Guia de Estudios i o

Gua de estudio para la asignatura

INVESTIGACIN DE OPERACIONES PARA

INGENIERA

Preparada por Juan Carlos Grijalba

2

Gua de estudio Investigacin de operaciones para ingeniera

Programa de Produccin de Material Didctico Escrito

Edicin acadmica

Cristhian Herrera H., editor externo

Encargada de ctedra

Enrique Gmez Jimnez

Este material se dise en el 2014 en la UNED para ser usado por la ctedra

Tecnologa de Sistemas, del Programa Ingeniera Informtica.

Universidad Estatal a Distancia

Vicerrectora Acadmica

Escuela de Ciencias Exactas y Naturales

3

Elaborada por Juan Carlos Grijalba

ndice

Pgina

Tema 1. Introduccin a la investigacin de operaciones 6

Tema 2.Panorama del enfoque del modelo en investigacin de

operaciones 14

Tema 3. Introduccin a la Programacin Lineal 24

Tema 4. El Mtodo Simplex 51

Tema 5. Anlisis de decisiones 84

Tema 6. Teora de Colas 92

Tema 7. Teora de Inventario 101

Tema 8. Simulacin 124

4


Presentacin

El ser humano, como un ser racional, entre otras caractersticas siempre se ha

visto inmerso en la bsqueda de soluciones a problemas, esto le ha divertido e

intrigado a travs de las pocas.

Durante la Segunda Guerra Mundial, surge el problema o bien, la necesidad de

asignar recursos escasos a las distintas operaciones tcticas y estratgicas para

maniobras militares, con el fin de actuar de una manera ms rpida, efectiva y

apropiada ante la intensa dinmica que compona cada operacin. Para lograr

esto, se reuni a un grupo de cientficos en pos del apoyo y orientacin de la

planificacin ejecutiva, los cuales aplicaron los primeros principios de

investigacin de operaciones. Al trmino de la guerra y atrados por el xito

alcanzado por los estrategas militares, se gener un gran inters por la

posibilidad de aplicar IO a un mbito distinto al militar y desde entonces, la

investigacin de operaciones ha sido fundamental para el crecimiento de las

organizaciones en todo el mundo.

En la actualidad, las organizaciones cuentan con un alto grado de especializacin

en los diferentes componentes que contribuyen al logro de un objetivo en

particular, en su mayora se trabaja en pro de conseguir una meta en comn,

pero en ocasiones se desvirta la necesidad de trabajar cohesivamente con el fin

de conseguir resultados eficientes.

5


Este curso pretende guiarle en el aprendizaje de las tcnicas, mtodos y

estrategias existentes para el estudio de problemas de investigacin de

operaciones con el fin de conseguir, no solo una solucin al problema, sino

adems tratar de encontrar la respuesta optima del caso planteado.

Para lograr los objetivos planteados, nos apoyaremos en el libro de texto del

curso cuyo ttulo es Investigacin de Operaciones, y este documento le guiar en

el estudio de cada tema que se expone.

6


TEMA 1

Introduccin a la investigacin de operaciones

Contenidos

Orgenes de la Investigacin de Operaciones

Naturaleza de la Investigacin de Operaciones

Efectos de la Investigacin de Operaciones

Algoritmos y paquetes de IO

7


Objetivos

Una vez estudiado el tema, entre otras habilidades, usted estar en la capacidad de:

Identificar los principales eventos que dieron origen a la investigacin de

operaciones

Conocer en qu campos se aplica la Investigacin de Operaciones y como

podra mejorar la operacin en organizaciones alrededor del mundo.

Sealar la importancia de algoritmos y paquetes de IO.

Gua de lectura

Refirase al contenido del libro de texto ubicado entre la pgina 1 y 6, del

Captulo 1. Posteriormente, repase el contenido sistemtico que se presenta a

continuacin:

8


Introduccin

El presente capitulo tiene el propsito de explicar los orgenes de la investigacin

de operaciones y el inters que tomo despus de ciertos eventos histricos en

donde se demostr de forma exitosa su gran gama de aplicaciones.

Origen de la investigacin de operaciones

Es importante se tome el tiempo para repasar los principales eventos que dieron

origen a la IO, de esta forma comprender su importancia y la intencin de

muchas organizaciones al aplicarla.

Segn avanza en la lectura, podr corroborar cual es la Naturaleza de la

Investigacin de Operaciones, cul es el objetivo meta que persigue y cules son

los principios cientficos en los cuales se basa un estudio de IO. Adelantndonos

un poco, podemos decir que trata de obtener un beneficio sustancial o dicho de

una mejor manera, beneficio mximo u optimo, sobre la operacin de un sistema

donde los buenos resultados conducen a un reconocimiento econmico.

En cuanto al efecto de la investigacin de operaciones, trate de analizar cules

han sido los principales beneficios que han obtenido las organizaciones al aplicar

IO en sus negocios, no olvide reflexionar sobre el costo, la madurez y el tamao

de la organizacin.

Todas las organizaciones deben incorporar este tipo de estudios?

9


Algoritmos y paquetes de IO

En mltiples textos se afirma que una vez planteado un problema de

investigacin de operaciones, es relativamente sencillo resolverlo. Sin embargo,

es necesario tener cierto conocimiento matemtico para poder hacerlo. La

complejidad de un problema de investigacin de operaciones se atribuye

principalmente a la recoleccin de datos, su interpretacin y modelado, la

resolucin por otro lado se vuelve relativamente simple, especialmente porque

en la actualidad nos apoyamos mucho en herramientas de software.

Algunas de estas herramientas son:

Solver: Es una herramienta de anlisis que se integra a Excel, bsicamente

se indican las reglas del modelo y basado en ello se genera la solucin del

sistema.

Matlab: Es una poderosa herramienta con funciones matemticas,

podemos decir que tiene cierto lenguaje por medio del cual se dan las

instrucciones tcnicas para resolver un modelo previamente definido, las

soluciones son expresadas de una manera muy familiar en trminos de

notacin matemtica. Usualmente se utiliza para:

Desarrollo de aplicaciones, incluyendo construccin de interfaces

graficas de usuario

Matemtica y Computacin

Modelamiento, simulacin y prototpico

10


Anlisis de datos, exploracin y visualizacin

Desarrollo de algoritmos

Graficas cientficas e ingenieriles

Es importante tener claro que la intencin del curso no es profundizar en el uso

de este tipo de herramientas, el objetivo es enfocarnos en la parte difcil, es decir

trataremos de definir modelos dado un problema en particular, sin dejar de lado

el explicar cmo resolverlos de forma manual y luego estos resultados pueden

ser corroborados en alguna de estas herramientas.

Seguidamente se ofrecen algunos ejercicios de autoevaluacin que servirn para

evaluar sus logros en el estudio de este, el primer captulo.

Ejercicios de Autoevaluacin

Ejercicio #1

- Cite al menos 3 factores que impulsaron el desarrollo de la investigacin

de operaciones.

Ejercicio #2

- Describa el mtodo cientfico, de un ejemplo de aplicacin en la vida real.

Ejercicio #3

- Mencione brevemente 3 caractersticas de la IO.

11


Solucin a ejercicios de autoevaluacin

Ejercicios #1

Solucin:

Caso de xito en Segunda Guerra Mundial.

Revolucin de las computadoras

Facilidad de su aplicacin en numerosos campos.

Ejercicios #2

Solucin:

Proceso de investigacin basado en:

o La observacin del fenmeno o problema.

o Formulacin de hiptesis.

o Diseo experimental

o Anlisis de los resultados y conclusiones.

Ejemplo:

Problema: Mi computadora se apaga despus de 15 minutos

de estar sin alimentacin elctrica.

12


Observacin: La batera de mi computadora no se carga al

100%

Hiptesis: La batera esta mala.

Prediccin: S compro y cambio la batera de mi

computadora, se cargara al 100% y durar 6 horas sin estar

conectada al fluido elctrico segn las especificaciones de la

computadora, de esta forma se soluciona el problema.

Experimentacin: Compro la batera original, remuevo la

batera vieja e instalo la nueva batera en mi computadora,

luego conecto la computadora al fluido elctrico, esperando

hasta que se cargue la batera al 100%.

Una vez cargada la desconecto del fluido elctrico y la uso

por ms de 5 horas, el problema fue resuelto.

Conclusin: La computadora tena la batera mala, se

cambi y el problema fue resuelto.

Resultados: La computadora ahora funciona correctamente,

le coloqu la nueva batera y ahora la durabilidad del tiempo

de carga es el adecuado.

13


Ejercicios #3

Solucin:

Usa el mtodo cientfico.

Tiene como objetivo encontrar una solucin ptima.

Se plantea y resuelve mediante un modelo matemtico.

14


TEMA 2

Panorama del enfoque de modelo en investigacin de

operaciones

____________________________________________

Contenidos

Definicin del problema y recoleccin de datos

Formulacin de un modelo matemtico

Obtencin y de soluciones a partir del modelo

Prueba del modelo

Preparacin para aplicar el modelo

Implementacin

15


Objetivos

___________________________________________________________


Describir de manera terica las etapas por las cuales se plantea, desarrolla e

implementa un estudio caracterstico de investigacin de operaciones.

