Guía preparación Prueba N°1 Métodos de Optimización Resuelta.pdf

Gua preparacin Prueba N1 Mtodos de Optimizacin

I. Solucin por Mtodo Grfico

1. Una compaa de auditores se especializa en preparar auditoras y liquidaciones de empresas

pequeas. Tienen inters en saber cuntas auditoras y liquidaciones pueden realizar mensualmente

para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisin

mensualmente. Una auditora en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de

revisin, adems aporta un ingreso de $300.000. Una liquidacin de impuesto requiere de 8 horas

de trabajo directo y de 5 horas de revisin, produce un ingreso de $100.000. El mximo de

liquidaciones mensuales disponibles es de 60.

R:

Variables de decisin: el problema dice que la empresa se especializa en preparar auditoras

y liquidaciones, las cuales les otorgan ciertos ingresos, adems, se dice que requieren saber

cuntas auditoras y liquidaciones pueden realizar mensualmente, lo cual nos otorga

nuestras dos variables de decisin.

1:

2:

Funcin objetivo: el problema nos dice que necesita saber cuntas auditoras y

liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar ingresos, por lo tanto, nuestra

funcin objetivo sera la suma de la cantidad preparada de auditoras y liquidaciones,

multiplicadas por el ingreso que cada una genera.

: 300.0001 + 100.0002

Restricciones: el problema nos plantea las restricciones de horas de trabajo directo y de

horas de revisin mensuales, y nos entrega el tiempo requerido de trabajo para las

auditoras y las liquidaciones. Por otro lado, nos dice que las liquidaciones no pueden

superar las 60 mensualmente. No olvidar que no se pueden realizar menos de cero

auditoras o liquidaciones. Ya analizado el problema podemos plantear las restricciones.

401 + 82 800

101 + 52 320

2 60

1, 2 0

Ya planteado el problema debemos encontrar la solucin mediante un grfico, para eso debemos

trabajar con las restricciones anteriormente planteadas. La primera es la de las horas de trabajo

directo, y para graficarla debemos saber qu valores toma cuando la recta toca el eje x y el eje y,

para eso le damos el valor cero a X1, y vemos que valor toma X2, y viceversa, igualndola al valor

total de la restriccin.

401 + 82 = 800

40 0 + 82 = 800

82 = 800

2 = 100

401 + 82 = 800

401 + 8 0 = 800

401 = 800

1 = 20

Luego de encontrar los valores trazamos la recta (considerando siempre la regla de no negatividad),

y para encontrar el rea con la cual trabajaremos podemos reemplazar los valores de X1 y X2 por

cero, es decir, el punto (0,0) y ver si la restriccin se cumple, de ser as el punto (0,0) est dentro del

rea factible, de no cumplirse la restriccin se utiliza el rea contraria al punto (0,0).

40 0 + 8 0 800

0 + 0 800

0 800

Se cumple la restriccin, por lo tanto trabajaremos con el rea a la izquierda de la recta.

X2

X1

100

20

Ahora viene la segunda restriccin, de las horas de revisin, y para graficarla debemos saber qu

valores toma cuando la recta toca el eje x y el eje y, para eso le damos el valor cero a X1, y vemos

que valor toma X2, y viceversa, igualndola al valor total de la restriccin.

101 + 52 = 320

10 0 + 52 = 320

52 = 320

2 = 64

101 + 52 = 320

101 + 8 0 = 320

101 = 320

1 = 10





10 0 + 5 0 320

0 + 0 320

0 320


X2

X1

100

20

64

La tercera y ltima restriccin es la de las liquidaciones disponibles mensualmente, y para graficarla

debemos saber qu valores toma cuando la recta toca el eje x y el eje y, para eso le damos el valor

cero a X1, y vemos que valor toma X2, y viceversa, igualndola al valor total de la restriccin, pero

en este caso, solo tenemos una variable, la cual al igualarla nos quedar siempre el mismo valor

(2 = 60), por lo tanto la tercera restriccin es una recta paralela al eje x.

2 = 60





0 0 + 1 0 60

0 + 0 60

0 60

Se cumple la restriccin, por lo tanto trabajaremos con el rea bajo la recta.

60

X2

X1

100

20

64

32

Ahora para encontrar la regin factible total consideramos el lugar de interseccin de las regiones

factibles de cada recta.

Luego tenemos 5 vrtices en la figura trazada, las cuales sern nuestras posibles soluciones

ptimas, de la cual deberemos escoger la que nos entregue un mayor beneficio. Denotaremos

cada vrtice con una letra del abecedario, el nombre de cada vrtice ser elegido arbitrariamente.

A

B

C

D

E

Ahora necesitamos encontrar los valores de cada vrtice, y, a travs del grfico podemos

determinar 3 de los 5 puntos, que sern los puntos A, B y E.

Punto Valor

A (0,0)

B (20,0)

E (0,60)

Ahora, necesitamos encontrar los valores de C y D, para ello debemos considerar las rectas que se

intersectan en esos puntos. Primero determinaremos el valor del punto C, y lo que debemos hacer

primeramente es despejar una variable en las restricciones que se intersectan, aqu despejaremos

X1 de la restriccin de las horas de trabajo, igualndola al valor total de la restriccin.

401 + 82 = 800

401 = 800 82

1 =800 82

40

Luego de despejar una variable despejamos la misma (X1) de la segunda restriccin, en este caso la

de las horas de revisin, igualndola al valor total de la restriccin.

101 + 52 = 320

101 = 320 52

1 =320 52

10

Con las variables despejadas procedemos a igualar ambas ecuaciones despejadas.

800 8240

=320 52

10

8000 802 = 12.800 2002

1202 = 4.800

2 = 40

Teniendo el valor de X2 podemos despejar el valor de X1, reemplazando el valor encontrado en

cualquiera de las dos restricciones que se intersectan, en este caso reemplazaremos en la recta de

las horas de trabajo, e igualndola al total de la restriccin.

401 + 82 = 800

401 + 8 40 = 800

401 + 320 = 800

401 = 480

1 = 12

Entonces ya encontramos ambos valores del punto C

Punto Valor

C (12,40)

Ahora encontraremos el valor del punto D, considerando la restriccin de las horas de revisin y

del lmite mensual de liquidaciones. Lo que debemos hacer primeramente es despejar una variable

en las restricciones que se intersectan, aqu despejaremos X2 de la restriccin del lmite de las

liquidaciones, igualndola al valor total de la restriccin.

2 = 60

Ya tenemos el valor de X2, por lo tanto, para encontrar el valor de X1 debemos simplemente

evaluar el valor encontrado en la segunda restriccin, en este caso la de las horas de revisin,

igualndola al total de la restriccin.

101 + 52 = 320

101 + 5 60 = 320

101 + 300 = 320

101 = 20

1 = 2

Entonces ya encontramos ambos valores del punto D.

Punto Valor

D (2,60)

Entonces ya tenemos los valores de los 5 puntos, ahora podremos encontrar la solucin que

maximizar el ingreso para la empresa.

Punto Valor Z

A (0,0) 300.000 0 + 100.000 0 = 0

B (20,0) 300.000 20 + 100.000 0 = 6.000.000

C (12,40) 300.000 12 + 100.000 40 = 7.600.000

D (2,60) 300.000 2 + 100.000 60 = 6.600.000

E (0,60) 300.000 0 + 100.000 60 = 6.000.000

Ya encontrados todos los valores de Z, procedemos a seleccionar el mximo (ya que se trata de un

problema de maximizacin).

La empresa debe realizar 12 auditoras y 40 liquidaciones mensualmente para maximizar su

ingreso hasta $7.600.000.

2. Resolver el siguiente modelo de programacin lineal utilizando mtodo grfico

: 31 + 2

21 72 14 (1)

41 + 31 12 (2)

1 + 2 4 (3)

No hay restricciones de no negatividad, X1 y X2 pueden tomar valores negativos y positivos.

R:

Debemos encontrar la solucin mediante un grfico, para eso debemos trabajar con las restricciones

anteriormente presentadas. Para graficar la primera recta (1) debemos saber qu valores toma

cuando la recta toca el eje x y el eje y, para eso le damos el valor cero a X1, y vemos que valor toma

X2, y viceversa, igualndola al valor total de la restriccin.

