UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDAFORMULACIN Y EVALUACIN DE PROYECTOMUNICIPALIZACIN CABLO LA VELAPROFESORA: TERESA CUBILLN

GUA DE INTERS SIMPLE Y COMPUESTO

1. Concepto Cuando el inters se paga slo sobre el capital prestado, se le conoce como inters simple y se emplea en prstamos a corto plazo.

Componentes: Capital prestado (capital o principal) Suma del inters y capital prestado (monto) El tiempo acordado (plazo) El importe adicional que se paga (inters, se expresa en %)

Inters = Capital x Tasa de inters x Nmero de perodos

La notacin puede variar entre autor y autor:

Por ejemplo: Villalobos (2003) cita I = Cin I =(C*i*n),

Pastor, (1999) refiere I P*i * n Lo importante es el significado de cada variable, por lo que utilizaremos la siguiente frmula:

I= Pin ; I = P*i*n

Dnde:I= inters ganadoP= capitali= tasa de intersn= plazo

De la frmula anterior, se pueden despejar las variables que se requieran conocer. Ejemplo de ello, para el capital prestado ser necesario despejar de la frmula de inters simple.

El Capital (P):

P= I . (i).(n)

Tasa de inters: i =I .(P).(n)

El perodo.n = I .(P).(i)

Para determinar el Inters ganado:Para determinar el Capital:

.i = I . = I . P

P = I . = I . .in i

Para determinar el Inters ganado:Para determinar el Capital:

i = I . = I .Pn P

n= I . = I . PiPi

Nota: n = puede ser transformada en segundos, minutos, horas, das, semanas, meses, aos.

Importante: La frmula puede ser manipulada por nosotros, siguiendo un orden lgico y congruente, esto es, meses de 30.41 das, aos de 360 365 das, horas, minutos, segundos, etc.

Cmo calcular el monto (valor futuro)Lo que veremos a continuacin ser cmo determinar cunto pagaremos o recibiremos en total al trmino de un perodo de tiempo determinado. A este total final lo llamaremos de ahora en adelante monto y lo identificaremos con la letra (S) para el manejo y sustitucin en las frmulas correspondientes.

Sabemos que con frecuencia se requiere calcular el monto (S) de un prstamo (inversin), por lo que es conveniente contar con una frmula.

Si sabemos que el monto es la suma del principal ms el dividendo o inters generado, entonces: S = P + I

Utilizando la frmula del inters simple, tenemos que S = P + Pin

Factorizando tenemos la siguiente Frmula:

Ejercicios para realizar:

S = P (1+in)

Se divide entre los das que conforman el inters ordinario (anual), este ltimo lo podemos manejar con base en 360 o 365 das. Incluso en meses (12 = 1 ao).

NOTA IMPORTANTE: Es comn que las operaciones comerciales y financieras estn determinadas por fechas y no en meses o aos. Para el clculo del inters, en estos casos se requiere determinar el nmero de das que lo conforman. Identificado los das (t ), se pueden utilizar dos formas diferentes de expresar el plazo.

(t) .360(t) .365

Esta expresin, sirve para calcular el inters ordinariosEsta sirve para calcular el inters exacto

En la prctica, el inters ordinario es el que ms utilidad tiene, tanto en lo comercial como en lo financiero (sistema bancario). De hecho el inters exacto tiene una mayor utilizacin en operaciones de comercio internacional, as como pago de deuda entre pases (Pastor, 1999).

Para efectos prcticos, solo tomaremos el referente del inters ordinario

1. Determine el inters que genera un capital de $125,550.50 en tres meses con una tasa nominal del 7.8%2. Cul es el inters simple en un prstamo a tres meses de $18,000.00 al 26.8% anual?3. Cul es el monto que deber pagar una persona que recibe un prstamo de $15,000.00 con una tasa de inters del 22.4% anual a un plazo de dos meses?4. Determine el saldo promedio durante septiembre de una cuenta de cheques si el 1 de octubre se le abon un inters de $68.98 y si la tasa de inters que pag el banco en este mes fue del 9.65%5. Determine la tasa de inters anual que pag el banco durante octubre si a una cuenta de cheques con un saldo promedio en octubre de $8,673.56 se le abon un inters de $58.47.6. - Determine el inters que recibe una cuenta de cheques el 1 de agosto si el saldo promedio del mes de julio fue de $6,259.05 y la tasa de inters anual en este perodo fue del 8.45%.7. Una persona compra una sala el 9 de mayo que tiene un valor de contado de $3,800.00. Paga un enganche de $2,300.00 y conviene pagar $1,600.00 el 23 de julio para liquidar el saldo. Qu tasa de inters simple pag?8. Un agricultor recibe un prstamo para compra de semillas por un monto de $12,400.00 el 16 de mayo y acepta pagar un inters anual simple del 31.8%. Cul es el plazo mximo del prstamo si estima que una vez levantada la cosecha y separado sus utilidades contara con $13,800.00 para saldar la deuda?9. El 17 de marzo un plomero pide un prstamo de $4,500.00 a su suegro para la compra de material y herramientas necesaria para una obra. Determina el monto que debe pagar el plomero a su suegro el 4 de julio para liquidar la deuda si ambos acordaron el pago de un inters anual simple del 9%.10. - Una persona compra una sala el 9 de mayo que tiene un valor de contado de $3,800.00. Paga un enganche de $2,300.00 y conviene pagar $1,600.00 el 23 de julio para liquidar el saldo. Qu tasa de inters simple pag?

