Los números reales

Números naturales, números enteros y números racionales

Conjunto de los números naturales: N N = {0, 1, 2, 3, 4, ........}

Al considerar para cada a N un nuevo número, – a, al que llamamos opuesto de a, ampliamos NN a ZZ. Esto equivale a exigir que la ecuación x + a = b, con a, b N tenga siempre solución.

Conjunto de los números enteros: Z Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, ........}

Al exigir que la ecuación q . x = s, con q, s ZZ tenga siempre solución, ampliamos el conjunto de los números enteros a los números racionales.

Conjunto de los números racionales: Q Q = {a/b : a, b Z, b Z, b 0 0}

Números decimales y expresión decimal• La expresión decimal de un número racional o es finita o es periódica• Cualquier número cuya expresión decimal sea finita o periódica es una

número racional

Período: cuarto bloque.Parte entera

q = 2‚ 4 78 78 78 78 …….

Anteperíodo Período: primer bloque.

Un número decimal periódico:

Expresión fraccionaria de los números decimales

Pasos:

• Primero. 1000q = 2478,787878….

• Segundo. 10q = 24,78787878.…

• Tercero. 990q = 2478 – 24

• Cuarto. q = 2478 - 24

990 = 2454990 =

409165

Para convertir el número q = 2‚ 4787878……. en fraccionario

Densidad de los números racionalesEntre dos números racionales existen infinitos números racionales

qo q1(qo + q1)/2

=

q2

(qo + q2)/2=

q3(qo + q3)/2

=

q4

Aunque qo y q1 estén muy próximos este procedimiento se puede seguir indefinidamente. Por ello se dice que los números racionales son densos

Los números decimales que no son racionales se llaman irracionales: son números decimales que no se pueden expresar en forma de fracción

El número no es racional

2 = ab

2 = a2

b2

2b2 = a2

2b2 = 4k2

2 divide a a

a = 2k

2 divide a b

ab fracción irreducible

ImposibleImposible

ab fracción reducible

b2 =2k2

2

Los números irracionales• Los números irracionales tienen una expresión decimal no periódica e infinita• Los números irracionales junto a los racionales forman los números reales: se

escribe R = Q I

Ejemplos• El número con 1000 cifras decimales3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899

862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642.

• Un número decimal de expresión no periódica.2,020020002000020000020000002000000020000000020000000002…...

Representación de números reales: enteros

1 u.

0

1 u.1 u.1 u.1 u.

–3

1 u.

1

1 u. 1 u.

4

1 u.5/5

Representación de números reales: racionales

1 .

O

1 .1 .

1 .1 .

1 .

1/5 2/5 3/5 4/5

2

Representación de números reales

O

1 u.

1 u.

2

2

1 u.

3

3

Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un número real equivale a señalar un punto en la recta

Sucesivas ampliaciones de los números

–1

RRRR

0 1 21/2–2

–1–2

QQ

QQ

0 1 2–1–2 1/2

2

0 1 2ZZ

ZZ

NN NN

0 1 2

Intervalos abiertos y cerrados• Intervalo abierto: (a, b) = {r R / a < x < b}

a b

Los extremos no pertenecen al conjunto

• Intervalo cerrado: [a, b] = {r R / a x b}

a b

Los extremos sí pertenecen al conjunto

Intervalos semiabiertos (o semicerrados)

• Intervalo abierto por la derecha: [a, b) = {r R / a x < b}

a b

• Intervalo abierto por la izquierda: (a, b] = {r R / a < x b}

a b

El extremo izquierdo pertenece al conjunto; el derecho no.

El extremo izquierdo no pertenece al conjunto: el derecho sí.

Valor absoluto|a| =

a si a 0-a si a < 0

Significado geométrico del valor absoluto de la diferencia de dos números

Longitud del segmento AB =distancia entre los puntos A y B = |b – a| = |a – b|

O

A

a

B

b

Propiedades del valor absoluto• | a | 0• | a | = | – a |

• | a .b | = | a | . | b |• | a + b | | a | + | b |

Potencias de exponente natural. Raíces

Dado un entero n > 0, se llama a elevado a la n-ésima potencia al producto de a consigo mismo n veces.

n factores

an = a . a . ..... . a

base

potencia o exponente

na es un número b, que elevado a la n-ésima potencia da a

b = n

a bn = a

radicalradicando

Número de raíces Si b =

na

par

impar

a > 0: dos raíces

a < 0: sin raícesn: índice del radicando

cualquiera que sea a, hay exactamente una raíz

Exponentes enteros y fraccionarios

Producto de potencias de la misma base

Cociente de potencias de la misma base

Potencia de potencia

Producto de potencias del mismo exponente

Cociente de potencias del mismo exponente

am . an = am+n

am / an = am-n

(am)n = am.n

am . bm = (a.b)m

am / bm = (a / b)m

Se mantienen las propiedades de las potencias

Potencias de exponente negativo: a-n = 1an.

Potencias de exponente cero: a0 = 1, cualquiera que sea a

Potencias de exponente fraccionario

Dado un número real a 0 y un número racional mn se define: a m/n = (

na )m =

nam

Las propiedades de las raíces son un caso particular de las propiedades de las potencias

Como raíces Como potencias

I. Raíz de un producto n a . b =

n a .

n b (ab) 1/n = a1/n . b1/n

II. Raíz de un cocienten

ab =

n a

n

b

a

b

1/n=

a1/n

b1/n

III. Raíz de una raízm

na =

m n

a

(a1/n)1/m = a (1/n) . (1/m) =a1/(mn)

Redondeo

Para redondear 2 + a tres cifras decimales

2 + = 5,14......

2 + = 5,1415...

2 + = 5,142 con tres cifras decimales

1. Se escriben la parte entera y las dos primeras cifras decimales

2. Antes de escribir la tercera cifra decimal del redondea, se mira la cuarta cifra decimal

3. Si la cuarta cifra decimal es menor o igual que 4, se toma como tercera cifra decimal la actual

Si la cuarta cifra decimal es mayor o igual que 5, se toma como tercera cifra decimal la actual más uno

Cuando se toma la aproximación más cercana a un número irracional, con un número decimal, se dice que se ha redondeado

Notación científicaTodo número decimal se puede expresar en la forma a . 10 k, donde –10 < a < 10 y k

Z.• k es el orden de magnitud del número• Las cifras de a se llaman cifras significativas• El número de cifras significativas con que se expresa un número indican el grado de

precisión con que se conoce, es decir, el error absoluto que se puede cometer

Aproximaciones y errores. Notación científica• Se llama error absoluto al valor absoluto de la diferencia entre el valor real x de

un número y su valor estimado x. Se designa por = | x x | • Casi nunca se conoce exactamente el error: sólo se debe aspirar a acotarlo

^^

Se escribe x = x ^

De aquí se puede deducir que el error absoluto de una suma o diferencia es menor o igual que la suma de los errores absolutos de los términos

• El error relativo es = / | x |• No se puede conocer su valor: como antes sólo se debe aspirar a acotarlo• Se suele expresar en %