21 72 = 14

2 0 72 = 14

72 = 14

2 = 2

21 72 = 14

21 7 0 = 14

21 = 14

1 = 7

Luego de encontrar los valores trazamos la recta (al no existir reglas de no negatividad, las rectas

tienden al infinito), y para encontrar el rea con la cual trabajaremos podemos reemplazar los

valores de X1 y X2 por cero, es decir, el punto (0,0) y ver si la restriccin se cumple, de ser as el

punto (0,0) est dentro del rea factible, de no cumplirse la restriccin se utiliza el rea contraria al

punto (0,0).

2 0 7 0 14

0 + 0 14

0 14


Para graficar la segunda recta (2) debemos saber qu valores toma cuando la recta toca el eje x y el

eje y, para eso le damos el valor cero a X1, y vemos que valor toma X2, y viceversa, igualndola al

valor total de la restriccin.

41 + 32 = 12

4 0 + 32 = 12

32 = 12

2 = 4

41 + 32 = 12

41 + 3 0 = 12

41 = 12

1 = 3





punto (0,0).

4 0 + 3 0 12

0 + 0 12

0 12

Se cumple la restriccin, por lo tanto trabajaremos con el rea a la derecha de la recta.

Para graficar la tercera recta (3) debemos saber qu valores toma cuando la recta toca el eje x y el

eje y, para eso le damos el valor cero a X1, y vemos que valor toma X2, y viceversa, igualndola al

valor total de la restriccin.

1 + 2 = 4

1 0 + 2 = 4

2 = 4

1 + 2 = 4

1 + 1 0 = 4

1 = 4





punto (0,0).

1 0 + 1 0 4

0 + 0 4

0 4

Se cumple la restriccin, por lo tanto trabajaremos con el rea a la derecha de la recta.

Ahora para encontrar la regin factible total consideramos el lugar de interseccin de las regiones

factibles de cada recta.

Luego tenemos 2 vrtices en la figura trazada, las cuales sern nuestras posibles soluciones

ptimas, de la cual deberemos escoger la que nos entregue un nmero menor. Denotaremos cada

vrtice con una letra del abecedario, el nombre de cada vrtice ser elegido arbitrariamente.

Ahora necesitamos encontrar los valores de cada vrtice, pero no se pueden determinar a simple

vista, por lo que debemos trabajar con las ecuaciones que se intersectan en cada punto para

encontrar dichos valores. Primero buscaremos el punto A, trabajando con la restriccin (2) y (3).

Lo que debemos hacer primeramente es despejar una variable en las restricciones que se

intersectan, aqu despejaremos X1 de la restriccin (2), igualndola al valor total de la restriccin.

41 + 32 = 12

41 = 12 32

1 =12 + 32

4


restriccin (3), igualndola al valor total de la restriccin.

1 + 2 = 4

1 = 4 2


12 + 324

= 4 2

12 + 32 = 16 42

A

B

72 = 4

2 =4

7


cualquiera de las dos restricciones que se intersectan, en este caso reemplazaremos en la recta

(3), e igualndola al total de la restriccin.

1 + 2 = 4

1 + 1 4

7= 4

1 +4

7= 4

1 = 24

7

Entonces ya encontramos ambos valores del punto A

Punto Valor

A 24

7,4

7

Luego buscaremos el punto B, trabajando con la restriccin (1) y (3). Lo que debemos hacer

primeramente es despejar una variable en las restricciones que se intersectan, aqu despejaremos

X1 de la restriccin (1), igualndola al valor total de la restriccin.

21 72 = 14

21 = 14 + 72

1 =14 + 72

2


restriccin (3), igualndola al valor total de la restriccin.

1 + 2 = 4

1 = 4 2


14 + 72

2= 4 2

14 + 72 = 8 22

92 = 22

2 =22

9


cualquiera de las dos restricciones que se intersectan, en este caso reemplazaremos en la recta

(3), e igualndola al total de la restriccin.

1 + 2 = 4

1 + 1 22

9= 4

1 +22

9= 4

1 = 14

9

Entonces ya encontramos ambos valores del punto A

Punto Valor

B 14

9,22

9

Entonces ya tenemos los valores de los 2 puntos, ahora podremos encontrar la solucin que

minimizar el problema de programacin lineal.

Punto Valor Z

A 24

7,4

7 3

24

7+ 1

4

7=

76

7

B 14

9,22

9 3

14

9+ 1

22

9=

64

9

Ya encontrados todos los valores de Z, procedemos a seleccionar el mnimo (ya que se trata de un

problema de minimizacin).

El valor de X1 debe ser -24/7 y el valor de X2 debe ser -4/7 para obtener un mnimo de -76/7.

3. Una empresa fabrica 2 tipos de hamburguesas para su venta:

Hamburguesas de vacuno (150 gr de carne y 50 gr de grasa) costo $75/unidad

Hamburguesas de cerdo (170 gr decarne y 30 gr de grasa) costo $90/unidad

La fbrica cuenta con una disponibilidad de 15 kg de carne y 5 kg de grasa. Adems, se sabe que la

empresa vende las hamburguesas de vacuno a $150 cada una y las hamburguesas de cerdo a $170

cada una. Determinar la cantidad de unidades de ambas hamburguesas producidas y vendidas (se

asume que toda unidad producida es vendida) para maximizar la utilidad.

R:

Variables de decisin

1:

2:

Funcin objetivo

= 751 + 802

Restricciones

1501 + 1702 15.000

501 + 302 5.000

1, 2 0

X1

X2

100

88,2

166,7

A B

C

Punto X1 X2 Z

A 0 0 0

B 100 0 $7.500

C 0 88,2 $7.056

4. Una compaa productora de fertilizantes es propietaria de 2 minas que le generan la materia

prima bsica para sus productos. La mina 1 produce semanalmente 10 toneladas de materia prima

grado A; 30 toneladas de materia prima grado B; y 50 toneladas de grado C. La mina 2 produce

semanalmente 30 toneladas de cada materia prima, la compaa para la produccin anual de

fertilizantes requiere al menos de 150 toneladas de grado A y 300 toneladas de grado B pero no ms

de 900 toneladas de grado C. Los costos de explotacin semanal de la mina 1 son de $800.000

mientras que los costos de la mina 2 son de $700.000 Cuntas semanas al ao se debe explotar

cada mina para cumplir los planes de produccin minimizando costos?

R:


1: 1

2: 2

Funcin objetivo

: 800.0001 + 700.0002

Restricciones

101 + 302 150

301 + 302 300

501 + 302 900

1, 2 0

Punto X1 X2 Z

A 15/2 5/2 $7.750.000

B 15 0 $12.000.000

C 18 0 $14.400.000

D 0 30 $21.000.000

E 0 10 $7.000.000

X1

X2

5

10

30

15

10 C

A

B

B

E

B

B

D

B

B

18

B

II. Planteamiento de problemas

5. Se necesita disear una dieta para estudiantes al menor costo posible pero satisfaciendo sus

necesidades bsicas de 2400 kcal diarias y de no menos de 1000 g de comida; las necesidades

bsicas tambin incluyen 2 litros de agua, aunque el lquido no debe necesariamente provenir de los

alimentos, y cantidades especficas de protenas, grasas y carbohidratos. En el cuadro se indican las

caractersticas de cada tipo de alimento por porcin de 100 g y los requerimientos diarios mnimos

promedio para cada estudiante. La dieta debe tambin incluir al menos 1 huevo, 200 g de vegetales

y 100 g de leche o queso.

Alimento Kcal Agua

ml

Protenas

(g)

Grasas

(g)

Carbohidratos

(g)

Precio

($/kg)

Pan 245 38 8 1,4 52 750

Huevos 150 66 11 11 1 1.000

Arroz 110 72 2 0,2 23 800

Pollo 250 55 30 4 0 2.000

Leche 66 90 3,6 3,6 4,8 2.000

Frijoles 110 67 6 1 21 1.000

Queso 250 50 20 15 0 2.500

Vegetales 35 80 2 0 18 1.500

Requerimiento

mnimo

2.400 2 litros 100 50 375

R:

Variables de decisin: el problema nos habla sobre la dieta de un estudiante, y nos dice los

alimentos que debe consumir para lograr el objetivo de la dieta, por lo que las variables

seran los alimentos que debe consumir.

1 =

2 =

3 =

4 =

5 =

6 =

7 =

8 =

Funcin objetivo: el problema nos plantea precios de los alimentos, adems nos dice que

quiere lograr la dieta a un costo mnimo, y hay que considerar que cada porcin est

determinada en 100 gr, y el precio est por kg, por lo que cada precio debe dividirse en 10.

