Guia de Dinamica y Trabajo y Energia Marzo 2014

Material en revisin (10/03/2014) Prof. Juan Carlos Lavado

El propsito de estas notas es de servir de apoyo a las clases del curso Introductorio de Fsica de la Facultad de Ingeniera de la UCV y de Fsica I de dicha Universidad. Debido a quelas mismas han sido preparadas en un corto perodo de tiempo pueden haber fallas de distinto tipo, por favor si notan alguna de ellas hganmela saber. Por otro lado se hace referencia a lo intuitivo, lo cual puede llevar a algunos errores, pero se ha tratado en la medida de lo posible de aclarar los puntos que pueden ser delicados y confusos. Cordialmente Juan Carlos Lavado

Dinmica.

Hasta el momento hemos estado estudiando la cinemtica, es decir la descripcin del movimiento de una partcula, no nos hemos preocupado por indicar cules son sus causas. Indicaremos ahora un modelo que trata de explicar cules son las causas del movimiento, es decir indicar por qu una partcula se mueve como lo hace. Se tratarn de encontrar respuestas a preguntas como por qu los objetos en la cercana de la Tierra caen con aceleracin aproximadamente constante? Por qu oscila un resorte cuando se le libera despus de haber sido estirado? Por qu cuando algo resbala sobre una superficie horizontal en un piso de la universidad tiende a detenerse? Todas estas preguntas tienen un denominador comn, empiezan por por qu, esto no es entonces la mera descripcin de un movimiento sino la explicacin de sus causas, y a diferencia de la cinemtica, la cual responde a la pregunta cmo es que se mueve una partcula? La dinmica tratar de explicar el por qu. i De nuestra experiencia diaria se sabe que el movimiento de un objeto est determinado por sus interacciones con los cuerpos que lo rodean, por ejemplo cuando se golpea un baln con el pi y sale disparado, el movimiento resultante se debe a la interaccin del baln con la Tierra; esto es vlido para todos los movimientos, podra decirse que la dinmica bsicamente es el estudio de la relacin que existe entre las fuerzas y los cambios de movimiento de un cuerpo.

Aristteles y la nocin de fuerza

Aristteles no fue slo un matemtico o un fsico, de l podra decirse lo siguiente: Aristteles, ms que cualquier otro pensador, determin el rumbo y el contenido de la historia intelectual de Occidente. Fue el autor de un sistema filosfico y cientfico que prevaleci durante siglos convirtindose en soporte intelectual tanto para cristianos o musulmanes medievales hasta finales del siglo XVII, la cultura occidental fue Aristotlica y an despus

de las revoluciones intelectuales ocurridas posteriormente, los conceptos e ideas Aristotlicos permanecieron inmersos en el pensamiento occidental. ii Adjudicarle a las fuerzas la causa de los movimientos es una idea que proviene del siglo IV antes de nuestra era (naci en el ao 384 antes de Cristo y muri en el ao 322 antes de Cristo), el gran filsofo griego Aristteles al estudiar el movimiento, lo clasific en natural o forzado (algunas veces llamado violento). Segn l en la Tierra el movimiento natural era siempre hacia arriba o hacia abajo, como el de la cada de una piedra o el humo que sale de una chimenea hacia las nubes; para l era natural que las cosas livianas ascendieran y las pesadas no, por lo que los objetos buscaban por decirlo as su estado natural (sus lugares naturales de reposo). Aristteles lleg a afirmar que en el cielo el estado de movimiento natural era el circular, debido a que

El concepto de fuerza de Aristteles


la mayora de los cuerpos celestes observables (a ojo desnudo) indicaban esto; esto traa algunas connotaciones filosficas como el hecho que una circunferencia no tenga ni principio ni fin, as este era segn l un movimiento superior y no estaba provocado por ninguna fuerza. Por otro lado el movimiento forzado era aquel impuesto, aquel que era el resultado de la accin de las fuerzas sobre un objeto, podramos decir que Aristteles dio una definicin primitiva de fuerza, para l la fuerza era aquellos que se le aplicaba a un objeto para sacarlo de su estado natural de movimiento. Algo importante es que se adjudicaba a la fuerza justamente la propiedad cambiar mediante una accin externa el estado de movimiento de un objeto. As si un objeto se encuentra en su lugar natural de reposo, no se mover por s solo, hay que empujarlo o halarlo. Durante aproximadamente dos milenios se crey en la proposicin de Aristteles, y se deca que si un objeto se mova contra su naturaleza, debera poder identificarse la causa en la accin de una fuerza externa; por lo que si no haba fuerza no habra movimiento. Podramos decir que para ellos si un objeto estaba en su estado natural entonces no habra ninguna fuerza sobre l y si un objeto no recibe fuerza debe estar en su estado natural de movimiento. Esto condujo a una idea generalizada que la Tierra tena un estado natural de movimiento y este era el reposo, para moverla se requerira un fuerza increblemente grande. Nicols Coprnico (Nicolaus Copernicus, versin latinizada de Nicolaus Koppernigk)

Nicols Coprnico, un sacerdote Polaco nacido en 1473 y muerto en 1543. En el siglo XVI las ideas de Aristteles fueron retadas por varias personas, entre ellas el gran cientfico Florentino Galileo Galilei.

En 1514 escribi un pequeo libro distribuido entre sus amigos (conocido como el pequeo comentario) en el que haca las siguientes proposiciones:

1) El centro de la Tierra no es el centro del Universo

2) El centro del universo debe estar cercano al Sol

3) La distancia entre la Tierra y el Sol es imperceptible si se le compara con la distancia de las estrellas

4) La rotacin terrestre produce el movimiento aparente de las estrellas

5) El ciclo anual aparente del movimiento del Sol se debe a que la Tierra gira alrededor del Sol.

6) El movimiento aparente retrograda de los planetas es causado por el movimiento terrestre desde el cual estos son observados

Estas ideas eran en extremo peligrosas y controvertidas para la poca por lo que decidi elaborarlas mejor, pero en secreto (De revolutionibus orbium coelestium, Nuremberg, 24 de mayo 1543) para evitar ser perseguido, debido a la insistencia de sus amigos en las postrimeras de su vida, l decidi entregar el libro a la imprenta para su publicacin. Libro escrito prcticamente en su lecho de muerte.


Las ideas de Coprnico retaban abiertamente las Aristotlicas, lo cual hizo que se cuestionara abiertamente el saber aristotlico, provocando una verdadera revolucin.

Galileo Galilei y las ideas Aristotlicas

Galileo Galilei (filsofo, astrnomo y matemtico) naci el 15 de febrero de 1564 en la ciudad de Pisa en la regin de la Toscana (Florencia) en la actual Italia, fue el mayor de los hijos de Vincenzo Galilei, msico que realiz importantes aportes a la teora y prctica de la msica (algunos de los cuales tal vez fueron realizados en compaa de su hijo Galileo) entre 1588 y 1589iii los cuales muestran una relacin entre la frecuencia del sonido en una cuerda y la tensin aplicada a la misma, explicando as el mecanismo mediante el cual se afinan la mayora de los instrumentos

musicales de cuerda. Galileo hizo importantes aportes a las ciencias de los movimientos, la ciencia de los materiales y la astronoma. Su formulacin de la inercia, las leyes de cada de los cuerpos, las trayectorias parablicas, y el mtodo cientfico marcan el comienzo de un cambio en el estudio del movimiento. Insista que el libro de la naturaleza estaba escrito en el lenguaje matemtico. Dio las pruebas experimentales de algunas de las proposiciones de Coprnico. Al entrar a la universidad de Pisa para estudiar medicina en 1581, descubri que ese no era su destino y decidi cambiarse pese a la oposicin de su padre para estudiar matemtica, deseaba convertirse en profesor de Filosofa (al estilo aristotlico) y matemtica. l tuvo que dejar la universidad sin completar sus estudios, y durante aos vivi de dar clases particulares de matemtica en Florencia y Siena, durante estos aos escribi un pequeo libro La bilancetta (la balancita) el cual circul de manera manuscrita, en l mostraba un mecanismo para medir pesos pequeos usando los principios de Arqumedes. Durante la dcada de los aos 90, Galileo finaliza el manuscrito de su libro De motu (Sobre el movimiento), el cual muestra el abandono de las ideas Aristotlicas del movimiento, tomando una aproximacin arquimediana, pero este ataque a las ideas de Aristteles no lo hacen popular entre sus colegas; a pesar de eso llaga al cargo de profesor en la universidad de Padua en 1592 y permanece en ella hasta 1610. Con el transcurrir de los aos Galileo adquiri fama debido a sus descubrimientos, llagando a ser considerado en vida el mejor cientfico de Europa. Enumerar las ideas de Galileo y su aporte a la ciencia puede requerir muchsimo tiempo, ya que l es el creador de lo que podra llamarse, la ciencia moderna, para tener una idea de las obras completas de Galileo, estas estn recopiladas en un conjunto de 20 libros que se llaman Le opere di Galileo Galilei editado por Antonio Ferraro (1968). Galileo defendi abiertamente las ideas Copernicanas a partir de 1613, ao en el que una carta suya a uno de sus alumnos fue enviada a la Inquisicin en Roma, con la finalidad de deshacerse de Galileo, lo cual hizo que se le ordenara no mantener o defender las ideas de Coprnico mediante cualquier medio, ya sea oralmente o por escrito. En 1618, entra en una controversia sobre la naturaleza de los cometas debido a la aparicin en de tres de ellos ese ao, lo que hizo que publicara un libro con su firma Il saggiatore publicado en 1623 en el cual se expone brillantemente lo que es el mtodo cientfico. Dice all: La filosofa est escrita en este gran libro, el universo, el cual permanece continuamente abierto a nuestros ojos; pero el libro no puede entenderse a no ser que uno aprenda el lenguaje para leer las letras en las que est escrito y este lenguaje no es otro que el lenguaje


de las matemticas y sus letras son tringulos, crculos y otras figuras geomtricas sin las cuales sera humanamente imposible entender la ms simple de sus palabras Aparecen en este libro las definiciones que an usamos de cantidades bsicas y secundarias. Cuando se public el libro Galileo estaba en un buen momento, ya que un amigo suyo haba sido electo Papa de Roma, Mateo Barberini, se haba convertido en el Papa Urbano VIII, por esa circunstancia se le permiti escribir con el permiso del Papa el libro Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano (Dilogo acerca de los dos ms grandes sistemas del mundo, el Tolemaico y el Copernicano). Este libro fue terminado en 1630 y enviado al sensor de Roma, pero los sensores tanto de Roma como de Florencia tenan un grupo de grandes objeciones las cuales logr salvar al colocar en el prefacio del libro, que estas eran situaciones hipotticas y el libro fue publicado en 1630.

