Guia del 3º D
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3º Departamental Gerson Villa Glez. Fundamentos Matemáticos 3º Departamental Fundamentos Matemáticos
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Gerson Villa González [email protected]
3º Departamental
Gerson Villa Glez.
Fundamentos Matemáticos
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Fundamentos Matemáticos
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Parábola
1. Determine el vértice, foco, directriz y el eje de la parábola respectiva. Haga una
gráfica de la parábola.
a. 26 12 24 42 0y y x
b. 2 15 6 0
4x x y
Aplicaciones Diversas
2. Candileja. Una candileja grande se diseña de tal modo que una sección transversal
por su eje es una parábola, y la fuente luminosa está en el foco. Calcule la posición
de la fuente luminosa, si la candileja tiene 4 pies de diámetro en la abertura y 2
pies de profundidad.
3. Tubo de alcantarillado. Suponga que el agua que sale del extremo de un tubo
horizontal describe un arco parabólico con su vértice en el extremo del tubo. Este
tubo está a 20 metros sobre el suelo. En un punto a 2 metros abajo del extremo
del tubo, la distancia horizontal del agua a una vertical que pase por el extremo del
tubo es de 4 m. Ve la siguiente figura. ¿Dónde toca el agua el suelo?
La Elipse
1. Determine el centro, focos, vértices y extremos del eje menor, y la excentricidad
de la elipse. Haga una gráfica de la elipse.
a. 2 2
125 9
x y
b. 2 2
1 31
49 36
x y
c. 2 212 4 24 4 1 0x y x y
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2. Deduzca una ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas.
a. Vértices en 5,0 , focos en 3,0
b. Vértices en 9,0 , focos en 2,0
Aplicaciones Diversas
3. Arco. Un arco semieliptico tiene su eje mayor vertical. La base del arco tiene 10
pies de ancho, y la parte más alta del arco está a 15 pies sobre el suelo. Calcule la
altura del arco sobre el punto en la base del arco que está a 3 pies del centro.
4. Galería de los Murmullos. Suponga que se construye un recinto sobre una base
elíptica plana, haciendo girar 180 grados una semi‐elipse entorno a su eje mayor.
Entonces, por la propiedad de reflexión de la elipse, todo lo que se susurre en un
foco se oirá claramente en el otro foco. Si la altura del recinto es de 16 pies y la
longitud es de 40 pies, calcule la ubicación de los puestos de susurro y escucha.
La hipérbola
5. Localice centro, focos y vértices y determine las asíntotas y la excentricidad de la
hipérbola.
a.
2
21
341
4 9
yx
b. 2
2 110 1 2 100
2x y
Aplicaciones diversas
6. Dos detectores de sonar están a la distancia d entre sí. Suponga que un sonido
(como el siseo de un submarino) se oye en los dos detectores con una demora de
tiempo h. Vea la siguiente figura. Suponga que el sonido viaja en línea recta hacia
los dos detectores, a la velocidad v.
a. Explique por qué h no puede ser mayor que /d v
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b. Explique por qué, para valores dados de d, v y h, la fuente sonora puede
determinarse que está en una rama de una hipérbola. [¿Pista donde cree
usted que están los focos?].
c. Deduzca una ecuación de la hipérbola del inciso b), suponiendo que los
detectores están en los puntos 0, / 2d y 0, / 2d . Exprese el resultado
en la forma normal 2 2 2 2/ / 1y a x b .
Circunferencia
7. Determina la ecuación de la circunferencia, en su forma reducida, cuyo diámetro
es el segmento que une los puntos ( 2,1) y 3, 4 .
8. Deduce la ecuación de la recta tangente a la circunferencia 2 21 20x y en el
punto 3,4
9. Circunferencias 2 21 2 25x y , perpendiculares a la recta 4 8x y ;
coordenadas del centro 1,2
Número Complejos
10. Exprese los números complejos en la forma, donde 0r y . Trace un
diagrama de argand para cada cálculo.
a. 1 3
1 3
i
i
b. 1
1
i
i
11. Use el teorema de Moivre para expresar las funciones trigonométricas en términos
de cos y sen
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a. cos 4
b. 4sen
c. Determine olas dos raíces cuadradas de
12. Resuelva las siguientes ecuaciones en términos de los número reales y
a. 23 4 2i x iy x iy
b. 2
1 11
1
ii
i x iy