= 751 + 1002 + 803 + 2004 + 2005 + 1006 + 2507 + 1508

Restricciones: la primera restriccin que podemos obtener ya en la segunda lnea es que

los estudiantes necesitan cubrir sus necesidades bsicas de kcal, y que debe consumir no

menos de 1.000 gr de comida (no olvidar que cada porcin est considerada por 100 gr).

2451 + 1502 + 1103 + 2504 + 665 + 1106 + 2507 + 358 2.400

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 10

Luego el problema dice que se necesitas 2 litros de agua, pero que no necesariamente

deben ser consumidos en los alimentos de la dieta, por lo que no se considera una

restriccin. La tabla nos indica los requerimientos mnimos de Protenas, Grasas y

Carbohidratos, adems, nos presenta las cantidades que contiene cada alimento de

estos 3 requerimientos.

81 + 112 + 23 + 304 + 3,65 + 66 + 207 + 28 100

1,41 + 112 + 0,23 + 44 + 3,65 + 6 + 157 50

521 + 2 + 233 + 4,85 + 216 + 188 375

Finalmente, la dieta nos dice que debe tener al menos 1 huevo (considerado de 100

gr), 200 gr de vegetales, y 100 gr de leche o queso, adems de que no se puede

tener un consumo negativo de alimentos, por lo que se debe considerar la restriccin

de no negatividad.

2 1

8 2

5 + 7 1

1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8 0

Las restricciones del problema quedan de la siguiente manera:

2451 + 1502 + 1103 + 2504 + 665 + 1106 + 2507 + 358 2.400

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 10

81 + 112 + 23 + 304 + 3,65 + 66 + 207 + 28 100

1,41 + 112 + 0,23 + 44 + 3,65 + 6 + 157 50

521 + 2 + 233 + 4,85 + 216 + 188 375

2 1

8 2

5 + 7 1

1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8 0

6. Wood fabrica mesas y sillas. Hay que fabricar cada mesa y cada silla completamente de roble o

de pino. Se dispone de un total de 150 pies de tabla de roble y de 210 pies de tabla de pino. Una

mesa requiere 17 p.t. de roble, o bien 30 p.t. de pino, y una silla necesita 5 p.t. de roble, o bien, 13

p.t. de pino. Se puede vender cada mesa a 40 dlares y cada silla a 15 dlares. Formule un PL que

se puede usar para maximizar los ingresos.

R:

Variables de decisin: en este caso son variables de otro tipo, ya que Wood fabrica mesas y

sillas, pero adems hay una subdivisin del material, de roble y pino, por lo que son

variables del tipo Xij, donde i sern las mesas y las sillas, y j sern de lo que estn hechas,

es decir, pino y roble.

i = mesas, sillas

j = roble, pino

:

:

:

:

Funcin objetivo: el problema nos plantea maximizar los ingresos, y nos da el precio de

venta de las mesas y las sillas, por lo que la funcin objetivo ser la suma de las mesas y de

las sillas multiplicadas por su respectivo precio.

= 40 + + 15 +

Restricciones: el problema nos presenta restricciones sobre los materiales, es decir, roble y

pino, y nos entrega tambin los materiales que requiere cada mesa y cada silla. Adems, no

puede existir una produccin negativa, por lo que debe considerarse la restriccin de no

negatividad.

17 + 5 150

30 + 13 210

0

7. Minas Universal opera tres minas en el norte de Chile. El mineral de cada una se separa, antes de

embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de produccin de las mismas as, como sus costos

diarios de operacin son los siguientes:

Mineral de grado

alto, ton/da

Mineral de grado

bajo, ton/da

Costo de operacin,

$/da

Mina I 4 4 20.000

Mina II 6 4 22.000

Mina III 1 6 25.000

La Universal se comprometi a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de

mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Determnese el nmero de das que cada

mina debera operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso

a un costo total mnimo.

R:


1 =

2 =

3 =

Funcin objetivo

= 20.0001 + 22. 0002 + 25.0003

Restricciones

41 + 62 + 3 54

41 + 42 + 63 65

1 7

2 7

3 7

1, 2, 3 0

8. Una excursionista planea salir de campamento. Hay cinco artculos que desea llevar consigo,

pero entre todos sobrepasan los 60 kilogramos que considera que puede cargar. Para auxiliarse en la

seleccin, ha asignado un valor a cada artculo en orden ascendente de importancia:

Artculo 1 2 3 4 5

Peso, lb 52 23 35 15 7

Valor 100 60 70 15 15

Qu artculos deber llevar para maximizar el valor total, sin sobrepasar la restriccin de peso?

R:


1 = 1

2 = 2

3 = 3

4 = 4

5 = 5

Funcin objetivo

= 1001 + 602 + 703 + 154 + 155

Restricciones

521 + 232 + 353 + 154 + 75 60

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

1, 2, 3, 4 , 5 0

9. Los hospitales enfrentan constantemente problemas con el horario de trabajo de sus enfermeras.

Un modelo de planificacin de horarios en un problema de programacin de enteros para minimizar

el nmero total de trabajadores sujetos a un nmero especfico de enfermeras durante cada perodo

del da.

Perodo Turno del da N requerido de enfermeras

1 8:00 - 10:00 10

2 10:00 - 12:00 8

3 12:00 - 02:00 9

4 02:00 - 04:00 11

5 04:00 - 06:00 13

6 06:00 - 08:00 8

7 08:00 - 10:00 5

8 10:00 - 12:00 3

Dado que cada enfermera trabaja jornadas de 8 horas diarias, el/ellas puede comenzar a trabajar al

comienzo de cualquiera de los primeros cinco perodos: 8:00, 10:00, 12:00, 2:00, o 4:00.

Adicionalmente, no se necesita ninguna enfermera que comience a trabajar despus de las 4:00,

dado que su horario se extendera hasta despus de la media noche, cuando no son necesarias.

Cuntas enfermeras se deben reportar de forma tal de cumplir los requerimientos de la tabla

anterior?


1 = 1

2 = 2

3 = 3

4 = 4

5 = 5

Funcin Objetivo

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5

Restricciones

1 10

1 + 2 8

1 + 2 + 3 9

1 + 2 + 3 + 4 11

2 + 3 + 4 + 5 13

3 + 4 + 5 8

4 + 5 5

5 3

1, 2, 3, 4 , 5 0

10. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir frutas de 3 mercados de la ciudad. El

almacn A dispone de 10 toneladas de frutas diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su

totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de frutas, mientras que el

tercero necesita 9 toneladas diarias. El costo del transporte desde cada almacn a cada mercado

viene dado por el siguiente cuadro:

Almacn Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

A 10 15 20

B 15 20 10

Encontrar la distribucin que minimiza costos.


1 = 1

2 = 1

3 = 2

4 = 2

5 = 3

6 = 3

Funcin Objetivo

= 101 + 152 + 153 + 104 + 205 + 106

Restricciones

1 + 3 + 5 10

2 + 4 + 6 15

1 + 2 8

3 + 4 8

5 + 6 9

1, 2, 3, 4 , 5, 6 0

11. Una compaa tiene 2 plantas y 3 almacenes. La primera planta puede suministrar como

mximo 500 lb de un producto dado, la segunda planta 200 lb como mximo. La demanda del

primer almacn es de 150 lb, el segundo es de 200 y el tercero de 250. Los costos de fabricacin del

producto se indican en la siguiente tabla de precios de fabricacin unitarios:

Almacn 1 Almacn 2 Almacn 3

Planta 1 30.000 25.000 36.000

Planta 2 18.000 19.000 21.000

Determine un programa de embarques que satisfaga la demanda a un menor costo.


1 = 1 1

2 = 1 2

3 = 1 3

4 = 2 1

5 = 2 2

6 = 2 3

Funcin Objetivo

= 30.0001 + 25.0002 + 36.0003 + 18.0004 + 19.0005 + 21.0006

Restricciones

1 + 4 150

2 + 5 200

3 + 6 250

1 + 2 + 3 500

4 + 5 + 6 200

1, 2, 3, 4 , 5, 6 0

12. Una industria productora de muebles fabrica mesas, sillas, escritorios y libreros utilizando dos

tipos diferentes de madera A y B de las cuales se dispone 3.600 y 2.000 pies2 respectivamente. Cada

mesa, silla, escritorio y librero requieren 5, 1, 9 y 12 pies2 respectivamente de madera tipo A y 2, 3,

4, 3 pies2 madera de tipo B. Se cuenta con 1.200 horas hombre para este trabajo, para la fabricacin

de una mesa requiere 3 horas hombre, una silla requiere 2 horas, para un escritorio 5 horas y para

un librero 10 horas. Los pedidos exigen una produccin mnima de 40 mesas, 130 sillas, 30

escritorios y no ms de 10 libreros. Las utilidades son de $18.000 por mesa, $7.500 por silla,

$22.500 por escritorio y $27.000 por librero Cuntos muebles de cada tipo deben producirse para

obtener mxima utilidad?


