PLANIFICACIÓN DINAMICA DE SISTEMAS DE...
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA ELT 4100 PLANIFICACIÓN DINAMICA DE SISTEMAS DE TRANSPORTE DE ENERGIA APLICANDO ALGORITMOS GENETICOS (INFORME DE INVESTIGACIÓN) MCs. Ing. Armengol Blanco Benito Oruro, Agosto de 2007
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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE ORURO FACULTAD NACIONAL DE INGENIERÍA
INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
ELT 4100
PLANIFICACIÓN DINAMICA DE SISTEMAS DE TRANSPORTE DE
ENERGIA APLICANDO ALGORITMOS GENETICOS
(INFORME DE INVESTIGACIÓN)
MCs. Ing. Armengol Blanco Benito
Oruro, Agosto de 2007
ii
Índice General
Índice ii Resumen iv I Introducción 1 1.1 Antecedentes 1 1.2 Planteamiento del problema 2 1.3 Justificación 2 1.4 Objetivos 4
1.4.1 Objetivos Generales 4 1.4.2 Objetivos Específicos 4
1.5 Revisión Bibliográfica 5 1.5.1 Estado del Arte 9
1.6 Hipótesis 9 II Metodologías de Planificación 10 2.1 Introducción 10 2.2 Mercado de la Energía Eléctrica 10
2.2.1 El Mercado de la Energía Eléctrica en Bolivia 11 2.2.2 Otros Mercados Eléctricos 12
2.3 Planificación Estática 15 2.3.1 Modelo Matemático 15
2.4 Planificación Dinámica 17 2.4.1 Modelo Matemático 17
2.5 Modelación Dinámica Integrada 23 III Desarrollo del Software 26 3.1 Introducción 26 3.2 Lenguaje de Programación 26 3.3 Algoritmo Genético Propuesto para la Planificación 26
3.3.1 Codificación del Algoritmo Genético 27 3.3.2 Recombinación 27 3.3.3 Mutación 28
3.4 Generación de la Población Inicial en la Planificación Dinámica 29 3.5 Algoritmo Genético Implementado 30 3.6 Diagrama de Flujo 31 3.7 Sistema de Prueba 32 3.8 Análisis de resultados 32
iii
IV Conclusiones y Desarrollos Futuros 36 4.1 Introducción 36 4.2 Conclusiones 36 4.3 Desarrollos Futuros 37 Referencias Bibliográficas 38 Anexos Anexo A Listado Programa Fuente 40 Anexo B Salida Para el Sistema de Prueba 54
iv
Resumen
En este documento se presenta, los resultados del trabajo de investigación sobre
el problema de la planificación dinámica de sistemas de transporte de energía
eléctrica aplicando algoritmos genéticos.
Se desarrolló una herramienta para la planificación dinámica de sistemas
eléctricos de potencia.
Los resultados presentados al considerar un sistema de prueba de 4 barras y 4
líneas son alentadores y prometedores para su aplicación a sistemas eléctricos
reales las cuales son gran dimensión.
El presente trabajo, es la prosecución de la línea de investigación sobre la
programación evolutiva aplicada a los problemas de sistemas eléctricos de
potencia desarrollados en la Carrera de Ingeniería Eléctrica.
1
I INTRODUCCIÓN
1.1 Antecedentes
La creciente necesidad de energía eléctrica por parte de la sociedad motiva un
aumento sostenido en la capacidad generadora de los sistemas eléctricos de
potencia. Además, la necesidad de un suministro eléctrico eficiente, confiable y de
bajo costo conduce a la imperiosa integración e interconexión de distintos
sistemas eléctricos a través de sistemas de transporte, así como a la permanente
incorporación de nuevos dispositivos y tecnologías que permiten una mejor
operación del sistema eléctrico. En otras palabras, los sistemas eléctricos de
potencia son sistemas dinámicos de enorme complejidad, su expansión requiere
de nuevas técnicas y herramientas de planificación apropiadas y su operación
eficiente requiere del uso de técnicas de análisis que permitan la toma de
decisiones bajo estas condiciones.
El problema de la planificación estática de la expansión de sistemas de transporte
de energía eléctrica solo considera un único horizonte de planificación. De este
modo, se debe determinar la localización y tipo de inversión que debe ser
realizada para el valor presente del costo total de operación e inversión sea
mínimo para el periodo de tiempo considerado. En la planificación estática se
asume que todas las inversiones se realizan en el mismo instante del tiempo y al
comienzo del horizonte de planificación.
En la investigación que antecede al presente trabajo, se consideró solamente una
planificación estática, es decir, una planificación a corto plazo, sin embargo, la
demanda de electricidad en el país y en la región crece a un ritmo sostenido y
variable entre periodos, por tanto, tiene un comportamiento dinámico. Aunque, es
necesario recalcar que el crecimiento de la demanda es muy baja comparada con
los países vecinos.
2
Para satisfacer dicha demanda de manera óptima, será imprescindible expandir el
sistema eléctrico tanto en generación, en transmisión como en distribución a costo
mínimo considerando varios periodos, es decir, se debe realizar una planificación
dinámica de la expansión del sistema de transporte del sistema eléctrico de
potencia.
1.2 Planteamiento del problema
Las empresas de electricidad tanto de generación, transporte y distribución con el
objetivo de satisfacer la demanda de electricidad, deben invertir en nuevas
centrales de generación, líneas de transporte y redes de distribución, de tal modo,
que las inversiones asociadas a la expansión del sistema eléctrico sean mínimas
óptimamente, cumpliendo con las restricciones de red y operación, como también
con restricciones de tipo ambiental y de tipo legal. Sin embargo, las empresas
requieren aplicar software y metodologías que optimicen sus decisiones para
invertir capital y puedan recuperarlo en forma segura.
Por lo expuesto líneas arriba, se requiere desarrollar modelos de optimización y
aplicar metodologías para resolver el problema de la expansión del sistema
eléctrico que es un problema de planificación a largo plazo.
1.3 Justificación
SI bien, los métodos clásicos de optimización y programación matemática, se
aplicaron exitosamente para resolver los problemas asociados con la expansión
de sistemas eléctricos de potencia, requieren la utilización de software comercial
de alto costo.
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En este trabajo de investigación, se enfoca en la aplicación de una de las técnicas
heurísticas como son los algoritmos genéticos para resolver los problemas de la
planificación dinámica de los sistemas de transporte de energía eléctrica.
Los algoritmos genéticos, son una parte sustancial de la programación evolutiva.
