Guia Con Soluciones - Matematica II - Unidad i

7/25/2019 Guia Con Soluciones - Matematica II - Unidad i

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Prof. Alex J. Pineda Matemtica II (08-1824)

Gua Resuelta

I. CONICAS:

1. En cada una de las ecuaciones dadas; identifique a la cnica correspondiente.

N Ecuacin General

Respuesta

Identificacin de las Cnicas

Nombre de laCnica

EcuacinCaracterstica

UbicacinPunto Ppal

Disposicindel Eje Ppal

01 xy 162 Parbola xy 162 V 0;0 ES // X02 yx 162 Parbola yx 162 V 0;0 ES // Y

03 1169

22

yx

Elipse 1169

22

yx

C 0;0 EM // Y

04 364 22 yx Elipse 1936

22

yx

C 0;0 EM // X

05 1169

22

xy

Hiprbola 1169

22

xy

C 0;0 EP // Y

06 100254 22

yx Hiprbola 1425

22

yx

C 0;0 EP // X07 078303 22 xyx Hiprbola 15

3

22

xy C 0;5 EP // Y

08 011181694 22 yxyx Elipse 14

1

9

2 22

yx

C 1;2 EM // X

09 017642 yxy Parbola 243 2 xy V 3;2 ES // X

10 0741025 22 yxyx Elipse 17

1

14

15 22

yx C 1;1 EM // Y

11 0793254169 22 yxyx Hiprbola

19

1

16

3 22

yx

C

1;3 EP // X

12 4422 xyx Hiprbola

188

2 22

yx

C 0;2 EP // X

13 6161222 yxyx Circunferencia

1106

3

106

6 22

yx C 3;6 106

14 05010653 22 yxyx Elipse 158

15

58

13 22

yx C 1;1 EM // X

Universidad de OrienteNcleo de Anzotegui.

Escuela de Cursos BsicosDepartamento de Ciencias

rea de Matemtica


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N Ecuacin General

RespuestaIdentificacin de la Cnica

Nombre de laCnica


Ubicacin delPunto Ppal


15 0482 yx Parbola

2

182 yx V

2

1;0 ES // Y

16 07120484 2 yxy Parbola 2122

5 2

xy V

2

5;2 ES // X

17 3649 22 yx Elipse 194

22

yx

C 0;0 EM // Y

18 03615036259 22 yxyx Elipse 19

3

25

2 22

yx C 3;2 EM // X

19 0146422 yxyx Hiprbola

19

3

9

2 22

yx C 3;2 EP // X

20 ayaxyx 2222 Circunferencia 122 2

2

2

2

a

ay

a

ax C aa; a2

21 363429 22 yx Hiprbola 19

3

4

2 22

yx C 3;2 EP // X

22 842 xy Parbola 242 xy V 0;2 ES // X23 082 xy Parbola xy 82 V 0;0 ES // X

24 0413649 22 yxyx Hiprbola 12

9

2 22

yx

C 2;2 EP // X

25 4002516 22 yx Elipse 11625

22

yx

C 0;0 EM // X

26 032849 22 yyx Elipse

19

1

4

22

yx

C 1;0 EM // Y

27 07423 2 yxy Parbola

6

25

3

2

3

2 2

xy V

3

2;