1 =

2 =

3 =

4 =

Funcin Objetivo

= 18.0001 + 7.5002 + 22.5003 + 27.0004

Restricciones

51 + 2 + 93 + 124 3.600

21 + 32 + 43 + 34 2.000

31 + 22 + 53 + 104 1.200

1 40

2 130

3 30

4 10

1, 2, 3, 4 0

13. Una compaa planificadora puede producir un pan especial en cualquiera de sus dos plantas, en

la siguiente forma:

Planta Capacidad de produccin

hogazas

Costo de produccin

$/hogazas

A 2.500 23

B 2.100 25

Cuatro cadenas de restaurantes desean adquirir este pan; sus demandas y los precios que desean

pagar son los siguientes:

Cadena Demanda mxima, hogazas Precio ofrecido $/hogazas

1 1.800 39

2 2.300 37

3 550 40

4 1.750 36

El costo en pesos de embarcar una hogaza de una planta a un restaurante se da en la siguiente tabla:

Cadena 1 Cadena 2 Cadena 3 Cadena 4

Planta A 6 8 11 9

Planta B 12 6 8 5

Determine un programa de entregas para la compaa planificadora, maximizando su ganancia total

en este tipo de pan.


1 = 1

2 = 2

3 = 3

4 = 4

5 = 1

6 = 2

7 = 3

8 = 4

Funcin Objetivo

= 101 + 62 + 63 + 44 + 25 + 66 + 77 + 68

Restricciones

1 + 2 + 3 + 4 2.500

5 + 6 + 7 + 8 2.100

1 + 5 1.800

2 + 6 2.300

3 + 7 550

4 + 8 1.750

1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8 0

14. Una empresa maquiladora del norte del pas dedicada a la produccin de televisores y pantallas

para video y computadoras necesita planear la produccin del siguiente mes debido a la

introduccin de un nuevo producto y a que va a dejar de producir otros por cambios en la demanda.

la gerencia piensa que los prximos meses deberan dedicarse a fabricar slo cuatro productos:

pantallas de cristal lquido de 20 y de 24 pulgadas y los televisores planos de 24 y 50 pulgadas.

Debido a las diferentes tecnologas, los televisores son producidos en la planta de chihuahua,

mientras que las pantallas se producen en la planta de Tijuana. el control de calidad y el empaque

final se realiza en esta ltima. En el siguiente cuadro se presentan las disponibilidades de tiempo en

cada una de las plantas; en el caso de chihuahua hay dos departamentos, el de electrnica y el de

ensamble final. En el mismo cuadro se indica la utilidad neta por cada tipo de equipo.

Productos

Horas/unidad

Chihuahua Tijuana Utilidad

Electrnica Ensamble Pantallas LCD $

Pantalla 20 3,5 850

Pantalla 24 3,8 925

Televisor 24 2,25 2,5 800

Televisor 50 2 2,75 1.200

Capacidad

(horas/mes)

3.000 3.200 5.000

Finalmente todos los productos deben pasar por los departamentos de control de calidad y de

empaque. La disponibilidad de tiempo y el nmero de equipos que se han de procesar por hora se

indica en el siguiente cuadro.

Productos Unidades/hora

Control de calidad Empaque

Pantalla 20 3 6

Pantalla 24 2,5 5

Televisor 24 1,5 5

Televisor 50 2 3

Capacidad (Horas/mes) 3.200 800

El departamento de mercadotecnia ha decidido que se deben fabricar al menos 100 equipos de cada

tipo para mantener su presencia en el mercado nacional. Encontrar la solucin que maximiza la

utilidad.


1 = 20"

2 = 24"

3 = 24"

4 = 50"

Funcin Objetivo

= 8501 + 9252 + 8003 + 1.2004

Restricciones

2,253 + 24 3.000

2,53 + 2, 754 3.200

3,51 + 3,82 5.000 1

31 +

1

2,52 +

1

1,53 +

1

24 3.200

1

61 +

1

52 +

1

53 +

1

34 800

1 100

2 100

3 100

4 100

15. Se desea proponer una dieta que contenga al menos 2.000 (Kcal), al menos 55 gramos de

protena y 800 (mg) de calcio. Adicionalmente para garantizar cierta variedad en la dieta se

establece lmites de porciones por da en los alimentos. Con esta informacin se requiere encontrar

la dieta que tenga el menor costo asociado y permita satisfacer los requerimientos siguientes:

Alimento Tamao

de

porcin

Energa

(Kcal)

Protenas

(Gramos)

Calcio

(mg)

Precio

($/porcin)

Lmite

(porciones/da)

Avena 28 g 110 4 2 30 4

Pollo 100 g 205 32 12 240 3

Huevos 2 grandes 160 13 54 130 2

Leche

Entera

237 cc 160 8 285 90 8

Kuchen 170 g 420 4 22 200 2

Porotos 260 g 260 14 80 60 2


1 =

2 =

3 =

4 =

5 =

6 =

Funcin Objetivo

= 301 + 2402 + 1303 + 904 + 2005 + 606

Restricciones

1101 + 2052 + 1603 + 1604 + 4205 + 2606 2.000

41 + 322 + 133 + 84 + 45 + 146 55

21 + 122 + 543 + 2854 + 225 + 806 800

1 4

2 3

3 2

4 8

5 2

6 2

1, 2, 3, 4 , 5, 6 0

16. Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos para $40.000 para invertir. Sus

miembros pueden producir un mximo de 3 500 horas-hombre de mano de obra durante los meses

de invierno y 4 000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de

estas horas-hombre, los jvenes de la familia las emplearn para trabajar en un campo vecino por $5

la hora durante los meses de invierno y por $6 la hora en el verano.Pueden obtener el ingreso en

efectivo a partir de tres tipos de cosecha: soya, maz y avena y dos tipos de animales de granja:

vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversin, pero cada vaca

requerir un desembolso de $1 200 y cada gallina costar $9.Cada vaca necesita 1.5 acres, 100

horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre durante el verano; cada una producir un

ingreso anual neto de $1 000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son: nada

de terreno, 0.6 horas-hombre durante el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual

neto de $5. Caben 300 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un mximo de 32 vacas.

Las estimaciones de las horas-hombre y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha se

indican en la tabla. La familia quiere determinar cuntos acres debe sembrar con cada tipo de

cosecha y cuntas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto.

Soya Maz Avena

Horas-Hombre en

invierno

20 35 10

Horas-Hombre en

verano

50 75 40

Ingreso neto anual

($)/acre

600 900 450


1 =

2 =

3 =

4 =

5 =

6 =

7 =

Funcin Objetivo

= 6001 + 9002 + 4503 + 1.0004 + 55 + 56 + 67

Restricciones

1 + 2 + 3 + 1,54 125

1.2004 + 95 40.000

201 + 352 + 103 + 1004 + 0,65 + 6 3.500

501 + 752 + 403 + 504 + 0,35 + 7 4.000

4 32

5 300

1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 0

17. Un cierto restaurant opera 7 das a la semana. A las camareras se les contrata para trabajar 6

horas diarias. El contrato del sindicato especifica que cada camarera tiene que trabajar 5 das

consecutivos y despus tener 2 das consecutivos de descanso. Cada camarera recibe el mismo

sueldo semanal. En la tabla se presentan las necesidades de contratacin. Supngase que este ciclo

de necesidades se repite en forma indefinida y no toma en cuenta el hecho de que el nmero de

camareras contratadas tiene que ser un nmero entero. El gerente desea encontrar un programa de

empleo que satisfaga estas necesidades a un costo mnimo. El siguiente cuadro muestra el nmero

mnimo de horas de camareras necesarios:

Da Horas

Lunes 150

Martes 200

Mircoles 400

Jueves 300

Viernes 700

Sbado 800

Domingo 300


1 =

2 =

3 =

4 =

5 =

6 =

7 =

Funcin Objetivo

= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

Restricciones

6 1 + 2 + 3 + 4 + 5 150

6 2 + 3 + 4 + 5 + 6 200

6 3 + 4 + 5 + 6 + 7 400

6 4 + 5 + 6 + 7 + 1 300

6 5 + 6 + 7 + 1 + 2 700

6 6 + 7 + 1 + 2 + 3 800

6 7 + 1 + 2 + 3 + 4 300

1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7 0

18. Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de 1.000 horas operario y dos

plantas ubicadas en distintos puntos geogrficos del pas debe satisfacer los pedidos diarios de tres

comerciantes en distintas zonas. Los costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete

de envasados se resume en la siguiente tabla:

Tarifa por paquete desde

planta hasta el comercio

Planta 1 Planta 2

Comerciante A 4.000 7.000

Comerciante B 6.000 5.000

Comerciante C 5.000 8.000

La elaboracin diaria de cada paquete de envasados en la planta 1 requiere de 1 hora operario en la

planta 1 y de $2.000 en materia prima. La planta 2 requiere un 50% ms en materia prima y hora

operario en la planta 2. El precio uniforme por paquete es de $13.000 y las cantidades de

produccin diarias mximas son de 400 unidades por cada planta. Encontrar la solucin que

maximiza la utilidad.