Seremos ms complejos

Un empresario del ramo comercial dedicado a la venta de productos lcteos y salchichas, en los ltimos 4 meses ha visto el incremento en las ventas del queso fresco que l mismo elabora en su establecimiento, por desgracia no puede satisfacer dicha demanda porque su capacidad productiva es limitada, por lo cual decide cotizar una maquinaria que le permitira incrementar su produccin en un 200%, es decir podra producir 2 veces ms producto al adquirir dicho equipo. El precio de la maquinaria en el mercado no vara mucho, as que l decide comprrsela a un proveedor que le vende el equipo en $40,000.00 al contado y si fuera a crdito le cobrara una tasa de inters del 21% a pagar en 12 meses.

Bien, lo primero que debemos determinar son las condiciones del escenario, las cuales quedaran de la siguiente manera:

Escenario 1De contadoInversin: $40,000.00Ventas $10,000.00 al mesIncremento de ventas a $20,000.00

Escenario 2A crditoInversin: $40,000.00Ventas $10,000.00 al mesIncremento de ventas a $20,000.00Inters 21%Plazo 6 meses

De la frmula del Monto se sabe que S=P (1+in) y el Valor Futuro esVF=P(1+in)

EL RESULTADO:S = $40,000.00 (1 + ((.21)(6/12))) S = $40,000.00 (1 + ((.21)(.5)))S = $40,000.00 (1 + .105) S = $40,000.00 (1.105) S = $44,200.00

Al final de los 12 meses el empresario deber pagar por el equipoadquirido un total de $44,200.00 tal y como lo muestra el resultado deaplicar la frmula del Valor Futuro que bsicamente es la misma que la delMonto.A partir de estos resultados el empresario puede tomar unadecisin.

Valor presentea) Cuando queremos liquidar la deuda antes de la fecha acordada:Pero Qu sucedera si pasados 4 meses despus de adquirida lamaquinaria a crdito, el incremento en las ventas nos da la capacidad depagar el equipo anticipadamente? Entonces, Cunto tendramos quepagar por el equipo?

Para resolver la pregunta anterior debemos aplicar una nueva frmulapara determinar el Valor Presente de nuestra deuda.

P= S . 1+in

Entonces sustituyendo lo datos del problema anterior tenemos que:

P= 44.200 . 1+0,19 * 2/12P= 44.200 . = 42.705,31 1.035.000

Para entender mejor el caso anterior, debemos marcar una lnea detiempo imaginaria que nos ayude a comprender la manera de plantear lasolucin

Adquisicin del equipo(a 6 meses)Pago de Deuda (Pasados 4 meses)2 meses antesVencimiento a 6 meses

Si pagamos nuestro equipo 2 meses antes, debemos descontar losintereses que no se generarn en esos meses, por lo que el pagoanticipado queda en $42,705.31 teniendo un descuento de $1,494.69.

Inters Compuesto

Conceptos bsicos y ejercicios:

Recuerda que la metodologa para el clculo del inters compuestoes similar al inters simple. En todo momento se trabajar con laexpresin (1+i), (1+i *n).Lo que hace diferente este tema, esdesde luego la capitalizacin de las tasas y el incremento de P en ntiempo con i tasa. De ah que la variable n, sale de (1+i*n) y va alexponente (1+i)n.

Supongamos que ahorraste $150,000.00 a una tasa del 10% anual(0.83% mensual, o sea 0.0833), a un plazo de un mes. En teora, tomamosla frmula del monto del inters simple, quedando de la siguiente manera:S P(1in) =$150,000.00(1+0.00833*1) =$150,000.00(1.00833)=$151,249.50

Supongamos, que nuevamente se quiere invertir la misma cantidada otro mes y con la misma tasa. Desde luego sin retirar el inters, de locontrario caemos en el inters simple y de lo que se trata en este tema esde estudiar el inters compuesto.

