PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIA

SIMULACIN DE SISTEMAS Gua de Output Analyzer

El Output Analyzer es una til herramienta de Arena que nos permitir analizar data generada a partir de la ejecucin de nuestros modelos. 1. ARCHIVOS DE DATOS DE SALIDA Los Output Data Files son generados a partir de una o ms rplicas. stos archivos son creados cuando un nombre de Output File es especificado para grabara observaciones individuales de una estadstica en particular. Contienen cada observacin individual del estadstico y el tiempo en que la observacin ocurri. Por ejemplo, si una estadstica fue recolectada, sobre el nmero de entidades en cola, el reporte resumen presentado al final de cada replica provee la media, el coeficiente de variacin, valor mnimo y mximo de los valores observados. Si el estadstico adicionalmente fue guardado en un Output File, entonces ste archivo contendra la data grabada de cada cambio en la longitud de cola proveyendo el tiempo en que la longitud de cola cambi y cual fue el nuevo nmero de entidades en cola. Este archivo puede ser ploteado o de lo contrario analizado en el Output Analizer. Los Output Data Files tambin pueden ser creados por las opciones del OutputAnalyzer, como resultado de filtrar informacin para truncar periodos de calentamiento. Estos archivos contiene el mismo tipo de informacin (tiempo de la observacin y valor guardado) como archivos generados directamente a partir de una rplica de la simulacin. Tambin, un output file puede ser creado cargando data externa en el Output Analyzer y grabndola como un nuevo Output File. Esto puede ser muy til para comparar los resultados de una corrida de la simulacin con la data actual del sistema con el propsito de validad un modelo de simulacin. Todas las herramientas del Output Analyzer operan idnticamente, sin importar el origen del Output File. Hay siete tipos de Output Files: Counters, Cstat, Dstat, Frequency, Tally, Output y Batched. Los valores contenidos en los cuatro primeros tipos son tratados por el Output Analyzer como persistentes en el tiempo (time-persistent), consideran los valores pasados de las variables as como los valores actuales. Los Output Files generados a partir de Tally y Batched, son tratados como archivos basados en observaciones, ignorando el tiempo en el cual la variable cambia sus valores. Todos los archivos con excepcin de los tipos Batched son creados a partir de corridas de simulacin, usando el template Elements o el mdulo de Statistics del template Common panel puede definir stos archivos. Los Output Files tipo Batched son generados por las opciones del Output Analyzer, guardando valores que son el resultado de algn tratamiento sobre un Output File de los otros tipos. La siguiente tabla muestra cada tipo de Output File y donde debe ser definido en Arena y los template de SIMAN. Nota: Hay mdulos de otros template que tambin pueden crear Output Data Files.

Tipo Archivo Definido por el Mdulo/Opcin de Output Analyzer Counter COUNTERS (Elements panel) Cstat CSTATS (Elements panel) Dstat DSTATS (Elements panel) Frequency FREQUENCIES (Elements panel), Tally TALLIES (Elements panel) Output OUTPUTS (Elements panel), Batched Batch/Truncate Obsns, Moving Average, Histogram,

Correlogram options of Output Analyzer

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1.1 Generacin de Output Data Files a partir de un Modelo de Arena

a. Sistemas No Terminales

Para Sistemas Terminales, dado que tenemos una nica rplica, lo que nos importar es poder determinar un Output Data File que contenga data de tipo tiempo persistente, es decir que no slo muestre el valor final de la variable estadstica determinada sino la sucesin de valores y sus respectivos cambios en el tiempo que dura la simulacin. Emplearemos en este caso puntual Output Data Files generados en el ELEMENT Dstats. Ya conocemos que este Element permite incluir estadsticos puntuales en el Reporte SIMAN, lo que haremos simplemente es para un estadstico definido, que se genere un Output Data File, o archivo de salida que contenga para el estadstico los valores y cambios en el tiempo. Este archivo se crear al ejecutar el modelo y se grabar en un destino que nosotros indiquemos como un archivo de extensin .dat.