Sus aplicaciones en el campo de la ingeniería eléctrica son muy amplias y
presentan ventajas con respecto a las metodologías tradicionales empleadas en la
programación matemática y optimización.
El software necesario que se requiere para realizar la planificación dinámica de la
expansión del sistema de transmisión, es muy costoso para las empresas
eléctricas y en algunos casos se hace prohibitivo para las empresas pequeñas.
Estas empresas por su tamaño y precariedad, todavía no se adecuaron a la
reglamentación de la Ley de Electricidad. Con esta investigación se pretende
apoyar a las empresas pequeñas en la planificación de la expansión de su red de
transmisión eléctrica.
Como producto de la investigación, se desarrolla una herramienta para la
planificación de sistemas eléctricos de potencia. Esta herramienta, podrá apoyar al
trabajo de las empresas eléctricas del país.
La presente investigación, se puede justificar por su conveniencia e implicaciones
prácticas para las empresas eléctricas, por su valor teórico o utilidad metodológica
en la aplicación de los algoritmos genéticos a problemas de sistemas eléctricos de
potencia y finalmente repercutirá en beneficio social por las tarifas reducidas a los
consumidores finales debido a que el costo de inversión de la expansión del
sistema eléctrico, se realiza a costo mínimo.
4
1.4 Objetivos
El objetivo de la investigación es la comprensión, descripción, descubrimiento y
generación de hipótesis sobre la aplicación de la técnica heurística de los
algoritmos genéticos en problemas de la planificación dinámica de SEP.
Por lo tanto, los objetivos que se persiguen con la investigación, se pueden dividir
en objetivos generales y objetivos específicos.
1.4.1 Objetivos Generales
Los objetivos generales de ésta investigación, son:
Impulsar el desarrollo de la investigación en la Carrera de Ingeniería
Eléctrica y Electrónica.
Apoyar al desarrollo de herramientas computacionales que permitan a las
empresas del sector eléctrico a resolver problemas de planificación
dinámica de su expansión.
1.4.2 Objetivos Específicos
Los objetivos específicos de la presente investigación, son:
Aplicar la técnica heurística de los algoritmos genéticos al problema de la
expansión de los sistemas de transporte de energía eléctrica a largo plazo.
Desarrollar una herramienta para encarar la planificación dinámica de los
sistemas de transporte de energía.
Publicar los resultados de la investigación desarrollada.
5
1.5 Revisión Bibliográfica
Antes de la década de los años 1980, el desarrollo de redes de transmisión fue
emprendido en gran parte de conformidad con la planificación determinista y los
padrones de diseño.
Un patrón comúnmente sostenido era el criterio de n - 1. El criterio de n - 1 dice
que un enlace de transmisión de la red debe ser diseñado con el objeto de
mantener el suministro de energía a los clientes ante la eventualidad de la pérdida
de cualquier carga solo afecte a un segmento pequeño de la red.
El problema es crítico especialmente en horas punta, donde la capacidad de la red
puede ser rebasada por el excesivo consumo de energía. La demanda máxima del
sistema exige que la generación brinde su máximo esfuerzo para satisfacer la
demanda máxima durante algunas horas del año. En el resto del periodo no existe
sobrecarga en la red, y el sistema eléctrico puede operar sin problemas
satisfaciendo todos los requerimientos en cuanto a calidad del servicio.
Para cubrir adecuadamente la demanda máxima de potencia, debe haber
suficiente capacidad de generación de potencia y presentar márgenes aceptables
de generación. Por otra parte, el sistema de transporte de energía eléctrica:
Líneas de transmisión y transformadores deben trabajar con márgenes aceptables
en cuanto a estabilidad dinámica y sobrecarga respectivamente. Por lo tanto,
existen dos problemas para enfrentar el crecimiento de la demanda de potencia:
La expansión de los sistemas de generación y transporte, estos problemas están
interrelacionados entre sí.
En el presente trabajo de investigación, se trata el problema de la mejor solución
de la expansión del sistema de transporte de energía eléctrica, para lo cual se
realizó la revisión bibliográfica correspondiente.
6
M. Emmerten y D. Somatilake [1], presentan un breve esbozo del desarrollo de
redes de transmisión considerando la planificación determinística considerando el
criterio N-1 y enfoca la planificación probabilística presentando tres métodos
probabilísticas para la planificación de la transmisión.
J. Léotard [2], presenta un análisis del efecto de la desregulación en la industria
eléctrica que introduce la competencia entre los generadores, el uso obligatorio de
mejores tecnologías así como la situación económica respecto al uso y ampliación
de la red de transmisión eléctrica. La tesis introduce la noción de inversión óptima
en capacidad de transmisión al considerar el tiempo y la razón de inversión
tomando en cuenta la generación óptima. Presenta dos alternativas de esquema
de precios, las cuales consideran la existencia de incertidumbre en el uso futuro
del sistema y al mismo tiempo reconoce la necesidad de coordinación de las
políticas de inversión en generación y transmisión. El primer esquema está basado
en la existencia de contratos para la capacidad de transmisión a largo plazo, el
segundo esquema asume una condición de mercado perfecto y subvención para
el proveedor de transporte. Finalmente, considera la existencia de falta de
capacidad que depende de los costos de líneas de transmisión y no recuperación
de los costos de inversión como la principal causa de falla de provisión de
capacidad de transmisión.
El tamaño de los sistemas eléctricos de potencia de hoy en día, la incertidumbre
en las tasas de crecimiento de la demanda y en la ubicación de la generación,
convierten el problema de planificación de transmisión en un problema de gran
escala, estocástico y combinatorio.
J. Ceciliano y R. Nieva [3], presentan un método de programación evolutiva para la
planificación de redes de transmisión en sistemas eléctricos de potencia. Este es
un problema entero mixto y no lineal, con una naturaleza combinatoria que
conduce a un número muy grande de soluciones posibles para sistemas eléctricos
7
de mediana y gran escala. Describen brevemente el problema de planificación de
transmisión y posteriormente se formula en términos matemáticos. El algoritmo
propuesto de programación evolutiva se aplica a una red eléctrica de gran escala
que es representativa del sistema eléctrico mexicano. Es una metodología para la
planificación estática.
