Análisis Numérico

Coordinación I período de 2014

1

Guía de ejercicios correspondientes a la unidad I

(Ejercicios recopilados)

Teorema: Valores Extremos

#1. Determine máx𝑎≤𝑥≤𝑏

|𝑓(𝑥)| para las siguientes funciones en el intervalo indicado.

a) 𝑓(𝑥) = 3 − 𝑒𝑥 + 2𝑥, [0, 1]

b) 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥, [0, 3]

c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑒𝑥

𝑥−1) , [3 2⁄ , 3]

d) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 𝑙𝑛(𝑥), [3, 6]

e) 𝑓(𝑥) = |𝑥|𝑥| − 𝑥 + 1|, [−2, 1]

f) 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 − 4𝑥 + 6−3𝑥 + 18

1 ≤ 𝑥 < 44 ≤ 𝑥 ≤ 6

, [1, 6]

g) 𝑓(𝑥) =1−𝑥

𝑥2+3𝑥+ 3, [−2,−1/2]

Teorema de Taylor

#2. Determine el segundo polinomio de Taylor para la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 cos 𝑥 en torno a 𝑥0 = 0. a) Use 𝑃2(0.5) para aproximar 𝑓(0.5). Determine una cota superior para el error |𝑓(0.5) − 𝑃2(0.5)|

por medio de la fórmula para el error y compárelo con el error real.

b) Calcule una cota para el error |𝑓(𝑥) − 𝑃2(𝑥)| al usar 𝑃2(𝑥) en el intervalo [0, 1.1]

#3. Use el término del error de un polinomio de Taylor para estimar el error implicado al emplear 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ≈ 𝑥

para aproximar 𝑠𝑒𝑛 2°.

#4. Sea 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 y 𝑥0 = 0. Determine el n-ésimo polinomio de Taylor 𝑃𝑛(𝑥) para 𝑓(𝑥) respecto a 𝑥0.

Determine un valor de 𝑛 necesario para que 𝑃𝑛(𝑥) aproxime a 𝑓(𝑥) hasta 10−6 en [0, 0.5].

#5. Utilizando el teorema de Taylor, determine el grado de 𝑃𝑛(𝑥) (polinomio de Maclaurin) para obtener el

valor de √𝑒 con un error menor que 10−3.

#6. El polinomio 𝑃2(𝑥) = 1 −1

2𝑥2 se usará para aproximar 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) en [−

1

2,1

2]. Determine una cota

para el error máximo.

#7. Considere la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) − 1 a) Encuentre el Polinomio de Taylor de grado 2 alrededor de 𝑥0 = 0 b) ¿Cuál es el error máximo al considerar el polinomio cuadrático como una aproximación de la función en

el intervalo [−1, 1]? c) Haciendo uso del polinomio de Taylor aproximar la raíz de la función.

#8. La resistividad 𝜌 de cierto metal depende de la temperatura y se describe mediante la ecuación 𝜌(𝑡) =

𝜌20 𝑒𝛼(𝑡−20), donde t es la temperatura(℃). Existen tablas que contienen los valores de 𝛼 (llamado

coeficiente de temperatura) y 𝜌20 (la resistividad a 20 ℃) para diversos metales. Salvo a muy bajas

temperaturas, la resistividad varía casi linealmente en función de la temperatura; para ello se acostumbra a

aproximar la expresión para 𝜌(𝑡) mediante su polinomio de Taylor de primer o segundo grado en 𝑡0 = 20.

Determine dicho polinomio.

#9. El n-ésimo polinomio de Taylor para una función 𝑓 en 𝑥0 se conoce a veces como un polinomio de grado n

a lo sumo, que aproxima “mejor” a 𝑓 cerca de 𝑥0.

a) Explique por qué es adecuada esta descripción.

b) Determine el polinomio cuadrático que mejor aproxima una función 𝑓 cerca de 𝑥0 = 1 si la recta

tangente en 𝑥0 = 1 tiene la ecuación 𝑦 = 4𝑥 − 1 y si 𝑓′′(1) = 6.

