Espaol

1. Funciones de la lengua

Es cuando el emisor utiliza el lenguaje para transmitir una informacin al enunciatario. Emisor: es la persona que habla.Enunciatario: es el que escucha o capta.Por ejemplo: cuando una persona te dice la hora, o las noticias para estar informado.El lenguaje tiene seis funciones:1. Funcin Emotiva o Expresiva 2. Funcin Conativa o Apelativa 3. Funcin Referencial4. Funcin Metalingstica5. Funcin Ftica6. Funcin Potica

Emisor (funcin emotiva)Situacin (situacin funcional)Receptor (funcin conativa)

Contexto (funcin referencial)

Mensaje (funcin potica)

Cdigo (funcin metalingstica)

Contacto o Canal (funcin ftica)

1.1 Referencial

El acto de comunicacin est centrado en el contexto, o sea, en el tema o asunto del que se est haciendo referencia. Se utilizan oraciones declarativas o enunciativas, pudiendo ser afirmativas o negativas.Ejemplos: - El hombre es animal racional- La frmula del Ozono es O3- No hace fro- Las clases se suspenden hasta la tercera hora

1.2 Apelativa o Funcin conativa:

El nombre conativa deriva del latn "conatus" que sigifica inicio. el receptor predomina sobre los otros factores de la comunicacin, pues la comunicacin est centrada en la persona del t, de quien se espera la realizacin de un acto o una respuesta.Las formas lingsticas en las que se realiza preferentemente la funcin conativa corresponden al vocativo y a las oraciones imperativas e interrogativas.Ejemplos:- Pedro, haga el favor de traer ms caf- Trajiste la carta?- Andrs, cierra la ventana, por favor

1.3 Potica o Funcin potica:Se utiliza preferentemente en la literatura. El acto de comunicacin est centrado en el mensaje mismo, en su disposicin, en la forma como ste se trasmite. Entre los recursos expresivos utilizados estn la rima, la aliteracin, etc.Ejemplos:- Bien vestido, bien recibido- Casa Zabala, la que al vender, regala

1.4 Funcin emotiva o expresiva: El mensaje que emite el emisor hace referencia a lo que siente, su yo ntimo, predominando l, sobre todos los dems factores que constituyen el proceso de comunicacin.Las formas lingsticas en las que se realiza esta funcin corresponden a interjecciones y a las oraciones exclamativas. Ejemplos:- Ay! Qu dolor de cabeza!- Qu gusto de verte!- Qu rico el postre!

1.5 Funcin metalingstica: Se centra en el cdigo mismo de la lengua. Es el cdigo el factor predominante.Ejemplos: - Pedrito no sabe muchas palabras y le pregunta a su pap: Qu significa la palabra canalla?- Ana se encuentra con una amiga y le dice: Sara, A qu operacin quirrgica te refieres?

1.6 Funcin ftica: Consiste en iniciar, interrumpir, continuar o finalizar la comunicacin.Para este fin existen Frmulas: 1. formulas de de Saludo: (Buenos das, Hola!, Cmo estai?, Qui hubo?, etc).2. Frmulas de Despedida: (Adis, Hasta luego, Nos vemos, Que lo pases bien, etc.) 3. Frmulas que se utilizan: para Interrumpir una conversacin y luego continuarla (Perdn....., Espere un momentito..., Como le deca..., Hablbamos de..., etc).

2. Formas del discurso

2.1 DescriptivoEs cuando se hacen las preguntas: Qu hay?, Cmo es?, impresiones, reacciones, ideas, hechos.Ejemplo: se encontr un tiburn gigante, es gris con colmillos gigantes, en Alaska.

El blog es un tipo de texto que puede tener formas muy diferentes. Los hay de fotografas, vdeos, didcticos, etc. Los hay muy dinmicos y actuales, pero otros son ms clsicos. Son, engeneral, innovadores, llamativos, atractivos y, en ocasiones,arriesgados.

2.2 NarrativoEs escribir los actos los hechos, acontecimientos, lo que paso. Qu sucedi?Ejemplo:en libia se unieron para luchar por sus derechos contra el rgimen de ghadafi, miles de personas se alsaron en armas para quitar del poder a ghadafi.

Podemos utilizar la NARRACIN si lo que queremos escontar una serie de sucesos (reales o imaginarios) que nos han ocurrido a nosotros o a otros personajes en un determinado lugar y tiempo:

Queran escribir su diario, pero no trataban de ocultarlo.Tenan ganas de que fuera pblico. Se reunieron en casa de Aitor y pensaron en la forma de editarlo. Por qu no? Podran escribir un blog. Era fcil de crear y se poda publicar sin complicaciones en la Red.

2.3 Argumentativo

Fundamentar con pruebas y evidenciaslo que se dice o pretende probar, una explicacin, discutir, argir y pobrar una idea, demostrar.Ejemplo: hay un auto que funciona con energa solar y no contamina, se debe de probar que en verdad no contamina, y que sirve, o se ha construido.

Pero tambin podramos adoptar un punto de vista diferente, porque no queremos ser objetivos en nuestra exposicin, sino que lo que pretendemos es defender una opinin presentando pruebas y razones para convencer al lector u oyente de la validez de nuestras afirmaciones. Nos serviremos entonces de la ARGUMENTACIN:

Creo que la publicacin de un blog debera ser revisada por alguien antes de colgarse en la Red, porque en l uno puedeexpresar opiniones que pueden ser ofensivas o que pueden ir encontra de la intimidad de las personas y si stas no lo leen no pueden defenderse.

2.4 exposicin

En ocasiones, nuestro objetivo no es otro que presentar ordenadamente y de forma objetiva una serie de ideas sobre un tema para que el lector u oyente las conozca y las comprenda.Estamos ante una EXPOSICIN: Un blog, o en espaol tambin una bitcora, es un sitio web peridicamente actualizado que recopila cronolgicamente textos o artculos de uno o varios autores, apareciendo primero el ms reciente, donde el autor conserva siempre la libertad de dejar publicado lo que crea pertinente.(Wikipedia)

2.5 dialogosi nuestra pretensin es recoger lo que hemos escuchado a otras personas o hemos inventado que han dicho sobre un determinado tema, reproduciendo literalmente sus palabras. Utilizamos para ello el DILOGO: Tengo una idea: podemos escribir un diario. Pero normalmente el diario es secreto. Cmo podrn leerlo? Ah, ya s, podramos crear un blog.

3. Comprensin de lectura

La comprencion de la lectura es el objetivo de la lectura, donde se interpreta y se extrae un significado del texto que se esta leyendo.El lector relaciona sus conocimientos con la nueva informacin que el texto le ilustra.Por ejemplo: un matemtico si quiere resolver un problema y no sabe la formula acude a buscar un libro que lo pueda ayudar a resolver el problema, comprendiendo lo que esta escrito, como usar la formula.

4. GramticaEl espaol es una lengua flexiva de tipo fusional, es decir, en las oraciones se usa preferentemente la flexin para indicar las relaciones entre sus elementos. Sin embargo, como a pesar de su carcter de lengua fusional, tambin recurre al uso de preposiciones, palabras abstractas que sirven de nexo y son invariables. Por la forma en que se marcan los argumentos de los verbos transitivos e intransitivos, se agrupa dentro de las lenguas nominativo-acusativas.En el nombre y el adjetivo las categoras de nmero y gnero son obligatorias, cosa que se manifiesta tanto en las terminaciones como la forma del artculo que requiere un nombre o adjetivo cuando va presidido de artculo. Los pronombres personales distinguen las categoras de nmero y caso y en la tercera persona adems gnero. El verbo distingue sistemtica entre formas de singular y plural, adems tiene formas segn tiempo, modo, aspecto y voz.

4.1 Oracin

los gramticos trataron la oracin como una unin de "sujeto + predicado"si alguien nos dice, pablo ha tenido, necesitamos saber que es lo que ha tenido, entonces es un significado de palabras que no producen un significado completo. Pero si nos dicen pablo ha tenido gripa, es un significado completo, y a ese conjunto de palabras se les llama oracin dramatical o oracin simplemente.Un significado completo es cuando el oyente entiende lo que le digo y contesta a ella (claro si quiere).Oracin simple: es la que tiene un solo verbo conjugado de manera personal: canto, bailo, corro, etc.Ejemplo: Nos montaremos en la montaa rusa, iba silbando por la calle.Oracin compleja o compuesta: es la que tiene 2 o mas verbos conjugados de manera personal:Ejemplo: Aunque no quieras vendrs, el puede ir pero su hermano no, ganaran por que juegan mejor, refirindose a 2 o mas personas.Se necesita de un sejeto (nombre propio) y un predicado (una accin o hecho) para formar una oracin.

4.2 Uso del sujetoEl sujeto designa a la persona, animal o cosa que realiza o experimenta la accin expresada en la oracin.Ejemplo: victor nada, victor designa a quien realiza la accin de nadar.Sujeto tcito: Cuando el sujeto no est escrito, pero se puede pensar en l, se llama sujeto tcito. Por ejemplo: Por favor, juega conmigo.En esta oracin el sujeto es "t", ya que es a quien se le est pidiendo "jugar", sin embargo no est escrito en la oracin.Sujeto expreso: Es la parte contraria al sujeto tcito, es cuando en la oracin se encuentra escrita el sujeto mismo. Por ejemplo: El mar est picado esta tarde. El sujeto expreso es "El mar", ya que es de quien se est diciendo que "est picado esta tarde".

4.3 Uso del predicadoEl predicado es un verbo que expresa que hace o experimenta el sujeto.

Tal vez te hayas dado cuenta alguna ocasin de que no todos los verbos funcionan igual, es decir de que verbos como: corre, compone, come, muelen, etc., expresan el comportamiento del sujeto, y que hay verbos como: est, es, son, clasifican o identifican al sujeto. Estas variaciones de los verbos permiten tener dos tipos de predicado: Verbal y Nominal.Predicado verbal: Es cuando el verbo expresa el comportamiento del sujeto. Estos verbos pueden ser: juega, trabaja, salta, llora, etc.Predicado nominal: Es cuando el sustantivo, adjetivo o participio que sigue al verbo copulativo (ser o estar) califica, clasifica o identifica al sujeto. Por ejemplo:1. Las calles de la ciudad son estrechas y tortuosas.2. Las olas estn muy altas.3. La Internet es una gran red.

