1 GUA DEL ALUMNO DE LGEBRA NIVEL MEDIO SUPERIOR PRIMER SEMESTRE VERSIN 1.0 ABRIL 2009 2 FICHA DE IDENTIFICACIN NOMBRE DEL ALUMNO: CARRERA:TURNO: GRUPO: DIRECCIN PARTICULAR: TELFONO: CELULAR:E-MAIL:RFC:CURP: TIPO DE SANGRE:ALERGIAS: EN CASO DE ACCIDENTE FAVOR DE AVISAR A: NOMBRE:DOMICILIO: TELFONO: CELULAR:

3 GUA DE APRENDIZAJE DEL ALUMNODE LA ASIGNATURA DELGEBRA PROFESORQUEELABORLAGUADIDCTICADELALUMNOPARAEL COMPONENTE DE FORMACIN BSICA DE LA ASIGNATURA DE LGEBRA: NOMBRE:LUIS FERNANDO ARRIETA VELAZCO CARRERA:LICENCIADO EN FSICA Y MATEMTICAESTADO:DE MXICO PLANTEL:CHIMALHUACAN II - CECYTEM 4 UN MENSAJE PARA TI Hola amiguito (a):YosoytuGuaapartirdeahorayteayudaradesarrollar habilidades y destrezas, fomentar valores y actitudes para cumplir conlosobjetivos,yaqueestoydesarrolladaconunaestructura metodolgica en la que te planteo ejemplos para introducirte a cada unodelosconceptosfundamentalesyconceptossubsidiarios, ejercicios para que refuerces cada uno de ellos y aplicacin para queadquieraslacapacidaddemanipularloquehasaprendido; adems, de prcticas para realimentar y corregir tus deficiencias. Estoy 100% apegada al Programa de Estudios Vigente de los Colegios deEstudiosCientficosyTecnolgicosdelEstadodeMxico (CECyTEM) que te permitir desarrollar la habilidad para razonar y resolverproblemasenlasdiferentessituacionesquepudieran presentarse como en tu vida personal, escolar y laboral. Tambin, cuento con instrumentos de evaluacin como es la gua de observacinylistadecotejo,quemepermitirirevaluandotu desempeoyproductos,ademsdedetectartusdeficienciaspara poder corregirlas sobre la marcha. 5 EVALUACIN DIAGNSTICA RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS: 1. 12+35= 2. 34 23= 3. 2527= 4. 3416= 5. 1S2= 6. 64 = 7.1253= 8. 42= 9. 33= 10. Encuentra el valor de x en la siguiente ecuacin: 10x = 5 11. Hallar la suma de los siguientes polinomios: o + b, 3o + 6b, 7b 12. Realiza la siguiente multiplicacin: ( o + b)( 5) = 6 NDICE PGINA Un mensaje para ti 4 Evaluacin diagnostica5 Mapa curricular 7 Criterios de evaluacin8 CONCEPTOS FUNDAMENTALES Y SUBSIDIARIOS 1. Lenguaje algebraico Expresin algebraica a.Notacin y clasificacin 10 b.Representacin algebraica de expresiones en lenguaje comn 16 c.Interpretacin de expresiones algebraicas 18 Aplicacin20 d.Evaluacin numrica de expresiones algebraicas23 Prctica integradora 1 28 Instrumentos de evaluacin32 Realimentacin 35 Operaciones fundamentales e.Leyes de los exponentes y radicales 37 f.Operaciones fundamentales 42 g.Productos notables 72 h.Factorizacin90 Prctica integradora 2 98 Instrumentos de evaluacin104 Realimentacin107 2. Ecuaciones Ecuaciones lineales i.Con una incgnitaResolucin y evaluacin de ecuaciones 110 Aplicacin116 j.Con dos y tres incgnitas Sistemas de ecuaciones 121 Mtodos de solucin 122 Prctica integradora 3 148 Instrumentos de evaluacin152 Realimentacin154 Ecuaciones cuadrticas k.Clasificacin156l.Mtodos de solucin 157 Prctica integradora 4 167 Instrumentos de evaluacin169 Realimentacin171 Graficacin Plano cartesiano 173 Grficas de algunas ecuaciones lineales o de primer grado 174 Grficas de algunas ecuaciones cuadrticas o de segundo grado 175 Instrumentos de evaluacin181 Realimentacin 182 Glosario 183 Fuentes de informacin 184 7 MAPA CURRICULAR PROPSITO: Desarrollar la capacidad del razonamiento matemtico haciendo uso del lenguajealgebraico,apartirdelaresolucindeproblemasdelavida cotidiana,dentroyfueradelcontextomatemtico,representadosenmodelos dondeseaplicanconocimientosyconceptosalgebraicos,enunclimade colaboracin y respeto. APLICACIONES Representacin algebraica de situaciones reales Identificar, interpretar y utilizar modelos algebraicos LGEBRALENGUAJE ALGEBRAICOEXPRESIN ALGEBRAICA- Not aci n y cl asi f i caci n.- Repr esent aci n al gebr ai ca de expr esi ones en l enguaj e comn.- Int er pr et aci n de expr esi ones al gebr ai cas.- Eval uaci n numr i ca de expr esi ones al gebr ai cas.OPERACIONES FUNDAM ENTALES- Oper aci ones f undament al es.- Leyes de l os exponent es y r adi cal es.- Pr oduct os not abl es.- Fact or i zaci n.ECUACIONESECUACIONES LINEALES- Con una i ncogni t a.- Resol uci n y eval uaci n de ecuaci ones.- Con dos y t r es i ncgni t as.- Si st emas de ecuaci ones.- M t odos de sol uci n.ECUACIONES CUADRTICAS- Cl asi f i caci n.- M t odos de sol uci n.Gr af i caci n. 8 CRITERIOS DE EVALUACIN CRITERIOVALOR 1.DESEMPEO (TRABAJO EN CLASE) 2.PRODUCTO (PRCTICAS) 3.CONOCIMIENTO (EXAMEN ESCRITO) 4.ACTITUD 9 OBJETIVO: EXPRESIN ALGEBRAICA Al cursar el concepto subsidiario de Expresin algebraica, sers capazde:Describirlosconceptosbsicosdellgebra,clasificar lasexpresionesalgebraicas,resolviendoproblemasaplicandolos signosdelalgebra,paraconstruirellenguajealgebraico generalizandomodelosaritmticos,mediantelasolucinde problemasosituacionesrelacionadosconproblemasverbales, adquiriendolacapacidadparaplantearmodelosmatemticosa partirdeunproblemaenlenguajecomn;estoesloque desarrollars en un ambiente de respeto y trabajo en equipo. Monomios:2xy, 5ab,u2b5u3, 4x, 3y La suma de dos nmeros = a + b x3=El cubo de un nmero Sipor$xcompronk i l osdearroz. Cunto importa 1 k i l o? Hallar el valor numrico dex2 2xy +3y3; parax = 2, y = 3 10 a. NOTACIN Y CLASIFICACIN PROPSITO:Clasificarydescribiralasexpresionesalgebraicasyaplicar estosconocimientosensituacionesrealesmedianteplanteamientosquepermitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes en un ambiente de respeto y trabajo en equipo. TERMINOLOGA Y NOTACIN Qu es el lgebra y para qu me sirve?

NOTACINALGEBRAICA:Losnmerosylasletrassonlossmbolosusadosen lgebra para representar a las cantidades. Nmeros: Se utilizan para representar a las cantidades conocidas. Letras: Se utilizan para representar a toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Cantidades conocidas: Se expresan por las primeras letras del alfabeto (a, b, c, d,q). Cantidadesdesconocidas:Serepresentanporlasltimasletrasdel alfabeto (r, s, t, u, v, w, x, y, z). CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: EXPRESIN ALGEBRAICA DESARROLLO 11 Constante:Esunacantidadcuyovalornocambia(nmeros).Se representanmedianteunaliteralquepuedenserletrasdelabecedarioo letras del alfabeto griego. Ejemplo: n, c, ctc. Variable:Esunaliteralquepuederepresentaralascantidades desconocidasenunproblemaexpresadoenlenguajecomn. Estasliterales pueden tener diferentes valores de acuerdo a las condiciones del problema y tambin se denominan incgnitas. Las variables se representan por medio de letras del abecedario o letras griegas. Ejemplo: x, y, z, , 0, ctc. Frmulaalgebraica:Eslarepresentacinalgebraicapormediode letras de una regla o principio general. Ejemplo: A = b . EJERCICIO 1: En el siguiente cuestionario subraya la respuesta. 1. En esta rama de las matemticas las cantidades se representan por nmeros y estos representan valores determinados. Geometra Aritmtica lgebra 2. Enestaramadelasmatemticas,paralograrlageneralizacin,las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. lgebra Geometra Aritmtica 3. Son los smbolos que se utilizan para representar a las cantidades conocidas. Nmeros Variables Letras 4. Sonlossmbolosquese usanpararepresentartodaclasedecantidades,ya sean conocidas o desconocidas. Letras Nmeros Variables 5. Se expresan por las primeras letras del alfabeto. Cantidades conocidas Cantidades desconocidas Frmulas algebraicas 6. Esunacantidadcuyovalornocambia(nmeros),algunasserepresentan mediante una literal que pueden ser letras del alfabeto griego. Frmula algebraica Constante Variable 7. Es una literal que puede representar cantidades desconocidas en un problema expresado en lenguaje comn. Las literales pueden tomar diferentes valores de acuerdo con las condiciones del problema, tambin se les denomina incgnitas y se representan por medio del abecedario o letras griegas. Variable Frmula algebraica Constante 8. Es la representacin por medio de letras de una regla o principio general. Frmula algebraica Letras Cantidades desconocidas 12 Coeficiente: Enlaexpresinalgebraica9xy, 9, x, y,selesllamafactores.A lasliteralesdeunproductocomox, y,selesllamafactoresliterales.El factornumrico9selellamacoeficientedelosotrosfactores,cualquier factorofactorespuedeconsiderarsecomoelcoeficientedelosfactores restantes. As, en 9xy, 9x es el coeficiente de y y 9y es el coeficiente de x. Ejemplos: En la expresin algebraica 2x, 2 es el coeficiente numrico y x es el coeficiente literal. Enlaexpresinalgebraica x,1eselcoeficientenumricoy xesel coeficiente literal. EJERCICIO 2: Completa la siguiente tabla, escribiendo cul es el coeficiente numrico y cul es el coeficiente literal de las expresiones algebraicas. Expresin algebraicaCoeficiente numricoCoeficiente literal 7o 6y4 8mn o2b2 9( x + y) 4x 8o2 2( o b) 4x2y2 3x4 y Exponente: Si consideremos el caso de la multiplicacin, en el cual todos los factores que se van a multiplicar son iguales, y si multiplicamos el nmero x por s mismo, obtenemos xx y se escribe x2. En donde el producto de n factores, cada uno de los factores es igual a x, y se escribe: xn cs Jccir, xxx x = xn, JonJc: n =Exponente (el exponente indica el nmero de veces que la base se va a tomar como factor o se va a multiplicar por s misma). x =Base 13 Ejemplos: En la expresin algebraica 6o, el exponente de o cs 1 y la base es o. En la expresin algebraica 5b2, el exponente de b cs 2 y la base es b. En la expresin algebraica ( 7x)3, el exponente de 7x es 3 y la base es 7x. EJERCICIO 3: Completa la siguiente tabla, escribiendo cul es el exponente y cul es la base de las expresiones algebraicas. Expresin algebraicaExponenteBase o2 2m3 ( ob)2 3xy2 ( x + y)2 y5 8o2b n5 2( o + b)2 x5 Nomenclatura algebraica Expresin algebraica: Es la representacin de un smbolo algebraico o de una o ms operaciones algebraicas. Ejemplos: m, 3x, 2o3, ( x + y)z,( x-3)mu2. Trmino: Es una expresin algebraica que consta de un solo smbolo o de varios smbolos no separados entre s por el signo ms (+) o por el signo menos (-). Ejemplos: x, 3y, 4ob,2x, 2o, 5x. 14 CLASIFICACIN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS Monomio: Es una expresin algebraica que consta de un solo trmino. Ejemplos: 2xy, 5ob,u2b5u3, 4x, 3y. Binomio: Es un expresin algebraica que consta de dos trminos. Ejemplos: x + y, m n,u3b 5ub4b2, o b,. Trinomio: Es un expresin algebraica que consta de tres trminos. Ejemplos: x + y + z,o3 2b + c, o2 6b3+c22, x y z. Polinomio: Es una expresin algebraica que consta de ms de un trmino. Ejemplos: m n, x + y + z,o3+ 2b2+ c + 7, x y, o + b + c 4. EJERCICIO4:Escribeculeselnombredelassiguientesexpresiones algebraicas de acuerdo a su clasificacin. Expresin algebraicaNombre de la expresin algebraica x + y x2 15x + 10 y3+ 2y2+ y 7 x3+ y + z x3 o2 2ob + 3b3 3( x + y) 5o2b2 4o3 15 EJERCICIO4:Escribeculeselnombredelassiguientesexpresiones algebraicas de acuerdo a su clasificacin. 3o + b x o + b c 3o + cb x2y ( x y) + 3 m2+ n2 16 b. REPRESENTACINALGEBRAICADEEXPRESIONESEN LENGUAJE COMN. PROPSITO: Transformar el lenguaje comn en expresiones algebraicas y aplicar estosensituacionesrealesmedianteplanteamientosquepermitandesarrollar habilidades y fomentar actitudes. LENGUAJE ALGEBRAICO: Se le llama lenguaje algebraico a la representacin del lenguaje comn mediante smbolos, es decir, es una expresin algebraica que es igual al lenguaje comn, solo que estn expresados en diferentes lenguajes. Lenguaje comnExpresiones algebraicas Ejemplos: La suma de dos nmeros o + b, x + y, m+ n, ctc. Eltripledeunnmerodisminuidoendos unidades 3o 2, 3b 2, 3c 2, 3y 2, ctc. La raz cuadrada de un nmero o, b, x , ctc.La tercera parte de un nmero o3,x3,y3, ctc. El cudruple de un nmero 4o, 4b, 4x, 4y, ctc. EJERCICIO 5: Completa la siguiente tabla transformando el lenguaje comn a su expresin algebraica o lenguaje algebraico. Lenguaje comn Expresin algebraica Un nmero cualquiera La suma de tres nmeros El producto de tres nmeros aumentado en cuatro unidades La suma de dos nmeros dividida entre su diferencia El triple del cubo de un nmero La quinta parte del cubo de un nmero La raz cuadrada del producto de tres nmeros El triple de la suma de dos nmeros El triple de la diferencia de dos nmeros El producto de la suma de dos nmeros por la diferencia de los mismos 17 EJERCICIO 5: Completa la siguiente tabla transformando el lenguaje comn a su expresin algebraica o lenguaje algebraico. Lenguaje comn Expresin algebraica El cubo de la diferencia de dos nmeros El cuadrado de la mitad de un nmero El doble de la diferencia de dos nmeros El cudruple de la suma de dos nmeros La quinta parte de la raz cuadrada de un nmero El triple del cuadrado de un nmero El cuadrado de la suma de tres nmeros La raz cuadrada de la suma de dos nmeros El producto de dos nmeros disminuido en tres unidades La raz cbica del producto de dos nmeros El cudruple del cuadrado de un nmero menos su doble El reciproco del producto de dos nmeros El cubo de un nmero menos el cuadrado de la suma de dos nmeros La diferencia de dos nmeros El cuadrado de la suma de dos nmeros La diferencia de los cuadrados de dos nmeros La diferencia de los cubos de dos nmeros La suma de los cuadrados de dos nmeros La mitad de la raz cuadrada de un nmero La suma de los cubos de tres nmeros El producto de tres nmeros La raz ensima del doble de un nmero La raz cuarta de un nmero disminuido en cuatro unidades Elproductodelasumadedosnmerosporsudiferencia disminuido en tres unidades El cociente de la suma de tres nmeros entre otro nmero 18 c. INTERPRETACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. PROPSITO: Transformar las expresiones algebraicas en lenguaje comn y aplicar estosensituacionesrealesmedianteplanteamientosquepermitandesarrollar habilidades y fomentar actitudes. LENGUAJECOMN:Selellamalenguajecomnalaformaencmoaparece enunciado un problema, es decir, es un enunciado que es igual que una expresin algebraica, solo que estn representados en diferentes lenguajes. Expresiones algebraicasLenguaje comn Ejemplos: o2+ b2+ c2, x2+ y2+ z2, ctc. La suma de los cuadrados de tres nmeros 3o, 3b, 3c, 3y, ctc. El triple de un nmero o, b, x , ctc. La raz cuadrada de un nmero o2,x2,y2, ctc. La mitad de un nmero 4o2, 4b2, 4x2, 4y2, ctc. El cudruple del cuadrado de un nmero Nohayqueconfundiralasexpresionesnumricasconlasexpresiones algebraicas, por ejemplo: 1.42 No representa el cuadrado de un nmero cualquiera, sino el cuadrado del nmero cuatro. 2.10 6 No indica la diferencia de dos nmeros cualquiera, sino la diferencia entre los nmeros 10 y 6. 3.x3 Representa el cubo de un nmero cualquiera. EJERCICIO6:Completalasiguientetablatransformandolasexpresiones algebraicas o lenguaje algebraico en lenguaje comn. Expresiones algebraicasLenguaje comn o + b 2( o b) 2x3 o2 b2 5x 19 EJERCICIO6:Completalasiguientetablatransformandolasexpresiones algebraicas o lenguaje algebraico en lenguaje comn. Expresiones algebraicasLenguaje comn y32 2( x3 y3) 3( o b)2 b43 3x2 x y mn m34 1x o b3 o2 ( m+ n)2 o3+ b3 x3 y3 2on 4o3 3b 1ob [o23 o32 20 APLICACIN NOTACIN ALGEBRAICA: Consiste en representar algebraicamente la ecuacin del lenguajecomnodelenunciado,mediantesuexpresinalgebraicaolenguaje algebraico. Ejemplos: Lenguaje comn Lenguaje algebraico Escribe la suma del cubo de x con el cuadrado de y.x3+ y2 Pedrotena$x;despusrecibi$4ydespuspaguna deuda de $c. Cunto le queda a Pedro? $x + $4 $c Compr 3 libros a $x cada uno; 6 cuadernos a $c cada uno y t trajes a $b cada uno. Cunto he gastado? $3x + $6c + $tb Juancomprxlibrosigualespor$o.Cuntoleha costado cada libro? $ox libros Tena $1000 y gast $x. Cunto me queda?$1000 $x EJERCICIO 7: Transforma el lenguaje comn al lenguaje algebraico. Lenguaje comn Lenguaje algebraico Sihantranscurrido xdasdeunao.Cuntosdasfaltan por transcurrir? Si un carro a recorrido J km en t oros. Cul es su velocidad por hora? Escribe la suma de m, n. Pedro recibi $o y despus $b. Si gast $c, cuntodinero le queda a Pedro? Siendoxunnmeroenteroconsecutivopar,escribelosdos nmeros pares consecutivos ha x. Juan deba $xy pag $600. Cunto dinero debe Juan ahora? Manueltienequerecorrern km.Ellunesrecorrix km,el martesy km.Cuntoskilmetroslefaltanporrecorrera Manuel? Candelaria tena $o, cobr $b y le dieron $c. Cunto dinero tiene Candelaria ahora? Culserlasuperficie (rea)deunasalacircular,sisu dimetro es de 3m. 21 EJERCICIO 7: Transforma el lenguaje comn al lenguaje algebraico. Lenguaje comn Lenguaje algebraico Escribe la diferencia de o y b. Nelson tiene o cctrcos, Jacqueline tiene la cuorto portc de lo de Nelson; Edgar lamitoJ de lo de Nelson. La suma de lo que tienenlostresesmenorque100 cctrcos.Cuntoleshace falta para ser igual a 100 cctrcos? Si un celular cuesta $x. Cunto importan 3 cclulorcs, 10 cclulorcs y n cclulorcs? Si por $x compro n kilos de arroz. Cunto importa 1 kilo? Sisecompran( n 1)cclulorcspor$3000 .Cuntoimportacada celular? Si han transcurrido x mcscs de un ao. Cuntos meses faltan por transcurrir? Si la superficie (rea) de un campo rectangular de futbol es o m2 y el largo mide 14m. Cul ser su ancho del campo de futbol? Escribelasumadelamitaddex,delduplodeoydel triple de y. Escribe la superficie (rea) de un cuadrado de o m de lado. Compro n cclulorcs por $x . A cmo habra salido cada cclulor si hubiera comprado 2 mcnos por el mismo precio? Siendo m un nmero entero, escribe los tres nmeros enteros consecutivos posteriores ha m. Pablo tiene que recorrer o km, de los cuales ya ha recorrido b km. Cuntos kilmetros le faltan por recorrer a Pablo? Siendo n un nmero entero, escribe los tres nmeros enteros consecutivos anteriores ha n. Al vender un coche en$x gan $10,000. Cunto me cost el coche? En el piso bajo de una casa hayx obitocioncs, enel segundo piso hay el triple nmero de habitaciones que en el primero y en el tercero la mitad de los que hay en el primero. Cuntas habitaciones tiene la casa? Si o bolgrafos cuestan $90. Cunto cuesta un bolgrafo? Si compro ( x 2)cclulorcs a $( m+ 2)cada uno. Cunto importa la compra? Vendo ( y + 3)computoJoros a $4,800 cada una. Cunto importa la venta? Tena $x y cobr $y. Si el dinero que tengo lo utilizo todo en comprar n libros. A cmo sale cada libro? 22 EJERCICIO 7: Transforma el lenguaje comn al lenguaje algebraico. Lenguaje comn Lenguaje algebraico Si han transcurrido x oros de un da. Cuntas horas faltan por transcurrir? Escribe la suma del cubo de n, el cuadrado de m y la cuarta potencia de o. Cul ser la superficie (rea) de la sala rectangular de una casa que mide x m de largo y n m de ancho? Siuncelularcuesta$xyunagorra$z.Cuntoimportarn 3 cclulorcs y 5 gorros?, n cclulorcs y m gorros? Si de una jornada de trabajo de 10 oros he trabajado x oros. Cuntas horas me faltan por trabajar? Al vender una casa en $xpierdo $35,000. Cunto me cost la casa? Si por $x compr n kilos Jc ri]ol. Cunto importa un kilo? 23 d. EVALUACIN NUMRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. PROPSITO:Evaluarlasexpresionesalgebraicasmedianteunprocedimiento lgicoyaplicarestosensituacionesrealesmedianteplanteamientosque permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes. VALOR NUMRICO DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS: Es el resultado que se obtienealsustituirlasliteralesporsuvalornumricoyrealizarlas operaciones indicadas. Las operaciones dentro de un smbolo de agrupacin deben efectuarse antes que ninguna otra. Ejemplos: 1.Obtener el valor numrico dex2 2xy + 3y3; parax = 2, y = 3. x2 2xy + 3y3= ( 2)2 2( 2) ( 3) + 3( 3)3 = 4 12 + 3( 27) = 4 12 + 81 = 73 73Es el valor numrico de la expresin algebraica 2.Obtener el valor numrico de 1c - 1bu2+b2; para o = 2, b = 3. 1o 1bo2+ b2=12 13( 2)2+ ( 3)2=564 + 9=5611= 566

566Es el valor numrico de la expresin algebraica 24 EJERCICIO8:Hallarelvalornumricodelassiguientesexpresiones algebraicas para o = 1, b = 2, c = 3, J = 4, c =23, , =12, , g =34, , = 0. 1. ( b o) g = 2. ( c ) ( c g) + 42= 3. ( 2o + 8) ( o2+ b2) ( 2g J) = 4. ( 4 + 8o) ( c2+ b2) ( 3g b) = 25 EJERCICIO8:Hallarelvalornumricodelassiguientesexpresiones algebraicas para o = 1, b = 2, c = 3, J = 4, c =23, , =12, , g =34, , = 0. 5. [8]9bx5gd c = 6. 2( ]-c)bu+b2c2= 7. b2( o + g) b2( c + ) + o2( J + c) = 8. c2( o + b) + b2( g o) + 2( c + ) = 26 EJERCICIO8:Hallarelvalornumricodelassiguientesexpresiones algebraicas para o = 1, b = 2, c = 3, J = 4, c =23, , =12, , g =34, , = 0. 9. _u2+d2-1b3d]g = 10. u+dbd-b2+ 2c2b2= 11. ( o + b) c2+ 8b og2= 12. u-bc+b+ud= 27 EJERCICIO8:Hallarelvalornumricodelassiguientesexpresiones algebraicas para o = 1, b = 2, c = 3, J = 4, c =23, , =12, , g =34, , = 0. 13. [c-1u+1 j[u-2u [12+34 13b[ = 14. j[1u 1b [d-b2+1u2+db2[ juc( u-d)2[ = 15. o2+ [1u+1b2+ [1c 1g = 16. _c2u+ _2( c o) __27u3__ 2( + g) = 28 PRCTICA INTEGRADORA 1

CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: EXPRESIN ALGEBRAICA Nombre del alumno (a):Grupo: Fecha: a. NOTACIN Y CLASIFICACIN TERMINOLOGA Y NOTACIN. Escribe sobre la lnea la respuesta: Qu es el lgebra y para qu me sirve?

NOTACIN ALGEBRAICA. Escribe sobre la lnea una V si la respuesta es verdadera y una F si es falsa, a los siguientes cuestionamientos: Los nmeros se emplean para representar cantidades conocidas. Lasletrasseempleanpararepresentartodaclasedecantidadesyasean conocidas o desconocidas. Las cantidades desconocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto. Las cantidades conocidas se expresan por las ltimas letras del alfabeto. Una frmula algebraica es la representacin por medio de letras de una regla o principio general. Una variable es una cantidad cuyo valor no cambia. Unaconstante,tambinseledenominaincgnitaypuedetomardiferentes valores de acuerdo a las condiciones el problema. COEFICIENTE.Completalasiguientetablaescribiendoculeselcoeficiente numrico y cul es el coeficiente literal de las expresiones algebraicas: Expresin Coeficiente numricoCoeficiente literal8( o + b) 3x2y2 EXPONENTE. Completa la siguiente tabla escribiendo cul es el exponente y cul es la base de las expresiones algebraicas: Expresin Exponente Base 8xy2 3( o + b)4 29 NOMENCLATURA ALGEBRAICA. Escribe sobre la lnea la respuesta: Qu es una expresin algebraica?

Qu es un trmino?

CLASIFICACINDELASEXPRESIONESALGEBRAICAS.Completalasiguientetabla escribiendoelnombredelasexpresionesalgebraicasdeacuerdoasu clasificacin: Expresin Nombre de la expresin 3x + 8y x3+ 5x2+ x 9 o5+ 7b + 3c 3o b. REPRESENTACIN ALGEBRAICA DE EXPRESIONES EN LENGUAJE COMN. Qu es el lenguaje algebraico?

Completalasiguientetablatransformandoellenguajecomnallenguaje algebraico o en su expresin algebraica: Lenguaje comn Lenguaje algebraico El cociente de la suma de dos nmeros entre otro nmero La tercera parte del cubo de la suma de dos nmeros El producto de un nmero por la diferencia de otros dos c.INTERPRETACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Qu es el lenguaje comn?

30 Completalasiguientetablatransformandoellenguajealgebraicooexpresin algebraica al lenguaje comn o su enunciado: Lenguaje algebraicoLenguaje comn 3( o b) 5 3x5 23y 4( x y)3 APLICACIN Qu es la notacin algebraica?

Completalasiguientetablarepresentandoalgebraicamentelaecuacindel lenguaje comn o del enunciado mediante smbolos o lenguaje algebraico. Lenguaje comn Lenguaje algebraico Si por $x en la compra de artculos de primera necesidad me cobraronunimpuestodeln%,cuntodineropagu nadams del impuesto? Alvenderuncocheen$nperd$25,000.Cuntomecost el coche? Una extensin rectangular de 50 m de largo mide o m de ancho. Expresar la superficie (rea). Sienlacompradeuncelularquecuesta$o,tieneun descuento del b%. Cunto pagu por el celular? Si x lpiccs cuestan $100. Cunto cuesta 1 lpiz? En el piso bajo de una escuela hay x oulos, en el segundo piso hayeltriplc nmcro Jc oulosqueenelprimero,eneltercero lo cuorto portcdelosquehayenelprimero.Cuntasoulos tiene la escuela? Si en la compra de artculos de primera necesidad pagu $m y me cobraron un impuesto del x%. Cunto pagu en total, con todo y el impuesto? 31 d.EVALUACIN NUMRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS. Qu es el valor numrico de una expresin algebraica?

HallarelvalornumricodelaexpresinalgebraicaJ2+ [2] cg [ub+bc +( ) 2+ ( b)2 c, para o = 1, b = 2, c = 3, J = 4, c =23, , =12, , g =34, , = 0. 32 INSTRUMENTOS DE EVALUACIN GUA DE OBSERVACIN CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: EXPRESIN ALGEBRAICA Nombre del alumno (a):Grupo:Fecha: Indicaciones:Laguadeobservacindebeseraplicadaporelprofesorde acuerdoconelconceptosubsidiarioylosindicadores.Debercolocar1en cumpli si el alumno adquiri los conocimientos de manera significativa y en el casodenoadquirilosconocimientosencadaindicadorcolocarun0.Para obtenerlacalificacinfinaldebermultiplicarlacolumnadevalorporla columna de cumpli colocando el resultado de la multiplicacin en la columna de totalyfinalmentesumelacolumnadetotalparaobtenerlacalificacin definitiva. INDICADORESValorCumpliTotal Motivo del por qu no cumplia.NOTACIN Y CLASIFICACIN 1.Definiquesellgebrayparaqule sirve. 2.Definiqusonlosnmeros,letras, cantidadesconocidas,cantidades desconocidas,frmula,variabley constante. 3.Clasificelcoeficientenumricoy coeficienteliteralenlasdiferentes expresiones algebraicas. 4.Clasificelexponenteylabaseenlas diferentes expresiones algebraicas. 5.Defini expresin algebraica y trmino. 6.Clasificalasexpresionesalgebraicas como:Monomio,polinomio,binomioy trinomio. b.REPRESENTACIN ALGEBRAICA DE EXPRESIONES EN LENGUAJE COMN 7.Describi el lenguaje algebraico. 8.Transformellenguajecomnallenguaje algebraico. c.INTERPRETACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 9.Describi el lenguaje comn. 10. Transformellenguajealgebraicoal lenguaje comn. 11. Resolvilosejerciciossobrenotacin algebraicaaplicandoelrazonamientoen cada caso. 33 d.EVALUACIN NUMRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS 12. Describi qu es el valor numrico de una expresin algebraica. 13. Encontrelvalornumricodelas diferentesexpresionesalgebraicas, realizandoenprocedimientoparacada caso y encerr las respuestas. 14. Disposicinyresponsabilidadaltrabajo en equipo. CALIFICACIN: Nombre y firma del evaluador 34 LISTA DE COTEJO CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: EXPRESIN ALGEBRAICA Nombre del alumno (a):Grupo:Fecha: Indicaciones: La lista de cotejo debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deber colocar 1 en cumpli si el alumnorealizlaprcticadeacuerdoalosindicadoresyenelcasodeno cumplidebercolocarun0.Paraobtenerlacalificacinfinaldeber multiplicar la columna valor por la columna de cumpli colocando el resultado de la multiplicacin en la columna de total y finalmente sume la columna total para obtener la calificacin definitiva. INDICADORESValorCumpliTotal Motivo del por qu no cumpli PRCTICA INTEGRADORA 1.La prctica contiene las operaciones para cada caso. 2.Laprcticaserealizaplicandoun razonamiento lgico para cada caso. 3.Losresultadosenlaprcticaparacada caso fueron resaltados. 4.La prctica se realiz con orden. 5.La prctica se realiz con limpieza. 6.La prctica se entreg en tiempo y forma. CALIFICACIN: Nombre y firma del evaluador 35 REALIMENTACIN CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: EXPRESIN ALGEBRAICA Deloscontenidosquesetepresentanacontinuacinesmuyimportanteque reconozcasculesfuerontuserroresparatratardecorregirlos.Llenala siguiente tabla para que tengas una idea ms clara de lo que te falta reafirmar. Busca ayuda con alguno de tus compaeros para que te resuelva las dudas que an te queden y si despus de esto sigues teniendo dudas pide ayuda a tu profesor. CONTENIDOS Porcentajede lo que aprendMotivo del por quno lo logr (esta columna debe ser llenada por el profesor) a.Notacin y clasificacin Notacin algebraica CoeficienteExponente Nomenclatura algebraica Clasificacindelasexpresiones algebraicas b.Representacinalgebraicade expresiones en lenguaje comn c.Interpretacindeexpresiones algebraicas Aplicacind.Evaluacinnumricadelas expresiones algebraicas 36 OBJETIVO: OPERACIONES FUNDAMENTALES AlcursarelconceptosubsidiariodeOperacionesfundamentales, serscapazde:Resolverdistintassituacionesoproblemas,a travs de la aplicacin de sumas y restas de polinomios, exponentes yradicales,multiplicacinydivisindepolinomios,productos notablesyfactorizacin,mediantelaaplicacindelasleyesde los signos, leyes de los exponentes y radicales, as como tambin, lasimplificacindefraccionesalgebraicas.Estoesloque desarrollars en un ambiente de respeto y trabajo en equipo. x2x5= x2+5= x7 o b = o b Dividir x3 1 2x entre 1 + x ( 3mn4+ 5x5)2= 9m2n8+ 30mn4x5+ 25x10 ( m+ n) ( mn) = m2 n2 ( x3 4y2)3= x9 12x6y2+ 48x3y4 64y6 x2+ 6x + 9 = ( x + 3)2 37 e. LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES PROPSITO:Aplicarlasleyesdelosexponentesydelosradicalesalas expresionesalgebraicas,ademsdeadquirirlosconocimientosfundamentalesy emplearestosconocimientosensituacionesrealesmedianteplanteamientosque permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes. LEYES DE LOS EXPONENTES 1. xaxh= xa+h Ejemplos: a) x2x5= x2+5= x7 b) o3o2= o3+2= o5 c) 2223= 25= 32 2. ( xa)h= xa h Ejemplos: a) ( x2)3= x2 3= x6 b) o2o2= o2 2= o4 c) 2 24= 21 4= 24= 16 3. ( xy)a= xaya Ejemplos: a) ( xy)3= x3y3 b) ( 2 5)2= 22 52 c) ( ob)5= o5b5 Exponente positivo 4. xaxh= xa-h; cun a > byx 0 Ejemplos: a) x2x= x2-1= x1= x b) 42= y4-2= y2 c) 4S43= 45-3= 42= 16CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: OPERACIONES FUNDAMENTALES DESARROLLO 38 LEYES DE LOS EXPONENTES 5. cxa= cx-a,JonJc c = constontc o cocicicntc Ejemplos: a) 1x2= 1x-2= x-2 b) 2S= 2y-5 c) 3u3= 3o-3

Exponente negativo 6. xaxh= xa-h; cun a < byx 0 Ejemplos: a) x2x3= x2-3= x-1 b) S= y1-5= y-4 c) 3u2u4= 3o2-4= 3o-2

7. cx-a=cxa, dunde c = cue|c|ente Ejemplos: a) x-2=1x2 b) 3o-3=3u3 c) y-1=1

Radical en potencia fraccionaria 8.xah= xah,JonJc o = cxponcntcyb = roJicol Ejemplos: a) x23= x23 b) x = x12 c) 242= 242= 22= 4Potencia fraccionaria en radical 9. xah= xah,JonJc o = cxponcntcyb = roJicol Ejemplos: a) x23=x23 b) x12= x c) 43S= 43S

Exponente cero 10. x= 1, cun x Ejemplos: a) 90= 1 b) m0= 1c) ( 5)0= 1 39 EJERCICIO9:Completalasiguientetablaaplicndolelasleyesdelos exponentes a las expresiones algebraicas. Expresiones algebraicas Aplcales las leyes de los exponentes mm5= ( y5)2= ( xy)9= x2x= n-2= job[6= x3= 70= 1y5= 3 32= ( 42)2= _23]3= ( ob)0= 813= 6424= ( 1)0= 5x = 40 LEYES DE LOS RADICALES 1.mh nh=m nh Ejemplos: a) o b = o b b) 3 4 = 3 4 = 12c) 5 8 = 5 8 d) 45 = 9 5 = 9 5 = 3 5e) cJ3= c3 J3 2. xhyh=_xyh Ejemplos: a) mn= _mn b) 8474= _874 c) _343=3343 d) _ubS=uSbS 3. xha= xa h Ejemplos: a) o3= o2 3= o6 b) u = u2 2= u4 c) 2500S3= 25003 S= 25001S d)p12= _p43= _p34= _p6= _p6 41 EJERCICIO10:Completalasiguientetablaaplicndolelasleyesdelos radicales a las expresiones algebraicas. Expresiones algebraicas Aplcales las leyes de los radicales 7 6 = _4= 32 = bJ= 4 g4= 3626= _r3= q14= y z = 7 6 = 2 8 = _94S= m nS= _4533= _xy3= 9 32= 42 f. OPERACIONES FUNDAMENTALES PROPSITO:Resolverproblemasconpolinomiosaplicandolasoperaciones bsicas, atendiendo a las leyes de los signos, leyes de los exponentes, leyes de losradicalesyemplearestosconocimientosensituacionesrealesmediante planteamientosquepermitandesarrollarhabilidadesyfomentaractitudesenun ambiente de respeto y trabajo en equipo. SUMA DE POLINOMIOS Regla: Colocamos los polinomios unos debajo de los otros de tal manera que los trminossemejantesquedenencolumna.Sehacelareduccindelostrminos semejantes separndolos unos de otros con sus propios signos. Ejemplos: 1. Sumar 2m2+ 5mn + 3n2, 4mn + 7m2+ 6n2, 2n2 3mn 4m2+ 5. + 2m2+ 5mn+ 3n2 + 7m24mn+ 6n2 4m23mn 2n2+ 5 + 5m22mn+ 7n2+ 5 Rcspucsto:5m2 2mn + 7n2+ 5 2. Sumar 12o3 2b3+52o2b 3, 15o2b +43ob2+73b3,23b3 18ob2+ 4. +12o3 +52o2b 2b3 3+52o2b 15o2b =+25u2b-2u2b10= + 2310o2b 15o2b+43ob2 +73b3 + 43ob2 18ob2=+32ub2-3ub224= +2924ob2 18ob2 +23b3+ 42b3+73b3+23b3= 2b3+93b3= b3 +12 o3 +2310 o2b+2924 ob2 + 1b3+ 1 Rcspucsto:12 o3+2310 o2b +2924 ob2+ b3+ 1 43 EJERCICIO11:Hallarlasumadelossiguientespolinomios,realizarlas operaciones indicadas en cada caso y encerrar la respuesta. 1. 3x4 2x2y2; 2x3y + 5xy3; 3xy3+ 2y4; 7x2y2 1. 2. 3xy + 2x2; 2y2+ 8xy 3x2;2y2 3x2+ xy;3x2 2xy + 2y2. 3. 2o3 2ox2+ 3x3;4o2x 3ox2 3x3;6o3 7o2x 2x3; 4o3+ 9ox2 4x3. 44 4. 4o2m+ 3om2 2m3; 2o3 3om2+ 4m3; 2o3+ 2o2m 6om2;5o2m 2om2 3. 5. 5x5 2x3y2 3xy4;2x4y + 6x2y3 y5;2x3y2 2xy4+ y5; 7x5+ 2xy4+ 6y5. 6. 3o5+ 2o6+ o2;5o4+ 4o3+ 8;6o2+ o 8; 2o5 2o2 6o + 4. 45 7. 2o4 3b4; 4o3b + 5o2b2 6ob3; 7o4+ 8o3b 9o2b2; 10o3b + 11o2b2 12b4. 8. 2m3 3n3+ m2n; 4m2n + 3mn2+ 2n3; 2m3 3n3+ 5mn2; m3 3m2n + 4n3. 9. 3ox 4ox-2;6ox-1+ 5ox-3; 8ox-3+ 2ox-4; 3ox-1 10ox-3. 46 10. 2ox+2 4ox+ ox+1; ox+3 5ox-1+ 6ox-2; ox+ ox+3 ox+2; 3ox-1 2ox-2+ox+2. 11. 13x2+14xy;16xy +15y2. 12. 2o2+14ob; 14ob +13b2; 15ob 12b2. 47 13. 4x2+12xy; 13xy + 2y2; 65xy +32y2. 14. 34x2 12y2; 25xy +16y2;110xy +13y2. 15. 23o2+12ob 14b2;56o2 15ob +23b2; 12o2+12ob 13b2. 48 16. 65x2 32y2+43xy; 2xy 6x2+ 8y2;65xy 12x2+13y2. 17. 2o3 13ob2+ 2b3;12o2b 32ob2 b3;13o3 14o2b 32b3. 18. 3x4 2x2+ 4;32x3 32x 4; 34x4+53x3 43x. 49 19. 32m3 23mn2+23n3;12m2n +13mn2 32n3; m3 12; 2n3+ 3. 20. 2x4+ x2y2+ y4; 52x4+32x2y2 12xy3 12y4; 65x3y 13x2y2+14y4. 50 RESTA DE POLINOMIOS Regla: Hay que restar del minuendo cada uno de los trminos del sustraendo y al sustraendo le cambiamos el signo a todos sus trminos. Ejemplos: 1. De 7o 5b + 6z restar 5o + 5b 8. + 7o 5b + 6z Minuendo 5o 5b+ 8 Sustraendo (le cambiamos el signo a todos sus trminos) + 2o 10b + 6z+ 8 Rcspucsto:2o10b + 6z+ 8 2. Restar 10x2y + 20 7xy2 y3 de 7x3+ 8x2y + 9xy2 15. + 7x3 + 8x2y + 9xy215 Minuendo + 10x2y+ 7xy2 + y3 20 Sustraendo + 7x3+ 18x2y + 15xy2+ y3 35 Rcspucsto:7x3+ 18x2y + 15xy2+ y3 35 3. Restar 12x3y3 13xy +32x2y2 3 de 53xy 15x2y2+32x3y3 10. +32x3y3 15x2y2 53xy 10+ 32x3y3+12x3y3=+6x33+2x334= +84x3y3= + 2x3y3 +12x3y332x2y2+13xy + 315x2y2 32x2y2=-2x22-15x2210= 1710x2y2

+ 2x3y3 1710x2y243 xy7 53xy +13xy =-15x+3x9= 129 xy = 43 xy Rcspucsto:2x3y3 1710 x2y2 43 xy 7 51 EJERCICIO12:Hallarlarestadelossiguientespolinomios,realizarlas operaciones indicadas en cada caso y encerrar la respuesta. 1. De 2m3 10n3+ 11m2n 3mn2 restar 4mn2 12m2n + 9m3 24.

2. De 2mn+1 3mn-2+ 4mn-3 5mn-5 restar 3mn+ 2mn-2+ mn-3+ 3mn-4+ mn-5. 3. De 10ox+ 6ox+1 7ox+2 restar 13ox 18ox+1 21ox+2. 52 4. De 4y5 7y3+ 9y2 3 restar 31y4+ 13y3 5y2 20y. 5. De 5o5b + 2o3b3 9ob5+ 2 restar 4o6+ 3b6 6o4b2 5o2b4. 6. Restar 11m2 15n2 17mn de 15m2 20n2+ 36 mn. 53 7. Restar 3x5 4x2y3+ 5xy4+ 6y5 de 3xy4 2x3y2 y5. 8. Restar 3y3+ 4y4 9y5 4y 9 de 2y6+ 3y3+ 5y2 10. 9. Restar 10ox+2 15ox+1 20ox de 5ox+3 10ox+1 15. 54 10. Restar mx+4 mx+1 mx+2 4mx-1 de mx+3+ 5mx+1 7mx mx-1+ mx-2. 11. De 23o2+14ob 9 restar 25o2 23ob +15b2. 12. De 32cJ +13 restar 45ob +23cJ 32. 55 13. De 35xy +12ob 2 restar 34xy +16ob 29. 14. De 13x 32y restar 54y +19x 12. 15. De 95o2 34b2 restar 52ob +15o2 37. 56 16. Restar 65x2+14 de 83x2 56y. 17. Restar 23x 53y + 1 de 2y + 3x 1. 18. Restar 27o2b + o3 9 de o3+23o2b 3. 57 19. Restar 15m 43n +32x de 3m+ 4n 2x. 20. Restaro + b c de 32b +65o +12. 58 MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS Regla:Hayquemultiplicarlostrminosdelmultiplicandoporcadaunodelos trminos del multiplicador atendiendo a las leyes de los signos y reducimos los trminos semejantes. Ejemplos: 1. Multiplicar 3o 5b por 2o + 4b. 3o 5b Multiplicando 2o + 4b Multiplicador 6o 2 10ob+ 12ob 20b2 6o2 + 2ob 20b2

Rcspucsto: 6o2+ 2ob 20b2 2. Multiplicar 2xu+2 3xu+ 4xu+1 por 2x2+ 2x. 2xu+2+ 4xu+1 3xu

2x2 + 2x4xu+4 + 8xu+3 6xu+2

+4xu+3+ 8xu+26xu+1 4xu+4+ 12xu+3+ 2xu+2 6xu+1 Rcspucsto:4xu+4+ 12xu+3+ 2xu+2 6xu+1 3. Multiplicar 13o2 12ob por 32o 54b. +13o2 12ob32o +13o2= 36o3= 12o332o 12ob = +34o2b 32o 54b 54b + 13o2= 512o2b54b 12ob = +58ob2 12o3+34o2b 512o2b +58ob2

34o2b 512o2b =+36u2b-20u2b48= +1648o2b = +13o2b 12o3+13o2b +58ob2

Rcspucsto:12 o3+13 o2b +58 ob2 59 EJERCICIO13:Hallarlamultiplicacindelossiguientespolinomios, realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar la respuesta. 1. Multiplicar 2o2+ 3ob + 5b2 por 4o 2b. 2. Multiplicar 2y3 3x3+ 4xy2 por 3x2 2y2 4xy. 3. Multiplicar 2m4 3m2n2+ 3m3n 4mn3+ 3n4 por 2m2 3mn + 2n2. 60 4. Multiplicar x3 2x + 3x2 por 2x2+ x3 3x + 1. 5. Multiplicar o2+ b2+ c2 ob oc bc por o + b + c. 6. Multiplicar mu mu+1+ mu+2 por m+ 1. 61 7. Multiplicar 3ox+1+ 5ox+2 3ox+3 por o3+ o2+ o. 8. Multiplicar 2xm-1 3xm+1 4xm+2+ 2xm por 2x2 3x 1. 9. Multiplicar 5yu+2+ yu 2yu+1 por 3yu 2yu+1. 62 10. Multiplicar xu-1 yb-1 por x2 y. 11. Multiplicar 23x 32y por 34x + 2y. 12. Multiplicar 13o 23b por 52b +13o. 63 13. Multiplicar 2m2 12mn 13n2 por 32m+23n. 14. Multiplicar12x2 12xy 14y2 por 3x +23y. 15. Multiplicar 23o2 ob 15b2 por 13o2+23b2 12ob. 64 16. Multiplicar 12b2 bc 15c2 por 23b +45c. 17. Multiplicar 13b2 12c2 por 13b +15c. 18. Multiplicar 2x2+13y2 12xy por 32x2 23xy 3y2. 65 DIVISIN DE POLINOMIOS Regla: 1) Hay que ordenar dividendo y divisor de acuerdo a una literal de mayor amenorgradooviceversa.2)Sinohayalgngradosedejanlosespacios correspondientes. 3) Eliminamos el primer trmino del dividendo atendiendo a las leyesdelossignos.4)Reducimoslostrminossemejantes.5)Sevuelvea repetir el paso 3 y 4 hasta terminar la divisin. Ejemplos: 1. Dividir x3 1 2x entre 1 + x. x2 x 1 x + 1x3 2x 1 x3 x2 x22x + x2+ xx1 + x+ 1 0 Rcspucsto:x2 x 1 2. Dividir 28o2 30b2+ 11ob entre 4o + 5b. 7o 6b 4o + 5b 28o2+ 11ob 30b2

28o2 35ob24ob 30b2 + 24ob+ 30b2

0 Rcspucsto:7o 6b CocienteDividendo Residuo Divisor 66 3. Dividir 2xm+5 11xm+2 7xm+4+ 10xm+3+ 6xm+1 entre x + 2x2+ 3 . xm+3 3xm+2+ 2xm+1 2x2 x + 3 2xm+5 7xm+4+ 10xm+3 11xm+2+ 6xm+12xm+5+ xm+4 3xm+3

6xm+4 + 7xm+3 11xm+2 + 6xm+4 3xm+3 + 9xm+2

+ 4xm+3 2xm+2+ 6xm+1 4xm+3+ 2xm+2 6xm+1

0 Rcspucsto:xm+3 3xm+2+ 2xm+1 4. Dividir 14x2+12xy +29y2 entre 12x +13y. 12 x +23 y 12 x +13 y14 x2+12 xy +29 y2_14 x2+16 xy +13 xy +29 y2 26 xy 29 y2 0 Rcspucsto:12 x +23 y NOTA: Cuando la divisin es exacta, puede verificarse multiplicando el divisor por el cociente, dndonos el dividendo si las operaciones estn correctas. 67 EJERCICIO14:Dividirlossiguientespolinomios,realizarlasoperaciones indicadas en cada caso y encerrar la respuesta. 1. Dividir o2 3o + 2 entre o 2. 2. Dividir 10x2+ 33xy 27y2 entre 3y + 2x. 3. Dividir 3x3+ 6xy2 5x2y 4y3 entre x y. 68 4. Dividir 15o3 4o2+ 13o + 6 entre 3 5o. 5. Dividir 4m3 6m2n 2n3 8mn2 entre 2m+ n. 6. Dividir 5mu+5 7mu+4+ 6mu+2 22mu+1 4mu entre m2 m+ 2. 69 7. Dividir 3x2u+5 x2u+4+ x2u+3 x2u+2 2x2u+1 entre xu+3+ xu+1. 8. Dividir om+4 4om+3+ om+2+ 4om+1+ 10om 12om-1 entre o2 3o + 2. 9. Dividir xm+4 xm entre x2+ 1. 70 10. Dividir ox+5+ 3ox+4 ox+3 ox+2 entre o2 o. 11. Dividir 13x2+15xy +160y2 entre 2x +15y. 12. Dividir 29m4+14m3n +18m2n2 16mn3 2n4 entre 13m 12n. 71 13. Dividir 18m3+12m2+32m entre 14m 32. 14. Dividir 34o3+23o2b 718ob2 13b3 entre 32o2+13ob b2. 15. Dividir 23o4 13o3b 4o2b2 2ob3+32b4 entre 13o +12b. 72 g. PRODUCTOS NOTABLES PROPSITO: Resolver problemas con productos notables aplicando el razonamiento medianteelseguimientodereglasfijas;adems,delasoperacionesbsicas, atendiendoalasleyesdelossignos,leyesdelosexponentes,leyesdelos radicalesyemplearestosconocimientosensituacionesrealesmediante planteamientosquepermitandesarrollarhabilidadesyfomentaractitudesenun ambiente de respeto y trabajo en equipo. PRODUCTOS NOTABLES Selellamaproductosnotablesaproductosquecumplenreglasfijasycuyo resultadopuedeserescritoporsimpleinspeccin,esdecir,sin necesidadde hacer la multiplicacin. BINOMIO CUADRADO: CUADRADO DE LA SUMA DE UN BINOMIO. Sielevamosalcuadradom+ nequivaleamultiplicarloporsmismoy tendremos( m+ n)2= ( m+ n) ( m+ n) . Efectuando este producto tenemos: m+ n m+ n m2+ mn + mn+ n2

m2+ 2mn+ n2 Porlostanto,elcuadradodeunbinomioesuntrinomio,ysustrminosse obtienen aplicando la siguiente regla: En lenguaje comn: 1.El cuadrado del primer trmino 2.Ms el doble producto del primer trmino por el segundo trmino 3.Ms el cuadrado del segundo trmino En lenguaje algebraico: ( m+ n)2= m2+ 2mn + n2 73 Ejemplos: A. Desarrollar ( x + 3)2 Aplicando la regla: 1.( x)2= x2

2.+2 ( x) ( 3) = + 6x 3.+ ( 3)2= +9 Entonces,( x + 3)2= x2+ 6x + 9 B. Desarrollar ( 5o + 4b2)2 Aplicando la regla: 1.( 5o)2= 25o2 2.+2 ( 5o) ( 4b2) = + 40ob2 3.+ ( 4b2)2= +16b4 Entonces,( 5o + 4b2)2= 25o2+ 40ob2+ 16b4 C. Desarrollar ( 4x2+ 3y3)2 Aplicando la regla: 1.( 4x2)2= 16x4 2.+2 ( 4x2) ( 3y3) = + 24x2y3 3.+ ( 3x3)2= +9x6 Entonces,( 4x2+ 3y3)2= 16x4+ 24x2y3+ 9y6 D. Efectuar ( 3mn4+ 5x5)( 3mn4+ 5x5) ( 3mn4+ 5x5)( 3mn4+ 5x5) = ( 3mn4+ 5x5)2 Aplicando la regla: 1.( 3mn4)2= 9m2n8 2.+2 ( 3mn4) ( 5x5) =30mn4x5 3. + ( 5x5)2= +25x10 Entonces,( 3mn4+ 5x5)2= 9m2n8+ 30mn4x5+ 25x10 74 EJERCICIO15:Desarrollarloscuadradosdelasumadelossiguientes binomios, escribiendo el resultado por simple inspeccin. 1. ( o + 4)2= 2. [2 + y132= 3. ( 8x + y)2= 4. ( 10 + 4m)2= 5. ( 3p + 12)2= 6. ( o2b + mn2)2= 7. ( 2x4+ 8y5)2= 8. ( 3x3y4+ 11z6)2= 9. ( 7mn3+ 2ob4)2= 10. ( mx+1+ nx-3)2= 11. ( 5om+3+ 3bm-3)2= 12. ( 3xu+1+ 2yu-5) ( 3xu+1+ 2yu-5) = 13. ( 5t2+ 2u4)2= 14. ( ( 2r2)2+ 3s3)2= 15. ( 7r4+ s3)2= 16. ( 2m-1+ 2n-4)2= 17. (5o4+ 5b4)2= 18. ( 6ox-3+ 4bx+4)2= 19. [12r3+23t42= 20. [23m+ 3n32= 75 BINOMIO CUADRADO: CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE UN BINOMIO. Sielevamosalcuadradom nequivaleamultiplicarloporsmismoy tendremos( m n)2= ( m n) ( m n) . Efectuando este producto tenemos: m n m n m2 mn mn+ n2

m2 2mn + n2 Porlostanto,elcuadradodeunbinomioesuntrinomio,ysustrminosse obtienen aplicando la siguiente regla: En lenguaje comn: 1.El cuadrado del primer trmino 2.Menos el doble producto del primer trmino por el segundo trmino 3.Ms el cuadrado del segundo trmino En lenguaje algebraico: ( m n)2= m2 2mn + n2 Ejemplos: A. Desarrollar ( 2ob3 3c4)2 Aplicando la regla: 1.( 2ob3)2= 4o2b6 2. 2 ( 2ob3) ( 3c4) = 12ob3c4

3.+ ( 3c4)2= +9c8 Entonces,( 2ob3 3c4)2= 4o2b6 12ob3c4+9c8

B. Desarrollar ( 6ox+4 7ox-3bx-2)2 Aplicando la regla: 1.( 6ox+4)2= 36o2x+8 2. 2 ( 6ox+4) ( 7ox-3bx-2) = 84o2x+1bx-2 3.+ ( 7ox-3bx-2)2= +49o2x-6b2x-4 Entonces,( 6ox+4 7ox-3bx-2)2= 36o2x+8 84o2x+1bx-2+49o2x-6b2x-4 76 EJERCICIO 16: Desarrollar los cuadrados de la diferencia de los siguientes binomios, escribiendo el resultado por simple inspeccin. 1. ( ox+1 4ox-1b3)2= 2. ( 2x3 5xy)2= 3. ( 3x y2)2= 4. ( 5m 9mn)2= 5. ( 3t 12)2= 6. ( 2o2b 3ob2)2= 7. ( 2x4 8y5)2= 8. ( 2o2b5 10oc3)2= 9. ( 3mn3 5mn4)2= 10. ( 5mx+3 4nx-4)2= 11. ( om+3 7bm-3)2= 12. ( 4om+2 3bm-3) ( 4om+2 3bm-3) = 13. ( 5r4 2rt3)2= 14. ( ( p3)2 4q3)2= 15. ( 3J5 c6)2= 16. ( 4mu-3 3nu-3)2= 17. (6o6 6b6)2= 18. ( 6ox-3 4bx+4)2= 19. [13m2 32n32= 20. [43x2 25y22= 77 BINOMIOCONJUGADO:PRODUCTODELASUMAPORLADIFERENCIADEDOS BINOMIOS. Sea el producto( m+ n) ( m n) = m2 n2. Efectuando este producto tenemos: m+ n m n m2+ mn mn n2

m2 n2 Por lo tanto, un binomio conjugado se resuelve aplicando la siguiente regla: En lenguaje comn: 1.El cuadrado del primer trmino 2.Menos el cuadrado del segundo trmino En lenguaje algebraico: ( m+ n) ( m n) = m2 n2 Ejemplos: A. Desarrollar ( o + b) ( o b) Aplicando la regla: 1.o2 2.b2 Entonces,( o + b) ( o b) = o2 b2

B. Desarrollar ( 4x2 6y) ( 4x2+ 6y) Aplicando la regla: 1.( 4x2)2= 16x4 2.( 6y)2= 36y2 Entonces,( 4x2 6y) ( 4x2+ 6y) = 16x4 36y2

C. Desarrollar ( 6mu+2+ 5mu) ( 5mu 6mu+2) = ( 5mu+ 6mu+2) ( 5mu 6mu+2) Aplicando la regla: 1.( 5mu)2= 25m2u 2.( 6mu+2)2= 36m2u+4

Entonces,( 5mu+ 6mu+2) ( 5mu 6mu+2) = 36m2u+4 25m2u

78 EJERCICIO 17: Desarrollar los siguientes binomios conjugados, escribiendo el resultado por simple inspeccin. 1. ( p + q) ( p q) = 2. ( r t2) ( r + t2) = 3. ( o y) ( y + o) = 4. ( m4+ n3) ( m4 n3) = 5. ( 7p 4) ( 4 + 7p) = 6. ( 6o2b2 7xy) ( 6o2b2+ 7xy) = 7. ( 5 8ob2) ( 8ob2+ 5) = 8. ( 8o + 9) ( 8o 9) = 9. ( 5x3y3 4xy) ( 5x3y3+ 4xy) = 10. ( 2ox+3+ 7nx-4) ( 2ox+3 7nx-4) = 11. ( 3om 7bm-3) ( 3om+ 7bm-3) = 12. ( 2om+2+ 6bm-3) ( 2om+2 6bm-3) = 13. ( 5r2 2t3) ( 5r2+ 2t3) = 14. ( p + 5q3) ( p 5q3) = 15. [3J12 c2 [3J12+ c2 = 16. [2m32+ 3n14 [2m32 3n14 = 17. (5o5+ 7b7)(5o5 7b7) = 18. ( ox-3 bx+4) ( ox-3+ bx+4) = 19. [13m2+32n3 [13m2 32n3 = 20. [43x2+25y2 [43x2 25y2 = 79 CUADRADO DE UN POLINOMIO Si elevamos( x + y + z) al cuadrado equivale a multiplicarlo por s mismo, es decir;( x + y + z)2= ( x + y + z) ( x + y + z) Resolviendo el producto tendremos: x + y + z x + y + z x2 + xy + xz +xy + y2+ yz + xz + yz + z2 x2+ 2xy + 2xz + y2+ 2yz + z2 Reacomodando el resultado tenemos: x2+ y2+ z2+ 2xy + 2xz + 2yz Porlotanto,elcuadradodeunpolinomioseresuelveaplicandolasiguiente regla: En lenguaje comn: 1.La suma de los cuadrados de cada trmino por separado 2.Ms el doble producto de todos sus trminos tomados de dos en dos En lenguaje algebraico: ( x + y + z)2= x2+ y2+ z2+ 2xy + 2xz + 2yz Nota: esta regla se aplica para cualquier polinomio, ya sea cuadrado de la suma o cuadrado de la diferencia de un polinomio o el cuadrado de un polinomio con signos alternados como se muestra en los ejemplos. Ejemplos:A. Desarrollar ( o + b 3)2 Aplicando la regla: 1. o2+ b2+ ( 3)2= o2+ b2+ 9 2.+ 2ob + 2( o) ( 3) + 2( b) ( 3) = + 2ob 6o 6b Entonces,( o + b 3)2= o2+ b2+ 9 + 2ob 6o 6b B. Desarrollar ( 2m2+ 3n3 1)2 Aplicando la regla: 1. ( 2m2)2+ ( 3n3)2+ ( 1)2= 4m4+ 9n6+ 1 2.+ 2( 2m2) ( 3n3) + 2( 2m2) ( 1) + 2( 3n3) ( 1) = 12m2n3 4m2 6n3 Entonces,( 2m2+ 3n3 1)2= 4m4+ 9n6+ 1 + 12m2n3 4m2 6n3

80 EJERCICIO18:Desarrollarloscuadradosdelossiguientespolinomios, escribiendo el resultado por simple inspeccin. 1. ( x y + z)2= 2. ( q r t2)2= 3. ( o2 b2+ c2)2= 4. ( c4+ 3+ g)2= 5. ( m+ n 1)2= 6. ( n2+ 2n + 1)2= 7. ( x + y 3)2= 8. ( 2x + y + z)2= 9. ( o + b 3)2= 10. ( x + y + z + w) 2= 11. ( 3ox 7b+1+ c)2= 12. ( 2om+ 6bn+ c2)2= 13. ( r2+ 2s 3t3)2= 14. ( p + q3+ r4)2= 15. ( m2 2m 1)2= 16. ( x + 3y z)2= 17. ( o5+ b + c3)2= 18. ( ox bx+1+ cx+2)2= 19. [14m2+23n + 12= 20. ( J + 2c 3)2= 81 CUBO DE UN BINOMIO: CUBO DE LA SUMA DE UN BINOMIO. Si elevamos ( m+ n)al cubo, equivale a multiplicarlo tres veces por s mismo, es decir; ( m+ n)3= ( m+ n) ( m+ n) ( m+ n) . Resolviendo el producto tendremos: m+ n m+ n m2+ mn + mn+ n2

m2+ 2mn+ n2 m+ nm3+ 2m2n+ mn2 +m2n+ 2mn2 + n3 m3+ 3m2n+3mn2+ n3 Porlotanto,elcubodelasumadeunbinomioseresuelveaplicandola siguiente regla: En lenguaje comn: 1.El cubo del primer trmino2.Ms el triple producto del cuadrado del primer trmino por el segundo trmino 3.Ms el triple producto del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino 4.Ms el cubo del segundo trmino En lenguaje algebraico: ( m+ n)3= m3+ 3m2n + 3mn2+ n3 Ejemplos:A. Desarrollar ( 3x3+ 2y2)3 Aplicando la regla: 1. ( 3x3)3= 27x9

2. + 3( 3x3)2( 2y2) = + 54x6y2 3. + 3( 3x3) ( 2y2)2= + 36x3y4 4. + ( 2y2)3= + 8y6 Entonces,( 3x3+ 2y2)3= 27x9+ 54x6y2+ 36x3y4+ 8y6

82 B. Desarrollar ( 2o + 2)3 Aplicando la regla: 1. ( 2o)3= 8o3

2. + 3( 2o)2( 2) = + 24o2 3. + 3( 2o) ( 2)2= + 24o 4. + ( 2)3= + 8 Entonces,( 2o + 2)3= 8o3+ 24o2+ 24o + 8 C. Desarrollar ( 2on+1+ bn)3 Aplicando la regla: 1. ( 2on+1)3= 8o3n+3

2. + 3( 2on+1)2( bn) = + 12o2n+2bn 3. + 3( 2on+1) ( bn)2= + 6on+1b2n 4. + ( bn)3= + b3n Entonces,( 2on+1+ bn)3= 8o3n+3+ 12o2n+2bn+ 6on+1b2n+ b3n

83 EJERCICIO 19: Desarrollar los cubos de la suma de los siguientes binomios, escribiendo el resultado por simple inspeccin. 1. ( x2+ y)3= 2. ( r + t2)3= 3. ( o2+ b2)3= 4. ( 2c4+ 33)3= 5. ( 3m+ 1)3= 6. ( n2+ 2n)3= 7. ( 2x3+ 2y2)3= 8. ( 2x + y)3= 9. ( o + 3b)3= 10. ( 4z2+ w)3= 11. ( ox+ 3b+1)3= 12. ( 2om+ 3bn)3= 13. ( r2+ 2s4)3= 14. ( 4p + q3)3= 15. ( m2+ 2m)3= 16. ( x + 3y)3= 17. ( o5+ b)3= 18. ( ox+ cx+2)3= 19. [12m2+13n3= 20. ( J3+ 4c)3= 84 CUBO DE UN BINOMIO: CUBO DE LA DIFERENCIA DE UN BINOMIO. Si elevamos ( m n)al cubo equivale a multiplicarlo tres veces por s mismo, es decir; ( m n)3= ( m n) ( m n) ( mn) . Resolviendo el producto tendremos: m n m n m2 mn mn + n2

m2 2mn + n2 m nm3 2m2n+ mn2 m2n+ 2mn2n3 m3 3m2n +3mn2 n3 Por lo tanto, el cubo de la diferencia de un binomio se resuelve aplicando la siguiente regla: En lenguaje comn: 1.El cubo del primer trmino2.Menoseltripleproductodelcuadradodelprimertrminoporelsegundo trmino 3.Ms el triple producto del primer trmino por el cuadrado del segundo trmino 4.Menos el cubo del segundo trmino En lenguaje algebraico: ( m n)3= m3 3m2n + 3mn2 n3 Ejemplos:A. Desarrollar ( x3 4y2)3 Aplicando la regla: 1. ( x3)3= x9

2. 3( x3)2( 4y2) = 12x6y2 3. + 3( x3) ( 4y2)2= + 48x3y4 4. ( 4y2)3= 64y6 Entonces,( x3 4y2)3= x9 12x6y2+ 48x3y4 64y6

85 B. Desarrollar ( o2 2b)3 Aplicando la regla: 1. ( o2)3= o6

2. 3( o2)2( 2b) = 6o4b 3. + 3( o2) ( 2b)2= + 12o2b2 4. ( 2b)3= 8b3 Entonces,( o2 2b)3= o6 6o4b + 12o2b2 8b3

C. Desarrollar ( 5ox+3 bx-2)3 Aplicando la regla: 1. ( 5ox+3)3= 125o3x+9

2. 3( 5ox+3)2( bx-2) = 75o2x+6bx-2 3. + 3( 5ox+3) ( bx-2)2= + 15ox+3b2x-4 4. ( bx-2)3= b3x-6 Entonces,( 5ox+3 bx-2)3= 125o3x+9 75o2x+6bx-2+ 15ox+3b2x-4 b3x-6

86 EJERCICIO20:Desarrollarloscubosdeladiferenciadelossiguientes binomios, escribiendo el resultado por simple inspeccin. 1. ( m2 2n)3= 2. ( 3s 4t2)3= 3. ( 3x2 3y2)3= 4. ( 4o4 2b3)3= 5. ( 3m3 3)3= 6. ( 2p3 3q2)3= 7. ( 2b c2)3= 8. ( x 4y)3= 9. ( 3o 4b2)3= 10. ( 2 4g)3= 11. ( 2ox 3ox+1b+1)3= 12. ( o 5)3= 13. ( 3r2 4)3= 14. ( 4 q3)3= 15. ( x y)3= 16. ( 1 4y)3= 17. ( 2m5 n)3= 18. ( ox 4)3= 19. [13x 14y3= 20. [12o2 b3= 87 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS: DE LA FORMA ( x a) ( x h) . Sea ( x o) ( x b) = ( x) ( x) ( ox bx) ( o) ( b) . Resolviendo el producto tendremos: x o x b x2 ox bx obx2 ( ox bx) ob Por lo tanto, el producto de dos binomios de esta forma se resuelve aplicando la siguiente regla: En lenguaje comn: 1.Elprimertrminodelprimerbinomioporelprimertrminodelsegundo binomio 2.Se suman o se restan los segundos trminos de los binomios y le agregamos la variable o la literal indicada en los binomios 3.Semultiplicaelsegundotrminodelprimerbinomioporelsegundotrmino del segundo binomio, aplicndoles las leyes de los signos. En lenguaje algebraico: ( x o) ( x b) = x2 ( ox bx) ob Ejemplos: A. Desarrollar ( x + 1) ( x + 3) Aplicando la regla: 1. ( x) ( x) = x2

2. + 1x + 3x = + 4x 3. ( + 1) ( + 3) = + 3 Entonces,( x + 1) ( x + 3) = x2+ 4x + 3 88 B. Desarrollar ( y 2) ( y 6) Aplicando la regla: 1. ( y) ( y) = y2

2. 2y 6y = 8y 3. ( 2) ( 6) = + 12 Entonces,( y 2) ( y 6) = y2 8y + 12 C. Desarrollar ( m 2) ( m+ 4) Aplicando la regla: 1. ( m) ( m) = m2

2. 2m+ 4m = + 2m 3. ( 2) ( + 4) = 8 Entonces,( m 2) ( m+ 4) = m2+ 2m 8 D. Desarrollar ( o + 5) ( o 2) Aplicando la regla: 1. ( o) ( o) = o2

2. + 5o 2o = + 3o 3. ( + 5) ( 2) = 10 Entonces,( o + 5) ( o 2) = o2+ 3o 10 89 EJERCICIO21:Desarrollarlossiguientesproductosdedosbinomiosdela forma ( x o) ( x b) , escribiendo el resultado por simple inspeccin. 1. ( p + 2) ( p + 4) = 2. ( r 3) ( r + 5) = 3. ( o 6) ( o 9) = 4. ( m+ 1) ( m 10) = 5. ( p + 4) ( p + 7) = 6. ( r 7) ( r + 6) = 7. ( n 8) ( n 5) = 8. ( b + 9) ( b 8) = 9. ( y + 4) ( y + 1) = 10. ( x 4) ( x + 7) = 11. ( t 2) ( t 5) = 12. ( + 6) ( 1) = 13. ( y + 2) ( y + 2) = 14. ( p 7) ( p + 4) = 15. [J 13 [J 12 = 16. [m+23 [m 14 = 17. ( x + 3) ( x + 8) = 18. [o 12 ( o + 2) = 19. [m 32 [m 15 = 20. ( x + 3) [x 25 = 90 h. FACTORIZACIN PROPSITO: Descomponer polinomio en factores y expresarlos de una manera ms sencilla,quenospermitaresolverdiferentesproblemasaplicandoel razonamiento mediante el seguimiento de reglas fijas; adems, de las operaciones bsicas, atendiendo a las leyes de los signos y emplear estos conocimientos en situaciones reales mediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes en un ambiente de respeto y trabajo en equipo. FACTORIZACIN DE CUADRADOS PERFECTOS DE BINOMIOS Si( m+ n)2= m2+ 2mn + n2, alinvertirelprocesoobtenemos lafactorizacin m2+ 2mn + n2= ( m+ n)2 Porlotanto,lafactorizacindecuadradosperfectosdebinomiosseobtiene aplicando la siguiente regla: En lenguaje comn: 1.Obtenemos la raz cuadrada del primer trmino2.Obtenemos la raz cuadrada del tercer trmino 3.Multiplicamos por 2 las races obtenidas debiendo darnos el segundo trmino 4.Separamos estas races cuadradas con el mismo signo del segundo trmino y el binomio formado se multiplica por s mismo o se eleva al cuadrado Ejemplos:A. Factorizarx2+ 6x + 9 Aplicando la regla: 1. x2= x 2. 9 = 3 3. 2( x) ( 3) = 6x 4. ( x + 3) ( x + 3) = ( x + 3)2 Entonces,x2+ 6x + 9 = ( x + 3)2 octorizocin. B. Factorizaro2 4ob + 4b2 Aplicando la regla: 1. o2= o 2. 4b2= 2b 3. 2( o) ( 2b) = 4ob 4. ( o 2b) ( o 2b) = ( o 2b)2 Entonces,o2 4ob + 4b2= ( o 2b)2 octorizocin. 91 EJERCICIO22:Factorizarlossiguientescuadradosperfectosdebinomios, escribiendo el resultado por simple inspeccin. 1. o4+ 6o2b2+ 9b4= 2. m4 10m2+ 25 = 3. x6 6x3y + 9y2= 4. 4x2+ 16xy + 16y2= 5. 4m6 4m3n2+ n4= 6. 49x2+ 126x + 81 = 7. 4x2u+2 20xu+1yu+2+ 25y2u+4= 8. 14x4+32x2y2+94y4= 9. 19o2 13ob +14b2= 10. 36o2+ 12o + 1 = 11. x4 10x2y + 25y2= 12. 14o2+ ob + b2= 13. m2u-8 2mu-4nu-2+ n2u-4= 14. x2+ 18xy2+ 81y4= 15. 36o4 12o2b + b2= 16. 9x2u+2+ 24xu+1yu+ 16y2u= 17. 94m2+34mn +116n2= 18. o4 6o3b + 9o2b2= 19. x2 12xy3+ 36y6= 20. o2x+ 2oxyu+ y2u= 92 FACTORIZACIN DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS Si( m+ n) ( m n) = m2 n2,alinvertirelprocesoobtenemoslafactorizacin m2 n2= ( m+ n) ( mn) Porlotanto,lafactorizacindeladiferenciadedoscuadradosseobtiene aplicando la siguiente regla: En lenguaje comn: 1.Obtenemos la raz cuadrada del primer trmino2.Obtenemos la raz cuadrada del tercer trmino 3.Multiplicamos la suma de las races cuadradas obtenidas por su diferencia o viceversa Ejemplos: A. Factorizar81o2 25b2 Aplicando la regla: 1. 81o2= 9o 2. 25b2= 5b 3. ( 9o + 5b) ( 9o 5b) Entonces,81o2 25b2= ( 9o + 5b) ( 9o 5b) octorizocin. B. Factorizar49x2u+4 36y4u+6 Aplicando la regla: 1. 49x2u+4= 7xu+2 2. 36y4u+6= 6y2u+3 3. ( 7xu+2 6y2u+3) ( 7xu+2+ 6y2u+3) Entonces,49x2u+4 36y4u+6= ( 7xu+2 6y2u+3) ( 7xu+2+ 6y2u+3) octorizocin. 93 EJERCICIO23:Factorizarladiferenciadedoscuadrados,escribiendoel resultado por simple inspeccin. 1. o2 81b2= 2. m4 36 = 3. x2 4y2= 4. 4x2 16y2= 5. 4m6 n4= 6. 49x2 1 = 7. x2u+2 25y2u+4= 8. 14x2 94y2= 9. 19o2 14b2= 10. 36o2 1 = 11. x6 100y2= 12. 14o2 b2= 13. m2u-8 n2u-4= 14. x4 9y4= 15. 16o2 9b2= 16. 9x2u+2 16y2u= 17. 94m2 14n2= 18. o4 9o2b2= 19. x2 9y6= 20. o2x y2u= 94 FACTORIZACINDELADIFERENCIADECUADRADOSENQUEUNOOAMBOS CUADRADOS SON EXPRESIONES COMPUESTAS Para la factorizacin de la diferencia de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas se obtienen aplicando la siguiente regla: En lenguaje comn: 1.Obtenemos la raz cuadrada del primer trmino o binomio 2.Obtenemos la raz cuadrada del segundo trmino o binomio 3.Multiplicamos la suma de las races cuadradas obtenidas por su diferencia o viceversa Ejemplos: A. Factorizar( 2o 3b)2 4o2 Aplicando la regla: 1. ( 2o 3b)2= ( 2o 3b) 2. 4o2= 2o 3. [ ( 2o 3b) + 2o] [ ( 2o 3b) 2o] Entonces,( 2o 3b)2 4o2= [ ( 2o 3b) + 2o] [ ( 2o 3b) 2o] octorizocin. B. Factorizar( 2o + b)2 ( 2c 5)2 Aplicando la regla: 1. ( 2o + b)2= ( 2o + b) 2. ( 2c 5)2= ( 2c 5) 3. [ ( 2o + b) + ( 2c 5) ] [ ( 2o + b) ( 2c 5) ] Entonces,( 2o + b)2 ( 2c 5)2= [ ( 2o + b) + ( 2c 5) ] [ ( 2o + b) ( 2c 5) ] 95 EJERCICIO 24: Factorizar la diferencia de dos cuadrados en que uno o ambos cuadradossonexpresionescompuestas,escribiendoelresultadoporsimple inspeccin. 1. o4 ( b + 3)2= 2. 4m2 ( 3 2n)2= 3. ( o + b)2 9x2= 4. ( 5x2+ 4)2 16y2= 5. ( 4m6 n4)2 81p2= 6. ( x3+ 3)2 49x2= 7. ( x2u y4u)2 9b2= 8. [14x2 94y224m6= 9. ( o2 b2)2 ( 5c)2= 10. 4o2 ( x + y)2= 11. ( x6 y2)2 ( o + b)2= 12. ( 2o2 b2)2 ( x + 1)2= 13. ( m2u+ n2u)2 ( 1 y)2= 14. ( x4 y4)2 ( o4+ 2)2= 15. ( o2 4)2 ( b 3)2= 16. ( x2u+2 4y2u)2 ( x + y)2= 17. [94m2+14n22( o + b)2= 18. ( o4 b2)2 ( c + J)2= 19. ( x2 y6)2 ( x y)2= 20. ( ox yu)2 ( o b)2= 96 FACTORIZACIN DEL CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Sea( m+ n)3= m3+ 3m3n + 3mn2+ n3.Siinvertimoselprocesoobtenemosla factorizacin m3+ 3m3n + 3mn2+ n3= ( m+ n)3. Sea( m n)3= m3 3m3n + 3mn2 n3.Siinvertimoselprocesoobtenemosla factorizacin m3 3m3n + 3mn2 n3= ( m n)3. Lafactorizacindelcuboperfectodebinomios,seobtienenaplicandola siguiente regla: En lenguaje comn: 1.Raz cbica del primer trmino 2.Raz cbica del ltimo trmino. 3.El segundo trmino es + o y es el triple producto del cuadrado de la raz cbicaobtenidadelprimertrminoporlarazcbicaobtenidadelltimo trmino, debiendo darnos el segundo trmino. 4.El tercer trmino es + y es el triple producto de la raz cbica obtenida del primer trmino por el cuadrado de la raz cbica obtenida del ltimo trmino, debiendo darnos el tercer trmino. 5.Las races obtenidas del primer trmino y del ltimo trmino, se separan con el signo del segundo trmino y el binomio formado as, se eleva al cubo. Ejemplos: A. Factorizaro6+ 3o4+ 3o2+ 1 Aplicando la regla: 1.o63= o2 2.13= 1 3. 3( o2)2( 1) = 3o4 4. 3( o2) ( 1)2= 3o2 5. ( o2+ 1)3 Entonces,o6+ 3o4+ 3o2+ 1 = ( o2+ 1)3 octorizocin. B. Factorizarx3 3x2y + 3xy2 y3 Aplicando la regla: 1.x33= x 2.y33= y 3. 3( x)2( y) = 3x2y 4. 3( x) ( y)2= 3xy2 5. ( x y)3 Entonces,x3 3x2y + 3xy2 y3= ( x y)3 octorizocin. 97 EJERCICIO25:Factorizarloscubosperfectosdebinomios,escribiendoel resultado por simple inspeccin. 1. 27 27y + 9y2 y3= 2. x3+ 3x2+ 3x + 1 = 3. x6 6x4y + 12x2y2 8y3= 4. o9 6o6b2+ 12o3b4 8b6= 5. 8x3+ 36x2y + 54xy2+ 27y3= 6. 64m6+ 96m4n2+ 48m2n4+ 8n6= 7. 8o3 60o2b + 150ob2 125b3= 8. x6u+ 3x4uy2b+ 3x2uy4b+ y6b= 9. o3x+3+ 3o2x+2bx-1+ 3ox+1b2x-2+ b3x-3= 10. x6 9x4y + 27x2y2 27y3= 11. n6+ 6n4+ 12n2+ 8 = 12. 18o3 14o2b +16ob2 127b3= 13. x9+32x6y2+34x3y4+18y6= 14. 127o6 13o4b + o2b2 b3= 15. n3+ 6n2+ 12n + 8 = 16. 8m6 12m4+ 6m2 1 = 17. 27 + 27o2+ 9o4+ o6= 18. 1 6o + 12o2 8o3= 19. 1 +32x +34x2+18x3= 20. 8x3y3 12x2y2z + 6xyz2 z3= 98 PRCTICA INTEGRADORA 2

CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: OPERACIONES FUNDAMENTALES Nombre del alumno (a):Grupo: Fecha: e. LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES LEYESDELOSEXPONENTES. Completalasiguientetabla aplicndolelasleyesde los exponentes a las expresiones algebraicas: Expresiones algebraicasAplcales las leyes de los exponentes x0x2x = ( o3)5=( pq)2= o7o4= -1= _xy_3=yS=90= 1J3= 4 42= ( 22)2= _34]3= ( mn)0=312= 8134= ( 6)0=6y = 99 LEYES DE LOS RADICALES. Completa la siguiente tabla aplicndole las leyes de los radicales a las siguientes expresiones algebraicas: Expresiones algebraicasAplcales las leyes de los radicales 5 7 = _S= 45 = xy= m3 n3= 234504= _r3= k9= g = 5 8 = 3 12 = _326= o c4= _6044= _mnS= 81 22= 100 f. OPERACIONES FUNDAMENTALES SUMA DE POLINOMIOS. Sumar los siguientes polinomios: 1. 23mu+2 2mu+43mu+1; mu+3 5mu-1+ mu-2; 5mu+ 3mu+3 12mu+2;15mu-1 2mu-2+32mu+2. RESTA DE POLINOMIOS. Restar los siguientes polinomios: 1. Restar 25ym+4+ 7ym+1 12ym+2 ym-1 de ym+3+ 7ym+1 ym 13ym-1+2ym+2. 101 MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS. Multiplicar los siguientes polinomios: 1. Multiplicar 23nx-1 32nx+1 12nx+2+ nx por 12n2 13n 1. DIVISIN DE POLINOMIOS. Dividir los siguientes polinomios: 1. Dividir 7xm+6 12xm+5+ 6xm+3+ 3xm+4 8xm+2+ 4xm+1 entre x2 2x + 1. 102 g. PRODUCTOS NOTABLES BINOMIO CUADRADO: CUADRADO DE LA SUMA DE UN BINOMIO. Desarrollar el cuadrado de la suma del siguiente binomio: 1. ( 2xu+2+ 4yu-2)2= BINOMIOCUADRADO:CUADRADODELADIFERENCIADEUNBINOMIO.Desarrollarel cuadrado de la diferencia del siguiente binomio: 1. [3o2 12b32= BINOMIOCONJUGADO:PRODUCTODELASUMAPORLADIFERENCIADEDOSBINOMIOS. Desarrollar el siguiente binomio conjugado: 1. [12xx-3 23yx+4 [12xx-3+23yx+4 = CUADRADO DE UN POLINOMIO. Desarrollar el cuadrado del siguiente polinomio: 1. [12x2+13y + 22= CUBO DE UN BINOMIO: CUBO DE LA SUMA DE UN BINOMIO. Desarrollar el cubo de la suma del siguiente binomio: 1. [13ox+1+32b3= CUBO DE UN BINOMIO: CUBO DE LA DIFERENCIA DE UN BINOMIO. Desarrollar el cubo de la diferencia del siguiente binomio: 1. [32o b3= 103 PRODUCTO DE DOS BINOMIOS: DELAFORMA( x a) ( x h) .Desarrollarelsiguiente producto de dos binomios: 1. [m+23 [m 14 = h. FACTORIZACIN FACTORIZACINDECUADRADOSPERFECTOSDEBINOMIOS.Factorizarlossiguientes cuadrados perfectos de binomios: 1. 14o2x+2+13ox+1b+1+19b2+2= 2. 4x2 xyu-1+116y2u-2= FACTORIZACIN DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS. Factorizar la diferencia de dos cuadrados: 1. 14x4u-6 425y4u-4= FACTORIZACINDELADIFERENCIADECUADRADOSENQUEUNOOAMBOSCUADRADOSSON EXPRESIONES COMPUESTAS. Factorizar la diferencia de dos cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas: 1. ( x2 2)2 4y2= 2. [15o2+ b22( 1 b)2= FACTORIZACIN DEL CUBO PERFECTO DE BINOMIOS. Factorizar los cubos perfectos de binomios: 1. o3b3+ 3o2b2c2+ 3obc4+ c6= 2. 18o3x+3 14o2x+2bx+1+16ox+1b2x+2 127b3x+3= 104 INSTRUMENTOS DE EVALUACIN GUA DE OBSERVACIN CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: OPERACIONES FUNDAMENTALES Nombre del alumno (a):Grupo:Fecha: Indicaciones:Laguadeobservacindebeseraplicadaporelprofesorde acuerdoconelconceptosubsidiarioylosindicadores.Debercolocar1en cumpli si el alumno adquiri los conocimientos de manera significativa y en el casodenoadquirilosconocimientosencadaindicadorcolocarun0.Para obtenerlacalificacinfinaldebermultiplicarlacolumnadevalorporla columna de cumpli colocando el resultado de la multiplicacin en la columna de totalyfinalmentesumelacolumnadetotalparaobtenerlacalificacin definitiva. INDICADORESValorCumpliTotal Motivo del por qu no cumpli e.LEYES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES 1.Resolvi los ejercicios sobre leyes de los exponentes, aplicando el razonamiento para cada caso. 2.Resolvi los ejercicios sobre leyes de los radicales,aplicandoelrazonamientopara cada caso. f.OPERACIONES FUNDAMENTALES 3.Resolvielejerciciosobresumade polinomios,realizandolasoperaciones para cada caso y encerr las respuestas. 4.Resolvielejerciciosobrerestade polinomios,realizandolasoperaciones para cada caso y encerr las respuestas. 5.Resolvi el ejercicio sobre multiplicacin depolinomios,realizandolasoperaciones para cada caso y encerr las respuestas. 6.Resolvielejerciciosobredivisinde polinomios,realizandolasoperaciones para cada caso y encerr las respuestas. g.PRODUCTOS NOTABLES 7.Resolvielejerciciodebinomiocuadrado cuadradodelasumadeunbinomio, aplicando la regla en cada caso y encerr las respuestas. 105 INDICADORESValorCumpliTotal Motivo del por qu no cumpli 8.Resolvielejerciciodebinomiocuadrado cuadrado de la diferencia de un binomio, aplicando la regla en cada caso y encerr las respuestas. 9.Resolvi el ejercicio de binomio conjugado producto de la suma por la diferencia de dos binomios, aplicando la regla en cada caso y encerr las respuestas. 10. Resolvielejerciciodecuadradodeun polinomio, aplicando la regla en cada caso y encerr las respuestas. 11. Resolvielejerciciodelcubodeun binomiocubodelasumadeunbinomio, aplicando la regla en cada caso y encerr las respuestas. 12. Resolvielejerciciodelcubodeun binomiocubodeladiferenciadeun binomio, aplicando la regla en cada caso y encerr las respuestas. 13. Resolvielejerciciodeproductodedos binomiosdelaforma( x o) ( x b) , aplicando la regla en cada caso y encerr las respuestas. h.FACTORIZACIN 14. Resolvilosejerciciosdefactorizacin decuadradosperfectosdebinomios, aplicando la regla en cada caso y encerr las respuestas. 15. Resolvi el ejercicio de factorizacin de ladiferenciadedoscuadrados, aplicando lareglaencadacasoyencerrlas respuestas. 16. Resolvilosejerciciosdefactorizacin deladiferenciadedoscuadradosenque unooamboscuadradossonexpresiones compuestas,aplicandolareglaencada caso y encerr las respuestas. 17. Resolvi los ejercicios del cubo perfecto debinomios,aplicandolareglaencada caso y encerr las respuestas. 18. Disposicinyresponsabilidadaltrabajo en equipo. CALIFICACIN: Nombre y firma del evaluador 106 LISTA DE COTEJO CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: OPERACIONES FUNDAMENTALES Nombre del alumno (a):Grupo:Fecha: Indicaciones: La lista de cotejo debe ser aplicada por el profesor de acuerdo con el concepto subsidiario y los indicadores. Deber colocar 1 en cumpli si el alumnorealizlaprcticadeacuerdoalosindicadoresyenelcasodeno cumplidebercolocarun0.Paraobtenerlacalificacinfinaldeber multiplicar la columna valor por la columna de cumpli colocando el resultado de la multiplicacin en la columna de total y finalmente sume la columna total para obtener la calificacin definitiva. INDICADORESValorCumpliTotal Motivo del por qu no cumpli PRCTICA INTEGRADORA 1.La prctica contiene las operaciones para cada caso. 2.Laprcticaserealizaplicandoun razonamiento lgico para cada caso. 3.Losresultadosenlaprcticaparacada caso fueron resaltados. 4.La prctica se realiz con orden. 5.La prctica se realiz con limpieza. 6.La prctica se entreg en tiempo y forma. CALIFICACIN: Nombre y firma del evaluador 107 REALIMENTACIN CONCEPTO FUNDAMENTAL: LENGUAJE ALGEBRAICO CONCEPTO SUBSIDIARIO: OPERACIONES FUNDAMENTALES Deloscontenidosquesetepresentanacontinuacinesmuyimportanteque reconozcasculesfuerontuserroresparatratardecorregirlos.Llenala siguiente tabla para que tengas una idea ms clara de lo que te falta reafirmar. Busca ayuda con alguno de tus compaeros para que te resuelva las dudas que an te queden y si despus de esto sigues teniendo dudas pide ayuda a tu profesor. CONTENIDOS Porcentaje de lo que aprendMotivo del por qu no lo logr (esta columna debe ser llenada por el profesor) e.Leyes de los exponentes y radicales Leyes de los exponentes Leyes de los radicales f.Operaciones fundamentales Suma de polinomios Resta de polinomios Multiplicacin de polinomios Divisin de polinomios g.Productos notables Cuadrado de la suma de un binomioCuadradodeladiferenciadeun binomio Productosdelasumaporla diferencia de dos binomios Cuadrado de un polinomio Cubo de la suma de un binomioCubo de la diferencia de un binomio Producto de dos binomios de la forma ( x a) ( x h) h.FactorizacinFactorizacindecuadrados perfectos de binomios Factorizacindeladiferenciade dos cuadrados Factorizacindeladiferenciade cuadradosenqueunooambos binomios son expresiones compuestas Factorizacindelcuboperfectode binomios 108 OBJETIVO: ECUACIONES AlcursarelconceptosubsidiariodeEcuacioneslineales,sers capaz de: Resolver distintas situaciones o problemas, a travs de la aplicacin de las ecuaciones de primer grado con una incgnita, condosotresincgnitas,aplicandolasoperacionesbsicas. Tambin,serscapazdeinterpretar,validarygraficarlas ecuaciones; esto es lo que desarrollars en un ambiente de respeto y trabajo en equipo. 4x + 2 = 10 2( x 4) ( 6 2x) = 8 + 2( x + 2) 2-46=6-2 4x 3 = 3 4x 3 = 2x + 3 La edad de A y B es 94 aos, y B tiene 10 aos menos que A. Hallar ambas edades. _x 2y = 9x + y = 3 _x + y + z = 1x y + z = 2x + y z = 3 109 i. CON UNA INCGNITA PROPSITO:Aplicarlasecuacionesconunaincgnita,ademsdeadquirirlos conocimientosfundamentalesyemplearestosensituacionesrealesmediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes. Qu es una ecuacin? Esunaigualdadenlaquehayunaovariascantidadesdesconocidasllamadas incgnitasyquesloseverificaoesverdaderaparadeterminadosvaloresde las incgnitas. Lasincgnitasenunaecuacinserepresentanporlasltimasletrasdel alfabeto u, v, w, x, y, z. Las partes de una ecuacin son: Cuando un conjunto de nmeros se sustituye en lugar de las incgnitas e igualan los dos miembros, se dice que satisface la ecuacin. Al conjunto de nmeros se le llama solucin o races de la ecuacin. CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES LINEALES

DESARROLLO Primer miembro Segundo miembro 4x + 2 = 10 Ecuacin Incgnita Igualdad 110 Ejemplo de una ecuacin: a.4x + 2 = 10 Elgradodeunaecuacinlodeterminaelexponentedemayorgradodela incgnita. Ejemplos:a.2x + 4 = 14, es de primer grado ya que tiene una sola solucin. b.2y2+ 5y = 6, es de segundo grado por que tiene dos soluciones.c.4x5 2x4+ x3+ 3x2 2x 1 = 0, es de quinto grado por que tiene cinco soluciones. El grado de la ecuacin determina el nmero de soluciones por encontrar. RESOLUCIN Y EVALUACIN DE ECUACIONES A. Ecuaciones con signos de agrupacin y productos indicados 2( x 4) ( 2x) = 8 + 2( x + 2) 1.Efectuamos las operaciones indicadas 2x 8 6 + 2x = 8 + 2x + 4 2.Reducimos trminos semejantes en ambos miembros 4x 14 = 12 + 2x 3.Justamoslostrminossemejantessinolvidaraplicarlaspropiedadesdela igualdad y los reducimos 4x 2x = 12 + 14 2x = 26 4.Despejamos a la incgnita dividiendo toda la ecuacin entre su coeficiente y obtenemos la solucin 2x2=262Entonces,x = 13es la solucin de la ecuacin. 4( 2) + 2 = 1, u xea: 1 = 1. Esunaecuacin,porqueesunaigualdadenla quehayunaincgnita,lax,yestaigualdad slo se verifica o es verdadera, para el valor x = 2 (la solucin o raz de la ecuacin es 2). En efecto, si sustituimos la x por 2, tenemos: Sidamosaxunvalordistintode2,la igualdad no se verifica o no es verdadera. 111 B. Ecuaciones que incluyen fracciones 2y 4= y2 1.Se multiplica cruzado, el numerador del primer miembro por el denominador del segundomiembroyeldenominadordelprimermiembroporelnumeradordel segundo miembro. 2( 2y 4) = 6( 6 y) 4y 8 = 36 6y 2.Justamoslostrminossemejantessinolvidaraplicarlaspropiedadesdela igualdad y los reducimos 4y + 6y = 36 + 8 10y = 44 3.Despejamos a la incgnita dividiendo toda la ecuacin entre su coeficiente y obtenemos la solucin 10y10=4410 Entonces,x =441=225 es la solucin de la ecuacin. C. Ecuaciones con radicales 4x 3 = 3 1.Elevamos al cuadrado ambos miembros y efectuamos las operaciones indicadas (4x 3)2= ( 3)2 4x 3 = 9 2.Juntamoslostrminossemejantessinolvidaraplicarlaspropiedadesdela igualdad y los reducimos 4x = 9 + 3 4x = 12 3.Despejamos a la incgnita dividiendo toda la ecuacin entre su coeficiente y obtenemos la solucin 4x4=124Entonces,x = 3es la solucin de la ecuacin. 112 4x 3 = 2x + 3 1.Elevamos al cuadrado ambos miembros y efectuamos las operaciones indicadas [4x2+ 10x 32= ( 2x + 3)2 4x2+ 10x 3 = 4x2+ 12x + 9 2.Juntamoslostrminossemejantessinolvidaraplicarlaspropiedadesdela igualdad y los reducimos 4x2 4x2+ 10x 12x = 9 + 3 2x = 12 3.Despejamos a la incgnita dividiendo toda la ecuacin entre su coeficiente y obtenemos la solucin 2x2=122 Entonces,x = es la solucin de la ecuacin. 113 EJERCICIO 26: Resuelve las siguientes ecuaciones lineales con una incgnita, realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar la respuesta. 1. 2( x 1) + 3 = 3( x + 4) + ( x 1) 2. ( 2y 1) 5 = 4( 3y 2) 4 3. x + x2= x( 2 + x) 6 4.4( y 18) 12 = 6( 16y 8) 5.( u 3) 2( 3 u) = 3( 2u + 1) + 4( u 2) 6. -1+1=35 114 7. 9 =w-3w+5 8. 2x =x-33 9. 24u-1=34u+1 10. 2+1=62+3 11. 3-12+1= 0 12. 2-1=1+1 115 13. x 3 = 3 14. 1 2x + 2 = 0 15. x2 x + 3 = x 2 16. x2+ x + 2 2 = x 2 17. x2+ 3x 1 3 = x + 1 18. x2+ x + 2 2 = x 2 19. x + 2 = 1 20. 5x 1 = 3 116 APLICACIN Enlgebratraducirlasproposicionesverbalesaproposicionesalgebraicases muyimportanteyesnecesariosaberquelas operacionesvienenexpresadaspor palabras clave tales como: Suma(adicin).Quetambinsignificaganar,aumentar,ms,incrementar, crecer, ms que, entre otras. Resta(sustraccin).Quetambinsignificadecrecer,perder,bajar, disminuir, menos, diferencia, entre otras. Multiplicacin (producto). Que tambin significa cudruple, triple, duplo, doble, dos veces, entre otras. Divisin(razn).Quetambinsignificaentre,mitad,cociente,dividido por, entre otras. Lapalabraes,dentrodeunproblemaalgebraicosignificaigualayse representa por el signo igual. Ejemplos: 1.Hallar un nmero que sumado a 4 es 30 Solucin: La ecuacin formada es x + 4 = 30 Resolviendo la ecuacin x = 30 4 x = 26 Por lo tanto, el nmero que sumado a 4 es 30, es el nmero 26. 2.LaedaddeAyBes94aos,yBtiene10aosmenosqueA.Hallarambas edades. Solucin: x = cJoJ Jc A x 10 = cJoJ Jc B Entonces tenemos que la ecuacin es: A+B=94 117 Sustituyendo el valor de A y B: x + x 10 = 94 Resolviendo la ecuacin: 2x 10 = 94 2x = 94 + 10 2x = 104 x =1042 x = 52, ex |a edad de A,A = 52aus Sustituyendo el valor de x, en la ecuacin para hallar B, obtenemos: x 1 = B Resolviendo la ecuacin: 52 10 = B 42 = B B = 42 aus EJERCICIO27:Resuelvelossiguientesproblemasdeaplicacinsobre ecuacioneslinealesconunaincgnita,realizarlasoperacionesindicadasen cada caso y encerrar las respuestas. 1. Yo tengo el doble de CD de msica que t y entre ambos tenemos 15. Cuntos CD tiene cada uno? 118 2. Hallar dos nmeros sabiendo que su suma es igual a 39 y que uno de ellos es igual al doble del otro. 3. Karla,GerardoyMartngananentrelostres$12,000 quincenales. Gerardo gana $ 2,000 menos que Karla y Martn gana eldoblequeGerardo.Hallarloqueganacadaunodeellos quincenalmente. 4. Lasumadedosnmeroses34.Hallarlosdosnmeros,siun nmero es 3 veces el otro nmero ms dos. 119 5. La edad de C es el triple de la de D, y ambas edades suman 52 aos. Hallar ambas edades. 6. Repartir $180,000 entre A, B y C de modo que la parte de A sea la mitad de la de B y un tercio de la de C. Hallar cunto dinero le toca a cada uno. 7. Una herencia de $360,000 se ha repartido entre tres personas, la segunda recibe la mitad de lo que recibe la primera y la tercera eltripledeloquerecibelasegunda.Cuntodinerorecibe cada persona? 120 8. Unhombreviaj9000kmporbarco,trenyavin.Portren recorri la quinta parte de lo que recorri en barco y en avin eltripledeloquerecorrientren.Cuntokmrecorrien cada medio de transporte? 9. La suma de la mitad y la cuarta parte de un nmero equivale al doble del nmero disminuido en 10. Cul es el nmero? 10. Despusdegastarlamitaddeloquetenay$30,000ms,me quedan $60,000. Cunto tena al principio? 121 j. CON DOS Y TRES INCGNITAS PROPSITO: Aplicar las ecuaciones con dos y tres incgnita, adems de adquirir losconocimientosfundamentalesyemplearestosensituacionesrealesmediante planteamientos que permitan desarrollar habilidades y fomentar actitudes. SISTEMAS DE ECUACIONES Selesllamasistemadeecuacionesoecuacionessimultneascondosytres incgnitas o ms, cuando se satisfacen para iguales valores de las incgnitas y seresuelvensimultneamentelasdosecuacionescondosincgnitasylastres ecuaciones con tres incgnitas. Ejemplo: Sistema de ecuaciones de 2 x 2.Sistemas de ecuaciones de 3 x 3. _x 2y = 9x + y = 3 _x + y + z = 1x y + z = 2x + y z = 3 MTODOSDESOLUCINPARASISTEMASDEDOSECUACIONESCONDOS INCGNITAS Los mtodos de solucin ms conocidos para resolver los sistemas de ecuaciones de 2 x 2 son: 1.Mtodo por igualacin 2.Mtodo por sustitucin o comparacin 3.Mtodo por reduccin o suma y resta 4.Mtodo por determinantes 122 MTODO POR IGUALACIN Ejemplo: _5x + 2y = 4Fcuac|n 13x + y = 2Fcuac|n 2 Solucin: 1.Despejamoslamismaincgnitaenambasecuaciones,enestecasovamosa despejar a y. Despejamos a y en la ecuacin 1: y =4-5x2 Despejamos a y en la ecuacin 2: y = 2 3x 2.Igualamos los valores de y =4-5x2 y y = 2 3x que se obtuvieron con los despejes de ambas ecuaciones y realizamos las operaciones indicadas. 4 5x2= 2 3x 4 5x = 2( 2 3x)4 5x = 4 6x 6x 5x = 4 4 x = 0 3.Sustituimoselvalordex = 0encualquieradelasdosecuaciones,eneste casolosustituimosenlaecuacin2,parahallarelvalordelaotra incgnita. 3x + y = 23( 0) + y = 2 y = 2 Por lo tanto, la solucin al sistema de ecuaciones es: x = , y = 2. Paravalidarlasecuaciones,sesustituyenlosresultadosenambasecuaciones debiendo darnos el mismo resultado en ambos miembros de la ecuacin. 123 EJERCICIO28:Resuelvelossiguientessistemasdeecuacioneslinealescon dosincgnitasode2x2,porelmtododeigualacin.Realizarlas operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas. 1. _2x 3y = 45x + 4y = 13 2. _3x + 5y = 125x + 2y = 1 3. _7x 8y = 224x + 2y = 6 4._6x + 4y = 34x 7y = 25 124 5. ]3o 5b = 107o + b = 36 6. ]8m 3n = 23m+ n = 5 7.]4b + 2c = 145b + 3c = 1 8._6x + y = 21x 7y = 25 125 9._x + 3y = 16x 4y = 38 10. _7x 2y = 82x y = 1 126 MTODO POR SUSTITUCIN O COMPARACIN Ejemplo: _5x + 2y = 4Fcuac|n 13x + y = 2Fcuac|n 2 Solucin: 1.Despejamos una de las incgnitas en cualquiera de las dos ecuaciones, en este caso vamos a despejar a y en la ecuacin 2. Despejamos a y en la ecuacin 2: y = 2 3x 2.Sustituimos el valor de y = 2 3x que se obtuvo con el despeje de la ecuacin 2 en la ecuacin 1 y realizamos las operaciones indicadas. 5x + 2y = 4 5x + 2( 2 3x) = 4 5x + 4 6x = 4 x + 4 = 4 x = 4 + 4 x = 0 x = 0 3.Sustituimoselvalorde x = 0,encualquieradelasdosecuaciones,eneste casolosustituimosenlaecuacin2,parahallarelvalordelaotra incgnita. 3x + y = 23( 0) + y = 2 y = 2 Por lo tanto, la solucin al sistema de ecuaciones es: x = , y = 2. 127 EJERCICIO29:Resuelvelossiguientessistemasdeecuacioneslinealescon dosincgnitasode2x2,porelmtododesustitucin.Realizarlas operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas. 1. ]6o 3b = 04o + 5b = 14 2. _4x 6y = 123x + 4y = 8 3. _5p + 3q = 9p 7q = 17 4._5x + 2y = 43x + y = 2 128 5. _ x + y = 22x y = 1 6. _3x 2y = 22x y = 4 7. _7x + 4y = 512x + 10y = 4 8._ x + 3y = 63x + 4y = 8 129 9. _x 5y = 104x + 5y = 5 10. _3x + 6y = 9x 2y = 6 130 MTODO POR REDUCCIN O DE SUMA Y RESTA Ejemplo: _5x + 2y = 4Fcuac|n 13x + y = 2Fcuac|n 2 Solucin: 1.Eliminamos una de las incgnitas, la misma en ambas ecuaciones, en este caso vamos a eliminar a y. Multiplicamos a la ecuacin 1 por el coeficiente de y enlaecuacin2,enestecasoelcoeficientees1.Multiplicamosala ecuacin2porelcoeficientedeyenlaecuacin1,enestecasoel coeficiente es 2 y atendemos a los signos para que una nos quede positiva y otra negativa para que se pueda eliminar la incgnita. _5x + 2y = 4( 1)3x + y = 2( 2) 5x 2y = 4 6x + 2y =4 2.Reducimos los trminos semejantes y despejamos a la incgnita. 5x 2y = 4 6x + 2y =4 x=0 x = 0 3.Sustituimoselvalordex = 0 encualquieradelasdosecuaciones,eneste casolosustituimosenlaecuacin2,parahallarelvalordelaotra incgnita. 3x + y = 2 3( 0) + y = 2 y = 2 y = 2 Por lo tanto, la solucin al sistema de ecuaciones es: x = , y = 2. 131 EJERCICIO30:Resuelvelossiguientessistemasdeecuacioneslinealescon dosincgnitasode2x2,porelmtododereduccinodesumayresta. Realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas. 1. _x + 3y = 93x y = 7 2. _7x 2y = 15x 2y = 5 3. _2x + 6y = 4x 3y = 2 4._x + 2y = 6x + y = 1 132 5. _6x 3y = 92x 2y = 1 6. _6x 5y = 103x 2y = 3 7. _x + 3y = 42x + y = 1 8._x 2y = 9x + y = 3 133 9. _5x + 7y = 23x + 4y = 7 10. _6x + 5y = 123x + 2y = 4 134 MTODO POR DETERMINANTES Para resolver un sistema de ecuaciones de 2 x 2, aplicamos la regla de Kramer que nos dice que el valor de cada incgnita es una fraccin y cuyo denominador es el determinante formado con los coeficientes de las incgnitas. Ejemplo: _5x 3y = 11Fcuac|n 14x + y = 8 Fcuac|n 2 Solucin: Sea el sistema de ecuaciones: _o1x + b1y = c1o2x + b2y = c2 1.Calculamos el determinante del sistema de ecuaciones, aplicando la siguiente regla: = _o1b1o2b2_ = o1b2 o2b1 = 5 34 6 = ( 5) ( 6) ( 4) ( 3) = 30 + 12 = 42D = 42 2.Calculamos el valor de x, aplicando la siguiente regla: x =_c1b1c2b2_= c1b2 c2b1 x =11 38 6 42=( 11) ( 6) ( 8) ( 3)42= 66 + 2442= 4242= 1 x = 1 3.Calculamos el valor de y, aplicando la siguiente regla: y =o1c1o2c2= o1c2 o2c1 y =5 114842=( 5) ( 8) ( 4) ( 11)42=40 + 4442=8442= 2 y = 2 Por lo tanto, la solucin al sistema de ecuaciones es: x = 1 , y = 2. 135 EJERCICIO31:Resuelvelossiguientessistemasdeecuacioneslinealescon dosincgnitasode2x2,porelmtododedeterminantes.Realizarlas operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas. 1. _ x + y = 4x + 2y = 2 2. _2x 3y = 8x y = 1 3. _5x 3y = 14x + 6y = 8 4._6x + y = 85x 2y = 1 136 5. _2x + y = 10x 2y = 5 6. _2x y = 5x 2y = 10 7. ]o 6b = 22o 3b = 5 8.]6m 2n = 127m 6n = 25 137 9. _9p 7q = 58p 6q = 4 10. _5x 2y = 47x + y = 17 138 MTODOSDESOLUCINPARASISTEMASDETRESECUACIONESCONTRES INCGNITAS Enalgunoscasosnohayreglasfijasydependedelashabilidadesdelalumno para hallar la forma ms rpida de resolver el sistema de ecuaciones. Pararesolverunsistemadeecuacionesde3x3,sepuedeprocederdela siguiente manera: Ejemplo: _x + 2y + 3z = 1Ecuocin 13x + 3y + z = 7Ecuocin 22x + y 3z = 10Ecuocin 3 Solucin: 1.Combinamoslaecuacin1y2y eliminamos a la incgnita x. Multiplicamos por -3 a la ecuacin 1 y reducimos los trminos semejantes. x + 2y + 3z = 1 ( 3)3x + 3y + z = 7 -3x 6y 9z = 3 3x + 3y +z =7 3y 8z = 10Fcuac|n 4:3y 8z = 1 2.Combinamoslaecuacin1y3y eliminamoslamismaincgnita.La ecuacin3puedesercombinadacon cualquiera de las ecuaciones. Multiplicamos por -2 a la ecuacin 1 y reducimos los trminos semejantes. x + 2y + 3z = 1 ( 2)2x + y 3z = 10 -2x 4y 6z = 2 2x + y 3z = 10 3y 9z = 12Fcuac|n 5:3y 9z = 12 3.Combinamoslaecuacin4y5y eliminamos a y. Multiplicamospor-1alaecuacin 1, reducimos los trminos semejantes y despejamos a la incgnita. 3y 8z = 10 3y 9z = 12 3y + 8z = 10 3y 9z =12 z = 2z = 2 4.Sustituimos el valor de z = 2 en la ecuacin 4 o 5, para encontrar otra delasincgnitasenestecaso yy lo sustituimos en la ecuacin 4. 3y 8z = 10 3y 8( 2) = 10 3y + 16 = 10 3y = 10 16 3y = 6 y =-6-3= 2 y = 2 5.Sustituimoselvalordez = 2y y = 2 en la ecuacin 1 o 2 o 3, para encontrar la incgnita faltante, en estecasolossustituimosenla ecuacin 1. x + 2y + 3z = 1 x + 2( 2) + 3( 2) = 1 x + 4 6 = 1 x 2 = 1 x = 2 1x = 1 Por lo tanto, la solucin al sistema es x = 1, y = 2, z = 2. Paravalidarlasecuaciones,se sustituyenlosresultadosenambas ecuacionesdebiendodarnoselmismo resultadoenambosmiembrosdela ecuacin. 139 EJERCICIO32:Resuelvelossiguientessistemasdeecuacioneslinealescon tres incgnitas o de 3 x 3, realizar las operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas. 1. _2x + 3y + z = 11x + y + z = 63x 2y z = 4 2. _ x + 2y + 3z = 83x y 2z = 85x + 2y z = 0 140 3. _x + y + z = 02x 3y + 4z = 11x 2y + 2z = 6 4._5x + 2y z = 64x 3y + z = 83x + y 2z = 6 141 5. _2x + 3y + 4z = 113x + 2y z = 76x 3y + 2z = 11 6. _3x + 6y + z = 226x 4y z = 92x 5y + 3z = 1 142 MTODOSDESOLUCINPARASISTEMASDETRESECUACIONESCONTRES INCGNITAS POR DETERMINANTES Para resolver un sistema de ecuaciones de 3 x 3, aplicamos la regla de Kramer que nos dice que el valor de cada incgnita es una fraccin y cuyo denominador es el determinante formado con los coeficientes de las incgnitas. Ejemplo: _x + 2y + 3z = 1Ecuocin 13x + 3y + z = 7Ecuocin 22x + y 3z = 10Ecuocin 3 Solucin: Sea el sistema de ecuaciones: _o1x + b1y + c1z = J1o2x + b2y + c2z = J2o3x + b3y + c3z = J3 1.Calculamos su determinante del sistema de ecuaciones, aplicando la siguiente regla: = _o1b1c1o2b2c2o3b3c3_ Repetimos las dos primeras filas _o1b1c1o2b2c2_ Sustituimoslosvaloresenlatabla,multiplicamoslosvaloresendiagonalde izquierda a derecha. Los valores de las multiplicaciones de izquierda a derecha quedan con su propio signo y los valores como resultado de la multiplicacin de derecha a izquierda se les cambia el signo. 1 23 3 31 2 1-3 123 331 = 9 + 9 + 4 18 1 + 18 D = 3 143 2.Calculamos el valor de x, aplicando la siguiente regla: x = _J1b1c1J2b2c2J3b3c3_ Repetimos las dos primeras filas y lo dividimos al final entre su determinante. _d1b1c1d2b2c2_ Sustituimoslosvaloresenlatabla,multiplicamoslosvaloresendiagonalde izquierda a derecha. Los valores de las multiplicaciones de izquierda a derecha quedan con su propio signo y los valores como resultado de la multiplicacin de derecha a izquierda se les cambia el signo. 3.Calculamos el valor de y, aplicando la siguiente regla: y = _o1J1c1o2J2c2o3J3c3_ Repetimos las dos primeras filas y lo dividimos al final entre su determinante. _u1d1c1u2d2c2_ Sustituimoslos valoresenlatabla,multiplicamoslosvaloresendiagonalde izquierda a derecha. Los valores de las multiplicaciones de izquierda a derecha quedan con su propio signo y los valores como resultado de la multiplicacin de derecha a izquierda se les cambia el signo. -1 23 7 31 10 1-3 123 731 x =9 + 21 + 20 90 + 1 + 42 x = 33= 1 144 1 -13 3 71 2 10-3 1-13 371 4.Calculamos el valor de z, aplicando la siguiente regla: z = _o1b1J1o2b2J2o3b3J3_ Repetimos las dos primeras filas y lo dividimos al final entre su determinante. _u1b1d1u2b2d2_ Sustituimoslosvaloresenlatabla,multiplicamoslosvaloresendiagonalde izquierda a derecha. Los valores de las multiplicaciones de izquierda a derecha quedan con su propio signo y los valores como resultado de la multiplicacin de derecha a izquierda se les cambia el signo. 1 2-1 3 37 2 110 12-1 337 Por lo tanto, la solucin al sistema de ecuaciones es: x = 1 , y = 2, z = 2. y = 21 + 90 2 42 10 9 y = 3= 2 z =30 3 + 28 + 6 7 60 z = 3= 2 145 EJERCICIO33:Resuelvelossiguientessistemasdeecuacioneslinealescon tresincgnitasode3x3porelmtododedeterminantes.Realizarlas operaciones indicadas en cada caso y encerrar las respuestas. 1. _2x + 3y + z = 4x + 2y + 3z = 73x 2y + 5z = 13 2. _ x + y + z = 63x y 5z = 22x + y 3z = 5 146 3. _2x y + z = 65x + y 2z = 57x + 2y 3z = 7 4. _2x + y + z = 33x 2y + 3z = 12x + 2y z = 8 147 5. _x y + z = 2x + y z = 03x 2y + 3z = 8 6. _3x + 2y 3z = 45x 6y + z = 4x + y + z = 3 148 PRCTICA INTEGRADORA 3

CONCEPTO FUNDAMENTAL: ECUACIONES CONCEPTO SUBSIDIARIO: ECUACIONES LINEALES Nombre del alumno (a):Grupo: Fecha: i. CON UNA INCGNITAECUACIONESLINEALESCONUNAINCGNITA.Resuelvelassiguientesecuaciones lineales, desarrolla cada uno de los procedimientos y encierra las respuestas: ECUACIONES CON SIGNOS DE AGRUPACIN Y PRODUCTOS INDICADOS ECUACIONES QUE INCLUYEN FRACCIONES 3( 2 x) + 8x = 5( x 2) 3( x + 4) x 82 x + 43= ECUACIONES CON RADICALES x2 3x + 4 1 = x + 1 7x + 2 3 = 149 APLICACIN.Resuelvelossiguientesejerciciosdeaplicacindelasecuaciones linealesconunaincgnita,desarrollandocadaunodelosprocedimientosy encierra las respuestas: 1.Mara, Ped