Análisis Numérico

Coordinación I período de 2014

2

#10. Intente obtener el desarrollo de Taylor para 𝑃𝑛(𝑥) con 𝑓(𝑥) = tan−1 𝑥 en torno a 𝑥0 = 0 (Se encontrará

bastante dificultad después de unos cuantos términos, y es todavía más difícil el calcular el residuo. Este

desarrollo, a semejanza de muchos otros, es más fácil de obtener por los métodos de las series infinitas).

#11. Determine el polinomio n-ésimo de Maclaurin para la función 𝑓(𝑥) =𝑥

1−2𝑥

#12. Determine el polinomio Maclaurin cuadrático que mejor aproxima a la función 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑒−𝐵𝑥𝑐𝑜𝑠(𝜋𝑥), si la

recta normal en 𝑥0 tiene la ecuación 𝑦 − 𝑥 = 1.

Método de Bisección

#13. Aplique el método de bisección para encontrar soluciones exactas dentro de 10−5 para los siguientes

problemas.

a) 𝑥 = 3−𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

b) 𝑒𝑥 − 𝑥2 + 3𝑥 − 2 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤ 1

c) 2𝑥𝑐𝑜𝑠(2𝑥) − (𝑥 + 1)2 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 3 ≤ 𝑥 ≤ −2 𝑦 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 0

#14. Sea 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)2𝑥(𝑥 − 1)3(𝑥 − 2) ¿A cuál cero de 𝑓 converge el método de bisección en los

siguientes intervalos?

a) [−1.5, 2.5]

b) [−0.5, 2.4]

c) [−0.5, 3]

d) [−3,−0.5]

#15. La ecuación 3𝑥 = 𝑒𝑥 tiene por raíz a r = 0.61906128…

a) Utilizando el intervalo [0,1], realizar cuatro iteraciones por el método de bisección para encontrar una

raíz aproximada, use 4 cifras decimales.

b) ¿Cuántos decimales correctos tiene?

c) ¿Cuántas iteraciones son necesarias para que la raíz obtenida tenga una exactitud de 10−5 ?

#16. Encuentre una aproximación a √5 correcta con una exactitud de 10−4 usando el algoritmo de bisección.

[Sugerencia: Considere 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5]

#17. Un recipiente de longitud L tiene una sección transversal en forma de semicírculo con radio 𝑟. Cuando se

llena de agua a una distancia ℎ de la parte superior, el volumen 𝑉 de agua es

𝑉 = 𝐿 [0.5𝜋𝑟2 − 𝑟2𝑠𝑒𝑛−1 (ℎ

𝑟) − ℎ(𝑟2 − ℎ2)1 2⁄ ]

Suponga que L = 10 pies, r = 1 pie, y que V=12.4 pies³. Usando el método de bisección,

determine la profundidad del agua en el tanque, con una exactitud de 0.01

#18. Aplique el método de bisección para 7𝑥−3

(𝑥−0.45)2= 0 , use los intervalos [0.4, 0.5] y [0.39, 0.53]. Explique

gráficamente los resultados.

Método de Punto Fijo

#19. Use la manipulación algebraica para demostrar que las siguientes funciones tienen un punto fijo en 𝑝

exactamente cuando 𝑓(𝑝) = 0, donde 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥2 − 𝑥 − 3

a) 𝑔1(𝑥) = (3 + 𝑥 − 2𝑥2)1 4⁄ b) 𝑔2(𝑥) = (𝑥+3−𝑥4

2)1 2⁄

c) 𝑔3(𝑥) = (𝑥+3

𝑥2+2)1 2⁄

d) 𝑔4(𝑥) =3𝑥4+2𝑥2+3

4𝑥3+4𝑥−1

h

L

Análisis Numérico

Coordinación I período de 2014

3

#20. Efectúe cuatro iteraciones, si es posible hacerlo, en las funciones 𝑔 definidas en el ejercicio anterior. Sea

𝑝0 = 1 y 𝑝𝑛+1 = 𝑔(𝑝𝑛) para 𝑛 = 0, 1, 2 𝑦 3.

