Guia Repaso Examen

Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos

Subdirección de Servicios a Escuelas

1

REPASO EXAMEN CALCULO I

Contenidos Unidades

Unidad I:

Funciones Reales

Función lineal

Graficar función lineal

Determinar pendiente

Interpretar pendiente

Función cuadrática

Graficar función cuadrática

Determinar vértice

Interpretar vértice

Composición de funciones

Determinar función compuesta

Interpretar función compuesta

Límite de funciones

Calcular límites al infinito

Interpretar límites al infinito

Unidad II

Derivada y sus Aplicaciones

Derivada como razón de cambio

Tasas de Crecimiento

Rapidez Instantánea

Aceleración Instantánea

Ingreso y Costo Marginal

Máximo y mínimos

Puntos críticos

Intervalos de crecimiento

Intervalos de crecimiento

Valores máximos y mínimos

Problemas de Optimización

Unidad III

Integrales y sus Aplicaciones

Aplicación Integral Indefinida

Tasas de Crecimiento

Rapidez Instantánea

Aceleración Instantánea

Ingreso y Costo Marginal

Aplicación Integral Definida

Valor Promedio

Excedente del Consumidor

Excedente del Productor



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Ejercicio N°1:

Una nueva empresa de taxis ofrece servicios de traslado, cobrando por la cantidad exacta

de kilómetros recorridos durante el viaje. Si el viaje no supera los 22 kilómetros, la tarifa

que debe pagar un cliente en pesos está dada por la función 𝑓(𝑥) = 385𝑥 + 2500 ,

donde 𝑥 corresponde a los kilómetros recorridos durante el viaje.

a) Esboce la gráfica de la función indicando el nombre de los ejes coordenados

b) Determine e interprete coordenada inicial y final, considerando dominio empírico

c) Determine e interprete la pendiente de la función

Ejercicio N°2:

El rendimiento de una moto corresponde a la distancia que puede recorrer por litro de

bencina a una velocidad 𝑥 (km/h). El rendimiento R, en kilómetros, está dado por la

función: 𝐷(𝑥) = −1

250𝑥2 + 0,8𝑥. Considerando que la velocidad máxima es de 120 km/h,

se pide:

a) Esboce la gráfica de la función indicando: Nombre de los ejes coordenados; vértice

de la parábola; Valores en los que la función intersecta al Eje X

b) Escriba el empírico de la función

c) ¿Con qué velocidad se alcanza el rendimiento máximo de la moto? ¿Cuál es el valor

de ese rendimiento?

Ejercicio N°3:

Se sabe que la población de ranas 𝑅 en una región determinada, depende de la población

de insectos dada por la función 𝑅(𝑖) = 65 + √𝑖

8 ; con 𝑅 en miles de ranas. La población

de Insectos a su vez depende de la cantidad de lluvia (en centímetros cúbicos) y se puede

obtener a partir de la función 𝑖(𝑐) = 43𝑐 + 7,5

a) Determine e Interprete 𝑅(𝑐)

b) ¿Cuál es la población de ranas cuando la cantidad de lluvia es de 30 cm3 ?



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Ejercicio N°4:

Los estudios del departamento de publicidad de una empresa, determinaron que la

utilidad por la venta de un nuevo producto, está relacionada con el gasto 𝑥 en publicidad,

mediante la función:

𝑈(𝑥) =46𝑥2+16

2𝑥2+3𝑥+8 ,

Donde 𝑈(𝑥) 𝑦 𝑥 están en miles de dólares.

¿A cuánto se aproxima la utilidad, cuando el gasto en publicidad crece indefinidamente?

Ejercicio N°5:

Una especie de insecto es introducida en un hábitat nuevo. Su población está dada por la

función 𝑃(𝑡) = 𝑒2𝑡 − 250𝑡 + 1030, donde 𝑡 son los años transcurridos desde que la

especie es introducida y 𝑃 la cantidad de insectos.

a) ¿Cuántos insectos habrá después de un año ?

b) Determine 𝑃`(𝑡)

c) Determine e interprete 𝑃`(3)

Ejercicio N°6:

Un automóvil se mueve a lo largo de una carretera en línea recta durante 6 horas, de

modo que su posición desde el punto de partida en kilómetros está dada por la función

𝑃(𝑥) =1

96𝑥4 −

2

3𝑥3 + 12,5𝑥 2, transcurridas 𝑥 horas.

a) Determine la Rapidez Instantánea a las 3 horas

b) Determine la Aceleración Instantánea a las 3 horas



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Ejercicio N°7:

El ingreso en dólares de una empresa por la venta de zapatillas de básquetbol, viene dado

por la función I(x) = 150x + 0,06x2, donde x corresponde a la cantidad de zapatillas

vendidas. Determine e interprete 𝐼′(130)

Ejercicio N°8: La proyección de las utilidades de una empresa dentro de los próximos 3 años está dada

por la función P(x) =50

51𝑥3 − 2,5𝑥 2 + 1,8 en millones de dólares, transcurridos 𝑥 años.

a) Determine el “Dominio contextualizado” de la función

b) ¿Durante qué periodo(s) las utilidades disminuyen?

c) ¿Cuándo se observa la mayor utilidad?

d) ¿Cuál es el valor de la mayor utilidad?

