Guia 2-Pacheco Carrion ED Mecanica (2)

8/12/2019 Guia 2-Pacheco Carrion ED Mecanica (2)

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INGENIERIA MECNICA

MATERIA:ECUACIONES DIFERENCIALES

NOMBRE:EDISON PACHECO CORDOVA

CRISTIAN CARRION

PROFESOR:ING. PAUL TORRES

TEMA:GUIA 2

GRUPO: 1

2013 2013


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ECU CIONES DIFERENCI LES

GUI IIACTIVIDADES PREVIAS

5.1 Dada la siguiente ecuacin diferencial, seale y justifique cual o cuales son soluciones en

los literales a)d).

a) b)

c) d) 5.2 Dada la ecuacin siguiente, calcule

y a continuacin combine esos resultados en una

ecuacin diferencial lineal de segundo orden de coeficientes constantes, que no contenga lasconstantes y , y que tenga la forma ( )

( )


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2

5.3 Determine las races de la ecuacin de 2 grado, en forma exacta.

a)

b)

c)

5.4 Se tiene el siguiente nmero complejo, como sera su representacin mediante la

identidad de Euler. (Forma polar).

a) b) c)


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3

Identidad de Euler

= Cos (+ i Sen (a) = Cos (-3t) + i Sen (-3t)b) (2-2)= c) = (Cos (2t) + i Sen (2t))5.5 Resolver el siguiente determinante y analizar si es posible que se anule.

D E T | |((( ( =-

DET= -

5.6 Si , cuya solucin de prueba es , determine los valores de las constantes A y B, que cumple las condicionesiniciales y , grafique la curva de solucin nica.y'' + 2y'3y = 7 Cos (3x) yp = A Cos (3x) + B Sen (3x)

y' = 3 B Cos (3x)3 A Sen (3x)

y'' = - 9 A Cos (3x)9 B Sen (3x)

- 9 A Cos (3x) - 9 B Sen (3x) + 6 B Cos (3x) - 6 A Sen (3x) - 3 A Cos (3x) - 3 B Cos (3x) = 7 cos (3x)

y (0) = 0 y'(0) = 1

1 = 3 B Cos (0) - 3 A Sen (0)

0 = B Sen (0) + A Sen (0)

A= 0 B=

yp= Sen (3 x)


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5.7 Resolver el siguiente sistema mediante la regla de Cramer.

= X=

= = = -

X = -

y =

=

=

=

=

y =


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ACTIVIDADES Y EJERCICIOS PROPUESTOS

SECCION 3.1

Problemas de valor inicial y de valores en la fronteraEn el problema 13, la familia de dos parmetros dada es una solucin de la ecuacin

diferencial indicada en el intervalo (-, ). Determne s es posble encontrar un membro de

la familia que satisfaga las condiciones de frontera.

13. a) y (0)= 1, y' (= 0 b) y (0) = 1, y (= -1c) y (0)= 1, y = (

) = 1 d) y (0) = 0, y (

= 0

y' = (+ Cos (x) + (- Sen (x)y'' = 2 Cos (x)2 Sen (x)y = Cos (x) + Sen (x)

a) Cuando y (0) = 11 = Cos (0) + Sen (0)1 = Cuando y' (= 00 = (+ Cos () + (- Sen ()0 = (1 + ) (-1)0 = -

-

= -1Por lo tanto

y = Cos (x)Sen (x)b) Cuando y (0) = 1, y (= -11 = Cos (0) + Sen (0)


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6

1 = -1 = - -1 -

Por lo tanto: No tiene solucin

c) y (0) = 1, y = ( ) = 11 = Cos (0) + Sen (0)1 =

= 1

Cos ( ) + Sen ( ) = = 0, 20788Por lo tanto

y =

Cos (x) + 0, 20788

Sen (x)

d) Cuando y (0) = 0, y (= 00 = Cos (0) + Sen (0)0 = = 0

=

Cos (

) +

Sen (

)

= Sen ()


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Ecuaciones homogneas.

En el problema 25, verifique si las funciones dadas forman un conjunto fundamental de

soluciones de la ecuacin diferencial en el intervalo indicado. Forme la solucin general.

25. = Cos (2x) = Sen (2x)= Cos (2x) - 2Sen (2x) = 2Cos (2x) + Sen (2x)= - 3Cos (2x)4Sen (2x) = 4Cos (2x)3Sen (2x)| |2(2x) + Sen (2x) Sen (2x) 2 (2x)2 0Por lo tanto es linealmente independiente

Las funciones satisfacen la E D

y = + Sen (2x)Ecuaciones no homogneas.

En el problema 33, verifique si la familia de funciones de dos parmetros dada es la solucin

general de la ecuacin diferencial no homognea en el intervalo indicado.

33. y'' - 4y' + 4y = 2+ 4x12;y = + + + x -2, (-; )

y' = 2+ ( 2+ 2) x + 2 ) + 1y'' = ( 4+ ( 4+ 8) x + 4 ) 4+ 4 x+ 8 x+ 4+ + 2-88 88 4 4+4+ +4 + 4x8 = 2+ 4x12

2

+ 4x -12 = 2

+ 4x12

Por lo tanto s es solucin de la E D


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SECCION 3.2

Reduccin de orden.