#21. Se proponen los cuatro métodos siguientes para calcular 211 3⁄ . Clasifíquelos por orden, tomando como

base su rapidez de convergencia y suponiendo que 𝑝0 = 1.

a) 𝑝𝑛 =20𝑝𝑛−1+21 𝑝𝑛−1

2⁄

21 b) 𝑝𝑛 = 𝑝𝑛−1 −

𝑝𝑛−13 −21

3𝑝𝑛−12 c) 𝑝𝑛 = 𝑝𝑛−1 −

𝑝𝑛−14 −21𝑝𝑛−1

𝑝𝑛−12 −21

d) 𝑝𝑛 = (21

𝑝𝑛−1)1 2⁄

#22. Demuestre que 𝑔(𝑥) = 𝜋 + 0.5𝑠𝑒𝑛(𝑥 2⁄ ) tiene un único punto fijo en [0, 2𝜋].

#23. Demuestre que 𝑔(𝑥) = 2−𝑥 tiene un único punto fijo en [1

3, 1].

#24. Sea 𝐴 una constante positiva y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 𝐴𝑥2.

a) Demuestre que si una iteración de punto fijo converge a un límite diferente de cero, entonces el

límite es 𝑝 = 1 𝐴⁄ , de modo que la inversa de un número puede obtenerse usando sólo

multiplicaciones y sustracciones.

b) Encuentre un intervalo alrededor de 1 𝐴⁄ donde converja una iteración de punto fijo, a condición

de que 𝑝0 se encuentre en ese intervalo.

#25. Un objeto que cae verticalmente en al aire está sujeto a una resistencia viscosa y también a la fuerza de

gravedad. Suponga que dejamos caer un objeto de masa 𝑚 desde una altura 𝑠0 y que la altura del objeto

después de 𝑡 segundos es 𝑠(𝑡) = 𝑠0 −𝑚𝑔

𝑘𝑡 +

𝑚2𝑔

𝑘2(1 − 𝑒−𝑘𝑡 𝑚⁄ ), donde 𝑔 = 32.17 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠2 y 𝑘 representa

el coeficiente de resistencia del aire en lb-s/pies. Suponga que 𝑠0 = 300 pies, 𝑚 = 0.25 lb, y que 𝑘 = 0.1

lb-s/pies. Calcule con una exactitud de 0.01 s, el tiempo que tarda este peso de un cuarto de libra en caer al

suelo.

Método de Newton Raphson

#26. Sean 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6 y 𝑝0 = 1. Aplique el método de Newton para encontrar 𝑝2.

#27. Sean 𝑓(𝑥) = −𝑥3 − cos 𝑥 y 𝑝0 = 1. Aplique el método de Newton para encontrar 𝑝2. ¿Se podría utilizar

𝑝0 = 0?

#28. Aplique el método de Newton para obtener soluciones con una exactitud de 10−4 para los siguientes

problemas.

𝑎) 𝑥3 − 2𝑥2 − 5 = 0, [1, 4] 𝑏) 𝑥 − cos 𝑥 = 0, [0, 𝜋 2⁄ ]

𝑐) 𝑥3 + 3𝑥2 − 1 = 0, [−3,−2] 𝑑) 𝑥 − 0.8 − 0.2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 0, [0, 𝜋 2⁄ ]

#29. Use el método de Newton para aproximar, con una exactitud de 10−4, el valor de 𝑥 que en la gráfica de

𝑦 = 𝑥2 produce el punto más cercano a (1, 0) [Sugerencia: reduzca al mínimo [𝑑(𝑥)]2 donde 𝑑(𝑥)

representa la distancia entre (𝑥, 𝑥2) y (1, 0).]

