MATEMTICA IV CICLO II-2012. UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR, FACULTAD DE INGENIERA Y ARQUITECTURA 1

Gua de Ejercicios N 2Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden.

Universidad de El Salvador.Facultad de Ingeniera y Arquitectura.

Unidad de Ciencias Bsicas.

A. VARIABLES SEPARABLES.

EN los ejercicios del 1 al 24 resuelva la ecuacin diferen-cial por separacin de variables.1) dydx = (x+ 1)

2

2) dx x2dy = 03) ex dydx = 2x4) dydx + 2xy = 05) dydx =

y+1x

6) dxdy =1+2y2

y sin x

7) exy dydx = ey + e2xy

8)1 + x2 + y2 + x2y2

dy = y2dx

9) x2y2dy = (y + 1) dx

10) dydx =2y+34x+5

211) dQdt = k (Q 70)12) dNdt +N = Nte

t+2

13) sin(3x)dx+ 2y cos3 (3x) dy = 014) sec (x) dy = x cot (y) dx

15) yxdydx =

1 + x2

12 1 + y2 1216) 2 dydx 1y = 2xy17) dydx =

xy+2yx2xy3y+x3

18) sec (y) dydx + sin (x y) = sin (x+ y)19) y

p4 x2dy =

p4 + y2dx

20) (x+px) dydx = y +

py

21)1 + x4

dy + x

1 + 4y2

dx = 0; y (1) = 0

22) dydt + ty = y; y (1) = 3

23) dydx =y21x21 ; y (2) = 2

24) y0+ 2y = 1; y (0) = 52

B. SOLUCIONES POR SUSTITUCIN (E.D.HOMOGNEAS)En los ejercicios del 1 al 7 resuelva la ecuacin diferencial

usando una sustitucin adecuada.1) (x+ y) dx+ xdy = 02) ydx = 2 (x+ y) dy3)y2 + yx

dx+ x2dy = 0

4) dydx =x+3y3x+y

5) x dydx y =px2 + y2

6)x2 + 2y2

dydx = xy; y (1) = 1

7) ydx+ x (lnx ln y 1) dy = 0; y (1) = e

C. ECUACIONES EXACTASEn los ejercicios del 1 al 14 determine si la ecuacin

respectiva es exacta. Si lo es, resulvala.1) (2x+ y) dx (x+ 6y) dy = 02) (sin y y sinx) dx+ (cosx+ x cos y y) dy = 03)2y 1x + cos (3x)

dydx +

yx2 4x3 + 3y sin (3x) = 0

4)1 + lnx+ yx

dx = (1 lnx) dy

5)x3 + y3

dx+ 3xy2dy = 0

6) 2xy dx x2

y2 dy = 0

7)3x2y + ey

dx+

x3 + xey 2y dy = 0

8) (5y 2x) dydx 2y = 09) (3x cos (3x) + sin (3x) 3) dx+ (2y + 5) dy = 010)

2y sinx cosx y + 2y2exy2

dx =

x sin2 x 4xyexy2dy

11)1x +

1x2 yx2+y2

dx+

yey + xx2+y2

dy = 0

12) (ex + y) dx+ (2 + x+ yey) dy = 0; y (0) = 113)

3y2x2y5

dydx +

x2y4 = 0; y (1) = 1

14)

11+y2 + cosx 2xy

dydx = y (y + sinx) ; y (0) = 1

En los ejercicios del 15 al 18 determine el valor dek para que la ecuacin diferencial correspondiente seaexacta

15)2x y sin (xy) + ky4 dx 20xy3 + x sin (xy)

dy = 0

16)6xy3 + cos y

dx+

kx2y2 x sin y dy = 0

17)y3 + kxy4 2x dx+ 3xy2 + 20x2y3 dy = 0

18)2xy2 + yex

dx+

2x2y + kex 1 dy = 0

En los ejercicios del 19 al 21 resuelva la ecuacinrespectiva comprobando que la funcin indicada (x; y)sea un factor intgegrante.

19) y2dx+ x2 + xy dy = 0; (x; y) = 1x2y20) y (x+ y + 1) dx+ (x+ 2y) dy = 0; (x; y) = ex

21)x2 + 2xy y2 dx + y2 + 2xy x2 dy =0; (x; y) = (x+ y)

2

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D. ECUACIONES LINEALES.En los ejercicios del 1 al 29 encuentre la solucin general

de la ecuacin diferencial dada. Especique un intervalo en elcual est denida la solucin.1) dydx + 2y = 02) x dydx + 2y = 33) dydx = y + e

x

4) y0+ 2xy = x3

5) y0= 2y + x2 + 5

6) dydx = x+ y7)1 + x2

dy +

xy + x3 + x

dx = 0

8)1 x3 dydx = 3x2y

9) dydx + y cotx = 2 cosx10) (1 + x) y

0 xy = x+ x211) xy

0+ (1 + x) y = ex sin (2x)