Para generarlo simplemente ingresamos en el ELEMENT Dstats, en el estadstico definido por ejemplo: el TAVG (tsistema) y procedemos a emplear un operand que hasta el momento no habamos empleado, el Operand Output File. En l se define la ruta donde se grabar el Output Data File creado conteniendo la data del valor de TAVG durante el tiempo de la simulacin. La ruta es especifica colocndola entre comillas, con la ubicacin en el Disco y estructura de flderes. Si se desea generar en el Disco C por ejemplo se debera colocar en el Operand Output File: C:\tiempo.dat. Con esto se generara en la ubicacin C: un archivo con el nombre tiempo y extensin dat. ste es un Output Data File de tipo

Dstat, que puede ser abierto en el Output Analizer.

b. Sistemas Terminales

Para Sistemas Terminales, lo que se necesita es obtener de cada rplica un solo valor de una observacin dada, de manera que luego se puedan construir con ellos intervalos de confianza. Bajo esta perspectiva, lo que se necesita es generar un Output Data File que no sea tiempo persistente sino que simplemente contenga un valor del estadstico requerido por cada rplica, es decir que sea un Output Data File basado en observaciones. Como el ELEMENT Dstats nos permite obtener estadsticos tiempo persistentes, para el caso de Sistemas Terminales no es el adecuado. Emplearemos en stos casos el ELEMENT Outputs

Similarmente al caso anterior, lo que debemos hacer es indicar una ruta donde se generar el Output Data File asociado al estadstico que se desea calcular. Si por ejemplo se requiere el TAVG (tsistema) de un sistema terminal lo que se debe colocar en el ELEMENT Outputs de dicho modelo ser (asumiendo que se quiere generar el archivo .dat en C) en el Operand Output File: C:\tiempo.dat. Esto generar un archivo de nombre tiempo y extensin dat en el disco C. OBSERVACION: De generarse un error al momento de generar el archivo dat los principales motivos pueden ser que se especifique una ruta no existente que se intente crear un archivo en una ruta sin autorizacin para crear archivos. En

dicho caso debe simplemente modificar la ruta donde se crea el archivo.

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1.2 Abrir Output Data Files en Output Analyzer

Como ya se tienen los Output Files generados es posible abrirlos en el Output Analyzer. El OUTPUT ANALIZER se instala con la opcin de instalacin completa del Arena, en la misma carpeta. Para abrirlo se sigue la siguiente ruta; Inicio \ Todos los programas \ Rockwell Software \ Arena 9.0 \ Output Analyzer

Una vez iniciado el programa se mostrara la siguiente pantalla

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El primer paso consiste en ir a File \ New alternativamente darle clic al icono de hoja nueva en la barra

Con lo cual se abre la ventana de la nueve hoja de trabajo. Luego le damos clic a Add y buscamos en la ubicacin del disco donde se crearon los archivos. Los archivos de la parte anterior fueron creados directamente en la raz C del disco. Seguiremos analizando para efectos de la gua empleando los mismos archivos que fueron trasladados ahora a la Carpeta Escritorio y dado que ambos tenan el mismo nombre el tsistema del sistema terminal fue renombrado como tiempo2.dat. Abrimos como ejemplo entonces el archivo tiempo.dat

Luego de esto se obtiene ambos Output Data Files cargados en el Output Analyzer. Para cada se muestra un serie de propiedades dividas por comas. La estructura es:

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Nombre del archivo tipo dat, Nmero de rplicas, Tipo de Output File, Nombre del Indicador Estadstico

Para el desarrollo de los prximos ejemplos se han generado a partir del mismo modelo de Arena dos Output Data Files adicionales, LongitudpromedioCola.dat con el DAVG(ColaInspeccin.NumberinQueue) de tipo DStat y CAC.dat con el NC(CAC) de tipo Dstat tambin. 2. OPCIONES GRFICAS DE MUESTRA DE DATOS

Existen una serie de opciones grficas que el Output Analyzer permite efectuar sobre los Output Data Files cargados. Dentro de ellas estn:

2.1 Grfico de Barras (Barchart)

La opcin de Barchart genera un grfico de barras para un Data File especfico. Para agregar un grfico de barras se puede acceder a la ruta Graph > Barchart (o dar clic en el icono encerrado en

un circulo rojo en el grfico lateral dentro de la barra de herramientas de opciones grficas). La variable independiente graficada en el eje X es el tiempo simulado. El

Barchart mostrar los valores de la variable en el Data File para el rango de tiempo entre el Begin Time hasta el End Time. El rango de los valores del eje Y se mostrarn desde el Min Value hasta el Max Value definido.