Entonces tenemos que:S P(1in) =$151,249.50(1+0.0833*1)=$151,249.50*(1.00833)*1=$152,509.41

El inversionista, nuevamente desea invertir otro mes y con la misma tasa,el importe de su capital. (Se contina con el mismo procedimientoanterior.)Se imagina que una persona requiera estar calculando 100, 200 o 300meses Es por ello que el inters compuesto, viene a proporcionaruna forma simple de poder capitalizar cada uno de los meses en que sedesea estar invirtiendo.

De ah que, tomando la frmula de inters simple integramos lascapitalizaciones (enviando n al exponente). Esto es, el inters ganado enuna inversin se integra al capital, lo que se denomina como lacapitalizacin y al perodo en que el inters puede convertirse en capitalse le llama perodo de capitalizacin.

En la prctica financiera, los perodos de capitalizacin ms comunes sonlos mensuales, trimestrales, semestrales y anuales, aunque no por ello, seexcluya a los bimestrales y cuatrimestrales. El Sistema FinancieroMexicano (Al igual que el internacional), opera con instrumentos dedeuda e inversin, cuyos plazos son de: 7, 14, 28, 91 o 182 das.

En resumen: el inters compuesto, lo utilizaremos enoperaciones a largo plazo y a diferencia del inters simple (elinters simple no se capitaliza), el inters generado en cada perodose incluye al capital.

Para comprender mejor, resolvamos un ejercicio simple con ambosmtodos (inters simple e inters compuesto)

Puedes comprobar, calculando el inters de un mes, y posteriormente, calcular el segundo y coincide con el resultado obtenido en el interscompuesto ($101,250.00 y $102,515.625 respectivamente)Datos:P =$100,000.00i =15% anualn= dos meses

Con inters simple

S P(1in)

S=$100,000.00(1+ 0.15/12*2)S=$100,000.00(1.025)=$102,500.00

Con interscompuesto

S P(1i)nS=$100,000.00(1+0.0125) 2S=$100,000.00(1.02515625) $102,515.63

NOTA IMPORTANTE:EL CAPITAL NO PERMANECE FIJO A LO LARGO DEL TIEMPO, ESTE SE INCREMENTA AL IGUAL QUE EL INTERS QUE GENERA LA INVERSIN, DE IGUAL FORMA AUMENTA EN CADA CAPITALIZACIN.

As, si denotamos por i a la tasa de inters por el perodo decapitalizaciones, el monto del capital invertido despus de n perodos decapitalizacin es

S P(1i)nEn esta frmula, la tasa de inters se especifica por el perodo decapitalizacin. En la prctica financiera, lo ms comn es expresar la tasade inters de forma anual e indicando el perodo de capitalizacin.

Ejemplo de ello, podemos decir que tenemos una tasadel 18% anual capitalizable mensualmente. O la mismatasa del 18% capitalizable semestralmente,trimestralmente, bimestralmente.

CUANDO LA TASA DE INTERS SE EXPRESA DE MANERA ANUAL, SEREFIERE A LA TASA NOMINAL, de ah la necesidad de dividir la tasa anualpor el tipo de capitalizacin en el ejercicio.

Ejemplo de ello tenemos: Si la tasa anual es del 12% y lascapitalizaciones son:Diario 12%/360 12%/365 (inters ordinario o intersexacto)Semanal 12%/52.1428571 semanas = 0.23013699Quincenal 12%/24.33333 quincenas = 0.4931507Mensual 12/12= 1% .01Bimestral 12/6 = 2% .02Trimestral 12/4 = 3% .03Cuatrimestral 12/3= 4% .04Semestral 12/2= 6% .06

Cuando la tasa de inters se especifica nominalmente, se tieneS P(1i)nmEJERCICIOS

Desarrolle los siguientes casos (con ambos procedimientos)P: $100,000.00i: 14% anual capitalizablemensualmenten: plazo de la inversin 3 aosm: mensual.14/12= 0.01166667

P: $100,000.00i: 14% anual capitalizabletrimestralmenten: plazo de la inversin 3 aosm: trimestral.14/4= 0.035

De esta forma tenemos:Capitalizable mensualmente (se incluye directamente la tasa mensual)

S P(1i)n 36 S=$100,000.00(1+0.011666)S $100,000(1.5182666) $151,826.66

Ahora con la frmula del monto compuesto, se tiene

S P(1i)nS=$100,000.00 (1 + 0.14)36S $151,826.66m. 12

Capitalizable trimestralmente (se incluye directamente la tasa trimestral):