Gua de Lectura



continuacin:

16


Introduccin

En un estudio de investigacin de operaciones el investigador de operaciones

tiene que trabajar hombro a hombro con el dueo del negocio. El investigador

con sus conocimientos del modelo debe complementarse con la experiencia y el

conocimiento del negocio del cliente, para quien se realiza el estudio.

La IO al ser una herramienta que apoya la toma de decisiones, es una ciencia y

un arte. Es una ciencia por las tcnicas matemticas que presenta, y es un arte

porque el xito de todas las fases que anteceden y siguen a la resolucin del

modelo matemtico depende mucho del ingenio, creatividad y la experiencia del

equipo de investigacin de operaciones.

En este sentido, el presente capitulo tiene el propsito de explicar las etapas ms

importantes de un estudio caracterstico de investigacin de operaciones, con el

fin de tener claridad en la identificacin de las variables y sus relaciones.

Fases de un Proceso de Investigacin de operaciones

Es muy importante tener claro el proceso de resolucin de un problema de

investigacin de operaciones de la vida real, desde la definicin del problema

hasta el planteamiento de una solucin. El libro de texto describe una serie de

etapas las cuales se resumen a continuacin:

17


1. Definicin del problema y recoleccin de datos: Se identifica objetivo,

variables y restricciones del sistema.

2. Formulacin del modelo matemtico: Se plantea un modelo matemtico

(sistema de ecuaciones por ejemplo), que simplifica el objetivo, las

variables y restricciones.

3. Obtencin de soluciones a partir del modelo: El modelo matemtico se

resuelve de forma manual o con ayuda de una computadora.

4. Prueba del modelo: Se evala la efectividad del modelo, por lo general

mediante una prueba retrospectiva usando datos histricos. Adems, se

hacer un anlisis de sensibilidad del modelo.

5. Preparacin para aplicar el modelo: Se crea un paquete de componentes

para la liberacin en produccin.

6. Implementacin: Uso del sistema o modelo.

El diagrama que sigue, resume de una forma grfica el flujo de un proceso

caracterstico de IO:

18



1. Ejercicio

- Cite 3 desventajas de la IO.

Definicin del problema

Formulacin Construccin del Modelo

Validacin del Modelo

Reformulacin del Modelo

Aplicacin del Modelo

Simulacin del Modelo

19


2. Ejercicio

- Cite 3 ventajas de la IO

3. Ejercicio

- Describa una situacin de la vida real en la que segn usted se pueda

aplicar la investigacin de operaciones y dado ese escenario.

4. Ejercicio

- En el contexto de IO explique qu significa solucin ptima.

5. Ejercicio

- En qu nos ayuda un anlisis de sensibilidad.

6. Ejercicio libro de texto

- Solucione los ejercicios del libro de texto ubicados al final del captulo.

20


Solucin a ejercicios de autoevaluacin

1. Ejercicio:

- Cite 3 desventajas de la IO.

Solucin:

En ocasiones los problemas deben simplificarse con el fin de

poder trabajarlos y encontrar una solucin.

No puedo trabajar con objetivos mltiples, como es la

realidad de muchas organizaciones..

Generalmente no se realiza un estudio consto-beneficio, en

ocasiones los beneficios potenciales podran ser superados

por los costos relacionados con el desarrollo e implantacin

de un modelo.

2. Ejercicio:

- Cite 3 ventajas de la IO.

Solucin:

Sugiere el uso eficiente de los recursos asignados a una

actividad.

Una vez formulado el modelo matemtico, encontrar una

solucin es relativamente sencillo.

21


Se aplica a una gran diversidad de problemas prevenientes

de numerosas disciplinas.

3. Ejercicio:

- Describa una situacin de la vida real en la que segn usted se pueda

aplicar la investigacin de operaciones.

Solucin:

Programacin del horario de clases para la Escuela de Ciencias Exactas y

Naturales, considerando la cantidad de estudiantes, el nmero de aulas

disponibles, los horarios disponibles, el nmero mnimo de estudiantes

por grupo, nmero de profesores y el dinero disponible para el pago de

profesores.

4. Ejercicio:

- En el contexto de IO explique qu significa solucin ptima.

Solucin:

La mejor solucin, la solucin que maximiza o minimiza la ganancia

segn la funcin objetivo.

22


5. Ejercicio:

- En qu nos ayuda un anlisis de sensibilidad.

Solucin:

Nos ayuda a estudiar el comportamiento del modelo cuando lo

sometemos a cambios en las variables, restricciones y parmetros del

sistema.

6. Ejercicio seleccionados del libro de texto

a. Ejercicios 2.1-1.

Antecedentes

- Competencia entre compaa de servicios

financieros

- Evaluacin de impacto de nuevos servicios

Misin general del grupo de IO

- Optimizacin de servicios financieros

Tipos de datos obtenidos

23


- Datos numricos procedentes de informacin

histrica de los clientes

Efecto resultante

- Incremento de aproximadamente 50,000 millones

de dlares en la posesin de activos de sus clientes

y casi 80 millones de dlares en ganancias

adicionales.

24


TEMA 3

Introduccin a la Programacin Lineal

____________________________________________

Contenidos

Introduccin

Modelo de Programacin Lineal

Supuestos de la Programacin Lineal

Formulacin de un Modelo de Programacin Lineal

Solucin de un Problema de Programacin Lineal usando el Mtodo

Grafico

25


Objetivos

___________________________________________________________


Entender el modelo de programacin lineal junto con los supuestos en los que

se basa.

Plantear la solucin de un problema bsico de IO usando un modelo de

programacin lineal

Resolver un problema bsico de programacin lineal

Gua de Lectura


Captulo3. Posteriormente, repase el contenido sistemtico que se presenta a

continuacin.

26


Introduccin

Con frecuencia, el tomar una decisin incluye satisfacer varios criterios al mismo

tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una computadora porttil se tiene el

criterio de garanta, costo, caractersticas tcnicas (Sistema Operativo, Memoria,

Procesador, Celdas de batera, Capacidad de Almacenamiento, Otros), color,

tamao, peso, entre otros.

Se puede ir un paso ms adelante y dividir estos criterios en dos categoras:

Restricciones y el objetivo. Las restricciones son las condiciones que debe

satisfacer una solucin que est bajo consideracin. Si ms de una alternativa

satisface todas las restricciones, el objetivo se usa para seleccionar entre todas las

alternativas factibles. Cuando se elige una laptop, pueden quererse ciertas

especificaciones tcnicas y s varias marcas satisfacen estas restricciones, puede

aplicarse el objetivo de un costo mnimo y escoger las ms barata.

Situaciones como la anterior hay muchas y es aqu en donde entra en juego una

de las tcnicas ms difundidas de la investigacin de operaciones, la

programacin lineal (PL), cuyo xito est ligado a la flexibilidad para describir

un gran nmero de situaciones reales, tal como la compra de una laptop.

En este contexto, podemos resumir que programacin lineal se refiere al medio

matemtico que permite asignar una cantidad fija de recursos a la satisfaccin de

varias demandas en tal forma que mientras que se optimiza algn objetivo se

satisfacen otras condiciones definidas.

27


Forma estndar del modelo

Un problema de programacin lineal con n variables tiene por finalidad

optimizar (maximizar o minimizar) una funcin lineal de la forma:

Maximizar/Minimizar Z = c1x1 + c2x2+ ... + cnxn,

A esta ecuacin se le llama funcin objetivo y siempre est sujeta a una serie de

restricciones que define el negocio, estas ltimas se representan de manera

matemtica a travs de un sistema de ecuaciones con n incgnitas:

a11x1 + a12x2+ ...+ a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm

y

x1 0, x2 0, ..., xn 0

Cada desigualdad o bien restriccin,determina un semiplano que acota el

margen de soluciones posibles, la interseccin de todos los semiplanos define la

regin factible, la cual contiene todas las soluciones factibles. Una solucin

ptima es una solucin entre las soluciones factibles que proporciona el valor

mximo o mnimo de la funcin objetivo.

As mismo, tenga en cuenta el significado de Regin acotada. Seguidamente se

muestra un ejemplo:

28


Regin acotada:

El grafico anterior muestra una regin acotada, la cual est definida por la

interseccin de los semiplanos definidos por las restricciones del modelo.

En este caso en particular, este grfico nos indica que existe un nmero

finito de soluciones.

Regin no acotada:

x

y

29


El grfico anterior muestra una regin no acotada, es decir existe un

nmero infinito de soluciones para el modelo planteado.

Situaciones como la anterior sern objeto de estudio segn avance en cada

uno de los temas propuestos en esta gua.