El grfico siguiente muestra un grfico de barras generado a partir del Data File tiempo.dat sin especificar valores en los campos de Begin Time, End Time, Min Value y Max Value

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2.2 Histograma (Histogram)

Histogram genera un histograma valores almacenados en un Data File. Para Data Files basados en observaciones, el nmero de observaciones en cada celda (entindase por celda a cada intervalo del histograma) es la frecuencia absoluta de la celda, y este valor dividido entre el total de las observaciones es la frecuencia relativa de la celda. Para Data Files tiempo-persistentes, el tiempo en el que una variable mantiene un valor dentro del rango de una celda es usado para calcular la

frecuencia de la informacin. Para agregar un histograma se puede acceder a la ruta Graph > Histogram (o dar clic en el icono encerrado en un circulo rojo en el grfico lateral dentro

de la barra de herramientas de opciones grficas).

Las caractersticas de un histograma son definidas especificando los campos de Histogram Cells: Number (Nmero), Lower Limit (Limite inferior para la primera celda) y Width (el ancho de cada celda). Una celda abierta es agregada al fin de cada histograma para calcular las observaciones que no caen en las celdas interiores. Es factible tambin dejar los datos en blanco, en cuyo caso de acuerdo al nmero de datos (en caso de Data Files basados en observaciones) o de los valores en un intervalo de tiempo (para Data Files tiempo-persistentes) se genera automticamente un intervalo. La frecuencia de las celdas y

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frecuencias relativas consideradas para el histograma puede ser grabada especificando uno o ambos de los campos de Save Cell Frecuency Fields. Para el ejemplo a continuacin se emple el Output Data File CAC.dat generado a partir del mismo modelo inicial. Se dejaron los Histogram Cells en blanco para que el Output pueda generar un histograma automticamente obtenindose el siguiente:

Como el Data File CAC.dat es de tipo tiempo-persistente (fue generado a partir de un ELEMENT Dstats), el histograma muestra para diferentes intervalos que muestran los valores factibles del NC(CAC) (con un Width asignado automticamente por el Output Analyzer de 2) las frecuencias relativas y absolutas acumuladas en base al tiempo de la simulacin que se mantuvo un valor del NC(CAC) en cada intervalo. Por ejemplo para le primera lnea se tiene que el NC(CAC) tuvo un valor entre 0 y 2 durante 2427 unidades de tiempo en la simulacin. Como la longitud total de la simulacin fue de 700 la frecuencia relativa en este primer intervalo es de 0,3467 que equivale a 2427/7000.

2.3 Promedio Mvil (Moving Average)

La opcin de Moving Average genera data suavizada al promediar las actuales observaciones de un Data File especfico, hasta la observacin actual (promedio acumulado) o hasta un nmero preescrito de periodos (promedio mvil). Tambin podra ser usado para generar pronsticos de medias

mviles con suavizacin exponencial (EWMA). Moving Average produce el ploteo del grfico actual y los valores pronosticados. Vase Testine (1982) para ms detalles en el clculo de

pronsticos. Para agregar un promedio mvil se puede acceder a la ruta Graph > Moving Average (o dar clic en el icono encerrado en un circulo rojo en el grfico lateral dentro de la barra de herramientas de opciones grficas).

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Si el Begin Time es especificado, entonces el calculo del promedio/suavizacin empezar en dicho tiempo; note que los cambios en Begin Time pueden cambiar los valores pronosticados ya que stos son calculados empleando todos o algunos de los valores precedentes. El End Time puede ser especificado como el tiempo limite para el cual los valores pronosticados son mostrados, su uso no afecta los valores pronosticados actuales.

Los dos campos Plot Individual Data Points y Display Forecasted Values pueden ser usados para instruir al Output Analyzer cuando tomar valores individuales observados en el ploteo o cuando listar una tabla de observaciones individuales y pronsticos, respectivamente. Por default ambos tipos de informacin son incluidos.