6

25 ES // X

28 090203025 22 yxyx Elipse 15

523

22

y

x C 5;3 EM // Y


116

39

4

2 22

xy C 2;3 EP // Y

30 0198246 2 yxx Parbola

8

5

3

42

2yx V

8

5;2 ES // Y


3/16


N Ecuacin General

RespuestaIdentificacin de las Cnicas

Nombre de laCnica




31 037183294 22 yxyx Elipse

14

1

9

4 22

yx

C 1;4 EM // X

32 029165449 22 yxyx Hiprbola 19

2

4

3 22

yx

C 2;3 EP // X

33 02018832 22 yxyx Hiprbola 13322 22 yx C 3;2 EP // X

34 0351281501415 22 yxyx Hiprbola 15 172 53 22

yx C 1;5 EP // X


19

1

4

1 22

xy

C 1;1 EP // Y

36 036243649 22 yxyx Elipse 19

3

4

2 22

yx

C 3;2 EM // Y

37 02246472916 22 yxxy Hiprbola

116

4

9

2 22

xy

C 2;4 EP // Y

38 07636128916 22 yxyx Hiprbola

116

2

9

4 22

yx

C 2;4 EP // X

39 029165449 22 yxyx Hiprbola 19

2

4

3 22

yx

C 2;3 EP // X

40 017121035 22 yxyx Punto 02315 22 yx P 2;1 ---41 0322 xx Recta 3x --- R // Y

42 022 yx Recta yx ---45 con

respecto a X

43 062425 2 xyx Parbola

100

151

25

4

25

1 2

yx V

100

151;

25

1 ES // Y

44 0412 2 yy Recta 0y --- R // X


4/16


N Ecuacin General

Respuesta

Identificacin de las CnicasNombre de laCnica




45 042 22 yx Hiprbola 142

22

yx

C 0;0 EP // X

46 05724 22 yxyx Elipse1

131

4

132

131

8

764

22

yx

C

4

1;

8

7 EM // Y

47 020422 22 xyyx Circunferencia 1

81

18

81

4

18 2

2

yx

C

1;

4

1

4

29


15

73

3

5

3

1 2

yx V

15

73;

3

1 ES // Y

49 09724204 2 yxx Parbola 362

5 2

yx V

3;

2

5 ES // Y

50 0284100322516 22 yxyx Elipse

116

2

25

1 22

yx

C 2;1 EM // X

51 01819624124 22 yxyx Hiprbola 125

412

25

34 22

yx C 4;3 EP // X

52 08142 22 xyxy Hiprbola 1

2

4

1

4

2

2

2

xy C

2;41 EP // Y

53 09444 2 xyy Parbola 22

1 2

xy V

2

1;2 ES // X


64

14

4

3 2

2 yx V

64

1;

4

3 ES // Y

55 07442 yxy Parbola

4

342

2xy V

2;

4

3 ES // X

56 041541095 22

yxyx Elipse

15

3

9

1 22

yx C 3;1 EM // X

57 01616 22 yx Elipse 116

22

yx C 0;0 EM // Y


19

1

4

3 22

yx C 1;3 EP // Y


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N Ecuacin General

Respuesta

Identificacin de las Cnicas

Nombre de laCnica




59 099323045 22 xyxy Hiprbola

120

4

16

3 22

xy

C 3;4 EP // Y

60 0144722494 22 xyxy Elipse 19

3

4

4 22

yx

C 3;4 EM // Y

61 03212834 22 yxyx Elipse

116

2

12

1 22

yx

C 2;1 EM // Y

62 0292324164 22 yxyx Elipse 42162

14

22

yx C

2;

2

1 EM // X

63 0101541694 22 yxyx Hiprbola 14

3

9

2 22

yx

C 3;2 EP // X

64 07120484 2 yxy Parbola 2122

5 2

xy V

2

5;2 ES // X

65 03615036259 22 yxyx Elipse

19

3

25

2 22

yx

C 3;2 EM // X

66 07120404 2 xyx Parbola

5

1210

2

5 2

yx V

5

12;

2

5 ES // Y

67 03615036259 22 xyxy Elipse 193252 22

xy C 2;3 EM // Y

68 029541649 22 yxxy Hiprbola 19

2

4

3 22

xy

C 3;2 EP // Y

69 0281242 yxy Parbola 246 2 xy V 6;2 ES // X

70 0296244 22 yxyx Elipse

116

3

4

3 22

yx

C 3;3 EM // Y


16

2

4

1 22

yx

C 2;1 EP // X

72 03615036259 22 yxyx Elipse 19

325

2 22

yx C 3;2 EM // X

73 029165449 22 xyxy Hiprbola

19

2

4

3 22

xy

C 3;2 EP // Y

Leyenda: EM: Eje Mayor ES: Eje de Simetra EP: Eje Principal - : Dimetro


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2. De las ecuaciones dadas en el punto anterior, calcule sus elementos

caractersticos y grafique, en caso de ser parbola, circunferencia, elipse ohiprbola.

