Guia de Practicas de Investigacion de Operaciones 1 2013

Guía de prácticas de Investigación de operaciones 1 2013 \Ismael Véliz Vilca -1-

NRO TAREAPUNTOS COMENTARIO

1 Asistencia 5La asistencia se firma en cuaderno

2 Participaciones 5 resolución de problemas

3Aprender y resolver problemas con Solver de Excel 1 Demostrar

4Aprender y resolver problemas con WINQSB 1

5Aprender y resolver problemas con Tora 1

6Aprender y manejar Excel para resolver problemas 1

7Aprender y resolver problemas con POMS 1

8Aprender y resolver problemas con Lindo 1

9 Dominar otro software como lingo 1

10 Investigación 2

Investigar en internet o el dv dado temas o videos relacionados al curso

11 Trabajo final 4Aplicación del curso a casos prácticos

TOTAL 23

GUIA DE PRACTICAS DE INVESTIGACION DE OPERACIONES 1 2013

Se utilizará el siguiente software para realizar las prácticas de investigación de operaciones 1

EXCEL 2010 la herramienta solver WINQSB no funciona en Windows 7 64 bits ( usar máquina virtual) GLP para el método gráfico Lindo para programación lineal no es compatible con Windows 7 de 64 bits POMS

PRACTICA 1. MATRICES EN EXCEL

Matrices .Una matriz es cualquier arreglo rectangular de númerosNota La fórmula del ejemplo debe especificarse como fórmula de matriz. Después de copiar el ejemplo en una hoja de cálculo en blanco, seleccione el rango A8:B9 comenzando por la celda de la fórmula. Presione F2 y, a continuación, CTRL+MAYÚS+ENTRAR. Si la fórmula no se especifica como fórmula de matriz, el resultado único es 6.

1. Operaciones con matrices suma


Crear formula matricial a2:B3+ A5:B8 CTRL+MAYÚS+ENTRAR:

CREANDO INDICES =INDICE($B$3:$F$8,I3,I4)

Funciones de arreglosSUMAR DOS MATRICES A+B =A1:B2+A5:B6Restar dos matrices A-B =A1:B2-A4:B5Multiplicar dos matrices =A1:B2*A4:B5Dividir dos matrices =A1:B2/A4:B5

USE formulas administrador de nombresArreglo constante :arreglo solo en la memoria ={1;2}Usar administrador de nombres para crear arreglos constantes


Arreglo de constante de cadenas ={"a";"b"}

=INDICE(semana,2) = martes

Constante matricial de dos dimensiones ={1;2\3;4}

O podría ser

=INDICE(MATRIZ,1,2) =2


Encontrar el minimo, máximo valor en un rango

Encontrar el menor y en que lugar se encuentra en cada fila y columna de una matriz

Usar la función =COINCIDIR(B7,B3:B6,0)

2. Funciones transponer =TRANSPONER(H4:H6)

3. En la siguiente matriz determine el numero de filas y columnas10 40 8020 50 9030 60 1011 12 13

Filas 4COLUMNAS 3INDICE(3,2) 60


Determinante de una matriz =-2

Determinante de una matriz de 3 x 3A continuación vamos a ver una de las formas de obtener el determinante (método cofactores). Algoritmo:

siendo n igual al número de columnas, y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original. Ejemplo de un determinante de segundo orden:

Operando el algoritmo anterior, y teniendo en cuenta que i es siempre 1, obtendremos : paso 1: a11=1. al eliminar la fila 1 y columna 1 de la la matriz obtenemos |4|, mientras en la suma i+j=2. paso 2: a12=3 mientras la eliminación de la fila 1 y columna 2 da como resultado |6| y la suma i+j=3. es decir ...

Si la matriz fuese del tipo:


el determinante es de tercer orden, siendo desarrollo en un primer momento:

después de lo cual resolveríamos el siguiente nivel, resultando ...

y por tanto ... |A| = 1(5)-(-3)(-20)+(-2)(16) = -87 Cuando el determinante de una matriz resulta igual a 0 se dice que la matriz es no singular.

Comprobando con Excel : =MDETERM(D5:F7) = -87

Inversa de una matriz MINVERSA(matriz) =MINVERSA(A1:B2)APROBADOAPROBADO

MULTIPLICACION DE MATRICES : MMULT(matriz1;matriz2)

La matriz producto a de dos matrices b y c es:

donde i es el número de fila y j es el número de columna.=MMULT(A4:C5,D1:E3)


FUNCION SUMAPRODUCTO : Multiplica los componentes correspondientes de las matrices suministradas y devuelve la suma de esos productos

=SUMAPRODUCTO(A1:C3,A5:C7)SOLUCION DE ECUACIONES CON EXCELResolviendo ecuaciones simultaneas Use funciones MINVERSA Y MMMULT

Celda A8: {=MINVERSA(A5:B6)}Celda b11={ =MMULT(A8:B9,C5:C6)}Ecuaciones simultaneas con 3 variables


EJERCICIOS1. Encontrar los tres primeros elementos de una lista cuales son y que lugar ocupan en

la listaLUGAR LISTA INDICE

1079

2743

1 27 42 10 1

LUGALISTA INDICE10

79

2743

1 27 42 10 1

3. Aplicar una fórmula y explicar4 Ejemplo de la función SI5 Practique con otras funcionesSe tiene las siguientes matrices calcule


2 Encuentre la transpuesta de A y demuestre (AT)T =A

3 Encuentre la matriz C= A*B

4. MUltiplicar matrices C=A*B


5 Multiplicar vector columna por

Entonces

6 Multiplicar vector renglon por vector columnaC=BA

8. resolver la siguiente ecuación por el método de Jordan Gauss y matriz inversa .


1 2 3 1 0 0 32 3 2 0 1 0 43 3 4 0 0 0 51 2 3 1 0 0 30 -1 -4 -2 1 0 -20 -3 -5 -3 0 0 -41 0 -5 -3 2 0 -10 1 4 2 -1 0 20 0 7 3 -3 0 21 0 0 - 6/7 - 1/7 0 3/70 1 0 2/7 5/7 0 6/70 0 1 3/7 - 3/7 0 2/7


10 Resolver la ecuación anterior con Excel y luego con Tora

Instalar y activar Herramientas para análisis y Solver.Haga clic en la pestaña Archivo.Haga clic en Opciones y, a continuación, elija la categoría Complementos.Casi al final del cuadro de diálogo Opciones de Excel, asegúrese de que la opción Complementos de Excel esté seleccionada en el cuadro Administrar y luego haga clic en Ir.En el cuadro de diálogo Complementos, active las casillas de verificación Herramientas para análisis y Solver Add-in. A continuación, haga clic en Aceptar.Si Excel muestra un mensaje que indica que no puede ejecutar este complemento y le pide que lo instale, haga clic en Sí para instalar los complementos.

Nota En este caso, como está instalando dos complementos, Excel le pide dos veces que instale un complemento; una vez para Herramientas para análisis y una vez para Solver.

Observe que se ha agregado un grupo Análisis en la pestaña Datos. Este grupo contiene botones de comando para Análisis de datos y para Solver.

Ya está listo para comenzar a usar estos complementos.

USO DE LA HERRAMIENTA ANALISIS DE DATOS Análisis de datos

Si no se muestra el cuadro de diálogo Análisis de datos, haga clic en la herramienta que desee utilizar dentro de Herramientas de análisis y, a continuación, haga clic en

Aceptar. (en Excel 2007 en opciones de Excel , luego complementos, luego herramientas de Análisis)

Escriba los datos apropiados y haga clic en las opciones del cuadro de diálogo correspondiente a la herramienta elegida y, a continuación, haga clic en Aceptar.


Para obtener una descripción de cada herramienta e información sobre la forma de usar el cuadro de diálogo correspondiente a cada una de ellas, haga clic en un nombre de herramienta de la lista siguiente:

Varianza

CorrelaciónCovarianzaEstadística descriptivaSuavización exponencialPrueba t para varianzas de dos muestrasAnálisis de Fourier

HistogramaMedia móvil

Generación de números aleatoriosJerarquía y percentilRegresiónMuestreoPrueba t


Prueba z

En la pestaña datosAbrir el Menú Herramientas/Análisis de datos /Regresión (si no lo tiene disponible use Opciones de Excel \Complementos \Herramientas para el Análisis)

Se tiene la producción en miles de Unidades en los siguientes añosAÑO X

2001 12002 22003 32004 42005 52006 62007 72008 8

SUMA 36PROM 4.5

ESTADISTICA DESCRIPTIVA.- El MS-Excel , proporciona toda la estadística descriptiva en un sola operación. La obtención de tales estadísticas , puede lograrse a través de funciones estadísticas, pero una forma más práctica y rápida de lograrlo es mediante el uso de menúsPara efectuar el cálculo de la estadística descriptiva debe llamarse el menú HERRAMIENTAS, dentro de la opción ANALISIS DE DATOS, Después de dar clic en la

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

2

4

6

8

10

12

14


opción ESTADISTICA DESCRIPTIVA Con la que se obtiene una caja de dialogo como la siguiente

Y5 X Y69 Media 4.5 Media8 Error típico 0.8660254037844 Error típico

10 Mediana 4.5 Mediana9 Moda #N/A Moda

12 Desviación estándar 2.4494897427832 Desviación estándar11 Varianza de la muestra 6 Varianza de la muestra70 Curtosis -1.2 Curtosis

8.75 Coeficiente de asimetría 0 Coeficiente de asimetríaRango 7 RangoMínimo 1 MínimoMáximo 8 MáximoSuma 36 SumaCuenta 8 CuentaMayor (1) 8 Mayor (1)

GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS

La herramienta de análisis Generación de números aleatorios rellena un rango con números aleatorios independientes extraídos de una de varias distribuciones(existen 7 tipos de distribución que son uniforme, Normal, Bernoulli, Binomial, Poisson, Frecuencia relativa y discreta)


Problema1. Utilizando la distribución discreta generar 100 números aleatorio en 10columnas que representan los grupos de edades de persona de 0 a 120 años que tiene la siguiente distribuciónPerú: estructura de edades, 2000-2020Tabla1. Población por grandes grupos de edad, 1993-2025

SGrupos de edad

1993 2000 2025

0 - 14 37.0 33.4 23.6

15 - 64 58.4 61.8 67.8

65 y + 4.7 4.8 8.6

DISTRUBUCION POR GRANDES GRUPOS DGRUPO DE EDAD X P

14 1 23.60%64 2 67.80%

120 3 8.60%100.00%

HISTOGRAMA ( elaborar el histograma de los números aleatorios generados en el ejercicio anterior)


2 21 12 12 23 2

HistogramaFrecuencia% acumulado

Clase

Frec

uenc

ia

COEFECIENTE DE CORRELACION ( encuentre coefeciente de correlación entre las variables x, y del ejercicio pagina 51)

AÑO X Y

PUEDE TRABAJAR CON VARIAS VARIABLES EJEMPLO


Encuentre la correlación entre las variables X,Y,Z,F,G,H)

DISTRUBUCION POR GRANDES GRUPOS DGRUPO DE EDAD X P

14 1 23.60%64 2 67.80%

120 3 8.60%100.00%

DISTRUBUCION POR GRANDES GRUPOS DP

23.60% 2 1 2 267.80% 1 3 2 2

8.60% 3 2 2 1100.00% 2 2 2 2

SUAVIZACION EXPONENCIALLa herramienta de análisis Suavización exponencial predice un valor que está basado en el pronóstico del período anterior, ajustado al error en ese pronóstico anterior. La herramienta utiliza la constante de suavización a, cuya magnitud determina la exactitud con la que los pronósticos responden a los errores en el pronóstico anterior.

AÑO X2001 12002 22003 32004 42005 52006 62007 7


AÑO X Y X yreal yest2001 1 5 #N/A #N/A2002 2 6 1 5 5 #N/A2003 3 9 2 6 5.9 #N/A2004 4 8 3 9 8.69 #N/A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Suavización exponencial

Pronósticoyr

Punto de datos

Valo

r

MEDIA MOVIL

La herramienta de análisis Media móvil proyecta valores en el período de pronósticos, basándose en el valor promedio de la variable calculada durante un número específico de períodos anteriores. Una media móvil proporciona información de tendencias que se vería enmascarada por una simple media de todos los datos históricos. Utilice esta herramienta para pronosticar ventas, inventario u otras tendencias. Todos los valores de pronóstico están basados en la siguiente fórmula:

donde: N es el número de períodos anteriores que se incluyen en la media móvil Aj es el valor real en la hora j Fj es el valor pronosticado en la hora j


AÑO X Y2001 1 52002 2 62003 3 92004 4 82005 5 102006 6 92007 7 12

Media móvilPronóstico

Punto de datos

Valo

r

JERARQUIA Y PERCENTIL

AÑO X Y2001 1 5 Posición X Jerarquía Porcentaje2002 2 6 8 8 1 100.00%2003 3 9 7 7 2 85.70%2004 4 8 6 6 3 71.40%2005 5 10 5 5 4 57.10%2006 6 9 4 4 5 42.80%2007 7 12 3 3 6 28.50%2008 8 11 2 2 7 14.20%

REGRESIONLa herramienta de análisis Regresión efectúa el análisis de regresión lineal utilizando el método de "mínimos cuadrados" para ajustar una línea a un conjunto de observaciones. Puede utilizar esta herramienta para analizar la forma en que los valores de una o más variables independientes afectan a una variable dependiente.


AÑO X Y2001 1 52002 2 62003 3 92004 4 82005 5 102006 6 92007 7 12

10.4ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertadSuma de cuadradosPromedio de los cuadradosFRegresión 1 32.5952381 32.5952381 28.3241379Residuos 6 6.9047619 1.15079365Total 7 39.5

Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción 4.78571429 0.83588046 5.72535728 0.00123156Variable X 1 0.88095238 0.165529 5.32204265 0.00179169

Análisis de los residuales

ObservaciónPronóstico para YResiduosResiduos estándares1 5.66666667 -0.6666667 -0.67124862 6.54761905 -0.547619 -0.55138283 7.42857143 1.57142857 1.582228894 8.30952381 -0.3095238 -0.31165115 9.19047619 0.80952381 0.815087616 10.0714286 -1.0714286 -1.07879247 10.952381 1.04761905 1.054819268 11.8333333 -0.8333333 -0.8390608

MUESTREOLa herramienta de análisis Muestreo crea una muestra de población tratando el rango de entrada como una población. Cuando la población sea demasiado grande para procesarla o para presentarla gráficamente, puede utilizarse una muestra representativa. Además, si cree que los datos de entrada son periódicos, puede crear una muestra que contenga únicamente los valores de una parte determinada de un ciclo. Por ejemplo, si el rango de entrada contiene cifras de ventas trimestrales, la muestra realizada con una tasa periódica de cuatro permitirá colocar los valores del mismo trimestre en el rango de salida.


AÑO20012002

DETERMINACION DE LINEA DE LA ECUACION DE LA LINEA DE TENDENCIAPara encontrar la ecuación de la recta de tendencia siga los siguientes pasosAÑO X Y

2001 1 52002 2 62003 3 92004 4 82005 5 102006 6 92007 7 122008 8 11

1. Grafique los datos use grafica de dispersión

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

2

4

6

8

10

12

14

Y

Y

2. Modifique el grafico


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

2

4

6

8

10

12

14

Y

Y3. Agregue línea de tendencia

1. Aparecerá el siguiente cuadro

2. Escoja la opción lineal


0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

2

4

6

8

10

12

14f(x) = 1.72549019607843 xR² = 0.931552989293877

Y

YLinear (Y)

3. Podría escoger también línea de tendencia polinómica de grado 4

f(x) = − 0.01 x⁶ + 0.12 x⁵ − 1.06 x⁴ + 4.4 x³ − 9.14 x² + 10.57 xR² = 0.994778114745545

Y

YPolynomial (Y)

Exponencial y media móvil

Moving average trend line with period = %PERIODR² = NaN

f(x) = exp( 0.398902835340729 x )R² = 0.877165309800858Y

YMoving average (Y)Exponential (Y)

El má adecuado de esos métodos seria el de la polinómica de grado 6 con r=.91

2 RESOLUCION DE PROBLEMAS 3 Resolución De Problemas (Buscar Objetivo) ( vea en las copias de Excel)TABLA DE DATOS ( de la ayuda de Microsoft excel 2007)ADMINITRADOR DE ESCENARIOS usada para proyectos


RESOLVER PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL EN FORMA GRAFICA Y USANDO PAQUETES HERRAMIENTA SOLVER 1. IntroducciónLa opción Solver de EXCEL sirve para resolver problemas de optimización lineal y no lineal; también se pueden indicar restricciones enteras sobre las variables de decisión. Con Solver es posible resolver problemas que tengan hasta 200 variables de decisión, 100 restricciones explícitas y 400 simples (cotas superior e inferior o restricciones enteras sobre las variables de decisión [1]. Solver se puede usar para los siguientes casosa) Solución de ecuaciones lineales de primer grado de n variablesb) Obtención de raíces de ecuaciones n gradosc) Elaboración de pronósticos, como predecir la demanda para periodos futuros usando

los modelos de pronósticos como ajuste lineal , cuadrático, polinómico, exponencial , promedio móviles y modelos de pronóstico de series de tiempo, etc.

d) Análisis económico de la producción, determinando el punto de equilibrio o limite de rentabilidad , y la capacidad de la planta

e) Planes de producción cuyo objetivo es reducir el costo de plan de producción f) Obtener la mezcla optima de productos a fabricar ( programación lineal)g) Localización de plantas industriales con 1 o mas plantash) Aplicaciones en redes como transporte, transbordo, encontrar la ruta mínima, el flujo

máximo, el flujo máximo con red capacitada, PERT-CPM , etci) En los modelos de inventario , como obtener el lote óptimo para minimización de

costos totales de inventario.

2. Explicación de Usos del Solver2.1 Problema 1 Caso de Maximización ( mezcla óptima de productos a fabricar)Usando Solver analice y resuelva el siguiente problema . Un sastre fabrica trajes y vestidos, un traje usa 3 metros de tela de lana y 1 metros de tela de algodón y un vestido dos metros de cada tipo de tela. Un traje lo vende a 200 soles y el vestido a 150 soles . En el almacén tiene 500 metros de tela de lana y 400 de tela de algodón , cuantos trajes y vestidos debe hacer para maximizar sus ganancias

Plan de Producción de Confecciones

ProductoTraje

Vestido

Cantidad a producir 10 10ganancia

Margen de Contribución 200 150 3500Restricciones Total LI Disp HolguraLana 3 2 50 <= 500 450Algodón 1 2 30 <= 400 370Resumiendo función objetivoMax(z) = 200 X1+ 150 X2 3X1+X2 <= 5002X1 + 2X2 <= 400X1>=0X2>=0 Siendo X1 Cantidad de trajes a fabricar


X2 Cantidad de vestidos a fabricarPaso 1 preparar la hoja de calculo

Plan de Producción de ConfeccionesX1 X2

ProductoTraje

Vestido


Margen de Contribución

200 150 3500

Restricciones Total LI Disp Holgura

Lana 3 2 50<=

500 450

Algodón 1 2 30<=

400 370

Viendo en forma de fórmulas en Auditoria de fórmulas \ mostrar fórmulas


Paso 2 solucionar con solver de excel Si no esta instalado solver de excel siga los siguientes pasos2.1Configure solver con opciones de excel\complementos\solver y luego aceptar

Paso 2 solucionar con solver de excel Si no esta instalado solver de excel siga los siguientes pasos2.1Configure solver con menu archivo \opciones \complementos\complementos de Excel

luego ir y escoja solver y luego aceptar

Si usted tiene excel 2007 siga los pasosSi no esta instalado solver de excel siga los siguientes pasos2.1Configure solver con opciones de excel\complementos\solver y luego aceptar


2.2 En complementos de Excel 2007 presionar en Ir marcar la herramienta deseada en este caso solver y poner aceptar

Aparecera el mensaje contestar con si

Ir a la pestaña datos y aparece solver

Presionar en el icono correspondiente y aparecera el siguiente cuadro de dialogo lleno los datos de la siguiente manera


Para agregar restricciones utilice el siguiente cuadro de dialogo

Puede cambiar las opciones de Solver a:


Al presionar el boton aceptar se regresa al cuadro anterior y luego presione resolver y se tendrá el siguiente cuadro , presione aceptar


La solucion es

X1=50 , x2=175 y ganancia 36250Puede ver tambien los informes de SolverVea excel aplicado a ingenieria parte 2 solver

SOLUCION USANDO WINQSB (Tener dos sistemas operativos)

Caso 1. problema de confecciones ( funciona en 32 bits)


GRAFICAR EL MODELO


Puede modificar rangos y colores con

Resolver el problema usando el modelo normal


Resolver usando GLP VEA método gráfico (EPPEN)


boton para maximizar y minizar

Botones para sombreado c=color g gris

Resolver usando LINDO ( funciona en 32 bits)

Max 200 X1+ 150 X2 Subject to3X1+ 2X2 <= 5001X1 + 2X2 <= 400X1>=0X2>=0 EndPara resolver presione Solver

Aparece el siguiente cuadro conteste con no

Aparece el siguiente cuadro


SOLUCION USANDO PROLIN ( funciona usando 32 bits)


F(0, 250) = 37500; S N F(166.666667, 0) = 33333.333333; N S F(50, 175) = 36250; S S F(0, 200) = 30000; S S F(400, 0) = 80000; N S

Max(50, 175) = 36250Mín(0, 200) = 30000

Resolver usando Tora(ver en laboratorio)SOLUCION DE CONFECCIONES CON TORA


Presione enter


Presióne para ver el gráfico

Usando final solución


Usando iteraciones

Resolver usando POMS

RESOLVERLO CON POM for Windows 3


ANEXO 2 METODO GRAFICOLa siguiente aplicación permite resolver los problemas por el método grafico con n restricciones y muestra la solución se puede cambiar las escalas ( mejore el programa)

Solución del problema de los productos por el método gráfico

Solucion del problema de confecciones por el método gráfico

Problema de minimizacion


CODIGO EN VISUAL BASIC

CODIGO DEL MODULO 1

Module Module2 Public mayor As Single Public rUnidadX As Single Public UnidadX As Single Public UnidadY As Single Public ValorMaximoX As Single Public ValorMaximoY As Single Public tipofo As Integer ' es maximizacion o miminimizacion Public dx As Single ' nro de decimales Public Zmaximo As Single Public maxx1 As Single, maxx2 As Single Public Const paso As Integer = 30 Public Const maxfilas As Integer = 5 Public M1(maxfilas, 2) As Single ' matriz de los coefecientes Public CJ(2) As Single ' coefecientes de la funcion objetiva Public B(maxfilas) As Single ' coefecientes de los recursos Public col As Integer Public fila As Integer Public filaIni As Integer = 1 Public numerador As Single Public denominador As Single Public dato As Single Public Grafico As Graphics Public ColorFondo As Color = Color.FromArgb(255, 255, 255) Public pen As Pen Public brocha As Brush Public ancho = 600, alto = 400 Public Cx As Integer = paso


Public Cy As Integer = alto Public ex As Single = 2 Public ey As Single = -2 Public r1 As Single, r2 As Single Public x1 As Single, x2 As Single, x1a As Single, x2a As Single, z As Single Public r(maxfilas) As Single, menor As Single Public resultado As String Public k As IntegerEnd Module

CODIGO DEL MODULO 1

Module Module1 Public nrestric As Integer Public nva As Integer ' nro de variables artificiales Public nvar As Integer Function probarlineaMax(ByVal x1 As Single, ByVal y1 As Single, ByVal x2 As Single, ByVal y2 As Single _ , ByVal valor As Single, ByVal C() As Single, ByVal B() As Single, ByRef x As Single, ByRef y As Single) Dim xx As Single, yy As Single Dim factible As Integer = 0 Dim menor As Single = Zmaximo Dim fila1 As Integer xx = x1 yy = (valor - C(0) * xx) / C(1) While yy >= 0 menor = Zmaximo For fila1 = 0 To nrestric - 1 r(fila1) = B(fila1) - (xx * M1(fila1, 0) + yy * M1(fila1, 1)) If r(fila1) < menor Then menor = r(fila1) End If Next If menor >= 0 Then factible = 1 x = xx y = yy Exit While Else xx = xx + dx yy = (valor - C(0) * xx) / C(1) End If End While probarlineaMax = factible

End Function


Function probarlineaMin(ByVal x1 As Single, ByVal y1 As Single, ByVal x2 As Single, ByVal y2 As Single _ , ByVal valor As Single, ByVal C() As Single, ByVal B() As Single, ByRef x As Single, ByRef y As Single) Dim xx As Single, yy As Single Dim factible As Integer = 0 Dim fila1 As Integer xx = x1 yy = (valor - C(0) * xx) / C(1) While yy >= 0 menor = Zmaximo For fila1 = 0 To nrestric - 1 r(fila1) = (xx * M1(fila1, 0) + yy * M1(fila1, 1)) - B(fila1) If r(fila1) < menor Then menor = r(fila1) End If Next If menor >= 0 Then factible = 1 x = xx y = yy Exit While Else xx = xx + dx yy = (valor - C(0) * xx) / C(1) End If End While probarlineaMin = factible End FunctionEnd Module

CODIGO DEL FORMULARIO 1

Option Explicit OnImports System.DrawingPublic Class Form1 Private Sub Form1_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MyBase.Load tipofo = 1 ' maximizacion nrestric = 3 nvar = 2 Grafico = PictureBox1.CreateGraphics PictureBox1.Width = ancho + paso PictureBox1.Height = alto + paso PictureBox1.BackColor = ColorFondo pen = New Pen(Color.Blue, 2) dx = 0.1 End Sub


Private Sub PictureBox1_MouseMove(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.Windows.Forms.MouseEventArgs) Handles PictureBox1.MouseMove If e.Button = Windows.Forms.MouseButtons.Left Then Me.Text = "X = " & e.X & "Y= " & e.Y ListBox1.Items.Clear() x1 = (e.X - Cx) / ex x2 = -(Cy - e.Y) / ey z = CJ(0) * x1 + CJ(1) * x2 ListBox1.Items.Add("X1 " & x1) ListBox1.Items.Add("X2 " & x2) ListBox1.Items.Add("Z " & z) menor = 1000 Select Case tipofo Case 1 For fila = 0 To nrestric - 1 r(fila) = B(fila) - (x1 * M1(fila, 0) + x2 * M1(fila, 1)) ListBox1.Items.Add("r " & fila + 1 & " = " & r(fila)) If r(fila) < menor Then menor = r(fila) End If Next ListBox1.Items.Add("menor " & menor) If menor < 0 Then ListBox1.Items.Add("INFACTIBLE") Else ListBox1.Items.Add("FACTIBLE") End If Case 2 For fila = 0 To nrestric - 1 r(fila) = (x1 * M1(fila, 0) + x2 * M1(fila, 1)) - B(fila) ListBox1.Items.Add("r " & fila + 1 & " = " & r(fila)) If r(fila) < menor Then menor = r(fila) End If Next ListBox1.Items.Add("menor " & menor) If menor < 0 Then ListBox1.Items.Add("INFACTIBLE") Else ListBox1.Items.Add("FACTIBLE") End If End Select End If End Sub

Sub ImprimirMatriz(ByRef A(,) As Single, ByVal Cy As Integer, ByVal Cx As Integer, ByVal nf As Integer, ByVal nc As Integer) For fila = 0 To nf - 1


For col = 0 To nc - 1 DataGridView2.Rows(Cy + fila).Cells(Cx + col).Value = A(fila, col) Next col Next fila End Sub Sub ImprimirVector(ByVal A() As Single, ByVal Cy As Integer, ByVal Cx As Integer, ByVal Nc As Integer) For col = 0 To Nc - 1 DataGridView2.Rows(Cy).Cells(Cx + col).Value = A(col) Next End Sub

Private Sub MnuIniciar_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MnuIniciar.Click ' solo trabaja para caso de dos variables Try DataGridView1.RowCount = nrestric + filaIni + 2 DataGridView1.ColumnCount = 4 DataGridView1.Columns(0).HeaderCell.Value = "Variable" For col = 1 To nvar DataGridView1.Columns(col).HeaderCell.Value = "X" & col Next DataGridView1.Rows(0).Cells(0).Value = " Margen Contr" DataGridView1.Rows(1).Cells(0).Value = " Restricciones" DataGridView1.Rows(1).Cells(nvar + 1).Value = " Disponib" For col = 1 To nrestric DataGridView1.Rows(1 + col).Cells(0).Value = "R" & col Next DataGridView1.Rows(0).Cells(1).Value = 4 DataGridView1.Rows(0).Cells(2).Value = 12 DataGridView1.Rows(2).Cells(1).Value = 2500 DataGridView1.Rows(2).Cells(2).Value = 5000 DataGridView1.Rows(2).Cells(3).Value = 7000 DataGridView1.Rows(3).Cells(1).Value = 50 DataGridView1.Rows(3).Cells(2).Value = 200 DataGridView1.Rows(3).Cells(3).Value = 250 ' obtenemos la matriz M1 y B Catch ex As Exception MsgBox(ex.Message) End Try End Sub

Private Sub MnuIniciarGrafico_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MnuIniciarGrafico.Click DataGridView2.RowCount = nrestric + 3 DataGridView2.ColumnCount = 5 For fila = 0 To nrestric - 1 B(fila) = DataGridView1.Rows(2 + fila).Cells(3).Value For col = 0 To 1


M1(fila, col) = DataGridView1.Rows(2 + fila).Cells(1 + col).Value Next Next ' obtenemos la matriz CJ For col = 0 To 1 CJ(col) = DataGridView1.Rows(0).Cells(1 + col).Value Next ' solo son dos variables DataGridView2.Rows(0).Cells(0).Value = "RESTRICIONES" DataGridView2.Rows(0).Cells(1).Value = "X1" DataGridView2.Rows(0).Cells(2).Value = "X2" DataGridView2.Rows(0).Cells(3).Value = "X1a" DataGridView2.Rows(0).Cells(4).Value = "X2a" ' obtnenemos los maximos de x1 y x2 maxx1 = -1000 maxx2 = -1000 For fila = 0 To nrestric - 1 DataGridView2.Rows(fila + filaIni).Cells(0).Value = "R" & fila + 1 DataGridView2.Rows(fila + filaIni).Cells(1).Value = 0 numerador = DataGridView1.Rows(fila + filaIni + 1).Cells(3).Value denominador = DataGridView1.Rows(fila + filaIni + 1).Cells(2).Value dato = numerador / denominador If dato > maxx1 Then maxx1 = dato DataGridView2.Rows(filaIni + fila).Cells(2).Value = dato DataGridView2.Rows(filaIni + fila).Cells(4).Value = 0 ' si x2=0 denominador = DataGridView1.Rows(fila + filaIni + 1).Cells(1).Value dato = numerador / denominador If dato > maxx2 Then maxx2 = dato DataGridView2.Rows(filaIni + fila).Cells(3).Value = dato Next DataGridView2.Rows(nrestric + filaIni).Cells(0).Value = "maximo" DataGridView2.Rows(nrestric + filaIni).Cells(2).Value = maxx1 DataGridView2.Rows(nrestric + filaIni).Cells(3).Value = maxx2 Zmaximo = CJ(0) * maxx1 + CJ(1) * maxx2 If maxx1 > maxx2 Then mayor = maxx1 Else mayor = maxx2 End If ValorMaximoX = mayor ValorMaximoY = mayor ex = ancho / ValorMaximoX ey = -ex TextBox1.Text = ex TextBox2.Text = ey TextBox3.Text = ValorMaximoX TextBox4.Text = ValorMaximoY rUnidadX = ex


UnidadX = 1 While rUnidadX > 1000 rUnidadX = rUnidadX / 10 UnidadX = UnidadX / 10 End While While rUnidadX < 10 rUnidadX = rUnidadX * 10 UnidadX = UnidadX * 10 End While Unidady = UnidadX TextBox5.Text = UnidadX TextBox6.Text = Unidady End Sub

Private Sub MnuGraficar_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MnuGraficar.Click Dim fila1 As Single Dim col1 As Single ex = TextBox1.Text ey = TextBox2.Text UnidadX = TextBox5.Text UnidadY = TextBox6.Text Borrar(sender, e) ' graficar la escala de x Dim MiFuente As New Font("Arial", 10, FontStyle.Bold) Dim Penciles(3) As Color Dim Brocha As SolidBrush = New SolidBrush(Color.LightGreen) pen = New Pen(Color.Blue, 2) Penciles(0) = Color.FromArgb(255, 0, 0) Penciles(1) = Color.FromArgb(0, 0, 255) Penciles(2) = Color.FromArgb(0, 255, 0) Penciles(3) = Color.FromArgb(255, 0, 255) Cx = paso Cy = alto Try Grafico.DrawLine(pen, Cx, 0, Cx, Cy) Grafico.DrawLine(pen, Cx, Cy, Cx + ancho, Cy) Grafico.DrawString("X1", MiFuente, Brushes.Red, ancho - paso, Cy) Grafico.DrawString("X2", MiFuente, Brushes.Green, Cx - paso, paso) fila = 0 For fila = 0 To nrestric - 1 pen.Color = Penciles(fila) Brocha.Color = Penciles(fila) x1 = DataGridView2.Rows(1 + fila).Cells(1).Value x2 = DataGridView2.Rows(1 + fila).Cells(2).Value x1a = DataGridView2.Rows(1 + fila).Cells(3).Value x2a = DataGridView2.Rows(1 + fila).Cells(4).Value Grafico.DrawLine(pen, Cx + x1 * ex, Cy + x2 * ey, Cx + x1a * ex, Cy + x2a * ey)


Grafico.DrawString("R" & fila + 1, MiFuente, Brocha, Cx + x1 * ex, Cy + x2 * ey) Next For col1 = 0 To ValorMaximoX Step UnidadX Grafico.DrawString(col1, MiFuente, Brushes.Blue, Cx + col1 * ex, Cy) Next For fila1 = 0 To ValorMaximoY Step UnidadY Grafico.DrawString(fila1, MiFuente, Brushes.Blue, Cx - paso, Cy + fila1 * ey) Next Catch ex As Exception MsgBox(ex.Message) End Try End Sub

Private Sub MnuResolver_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MnuResolver.Click Dim valor As Single Dim resultado As Integer Dim x As Single, y As Single pen.Color = Color.Red Dim delta As Single = Zmaximo / 10 Select Case tipofo Case 1 For valor = 0 To Zmaximo Step dx x1 = 0 x2 = valor / CJ(1) x1a = valor / CJ(0) x2a = 0 resultado = probarlineaMax(x1, x2, x1a, x2a, valor, CJ, B, x, y) If valor Mod delta = 0 Then Grafico.DrawLine(pen, Cx + x1 * ex, Cy + x2 * ey, Cx + x1a * ex, Cy + x2a * ey) End If If resultado = 0 Then ListBox1.Items.Clear() ListBox1.Items.Add("X1 " & x) ListBox1.Items.Add("X2 " & y) ListBox1.Items.Add("Z " & valor - 1) Exit Sub End If Next Case 2 For valor = Zmaximo * 10 To 0 Step -dx x1 = 0 x2 = valor / CJ(1) x1a = valor / CJ(0) x2a = 0 resultado = probarlineaMin(x1, x2, x1a, x2a, valor, CJ, B, x, y) If valor Mod 1 = 0 Then


Grafico.DrawLine(pen, Cx + x1 * ex, Cy + x2 * ey, Cx + x1a * ex, Cy + x2a * ey) End If If resultado = 0 Then ListBox1.Items.Clear() ListBox1.Items.Add("X1 " & x) ListBox1.Items.Add("X2 " & y) z = CJ(0) * x + CJ(1) * y ListBox1.Items.Add("Z " & z) Exit Sub End If Next End Select End Sub

Private Sub MnuRellenar_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MnuRellenar.Click pen.Color = Color.FromArgb(0, 255, 0) Dim menor As Single = Zmaximo Dim xx As Single, yy As Single Dim fex As Single = (1.0 / ex) * 5 Dim fey As Single = (1.0 / -ey) * 5 Select Case tipofo Case 1 ' cuando es maximizacion For yy = 0 To ValorMaximoY Step UnidadX / 10 For xx = 0 To ValorMaximoX Step UnidadY / 10 z = CJ(0) * xx + CJ(1) * yy menor = Zmaximo For k = 0 To nrestric - 1 r(k) = B(k) - (xx * M1(k, 0) + yy * M1(k, 1)) If r(k) < menor Then menor = r(k) End If Next If menor >= 0 Then Grafico.DrawRectangle(pen, Cx + xx * ex, Cy + yy * ey, 1, 1) End If Next xx Next yy

Case 2 ' cuando es minimizacion For x2a = 0 To ValorMaximoY Step fex For x1a = 0 To ValorMaximoX Step fey z = CJ(0) * x1a + CJ(1) * x2a menor = Zmaximo For k = 0 To nrestric - 1 r(k) = (x1a * M1(k, 0) + x2a * M1(k, 1)) - B(k) If r(k) < menor Then menor = r(k)


End If Next If menor >= 0 Then Grafico.DrawRectangle(pen, Cx + x1a * ex, Cy + x2a * ey, 1, 1) End If Next Next End Select End Sub

Private Sub Borrar(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles BorrarToolStripMenuItem.Click Grafico.Clear(Color.White) End Sub Private Sub NroDeRestriccionesToolStripMenuItem_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles NroDeRestriccionesToolStripMenuItem.Click nrestric = InputBox("INGRES NRO DE RESTRICCIONES", "nrestric", 2) End Sub Private Sub MaximizacionToolStripMenuItem_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MaximizacionToolStripMenuItem.Click tipofo = 1 End Sub Private Sub MinimizacionToolStripMenuItem_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MinimizacionToolStripMenuItem.Click tipofo = 2 End Sub Private Sub MnuCero_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MnuCero.Click dx = 1 End Sub Private Sub Mnu1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles Mnu1.Click dx = 0.1 End Sub

Private Sub MnuDos_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles MnuDos.Click dx = 0.01 End Sub

Private Sub mnu3_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As System.EventArgs) Handles mnu3.Click dx = 0.001 End SubEnd Class


CASO MINIMIZACION Problema de la Dieta2.2.2 Solución de un modelo de minimización : Ejemplo 2.2-2 (Problema de la dieta)En Granjas Modelo se usa diariamente un mínimo de 800 libras (Ib) de un alimento especial, que es una mezcla de maíz y soya, con las composiciones siguientes:

Ib por Ib de alimentoAlimento Proteínas Fibras Costo ($/lb)Maíz 0.09 0.02 0.30Soya 0.60 0.06 0.90

Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteínas y un máximo de 5% de fibras. Granjas Modelo desea determinar las proporciones de alimento que produzcan un costo diario mínimo.Como la mezcla de alimentos consiste en maíz y soya, las variables de decisión del modelo se definen como sigue:X1, = Ib de maíz en la mezcla diaria x2 = Ib de soya en la mezcla diariaLa función objetivo trata de minimizar el costo (en dólares) diario total de la mezcla de alimentos, y en consecuencia se expresa como sigue:minimizar z = 0.3x1, + 0.9x2

Las restricciones del modelo reflejan la cantidad diaria necesaria y los requerimientos dietéticos. Como Granjas Modelo necesita un mínimo de 800 Ib diarias de alimento, la restricción correspondiente se puede expresar como sigue:X1 + x2 >= 800En cuanto a la restricción dietética de necesidades de proteína, la cantidad de proteína que contienen x1 Ib de maíz y x2 Ib de soya es (0.09x1, + 0.6x2) Ib. Esta cantidad debe ser cuando menos igual al 30% de la mezcla total de alimentos, (x1, + x2) Ib; esto es0.09x1, + 0.6x2 >= 03(x1 + x2)De manera similar, la restricción de la fibra se define como0.02x1, + 0.06x2 < 0.05(x1 + x2)Las restricciones se simplifican agrupando todos los términos en x1, y x2 y pasándolos al lado izquierdo de cada desigualdad, para que sólo quede una constante en el lado derecho. Así, el modelo completo viene a serminimizar z = 0.3x1, + 0.9x2

sujeta a X1 + x2 >= 800

0.21x1 - 0.30x2 <= 00.03x1 - 0.01x2 >= 0X1,x2>=0

Paso 1 preparar la hoja de calculo para el Solver


2 aplicar el solver con los siguientes parametros

1. La solución es

x1 = 470.6 Ib y x2 = 329.4 Ib. El costo mínimo correspondiente, de la mezcla de alimentos, es z = 0.3 X 470.6 + 0.9 X 329.4 = $437.64 diarios.

Problema 3 caso de minimización


4 PROGRAMACIÓN LINEAL: EL ENFOQUE GRÁFICOEnunciado del problema.-. Un sastre fabrica trajes y vestidos, un traje usa 3 metros de tela de lana y 1 metros de tela de algodón y un vestido dos metros de cada tipo de tela. Un traje lo vende a 200 soles y el vestido a 150 soles. En el almacén tiene 500 metros de tela de lana y 400 de tela de algodón, cuantos trajes y vestidos debe hacer para maximizar sus ganancias


Plan de Producción de ConfeccionesProducto Traje Vestido


Margen de Contribución 200 150 36250Restricciones Total LI Disp HolguraLana 3 2 500 <= 500 -8E-10Algodón 1 2 400 <= 400 -3E-10

Solución y análisis de sensibilidad

METODO GRAFICODefiniciones Región factible. ABCDPolígono de solución es un polígono convexo BCDSolución factible.-cualquier punto de la región factible Solución optima. C

PASOS DEL METODO GRAFICOPARTE 1 FORMULACION DEL PROBLEMA2.1.1 Identificación de las variables de decisión


X1 = el número trajes a producirX2 = el numero de vestidos a producir2.1.2 Identificación de los datos del problema cuadro2.1.3 Identificación de la función objetivo

Maximizar (z) = 200x1+ 150x22.1.4 Identificación de las restricciones3x1 +2x2 <=500X1+2x2<=400X1>=0X2>=0

PARTE 2 (SOLUCION POR EL METODO GRAFICO)Graficación de las restricciones de un programa lineal

1-1 graficar las rectas ( hacerlo con Excel)Restriccion 1 (lana) 3x1+2x2<=500 si x1=0 x2= 500/2= x2=250 si x2=0 x1= 500/3= x2=166.667Restriccion 2 (algodon) R2= X1+2X2<=400 si x1=0 x2= 400/2= x2=200 si x2=0 x1= 400/1= x1=400

Función objetivo f(z) 200x1+150x2=30000 si x1=0 x2= 30000/150= x=200 si x2=0 x1= 30000/200= x=150

Ver las desigualdadesProbar con el punto 0,0Restriccion 1 (lana) 3x1+2x2<=5003(0)+2(0)<=5000<=500 ( dentro)Restriccion 2 (algodon) R2= X1+2X2<=4001(0)+1(0)<=4000<=500 ( dentro)


Obtener la solución factible2 Determinación de polígonos de solución

Uso de la función objetivo para obtener una solución optimaModifique el lado derecho de la restricción hasta encontrar la solcuion optima que ocurre en el cruce de las restricciones 1 y 2X1=50, x2=175 z= 36 250

4.2 PROGRAMAS LINEALES CON PROPIEDADES GEOMÉTRICAS ESPECIALES

1. Todo programa lineal es óptimo, infactible o ilimitado.4.2.3 Programas lineales con restricciones redundantes4.2.4 Programas lineales con soluciones óptimas alternativas

ANALISIS DE SENSIBILIDADAnalisis de sensibilidad es probar que ocurre con el resaultado al variara uno de los parámetros manteniendo constante los demás

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL COEFICIENTE DE LA FUNCIÓN OBJETIVO Se usa un enfoque gráfico para determinar qué ocurre con la solución óptima y el valor de la función objetivo cuando se modifica un coeficiente de la función objetivo.

Análisis de sensibilidad de la función objetivo c1 (traje)Función objetivo 200x1+ 150 x2Probando en Excel se puede notar que el aumento es permisible hasta cuando la curva cruza la restricción 1 (lana)Para determinar numéricamente ese valor máximo, considere el coeficiente de x1 como una variable, digamos c1, en vez del valor fijo 200. Entonces la función objetivo se vuelve: c1x1 + 150x2

Pendiente= (valor de x2 cuando x1 es 1) – (valor de x2 cuando x1 es 0)

Pendiente de la función objetivoC1x1+150x2=0 si x1=0 x2=0Si x1=1 x2= -c1/150Pendiente= -C1/150-0= -c1/150

Determinación del valor máximoPendiente de la restriccion1 R1= 3X1+2X2<=500Si x1=0x2= 500/2=250Si x1=1 x2= (500-3)/2=497/2=248.5Pendiente = 248.5-250=-1.5Igualando las dos pendientes, obtenemos:-c1/150=-1.5 c1=225 (limite máximo)

Determinación del valor minimoAl bajar el precio en Excel se nota que la soluciónn se mantendría hasta que la función objetiva cruza la con la restricción 2Pendiente de restricción 2R2= X1+2X2<=400Si x1=0 x2= 400/2=200Si x1=1x2= (400-1)/2= 399/2= 199.5


Pendiente = 199.5-200=-0.5Igualando las dos pendientes-c1/150=-0.5 c1=75 (minimo)75<=c1<=225

Análisis de c2Pendiente de la función objetivo = 200x1+c2x2=0Si x1=0 x2=0Si x1=1x2= -200/c2Pendiente= -200/c2-0 =-200/c2Encontrando el limite superior al probar en Excel al aumentar el precio de c2 la solución se mantendría hasta que la función objetiva cruce la restricción 2Pendiente de R2= x1+2x2=400Si x1=0 x2=400/2=200Si x1=1 x2= (400-1)= 199.5Pendiente = 199.5-200 = -0.5Igualando las dos pendientes -200/c2=-0.5c2=200/0.5c2(max)= 400Encontrando el limite inferior al probar en Excel al disminuir el precio c2 ( de los vestidos) la solución se mantendría hasta que la función objetiva cruce la restricción 1R1= 3X1+2X2<=500Si x1=0 x2 = 500/2=250Si x1=1x2= (500-3)/2=497/2=248.5.Pendiente= 248.5-250= -1.5Igualando las dos pendientes -200/c2=-1.5c2=200/1.5 c2(min)=133.33133<=c2<=400ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL VALOR DEL LADO DERECHO DE LA RESTRICCIÓN (RECURSOS)RESTRICCION 1 LANAUn examen cuidadoso de la figura En Excel lleva a la conclusión de que incluso el menor cambio en el valor LD de la restricción (1) tiene como resultado un cambio en la solución óptima.Específicamente, al cambiar el valor LD de la primera restricción, esa línea de restricción se mueve paralelamente a sí misma, esto es, la pendiente de esa línea de restricción no cambia. Mientras esa línea no se mueva demasiado, por ejemplo, cuando el valor Id se incrementa de 510, 600, la solución óptima permanece en la intersección de esas dos líneas correspondiente a las restricciones (1) y (2). Sin embargo, cuando ese valor excede de 1200 (por ejemplo, 2000), la solución óptima ya no seria en el cruce de la r1 con la función objetiva b1(max) puede incrementarse hasta que esta línea de restricción pase por el punto x1 = 400 y x2 = 0. Así,3(400) + (0) = b1(max) b1(max)=1200Ahora, considere lo que ocurre cuando el lado derecho de la restricción (1) disminuye de su valor actual de 400. La línea correspondiente a la restricción (1) ahora se mueve paralelamente a sí misma pero en la dirección opuesta, como se ve en la figura. Al hacerlo, la solución óptima cambia. La solución óptima permanece con el cruce de la función y restricción 1(x1=0, x2=200)3x1+2x2=b2 b1(min)=200(2)b1(min)=400400<=b1(min)<=1200


RESTRICCIÓN (2) Algodón R2= X1+2X2<=400Aumento de Ld la solución se mantedrá hasta cruzar la restriccion1 punto (x1=0, x2=250)X1+2x2=b2(max)0+2(250)=b2(max)=500Calculando el limite inferior al bajar la cantidad de recurso 2 (algodón) La solución se mantiene hasta que cruza el punto ( x1=166.67 y x2=0)X1+x2x2=b2(min)= 166.67166.67<=b2<=500

2 VALOR POR UNIDAD DE RECURSO (PRECIO SOMBRA)Precio sombre recurso (PSR)

(ganancia cuando Id =máximo) - (ganancia cuando Id = mínimo) PSR = ---------------------------------------------------------------------------- 3

Máximo-mínimo

Precio sombra del recurso 1 (lana) Ganancia cuando el recurso es máximo punto(x1=400, x2=0)Max(z)= 200(400)+150(0)= 80000Ganancia cuando el recurso es mínimo punto(0,200)Max(z)= 200(0)+150(200)=30000 Aplicando Solver se obtendría lo mismoPrecio sombra r1= (80000-30000)/(1200-400)= 50000/800=62.5Precio sombra del recurso 2 (algodón) Ganancia cuando el recurso es máximo punto(x1=0, x2=250)Max(z)= 200(0)+150(250)=37500Ganancia cuando el recurso es mínimo punto(166.67,0)Max(z)= 200(166.67)+150(0)=33334Precio sombra r2== (37500-33334)/(500-166.67)= 12.50

PREGUNTAS

1. Cuál es la producción óptima y cual su gananciaX1=50, x2=175 , z=362502 Como se ha gastado el material y se ha habido material sobrante

No ha habido material sobrante3 Si solo se fabricara 10 trajes y 20 vestidos cual es el gasto de material y cuales

son los sobrantes y cual seria la ganancia


Plan de Producción de Confecciones

ProductoTraje

Vestido

Cantidad a producir 10 20Ganancia

Margen de Contribución 200 150 5000

Restricciones Total LI DispHolgura

Lana 3 2 70 <= 500 430Algodón 1 2 50 <= 400 350

4 Como el traje proporciona mas ganancias entonces si deberia fabricar puro trajes cuanto seria la ganancia y cuanto de material sobraLa confeccion de trajes esta limitada por la cantidad de lana que hay por lo tanto se debe fabricar 166 trajes obteniendo una ganancia 33200 sobrando 2 metros de lana y 234 metros de algodón (Usar solver para comprobarlo)

5 Si fabricara puro vestidos cuanto seria la ganancia en este caso la restriccion es el algodón por lo tanto se puede fabricar 200 vestidos obteniendo una ganancia de 30000 y sobrando 100 metros de lana

6 En que rango se mantien la solucion optima al variar los precios del traje y del vestido Traje 75<=c1<=225

Vestido 133.33<=c2<=4007 Si el precio del traje baja 100 soles cual sería la nueva solución y cual sería

su ganancia = está en el rango por lo tanto la solución óptima es el mismo 100*50+150*175= 31250

8 Cuanto se gana por realizar un traje adicional si el precio está en el rango de variación ejemplo si el precio es 100 si gana 100

9 si el precio del traje sube a 300 cuanto seria la gananciaya no esta en el rango de variación de c1 la solución seria 300*166= 49800

10Cuál es la variación de los valores de los recursos lana y algodón y cuál es su precio sombre de cada recurso lana ver cuadro

11 Si tuviera 1000 metros de lana a cuanto subiría la utilidad = 36250+500*62.5=67500 ( pruebe con solver)

12 Si tuviera 1000 metros de algodón cuanto seria la ganancia adicionalNo se puede aplicar precio sombra por que no esta en el rango como hay mucho algodón se haría puro vestidos250*150 =37500 ( falta lana)

13 que recurso vale mas la lana14 que precio conviene variar El de los vestidos por que hay mas cantidad en la solución optima

Problema 2 caso minimizaciónSupongamos que se cuenta con dos alimentos pan y queso, cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones, Un kilogramo de pan contiene 2500 calorías y 50 gramos de proteínas, y un kilogramo de queso contiene 5000 calorías y 200


gramos de proteínas supongamos que una dieta especial requiere cuando menos 7000 calorías y 250 gramos de proteínas diariamente Por tanto si el kilogramo de pan cuesta S/4.00 y 12$ el queso ¿qué cantidad de pan y queso debemos comprar para satisfacer los requisitos de la dieta normal, gastando la menor cantidad posible de dinero?

SolucionIdentificación de datos del problema

Modelo matematicoMin (z) = 4x1+12x2s.a 2500x1+5000x2 >=7000 ( calorias)

50x1+200x2≥ 250 (proteinas)

X1,X2 ≥0

Solución

Variable x1 x2

Productos Panqueso

Cantidad 1 1 CostoCosto 4 12 16

Restricciones UsadoRequerido ld Exceso

Calorías 2500 5000 7500 7000 >= -500Proteínas 50 200 250 250 >= 0


Solución Se debe comprar 0.6 kg de queso y 1.1 Kg de pan con un gasto de 15.6

SOLUCION GRAFICARestricción 1 R1= 2500X1+500X2>=7000(CALORIAS)Si x1=0x2=7000/5000=1.4 punto(0,1.4)Si x2=0x1= 7000/2500=2.8 punto (2.8,0)

Restricción 2 R2= 50X1+200X2>=250(PROTEINAS)Si x1=0x2=250/200=1.25 punto(0,1.25)Si x2=0x1= 250/50=5 punto (5,0)

Probando el punto (0,0) si esta dentro o fuera R1= 2500(0)+500X2>=7000(CALORIAS 0 >= 7000 punto fueraR2= 50X1+200X2>=250(PROTEINAS) 0>=250 punto fuera

Grafico de la función objetivo4x1+12x2=10Si x1=0x2=10/12=0.83 punto(0,0.83)Si x2=0x1= 10/4=2.5 punto (2.5,0)Aumentar el valor del lado derecho de la función objetivo y en aquel punto donde la solución factible es menor será la solución optima que en este caso es el cruce de las restricciones R1 Y R2 x1=0.6 y x2=1.1 Costo de 15.6


SOLUCION DEL PROBLEMA HECHO EN CLASE DIAPOSITIVA 341. A) PLANTEO DE UN PROBLEMA.2. Una empresa elabora dos productos (P1, P2), en las cuales entran dos

componentes A y B en cada producto. Existe una determinada disponibilidad de cada componente y una utilidad por cada producto. Se desea hallar la cantidad de cada articulo que debe fabricarse a fin de maximizar las utilidades, teniéndose en cuenta que por cada producto P1 se requiere de 4 Kg. del componente A y 2 Kg. del componente B y por cada producto P2 se requiere 2 y 5 Kg. de A y B respectivamente; además se sabe que existen disponibles 80 y 120 Kg. de A y B respectivamente. Las utilidades que reportan cada producto P1 y P2 son de 30 y 40 dólares respectivamente.

3. SOLUCIÓN.4. Generalmente en estos tipos de problemas se procede inicialmente a resumir los

datos del problema en un cuadro, como el siguiente:

ProductoPRODUCTO P1 P2 UTILIDADCANT A PRODUCIR 1 1UTILIDAD 30 40 70RESTRICCIONES Disponible HOLGURAA 4 2 6 <= 80 74B 2 5 7 <= 120 113

Solucion


Producto

PRODUCTO P1 P2UTILIDAD

CANT A PRODUCIR

10 20

UTILIDAD 30 40 1100RESTRICCIONES

Disponible

HOLGURA

A 4 2 80<= 80 0

B 2 5 120<= 120 0

Solución grafica

Solución con WINQSB


ANALISIS DE SENSIBILIDADAnálisis de sensibilidad de la función objetivo c1 (pan) 3<c1<6Análisis de sensibilidad de la función objetivo c2 (queso) 8<c2<16ANALIZANDO SENSIBILIDAD DE RECURSOSRecurso 1 calorías (restricción 1) 6250<r1<=12500 Recurso 2 proteínas (restricción 2) 140<r2<=280 VALOR POR UNIDAD DE RECURSO


Precio sombra R1 caloría= (20-15)/(12500-6250)=5/6250=0.0008Precio sombra del R2 (proteínas) = (16.8-11.2)/(280-140)=5.6/140=0.04

PREGUNTAS si solo se dispone de pan con que cantidad podría alimentarse cumpliendo las calorías y proteínas necesarias y cuanto me costaría Ejercicio Calcule la solución y el análisis de sensibilidad del siguiente problemaUna compañía manufacturera fabrica 2 productos 1 y 2 y es lo suficientemente afortunada como para vender todo lo que se puede producir actualmente se tiene como dato el siguiente Requerimientos de tiempo de manufacturación para producir una unidad de producto por departamentoProducto tiempo de manufactura horas

Depto A Depto B Depto C Utilidad1 2 1 4 102 2 2 2 15

Horas Disponibles 160 120 280

Sea x1 la cantidad a producir del producto 1Sea x2 la cantidad a producir del producto 2El Modelo es Solución con LindoMax 10x1+ 15x2Subject to 2x1+ 2x2 <=160 x1+ 2x2 <=120 4x1+ 2x2 <=280x1>=0x2 >=0End

PRACTICA 5 EL METODO SIMPLEX : METODOS DE SOLUCION OPTIMA

1, PARA MAXIMIZACION

Alternativa 1 (Cj-Zj) Primera decisión el > Segunda decisión el < ( positivo) Solución optima cuando (Cj-Zj) ≤ 0

Alternativa 2 (Zj-Cj) Primera decisión el < Segunda decisión el < ( positivo) Solución optima cuando (Zj-Cj) ≥ 0

o 2, PARA MINIMIZACION

Alternativa 1 (Cj-Zj) Primera decisión el < Segunda decisión el < ( positivo)


Solución optima cuando (Cj-Zj) >= 0Alternativa 2 (Zj-Cj)

Primera decisión el > Segunda decisión el < ( positivo) Solución optima cuando (Zj-Cj)≤ 0

SOLUCION DEL PROBLEMA DE CONFECCIONES1. Modelo matemáticoMax (z)= 200x1 + 150 X2Sujeto a: 32X1+2X2 <=500 1X1+ 2 X2 <=400X1 >= 0; X2 >= 0;

2. Convertido a forma estándar Max (z)= 200x1 + 150 X2 +0u1+ 0u2Sujeto a: 32X1+2X2 +u1 =500 1X1+ 2 X2 +u2 =400X1,X2,S1,S2 >= 0

SoluciónHaciéndolo en forma manual

CJ 200 150 0 0CK XK B X1 X2 u1 u2 θ0 u1 500 3 2 1 0 500/30 u2 400 1 2 0 1 400ZJ 0 0 0 0 0 el menor (+)Zj-Cj -200 -150 0 0 el menor200 X1 500/3 1 2/3 1/3 0 2500 u2 700/3 0 4/3 - 1/3 1 175ZJ 100000/3 200 400/3 200/3 0 el menor (+)Zj-Cj 0 -50/3 200/3 0 elmenor200 X1 50 1 0 1/2 - 1/2150 X2 175 0 1 - 1/4 3/4ZJ 36250 200 150 125/2 25/2 el menor (+)Zj-Cj 0 0 125/2 25/2 El menor

Resolviendo con Excel con iteraciones y fórmulas


Convertido en forma de fraccionesCJ 200 150 0 0CK XK B X1 X2 u1 u2 θ0 u1 500 3 2 1 0 166 2/30 u2 400 1 2 0 1 400ZJ 0 0 0 0 0 el menor (+)Zj-Cj -200 -150 0 0 el menor200 X1 166 2/3 1 2/3 1/3 0 2500 u2 233 1/3 0 1 1/3 - 1/3 1 175ZJ 33333 1/3 200 133 1/3 66 2/3 0 el menor (+)Zj-Cj 0 -16 2/3 66 2/3 0 elmenor200 X1 50 1 0 1/2 - 1/2150 X2 175 0 1 - 1/4 3/4ZJ 36250 200 150 62 1/2 12 1/2 el menor (+)Zj-Cj 0 0 62 1/2 12 1/2 El menorLa lógica del simplex con el problema de confecciones

Al principio no se produce nada por tanto (x1=0, x2=0, s1=500,s2=400)


Variables básicas = u1, u2Variables no básicas =x1,x2En la primera decisión se tiene que elijar que producto me da mayor rentabilidad (elijo entre x1=200, x2=150), cada unidad de x1 me produce una rentabilidad de 200 soles en cambio una unidad de x2 solo me produce una rentabilidad de 150 por lo tanto elijo producir x1 En segunda decisión cuantas unidades de x1 puedo producir con los recursos que tengo Con recurso lana = 500/3 =166.67 trajesCon recurso algodón = 400/1= 400 trajesSi yo intentara producir 400 trajes necesitaría 400x3 =1200 metros de lana o cual no es posible por lo tanto decido producir solo 167.67 trajes ( por eso se escoje el menor)Produciendo 167.67 trajes los recursos usados son (ver cuadro)En la segunda iteración fabricando 166.67 trajes se atiene una ganancia de 33333.33 y sobran 233.33 metros de tela de algodón como se puede demostrar

CANT LanaAlgodón Lana Algodón Pu Total

Traje 166.67 3 1 500.01 166.67 200 33334Vestido 0 2 2 0 0 150 0TOTAL 166.67 5 3 500.01 166.67 350 33334DISPONIBLE 500 400 500 400

SOBRANTE 495 397 -0.01 233.33-

350

En la columna 10 Cj-Zj la solución nos indica que una unidad adicional de producto x2 nos produce una ganancia de 16.67 soles pero para ello tenemos que sacrificar 0.66 de trajes y 1.33 de algodónHaciendo esto para fabricar un vestido se tendrá que fabricar solo 166.67-0.667= 66 trajes, y el recurso algodón se disminuye en 1.333 ósea 233.33-1.33 = 232 como se puede demostrar


CANT Lana Algodón Lana Algodón Pu TotalTraje 166 3 1 498 166 200 33200Vestido 1 2 2 2 2 150 150TOTAL 167 5 3 500 168 350 33350DISPONIBLE 500 400 500 400SOBRANTE 495 397 0 232

En la columna h fila 7 el valor 250 significa 1 que se dejamos de fabricar los 167.67 trajes se liberarian recurso para fabricar 250 vestidos en recurso lana asumiendo que los 1..33 de algodón se obtiene del algodón sobrante pero en ese caso falta

167.67 503.01 167.67

El valor

El 175 siginifca que de los 233.33 metros de algodón sobrantes se debe tomar 1.33 mt para hacer el vestido y 0.667 mt del recurso liberado por no hacer el traje con esa cantidad se podría hacer 175 vestidos. Por lo tanto se debe sacrificar 116.67 unidades de traje y terminar el algodón para fabricar 50 trajes y 175 vestidos obteniendo una ganancia de 36250

RESUMEN DE INTERPRETACION DEL CUADRO DEL SIMPLEX


Iteracion 2Se decide fabricar 166.67 trajes que cada uno cuesta 200 soles entonces se obtendria 33333.33 solesEl valor 233 se obtiene de 400-500*1/3 que es lo mismo que 400-166.67*1 que significa que de los 400 metros de algodón necesito un metro para cada traje me sobran 233.34Celda d8: la ganancia del traje es 200 Celda e7 siginifca que para fab ricar un vestido necesitamos u 0.67 de trajes, para un vestido entra 0.67 Por que traje usa 3 metros de lana y el vestido solo 2 necesitas liberar 2 mtros de lana que significa 2/3 trajesF7: para tener un metro de lana se debe liberar o.33 de traje que utiliza 3metros su costo es 66.67B8. Sobrante del recurso algodónH7 = con 166.7 puedes hacer 250 vestidos por la liberación del recurso lana que son 500 mt pero faltaría 100 metros de algodón por lo tanto es esto no es factibleH8=con 233.33 metros de algodón puedes hacer 175 vestidos por que cada vestido entra 1.33 metros de tela de algodón oseaCelda 211= 166.7-175*0.67Celda d9 la ganancia del vestido es 133.33

Ejercicio Calcule la solución del siguiente problemaUna compañía manufacturera fabrica 2 productos 1 y 2 y es lo suficientemente afortunada como para vender todo lo que se puede producir actualmente se tiene como dato el siguiente Requerimientos de tiempo de manufacturación para producir una unidad de producto por departamentoProducto tiempo de manufactura horas

Depto A Depto B Depto C Utilidad1 2 1 4 102 2 2 2 15

Horas Disponibles 160 120 280


Sea x1 la cantidad a producir del producto 1Sea x2 la cantidad a producir del producto 2El Modelo esMax(z) = 10x1+ 15x2Sujeto a: 2x1+ 2x2 <=160 ( Depto A) X1+2x2 <=120 ( depto B)4x1+ 2x2 <=280X1, x2 > =0

Representación en forma estándarMax( z) = 10x1 +15x2 +0u1+0u2+0u3

s.a 2x1+2x2 +u1 ≤ 160X1+ 2x2 + u2 ≤ 1204x1+2x2 + u 3 ≤ 280X1,x2,u1,u2,u3 ≥ 0

Solución

CJ 10 15 0 0 0

CK XK B X1 X2 u1 u2 u3 Θ

0 u1 160 2 2 1 0 0 80

0 u2 120 1 2 0 1 0 60

0 u3 280 4 2 0 0 1 140

ZJ 0 0 0 0 0 0 el menor (+)

Zj-Cj -10 -15 0 0 0 El menor

0 u1 40 1 0 1 -1 0 40

15 x2 60 1/2 1 0 1/2 0 120

0 u3 160 3 0 0 -1 1 53 1/3

ZJ 900 7 1/2 15 0 7 1/2 0 el menor (+)

Zj-Cj -2 1/2 0 0 7 1/2 0 El menor

10 x1 40 1 0 1 -1 0

15 x2 40 0 1 - 1/2 1 0

0 u3 40 0 0 -3 2 1ZJ 1000 10 15 2 1/2 5 0 el menor (+)Zj-Cj 0 0 2 1/2 5 0 El menor

Resultados x1= 40 ,x2 = 40 U1=,U2= 0 ,U3=40Resolviendo con Solver de Excel


Análisis de sensibilidad

Nota si solo habría 240 unidades del c la solución seria igual

Solución en WInQSB

METODO SIMPLEX PARA MINIMIZACION


Caso problema de la dietaVariable x1 x2

Productos Panqueso

Cantidad 1 1 CostoCosto 4 12 16

Restricciones UsadoRequerido ld Exceso

Calorías 2500 5000 7500 7000 >= -500Proteínas 50 200 250 250 >= 0

Forma originalMin (z) = 4x1+12x2s.a 2500x1+5000x2 >=7000 ( calorias)

50x1+200x2≥ 250 (proteinas)X1,X2 ≥0

Forma estándar ( o aumentada con variables artificiales)Min (z) = 4x1+12x2-0u1-0u2+Mq1+Mq2s.a 2500x1+5000x2 –u1+Mq1 =7000 ( calorias)

50x1+200x2 –u2+Mq2= 250 (proteinas)X1,X2 ≥0

Solución

CJ 4 12 0 0 M MCK

XK B X1 X2 u1 u2 Q1 Q2 Θ


MQ1 7000 2500 5000 -1 0 1 0 1.4

MQ2 250 50 200 0 -1 0 1 1.25

ZJ 7250M 2550M 5200M -M -M M M el menor (+)

CJ-ZJ 4-2550M12-5200M M M 0 0 el menor

MQ1 750 1250 0 -1 25 1 -25 0.6

12 X2 1.25 0.25 1 0 -0.005 0 0.005 5

ZJ 750M+151250M +3 12 -M 25M-0.06 M

-25M+0.06 el menor (+)

CJ-ZJ

4-1250M+3 0 M

-25M-0.06 0

24M+0.06 el menor

4 X1 0.6 1 0 -8E-04 0.02 0.0008 -0.02 -75012 X2 1.1 0 1 0.0002 -0.01 -0.0002 0.01 5500ZJ 15.6 4 12 -8E-04 -0.04 0.0008 0.04 el menor (+)

CJ-ZJ 0 0 0.0008 0.04M-0.008 M-0.04 AO

Reemplazando el valor de M con un valor numericoM 100

CJ 4 12 0 0 100 100CK XK B X1 X2 u1 u2 Q1 Q2 Θ100 Q1 7000 2500 5000 -1 0 1 0 1.4100 Q2 250 50 200 0 -1 0 1 1.25

ZJ725000 255000 520000 -100 -100 100 100

el menor (+)

CJ-ZJ -254996 -519988 100 100 0 0 el menor100 Q1 750 1250 0 -1 25 1 -25 0.612 X2 1.25 0.25 1 0 -0.005 0 0.005 5

ZJ 75015 125003 12 -100 2499.94 100 -2499.9el menor (+)

CJ-ZJ -124999 0 100 -2499.9 0 2599.94 el menor4 X1 0.6 1 0 -8E-04 0.02 0.0008 -0.02 -75012 X2 1.1 0 1 0.0002 -0.01 -2E-04 0.01 5500

ZJ 15.6 4 12 -8E-04 -0.04 0.0008 0.04el menor (+)

CJ-ZJ 0 0 0.0008 0.04 99.999 99.96 El menor

MINIMIZACION CON VARIABLES ARTIFICIALESMin z= 2x1+3x2


s.a 1x1 +x2 >=6x1+x2 >=4

CJ 2 3 0 0 M MCK XK B X1 X2 u1 u2 Q1 Q2 ΘM Q1 6 3 1 -1 0 1 0 2M Q2 4 1 1 0 -1 0 1 4ZJ 10M 4M 2M -M -M M M el menor (+)CJ-ZJ 2-4M 3-2M M M 0 0 el menor2 X1 2.00 1 1/3 - 1/3 0 1/3 0 6.00M Q2 2 0 2/3 1/3 -1 - 1/3 1 3.00ZJ 4+2M 2 1/3+2/3M -2/3+M/3 -M 2/3-M/3 M el menor (+)CJ-ZJ 0 8/3-2/3M 2/3-M/3 M 4/3M+2/3 0 el menor2 X1 1 1 0 -0.5 0.5 0.5 -0.5 -23 X2 3 0 1 1/2 -1 1/2 - 1/2 1 1/2 6ZJ 11 2 3 0.5 -3.5 -0.5 3.5 el menor (+)CJ-ZJ 0 0 - 1/2 3 1/2 M-1/2 M-3/2 El menor2 X1 4 1 1 0 -1 0 10 u1 6 0 2 1 -3 -1 3ZJ 8 2 2 0 -2 0 2 el menor (+)CJ-ZJ 0 1 0 2 M M-2 El menor

RESOLVIENDO CON WINQSB

ITERACIONES


Iteraciones con tora

Resolviendo con TORA


Resolver por el método de dos fases

Minimizar z =4x1+x2 sujeta a3x1 + x2 = 34x1 + 3x2>= 6X1 + 2x2 <=4X1,x2 >=0

Si se usan u1 como excedente en la segunda restricción y u2 como una holgura en la tercera restricción, la forma del problema en ecuación esLa primera y segunda ecuaciones no tienen variables que puedan desempeñar el papel de holguras, pero la tercera sí, porque tiene la holgura u2. Así, se agregan las variables artificiales R1 y R2 en las dos primeras ecuaciones y se penalizan en la función objetivo con MR1 + MR2. La programación lineal que resulta esMinimizar z = 4x1 + x2 + Mq1+Mq2 sujeta a3X1+X2 +q1 =34X1, + 3x2 –u1 +q2 =6X1 + 2x2 + U2 = 4X1,X2,U1,U2 >= 0

Resolviendo fase 1CJ 4 1 0 0 M M ΘCK XK b X1 X2 u1 u2 q1 Q2M Q1 3 3.00 1.00 0.00 0.00 1 0 1M Q2 6 4.00 3.00 -1.00 0.00 0 1 1.50 u2 4 1.00 2.00 0.00 1.00 0 0 4


ZJ 9M 7M 4M -M 0 M Mel menor (+)

Cj-Zj 4-7M 1-4M M 0.00 0.00 0.00 el menor4 x1 1.00 1.00 0.33 0.00 0.00 0.33 0.00 3M q2 2.00 0.00 1.67 -1.00 0.00 -1.33 1.00 1.20 u2 3.00 0.00 1.67 0.00 1.00 -0.33 0.00 1.8

ZJ 2 4 4/3+5/3M -M 0 -M/3 Mel menor (+)

Cj-ZJ 0 -1/3-5/3M M 0 2/3M 0 el menor4 x1 0.60 1.00 0.00 0.20 0.00 0.60 -0.20 31 x2 1.20 0.00 1.00 -0.60 0.00 -0.80 0.60 -20 u2 1.00 0.00 0.00 1.00 1.00 1.00 -1.00 1

ZJ 3.6 4 1 0.2 0 1.6 -0.2el menor (+)

Cj-ZJ 0 0 - 1/5 0 M-1.6 M+0.2 el menor

Fase 2 despareciendo las variable artificiales se continua con la solución con la fase 2

PROBLEMA DUAL Y ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Hallar la solución del dual con la solución del primal y luego realizar análisis de sensibilidad de en los siguientes problemas compruebe con winqsb y Solver y interprete los resultadosEn el problema de confeccionesEn el problema de productosEn el problema de toykoEn el problema de Reddy Mikks

Practicas del jueves 24 de mayo del 2012

PRIMERA PRACTICA CALIFICADA DE INVESTIGACION DE OPERACIONESMartes 15 de mayo del 2012 de 9 a 10.40Profesor Msc. Ing. Ismael Véliz Vilca

Ejemplo 4.3-2 TOYCO arma tres juguetes: trenes, camiones y coches, con tres operaciones. Los límites diarios de tiempo disponible para las tres operaciones son 430,460 y 420 minutos, respectivamente, y las utilidades por tren, camión y coche de juguete son $3, $2 y $5, respectivamente. Los tiempos de armado por tren, en las tres operaciones son 1, 3 y 1 minutos, respectivamente. Los tiempos respectivos por camión y por coche son (2, 0, 4) y (1, 2, 0) minutos (un tiempo de cero indica que no se usa la operación).

1. Plantee el problema y formule el modelo matemático del primal (2)2. Se puede resolver por el métodos grafico si o no por que (1)3. Resuelva el problema por el método simplex (3)4. Formule el problema dual (1)


5. Resuelva el problema dual a partir de la solución del primal (compruebe resolviendo el problema dual) (4)

6. Realice el análisis de sensibilidad del primal y del dual (4)7. Compruebe con los resultados obtenidos con winqsb y solver y vea las

semejanzas y diferencias que se da en el siguiente cuadro y interprete cada variable que significa y como se ha obtenido cada resultado y compares con sus respuestas de la pregunta 6 (4 puntos)

Primal de TOYCOMaximizar z=3x1+2x2+5x3s.a : x1+2x2+x3 ≤ 430(Operación 1)

3x1+ 2x3 ≤ 460( Operación 2)X1+4x2 ≤ 420 (operación 3)X1,x2,x3≥ 0

Solución óptima x1=0,x2=100,x3=230z= 1350

DUAL de TOYKOMinimizar z = 430 y1+ 460 y2 +420 y3Sujeto a: 1 +3y2 +y3 ≥ 3

2y1 +4y3 ≥2Y1+2y2 ≥5Y1,y2,y3 ≥=0

Solución óptima: Y1=1,y2=2,y3=0, w= $1350

SOLUCION DEL PRIMALC’K= ck++ [ (zj-Cj)/aij)]min

COEFECIENTE RANGO VARIACION FUNCION OBJETIVOVARIABLE BASICA (CK) CK MAXIMIZAR MINIMIZARCK POSITIVO SUPERIOR CK+∆CK Aij <0 Aij >0

INFERIOR CK-∆CK aij>0 aij<0CK NEGATIVO SUPERIOR CK+∆CK aij>0 aij<0

INFERIOR CK-∆CK Aij <0 Aij >0

Demuestre con cálculos como se ha obtenido los valores del siguiente cuadro


11 El Problema del Carpintero

Un carpintero vende todas las mesas y las sillas que fabrica en un mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación. Los ingresos netos por mesa y silla son 5 y 3 respectivamente Se miden los tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y se calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40. La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana.

Formular el modelo matemático de programación lineal para ello Definir las variables de decisión Identificar los datos del problema Identificar la función objetivo Identificar las restricciones

Resolver por el método grafico Resolver método simplex mostrando todas las iteraciones En la tabla simplex explicar que significa cualquier Cij Formular el modelo dual y resolverlo

resolver el problema dual y realizar el análisis de sensibilidadSupóngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) ¿Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, ¿por cuántas horas? SoluciónSea x1 : la cantidad de mesas a fabricar por el carpintero X2: la cantidad de sillas a fabricar por el carpintero

Identificación de datos del problemaVariable x1 x2

ProductosMesas

Sillas

Cantidad 10 20 GananciaUntilidad 5 3 110


Restricciones Usado

Disponible ld

Holgura

Mano de Obra 2 1 40 40

<= 0

Materia Prima 1 2 50 50

<= 0

Modelo matemáticoMax (z) = 5x1+3x2s.a 2x1+ x2 ≤ 40 x1+2x2 ≤50x1,x2 ≥ 0

Solución grafica y solución final con Tora del problema PRIMAL


TABLA SIMPLEX DEL PRIMAL

CJ 5 3 0 0

CK XK B X1 X2 u1 u2 Θ

0 u1 40 2 1 1 0 20

0 u2 50 1 2 0 1 50

ZJ 0 0 0 0 0el menor (+)

Zj-Cj -5 -3 0 0 El menor5 x1 20 1 1/2 1/2 0 400 u2 30 0 1 1/2 - 1/2 1 20

ZJ 100 5 2 1/2 2 1/2 0el menor (+)

Zj-Cj 0 - 1/2 2 1/2 0 El menor

5 x1 10 1 0 2/3 - 1/3

3 x2 20 0 1 - 1/3 2/3

ZJ 110 5 3 2 1/3 1/3el menor (+)

Zj-Cj 0 0 2 1/3 1/3 so

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DUALPrimal

Max (z) = 5x1+3x2s.a 2x1+ x2 ≤ 40

x1+2x2 ≤50x1,x2 ≥ 0

Dual min(z) = 40y1+50y2s.a 2 y1 +y2 ≥5

y1+2y2 ≥ 3y1,y2 ≥0

Solución grafica y solución final con Tora del problema PRIMAL


TABLA SIMPLEX DEL DUAL

CJ 40 50 0 0 100 100

CK XK B y1 y2 u1 u2 R1 R2 Θ100 R1 5 2 1 -1 0 1 0 2 1/2100 R2 3 1 2 0 -1 0 1 3ZJ 800 300 300 -100 -100 100 100 el menor


(+)

Zj-Cj 260 250 -100 -100 0 0 el mayor40 y1 2 1/2 1 1/2 - 1/2 0 1/2 0 5100 R2 1/2 0 1 1/2 1/2 -1 - 1/2 1 1/3

ZJ 150 40 170 30 -100 -30 100el menor (+)

Zj-Cj 0 120 30 -100 -130 0 el mayor40 y1 2 1/3 1 0 - 2/3 1/3 2/3 - 1/350 y2 1/3 0 1 1/3 - 2/3 - 1/3 2/3

ZJ 110 40 50 -10 -20 10 20el menor (+)

Zj-Cj 0 0 -10 -20 -90 -80 So

ANALISIS DE SENSIBILIDAD DEL PROBLEMA DEL CARPINTERO

PROBLEMA PRIMAL DEL CARPINTERO

Variables no básicas U1 = horas disponibles U2 = materiales Análisis de u1 ( c3) rango superior <= 7/3 rango inferior -∞ -∞ <=c3<=7/3 -∞ <=c3<=2.3333

Análisis de u2(c4)rango superior c4 <=1/3 rango inferior -∞ -∞ <=c4<=0.33

Variables básicas X1: mesas X2 :sillasC’k= ck+∆cK = ck + [ (zj-Cj)/aij)]min

COEFECIENTE RANGO VARIACION FUNCION OBJETIVOVARIABLE BASICA (CK) CK MAXIMIZAR MINIMIZARCK POSITIVO SUPERIOR CK+∆CK Aij <0 Aij >0

INFERIOR CK-∆CK aij>0 aij<0CK NEGATIVO SUPERIOR CK+∆CK aij>0 aij<0

INFERIOR CK-∆CK Aij <0 Aij >0

CJ 5 3 0 0

CK XK B X1 X2 u1 u2 Θ

0 u1 40 2 1 1 0 20

0 u2 50 1 2 0 1 50

ZJ 0 0 0 0 0el menor (+)

Zj-Cj -5 -3 0 0 El menor


5 x1 20 1 1/2 1/2 0 400 u2 30 0 1 1/2 - 1/2 1 20

ZJ 100 5 2 1/2 2 1/2 0el menor (+)

Zj-Cj 0 - 1/2 2 1/2 0 El menor

5 x1 10 1 0 2/3 - 1/3

3 x2 20 0 1 - 1/3 2/3

ZJ 110 5 3 2 1/3 1/3el menor (+)

Zj-Cj 0 0 2 1/3 1/3 so

ANALISIS DE SENSIBILIDAD DE VARIABLES BASICAS x1,x2, u1,u2 Análisis de x1(c1)Rango superior c’k = ck +∆Ck =5 + (0.33/[-0.33]) c’k =5+1=6Rango inferior c’k = ck -∆Ck =5 - ( 2.333/0.67) c’k =5-3.49 =1.51

1.5<= c1 <= 6Análisis de x2(c2)Rango superior c’k = ck +∆Ck =3 + (2.33/[-0.33]) c’k =3+7=10Rango inferior c’k = ck -∆Ck =3 - ( 0.33/0.67) c’k =3-0.5 =2.5

2.5<= c1 <= 10

ANALISIS DE SENSIBILIDAD DEL PROBLEMA DUALVariables no básicasU1 = recurso que entra en mesasU2 = recurso que entra en sillas

Análisis de u1 ( b3) rango inferior -10 rango inferior ∞ -10 <=b3<=∞Análisis de u2(b4) rango inferior c4 <=1/3 ; rango superior ∞ 0.33 <=b4<=∞Variables básicas Y1: horas hombre X2 :materia primaC’k= ck+∆cK = ck + [ (zj-Cj)/aij)]mIn

CJ 40 50 0 0 100 100

CK XK B y1 y2 u1 u2 R1 R2 Θ100 R1 5 2 1 -1 0 1 0 2 1/2100 R2 3 1 2 0 -1 0 1 3

ZJ 800 300 300 -100 -100 100 100el menor (+)

Zj-Cj 260 250 -100 -100 0 0 el mayor40 y1 2 1/2 1 1/2 - 1/2 0 1/2 0 5100 R2 1/2 0 1 1/2 1/2 -1 - 1/2 1 1/3

ZJ 150 40 170 30 -100 -30 100el menor (+)

Zj-Cj 0 120 30 -100 -130 0 el mayor40 y1 2 1/3 1 0 - 2/3 1/3 2/3 - 1/3


50 y2 1/3 0 1 1/3 - 2/3 - 1/3 2/3

ZJ 110 40 50 -10 -20 10 20el menor (+)

Zj-Cj 0 0 -10 -20 -90 -80 So

ANALISIS DE SENSIBILIDAD DE VARIABLES BASICAS y1,y2

Análisis de y1(b1)Rango superior c’k = ck +∆Ck =40 + (20/[0.33]) c’k =40+60=100Rango inferior c’k = ck -∆Ck =40 - ( 10/-0.67) c’k =40-15 =25

25<= b1 <=100

Análisis de y2 (b2)Rango superior c’k = ck +∆Ck =50 + (10/[0.33]) c’k =50+30=80Rango Inferior inferior c’k = ck -∆Ck =50 - ( 20/-0.67) c’k =50-30 =20

20<= b2 <= 80Preguntas

1. Supóngase que el carpintero pudiera contratar a un ayudante a un costo de US$2 por hora (adicionales $2) ¿Le conviene al carpintero contratar a un ayudante? En caso afirmativo, ¿por cuántas horas?

Como el precio sombra del recurso (mano de obra h-h) es 2.33 (valor de y1) si conviene contratar al ayudante por que la utilidad se incrementaría 0.33 por cada hora contratada hasta 100 horas como ya se tiene 40 se podría contratar 60 horas ( digamos 2 ayudantes a 30 horas cada uno) La utilidad subiría a 60*0.33=20 osea 110 a 130

Comprobando

UTLIDAD sube a 250 -120(pago del ayudante) = 250-120= 130

2. Interpretacion de las iteracionesIteracion 0


Variable x1 x2

ProductosMesas

Sillas

Cantidad 0 0 GananciaUntilidad 5 3 0Restricciones Usado

Disponible ld

Holgura variable

Mano de Obra 2 1 0 40

<= 40 u1

Materia Prima 1 2 0 50

<= 50 u2

Se tiene u1=40 y u2 =50 utilidad cero En la columna Zj.Cj -5 nos indica que por cada mesa que dejamos de fabricar perdimos -5 ( o ganariamos 5 si fabricamos 1 ) por eso decidimos fabricar mesas (x1) por que se gana mas

una vez decidido que se fabricara mesas analisamos los recursos.

Recurso 1. Mano de obra = 40 /2= 20 Recurso 2. Materia prima= 50/ 1=50 ( no se puede fabricar 50 mesas) por que faltaria mano de obra por lo que se elije 20 mesas ( el menor positivo)

Variable x1 x2

ProductosMesas

Sillas

Cantidad 20 0Ganancia

Untilidad 5 3 100Restricciones Usado

Disponible ld

Holgura

variable

Mano de Obra 2 1 40 40 <= 0 u1Materia Prima 1 2 20 50 <= 30 u2

Iteración 1Se tiene x1=20 y u2 =30 utilidad 100 ( venta de 20 mesas)

En la columna Zj.Cj -0.55 nos indica que por cada silla que dejamos de fabricar perdimos -0.5 ( o ganariamos 0.5 si fabricamos 1 ) pero para eso se debe dejar de fabricar ½ mesa ( probando si fabricamos 2 sillas mas nuestra utilidad se incrementaria en 101 soles por lo tanto fabricamos sillas con el materia prima que no queda y dejamos de fabricar algunas mesas para obtener mano de obra).

Variable x1 x2Productos Mesa Silla


s s



Disponible ld

Holgura

variable


Iteración 2

Se tiene x1=10 y u2 =20 utilidad 110 ( venta de 10, mesas y 20 sillas)En la columna Zj.Cj no hay ningun valor negativo por la tanto es la solucion optimaEn la fila Zj x1=0, x2=0, u1=2.333 u2=0.33 por cada hora adicional de mano de obra se ganaria 2.33 y por cada unidad adicional de material prima se gana 0.33Por ejmplo si aumentamos horas hombre a 43 se ganaria 2.333*3=7 =110+7=117

Variable x1 x2

ProductosMesas Sillas



Disponible ld

Holgura

variable

Mano de Obra 2 1 43 43 <= 0 u1Mater Prima 1 2 50 50 <= 0 u2

Si aumentamos simultaneamente los recursos hasta los limites permitidos

Rango superior

Recursoprecio sombra cant aumento a Z

H.h 2.33333 60 139.9998MP 0.3333 30 9.999

149.9988

PruebaVariable x1 x2



Untilidad 5 3 260


Restricciones Usado

Disponible ld

Holgura

variable


260-110 = 150 ( aumena en 150Rango inferior

Recursoprecio sombra cant aumento a Z

H.h 2.33333 15 34.99995MP 0.3333 30 9.999

44.99895Bajariamos el ingreso en 45 soles

PruebaVariable x1 x2




Disponible ld

Holgura

variable


Seguir haciendo análisis de este tipo para otros parámetros como por ejemplo variación de los coeficientes de la función objetivo

12 Problema de la DietaSupongamos que se cuenta con dos alimentos pan y queso , cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones , Un kilogramo de pan contiene 2000 calorías y 50 gramos de proteínas, y un kilogramo de queso contiene 4000 calorías y 200 gramos de proteínas supongamos que una dieta norma requiere cuando menos 6000 calorías y 200 gramos de proteínas diariamente

Por tanto si el kilogramo de pan cuesta $6.00 y 21$ el queso ¿ que cantidad de pan y queso debemos comprar para satisfacer los requisitos de la dieta normal , gastando la menor cantidad posible de dinero?

Formular el modelo matemático de programación lineal para ello Definir las variables de decisión Identificar los datos del problema Identificar la función objetivo Identificar las restricciones


Resolver por el método grafico Resolver método simplex mostrando todas las iteraciones En la tabla simplex explicar que significa cualquier Cij Formular el modelo dual y resolverlo resolver el problema dual y realizar el análisis de sensibilidad

solucióna)formulación del modelo matemáticosea x1 la cantidad de kg de pan a consumir cada dia sea x2 la cantidad de Kg de queso a consumir cada dia

Iteraciones


CJ 6 21 0 0 1000 1000

CK XK B X1 X2 u1 u2 R1 R2 Θ1000

R1 6000 2000 4000 -1 0 1 0 1.5

1000

R2 200 50 200 0 -1 0 1 1

ZJ

6200000 2050000 4200000 -1000 -1000 1000 1000

el menor (+)

Zj-Cj

2,049,994

4,199,979

-1,000 -1,000 0 0 el mayor

1000

R1 2000 1000 0 -1 20 1 -20 2

21 X2 1 0.25 1 0 -0 0 0 4

ZJ

2000021 1000005 21 -1000

19999 17/19 1000

-19999 17/19

el menor (+)

Zj-Cj 999999.3 0 -100019999 17/19 0

-20999 17/19 el mayor

6 y1 2 1 0 -0 1/50 0 - 1/50

21 y2 0.5 0 1 0 -0 -0 0

ZJ 22.5 6 21 -0 - 1/11 0 1/11el menor (+)

Zj-Cj 0 0 -0 - 1/11-1000 -999 10/11 So

SOLUCION FINAL

PROBLEMA DUALMAX (G) =6000y1+200Y2s.a 2000Y1 +50Y2 ≤ 6 4000Y1 +200Y2 ≤ 21Y1,Y2 ≥0


Solución final

Iteraciones

CJ 6000 200 0 0

CK XK B Y1 Y2 u1 u2 Θ

0.0000 u1 6.0000 2,000.0000 200.0000 1.0000 0.0000 0.0300

0.0000 u2 21.0000 4,000.0000 50.0000 0.0000 1.0000 0.4200

ZJ 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 el menor (+)

Zj-Cj -6,000.0000 -200.0000 0.0000 0.0000 El menor

6,000.0000 Y1 0.0030 1.0000 0.1000 0.0005 0.00000.0000 u2 9.0000 0.0000 -350.0000 -2.0000 1.0000

ZJ 18.0000 6,000.0000 600.0000 3.0000 0.0000 el menor (+)

Zj-Cj 0.0000 400.0000 3.0000 0.0000 SO

Guia de Practicas de Investigacion de Operaciones 1 2013

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