Nota: La data en Data File debe ser filtrada (empleando la opcin de Batch/ Truncate Observations), para colocar las observaciones en los tiempos adecuados antes de aplicar un promedio mvil o suavizacin exponencial; esto no es requerido para los pronsticos acumulados. En el ejemplo siguiente se ha efectuado una suavizacin exponencial de 0,1 al Output Data File colatruncada.flt generado a partir del Output Data File LongitudPromedioCola. Veremos mas adelante como se generan los archivos con extensin flt al emplear la opcin de Batch/Truncate. La suavizacin exponencial nos permite ver de manera mas clara las variaciones entre los datos (compare con el ploteo simple de los datos del Output Data File) de manera que es mas fcil en el caso de un sistema no terminal el identificar el periodo de calentamiento. Segn esta grfica el periodo de calentamiento estara comprendido entre 0 y 1000, mientras que en ploteo de la prxima pgina se pudo haber interpretado como periodo de calentamiento el periodo entre o y 2000. El principal uso de esta herramienta es para la identificacin de periodos de calentamientos de manera mas clara.

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2.4 Ploteo (Plot )

La opcin de Plot genera un ploteo de los resultados de la(s) rplica(s) de una simulacin. La variable independiente (eje X) ploteada es el tiempo simulado. Si un Data File es de tipo tiempo-persistente (p.e Dstat, Counter, Frequency o CStat), cada lnea ploteada ser dibujada por pasos,

empleando lneas horizontales para representar el tiempo en el cual la variables tuvo un valor ploteado determinado y una lnea vertical para representar el tiempo en el cual el cambio ocurri. Data Files basados en observaciones (p.e Tally o Batch) se dibuja sin pasos, es decir con lineas angulares entre los valores observados. Para plotear un Data File se debe acceder a la ruta Graph > Plot (o dar clic en el icono encerrado en un crculo rojo en el grfico lateral dentro de la barra de herramientas de opciones grficas).

Los ejes de ploteo estn delimitados por el rango ingresado en: el eje X por el Display Time from, to y en el eje Y por el Plot Values from, to. Si estos campos son los que salen por default, el Data File ser ploteado considerando todos los valores en el rango del mximo y el mnimo posible de manera que ninguna observacin quede fuera del rango de ploteo. En ele ejemplo inferior se ha ploteado el Output Data File tiempo.dat. Los campos de Display Time y Plot Values se dejaron en blanco de manera que el ploteo incluye la totalidad de datos contenidos en el Data File.

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2.5 Tabla (Table)

La opcin de tabla genera una tabla de observaciones contenidas en un archivo de output. La variable independiente en la tabla es el tiempo simulado. Para generar una tabla a partir de un Data File se debe acceder a la ruta Graph > Table La Tabla es generada para la data contenida en cada Data File para el Time Range especificado. El incremento del tiempo o el nmero de observacin es establecido por el Indepent Variable Increment.

En el ejemplo siguiente se ha generado una tabla para los valores contenidos en el data File CAC.dat, sin especificar un rango de tiempo ni Increment, es decir lo que se busca es una tabla que resuma los momentos de tiempo en los cuales se produce un cambio en el valor del NC(CAC) y el valor de dicho contador.

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3. OPCIONES DE ANLISIS ESTADSTICO DE DATOS Dentro de las opciones de anlisis estadstico que permite efectuar el Output Analyzer estn:

3.1 Batch/Truncate Observations

La opcin de Batch/Truncate Observations lee las variables del Data File y genera un output Data File que esta filtrado por truncamiento o batches. Para acceder a esta opcin se debe seguir la ruta Analyze > Batch/Truncate Observations (o dar clic en el icono

encerrado en un circulo rojo en el grfico lateral dentro de la barra de herramientas de opciones de anlisis estadstico).

a. Truncamiento (Truncate)

El Truncamiento se efecta cuando se quieren remover datos de un Data File. El uso ms comn es para poder retirar los periodos de calentamiento en Data Files tiempo-persistentes empleados para analizar sistemas no terminales, cuando los datos iniciales no son representativos y se quiere analizar los Data Files solo a partir de un comportamiento en los datos que puede identificarse como regular. Se puede revidar el ejemplo anterior visto el ploteo y promedio mvil efectuando sobre el Data File LongitudPromedioCola donde los datos iniciales tienen un comportamiento creciente hasta el tiempo 1000 aproximadamente para luego llegar a un comportamiento semioscilatorio ms estable. Son slo los datos comprendidos luego de ste periodo de calentamiento los que sirven para estudiar un sistema no terminal siendo necesario truncar los primeros.