Debido a su libro Galileo fue acusado en 1632 por la Inquisicin y condenado cuando tena 70 a prisin, casa por crcel el resto de la vida, en el juicio algunos dicen que pronunci las palabras Eppur si muove (y sin embargo se mueve) al obligrsele a adjurar. A esa edad se mantena activo aunque enfermo y all escribi algunos estudios que no haba publicado debido a su inters en el telescopio en 1609, el nuevo libro fue publicado en Holanda en 1638 con el ttulo Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla

meccanica (dilogo y demostraciones matemticas acerca de dos

nuevas ciencias relacionadas a la mecnica conocido como Dilogos Acerca de los Nuevas Ciencias, all muestra sus estudios sobre el movimiento, incluyendo las leyes de los cuerpos

que caen, proyectiles, lanzamientos parablicos como el resultado de combinar dos movimientos, el de velocidad constante y el de aceleracin constante, al momento de escribir este libro Galileo estaba ciego (perdi la visin el 2 de enero de 1638) y pasaba su tiempo trabajando con un estudiante, Vincenzo Viviani el cual estuvo con l hasta el 8 de enero de 1642, fecha de la muerte de Galileo.

Galileo y las leyes del movimiento

Como se indic que Galileo realiz un experimento para comprobar sus ideas acerca de las causas movimiento, este experimento (el experimento de los planos inclinados) lo condujo a establecer una forma primitiva de la primera Ley de Newton, al observar que en un plano inclinado un objeto que descenda adquira cuanto mayor rapidez mientras era mayor la altura que descenda, el intuy que si el plano era liso al subir el objeto con la misma rapidez inicial que tena al momento de descender completamente por el plano, la mxima altura era la misma desde la que previamente se le haba soltado, lo que le permiti a l construir la hiptesis de que si se dejaba caer un objeto por un plano inclinado liso y luego se le permita seguir por un plano horizontal lizo, nunca se detendra (ver experimento en la gua, El experimento de Galileo). Este experimento recurra a dos planos inclinados colocados uno a continuacin del otro, una esfera rodaba desde el reposo debido a su propio peso, pasaba por el fondo

V=0

V constante

V=0 V=0


y suba por un segundo plano inclinado; l observ que independientemente de la inclinacin del segundo plano inclinado, la esfera llegaba siempre a la misma altura si los planos eran lo bastante lisos, l redujo paulatinamente el ngulo del segundo plano con la horizontal y concluy que la esfera rodar cada vez ms antes de quedar en reposo, por lo que si el segundo plano era totalmente horizontal la esfera podra no detenerse, esto es rodara para siempre mientras el segundo plano fuese horizontal, liso e infinitamente largo; as la esfera rodara en un movimiento uniforme perpetuo. Galileo expres su idea diciendo que un cuerpo una vez en movimiento y sin ser perturbado en adelante continuar eternamente con rapidez constante por s mismo. Obsrvese que las ideas de Galileo contradicen la idea aceptada (de Aristteles) en la que para que algo que tuviese un estado natural de movimiento igual al reposo continuase movindose se le debera aplicar una fuerza continuamente. Galileo tambin introdujo el concepto de inercia, la inercia mide la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento, entendindose que el estado de movimiento de un objeto est completamente determinado por su velocidad, por eso tambin se puede decir que la inercia es una tendencia de todo cuerpo a resistir cambios de su velocidad, pero como los cambios de velocidad ocurren cuando un objeto est acelerado, entonces tambin la inercia es una tendencia de los cuerpos a resistir las aceleraciones. El sabio florentino encontr esto al hacer un experimento con estacas sobre la arena, y darse cuenta que cuanto mayor era la masa de un objeto era ms difcil detenerlo, al impactar sobre una estaca en la arena, el cuerpo ms masivo se enterraba ms en la arena al dejarse caer sobre objetos soltados desde la misma altura. La masa es la medida de la inercia, ya que mientras ms masa posee un cuerpo es ms difcil cambiar su estado de movimiento Mientras ms masa tiene un cuerpo ms inercia tiene y mayor es la fuerza que hay que ejercer sobre l para ponerlo en movimiento (si estaba en reposo), o detenerlo (si estaba en movimiento).

Newton y las leyes del movimiento

El 25 de diciembre de 1642iv (el mismo ao de la muerte de Galileo) nace en Woolsthorpe Inglaterra Isaac Newton. Su padre que tambin se llamaba Isaac Newton muri en octubre de 1642, antes de su nacimiento. Su madre volvi a casarse cuando l tena dos aos de edad y lo coloc al cuidado de su abuela, fue tratado bsicamente como un hurfano teniendo una infancia poco feliz. A pesar de las adversidades Newton consigui convertirse en uno de los ms grandes Matemticos y Fsicos de la historia aportndonos las llamadas leyes del movimiento.

En 1687 public un libro llamado Philosophiae naturalis principia mathematica comnmente conocido como Principia Matemtica, este libro tal vez sea el libro ms importante de la historia de las ciencias, en dicho libro se compone de los siguientes temas: comienza con un conjunto de definiciones de los conceptos que va a utilizar. Define cantidad de movimiento, materia, varios tipos de fuerza, fuerza nsita de la materia, fuerza impresa, fuerza centrpeta, cantidad absoluta de una fuerza, cantidad acelerativa de una fuerza y cantidad motriz de una fuerza. La cantidad motriz de una fuerza centrpeta como la medida proporcional al movimiento que genera en un

Una versin primitiva de la primera Ley de Newton

Concepto de inercia de Galileo

La masa es la medida de la inercia


tiempo dado. Le sigue a las definiciones un pequeo escolio en donde expone la importancia del tiempo y el espacio absoluto. La parte de axiomas o leyes del movimiento comienza indicndonos las famosas tres leyes de Newton. Primera ley: Todos los cuerpos perseveran en su estado de reposo o de movimiento uniforme en lnea recta, salvo que se vean forzados a cambiar ese estado por fuerzas impresas. Segunda ley: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa, y se hace en la direccin de la lnea recta en la que se imprime esa fuerza. Tercera ley: Para toda accin hay siempre una reaccin opuesta e igual. Las acciones recprocas de dos cuerpos entre s son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias. A estas leyes le siguen una lista de corolarios en donde explica; cmo sumar fuerzas, cmo es que una fuerza se puede separar en dos componentes, la conservacin de momento de un sistema y la conservacin del momento del centro de masa de un sistema, que aunque no demuestra dice que lo hace en el Lema XXIII. Esta seccin tambin termina con un escolio, en el que indica no ser el autor de estas leyes ya que son principios aceptado por los matemticos. Le da el crdito a Galileo que trabaj con proyectiles y movimiento parablico, y a Wren, Wallis y Huygens, segn l, los mejores gemetras de nuestro tiempo, que trabajaron con impactos. Explica una serie de experimentos para mostrar la certeza de las leyes. El segmento del Libro primero est compuesto por una serie de lemas matemticos. En los primeros est interesado en aproximar reas con paralelogramos y afirma que la suma ltima de esos paralelogramos evanescentes coincidir en todas las partes con la figura curvilnea. En lemas siguientes trabaja con arcos y cuerdas que se aproximan a tangentes y asevera que su ltima razn es la igualdad. La parte del Libro Segundo tambin llamado, El Movimiento de los Cuerpos en Medios Resistentes, contiene dos secciones, en la primera se ocupa del el movimiento de cuerpos que son resistidos en la razn de la velocidad, al principio hay un teorema de cuanto movimiento pierden estos cuerpos, seguida de la explicacin del movimiento de un cuerpo en descenso con esta resistencia. En un corolario explica que la velocidad alcanza un mximo. La seccin II trata sobre el movimiento de los cuerpos que son resistidos como el cuadrado de su velocidad, y contiene teoremas similares a los anteriores. Sin embargo en el escolio de la primera seccin seala que stas son ms hiptesis matemticas que fsicas. En la ltima parte del Libro Segundo explica por qu es errnea la representacin con vrtices (de descartes) del sistema solar, ya que los vrtices jams se pueden mover en elipses. Esta parte tambin es una introduccin al Libro Tercero ya que ah si explicar de forma completa el problema de los planetas. Al principio del Libro Tercero Newton escribe que los libros anteriores son la herramienta matemtica para poder explicar el libro tercero, y que si alguien va a leer este libro tiene que estar familiarizado con los principios precedentes. Despus de explicar que se necesita la herramienta matemtica de los dos primeros libros, denota la importancia de los experimentos. Habla de gravitacin. Ya que manifest la importancia de las observaciones, escribe una parte que se llama fenmenos, que est llena de datos experimentales de los planetas. Le siguen una coleccin de teoremas que utiliza las demostraciones de los libros anteriores y no incluye casi nada de matemticas. Se encuentran propiedades de la gravitacin, como que la gravitacin es proporcional a las cantidades de materia; que los pesos de los cuerpos no dependen de su

Las tres Leyes de newton aparecidas en el Principia Matemtica


forma, y que la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de las distancias. Al final de esta seccin demuestra que los planetas se mueven en elipsesv Para demostrar sus proposiciones el libro est lleno de gran cantidad de nuevas ideas que an despus de ms de 350 aos continan siendo base de mucha de la ciencia y la tecnologa actual.

Las Leyes de Newton.