S P(1i)n S=$100,000.00(1+0.035)12S=$100,000.00(1.035)12S=$100,000.00(1.511068)S=$151,106.80

Ahora con la frmula del monto compuesto se tieneS P(1i)nS=$100,000.00 (1 + 0.14)36S $151,826.66 m. 12Como podrn ver, es lo mismo slo que dependercomo lo deseas representar.Todos estoclculos son demasiado simples

Visualicemos un ejemplo ms: La compaa XFGT, adeuda $345,786.80de un prstamo que recibi a 6 meses, tasado a una i nominal del21.35%, capitalizable mensualmente. Qu monto debe liquidar alvencimiento?

i = .2135/12= 0.01779166667S P(1i)n 6 S=$345,786.80(1.01779166667)S=$345,786.80(1.111612297) S $384,380.86

EJERCICIOS PARA RESOLVER:INTERS COMPUESTO

1. Andrs y Silvana acaban de tener a su primer hijo. Es una nia llamada Luciana.Andrs ese mismo da abre una cuenta para Luciana con la cantidad de$3000,000.00. Qu cantidad habr acumulado Luciana para la edad de 8aos, si el banco les ofrece un inters del 6%, capitalizable trimestralmente?

2. Manuelito de 8 aos recibi un cheque de su abuelo por $3,000.00 el da quegan un concurso de natacin. Pas el tiempo y Manuelito olvido que habadepositado ese dinero. A sus 26 aos decide retirar lo acumulado. Cuntohabr acumulado en su cuenta Manuelito, si inicialmente le dieron una tasa del12% con capitalizacin mensual y as continuo hasta el final?

3. Los seores Borja se pelearon; y la Sra. de Borja para aplacar su furia decidi irde compras y adquiri una bolsa Fendi, de lo ms selecto de la temporada, ycuyo costo fue de $5,689.45. El Sr. Borja, decide no pagar la tarjeta durante 4meses para darle una leccin a su mujer (aunque el pagara ms, por estecapricho matrimonial). Si el banco cobra un inters mensual de 3.344%. Culser su saldo al mes de agosto?

4. Susana decide regalarle un coche a su hija que cumple 17 aos. Y acuerda pagarun enganche de $65,000.00 y saldar el resto en otro pago de $58,000 tresmeses despus. Si 56 das antes de la fecha de vencimiento del adeudo de los$58,000, Susana recibe una grande herencia y decide abrir un pagare a 28das, Qu cantidad debe depositar para que el monto final cubra exactamentelos $58,000 que adeuda si la tasa de inters anual es del 11.571%?

5. a) en cunto tiempo se duplica una inversin de $1,000 al 13% anualcapitalizable trimestralmente?b) en cunto tiempo se duplica una inversin de $1,000 al 13% anualcapitalizable mensualmente?c) en cunto tiempo se duplica una inversin de $1,000 al 13% anualcapitalizable bimensualmente?

ANUALIDADES

Definicin: Se refiere a una serie de flujos normalmente de un mismomonto y perodos iguales. Pueden ser abonos o pagos y lo msimportante, no necesariamente deben ser de periodicidad anual, sinomensual, quincenal, bimestral etc.

Al tiempo que transcurre entre un pago (o abono) y otro, se refiereal intervalo de pago o intervalo de abono segn sea el caso que se deseecalcular. Y el tiempo del contrato o convenio, se refiere al plazo de laanualidad, esto es, el rango de tiempo que transcurre entre el primer yltimo de los pagos o abonos.

De tal forma, podramos entender a la Anualidad o Renta: como elpago peridico que se realiza en un lapso de tiempo, considerando unatasa de inters y una capitalizacin en cuyo caso se fija al inicio de la firmadel convenio.Un ejemplo clsico de convenio es cuandoadquirimos un automvil, aqu ya sabemos cundoprincipia y cundo termina el plazo que nos dan paraliquidar nuestro auto.No es as?

Tipos: En la literatura se pueden encontrar diversas clasificaciones deanualidades, pero centremos el tema en la siguiente clasificacin: Ordinarias o vencidas Anticipadas Diferidas Generales

ORDINARIASSon aquellas anualidades que son utilizadas con mayor frecuencia en laactividad financiera y comercial. Tambin son conocidas comoanualidades ciertas, simples e inmediatas.Las caractersticas de ste tipo de anualidades son: Los pagos o abonos se realizan al final de cada intervalo depago Se conoce desde la firma del convenio, las fechas de inicio ytrmino del plazo de la anualidad Las capitalizaciones coinciden con el intervalo de pago El plazo inicia con la firma del convenio

Variables que se utilizan en este apartado:

VPN: Valor Presente Neto (de un conjunto de pagos o abonos)

VF M: Valor Futuro o Monto (de la suma de unos pagos o abonos)

A Rp: Anualidad o Renta peridica (cuota uniforme o anualidad)

m: Capitalizacin (por su tipo de capitalizacin, mensual, bimestraletc., la tasa se divide entre el tipo de capitalizacin. Ejemplo sitenemos una tasa nominal del 12% capitalizable mensualmenteentonces es = (12%/12)

i: Tasa de Inters (la tasa que integra el factor de acumulacin odescuento 1+i)

n: Tiempo

Valor presente y futuroEl valor futuro es el valor que tendr una inversin en un tiempo posterior (del presente al futuro) y cuyo monto aumenta a medida que aumenta la tasa de inters y el tiempo. El incremento est en funcin de las capitalizaciones, las cuales pueden ser mensuales, bimestrales, trimestrales, anuales, as como cada semana, quince das, 21 das entre otros.Ejemplificando con una lnea de tiempo, se visualiza de la siguiente forma:

El valor presente es el valor que tendr una inversin en el presente, o sea hoy, (del futuro al presente). El valor presente de la inversin ser mayor cuando menor sea la tasa de inters (i) y el tiempo o el periodo (n).

Ejemplificando con una lnea de tiempo, se visualiza de la siguiente forma:

EJERCICIO PARA COMPRENSIN El Sr. James Lpez Stewart desea invertir la cantidad de $200,000.00 a 4 aos y el Banco La Ilusin Monetaria le ofrece la tasa Cetes del 7.8% anual capitalizable mensualmente. Cul ser el valor futuro de la inversin?

Ahora el Sr. James Lpez Stewart desea saber cunto fue lo que invirti para obtener la cantidad de $272,955.22 en el plazo de 4 aos y utilizando la tasa de referencia Cetes del 7.8%.

Ahora se desea conocer cul es el nmero de perodos en los que se logra acumular la cantidad de $272,955.22 a partir de una inversin inicial de $200,000.00, con la misma tasa Cetes de 7.8% nominal capitalizable mensualmente.

EJERCICIO PARA COMPRENSIN (Con ecuaciones Equivalentes) Inters Compuesto:Una firma comercial considera que no podr cubrir ciertos pagos segn las cifras de sus proyecciones financieras y de flujos de efectivo, por lo que fija una fecha focal para renegociar con su acreedor, de tal suerte que los pagares que adeuda se visualizan en una lnea de tiempo y tendrn las siguientes fechas en das y vencimiento: un pagare vencido de $50,000.00 a 25 das, un segundo pagar vencido de $45,000.00 de 40 das, un tercer pagare de $40,000.00 por vencer a 70 das y un ltimo pagare de $20,000.00 a 100 das tambin por vencer. El acreedor y el deudor han llegado a un acuerdo para renegociar y pagar la deuda antes del tiempo convenido inicialmente, saldndola de la siguiente manera: el primer pago 30 das antes de la fecha focal, el segundo pago 45 das despus de la fecha focal y el tercer y cuarto pago 70 das posteriores a la fecha focal.Cunto deber pagar si los pagos deben ser iguales, y si la tasa es de 17% nominal exacto, capitalizable quincenalmente?Vencimientos:(Vencido) 1er pagare $50,000.00 - 25 das / 15 das = 1.666666667(Vencido) 2do pagare $45,000.00 - 40 das / 15 das = 2.666666667(Por vencer) 3er pagare $40,000.00 - 70 das / 15 das = 4.666666667(Por vencer) 4to pagare $20,000.00 - 100 das /15 das = 6.666666667

De la frmula original, sabemos que tenemos para este caso, cuatro montos (pagares)

Referencia Bibliogrfica

Baca Gabriel (2007) Fundamentos en Ingeniera Econmica. Cuarta Edicin McGraw-Hill Interamericana.Pimentel Edmundo (2008) Formulacin y Evaluacin de Proyecto de Inversin.

Garca Santilln Arturo (2014) Matemticas financieras para la toma de decisiones. http://www.eumed.net/libros-gratis/2014/1406/index.htm Editora Dra. Isabel Ortega Ridaura

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Hoja1AnualMesI = 750.00750.00P =15,000.00i = 5.00%n =112m =12m/n =1

Hoja1AnualMesI=750.00P =15,000.0015,000.00i = 5.00%n =112m =12m/n =1

Hoja1AnualMesI = 750.00P =15,000.00i = 5.00%5.00%n =112m =12m/n =1

Hoja1AnualMesI = 750.00P =15,000.00i = 5.00%n =112m =12m/n =