Los campos de Truncation Type e Inicial Obs/Time especifican el tipo de truncamiento a efectuar y el nmero de observaciones iniciales o periodo de tiempo a truncar. Data Files tiempo persistentes por default emplean truncamiento basado en tiempo, para stos archivos Initial Obs/Time define el tiempo a partir del cual se considerar la informacin, todo tiempo menor a ste no se considerar siendo truncado. Para Data Files basados en observaciones, el default es basado en observaciones, Initial Obs/Time especifica el nmero de observaciones a ser truncadas del

archivo. Se puede especificar sin embargo Tiempo o Observacin con los valores apropiados de Initial Obs/Time para cualquier archivo sin embargo. Siguiendo el ejemplo mencionado en este caso se debera efectuar un truncamiento de tipo Time a partir del tiempo 1000 en el Data File LongitudPromedioCola.dat.

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b. Separacin en intervalos Batches

Al separar la informacin contenida en un Data File en grupos o baches de una longitud determinada permite se calcule para cada uno de estos batches el valor promedio de la variable. De esta manera los n valores observados de la variable contenida en un Data File se convierten en m batches de longitud q cada una, cada batch tiene un valor promedio de la variable inicial, obtenindose entonces luego de efectuar la separacin por batches m valores promedio de la variable. Posteriormente veremos que de acuerdo a la longitud de cada batch, si se observa que exista una correlacin mnima se podr inferior que estos m promedios pueden asumirse como independientes, idnticamente distribuidas y normalmente distribuidas, y podrn construirse intervalos de confianza para la media o varianza de sta variable.

Batch Type especifica el tipo de separacin en grupos o batches a ser efectuado (basado en tiempo u observaciones). El batch por tiempos, promedia los valores de la data original que ocurren en un Batch Size especfico para crear una nueva sola observacin para cada grupo. En este caso el nmero actual de observaciones promediadas en cada nuevo valor puede variar. El Batch por observaciones promedia un nmero especfico de observaciones para formar una nica observacin.

Batch Size especifica el nmero de observaciones o la longitud de tiempo por batch en cada grupo. Si el Batch Type esta basado en observaciones, el Batch Size debe colocarse como un entero (nmero de observaciones por Batch). Su el Batch Type esta basado en tiempo, el Batch Size debe ser ingresado como un valor real constante (periodo de tiempo comprendido en cada batch)

La opcin de Batch/ Truncate Observations crea el Save Batch Means in File especifico con las medias de los batches generados y presenta un

resumen del truncamiento de observaciones o periodo de tiempo y los clculos de los batches efectuados. Este resumen incluye el nmero de batches generados, el nmero de observaciones que son borradas o el tiempo restante y la covarianza estimada entre los batches. Los archivos donde se guardan estos promedios son de tipo flt y se generan en la misma carpeta donde se encuentra el modelo original de Arena por default.

Si se desea en base a este reporte calcular por ejemplo para este caso (Data File tiempo persistente) la longitud original de tiempo de la corrida inicial se puede determinar en base a la relacin: Initial Time Truncated + Number opf Batches * Time Spanned Per Batch = Original Time

1000 + 60*100 = 7000

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3.2 Correlograma

Si el anlisis de un sistema no terminal se efecta ejecutando una sola corrida larga (en lugar de emplear replicas), las observaciones dentro de la corrida generalmente estn auto correlacionadas. En este caso, las formulas tradicionales usadas para computar un estimado de la varianza resultan

en valores que podran estar severamente polarizados negativamente. En lugar de esto, la varianza puede ser estimada estimando la covarianza, asumiendo un proceso de covarianza

estacionaria. [Law and Kelton 1991]. . Para acceder a esta opcin se debe seguir la ruta Analyze > Correlogram (o dar clic en el icono encerrado en un circulo rojo en el grfico lateral dentro de la barra de herramientas de opciones de anlisis estadstico).

La opcin de Correlogram genera un correlograma para una variable especfica almacenada en un Data File. La autocovarianza y autocorrelaciones de la muestra son computadas en un rango entre 1 y el nmero especificado en el campo Maximum Lags. Para una discusin sobre como son calculados lea Pegden et al. [1995]. Los valores de la auto correlacin pueden ser guardados en un data file especificando el Save Autocorrelation Values in File. Las autocovarianzas y autocorrelaciones estimadas son mostradas en una tabla, los valores empleados para construir un intervalo de confianza aproximado para el sistema tambin son impresos.