Primera Ley de Newton: Todo cuerpo contina en estado de reposo o en estado de movimiento rectilneo uniforme, excepto cuando se le obliga a cambiar ese estado debido a las fuerzas que se le aplican1. Se podra decir que lo anterior expresa una equivalencia entre movimiento rectilneo uniforme y reposo ya que para alterar ambas cosas se requiere fuerza; pero una vez adquirido ese estado puede continuar as sin que se requiera ninguna fuerza adicional para ello. Merece mencionar que es imposible verificar experimentalmente sin ningn tipo de dudas y de forma directa la primera Ley ya que eso requerira encontrar un lugar en el universo donde pudisemos tener un objeto completamente aislado, lo cual no es factible debido a que siempre existir la interaccin con otros cuerpos, la idea de un movimiento eterno y no perturbado no puede ser realista en un Universo repleto de galaxias; a pesar de ello la idea permite comprender una gran cantidad de observaciones; adems se puede interpretar como una relacin causa efecto, si algo no se mueve con movimiento rectilneo uniforme o no est en reposo, debe haber alguna fuerza aplicada sobre l. As la frase: Una partcula libre es aquella que no est sujeta a ninguna interaccin no se refiere a algo que podamos encontrar ya que toda partcula est sujeta a interacciones con el resto del mundo, esto equivale a decir que para que una partcula est completamente aislada esta debera ser la nica del universo, pero esto es absurdo porque si esto ocurriese, entonces cmo podramos observarla, el proceso de observacin siempre implica alguna interaccin. Sin embargo en la prctica se puede considerar que algunas partculas son libres, bien sea por que estn muy alejadas de los otros entes con los que pueden interactuar y la interaccin produce efectos despreciables o por que interactan con varios entes que producen efectos que se anulan. Una partcula libre se mueve siempre con velocidad constante, es decir, sin aceleracin. Debe hacerse notar que tal como se dijo en cinemtica, todo movimiento es relativo, por lo que para establecer la primera Ley de newton debe indicarse cul es el observador, esta ley requiere que el observador se comporte asimismo como una partcula libre, tal observador se le conoce con el nombre de un observador inercial y el sistema de referencia que l utiliza se llama sistema de referencia inercial. Debido a su rotacin diaria y a su interaccin con el Sol y dems cuerpos celestes, la Tierra no es un sistema de referencia inercial; sin embargo para muchos casos los efectos de esto sobre las observaciones del movimiento de otros objetos es despreciable y los sistemas unidos a la Tierra pueden considerarse inerciales sin gran error. Desde tiempos bastante remotos se utiliz una balanza como un mecanismo para medir masa, haciendo uso de lo que se conoce como principio de relativizacin, por ejemplo si se

1 Estas fuerzas no deben equilibrarse, por lo que, el cuerpo permanecer en ese estado hasta que se le

aplique una fuerza neta no equilibrada que lo saque de ese estado.

Primera Ley de Newton o Ley de la Inercia

Primera Ley de Newton: un cuerpo en movimiento permanece por s mismo en ese estado

Definicin de un sistema de referencia Inercial


usa una balanza de brazos iguales y se coloca en alguno de sus platillos algn objeto y lo tomamos como patrn de masas, si colocamos en el otro platillo un objeto y este hace que la balanza est en equilibrio, con el brazo horizontal, entonces el objeto colocado en este ltimo platillo tendr una masa igual a la masa patrn, si para lograr esto se requieren que uno de los platillos tenga dos de las unidades patrn, entonces el objeto en el otro tendr una masa del doble del valor de la unidad, y as sucesivamente, esto permite medir cualquier masa al compararla con otra, y es una medicin relativa a aquella que estamos usando como patrn; podra decirse que es una definicin operacional de la masa. La definicin anterior requiere del uso de balanzas y de la posibilidad de usarlas, veremos luego que si estamos en un sitio donde los no se pueda tener una buena medida de las interacciones gravitacionales esto ser imposible ya que no habr fuerza que acte sobre cada platillo empujndolo hacia abajo; adems supone que las partculas estn en reposovi. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de la masa es el kilogramo (kg) Por lo tanto se requiere una definicin diferente de masa, esta es la masa inercial. Se define la cantidad lineal de movimiento (o momentum lineal) de una partcula como el

producto de su masa por su velocidad, lo denotaremos por Pr

As: P mv=r r

(ecuacin 1), la cantidad lineal de movimiento es un vector y tiene la misma direccin y sentido que el vector velocidad. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de la cantidad de movimiento es kgm/s, la cual no ha recibido ningn nombre. De ahora en adelante llamaremos a esta cantidad simplemente cantidad de movimiento. Con la definicin de cantidad lineal de movimiento es posible enunciar de manera diferente la primera ley de Newton: Una partcula libre se mueve con cantidad de movimiento constante. Principio de conservacin de la cantidad de movimiento. Una consecuencia importante de la primera Ley de Newton es que un observador inercial reconoce cuando una partcula no est libre cuando observa que su movimiento no es un movimiento rectilneo uniforme, cuando su velocidad cambia o cuando la cantidad de movimiento deja de ser constante, en estos casos la partcula estar acelerada y estar interactuando con otras al no estar aislada. Consideremos una situacin ideal, de dos partculas aisladas, sujetas nicamente a su interaccin mutua. Como resultado de su interaccin cada partcula deja de estar aislada y su trayectoria no tiene por qu ser rectilnea, en general ser entonces una curva. Si estas dos partculas se mueven por los trayectos

1 y 2 con cantidades de movimiento 1oPr

y 2oPr

en el instante inicial (ti) y 1FPr

y 2FPr

en el instante

final (tf), as la cantidad de movimiento del sistema (suma de la cantidad de movimiento) en cada instante ser:

1 2Si o oP P P= +r r r

en el instante inicial

1 2SF F FP P P= +r r r

en el instante final

Un resultado importante es que si realizamos este experimento, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante, esto se conoce con el nombre de principio de conservacin de la cantidad de movimiento lineal: la

Definicin operacional de masa

Otra manera de expresar la primera Ley de Newton

Definicin de cantidad de movimiento lineal

1

2FPr

1oP

r

2oPr

1FPr

2

Principio de conservacin de la cantidad de movimiento lineal


cantidad de movimiento total de un sistema de partculas aislado es constante y es vlido para cualquier nmero de partculas presentes en un sistema aislado. As:

1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

Si SF

o o F F

o F F o

P P

P P P P

P P P P

P P

=

+ = +

=

=

r r

r r r r

r r r r

r r

Ecuacin 2

Por lo que puede decirse que una interaccin entre dos partculas aisladas produce un intercambio de la cantidad de movimiento. Redefinicin del concepto de masa: Si la masa de una partcula es constante, entonces el cambio de la cantidad de movimiento en un intervalo de tiempo f it t t = es:

( )P mv m v = = r r r

Ecuacin 3

Por lo que para un sistema aislado de dos partculas permite escribir la ecuacin 1

1 1 2 2

12

1 2

m v m v

vm

m v

=

=

r r

r

r

Esto indica que si se elige la masa m1 como masa patrn, entonces al hacerla interactuar con otra partcula de masa m2 y medir los cambios de sus velocidades, se puede determinar la otra masa, slo se debe tener en cuenta que hemos supuesto que la masa no cambia con la velocidad y ya se dijo que esto no es necesariamente cierto. Si procedemos a dividir ambos miembros de la ecuacin 2 por el intervalo de tiempo f it t t = , se tendr:

1 2P P

t t

=

r r

Ecuacin 4

La ecuacin 4 es vlida para cualquier intervalo de tiempo, as si se toma el intervalo de tiempo muy pequeo como se puede llegar a:

1 2dP dP

dt dt =

r r

Ecuacin 52

Esta ecuacin y la anterior nos dice que los cambios promedio de las cantidades de movimiento por unidad de tiempo son iguales y opuestos, no importa el tamao del intervalo de tiempo. Si se designa el cambio de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo como fuerza, entonces:

2 Acurdense qu significa esta nomenclatura 0

limt

dP P

dt t

=

r r

, que es una derivada del vector

cantidad de movimiento, aunque en el curso slo nos interesa interpretar fsicamente este resultado, en cursos posteriores se tratar esto con ms detalles

Redefinicin del concepto de masa, masa inercial

Concepto de Fuerza, segunda Ley de Newton


dPF

dt=

rr

, Fuerza instantnea Ecuacin 6

m

PF

t

=

rr

, Fuerza media Ecuacin 7

Las ecuaciones anteriores son la definicin de la fuerza y se conocen con el nombre de segunda Ley de Newton o Ley de la Fuerza. Es importante notar aqu que lo que hemos dado como segunda Ley de Newton, es una definicin, slo eso, por lo que esta, la definicin de fuerza siempre puede ser criticada (como cualquier otra definicin). Obsrvese que mientras la primera Ley de Newton establece que un cuerpo permanecer en reposo o en movimiento rectilneo uniforme mientras una fuerza impuesta no lo haga cambiar, nos qued pendiente qu es la fuerza?, la segunda Ley nos dice cmo calcularla, aunque debe fijarse que la fuerza no es algo observable de manera directa, lo que vemos son sus efectos, es decir los cambios que esta produce. En tal sentido Newton escribi que esta es una accin que se ejerce sobre un cuerpo para cambiar su estado, sea de reposo o de movimiento uniforme Debe sealarse que una definicin operacional plenamente satisfactoria de fuerza no se ha encontrado, a pesar de ser un concepto fundamental para la fsica. En tal sentido el ganador del premio Nobel de Fsica Richard Feynman dijo: Si usted insiste en una definicin precisa de fuerza, nunca la encontrar! Los fsicos actuales han identificado cuatro tipos de fuerzas fundamentales: la electromagntica, la gravitatoria, la nuclear fuerte y la nuclear dbil. Utilizando en concepto de fuerza y las ecuaciones 4 y 5 se puede establecer que:

21 12F F =r r

Ecuacin 8

Donde la nomenclatura utilizada significa: ijF es la fuerza que la partcula i recibe de la

partcula j O tambin:

21 12m mF F =r r

Ecuacin 9

Las ecuaciones 8 y 9 establecen que a toda accin hay una reaccin y estas son de igual magnitud, direccin y sentidos opuestos, lo que constituye la tercera Ley de Newton Si a una de las dos fuerzas la llamamos accin, entonces la otra ser la reaccin. Las fuerzas llamadas de accin y reaccin no se equilibran por actuar sobre cuerpos diferentes, entendiendo por equilibrio el que sumen cero. De la ecuacin 3 se desprende que cuando la masa es constante, entonces la fuerza es

( )d mv dvF m ma

dt dt= = =

r rr r Ecuacin 10

Por lo que la fuerza es igual a la masa por la aceleracin si la masa es constante La unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades es el newton, en honor de Sir Isaac Newton, esta unidad est definida como la fuerza que debera aplicarse a un objeto de un kilogramo de masa para que este adquiera una aceleracin de 1m/s.

Algunos conceptos bsicos de la teora de Sistemas

Para sistematizar el estudio de las herramientas necesarias para poder resolver algunos problemas muy sencillos, introduciremos algunos conceptos que no ayudarn a hacer algunas generalizaciones.

Tercera Ley de Newton o Ley de Accin y reaccin

Fuerza sobre objetos de masa constante

Las fuerzas de accin y reaccin no se equilibran


Sistema: Veamos varias definiciones no excluyentes de sistema (en el sentido fsico): A) Un sistema real es una entidad material formada por partes organizadas (o sus

"componentes") que interactan entre s de manera que las propiedades del conjunto, sin contradecirlas, no pueden deducirse por completo de las propiedades de las partes.

B) Un sistema es una porcin del Universo que se asla para ser estudiada, donde se supone que sus partes estn integradas para interactuar produciendo la realizacin de la finalidad de existencia del sistema.

