Gua N2 Ayudanta Estructuras Algebraicas

1. Sea (G, ) un grupo y H un subconjunto finito no vaco de G. Demuestre que H G siy solo si H es cerrado bajo la operacion , esto es: a b H, a, b H.

2. Sea n N y nZ = {na | a Z}. Demuestre que (nZ,+) (Z,+).

3. Demuestre que todo subgrupo de (Z,+) es de la forma nZ con n N.

4. Sean n,m N. Demuestre que nZ mZ = tZ donde t = m.c.m.(n,m).

5. Sea (G, ) un grupo y H,K G. Se define

HK = {h k | h H, k K}

Demuestre que (nZ)(mZ) = dZ donde d = m.c.d.(n,m) (aunque en general HK no es unsubgrupo de G).

6. De un ejemplo de un grupo (G, ) con subgrupos H1 y H2 tales que H1 H2 no es unsubgrupo de G.

7. Sea n N y Hn = {z C | zn = 1}. Demuestre que (Hn, ) (C {0}, ).

8. Sea H =

{ 1 a b0 1 c0 0 1

a, b, c R}

. Demuestre que (H, ) (GL3(R), ). Este grupo

es conocido como el grupo de Heisenberg.

9. Sea (G, ) un grupo abeliano y H = {a G | a tiene orden finito} G. Demuestre queH es un subgrupo de G. Este grupo es conocido como el subgrupo torsion de G.

10. Sea (G, ) un grupo, X un conjunto y f : G X una funcion biyectiva. Se define lasiguiente operacion binaria en X:

x y = f(f1(x) f1(y))

Demuestre que (X, ) es un grupo. Es f un homomorfismo entre los grupos (G, ) y(X, )?

11. Sea : (G, ) (H, ) un homomorfismo. Demuestre que si K G entonces (K) H.Analogamente demuestre que si L H entonces 1(L) G.

12. Sea (G, ) un grupo y a G. Se define

a : G Gg 7 aga1

Demuestre que a es un automorfismo (denominado automorfismo interno).

13. Sea (G, ) un grupo abeliano. Demuestre que

: G Gg 7 g1

es un automorfismo.

14. Escriba la tabla de Cayley de los grupos D3 y S3. Concluya que D3 ' S3. Sucede lomismo con D4 y S4?