Guia 2
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Gu´ ıa N ◦ 2 Ayudant´ ıa Estructuras Algebraicas 1. Sea (G, *) un grupo y H un subconjunto finito no vac´ ıo de G. Demuestre que H ≤ G si y solo si H es cerrado bajo la operaci´ on *, esto es: a * b ∈ H, ∀a, b ∈ H . 2. Sea n ∈ N y nZ = {na | a ∈ Z}. Demuestre que (nZ, +) ≤ (Z, +). 3. Demuestre que todo subgrupo de (Z, +) es de la forma nZ con n ∈ N. 4. Sean n, m ∈ N. Demuestre que nZ ∩ mZ = tZ donde t = m.c.m.(n, m). 5. Sea (G, *) un grupo y H, K ≤ G. Se define HK = {h * k | h ∈ H, k ∈ K } Demuestre que (nZ)(mZ)= dZ donde d = m.c.d.(n, m) (aunque en general HK no es un subgrupo de G). 6. De un ejemplo de un grupo (G, *) con subgrupos H 1 y H 2 tales que H 1 ∪ H 2 no es un subgrupo de G. 7. Sea n ∈ N y H n = {z ∈ C | z n =1}. Demuestre que (H n , ·) ≤ (C -{0}, ·). 8. Sea H = ( 1 a b 0 1 c 0 0 1 a, b, c ∈ R ) . Demuestre que (H, ·) ≤ (GL 3 (R), ·). Este grupo es conocido como el grupo de Heisenberg. 9. Sea (G, *) un grupo abeliano y H = {a ∈ G | a tiene orden finito}⊆ G. Demuestre que H es un subgrupo de G. Este grupo es conocido como el subgrupo torsi´ on de G. 10. Sea (G, *) un grupo, X un conjunto y f : G → X una funci´ on biyectiva. Se define la siguiente operaci´ on binaria en X : x · y = f (f -1 (x) * f -1 (y)) Demuestre que (X, ·) es un grupo. ¿Es f un homomorfismo entre los grupos (G, *)y (X, ·)? 11. Sea φ :(G, *) → (H, ·) un homomorfismo. Demuestre que si K ≤ G entonces φ(K ) ≤ H . An´ alogamente demuestre que si L ≤ H entonces φ -1 (L) ≤ G. 12. Sea (G, *) un grupo y a ∈ G. Se define φ a : G → G g 7→ aga -1 Demuestre que φ a es un automorfismo (denominado automorfismo interno). 13. Sea (G, *) un grupo abeliano. Demuestre que φ : G → G g 7→ g -1 es un automorfismo. 14. Escriba la tabla de Cayley de los grupos D 3 y S 3 . Concluya que D 3 ’ S 3 . ¿Sucede lo mismo con D 4 y S 4 ?
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Gua N2 Ayudanta Estructuras Algebraicas
1. Sea (G, ) un grupo y H un subconjunto finito no vaco de G. Demuestre que H G siy solo si H es cerrado bajo la operacion , esto es: a b H, a, b H.
2. Sea n N y nZ = {na | a Z}. Demuestre que (nZ,+) (Z,+).
3. Demuestre que todo subgrupo de (Z,+) es de la forma nZ con n N.
4. Sean n,m N. Demuestre que nZ mZ = tZ donde t = m.c.m.(n,m).
5. Sea (G, ) un grupo y H,K G. Se define
HK = {h k | h H, k K}
Demuestre que (nZ)(mZ) = dZ donde d = m.c.d.(n,m) (aunque en general HK no es unsubgrupo de G).
6. De un ejemplo de un grupo (G, ) con subgrupos H1 y H2 tales que H1 H2 no es unsubgrupo de G.
7. Sea n N y Hn = {z C | zn = 1}. Demuestre que (Hn, ) (C {0}, ).
8. Sea H =
{ 1 a b0 1 c0 0 1
a, b, c R}
. Demuestre que (H, ) (GL3(R), ). Este grupo
es conocido como el grupo de Heisenberg.
9. Sea (G, ) un grupo abeliano y H = {a G | a tiene orden finito} G. Demuestre queH es un subgrupo de G. Este grupo es conocido como el subgrupo torsion de G.
10. Sea (G, ) un grupo, X un conjunto y f : G X una funcion biyectiva. Se define lasiguiente operacion binaria en X:
x y = f(f1(x) f1(y))
Demuestre que (X, ) es un grupo. Es f un homomorfismo entre los grupos (G, ) y(X, )?
11. Sea : (G, ) (H, ) un homomorfismo. Demuestre que si K G entonces (K) H.Analogamente demuestre que si L H entonces 1(L) G.
12. Sea (G, ) un grupo y a G. Se define
a : G Gg 7 aga1
Demuestre que a es un automorfismo (denominado automorfismo interno).
13. Sea (G, ) un grupo abeliano. Demuestre que
: G Gg 7 g1
es un automorfismo.
14. Escriba la tabla de Cayley de los grupos D3 y S3. Concluya que D3 ' S3. Sucede lomismo con D4 y S4?