1 = 1

2 = 1

3 = 1

4 = 2

5 = 2

6 = 2

Funcin Objetivo

= 7.0001 + 5.0002 + 6.0003 + 3.0004 + 5.0005 + 2.0006

Restricciones

1 + 2 + 3 400

4 + 5 + 6 400

1 + 2 + 3 + 0,54 + 0,55 + 0,56 1.000

1, 2, 3, 4 , 5, 6 0

19. Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencia, al menos 500 galones de un

ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo

de arndano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguiente, indicar Qu

cantidad de cada bebida deber emplear el proveedor a fin de obtener la composicin requerida a un

costo total mnimo?

Jugo naranja Jugo toronja Jugo

arndano

Existencia

(gal)

Costo ($/gal)

Bebida A 40% 40% 0 200 1,5

Bebida B 5% 10% 20% 400 0,75

Bebida C 100% 0 0 100 2

Bebida D 0 100% 0 50 1,75

Bebida E 0 0 0 800 0,25


1 = ()

2 =

3 =

4 =

5 = ()

Funcin Objetivo

= 1,51 + 0,752 + 23 + 1,754 + 0,255

Restricciones

1 + 2 + 3 + 4 + 5 500

0,21 + 0,152 0,83 + 0,24 + 0,25 0

0,31 + 0,13 0,94 + 0,15 0

0,051 0,152 + 0,053 + 0,054 + 0,055 0

1 200

2 400

3 100

4 50

5 800

1, 2, 3, 4 , 5 0

III. Simplex

20.

= 8001 + 6002 + 7003

1 + 52 33 500

51 + 73 700

1 100

1, 2,3 0

Este ejercicio se trata de un problema de maximizacin, por lo que para poder transferir los datos a

la tabla se necesitan agregar variables de holgura a cada restriccin, sumarle una variable Si.

1 + 52 33 + 1 = 500

51 + 73 + 2 = 700

1 + 3 = 100

Luego de haber agregado las variables de holgura procedemos a armar la siguiente tabla simplex.

CB VB X1 X2 X3 S1 S2 S3 RHS

Zj

Cj - Zj

VB: aqu trabajaremos con las variables para encontrar la solucin ptima, siempre se debe

partir con las variables de holgura.

CB: aqu va el valor que acompaa a cada VB en la funcin objetivo.

Zj: aqu va el resultado de la siguiente frmula, correspondiente a cada columna:

= 1 1 + 2 2 + +

Cj Zj: aqu va el valor que acompaa a la variable en la funcin objetivo (Cj) menos el

valor obtenido en Zj.

RHS: aqu va el valor total de la restriccin.

En la seccin amarilla van de izquierda a derecha todas las variables que tenga el problema,

partiendo por las variables de decisin, y luego las variables de holgura.

En la seccin verde van los valores que acompaan a las variables en la funcin objetivo

(Cj).

En las secciones rojas no va ningn valor.

Luego de armada la tabla procedemos a poner las variables de holgura en la columna VB, los

valores acompaantes de las variables correspondientes en la columna CB, y en la primera fila los

valores de Cj.

800 600 700 0 0 0


0 S1

0 S2

0 S3

Zj

Cj - Zj

Como es la primera tabla, en la fila 3 ponemos los valores que acompaan a cada variable en la

restriccin perteneciente a S1.

800 600 700 0 0 0


0 S1 1 5 -3 1 0 0 500

0 S2

0 S3

Zj

Cj - Zj

Luego hacemos el mismo paso anterior con los valores que acompaan a cada variable en las

restricciones de S2 y S3.

800 600 700 0 0 0


0 S1 1 5 -3 1 0 0 500

0 S2 5 0 7 0 1 0 700

0 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj

Cj - Zj

Ahora necesitamos determinar los valores de Zj para cada columna, para eso utilizamos la frmula

correspondiente.

800 600 700 0 0 0


0 S1 1 5 -3 1 0 0 500

0 S2 5 0 7 0 1 0 700

0 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj

Para finalizar la primera tabla, resolvemos la resta Cj Zj.

800 600 700 0 0 0


0 S1 1 5 -3 1 0 0 500

0 S2 5 0 7 0 1 0 700

0 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj 800 600 700 0 0 0

Ya resuelta la primera tabla debemos ver si hay valores de Cj Zj mayores estrictos a cero, de ser

as, no es un resultado ptimo, por lo que debemos escoger una columna que entre, la cual ser la

que tenga el mayor valor de Cj Zj, en este caso ser la columna correspondiente a X1.

800 600 700 0 0 0


0 S1 1 5 -3 1 0 0 500

0 S2 5 0 7 0 1 0 700

0 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj 800 600 700 0 0 0

Habiendo escogido la columna entrante debemos escoger la fila que saldr, para eso debe ser el

menor valor de la siguiente frmula:

=

En este caso nos quedan los nmeros 500/1; 700/5; 100/1, en este caso el menor de los 3 es 100/1

correspondiente a S3, por lo que esa ser la fila que salga de la solucin, y la interseccin de la

columna entrante con la fila que sale ser conocido como nuestro elemento pivote para la tabla

nmero 2.

800 600 700 0 0 0


0 S1 1 5 -3 1 0 0 500

0 S2 5 0 7 0 1 0 700

0 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj 800 600 700 0 0 0

Ahora armamos la segunda tabla simplex.

800 600 700 0 0 0


S1

S2

X1

Zj

Cj - Zj

Procedemos ahora a poner los valores acompaantes en la funcin objetivo de cada variable de la

columna VB en la columna CB.

800 600 700 0 0 0


0 S1

0 S2

800 X1

Zj

Cj - Zj

Ahora necesitamos calcular la nueva ecuacin pivote, a travs de la siguiente frmula:

= ()

()

* Para no confundirse al momento de realizar la frmula se pueden ayudar con una tabla adicional,

y luego pasar los resultados a la tabla simplex (esta es slo una opcin adicional, de ustedes

depende si quieren o no utilizarla)

EPA EP NEP Variable

1 1 1 X1

0 1 0 X2

0 1 0 X3

0 1 0 S1

0 1 0 S2

1 1 1 S3

100 1 100 RHS

Luego de determinada la NEP la traspasamos a la tabla.

800 600 700 0 0 0


0 S1

0 S2

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj

Cj - Zj

Ahora necesitamos determinar las Nuevas ecuaciones (NE) correspondientes a S1 y S2, utilizando la

siguiente frmula.

= ( )

Primero calcularemos la NE correspondiente a S1.

El elemento de la columna entrante es la interseccin de la columna que entra con la fila que

actualmente estamos determinando (considerar los nmeros de la tabla 1).

* Para no confundirse al momento de realizar la frmula se pueden ayudar con una tabla adicional,

y luego pasar los resultados a la tabla simplex (esta es slo una opcin adicional, de ustedes

depende si quieren o no utilizarla)

ECE NEP ECE*NEP EA NE Variable

1 1 1 1 0 X1

1 0 0 5 5 X2

1 0 0 -3 -3 X3

1 0 0 1 1 S1

1 0 0 0 0 S2

1 1 1 0 -1 S3

1 100 100 500 400 RHS

Luego de determinada la NE para S1 procedemos a pasar los valores obtenidos a la tabla.

800 600 700 0 0 0


0 S1 0 5 -3 1 0 -1 400

0 S2

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj

Cj - Zj

Ahora nos corresponde calcular NE para S2.


