guia transformadores y magnetizacion

Sistemas Electromecánicos, Guía II:”Transformadores”

1

GUÍA II : “TRANSFORMADORES”

1. El transformador de la figura tiene una tensión primaria de 115 [Vef] y debe entregar una tensión secundaria de Vs = 500 [Vef]. La frecuencia de la red es de f = 50 [Hz]. El material del núcleo puede ser usado con Bmax = 1.4 [T] y tiene un factor de apilamiento k1 = 0.95. Los devanados pueden trabajar con una densidad de corriente de J = 2 [A/mm2]. El factor de utilización de cada ventana del núcleo es k2 = 0.45 (Área de cobre / Área de la ventana)

Figura 1. Transformador, medidas en [cm].

a) Determine las vueltas Np y Ns de los devanados. b) Determinar la potencia nominal del transformador. c) Considerando que la resistividad del cobre es de ρ = 2·10-8 [Ω·m], estime las pérdidas totales en los devanados cuando operan a corriente nominal. Suponga que los extremos de la bobina son semicirculares.

Resolución:

a) Se tiene que:

Sistemas Electromecánicos, Guía I:”Materiales y Circuitos Magnéticos”

2

BqNfVefˆ····44.4= (1)

Donde:

][00342.0][2.346·6· 221 mcmkq === (2)

Despejando N y evaluando para el primario:

][10800342.0·4.1·50·44.4

115·ˆ··44.4

vueltasqBf

VN pef

p === (3)

De la misma forma para el secundario, utilizando Vsef = 500 [V], o bien:

][470108·115500· vueltasN

VV

N ppef

sefs === (4)

b) El área de la ventana está dada por:

][0018.0][186·3 22 mcmAAA spv ===+= (5) Definamos Aci como el área del conductor "i", entonces:

ci

i

AI

J = (6)

De donde se obtiene que:

css

cpp

AJI

AJI

·

·

=

= (7)

Figura 2. Ventana


3

Usando Àmpere en la ventana de la figura:

pspp

sppp

ININ

ININlH

··

··0·

=⇒

−==∂∫rr

(8)

Además según el factor de apilamiento:

22

22

···

···

kAN

AAkAN

kAN

AAkAN

csssscss

cppppcpp

=⇒=

=⇒= (9)

Reemplazando (9) en (5), y usando (7):

vsspp

ssppv

csscppv

AkJININJkIN

JkIN

A

kAN

kAN

A

······

··

··

2

22

22

=+⇒

+=

+=

(10)

Usando esto último con (8):

vpp AkJIN ····2 2= (11) Despejando Ip, se obtiene:

][7.1·

][5.72

0018.0·45.0·10810

1·2

2·

·6

2

AINN

I

AAk

NJI

pp

ss

v

pp

==

===−

(12)

Luego la potencia nominal del transformador es:

][8507.1·500·· VAIVIVS sspp ==== (13) c) Las pérdidas en el cobre son del tipo I2·R, donde:


4

∑=ci

i

Al

R ·ρ (14)

Con: Aci corresponde al área del conductor "i"; Ai corresponde al área del devanado "i". Despejando de (9) Aci y reemplazando en (14):

mii

ii

i

i

i

ii lAk

Nl

AkN

AkNl

R ··

··

··

··

·222

ρρρ ∑∑ === (15)

Las pérdidas son:

s

msssssspérd

p

mpppppppérd

AklN

IRIP

AklN

IRIP

··

···

··

···

2

222

_

2

222

_

ρ

ρ

==

==

(16)

Usando de (10):

JkNI

AJk

NIA ss

spp

p ··

··

22

=∧= (17)

Con (8), Ap = As , por lo tanto:

msssspérd

mpppppérd

lJNIPlJNIP

········

_

_

ρ

ρ

=

= (18)

Considerando el esquema de la figura del enunciado:

][36.010)]·75.03·(·22·6[

][45.010)]·75.05.13·(·22·6[2

2

ml

ml

ms

mp

=++=

=+++=−

−

π

π (19)

Entonces:

][1.26][5.1136.0)·10·2)·(10·2·(470·7.1

][6.1445.0)·10·2)·(10·2·(108·5.768

_

68_

WPWP

WP

Totales

spérd

ppérd

=

==

==−

−

(20)


5

2. El reactor de la figura está hecho con láminas de acero eléctrico M-15. las curvas de magnetización y de pérdidas de este acero se muestran en las figuras siguientes. El devanado se excita con una tensión sinusoidal para producir una inducción en el acero de B(t) = 1.4·sen(377·t). El factor de apilamiento del núcleo es 0.94. la densidad del acero es 7.65 [gr/cm3], N = 200 [vueltas]. Determine:

Figura 3. Reactor (medidas en pulgadas) y Circuito Simplicado

a) El voltaje aplicado en el tiempo b) El valor máximo de la corriente magnetizante Im. c) El valor efectivo de la corriente magnetizante (ayuda: regraficar la característica B – H en escala lineal). d) Las pérdidas en el núcleo. e) Se representa el reactor por el circuito eléctrico simplificado de la figura. e.1) ¿Cuánto vale Rfe? e.2) ¿Cuánto vale la corriente de vacío I0?