Para finalizar, considere debe tener claro los conceptos de variables de

decisin, regin factible, funcin objetivo, restricciones, solucin factible,

solucin ptima, solucin en el vrtice, entre otros conceptos. Adems, no

est dems indicar que se requiere un conocimiento bsico en lgebra

lineal para resolver sistemas de ecuaciones.

x

y

30


Solucin grafica

Inicialmente con el objetivo de entender la mecnica de diferentes mtodos

definidos para resolver problemas de programacin lineal, el libro propone en

este captulo el estudio y resolucin de problemas de PL basados en el mtodo

grfico. Para tal efecto y con el fin de esclarecer de una manera resumida se

brinda el siguiente flujo:

Sumado a lo anterior, se deben estudiar algunos supuestos de programacin

lineal, entre ellos: proporcionalidad -variables y la funcin objetivo deben ser

lineales- aditividad -variable aditiva respecto a la variable objetivo divisibilidad

-soluciones no necesariamente son nmeros enteros-optimidad -La solucin

ptima es un vrtice del conjunto de soluciones factibles-.

En lnea con lo anterior, se listan algunas caractersticas de programacin lineal:

No admite incertidumbre.

Es determinista es decir, no incluye probabilidades y utiliza un modelo

matemtico para describir el problema.

Funcin objetivo y restricciones deben ser lineales.

Deben conocerse todos los coeficientes de las ecuaciones.

Graficar las rectas determinas por las restricciones.

1

Encontrar la regin interseccin

2

Determinar los vrtices o esquinas

3

Evaluar la funcin objetivo en los vrtices.

4 Escoger el

mayor o menor valor, segn sea el requerimiento.

5

31


Trata la planeacin de actividades

No existe un numero lmite de restricciones

Slo puede haber un objetivo.

CASO DE ESTUDIO: 3.2 ENSAMBLE DE AUTOMVILES

Captulo 3, pgina nmero 79.

Solucin inciso a)

FORMULACIN DEL MODELO MATEMTICO QUE REPRESENTA EL

PROBLEMA

Paso 1: Construccin de la tabla lineal

(Tipos de Autos medianos y de Lujo)

Recursos Thrillseeker

(1)

ClassyCruiser

(2)

Cantidad de

Recursos

Disponibles

Horas-Trabajador 6 10.5 48 000

Nmero de

Puertas

4 2 20 000

Ventas

ClassyCruiser

0 1 3 500

Ganancia ($) $3 600 $5 400

32


Paso 2: Variables del Modelo

X: nmero de autos thrillseeker producidos.

Y: nmero de autos classycruiser producidos.

Hay que determinar los valores de x y de y que maximizan la ganancia neta total.

Z = 3 600x + 5 400y

Sujeta a

x 0; y 0

Paso 3: Solucin Grfica

6x + 10.5y 48 000

4x + 2y 20 000

Y 3 500

33


Los puntos que comprenden la regin factible son:

1. (0,3 500) con Z = $18 900 000;

2. (1875, 3 500) con Z = $25 650 000;

3. (3 800, 2 400) con Z = $26 640 000;

4. (5 000, 0) con Z = $18 000 000.

Por lo tanto la solucin ptima que maximiza la ganancia neta de la Planta de

Ensamble, es la que indica que se produzcan 3 800 autos Thrillseeker y 2 400

autos ClassyCruiser.

Solucin inciso b)


(1)

ClassyCruiser

(2)

Cantidad de

Recursos

Disponibles


Nmero de

Puertas

4 2 20 000

Ventas

ClassyCruiser

0 1 4 200

Ganancia ($) $3 600 $5 400

Hay que maximizar Z = 3 600x + 5 400y sujeto a

34


x 0; y 0

Grfico


1. (0,4 200) con Z = $22 680 000;

2. (650, 4 200) con Z = $25 020 000;

3. (3 800, 2 400) con Z = $26 640 000;

4. (5 000, 0) con Z = $18 000 000.

6x + 10.5y 48 000

4x + 2y 20 000

Y

4 200

35


La Campaa Publicitariano debe realizarse, puesto que la solucin ptima que

maximiza la ganancia neta de la Planta de Ensamble, sigue siendo la que indica

el inciso a), o sea, que se produzcan 3 800 autos Thrillseeker y 2 400 autos

ClassyCruiser. Adems, hay que tomar en cuenta que a la ganancia hay que

restarle el costo de la campaa, el cual es de $500 000, y por lo tanto la ganancia

disminuira a $26 140 000.

Solucin inciso c)


(1)

ClassyCruiser

(2)

Cantidad de

Recursos

Disponibles


Nmero de

Puertas

4 2 20 000

Ventas

ClassyCruiser

0 1 3 500

Ganancia ($) $3 600 $5 400


x 0; y 0

6x + 10.5y 60 000

4x + 2y 20 000

Y 3 500

36


Grfico


1. (0, 3 500) con Z = $18 900 000;

2. (3 250, 3 500) con Z = $30 600 000;

3. (5 000, 0) con Z = $18 000 000;

Si se aumenta la capacidad de las horas-trabajador en un 25%, entonces se

necesitan ensamblar 3 250 autos Thrillseeker y 3 500 autos ClassyCruiser, para

obtener una ganancia mxima de $30 600 000.

Solucin inciso d)

Lo ms que estara dispuesta a pagar Rachel, es la suma de $3 960 000, puesto

que es la ganancia que se obtendra de ms (en comparacin con la mxima

37


ganancia el inciso a) al aumentar las horas-trabajador en un 25%. Si se paga

ms de $3 960 000, equivaldra entonces a una prdida para la empresa, puesto

que se est dedicando ms tiempo al ensamble de automviles, y la ganancia

ms bien disminuye, en lugar de aumentar.

Solucin inciso e)


(1)

ClassyCruiser

(2)

Cantidad de

Recursos

Disponibles


Nmero de

Puertas

4 2 20 000

Ventas

ClassyCruiser

0 1 4 200

Ganancia ($) $3 600 $5 400


x 0; y 0

6x + 10.5y 60 000

4x + 2y 20 000

Y 4 200

38


Grfico


1. (0, 4 200) con Z = $22 680 000;

2. (2 650, 4 200) con Z = $32 220 000;

3. (3 000, 4 000) con Z = $32 400 000;

4. (5 000, 0) con Z = $18 000 000;

Tomando en cuenta la realizacin de la Campaa Publicitaria y el aumento de las

horas extra, la cantidad de modelos Thrillseeker y ClassyCruiser que deben

ensamblarse para maximizar las ganancias son: 3 000 y 4 000 autos

respectivamente.

39


Solucin inciso f)

La solucin encontrada en el inciso e) s es adecuada, puesto que:

1) en el inciso a) la ganancia mxima es de $26 640 000

2) en el inciso e) la ganancia mxima es de $32 400 00

3) la suma de la campaa publicitaria junto con las horas extras generan un

costo de $2 100 000.

4) Por lo tanto, si a la ganancia del inciso e) le restamos $2 100 000, el total de

la ganancia corresponde a $30 300 000, el cual sigue siendo un monto

mayor al del inciso a).

Solucin inciso g)


(1)

ClassyCruiser

(2)

Cantidad de

Recursos

Disponibles


Nmero de

Puertas

4 2 20 000

Ventas

ClassyCruiser

0 1 3 500

Ganancia ($) $2 800 $5 400


40


x 0; y 0

(grfico)


1. (0,3 500) con Z = $18 900 000;

2. (1875, 3 500) con Z = $24 150 000;

3. (3 800, 2 400) con Z = $23 600 000;

4. (5 000, 0) con Z = $14 000 000.

6x + 10.5y 48 000

4x + 2y 20 000

Y 3 500

41


El nmero de autos Thrillseeker y ClassyCruiser que deben ensamblarse,

tomando en cuenta el nuevo precio con descuento es de 1875 y 3 500

respectivamente.

Solucin inciso h)


(1)

ClassyCruiser

(2)

Cantidad de

Recursos

Disponibles

Horas-Trabajador 7.5 10.5 48 000

Nmero de

Puertas

4 2 20 000

Ventas

ClassyCruiser

0 1 3 500

Ganancia ($) $3 600 $5 400


x 0; y 0

7.5x + 10.5y 48 000

4x + 2y 20 000

X 6 400

Y 3 500

42


Grfico


1. (0,3 500) con Z = $18 900 000;

2. (1 500, 3 500) con Z = $24 300 000;

3. (4222, 1555) con Z = $23 596 000;

4. (5 000, 0) con Z = $18 000 000.

El nmero de unidades del Thrillseeker sera de 1 500, y el nmero de unidades

del ClassyCruiser sera de 3 500, para generar una ganancia mxima de $24 300

000.

43


Solucin inciso i)

Si se cumpliera con toda la demanda del ClassyCruiser (que sera de 3500 autos

ClassyCruiser y 1875 autos Thrillseeker) se generara una ganancia de $25 650

000.

Tomando en cuenta de que la mayor ganancia ($26 640 000) se genera

produciendo 3 800 autos Thrillseeker y 2 400 autos ClassyCruiser, podramos

decir que s se puede cumplir con toda la demanda del ClassyCruiser puesto que

la diferencia de las dos ganancias corresponde a $990 000, y sta no supera los $2

000 000.