C) Un sistema fsico es un agregado de objetos o entidades materiales entre cuyas partes existe una vinculacin o interaccin de tipo causal. Todos los sistemas fsicos se caracterizan por:

Los sistemas fsicos pueden ser abiertos, cerrados o aislados, segn que realicen o no intercambios con su entorno:

a. Un sistema abierto es un sistema que recibe flujos (energa y materia) de su entorno. Los sistemas abiertos, por el hecho de recibir energa, pueden realizar el trabajo de mantener sus propias estructuras e incluso incrementar su contenido de informacin.

b. Un sistema cerrado slo intercambia energa con su entorno, en un sistema cerrado el valor de la entropa es mximo compatible con la cantidad de energa que tiene.

c. Un sistema aislado no tiene ningn intercambio con el entorno.

Nota aclaratoria: llamaremos en este curso a los sistemas cerrados y aislados de la misma manera ya que no nos interesar el intercambio de energa con el entorno ni los conceptos de entropa; pero debe tenerse esto en cuenta para estudios posteriores. Medio ambiente: Se conoce como tal a todos aquellos objetos que pueden interactuar de manera significativa con el sistema en estudio (segn sea el modelo que se est usando). Varios investigadores pueden estudiar el mismo espacio fsico e interpretarlo como sistemas distintos, por ejemplo un fsico interesado en las propiedades trmicas de aislamiento de una puerta puede usar un modelo distinto de aquel quien est interesado en las propiedades de resistencia a los golpes de la misma puerta. Los modelos usados por ambos pueden ser diferentes, aunque su objeto de estudio es el mismo; pero no as su objetivo de estudio. Debido a lo complejidad que puede tener un sistema fsico de este pueden aislarse aquellas propiedades que consideremos importantes, el hecho de simplificar la naturaleza al usar un conjunto pequeo de las variables que pueden medirse en un sistema y hacerlas encajar en nuestro estudio es lo que se conoce con el nombre de modelo. Diagrama de cuerpo libre: in diagrama de cuerpo libre es una representacin esquemtica y vectorial de las acciones del medio ambiente sobre un objeto. Ntese que un diagrama de cuerpo libre slo hace eco de las acciones, no puede aparecer en un diagrama de cuerpo libre una pareja de fuerzas de accin y reaccin ya que estas estn actuando sobre cuerpos diferentes; adems esta representacin se hace sobre lo que est actuando sobre un solo objeto.

Medio ambiente

Concepto de sistema

Diagrama de cuerpo libre


Usted debe fijarse que an no hemos desarrollado los mtodos para tratar objetos que no puedan modelarse de manera aceptable como partculas, as que en esta primera aproximacin se supondr que el objeto es modelable como una partcula abstracta. Las fuerzas que aparecen en un diagrama de cuerpo libre son slo las que el medio ambiente ejerce sobre el objeto al cual se le est realizando el diagrama, por lo que no puede aparecer tampoco la fuerza resultante. Aunque las fuerzas se presentan siempre en pares (primera Ley) slo se coloca uno de los miembros de este par en un diagrama de cuerpo libre. La fuerza que nos da la segunda Ley de Newton es la fuerza resultante, es decir la sumatoria de las fuerzas es la fuerza neta (fuerza neta, total, resultante o algn otro sinnimo). Ayuda tener una lista de fuerzas que podamos usar en los diagramas de cuerpo libre, la siguiente lista puede servir para tal fin (slo vlida para la mecnica clsica)


Nombre Dnde se presenta

Relacin con las

fuerzas

fundamentales

Comentarios

Peso Esta fuerza de atraccin se presenta entre dos cuerpos que tengan masa y en un modelo bsico est gobernada por la Ley de Gravitacin Universal de Newton

Es esta una de las cuatro fuerzas fundamentales, la que se debe a la interaccin gravitacional

Las fuerzas gravitatorias entre dos objetos de muy pequea masa por lo general se pueden despreciar, tal como ocurre con los objetos que nos rodean de ordinario

Roce (o Friccin) Se presenta en la superficie de contacto que se mueven de manera relativa entre s.

Se debe fundamentalmente a una interaccin electromagntica entre los tomos de ambas superficies

Depende de la naturaleza de los materiales, de las normales y del movimiento relativo entre ellos (esta fuerza se estudiar con ms detalle ms abajo)

Normal En la superficie de contacto entre superficies

Aparece por una interaccin electromagntica

Es siempre perpendicular a la superficie de contacto, como un objeto puede tener ms de una superficie de contacto, entonces puede tener ms de una fuerza normal aplicada sobre l

Elsticas (resortes; tensin en cuerdas, hilos y cables)

Cuando se deforma un cuerpo ejerce una fuerza elstica, cuyo sentido es opuesto al de la deformacin

Aparecen por una interaccin electromagntica

La normal pude colocarse en este grupo. Estas fuerzas ocurren a veces cuando la deformacin no es obvia, con la excepcin del caso de los resortes


Nombre Dnde se presenta

Relacin con las

fuerzas

fundamentales

Comentarios

De fluidos (de flotacin, empuje o de sustentacin)

Se presenta entre los distintos elementos de un fluido, o entre un fluido y un slido inmerso en l.

Aparecen por una interaccin electromagntica

Dependiendo del tipo de fuerza pueden actuar en distintas direcciones, por ejemplo las de flotacin actan hacia arriba y el empuje hacia abajo (en este curso no veremos este tipo de fuerzas)

Clasificacin de las Fuerzas segn el alcance de sus efectos

Todas las fuerzas (producto de interacciones) se pueden clasificar en dos grandes categoras:

a) Fuerzas de contacto

b) Fuerzas que actan a la distancia (a veces llamadas fuerzas de tipo campo)

Las fuerzas de contacto son tipos de fuerzas en las que los entes que interactan se ejercen fuerzas mutuas cuando estn en contacto fsico; algunas de estas fuerzas son, la normal, la friccin y la tensin. Las fuerzas que actan a la distancia son un tipo de fuerza en las que los objetos que interactan no tienen por qu estar en contacto fsico directo, como ocurre con la fuerza de atraccin gravitacional, la fuerza elctrica y la fuerza magntica. El peso:

El peso es la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo debido a la gravedad. La ley de gravitacin universal de Newton nos dice que todo cuerpo con masa atraer a cualquier otro cuerpo que tambin tenga masa, as el peso es una medida de este hecho, dicha Ley adems establece que dicha interaccin va en la lnea que une a los centros de gravedad3 y es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la separacin entre dichos centros de gravedad. El peso es igual al producto entre el vector aceleracin de la gravedad y la masa; en la cercana de un cuerpo celeste como la Tierra, el peso de un objeto ordinario apuntar

hacia abajo. El peso es una interaccin a distancia. As el peso Pr

de un objeto de masa m es:

3 Debe tenerse en cuenta que no se ha indicado qu es el centro de gravedad, bastar decir que es un punto

que para efectos gravitacionales se comporta como si toda la masa de un objeto se encontrase concentrada

en l.

Definicin de peso

Definicin de peso


P mg=r r

Ecuacin 11 Se conoce con el nombre de vnculo a una fuerza que es producida por un objeto que acta por contacto directo sobre otro, tratando de impedir su libre movimiento. Vnculo superficie:

El vnculo superficie est integrado por dos fuerzas, la normal y la fuerza de friccin (o roce)

La normal ( Nr)

La normal es siempre perpendicular a la superficie de contacto, como un objeto puede tener ms de una superficie de contacto, entonces puede tener ms de una fuerza normal aplicada sobre l y trata de evitar que un objeto traspase al otro, como resultado siempre se producen deformaciones, aunque pueden ser imperceptibles y en este curso no las tomaremos en cuenta, es decir a no ser que se diga lo contrario, los objetos se supondrn indeformables. La fuerza de roce.

Esta es una fuerza que aparece debido a una interaccin electromagntica entre los tomos de dos superficies colocadas en contacto la cual trata de oponerse al movimiento relativo entre las superficies. Debe notarse que experimentalmente se encuentra que la friccin o roce acta de manera distinta sobre los objetos que se encuentran detenidos entre s (roce esttico) y aquellos que deslizan (roce cintico o dinmico) Las fuerzas de friccin esttica actan de forma tal que equilibran las fuerzas que provocaran en movimiento relativo entre las superficies. La fuerza de friccin esttica acomoda su magnitud para evitar el deslizamiento (movimiento relativo) entre las superficies. La fuerza de roce esttica aumenta en la medida que la normal aumenta. La fuerza de friccin esttica no puede sobrepasar un valor mximo el cual es aproximadamente directamente proporcional a la fuerza normal. El fsico e ingeniero, C. A. Coulomb determin, que la fuerza de roce esttica era menor o igual que un lmite (la fuerza de roce mxima maxrF )

re eF N Ecuacin 12 El coeficiente e es una cantidad adimensional que debe determinarse de manera experimental y se llama coeficiente de roce esttico. Deben fijarse que esta no es una relacin vectorial, slo establece el rango de valores que no pueden sobrepasar el mdulo de la fuerza de roce esttica

Algunos ejemplos de fuerzas de los distintos tipos:

Fuerzas de contacto Fuerzas de accin a distancia

Friccin

Normal

Tensiones

De atraccin gravitacional

Magntica

Elctrica

Definicin de vnculo

Definicin de la fuerza normal entre dos superficies slidas

Definicin de la fuerza de roce entre dos superficies slidas


Elsticas de resortes

Aplicadas directamente (sin saber cul es el objeto que la produce)

Sustentacin

Empuje

Coulomb tambin encontr que la fuerza de roce cintica es aproximadamente proporcional al mdulo de la fuerza normal.

rc cF N= Ecuacin 13 El coeficiente de roce cintico, c , tambin es una cantidad adimensional que debe determinarse mediante experimentos y al igual que el coeficiente de roce esttico depende de las caractersticas de ambas superficies, de qu tan bien han sido pulimentadas, de su limpieza, del grado de lisura, etc. Muchsimas veces se cumple que c e < Vnculo cuerda ideal

Se dice que una cuerda es ideal si no tiene masa y si esta no se puede estirar, al no tener masa la sumatoria de todas las fuerzas que actan sobre una cuerda ideal es nula. Las fuerzas sobre las cuerdas o las que estas producen suelen llamarse tensiones. Al no considerrsele masiva, la sumatoria de cualquier conjunto de fuerzas actuante sobre una cuerda ideal es cero Vnculo polea ideal

Se dice que una polea es ideal si esta no tiene masa y no presenta roce en su eje, las poleas ideales no presentan ninguna oposicin a rotar, por lo que la tensin no cambia de mdulo a ambos lados de la polea. Por lo general conviene hacer los diagramas de cuerpo libre de las poleas cuando su eje se traslada ya que as se puede obtener la relacin entre las tensiones a ambos lados de la polea y la fuerza que esta est recibiendo en su eje. Mtodo para resolver problemas que tienen objetos aislados sometidos a varias

fuerzas

Se enunciar aqu un mtodo para usar los diagramas de cuerpo libre en la resolucin de un tipo de problemas sencillo.

a) Decidir si el objeto de inters se puede modelar como una partcula (ya que slo hemos estudiado ese modelo) Si no nos fijamos en el tamao, forma o estructura interna, podremos en general considerarlo como una partcula.

b) Se enumeran las partculas del sistema o los objetos que pueden ser tratados como partculas en los casos que existan ms de uno de ellos

c) Se modela el universo actuante sobre el objeto, para esto se puede uno guiar por la primera lista de fuerzas y observando cul es el medio ambiente del objeto.