5. RedaccinEs composicin de textos escritos, es compilar o poner en orden.consiste e expresar por escritos lo pensamientos o conocimientos oredenados anteriormente. Toda redaccin necesita coherencia y cohesion textual.Ejemplo: Redactar un peridico, para podes describir las cosas de manera coherente y con la informacin necesaria e importante.

6. Vocabulario

6.1 AnalogasEs cuando el discurso o la palabra en si es nico, pero es usado de manera que conserve el significado propio.Ejemplos:1. puerco es a carne como corteza es a rbol.2. -Tapn es a botella como tapa es a bote3. -Lunes es a primero como martes es a segundo.4. Escuela es a aprender como hospital es a curar.5. Avin es a pjaro como barco es a pez.6. -Vista es a ojo como odo es a oreja.7. -Corbata es a cuello como zapato es a pie.

Analoga semntica La analoga semntica es un fenmeno que se produce por la tendencia a asociar una palabra a un significado anlogo. Un ejemplo lo constituye el trmino artstico "miniatura", que proviene del italiano miniatura y significa literalmente 'pintura de pequeas dimensiones, realizada generalmente sobre vitela u otra superficie delicada', aunque, por etimologa popular, ha generalizado su significado, y hoy da designa cualquier objeto de reducidas dimensiones. Analoga lxica La analoga lxica es el fenmeno que se produce por la tendencia a asociar a cada palabra un sentido determinado. Se denomina tambin paretimologa o atraccin paronmica. Esta creacin de significado manifiesta, en general, o bien por trastrueque semntico o bien por adaptacin fontica de la palabra. Es el recurso ms comn en la etimologa popular.

6.2 SinnimosSon palabras que se escriben diferentes pero significan lo mismoEjemplo: alegre, feliz. Viejo, anciano.

6.3 AntnimosSon palabras contrarias de una cosa o accin.Ejemplo: blanco- negro, Dia- noche.

6.4 HomfonosLa homofona es un fenmeno de la lingstica por el cual dos palabras diferentes coinciden en la forma externa (del griego homo- (-), "igual", y phn () "sonido").Las palabras homfonas pueden a su vez ser homgrafas si se escriben igual.Ejemplo: como "traje" del verbo traer o "traje" de vestir, o bien hetergrafas si se escriben de forma diferente, como "vaca" de animal y "baca" del coche.

7. Generalidades de ortografa

7.1 Uso de s,c,zUso de la "c"Las terminaciones cito, cita, cillo, cilla, cecillo, cecilla se escriben con c.En el caso de las palabras en singular que terminan en z al formar el plural con la terminacin es se escriben con c. Ejemplos: luz luces cruz cruces.Se escribe con c la terminacin cin, siempre que el sustantivo se relacione la palabra termine en tor y no en sor.Se escriben con c los verbos cuyos infinitivos terminen en alguna de las voces: cer, ceder, cir, cendir, cibir, cidir. A excepcin: asir, coser.

Uso de la "s" Se escribe s al final de las palabras graves. A excepcin de: alfrez, cliz, lpizSe escribe con s las terminaciones esa, isa que signifiquen dignidades u oficios de mujeres. Ejemplo: princesaSe escriben con s los adjetivos que terminan en aso, eso, oso, uso.Se escribe con s las terminaciones simo, sima.Se escribe con s la terminacin sin o cuando otra palabra derivada lleva: sor, sivo, sible, eso. Ejemplos: compresor compresinSe escribe s en la terminacin de algunos adjetivos gentilicios singulares.Ejemplos: ingls, portugus, francs.Se escriben s con las slabas iniciales des, dis. Ejemplo: desinters,Se escribe s en las terminaciones esto, esta. Ejemplo: orquesta Uso de la "z"Se escriben con z las terminaciones azo, aza.

Se escriben con z los sustantivos que terminan en las voces: anza, eza, ez.Se escribe z al final de palabra cuando hace su plural en "ces".Ejemplo: Nuez (nueces), pez (peces), veloz (veloces).Palabras en las que la "c" y la "s" tienen diferente significado

7.2 Uso de v, b

USO DE LA Ba) Se escribe b despus de m.b) Se escribe con b las slabas bra, bre, bri, bro, bru, bla, ble, bli, blo, blu.c) Se escribe con b cuando esta letra va delante de una consonante.d) Al trmino de una slaba.e) Los verbos terminados en aber, eber, buir y sus derivados.f) Se escribe con b el sonido bo cuando inicia palabras y seguido de las consonantes: d, ch, f, n.g) Los nombres abstractos terminados en bilidad.

USO DE LA V

Se escribe con v:a) Despus de las consonantes b, d, n.b) El sonido vi seguido de una vocal al iniciar una palabra. Se exceptan algunas palabras como: bien y sus derivados y compuestos, cuando significa doble y cuando tiene relacin con vida.c) Los derivados del verbo ir en las formas de presente indicativo, presente de subjuntivo e imperativo.d) Las palabras terminadas en viro, vira, voro, vora.

7.3 Uso de g, jLa g tiene dos sonidos uno velar sonoro y otro velar sordo.Se escriben con g los sonidos: ga/go/gu, cuando al sonido le sige una consonante.Los sonidos gue/gui/ si la g y la u deben tener sonidos independientes ante e, i, la u deben tener una dieresis:

Se escriben con j los sonidos ja/jo/ju.Ejemplo: jicama, jugo, jose.Las palabras con je/ji, que no tienen g en su origen.Ejemplo: jimenez, jerez.Tambin las palabras que terminan con jeria, aje, eje.Ejemplo: drenaje, relojera, etc.

7.4 Uso de ll, yEl sonido ye se escribe con ll (lle), o y (idriega)Ejemplo: rallar: (desmenuzar) asi se pronuncia en pases latinos, pero rayar(es hacer lneas).se escucha igual pero al escribirlas tienen diferentes significados.

7.5 Uso de hSe escriben con h las palabras que empiezan por hum + vocal, la palabras que empiezan con ue, ui, ua, ie. Ejemplo: humano, hmedo, humor, humilde, hueco, huir, hiato, hielo, huevo.Tambin las palabras que empienzan por iper, ipo, idr, igr, emi, osp.Ejemplo: hiprbola, hipoptamo, hidrmetro, hemiciclo, ospedaje.

7.6 Uso de r, rrSe usa rr, Cuando se encuentra entre vocales y son sonidos fuertes.Ejemplo: carro, zorro, carretera, ocurrir, arruinar.

7.7 AcentosExisten dos tipos de acento el prosdico y el ortogrfico.el acento diacrtico es una variedad del acento ortogrfico. Tambin existe el acento fontico que difiere del acento ortogrfico.Acento prosdico: es la mayor intensidad acstica con que se pronuncia una silaba de una palabra; esta silaba se llama (tnica) y las dems (atnicas). Es el caso de los artculos, prononbres, adjetivos, Acento ortogrfico: el tilde se coloca sobre la vocal, de la silaba tnica, en determinados casos siguiendo las reglas de la acentuacin, segn estas la palabras pueden ser agudas, llanas, esdrjulas y sobreesdrjulas.Cuando separamos una palabra en silabas, podemos identificarlas segn su posicin:Ejemplo: pelcula, pe (), li (antepenltima), cu (penltima), la (ultima)

En todas la palbras hay una silaba que esta acentuada y se llama silaba tnica, en algunos casos la vocal acentuada lleva un smbolo especial llamado tilde que se expresa , , , , .Palabras agudas: son acentuadas en la ultima silaba, buzn.Palabras graves: son acentuadas en la penltima silaba, parguas.Palabras esdrjulas: son acentuadas en la antepenltima silaba, cmara.

7.8 PuntuacinCuando se usan correctamente cumplen la funcin de jerarquizar la importancia de las ideas contenidas en un texto.Se coloca el (.) al final de todo escrito o de una divisin importante de un texto a esta clase de (.) se le llama punto final.Punto y aparte es cuando se pone el (.) al final de prrafo, pero continua el texto en una lnea aparte.Punto y segudo es el que se pone al final de una oracin, pero el texto continua en el mismo prrafo, lnea.Ejemplos: azul, rosa, verde, etc., son colores.

7.9 Maysculas

1. La primera palabra de un escrito o la que vaya despus de un punto.2. Despus de signo de interrogacin o admiracin cuando estos hagan las veces de punto.3. Todos los nombres, apellidos y calificativos que de modo constante acompaan un nombre propio. Son nombres propios tambin los sustantivos y adjetivos que forman el nombre de colectividades corporaciones, establecimientos o entidades,Ejemplo: Presidencia de la Repblica.Los gentilicios se escriben con minsculas, ejemplo: colombianos, ecuatorianos.4. Escriba con letra inicial mayscula los atributos de Dios y el pronombre El cuando se refiere a Dios.5. Escriba con letra inicial mayscula los adjetivos y los nombres que conforman el ttulo de una obra Ejemplos: Cien Aos de Soledad. No se observa esta regla cuando el ttulo es muy largo, El ingenioso hidalgo don Quijote de la Mancha escrito por Miguel de Cervantes Saavedra.6. Igualmente los ttulos o nombres de dignidad, los nombres conque se designa a determinadas personas.Ejemplo: Simn Bolvar el Libertador, 7.los apodos y ttulos de dignidad jerarqua, poderes pblicos, cargos importantes o su equivalente,Ejemplo: La presidenta, Bachelet o La seora Presidenta. 8.La voz de" estado " o de" nacin " llevar mayscula cuando referencia a la entidad soberana. Las palabras " repblica, corona, imperio, y otros nombres colectivos irn con mayscula cuando por referirse a una entidad de derecho pblico, equivalen a nombre propio.La palabra "Gobierno" ir con mayscula cuando haga referencia al Poder Pblico en general. En los dems casos se escribir con minscula, inclusive cuando se use para referirse al conjunto de personas que componen el rgano ejecutivo del estado.9.Cuando haya que escribir con letra inicial mayscula palabras que empiezan con Ll o Ch solo se escribe con maysculas la primera letras.8.0 MorfologaLas palabras del espaol se forman mediante lexemas o races a los que se agregan morfemas gramaticales o gramemas (como el gnero masculino o femenino y el nmero singular o plural para los sustantivos y adjetivos, y el modo, tiempo, voz, aspecto y persona y nmero para el verbo), ms todo tipo de afijos que sirven para formar palabras derivadas o bien para marcar la afectividad, como ocurre con la especialmente abundante y caracterstica derivacin en sufijos diminutivos, muchos de ellos de uso ms bien local.8.1 SintaxisLa sintaxis es el mbito de las oraciones y sus constituyentes sintcticos, y se ocupa de estudiar la manera en que los elementos discretos del lenguaje se combinan entre s, as como las restricciones de orden sintctico, coocurrencia y concordancia, existentes entre ellos.Las oraciones compuestas del espaol incluyen restricciones complejas de La consecutio temporum y restricciones por la distincin entre un modo indicativo y un modo subjuntivo. Frecuentemente las reglas de eleccin del modo de la oracin subordinada no resultan sencillas. De hecho este es uno de los aspectos ms difciles para los estudiantes de espaol como segunda lengua.Adems el espaol, como la mayora de lenguas indoeuropeas y a diferencia de lenguas como el chino o el japons, usa extensivamente diversos tipos de concordancia de nmero, gnero y polaridad. Estas relaciones de concordancia con frecuencia se dan entre diferentes sintagmas. Tipolgicamente el espaol es una lengua de ncleo inicial y pocas restricciones de orden en cuanto a los argumentos verbales y adjuntos sintcticos.