Grfico del inciso a

44


Solucin inciso j)


(1)

ClassyCruiser

(2)

Cantidad de

Recursos

Disponibles

Horas-Trabajador 7.5 10.5 60 000

Nmero de

Puertas

4 2 20 000

Ventas

ClassyCruiser

0 1 4 200

Ganancia ($) $2 800 $5 400


x 0; y 0

7.5x + 10.5y 60 000

4x + 2y 20 000

Y 4 200

45


Grfico


1. (0,4 200) con Z = $22 680 000;

2. (2 120, 4 200) con Z = $28 616 000;

3. (3333, 3333) con Z = $27 330 600;

4. (5 000, 0) con Z = $14 000 000.

Tomando en cuenta de que se realice la Campaa Publicitaria y se aumenten las

horas-trabajador en un 25%, se genera una ganancia mxima de $28 616 000, al

ensamblar 2 120 autos Thrillseeker y 4 200 autos ClassyCruiser.

46


A esta ganancia hay que restarle $500 000 que cuesta la Campaa

Publicitaria y $1 600 000, que corresponde al costo de las horas-trabajador extra;

lo que reduce la ganancia principal a $26 516 000.

Si se compara la ganancia mxima del inciso a) (la cual no cuenta con la campaa

publicitaria ni con las horas-trabajador extras) con la ganancia mxima del inciso

j) nos podemos dar cuenta de que la inversin en la campaa publicitaria y en las

horas-trabajador extras, generan $76 000 ms.

Es por eso que la mejor opcin que puede tomar Rachel es combinar las

consideraciones de los incisos f, g y h.

Ejercicios de Autoevaluacin:

1. Ejercicio

- Un herrero quiere fabricar bicicletas para distintos propsitos, recreo y

montaismo. Para ello cuenta con 80 kg de acero y 120 kg de aluminio,

el precio estimado de venta es respectivamente 20.000 y 15.000

colonespara cada bicicleta terminada. Lade recreo requiereun 1 kg de

acero y 3 Kg. de aluminio, y la de montaismo 2 Kg. de cada metal.

Cuntas bicicletas de cada una deber fabricar y vender con el fin de

maximizar la ganancia?

47


2. Ejercicio

- El SINPE ofrece a travs de Central Directo diferentes tipos de

instrumentos de inversin, mediante lo cual pretende atraer

inversionistas. Un usuario del sitio, dispone de 10 millones de colones

y un amigo le aconseja lo invierta en dos tipos de acciones, W y Z.

Elinvertir enWes riesgoso pero genera un beneficio anual del 10%. Por

otro lado, el invertir en Zgenera mayor seguridad es decir, es una

decisin ms conservadora pero slo genera una rentabilidad del 7%

anual. Despus de muchas deliberaciones toma la decisin de invertir

6 millones como mximo en W y por lo menos 2 millones en Z.

Tambin, decide que lo invertido en W sea, al menos, igual a lo

invertido en Z. Cmo deber invertir el usuario los 10 millones de

colones, de tal manera que maximice el beneficio anual?

3. Ejercicio libro de texto

- Solucione los ejercicios del libro de texto ubicados al final del captulo.

48


Respuesta a ejercicios de autoevaluacin

Solucin ejercicio #1

Para maximizar la ganancia se deben producir 20 bicicletas de recreo y

30 de montaismo.


Para maximizar la ganancia de la inversin realizada en Central

Directo, se deben invertir 6 millones en el producto W y 4 millones en

el producto Z.

Ejercicios libro de texto

- Seguidamente se ofrece la solucin a algunos ejercicios de evaluacin

del libro de texto.

Solucin Ejercicio 3,1-8 del libro de texto

Solucin(a)

x1 = Numero de productos #1

x2 = Numero de productos #2

49


Material

Cantidad de materiales

requeridos para cada

producto

Material

disponible

Producto

1 2

Metal 1 3 200

Elctrico 2 2 300

Ganancia por producto 1 2

Funcin Objetivo

Max(Z) = x1 + 2x2

Restricciones

x1 + 3x2 200,

2x1 + 2x2 300,

x2 60

y

x1 0, x2 0

Igualando las restricciones

x1 + 3x2 = 200,

2x1 + 2x2 = 300,

x2 = 60

50


Solucin (b)

Se debe fabricar 125 unidades de Producto 1 y 25 unidades del Producto 2 para tener un

mximo de ganancia y obtener $ 175.

51


TEMA 4

El Mtodo Simplex

____________________________________________

Contenidos

Mtodo simplex

Mtodo Simplex en Forma Tabular

Mtodo de la M

52


Objetivos

___________________________________________________________


Entender el mtodo simplex para resolver problemas de programacin lineal

Resolver problemas con el Mtodo Simplex

Resolver problemas usando el mtodo de la M o penalizacin

Gua de Lectura



continuacin.

53


Introduccin

El mtodo simplex es un procedimiento algebraico que mediante una solucin

factible inicial entra en un proceso iterativo donde se buscan mejores soluciones

hasta determinar, la solucin ptima.

Este proceso iterativo lo podemos resumir de la siguiente manera:

1. Paso inicial

Inicio en una solucin factible en un vrtice.

2. Paso iterativo

Traslado a una mejor solucin factible en un vrtice adyacente

3. Paso prueba de optimidad

Traslado a una mejor solucin factible en un vrtice adyacente

Definiciones

Restriccin frontera: Es una recta que marca el lmite de lo que permite la

restriccin correspondiente.

Soluciones en el vrtice: Todos los puntos donde se interceptan las

restricciones fronteras.

Soluciones factibles en el vrtice (FEV): Puntos que se encuentran en los

vrtices de la regin factible.

54


Soluciones no factibles en el vrtice: Los otros puntos que se encuentran

en los vrtices que no corresponden a la regin factible.

Arista: Segmento de recta que conecta 2 soluciones FEV.

Si la regin factible es acotada y no vaca existe una solucin ptima, Por lo tanto

se puede asegurar que una de las soluciones FEV es la solucin ptima. Para

saber cuntas soluciones en el vrtice existen, podemos utilizar la siguiente

frmula:

(n + m)! / n! m! = Soluciones en el vrtice

Donde

n = nmero de variables de decisin

m = nmero de ecuaciones

55


El mtodo simplex en Forma Tabular

Esquema de la matriz:

Diseo de la matriz

Se toman los coeficientes de las ecuaciones del modelo de PL de forma

estndar y se colocan en su lugar correspondiente de acuerdo con la

identificacin de las filas y columnas de la matriz.

Por ejemplo, dado el ejercicio 4,4-7

Variables de holgura

Solucin, Z mejora en cada iteracin

Variables de decisin

56


Maximizar Z = 2x1 - x2 + x3

3x1 + x2 + x3 6,

x1 - x2 + 2x3 1,

x1 + x2 - x3 2

y

x1 0, x2 0, x3 0

Iteracin Variable

bsica Ec.

Coeficiente de: Lado

derecho Z X1 X2 X3 X4 X5 X6

0

Z (0) 1 -2 1 -1 0 0 0 0

X4 (1) 0 3 1 1 1 0 0 6

X5 (2) 0 1 -1 2 0 1 0 1

X6 (3) 0 1 1 -1 0 0 1 2

El mtodo simplex, dado

este ejercicio inicia en el

punto (0,0,0). La solucin

inicial sera Z 0 0.

Regln pivote.

Columna pivote.

Nmero pivote

57


CASO DE ESTUDIO: 4.2 NUEVAS FRONTERAS

Captulo 4, pgina nmero 147.

Solucin inciso a

Sea:

Xij= Cantidad de personas a entrevistar de la regin i que pertenecen al grupo de

edad j.

para i = 1, 2, 3. y j = 1, 2, 3, 4.

Z = Costo total (en dlares) al realizar la investigacin.

As, Xij son variables de decisin para el modelo. Si se usa la tabla de costos se

obtiene:

Z = 4.75X11 + 6.50X12 + 6.50X13 + 5.00X14

+ 5.25X21 + 5.75X22 + 6.25X23 + 6.25X24

+ 6.50X31 + 7.50X32 + 7.50X33 + 7.25X34

58


Tabla de Costos en dlares:

Regin

Grupo de edad

18 a 25 26 a 40 41 a 50 51 o ms

Silicon Valley $4,75 $6,50 $6,50 $5,00

Ciudades Grandes $5,25 $5,75 $6,25 $6,25

Ciudades Pequeas $6,50 $7,50 $7,50 $7,25

Podemos ver el costo correspondiente a cada grupo de edad y asociado a ella su

respectiva regin. Ej. El costo por entrevistar a una persona perteneciente a al

grupo de edad entre 41 y 50 aos perteneciente a ciudades grandes es de $6.25.

En,

Z = 4.75X11 + 6.50X12 + 6.50X13 + 5.00X14

+ 5.25X21 + 5.75X22 + 6.25X23+ 6.25X24

+ 6.50X31 + 7.50X32 + 7.50X33 + 7.25X34

Como podemos ver los subndices de la variable X, i = 2 y j = 3, representan el

nmero de fila y columna donde se ubica dicha variable.

Siguiendo con el ej., 6.25 es el coeficiente de X23 es decir si X, que representa el

nmero de personas a entrevistar de ciudades grandes y cuya edad esta entre 41

y 50 aos tiene un valor de 50 (X=50) entonces el costo es el siguiente:

50 * 6.25 = 312.5 (dlares)

59


En este caso el costo por entrevistar 50 personas sera 312.5 dlares.

