[CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL] Guía del extraordinario 

 

Profesor: Gerson Villa González | Fecha de Aplicación: 9 –Junio‐2010  1 

 

Instrucciones: 

Esto solo es una guía para el examen extraordinario (no es obligatorio que los ejercicios 

que venga aquí se pregunten en el examen extraordinario). 

Recuerda que el examen extraordinario es evaluado al 100%. 

Te puedes apoyar en tus apuntes, libros, etc. Cuando presentes dicho examen 

Los Resultados los puedes checar en el blog de trabajo el día 16 de Junio.  

Recuerda que este último examen no existe ninguna aclaración, evita la pena que te 

diga no. 

Problemas Sugeridos 

1. Encuentre los limites solicitados 

a) 22

2lim

5 3x

x

x

 

b) 3

42

8lim

16v

v

v

 

2. Pruebe el siguiente limite 

c) 1

4 2 , 1lim ( ) 2 si ( )

6 4, 1x

x xf x f x

x x

 

3. Encuentre el limite siguiente 

a. 2

2lim 3

2x

xx

x

 

4. Encuentre el límite de la función racional 

a. Cuando  x  

b. Cuando  x  

i. 3

3 2

2 7( )

7

xf x

x x x

 

5. Encuentre el limite  

a. 0

limx

senx

sen x 

6. Encuentre las derivadas de las siguientes funciones 

a. 2

cos 1

seny

 

b. 4y x x x  

c. 3csc 1y x x  

 

 

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7. Encuentre  /dy dx  

a. 2 1

1

xy

x

 

8. Determine 2

2

d y

dx mediante diferenciación implícita 

a. 2 21yx

 

9. Cambio de la arista de un cubo. El volumen de un cubo crece  a razón de 1200 cm3/mm en 

el  instante  que  sus  aristas  tienen  una  longitud  de  20  cm.  ¿A  qué  razón  cambian  las 

longitudes de las aristas en ese instante? 

10. ¿ 3( ) 2 tanf x x x x   tiene  algún  valor  máximo  o  mínimo  local?  Justifique  su 

respuesta? 

11. Optimización. La suma de dos números no negativos es 20. Encuentre los números. 

a. Si el producto de uno de ellos multiplicado por la raíz cuadr5ada del otro debe ser 

lo más grande posible. 

b. Si  la suma de uno de ellos más  la raíz cuadrada del otro debe ser  lo más grande 

posible. 

12. Encuentre la integral definida. Verifique su respuesta mediante derivación. 

a. csc 2 cot 2 d  

13. Extremos locales. Suponga que la primera derivada de  ( )y f x  es 

2' 6( 1)( 2)y x x  

¿En qué puntos, si hay alguno, la gráfica de f tiene un máximo local, un mínimo local o un 

punto de inflexión? 

14. Use la regla de L’Hopital para encontrar los siguientes limites 

a. 4 20

1 1limx x x

 

b. 3 3

2 2lim

1 1x

x x

x x

 

15. Encuentre el área total de la región entre la gráfica de f y el eje x 

a. ( ) 1 ,0 4f x x x  

16. Encuentre el área de la región acotada por las curvas y rectas 

a. 28cos , sec , / 3 / 3y x y x x  

 

 

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17. Evalué la integral siguiente definida 

a. /3

0

tan

2secd

 

18. Por medio  de  integración,  determine  el  volumen  del  sólido  generado  al  hacer  girar  la 

región triangular con vértices  0,0 , ,0 , 0,b h , alrededor de 

a. Al eje x 

b. Al eje y 

19. Volumen de un tazón. La forma de un tazón puede generarse al hacer girar  la gráfica de 2 / 2y x  entre  0y  y  5y alrededor del eje y. 

a. Determinar el volumen del tazón. 

b. Razones relacionadas. Si llenamos el tazón con agua a una velocidad constante de 

3  unidades  cúbicas  por  segundo,  ¿Qué  tan  rápido  sube  el  nivel  del  agua  en  el 

tazón cuando el agua tiene una profundidad de 4 unidades? 

20. Calcule  el  volumen  del  sólido  generado  al  hacer  girar  la  región  acotada  por  y x   y 

2y x  alrededor de cada eje coordenado, utilizando. 

a. El método de los casquillos 

b. El método de las arandelas 

21. Para  transformar  cada  integral en una  forma básica, podría  ser necesario utilizar una o 

más  de  las  técnicas  de  sustitución  algebraica,  completar  el  cuadrado,  separación  de 

fracciones parciales, división larga o sustitución trigonométrica. 

a. 2 16z

dzz

 

b. cot

cot csc

xdx

x x  

22. Integración por partes. Evalué las siguientes integrales. 

a. cos 2xe xdx  

b. 2 (1 )x sen x dx  

23. Fracciones parciales. Evalué las siguientes integrales. 

a. 31

dx

x x  

b. 1s

ds

e  

24. Sustituciones trigonométricas. Evalué las siguientes integrales 

a. 216

ydy

y  

b. 24 1

tdt

t  

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25. Términos cuadráticos. Evalué las siguientes integrales. 

a. 29

xdx

x  

b. 29

dx

x  

26. Miscelánea de integrales. Evalué las siguientes integrales. 

a. 1 ln ln 2 ln

dt

t t t t  

b. 23 sec

tan

x senxdx

x