3. Resuelva los siguientes ejercicios de aplicacin de cnica.

a) El arco parablico de un puente tiene en su base una anchura B, y en su

centro una altura H. Escriba su ecuacin (escoja el origen de coordenadas

en el suelo, en el extremo izquierdo del arco).

Respuesta: HyH

BBx

164

2

22

b) Un espejo parablico tiene una profundidad de 24cm en el centro, y su

anchura es de 16cm. Halle la distancia del vrtice al foco.

Respuesta:3

2cm del vrtice

c) El reflector de un faro esta diseado de manera que una seccin

transversal a travs de su eje es una parbola y la fuente de luz esta

colocada en el foco. Encuentre el foco suponiendo que el reflector mide 3

pies de dimetro y 1 pie de profundidad.

Respuesta:16

9pies del vrtice


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d) Las dos torres de suspensin de un puente colgante distan entre s por 300m y

se extienden 80m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene forma de

una parbola) es tangente a la calzada en el centro del puente, hale la altura

del cable por encima de la pista a 50m del centro del puente.

Respuesta:9

80m.

e) Demuestre que el vrtice es el punto de la parbola que esta mas cerca del

foco. (Sugerencia: considere pyx 42 ).

Respuesta: Comparando los resultados

arrojados por la ecuacin de distancia entre 2 puntos: pVF con

pyFP , observaremos que para la distancia entre el foco y cualquier

punto existir un incremento en y distancia siempre y cuando este punto no

sea el vrtice. Por cuanto se puede inferir as que el vrtice es el punto ms

prximo al foco.

f) Una nave espacial es vista desde la tierra movindose en ruta parablica, cuyo

foco es nuestro planeta. Cuando la recta que va de la tierra a la nave espacial

forma un ngulo de 90 con el eje de la parbola, la nave se encuentra a 40

millones de millas Qu tan cerca pasara de la tierra la nave espacial?

Considere a la tierra como punto.

Respuesta: 20 millones de millas en su

punto ms cercano.

g) Resuelva el problema anterior, suponiendo que el ngulo es de 75 en vez de

90.

Respuesta:14,83 millones de millas


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h) El cable de un puente colgante pende de forma de parbola. La distancia entre

las dos torres de suspensin es de 150m; los puntos de soporte del cable en

la torre se hallan a 22m sobre la calzada. Halle la distancia al cable, de un

punto de calzada ubicado a 15m de la base una torre

Respuesta: 16,6 m

i) El techo de un vestbulo de 10m de ancho tiene forma semielptica; ademes,

tiene 9m de altura en el centro y 6m de alto en la paredes laterales. Halle la

altura del techo a 2m de cualquier pared.

Respuesta:5

42m

j) Una puerta tiene la forma de un arco elptico (media elipse) de 10 pies de

ancho por 4 pies de altura en el centro. Se va a pasar por la puerta una caja de

dos pies de altura Qu amplitud debe tener la caja?.

Respuesta: no deber ser mas que

35 pies

k) Los puntos A y B estn a 1000m de distancia, y se determina por el sonido de

una explosin escuchada en estos puntos en diferentes momentos, que el

lugar de la explosin esta 600m mas cerca de A que de B. Demuestre que la

localidad de la explosin se restringe a una curva particular, y halle la ecuacin

de dicha curva.