5 1 5 5 0 X1

5 0 0 0 0 X2

5 0 0 7 7 X3

5 0 0 0 0 S1

5 0 0 1 1 S2

5 1 5 0 -5 S3

5 100 500 700 200 RHS

Calculada la NE para S2 traspasamos los valores a la tabla.

800 600 700 0 0 0


0 S1 0 5 -3 1 0 -1 400

0 S2 0 0 7 0 1 -5 200

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj

Cj - Zj

Ahora determinamos los valores de Zj con la frmula correspondiente, y luego de eso calculamos la

el valor de Cj Zj.

800 600 700 0 0 0


0 S1 0 5 -3 1 0 -1 400

0 S2 0 0 7 0 1 -5 200

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj 800 0 0 0 0 800 80.000

Cj - Zj 0 600 700 0 0 -800

An quedan valores mayores estrictos que cero, por lo que la tabla an no es ptima, as que

necesitamos una variable que entre a la solucin, es decir el mayor valor de Cj Zj, en este caso

entra la variable X3.

800 600 700 0 0 0


0 S1 0 5 -3 1 0 -1 400

0 S2 0 0 7 0 1 -5 200

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj 800 0 0 0 0 800 80.000

Cj - Zj 0 600 700 0 0 -800

Habiendo escogido la columna entrante debemos escoger la fila que saldr, para eso debemos

ocupar la frmula correspondiente. Aqu vemos todos los casos posibles para lo frmula, que el

denominador sea un nmero positivo, un nmero negativo o que sea cero, pero tal como escogemos

la columna entrante, aqu solo trabajamos con nmeros mayores estrictos a cero, por lo que la nica

fila que puede salir es la correspondiente a S2, y la interseccin de la columna entrante con la fila

que sale ser nuestro elemento pivote para la tabla nmero 3.

800 600 700 0 0 0


0 S1 0 5 -3 1 0 -1 400

0 S2 0 0 7 0 1 -5 200

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj 800 0 0 0 0 800 80.000

Cj - Zj 0 600 700 0 0 -800

Ahora armamos la tercera tabla simplex.

800 600 700 0 0 0


S1

X3

X1

Zj

Cj - Zj



800 600 700 0 0 0


0 S1

700 X3

800 X1

Zj

Cj - Zj

Ahora necesitamos calcular la NEP a travs de la frmula correspondiente.

EPA EP NEP Variable

0 7 0 X1

0 7 0 X2

7 7 1 X3

0 7 0 S1

1 7 1/7 S2

-5 7 -5/7 S3

200 7 200/7 RHS

Calculada la NEP, traspasamos los valores a la tabla simplex.

800 600 700 0 0 0


0 S1

700 X3 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7

800 X1

Zj

Cj - Zj

Luego calculamos la NE para la fila correspondiente a S1.


-3 0 0 0 0 X1

-3 0 0 5 5 X2

-3 1 -3 -3 0 X3

-3 0 0 1 1 S1

-3 1/7 -3/7 0 3/7 S2

-3 -5/7 15/7 -1 -22/7 S3

-3 200/7 -600/7 400 -3.400/7 RHS

Luego de determinada la NE para S1 traspasamos los datos a la tabla simplex.

800 600 700 0 0 0


0 S1 0 5 0 1 3/7 -22/7 3.400/7

700 X3 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7

800 X1

Zj

Cj - Zj

Ahora calculamos la NE correspondiente a X1 .


0 0 0 1 1 X1

0 0 0 0 0 X2

0 1 0 0 0 X3

0 0 0 0 0 S1

0 1/7 0 0 0 S2

0 -5/7 0 1 1 S3

0 200/7 0 100 100 RHS

Aqu vemos un caso especial, donde el ECE es cero, eso quiere decir que NE = EA. Luego de

determinada la NE para X1 traspasamos los datos a la tabla.

800 600 700 0 0 0


0 S1 0 5 0 1 3/7 -22/7 3.400/7

700 X3 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj

Cj - Zj


el valor de Cj Zj.

800 600 700 0 0 0


0 S1 0 5 0 1 3/7 -22/7 3.400/7

700 X3 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj 800 0 700 0 100 300 100.000

Cj - Zj 0 600 0 0 -100 -300



entra la variable X2.

800 600 700 0 0 0


0 S1 0 5 0 1 3/7 -22/7 3.400/7

700 X3 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj 800 0 700 0 100 300 100.000

Cj - Zj 0 600 0 0 -100 -300


ocupar la frmula correspondiente. Aqu solo trabajamos con nmeros mayores estrictos a cero, por

lo que la nica fila que puede salir es la correspondiente a S1, y la interseccin de la columna

entrante con la fila que sale ser nuestro elemento pivote para la tabla nmero 4.

Ahora armamos la cuarta tabla simplex.

800 600 700 0 0 0


X2

X3

X1

Zj

Cj - Zj



800 600 700 0 0 0


600 X2

700 X3

800 X1

Zj

Cj - Zj


EPA EP NEP Variable

0 5 0 X1

5 5 1 X2

0 5 0 X3

1 5 1/5 S1

3/7 5 3/35 S2

-22/7 5 -22/35 S3

-3.400/7 5 680/7 RHS


800 600 700 0 0 0


600 X2 0 1 0 1/5 3/35 -22/35 680/7

700 X3

800 X1

Zj

Cj - Zj

Para los casos de X3 y X1 tenemos que el ECE es 0, es decir, NE = EA.

800 600 700 0 0 0


600 X2 0 1 0 1/5 3/35 -22/35 680/7

700 X3 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj

Cj - Zj


el valor de Cj Zj.

800 600 700 0 0 0


600 X2 0 1 0 1/5 3/35 -22/35 680/7

700 X3 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj 800 600 700 120 1.060/7 -540/7 1.108.000/7

Cj - Zj 0 0 0 -120 -1.060/7 540/7



entra la variable S3.

800 600 700 0 0 0


600 X2 0 1 0 1/5 3/35 -22/35 680/7

700 X3 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj 800 600 700 120 1.060/7 -540/7 1.108.000/7

Cj - Zj 0 0 0 -120 -1.060/7 540/7


ocupar la frmula correspondiente. Aqu solo trabajamos con nmeros mayores estrictos a cero, por

lo que la nica fila que puede salir es la correspondiente a X1, y la interseccin de la columna

entrante con la fila que sale ser nuestro elemento pivote para la tabla nmero 5.

Ahora armamos la quinta tabla simplex.

800 600 700 0 0 0


X2

X3

S3

Zj

Cj - Zj



800 600 700 0 0 0


600 X2

700 X3

800 S3

Zj

Cj - Zj


EPA EP NEP Variable

1 1 1 X1

0 1 0 X2

0 1 0 X3

0 1 0 S1

0 1 0 S2

1 1 1 S3

100 1 100 RHS


800 600 700 0 0 0


600 X2

700 X3

800 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj

Cj - Zj



-22/35 1 -22/35 0 22/35 X1

-22/35 0 0 1 1 X2

-22/35 0 0 0 0 X3

-22/35 0 0 1/5 1/5 S1

-22/35 0 0 3/35 3/35 S2

-22/35 1 -22/35 -22/35 0 S3

-22/35 100 -2200/35 680/7 160 RHS

800 600 700 0 0 0


0 X1 22/35 1 0 1/5 3/35 0 160

700 X3

800 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj

Cj - Zj



-5/7 1 -5/7 0 5/7 X1

-5/7 0 0 0 0 X2

-5/7 0 0 1 1 X3

-5/7 0 0 0 0 S1

-5/7 0 0 1/7 1/7 S2

-5/7 1 -5/7 -5/7 0 S3

-5/7 100 -500/7 200/7 100 RHS

800 600 700 0 0 0


0 X1 22/35 1 0 1/5 3/35 0 160

700 X3 5/7 0 1 0 1/7 0 100

800 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj

Cj - Zj


el valor de Cj Zj.

800 600 700 0 0 0


0 X1 22/35 1 0 1/5 3/35 0 160

700 X3 5/7 0 1 0 1/7 0 100

800 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj 6.140/7 600 700 120 1.060/7 0 166.000

Cj - Zj -6.140/7 0 0 -120 -1.060/7 0

Ya no nos quedan valores de Cj Zj mayores estrictos a cero, es decir, encontramos la solucin

ptima. La tabla completa queda de la siguiente forma.