6

Figura 4. Curva de Magnetización

Figura 5. Pérdidas en el Núcleo


7

Resolución: a) Por Faraday:

)·cos(ˆ······ tBANtBAN

tN

tV ωωφ

−=∂∂

−=∂∂

−=∂Ψ∂

−= (21)

Donde:

][377

][00242.0]lg[76.394.0·2·2 22

segrad

mpuA

=

===

ω (22)

Entonces:

)·377cos(4.255)()·377·cos(4.1·377·00242.0·200)(

ttVttV

−=−=

(23)

b) Por ley de Ampere:

mm LHNI ·ˆ·ˆ = (24)

Donde Lm = 28 [pulg] = 0.7112 [m]; ][4.1ˆ TB = ; según curva B-H, ][25ˆmAH =

][09.0200

7112.0·25ˆ AIm == (25)

c) La característica B-H en escala lineal:


8

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

H [AV/m]

B [T

]

Figura 6. Curva Lineal de Magnetización

Considerando que con ][4.1ˆ TB = el material no está totalmente saturado, lo que implica que la corriente magnetizante es aproximadamente sinusoidal

][063.02

ˆA

II m

mef == (26)

d) De la curva de pérdidas, se tiene que con ][4.1ˆ TB = :

][1kgWPc = (27)

De tal forma:

MasaPPérdidas c ·= (28)

Donde :


9

][23.1725]lg[28.1052)·6·94.0·2·2(2)·2·94.0·2·8(

][65.7

·

32

3

cmpuVolumencmgr

VolumenMasa

==+=

=

=

δ

δ

(29)

Donde :

][198.13198.13·1][198.1365.7·25.17WPérdidas

KgMasa==⇒

== (30)

e) Se tiene que:

fe

effe P

VR

2

= (31)

Donde:

][6.1802

4.2552

ˆVVVef === (32)

Luego:

][3.2471198.136.180 2

Ω==feR (33)

Anteriormente se obtuvo:

][063.0 AImef = (34) Por su parte, la corriente a través de la resistencia del fierro es:

][073.03.2471

6.180 ARV

Ife

effe === (35)

Luego, sumando fasorialmente las corrientes se obtiene que:

][096.0220 AIII mfe =+= (36)


10

3. Un transformador monofásico de 100 [kVA], 13200/230 [V], 50 [Hz], fue sometido a un ensayo en cortocircuito con corriente nominal, midiéndose 528 [V] y 1590 [W]. Ensayado en vacío con tensión nominal se middió 4.5 [A] y 318 [W].

a) Determine los parámetros del circuito equivalente T y expréselos en (pu), en Ω referidos al devanado de alta tensión, y en Ω referidos al devanado de baja tensión b) Para una carga de 80 [kVA], cos(φ) = 0.8 capacitivo, determine las corrientes en las ramas del circuito equivalente y expréselas en (pu), en [A] referidas al lado de alta tensión y en [A] referidas al lado de baja tensión. c) Exprese las pérdidas nominales en (pu) y determine el rendimiento nominal del transformador. d) Determine la regulación del transformador para las condiciones indicadas en b). e) Si la red es de 60 [Hz] y 13.2 [kV]. Determine las nuevas pérdidas del fierro nominales, suponiendo que las medidas a 50 [Hz] son 2/3 PH y 1/3 PF.

Resolución: a) El ensayo de cortocircuito se alimenta desde alta tensión:

Figura 7. Ensayo de Cortocircuito

][016.010·100

1590)(

][040.013200

528)()(

3_ pu

SP

r

puvz

n

ncue

cce

===

=== (37)

Entonces:

][037.0)()()( 22 purzx eee =−=σ (38)

Las impedancias base:


11

][53.010·100

230

][174210·100

13200

3

22

3

22

Ω===

Ω===

b

bsbs

b

bpbp

SV

Z

SV

Z (39)

Luego, las impedancias en el lado de alta:

][5.64)·(][9.27)·(Ω==

Ω==

bpee

bpee

ZxXZrR

σσ

(40)

Y en el lado de baja:

][0196.0)·(][0085.0)·(Ω==

Ω==

bsee

bsee

ZxXZrR

σσ

(41)

Ensayo en vacío se alimenta desde baja tensión:

Figura 8. Ensayo de Vacío

Referido al lado de baja tensión

][4.1663182302

0

2

Ω===P

VR sn

fe (42)

Potencia reactiva en vacío:

][985)318()5.4·230( 220 VARQ =−= (43)

][7.539852302

0

2

Ω===Q

VX sn

m (44)

Referido al lado de alta tensión:


12

][9.176)230

13200·(7.53)·('

][1.548)230

13200·(4.166)·('

22

22

Ω===

Ω===

kVV

XX

kVV

RR

sn

pnmm

sn

pnfefe

(45)

En (pu):