En los problemas 7 y 12 la funcin indicada como

es una solucin de la ecuacin dada.

Use la reduccin de orden o la formula (5), tal como se present, para encontrar una segunda

solucin .7. 9 y'' - 12y' + 4y = 0; =

= =

' =

+

'' = + + + + 6 + 4 + 6 - 12 8 + 4 = 0 = 0= 0= 0= = x + = = x +

= 1,

= 0

= 12. 4y'' + y= 0; = ln (x)= x

= ln (x)


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9

= ln (x) x= ln (x) x= ln (x) = ln (x) = - ln (x)= -1, = 0

= SECCION 3.3

Ecuaciones lineales homogneas con coeficientes constantes.

Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial de segunda orden dada.

12. 2 y'' + 2y' + y = 0

2

+ 2m + 1 = 0

= - + ;= - - ; =

Resuelva el problema de valor inicial dado.

30. + y = 0, y ( ), y ( )= 0, y' ( )= 2y'' + y = 0

= 0 +i

= -i = 0i

y = ( )


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10

y' = 0 = ( )( )

=

= 1

y = - + 45. La figura representa la grfica de una solucin particular para una de las siguientes

ecuaciones diferenciales:

a) y'' - 3 y'4y = 0 b) y'' + 4y = 0

c) y'' + 2 y' + y = 0 d) y'' + y = 0

e) y'' + 2 y' + 2y = 0 f) y'' - 3y' + 2y = 0

Haga coincidir la curva solucin con una de las ecuaciones diferenciales. Explique su

razonamiento.

La curva es osclatora amortguada por lo tanto debe exstr en la solucn Sen y Cos y e

por lo tanto las races deben ser imaginarias para que se cumplan estas condiciones, la parte

real debe ser negativo es decir

4ac

a) y'' - 3 y'4y = 0-b = 3 0 No cumple

b) y'' + 4y = 0 No es ya que no hay parte real

c) y'' + 2 y' + y = 0

-b = -2 Si cumple 4ac = 44 = 0 = 0 No cumple


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11

d) y'' + y = 0 No cumple

e) y'' + 2 y' + 2y = 0

-b = -2 Si cumple

4ac = 48 = -4

Si cumple por lo tanto es la grfica de la

solucin de e.

54. Considere el problema de valores en la frontera .Analice: Es posible determinar los valores de de manera que el problema posea a)

soluciones triviales?, b)soluciones no triviales?

y'' y = 0 y (0) = 0 y ( ) = 0+ = 0 0 i= 0 + iy = ( ) ( )0 = 0 =

( )

puede tomar cualquier valor

La solucin es no trivial cuando - toma cualquier valor que al ser multiplicado por elser de ese valor se 0

= 0= 0 0= 0y = + x y = x0 = 0 = 0 +

= 0 Por lo tanto al ser = = 0 es una Solucin Trivial


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12

=- - = 0 0 =

= 0 = y = + = 00 = Por lo tanto al ser = 0 es una Solucin Trivial.56. Cadena deslizante. Vuelva a leer el anlisis de la cadena deslizante presentado en la

seccin 1.3 e ilustrado en la figura 1.3.6 de la pgina 22.

a) Use la forma de la solucin dada en la expresin (11) de esta seccin para encontrarla solucin general de la ecuacin (16) presentada en la seccin 1.3.

b) Encuentre una solucin particular que satisfaga las condiciones iniciales expresadas

en el anlisis de las pginas 22 y 23.


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13

c) Suponga que la longitud total de la cadena es y . Encuentre aqu velocidad la cadena deslizante abandona la polea que la detiene.

SECCION 3.4

COEFICIENTES INDETERMINADOS.

En los problemas 27 al 36, resuelva el problema de valor inicial dado.

30)


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14

En los ejercicios 41 y 42, resuelva el problema de valor inicial dado en el que la funcin de

entrada es discontinua. Resuelva cada problema en dos intervalos y despus encuentreuna solucin de manera que

y

sean continuas en

.

41) { }


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15

Para que la funcin sea contina Igualando ambas derivadas y haciendo


17/28

16

Por lo tanto:

{ }

SECCION 3.5

VARIACION DE PARAMETROS

En los problemas 1 a 18 resuelva cada ecuacin diferencial por variacin de parmetros.

12)

|

|


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17

( ) En los problemas 19 a 22, resuelva cada ecuacin diferencial por variacin de parmetros

sujetos a las condici0ones iniciales 19)


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18

SECCION 3.6

ECUACION DE CAUCHY-EULER

En los problemas 19-24 resuelva la ecuacin diferencial dada por variacin de parmetros.

23) Remplazando en la ecuacin original tenemos:( )


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19

En los problemas 25 a 30, resuelva el problema de valor inicial dado. Use una herramienta

graficadora para trazar la curva solucin.