En fin, el valor de Xij y su coeficiente determina el costo por cada grupo y su

sumatoria el costo total representado por Z.

El objetivo es elegir los valores de Xij que minimicen:

Z = 4.75X11 + 6.50X12 + 6.50X13 + 5.00X14

+ 5.25X21 + 5.75X22 + 6.25X23 + 6.25X24

+ 6.50X31 + 7.50X32 + 7.50X33 + 7.25X34

Sujeta a las restricciones impuestas sobre sus valores por AmeriBank. Se nos pide

entrevistar 2000 personas distribuido de la siguiente forma:

Poblacin Al menos (%)

18 a 25 20%

26 a 40 27.5%

41 a 50 15%

51 o ms 15%

Silicon Valley 15%

Ciudades Grandes 35%

Ciudades Pequeas 20%

NOTA:Se quiere dar a entender por Al menos, como el porcentaje mnimo de

personas a entrevistar.

60


Dos mil representa el 100% de la poblacin a entrevistar, es decir la tabla anterior

es equivalente a:

Poblacin Al menos

18 a 25 400

26 a 40 550

41 a 50 300

51 o ms 300

Silicon Valley 300

Ciudades Grandes 700

Ciudades Pequeas 400

La siguiente tabla nos puede ayudar a entender mejor el problema:

Ntese que an no hemos definido el nmero de personas a entrevistar, por lo

que las entradas temporalmente son cero. La fila con la etiqueta No. total de

61


personas agrupadas por edad corresponde a la sumatoria de cada una de las

regiones pertenecientes a un grupo de edad en especfico, por ahora tienen el

valor de cero ya que cada una de las entradas suman en total cero. As mismo,

podemos observar que estas entradas estn sujetas a restricciones de mayor o

igual () definidas por AmeriBank. Ej. La sumatoria correspondiente a las

personas pertenecientes al grupo de edad entre 26 y 40 aos (sin tomar en cuenta

una regin en especfico) debe ser mayor o igual a 550 personas. De igual forma

se aplica a las personas agrupadas por regin sin tomar en cuenta a que grupo de

edad pertenecen.

Adems, cabe mencionar que los campos marcados con gris oscuro y verde son

campos calculados en base a cada una de las entradas.

El nmero obtenido en cada una de las entradas multiplicado por su respectivo

costo define el costo de entrevistar ese grupo en especfico y su sumatoria define

el costo total.

Otra restriccin importante que no hemos mencionado es que vamos a

entrevistar un total de 2000 personas, en la tabla anterior la casilla que contiene

un cero en negrita corresponde a la sumatoria del total de personas la cual, debe

ser estrictamente igual a cero.

Modelo de Programacin Lineal

Para resumir, en el lenguaje matemtico de programacin lineal, el problema

consiste en seleccionar valores de Xij para

62


Minimizar Z = 4.75X11 + 6.50X12 + 6.50X13 + 5.00X14

+ 5.25X21 + 5.75X22 + 6.25X23 + 6.25X24

+ 6.50X31 + 7.50X32 + 7.50X33 + 7.25X34

Sujeta a las restricciones

X 1j 300

X 2j 700

X 3j 400

X i1 400

X i2 550

Xi3 300

Xi4 300

Xij= 2000

Xij 0 para i = 1,2,3. yj = 1,2,3,4.

Para, i = Persona agrupado por regin

4

j = 1 4

j = 1 4

j = 1

i = 1

3

3

i = 1 3 i = 1

i = 1 3

i = 1

j

i

3 4

63


j = Persona agrupado por edad

Solucin inciso b)

Usando una herramienta llamada Solver que aplica el mtodo Simplex

para encontrar una solucin ptima, nos damos cuenta que el problema en

cuestin tiene un conjunto infinito de soluciones una de ellas esta

expresada en la siguiente tabla.

Tabla de programacin lineal

Se satisfacen todas las restricciones impuestas por AmeriBank, en este caso la

cotizacin dada por SophisticatedSurveys es la siguiente:

Se entrevistarn 600 personas de Silicon Valley correspondiente a

edades entre 18 y 25 aos con un costo de 2850 dlares.

64


De esta misma regin se entrevistarn 300 personas correspondientes a

edades de 51 o ms aos con un costo de 1500 dlares.

Se entrevistarn 550 personas de Ciudades Grandes correspondiente a

edades entre 26 y 40 aos con un costo de 3162.5 dlares.

De esta misma, se entrevistaran 150 personas de 41 a 50 aos de edad

con un costo de 937.5 dlares.

Por ltimo, de Ciudades Pequeas se entrevistaran 250 personas entre

18 y 25 aos de edad con un costo de 1625 dlares.

y 150 personas entre 41 y 50 aos de edad con un costo de 1125 dlares.

Generando un costo total de 11.200 dlares. Recordemos que el costo se

determina multiplicando el nmero de personas por el costo unitario,

correspondiente a entrevistar un grupo de personas asociadas con la regin y el

grupo de edad definido en la tabla de costos ante explicada.

La ganancia para SophisticatedSurveys estara definida por la multiplicacin del

coste total y 0.15 (margen de ganancia).

En resumen:

Costo al realizar la investigacin (entrevistas): $11200

Ganancia para SophisticatedSurveys: $1680

65


La cotizacin presentada por SophisticatedSurveys seria $12880

Solucin inciso c)

Como podemos observar en la ltima tabla presentada existe varias categoras

(Se le llama categora a un grupo de edad en especfico perteneciente a una

regin en particular) de grupos que est en 0, y para hacer ms representativas

las entrevistas, Rob decidi cambiar las restricciones. La nueva restriccin

consiste en que se deben entrevistar al menos 50 personas de cada categora. Es

decir en cada entrada Xijdebe haber un nmero de personas mayor o igual a 50.

Por lo tanto, construiremos un nuevo modelo de programacin lineal,

Minimizar Z = 4.75X11 + 6.50X12 + 6.50X13 + 5.00X14

+ 5.25X21 + 5.75X22 + 6.25X23 + 6.25X24

+ 6.50X31 + 7.50X32 + 7.50X33 + 7.25X34


X 1j 300

X 2j 700

X 3j 400

4

j = 1 4

j = 1

4

j = 1

3

66


X i1 400

X i2 550

Xi3 300

Xi4 300

Xij= 2000



Observe que se denota con color la nueva restriccin del modelo.

La tabla de programacin lineal quedara de la siguiente forma:

i = 1 3

i = 1 3 i = 1

i = 1 3

i = 1

j

i

3 4

Xij 50 para i = 1,2,3. y j = 1,2,3,4.

67


Para las nuevas restricciones impuestas por AmeriBank se obtiene un conjunto

infinito de soluciones ptimas, la cotizacin para una de esas soluciones

(presentada en la tabla) dada por SophisticatedSurveys se muestra

seguidamente:

Nmero de personas a entrevistar agrupadas por regin y edades

Grupo de Silicn Nmero de personas Costo en Dlares

Valley de la edad a entrevistar

18 a 25 aos 600 2850

26 a 40 aos 50 325

41 a 50 aos 50 325

51 o ms aos 200 1000

68


Grupo de Ciudades Nmero de personas Costo en Dlares

Grandes de la edad a entrevistar

18 a 25 aos 50 262.5

26 a 40 aos 450 2587.5

41 a 50 aos 150 937.5

51 o ms aos 50 312.5

Grupo de Ciudades Nmero de personas Costo en Dlares

Pequeas de la edad a entrevistar

18 a 25 aos 200 1300

26 a 40 aos 50 375

41 a 50 aos 100 750

51 o ms aos 50 362.5

COSTO TOTAL $ 11387.5

GANANCIA PARA SOPHISTICATED SURVEYS $1708.125

69


La cotizacin presentada por SophisticatedSurveys seria $ 13095.625

Solucin inciso d

Nuevamente, hay una variacin en las restricciones impuestas por AmeriBank,

esto se ve reflejado seguidamente:

Poblacin Cantidad Persona

18 a 25 600

26 a 40 550

41 a 50 300

51 o ms 300

Silicon Valley 650



Segn estas nuevas restricciones, obtenemos un nuevo modelo de programacin

lineal.

Minimizar Z = 4.75X11 + 6.50X12 + 6.50X13 + 5.00X14

+ 5.25X21 + 5.75X22 + 6.25X23 + 6.25X24

+ 6.50X31 + 7.50X32 + 7.50X33 + 7.25X34

70



X 1j 650

X 2j 700

X 3j 400

X i1 600

X i2 550

Xi3 300

Xi4 300

Xij= 2000

Xij 50 para i = 1,2,3. yj = 1,2,3,4.



4

j = 1 4

j = 1

4

j = 1

i = 1

3

3

i = 1 3 i = 1

i = 1 3

i = 1

j

i

3 4

71


Ntese que las nuevas restricciones estn marcadas de un color diferente al que

se viene utilizando, esto se hace nicamente para resaltar las modificaciones del

modelo.

La nueva tabla de programacin lineal

La nueva cotizacin es la siguiente:

COSTO TOTAL $ 11575



Recordemos que el margen de ganancia de SophisticatedSurveys es un 15 % de

los costos producidos al entrevistar las 2000 personas.

