Guia 2 Sustitucion
-
Upload
diegoramirez -
Category
Documents
-
view
217 -
download
3
description
Transcript of Guia 2 Sustitucion
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
Matematicas II (distancia) GUIA No 2
OBJETIVOS
1. Recordar las formulas básicas de integración.
2. Definir el método de integración por sustitución.
3. Establecer la relación entre el método de integración por sustitución con el método de
derivación en cadena.
4. Aplicar las formulas básicas de integración después de realizar la sustitución para
integrar funciones.
INTEGRALES
Dada una función f , si F es una función tal que:
)()(' xfxF
Entonces F se llama la antiderivada de f.
INTEGRAL INDEFINIDA:
La integral indefinida de cualquier función f con respecto a x se escribe dxxf )( y
denota la antiderivada más general de f. Como todas las antiderivadas de f difieren solo
en una constante, si F es cualquier antiderivada de f, entonces:
,)()( CxFdxxf donde C es una constante.
El símbolo se llama símbolo de integración, )(xf es el integrando, C es la constante
de integración. La dx es parte de la notación integral e indica la variable implicada y x es
la variable de integración.
Integrar f significa encontrar dxxf )( .
,)()( CxFdxxf si y solo si )()(' xfxF
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
Matematicas II (distancia) GUIA No 2
FORMULAS BASICAS DE INTEGRACION:
1. ,Ckxkdx k es una constante
2. -1n ,1
1
Cn
xdxx
nn
3. ,Cedxe xx
4. kdxxfkdxxfk ,)()( es una constante
5. dxxgdxxfdxxgxf )()( )()(
6. cxdxx
dxx ln11
METODOS DE INTEGRACION
METODO DE SUSTITUCION:
El método de integración por sustitución consiste en hacer cambio de variable para
transformar una integral que no corresponde a las formulas básicas en otra integral más
simple que contenga las formula básicas. Se usa especialmente cuando hay productos o
cocientes indicados que no se pueden reducir, es semejante a la regla de la cadena en la
diferenciación.
Dada la integral indefinida dxxgxgf )(' ) )( ( , sea )(xgu y dxxgdu )(' . Si F es
una antiderivada de f , entonces:
CxgFCuFduufdxxgxgf ))(()()()(' ) )( (
Regla de la potencia para funciones:
1 ;1
)()(')(
1
rCr
xgdxxgxg
rr
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
Matematicas II (distancia) GUIA No 2 Regla de la potencia:
Sea )(xgu , donde g es una función derivable. Si r es un número racional y 1r ,
entonces: ;1
1
Cr
uduu
rr
Los pasos de la integración por sustitución son:
1. Sea )(xgu , donde )(xg es la parte del integrando, que por lo general es la
función interior de la función compuesta ))(( xgf
2. Se calcula dxxgdu )('
3. Se usa la sustitución )(xgu y dxxgdu )(' para convertir toda la integral en
una que solo utilice u
4. Se evalúa la integral resultante
5. Se reemplaza u con )(xg para obtener la solución final como función de x .
Ejemplo 1:
Para hallar dxx 11)3( sustituimos x + 3 por u; esto es, hacemos . Entonces
por lo tanto reemplazando obtenemos
11
11
11 12
12
( 3)
( 3)
1
12
1( 3)
12
x dx
x dx
u du u C
x C
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
Matematicas II (distancia) GUIA No 2
Ejemplo 2:
Para hallar dxxx 22/13 )2( por medio del método de sustitución. Hacemos 23 xu ,
entonces dxxdu 23 y se tiene.
3 1/2 2
3 1/2 2
1/2
3/2
3 3/2
3 3/2
( 2)
1( 2) (3 )
3
1( )
3
1 2( )
3 3
1 2( 2)
3 3
2( 2)
9
x x dx
x x dx
u du
u C
x C
x C
Ejemplo 3:
Para hallar dxxx 2213 Hacemos 221 xu , entonces dxxdu 4 y se tiene.
2
2 1/2 2
1/2
3/2
2 3/2
2 3/2
3 1 2
13 (1 2 ) ( 4 )
4
13 ( )
4
3 2( )
4 3
3 2(1 2 )
4 3
1(1 2 )
2
x x dx
x x dx
u du
u C
x C
x C
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
Matematicas II (distancia) GUIA No 2
Ejemplo 4:
Para hallar 32x
dxhaciendo 32 xu , entonces dxdu 2 y se tiene.
2 3
1 2
2 2 3
1
2
1
2
12 3
2
dx
x
dx
x
du
u
Ln u C
Ln x C
Ejemplo 5:
Para hallar ,3 dxe x haciendo xu 3 , entonces dxdu 3 y se tiene.
3
3
3
1(3 )
3
1
3
3
3
x
x
u
u
x
e dx
e dx
e du
eC
eC
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
Matematicas II (distancia) GUIA No 2
Ejemplo 6:
Para hallar ,2 dxa x haciendo xu 2 , entonces dxdu 2 y se tiene.
2
2
2
1(2 )
2
1
2
2
2
x
x
u
u
x
a dx
a dx
a du
aC
Lna
aC
Lna
INTEGRALES DE FUNCIONES RACIONALES
Si q es una función racional, entonces ,)(
)()(
xg
xfxq donde )(y )( xgxf son polinomios.
Si )(xg es un monomio se descompone el integrando en fracciones dividiendo cada
termino del numerador entre el denominador.
Si el integrando es un cociente de polinomios en donde el grado del numerador es mayor o
igual que el del denominador, y el denominador tiene más de un término, en tal caso, para
integrar efectuamos primero la división hasta que el grado del residuo sea menor que el del
divisor.
UNIVERSIDAD ANTONIO NARIÑO
Matematicas II (distancia) GUIA No 2
ACTIVIDAD
OBJETIVOS:
1. Afianzar el concepto de integración por el método de sustitución resolviendo integrales.
Indefinidas
2. Utilizar la sustitución para calcular integrales que se pueden transformar a las formulas
básicas de integración.
Encontrar las siguientes integrales indefinidas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)