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GUÍA N° 5 DE CÁLCULO I

La Derivada como razón de cambio

La derivada f'( x ) de una función f ( x ) corresponde a la razón de cambio de la función

respecto a la variable x , en otras palabras, es la variación de f respecto a una pequeña

variación de x .

Explicación:

Supongan que y es un valor que depende de x .

Por lo tanto, y es una función de x y se escribe

y=f ( x ) .

Si x cambia de x1 a

x2 , entonces el cambio en x

(también conocido como incremento de x ) es

Δx=x2−x1y el cambio correspondiente a y será

Δ y= y2− y1= f ( x2 )− f ( x1) .

El cociente de la diferencia

Δ yΔ x

=f ( x2 )−f ( x1)x2−x1

es la razón promedio de cambio de y con respecto a x sobre el intervalo [ x1 , x2] .

Si la distancia entre x1 y

x2 es muy pequeña se tendrá

la razón instantánea de cambio

limΔx→0

Δ yΔx

=limΔx→0

f ( x2 )−f (x1 )x2−x1

y corresponde a la recta tangente a la función en un

punto. Por lo tanto si la derivadaf'

se evalúa en un

punto c , f'( c )corresponderá a la pendiente de la

recta tangente a f ( x ) que pasa por x=c

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1. Hasta el año 2000, la estimación de la deuda de EEUU, expresada en millones de

dólares, que se tiene al final de cada año está dada por la función

f (t )=−0,11 t 4+3,59t 3−28,91 t 2+271,85t+930,2

Donde t son los años trascurridos a partir de 1980.

a. Escriba el dominio empírico de la función

b. ¿Cuál es la deuda de EEUU en el año 1990?

c. Interprete y calcule

dfdt transcurridos 10 años.

2. Se espera que desde hoy hasta los próximos 12 años (t), la población de cierta

comunidad esté dada por la función p (t )=e0,75 t+280(milesde habitantes).

a. Escriba el dominio empírico de la función

b. ¿Cuántos habitantes se estima para 5 años más?

c. Interprete y calcule

dpdt dentro de 9 años.

3. En un estudio realizado determinó que el impuesto predial1 en un determinado

país estaba dado por la función: I ( x )=(x2+50 )ex en millones de pesos, donde x

representa los años trascurridos después del 2005. ¿Cuál es la razón de cambio

del impuesto predial, con respecto al tiempo, en el año 2011?

4. Una empresa determinó que t meses después de aumentar los valores de sus

productos las ventas de la compañía por un año se pueden calcular con la

función V ( t )=12 ,5e0,8t en miles de pesos. ¿A qué razón cambiarán las ventas,

con respecto al tiempo, dentro de 5 meses?

1 Es el impuesto cuya recaudación, administración y fiscalización corresponde a la municipalidad donde se ubica el predio

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5. Un grupo de estudiantes participa de una cicletada que inicia en el centro de

Santiago hacia el sur del país. La función s( t )=0 ,02t2+5 entrega la posición de

un ciclista (en kilómetros) después de t minutos de su partida. Determine la

rapidez instantánea (ver Nota 1) que lleva después de 30 minutos y su aceleración (ver

nota 1) instantánea después de 90 minutos.

6. Un automóvil se mueve a lo largo de una carretera en línea recta durante 5

horas, de modo que la posición en kilómetros está dada por la función

d ( x )=x3 ex−5 trascurridas x horas. Determine la rapidez instantánea que lleva

después de 3 horas y su aceleración instantánea después de 4 horas.

7. Un carro se mueve durante 3 minutos a lo largo de un riel horizontal, de tal

manera, que su posición en el instante t desde el punto de partida, está

especificado por la función f ( t )=t3−t2+18t+45 . La distancia se mide en cm y

el tiempo t en minutos.

a. Escriba el dominio empírico de la función

b. ¿El carro en qué posición inicia su recorrido?

c. Interprete y calcule f' y f

' 'a los 2 minutos

8. Si un tanque cilíndrico contiene 100.000 galones2 de agua que se pueden drenar

por el fondo del depósito en 1 hora, la ley de Torricelli da el volumen V del agua

que queda después de t minutos como V ( t )=100 .000 (1− t

60 )2

0≤t≤60

Encuentre la rapidez instantánea con que fluye el agua hacia afuera del tanque a

los 30 minutos.

