GUÍA DE EJERCICIOS RESUMEN PRUEBA Nº4 MAT200

Programa de MatemáticaDirección de Formación General

GUÍA DE EJERCICIOS RESUMEN PRUEBA Nº 4 ALGEBRA

1. Un ciclista avanza cuesta abajo a razón de cuatro metros el primer segundo y en cada segundo sucesivo avanza un metro más.(2 puntos)

a) ¿Cuánto recorre el ciclista solo a los 11 segundos?b) ¿Cuál fue la distancia total recorrida en los primeros 15 segundos?

DESARROLLO

a) a1=4

d=1

a11=a1+(11−1 )d¿4+10⋅1¿14

Respuesta: Recorre 14 metros

b)

S15=152

(2a1+(15−1 )⋅d )

¿152

(2⋅4+14⋅1 )

¿165Respuesta: La distancia total fue 165 metros

2. Un padre proyecta colocar en un baúl 50.000 pesos el día que su hijo cumpla un año, e ir colocando 5.000 pesos más que el año anterior sucesivamente en todos los cumpleaños. (4 puntos)

a) ¿Cuánto tendrá que colocar el día que su hijo cumpla 18 años? b) ¿Cuánto dinero habrá en total en el baúl, cuando su hijo haya cumplido 18

años? DESARROLLO

a) a1=50 . 000

d=5.000

a18=a1+(18−1)d¿50 . 000+17¿5. 000¿135 .000

Respuesta: Tendrá que depositar 135.000 pesos

b)

S18=182

(2a1+(18−1 )⋅d )

=9(2¿50. 000+17⋅5 . 000)=1 .665 .000

ALGEBRA MAT200 2012-2

0,5 puntos

0,5 puntos

0,5 puntos

0,5 puntos

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0,5 puntos

1

puntos

0,5

puntos1,5

puntos

1


Respuesta: En el baúl habrán 1.665.000 pesos3. María Cecilia ha empezado un plan de ahorro de 30 días para hacer regalos de

Navidad a cada uno de sus compañeros de trabajo del Programa de Matemática. Para esto, ahorrará cada día “d“ pesos más que el día anterior. Si el octavo día ahorró $ 2.900 y el día 20 ahorró $ 5.300. ¿Qué día tendrá ahorrado $3.900? (6 puntos)

DESARROLLOSe tiene

a8=a1+(8−1)d⇒a1+7 d=2.900

a20=a1+(20−1)d⇒a1+19d=5. 300

Resolviendo el sistema, se tiene a y da1+7d=2 . 900

a1+19d=5 . 300 ⇒ a1= $ 1 .500 y d= $200

Así

an=1. 500+(n−1)⋅200=3 . 900 ⇒ 1. 500+200n-200=3 .900

Respuesta: El día en que ahorra $3.900, será el día 13.

4.La sede de Puente Alto crece en alumnos matriculados en forma constante cada

año. Si el segundo año de funcionamiento había 1.950 alumnos y el quinto año

4.500 alumnos. ¿Cuántos alumnos matriculados se podría esperar para el noveno

año? (6 puntos)

DESARROLLOSe tienea2=a1+(2−1 )d⇒a1+d=1.950

a5=a1+(5−1 )d⇒a1+4d=4 . 500

Resolviendo el sistema, se tiene a y da1+d=1 . 950

a1+4 d=4 .500 ⇒ a1= 1. 100 y d= 850

Así

a9=1. 100+( 9−1 )⋅850 ⇒ a9=7 . 900

Respuesta: Habrían 7.900 alumnos matriculados para el noveno año.


1

puntos

1

puntos

2

puntos

1,5

puntos

0,5

puntos

1

puntos

1

puntos

2

puntos

1,5

puntos

0,5

puntos

2

n=13


5.

Un auto deportivo se devalúa (pérdida de valor) en una cantidad constante cada

año. El valor al tercer año es de $15.800.000 y al séptimo es de $12.400.000.

