GUIA N° 1 MATEMATICA II.
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Docentes: Octavio Echeverry Valencia. Luis Fernando Arias Ramírez.
GUIA N° 1 MATEMATICA II
FUNCIONES DE TIPO R EN R
CONCEPTO Y DEFINICION DE FUNCION.
Una función f de un conjunto A en un conjunto B notada f: A B es una ley que asocia
a cada elemento de A exactamente un elemento de B; el conjunto A se denomina
dominio de la función, el conjunto B se denomina codomínio y los elementos de B que
están asociados con los elementos de A forman otro conjunto denominado rango de la
función.
Si x es un elemento del dominio, la notación f(x) se utiliza para designar el elemento que
en el recorrido corresponde a x en la función f, y se denomina valor de la función f en x o
imagen de x por f. El dominio de f se nota por Df y el recorrido de f por Rf.
Ejemplo 1. Dados los conjuntos:
A = {1,2,3,4,5}
B = { 25,20,16,10,9,8,7,6,5,4,2
7,
2
5,2,
2
3,1,
2
1}
Y las funciones definidas por:
f(x) = 2x, g(x) = x², h(x) = x/2, con x € A y f(x), g(x) y h(x) € B.
Encontremos el dominio y el recorrido de cada una de las siguientes funciones:
f(x) = 2x,
f(1) = 2(1) = 2,
f(2) = 2(2) = 4,
f(3) = 2(3) = 6,
f(4) = 2(4) = 8,
f(5) = 2(5) = 10.
Df = A y Rf = {2,4,6,8,10}.
g(x) = x²,
g(1) = 1² = 1,
g(2) = 2² = 4,
g(3) = 3² = 9,
g(4) = 4² = 16,
g(5) = 5² = 25
Dg = A y Rg = {1,4,9,16,25}.
h(x) = x/2,
h(1) = 1/2,
h(2) = 2/2 = 1,
h(3) = 3/2,
h(4) = 4/2 = 2,
h(5) = 5/2
Docentes: Octavio Echeverry Valencia. Luis Fernando Arias Ramírez.
Dh = A y Rh = {1/2, 1, 3/2, 2, 5/2}.
Ejemplo 2. Las siguientes ecuaciones definen funciones de A en R. Determinar el
dominio de cada una de ellas.
f(x) = 2x – 3
g(x) = 3/(x-4)
h(x) = 42 x
Como se observa al graficar f(x), está definida para cualquier valor real de x; luego Df= R
Como se observa al graficar g(x), está definida para todos los valores de x tales que el
denominador sea diferente de cero.
X – 4 ≠ 0; es decir x ≠4.
Por tanto Dg = R - {4}.
Como se observa al graficar h(x), está definida para valores de x tales que el radicando
sea mayor o igual a cero. Es decir 2x – 4 0 o x 2 Luego Dh = [2, ) .
Docentes: Octavio Echeverry Valencia. Luis Fernando Arias Ramírez.
TRABAJO INDIVIDUAL No 1
Encuentre los valores propuestos en cada una de las siguientes funciones de A en R con
A R .
1. Si f(x) = 3x – 2, Halle f(-1), f(0), f(2), f(2/3).
2. Si g(x) = 3x² - 1, Halle g(-1), g(0), g(2), g(3).
3. Si h(x) = 13 x , Halle h(-1/3), h(0), h(5), h(8).
4. Si m(x) = 2x – 1/x, Halle m(2), m(4), m(-4), m(-2).
Elabore la gráfica de las siguientes funciones y halle su dominio.
1. n(x) = 3 Función constante.
2. r(x) = 3x – 6 Función lineal.
3. s(x) = 2 x² Función cuadrática.
4. w(x) = x³ Función cúbica.
5. p(x) = x/(x² - 9) Función Racional.
6. t(x) = 3x Función de raíz cuadrada.
7. v(x) = 2 x Función exponencial.
8. y(x) = xlog2
Función logarítmica.
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FUNCION SUMA Y FUNCION DIFERENCIA.
Sean f y g dos funciones con dominios A y B respectivamente; entonces las funciones
suma y diferencia f + g y f – g se definen asi:
(f + g) (x) = f(x) + g(x). Dominio de (f + g) = A ∩ B
(f - g) (x) = f(x) - g(x). Dominio de (f - g) = A ∩ B
TRABAJO INDIVIDUAL No 2
Determine el dominio de f + g y f – g para las siguientes funciones.
1. f(x) = 3x – 3, g(x) = 1x
2. f(x) = 1x , g(x) = 1x
3. f(x) = 2 - 3x, g(x) = 3x
4. f(x) = 2
2
x
x , g(x) =
12
5
x
x
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FUNCION Y PRODUCTO Y COCIENTE
Sean f y g dos funciones con dominios A y B, respectivamente, entonces la función
producto f.g se define asi:
(f . g) (x) = f(x). g (x). Dominio de (f . g) = A B
(f/g) (x) = .)(
)(
xg
xf Dominio de
g
f = }0)(/{ xgBxBA
TRABAJO INDIVIDUAL No 3
Determine el dominio del producto y cociente de cada par de funciones
1. f(x) = x - 2, g(x) = x 2 - 1
2. f(x) = 4x , g(x) = 2x -1
3. f(x) = 1
2
x, g(x) =
2
3
x
4. f(x) = 1
2
x, g(x) = x - 3
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COMPOSICION DE FUNCIONES
Dadas dos funciones f y g, la función compuesta (f o g) (x) esta definida por
(f o g) (x) = f(g(x)) que indica que al calcular (f o g) (x) primero se aplica la función g a x y
después la función f a g (x).
