GUIA 5 Calculo Vectorial

7/23/2019 GUIA 5 Calculo Vectorial

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CLCULO VECTORIAL

GUIA UNIDAD 5:Campos vectorialesGRUPOS: G ING! ELECTR"NICADOCENTE: I#$! #$el %er#a#&o Soto S!

Nom're: %er#a#&o Arcos c!1. Describa el campo vectorial=que se muestra en la grfica con respecto asu magnitud y direccin. (Sugerencia halle algunas curvas de nivel.

F(x , y )=(y )2+(x )

2

F(x , y )=y

2

+x

2

=|x|la magnitud esigualal radiodelacircunferencia

x . F(x , y )=y ix j> .xyxy=0

estodemuestraquees perpendicular al vectorde posicion porlo tantoestangente

a lacircunferencia , puedeser la rotaciondeunarueda


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2. Dado el campo escalar: f(x , y , z )=y z2+x z2+xy Calcule la siguiente

operacin mediante el operador nabla: (f)

( f) porpropiedadeses igualaO

f(x , y , z )=y z2+x z2+xy

fx=z2+y

fy=z2+x

fz=y2z+y2z

f(x , y , z )= f x

, f

y,

f

z

z

z

( 2+x)j+(4yz ) k

(2

+y )i+ f(x , y , z)=

=

x,

y,

z

( f)=[ i j k

x

y

z

z2+y z2+x 4yz

]= [2z2z ] i+ [2z2z ]j+ [11 ] k

( f)=[ i j k

x y z

z2+y z2+x 4yz ]=0i+0j+0k

( f)=0


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Calcular el trabajo = ! reali"ado por una part#cula $ue se mue%een el campo %ectorial = (2& 2) & (2& 2)! a tra%'s de la cur%a

mostrada en la gura.

W=F ! dr=c 1

F ! dr+c2

F ! dr

F=(2xy+y2) i+ (2xy+x2 )j

recta

r ( t)

r (t)

2" t "2

circunferencia

r ( t)

r (t)


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0"t "$

2

(2 ( t)0+t2 ) i+2 ( t)0+ t2

F ! dr=2

2

>

W=

t2 i+ t2j>

2

2

t2dt+

0

$/ 2

(t2 sen (t)+t2cos ( t))dt

20

2

16+204=32ne%tons

&

y=

'

x

F=(2xy+y2) i+ (2xy+x2 )j

(2xy+y2 ) (

+ (2xy+x2 )

x

(2x+2y )= (2x+2y )

campoconservativo noimportala trayectoria , escontinuo

c=x

y=x

dy=dx

&dx+'dy


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(2xx+x2 ) dx+ (2xx+x2 ) dx

20

2

6x2dx

32ne%tons

. Calcule el *rea de la regin mediante una integral de l#nea.

y=0

x

16+y9=1

d)=12xdy+ydx

d)=12c 1

xdy+ydx+1

2c2

xdy+ydx

d)=0+ 12c2

xdy+ydx

Describa el campo %ectorial = 2& $ue se muestra en la gr*ca conrespecto a su magnitud + direccin. (,ugerencia -alle algunas cur%as deni%el)


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F(x , y )=(2x )2

+ (y )2

F(x , y )=4x2+y2=|x|

la magnitud esel do*le que a

x . F(x , y )=2x iyj> .2x2y2=(2x=y )

esto demuestraquees perpendicular al vectorde posicion porlo tanto estangente

a las elipses, descri*e la radiacionqueva desdeel exterior de laselipses ,

puede ser una explosion .

Dado el campo vectorial = x2

+ y2

+ z2

. Calcule la siguiente

operacin mediante el operador nabla ( )

=

x,

y,

z


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f(x , y , z )=(x2+y2+z2)

f(x , y , z )=(x2+y2+z2)

x ,

(x2+y2+z2) f y

,(x2+y2+z2)

z

f(x , y , z )= f

x,

f

y,

f

z

fx=2x

fy=2y

fz=2z

f(x , y , z )=2x+2y+2z

=

x,

y,

z

( . f)=( x, y, z ) (2x+2y+2z )=

( . f)=( (2x+2y+2z ) x , (2x+2y+2z )

y ,

(2x+2y+2z )z )=6

. /allar la masa total de dos %ueltas de un muelle de densidad

+=1

2(x2+y2+z2)

$ue tiene la forma de la -'lice circular = 0cos()& 0sen()& 2.