J. A. Hernández, et al. [4], presentan las características generales de un modelo
para la planificación integrada de la expansión a largo plazo del sistema eléctrico y
del sistema de transporte de gas natural. El modelo se basa en un criterio de
mínimo costo, y fue diseñado con el fin de coordinar los factores que
interrelacionan la planificación de ambos sistemas. El modelo logra aprovechar a
un mismo tiempo las economías de escala de las redes de transporte de energía
eléctrica y de gas natural, situación que permite una “competencia” más equitativa
entre ambas redes. Se presentan algunos de los resultados más representativos
de un problema hipotético con el fin de ilustrar las capacidades del modelo.
A. Escobar et al. [5], presentan una metodología para resolver el problema de la
planificación de la expansión de la transmisión desde el punto de vista estático y
dinámico. En esos modelos son incluidos conceptos de mercado abierto. En la
planificación, el modelo estático determina dónde y cuánto de equipos deben ser
instalados y el modelo dinámico determina adicionalmente cuándo instalar los
nuevos equipos. Por otra parte, como consecuencia de la operación de los
sistemas eléctricos en ambientes competitivos, surge la necesidad de adicionar a
los modelos anteriores conceptos que lleven en cuenta costos de mercado. Se
presentan resultados para la planificación estática, analizando el sistema eléctrico
colombiano y el sistema eléctrico norte-nordeste brasilero.
J. McCalley, et al. [6], presentan modelos para planificar la expansión del sistema
de transporte eléctrico basado en la reconfiguración de bancos de condensadores
conmutables. Resuelven el problema utilizando un modelo de optimización para
determinar la época, tipo y ubicación de nuevas adiciones de la instalación de
8
transmisión dadas el coste de la inversión y la producción, el beneficio del
consumo, y las restricciones sobre la confiabilidad y las capacidades de equipo. El
modelo de optimización es un problema de programación no lineal entero mixto
que determina el óptimo que se traducen en menores costes de producción e
inversiones en la transmisión.
Asimismo, consideran la compensación serie que permite aumentar la capacidad
de transporte de las líneas de transmisión involucradas y la compensación en
derivación que permite un mejor perfil de tensión del sistema.
A. Escobar [7], presenta una nueva metodología para realizar la planificación
dinámica de la expansión de sistemas de transmisión. Se describe el problema de
la planificación de sistemas eléctricos, se presentan conceptos de planificación
estática y dinámica, y se formula el problema de la planificación dinámica de la
expansión de la transmisión, el cual debe definir no solo la localización, tipo y
cantidad sino también, el instante en que deben realizarse las inversiones, de
modo que el sistema se ajuste en forma optimizada al crecimiento continuo de la
oferta y la demanda de energía. Se parte del modelo estático (una sola etapa) y se
formula la planificación dinámica en múltiples etapas utilizando para esto modelos
clásicos de representación de redes de transmisión: modelo de transportes,
modelo de flujo de carga DC y modelos híbridos. La metodología, se implementa
mediante la técnica de los algoritmos genéticos y se aplica al sistema eléctrico
colombiano.
A. Blanco [8], presenta un trabajo de investigación sobre la aplicación de los
algoritmos genéticos en problemas de optimización de la planificación estática de
sistemas eléctricos de potencia. Se enfoca, la expansión de los sistemas de
transmisión desde la perspectiva técnica, desarrollando un modelo de expansión
estático, el cual es resuelto mediante la técnica de los algoritmos genéticos.
9
E. da Silva, et al., [12], describen la aplicación de un algoritmo genético mejorado
(IGA) para resolver el problema de la planificación de la expansión de la red de
transmisión eléctrica (TNEP). Los algoritmos genéticos (GA) han demostrado ser
capaces de resolver los problemas de optimización no-convexo, no-lineal y entero-
mixto, como es el problema de TNEP y mucho mejor que la diferentes
metodologías matemáticas. Algunas características especiales han sido añadidas
al algoritmo genético básico (GA) para mejorar su rendimiento en resolver el
problema de TNEP. Los resultados obtenidos revelan que el AG representa un
enfoque prometedor para resolver el problema. En este trabajo, son enfatizados
los aspectos teóricos del AG aplicado al problema.
En base a la revisión bibliográfica, esta investigación sigue los lineamientos
expuestos en [3] y [7].
1.5.1 Estado del Arte
El estado del arte en que se encuentra el tema de investigación en el país, no se
tiene conocimiento de estas metodologías que se hayan aplicado, por lo tanto, es
una temática nueva.
A nivel internacional, se aplicaron algunas metodologías para la expansión de los
sistemas eléctricos tomando modelos DC.
1.6 Hipótesis
La hipótesis de la investigación, se resume a lo siguiente:
LLaa aapplliiccaacciióónn ddee llooss algoritmos genéticos aall pprroobblleemmaa ddee llaa ppllaanniiffiiccaacciióónn ddiinnáámmiiccaa
ddee llaa eexxppaannssiióónn ddeell ssiisstteemmaa ddee ttrraannssppoorrttee eellééccttrriiccaa,, ppeerrmmiittee mmiinniimmiizzaarr llooss ccoossttooss
ddee iinnvveerrssiióónn ddeell ssiisstteemmaa eellééccttrriiccoo,, lloo qquuee rreeppeerrccuuttiirráá eenn llaa rreedduucccciióónn ddee llaa ttaarriiffaa ddee
llaa eenneerrggííaa eellééccttrriiccaa ppaarraa llooss ccoonnssuummiiddoorreess ffiinnaalleess bboolliivviiaannooss..
10
II METODOLOGÍAS DE PLANIFICACIÓN
2.1 Introducción
En este capítulo, se presenta las metodologías empleadas para la planificación de
la expansión de las redes de transporte de energía de alta tensión. Se consideran
las metodologías estáticas y dinámicas.
2.2 El Mercado de la Energía Eléctrica
Con la desregulación de los sistemas eléctricos de potencia en el mundo, el
negocio de la electricidad dejó de ser un monopolio, es decir, el esquema donde
un solo agente, generalmente el estado, era el dueño de todas las actividades
concernientes con dicho negocio y escasa participación de privados, y se convirtió
en un esquema de mercado abierto, en donde cada actividad puede ser realizada
por distintos agentes, los cuales compiten en este mercado, procurando el
mejoramiento de la calidad y la eficiencia de este servicio público.
En un modelo neo - liberal; se tiene la premisa de que los precios de los bienes
deben estar fijadas por la oferta y demanda.
El modelo de mercado valoriza dos conceptos: la competencia por un lado y por
otro una forma de asignación de recursos a través del sistema de precios.
Se revaloriza la competencia y el nivel de los precios como emisores de las
señales de inversión.