Respuesta: La rama izquierda de

116000090000

22

yx


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II. ANTIDERIVADA DE UNA FUNCION:

1. Resolver las siguientes integrales indefinidas.N Integral Respuesta N Integral Respuesta

01

dxx

xn

n 21

Cn

x

n

x nn

12

1

si 1n 13

dxx

xsen3cos3

2 Cx

3

sec2

Cxx ln2 si 1n 14 31xxdx

C

x

2

1

1

02

du

u

uu 32 C

uu

5

6

5

2 65

25

15 dxxx 21 Cx

3

1 32

03

dxxxx

3 2

2 342

Cx

xx

5

98

2 3 5 16

2

311

x

dx

x C

x

x

4

4

4

1

04 dxx

xx4

Cx

9

44 9

17

dxx

xsen Cx cos2

05

dxxsen

xtg2

21 Cxtgxctg 18 dxyxsen2

C

yx

2

2cos

06

dxx

x3

2

52 Cxxx

2

75

7

120

5

12 3 26 73 5 19

d

sen2cos

Csec

07

dx

x

xx 21 Cxxx ln23

2

2

20 dxxxsen cos4 Cxsen

5

5

08

dxx

xx2

32 23 C

xx

3 2

33 21

dx

xba

x

222 C

b

xba

2

222

09

dxxsen

kxsen2

2

Cxkctgx 22

dxx

x4

2

1

3 xxx

2

13

2

1

1

1

1

10

dx

x

xk2

2

cos

1cos Cxtgkx 23

dx

x

xx3

3

13

xxxx

381

4

1327

4

27

13ln

81

13

11 dxx12 Cxxxx

3

579

12165

1288

7

1248

9

128

12

dx

x

x

1

12 Cx

x

2

2

24

dx

x

xsen

2cos1

2 Cx 2cos12


10/16


N Integral Respuesta N Integral Respuesta

25

dxx

xx

1

12 51

2

Cx

2

15 52

39 dxxx

4

2

81

4

xx

1128

1

81128

1

81384

1

23

26

dxxa

xb544

33

1

C

xaa

b

4444

3

116 40 dxxx 1

2 xx 3

12

5

14

7

1257

27

dx

xx

x

322 11

Cx 2112 41

dx

x

xxsen cos1 Cx

3

cos143

28 dxxx 14

1 Cxx 15

1

16

1 1516

42 231

1x

dx

x C

x

3

3

112

29

dxxa

xxa

23

22

3222 Cxaxa

a

3

322

22

4

43

dxxx

x

14

22

Cxx 142

30

dxxx

8

2

13 Cxx

82944

16

92160

16 910

44 xdx

cos1 Cxxctg csc

31

dx

x

x

31

2

3

61 Cxx

48

61

120

61 32

235

2

45

dx

xx

xsen3

cos

1

C

xx

2cos2

1

32 dxxx 12 Cxx 232

5

125

12 46 dxxx 12 xx 5

1212

53

33 266 xdx

Cx 6

12 47

dx

a

xaax C

axx

3

2

2

32

34 dxxx 2

32 31 Cxxx

27

312

27

314

81

312 21

21

23 48

dx

x

x

csc

cos1 Cx

3

cos123

35 xsendx

1 Cxxtg sec 49

x

dt

t

txxt2

txtxtx

332

3

4

2

36

dx

xtg

x

1

sec4 Cxtgxtgxtg 14

3

14

5

1235 50

dx

x

xsen

csc

cos Cx coscos

37

dt

tsen

ttsen

53

cos Ctsentsen

9

5310

27

5323

51

dxx

x3

2

31

C

x

4

194

3 3

38

dx

x

x

15

13

Cxxx 5

14

15

18

25

14 2

152

352

55 52 dxxxx

22cos48 xxsenxx 22 22


11/16



53 dxxxsen 2cos23 2

Cxsen

5

23

3 5

67dx

xx

31 Cx 9314

3

54 dxctg 2

22csc Cctg 2csc2 68dx

x

x

4