Ejemplo
1. Si f(x) = 5x - 2, g(x) = 3x, (f o g)(x) = f(3x) = 5(3x) – 2 = 15x - 2
2. Si f(x) = 5x - 2, g(x) = 3x, (g o f) (x) = g(5x - 2) = 3(5x -2) = 15x - 6
3. Si f(x) = 514)4())((.....4)(,....1 xxxfxgfxxgx
4. f(x) = 2x 9611061)53(2)53())((,53)(,12
2 xxxxfxgfxxg
TRABAJO INDIVIDUAL No 4
Calcule el valor indicado en cada uno de los siguientes ejercicios
1. f(x) = x + 3, g(x) = x 2 f(g(2) = g(f(4)) =
2. f(x) = 23)(,52 xxgx f(g(1)) = g(f(2)) =
3. f(x) = 2)(,32 xxgx f(g(3)) = g(f(1)) =
4. f(x) = 2 ,42 x g(x)= 13 x f(g(-1)) = g(f(-3)) =
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FUNCION INVERSA
Consideremos la función f: [0,1] [1,3] x f(x) = 2x + 1
El recorrido de f es el intervalo [1,3]; cada punto x de [0,1] es llevado por f a un
único punto y de [1,3], a saber, y = 2*x+1 recíprocamente, para todo y de [1,3], existe
un único X en [0,1] para el que y = f(x). Para encontrar este x se resuelve la anterior
ecuación, se obtiene x =2
1(y-1) esta ecuación define x como función de y; si
llamamos g a esta función, tenemos g (y) = 2
1 (y-1) para cada y de [1,3] la función g
se denomina inversa de F.
La inversa de f se nota f 1 .Si la grafica de f contiene el punto (a,b), entonces la gráfica de
f 1 contiene el punto (b,a) y recíprocamente.
TRABAJO INDIVIDUAL No 5
Escriba si existe la función inversa de las siguientes:
1. f(x) = 2x -1
2. g(x) = 6 - 3x
3. h(x) = 2x - 1
4. f(x) = 3x + 5
5. 5(x) = 103 x
6. r(x) = 4( 2x +3)
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FUNCION CRECIENTE DECRECIENTE
Una función f es creciente en un intervalo I, si f( 1x ) < f( 2x ) siempre que 1x < 2x en I
Una función f es decreciente en un intervalo I, si f( 1x ) > f ( 2x ) siempre que
( 1x ) < ( 2x ) en I.
TRABAJO INDIVIDUAL No 6
Elabore la gráfica de cada una de las siguientes funciones e indique los intervalos en
los que dicha función es creciente o decreciente.
1. f(x) = 2x - 3 2. g(x) = 2x - 2x +1 3. h(x) = 5 - x
4. m(x) = 2x +1 5. t(x) = x2 6. p(x) = 1
3
x
x
7. r(x) = (x+3) 2 8. w(x) = x
1 9. z(x) =
x
2
1
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FUNCION VALOR ABSOLUTO
Elaboremos la siguiente función f(x) = x si x>0
0 si x=0
-x si x<0
La función que asigna a cada numero real x el numero no negativo IxI se denomina
función valor absoluto y se define y grafíca como se hizo inicialmente.
TRABAJO INDIVIDUAL No 7
Dibuje la gráfica y halle los puntos de corte con el eje x
1. f(x) = Ix+1I 2. g(x) = I5-xI 3. h(x) = IxI-1
4. m(x) = I3-xI 5. r(x) = 3 - Ix+1I 6. t(x) = I2x+4I-1
7. w(x) = Ix
xI 8. 5(x) = x - IxI 9. h(x) = I 12 x I
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ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
1. Encuentre el dominio y el recorrido de las siguientes funciones
a. f(x) = 2-3x b. f(x) = 1522 xx c. f(x) = Ix+1I -2
d. f(x) = Ix+5I e. f(x) = Ix+1I -2 f. f(x) = 3x
2. Si f(x) = xx 22 y g(x) = 42 x
xhalle lo indicado y su dominio.
a. 3f(x) b. (f+g)(x) c. g
f(x)
3. Si f(x) = 5 42 x y g(x) = 5
3
x
x halle:
a. (f o g) (x) b. (g o f) (x) c. f(f(x)) d. f(g(-4))
4. Indique el conjunto de los números reales para los cuales las siguientes funciones
son crecientes o decrecientes
a. f(x) = -3+4 b. f(x) = 2 12 x c. f(x) = - 3x d. f(x) = IxI