Mientras que en un modelo estatista, las tarifas eléctricas son fijadas por el
estado, las inversiones son ejecutadas por las entidades del estado. En este
modelo, a la larga los servicios públicos sufren un deterioro en cuanto a calidad.
11
En general, la prestación es más deficiente y presenta un creciente deterioro
debido a que el modelo privilegia el asistencialismo quedando de lado la eficiencia
y eficacia de las políticas económicas.
2.2.1 El Mercado de la Energía Eléctrica en Bolivia
En el caso boliviano, la Ley de Electricidad de 1994 y su Reglamentos determina
que la competencia en el sector eléctrico se encuentra restringida por
condicionamientos tecnológicos que hacen que, para una optimización de las
inversiones, la prestación del servicio de transporte y distribución se realice en
condiciones monopólicas.
Mientras que en el sistema de generación, si es posible establecer una
competencia que permita determinar el costo óptimo realizando un despacho
económico.
Esta estructura de mercado, aunque intenta tener las mismas particularidades de
los mercados normales, como son: que la oferta y la demanda es el resultado
interno de la interacción de factores internos y externos, que el precio del producto
lo establece la relación oferta-demanda, y que la decisión tomada por uno de los
agentes afecta directamente el desempeño de los demás.
Dentro de este ámbito la expansión de los sistemas de generación, transporte y
distribución debe ser enfocada con criterios de optimización.
En el país, la planificación de la expansión del sistema de transporte debe ser
encarada por la Superintendencia de Electricidad (SIE), la cual diseñará un
mecanismo de competencia en la expansión, a través de convocatorias públicas y
asignación del proyecto a través del menor valor presente netos de los flujos del
proyecto dentro de su vida útil, descontados a una tasa determinada por el ente
regulador, SIE.
12
2.2.2 Otros Mercados Eléctricos
En diferentes regiones y países del mundo a partir de 1978 se han ido
produciendo cambios estructurales en el sector energía, con políticas orientadas a
la formación de un entorno competitivo a nivel empresarial, con la finalidad de
mejorar la calidad del servicio, de impulsar la expansión del servicio eléctrico, y de
optimizar la tarifa de electricidad.
En este nuevo esquema, cada una de las empresas debe buscar sus formas de
financiación guiados por la ley de oferta y demanda, caso muy claro en los
agentes que tienen que ver con la Generación, donde se puede competir con
precios, en los agentes comercializadores, quienes ofertan precios de
compraventa de la energía, en los agentes distribuidores, que en gran medida
tienen el monopolio en su área de influencia, e intentan obtener el mejor precio
para aumentar sus ganancias.
Sin embargo, en el caso de la transmisión, se presenta un fenómeno de monopolio
por la misma naturaleza de los sistemas eléctricos de Potencia.
El sistema de transmisión es el encargado de llevar la energía desde los puntos de
generación hasta los puntos de consumo, por lo tanto, consiste en una red,
generalmente enmallada, que interconecta todos los puntos de un sistema, hecho
por el cual, intentar establecer una política de competencia entre varios agentes
Transmisores se convierte en una tarea muy compleja.
Lo anterior es particularmente válido si se analiza la física del problema, ya que no
existe una forma clara de determinar si el electrón producido por el Generador X
está siendo transportado por la línea Y perteneciente a la empresa transportadora
Z. Por lo tanto, si existieran dos o mas agentes transportadores sería difícil
determinar a quien cobrarle por el uso de determinadas líneas.
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De otro lado existe otro aspecto, no menos complejo, de si un transportador debe
pagarle a otro que participa del mismo sistema y que tiene sus líneas menos
cargadas, por la viabilidad de su operación, ya que el otro sistema está de alguna
manera, haciendo factible su operación gracias al nivel de confiabilidad total de
sistema.
Por estos motivos, entre otros, los sistemas de Transmisión han permanecido
como un monopolio, que también es regulado, el cual recibe sus ganancias por el
uso que los demás agentes hacen del sistema, conocido como cargos por uso, los
cuales son pagados en distintas proporciones por estos dependiendo de la
regulación.
Los costos de las empresas transmisoras se puede clasificar en dos grupos: El
costo de inversión que incluye la construcción de las líneas, subestaciones y
centro de control, y los costos de administración, operación y mantenimiento
(AOM), que incluye al personal vinculado a la operación de estas instalaciones, los
gastos para el mantenimiento de las instalaciones, seguridad y otros. En el caso
general, el costo de administración, operación y mantenimiento anual representa
alrededor de un 2.5% del costo de inversión reconocido en los procesos de fijación
de la remuneración de la transmisión.
Por otra parte, las inversiones realizadas en transmisión tienen características de
costos hundidos, al poseer un bajo valor residual si dejan de operar, a lo que se
une el hecho que la inversión en incrementos de capacidad del sistema sólo se
pueden llevar a cabo de forma discreta, existiendo indivisibilidades en la inversión.
Líneas de transmisión.
Cada tipo de línea de transmisión se caracteriza por: el voltaje nominal; la
resistencia y reactancia serie por unidad de longitud; la susceptancia en derivación
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por unidad de longitud; la corriente máxima; la vida útil; los costos relativos a: la
inversión, la operación y el mantenimiento; y los factores de escalamiento de las
distintas componentes de costo.
La capacidad nominal de una línea de transmisión se determinará por el límite
máximo de transporte el cual se determina por el mínimo valor entre el límite
térmico de los conductores, el límite de transmisión por regulación de tensión y el
límite por estabilidad transitoria y dinámica.
Transformadores
En la implementación de la expansión del sistema de transmisión, será necesario
instalar un banco de transformadores de potencia para elevar la tensión de
transmisión y así reducir las pérdidas de transmisión.
La cargabilidad de los transformadores se mide por su capacidad de corriente
nominal, para tener en cuenta las variaciones de tensión de operación con
respecto a la tensión nominal del transformador.
En la modelación cada línea tiene sus terminaciones que se pueden considerar
que tienen el mismo costo de instalación.
La planificación de la expansión de los sistemas de transmisión de potencia
eléctrica tiene como propósito determinar la red de transmisión que debe ser
construida para un escenario futuro de tal forma que minimice la inversión, la
operación, la administración, el mantenimiento y las pérdidas de energía, y que
permita abastecer de energía eléctrica a todos los usuarios.