+=1

2(x2+y2+z2)

m=c 1

+ (x , y , z ) ds

ds=fx

2

+ fy2

+ fz2

dt


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ds=(3 sen ( t))2

+ (3cos (t))2

+22 dt

ds=9+4dt

ds=13dt

m=20

2$1

2(3cos (t)2+3sen(t)2+2 t2)13dt

m=130

2$

(9+2 t2)dt

13( [9 t]2$

0

+

[2

3

t3

]2$

0

)

m=

m=13(18 $+4

3$

3)

Calcular el trabajo = 1 ! reali"ado por una part#cula $ue se mue%een el campo %ectorial = ( & 2) & (3 2)! a tra%'s de la cur%amostrada en la gura

&

y=

'

x

(arctgx+y2) y

=(eyx2)

x

2y=2x


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campono conservativo, importala trayectoria, es continuo

4plicamos el teorema de 5reen

'

x

&

y( )d)F dr=

(eyx2) x

(arctgx+y2)

y

()d)

F dr=

(eyx2) x

(arctgx+y2)

y()d)

2x2y()d)

0

2

0

4x2

(2x2y ) dxdy+2

0

0

x2

(2x2y)dxdy

Dado el campo %ectorial F=x i+y j+z k el resultado de la operacin .

es :

F=x i+y j+z

k

=

x,

y,

z

.F=( x, y, z ) .(x i+yj+z k)

.F=((x i+y

j+z

k) x + (x i+y

j+z

k) y + (x i+y

j+z

k) z )


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. F=1+1+1

. F=3

a.6) 7

b.6) 0

c.6) 60

Dado un campo %ectorial introducimos al campo escalar di% + un campo%ectorial rot 8stos pueden definirse de manera simblica con di% =

. F + rot x F

,ea = f(x , y ) i+g (x , y )juncam*o *idimencional , i f

y= g

x se conclu+e $ue

es un campo %ectorial conser%ati%o.

Dado el campo escalar f(x , y , z )=xyz .-a interpretacion de laoperacion (f)

es:

( f) porpropiedadeses igualaO

f(x , y , z )=xyz

fx=yz

fy=xz

fz=xy

f(x , y , z )= f

x,

f

y,

f

z

f(x , y , z )=yzi+xzj+xyk

= x, y, z


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( f)=[ i j k

x

y

z

yz xz xy]= [xx ] i+ [yy ]j+ [zz ] k

( f)=[ i j k

x y z

yz xz xy ]=0 i+0j+0k

( f)=0

,i es un campo escalar! la operacin ( . ) tiene signicado 9 si

es asi indi$ue el resultado si el campo es escalar o %ectorial . si no tienesignicado epli$ue la ra"n.

(x , y , z)= x

,

y,

z

=

x,

y,

z

.=2

x2+

2

y2+

2

z2

( . )=

[

i j k

x

y

z

2

x2

2

y2

2

z2

][ 3 z2 y 3 y2z ]i[ 3 z2 x 3 x2 z ]j+[ 3 y2 x 3 x2y]k esun campo vectorialrot(F) que es rotacional .

8n el siguiente campo %ectorial F=x i+y j tiene direccin :


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F(x , y )=(x )2+ (y )

2

F(x , y )=y2+x2=|x|

la magnitud esigual al radiodelacircunferencia

x . F(x , y )=xi+y j>.x2+y2=(x=y)

esto demuestraquees perpendicular al vectorde posicion porlo tanto estangente

a lacircunferencia , puedeser la rotaciondeunarueda

a.6)paralelo al eje

b.6)perpendicular al plano +

c.6)radial

d.6)direccin del eje "

,i F=(x3y3 )i3x y2j es un campo de fuer"as en el plano ! entonces el

trabao reali"ado por F al mo%er un objeto a lo largo de la tra+ectoria c :

y=x3 esta dado por la epresin :


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%=c 1

F . dr=&dx+'dy

(x3y3 ) y

= (3x y 2)

x

3y2=3y2

y=x3

dy=

3x2

2x3 dx

conservativo

(x3x9 /2 ) dx+9x3

2 dx

0

1

x3dxx9/2dx+

9x3

2 dx

188

x4(16x

3

2+77)10

9388

'W/O'

Con el campo de fuer"as F=(e2y )i+2xe2yj el trabajo reali"ado sobre la

siguiente tra+ectoria es:


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( e2y ) y

=(2x e2y)

x

2e2y=2x e2y

y=3

dy=dx

2y

2x e

2

0

e2y

dx+()dy

2

0

e2(3)dx+(2x e2 (3 ))dx

2

0

e6dx+(2xe6)dx

2e6+4 e6

2e6

Describa el campo de %elocidadx

2+y2

v=4 ) en un tubo de cilindro largo de

radio 2


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Describe el ;ujo en direccin del eje " como saliendo del centro del cable-acia sus etremos

,ea r=xi+y j entonces la operacin %ectorial .(|r|r ) da como

resultado:

|r|=(x )2+(y )

2

x2+y2=|r|

|r|

2

=x2

+y2

(|r|r )2=(x2+y2)(xi+yj)

(|r|r )2=(x3+y3) .

. (|r|r )2

=(x3+y3)

x ,

(x3+y3) y

3x2

+3y2

= . (|r|r )2

3|r|

8l trabajo desarrollado por el campo de fuer"as F=(y+exln (y ) )i+(

ex

y)j

atre%es de la tra+ectoria dada es:


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(y+ex ln (y )) y

=(

ex

y)

x

ex

y=e

x

y

y=1

dy=dx

1

0

(y+ex ln (y ))dx+( ex

y)dy

Calcular para F0FFFFFFFFFFF=x2i0iiiiiiiiiii +y2j0jjjjjjjjjjj +z2k0kkkkkkkkkkk donde S es la supercie

del paraboloide z=5x2y2 limitado por el plano z=1 .


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