¿Cuánto costará al décimo año? (6 puntos)

DESARROLLO Se tiene

a3=a1+(3−1 )d⇒a1+2d=15.800 .000

a7=a1+(7−1)d⇒a1+6 d=12. 400.000

Resolviendo el sistema, se tiene a y da1+2d=15 . 800.000a1+6d=12 . 400 .000 ⇒ a1= 17 .500 .000 y d= 850 .000

Así

a10=17 .500 .000+(10−1)⋅(−850 .000 ) ⇒ a10=$ 9 .850 . 000

Respuesta: El auto al decimo año costara $9.850.000.-

6. Se arrienda una casa por 2 años con la condición que todos los meses el arriendo irá aumentando en una cantidad constante. El mes 4 se pagó $174.400 y el mes 15 se pagó $227.200. ¿Cuál será el valor del arriendo del primer y último mes?

(6

puntos)

DESARROLLOSe tienea4=a1+( 4−1)d⇒a1+3d=174 .400

a51=a1+(15−1 )d⇒a1+14 d=227 .200

Resolviendo el sistema, se tiene a y d

a1+3d=174 . 400a1+14d=227 .200 ⇒ a1= 160 .000 y d= 4 . 800

Primer mes a=160.000

Asía24=a1+(24−1 )⋅d=160 . 000+23⋅4 .800=$270 . 400


1

puntos

1

puntos

2

puntos

1,5

puntos

0,5

puntos

1

puntos

1

puntos

2

puntos

1,5

puntos

3


Respuesta: El primer mes de arriendo es de $160.000 y el último es de

$270.400.

7. En un laboratorio de biotecnología se estudia la reproducción de una bacteria. Si la cantidad de bacterias se triplica cada 15 minutos. Responda (4 puntos)

a) ¿Cuántas bacterias hay después de transcurridas 3 horas? b) ¿Cuántas bacterias hay después de transcurridas 6 horas?

DESARROLLOa0=1

a1=3

r=3

a) 3 hrs= 180 min 180:15= 12

an=a1⋅rn−1

a12=3⋅312−1

a12=531.441

Respuesta: Hay 531.441 bacterias.

b) 6 hrs= 360 min

360:15= 24

an=a1⋅rn−1

a24=3⋅324−1

a24=2 ,82⋅1011

11

Respuesta: Hay 2,82x10

bacterias.

8. En un estudio realizado a una empresa se tiene que debido a un gran virus el primer

día se infectan dos computadores, el segundo día se infectan cuatro computadores, el tercer día se infectan ocho computadores. Determine: (4 puntos)

a) La cantidad de computadores infectados el decimoquinto día.b) Calcule el total de computadores infectados los 10 primeros días.

DESARROLLO

a1=2 a2=4 a3=8

Por lo tanto


0,5

puntos

1

puntos

0,5

puntos

0,5

puntos

0,5

puntos

1

puntos

0,5

puntos

0,5

puntos4


r=a3

a2

=84=2

a)

an=a1⋅rn−1

a15=2⋅215−1

a15=32. 768

Respuesta: Los computadores infectados al decimo quinto día son 32.768.

b)

sn=

a1⋅(rn−1 )

r−1

S30=

2⋅(210−1)2−1

s10=2 . 046

Respuesta: La cantidad total de computadores infectados son 2.046.

9. Se deja caer una pelota desde una cierta altura (en metros). Cada vez que la pelota golpea contra el piso rebota a una razón de la altura anterior. Si después del quinto rebote la altura alcanzada es de 9,8304 metros y después del segundo rebote la altura es de 19,2 metros. Determine la altura que alcanzará después del

octavo rebote? (6 puntos)

DESARROLLO n: número de rebotean: Altura alcanzada después del rebote número “n”

a2=19,2 a5=9,8304a8=?