3

11

Cx

x

9

33

9

12

55

dxx

x

13

7

C

xxx

3

14

9

18

15

14 33

35

3 69 dttt 331

221 tt 56

213

32

213 37

234

2

56 dxx32 Cxx 9

328

15

32435

70

dx

xsen

xsen

21

2 Cxsen 212

57 dx

xx

x

2 Cxxx

3

22

5

2

5

355 71

dx

xsen

xctg

22

C

xsen

24

58

dx

x

xsenxctg2

4 Cxsenxsenxxctg

2

242

72

dxxxsen

cos1

3

Cxsenx 2

cos2

59

dx

x

x

3csc

3sec5

C

x

3cos12

14

73 dxxsenx

12

cos Cxsen 12

60 2cos xxsen

dx

Cxxtg

22sec

22 74

dxxx 5

3 4

3

1

Cx

4

3 4116

3

61 dxx

x

42 Cxxx

3

4232

5

4224

7

424357

75

dxx

x

12

3

xx 13

1 23

2

62 dtt

bab

t

a

25

Cat

btaba

6

62

6 76

dx

xsen

x

2

2cos1

2

xxctg csc222

63

dx

xctgxctg

x 11

csc2 Cxctgxctg

3

1133

77

523 sec1cos xxdxxsen

C

x

42sec18

1

64 dx

xtg

x

12

2

C

xxctg

11 78

dxx

x 1 Cx 3

143

65

dttt

tt

310

4

25

3

Ctt

5

3102 25 79 dxx

x

1

2

xxx

1

3

12

5

12

35

66

dx

x

xsen 2csc

5 2

Cxsen 6

5 512

80

dxx

x

3csc

3sec1 2

Cxx 3

sec33

cos3


12/16



81

dx

xsenxsen

xxsen

32241

cos1

C

xsenxsen

21122

1

112

1

4

1

95 xcxdx

tg1sen 2 xc tg12

82 dxxx 52 12

Cxxx

6

1

11

1

16

15

65

115

165

96

dxx

xx

1

122

4

Cxx

3

3

83 x

dx

1

Cxx

13

1

4

3 97

32

15x

dxx

xxx

15

1

15

115ln

125

1

84 23sen3cos xxdx

Cxx 6

6sec

6

6tg 98

11

11

x

dxx xx

11

2

112

2

85 xx

dx

tg1cos 2 Cx tg12 99 xx

dxxx22 sencos

cossen

C

x

2

2cos

86 dxx 44 Cxx

3

4416

5

444

35

100 32 33

5

xx

dxx

xxx

5

33

35

3

5

3

3

22

5

2

15

2

87 dsss 31 2 Csss

3

34

5

34

7

32

357

NOTA: Las respuestas obtenidas en eejercicios pueden variar, segn la metodologa se emplee para la resolucin de alguno de ePor lo tanto esta deber ser tomada solo coreferencia. Si existiera discrepancia entre resultados obtenidos con los mostrados acrecomienda dar valores simples y al azar tanx como a y, dentro del dominio de las funciopara luego despejar a C, este valor deber

igual en ambos resultados.

88

dx

x

x

2cscsen3 2

Cx 8

sen6

38

89

dx

x

x 323cos

3sen4

C

x

223cos3

2

90

3

4

5x

dx

C

x

x

31

32

5

15

2

532

91

x

dxx 31

2 Cx

2

23 34

92 42

3

sec5

sensec

x

dxxx

Cx

32sec561

93

5

2

1

3

x

dxx Cxxx

459

514

5

19

12

14

15

94 dxx 2 Cxx

3

22

3

28

63


13/16


III. ECUACION DIFERENCIAL DE VARIABLE SEPARABLE:

1. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales de variables separables.