12) (1 cosx) dy + (2y sinx tanx) dx = 013)

x2 + x

dy =

x5 + 3xy + 3y

dx

14) (x+ 1) dydx + (x+ 2) y = 2xex

15) xy0+ 2y = ex + lnx

16) ydx = (yey 2x) dy17) dPdt + 2tP = P + 4t 218)

x2 1 dydx + 2y = (x+ 1)2

19) dx = (3ey 2x) dy20) x2y

0+ x (x+ 2) y = ex

21) ydx 4 x+ y6 dy = 022) cosx dydx + y sinx = 123) drd + r sec = cos 24) x dydx + (3x+ 1) y = e

3x

25) y0= 2y + x

e3x e2x ; y (0) = 2

26) xdy + (xy + 2y 2ex) dx = 0; y (1) = 027) dQdx = 5x

4Q;Q (0) = 728) y dxdy x = 2y2; y (1) = 529) xy

0+ y = ex; y (1) = 2

En los ejercicios 30 a 33 determine una solucin con-tinua que satisfaga la ecuacin diferencial dada y lacondicin inicial indicada. Trazar la curva solucin.

30) dydx + y = f (x) ; f (x) =1; 0 6 x 6 11; x > 1 y (0) = 1

31)1 + x2

dydx + 2xy = f (x) ; f (x) =

x; 0 6 x 6 1x; x > 1

y (0) = 0

32) dydx +2y = f (x) ; f (x) =1; 0 6 x 6 30; x > 3

y (0) = 0

33) dydx +2xy = f (x) ; f (x) =x; 0 6 x 6 10; x > 1 y (0) =

2

En los problemas del 34 al 37 resuelva la ecuacin deBernoulli empleando la sustitucin adecuada.

34) dydx y = exy235) x dydx (1 + x) y = xy236) 3

1 + x2

dydx = 2xy

y3 1

37) py dydx +py3 = 1; y (0) = 4

E. SUSTITUCIONES DIVERSAS.E.D. DE LA FORMA dydx = f (ax+ by + c): En los

ejercicios del 1 al 6, obtener una solucin general de laecuacn diferencial dada1) dydx = tan

2 (x+ y)

2) dydx = 2 +py 2x+ 3

3) dydx = (y 5x)2 44) dydx = 1 + e

yx+5

5) dydx =1xyx+y

6) dydx =p2x+ 3y

REDUCCIN DE ORDEN: En los ejercicios del 1 al 15resolver la ecuacin diferencial dada1) y

000= 3 sinx; y (0) = 1; y

0(0) = 0; y

00(0) = 2

2) 2y(4) = exex; y (0) = y0 (0) = y00 (0) = y000 (0) = 03) y

00+ 4y = 0; y (0) = 3; y

0(0) = 2

4) y(4) = lnx; y (1) = y0(1) = y

00(1) = y

000(1) = 0

5) 1 + yy00+y02= 0 (Sugerencia: reduzca el orden de

la EDO haciendo p = y0)

6) y00+ 2y

0= 4x

7) xp2 + 2px y = 0 donde p = dydx8) y

00= 28 3

px; y (1) = 0; y (0) = 2

9) x3y000= 1 + x4; y (1) = y

0(1) = y

00(1) = 0

10) d2sdt2 + 12t = 16 sin t; s = 2;

dsdt = 4 en t = 0

11)y02+ (y 1) y0 y = 0

12)xy

0+ y

2= x3

13) xy00 3y0 = x2

14) yy00+ 2

y02= 0

15) y00+ 4y = 0

MTODO DE INSPECCIN: En los ejercicios del 1 al8 resolver, agrupando trminos, las ecuaciones diferencialesdadas. Use los siguientes resultadosa) xdyydxx2 = d

yx

b) xdyydxy2 = d

xy

c) xdyydxx2+y2 = d

tan1

yx

d) xdx+ydyx2+y2 = d

12 ln

x2 + y2

e) xdx+ydyp

x2+y2= d

px2 + y2

f) xdxydyp

x2y2 = dp

x2 y2

1) ydx+2x2y x dy = 0

2) ydx+y3 x dy = 0

MATEMTICA IV CICLO II-2012. UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR, FACULTAD DE INGENIERA Y ARQUITECTURA 3

3)x3 + xy2 + y

dx xdy = 0

4)x3 + y

dx+

x2y x dy = 0

5)x

px2 + y2

dx+

y

px2 + y2

dy = 0

6)x2 + y2 + y

dx+

x2 + y2 x dy = 0

7)x x2 y2 dx+ y + x2 + y2 dy = 0

8)x2y + y3 x dx+ x3 + xy2 y dy = 0

EJERCICIOS DE APLICACIN:1) Un termmetro se saca de una habitacin, en donde latemperatura del aire es de 70F , al exterior, en donde latemperatura es de 10F . Despus de 30 s el termmetromarca 50F . Cunto marca el termmetro cuando t =1 minuto? cunto tiempo demorar el termmetro enalcanzar los 15F ?

2) Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodease obtiene tambin la ecuacin dTdt = k (T A). Unapequea barra de metal, cuya temperatura inicial es de20C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo.Calcule el tiempo que dicha barra demorar en alcanzarlos 90C si se sabe que su temperatura aument 2 enun segundo. Cunto demorar la barra en alcanzar los98C?

3) La temperatura de un motor en el momento en que seapaga es de 200C. La temperatura del aire que le rodeaes de 30C. Despus de 10 minutos, la temperatura de lasupercie del motor es 180C. Cunto tiempo tomarpara que la temperatura de la supercie del motor bajea 40C?

4) Algunos experimentos has demostrado que cierta com-ponente se enfra en el aire de acuerdo con la leyde enfriamiento con constante de proporcionalidad de0.2. Al nal de la primera etapa de procesamiento, latemperatura de la componente es 120C. La componentese deja durante 10 minutos en un cuarto grande ydespus pasa a la siguiente etapa de procesado. En esemomento se supone que la temperatura de la superciees 60C. Cul debe ser la temperatura del cuarto paraque se lleve a cabo el enfriamiento deseado?

5) Debe colocarse un objeto a 100C en un cuarto a 40C.Cul debe ser la constante de proporcionalidad en laecuacin de la ley de enfriamiento para que el objetoest a 60C despus de 10 minutos?

6) Un tanque contiene 200 L de un lquido en el cualse disuelven 30 g de sal. Una salmuera que contiene1 gramo de sal por litro se bombea al tanque conuna intensidad de 4 litros por minuto. La solucinadecuadamente mezclada se bombea hacia afuera conla misma rapidez. Encuentre el nmero de gramos desal que hay en el tanque en un instante cualquiera.

7) Si se bombea agua pura al tanque del ejercicio 6,encuentre el nmero de gramos de sal que hay en eltanque en un instante cualquiera.

8) Un gran depsito est lleno con 500 gal de agua pura.Una salmuera que contiene 2 libras de sal por galnse bombea al tanque a razn de 5 galones por minuto.La solucin adecuadamente mezclada se bombea hacia

afuera con la misma rapidez. Encuentre el nmero delibras de sal que hay en el tanque en un instantecualquiera.

9) Si en el problema 8 suponemos que la solucin se extraecon una rapidez mayor de 10 galones por minuto cuntodemorar el tanque en vaciarse?

10) Se bombea cerveza con un contenido de 6% de alcoholpor galn a un tanque que inicialmente contiene 400 galde cerveza con 3% de alcohol. La cerveza se bombeahacia el interior con una rapidez de 3 galones porminuto, en tanto que el lquido mezclado se extrae conuna rapidez de 4 galones por minuto. Obtenga el nmerode galones de alcohol que hay en el tanque en un instantecualquiera. Cul es el porcentaje de alcohol que hay enel tanque despus de 60 min? cunto tiempo demorarel tanque en vaciarse?

11) A un circuito serie, con inductancia de 0:1H y R = 50

se le aplica una tensin de 30 V. Evale la corrientei(t) si i (0) = 0. Determine tambin la corriente cuandot!1:

12) A un circuito serie, con capacitancia de 104 F y R =200 se le aplica una tensin de 100 V. Calcule la cargaq (t) en el capacitor si q (0) = 0 y obtenga la corrientei (t) :

13) A un circuito serie, en el cual la resistencia es 1k y lacapacitancia de 5F se le aplica una tensin de 200 V .Encuentre la carga q (t) en el capacitor si i (0) = 0:4:Determine la carga y la corriente para t = 0:005 s y lacarga cuando t!1:

14) Se aplica una fuerza electromotriz

E (t) =

120; 0 6 t 6 200; t > 20

a un circuito serie con una inductancia de 20 H y unaresistencia de 2 . Determine la corriente i (t) si i (0) =0:

15) Un cono circular recto como el mostrado en la gura1 est lleno de agua. En cuanto tiempo se vaciar atravs del oricio inferior cuya seccin transversal tieneuna rea a?: Suponga que la velocidad de salida es v =kp2gh donde h es la altura instantnea del nivel del

agua como se indica en la gua, y k es el coecientede descarga.

Figura 1