Nota N°1La rapidez instantánea corresponde a la razón de cambio instantánea de la posición con

respecto al tiempo

La aceleración instantánea corresponde a la razón de cambio instantánea de la rapidez con respecto al tiempo

2 El galón es una unidad de medida equivalente a 4,5461 litros aproximadamente

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9. La concentración de un medicamento t horas después de haber sido inyectado

en el brazo de un paciente está dado por la función c ( t )= 0 ,15 t

t2+0 ,81 (en ml) .

Calcule e interprete

dcdt cuando t=2

10. Se estima que la población de una colonia de bacterias está dada por la siguiente

función P ( t )=24 t+10

t2+1 (en miles) después de t horas. Calcule e interprete

dPdt

cuando t=1,5

11. Una empresa calcula que al vender x kilos de fertilizante, su ingreso en pesos

está dado por la función p( x )=18000x−2x2 donde x ∈ [ 1 , 100 ] . Suponiendo

que el costo total de fabricación de x kilos es c ( x )=1000 x+x2.

a. Determine la función ingreso marginal (ver nota N°2) y costo marginal

b. Calcule e interprete p' (30) y c

' (30)

12. Si el ingreso y costo en dólares de la producción de x unidades diarias de un

producto está dado por las funciones I ( x )=50 x+2200 y C ( x )=300−0 ,01 x

Determine la función ingreso y costo marginal de producir y vender 700 artículos

Nota N°2El Ingreso Marginal es la razón de cambio de la función ingreso respecto a la cantidad de unidades. Corresponde al cambio en el ingreso total cuando la cantidad vendida aumenta en una unidad.

El Costo Marginal es la razón de cambio de la función costo respecto a la cantidad de productos. Corresponde a la variación que sufre el costo debido a la fabricación de una unidad más.

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13. Si la cantidad de carga que pasa por un punto de un alambre hasta un tiempo t

se expresa con Q( t )=t3−2 t2+6 t+2 (t en segundos y Q en coulombs).

Determine la corriente(ver Nota 3) a los 0,5 segundos.

14. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la ecuación

p( t )= 1

1+10e−0,5t donde p( t )⋅100 es el porcentaje de la población que lo conoce

en el tiempo t (horas). Determine e interprete p' ( t ) a las 5 horas.

15. Suponiendo que el porcentaje de alcohol3 presente en la sangre t horas después

de consumido está dado por C ( t )=0,2 t⋅e−t2

. Calcule e interprete

dCdt después de

1, 2 y 3 horas.

16. En un colegio, el porcentaje de estudiantes que sufre nononucleosis4 después de

t días del primer caso reportado, está dado por la función p (t )=50⋅t

t2+16 . Calcule e

interprete

dpdt después de 3 y 7 días.

17. Un fabricante de pinturas para autos advierte que el costo por semana por

producir x litros está dado por la función c ( x )=2000+40 x euros y el ingreso

por la venta de donde x litros está dada por c ( x )=2000+40 x .

a. Determine la función ingreso marginal y costo marginal

b. Calcule e interprete c' (24 ) y i

' (59 )

3 El tiempo que demora el alcohol en llegar al torrente sanguíneo depende de varios factores, entre ellos la cantidad de comida ingerida previamente4 La mononucleosis también conocida como enfermedad del beso es causada por un virus perteneciente a la misma familia del virus del herpes. Aparece más frecuentemente en adolescentes y adultos jóvenes, y los síntomas que la caracterizan son fiebre, faringitis o dolor de garganta, inflamación de los linfonodos y fatiga

Nota N°3La corriente es la razón de cambio de la cantidad de carga con respecto al tiempo, en

otros palabras es la rapidez con que la carga fluye por una superficie, se mide en unidades de carga por unidades de tiempo, a menudo en coulombs por segundo (llamados

amperes).