Ejercicio N°9:

Una empresa está diseñando un nuevo tipo de carpa. Para su fabricación se deberán

ocupar 45 m2 de material correspondiente a la superficie total de cada carpa.

Considerando que el área y el volumen de carpa pueden calcularse a partir de las

siguientes fórmulas:

a) ¿Cuáles son las dimensiones de 𝑥e 𝑦 que maximizan el volumen de la carpa?

b) ¿Cuál es el valor del volumen máximo de la carpa?

Aproximen valores a la décima

Área total de la carpa: 287,03 xyxA

Volumen de la carpa: yxV 243,0

x

y



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Ejercicio N°10:

Un fabricante estima que el ingreso marginal es IM(x) = 0.9x2 − 20.5x + 90 euros por

unidad cuando se producen x productos.

a) Si el ingreso al vender 15 productos es de 56,25 determine 𝐼(𝑥)

b) ¿cuál es el ingreso al vender 14 productos?

Ejercicio N°11:

Se ha determinado que dentro de 𝑡 años la población de una cierta ciudad cambiará a

razón de 𝑑𝑃

𝑑𝑡= 8 + 5𝑥

1

2 personas por año. Si la población actual es de 12.000. ¿Cuál será la

población dentro de ocho años?

Ejercicio N°12:

Un camión de carga que se desplaza por la Ruta 5 Norte alcanza una Aceleración

instantánea en km/h2 definida por la función 𝐴(𝑥) = 6𝑥2 − 9𝑥 + 4

Determine la función Rapidez Instantánea, teniendo en cuenta que transcurridas dos horas, la rapidez del camión fue de 96,6 km/hora

Ejercicio N°13:

La función de oferta para calculadoras está dada por O(x) = 0,2x2 + 0,4x + 60 pesos por

unidad. Si se venden 50 calculadoras, ¿cuál es la diferencia entre lo que el productor

efectivamente recibe y lo que estaba dispuesto a recibir por las 50 calculadoras?

Ejercicio N°14:

La función demanda para x refrigeradores es 𝐷(𝑥) = 5000 + 10𝑥 − 0,06𝑥2 dólares por

unidad. ¿Cuál es la diferencia entre lo que el consumidor está dispuesto a pagar y lo que

efectivamente paga, si comprara 45 refrigeradores?



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Ejercicio N°15: La temperatura en el aeropuerto local de una ciudad, indica que t horas después de

medianoche, fue de f(t) = −1,2t2 + 10t + 0,4 grados Celsius. ¿Cuál fue la temperatura

promedio en el aeropuerto entre las 4:00 a.m. y las 6:00 a.m.?



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SOLUCIONES GUÍA RESUMEN EXAMEN CALCULO I

Ejercicio N°1:

a) Nombre Eje x: Precio (pesos) Nombre Eje y: Distancia (km)

b) Coordenadas Inicial (0,2500) Final (22, 10970)

La tarifa inicial del taxi es de $2.500

Al recorrer 22 kilómetro el valor a pagar será de $10.970

c) El costo del taxi aumenta 385 pesos por kilómetro recorrido

Ejercicio N°2:

a) Vértice (100,40) Intersección Eje X (0,0) y (200,0)

b) 𝐷𝑜𝑚 𝐷(𝑥) = [0,120]

c) La velocidad que maximiza el rendimiento es 100 km/h pudiendo recorrer 40

kilómetros por litro de bencina



2

Ejercicio N°3:

a) La población de ranas en miles dependen de la cantidad de lluvia caída en cm3, y se

modela mediante la siguiente función

𝑅(𝑐) = 65 + √43𝑐 + 7,5

8

b)

𝑅(30) = 65 + √43 ∙ 30 + 7,5

8≈ 77,735

La población de ranas cuando caen 30 cm3 de lluvia se estima en 77.735

Ejercicio N°4:

23)(lim

xUx

Si el gasto en publicidad aumenta indefinidamente se espera que la utilidad sea de

23.000 dólares

Ejercicio N°5:

a) 𝑃(1) ≈ 787

Respuesta: Dentro de un año se estima que la población será de 787 insectos

b) 𝑃`(𝑡) = 2𝑒2𝑡 − 250

c) 𝑃`(3) ≈ 556,86

Respuesta: Transcurridos 3 años la tasa de crecimiento será de 557 insectos por año



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Ejercicio N°6:

a) 𝑃`(𝑥) =1

24𝑥 3 − 2𝑥 2 + 25𝑥

𝑃`(3) = 58,125

Respuesta : La rapidez instantánea a las 3 horas es de 58 km/h

b) 𝑃`(𝑥) =1

8𝑥 2 − 4𝑥 + 25

𝑃``(3) = 14,125

Respuesta : La aceleración instantánea a las 3 horas es de 14 km/h2

Ejercicio N°7:

xx I 12,0150

Posibles interpretaciones:

- Cuando se venden 130 pares de zapatillas de básquetbol, el ingreso está

aumentando en 165,6 dólares por par de zapatilla.