800 600 700 0 0 0


0 S1 1 5 -3 1 0 0 500

0 S2 5 0 7 0 1 0 700

0 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj - Zj 800 600 700 0 0 0 ----

0 S1 0 5 -3 1 0 -1 400

0 S2 0 0 7 0 1 -5 200

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj 800 0 0 0 0 800 80.000

Cj - Zj 0 600 700 0 0 -800 ----

0 S1 0 5 0 1 3/7 -22/7 3.400/7

700 X3 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj 800 0 700 0 100 300 100.000

Cj - Zj 0 600 0 0 -100 -300 ----

600 X2 0 1 0 1/5 3/35 -22/35 680/7

700 X3 0 0 1 0 1/7 -5/7 200/7

800 X1 1 0 0 0 0 1 100

Zj 800 600 700 120 1.060/7 -540/7 1.108.000/7

Cj - Zj 0 0 0 -120 -1.060/7 540/7

600 X2 22/35 1 0 1/5 3/35 0 160

700 X3 5/7 0 1 0 1/7 0 100

0 S3 1 0 0 0 0 1 100

Zj 6.140/7 600 700 120 1.060/7 0 166.000

Cj - Zj -6.140/7 0 0 -120 -1.060/7 0

El problema de programacin lineal tiene como solucin X1 = 0, X2 = 160 y X3 = 100, para obtener

un mximo de 166.000.

IV. Problemas de Transporte

21. Una empresa energtica chilena dispone de tres plantas de generacin para satisfacer la

demanda diaria elctrica en tres ciudades, Santiago, Rancagua y Talca. Las plantas 1, 2 y 3 pueden

satisfacer 30, 60 y 70 millones de KW al da respectivamente. Las necesidades de las ciudades de

Santiago, Rancagua y Talca son de 40, 70 y 50 millones de Kw al da respectivamente.

Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre cada planta y

cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Santiago Rancagua Talca

Planta 1 3 4 2

Planta 2 4 6 1

Planta 3 5 1 6

Realizar el planteamiento del problema, sealando funcin objetivo, variables, restricciones y la

tabla inicial de planteamiento. Encontrar adems una solucin bsica factible a travs del mtodo de

la Casilla Nor-Oeste y de Costo Mnimo.

R:

Variables de decisin: los problemas de transporte se caracterizan por intentar minimizar

los costos de transporte desde un origen i a un destino j, es por eso que las variables son de

tipo Xij.

= 1,2,3 , ,

Funcin objetivo: este tipo de problemas de transporte se utiliza para minimizar costos.

= 311 + 412 + 213 + 421 + 622 + 23 + 531 + 32 + 633

Restricciones: cada empresa tiene ofertas de energa, y cada ciudad tiene demandas de

energa, por lo que estas sern las restricciones, en el caso de la oferta siempre se utilizar

el signo , ya que no pueden ofrecer ms de lo que tienen, y en el caso de la demanda se

utilizar el signo , ya que necesitan como mnimo cubrir sus necesidades bsicas de

energa, no se consideran ofertas o demandas negativas, por lo que se aplica la restriccin

de no negatividad.

11 + 12 + 13 30

21 + 22 + 23 60

31 + 32 + 33 70

11 + 21 + 31 40

12 + 22 + 32 70

13 + 23 + 33 50

0

Ya planteado el problema debemos plantear la tabla inicial de transporte, pero primero debemos ver

si el sistema est equilibrado, es decir, si la oferta es igual a la demanda, en este caso:

=

30 + 60 + 70 = 40 + 70 + 50

160 = 160

El sistema est equilibrado, por lo que podemos seguir trabajando de forma normal, la tabla se

dibuja de la siguiente forma.

En la seccin roja va el nombre de la oferta, que se puede representar como Oi.

En la seccin verde va el nombre de la demanda, que se puede representar como Dj.

En la seccin naranja van los costos correspondientes a cada Oi y Dj.

En la seccin amarilla van las demandas totales de cada destino.

En la seccin azul van las ofertas totales de cada empresa.

En la seccin negra van la suma de las ofertas y de las demandas.

Entonces el planteamiento de la tabla inicial, segn el problema, quedara de la siguiente forma.

D1 D2 D3

O1 3 4 2 30

O2 4 6 1 60

O3 5 1 6 70

40 70 50 160\160

Casilla Nor-Oeste

D1 D2 D3

O1 3 4 2 30

O2 4 6 1 60

O3 5 1 6 70

40 70 50 160\160

Ubicarse en la casilla Noroeste y asignar lo mximo posible en esa casilla.

D1 D2 D3

O1 30 3 4 2 30

O2 4 6 1 60

O3 5 1 6 70

40 70 50 160\160

Ajustar la oferta y la demanda despus de la asignacin y tarjar las casillas que quedan con

un remanente cero. En caso que ambos remanentes de oferta y demanda

simultneamente sean cero cancelar las casillas de una sola lnea. Avanzar a la casilla

siguiente que corresponde a la lnea que qued con un remanente positivo y asignar lo

mximo posible.

D1 D2 D3

O1 30 3 X 4 X 2 0

O2 10 4 6 1 60

O3 5 1 6 70

10 70 50 160\160





mximo posible.

D1 D2 D3

O1 30 3 X 4 X 2 0

O2 10 4 60 6 1 60

O3 X 5 1 6 70

0 70 50 160\160





mximo posible.

D1 D2 D3

O1 30 3 X 4 X 2 0

O2 10 4 60 6 X 1 50

O3 X 5 1 6 70

0 10 50 160\160





mximo posible.

D1 D2 D3

O1 30 3 X 4 X 2 0

O2 10 4 50 6 X 1 0

O3 X 5 20 1 6 70

0 20 50 160\160





mximo posible.

D1 D2 D3

O1 30 3 X 4 X 2 0

O2 10 4 50 6 X 1 0

O3 X 5 20 1 50 6 50

0 0 50 160\160



simultneamente sean cero cancelar las casillas de una sola lnea. Quedando m + n -1

asignaciones, el sistema qued completo.

D1 D2 D3

O1 30 3 X 4 X 2 0

O2 10 4 50 6 X 1 0

O3 X 5 20 1 50 6 0

0 0 0 160\160

11 = 30; 21 = 10; 22 = 50;32 = 20; 33 = 50; = 750

Costo mnimo

D1 D2 D3

O1 3 4 2 30

O2 4 6 1 60

O3 5 1 6 70

40 70 50 160\160

Ubicar la casilla con menor costo entre todas las casillas no tarjadas, en caso de empate,

elegir arbitrariamente. Asignar lo mximo posible en la casilla determinada.

D1 D2 D3

O1 3 4 2 30

O2 4 6 50 1 60

O3 5 1 6 70

40 70 50 160\160


un remanente cero. Ubicar la casilla con menor costo entre todas las casillas no tarjadas,

en caso de empate, elegir arbitrariamente. Asignar lo mximo posible en la casilla

determinada.

D1 D2 D3

O1 3 4 X 2 30

O2 4 6 50 1 10

O3 5 70 1 X 6 70

40 70 0 160\160




determinada.

D1 D2 D3

O1 30 3 X 4 X 2 30

O2 4 X 6 50 1 10

O3 5 70 1 X 6 0

40 0 0 160\160




determinada.

D1 D2 D3

O1 30 3 X 4 X 2 0

O2 10 4 X 6 50 1 10

O3 5 70 1 X 6 0

10 0 0 160\160


un remanente cero. Quedando m + n -1 asignaciones, el sistema qued completo.

D1 D2 D3

O1 30 3 X 4 X 2 0

O2 10 4 X 6 50 1 0

O3 0 5 70 1 X 6 0

0 0 0 160\160

11 = 30; 21 = 10;23 = 50; 31 = 0;32 = 70; = 250

22. A continuacin se utilizar el mismo problema anterior pero con un pequeo cambio.

Una empresa energtica chilena dispone de tres plantas de generacin para satisfacer la demanda

diaria elctrica en tres ciudades, Santiago, Rancagua y Talca. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer

40, 60 y 70 millones de KW al da respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Santiago,

Rancagua y Talca son de 40, 70 y 50 millones de Kw al da respectivamente.

Los costos asociados al envo de suministro energtico por cada milln de KW entre cada planta y

cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Santiago Rancagua Talca

Planta 1 3 4 2

Planta 2 4 6 1

Planta 3 5 1 6

Realizar el planteamiento del problema, sealando funcin objetivo, variables, restricciones y la

tabla inicial de planteamiento. Encontrar adems una solucin bsica factible a travs del mtodo

de la Casilla Nor-Oeste y del Costo Mnimo.