#30. Lo siguiente describe gráficamente el método de Newton: Supongamos que existe 𝑓′(𝑥) y que no se anula

en [𝑎, 𝑏]. Supongamos, además que existe una 𝑝 ∈ [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑝) = 0, y sea 𝑝0 ∈ [𝑎, 𝑏] arbitrario. Sea

𝑝1 el punto donde la tangente a 𝑓 en (𝑝0, 𝑓(𝑝0)) cruza el eje 𝑥. Para cada 𝑛 ≥ 1 sea 𝑝𝑛 la intersección en

𝑥 de la tangente a 𝑓 en (𝑝𝑛−1, 𝑓(𝑝𝑛−1)). Deduzca la fórmula que describe este método.

#31. Con el método de Newton resuelva la ecuación 0 =1

2+

1

4𝑥2 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 −

1

2cos 2𝑥, con 𝑝0 =

𝜋

2 . Itere hasta

lograr una exactitud de 10−5 . Explique por qué el resultado parece poco usual por el método de Newton.

#32. La suma de dos números es 20. Si cada uno se agrega a su raíz cuadrada, el producto de las dos sumas es

155.55. Determine los dos números con una exactitud de 10−4.

#33. El factor de fricción 𝑓 para fluidos pseudoplásticos que siguen el modelo de Ostwald-DeWaele se calcula

mediante la siguiente ecuación

Análisis Numérico

Coordinación I período de 2014

4

1

𝑓=

4

𝑛0.75𝑙𝑜𝑔(𝑅𝑒 𝑓1−0.5𝑛) −

0.4

𝑛1.2

Usando el método de N-R, encuentre el factor de fricción 𝑓, si se tiene un número de Reynolds Re de 6000

y un valor de 𝑛 = 0.4, tome como aproximación inicial 𝑝0 = 0.05 con una exactitud dentro de 10−6.

#34. Para ecuación cos 𝑥 = 𝑒𝑥 − 2

a) Demuestre que tiene solución en el intervalo [0, 𝜋 2⁄ ].

b) Obtener una aproximación a la solución usando los polinomios de Maclaurin de grado 2 para cos 𝑥 y

para 𝑒𝑥.

c) Usando el método de Newton aproxime la solución con una exactitud de 10−6, use como 𝑝0 el

resultado del inciso b).

#35. El desplazamiento de una estructura está definido por la siguiente ecuación 𝑦 = 8𝑒−𝑘𝑡𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) donde 𝑘 =

0.5 y 𝜔 = 3. Aplicar el método de Newton para aproximar el tiempo requerido, para que el

desplazamiento decrezca a 4, use una exactitud de 0.0001.

#36. En cierta estructura se encontró bajo experimentos la función que describe el desplazamiento, a saber,

𝑓(𝑡) = 10𝑒−0.4𝑡𝑐𝑜𝑠(2𝑡)

En donde 𝑡 es el tiempo. Se pide determinar cuánto tiempo pasará para que el desplazamiento disminuya

hasta la mitad del desplazamiento inicial. Plantee la ecuación a resolver, la fórmula del método de N-R e

itere para obtener el tiempo con una exactitud de 10−3, use 𝑡0 = 1.

#37. En ciertos problemas de detección de señales (radar o sonar) la probabilidad de falsa alarma (𝐹𝐴) está dada

por 𝑷(𝑭𝑨) = ∫𝟏

𝚪(𝒑 𝟐⁄ )𝟐𝒑 𝟐⁄ 𝒙𝒑 𝟐−𝟏⁄ 𝒆−𝒙 𝟐⁄ 𝒅𝒙

∞

𝒏 donde 𝑛 es el umbral de detección, si 𝑝 es un número par, el

cálculo de 𝑃(𝐹𝐴) se reduce a

𝑃(𝐹𝐴) = 𝑒−𝑛 2⁄ ∑1

𝑘!