La planificación de la expansión de la transmisión puede tomar varias formas, las
cuales tienen el siguiente orden prioritario: la planificación estática, el cual
determina que y donde instalar los nuevos elementos de la red, la planificación
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dinámica que, además de lo anterior, define cuando deben ser instalados dichos
elementos, y los dos anteriores en ambientes competitivos o de mercado abierto,
que deben definir además la estructura y los equipos necesarios para favorecer
económicamente a todos los agentes que participan en el mercado de electricidad.
Matemáticamente, la planificación de la expansión es un problema de optimización
que debe ser solucionado usando métodos de programación no lineal entera –
mixta (PNLEM). Esto significa que es un problema que involucra funciones no
lineales y que algunas de las variables son números reales (potencias por las
líneas, ángulos del voltaje, etc.) y otras son números enteros (número de líneas o
transformadores que deben ser adicionados). Si a esto se agrega el hecho de que
generalmente los sistemas de transmisión de potencia eléctrica son de gran
tamaño, se puede tener configurado un problema de alta complejidad matemática.
2.3 Planificación Estática
Si se considera una sola etapa, el problema se convierte en un problema estático,
es decir, que las cargas y generaciones no cambian en el tiempo.
2.3.1 Modelo Matemático
La función objetivo se define como la suma del costo de inversión de nuevos
circuitos, la penalización por cortes de carga y los costos de generación.
Aij
N
1i
N
1iigiCgeiriijnijCz
El problema de expansión de transmisión es determinar el conjunto de variables
reales { ir,ig,i ; i = 1... N} y el conjunto de variables enteras no negativas {nij ;
arcij} que minimizan la función objetivo z, sujeto a las siguientes restricciones:
16
Ecuaciones de flujo en la Red
El modelo de flujos de potencia DC representa las ecuaciones de flujo en la red.
Así, el flujo de potencia a través de un circuito en el arco i-j se expresa en términos
de los ángulos de tensión en los nodos i y j, y de la susceptancia del circuito:
)ij(ijijf
El flujo de potencia a través del arco i-j se expresa en función del número de
circuitos en el arco:
)ij(ij)oijnijn(arcf ij
Las ecuaciones de balance en los nodos toman la forma:
idirigOarc
arcfDarc
arcfiij
ijiij
ij
El ángulo de la tensión en el nodo de referencia es igual a cero:
0referenciadenodo
Límite de flujos en los arcos
maxijf)o
ijnijn(ijij)oijnijn(
Capacidad de generación
N...1i;maxigigmin
ig
Límite de cortes de carga
N...1i;idir0
Límite del número de circuitos en los arcos
N...1i;maxijnijn0
donde:
A Conjunto de arcos
N Número de nodos
Arcij Arco que conecta el nodo i con el nodo j. Por convención, el nodo i es el
origen y el nodo j es el destino del arco i-j.
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Oi Conjunto de arcos cuyo origen es el nodo i.
Di Conjunto de arcos cuyo destino es el nodo i.
oijn Número de circuitos que existen inicialmente en el arco i-j.
Cij Costo de adición de un circuito en el arco i-j.
Cgei Costo de generación en el nodo i.
di Carga en el nodo i durante la condición de demanda k.
αi Valor de un corte de carga en el nodo i.
maxijn Número máximo permitido de circuitos a agregar en el arco i-j.
maxijf Capacidad máxima de flujo de un circuito en el arco i-j.
fij Flujo de un circuito del arco i-j. Es positivo si los flujos de potencia van del
nodo i al nodo j.
farcij Flujo a través del arco i-j.
ij Susceptancia de un circuito en el arco i-j.
maxig Capacidad máxima de generación en el nodo i.
nij Número de nuevos circuitos en el arco i-j.
gi Generación en el nodo i.
θi Ángulo fase de la tensión en el nodo i.
ri Corte de carga en el nodo i.
z Función objetivo
2.4 Planificación Dinámica
Al considera, el tiempo, la demanda crece por tanto se debe expandir también la
generación, entonces se tiene un problema dinámico.
2.4.1 Modelo Matemático
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El problema de la planificación de expansión de transmisión se puede desarrollar
vía un modelo optimización.
El problema es determinar el periodo, tipo y ubicación de nuevas adiciones de la
instalación de transmisión dadas el costo de la inversión y la producción, el
beneficio del consumidor, y las restricciones sobre la confiabilidad y las
capacidades de los equipos. El modelo de optimización es un problema de
programación no lineal entero – mixto.
El problema es planteado de la siguiente manera:
hh r
hh gyy m
yy 2yy 1
Tt Nr))ht,yt(drP(rR)yt(r
Tt Nz))ht,yt(gzP(gzC)yt(z
Tt Nm))yt(mn(mC)yt(m
Tt j))yt(jq),yt(jX(jC)yt(j
Tt i))yt(iq),yt(iB(iC)yt(imin
Sujeto a las siguientes restricciones:
Límite de la expansión de la línea de transmisión
max,mnTt
)yt(mn0yy
Límite de capacidad de switcheo de la compensación shunt
19
y
y
yy
T
1t)yt(iB)ht,yt()k(
iB0
1,0)yt(iqmax,iB)yt(iq)yt(iB0
max,iBTt
)yt(iB0
Límite de capacidad de la compensación serie
y
y
yy
T
1t)yt(jX)ht,yt()k(
jX0
1,0)yt(jqmax,jX)yt(jq)yt(jX0
max,jXTt
)yt(jX0
Ecuaciones de flujo de potencia bajo condiciones normales de operación y
contingencias
j)ht,yt()k(
ijcos)ht,yt()k(ijB)ht,yt()k(
ijsen)ht,yt(Gij)ht,yt()k(iV)ht,yt()k(
iV)ht,yt(iQ
j)ht,yt()k(
ijsen)ht,yt()k(ijB)ht,yt()k(
ijcos)ht,yt(Gij)ht,yt()k(iV)ht,yt()k(
iV)ht,yt(iP
Límite del Margen de estabilidad de tensión bajo condiciones normales de
operación y contingencias
)k(minM)ht,yt()k(M
Límite de magnitud de tensión bajo condiciones normales de operación y
contingencias
)k(max,iV)ht,yt()k(
iV)k(min,iV
Límite de flujo de potencia en líneas de transmisión bajo condiciones
normales de operación y contingencias
20
)k(max,ijS)ht,yt()k(
ijS
Límite de generación bajo condiciones normales de operación y
contingencias
)yt(max,gzQ)ht,yt(gzQ)yt(min,gzQ
)yt(max,gzP)ht,yt(gzP)yt(min,gzP
Límite de la demanda de consumo bajo condiciones normales de operación
y contingencias
)yt(max,drQ)ht,yt(drQ)yt(min,drQ
)yt(max,drP)ht,yt(drP)yt(min,drP
Crecimiento Generación/carga con relación 1 y factor de potencia
constante
))drpfcos(atan()yt(max,drP)yt(max,drQ
)1yt(max,drP)yt(max,drP
))gzpfcos(atan()yt(max,gzP)yt(max,gzQ
)1yt(max,gzP)yt(max,gzP
donde:
La función de objetivo (1) es minimizar gastos de inversión y producción
durante el período de planificación.