R:

Variables de decisin: los problemas de transporte se caracterizan por intentar minimizar

los costos de transporte desde un origen i a un destino j, es por eso que las variables son de

tipo Xij.

= 1,2,3 , ,

Funcin objetivo: este tipo de problemas de transporte se utiliza para minimizar costos.

= 311 + 412 + 213 + 421 + 622 + 23 + 531 + 32 + 633

Restricciones: cada empresa tiene ofertas de energa, y cada ciudad tiene demandas de

energa, por lo que estas sern las restricciones, en el caso de la oferta siempre se utilizar

el signo , ya que no pueden ofrecer ms de lo que tienen, y en el caso de la demanda se

utilizar el signo , ya que necesitan como mnimo cubrir sus necesidades bsicas de

energa, no se consideran ofertas o demandas negativas, por lo que se aplica la restriccin

de no negatividad.

11 + 12 + 13 40

21 + 22 + 23 60

31 + 32 + 33 70

11 + 21 + 31 40

12 + 22 + 32 70

13 + 23 + 33 50

0

Ya planteado el problema debemos plantear la tabla inicial de transporte, pero primero debemos ver

si el sistema est equilibrado, es decir, si la oferta es igual a la demanda, en este caso:

=

40 + 60 + 70 = 40 + 70 + 50

170 = 160

El sistema no est equilibrado, y para equilibrarlo debemos agregar una oferta o demanda ficticia

(dependiendo de qu lado haya un dficit), en este caso, hay ms oferta que demanda, por lo tanto

debemos agregar una columna de demanda con la diferencia que hace que tanto la oferta con la

demanda sean iguales, considerando costos de cero.

D1 D2 D3 D4 (Ficticia)

O1 3 4 2 0 40

O2 4 6 1 0 60

O3 5 1 6 0 70

40 70 50 10 170\170

As queda planteada la nueva tabla de problemas de transporte cuando la oferta y la demanda no

estn equilibradas en un principio.

Casilla Nor-Oeste


O1 40 3 0 4 X 2 X 0 0

O2 X 4 60 6 X 1 X 0 0

O3 X 5 10 1 50 6 10 0 0

0 0 0 0 170\170

11 = 40; 12 = 0; 22 = 60; 32 = 10; 33 = 50; = 790

Costo Mnimo


O1 30 3 X 4 X 2 10 0 0

O2 10 4 X 6 50 1 X 0 0

O3 0 5 70 1 X 6 X 0 0

0 0 0 0 170\170

11 = 30; 21 = 10;23 = 50; 31 = 0;32 = 70; = 250

23. Fernwood Lumbre produce hojas de triplay. El costo de producir 1000 board feet

(144 pulgadas cbicas) de triplay vara de mes a mes debido a la variacin de los costos de

manejo, energa consumida y precio de materias primas. Los costos de produccin por

millar de board feet durante los ltimos 4 meses se muestran a continuacin:

Mes 1 2 3 4

Costo de Produccin

(dlares)

950 1000 1200 1100

La demanda, en millares, por este producto para los prximos 4 meses es como sigue:

Mes 1 2 3 4 Total

Demanda 50 80 100 90 320

Fernwood puede producir hasta 80000 board feet por mes. Tambin tiene la opcin de

mantener inventarios de un mes a otro a un costo de $25 por millar de board feet

mensuales. Por ejemplo, un millar de borrad feet producidos en mes 1 para ser consumidos

durante mes 2 ocasiona un costo de inventario de US$25. Tambin existe la opcin de

mantener faltantes a un costo de 35US$ por mes. Por ejemplo, un millar que no pudo

producirse en el mes 1 y que se cubre en el mes 2 genera un costo de de 35US$.

A Fernwood le gustara saber cunto debe producir cada mes y cuanto mantener en

inventario, ya sea sobrante o faltante, para satisfacer la demanda a bajo costo.

D1 D2 D3 D4

O1 950 975 1000 1025 80

O2 1035 1000 1025 1050 80

O3 1270 1235 1200 1225 80

O4 1205 1170 1135 1100 80

50 80 100 90 320\320

Casilla Nor-Oeste

D1 D2 D3 D4

O1 50 950 30 975 X 1000 X 1025 0

O2 X 1035 50 1000 30 1025 X 1050 0

O3 X 1270 X 1235 70 1200 10 1225 0

O4 X 1205 X 1170 X 1135 80 1100 0

0 0 0 0 320\320

11 = 50; 12 = 30; 22 = 50;23 = 30; 33 = 70; 34 = 10;44 = 80; = 341.750

Costo Mnimo

D1 D2 D3 D4

O1 50 950 30 975 X 1000 X 1025 0

O2 X 1035 50 1000 30 1025 X 1050 0

O3 X 1270 X 1235 70 1200 10 1225 0

O4 X 1205 X 1170 X 1135 80 1100 0

0 0 0 90 320\320

11 = 50; 12 = 30; 22 = 50;23 = 30; 33 = 70; 34 = 10;44 = 80; = 341.750

24. La Johnson Electric produce motores elctricos pequeos para cuatro fabricantes de

instrumentos, en cada una de sus tres plantas. Los costos de produccin por unidad varan segn las

ubicaciones debido a diferencias en el equipo de produccin y el rendimiento de los obreros. Los

costos de produccin por unidad y la capacidad mensual de produccin son:

Planta Costo Prod.

por unidad

Capacidad mensual

de Produccin

A $17 700

B $20 700

C $24 700

Los costos de abastecimiento varan de una planta a otra. Los costos de transporte por unidad y las

demandas de clientes son:

Hacia

Desde 1 2 3 4

A $3 $2 $5 $7

B $6 $4 $8 $3

C $9 $1 $5 $4

La compaa debe decidir cuantas unidades se debe producir en cada planta y que porcin de la

demanda de cada cliente se surtir desde cada una de ellas. Se desea minimizar el costo total de

producir y transportar.

Resolver este problema mediante el algoritmo de transporte considerando que solo se produce la

cantidad de motores necesaria para satisfacer la demanda.

La demanda total es 1800 y la capacidad mensual produccin es 2100. Se debe crear un nodo

demanda ficticio de 300.

D1 D2 D3 D4 D5 (Ficticia)

O1 20 19 22 24 0 700

O2 26 24 28 23 0 700

O3 33 25 29 28 0 700

300 300 600 600 300 2100\2100

Casilla Nor-Oeste


O1 300 20 300 19 100 22 X 24 X 0 0

O2 X 26 X 24 500 28 200 23 X 0 0

O3 X 33 X 25 X 29 400 28 300 0 0

0 0 0 0 0 2100\2100

11 = 300; 12 = 300; 13 = 100; 23 = 500; 24 = 200; 34 = 400; = 43.700

Cliente Demanda

1 300

2 300

3 600

4 600

Costo Mnimo


O1 X 20 300 19 100 22 X 24 300 0 0

O2 100 26 X 24 X 28 600 23 X 0 0

O3 200 33 X 25 500 29 X 28 X 0 0

0 0 0 0 0 2100\2100

12 = 300; 13 = 100;21 = 100;24 = 600;31 = 200;33 = 500; = 45.400

25. Una empresa tiene capacidad de produccin de 100 unidades mensuales para los prximos tres

meses y se requiere cubrir la siguiente demanda: 50, 150 y 100 unidades, respectivamente. Los

costos de producir una unidad es de 0.7 unidades monetarias, los costos de almacenar una unidad

por un mes es de 0.1 y los costos de faltantes de una unidad por mes es de 0.3 unidades monetarias.

Plantee este problema como un problema de transporte y encuentre l programa de produccin

utilizando la regla costo mnimo para encontrar una solucin.

D1 D2 D3

O1 0,7 0,8 0,9 100

O2 1 0,7 0,8 100

O3 1,3 1 0,7 100

50 150 100 300\300

Casilla Nor-Oeste

D1 D2 D3

O1 50 0,7 50 0,8 X 0,9 0

O2 X 1 100 0,7 0 0,8 0

O3 X 1,3 X 1 100 0,7 0

0 0 0 300\300

11 = 50; 21 = 50; 22 = 100; 23 = 0;33 = 100; = 215

Costo Mnimo

D1 D2 D3

O1 50 0,7 50 0,8 X 0,9 0

O2 X 1 100 0,7 X 0,8 0

O3 X 1,3 0 1 100 0,7 0

0 0 0 300\300

11 = 50; 21 = 50; 22 = 510; 32 = 0;33 = 100; = 215

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