntal se mueva ( c ), se tendrá:

2

2,1

1,2

22,1

21,2

l

EA

l

EA

F

F

l

EAF

l

EAF II

II

II

y con base en el principio de superposición de efectos se puede escribir:

21

1,2

2,1

1,2

2,1

1,2

2,1

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

F

F

F

F

F

FIIITotal

;o bien:

2

1

1,2

2,1

l

EA

l

EAl

EA

l

EA

F

FTotal

Ecuaciones que pueden escribirse simbólicamente como:

KP ; en donde

vector de fuerzas en el nudo

vector de desplazamiento en el nudo

matriz de rigidez

Puede verse que cada columna de la matriz de rigidez representa el conjunto de fuerzas correspondientes a un valor unitario de un solo desplazamiento de nudo. La matriz K, en este caso resulta imposible de invertir por lo que resulta imposible resolver:

1,2

2,1

1

2

1

F

F

l

EA

l

EAl

EA

l

EA

La razón es que los movimientos del cuerpo rígido no se han eliminado. Si 1 fuese igual a 2, el puntal podría desplazarse cualquier distancia arbitraria sin la intervención de las fuerzas axiales F1,2 o F2,1. Sin

K

P



embargo, si uno de los extremos recibe un desplazamiento específico, digamos 2 = 0 existirá entonces una relación bien definida entre las fuerzas F1,2 y el desplazamiento resultante en el nudo “1”:

2,11 FEA

l

Si el puntal tiene tres segmentos (4 nudos) el procedimiento puede repetirse en cada nudo. La superposición de todas estas relaciones origina la siguiente ecuación matricial:

4

3

2

1

33

3322

2211

11

4

3

2

1

00

0

0

00

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

l

EA

X

X

X

X

y simbólicamente: KP

La matriz de rigidez K es singular y no tiene inversa, por lo tanto, igual que antes, no puede despejarse los desplazamientos X1, X2, X3 y X4. Sin embargo, si el movimiento del cuerpo rígido es impedido, al especificar uno o más desplazamientos nodales, será posible hallar una solución.

Bibliografía Recomendada

Estabilidad II - E. Fliess

Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez

Problemas de resistencia de materiales - M. Ferrer Ballester y otros

Curso superior de resistencia de materiales - F. Seely / J. Smith(Título original de la obra: "Advanced Mechanics of Materials")

El acero en la construcción (Título original de la obra: "Stahl im hochbau")

Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo

Mecánica de materiales - F. Beer y otros

Mecánica de materiales - R. C. Hibbeler

Problemas de resistencia de materiales - I. Miroliubov y otros



Problemas de resistencia de materiales - A. Volmir

Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana

Resistencia de materiales - V. Feodosiev

Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer

Resistencia de materiales - S. Timoshenko

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