- El ingreso marginal, al vender 130 zapatillas de básquetbol, es de 165,6 dólares

por par de zapatilla.

Ejercicio N°8:

a) Dominio empírico [0,3]

b) Determinar puntos críticos P`(x) =50

17𝑥2 − 5x

50

17𝑥 2 − 5x = 0 𝑥1 = 0 𝑥2 = 1,7

x 0 1,7

Signo P`(x) + - +

𝑥1 = 0 es un máximo relativo

𝑥2 = 1,7 es un mínimo relativo

Respuesta: las utilidades disminuyen entre los 0 y 1,7 años trascurridos.



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c)

x 0 1,7 3

P(x) 1,8 -0,608333 5,770588

Respuesta: La mayor utilidad será a los tres años

d) Respuesta: La mayor utilidad corresponde a 5.770.588 euros

Ejercicio N°9:

x

xyxxy

3

87,045 4587,03

22

Función volumen:

x

xxxV

3

87,04543,0

22 31247,045,6 xxxV

23741,045.6 xxV 03741,045,6 2 x 2,4x Punto crítico.

x 4,2

Signo xV + 0 -

Máximo relativo en 2,4x .

35,22,43

2,487,0452

y

Luego, las dimensiones de la carpa deben ser: x = 4,2 m e y = 2,35

m.

9,1735,22,443,0 2 V

El mayor volumen que puede tener la carpa es aproximadamente 18 m3.



5

Ejercicio Nº10

𝑎) ∫ IM(x)𝑑𝑥 = 0,3x3 − 10,25𝑥2 + 90x + C = I(x)

𝐼(15) = 56,25

56,25 = 0,3 ∙ 153 − 10,25 ∙ 152 + 90 ∙ 15 + C 𝑐 = 0

I(x) = 0,3x3 − 10,25𝑥2 + 90x función ingreso que depende de la cantidad de

artículos vendidos

b) I(14) = 74,2

Respuesta: En ingreso al vender 14 artículos será de 74,2 euros

Ejercicio Nº11

∫𝑑𝑃

𝑑𝑡𝑑𝑡 =

10

3x

32 + 8x + C = P(x)

𝑃(0) = 1200

1200 =10

3∙ 0

3

2 + 8 ∙ 0 + C 𝑐 = 1200

𝐏(𝐱) =𝟏𝟎

𝟑𝐱

𝟑

𝟐 + 𝟖𝐱 + 𝟏𝟐𝟎0 función cantidad de Habitantes transcurrido t años

P(8) = 1339,424728

Respuesta: La población dentro de 8 años será de 1339 habitantes aproximadamente



6

Ejercicio N°12:

∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 = 2𝑥 3 − 4,5𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐 = 𝑅(𝑥)

𝑅(𝑥) = 2𝑥 3 − 4,5𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐

Datos entregados: 𝑥 = 2 𝑅(𝑥) = 96,6

96,6 = 2 ∙ 23 − 4,5 ∙ 22 + 4 ∙ 2 + 𝑐 𝑐 = 90,6

La función Rapidez Instantánea en km/h está dada por 𝑅(𝑥) = 2𝑥3 − 4,5𝑥2 + 4𝑥 + 90,6

Ejercicio Nº13

EP = 𝑦0 ∙ 𝑥0 − ∫ 𝑂(x)dx𝑥0

0

𝑦0 = 0(50) = 580 𝑥0 ∙ 𝑦0 = 50 ∙ 580 = 29.000

∫ 0(𝑥)𝑑𝑥 =1

15𝑥3 + 0,2𝑥2 + 60𝑥 + 𝑐 ∫ 𝐷(𝑥)𝑑𝑥 = 11.833,3333

50

0

EP = 29.000 − 11.833,3333 = 17.166,6666

El excedente de productor es $17.167 cuando se venden 50 calculadoras



7

Ejercicio Nº14

EC = ∫ 𝐷(x)dx − 𝑦0 ∙ 𝑥0

𝑥0

0

𝑦0 = 𝐷(45) = 5328,5 𝑥0 ∙ 𝑦0 = 45 ∙ 5328,5 = 239782,5

∫ 𝐷(𝑥)𝑑𝑥 = 5000𝑥 + 5𝑥2 − 0,02𝑥3 + 𝑐 ∫ 𝐷(𝑥)𝑑𝑥 = 233302,545

0

EC = 239782,5 − 233302,5 = 6480

El excedente del consumidor es $6480 cuando el nivel de venta es de 45 artículos

EJERCICI0 Nº15

VP(f(x)) =1

b−a∙ ∫ f(x)dx

b

a

1

6 − 4=

1

2

∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = −2

5𝑡3 + 5𝑡2 + 0,4𝑡 ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 96 − 56 = 40

6

4

VP = 1

2∙ 40 = 20

la temperatura promedio entre las 4 y 6 de la mañana es de 20 ºC

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