72


Solucin inciso e)

Segn informacin suministrada, debemos construir una nueva tabla de costos.

Regin

Grupo de edad

18 a 25 26 a 40 41 a 50 51 o ms

Silicon Valley $6,50 $6,50 $6,50 $5,00

Ciudades Grandes $6,75 $5,75 $6,25 $6,25

Ciudades Pequeas $7,00 $7,50 $7,50 $7,25

Con esta nueva tabla cambian algunos coeficientes de la funcin objetivo del

modelo de programacin lineal, el nuevo modelo de programacin lineal es el

siguiente:

Minimizar Z = 6.50X11+ 6.50X12 + 6.50X13 + 5.00X14

+ 6.75X21+ 5.75X22 + 6.25X23 + 6.25X24

+ 7.00X31 + 7.50X32 + 7.50X33 + 7.25X34


X 1j 650

X 2j 700

X 3j 400

X i1 600

4

j = 1 4

j = 1 4

j = 1

i = 1

3

73


X i2 550

Xi3 300

Xi4 300

Xij= 2000

Xij 50 para i = 1,2,3. yj = 1,2,3,4.

Como podemos ver los costos por persona de la poblacin de 18 a 25 aos

aumento, lo que produce un incremento en el costo total al entrevistar las 2000

personas. En la tabla de programacin lineal,

3

i = 1

3

i = 1

i = 1 3

i = 1

j

i

3 4

74


Seria relativamente la misma, pero debido a las modificaciones de los costos de la

poblacin de 18 a 25 aos de edad el costo incrementa hasta llegar a 11975

dlares al entrevistar las 2000 personas.

La nueva propuesta para el modelo sera la siguiente:

COSTO TOTAL $ 11975



75


Solucin inciso f)

Para resolver este problema con los nuevos ajustes, debemos hacer la siguiente

transformacin, tomando en cuenta que la poblacin total es 2000.

Grupo de Edad Cantidad de personas

18 a 25 500

26 a 40 700

41 a 50 400

51 o ms 400

Silicon Valley 400



Observe que la tabla anterior es equivalente a la dada en porcentajes, recordemos

que el 100% de la poblacin es 2000 la cual fue definida por AmeriBank.

Debido a que se ha establecido un nmero exacto de personas, el modelo tratado

en el inciso anterior sufre algunas modificaciones.

El nuevo modelo es,

Minimizar Z = 6.50X11 + 6.50X12 + 6.50X13 + 5.00X14

76


+ 6.75X21 + 5.75X22 + 6.25X23 + 6.25X24

+ 7.00X31 + 7.50X32 + 7.50X33 + 7.25X34


X 1j= 400

X 2j= 1000

X 3j= 600

X i1= 500

X i2= 700

X i3= 400

X i4 = 400

Xij 50 para i = 1,2,3. y j = 1,2,3,4.

Para i = Persona agrupado por regin.

j = Persona agrupado por edad.

Adems, es innecesario considerar la restriccin:

4

j = 1 4

j = 1

4

j = 1

i = 1

3

3

i = 1 3 i = 1

i = 1 3

i = 1

77


Xij= 2000

Esto porque se han establecido valores exactos los cuales suman 2000 el tomar en

cuenta esta restriccin ocasionarla problemas de redundancia en el

planteamiento del modelo de programacin lineal.

En la tabla de programacin lineal,

Simplificando la tabla anterior, podemos ver el nmero de personas que se deben

entrevistar como sigue:

Para este modelo se produce un costo total de 12475 dlares, con respecto al

costo generado en el inciso e este tiene un aumento de:

j

i 3

4

78


$12475 - $11975 = $500

Es decir, la incorporacin de estos nuevos requerimientos de la investigacin

para SophisticatedSurveys aumenta el costo en 500 dlares.

Ejercicios de autoevaluacin

Ejercicio #1

Considerar el siguiente problema:

Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y

sujeto a: 2x + y 18

2x + 3y 42

3x + y 24

x 0 , y 0

Resolver usando el mtodo grfico

Resolver empleando el Mtodo del Simplex (Forma Tabular)

Resolverlo por medio del Solver de MsExcel.

Ejercicio #2

Resolver los ejercicios del libro de texto, descritos al final del captulo.

79


Respuesta a ejercicios de autoevaluacin


Considerar el siguiente problema:

Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 2y

sujeto a: 2x + y 18

2x + 3y 42

3x + y 24

x 0 , y 0

Resolver usando el mtodo grfico

Resolver empleando el Mtodo del Simplex (Forma Tabular)

Resolverlo por medio del Solver de MsExcel.

Solucin

Los valores que maximizan Z(3,12) para un valor mximo de Z = 33.


Seguidamente se ofrece la solucin a algunos ejercicios del libro de texto:

Solucin Ejercicio 4,4-7

Maximizar Z = 2x1 - x2 + x3

3x1 + x2 + x3 6,

x1 - x2 + 2x3 1,

x1 + x2 - x3 2

y

x1 0, x2 0, x3 0

80


Iteracin Variable

bsica Ec.



0

Z (0) 1 -2 1 -1 0 0 0 0

X4 (1) 0 3 1 1 1 0 0 6

X5 (2) 0 1 -1 2 0 1 0 1

X6 (3) 0 1 1 -1 0 0 1 2

1

Z (0) 1 0 -1 3 0 2 0 2

X4 (1) 0 0 4 -5 1 -3 0 3

X1 (2) 0 1 -1 2 0 1 o 1

X6 (3) 0 0 2 -3 0 -1 1 1

2

Z (0) 1 0 0 3/2 0 3/2 1/2 5/2

X4 (1) 0 0 0 -1 1 -1 -2 1

X1 (2) 0 1 0 1/2 0 1/2 1/2 3/2

X2 (3) 0 0 1 -1/2 0 -1/2 1/2 1/2

Iteracin #0

1. Sume al regln uno el doble del regln pivote.

2. Sume al regln dos el triple negativo del regln pivote.

3. Sume al regln cuatro el negativo del regln pivote.

Iteracin #1

1. Divida el regln pivote entre el numero pivote. use este nuevo regln

pivote en los pasos 2, 3 y 4.

2. Sume al regln uno el reglo pivote.

3. Sume al regln dos el negativo de cuatro veces el regln pivote.

81


4. Sume al regln cuatro el reglo pivote.

Solucin: Los valores que maximizan la funcin objetivo son:

x1 = 3/2

x2 = 1/2

x3 = 0

F(x1, x2, x3) = 5/2

82


Solucin Ejercicio 4,4-8

Maximizar Z = -x1 + x2 + 2x3

x1 + 2x2 - x3 20,

-2x1 + 4x2 + 2x3 60,

2x1 + 3x2 + x350

y

x1 0, x2 0, x3 0

Iteracin Variable

bsica Ec.



0

Z (0) 1 1 -1 -2 0 0 0 0

X4 (1) 0 1 2 -1 1 0 0 20

X5 (2) 0 -2 4 2 0 1 0 60

X6 (3) 0 2 3 1 0 0 1 50

1

Z (0) 1 -1 4 0 1 2 0 60

X4 (1) 0 0 4 1 1/2 -3 0 50

X3 (2) 0 -1 2 0 1/2 1 0 30

X6 (3) 0 3 1 0 -1/2 -1 1 20

2

Z (0) 1 0 13/3 0 0 1/3 1/3 200/3

X4 (1) 0 0 4 0 1 1/2 0 50

X3 (2) 0 0 7/3 1 0 -1/6 1/3 110/3

X1 (3) 0 1 1/3 0 0 -2/3 1/3 20/3

Iteracin #0

83


1. Divida el regln pivote entre el coeficiente del nmero pivote, use este

nuevo regln pivote en los pasos que siguen.

2. Sume al regln uno el duplicado del regln pivote.

3. Sume al regln dos el regln pivote.

4. Sume al regln cuatro el negativo del regln pivote.

Iteracin #1

1. Divida el regln pivote entre el coeficiente del nmero pivote, use este

nuevo regln pivote en los pasos que siguen.

2. Sumeal regln uno el reglo pivote.

3. Sume al regln tres el reglo pivote.

Solucin: Los valores que maximizan la funcin objetivo son:

x1= 20/3

x2 = 0

x3 = 110/3

F(x1, x2, x3) = 200/3

84


TEMA 5

Anlisis de decisiones

____________________________________________

Contenidos

Introduccin

Arboles de decisin

85


Objetivos

___________________________________________________________

Al finalizar el estudio de la lectura asignada del texto, entre otras habilidades, usted ser

capaz de:

Analizar los tipos de decisiones que se deben tomar en un ambiente de gran

incertidumbre.

Gua de Lectura

Refirase a los contenidos ubicados entre las pginas 625 y 672, del texto

correspondiente al captulo 15. Luego, proceda a repasar el desarrollo

sistemtico presentado a continuacin:

86


Introduccin

El anlisis de decisin es una tcnica que consiste en evaluar alternativas

complejas en trminos de valores y de incertidumbre, el objetivo es optimizar el

pago resultante, en trminos de algn criterio de decisin numrico. Entre los

elementos considerados en un estudio de anlisis de decisiones estn:

Un pago, consecuencia que resulta de la alternativa elegida y la ocurrencia

de un particular estado de la naturaleza.