][10153.07.53)(

][31453.0

4.166)(

puZX

x

puZR

r

bs

mm

bs

fefe

===

=== (46)

b) Corriente en la carga, considerando ][º0230

*VVs ∠= y φ = arcos(0.8) = 36.9º

][º9.36348º0230

º9.3610·80 3

*

*arg

*A

V

SI

s

ac

s ∠=∠∠

== (47)

Figura 9. Circuito T equivalente

Caída de tensión en la rama de magnetización:

][º9.02.229)0196.0·0085.0·(21·

***VVjIV ssi ∠=++= (48)

Corriente magnetizante:


13

][º1.893.4º907.53º9.02.229

·' *

*A

Xj

VI

m

i

m −∠=∠∠

== (49)

Corriente por Rfe:

][º9.04.14.166

º9.02.229' *

*

AR

VI

fe

i

fe ∠=∠

== (50)

La suma de (49) y (50) no da la corriente I':

][º1.715.4'''

***AIII fem −∠=+= (51)

Luego la corriente primaria vista desde baja tensión:

][º2.366.346º1.715.4º9.36348''

***

AIII sp ∠=−∠+∠=+= (52)

Refiriendo ahora dichas corrientes al lado de alta tensión, según:

13200230'·'·

1

2 INN

II == (53)

Entonces:

][º2.3604.6

][º9.0024.0

][1.89075.0

][º9.3606.6'

*

*

*

*

AI

AI

AI

AI

p

fe

m

s

∠=

∠=

−∠=

∠=

(54)

La corriente de base de alta tensión es:

][58.713200

10·100 3

AIbp == (55)

Luego las corrientes en (pu) son:


14

][º2.36797.058.7

º2.3604.6)(

][º9.00032.058.7

º9.0024.0)(

][º1.890099.058.7

º1.89075.0)(

][º9.368.058.7

º9.3606.6)(

*

*

*

*

*

*

*

*

puI

Ii

puI

Ii

puI

Ii

puI

Ii

bp

p

p

bp

fe

fe

bp

m

m

bp

s

s

∠=∠

==

∠=∠

==

−∠=−∠

==

∠=∠

==

(56)

c) Considerando que el ensayo de cortocircuito se realizó a corriente nominal, las pérdidas de

cobre nominales en (pu) son:

][0159.010·100

1590)( 3_ pup ncu == (57)

Considerando que el ensayo de vacío se realizó a tensión nominal, las pérdidas del fierro en (pu) son:

][00318.010·100

318)( 3_ pup nfe == (58)

Luego el rendimiento estará dado por:

%1.9800318.00159.01

1

___

_

_

_ =++

=++

==ncunfenútil

nútil

nentrada

nsalidan PPP

PPP

η (59)

d) La regulación está dada por:

)()·())·cos(( φφε σ senxr een += (60) Además se tienen las siguientes relaciones para corrientes distintas a la nominal:

)(·)(

)·()·cos(

)(

)·()(·

·)·cos(

·____

φφφφε

σ

σ sen

ZV

IZX

ZV

IZR

senV

IXV

IR

bs

ns

sbs

e

bs

ns

sbs

e

ns

se

ns

se +=+= (61)


15

%735.0))6.0·(037.08.0·016.0(435348

))()·())·cos(·((_

−=−+=

+=

ε

φφε σ senxrII

eens

s

(62)

e) Se tiene:

.··44.4

· cteAN

VBf == (63)

Luego las pérdidas de foucalt son constantes a cualquier frecuencia según:

2)··( BfkP FF = (64)

Sin embargo, las pérdidas por histéresis no lo son:

BkBBfkBfkP HHHH '·)···(·· 2 === (65)

Dependen de la inducción, pero:

65

65

6050

··

50

60

60

50

60

50

60605050

=⇒===⇒

=

H

H

Hz

Hz

Hz

Hz

HzHzHzHz

PP

ff

BB

fBfB (66)

Considerando los datos del enunciado:

][283][177)318·

65·(

32

][106318·31

6060_60

60

60

WPPPWP

WPHFnfe

H

F

=+=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

==

== (67)

4. De los ensayos de vacío y cortocircuito de un transformador monofásico de 20 [kVA], 2400/240 [V], 60 [Hz] se obtuvo: con el devanado de alta tensión abierto V0 = 240 [V], I0 = 1.066 [A], P0 = 126.6 [W]; con el devanado de baja tensión cortocircuitado Vcc = 57.5 [V], Icc = 8.34 [A], Pcc = 284 [W]. Determine:

a) Los parámetros del circuito equivalente referidos al lado de baja tensión. b) La regulación y el rendimiento para plena carga con factor de potencia de la carga 0.8


16

inductivo.