Fuerza de roce cintica

Vnculo cuerda ideal

Vnculo polea ideal


d) Se realiza el diagrama de cuerpo libre, indicando al objeto con un punto identificado con la masa.

e) Al hacer un diagrama de cuerpo libre se debe estn pendiente de:

a. Si se conoce con claridad toda la informacin que se tenga acerca de la aceleracin del objeto ya que el saber hacia dnde se acelera ayuda a saber hacia dnde ir la fuerza resultante

b. Elegir los ejes coordenados ms convenientes (slo se exige obligatoriamente que el sistema de referencia sea inercial) Se aconseja muchas veces que, por lo general conviene usa un sistema de referencia con un eje paralelo a la aceleracin (si es esto posible)

f) Enunciar la segunda Ley de Newton para cada coordenada, enumerando las ecuaciones que se consiguen para cada coordenada

g) Comprobar si se cuenta con toda la informacin necesaria, al contar el nmero de incgnitas y el nmero de ecuaciones independientes estas deben ser iguales. Para esto es til realizar una lista de las incgnitas presente en cada ecuacin. Si no se cuanta con igual nmero de incgnitas que de ecuaciones buscar nuevas ecuaciones, revisar el diagrama de cuerpo libre o tal vez el problema no tenga solucin o tenga infinitas soluciones. Si el nmero de incgnitas y ecuaciones independientes es el mismo, proceder a resolver el sistema de ecuaciones que nos result del procedimiento anterior.

Ejemplo de uso de las Leyes de Newton para la resolucin de un problema de

dinmica:

Problema 20) Un cuerpo en forma de cua tiene una masa M de 2kg, descansa sobre una superficie inclinada lisa y fija que presenta un ngulo 30 = sobre la horizontal; sobre dicha cua se encuentra un bloque de masa m = 0,5kg, el cual se encuentra sobre la superficie horizontal de M. Slo existe roce entre la cua y el bloque y los coeficientes de roce cintico y esttico son 0,2c =

y 0,5e = . Si a la cua se le aplica una fuerza horizontal Fr

, determine cul es el mximo

valor de su mdulo para que cuando la cua est subiendo el bloque no resbale.

Solucin:

Como en el sistema hay dos objetos cuyas masas son importantes se deben realizar dos diagramas de cuerpo libre para lo cual enumero primero los objetos.

M

m

Fr

1

2 M

m

Fr


Ahora se procede a hacer los diagramas de cuerpo libre correspondientes a cada uno de estos dos objetos. D.C.L para m)

Las acciones que el medio ambiente est ejerciendo sobre m las estamos representando

por estas tres fuerzas, la normal 21Nr

es parte de la interaccin de contacto entre los dos

objetos (la otra parte es la fuerza de roce), el peso 1Pr

se debe a la interaccin del objeto con

la Tierra, como se dijo antes la fuerza de roce se debe al contacto con M; observen el sentido que se le coloc a dicha fuerza, esto se debe a que un observador que estuviese en el objeto que la produce (M) vera que la masa desea o tiende a quedarse en el lugar que ocupa un instante previo (primera Ley de Newton), as la fuerza de roce al tratar de oponerse a esa tendencia apuntar hacia adelante. Si pudieran resbalar y coloco una marca en cada objeto, marca correspondiente con la posicin de un observador en cada objeto, el observador colocado en la cua vera que la otra marca se le mueve hacia la derecha; en cambio el observador colocado en el bloque vera que la marca del otro objeto se le mueve hacia la izquierda, por lo que la fuerza de roce ejercida por la cua sobre el bloque va hacia la izquierda en cambio la fuerza de roce producida por el bloque sobre la cua va hacia la derecha. Ntese que estas figuras indican la tendencia a moverse de manera relativa, no un movimiento necesariamente real, adems si se va a calcular la fuera de roce rABF , es decir

la fuerza de roce que el objeto A produce sobre el objeto B, se debe observar la marca del objeto B, vista desde el objeto A,

{Observador

r A BF

El diagrama completo muestra un sistema de coordenadas con un eje paralelo a la aceleracin, aunque tambin es vlido cualquier

21Nr

1Pr

21rFr

0t = 0t >

21Nr

1Pr

21rFr

x y


otro sistema de referencia inercial, en especial uno con ejes verticales y horizontales, pero en este caso se tendra que descomponer la aceleracin en las distintas direcciones de dichos ejes.

La ecuacin vectorial proveniente de la segunda Ley de Newton es:

1 1 21 1 21rm a N P F= + +r r rr

En cada eje las ecuaciones escalares correspondientes son:

( ) ( ) ( )21 21) cosry F mgsen N sen ma + = E1 ( ) ( ) ( )21 21) cos cos 0rx F sen mg N + = E2

Notas aclaratorias: a) Fjense cmo se eligieron los subndices de la fuerza de roce y del la normal, el

primer subndice corresponde con la causa y el segundo con el destinatario, as

por ejemplo 21rF es la fuerza de roce que el cuerpo 2 produce sobre el cuerpo 1.

b) Adems, observen los ngulos en el diagrama de cuerpo libre, dichos ngulos se consiguen por los teoremas que se vieron al comienzo del curso.

c) Tambin es bueno recalcar que la descomposicin de los vectores requiere del mismo tipo de estrategias utilizadas para descomponer los vectores cinemticos.

d) Noten que no se coloca la fuerza Fr

en este diagrama ya que ella est aplicada sobre el otro cuerpo.

e) Vean como se le quit el subndice a la aceleracin ya que ambos cuerpos tendrn la misma aceleracin por no resbalar el uno respecto al otro

Por otro lado la fuerza de roce es una fuerza de roce esttica ya que no existe movimiento relativo entre las superficies de la cua y del bloque. As:

21 21r eF N Pero se est en una condicin de movimiento inminente, por lo que si se aumenta la

fuerza Fr

en una pequea cantidad el bloque resbalara sobre la cua, as que en este caso:

21 21r eF N= E3 (Hasta el momento tenemos las incgnitas siguientes: 21 21, ,rF N a , lo que ya de por

s nos dara un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas que podramos resolver en este momento, pero lo dejaremos para despus) D.C.L M)

La ecuacin vectorial proveniente de la segunda Ley de Newton es:

1 2 12 12 12 2rm a N P F N F= + + + +r r r r rr

En cada eje las ecuaciones escalares correspondientes son:

12Nr

2Pr

12rFr

Fr

x y

2Nr


( ) ( ) ( ) ( )21 21) cos cosry F F Mgsen N sen Ma = E4 ( ) ( ) ( ) ( )2 21 21) cos cos 0rx N F sen Fsen Mg N + = E5

Notas aclaratorias: a) Fjense cmo se eligieron los subndices, en las ecuaciones vectoriales, de la

fuerza de roce y del la normal, el primer subndice corresponde con la causa y el

segundo con el destinatario, as por ejemplo 12rF es la fuerza de roce que el

cuerpo 1 produce sobre el cuerpo 2.

b) Para no aumentar el nmero de incgnitas, al escribir las ecuaciones escalares

colocamos donde iba 12N , 21N , lo cual es vlido ya que dichas fuerzas forman

una pareja de fuerzas de accin y reaccin (algo similar se realiz con la fuerza de roce).

c) La aceleracin de este objeto es igual a la del bloque.

d) Se adicionan dos incgnitas nuevas con estas dos ecuaciones, F y 2N

Lista de incgnitas original: Ecuacin Incgnitas

E1 21 21, ,rF N a

E2 21 21,rF N

E3 21 21,rF N

E4 21 21, , ,rF F N a

E5 2 21 21, , ,rN F F N

Esto conforma un conjunto de cinco ecuaciones independientes con cinco incgnitas. Algunas notas para proceder a resolver este sistema: a) Las tres primeras ecuaciones forma un subsistema de tres ecuaciones con

tres incgnitas

b) La 2N slo aparece en la quinta ecuacin

c) Las ecuaciones E2 y E3 forma un conjunto de dos ecuaciones con dos incgnitas

Por lo que usaremos las ecuaciones E2 y E3 para comenzar a resolver el problema, siempre se trata de comenzar por la ecuacin ms simple, aquella que tenga el menor nmero de incgnitas, en este caso dichas ecuaciones tienen dos incgnitas y por casualidad son las mismas, pero de estas dos ecuaciones la ms


simple es la tercera as que puede usarse ella primero (despus veremos que se puede usar eliminacin Gaussiana). Para eliminar 21rF de la segunda ecuacin se sustituye en ella el valor de la

misma dado por la ecuacin E3

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

21 21

21

cos cos 0

cos cos

e

e

N sen mg N

N sen mg

+ =

+ =

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

21

2

21

cos

cos

0,5 10 cos 307,029

0,5 30 cos 30

e

mgN

sen

mkg

sN newton

sen

=

+

= =

+

Al conocer la normal 21N , la lista de incgnitas se modificara:

Lista de incgnitas modificada 1: Ecuacin Incgnitas

E1 21 21,rF N , a

E2 21 21,rF N

E3 21 21,rF N

E4 21 21, ,rF F N , a

E5 2 21 21, , ,rN F F N

Por lo que ya hay ecuaciones con una incgnita, E2 y E3. De E3:

( )( ) ( )( )21 21cos

3,514cosr e e e

mgF N newtons

sen

= = =

+

Nuevamente ya se puede modificar la lista: Lista de incgnitas modificada 2:

Ecuacin Incgnitas E1

21rF 21, N , a

E2 21rF 21, N

E3 21rF 21, N

E4 21, rF F 21, N , a

E5 2 21, rN F 21, ,F N

Ahora se puede despejar la aceleracin de la ecuacin E1 por ser su nica incgnita:


( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

21 21

2

2

cos

cos coscos

cos cos

cos cos cos8,117 /

cos

r

e

e e

e e

e

F mgsen N sena

m

mg mgmgsen sen

sen sena

m

g gsen sen g sena m s

sen

+= =

+ + +

= =

+ += =

+

Por su puesto esto implica que la lista de incgnitas se puede modificar nuevamente: Lista de incgnitas modificada 2:

Ecuacin Incgnitas E1

21rF 21, N , a

E2 21rF 21, N

E3 21rF 21, N

E4 21, rF F 21, N , a

E5 2 21, rN F 21, ,F N

La ecuacin E4 permite encontrar el valor de la fuerza F : ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

21 21

2

cos

cos

cos cos cos[ cos

cos

cos] / cos

cos

37,864

r

e e

e

e

Ma F N sen MgsenF

g gsen sen g senF M

sen

mgsen Mgsen

sen

F newtons

+ + +=

+ += +

+

+ + = +

= Por otro lado se pudo multiplicar la ecuacin E3 por ( )sen y sumrsela a la ecuacin E2 para eliminar la fuerza de roce:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

21 21

21 21

21 21

21 21

21

21

cos cos 0

cos cos

cos cos

cos cos

cos

cos

r

r e

e

e

e

e

F sen mg N

F sen N sen

mg N N sen

N N sen mg

N sen mg

mgN

sen

+ =

=

+ =

=

=

=

Ecuacin que ya se haba encontrado antes.