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Tasas de crecimiento (razón de cambio) Relacionadas

Se habla de tasas de crecimiento relacionadas cuando hay involucradas en un problema dos o

más razones de cambio con respecto a la variable tiempo.

Por ejemplo:

Supongamos que x es una función derivable que depende del tiempo t , es decirx ( t ), y

además supongamos que f es una función derivable que depende de x , es decirf ( x ) .

Entonces se tiene que f ( x )= f (x( t )) por lo tanto f depende también del tiempo t .

Si se desea determinar la razón de cambio de f con respecto al tiempo t , se debe utilizar la

regla de la cadena, que nos dice:

dfdt

=dfdx

⋅dxdt

18. Un bloque cúbico de hielo con arista de longitud 20 cm, comienza a derretirse a

las 8 A.M a 1,5 cm por hora. Cada arista decrece de manera uniforme de ahí en

adelante ¿Cuál fue la razón de cambio del volumen del bloque con respecto al

tiempo cuando la arista mide 6 cm?

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19. U n a b o m b a e s t á l l e n a n d o u n a p i s c i n a ( v e r f i g u r a ) c o n u n a r a p i d e z d e

40metros3

min ¿Con que rapidez cambia el nivel del agua con respecto al

tiempo cuando ha alcanzado una profundidad (nivel) de 3 metro?

20.

Un estudiante usa una bombilla para beber agua de un vaso cónico (cuyas medidas se

especifican más adelante) de papel a razón de 3 cm3 por segundo ¿Qué tan

Ten en cuenta:

Para calcular el volumen del cubo se utiliza la función

volumen V (a )=a3 , donde aes la longitud de la

arista en un tiempo t.

Entonces se tiene que el volumen depende de la

longitud de la arista V (a) y que la arista depende del

tiempo a (t), por lo tanto el volumen depende del tiempo V (t ).

Po lo tanto, la razón de cambio del volumen del cubo respecto del tiempo se obtiene

utilizando la regla de la cadena:

dVdt

=dVda

⋅dadt

Ten en cuenta:

Para calcular la cantidad de agua que tiene esta piscina en un momento determinado (tiempo t ) cuando tiene una profundidad a los más de 5 pies se puede utilizar a función volumen

V (h )=80⋅h3 , dondeh es el nivel del agua en un tiempo t .

El volumen depende del nivel de agua, es decir V (h ) , y el nivel de agua depende del tiempo

h( t ) , por lo tanto el volumen depende del tiempo V (t ). Y la razón de cambio del volumen de la

piscina con respecto al tiempo se obtiene utilizando la regla de la cadena

dVdt

=dVdh

⋅dhdt

8 metros

40 metro

3 metros

20 metros

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rápido está bajando el nivel del líquido con respecto al tiempo cuando la

profundidad es de 5 cm?

21.

Se bombea aire a un globo esférico, de tal modo que su volumen aumenta con una

rapidez de 100 cm

3

s .¿Qué tan rápido aumenta el radio del globo con respecto al

tiempo, cuando el radio es de 25 cm ?

22.

Suponga que se derrama petróleo de un tanque roto y se dispersa siguiendo un patrón

circular. Si el radio del derrame del petróleo aumenta a una rapidez constante de

un metro por segundo ¿qué tan rápido aumenta el área del derrame con

respecto al tiempo cuando el radio es de 30 m?.

23.

Si se bombea agua a razón de 2m3

minen un estanque de forma de cono circular

invertido (cuyas medidas se especifican más adelante) , encuentre la razón a la

Ten en cuenta:

Características del vaso cónico: su eje es vertical, altura

10 cm y radio 3 cm.

Para calcular el volumen del vaso en un momento

determinado se puede utilizar la función V (h )= 3 π

100⋅h3

,

donde h es el nivel del líquido en un tiempo t

Nota: En todos los ejercicios utilice π=3 ,14

Ten en cuenta:

Para calcular la cantidad de aire de una esfera en un

momento determinado se puede utilizar la función volumen

V (r )=43π⋅r3

, donde res el radio en un tiempo

t.