Resolución: c) El ensayo de cortocircuito se alimenta desde alta tensión:

Figura 10. Ensayo de Cortocircuito

][014.02400

10·20·34.8

284·1·)(

][024.02400

10·20·34.8

5.57·1·)(

2

3

2222

2

3

2

puVS

IP

ZIP

r

puVS

IV

ZIV

z

pn

n

cc

cc

bpcc

cce

pn

n

cc

cc

bpcc

cce

====

====

(68)

Entonces:

][019.0)()()( 22 purzx eee =−=σ (69)

Ensayo en vacío se alimenta desde baja tensión:

Figura 11. Ensayo de Vacío

Referido al lado de baja tensión

][4556.126

2402

0

20 Ω===

PV

R fe (70)

Potencia reactiva en vacío:


17

][222)6.126()066.1·240( 22

0 VARQ =−= (71)

][2592222402

0

20 Ω===

QV

X m (72)

La impedancia base de baja tensión es:

][88.22000024022

Ω===n

snbs S

VZ (73)

El circuito visto desde baja tensión es:

][º9.36348º0230

º9.3610·80 3

*

*arg

*A

V

SI

s

ac

s ∠=∠∠

== (74)


Considerando:

][259][455

][027.02)·(

2'

][020.02·

2'

Ω=

Ω=

Ω====

Ω====

m

fe

bseepp

bseeps

XR

ZxXXX

ZrRRR

σσσσ (75)

b) La regulación, con cos(φ) = 0.8 ind. (φ = 36.9º), está dada por:

%26.26.0·019.08.0·014.0)()·())·cos((

=+=+=

n

een senxrε

φφε σ (76)


18

Para obtener el rendimiento a plena carga consideremos:

][º9.36240

10·20

][º0240

3

*

*

AI

VV

s

s

=−∠=

∠=

(77)


La tensión en la rama de magnetización es:

][º2.07.242

]º90027.0020.0º·[9.363.83º0240)··(

*

***

VV

XjRIVV

i

ssssi

∠=

∠+−∠+∠=++= σ

(78)

Luego la corriente en la rama de magnetización:

][º4.6008.1

][º2.053.0455

º2.07.242

][º8.8994.0º90259

º2.07.242·

***

*

*

*

*AIII

AR

VI

AXj

VI

fem

fe

i

fe

m

i

m

−∠=+=⇒

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

∠=∠

==

−∠=∠∠

==

(79)

Con esto:

][2.373.84'***

AIII sp −∠=+= (80)

Ahora las potencia activa tanto en el cobre, el fierro y la carga son:


19

][3.15987)º9.36·cos(3.83·240)·cos(·][8.127455·53.0·

][9.280020.0·8.83020.0·3.84·'·'

arg

22

2222

WIVPWRIP

WRIRIP

ssac

fefefe

ssppcu

===

===

=+=+=

φ (81)

Entonces con esto último el rendimiento es:

%5.97arg

arg =++

=fecuac

ac

PPPP

η (82)

Nota: Se sabe que Sn = Vpn·Ipn , lo que nos lleva a que:

n

pn

pn

pnbp S

VIV

Z2

== (83)

Análogo para el secundario.

5. Un transformador monofásico de 50 [kVA], 7630/220 [V], 50 [Hz], tiene tensión de cortocircuito de 3.6% y pérdidas de cobre nominales de 2.5%..

a) Demostrar que (pcu n) = (re) y que (vcc) = (zcc). b) Calcule los valores en Ω de la resistencia y la reactancia de cortocircuito referidas al devanado de alta tensión.. c) El transformador tiene el 80% de la tensión nominal en el primario y entrega corriente nominal a una carga capacitiva pura. c.1) Determine la tensión en el secundario en [V]. c.2) Determine la regulación del transformador. c.3) Dibuje el diagrama fasorial.

Resolución: a) Definiendo la impedancia base como:

n

nb I

VZ = (84)

Entonces se tiene que:


20

])[(··

)(2

__ pur

ZR

IVR

VIRI

SP

p eb

e

n

n

e

nn

en

n

ncuncu =====

(85)

Figura 14. Circuito Simplificado del Ensayo CC

Según la figura anterior:

])[(·

)( puzZZ

VZI

VV

v ccb

cc

n

ccn

n

cccc ==== (86)

b) Se tiene:

][025.0100

5.2)()(

][036.0100

6.3)()(

_ pupr

puvz

ncue

cccc

===

=== (87)

][026.0)()()( 22 purzx ecc =−=σ (88) La impedancia base de alta tensión es:

][116410·50

76303

22

Ω===n

pnbp S

VZ (89)

Entonces los parámetros en Ω primarios:

][3.301164·026.0)·(][1.291164·025.0)·(Ω===

Ω===

bp

bpee

ZxXZrR

σσ

(90)

c) Se tiene el siguiente circuito simplificado:


21

Figura 15. Circuito Simplificado

Trabajando en (pu) se tiene que (vp') = 0.8 [pu] e (ip') = 1. Por LVK:

)]·()·())·[('()'(**

cepp xjxjriv −+= σ (91)

)](0026.0·[025.0º08.0º1

)]()·[()(

)'()'( *

*

c

ce

p

p

xj

xxjr

vi

++∠

=∠

−+=

α

σ (92)

Calculando el módulo de la corriente y despejando:

º88826.0)(

)](0026.0[025.08.01

2

=⇒=⇒

++=

αc

c

xx

(93)

c.1) La tensión en el secundario es:

][º27.181

º90826.0º·881·220)]·()['(

*

**

VV

xjIVV

c

cpsnc

−∠=

−∠∠=−= (94)

c.2) Consideremos la regulación como:

0

0

s

ss

VVV −

=ε (95)

Donde Vs0 corresponde a la tensión en el secundario en vacío, y Vs corresponde a la tensión en el secundario con carga. De este modo:


22

%24.38.0·220

7.1818.0·220

V '

c

0

−=−

=−

=⇒

=

=

'VV'V

VVV

p

cp

s

ps

ε

(96)

c.3) Diagrama fasorial:

Figura 16. Circuito Simplificado

Con esto se tiene:

Figura 17. Diagrama Fasorial

Notar que la tensión del secundario es mayor que la del primario, esto es consecuencia de la carga capacitiva, se tiene regulación negativa

6. Dos transformadores monofásicos de 400 [kVA] cada uno, con igual relación de transformación operan en paralelo alimentando a una carga de 300 [kW] con factor de potencia 0.8 capacitivo. Las impedancias de los transformadores son Za = 0.5 + j·0.8 [Ω] y Zb = 0.75 + j·4 [Ω]. Calcule la potencia entregada por cada transformador.

Resolución:


23

a) Consideremos el siguiente circuito equivalente de la situación que se presenta:

Figura 18. Circuito Equivalente Simplificado

Se tiene que º9.36)8.0cos( −== arφ y que:

][º9.36375º9.368.0*

kVAP

S cc −∠=−∠= (97)

Por LVK:

****VVVV cba === (98)

Entonces, considerando las potencias:

][º9.36375*·*·

*·*·

*·*·

*****

*****

*****

kVAIVIVS

IVIVS

IVIVS

cccc

bbbb

aaaa

−∠===

==

==

(99)

Las corrientes por cada transformador son:

***

***

º·4.1719.0·

º·97.382.0·

cab

acb

cba

bca

IZZ

ZII

IZZ

ZII

−∠=+

=

∠=+

=

(100)

Así las potencias, reemplazando (99.3) son:


24

][5.1925.71*·º·4.1719.0*·

][º87.405.307*·º·97.382.0*·

*****

*****

kVAIVIVS

kVAIVIVS

cbb

caa

−∠=∠==

−∠=−∠== (101)

7. El transformador de la figura es alimentado a través de una resistencia R = 100 [Ω] con la tensión rectangular de la figura. El núcleo tiene característica B – H de la figura.

a) Grafique la corriente del primario I1(t) con t enntre 0 y 0.2 [s] b) Determine el valor efectivo de la tensión V2. Ayuda: Cuantifique y grafique B(t). Datos: A = 40 [cm2], Lfe = 20 [cm], N1 = 500, N2 = 50, R = 100 [Ω]:

Figura 19.

Resolución:


25

a) Cuando el transformador no se encuentra en estado de saturación la inductancia magnetizante Lm tiende a ∞. Entonces la corriente del primario sea igual a cero, y la tensión primaria E1 igual a V1.

Es necesario saber si el transformador está en estado de saturación o no en un semiperiodo. Para esto, se debe calcular el tiempo que tarda en cambiar de -1.5[T] a 1.5[T], a través de:

tANtV

BtBAN

tNtV ∂=∂⇒

∂∂

=∂Φ∂

= ··)(

···)(1

1111 (102)

Entonces, considerando Br como 1.5[T], entonces la variación de B es de 2·Br, luego:

1

1

1

1

0 11

···2···2

)·(··

1·2

VANBt

ANtVB

ttVAN

B

rr

t

r

=⇒=

∂= ∫ (103)

Entonces evaluando, t = 0.03[s]. Considerando que un semiperiodo dura 0.05[s], el transformador alcanza a saturarse en un semiperiodo.

Así, cuando el trafo no está saturado:

005.1

1 =⇒∞→== IHB

feμ (104)

Cuando el trafo está saturado:

][211 A

RV

I == (105)

Para realizar los gráficos, se debe considerar

122211 101··)(··)( VV

tBANtV

tBANtV =

∂∂

=∂∂

= (106)

⎩⎨⎧

≤≤∧≤≤≤≤∧≤≤

=][1.008.0][05.003.0];[2

][08.005.0][03.00;01 ststA

ststI (107)

Se tiene entonces:


26

10 3020 40 6050 70 80 90 100

10 3020 40 6050 70 80 90 100

10 3020 40 6050 70 80 90 100

10 3020 40 6050 70 80 90 100t[ms]

V2[V]

I1[V]

B[T]

V2[V]

1.5

-1.5

200

-200

2

-2

20

-20

Figura 20. Gráficas

b) El valor efectivo de V2(t) es:

][75.7]03.0·2003.0·20·[1.0

1)·(·1 22

0

222 VttV

TV

T

ef =+=∂= ∫ (108)

8. Las dimensiones lineales del transformador A son el doble de las correspondientes al transformador B. Ambos transformadores tienen igual número de vueltas, láminas de igual espesor en el núcleo, la misma inducción de trabajo, igual densidad de corriente y la misma frecuencia. El diámetro de los conductores también está en relación 2 a 1. Determine:


27

a) Las potencias nominales B

A

PP .

b) Las reactancias de magnetización B

A

XX .

c) Las resistencias del fierro feB

feA

RR

.