Problemas y preguntas de dinmica (las preguntas marcadas con un asterisco

incluyen trabajo y energa)

Preguntas:

1) Cuando se deja caer una pelota, esta rebota, es necesaria una fuerza para hacerla rebotar? Si es as, qu es lo que ejerce esta fuerza?

2) Un objeto pesado que se encuentra dentro de un camin y en su plataforma se mueve justo con el movimiento del camin, sin resbalar, indique cul es la fuerza que hace que el objeto se acelere?

3) Por qu la distancia de frenado de un camin es ms pequea que la distancia de frenado de un tren a la misma velocidad?

4) Puede un objeto estar aislado y tener una trayectoria curvilnea sin estar sometido a fuerzas para un observador est en reposo en un sistema de referencia inercial.

5) * Explique si es posible tener una fuerza cuyo trabajo sea mayor que la variacin de energa cintica.

Responda verdadero o falso a las siguientes afirmaciones (aquellas marcadas con un

asterisco corresponden al tema de trabajo y energa) y justifique su respuesta:

6) No puede existir movimiento sin que la fuerza neta sea no nula 7) Todos los observadores estn de acuerdo con las fuerzas que ellos perciben 8) En la luna la inercia de un objeto es igual que en la Tierra 9) En el espacio libre puede haber un movimiento curvo sin ninguna fuerza aplicada 10) Cuando un objeto cae y rebota, la fuerza que l ejerce sobre el piso es mayor que la

que el piso ejerce sobre l. 11) Sobre un objeto detenido sobre una mesa actan la normal y el peso, estas no son

fuerzas de accin y reaccin. 12) La fuerza normal nunca puede ir a favor del movimiento por ser perpendicular a la

superficie 13) Segn Newton no pueden existir fuerzas aisladas 14) La cantidad de movimiento es un vector 15) La normal y el peso forman alguna vez una pareja de fuerzas de accin y reaccin 16) La fuerza neta es la misma para cualquier observador 17) La normal nunca puede ir en contra del movimiento, ya que es perpendicular al

desplazamiento 18) Las fuerzas de accin y reaccin sobre una persona suman cero para que pueda

quedarse pegada al suelo. 19) Si un mvil de masa constante recorre un trayecto cuadrado, con rapidez constante,

entonces la fuerza neta sobre l nunca puede ser nula 20) La inercia es una medida de la oposicin que presenta un cuerpo con masa a

acelerarse. 21) En un movimiento circular uniforme, la fuerza neta no puede ser nula 22) La cantidad de movimiento lineal va contraria a la velocidad

23) La unidad de la cantidad de movimiento es m

kgs


24) El peso de un objeto no es el mismo en cualquier parte del universo 25) La fuerza de roce siempre va en contra del movimiento 26) La masa de un objeto en cualquier parte del universo no cambia 27) En general cuando se patea un baln este se mueve ms que quien lo pateo, por lo

que la fuerza que el baln recibe es menor que la que el baln regresa 28) El peso no es una fuerza de contacto 29) La fuerza centrfuga no es una fuerza sin causa aparente 1) * 0pE E < , siendo E la energa mecnica y Ep la energa potencial

2) *La fuerza normal no realiza siempre un trabajo nulo 3) * La potencia que la fuerza neta realiza en un movimiento circular uniforme es

siempre nula 4) No puede existir movimiento sin que la fuerza neta sea no nula 5) Todos los observadores estn de acuerdo con las fuerzas que ellos perciben 6) En la luna la inercia de un objeto es igual que en la Tierra 7) En el espacio libre puede haber un movimiento curvo sin ninguna fuerza aplicada 8) * La fuerza de roce puede realizar trabajos positivos 9) Cuando un objeto cae y rebota, la fuerza que l ejerce sobre el piso es mayor que la

que el piso ejerce sobre l. 10) Sobre un objeto detenido sobre una mesa actan la normal y el peso, estas no son

fuerzas de accin y reaccin. 11) Para un mvil en movimiento rectilneo, el rea bajo la curva fuerza versus posicin

representa la potencia mecnica

I.- Responda si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera [V] o falsa [F] Indicando su

justificacin

1.-*El rea bajo la curva F Vs. x representa el cambio de velocidad. . . . [ ] 2.-La fuerza normal nunca puede ir a favor del movimiento por ser perpendicular a la superficie [ ] 3.-Segn Newton no pueden existir fuerzas aisladas . . . . . [ ] 4.-La cantidad de movimiento es un vector . . . . . . [ ] 5.-La aceleracin tangencial no se responsabiliza de cambiar la rapidez . . . [ ] 6.-La normal y el peso forman alguna vez una pareja de fuerzas de accin y reaccin . [ ] 7.-En un movimiento parablico con velocidad inicial hacia arriba, la aceleracin tangencial puede ser nula

. . . . . . . . . . [ ] 8.-La fuerza neta es la misma para cualquier observador . . . . [ ] 9.-El perodo no es el tiempo que tarda en repetirse cualquier movimiento . [ ]

10.-La normal nunca puede ir en contra del movimiento, ya que es perpendicular al desplazamiento [ ] 11.-Las fuerzas de accin y reaccin sobre una persona suman cero para que pueda quedarse pegada al suelo.

. . . . . . . . . . [ ] 12.-Si un mvil de masa constante recorre un trayecto cuadrado, con rapidez constante, entonces la fuerza neta

sobre l nunca puede ser nula . . . . . . . [ ] 13.-La inercia es una medida de la oposicin que presenta un cuerpo con masa a acelerarse. [ ] 14.-En un movimiento circular uniforme, la fuerza neta no puede ser nula . . . [ ] 15.-La cantidad de movimiento lineal va contraria a la velocidad . . . . [ ]

16.-La unidad de la cantidad de movimiento es m

kgs

. . . . . [ ]

17.-El peso de un objeto no es el mismo en cualquier parte del universo . . [ ] 18.-La fuerza de roce siempre va en contra del movimiento . . . . [ ] 19.-La masa de un objeto en cualquier parte del universo no cambia . . [ ]


20.-En general cuando se patea un baln este se mueve ms que quien lo pateo, por lo que la fuerza que el baln recibe es menor que la que el baln regresa . . . . . [ ]

21.-El peso no es una fuerza de contacto . . . . . [ ] 22.-La fuerza centrfuga no es una fuerza sin causa aparente . . . . [ ]

Los problemas indicados a continuacin estn graduados con un sistema de asteriscos que crecen en nmero segn la dificultad.

Dinmica:

1) * Una caja de 20,0 kg descansa sobre una mesa. (a) Cul es el peso de la caja y la fuerza normal que acta sobre ella? (b) Si se coloca una caja de 10,0 kg encima de la anterior como se muestra en la figura. Determine la fuerza normal que la mesa ejerce sobre masa de 20 kg y la fuerza que la caja de 20 kg ejerce sobre la caja de 10,0 kg.

R.-

a) 200P N N= =r r

b) Normal debida a la mesa = 300N, fuerza ejercida por la caja = 100N

2) * Una persona ejerce una fuerza hacia arriba de 50 N para sujetar una bolsa de comestibles. Describa la fuerza de reaccin especificando: a) su magnitud, b) su direccin, c) sobre qu cuerpo se ejerce y d) por cul cuerpo es ejercida.

R.- a) 50 N, hacia abajo, sobre la persona, ejercida por la bolsa

3) * Aclare la siguiente situacin: si al patear un baln de ftbol en reposo, se le ejerce

una fuerza Fr

; la tercera ley de Newton nos dice que debe aparecer una fuerza Fr

. La sumatoria de estas dos fuerzas es cero, por lo que no se debera mover. Explique.

R.- Las fuerzas no pueden equilibrarse ya que actan sobre cuerpos distintos, as Fr

acta

sobre el baln y Fr

sobre la persona que lo pate

4) ** Un objeto de masa M se mueve sobre una superficie horizontal rugosa con la cual presenta un coeficiente de roce cintico igual a 0,2 y un coeficiente de roce esttico

igual a 0,3, el objeto est sometido a una fuerza horizontal constante ( ) 2 4F i j N= +r

, al

partir del reposo, encuentre cual es valor de la aceleracin del objeto y cunto tiempo le toma cambiar su rapidez de 5m/s a 10m/s cuando: a) M= 10kg, b) M=0,5kg

a) No se mueve

b) ( ) 2 3,105 6,211 /a i j m s= +r , 0,720t s =

10 kg


5) * Una masa m colocada sobre la superficie lisa de una mesa est unida a un bloque de masa M suspendida mediante una cuerda que pasa por un agujero en la mesa. Encontrar las condiciones (v y r) en las que debe girar m para que M quede en reposo.

R.-

2v Mg

r m=

6) * Una masa pequea m se coloca en la superficie de una esfera. El coeficiente de friccin esttica es s = 0,60. A qu ngulo comenzar a deslizarse la masa? Suponga un radio R.

R.-

( ) ( )0,60 30,96sartg artg = = =

7) * Qu fuerza promedio se necesita para detener un automvil de 1200 kg en 5,0 s si viaja a 90 km/h?