Matemticas

1. Operaciones con nmeros reales, complejos y expresiones algebraicas

Operacin con nmeros complejos:Suma: Para sumar nmeros complejos, se siguen las normas bsicas de la aritmtica, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios: Ejemplo de suma: (4 + 2i) + (3 + 2i) = 4 + 2i + 3 + 2i = 4 + 3 + 2i + 2i = (4 + 3) + (2 + 2)i = el resultado es 7 + 4i Resta:Al igual que en la suma, se opera como con los nmeros reales ordinarios: (6-4i)-(6+5i)= 6-6+[(-4-5)i= -9i Multiplicacin:Para multiplicar dos nmeros complejos, se multiplica cada trmino del primero por los dos del segundo, con lo que obtenemos 4 trminos: Obsrvese que el trmino bdi2 pasa a ser bd. Eso es porque i2 = 1. Ejemplo:y asi queda Divisin: La divisin de nmeros complejos requiere un mayor trabajo que la multiplicacin y partimos de un artificio previo, basado en que el producto de un numero complejo por su conjugado da como resultado un nmero real: si la divisin de dos nmeros complejos, la multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador: Potencias: Para elevar un nmero complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables. Se debe tener en cuenta la igualdad i2 = 1:(6-3i)2=62-2*6*3i+(3i)2=36-36i-9=27-36i

1.1 Nmeros realesEn matemticas, los nmeros reales (designados por R) incluyen tanto a los nmeros racionales (positivos y negativos y el cero) como a los nmeros irracionales (trascendentes, algebraicos), que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no peridicas, tales como: .

Tipos de nmeros realesUn nmero real puede ser un nmero racional o un nmero irracional. Los nmeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos nmeros enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los dema. Los nmeros racionales tambin pueden describirse como aquellos cuya representacin decimal es eventualmente peridica, mientras que los irracionales tienen una expansin decimal aperidica:Ejemplos: 1/4 = 0,250000 Es un nmero racional puesto que es peridico a partir del tercer nmero decimal. Ejemplo: 5/7 = 0,7142857142857142857....Es racional y tiene un perodo de longitud 6 (repite 714285). Es irracional y su expansin decimal es aperidica.

Otra forma de clasificar los nmeros reales es en algebraicos y trascendentes. Un nmero es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los nmeros racionales son algebraicos: si es un nmero racional, con p entero y q natural, entonces es raz del de la ecuacin qx=p. Sin embargo, no todos los nmeros algebraicos son racionales.Ejemplos El nmero es algebraico puesto que es la raz del polinomio 8x3 12x2 + 6x 8 Un ejemplo de nmero trascendente es Ln3=1,09861228866811.

1.1.1 Suma y resta de nmeros complejos

La suma y la resta de nmeros complejos se realizan siguiendo las reglas de las operaciones de los nmeros reales. Tambin son equivalentes a la suma y la resta con vectores, teniendo en cuenta que a cada nmero complejo se le hace corresponder un vector.

Nmero complejo: a + bi Vector: (a,b)

En esta escena tienes representados los nmeros complejos: z1=a+bi y z2=c+di As como su SUMA z1+z2 y su RESTA z1-z2 (Recuerda el paralelogramo que se forma con dos vectores, cuyas diagonales son la suma y la resta de los mismos, fjate bien en la escena)

Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, moviendo los AFIJOS de z1 y/o z2 con el ratn, o bien introduciendo sus valores en la parte inferior de la escena.

Como es tan fcil, mirando la escena y sus movimientos, tienes que averiguar cmo se SUMAN y se RESTAN nmeros complejos.

a) (3+i) + (1-3i)b) (-5+3i) - (6+4i)c) (0.5-4i)+(-1.5-i)d) (-3.8+2.4i) - (1.3+0.5i) 1.1.2 Multiplicacin y divisin de nmeros complejos

La multiplicacin se efecta igual que si fuesen nmeros reales, pero teniendo en cuenta que i2=-1 ATENCIN! la multiplicacin de complejos no es equivalente al producto escalar de vectores. Pero para comprobar resultados, podemos representar los complejos que se multiplican por sus vectores, y el resultado del producto por el vector correspondiente al complejo producto. En la escena adjunta se muestra la forma de realizar el producto de dos nmeros complejos, z1z2=(a+bi)(c+di) Moviendo los AFIJOS de z1 y z2, o introduciendo los valores de a, b, c y d, puedes ir viendo los resultados.

Efecta las siguientes multiplicaciones en tu cuaderno y haz una comprobacin posterior en la escena: a) (-2-2i)(1+3i) b) (2+3i)(5-6i) c) (2+3i)(-2-3i) d) (-1-2i)(-1+2i)

Para dividir dos complejos, se multiplica el dividendo y el divisor por el conjugado de ste, as el divisor pasar a ser un nmero real.

Como en la multiplicacin, representaremos los complejos por vectores, para poder comprobar los resultados en la escena.

EJEMPLO

Esta divisin de complejos es la que aparece en el inicio de esta escena.Puedes cambiar los valores de a, b, c y d, o mover los puntos z1 y z2 para hallar otras divisiones.a)b)c)d)

1.1.3 Races y potencias con exponente racional

1.2 Nmeros complejosEl trmino nmero complejo describe la suma de un nmero real y un nmero imaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los nmeros complejos se utilizan en todos los campos de las matemticas, en muchos de la fsica (y notoriamente en la mecnica cuntica) y en ingeniera, especialmente en la electrnica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnticas y la corriente elctrica.En matemticas, los nmeros constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad ms importante que caracteriza a los nmeros complejos es el teorema fundamental del lgebra, que afirma que cualquier ecuacin algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.Los nmeros complejos son una extensin de los nmeros reales, cumplindose que . Los nmeros complejos representan todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales.Los nmeros complejos son la herramienta de trabajo del lgebra ordinaria, llamada lgebra de los nmeros complejos, as como de ramas de las matemticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinmica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.Contienen a los nmeros reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones tericas ms importantes de la inteligencia humana. Los anlogos del clculo diferencial e integral con nmeros complejos reciben el nombre de variable compleja o anlisis complejo.

1.2.1 Suma y resta de nmeros reales

1.2.2 Multiplicacin de numeros reales

1.3 Expresiones algebraicasExpresin algebraica: es el resultado de combinar uno o ms trminos algebraicos mediante las operaciones de adicin y/o sustraccin. Por ejemplo:

; ; ; Se denomina grado de un trmino algebraico, a la suma de los exponentes de su factor literal, por ejemplo:

tiene grado 1 + 2 = 3; tiene grado .Cuando una expresin algebraica tiene un slo termino algebraico, recibe el nombre de Monomio. Si la expresin algebraica tiene dos trminos algebraicos recibe el nombre de Binomio. Si tiene tres trminos algebraicos, recibe el nombre de Trinomio. Y en caso contrario si tiene ms de tres trminos algebraicos, se denomina Multinomio. Adems, las expresiones algebraicas con exponentes positivos se llaman polinomios. Por ejemplo: (i) es un monomio (polinomio), pues tiene un solo trmino algebraico (con exponentes positivos).(ii) es un binomio ( y es un polinomio).(iii) es un trinomio ( y es un polinomio). es un monomio (que no es un polinomio). es un binomio ( que no es polinomio)Valorizacin de expresiones algebraicasValorar una expresin algebraica es reemplazar cada variable por un valor numrico que le corresponde y resolver las operaciones indicadas en la expresin para determinar su valor final. Por ejemplo valoremos las siguientes expresiones algebraicas:(i) El rea de un tringulo se determina como el semiproducto entre la base y la altura, esto es: en donde : base y : altura. Entonces si y tenemos que: (ii) si e Primero reemplazamos las variables, esto es: Luego realizamos todas las operaciones con su orden respectivo(iii) si , y En forma anloga al ejercicio anterior, reemplazamos las variables en primer lugar:

Luego realizamos las operaciones correspondientes

(iv) si Entonces reemplazando en la expresin algebraica tenemos:Reduccin de trminos semejantesLos trminos semejantes son los trminos algebraicos que tienen el mismo factor literal, es decir, deben tener las mismas letras con los mismos exponentes. Por ejemplo: es trmino semejante con . El trmino es trmino semejante con .La reduccin de trminos semejantes consiste en sumar o restar stos trminos que se encuentran en alguna expresin algebraica. Algunos ejemplos de la reduccin de expresiones algebraicas son los siguientes:(i) De acuerdo a la siguiente la figura determina el permetroEntonces el permetro de la figura, es la suma de las medidas de todos sus lados, esto es: en este caso hay tres trminos algebraicos cuyo factor literal es por lo cual se pueden sumar. Tambin hay tres trminos algebraicos que tienen factor literal por lo cual se pueden sumar. Por lo tanto (ii) En este ejemplo hay dos trminos cuyo factor literal es , estos trminos son semejantes, por lo cual se pueden sumar. Tambin hay tres trminos que tienen factor literal , por tanto, son trminos semejantes y se pueden sumar. En la expresin algebraica tenemos nmeros solos (sin factor literal), por tal se suman. Haciendo estas operaciones la expresin en (ii) nos queda: (iii) En este ejemplo hay tres trminos que tienen factor literal , por lo cual son trminos semejantes y se pueden sumar. Tambin ocurre lo mismo con los trminos que tienen factor literal y , los cuales son trminos semejantes y se pueden sumar. Reduciendo trminos semejantes, nos queda:

Uso de parntesisEn lgebra, al igual que en aritmtica, los parntesis nos sirven para indicar que las operaciones que ellos encierran tienen prioridad ante las dems, o bien para indicar lo que est dentro de ellos debe ser considerado como un todo.Para suprimir los parntesis en una expresin algebraica se siguen las siguientes reglas:(i) Si un parntesis es precedido por un signo positivo, entonces se puede suprimir sin cambiar los signos de los trminos que estn dentro de ellos.(ii) En caso contrario, esto es si un parntesis es precedido por signo negativo, entonces al suprimir el parntesis los trminos que estn dentro de l cambian de signo.En el caso que a un parntesis no le preceda ningn signo, entonces se entiende que el parntesis tiene un signo positivo.Por ejemplo, en la siguiente expresin, suprimir los parntesis y reducir los trminos semejantes.

Para resolver este ejercicio se puede hacer de dos formas, una es eliminar inmediatamente los parntesis y luego reducir los trminos semejantes. La segunda forma es reducir los trminos semejantes dentro del parntesis y luego eliminar los parntesis, y nuevamente reducir trminos semejantes. Aplicaremos la segunda forma:

En algunas expresiones algebraicas hay ms de un parntesis, en estos casos para eliminar los parntesis, se suprime primero los parntesis que estn al interior de otro y as sucesivamente. Aunque tambin se puede hacer de la forma contraria, es decir, eliminar primero los parntesis desde el exterior hasta llegar a los interiores, es poco comn proceder as ya que resulta ms complicado. Por ejemplo, en la siguiente expresin, suprimir los parntesis y reducir los trminos semejantes(i) Para este ejemplo, en primer lugar, suprimimos los parntesis interiores hasta llegar a los exteriores y luego reducimos los trminos semejantes. Entonces:

Para verificar lo dicho respecto de las mayores dificultades para eliminar los parntesis desde afuera hacia adentro, el lector puede hacerlo en este caso.(ii) Al igual que el ejemplo anterior, empezamos suprimiendo los parntesis que estn ms al interior hasta llegar al ms exterior y luego reducimos los trminos semejantes, esto es:

Ejercicios propuestos:Suprimir los parntesis y reducir los trminos semejantes:(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) (xi) (xii)

1.3.1 Suma y resta

1.3.2 Multiplicacin y divisinPara multiplicar expresiones algebraicas veremos, en primer lugar, la ms simple de ella: a saber, la multiplicacin de monomio por monomio. Esta se realiza multiplicando los coeficientes numricos y multiplicando la parte literal, aplicando las propiedades de las potencias. Por ejemplo, multipliquemos los monomios:(i) (ii) (iii) Para multiplicar un monomio por un binomio, utilizamos la propiedad de la distributividad de la multiplicacin con respecto a la adicin, esto es:

Algunos ejemplos de multiplicacin de monomio por binomio son los siguientes:(i) En el rectngulo de la figura, determinar su rea.Sabemos que el rea de un rectngulo es el producto de su largo por su ancho, entonces tenemos:rea rectngulo es (ii) (iii) En general, esta propiedad (distributividad de la multiplicacin con respecto a la adicin) la utilizamos para multiplicar un monomio con cualquier multinomio. Por ejemplo:

Para multiplicar un binomio por un binomio, tambin utilizamos la propiedad de la distributividad de la multiplicacin con respecto a la adicin. Esto es:

Por ejemplo:

Luego, reduciendo trminos semejantes, nos queda: Para multiplicar un binomio por un multinomio, o en general cualquier multinomio por un multinomio, aplicamos la propiedad mencionada anteriormente. Por ejemplo:

Reduciendo trminos semejantes, obtenemos: Ejercicios propuestos. Multiplicar las siguientes expresiones algebraicas y reducir trminos semejantes si es posible.(i) (ii) (iii) (iv) Determina las reas de las figuras siguientes:a) b) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x) (xi) (xii) Expresin algebraica es la forma de las matemticas que escribimos con letras, nmeros, potencias y signos.Coeficiente 3a2 GradoParte literalAl nmero le llamamos coeficiente, a la letra o letras les llamamos parte literal y al exponente le llamamos grado.Valor nmero de una expresin algebraica. Para hallar el valor numrico de una expresin algebraica sustituimos las letras por el valor dado y hacemos las operaciones que se nos indiquen.Clases de expresiones algebraicas:1- Si una expresin algebraica est formada por un solo trmino se llama monomio. Ej: 3x2 2- Toda expresin algebraica que est formada por dos trminos se llama binomio. Ej: 2x2 + 3xy3- Toda expresin algebraica formada por tres trminos se llama trinomio. Ej: 5x2 + 4y5 - 6x2y4- Si la expresin algebraica tiene varios trminos se llama polinomio.Polinomio es un conjunto de monomios. Tendremos en cuenta lo siguiente:1- Si est ordenado. Para ordenar un polinomio, colocamos los monomios de mayor a menor, segn su grado.2- Si est completo. Completar un polinomio es aadir los trminos que falten poniendo de coeficiente 0.3- Cul es su grado. El grado de un polinomio es el mayor exponente de sus trminos.Expresiones algebraicas equivalentes: Dos o ms expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo valor nmerico.2. Ejercicios operatorios con los monomios y polinomiosSuma o resta de monomios: Para sumar o restar monomios es necesario que sean semejantes. Monomios semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal y el mismo grado. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3.Para hacer la operacin sumamos los coeficientes y dejamos la misma parte literal. Ej: 2x3 + 5x3 - 6x3 = x3.Multiplicacin de monomios: Para multiplicar monomios no es necesario que sean semejantes. Para ello se multiplican los coeficientes, se deja la misma parte literal y se suman los grados. Ej: 3xy.4x2y3= 12x3y4Divisin de monomios: Para dividir dos monomios, se dividen los coeficientes, se deja la misma parte literal y se restan los grados. Ej: 4x5y3:2x2y= 2x3y2Suma de polinomios: Para sumar polinomios colocaremos cada monomio debajo de los que son semejantes y sumaremos sus coeficientes.Ej: 7x5+0x4+3x3+4x2-2x 5x5+0x4+0x3 -x2 -x12x5+0x4+3x3+3x2-3xMultiplicacin de polinomios: Para multiplicar polinomios haremos lo mismo que para multiplicar monomios, multiplicamos los coeficientes y sumamos los grados de las letras que son iguales.Si son varios los polinomios que tenemos que multiplicar haremos lo mismo pero pondremos los que son semejantes debajo unos de otros y los sumaremos al final.Ej: P(x)= 2x5+3x4-2x3-x2+2xQ(x)= 2x3 P(x).Q(x)= 4x8+6x7-4x6-2x5+4x4Divisin de polinomios: Para dividir un polinomio y un monomio, ordenamos y completamos los polinomios, dividimos el primer monomio del dividendo por los monomios del divisor, multiplicamos el cociente por el divisor y se lo restamos del dividendo. As sucesivamente.Para dividir dos polinomios haremos lo mismo que para dividir monomios y polinomios, teniendo en cuenta que en el divisor nos encontraremos con 2 trminos.Ej: 4x4-2x3+6x2-8x-4 2x-4x4 2x3-x2+3x-40-2x3+2x30+6x2 -6x20-8x+8x0-4

1.3.3 Races y potencias con exponente racional

1.3.4 Operaciones con radicales1. Sumas y restas

Para que varios radicales se puedan sumar o restar tienen que ser equivalentes, o sea tener el mismo ndice y el mismo radicando.

Ejemplos:

a) O sea que se suman o restan los nmeros que estn fuera y la raz queda igual.

b) Estos radicales no son semejantes pues los radicandos no son iguales, 20, 45 y 5. Pero vamos a extraer de cada radical todos los factores que se puedan:

Ahora si son semejantes y podemos sumarlos

c) No son semejantes

se suman los que son semejantes

y ya no podemos hacer nada ms

1. Multiplicaciones y divisiones

Para que dos radicales se puedan multiplicar o dividir basta que tengan el mismo ndice.

Ejemplos:

d)

e)

f) no tienen el ndice comn. Para reducir a ndice comn se hace igual que para reducir a denominador comn.

ahora si se pueden multiplicar

g)

2. Productos notables y factorizacinProductos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspeccin, sin verificar la multiplicacin que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicacin simplifica y sistematiza la resolucin de muchas multiplicaciones habituales.Cada producto notable corresponde a una frmula de factorizacin. Por ejemplo, la factorizacin de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recprocamente.Factor comn

Representacin grfica de la regla de factor comnEl resultado de multiplicar un binomio a+b con un trmino c se obtiene aplicando la propiedad distributiva:

Esta operacin tiene una interpretacin geomtrica ilustrada en la figura. El rea del rectngulo es(el producto de la base por la altura), que tambin puede obtenerse como la suma de las dos reas coloreadas (ca) y (cb).Ejemplo

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Ilustracin grfica del binomio al cuadrado.Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por s mismo), se suman los cuadrados de cada trmino con el doble del producto de ellos. Es decir:

un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.Cuando el segundo trmino es negativo, la ecuacin que se obtiene es:

En ambos casos el tercer trmino tiene siempre signo positivo.Ejemplo

simplificando:

Producto de dos binomios con un trmino comn

Ilustracin grfica del producto de binomios con un trmino comnCuando se multiplican dos binomios que tienen un trmino comn, se suma el cuadrado del trmino comn con el producto el trmino comn por la suma de los otros, y al resultado se aade el producto de los trminos diferentes.

