Guía de MateriaMatemáticas

Sistemas Numéricos

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Sistemas numéricosI) Conjuntos numéricos:

N = Números naturales N = 1, 2, 3, 4, ….

N0 = Números cardinales N0 = 0, 1, 2, 3, ….

Z = Números enteros Z = -, …-3, -2, -1, 0 , 1 , 2 , 3, …

Z- 0 Z+

Q = Números racionales Q = Todo número que se pueda escribir como fracción(a / b) con a y b perteneciente a los números enteros

Divisor

Dividendo

rDenominado

Numerador

b

a

a) Tipos de fracciones

Fracción común: Aquella en que el numerador es menor que el denominador ej:11

5

Fracción impropia: Aquella en que el numerador es mayor que el denominador ej:7

12

Número mixto: Es el que consta de una parte entera y una fracción ej:4

32

b) Transformación de fracción común a número decimal y viceversa:

i) Fracción común a número decimal

4

3= 3 : 4 = 0,75 Se divide el numerador por el denominador.

ii) Decimal finito a fracción

0,625 =1000

625=

8

5Se pone en el numerador el número sin coma, y en el denominador

un 1 seguido de ceros según la cantidad de cifras que tenga después de la coma.

iii) Decimal infinito periódico a fracción

11

9

99

243

99

224545,2

En el numerador se pone el número sin coma y se le resta el

número que no esta bajo el periodo. En el denominador se ponen nueves según la cantidad de cifras bajoel periodo.

iv) Decimal infinito semiperiódico a fracción

12

19

900

1425

900

1581583358,1

3

En el numerador se pone el número sin coma y se le resta el número (sin coma) que no está bajo elperiodo. En el denominador se ponen nueves según la cantidad de cifras del periodo, seguido de cerossegún la cantidad de cifras entre la coma y el periodo.

Q* = Números irracionalesEs el conjunto de los números decimales infinitos no periódicos. Son números que no pueden ser

expresados como fracción. Ejemplos:

R = Números realesSon la unión de los números racionales y los irracionales.

R = Q Q*

N N0 Z Q Q*

R

...71828,2

...1416,3

...732050807,13

...414213562,12

e

4

II) Operaciones en los conjuntos numéricos

- Adición Prioridades- Sustracción 1) Paréntesis- Multiplicación 2) Multiplicación o división- División 3) Suma o resta

Ejemplo:2 + 5 3 + 27 : (15 + 5 – 17) – 2 + 5 4 =

2 + 5 3 + 27 : 3 – 2 + 5 4 =

2 + 15 + 9 – 2 + 20 =

17 + 9 – 2 + 20 =26 – 2 + 20 =

24 + 20 =44

Propiedades

A) Neutro aditivo = 0B) Neutro multiplicativo = 1C) Inverso aditivo (opuesto) de “a” = – a

D) Inverso multiplicativo (reciproco) de “a” =a

1

III) Elementos en los conjuntos numéricos

Divisores: (o factores) de un número, son los números que dividen exactamente al número. El cero no esdivisor.

Ejemplo:Divisores de 30 = { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30}

Múltiplos: de un número, son todos los números que son divisibles por dicho número. El cero no esmúltiplo.

Ejemplo:Múltiplos de 5 = { 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , …}

Números primos:Número primo es aquel número que tiene sólo 2 divisores diferentes: el 1 y el mismo. El 1 no es primo.Ejemplo: 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , ….

Número compuesto: Es aquel número que tiene tres o más divisores. El 1 no es compuesto

Reglas de divisibilidad: Sea n Z, entonces

i) n es divisible por 2 si termina en dígito parii) n es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 3iii) n es divisible por 4 si el número formado por sus 2 últimos dígitos es divisibles por 4iv) n es divisible por 5 si termina en 0 o 5v) n es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 a la vezvi) n es divisible por 8 si el número formado por sus 3 últimos dígitos es divisibles por 8vii) n es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es múltiplo de 9viii) n es divisible por 10 si termina en 0

Mínimo común múltiplo MCM:

Dados 2 o más números naturales, al menor entre sus múltiplos comunes se le denomina mínimocomún múltiplo.

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Ejemplo: MCM entre 12 ; 18 y 30

12 = 22 31 = 22 31 50

18 = 21 32 = 21 32 50 22 32 51 = 4 9 5 = 18030 = 21 31 51 = 21 31 51

Máximo común divisor MCD:

Dado 2 o más números naturales, al mayor entre sus divisores comunes lo llamaremos M.C.D.Ejemplo: MCD entre 12 ; 18 y 30

12 = 22 31 = 22 31 50

18 = 21 32 = 21 32 50 21 31 50 = 2 3 1 = 630 = 21 31 51 = 21 31 51

Números consecutivos… , n – 2 , n – 1 , n , n + 1 , n + 2 , n + 3, …

Antecesor de n es n – 1Sucesor de n es n + 1

Valor absoluto de un númeroEs la parte numérica del número, es decir no se considera el signo

Ejemplos: |–2| = 2|10| = 10

4

3 =

4

3

Parte entera de un númeroEs el mayor entero, menor que el número

Ejemplos: [3,1] = 3[5,8] = 5[-4,2] = -5

Notación científica:Se utiliza para representar en forma mas abreviada un número real. Siempre se debe expresar

con un digito (distinto de 0) antes de la coma.Ejemplo:

a) 3.500.000 = 3,5 1.000.000 = 3,5 106

b) 0,000008 = 8 0,000001 = 8 10-6

Aproximación de un número

a) Por redondeo:Al aproximar por redondeo se toma en cuenta el dígito siguiente al del dígito que se desea redondear, sies mayor o igual a 5, el dígito de redondeo aumenta en uno, de lo contrario se mantiene igual.

Ejemplo: aproximar 0,5879 a la centésima = 0,59

b) Por truncamiento:Al aproximar por truncamiento no se toma en cuenta el dígito siguiente al que se desea aproximar,simplemente se trunca (o se corta).

Ejemplo : aproximar 0,5879 a la centésima = 0,58

VII) Series de números

Son una sucesión de números que cumplen con un patrón de formación.Ejemplos:1) 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , …

6

Su patrón es 12 , 22 , 32 , 42 , 52 , 62 , …, n2

2) Las siguientes figuras están hechas con palos de fósforos, ¿Cuántos fósforos se necesitan en la sextafigura?

fig.1 fig. 2 fig. 3

Su patrón es:Palos: 4 , 4 + 3 , 4 + 2 3 , …, 4 + (n – 1) 3

Sexta figura = 4 + (6 – 1) 3 = 19