)yt( es el factor de descuento para el año ty (se proporciona factores de
descuento diferentes para los términos diferentes, reflejando el hecho de
que las organizaciones diferentes pueden prestarse en tasas de interés
diferentes); )yt(iq y )yt(iq son variables de decisión binaria para la
compensación shunt y serie en el nodo i y la rama j, respectivamente, en el
año ty;
))yt(iq),yt(iB(iC es el costo de instalación de la compensación shunt en
el nodo i;
)yt(iB es el monto de la compensación shunt bajo la decisión de
instalación )yt(iq ;
21
))yt(qj),yt(jX(jC es el costo de instalación de la compensación serie en la
rama j, )yt(jX es el monto de la compensación serie bajo la decisión de
instalación )yt(jq ;
))yt(jq),yt(jX(jC es el costo de instalación de los )yt(mn circuitos para la
rama m las cuales podrían ser seleccionadas entre cualquier par de nodos
factibles seleccionadas;
))ht(gzP(gzC es la función costo de producción de potencia activa del
generador z;
))th(drP(rR es la función de beneficio del consumidor r.
Las variables de decisión son ),yt(jq),yt(jX),ht,yt()k(iB),yt(iq),yt(iB
)th(drP),ht(gzP),yt(mn),ht,yt()k(jX . Se supone que iV es conocido para cada
nodo de generación, y el factor de potencia es conocido para cada nodo de carga.
Th es el conjunto de todas horas dentro de un período de planificación.
Ty es el conjunto de todos años dentro de un período de planificación.
)yt(mn es el número de circuitos añadido para la rama m en el año ty,
)yt(mn es un número entero de no negativo.
El subíndice k=0 corresponde a no contingencia, k = 1 a la primera
contingencia, a k = 2 para la segunda contingencia, etcétera.
)ht,yt()k(jX),ht,yt()k(
iB son los montos de compensación shunt/serie bajo
la contingencia k durante el año ty y la hora th.
1 , 2 son ubicaciones candidatos para la compensación shunt y serie
respectivamente.
Nm es el conjunto de candidato ubicaciones para nuevas líneas de
transmisión.
Ng es el conjunto de generadores graduables.
Nr es el conjunto de nodos de carga.
22
)ht,yt(gzP es la potencia activa de salida del generador z durante el año ty
y la hora th.
)ht,yt(drP es la demanda de potencia activa de la carga r durante el año ty
y la hora th.
)ht,yt(iP es la inyección de potencia activa en el nodo i durante el año ty y
la hora th.
)ht,yt(iQ es la inyección de potencia reactiva en el nodo i durante el año ty
y la hora th.
)th,ty()k(ijB),th,ty()k(
ijG son funciones de la compensación shunt/serie
)th,ty()k(jX),th,ty()k(
iB y de la nueva línea de transmisión adicionada
)yt(mn .
M, M(k) es el margen de estabilidad de tensión bajo condiciones normales y
contingencias respectivamente y están en función de las variables de
decisión. El margen de estabilidad de tensión es definida como la distancia
entre la posición de nariz (la posición del nodo de bifurcación de silla) del
potencia de sistema - curva de tensión (PV) y carga total de potencia activa
del sistema en una condición operativa en particular.
V, V(k) son las magnitudes de las tensiones del nodo bajo la condición
normal y contingencias respectivamente y están en función de las variables
de decisión.
S, S(k) son los flujos de potencia a través de líneas de transmisión bajo
condición normal y contingencias respectivamente y están en función de las
variables de decisión.
23
2.5 Modelación Dinámica Integrada
El problema de planificación de la expansión de las capacidades de generación y
transmisión de los sistemas de energía eléctrica puede ser representado por el
siguiente modelo de optimización general:
h)y(F)x(Eb)x(A
:a.s)y(d)x(czMin
donde:
x variables de inversión (decisiones respecto a las capacidades de
generación y transmisión);
c(x) Costo asociado a las decisiones de inversión;
A(x) ≥ b Restricciones asociadas a las decisiones de inversión (restricciones
financieras, cronograma de construcciones, límites físicos de
instalación, etc.); y representa las variables de operación del sistema
(decisiones respecto al nivel de generación en barras, corte de
carga, flujos en las líneas y transformadores, etc.);
d(y) Costo asociado a las decisiones de operación;
E(x)+F(y) ≥ h Restricciones asociadas a las decisiones de operación (que
dependen a su vez de las decisiones de inversión realizadas).
En la planificación dinámica integrada, las decisiones sobre las inversiones en
generación y transmisión son realizadas simultáneamente, a lo largo de los años
que constituyen el horizonte de planificación. A partir de las informaciones
referentes a los valores de la demanda previstos para cada año, junto con las
capacidades instaladas y candidatas de generación y transmisión (con sus
respectivos costos de operación e instalación), se determina donde y cuantos
nuevos equipos deben ser instalados y también se determina cuando deben ser
realizadas las nuevas inversiones de modo que el valor presente o futuro del costo
total de operación y expansión del sistema eléctrico sea minimizado.
24
En la formulación del problema de optimización correspondiente, el continuo
crecimiento de la demanda y de la generación a lo largo del tiempo, es
aproximado a aumentos discretos que ocurren en años específicos, los cuales van
a definir las diferentes etapas representadas. En cada etapa del horizonte de
planificación, se asume que el sistema permanece inalterado, es decir, que la
demanda no cambia en ese periodo, como se muestra en la Fig. 2.1.
Fig. 2.1 Crecimiento hipotético de la demanda en el tiempo.
La función objetivo de este problema de optimización presenta una parte
relacionada con la inversión, representada por c(x) y otra relacionada con la
operación, representada como d(y). En la figura 2.2, se tiene una representación
en el tiempo de los costos involucrados en la expansión de la capacidad y de la
operación del sistema.