Resolución: a) Para conocer la relación de potencias nominales es necesario conocer las relaciones de las

tensiones del primario y entre las corrientes del primario de uno y otro transformador. Según:

4·2ˆ····44,4

ˆ····44,4 2

1

1

1

1 ===⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

B

B

B

A

B

A

BB

AA

qq

qq

VV

BqfNV

BqfNV (109)

4)·()·2·(

)·()·(

··

2

2

2

2

1

1

1

1 ====⇒⎭⎬⎫

==

cB

cB

cB

cA

cB

cA

B

A

cBB

cAA

radioradio

radioradio

SS

II

SJISJI

ππ

ππ

(110)

De este modo:

16···

1

1

1

1

1

1

111

111 ==⇒⎭⎬⎫

==

B

A

B

A

B

A

BBB

AAA

II

VV

PP

IVPIVP

(111)

b) Las reactancias de magnetización están dadas por:

221·2·

··

··

··

··

2

2

2

22

22

====⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=ℜ

=

=ℜ

=

feA

feB

B

A

feB

Bfe

feA

Afe

mB

mA

feB

Bfe

BmB

feA

Afe

AmA

ll

qq

lq

N

lq

N

LL

lq

NNL

lq

NNL

μ

μ

μ

μ

(112)

Entonces:

2··

==mB

mA

mB

mA

LL

XX

ωω

(113)

c) Según las pérdidas del fierro, con "cfe" definido como las pérdidas del fierro por unidad de

volumen:


28

82·

·3 ===⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

B

A

feA

feA

BfefeA

AfefeA

VolVol

PP

VolcP

VolcP (114)

Así la relación entre las resistencias del fierro:

281·4· 2

21

21

21

21

===⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

feA

feB

B

A

feA

feA

feB

BfeA

feA

AfeA

PP

VV

RR

PVR

PV

R

(115)

9. Un generador alimenta a una industria mediante el circuito de la figura. El transformador T2 está compuesto por 3 transformadores monofásicos de 333 [kVA], Z = 0.00145 + j·0.0078 [Ω] referida al lado de baja tensión. La línea de distribución tiene una impedancia ZL = 0.14 + j·0.5 [Ω] por fase. La resistencia de cortocircuito del transformador T1 es despreciable. ¿Cuál es el valor máximo que puede tener la reactancia de cortocircuito de T1 (en %) si la regulación máxima admisible es de 10 % cuando la industria trabaja a plena carga con factor de potencia 0.9?

Figura 21. Sistema de Distribución

Resolución: a) La impedancia de cortocircuito de un transformador monofásico de T2 referida al lado de

alta tensión es:

][78.0·145.0240

34160

)·0078.0·00145.0(240

34160

·'

2

*2

*2 Ω+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= jjZZ (116)

El transformador está en delta estrella, es decir:


29

LLsfasep VNN

V ·1

2= (117)

Entonces, el circuito equivalente por fase referido al lado de la línea de distribución

(4160[Vll]) resulta:

j·ZT1 j·0.51 j·0.780.14 0.145

Zc’

In

41603

ZL’ Z2’

Figura 22. Circuito Equivalente Referido a Línea de Distribución

Donde la corriente nominal es:

][8.1384160·3

10·V3

6

LLn

3 Ω=== nn

SI φ (118)

Según la ecuación de regulación:

·sen(φsV·XI

(φφ·V·RI

ε TnTn

11

cos += (119)

Donde RT = 0.285[Ω], V1 = 2402[V], XT = XT1+1.29 [Ω].

][1.2

436.0·2402

)29.1·(8.1389.0·

2402285.0·8.1381.0

1

1

Ω=⇒

++=

T

T

X

X (120)

Llevándolo a porcentaje, se tiene antes que:

][3.178.138

2402Ω===

fb

fbb I

VZ (121)

De este modo:


30

%1.12100·% 11 ==

b

TT Z

XX (122)

10. Un grupo formado por 3 transformadores monofásicos idénticos de 100 [kVA], 2400/120 [V] conectados delta – estrella es alimentado a través de una línea de impedancia Z = 0.8 + j·0.3 [Ω] por fase. La tensión al comienzo de la línea es 2400 [V] entre líneas. La prueba de uno de los transformadores con su lado de aja tensión en cortocircuito ha entregado Vcc = 52 [V], Icc = 41.6 [A], Pcc = 950 [W].

a) Calcule la tensión entre líneas del secundario cuando se suministra corriente nominal a una carga trifásica con factor de potencia unitario. b) Calcule las corrientes en el primario y en el secundario del transformador y en los conductores de la línea cuando se produce un cortocircuito trifásico en los terminales del secundario. c) Efectúe los cálculos anteriores usando el sistema por unidad.