𝑝 2−1⁄

𝑘=0

( 𝑛

2 )𝑘

Determine según el método de N-R

a) 𝑛𝑖 para la sucesión {𝑛𝑖} generada por este método, con p=6.

b) El umbral de detección si 𝑃(𝐹𝐴) = 0.01 , con un exactitud de 10−5, tome 𝑛0 = 17.

#38. El método de Halley (H) es el método de Newton-Raphson (N-R) modificado. La fórmula de iteración de Halley

es 𝐻(𝑥) = 𝑥 −𝑓(𝑥)

𝑓′(𝑥)[1 −

𝑓(𝑥)𝑓′′(𝑥)

2(𝑓′(𝑥))2 ]−1

. Aproxime √3, para eso:

a) Determine el término general de las sucesiones generadas tanto por método de N-R y H usando una 𝑓(𝑥) apropiada.

b) Realice tres iteraciones para ambos métodos, use 𝑝0 = 1 c) ¿Cuál de los métodos converge más rápidamente en este ejercicio, por qué?

#39. El medicamento administrado a un paciente produce una concentración en la corriente sanguínea dada por

𝑐(𝑡) = 𝐴𝑡𝑒−𝑡 3⁄ miligramos por mililitro, t horas después de inyectarle 𝐴 unidades. La máxima

concentración segura es de 1 mg/ml.

a) ¿Qué dosis deberá inyectársele al paciente para alcanzar la máxima concentración segura y

cuando se presenta esta concentración?

b) Una cantidad adicional del medicamento deberá administrarse al paciente después de que la

concentración disminuya a 0.25 mg/ml. Determine con una aproximación al minuto más cercano,

cuándo debe aplicarse la segunda inyección.

Análisis Numérico

Coordinación I período de 2014

5

Método de Newton Raphson, Sistemas de ecuaciones no lineales

#40. Dar una iteración al método de N-R para el siguiente sistema, use [𝑥0𝑦0] = [

11]. También determine

‖𝑋(1) − 𝑋(0)‖2

{

𝑒𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥+𝜋𝑦) − 2𝜋𝑦 = 1

𝑙𝑛 (𝑒𝑥−1 + 𝑦

2) = 1 −

1

2𝑥

#41. Dar una iteración usando el método de N-R para sistemas no lineales para el siguiente sistema

{𝑒𝑥−𝑦 = 2

𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥2 + 𝜋𝑦2) = 0

Tome 𝑋(0) = (1, 1)𝑇, también determine ‖𝑋(1) − 𝑋(0)‖∞

.

#42. Mediante el método de Newton con 𝑋(0) = 𝟎 calcule 𝑋(2) para los siguientes sistemas de ecuaciones no

lineales.

𝑎) {4𝑥1

2 − 20𝑥1 +1

4𝑥22 + 8 = 0

1

2𝑥1𝑥2

2 + 2𝑥1 − 5𝑥2 + 8 = 0

𝑏) {𝑠𝑒𝑛(4𝜋𝑥1𝑥2) − 2𝑥2 = 𝑥1

(4𝜋 − 1

4𝜋) (𝑒2𝑥1 − 𝑒) + 4𝑒𝑥2

2 − 2𝑒𝑥1 = 0

𝑐)

{

3𝑥1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥2𝑥3) =

1

24𝑥1

2 − 625𝑥22 + 2𝑥2 − 1 = 0

𝑒−𝑥1𝑥2 + 20𝑥3 +10𝜋 − 3

3= 0

𝑑) {

𝑥12 + 𝑥2 − 37 = 0

𝑥1 − 𝑥22 − 5 = 0

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3

#43. Aproxime los siguientes sistemas no lineales de ecuaciones aplicando el método de Newton. Itere hasta

que ‖𝑋(𝑘) − 𝑋(𝑘−1)‖∞< 10−6.