El año t0 sirve de base para el cálculo de los valores presentes de los costos de
inversión y de operación y, en nuestro caso, asumiremos que es el límite inferior
del horizonte de planificación. El año tT es el límite superior de dicho horizonte.
Finalmente, se considera que los equipos vinculados a las inversiones de la etapa
k deben estar disponibles para operar a partir del instante tk.
25
La parte de la función objetivo, z, relacionada con la inversión corresponde a la
sumatoria del valor presente de los recursos necesarios para la construcción de
las unidades generadores, líneas de transmisión y transformadores en las
diferentes etapas consideradas. Esto se representa como c1(x), c2(x), ...,cT(x) en la
Fig. 2.2. La parte de v relacionada con la operación corresponde a la sumatoria del
valor presente de los costos anuales de operación del sistema a lo largo de todo el
horizonte considerado. Esto se representa como d1(y), d2(y), ...,dT(y) en la Fig. 2.2.
Fig. 2.2 Costos involucrados en el periodo de planificación.
Además, es necesario hacer notar, que en la investigación se considera una
metodología cuantitativa que se inscribe principalmente dentro del positivismo
como toda ciencia de la ingeniería.
26
III DESARROLLO DEL SOFTWARE
3.1 Introducción
En el presente capítulo, se desarrolla la herramienta para la planificación dinámica
para la planificación dinámica de la expansión de sistemas de transporte de
energía eléctrica aplicando la técnica de los algoritmos genéticos.
El desarrollo del software se basa en la técnica de los algoritmos genéticos
desarrollado en un trabajo de investigación dentro de la línea de investigación de
la Carrera de Ingeniería Eléctrica y Electrónica [8].
3.2 Lenguaje de Programación
El programa se desarrolló en una computadora personal, sistema operativo
Windows XP. Para la codificación se utilizó el lenguaje de programación: DIGITAL Visual Fortran Version 6.0, Standard and Professional Editions.
El lenguaje FORTRAN, es un lenguaje de programación ideal para el campo de la
ingeniería.
El programa fuente EXPANDIN, ocupa 18 kB y el programa ejecutable, ocupa 421
kB. En el Anexo A, se muestra el listado del programa fuente.
3.3 Algoritmo Genético Propuesto para la Planificación
Para el problema de la planificación dinámica, un individuo del algoritmo genético
se presenta por una matriz de dimensión (n x nr), donde n es el número de etapa y
27
nr es el número de enlaces candidatos del sistema. En cada etapa del individuo se
determina el número de enlaces –líneas de transmisión- a ser insertadas en esa
etapa. Por ejemplo, en la codificación mostrada en la Fig. 3.1, se tiene que en el
enlace 3 – 5 en la etapa 1 no se tiene que insertar ninguna línea y en la etapa n,
se tiene que insertar una línea.
FIg. 3.1 Un individuo del algoritmo genético.
3.3.1 Codificación Empleada
Para la codificación del individuo candidato, se utilizo la codificación entera, es
decir, el número de enlaces candidatos se representa por un entero que
representa el número de líneas candidatos para una determinada rama de la red
eléctrica.
3.3.2 Recombinación
Para el intercambio del material genético, se consideran dos padres y la
recombinación se realiza en un punto que se elige aleatoriamente y se generan
dos descendientes. En la Fig. 3.2, se muestra el hijo 1 que resulta de la
combinación del padre 1 y padre 2. La combinación se realiza entre individuos de
la etapa.
28
Fig. 3.2 Aplicación del operador cruza.
3.3.3 Mutación
La mutación es aleatoria para cada etapa. En la Fig. 3.3, se muestra la aplicación
del operador mutación.
Fig. 3.3 Aplicación del operador mutación.
29
El operador cruza considerado, ubicado el enlace a mutar, incrementa en una
unidad el número de enlace del enlace.
3.4 Generación de la Población Inicial en la Planificación Dinámica
En el problema de la planificación estática [8], la población inicial se genera
aleatoriamente, utilizando el mismo algoritmo, se puede obtener m
configuraciones iniciales. En el caso de la planificación dinámica, es necesario
utilizar un procedimiento que combine o no, la metodología mencionada. En
general, se puede generar la población inicial para resolver el problema de la
planificación dinámica de la expansión de la transmisión de sistemas eléctricos, de
la siguiente manera: [7]
1. Seleccionar aleatoriamente uno de los períodos en que se ha dividido el
horizonte de planificación. Este se denominará período k.
2. Resolver el subproblema estático resultante, desde el año cero hasta el último
año del período k seleccionado aleatoriamente en el paso 1.
3. Tomar el resultado de la planificación estática, hasta el período k, como
configuración base.
4. Partiendo de la configuración base obtenida hasta el período k, resolver el
subproblema estático resultante entre el período k y el período k+1. Tomar el
resultado obtenido para k+1 como base para resolver el subproblema estático
hasta k+2.
5. Repetir el paso 4, resolviendo secuencialmente los subproblemas estáticos
entre períodos consecutivos, hasta llegar al último período de planificación.
6. A partir de la configuración base obtenida para el período k, retirar circuitos
aleatoriamente para obtener la configuración del período k-1. Tomar el
resultado obtenido para el período k-1 como base para obtener la
configuración de k-2.
30
7. Repetir el paso 6, desplanificando sucesivamente entre períodos consecutivos,
hasta llegar al año inicial del horizonte de planificación.
8. Repetir todo el procedimiento anterior hasta completar todas las
configuraciones de la población inicial.
3.5 Algoritmo Genético Implementado
Considerando los criterios mencionados anteriormente, fue implementado el
siguiente algoritmo genético AG:
Paso 1: Definir el tamaño de la población N, el número de períodos NTO en que
se divide el horizonte de planificación y determinar la población inicial
utilizando el procedimiento presentado en el inciso anterior.
Paso 2: Para cada configuración (cromosoma) o elemento de la población,
determinar el valor de la función objetivo (‘fitness’).
Paso 3: Aplicar el operador selección por torneo.
Paso 4: Aplicar el operador cruza, de manera sistemática, entre cada par de
configuraciones seleccionadas para participar en la formación de la nueva
generación, hasta generar un número de descendientes igual al tamaño
de la población.
Paso 5: Aplicar el operador mutación de manera sistemática. Regresar al paso 2.
Paso 6: Al terminar el número de generaciones, elegir el individuo de mayor
aptitud que es la solución del problema de la planificación dinámica
31
3.6 Diagrama de Flujo
El algoritmo para resolver el problema de la planificación dinámica, se resume en
el siguiente diagrama de flujo que tiene una estructura general:
Fig. 3.4 Diagrama de flujo del algoritmo implementado.