Sabemos que a5=¿a ∙r 4→9,8304=∙ r4→9,8304r4

=¿ ¿

a2=¿ ∙r→19,2=∙r→ ¿ 19,2r

=¿

Igualando, se tiene: 9,8304

r4=19,2

r


1

puntos

0,5

puntos

1,5

puntos

0,5

puntos

0,5

puntos

2

puntos

5


9,830419,2

= r4

r 0,512=r3/ 3√❑ 0,8=r

Además: 19,2r

=→ 19,20,8

=→24=¿

Luego, a8=∙ r7→a8=24 ∙0,87=5 ,0331648

Respuesta: La altura alcanzada después del octavo rebote es aproximadamente 5 metros

10. Para un estudio, se tiene un cultivo de bacterias, el que aumenta a una cierta razón cada hora. Se sabe que a la quinta hora había 248.832 bacterias y a la tercera hora había 172.800 bacterias. ¿Cuál será aproximadamente la población total de bacterias al cabo de 1 día? (6 puntos)

DESARROLLO n: número de horasan: Cantidad de bacterias

1 día = 24 horasa5=248.832 a3=172.800

a24=?

Sabemos que a5=¿ ∙r 4→248.832=∙ r4→ 248.832r 4

=¿¿

a3=¿ ∙r 2→172.800=∙ r2→¿ 172.800

r2=¿

Igualando, se tiene: 248.832

r 4=172.800

r 2

248.832172.800

=r4

r2

1,44=r2/❑√❑ 1,2=r

Además: 172.800

r2=→ 172.800

1,22=→120.000=¿

Luego, a24=∙ r

n−1=120.000 ∙1,223=7.949 .68 4,72

Respuesta: La cantidad aproximada de bacterias al pasar 1 día será 7.949 .685


0,5

puntos

2

puntos

1

puntos

0,5

puntos

0,5

puntos

2

puntos

2

puntos

1

puntos

6


11. Se tiene un barril de vino que contiene una cierta cantidad de litros. Cada día de Octubre se extrae el contenido siempre a la misma razón. Se sabe que el día 5 quedan 24 litros y el día 7 quedan 6 litros. Determine la cantidad de litros que quedaron en el barril de vino al segundo día.(6 puntos)DESARROLLO n: díaan: Cantidad de litros de vino que quedan en el recipiente.

a7=6a5=24a2=?

Sabemos que

a5=a1⋅r4 ⇒a1⋅r

4=24⇒a1=24

r4

a7=a1⋅r

6⇒a1⋅r6=6⇒a1=

6

r6

Igualando, se tiene: 24

r 4= 6

r6

r6

r4 =6

24

r2=0 ,25 / 2√

r=0,5

Además:

24

r 4=a1⇒

24

0,54=a1 ⇒a1=384

Así a2=a1¿r

2− 1=384⋅0,51=192

Respuesta: El barril de vino queda con 192 litros.

12. Héctor, padre de Matías decidió guardar una cierta cantidad de dinero desde el primer cumpleaños de su hijo. Esta cantidad fue aumentando a una cierta razón. Él recuerda que en el sexto cumpleaños guardó $6.400 y en el noveno cumpleaños guardó $51.200. ¿Cuánto dinero en total tendrá guardado Héctor al otro día del cumpleaños número 18 de Matías?(6 puntos)DESARROLLOn: tiempo en años, a partir del cumpleaños 1an: Cantidad de dinero guardado en el cumpleaños n.

a6=6.400 a9=51.200S18=?


0,5

puntos

2

puntos

2

puntos

1

puntos

0,5

puntos

7


Sabemos que: a6=¿a1 ∙r

5→6.400=a1 ∙r5…(1)¿

a9=¿a1 ∙r8→ 51.200=a1∙ r

8…(2)¿

Igualando y dividiendo (2)(1)

, se tiene: 51.2006.400

= ∙ r8

∙ r5

8=r3

8=3√r3

2=r

Así remplazando en (1): 6.400

25=a1→200

Por último,

S18=200 ∙(218−1)

2−1=52.428.6 00

Respuesta: Al otro día del cumpleaños n° 18 de Matías, tendrá guardado $52.428.600


0,5

puntos

2

puntos

2

puntos

1

puntos

0,5

puntos

8

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