𝑎) {3𝑥1

2 − 𝑥22 = 0

3𝑥1𝑥22 − 𝑥1

3 = 1

𝑈𝑠𝑒 𝑋(0) = (1, 1)𝑡 𝑏)

{𝑙𝑛(𝑥1

2 + 𝑥22) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥1𝑥2) = ln 2 + ln 𝜋

𝑒𝑥1−𝑥2 + 𝑐𝑜𝑠(𝑥1𝑥2) = 0

𝑈𝑠𝑒 𝑋(0) = (2, 2)𝑡

𝑐) {

𝑥13+𝑥1

2𝑥2 − 𝑥1𝑥3 + 6 = 0

𝑒𝑥1 + 𝑒𝑥2 − 𝑥3 = 0

𝑥22 − 2𝑥1𝑥3 = 4

𝑈𝑠𝑒 𝑋(0) = (−1,−2, 1)𝑡

𝑑) {

6𝑥1 − 2𝑐𝑜𝑠(𝑥2𝑥3) − 1 = 0

9𝑥2 + √𝑥12 + 𝑠𝑒𝑛(𝑥3) + 1.06 + 0.9 = 0

60𝑥3 + 3𝑒−𝑥1𝑥2 + 10𝜋 − 3 = 0

𝑈𝑠𝑒 𝑋(0) = (0,0,0)𝑡

#44. Una perla (pildora esférica) tiene un diámetro de 1 cm. Se va a producir otra pildora en

forma de cilindro recto, con el mismo volumen y dos veces el área superficial de la perla.

a) Encuentre el sistema de ecuaciones no lineales a resolver.

b) Determine el término general de la sucesión [𝑟𝑛ℎ𝑛] que genera el método de Newton.

#45. Las áreas superficiales de dos esferas suman 13𝜋 unidades cuadradas, y sus volúmenes suman 35𝜋

unidades cúbicas. Considere a 𝑥 y 𝑦 los radios de las esferas (𝐴𝑠 = 4𝜋𝑟2 , 𝑉 = 4 3⁄ 𝜋𝑟3)

a) Plantee el sistema de ecuaciones no lineales a resolver.

Análisis Numérico

Coordinación I período de 2014

6

b) Efectúe una iteración usando NR, tome como aproximación inicial [𝑥0𝑦0] = [

2.13.5]

c) Encuentre todos los valores [𝑥0𝑦0], para los cuales el método fallaría en la primera iteración.

#46. La ecuación compleja 𝑧2 + 5𝑧 + 1 = 3 − 𝑖 puede expresarse de forma equivalente como un sistema no

lineal de ecuaciones. Recuerde que si 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖 ⟹ 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑.

a) Si 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 determine dicho sistema

b) Realice una iteración con N-R, use [𝑥0, 𝑦0] = [0.4, 0.2]. También encuentre ‖𝑋(1) − 𝑋(0)‖∞

c) Encuentre si existen los [𝑥0, 𝑦0] para los cuales el método fallaría.

#47. La presión requerida para enterrar un objeto grande y pesado en un suelo blando homogéneo que se

encuentra sobre una base de suelo duro puede predecirse a partir de la presión necesaria para enterrar

objetos más pequeños en el mismo terreno. En concreto, la presión 𝑝 requerida para enterrar una placa

circular de radio 𝑟 a una distancia 𝑑 en el suelo blando, donde la base dura se encuentra a una distancia

𝐷 > 𝑑 debajo de la superficie, puede aproximarse mediante una ecuación de la forma 𝑝 = 𝑘1𝑒𝑘2𝑟 +

𝑘3𝑟, donde 𝑘1, 𝑘2 y 𝑘3 son constantes, con 𝑘2 > 0 que depende de 𝑑 y de la consistencia del terreno

pero no del radio de la placa.

a) Calcule los valores de 𝑘1, 𝑘2 y 𝑘3 si suponemos que una placa cuyo radio es de 1 plg requiere una

presión de 10 lb/plg2 para enterrarse 1 pie en un campo fangoso, una placa cuyo radio es de 2 plg

requiere una presión de 12 lb/plg2 para enterrarse 1 pie y una placa de 3 plg de radio requiere

una presión de 15 lb/plg2 para enterrarse esta distancia (suponiendo que el lodo tiene una

profundidad de más de 1 pie).

b) Use los cálculos de la parte (a) para predecir el tamaño mínimo de la placa circular que se

necesitará para sostener una carga de 500 lb en este campo, con un hundimiento menor a 1 pie.