R.- 6000F N=r

8) ** Cul es la fuerza promedio que ejerce un lanzador de bala sobre una bala de 7,0 kg si sta viaja una distancia horizontal de 2,8 m, es liberada con una velocidad de 13,0 m/s y permanece 0,2s en la mano del lanzador desde que l la impulsa hasta que sale de ella? Nota: desprecie la altura del lanzador y suponga que la bala aterriza a la misma altura que fue lanzada

R.-

455F N=r

Con 4,768 = sobre la horizontal

9) * Los oficiales de polica que examinan el lugar de un accidente, en el que intervinieron dos automviles que viajaban por un camino recto y horizontal, miden las marcas de 80 m que dej uno de ellos al derraparse y casi lograr detenerse antes de chocar.

m

M

m


El coeficiente de friccin cintica entre las llantas y el pavimento es 0,8 aproximadamente. Calcule la velocidad inicial del automvil. R.-

128,7975km/hoV =r

10) ** El elevador de un edificio muy alto puede alcanzar una velocidad mxima de 4,0 m/s cuando desciende. Cul deber ser la tensin en el cable que lo sostiene para detenerlo en una distancia de 3,0 m, si el elevador tiene una masa de 1200,0 kg incluyendo a sus ocupantes?

R.-

3200T N=r

11) ** El coeficiente de friccin esttica entre el hule y el cemento seco es de 0,84. a) Cul es la aceleracin mxima de un vehculo de traccin en las cuatro ruedas que acelera y viaja hacia arriba por una pendiente de 15? b) Cul es la aceleracin mxima si acelera y viaja hacia abajo por el mismo lugar? R.- a) 25,525m/sa =

r

b) 210,702m/sa =r

12) *** Un ingeniero de carreteras debe disear una curva tal que hasta con hielo en el pavimento no resbale un vehculo parado hasta la cuneta, mientras que un automvil que viaje a 40 km/h no derrame hacia el exterior de la curva. El coeficiente de friccin esttica entre las llantas y el pavimento helado es de 0,10. Cul debe ser el aperaltamiento de la curva y su radio de curvatura?

R.- es un problema de diseo, con infinitas soluciones

13) ** Un pequeo avin a escala de 0,75kg vuela en un crculo horizontal en el extremo de un alambre de control de 60m con una velocidad de 35m/s. Calcule la tensin en el alambre si este forma un ngulo constante de 200 con la horizontal. Suponga que la fuerza de sustentacin aerodinmica forma 20 con la vertical hacia adentro. R.-

12,747NT =r

14) *** Se suelta un patn de masa m sobre un bloque en forma de cua y de masa M, que forma un ngulo de inclinacin respecto a la horizontal; dicha cua tambin puede deslizar sobre una superficie horizontal sin friccin. Cul es la

m

M


aceleracin del patn y de la cua? Nota: no hay roce en ninguna superficie. R.-

( )( )( )

2

2cuamg sen

aM msen

=+

r hacia la izquierda

( ): tan 1

:

cua

patin

cua

MComponente vertical a

ma

MComponente horizontal a

m

+ =

r

r

r

15) ** Un objeto de masa 1m kg= sube por un plano inclinado con roce, siendo el coeficiente de friccin esttica 0,8s = y el de friccin cintica 0,1c = . El plano presenta un ngulo 20 = con la horizontal. Determinar: a) Dnde se detiene si la rapidez inicial del ascenso es 5 /oV m s=

r? b) Qu condiciones se deben dar para que el

objeto se quede detenido una vez que alcance su mxima altura, explique? c) Determinar cul debe ser el ngulo mnimo al que habra de inclinarse el plano para que el movimiento sea inminente si se ha detenido de forma permanente y se aumenta lentamente el ngulo del plano inclinado con la horizontal?

R.-

a) se detiene a 2,867m del punto inicial de ascenso

c) ( )0,8 =38,660arctg =

16) ** Dos objetos de masas M1=10kg y M2=5kg se encuentran sobre la superficie de un plano inclinado rugoso con una inclinacin de =30 respecto a la horizontal; los coeficientes de friccin cintica entre dichos objetos y el plano inclinado son 2 0, 4 = y 1 0,3 = . Los objetos estn unidos por una barra rgida muy extremadamente liviana, determine: a) cul es el valor de la aceleracin de cada objeto? b) cmo se encuentra la barra, en compresin o en tensin? c) qu pasara con las dos preguntas anteriores si se intercambia la posicin de las masas 1M y 2M ?

R.-

a) 22,1132m/sa =r

b) La barra recibe por ambos extremos una fuerza de 2,886N que la coloca en compresin

c) la aceleracin no cambiara, pero la barra estara en tensin.

M1

M2


17) * Un auto viaja a 72,0 km/h en una carretera recta, cuando se le atraviesa un conejo a 40 m delante de l y frena inmediatamente al verlo, logrando detenerse justo antes de atropellar al conejo. El conejo huy del auto cuando el conductor lo vio y corri con una velocidad constante por 10,0 s antes de tener al auto justo a su lado. Si el vehculo y sus ocupantes tienen una masa de 1200,0 kg, determinar cul es el coeficiente de roce cintico entre el terreno y las llantas del carro, suponiendo que el motor deja de funcionar al aplicar los frenos y que el auto se mueve como una nica masa con aceleracin constante. R.-

0,2c =

18) * Cul debe ser la fuerza promedio que debe aplicarse a un objeto de 1kg de masa para lograr cambiar su velocidad de ( ) smji /440 )) + a ( ) smji /43 )) + en 0,002s? R.-

( )-22000i NF =r

19) * Un remolcador tira de dos barcazas de 4,10x103kg y 3,5x103kg con velocidad constante, amarradas entre s. El remolcador ejerce una fuerza de 1000 N sobre la cuerda de la primera barcaza y, conociendo que existe fuerza de friccin, determine la friccin sobre cada barcaza, suponiendo que es la misma para las dos. R.-

500rF N=r

20) *** Un cuerpo en forma de cua tiene una masa M de 2kg, descansa sobre una superficie inclinada lisa y fija que presenta un ngulo 30 = sobre la horizontal; sobre dicha cua se encuentra un bloque de masa m = 0,5kg, el cual se encuentra sobre la superficie horizontal de M. Slo existe roce entre la cua y el bloque y los coeficientes de roce cintico y esttico son 0,2c = y 0,5e = . Si a la

cua se le aplica una fuerza horizontal Fr

, determine cul es el mximo valor de su mdulo para que cuando la cua est subiendo el bloque no resbale.

R.-

40,583F N=r

21) ** En el sistema de la figura la fuerza neta que acta sobre m1 es de 11 N. Si m1 es de 2 kg, m2 es de 3 kg, m3 es de 1 kg, y el coeficiente de roce entre las masas y la superficie horizontal es de 0,5; calcular:

a. La fuerza Fr

que acta sobre m1. b. La fuerza que m1 ejerce sobre m2.

m1

m2 Fr

m3

M

m

Fr


R.- F=63N, N 1263 , 31,5F N N N= =

22) ** Determinar si la masa de la figura permanecer en reposo bajo la accin de la fuerza F de 5N y si existe movimiento, hacia dnde ser y con qu aceleracin se mover?

= 25 = 30 M = 6kg e = 0.6 c = 0.1

23) ** Calcule la velocidad angular a la que debe girar el sistema de la figura para que la tensin en la cuerda inferior sea de 1 N. L = 6 m, = 30, = 35, m = 2 kg. L es la longitud de la cuerda inferior.

R.-

( ) ( )( ) ( )

1,587cos

inferiormg sen T sen rad

mLsen s

+ += =

24) ** Calcular la masa que tiene el bloque de masa m1 de la figura, si esta tarda to segundos en caer una distancia h partiendo del reposo. m2 se encuentra sobre una superficie horizontal rugosa cuyo coeficiente de friccin cintico es c. Ser posible que m1 descienda con rapidez constante?

m2 = 1 kg, to = 5 s, h = 0,5 m y c = 0.1

25) *** Una cuerda ideal pasa por una polea ideal tal como se muestra en la figura. Determinar cul es la masa m3. Se conoce que el ngulo que forma el plano inclinado con la horizontal es = 30, que el bloque m1 = 20 kg, m2 = 10 kg y la aceleracin de m1 es 0.2 m/s2 hacia abajo. A) Suponga todas las superficies lisas; b) Considere un coeficiente de roce entre todas las superficies igual a

0,10c = .

m3

m2

m1

m

Fr

h

m1

m2


26) ** Un objeto de M1 =2kg de masa se encuentra en reposo y junto a otro de M2 = 4kg de masa (tambin en reposo); tal como se muestra en la figura. Determinar la aceleracin de cada uno de los objetos, suponiendo = 30 y que los coeficientes de roces son: a) 1 2 1 20,5; 0,6; 0,2; 0, 4e e c c = = = =

b) 1 2 1 20,6; 0,5; 0,4; 0, 2e e c c = = = =

c) 1 2 1 20,8; 0, 4; 0,3; 0,1e e c c = = = =

d) 1 2 1 20, 4; 0,8; 0,1; 0,3e e c c = = = =

27) *** Un juego infantil consiste de un embudo giratorio vertical en el que se coloca un pequeo objeto de masa M = 50g en reposo y se le hace girar con un mecanismo mecnico que incrementa paulatinamente su rapidez. Las dimensiones del embudo son las indicadas en el dibujo. El coeficiente de roce esttico es 0,6e = . Diga si la informacin siguiente es correcta: Cuando se hace girar el objeto dentro del embudo con una rapidez de 12 m/s, el objeto no resbala. r = 3 cm; R = 6 cm; h = 5 cm. R.- No, ya que el radio de giro necesario para lograr esto es mayor que R

28) *** Un cuerpo de masa m = 1 kg, tiene otro de masa M = 0,25kg encima. Slo hay roce entre ambos cuerpos y los coeficientes de roce son 0,2c = y 0,6e = . La masa m reposa sobre una superficie inclinada un ngulo = 30 sobre la horizontal. Si a m se le empuja con una fuerza F

rparalela al plano, determine:

a) Cul debe ser el mximo mdulo de la fuerza Fr

para que el objeto de masa M no resbale y

b) Si se duplica dicho mdulo; cul ser la aceleracin de cada objeto?

29) ** Un pequeo cuerpo de masa M se encuentra dentro de un tubo giratorio de radio R de eje longitudinal vertical como se indica en la figura. Dicho bloque presenta coeficientes de roce cintico y esttico c y e ,

R

r

h

R

h

r

M

R

M

m Fr

M1 M2


respectivamente. Si el tubo gira con una velocidad angular , determine el mnimo valor de esta para el cuerpo no resbale.