Ten en cuenta:

Para calcular el área de un cirulo se utiliza la función A(r )=π⋅r 2 ,

donder corresponde al radio en un tiempo t .

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cual sube el nivel de agua con respecto al tiempo cuando tiene una profundidad

de 3 metros.

24.

Una llave está llenado una fuente (ver figura) cuya altura es de 6 metros a una tasa de

100m3

min ¿Qué tan rápido sube el nivel de agua con respecto al tiempo cuando

ha alcanzado una profundidad de 2 metros?

25.

La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el grano

proveniente de un silo a la razón de 0,5m3

min formando un cono circular ¿A

qué rapidez está subiendo el punta (vértice) del cono cuando la altura es de 1,50

metros?

Ten en cuenta:

Para calcular la cantidad de agua que tiene este cono con radio 2

metros y altura 4 metros en un momento determinado se puede

utilizar la función volumen V (h )= π

12⋅h3

, donde h

es la altura en un

tiempo t

Ten en cuenta:

Para calcular la cantidad

de agua que tiene esta

fuente en un tiempo

determinado se puede

utilizar la siguiente función:

V (h )=16h2⋅L+4h⋅L

, donde L

es el largo de la fuente y h la altura en un tiempo t

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SIGUE PRACTICANDO:

26. Se llena un tanque cilíndrico a razón 314

m3

min ¿Qué tan rápido se incrementa la

profundidad de trigo cuando la altura es de 2 metros?

27.

Un banco implementa un nuevo sistema de cajero automático en el cual se determinó

que el número de personas que utiliza este nuevo sistema, viene dado por la

función P ( x )=6 x2+5 x+800, donde x representa las semanas transcurridas

después de la implementación. Interprete y calcule

dPdx transcurridas 10 semanas

de su implementación.

28. En un criadero de conejos después de x días la cantidad de conejos crece a cierta

razón. Se sabe que la función de población de conejos del criadero está dada por

la función P ( x )=10 x2+1250e0,04 x+400. ¿A qué razón cambiará la población de

conejos, con respecto al tiempo, dentro de 15 días?

Ten en cuenta:

Cuando el grano forma un cono

circular recto cuya altura es

constantemente igual a 4/5 del

radio de la base, se puede utilizar la

función V (h )=125 π

192⋅h3

para

determinar el volumen, dondeh es

la altura en un tiempo t

Ten en cuenta:

Para calcular la cantidad de grano de un estanque cilíndrico de 5 metros de

altura en un momento determinado se puede utilizar la función volumen

V (h )=π⋅r 2h , donde h es la altura en un tiempo t y r= 5 m (corresponde

al radio del cilindro).

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29. El costo total de producción en dólares de x unidades diarias de un producto es

c ( x )=50 x+22000 y el precio de ventas es de i( x )=1800+100 x dólares

a. Determine la función ingreso marginal y costo marginal

b. Calcule e interprete c' (50) y i

' (60)

30. Una bomba está llenado una piscina (ver figura) con una rapidez de 10pies3

min

¿A qué ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4

pies de profundidad?

31.

Un carrito experimental conectado a un PC, se mueve a lo largo de un riel de tal

manera que su posición en el instante t del punto de partida está dada por la

función d ( t )=3 t3+18 t 2+55 t la distancia se mide en cm y el tiempo en minutos.

Interprete y calcule de d' (2) y d

' ' (1,5 ).

32. En un tanque entra agua a una razón de 5cm3

s ¿A qué rapidez está subiendo el

nivel del agua cuando esta se encuentre a 6 metros de altura?

Ten en cuenta:Para calcular la cantidad de agua que tiene esta piscina en un momento determinado (tiempo t )

cuando tiene una profundidad a los más de 5 pies se puede utilizar a función volumen

V (h )=80⋅h3 , dondeh es el nivel del agua en un tiempo t

Ten en cuenta:

Para calcular la cantidad de agua que tiene un cono invertido de 4 m de radio

16 m de altura en un momento determinado se puede utilizar la función

volumen

V (h )= π48

⋅h3, dondeh es la altura en un tiempo t .

9 pies

40 pies

4 pies

20 pies