Ejemplo

agrupando trminos:

luego:

Producto de dos binomios conjugadosVase tambin: Conjugado (matemtica)

Producto de binomios conjugados.Dos binomios conjugados son aquellos que slo se diferencien en el signo de la operacin. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados

Ejemplo

agrupando trminos:

A este producto notable tambin se le conoce como suma por la diferencia.Polinomio al cuadrado

Elevando un trinomio al cuadrado de forma grficaPara elevar un polinomio con cualquier cantidad de trminos, se suman los cuadrados de cada trmino individual y luego se aade el doble de la suma de los productos de cada posible par de trminos.

Ejemplo

multiplicando los monomios:

agrupando trminos:

luego:

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Descomposicin volumtrica del binomio al cuboPara calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer trmino, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, ms el cubo del segundo trmino.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo

agrupando trminos:

Cuando la operacin del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer trmino, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, ms el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo trmino.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo

agrupando trminos:

2.1 Binomio de New ton (a+b)n, n [ NEl binomio de Newton es la frmula que nos permite elevar a cualquier potencia de exponente natural, n, un binomio. o sea la forma de obtener (a+b)^n, entonces la respuesta es la siguiente:

Para ello veamos como se van desarrollando las potencias de (a+b)(a + b)^1 = a + b(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a + b)^3 = (a + b)^2 (a + b) = (a^2 + 2ab + b^2 ) (a + b) = a^3 + 3 a^2 b + 3 a b^2 + b^3(a + b)^4 = (a + b)^3 (a + b) = a^4 + 4^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 a b^3 + b^4Observando los coeficientes de cada polinomio resultante vemos que siguen esta secuencia..1.1..1.2.11..3..3..114.6..4..1Esto es el tringulo de Tartaglia que se obtiene escribiendo en filas los nmeros combinatorios desde los de numerador 1.O sea que cada uno de esos nmeros corresponde al valor de un nmero combinatorio as:..(1 0),,,,,,,,,(1 1)..(2 0)(2 1)..(2 2)(3 0)...(3 1).(3 2).(3 3)(4 0)(4 1)..(4 2)(4 3)..(4 4)

Podemos observar que cada fila empieza y termina por 1, que los nmeros que aparecen forman una fila simtrica, o sea el primero es igual al ltimo, el segundo igual al penltimo, etc., y cada nmero es la suma de los dos que tiene encima.

Por otra parte en cualquier momento podemos hallar el valor de un nmero combinatorio cualquiera recordando que se calculan por la siguiente frmula:(m n) = [ m(m -1)(m -2) (m n +1)] / n!

Por otra parte, observando las potencias de (a+b) de nuevo vemos que las potencias de a empiezan elevadas a n, va disminuyendo uno a uno hasta llegar a cero. A los exponentes de b les ocurre lo contrario.

Con lo que ya tenemos podemos calcular directamente la siguiente potencia de (a+b), sus coeficientes sern la fila quinta del tringulo de Tartaglia.(a + b)^5 = a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5Y ya podemos escribir la frmula general del llamado binomio de Newton(a + b)^n = (n 0)a^n + (n 1)a^n-1 b + (n 2)a^n-2 b^2 + + (n n-1)a b^n-1 + (n n)b^nNota: los dos nmeros escritos entre parntesis separados por un espacio, como por ejemplo (n 1) corresponden al nmero combinatorio que se escribe con la n arriba y el 1 debajo pero entre parntesis doble.

2.2 Teorema del residuo y del factorTeorema que establece que si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x - a), donde a es cualquier nmero real o complejo, entonces el residuo es f(a).Por ejemplo, si f(x) = x2 + x - 2 se divide entre (x-2), el residuo es f(2) = 22 + (2) - 2 = 4. Este resultado puede volverse obvio si cambiamos el polinomio a una de las siguientes formas equivalentes:f(x) = (x-2)(x+3) + 4Como se muestra, la expresin anterior nos puede llevar fcilmente a esperar que 4 sea el residuo cuando f(x) se divide entre (x-2).El teorema del residuo nos puede ayudar a encontrar los factores de un polinomio. En este ejemplo, f(1) = 12 + (1) - 2 = 0. Por lo tanto, significa que no existe residuo, es decir, (x-1) es un factor. Esto puede mostrarse fcilmente una vez que reacomodamos el polinomio original en una de las siguientes expresiones equivalentes:f(x) = (x-1)(x+2)Como se muestra, (x-1) es un factor.Mira si tu tienes un polinomio y lo divides entre una expresion del tipo (x-c), entonces tu puedes saber cual es el residuo si evaluas la funcion en el valor de c

por ejemplo si tienes lo sig:

x+3x-9 / x-2

evaluas la funcion en 2

f(2)=2+3(2)-9=1

entonces el residuo es 1

Ahora, que si tu evaluas esta otra funcion

x+3x-10 / x-2

f(2)=2+3(2)-10=0

puedes ver que el residuo es cero.eso quiere decir que (x-2) es un factor de la funcion

textualmente la teoria seria:Teorema del ResiduoSi f es una funcion polinomial real y si c pertenece a los reales entonces f(c) es el residuo que resulta de dividir f(x)/(x-c)Teorema del factorSi f es una funcion polinomial real y si c pertenece a los reales entonces (x-c) es un factor de f si f(c)=0

2.3 Simplificacin de fracciones algebraicasPara simplificar una fraccin, se dividen el numerador y el denominador por uno o ms factores comunes a ambos. Se obtiene as otra fraccin equivalente.

Por ejemplo: Simplificar Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, ,

Para poder simplificar una fraccin el numerador y el denominador tiene que estar factorizado. Si no lo estn la primera operacin ha de ser la de factorizarlos.

Por ejemplo: Simplificar Como vemos el denominador es un polinomio, o sea una suma, por tanto antes de simplificar hay que factorizarlo.En este caso el mtodo adecuado es sacar factor comn as

Ms ejemplos: Simplificar las siguientes fracciones algebraicas

Como ya son productos, tanto el numerador como el denominador, basta dividir numerador y denominador por los factores comunes

En esta fraccin aparece una suma en el numerador y otra en el denominador, por tanto hay que factorizar ambas cosas. Podemos sacar factor comn en el numerador e en el denominador

, aqu el numerador es una suma pero no se puede factorizar, pero el denominador se puede factorizar ya que es el cuadrado de una suma.

, aqu slo podemos factorizar el denominador, que se trata de una diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia

2.4 Operaciones con fracciones algebraicas

Suma de fracciones algebraicasCon el mismo denomiminador

Con distinto denomiminadorEn primer lugar se ponen las fracciones algebraicas a comn denominador, posteriormente se suman los numeradores.

Multiplicacin de fracciones algebraicas

Divisin de fracciones algebraicas

3. Ecuaciones

3.1 Ecuacin, identidad y propiedades de la igualdadEn matemticas, una ecuacin es una igualdad[nota 1] entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incgnitas, relacionados mediante operaciones matemticas. Los valores conocidos pueden ser nmeros, coeficientes o nstantes; y tambin variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incgnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuacin:

la variable representa la incgnita, mientras que el coeficiente 3 y los nmeros 1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuacin ser cierta o falsa dependiendo de los valores numricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuacin es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.Se llama solucin de una ecuacin a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso dado, la solucin es:

Resolver una ecuacin es encontrar su dominio solucin, que es el conjunto de valores de las incgnitas para los cuales la igualdad se cumple. Todo problema matemtico puede expresarse en forma de una o ms ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solucin, ya que es posible que no exista ningn valor de la incgnita que haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuacin ser vaco y decimos que la ecuacin no es resoluble. De igual modo, puede tener un nico valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una solucin particular de la ecuacin. Si cualquier valor de la incgnita hace cumplir la igualdad (esto es, no existe ningn valor para el cual no se cumpla) la expresin se llama identidadTipos de ecuacionesLas ecuaciones pueden clasificarse segn el tipo de operaciones necesarias para definirlas y segn el conjunto de nmeros sobre el que se busca la solucin. Entre los tipos ms frecuentes estn: Ecuaciones algebraicas Polinmicas o polinomiales De primer grado o lineales De segundo grado o cuadrticas Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinimios Ecuaciones trascendentes, cuando involucran funciones no polinmicas, como las trigonomtricas, exponenciales, etc. Diofnticas o diofantinas Ecuaciones diferenciales Ordinarias En derivadas parciales Ecuaciones integralesDefinicin generalDada una aplicacin y un elemento b del conjunto B, resolver una ecuacin consiste en encontrar todos los elementos que verifican la expresin: . Al elemento se le llama incgnita. Una solucin de la ecuacin es cualquier elemento que verifique .El estudio de las ecuaciones depende de las caractersticas de los conjuntos y la aplicacin; por ejemplo, en el caso de las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto son funciones y la aplicacin debe incluir alguna de las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incgnita es una matriz.La definicin que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma , pues, si es un grupo basta con definir la aplicacin y la ecuacin se transforma en .[editar] Conjunto de solucionesDada la ecuacin , el conjunto de soluciones de la ecuacin viene dado por , donde es la imagen inversa de . Si es el conjunto vaco, la ecuacin no tiene solucin. Hay otras dos posibilidades: puede tener un slo elemento, en cuyo caso la ecuacin tiene solucin nica; si tiene ms de un elemento, todos ellos son soluciones de la ecuacin.En la teora de ecuaciones diferenciales, no se trata slo de averiguar la expresin explcita de las soluciones, sino determinar si una ecuacin determinada tiene solucin y esta es nica. Otro caso en los que se investiga la existencia y unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.[editar] Casos particularesUna ecuacin diofntica es aquella cuya solucin slo puede ser un nmero entero, es decir, en este caso . Una ecuacin funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmente nmeros sino funciones; y si en la ecuacin aparece algn operador diferencial se llama ecuacin diferencial. Cuando es un cuerpo y f un polinomio, hablamos de ecuacin algebraica.En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto es un conjunto de vectores reales y la funcin es un operador lineal.[editar] Existencia de solucionesEn muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de las cuestiones ms importantes es determinar si existe alguna solucin, es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vaco. Uno de los mtodos ms corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el conjunto A tiene alguna topologa. No es el nico: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a tcnicas algebraicas para averiguar si el sistema tiene solucin. No obstante, el lgebra parece que carece de recursos siquiera para asegurar la existencia de soluciones en las ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuacin algebraica con coeficientes complejos tiene una solucin hay que recurrir al anlisis complejo y, por lo tanto, a la topologa.[editar] Ecuacin polinmicaUna ecuacin polinmica o polinomial es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:

[editar] Forma cannicaRealizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuacin, puede conseguirse que uno de ellos se reduzca a cero. Si adems se ordenan los trminos segn los exponentes a los que se encuentran elevadas las incgnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresin denominada forma cannica de la ecuacin. Frecuentemente suele estudiarse a las ecuaciones polinmicas a partir de su forma cannica, es decir aquella cuyo primer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

[editar] GradoSe denomina grado de una ecuacin polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incgnitas. Por ejemplo

Es una ecuacin de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.Las ecuaciones polinmicas de grado n de una sola variable sobre los nmeros reales o complejos, pueden resolverse por el mtodo de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las races de la ecuacin es soluble). La solucin de la ecuacin de segundo grado es conocida desde la antigedad; las ecuaciones de tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el mtodo de radicales. La solucin de la ecuacin de quinto grado no puede hacerse mediante el mtodo de radicales, aunque puede escribirse en trminos de la funcin theta de Jacobi.[editar] Ecuacin de primer gradoSe dice que una ecuacin polinomial es de primer grado cuando la variable (aqu representada por la letra x) no est elevada a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.Las ecuaciones de primer grado tienen la forma cannica:

con a diferente de cero.Su solucin es sencilla: [editar] Resolucin de ecuaciones de primer gradoLas ecuaciones polinmicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposicin, simplificacin y despeje, desarrollados a continuacin mediante un ejemplo.Dada la ecuacin:

[editar] TransposicinPrimero se agrupan todos los monomios que incluyen la incgnita x en uno de los miembros de la ecuacin, normalmente en el izquierdo; y todos los trminos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no vara.

En trminos coloquiales, decimos: si un trmino est sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (16x a la izquierda); y si est restando (como el 9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)La ecuacin quedar entonces as:

Como puede verse, todos los trminos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser slo constantes numricas, han quedado a la derecha.[editar] SimplificacinEl siguiente paso es convertir la ecuacin en otra equivalente ms simple y corta.Realizamos la simplificacin del primer miembro: Y simplificamos el segundo miembro: La ecuacin simplificada ser:

[editar] DespejeAhora es cuando llegamos al objetivo final: que la incgnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para lo cual recordamos que:Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo nmero, la igualdad no vara.

En trminos coloquiales: Para despejar la x, si un nmero la est multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro lado dividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un nmero la est dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro lado multiplicando (n2) sin cambiar su signo.Lo que estamos haciendo en realidad es dividiendo ambos trminos entre 5. Por lo tanto, el trmino que est multiplicado por 5, al dividirse entre 5 se anulan uno con el otro, desaparece multiplicando, mientras que en el otro lado vemos como dividimos entre 5 y el 5 permanece, aparece dividiendo, como si hubiera pasado de un lado a otro con una operacin simtrica. Esta explicacin con operaciones simtricas causa muchas confusiones a muchos estudiantes que pueden tener problemas para hallar la operacin simtrica, por ejemplo no es evidente que 3x = y pueda despejarse por x = log3y. Por eso es importante recordar el principio fundamental por el que siempre que apliquemos una funcin inyectiva a ambos lados de una igualdad obtendremos otra igualdad.En la ecuacin debemos entonces pasar el nmero 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo har dividiendo, sin cambiar de signo:

El ejercicio est tericamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al nmero 525/95. Sin embargo, debemos simplificar.Resolvemos la fraccin (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si diera decimal, simplificamos la fraccin y se es el resultado.En la ecuacin, vemos que el resultado de la fraccin es decimal (525:95 = 5,5263157894737)Por tanto, simplificando, la solucin es:

[editar] Ejemplo de problemaPongamos el siguiente problema: el nmero de canicas que tengo, ms tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos. Cuntas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuacin:

Donde x es la incgnita: cuntas canicas tengo?La ecuacin se podra leer as: El nmero de canicas que tengo, ms tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitndome dos.El enunciado est expresado, pero no podemos ver claramente cul es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los trminos que dependen de x al primer miembro y los trminos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier trmino que se cambia de miembro cambia tambin de signo. As obtenemos:

Que, simplificado, resulta:

Esta expresin nos lleva a una regla muy importante del lgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuacin, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuacin por el mismo nmero, sin que sta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

El problema est resuelto.[editar] Ecuacin de segundo gradoArtculo principal: Ecuacin de segundo gradoLas ecuaciones polinmicas de segundo grado tienen la forma cannica

Donde a es el coeficiente del trmino cuadrtico (aquel en que la incgnita est elevada a la potencia 2), b es el coeficiente del trmino lineal (el que tiene la incgnita sin exponentes, o sea que est elevada a la potencia 1), y c es el trmino independiente (el que no depende de la variable, o sea que est compuesto slo por constantes o nmeros) Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, las cuales pueden coincidir. Cuando esta ecuacin se plantea sobre siempre se tienen dos soluciones:

Obviamente la condicin para que la ecuacin tenga solucin sobre los nmeros reales se requiere que y para que tenga soluciones sobre los nmeros racionales se requiere .[editar] Operaciones admisibles en una ecuacinFrecuentemente en el tratamiento de ecuaciones con nmeros reales o complejos es necesario simplificar, reagrupar o cambiar de forma la ecuacin para poder resolverla ms fcilmente. Se conoce que bajo ciertas operaciones el se mantiene la igualdad y el conjunto de soluciones no cambia aunque la forma de la ecuacin sea diferente. Entre las operaciones de lgebra elemental que no alteran el conjunto de soluciones estn estn:1. Sumar cualquier nmero a ambos lados de la ecuacin.2. Restar cualquier nmero a ambos lados de la ecuacin.3. Dividir entre un nmero real diferente de cero ambos lados de la ecuacin.4. Multiplicar por cualquier nmero ambos lados de la ecuacin.5. Si f inyectiva se puede aplicar a cada uno de los dos miembros de la ecuacin.Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden alterar el conjunto de soluciones:1. Simplificar dividiendo factores comunes presentes en ambos lados de una ecuacin. Si estos factores contienen no slo nmeros sino tambin variables esta operacin debe aplicarse con cuidado porque el conjunto de soluciones puede verse reducido. Por ejemplo, la ecuacin yx = x tiene dos soluciones: y = 1 y x = 0. Si se dividen ambos lados entre "x" para simplifcarla se obtiene la ecuacin y = 1, pero la segunda solucin se ha perdido.2. Si se aplica una funcin no inyectiva a ambos lados de una ecuacin, la ecuacin resultante puede no tener un conjunto de soluciones ms grande que la original.[editar] Tipos de ecuacin algebraicaUna ecuacin algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales, radicales y otras. Una ecuacin de este tipo se llama ecuacin condicional si hay nmeros en los dominios de las expresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el nmero x=4 (y otros) no es una solucin. Si todo nmero de los dominios de las expresiones de una ecuacin algebraica es una solucin, la ecuacin se llama identidad.

3.2ecuaciones de primer gradoUna ecuacin de primer grado o ecuacin lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o ms variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuacin que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma comn de ecuaciones lineales es:

Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y).Las ecuaciones en las que aparece el trmino (llamado rectangular y son consideradas lineales.Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Ejemplo grfico de ecuaciones lineales.

Una ecuacin es una igualdad donde por lo menos hay un nmero desconocido, llamado incgnita o variable, y que se cumple para determinado valor numrico de dicha incgnita.Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incgnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe). Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:1. Se reducen los trminos semejantes, cuando es posible.2. Se hace la transposicin de trminos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incgnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.3. Se reducen trminos semejantes, hasta donde es posible.4. Se despeja la incgnita, dividiendo ambos miembros de la ecuacin por el coeficiente de la incgnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.Resolucin de ecuaciones de primer grado con una incgnitaPara resolver ecuaciones de primer grado con una incgnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:Resolver la ecuacin 2x 3 = 53Debemos tener las letras a un lado y los nmeros al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el 3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de 3 es +3, porque la operacin inversa de la resta es la suma).Entonces hacemos:2x 3 + 3 = 53 + 3En el primer miembro 3 se elimina con +3 y tendremos:2x = 53 + 32x = 56Ahora tenemos el nmero 2 que est multiplicando a la variable o incgnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ) a ambos lados de la ecuacin:2x = 56 Simplificamos y tendremos ahora:x = 56 / 2x = 28Entonces el valor de la incgnita o variable "x" es 28

Resolvamos otros ejemplos:

Llevamos los trminos semejantes a un lado de la igualdad y los trminos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

(pasamos todos los trminos con x a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como 8x)

(redujimos los trminos semejantes en el primer miembro: 5x 8x = 3x)

(dividimos ambos trminos por 3 para despejar la x)

( 15 dividido 3 es igual a 5. Nmero negativo dividido por un nmero negativo, el resultado es positivo)

(pasamos a la derecha los trminos conocidos, en este caso slo +1 que pasa como 1)

(reduccin de trminos semejantes: 2 1 = 1)

(dividimos ambos trminos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda est multiplicando.

(lase, menos un tercio). La fraccin es negativa pues se divide un positivo, el 1, con un negativo, el 3.

Resolucin de ecuaciones con agrupaciones de signosPara resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupacin considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.Veamos el siguiente ejemplo:

Primero quitamos los parntesis.

Reducimos trminos semejantes.

Ahora quitamos los corchetes.

Transponemos los trminos, empleando el criterio de operaciones inversas.

Nuevamente reducimos trminos semejantes

Despejamos x pasando a dividir a 2, luego simplificamos.

Advertencia

Para suprimir los signos de agrupacin debemos tener en cuenta que:a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupacin no afecta en nada a lo que est dentro de este signo. Por ejemplo: +(3x 5) = 3x 5b) Si por el contrario, tenemos un signo antes del signo de agrupacin, este signo afectar a todo lo que est dentro del signo. Todos los trminos dentro del signo de agrupacin cambiarn de signo. Por ejemplo: (3x 5) = 3x + 5Resolucin de ecuaciones con productos incluidosPara resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).Observemos un ejemplo:

Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los parntesis.