Comienzo
Inicializar Gen = 1 Población Inicial Aleatoria
Gen <= MaxGen No
Evaluar Aptitud
Selección por Torneo
Cruza
Mutación
Fin
Gen=Gen+1
T <= Tmax
T=T+1
No
Si
Si
32
3.7 Sistema de Prueba
Como sistema de prueba, se utilizó el sistema ejemplo del libro de Enríquez
Harper, pag. 190 [9]. El sistema consta de 4 barras y 4 líneas. Y se consideró
cuatro niveles de carga y generación y los costos típicos y usuales en la
construcción de líneas de transporte de energía.
Asimismo, se consideró 5 posibles enlaces como candidatos para ser construidos,
la cual se puede apreciar en la Fig. 3.5.
Fig. 3.5 Sistema de prueba.
3.8 Análisis de Resultados
Los resultados de la simulación para el sistema de prueba se muestran en el
anexo B.
Con el objeto de compatibilizar los datos con la corrida de flujos de carga, a las
barras se asignan una numeración en forma interna de acuerdo a la barra slack o
referencia elegida.
Los resultados indican que en la 1ra etapa, se deben instalar 2 líneas en paralelo
entre las barras B1 y B4, y una línea entre las barras B1 y B2. En la etapa 2, se
deben instalar 2 líneas entre las barras B1 y B3, una línea entre las barras B1 y B2
y otra entre las barras B3 y B2. Similarmente en la etapa 3. Finalmente en la etapa
33
4, se debe reforzar la línea entre las barras B1 y B2 con dos nuevos enlaces. El
costo resultante de la planificación es de 277 unidades de pesos monetarios.
Estos resultados, se pueden apreciar en las figuras siguientes: Fig. 3.6 al Fig.
3.10.
Fig. 3.6 Topología de la etapa inicial.
Fig. 3.7 Topología resultante de la 1a etapa.
.
34
Fig. 3.8 Topología resultante de la 2a etapa.
Fig. 3.9 Topología resultante de la 3a etapa.
35
Fig. 3.10 Topología resultante de la 4a etapa.
El sistema resultante después del periodo de planificación, se muestra en la Fig.
3.10.
36
IV CONCLUSIONES Y DESARROLLOS
FUTUROS
4.1 Introducción
En este capítulo se presentan las principales conclusiones y los desarrollos futuros
que pueden se enfocados como trabajos futuros de investigación.
4.2 Conclusiones
Las conclusiones que se obtuvieron al finalizar el trabajo de investigación, son los
siguientes:
Es posible desarrollar una herramienta de planificación dinámica
aplicable a la expansión del sistema de transporte del sistema eléctrico
de potencia aplicando la metodología de los algoritmos genéticos.
Los algoritmos genéticos son técnicas heurísticas que se pueden aplicar
exitosamente en problemas de optimización, en este caso, el modelo de
optimización es complejo, multivariable y multietapa que puede ser
resueltos por un software comercial pero tiene un costo elevado y no es
de libre disponibilidad.
La Universidad, puede apoyar al desarrollar de herramientas con
recursos limitados.
Por la escasa carga horaria asignada (2 horas semanales) no se pudo
aplicar a un sistema eléctrico real.
37
4.3 Desarrollos Futuros
Quedaron en el tintero algunas ideas y por otra parte se tuvo que simplificar
algunas temáticas, por tanto, se plantea como desarrollos futuros los siguientes
temas:
La investigación e implementación de la notación binaria de los enlaces
candidatos. En este trabajo se considero una notación entera solamente.
La solución obtenida, tendría que ser corroborada en cada caso por el
corrido de un flujo de potencia completo, es decir, un flujo AC. Por las
simplificaciones consideradas, en este trabajo se utilizó un flujo DC.
Con el objeto de realizar una modelación más precisa, es necesario
estudiar el efecto de los márgenes de estabilidad transitoria y dinámica
para el margen de cargabilidad de las líneas de transmisión.
38
Referencias Bibliográficas
[1] Michael Emmerton, Don Somatilake, Probabilistic Transmission Planning Comparative Options & Demonstration. Parsons Brinckerhoff Associates,
August 2004.
[2] Jean-Pierre Léotard, Transmission Pricing and Incentives for Investments under Uncertainty in the Deregulated Power Industry. Thesis Master of
Science, Massachusetts Institute Of Technology, February 1999.
[3] J. Ceciliano y R. Nieva, ‘Planeación de la Expansión de Transmisión con
Programación Evolutiva’. Boletín IEE, julio/agosto 1999, pag. 174-180.
[4] J. A. Hernández, et al., ‘PEGyT II: Modelo para la Planeación Integrada de la
Expansión de los Sistemas de Generación, Transmisión y Transporte de Gas
Natural’. Boletín IEE, julio/agosto 1999, pag. 174-180.
[5] A. Escobar et al., ‘Planificación estática y Dinámico de la Transmisión en
Ambientes Competitivos’. Jornadas Internacionales de Energía Eléctrica 2001 – Bogotá D.C.
[6] J. McCalley, et al., ‘Models for Transmission Expansion Planning based on
Reconfigurable Capacitor Switching’. Chapter 3, Book.
[7] A. Escobar, Planificación dinámica de la Expansión de Sistemas de Transmisión Usando Algoritmos Combinatoriales. Tesis de Maestría,
Universidad Tecnológica de Pereira, Colombia, Febrero 2002.
[8] A. Blanco, Aplicación de Algoritmos Genéticos en la Planificación de Sistemas Eléctricos de Potencia. Trabajo de Investigación, FNI, UTO,
Marzo 2007.
[9] E. Harper, Análisis de Sistemas Eléctricos de Potencia. Editorial Limusa, México, 1989.
[10] I. Silva Junior, Planejamento da Expansão de Sistemas de Transmissão Considerando Segurança e Planos de Programação da Geração. Tese de
Doutor, Universidad Estadual de Campinas, Outubro, 2005.
[11] S. Haffner, O Planejamento da Expansão dos Sistemas Elétricos no
Contexto de um Ambiente Competitivo. Tese de Doutor, Universidad
Estadual de Campinas, Maio, 2000.
39
[12] E. da Silva, et al., ‘Transmission Network Expansion Planning Under an
Improved Genetic Algorithm’. IEEE Trans. Power Syst., vol. 15, pp. 1168-
1175, Aug. 2000.
Anexos