Análisis Numérico

Coordinación III período de 2010

1

Respuestas a ejercicios seleccionados

No. 1:

a) R/ 2.3863 cuando x=0.69315

b) R/1.4142 cuando x=2.3562

c) R/2.3069 cuando x=3

d) R/0.65773 cuando x=6

No. 2: 𝑃2 = 1 + 𝑥, 𝑅2 = −1 3⁄ 𝑒𝜉(𝑠𝑒𝑛 𝜉 +

𝑐𝑜𝑠𝜉)𝑥3 a) 1.5, 0.0932 b) 1.7924 No. 3: 𝑅2 = −1 6⁄ cos 𝜉 𝑥3 ⇒ |𝑅2(𝜋 90⁄ )| ≤

7.0888 × 10−6

No. 4: 𝑛 ≥ 7

No. 6: 0.0026

No. 7: a) P2 = -.4597+1.382*x+.8415*x^2 b) R2=-1/3*exp(𝜉)*(sin(𝜉-1)+cos(𝜉-1))*x^3, 0.1884 c) .2834 No. 13: a) con f(x)=x-3^(-x)

No. 15: a) con f(x)=3x-exp(x)

b) Ninguno c) 17

No. 17: 0.8360

No. 21: c) converege más rápido que d), a) y b)

divergen.

No. 28 d) con f(x)=x-0.8-0.2sen(x) y p0=1

No. 29: 0.589755

No. 33:

No. 36:

No. 38:

a) 𝑔𝑁(𝑥) = 𝑥 −𝑥2−3

2𝑥

𝑔𝐻(𝑥) = 𝑥 −𝑥2 − 3

2𝑥[1 −

𝑥2 − 3

4𝑥2]

−1

⟹ 𝑝𝑛+1 = 𝑔𝑁(𝑝𝑛), 𝑛 ≥ 0 (N-R)

⟹ 𝑞𝑛+1 = 𝑔𝑁(𝑞𝑛), 𝑛 ≥ 0 (H)

b)

𝑛 𝑝𝑛+1 |𝑝𝑛+1 − 𝑝𝑛| 𝑞𝑛+1 |𝑞𝑛+1 − 𝑞𝑛|

1 2 1 1.66666

7

0.666667

2 1.75 0.25 1.73202

6

0.06535

9

3 1.73214

3

0.01785

7

1.732051 0.00002

5

c) Según los resultados el de Halley,

porque |𝑞𝑛+1 − 𝑞𝑛| < |𝑝𝑛+1 − 𝑝𝑛|

No. 41:

[𝑥1

𝑦1] = [

𝑥0

𝑦0] − [𝐽 (

𝑥0

𝑦0)]

−1

𝑓 (𝑥0

𝑦0) = [

1.50.5

]

‖𝑋(1) − 𝑋(0)‖∞

= 0.5

No.42:

a) 𝑋(2) = [0.4959, 1.9834]𝑡

b) 𝑋(2) = [−0.5132, −0.0184]𝑡

c) 𝑋(2) = [0.5002, 0.2508, −0.5174]𝑡

d) 𝑋(2) = [4.3509, 18.4912, −19.8421]𝑡

Análisis Numérico

Coordinación III período de 2010

2

No. 48:

a) 𝑘1 = 8.77125, 𝑘2 = 0.25969, 𝑘3 =

−1.37217 b) 𝑟 = 3.18517