Llevamos los trminos semejantes a un lado de la igualdad, y los trminos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)

Reducimos trminos semejantes en ambos lados de la igualdad.

Despejamos x pasando 3 a dividir.

Resolucin de problemas mediante ecuacionesPara resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemtica y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incgnita (el dato que deseamos conocer).Veamos un problema caracterstico:Pedro es 3 aos menor que lvaro, pero es 7 aos mayor que Mara. Si la suma de las edades de los tres es 38, qu edad tiene cada uno?Digamos que las edades de los tres son:x edad de Pedroy edad de lvaroz edad de MaraSabemos que la edad de lvaro es igual a la edad de Pedro ms 3 aos (Pedro es tres aos menor que lvaro):y = x + 3Tambin sabemos que la edad de Mara es igual a la edad de Pedro menos 7 aos (Pedro es 7 aos mayor que Mara):z = x 7Ahora tenemos que:edad de Pedro: xedad de lvaro: x +3edad de Mara: x 7La suma de las tres edades es 38:x + x +3 + x 7 = 38Resolviendo est ltima ecuacin tendremos:x = 14 (esta es la edad de Pedro)Finalmente:edad de Pedro: x = 14 aosedad de lvaro: x + 3 = 17 aosedad de Mara: x 7 = 7 aos

3.3 Ecuaciones de segundo grado

Una ecuacin de segundo grado o ecuacin cuadrtica es una ecuacin algebraica de segundo grado.[1] [2] Es decir que la mayor potencia de la incgnita considerada en la ecuacin, es dos. La expresin general de una ecuacin cuadrtica es

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrtico (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el trmino independiente.La grfica de una funcin cuadrtica es una parbola. La ecuacin cuadrtica proporciona las intersecciones de la parbola con el eje de las abscisas, que pueden ser en dos puntos, en uno o ninguno.

Los puntos comunes de una parbola con el eje X (recta y = o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuacin cuadrtica.

Frmula cuadrticaDe una ecuacin cuadrtica con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas races, que pueden ser reales o complejas. Se denomina frmula cuadrtica[3] a la ecuacin que proporciona las races de la ecuacin cuadrtica:,donde el smbolo indica que los valoresy

constituyen las dos soluciones.

En la frmula anterior, la expresin dentro de la raz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuacin cuadrtica. Suele representarse con la letra D o bien con el smbolo (delta):

Una ecuacin cuadrtica con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solucin real de multiplicidad 2, o bien dos races complejas. El discriminante determina la ndole y la cantidad de races. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parbola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):. Una solucin real doble si el discriminante es cero (la parbola slo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

Dos nmeros complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parbola no corta al eje de las abscisas: X):

donde i es la unidad imaginaria.En conclusin, las races son distintas si el discriminante es no nulo, y son nmeros reales si slo si el discriminante es no negativo.Ecuaciones de segundo grado y una incgnitaSabemos que una ecuacin es una relacin matemtica entre nmeros y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que slo hay una letra, llamada incgnita, que suele ser la x. Resolver la ecuacin consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incgnita, haga que sea cierta la igualdad.Ese valor es la solucin de la ecuacin. Ejemplo: Resolver la ecuacin x 1 = 0 El nmero que hace que esa ecuacin sea cierta es el 1, ya que 1 1 = 0, por lo tanto, 1 es la solucin de la ecuacin. Si en la ecuacin la incgnita est elevada al cuadrado, decimos que es una ecuacin de segundo grado (llamadas tambin ecuaciones cuadrticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque tambin una sola, e incluso ninguna). Cualquier ecuacin de segundo grado o cuadrtica se puede expresar de la siguiente forma:ax2 + bx + c = 0 Donde a, b y c son unos parmetros que habr que sustituir por los nmeros reales que corresponda en cada caso particular. Solucin de ecuaciones cuadrticas Hemos visto que una ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son nmeros reales.

Pero este tipo de ecuacin puede presentarse de diferentes formas:Ejemplos: 9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10 3x2 9x + 0 = 0 a = 3, b = 9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no est)6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)Para resolver la ecuacin cuadrtica de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes mtodos:

Solucin por factorizacin En toda ecuacin cuadrtica uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios. Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.Ejemplos1) Resolver(x + 3)(2x 1) = 9Lo primero es igualar la ecuacin a cero.Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuacin:(2x 3)(x + 4) = 0Ahora podemos igualar a cero cada trmino del producto para resolver las incgnitas:Si2x 3 = 02x = 3

Six + 4 = 0x = 4Esta misma ecuacin pudo haberse presentado de varias formas:(x + 3)(2x 1) = 92x2 + 5x 12 = 02x2 + 5x = 122x2 12 = 5xEn todos los casos la solucin por factorizacin es la misma:2) Halle las soluciones de

La ecuacin ya est igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en trminos de x:

Ahora, six = 0 o six 4 = 0x = 4Algunos ejercicios: Resolver cada ecuacin por el mtodo de factorizacin:

Soluciones:

Solucin por completacin de cuadradosSe llama mtodo de la completacin de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geomtricamente, y porque en la ecuacin cuadrtica se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuacin del tipo:(ax + b)2 = nen la cual el primer miembro de la ecuacin (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.Partiendo de una ecuacin del tipo x2 + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuacin x2 + 8x = 48, que tambin puede escribirse x2 + 8x 48 = 0Al primer miembro de la ecuacin (x2 + 8x) le falta un trmino para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo(ax + b)2 Que es lo mismo que(ax + b) (ax + b)Que es lo mismo que ax2 + 2axb + b2En nuestro ejemplox2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo nmero del binomio, por lo tanto, ese nmero debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer trmino corresponde al cuadrado del segundo trmino (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuacin por 16, as tenemos x2 + 8x + 16 = 48 + 16x2 + 8x + 16 = 64la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64Que es igual a(x + 4)2 = 64Extraemos raz cuadrada de ambos miembros y tenemos

Nos quedax + 4 = 8Entoncesx = 8 4x = 4Se dice que "se complet un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuacin se logr obtener la expresin (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.Veamos otro ejemplo: Partamos con la ecuacinx2 + 6x 16 = 0Hacemosx2 + 6x = 16Luego, a partir de la expresin x2 + 6x (primer miembro de la ecuacin) debemos obtener una expresin de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).Para encontrar el trmino que falta hacemos (Para encontrar dicho trmino en cualquier ecuacin siempre debemos dividir por 2 el valor real del segundo trmino y el resultado elevarlo al cuadrado).Ahora, para obtener la expresin completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuacin: x2 + 6x = 16x2 + 6x + 9 = 16 + 9x2 + 6x + 9 = 25factorizamos, y queda(x +3) (x + 3) = 25(x + 3)2 = 25

La expresin x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2, y as la ecuacin se resuelve con facilidad:Extraemos raz cuadrada, y quedax + 3 = 5 y x + 3 = 5(pues 52 = 5 y tambin (5)2 = 5Entoncesx = 5 3 x = 2Yx = 5 3x = 8La ecuacin 1 da x = 2 y la ecuacin 2 da x = 8. Otro ejemplo para analizar y estudiar: Resolver la ecuacin: x2 6x + 8 = 0 Veamos: Con los trminos x2 y 6x podemos formar el cuadrado de binomio (x 3)2 , pero nos faltara el trmino igual a 9, por lo tanto, dejamos las equis (x) a la izquierda y pasamos el 8 a la derecha de la igualdad:x2 6x = 8 y sumamos 9 a ambos lados de la igualdad para que a la izquierda se forme el cuadrado de binomio: Cmo encontramos el trmino que falta?, haciendo

x2 6x = 8 /+9 (sumamos 9 en ambos miembros de la ecuacin)x2 6x + 9 = 8 + 9 (x 3)2 = 1 Extraemos las races cuadradas

y quedax 3 = 1 y x 3 = 1

Si x 3 = 1x = 1 + 3x = 4Six 3 = 1x = 1 + 3x = 2Por lo tanto x1 = 4 y x2 = 2 Debemos hacer notar que el mtodo de completar cuadrados terminar en lo mismo que la frmula general, porque es de este mtodo de donde sale dicha frmula, usada en el mtodo que vemos a continuacin.Ver: PSU: Matematica; Pregunta 028_2010

Solucin por la frmula general

Existe una frmula que permite resolver cualquier ecuacin de segundo grado, que es la siguiente:

La frmula genera dos respuestas: Una con el signo ms (+) y otra con el signo menos () antes de la raz. Solucionar una ecuacin de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la frmula. La frmula general para resolver una ecuacin de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuacin de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las tcnicas de factorizacin.Ejemplo: Resolver la ecuacin 2x2 + 3x 5 = 0 Vemos claramente que a = 2, b = 3 y c = 5, as es que:

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el :y tambin As es que las soluciones son . Aqu debemos anotar algo muy importante:En la frmula para resolver las ecuaciones de segundo grado aparece la expresin . Esa raz cuadrada slo existir cuando el radicando (b2 4ac) sea positivo o cero.El radicando b2 4ac se denomina discriminante y se simboliza por . El nmero de soluciones (llamadas tambin races) depende del signo de y se puede determinar incluso antes de resolver la ecuacin.