Un nmero finito de eventos futuros posibles, llamados estados de la

naturaleza, es decir, un conjunto de escenarios posibles.

Un nmero finito de alternativas posibles de decisin.

Un rbol de decisin para analizar cualquier serie de decisiones.

El tema de anlisis de decisiones involucra probabilidades de diferentes eventos

y acciones asociadas a ellos, los resultados esperados son beneficios pero no

siempre es as al tratarse de eventos fortuitos, seguidamente se muestra de una

manera grfica esta relacin:

Modelo

Matemtico Acciones

Eventos

Beneficios

87


Arboles de decisin

Es una tcnica grfica y analtica que permite analizar decisiones secuenciales

basada en el uso de resultados y probabilidades asociadas, permitiendo as la

toma de decisiones efectivas gracias a que:

Se plantea el problema considerando todas las opciones posibles, con el

fin de analizar y medir las posibles consecuencias al tomar alguna de esas

alternativas.

Nos permite cuantificar el costo y la probabilidad de que suceda un

evento.

Apoya la toma de decisiones partiendo de la informacin que se tiene y de

las mejores suposiciones.

Se recomienda estudiar de forma exhaustiva este tema, para ello se sugiere

estudiar los casos de estudio que expone el libro y resolver los ejercicios al final

del captulo.

88



Ejercicio #1

En relacin a un rbol de decisin, qu es un nodo de decisin?

Ejercicio #2

En relacin a un rbol de decisin, defina que es un nodo de probabilidad?

Ejercicio #3

En que nos ayuda el llevar a cabo un proceso de experimentacin antes de

realizar el estudio de anlisis de decisiones?

Ejercicio #4

Cmo nos ayuda la regla de decisin de Bayes para resolver problemas de

anlisis de decisiones?

Ejercicio #5

Esencial COSTA RICA ser de ahora en adelante la marca pas que Costa Rica

emplear oficialmente para proyectar su imagen internacional ante el mundo

entero, esto ser una herramienta de posicionamiento, diferenciacin y

competitividad de Costa Rica ante inversionistas potenciales, turistas y

compradores internacionales de productos costarricenses.

Para llevar a cabo esta iniciativa, la administracin costarricense debe decidir una

estrategia de marketing. Se consideran tres tipos de actuaciones:

89


Agresiva (A)

Bsica (B)

Conservadora (C)

Las condiciones del mercado bajo estudio se denotan mediante Fuerte (F) o Dbil

(D). Las mejores estimaciones para cada estrategia seran:

Decisin Estado de la Naturaleza

Fuerte (F) Dbil (D)

Agresiva (A) 30 -8

Bsica (B) 20 7

Conservadora (C) 5 15

Adems, el Instituto Costarricense de Turismo (ICT) y El Ministerio de Comercio

Exterior (COMEX) estiman que las probabilidades de que el Mercado sea fuerte o

dbil son 0.45 y 0.55 respectivamente. Cul deber ser la estrategia que tome el

pas para promocionar esta nueva marca?

Ejercicios resueltos de autoevaluacin


Indica que una decisin necesita tomarse en ese punto del proceso.


Indica que en ese punto del proceso ocurre un evento aleatorio "estado de la

naturaleza".

90



Nos ayuda a obtener mejores estimaciones de las probabilidades de todos los

estadosposibles dela naturaleza.


Nos ayuda a utilizar las mejores estimaciones disponibles de las probabilidades

de los respectivos estados de la naturaleza, para calcular el valor esperado del

pago de cada opcin posible. Despus de esto, se elige la opcin con el mximo

pago esperado.


Valor para cada decisin:

Valor Esperado (A) = 30 * (0,45) - 8 * (0,55) = 9,10

Valor Esperado (B) = 20 * (0,45) + 7 * (0,55) = 12,85

Valor Esperado (C) =5 * (0,45) + 15 * (0,55) = 10,5

91


La mejor decisin es la B.

De forma grfica lo representamos a travs de un rbol de decisin:

A

B

C

F

D

F

D

F

D

P(F)=0,4

P(D)=0,5

P(F)=0,4

P(D)=0,5

P(F)=0,4

P(D)=0,5

30

- 8

20

7

5

15

92


TEMA 6

Teora de Colas

Contenidos

Estructura bsica de modelos de colas

Distribucin exponencial

Proceso de nacimiento y muerte

Modelo de colas basados en el proceso de nacimiento y muerte

Modelo de colas con distribuciones no exponenciales

Modelo de colas con disciplinas de prioridades

Redes de colas

93


Objetivos

___________________________________________________________

Al finalizar el estudio de la lectura asignada del texto, entre otras habilidades, usted ser

capaz de:

Estudiar y resolver problemas de investigacin de operaciones caracterizado

por un sistema de listas de espera mediante la implementacin de modelos

matemticos con el fin de encontrar una solucin ptima.

Gua de Lectura




94


Introduccin

Este tema est inmerso en nuestra vida real y me atrevera a decir que a diario

nos enfrentamos al menos a un sistema de colas, unos ms complejos que otros

pero fundamentalmente tienen el mismo principio. Se componende una serie

de elementos que conjugados forman el sistema de colas o bien, se les suele

llamar lneas de espera, normalmente se crean cuando un nmero de clientes

demanda un servicio y siendo la demanda superior a la capacidad del servicio,

se generan las lneas de espera. Por ejemplo las personas que pasan por la ruta

27 San Jos - Caldera, tienen que pagar el peaje y normalmente, hay fila. En

algunas ocasiones la fila es de kilmetros y esto inquieta en gran medida a los

conductores, usuarios del servicio y la razn de esto se debe a que los puestos

de servicio donde se cancela el peaje no cubre la demanda necesaria para que el

transito sea fluido.

Ejemplos como el anterior, lo encontramos tambin en hospitales, cajeros

automticos, semforos, cajas de un supermercado, paradas de autobuses,

entre otros y la idea de esta seccin es profundizar en el estudio de este tipo de

fenmenos comunes en nuestra vida, y as contar con los elementos necesarios

para encontrar cierto equilibrio entre oferta y demanda, coadyuvando as a un

mejor servicio.

Estructura Bsica

Un sistema de colas est compuesto bsicamente por tres elementos:

Sistema de poblacin

95


Sistema de cola

Sistema de servicio (Servidor)

Usando como referencia el ejemplo del peaje de la ruta 27, el sistema de

poblacin, normalmente denominado entidades, lo conforman los vehculos

automotores que circulan en la autopista, el sistema de colas est compuesto por

la fila de vehculos sobre el puesto de servicio y el sistema de servicio, lo

conforman todas las cajas cobradoras del peaje incluyendo el quickpass.

Seguidamente se muestra de manera grfica la estructura bsica de un modelo de

colas:

96


Pob

laci

n

(En

tid

ades

)

Pro

ceso

Es

pe

ra

S P

roce

so d

e

Lle

gad

a P

roce

so d

e

Serv

icio

Sal

ida

de

Sis

tem

a

97


Concentre su estudio en los temas que se mencionan seguidamente:

Distribucin exponencial

Proceso de Nacimiento y Muerte

Modelo de colas basados en el proceso de nacimiento y muerte

Los temas que siguen son menos importantes para el curso, pero es importante

conocerlos:

Modelo de colas con distribuciones no exponenciales

Modelo de colas con disciplinas de prioridades

Redes de colas

98



Ejercicio #1: En el contexto de teora de colas, a que se refiere el trmino FIFO?

Ejercicio #2: En el contexto de teora de colas, a que se le denomina mecanismo

de servicio?

Ejercicio #3: En el contexto de teora de colas, a que se le denomina poblacin

potencial o fuente de entrada?

Ejercicio #4: Aqu se refiere el termino cola?

Ejercicio #5: Cite al menos dos objetivos que persigue la teora de colas.

Ejercicio #6

Suponga que en una autopista existe un nico puesto de servicio para pagar el

peaje y cada hora llegan aproximadamente 45 automviles.Por hora se tiene la

capacidad para atender en promedio a 60 automviles y cada uno dura

aproximadamente 3 minutos en la cola. Basado en un servicio de llegadas de

Poisson y tiempos de servicios exponencial, se solicita:

a) Tiempo promedio en que un automvil pasa el peaje.

b) Nmero promedio de automviles en la cola.

c) En un momento dado, nmero promedio de automviles en el sistema.

99


Ejercicios resueltos de autoevaluacin

Solucin ejercicio #1:

El primero que entra en el sistema es el primero que sale.


Procedimiento mediante el cual el cliente es atendido por el servidor, una vez

atendido sale del sistema.


Es un conjunto de clientes que solicitan un servicio en un sistema, dependiendo

de la cantidad, se generan colas de espera.


Es una lnea de espera, conformado por un conjunto de clientes que esperan ser

atendidos por un mecanismo de servicio.


Minimizar el costo de un sistema identificando su nivel ptimo de

capacidad.

Evaluar el impacto de cambios en la capacidad del sistema.