R.-

e

g

R

=

30) ** Dos objetos, de masas 1 5M kg= y

2M se encuentran unidos entre s por una

cuerda ligera e inextensible que pasa por una polea ideal, estando uno de ellos sobre la superficie de un plano inclinado fijo que

presenta un ngulo 30 = respecto a la direccin horizontal y el otro colgando al otro extremo. Si se coloca al ms ligero colgando de la cuerda vertical este se acelera hacia arriba con una aceleracin de 21,057 /m s y si se invierte la colocacin de los mismos, al

colgar el ms pesado de la cuerda vertical, la aceleracin de este objeto es 27,211 /m s hacia abajo. Entre la superficie y el objeto sobre ella siempre el coeficiente de roce cintico es

0,2 = . La cuerda atada al objeto sobre el plano siempre es paralela al plano mismo. Encuentre al valor de la masa 2M .

R.- 2 1M kg=

31) *Dentro de un auto que viaja con aceleracin constante se encuentra un objeto de 1kg que cuelga de una cuerda ligera fija al techo del auto, la cuerda forma un ngulo de 2,5 respecto a la direccin vertical. El auto tiene una masa de 1200kg. Encuentre a) la aceleracin del auto respecto a un observador fijo en tierra, pero haciendo uso de un sistema que de referencia colocado en el auto y fijo a ste, b) la fuerza neta sobre el auto. R.- ( )tan 2,5a g=

32) ** Una pequea moneda de 3,10g de masa descansa sobre un pequeo bloque de 20,0g soportado por un disco giratorio. Ambos estn a una distancia de R=12cm del centro del disco. Si los coeficientes de roce entre el bloque y el disco son 1 0,750e = y 1 0,640c = , en tanto que para la moneda y el

1M 2M

ar

2M 1M

ar

R

Disco giratorio

Bloque

Moneda


bloque son 2 0,450e = y 1 0,520c = . Cul es la rapidez angular mxima del disco antes de que la moneda o el bloque deslicen? R.-

33) **En el sistema de la figura se encuentra en equilibrio, la cuerda de la derecha tiene una tensin de 400N y la de la cuerda horizontal izquierda una tensin

de 200N, el ngulo es desconocido y el bloque tiene una masa M, tambin desconocida. Suponga las cuerdas de masas despreciables. Encuentre cul es el valor de la masa y del ngulo.

R.- 20 3 60M kg = =

34) **En el sistema de la figura el bloque de masa

1 100M kg= desciende por el plano inclinado con una

aceleracin constante de 22 /m s , slo existe roce entre

2 50M kg= y la superficie horizontal, las poleas y las

cuerdas son ideales, la masa 3M es desconocida; encuentre

el valor de dicha masa y la tensin en cada cuerda.

60 30 0.5 = = =

R.- 3 1 273.718 666.025 516.025M kg T N T N= = =

Trabajo y energa

El origen del concepto de trabajo mecnico como equivalente al producto de la fuerza por el desplazamiento se remonta a la antigedad. Aparece de modo implcito en los estudios relativos a las palancas llevados a cabo por Aristteles y Arqumedes, en estos se estudia esta mquina y las relaciones encontradas son fundamentalmente relaciones de equilibrio donde aparece la multiplicacin de una fuerza por una longitud4. De alguna manera, y como veremos ms adelante, esto no es ms que una aplicacin del principio de conservacin de la energa mecnica. En esta ley ya entonces aparece el producto fuerza por desplazamiento, que hoy conocemos como trabajo mecnico. El concepto de energa hace su aparicin de forma clara e inequvoca a finales del siglo XVIII y principios del XIX, cuando como consecuencia del desarrollo de la Termodinmica, toma cuerpo el principio de conservacin de la energa en su acepcin ms amplia. Sin embargo, desde los tiempos de Galileo, y sobre todo desde Huygens (1629-

4 Esto se ver posteriormente en el curso

M

1M

2M 3M

Trabajo y energa


1695) y Leibniz (1646-1716), se haca uso del confuso concepto de vis viva (fuerza viva), que Lord Kelvin bautiz luego como energa cintica. Galileo, en su obra Dos Nuevas Ciencias5, describe lo que ocurre cuando sobre una estaca ligeramente clavada en la arena se deja caer una piedra. La estaca se clavar ms en la arena si se hace desde una mayor altura. Por tanto, una combinacin de peso (fuerza) y altura (desplazamiento) es la responsable de que la estaca se clave ms o menos6. Nos encontramos de nuevo con el concepto de trabajo o de su equivalente en energa potencial, tambin en este libro el sabio Italiano en 1638 establece que el cuadrado de la velocidad es importante7. Los estudios de Huygens sobre colisiones elsticas entre bolas le llevaron a la consideracin de que, adems de conservarse el momento lineal (o cantidad de movimiento), se conservaba la cantidad 2mv . Leibniz demostr que esta nueva cantidad apareca tambin al resolver el problema de la estaca de Galileo, por lo que supuso que deba tener una gran trascendencia en la explicacin de los movimientos. La nueva cantidad 2mv fue denominada vis viva (fuerza viva), y se consider que todos los cuerpos en movimiento estaban dotados de una vis viva que en unos casos era capaz de hacer que una estaca se clavara en el suelo y, en otros, de poner en movimiento cuerpos que inicialmente estaban en reposo. Leibniz consider que era la vis viva la magnitud que defina el estado de movimiento de los cuerpos y no la cantidad de movimiento de Descartes. Surge as la llamada polmica cartesiano-leibniziana sobre la magnitud que define el movimiento de los cuerpos y se conserva en el universo. En 1743, en la obra Trait de Dynamique Jean dAlembert propuso que ninguna de las dos cantidades se designara con el nombre de fuerza (vis) para evitar confusiones y que se limitara el mbito de aplicacin de cada una. Sugiri el nombre de momentum para la magnitud de Descartes (mv). Hubo que esperar hasta principios del siglo XIX para que Thomas Young (1773-1829) definiera 2mv como energa en lugar de fuerza (vis viva), contribuyendo, as, a clarificar los conceptos. Poco tiempo despus, William Thomsom (Lord Kelvin) la bautizara con el nombre con el que hoy la conocemos: energa cintica. Una idea ligeramente distinta acerca de las fuerzas aparece cuando uno trata de responder a dos interrogantes elementales acerca de los efectos de las mismas, estas interrogantes bsicas son qu tan buena es una fuerza? y cundo una fuerza va a favor o en contra del movimiento?, estas preguntas acerca de la calidad de la fuerza, por tal motivo este es un camino bueno en las ciencias aplicadas donde la calidad es un factor importante, ms sin embargo no debe creerse que es la nica posibilidad de definir el tema, algunas veces se usa para introducir el mismo una definicin de energa, siendo esta, la capacidad que posee un algo para producir cambios en s mismo o en otras cosas

5 Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica (dilogo y

demostraciones matemticas acerca de dos nuevas ciencias relacionadas a la mecnica

6 A esto tambin se le puede dar una interpretacin cinemtica, en la que aparentemente es posible

intercambiar altura por el cuadrado de la rapidez, lo que equivale a una forma de proto-principio de

conservacin de la energa mecnica.

7 The vis viva dispute: A controversy at the dawn of dynamics, George E. Smith

Una posible definicin de energa


Se puede estudiar el tema desde esas perspectivas, aunque la primera es ms operacional y la segunda es ms filosfica, ambas pueden ser tiles, aunque histricamente e problema fue bastante complejo teniendo fuertes implicaciones filosficas adems de las fsicas. Una alternativa bastante simplificada del problema es responder a estas interrogantes anteriores, y tratar de inducir una definicin operacional de trabajo y energa, para esto se comparar la fuerza con algn vector cinemtico que indique hacia dnde se est moviendo un objeto; de los vectores cinemticos vistos, slo dos nos indican tal situacin, la velocidad y el desplazamiento, por tal motivo, se proceder a comparar una fuerza con cada uno de dichos vectores, la primera comparacin nos guiar hacia el concepto operacional de potencia y la segunda al concepto de trabajo. Se supone una sola fuera actuando sobre un objeto de masa constante, esta fuerza no tiene por qu ser la fuerza neta sobre el objeto, aunque podra serlo.

Se distinguirn tres casos de una fuerza Fr

actuando sobre un objeto que experimenta un desplazamiento, dr

r 8, muy pequeo a lo largo del trayecto :

1. Fuerza a favor del movimiento9

2. Fuerza contraria al movimiento

3. Fuerza que no va ni a favor ni en contra del movimiento Puede notarse que para responder a la pregunta cundo una fuerza va a favor o en contra de un movimiento, se debe comparar las direcciones de ambos vectores, as una respuesta posible depende de la proyeccin de la fuerza en la direccin del movimiento, si se quiere

cuantificar esta proyeccin ( Pr droy Frr

) se puede usar el menor ngulo entre ambos vectores

( ), resultando as:

8 Este desplazamiento es llamado a veces un diferencial de trayecto

9 Debe notarse que se ha supuesto un pedazo muy pequeo del trayecto, para que en toda su excursin no

cambie la fuerza, a este pedazo muy pequeo lo llamaremos drr

, esto equivale a estudiar lo que est

pasando en un punto del trayecto.

Fr

Fr

Fr

drr

drr

drr


( )Proy cosdrF F =rr r

Ecuacin 14

La cantidad anterior responde a la pregunta Cundo la fuerza va a favor o en contra del movimiento? Ya que si es positiva la proyeccin, la fuerza ir a favor del movimiento, si es negativa en contra y si es nula no ir ni a favor ni en contra. Si se multiplica la proyeccin por el desplazamiento, se tendr una cantidad que puede ayudarnos a responder a la pregunta qu tan buena es la fuerza?, ya que de ser grande nos dira que la fuerza ejerce un efecto grande al producir un gran desplazamiento, aunque esto debe hacerse con cuidado, ya que estamos estudiando dr

rque son pequeos, esto nos

obliga a diferir el esto hasta despus. Por ahora es bueno definir el llamado trabajo elemental, FdW , como sigue:

( ) ( )Proy cosF drd dr dF F drFrW = = = rr r rr r r

Ecuacin 15

Debe notarse que el signo del trabajo elemental es el mismo que el de la proyeccin.

Se define el trabajo realizado por la fuerza Fr

, como la suma de todos los trabajos elementales que existen en un trayecto, desde un punto inicial I, hasta un punto final F, por lo que si pudisemos colocar un ndice j para distinguir cada trabajo elemental y el primer trabajo elemental es 1dW , el segundo 2dW , y as sucesivamente, hasta el ltimo

ndW , donde obviamente n , siendo j jdW F dr= r r

As el trabajo debido a la fuerza Fr

es

1

n

F

j

jdW F r=

= rr

donde todos los productos escalares se realiz

Guia de Dinamica y Trabajo y Energia Marzo 2014

Documents

Transcript of Guia de Dinamica y Trabajo y Energia Marzo 2014