Entonces, estudiando el signo del discriminante (una vez resuelto), podemos saber el nmero de soluciones que posee: Si es positivo, la ecuacin tiene dos soluciones. Si es negativo, la ecuacin no tiene solucin. Si es cero, la ecuacin tiene una nica solucin. En el ejemplo anterior el discriminante era = 49, positivo, por eso la ecuacin tena dos soluciones.Obtendremos dos soluciones, una cuando sumamos a b la raz y lo dividimos por 2a, y otra solucin cuando restamos a b la raz y lo dividimos por 2a.Trabajando con ecuaciones de segundo gradoComo lo dijimos al comienzo, cualquier ecuacin de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, y b son los coeficientes de los trminos x2 y x, respectivamente y c es el trmino independiente. Ecuacin de segundo grado completa

Una ecuacin de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero. Entonces, la expresin de una ecuacin de segundo grado completa es ax2 + bx + c = 0. Ecuacin de segundo grado incompleta Una ecuacin de segundo grado es incompleta cuando los trminos b o c, o ambos, son cero. (Si a = 0, la ecuacin resultante sera bx + c = 0, que no es una ecuacin de segundo grado.) La expresin de una ecuacin de segundo grado incompleta es: ax2 = 0; si b = 0 y c = 0. ax2 + bx = 0; si c = 0. ax2 + c = 0; si b = 0.Algunos ejemplos, con soluciones1) Resolver: 5x2 + 13x + 6 = 0 Se identifican las letras, cuidando que la ecuacin est ordenada respecto a la x, de grado mayor a menor. Con esta condicin tenemos: a = 5; b = 13; c = 6. Se aplica la frmula:

Como la raz buscada es 17 (el cuadrado de 17 es 289), se tiene entonces que:

Segn esto, tendremos dos races diferentes, una usando el signo + y otra usando el signo . Llamaremos X1 y X2 a las dos soluciones, que sern:

Ambos valores de x satisfacen la ecuacin, es decir, al sustituirlos en ella producen una identidad. Al procedimiento de sustituir para probar si los valores hallados satisfacen la ecuacin se le denomina verficacin. Probando con x = 3. Resulta: 5 (3)2 + 13 (3) + 6 = 45 + 39 + 6 = 0, tal como se esperaba en el segundo miembro. Probando con , se tiene

Como ambas respuestas producen identidades, ahora es seguro que 3 y son las races de 5x2 + 13x + 6 = 0

2.- Resolver: 6x x2 = 9 Hacemos los cambios necesarios para que la ecuacin tenga la forma conocida. Trasponiendo y cambiando de lugar resulta: x2 + 6x 9 = 0. Ahora se identifican las letras: a = 1 ; b = 6 ; c = 9 ; y se aplica la frmula:

El discriminante () es igual a cero, por lo cual se producen dos races iguales a 3, es decir, x1 = x2 = 3. Sustituyendo los valores en la ecuacin original, se verifica que: 63 32 = 18 9 = 9 con lo cual se ha comprobado la respuesta. Ejercicios que se resuelven con ecuaciones cuadrticasEn los siguientes ejercicios mostraremos algunos planteamientos que pueden expresarse como una ecuacin de segundo grado.Para hacerlo, hay que entender la lgica del problema, identificando como x a una de las variables que el problema establece; luego deben escribirse las relaciones entre la variable, de acuerdo al planteamiento y, finalmente, se resuelve la ecuacin. Hay que destacar que slo la experiencia mejora los resultados. Para practicar, los interesados pueden consultar el "Algebra" de Aurelio Baldor, que, para muchos, es la biblia del lgebra. Problema 1La suma de dos nmeros es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Halle ambos nmeros Primero se asigna la variable x a una de las incgnitas del problema. Hay dos incgnitas que son ambos nmeros, como el problema no hace distincin entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo: x = Primer nmero Como la suma de ambos es 10, entonces necesariamente el otro ser: 10 x = Segundo nmero Para entenderlo mejor:Si entre su amigo y usted tienen $ 1.000, y su amigo tiene $ 400, Cunto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1.000 400 = $ 600. Si su amigo tiene $ x, la cuenta no cambia, slo que no sabr el valor sino en funcin de x, es decir, usted tiene 1.000 x .La condicin final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos nmeros resulta 58, entonces: x2 + (10 - x)2 = 58Esta es la ecuacin a resolver Para hacerlo, aplicamos algunas tcnicas de lgebra elemental y luego reordenamos para llegar a la frmula conocida. Vemos que la operacin indicada entre parntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy comn que los estudiantes escriban: (a b)2 = a2 b2, lo cual es incorrecto. La expresin correcta es: (a b)2 = a2 2ab + b2 Desarrollando la ecuacin se tiene: x2 + 102 210x + x2 = 58 = x2 + 100 20x + x2 = 58 Ordenando y agrupando: 2x2 20x+ 42 = 0; Dividiendo entre 2 toda la ecuacin:x2 10x + 21 = 0 Ahora podemos aplicar la frmula general para resolver la ecuacin de segundo grado y llegaremos a x1 = 7 y x2 = 3. Veamos, si tenemosa = 1, b = 10 c = 21

Los nmeros buscados son 7 y 3. Problema 2El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el rea se duplica. Halle el rea original de la sala. Largo y ancho son diferentes. El problema permite que la variable x se asigne a cualquiera de las dos incgnitas, largo o ancho.Supongamos que: x = ancho de la salaEl largo es 3 metros mayor que el ancho, as es que: x + 3 = largo de la sala.El rea de un rectngulo es la multiplicacin de ambos: x (x + 3 ) = rea de la sala. Tngase en cuenta que estos son los datos iniciales. Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, as que, luego del aumento quedan: x + 3 = nuevo ancho de la sala x + 5 = nuevo largo de la sala (x + 3 ) (x + 5) = nueva rea de la sala Segn los datos del problema, el rea se ha duplicado, as es que planteamos la ecuacin: (x + 3 ) (x + 5) = 2 x (x + 3) Se efectan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 2x2 6x = 0 Se simplifica: x2 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuacin a resolver. Se aplica la frmula conocida y resulta: x1 = 5 y x2 = 3. La solucin x = 3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como nica respuesta que el ancho original (x) era 5 metros. Como el largo inicial x + 3 = 8 metros, el rea original era 8m 5m = 40 m2. Problema 3Halle el rea y permetro del tringulorectngulo mostrado. Las dimensiones estn en metros Como es un tringulo rectngulo se cumple el Teorema de Pitgoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos" (c2 = a2 + b2). La hipotenusa es el lado mayor (2x 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la ecuacin: (x + 3)2 + (x 4)2 = (2x 5)2 Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene: x2 + 2 3 x + 32 + x2 2 4 x + 42 = (2x)2 2 (2x) 5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 8x + 16 = 4x2 20x + 25 Reagrupando:x2 + 6x + 9 + x2 8x + 16 4x2 + 20x 25 = 0 Finalmente:2x2 + 18x = 0Es la ecuacin a resolver Las races de la ecuacin son x1 = 0 y x2 = 9. La solucin x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sera 4 m, lo cual no es posible. La solucin es entonces, x = 9. De esta manera, el tringulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros.El rea de un tringulo es base por altura dividido 2; la base y la altura son los dos catetos que estn a 90 , por lo tanto el rea es

El permetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30m

4. Desigualdades

4.1 Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedadesDesigualdades o inecuaciones de primer grado con una incgnitaLa expresin ab,

quiere decir que "a" no es igual a "b". Segn los valores particulares de "a" y de "b", puede tenerse a > b, que se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia a - b es positiva y a < b, que se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia a - b es negativa. Desigualdad "es la expresin de dos cantidades tales que la una es mayor o menor que la otra".Lo mismo que en las igualdades, en toda desigualdad, los trminos que estn a la izquierda del signo mayor o menor, forman el primer miembro de la desigualdad, y los trminos de la derecha, forman el segundo miembro. De la definicin de desigualdad, lo mismo que de la escala de los nmeros algebraicos, se deducen algunas consecuencias, a saber: 1 Todo nmero positivo es mayor que ceroEjemplo:5 > 0 ;porque 5 - 0 = 52 Todo nmero negativo es menor que ceroEjemplo:-9 < 0 ;porque -9 -0 = -9 3 Si dos nmeros son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;Ejemplo:-10 > -30;porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

Sentido de una desigualdad.Los signos > o < determinan dos sentidos opuestos o contrarios en las desigualdades, segn que el primer miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.Desigualdades absolutas y condicionales.As como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; as tambin hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.Desigualdad absoluta es aquella que se verifica para cualquier valor que se atribuya a las literales que figuran en ellaEjemplo:a2+ 3 > a

Desigualdades condicional es aquella que slo se verifica para ciertos valores de las literales:Ejemplo:2x - 8 > 0que solamente satisface para x > 4. En tal caso se dice que 4 es el lmite de x.

Las desigualdades condicionales se llaman inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades.1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se aade o se resta un mismo nmero a cada miembroEfectivamente si en la desigualdad a > b se designa por "c" lo que falta a "b" para ser igual a "a", se tiene:a = b + c

Aadiendo un mismo nmero, positivo o negativo a los miembros, se puede escribir:a + m = b + c + m

Suprimiendo "c" en el segundo miembro, resulta evidentemente a + m > b +m

Ejemplos:9 > 59 + 2 > 5 + 211 > 7-2 > -6-2 -3 > -6 -3-5 > -9

Consecuencia de esta propiedad: Puede suprimirse un trmino en un miembro de una desigualdad, teniendo cuidado de agregar en el otro miembro el trmino simtrico del suprimido; es decir, se puede pasar un trmino de un miembro a otro, cambiando su signo, porque esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.Ejemplo:6x -2 > 4x + 46x -4x > 4 + 22. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen entre un mismo divisor, tambin positivo.Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + cMultiplicando ambos miembros de la desigualdad por un nmero positivo "m", resulta:am = bm + cm.

Suprimiendo el trmino positivo "cm", en el segundo miembro disminuye, y se tiene:am > bm

Si "m" es recproco de un nmero positivo, queda evidenciada la segunda parte de esta propiedad

Ejemplos:12 > 712 * 3 > 7 * 336 > 2115 > -2515 5 >(-25) 53 > -5

3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se dividen entre un mismo divisor, tambin negativo.Sea la desigualdad a > b, es decir, a = b + cMultiplicando ambos miembros de la desigualdad por el factor negativo -n se obtiene: -an = -bn -cn

Suprimiendo -cn, en el segundo miembro aumenta; por tanto,-an < -bn

Si -n es recproco de un nmero negativo, queda demostrada la segunda parte del enunciado.

Ejemplos:3 > -153(-4) < (-15)(-4)-12 < 6064 < 8064 (-4) >80 (-4)-16 > -20

Consecuencia de la propiedad anterior pueden cambiarse todos los signos de una desigualdad, con tal que se cambie el sentido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por -1.

Ejemplo:-7x + 130 < 9 -5x7x - 130 > -9 + 5x

4. Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad n