METODOS DE OPTIMIZACIÓN

GUIA # 2 PROCESOS POISSON

1) Un componente electrónico tiene vida útil exponencial de medias 1000 horas.

a. ¿Cuál es la probabilidad que el componente falle entre la 900 y las 1000 horas de

funcionamiento?

b. Si el componente esta funcionando después de 900 horas ¿Cuál es la probabilidad de que

si vida útil sea de 1000 horas?

2) Una máquina de componentes A y B conectados en series de forma tal que la máquina solo

funciona si todos sus componentes funcionan, si ellos tienen vida útil aleatoria

independientemente exponenciales. Si el valor esperado de A, E(A) = 100 horas ¿Cuál debe

ser el valor esperado de la vida útil de B para que la probabilidad de que la máquina siga

operando después de 50 horas sin fallar sea igual 0,5?

3) Si un satélite de comunicaciones tiene 2 componentes esenciales A y B y funciona si ambos

funcionan. Si ambos componentes tienen vida útil aleatorias independientes exponenciales; A

de parámetro 2 años y B de parámetro 1 año.

a. ¿Cuál es la probabilidad que el satélite falle al año de lanzado?

b. Cuál es la probabilidad de que el satélite falle al año y A sea la causa de la falla?

4) Si los llamado telefónicos llegan a una central de acuerdo a un proceso Poisson ( N(t) , t≥ 0)

de forma tal que en promedio llega uno cada 10 minutos.

a. Calcule la probabilidad de que no ocurra ningún llamado en el rango ( 0 a 10

minutos) y exactamente uno ocurra entre los ( 10 y 15 minutos)

b. ¿Cuál es el tiempo esperado en que llega la cuarta llamada?

c. Dada que un llamada llaga exactamente entre (0 y 15 minutos) ¿Cuál es la

probabilidad condicionada que halla ocurrido entre (10 y 15 minutos)?

d. Dada que exactamente una llamada ocurrió en (0 y 15 minutos) Calcule la

probabilidad condicional

5) Juan juega con su computador durante una tormenta de rayos. Los rayos botan la línea de

potencia con una distribución de Poisson de tasa 3 por hora. Si le toma S = 2, 10 y 20

minutos jugar el juego ¿Cuál será la probabilidad que el termine su juego antes que los rayos

paralice el computador?

6) Para el problema anterior, Juan instala un sistema de respaldo del juego tal que un solo rayo

no bota el sistema sino requiere de 2 impactos consecutivos ¿Cuál será la probabilidad de

terminar el juego para S= 2, 10 y 20 minutos?

7) Los autores Mark y Trawin cada uno gasta s horas editando diferentes capítulos de su

próximo libro. Mark encuentra errores tipográficos de acuerdo a una variable aleatoria X de

Poisson de tasa 10/hr y Tawin lo hace de acuerdo a una variable de Poissson de media 15 /hr.

Si ambos autores trabajan independientemente

a. ¿Cuál es la probabilidad que ambos autores encuentren un total de 20 errores?

b. Si ambos encontraron un total de 20 errores. Calcule la probabilidad condicional

de la distribución de X y su valor esperado.

8) Si vehículos pasan por un plaza de peaje de acuerdo a una distribución de Poisson de tasa

1/min y si el 20% de los vehículos que pasan son camiones.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 camiones pasen en 5 minutos?

b. Si 2 camiones han pasado en los últimos 5 minutos ¿Cuál es el número esperado

de vehículos que han pasado durante ese periodo?

c. Si pasan 10 vehículos en los 5 minutos ¿Cuál es la probabilidad de 2 de ellos sean

camiones?

9) Si el número de trabajos que llegan a un computador puede ser descrito por un proceso de

Poisson de tasa λ = 3/min. Si un trabajo recién llegado tiene una probabilidad 2/10 de pasar

directamente a la impresora y 8/10 de pasar al procesador central.

a. ¿Cuál es la probabilidad que en los últimos 5 minutos ningún trabajo pase a la

impresora?

b. Si 4 trabajos han pasado directamente a la impresora durante los últimos 5

minutos ¿Cuál es el valor esperado de los trabajos llegados durante ese periodo?

10) Las ordenes de compra de una central de ventas por correo llegan de acuerdo a Poisson de

tasa λ = 10 /día. Si 2 administrativos A y B procesan las ordenes en forma determinística

alternada comenzando por A. Sea NA(t) el número total de ordenes procesadas por A en (0,t) .

Sean T1, T2, …. Los tiempos aleatorios entre llegadas de las ordenes.

a. ¿Cuál es la distribución de probabilidades de Ti?

b. ¿Es NA(t) un proceso de Poisson y porque?

11) Una compañía de seguros paga las pólizas de choques de acuerdo a un proceso de Poisson de

tasa 5/semana. Si la cantidad de plata pagada en cada póliza esta exponencialmente distribuida

con media $ 200¿Cuáles son la media y la varianza de la cantidad total pagada por la compañía

en un periodo de 4 semanas?

12) A la estación Salvador del Metro llegan personas de acuerdo a un proceso de Poisson de tasa

λ pasajeros /min. Los tiempos entre pasadas sucesivas de trenes por la estación son variables

aleatorias idénticamente e independientemente con distribución uniforme entre 3 y 5

minutos. Supongas que la subida de pasajeros al tren no toma tiempo y que cada tren tiene una

capacidad suficiente para llevar a todos los pasajeros que están esperando.

a. Obtenga una expresión para la distribución de probabilidades del número de

pasajeros que viaja en cualquier tren

b. ¿Cuantos trenes debe pasar por la estación hasta que por primera vez un tren parta

con menos de M pasajeros? ¿Cuanto tiempo transcurre hasta que esto sucede?

13) Al aeropuerto Kennedy de Nueva York llegan aviones de aproximadamente 80 compañías

aéreas, en promedio llegan 20 aviones por minuto. Asuma que el proceso de llegada de

aviones no presenta variaciones de sus tasas a lo largo del día.

a. Suponga que no cuenta con información adicional del proceso de llegada de los

aviones. Indique si el modelo de Poisson seria un modelo razonable para este caso.

b. Si cuenta con información detallada de todos los itinerarios de los aviones que

aterrizan (hora de salida y tiempo estimado de llegada al aeropuerto) ¿Es posible

aplicar el modelo de Poisson en este caso? ¿Sino, que modelo utilizaría?

14) En un control de calidad de una cinta trasportadora de productos de cobre pasan lingotes de

cobre refinados a fuego siguiendo un Proceso de Poisson de tasa = 70 lingotes /minutos y

Cátodos de cobre según Poisson con una tasa de = 60 cátodos /minuto. Si el supervisor va

a la cafetería a tomar café y demora un tiempo exponencial de media 0,5 minutos:

a. ¿Cuál es la probabilidad que pase un cátodo antes que termine de tomar café?

b. ¿Cuál es la distribución del número de unidades totales (cátodos + lingotes) a

inspeccionar que se acumulan durante el tiempo que toma café?

c. Si cada lingote que pasa por la cinta resulta defectuoso con probabilidad ¼

entonces: ¿Cuál es la probabilidad que entre el 1 y 3 minutos hayan pasado a lo

más 50 lingotes defectuosos?

15) A un negocio llegan 30 clientes por hora según un proceso Poisson. Qué porcentaje de los

tiempos entre sucesivos arribos serán:

a. Mayores que 2 minutos

b. Menores que 4 minutos

c. Entre 1 y 3 minutos.

16) Llegan clientes a una ventanilla de un banco según un proceso de Poisson. Sabiendo que han

llegado cuatro clientes entre las 9 y las 10 AM, calcular la probabilidad de que el tercer

cliente haya llegado entre las 9:20 y las 9:30 AM y el tiempo esperado de llegada del tercer

cliente.

17) Suponga que el número de vehículos que pasan frente a un restaurante en el camino a Viña se

rige por un proceso de Poisson de tasa 70 vehículos / hora. De estos vehículos 20% son

camiones y el resto autos. Si el 10% de vehículos que pasan se detiene en él e ingresan al

restaurante. Si cada camión sólo lleva a una persona y el número de personas que llevan los

autos es de 1, 2, 3, 4, o 5 con probabilidades 0.3, 0.3, 0.2, 0.1 y 0.1 respectivamente. Calcule

el número esperado de personas que ingresan al restaurante en una hora.

18) Se puede tomar dos líneas de micros para venir a la U. Una línea de micros expreso que

demora 15 minutos promedio en el viaje y que pasa por la plaza de acuerdo a la distribución de

Poisson de tasa λE = 5/hora y una línea de micros normal que demora 30 minutos en promedio

hacer el viaje y que pasa por la plaza de acuerdo a Poissson de tasa λN = 10/ hr. Si usted

acostumbra a esperar en la plaza y tomar la primera locomoción que pasa:

a. ¿Cuánto tiempo le toma en promedio esperar en la plaza por viaje?

b. ¿Cuánto tiempo le toma en promedio viajar desde la plaza hasta la U por viaje?

19) Si los clientes llegan a un banco de acuerdo a un Proceso de Poisson de tasa λ/hr. Si Pedro y

Juan llegaron durante la primera hora.- ¿Cuál es la probabilidad qué?

a. Ambos hallan llegado durante los primeros 20 minutos.

b. Al menos uno de ellos haya llegado durante los primeros 20 minutos