N Ecuacin Condicin Respuesta

01 04 2 xdxdyx Cxy 24

02 2

23

'y

xxxf

Cxy

3

3

3

323

03 011 32223 dxyxdyxy Cxy 322 131

14

1

04 xxsendx

yd3cos3

2

2

2133

3cos

3

3CxC

xxseny

05 01csc13sec 2 dxydyxy Cxseny 3

13

2

1cos 2

06 xxf 2cos'' 2 Si

0'

10

f

f

32

33

232

4cos

4

2

xxx

y

07 dtxttdx 22 sec1 Cxsenxtt 4

2

222

42

08 yyxsenyxsendx

dy

y

xcos Cxytg cos2

09 34'' xxf Si

31'

21

f

f

6

478

2

3

3

2 23

xxx

y

10 dyy

xdx

3 Cx

y 2

2

11 01322 dxydyyx Si 01 f 3

11

3

12 3

x

y

12yxxy

xyxyyx

y

428

33'4

3

Si 21 f 45

3

435

3

3 33 x

xy

y

13 yxyxyy 2cos2cos2csc' Cxyctg 2cos2

2

143

3

2

2

2

2'

yy

xy Cxxy

4

232

4

23 4

34

3


14/16


N Ecuacin Condicin Respuesta

15 yyxyxx

y

3

4

4812' Cxxyyy

3

12

5

12

2

1

3

21

2

213212

4

1 3532

16 dxxdyyxyx 2333 6633 Si 01 f

1241

16

1

24

6323

4

x

y

17222

122

3

xyxy

dxdy

x

y Si 21 f

30

7

3

2

5

12

6

1 356

xyy

18 221

2 225

yxxy

dx

dy

x

y Si 12 f

280

59

7

12

8

1

5

2 785

xxy

19 dxxdyyxyx 25331 Si 01 f 6411

112

1

6

143

6

x

y

20222

122

6

xyxy

dxdy

x

y Si 21 f

36

7

6

2

4

1

9

1 689

xyy

21 xdx

yd62

2

2

Si 01 f ypendiente 4

142 23 xxxy

22 dxydyxyxy 25331 Si 01 f C no existe por evaluacin de puntos

NOTA: Al igual que en la seccin anterior, las respuestas obtenidas en estosejercicios pueden variar, segn la metodologa que se emplee para la resolucin

de alguno de ellos. Por lo tanto esta deber ser tomada solo como referencia. Si

existiera discrepancia entre los resultados obtenidos con los mostrados ac, se

recomienda dar valores simples y al azar tanto a x como a y, dentro del dominio

de las funciones, para luego despejar a C, este valor deber ser igual en ambos

resultados.


15/16


2. Resolver las siguientes aplicaciones de ecuaciones diferenciales de variables

separables.

a) La pendiente de la recta tangente de una curva en cualquier punto P(x,y) es

tres veces la raz cuadrada de su abscisa. Si el punto (9,4) esta sobre la curva,

determine la ecuacin de la curva.

Respuesta: 502 3 xy

b) El punto (-2,1) es un mximo relativo de la grfica de f. si dicha grfica

presenta un punto de inflexin en x=0 y la f (x) es igual a 6. Halle la ecuacin

de la curva.

Respuesta: 15123 xxy

c) La pendiente de la recta tangente a la grfica de f en P(3,0) es 2 y su f(x)=2. halle la ecuacin de f

Respuesta: 342 xxy

d) Una recta horizontal es tangente a la grfica de f en2

2x , si

P

36

5;6

6 es un punto de inflexin de f; y xxf 24''' ; halle la ecuacin

de f.

Respuesta: 24 xxy

e) La recta 023416 yx es tangente a la grfica de f en el punto de inflexin

de abscisa -1, si xxf 6''' , halle la funcin f.

Respuesta: 522

3

4

24

xxx

y


16/16


f) Para cierta curva la 1262 xyDx . Si la curva tiene un extremo relativo en el

punto (1,5). Halle la ecuacin de la curva.

Respuesta: 196 23 xxxy

g) Hallar la ecuacin de la curva, cuya recta tangente en el punto 1;1 es

paralela a la recta 01312 yx . Sabiendo que en cualquier punto de ella se

verifica que 1'' 2 xxf

Respuesta: 3

2

4

3

212

24

xxx

y

Guia Con Soluciones - Matematica II - Unidad i

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