El uso ms comn sin embargo de la opcin de Correlograma es emplearla para determinar el nmero de observaciones por Batch (Maximum Lags) que nos permitan obtener la correlacin mnima en el anlisis de sistemas no terminales, Es factible separar en batches empleando directamente la opcin anterior sin embargo solo se obtiene un dato numrico sobre la correlacin, mientras que en este caso se obtiene un grfico de cmo la correlacin vara, y es factible buscar un Maximum Lags bajo el cual se obtenga la correlacin mnima.

Tomaremos el Data File LongitudpromedioCola.dat como ejemplo. Truncaremos esta empleando la opcin de Batch/Truncate vista en la parte anterior a partir del tiempo 1000. Grabaremos este archivo como un nuevo Output Data file de extensin flt con nombre LongitudColaTruncada. Sobre este archivo buscaremos el Maximum Lags(observaciones por batch) que nos

permite obtener una correlacin mnima. Probamos inicialmente con un Maximum Lag de por ejemplo 10. Se obtendra el siguiente correlograma.

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Podemos observar que la correlacin es muy alta, por lo tanto se incrementa el Maximum Lags hasta obtener un nivel de correlacin mnimo como lo muestra el grfico siguiente: (En este caso el Maximum Lags fue mucho mayor que el caso anterior fue de 2000)

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Una vez determinado el Maximum Lags por esta opcin se puede regresar a la opcin de Batch/Truncate y definir dicho valor en Size de manera que se genere un archivo de extensin flt que este truncado y separado en Batches. Es decir tomamos el mismos archivo LongitudPromedioCola.dat lo truncamos nuevamente por tiempo en el tiempo 1000 como hicimos en la parte anterior y nuestros batches sern de tipo observaciones con un Size de 2000 observaciones por Batch. Este archivo que contiene ya la data truncada y separada en batches se graba en Save Batch Means in File con el nombre de ColaTruncadayBatches.flt

3.3 Intervalo de Confianza Clsico para la Media

La opcin Classical Confidence Interval on Mean genera intervalos de confianza para las variables almacenadas en un Data File. Asume que las observaciones son independientes, idnticamente y

normalmente distribuidas. Bajo esta perspectiva para el caso de sistemas terminales se pueden analizar directamente los Data Files, mientras que en el caso de los sistemas no terminales deber

truncarse primero el periodo de calentamiento y separar la informacin contenida en el Data File en Batches. (Se analizaran entonces para sistemas terminales archivos tipo dat directamente, mientras que para sistemas no terminales archivos flt) Para acceder a esta opcin se debe seguir la ruta Analyze > Classical Confidence Interval on Mean (o dar clic en el icono encerrado en un circulo rojo en el grfico lateral dentro de la barra de herramientas de opciones de anlisis estadstico).

El Output Analyzer impone una tabla resumiendo la media muestral, la desviacin estndar y el halfwidth correspondiente al Nivel de confianza especifica, mnimo y mximo observado y el nmero total de observaciones. Puede revisarse Pedgen et al (1995) para mayor informacin respecto al clculo de intervalos de con fianza. Si el checkbox de Scale Display es seleccionado, un display grfico de mltiples intervalos de confianza es mostrado de acuerdo al mnimo y mximos contemplados, de manera que se puedan efectuar comparaciones visuales

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Se efecta a manera de ejemplo el intervalo de confianza del archivo truncado y separado en batches en el acpite anterior ColaTruncadayBatches.flt, con un nivel de confianza (Confidence Level) de 95% (OBS: Es factible realizar IC para otros niveles de confianza). Se obtienen el Intervalo de Confianza del grfico inferior en el Output Analyzer.

3.4 Otras Opciones de Anlisis Estadstico

Dentro de las opciones de anlisis estadstico existen tambin las siguientes:

Confident Interval on Std. Dev Permite calcular para un Data File bajo un determinado nivel de confianza intervalos de confianza respecto a la desviacin estndar. Compare Means- Permite comparar las medias entre dos o ms Data Files Compare Variances- Permite comparar las varianzas entre dos o ms Data Files One-Way ANOVA Genera un anlisis de una va sobre los efectos de la varianza en un modelo (ANOVA) a un nivel de confianza especfico, para estudiar la naturaleza de las relaciones estadsticas entre los r niveles de las variables dependientes e independientes de un Data File especfico. Permite tambin efectuar test de comparaciones mltiples empleando los mtodos de Bonferroni, Tukey o Scheffe

Ing. Eduardo Carbajal