Nota: he intentado usar una notacin lo ms clara posible, sin

embargo, si tienen dudas pueden contactarme por el Facebook o bien

escribirme a ibethrverocantillo@hotmail.com, disculpen si no puedo

entregarles algo ms detallado.

1. Sacar las marshallianas

Usamos una funcin de utilidad directa y una restriccin

presupuestaria y maximizamos:

Lo cual recordamos se hace con el mtodo de lagrange:

[ ]

Despejamos en (1) y (2) y las igualamos. Y de esa igualdad

despejamos que luego reemplazaremos en nuestra restriccin

presupuestaria para obtener nuestra primera marshalliana. Luego

tomamos esta marshalliana y la reemplazamos en .

Recordemos la forma de las Marshallianas:

2. Sacar las hicksianas

Usamos una funcin de utilidad directa y una restriccin

presupuestaria y minimizamos:

Lo cual recordamos se hace con el mtodo de lagrange:

[ ]

Despejamos en (1) y (2) y las igualamos. Y de esa igualdad

despejamos que luego reemplazaremos en nuestra funcin de

utilidad para obtener nuestra primera hicksiana. Luego tomamos esta

hicksiana y la reemplazamos en .

Recordemos que la hicksiana tiene la siguiente forma:

3. La funcin de utilidad indirecta

La funcin de utilidad indirecta es de la siguiente forma:

( )

3.1 Cmo obtenemos la funcin de utilidad indirecta?

Sacamos las marshallianas (ver punto 1)

Y reemplazamos en la funcin de utilidad directa.

3.2 Cmo obtenemos las marshallianas de una funcin de

utilidad indirecta?

Usamos la identidad de Roy:

4. La funcin de gasto

La funcin de gasto tiene la siguiente forma:

4.1 Cmo obtenemos la funcin de gasto?

Hallamos las hicksianas (vea el punto 2) y reemplazamos en la

restriccin presupuestaria.

4.2 Cmo obtenemos las hicksianas de una funcin de gasto?

Lema de Sheppard:

5. Relacin entre la funcin de gasto y la funcin de utilidad

indirecta

Por teorema:

1. ( )

2. ( )

5.1 Cmo saco una funcin de utilidad indirecta de una funcin

de gasto?

Tomamos una funcin de gasto y reemplazamos la u por

, y queda ( ) y por teorema:

( )

y de esa ecuacin despejamos .

Como s que esto es difcil de entender, he aqu un ejemplo (con una

CES)

Nuestra funcin de gasto es:

( )

Entonces nuestra funcin de utilidad indirecta es:

5.2 Cmo saco una funcin de gasto de una funcin de utilidad

indirecta?

Tomo la funcin de utilidad indirecta y reemplazamos la y por

y queda ( ) y por teorema:

( )

Y de esa ecuacin despejamos .

Y un ejemplo:

Nuestra funcin de utilidad indirecta es:

( )

Entonces nuestra funcin de gasto es:

6. Dualidad entre la hicksiana y la marshaliana

1. ( )

2. ( )

6.1 Cmo hallo una marshalliana si tengo una hicksiana?

Necesito una hicksiana y una funcin de utilidad indirecta

y reemplazamos la segunda en u. As sacamos la marshalliana.

Para entender, un ejemplo.

Nuestra hicksiana es

y nuestra funcin

de utilidad indirecta

( )

( )

( )

Por teorema, nuestra marshalliana es:

6.2 Cmo hallo una hicksiana si tengo una marshalliana?

Necesito una marshalliana y una funcin de utilidad indirecta

y reemplazamos la segunda en y. As sacamos la hicksiana.

Para entender, un ejemplo.

Nuestra marshalliana es

y nuestra

funcin de gasto es

( )

( )

( )

Por teorema, nuestra hicksiana es:

7. Diversas dudas

7.1 Cmo hago si slo me dan una funcin de utilidad? Cmo hallo una

restriccin presupuestaria en ese caso?

Si tenemos una funcin de utilidad armamos la restriccin

presupuestaria as:

7.2 Cmo hago si slo me dan una restriccin presupuestaria? Cmo

hallo una funcin de utilidad en ese caso?

Es un caso muy raro, probablemente no ocurra nunca (y no he encontrado

referencias en la bibliografa que nos ayude a esclarecer). Sin embargo, es posible

que hagan una descripcin del tipo de bienes con el que estamos tratando, si son

bienes sustitutos la funcin de utilidad corresponde a la ecuacin de lnea recta, si

son complementarios la funcin corresponde a una de Leontief, y si se trata de

una cobb Douglas, pues ya conocen la funcin de cobb Douglas.

En todo caso, les pondr las formas ms comunes de funciones de utilidad:

7.2.1 Utilidad cobb Douglas:

Donde alfa y beta son constantes positivas. En general el tamao de alfa y beta

indican la importancia relativa de ambos bienes para este consumidor.

7.2.2 Sustitutos perfectos:

Donde alfa y beta son constantes positivas. Ac la RMS es constante a lo largo de

toda la curva de indiferencia, por tanto, ac no aplica la nocin de RMS

decreciente.

7.2.3 complementos perfectos

Esta funcin (llamada funcin de leontief) es muy til para casos en los que

tenemos bienes que se consumen juntos.

7.2.4 Utilidad CES (constant Elastic substitution)

7.2.5 Preferencias no-homotticas

7.3 vi la CES de otra forma, por qu la CES que muestras es diferente?

Por la notacin. En el libro de Geoffrey Jehle y Reny se asume que

, en el

libro de nicholson (ver 7.2.4) usan una forma mucho ms general. Pero la idea de

la CES es que su elasticidad de sustitucin es constante.