Resolución: a) Primero se debe obtener el circuito equivalente por fase:

Figura 23. Circuito Equivalente por Fase

Donde:

1202400

2

1 =NN (123)


31

Reflejando la impedancia de carga *CZ en el primario, resulta:

Figura 24. Circuito Equivalente por Fase Reflejado en el Primario

Donde:

2

2

1

*

1

22

2

12

1

1

*' ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛===

NNZ

NNI

NNV

IVZ CC (124)

Debido a que el primario está en delta, entonces:

3

'**

1

*

C

TOTAL

ZZZ

+= (125)

Del ensayo de cortocircuito, con alimentación desde lado primario, se obtiene la magnitud de

*1Z , su parte real con la ecuación de potencia y su parte imaginaria:

[ ]Ω=== 25.16.41

52*1

CC

CC

IVZ (126)

[ ]Ω=== 55.06.41

950221

CC

CC

IPR (127)

[ ]Ω=−= 12.121

211 RZXσ (128)


32

Finalmente la impedancia es:

[ ]

[ ]Ω+=

Ω+=

37.018.03

12.155.0

*1

*1

jZ

jZ

(129)

La carga tiene factor de potencia unitario:

2

2

1

*'' ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

NNRRZ CCC (130)

Resultando el circuito equivalente por fase:

Figura 25. Circuito Equivalente por Fase

La carga está alimentada con corriente nominal I1:

( )[ ]A

VS

IInLL

nn 2.72

2400310·100·3

3

3

1

311 ==== φ (131)

Usando LVK:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ ++=

3

'*1

**1

*1

C

Lnn

RZZIV

º2.72

3

'*1

*

*1

*1 α∠=

++

=⇒C

L

n

n RZZ

VI

(132)

Reemplazando:


33

( ) ( )3

'37.018.03.08.0

º03

2400

º2.72CRjj ++++

∠=∠α (133)

El módulo de dicha corriente es:

( )22

37.03.03

'18.08.0

32400

2.72

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=CR

(134)

Con lo que se obtiene:

[ ]Ω= 6.54'CR º2−=α

(135)

Entonces, se tiene que las tensiones de fase del secundario suponiendo Dy0:

[ ]VRIV Cn º21314

36.54º·22.72

3''

*1

*2 −∠=−∠== (136)

[ ]VNNVV º2114

32400120º·21314

3

'1

2

*2

*2 −∠=−∠==

(137)

Y la tensión entre líneas del secundario:

[ ]VVV LL º28197º·303*2

*2 ∠=+∠= (138)

b) Circuito equivalente por fase, al producirse un cortocircuito en los terminales del

secundario:

Figura 26. Circuito Equivalente por Fase, Cortocircuito de Terminales del Secundario


34

Se tiene entonces que la corriente por los conductores de línea del lado del primario es:

( ) ( ) [ ]AjjZ

Z

VI

L

º34116737.018.03.08.0

º03

2400

3*1

*

*1

*1 −∠=

+++

∠=

+

= (139)

Figura 27. Equivalencia de Corrientes

Por equivalencia según la figura, en los devanados del primario circula una corriente:

[ ]AI

I º64674º303

*1

*1 −∠=−∠=Δ (140)

Y en los devanados del secundario:

[ ]ANNIIS º6413480

1202400º·64674

2

1

*1

*−∠=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−∠== Δ (141)

c) En (pu) se tiene:

[ ]puV º01*1 ∠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ (142)

Impedancia base del primario:

[ ]Ω=== 2.1910·100·3

24003

2

3

21

1φn

nLLb S

VZ (143)

Luego las impedancias en (pu) son:


35

[ ]pujZ

ZZ

b

L

L º21045.02.19

3.08.01

*

*∠=

+==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ (144)

[ ]pujZ

ZZ

b

º64021.02.19

37.018.033 1

*1

*1

∠=+

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(145)

Figura 28. Circuito Equivalente por Fase en (pu).

Luego la corriente por los conductores de la línea (lado del primario):

[ ]puZ

Z

VI

L

º341.16º64021.0º21045.0

º01

3*1

*

*1

*1 −∠=

∠+∠∠

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

(146)

Como se está trabajando en (pu) resulta:

[ ]puIII ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Δ*1

*1

*2 (147)

Considerando las corrientes bases:

[ ]AV

SI

nLL

nb 2.72

2400·310·100·3

3

3

1

31 === φ (148)

[ ]AII bb 7.41

31

1 ==Δ (149)

( ) [ ]AV

SI

nLL

nb 3.833

120·3·310·100·3

3

3

2

32 === φ (150)

Comprobando las corrientes obtenidas anteriormente son:

i. en línea del primario:


36

[ ]AIII b º3411622.72º·341.161*1

*1 −∠=−∠=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 51)

ii. En devanados del primario:

[ ]AIII b º64671º307.41º·341.16º301*1

*1 −∠=−∠−∠=−∠⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ΔΔ 52)

iii. En devanados del secundario:

[ ]AIII bSSS º34134163.833º·341.16**

−∠=−∠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (153)

Nota: Las pequeñas diferencias se deben a la aproximación y no uso de decimales.