28)


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20

SECCION 3.8

MODELOS LINEALES

9. Una masa que pesa 8 libras se sujeta a un resorte. Cuando se pone en movimiento, el

sistema resorte-masa exhibe un movimiento armnico simple. Determine la ecuacin de

movimiento si la constante del resorte es de 1 libra/pie y la masa se libera inicialmentedesde un punto que esta 6 pulgadas por debajo de la posicin de equilibrio con velocidad

descendente depies/s. Exprese la ecuacin de movimiento en la forma dada en (6).


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21

Para pasar a la forma

Amplitud

Angulo de fase

Si el movimiento es descendente la velocidad es positiva.

Donde el periodo 22. Un resorte de 4 pies mide 8 pies de largo despus de unirlo a una masa con peso de 8

libras. El medio a travs del cual se mueve la masa ofrece una fuerza de amortiguamiento

numricamente igual a veces la velocidad instantnea. Encuentre la ecuacin demovimiento si la masa se librea inicialmente desde la posicin de equilibrio con velocidad

descendente de 5 pies/s. Encuentre el momento en el cual la masa logra su desplazamiento

extremo a partir de la posicin de equilibrio. Cul es la posicin de la masa en ese instante?

8

#1:32

8 1

32 4

#3: = 2

#4: k = 2


23/28

22

2 2#5: m + 22m + w = 0 Ec. auxiliar

2 2#6: - w = 0 Por lo tanto el sistema es crticamente amortiguado

2 1 d x 2 dx

- kx -4 d d

Se supone para este caso que la constante de amortiguamiento es un mltiplo de

2d x

2dt

Multiplicamos la ecuacin por m=4

2d x 2 dx

d d

#10: x`` + 8x + 42x` = 0

#11: x`` + 42x` + 8x = 0

2#12: m + 42m + 8 = 0

#13: m = +- 22

- 22t - 22t#14: xt

- 22t - 22t#15: x``t = -

- 22t - 22t#16: x``t = - - 22t + 1)

#17: x0 = 0x`0 = 5

#18: 0 = c1

#19: 5 = - 22c1 + c2

#20: c1 = 0

#21: c2 = 5

- 22t

#22: x

#23: xt` = 0


24/28

23

- 22t + 1#24: 0

2#25: t

4

2 2 - 22t/4#26: x

4 4

2#27: x

4

30. Una masa de 1 slug se sujeta a un resorte cuya constante es de 5 libras/pie. En un inicio,la masa se libera desde 1 pie por debajo de la posicin de equilibrio a velocidad descendente

de 5 pies/s, y el movimiento subsiguiente se desarrolla en un medio que ofrece una fuerza

de amortiguamiento numricamente igual al doble de la velocidad instantnea.

a) Encuentre la ecuacin de movimiento si la masa es conducida por una fuerza externaigual a

b) Grafique las soluciones transitoria y permanente en los mismos ejes coordenados.c) Grafique la ecuacin de movimiento.

#1: x`` + 2x` + 5x = 12COS (2t) + 3SIN (2t)

2#2: m + 2m + 5 = 0

#3: m1 = -1 + 2i

#4: m2 = -1 - 2i

-t#5: xht = e (c1COS (2t) + c2SIN (2t))

#6: xp = aCOS (2t) + bSIN (2t)

#7: xp` = - 2aSIN (2t) + 2bCOS (2t)

#8: xp` = - 4aCOS (2t) + 4bSIN (2t)

#9: - 4aCOS (2t) + 4bSIN (2t) - 4aSIN (2t)

#10: 4bCOS (2t) + 5ASIN (2t) + 5bSIN (2t)

#11: 12aCOS (2t) + 3ASIN (2t)

#12: - 4aCOS (2t) + 4bCOS (2t) + 5aCOS (2t) = 12COS (2t)

#13: - 4a + 4b + 5b = 12


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24

#14: a + 4b = 12

#15: - 4bSIN(2t) - 4aSIN(2t) + 5bSIN(2t) = 3SIN(t)

#16: - 4b - 4a + 5b = 3

#17: - 4a + b = 3

#18: b = 3

#19: xp = 3SIN (2t)

#20: xt = xh + xp

-t#21: xt = e (c1COS (2t) + c2SIN (2t)) + 3SIN (t)

-t -t

#22: xt` = (2(c2 + 3) - c1e )COS(2t) + 2c1e SIN (2t)

#23: x0 = 1x`0 = 5

#24: 1 = c1

#25: 5 = 2(c2 + 3) - c1

#26: c1 = 1

#27: c2 = 0

b)


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25

c)

49. Encuentre la carga permanente y la corriente permanente en un circuito LRC en serie

cuando L=1 H, R=2 , C=0.25 F y V.

Solucin particular por coeficientes constantes:


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26

53. Encuentre la carga en el capacitor en un circuito LRC en serie cuando H, , , , e . Cul es la carga en el capacitordespus de un largo tiempo?

Solucin particular


28/28

Si el tiempo es la carga en el capacitor es .

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