Basado en las siguientes premisas:

= 45 automviles/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60

automviles/minutos

100


= 60 automviles/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60

automviles/minutos=

Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un automvil en la

cola)

a. Para calcular el tiempo promedio que un automvil pasa en el

Sistema (Ws). Lo podemos calcular a partir de Wq y .

=+ = 3 minutos + =+=

En promedio, un automvil pasa 4 minutos en el Sistema (3

esperando y 1 en servicio).

b. Automviles en la cola: Lq= Wq.

==0.75 automviles * 3 minutos = 2.25 automviles.

c. Para calcular cual es el nmero de automviles en la cola (Ls). Lo

podemos hacer con la frmula: Ls= Ws.

= =0.75 automviles 4 = 3 automviles

En promedio, hay 3 clientes en el sistema, considerando que hay

solo servidor estaran dos clientes en espera.

101


TEMA 7

Teora de Inventarios

____________________________________________

Contenidos

Componentes de los modelos de inventarios

Modelos determinsticos de revisin continua

Modelo determinstico con revisin peridica

Modelos de inventario determinsticos con mltiples escalones para

administrar una cadena de proveedores

Modelo estocstico con revisin continua

Modelo estocstico de un solo periodo para productos perecederos

102


Objetivos

___________________________________________________________

Al finalizar el estudio de la lectura asignada del texto, entre otras habilidades,

usted ser capaz de:

Analizar los tipos de decisiones que se deben tomar en un ambiente de gran

incertidumbre.

Gua de Lectura




103


Introduccin

Un problema de inventario existe cuando es necesario guardar bienes fsicos o

mercancas con el propsito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de

tiempo especificado (finito o infinito). La gran mayora de las empresas deben

almacenar bienes para asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus

operaciones, pero esto tiene ciertas implicaciones y costos. Las decisiones

considerando cundo hacer pedidos y en qu cantidad, son tpicas de cada

problema de inventario. En este contexto, el objetivo de la teora de inventarios

es establecer tcnicas para minimizar los costos asociados a un esquema de

inventario para satisfacer una demanda.

Caractersticas de los sistemas de inventario:

1. Ciclo de pedido: Se identifica por el periodo de tiempo entre la colocacin

de dos pedidos sucesivos.

2. Tiempo de anticipacin: Cuando se realiza un pedido puede que se reciba

inmediatamente o puede que se tome algn tiempo antes de que se reciba.

El tiempo entre la realizacin del pedido y la recepcin se conoce como

tiempo de anticipacin o de adelanto.

3. Reabastecimiento instantneo: Ocurre cuando los artculos se compran a

fuentes externas.

4. Reabastecimiento uniforme: Ocurre cuando el artculo es producido

localmente o dentro de la organizacin.

5. Horizonte de tiempo: Define el periodo sobre el cual el nivel de

inventario debe ser controlado.

104


6. Demanda probabilstica: Es la que se basa en distribuciones de

probabilidad.

7. Demanda determinstica: Aqu se conoce con certeza los requerimientos

del cliente.

Componentes de los Modelos de Inventarios

Costos del inventario

Al tomar cualquier decisin que afecte el tamao del inventario, se deben tener

en cuenta los siguientes costos:

Costo de ordenar o fabricar una cantidad: Es el costo asociado con el

abastecimiento del inventario como son el costo de requisicin, pago al

proveedor, costos contables, salario del personal administrativo, etc.

Costos de mantener inventario (almacenamiento): Representa los costos

asociados con el almacenamiento del inventario hasta que se vende o se

use.

Costos por faltantes (Costo de demanda insatisfecha): Estos son los

costos de penalizacin en que se incurre cuando se queda sin la mercanca

cuando esta se necesita.

105


Mtodos para el Control de Inventarios

Modelos Determinstico de Revisin Continua

Es la situacin ms comn. Si se reduce el inventario se ordena un

reabastecimiento (por eso es revisin continua). Una representacin de esta

situacin es el modelo del lote econmico o modelo EOQ

(EconomicOrderQuantity).

En este caso, los costos asociados son:

Costo de preparacin para ordenar el lote

Costo unitario de producir o comprar cada unidad

Costo por mantener el inventario por unidad, por unidad de tiempo.

Por tanto, el objetivo consiste en determinar con qu frecuencia y en qu

cantidad se debe reabastecer el inventario de manera que se minimice la suma de

estos costos por unidad de tiempo.

Modelo Determinstico con Revisin Peridica

Consiste en revisar el nivel de inventarios de determinados productos cada cierto

periodo fijo de tiempo y de acuerdo con la cantidad disponible se har o no una

nueva solicitud.

106


Modelos de inventario determinstico con mltiples escalones para

administrar una cadena de proveedores

Se le denomina as, a los inventarios que estn dispersos de forma global o local.

Actualmente el inventario de muchos fabricantes est distribuido

estratgicamente en todo el mundo, cada porcin de este inventario se denomina

escaln. Un sistema con mltiples escalones se conoce como sistema de

inventario con escalones mltiples.

Modelos escolsticos con revisin contina

Los modelos de inventarios estocsticos, que estn diseados paraanalizar

sistemas de inventarios donde existe una gran incertidumbre sobre las demandas

futuras.

En este caso, en un sistema de inventario con revisin continua, el nivel del

inventariose supervisa en forma continua, por lo que una orden se coloca en

cuanto el nivel de inventariollega al punto de reorden.

Modelo estocstico de un solo periodo para productos perecederos

Cuando se elige el modelo de inventarios que se debe usar para un producto

dado, debe distinguirseentre dos tipos de productos. Uno de ellos es un producto

estable, que conservara sus ventas enforma indefinida, por lo que no hay una

fecha establecida para agotar el inventario. El otro tipo, porel contrario, es un

producto perecedero, que se puede tener en inventario solo un periodo

107


limitadoantes de que no se pueda vender. Este es el tipo de producto para el que

se dise el modelo de unsolo periodo (y sus variaciones). En particular, el nico

periodo delmodelo es el periodo muy limitado antes de que no sea posible

vender el producto.

108



Ejercicio #1: Computronics fabrica 200 calculadoras por semana. Una

componente es una pantalla de cristal lquido (LCD), que compra a Display, Inc.

(DI) por $1 por LCD. La administracin de Computronics desea evitar faltantes

pues esto interrumpira la produccin. DI garantiza un tiempo de entrega de

semana en cada orden. Se estima que colocar una orden requiere 1 hora- trabajo

con costo directo de $15 por hora ms costos generales de $5 por hora. Una

estimacin burda del costo anual del capital comprometido en inventario es 15%

del valor (medido por el precio de compra) del inventario. Otros costos asociados

con almacenar y proteger las LCD en inventario ascienden a $0.05 por LCD por

ao.

a= 10 400 (Demanda Anual)

c= $1 (Costo de Produccin)

h= $0.2 (Consto de Mantener en Inventario)

k=$20 (Costo de Preparacin)

L = 3.5 das (Tiempo de entrega en das)

WD =365 (Das hbiles aos)

a.1) Cul debe ser la cantidad a ordenar y el punto de reorden de las LCD?

1. Cantidad a ordenar Q*=((2ak)/h)

Q*= ( (2* 10 400*20)/0.2)

Q*= 1442,22051

R/ La cantidad que se debe ordenar de LCD por ao es 1442,22051.

109


2. Punto de reorden de las LCD:

Punto de reorden = (L*a) / WD

= ((3.5* 10 400)/ 365)

= 99,7260274

R/ El punto de reorden es 100 unidades aproximadamente.

a.2)Cul es el costo de inventario variable total por ao (mantener ms

colocar rdenes)?

CVT = (a*k /Q) + (h * Q)/2

= (10400*20/1442,22051) + (0.2 * 1442,22051)/2

= 288.444102

El CVT por ao es de $288.444102

b) Suponga que el costo real de capital comprometido es 10% del valor del

inventario. Entonces el valor de h varia,

h= 0.05 + 0.10

h = 0.15

b1)cul debe ser la cantidad a ordenar?

Cantidad a ordenar:

Q* = ( (2* 10 400*20)/0.15) = 1665,3328

110


R/ La cantidad a ordenar debe ser aproximadamente 1666 unidades de

LCDs por ao

b2)Cul es la diferencia entre esta orden y la obtenida en el inciso a?

1665,3328 -1442,22051= 223,1127996

Comparando con el inciso el costo real del capital comprometido (10%)

provoca un aumento en Q* (Cantidad de LDC a ordenar).

b3) Cul ser el costo variable total anual (CVT) del inventario?

CVT = (a*k /Q) + (h * Q)/2

= (10400*20/1665,3328) + (0.15 * 1665,3328)/2

= 249.7999199

Podemos observar que el CVT es menor que el valor obtenido en el inciso

a.

b4) Cunto ms sera el CVT si se usara la cantidad a ordenar del inciso a

porque el costo de capital estuviera mal estimado?

288.444102 - 249.7999199

Habra un aumento de 38.6441821, con respecto al inciso b.

c) Repita el inciso b si el costo de capital anual real comprometido fuera 20%

del valor del inventario.

111


h = 0

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