11. La figura simboliza a un transformador trifásico de 3 devanados con el primario en conexión estrella, un secundario en delta y el otro secundario (terciario) en estrella. Este transformador alimenta a 2 rectificadores controlados, tal como se muestra en la figura, en lo que se conoce como rectificador de 12 pulsos, equipo muy utilizado en el control de alta potencia.

a) Haga el conexionado completo del transformador, especificando cómo van las bobinas en el núcleo, considerando una conexión del tipo Yd11 (P-S) e Yy0 (P-T). b) Determine la relación de transformación entre P-S y P-T para que las tensiones secundarias tengan igual valor, c) ¿Cuál es el ángulo de desfase entre las tensiones de los secundarios?

Figura 29. Transformador Trifásico


37

Resolución: a) Entre primario P y secundario S, suponiendo configuración Yd11:

Figura 30. Diagrama Fasorial entre P y S

Entre primario P y secundario T (terciario), suponiendo configuración Yy0:

Figura 31. Diagrama Fasorial entre P y T

Las conexiones son como se muestra a continuación:

Figura 32. Conexiones


38

b) Se requiere la siguiente condición:

TLLSLL VV = (154)

Considerando las siguientes relaciones de S y T con respecto a P:

SLL

PLL

S

P

VV

NN

=3

S

PSLLPLL N

NVV 3=

(155)

TLL

PLL

T

P

VV

NN

= (156)

Reemplazando VPLL en la segunda relación, resulta:

TLL

S

PSLL

T

P

VN

NV

NN

3

= (157)

Considerando la condición requerida, TLLSLL VV = , se llega a la relación entre las vueltas en los devanados del secundario y el terciario:

S

P

T

P

NN

NN 3

=

TS NN 3=⇒ (158)

c) Al observar los diagramas fasoriales de la parte a) se observa que, el ángulo entre

*aSV y

*aTV es 30º.

12. Un transformador monofásico de 50 [kVA], 7620/200 [V], 50 [Hz] tiene una impedancia de cortocircuito reflejada al devanado de alta tensión Zcc = 23+j·58 [] y es alimentado con 7.62 [kV] en el primario.

a) Determine la corriente (en [A]) que circula por el primario cuando en el secundario se conecta un condensador de 3180 [μF].


39

b) Determine la tensión de salida en la carga (en [V]) con la carga del punto a). c) Tres de estos transformadores se conectan formando un banco trifásico con conexión triángulo en el lado de alta tensión y conexión estrella en el lado de baja tensión. El banco trifásico es conectado a una red de 7.62 [kV] y alimenta una carga resistiva trifásica en conexión estrella de 2 [Ω] por fase. Determine: i. El circuito equivalente por fase referido al lado de baja tensión. ii. La tensión en la carga. iii. Las corrientes (magnitud) entregadas por la red de alimentación

Resolución: a) Consideremos el siguiente circuito equivalente simplificado:

Figura 33. Circuito Equivalente

Se tiene entonces que la impedancia del condensador es:

][110·3180·50··2

1·1

6 Ω=== −πω CX c (159)

Luego la impedancia del condensador reflejada al primario:

][1452200

7620·1·' 2

2

22

21

22

21

21 Ω=====

VV

X

XVV

PV

X c

c

c (160)

La corriente por el primario es entonces:

][º8946.5)145258·(23

º07620'·

*

*1

*A

jXjZ

VI

ccc

∠=−+∠

=−

= (161)

b) Luego la tensión que cae en el condensador es:


40

][º17928º901452º·896.54)'··('**

VXjIV cc −∠=−∠∠=−= (162) Es necesario ahora reflejar esta tensión al secundario, para ello:

][º108.2087620200'·'·

1

2 VVNNVV ccc −∠=== (163)

c) Consideremos la figura:

Figura 34. Circuito Delta Estrella

Pasándolo a equivalente estrella – estrella:


Luego, el circuito equivalente por fase:


41


Luego, referido a baja tensión:

040.0·016.03

'

7620200)·58·23(·

3

·33

'

*

22

1

2

*

2

1

2**

jZ

jNN

ZNNZZ

cc

cc

cccc

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

(164)

Luego la tensión que cae en la carga se obtiene con un divisor de tensión, y es de:

][4.198040.0)2016.0(

2·20022

VVc =++

= (165)

Y por último la corriente de entrada. Para ello calculamos primero la corriente que pasa

por la carga, y que es la corriente que entrega el secundario del trafo.

][2.992

4.198' AR

VI c === (166)

Finalmente la corriente por las líneas de alta tensión:

][5.4

37620200·2.99

3

'·1

2 ANN

II =

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= (167)


42

13. Dibuje el diagrama de conexiones de un transformador trifásico:

a) Yd1. b) Dy11. c) Yz5

Resolución: Según VDE 0532 se tiene que la primera letra indica la forma de conexión del pimario (D:

Delta, Y: estrella). La segunda determina la forma de conexión del secundario (d: delta, y: estrella, z: zigzag). Y finalmente el número "a" indica 30º·a de desfase entre las tensiones del primario y secundario.

Entonces se tiene:

a) Yd1: Estrella – Delta con 30 º de desfase.

b) Dy11: Delta – Estrella con desfase de 330º (-30º).

c) Yz5: Estrella –Zigzag con 150º de desfase.

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